1300mathformulas

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 997. ∫ ~êÅëáå ñ Çñ = ñ ~êÅëáå ñ + N− ñO + ` = = 998. ∫ ~êÅÅçë ñ Çñ = ñ ~êÅÅçë ñ − N− ñO + ` = = ( )999. N ñO ` = ∫ ~êÅí~å ñ Çñ = ñ ~êÅí~å ñ − O äå +N + = ( )1000. ñ N ñO ∫ ~êÅ Åçí ñ Çñ = ~êÅ Åçí ñ + O äå +N +` = = = = 9.5 Integrals of Hyperbolic Functions = 1001. ∫ ëáåÜ ñÇñ = ÅçëÜ ñ + ` = = 1002. ∫ ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ + ` = = 1003. ∫ í~åÜ ñ Çñ = äåÅçëÜ ñ + ` = = 1004. ∫ ÅçíÜ ñ Çñ = äå ëáåÜ ñ + ` = = 1005. ∫ ëÉÅÜOñÇñ = í~åÜ ñ + ` = = 1006. ∫ ÅëÅÜOñÇñ = − ÅçíÜ ñ + ` = = 1007. ∫ ëÉÅÜñ í~åÜ ñÇñ = −ëÉÅÜñ + ` = = 241

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1008. ∫ ÅëÅÜñ ÅçíÜ ñÇñ = −ÅëÅÜñ + ` = = = = 9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions = ∫1009. Éñ Çñ = Éñ + ` = = ∫1010. ~ ñ Çñ = ~ ñ + ` = äå ~ = ∫1011. É~ñ Çñ = É~ñ + ` = ~ = ∫1012. ñÉ~ñ Çñ = É~ñ (~ñ − N) + ` = ~O = 1013. ∫ äå ñ Çñ = ñ äå ñ − ñ + ` = = 1014. ∫ Çñ = äå äå ñ +`= ñ äå ñ = ∫1015. ñ å äå ñ Çñ = ñ å+N  äå ñ − N  + ` =  å+N   (å + N)O  = ∫1016. É~ñ ëáå Äñ Çñ = ~ ëáå Äñ − ÄÅçë Äñ É~ñ + ` = ~O + ÄO = 242

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∫1017. É~ñ Åçë Äñ Çñ = ~ Åçë Äñ + Äëáå Äñ É~ñ + ` = ~O + ÄO = = = 9.7 Reduction Formulas = 1018. ñ åÉãñ Çñ = N ñ åÉãñ − å ñ å−NÉãñ Çñ = ∫ ∫ã ã = É ãñ É ãñ ã É ãñ ñå å −N ñ å−N (å −N)ñ å−N ∫ ∫1019. Çñ = − + Çñ I= å ≠ N K= = 1020. ëáåÜå ñÇñ = N ëáåÜå−N ñ ÅçëÜ ñ − å − N ëáåÜå−O ñÇñ = ∫ ∫å å = Çñ ÅçëÜ ñ å− O Çñ ëáåÜ å å− N ëáåÜ å−O − N)ëáåÜå−N ∫ ∫1021. ñ = − (å ñ − ñ I= å ≠ N K= = 1022. ÅçëÜå ñÇñ = N ëáåÜ ñ ÅçëÜå−N ñ ÅçëÜ ñ + å − N ÅçëÜå−O ñÇñ = ∫ ∫å å = Çñ ëáåÜ ñ å−O Çñ ÅçëÜ å å −N ÅçëÜ å −O − N)ÅçëÜå−N ∫ ∫1023. ñ = − (å ñ + ñ I= å ≠ N K= = ∫1024. ëáåÜå ñ ÅçëÜã ñÇñ = ëáåÜå+N ñ ÅçëÜã−N ñ = å+ã ∫+ ã −N ëáåÜå ñ ÅçëÜã−O ñÇñ = å+ã = ∫1025. ëáåÜå ñ ÅçëÜã ñÇñ = ëáåÜå−N ñ ÅçëÜã+N ñ = å+ã 243

