สมุดเล่มเล็ก_clone

สรุป 
 ลำดบั และ อนกุ รม

ลำดบั Sequence บทนยิ าม ความหมายของลำดบั ท่ี 1 ลำดบั (Sequence) คอื ฟงั ก์ชันทีม่ ีโดเมนเป็นเซต {1,2,3,…,n} หรือมโี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก พจนท์ ว่ั ไปของลำดบั หรอื พจนท์ ่ี n ของลำดับ เรยี กวา่ an ลำดบั จำกัด คือลำดับท่มี ีโดเมนเป็นเซต {1,2,3,…,n} (Finite Sequence) เขียนไดว้ า่ a1,a2,a3,…,an ลำดบั อนันต์ คอื ลำดับท่มี โี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก (Infinite Sequence) เขยี นได้วา่ a1,a2,a3,…,an,…

การเขยี นแสดงลำดับ เขยี นแจกแจงพจน์ของลำดับ เขียนพจน์ทัว่ ไปของลำดบั ใช้ความสมั พนั ธเ์ วยี นเกดิ (Recurrence Relation) บอกเง่ือนไขของลำดบั หรอื สมบัตขิ องพจน์ของลำดบั ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาส่พี จน์แรกของลำดับท่ี an = 3n − 2 วิธี แทน n ใน an = 3n − 2 ดว้ ย 1,2,3 และ 4 จะไดส้ พี่ จนแ์ รกของลำดับดังนี้ a1 = 3(1) − 2 = 1 a2 = 3(2) − 2 = 4 a3 = 3(3) − 2 = 7 a4 = 3(4) − 2 = 10 ดงั นนั้ ส่พี จนแ์ รกของลำดบั น้ีคือ 1,4,7 และ 10

ลำดับเลขคณติ Arithmetic Sequence บทนิยาม ลำดบั เลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดบั ซงึ่ มผี ลต่างท่ไี ด้ ที่ 2 จากการนำพจนท์ ่ี n+1 ลบดว้ ยพจนท์ ่ี n เปน็ คา่ คงตัวทเ่ี ทา่ กัน สำหรับ ทกุ จำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัวที่เปน็ ผลต่างนีว้ า่ ผลต่างร่วม (Common Difference) เขียนแทนด้วย d หาไดจ้ าก an+1 − an = d an = a1 + (n − 1)d ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนส่พี จนถ์ ดั ไปของลำดับเลขคณติ −1,6,13,… วธิ ีทำ จากลำดับเลขคณติ −1,6,13,… จะได้ d = 6 − (−1) = 7 จะได้ a4 = a3 + d = 13 + 7 = 20 a5 = a4 + d = 20 + 7 = 27 a6 = a5 + d = 27 + 7 = 34 a7 = a6 + d = 34 + 7 = 41 ดังน้นั ส่พี จนถ์ ดั ไปของลำดับเลขคณติ น้ี คือ 20,27,34 และ 41

ลำดบั เรขาคณติ Ge
ometric Sequence ลำดบั เรขาคณิต (Geometric Sequence) คอื ลำดับซง่ึ มอี ัตราส่วนของ บทนิยาม พจนท์ ่ี n+1 ต่อพจนท์ ี่ n เปน็ คา่ คงตวั ทเี่ ทา่ กนั สำหรับทกุ จำนวนเต็มบวก n ที่ 3 และเรียกคา่ คงตัวทีเ่ ป็นอตั ราสว่ นนว้ี า่ อตั ราสว่ นรว่ ม (Common Ratio) an+1 เขียนแทนดว้ ย r หาได้จาก an = r an = a1rn−1 ตัวอย่างท่ี 3 จงหาพจน์ท่ี 7 ของลำดับเรขาคณิต 4,20,100,… วิธีทำ จากลำดับเรขาคณติ 4,20,100,… จะได้ a1 = 4 และ r = 20 = 5 4 จาก an = a1rn−1 จะได้ a7 = 4(57−1) = 4(56) = 4(15,625) = 62,500 ดังน้ัน พจน์ที่ 7 ของลำดบั เรขาคณิตน้ี คือ 62,500