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∫− å −N ëáåÜå−O ñ ÅçëÜã ñÇñ = å+ã = ∫ ∫1026. í~åÜå ñÇñ = − N í~åÜå−N ñ + í~åÜå−O ñÇñ I= å ≠ N K= å −N = ∫ ∫1027. ÅçíÜå ñÇñ = − N ÅçíÜå−N ñ + ÅçíÜå−O ñÇñ I= å ≠ N K= å −N = 1028. ëÉÅÜåñÇñ = ëÉÅÜå−Oñ í~åÜ ñ + å − O ëÉÅÜå−OñÇñ I= å ≠ N K= ∫ ∫å −N å −N = 1029. ëáåå ñÇñ = − N ëáåå−N ñ Åçë ñ + å − N ëáåå−O ñÇñ = ∫ ∫å å = Çñ Åçë ñ å−O Çñ ëáå å å −N ëáå å−O − N)ëáåå−N ∫ ∫1030. ñ = − (å ñ + ñ I= å ≠ N K= = 1031. Åçëå ñÇñ = N ëáå ñ Åçëå−N ñ + å − N Åçëå−O ñÇñ = ∫ ∫å å = Çñ ëáå ñ å−O Çñ Åçë å å −N Åçë å−O − N)Åçëå−N ∫ ∫1032. ñ = (å ñ + ñ I= å ≠ N K= = ∫1033. ëáåå ñ Åçëã ñÇñ = ëáåå+N ñ Åçëã−N ñ = å+ã ∫+ ã − N ëáåå ñ Åçëã−O ñÇñ = å+ã = ∫1034. ëáåå ñ Åçëã ñÇñ = − ëáåå−N ñ Åçëã+N ñ = å+ã 244

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∫+ å − N ëáåå−O ñ Åçëã ñÇñ = å+ã = ∫ ∫1035. í~åå ñÇñ = N í~åå−N ñ − í~åå−O ñÇñ I= å ≠ N K= å −N = ∫ ∫1036. Åçíå ñÇñ = − N Åçíå−N ñ − Åçíå−O ñÇñ I= å ≠ N K= å −N = ∫ ∫1037. ëÉÅå ñÇñ = ëÉÅå−O ñ í~å ñ + å − O ëÉÅå−O ñÇñ I= å ≠ N K= å−N å−N = 1038. ÅëÅå ñÇñ = − ÅëÅå−O ñ Åçí ñ + å − O ÅëÅå−O ñÇñ I= å ≠ N K= ∫ ∫å −N å −N = 1039. ñ å äåã ñÇñ = ñ å+N äåã ñ − ã ñ å äåã−N ñÇñ = ∫ ∫å +N å +N = äå ã ñ äåã ñ ã äå ã−N ñ ñå å −N ñå (å −N)ñ å−N ∫ ∫1040. Çñ = − + Çñ I= å ≠ N K= = ∫ ∫1041. äåå ñÇñ = ñ äåå ñ − å äåå−N ñÇñ = = ∫ ∫1042. ñ å ëáåÜ ñÇñ = ñ å ÅçëÜ ñ − å ñ å−N ÅçëÜ ñÇñ = = ∫ ∫1043. ñ å ÅçëÜ ñÇñ = ñ å ëáåÜ ñ − å ñ å−N ëáåÜ ñÇñ = = ∫ ∫1044. ñ å ëáå ñÇñ = −ñ å Åçë ñ + å ñ å−N Åçë ñÇñ = = ∫ ∫1045. ñ å Åçë ñÇñ = ñ å ëáå ñ − å ñ å−N ëáå ñÇñ = 245

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1046. ñå ëáå−N ñÇñ = ñå+N ëáå−N ñ − N ñ å+N Çñ = N− ñO ∫ ∫å +N å +N = 1047. ñå Åçë−N ñÇñ = ñå+N Åçë−N ñ + N ñ å+N Çñ = N− ñO ∫ ∫å +N å +N = ñå í~å−N ñÇñ = ñå+N í~å−N ñ − N ñ å+N å+N å+N N+ ñO ∫ ∫1048. Çñ = = ñ åÇñ ñ Ä Çñ ~ñ å + Ä ~ ~ ~ñ å + ∫ ∫1049. = − Ä = = Çñ − O~ñ − Ä + Äñ − Q~Å ~ñ O + Äñ ( ) ( )( )∫1050. å = å−N = ~ñ O +Å (å − N) ÄO +Å O(Oå − P)~ Çñ I= å N K= − N) ÄO Äñ − Q~Å ( ) ( )∫−(å ~ñ O Å å−N ≠ + + = Çñ =ñ Oå − P Çñ + ~O + ~O O(å − N)~O ñ O O(å − N)~O ∫ ( ) ( ) ∫ ( )1051.ñOå å−N + ñO å−N I + ~O å ≠ N K= = Çñ =− ñ − ~O O(å − N)~O ñ O ∫ ( ) ( )1052.ñOå å−N = − ~O Oå − P Çñ I= å ≠ N K= − ~O O(å − N)~ ∫ ( )− O ñO å−N = = = = = 246

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 9.8 Definite Integral = ÄÄ aÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ∫ Ñ (ñ)Çñ I= ∫ Ö(ñ)Çñ I=£= ~~ å oáÉã~åå=ëìãW= ∑Ñ (ξá )∆ñá == á =N pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá == ^åíáÇÉêáî~íáîÉëW= c(ñ) I= d(ñ) == iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI=ÅI=Ç= = = Äå ∫ ∑( ) ( )1053. Ñ ñ Çñ = äáã Ñ ξá ∆ñ á I== å→∞ ~ ã~ñ ∆ñá →M á=N ïÜÉêÉ== ∆ñá = ñá − ñá−N I== ñá−N ≤ ξá ≤ ñá K== = = = Figure 179. = 247

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS Ä 1054. ∫NÇñ = Ä − ~ = ~ = ÄÄ 1055. ∫ âÑ (ñ)Çñ = â∫ Ñ (ñ)Çñ = ~~ = Ä ÄÄ 1056. ∫[Ñ (ñ)+ Ö(ñ)]Çñ = ∫ Ñ(ñ)Çñ + ∫ Ö(ñ)Çñ = ~ ~~ = Ä ÄÄ 1057. ∫[Ñ (ñ)− Ö(ñ)]Çñ = ∫Ñ (ñ)Çñ − ∫Ö(ñ)Çñ = ~ ~~ = ~ 1058. ∫ Ñ (ñ)Çñ = M = ~ = Ä~ 1059. ∫ Ñ (ñ)Çñ = −∫ Ñ (ñ)Çñ = ~Ä = ÄÅÄ 1060. ∫ Ñ (ñ)Çñ = ∫ Ñ (ñ)Çñ + ∫ Ñ (ñ)Çñ =Ñçê= ~ < Å < Ä K= ~~Å = Ä 1061. ∫ Ñ (ñ)Çñ ≥ M =áÑ= Ñ (ñ)≥ M =çå=[~IÄ]K= ~ = Ä 1062. ∫ Ñ (ñ)Çñ ≤ M =áÑ= Ñ (ñ)≤ M =çå=[~IÄ]K= ~ = = = = 248

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1063. cìåÇ~ãÉåí~ä=qÜÉçêÉã=çÑ=`~äÅìäìë= Ä Ä ~ ∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ ) = c(Ä) − c(~ ) =áÑ= c′(ñ ) = Ñ (ñ )K= ~ = 1064. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå== fÑ= ñ = Ö(í) I=íÜÉå== ÄÇ ∫ Ñ(ñ)Çñ = ∫Ñ (Ö(í))Ö′(í)Çí I== ~Å ïÜÉêÉ= Å = Ö−N(~)I= Ç = Ö−N(Ä)K= = 1065. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë= ÄÄ Ä ∫ ìÇî = (ìî ) ~ − ∫ îÇì = ~~ = 1066. qê~éÉòçáÇ~ä=oìäÉ= ∫ ∑Ä Ñ (ñ )Çñ = Ä−~ Ñ (ñ M ) + Ñ (ñ å ) + O å−N Ñ (ñ á ) = Oå á=N ~ = 249

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = = Figure 180. = 1067. páãéëçå∞ë=oìäÉ== Ä Ñ (ñ )Çñ = Ä−~ [Ñ (ñ M ) + QÑ (ñ N ) + OÑ (ñ O ) + QÑ (ñ P ) + = På ∫ ~ + OÑ (ñQ )+K+ QÑ (ñå−N)+ Ñ (ñå )]I== ïÜÉêÉ== ñá = ~ + Ä − ~ á I= á = MI NI OI KI å K== å = 250

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = = Figure 181. = 1068. ^êÉ~=råÇÉê=~=`ìêîÉ= Ä p = ∫ Ñ (ñ)Çñ = c(Ä)− c(~)I== ~ ïÜÉêÉ= c′(ñ) = Ñ (ñ)K= = 251