อนกุ รม Series ถา้ a1, a2, a3, …, an เป็นลำดบั จำกดั ทีม่ ี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงการบวกของพจน์ทุกพจน์ ของลำดับในรปู a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนกุ รมจำกดั (Finite Series) ให้ Sn แทนผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม นนั่ กค็ อื S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 … Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

อนุกรมเลขคณิต Arithmetic Series คอื อนุกรมท่ไี ด้จากลำดับเลขคณติ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต คอื 1)Sn = n (a1 + an) 2 2)Sn = n (2a1 + (n − 1)d ) 2 จงหาผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมที่ไดจ้ าก ตวั อย่างที่ 4 ลำดบั เลขคณิต 7,15,23,… วิธที ำ ลำดบั ท่ีกำหนดใหม้ ี a1 = 7 และ d = 8 แทน n ด้วย 7 ใaน1 =an 3=(1a)1−+ 2(n=−11)d จะได้ a7 = 7a+2 (=7 −3(12))(8−) 2 = 4 = 5a53 = 3(3) − 2 = 7 Sn = 2na(4a1=+3a(n4)) − 2 = 10 7 S7 = 2 (7 + 55) = 217 ดังนนั้ ผลบวก 7 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี คือ 217

อนกุ รมเรขาคณิต Geometric Series คอื อนุกรมท่ีไดจ้ ากลำดบั เรขาคณติ ลำดบั เลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดบั ซ่ึงมีผลตา่ งทไี่ ด้ ผบลทบนวกิยาnมพจนแ์ทจ(CาุกรoกจmกกำานขmรวอoนนnงำเพตอD็มจiนfนบfeกุท์วreก่ีรnnม+nc1eเแร)ลลขบะเาดร้วคียยณกพคจิต่านคท์ งค่ีตnอื ัวทเปเี่ ็นปคน็ า่ผคลงตตา่ ัวงทน่เีวี้ ท่าา่ ผกลนั ตส่าำงหรรว่ บัม ท่ี 2 a1(rn − 1) a1(1 − rn) Sn = r−1 aหn ร=อื a1 +S(nn =− 1)1d− r เม่ือ r ≠ 1 เมื่อ r ≠ 1 ตวั อย่างท่ี 2 จงเขยี นสพ่ี จนถ์ ัดไปของลำดับเลขคณติ −1,6,13,… ตวั อย่างที่ 5 วธิ ีทลจำงำจหดาาบั กผเลรลำขบดาวับคกเณล8ติขพค1ณจ,2นติ,แ์4,−ร8ก,1…ข,6อ,1ง3อ,น…ุกรจมะไทด่ีไ้ ดd้จ=าก6 − (−1) = 7 วิธที ำ ลจำะดไดับ้ ทa่กี4 ำ=หนa3ดใ+หdม้ ี =a1 1=31+แ7ล=ะ r20= 2 แทน na5ด=้วยa84 +ในdS=n =20a1+(11−7− r=n)27 1(1 − 28) r 1−2 S8 = ดงั นนั้ สพ่ี จน์ถดั ไปของลำดับ = 28 − 1 เลขคณติ น้ี คือ 20,27,34 2−1 = 255 ดงั นั้น ผลบวก 8 พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ น้ี คือ 255

การประยกุ ตข์ อง 
 ลำดับและอนกุ รม กำหนดตวั แปรดังนี้ P = เงินต้น , มลู คา่ ปจั จุบัน S = เงินรวม , มูลคา่ อนาคต i%= อัตราดอกเบี้ยตอ่ ปี r = i 100 n = จำนวนปี , จำนวนครั้ง k = จำนวนครั้งทค่ี ิดดอกเบ้ยี ทบตน้ ต่อ 1 ปี R = เงินแต่ละงวด

ดอกเบี้ยทบตน้ S = P(1 + r)n S = P(1 + r )kn มลู คา่ ปจั จบุ ัน k P = S(1 + r )−kn k คา่ งวด(ตน้ งวด) S = R(1 + r)[(1 + r)n − 1] r มลู ค่าอนาคต S = P(1 + r )kn k คา่ งวด(ส้นิ งวด) S = R[(1 + r)n − 1] r

จดั ทำโดย น.ส. สิริกร พน้ื แสน ม.5/8 เลขที่ 12