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = = Figure 182. = 1069. ^êÉ~=_ÉíïÉÉå=qïç=`ìêîÉë= Ä p = ∫[Ñ(ñ)− Ö(ñ)]Çñ = c(Ä)− d(Ä)− c(~)+ d(~)I== ~ ïÜÉêÉ= c′(ñ) = Ñ (ñ)I= d′(ñ) = Ö(ñ)K= = 252

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = = Figure 183. = = = 9.9 Improper Integral = Ä 1070. qÜÉ=ÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä== ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=Å~ääÉÇ=~å=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~ä= ~ áÑ== • ~=çê=Ä=áë=áåÑáåáíÉI= • Ñ (ñ)==Ü~ë==çåÉ==çê==ãçêÉ=éçáåíë=çÑ==ÇáëÅçåíáåìáíó= =====áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä= [~IÄ]K= = 1071. fÑ= Ñ (ñ)=áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= [~I∞)I=íÜÉå== ∞å ∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K= å→∞ ~~ = 253

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = = Figure 184. = 1072. fÑ= Ñ (ñ)=áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= (− ∞IÄ] I=íÜÉå== ÄÄ ∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K= å→ −∞ −∞ å = = = Figure 185. 254

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS kçíÉ=W=qÜÉ=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~äë=áå=NMTNI=NMTO=~êÉ=ÅçåîÉêÖÉåí= áÑ= íÜÉ= äáãáíë= Éñáëí= ~åÇ= ~êÉ= ÑáåáíÉX= çíÜÉêïáëÉ= íÜÉ= áåíÉÖê~äë= ~êÉ= ÇáîÉêÖÉåíK= = ∞ Å∞ 1073. ∫ Ñ (ñ)Çñ = ∫Ñ (ñ)Çñ + ∫Ñ (ñ)Çñ = −∞ −∞ Å = = = Figure 186. = fÑ=Ñçê=ëçãÉ=êÉ~ä=åìãÄÉê=ÅI=ÄçíÜ=çÑ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=áå=íÜÉ=êáÖÜí= ∞ ëáÇÉ= ~êÉ= ÅçåîÉêÖÉåíI= íÜÉå= íÜÉ= áåíÉÖê~ä= ∫ Ñ (ñ)Çñ = áë= ~äëç===== −∞ ÅçåîÉêÖÉåíX=çíÜÉêïáëÉ=áí=áë=ÇáîÉêÖÉåíK= = 1074. `çãé~êáëçå=qÜÉçêÉãë= iÉí== Ñ (ñ)=~åÇ== Ö(ñ)==ÄÉ==Åçåíáåìçìë==ÑìåÅíáçåë==çå=íÜÉ=ÅäçëÉÇ= áåíÉêî~ä= [~I∞)K= pìééçëÉ= íÜ~í= M ≤ Ö(ñ) ≤ Ñ (ñ)= Ñçê= ~ää= ñ= áå= [~I∞)K= 255

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∞∞ • fÑ= ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ∫ Ö(ñ)Çñ =áë=~äëç= ~~ =====ÅçåîÉêÖÉåíI= ∞∞ • fÑ= ∫ Ö(ñ)Çñ =áë=ÇáîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK= ~~ = 1075. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ= = ∞∞ fÑ= ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå=íÜÉ=áåíÉÖê~ä ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=~Äëç- ~~ äìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK=== = 1076. aáëÅçåíáåìçìë=fåíÉÖê~åÇ= iÉí= Ñ (ñ)=ÄÉ=~=ÑìåÅíáçå=ïÜáÅÜ=áë=Åçåíáåìçìë=çå=íÜÉ=áåíÉêî~ä== [~IÄ) =Äìí=áë=ÇáëÅçåíáåìçìë=~í= ñ = Ä K=qÜÉå== Ä Ä−ε ∫ Ñ (ñ)Çñ = äáã ∫Ñ (ñ)Çñ = ε→M+ ~~ = = = Figure 187. 256

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1077. iÉí= Ñ (ñ)=ÄÉ=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=Ñçê=~ää=êÉ~ä=åìãÄÉêë==ñ==áå= íÜÉ=áåíÉêî~ä== [~IÄ]==ÉñÅÉéí==Ñçê==ëçãÉ=éçáåí==Å==áå= (~IÄ) K=qÜÉå= Ä Å−ε Ä ∫ ∫ ∫Ñ (ñ)Çñ = äáã Ñ (ñ)Çñ + äáã Ñ (ñ)Çñ K= ε→M+ δ→M+ ~ ~ Å+δ = = = Figure 188. = = = 9.10 Double Integral = cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñIó) I= Ñ (ìIî) I=£= açìÄäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫Ñ (ñIó)ÇñÇó I= ∫∫Ö(ñIó)ÇñÇó I=£= oo oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑ ( )ã å Ñ ìá I î à ∆ñá∆ó à = á=N à=N pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá I= ∆ó à = oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=oI=p== mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ = 257

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ^êÉ~W=^= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= j~ëë=çÑ=~=ä~ãáå~W=ã= aÉåëáíóW= ρ(ñIó)= cáêëí=ãçãÉåíëW= jñ I= jó = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= fñ I= fó I= fM = `Ü~êÖÉ=çÑ=~=éä~íÉW=n= `Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñIó)= `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó = ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= µ = = 1078. aÉÑáåáíáçå=çÑ=açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä= qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]×[ÅI Ç]=áë=ÇÉÑáåÉÇ= íç=ÄÉ== ∫∫ ( ) ∑∑ ( )ã å Ñ ñIó Ç^ = äáã Ñ ìá Iîà ∆ñ á ∆ó à I== ã~ñ ∆ñ →M [~I Ä]×[ÅI Ç] ã~ñ ∆ó á →M á =N à=N à ( )ïÜÉêÉ= ìá I î à =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=êÉÅí~åÖäÉ= ( )(ñá−NI ñá )× ó à−NI ó à I=~åÇ= ∆ñá = ñá − ñá−N I= ∆ó à = ó à − ó à−N K= = === = Figure 189. 258

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=ÖÉåÉê~ä=êÉÖáçå=o=áë== ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫∫Ö(ñIó)Ç^ I== o [~I Ä]×[ÅI Ç] ïÜÉêÉ=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]×[ÅI Ç]=Åçåí~áåë=oI== Ö(ñIó) = Ñ (ñIó)=áÑ= Ñ (ñIó) =áë=áå=o=~åÇ= Ö(ñIó) = M =çíÜÉêïáëÉK= = = = Figure 190. = 1079. ∫∫[Ñ (ñIó)+ Ö(ñIó)]Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ + ∫∫Ö(ñIó)Ç^ = o oo = 1080. ∫∫[Ñ (ñIó)− Ö(ñIó)]Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ − ∫∫Ö(ñIó)Ç^ = o oo = 1081. ∫∫âÑ (ñIó)Ç^ = â∫∫Ñ (ñIó)Ç^ I== oo ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK= = 1082. fÑ= Ñ (ñIó) ≤ Ö(ñIó)=çå=oI=íÜÉå= ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ ≤ ∫∫Ö(ñIó)Ç^ K= oo = 1083. fÑ= Ñ (ñI ó) ≥ M =çå=o=~åÇ= p ⊂ o I=íÜÉå= 259

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ ≤ ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ K= po = = = Figure 191. = 1084. fÑ= Ñ (ñI ó) ≥ M =çå=o=~åÇ=o=~åÇ=p=~êÉ=åçå-çîÉêä~ééáåÖ= êÉÖáçåëI=íÜÉå= ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ + ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ K== o∪p o p eÉêÉ= o ∪ p =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=o=~åÇ=pK= = = = Figure 192. = = 260

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1085. fíÉê~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=~åÇ=cìÄáåá∞ë=qÜÉçêÉã= Ä è(ñ) ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫ ∫ Ñ(ñIó)ÇóÇñ == o ~ é(ñ) Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=fI== o = {(ñIó)ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é(ñ) ≤ ó ≤ è(ñ)}K= = = = Figure 193. = Ç î(ó) ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫ ∫Ñ (ñIó)ÇñÇó == o Å ì(ó) Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=ffI= o = {(ñIó)ö ì(ó) ≤ ñ ≤ î(ó)I Å ≤ ó ≤ Ç}K= = 261

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = = Figure 194. = 1086. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=oÉÅí~åÖìä~ê=oÉÖáçåë= = fÑ=o=áë=íÜÉ=êÉÅí~åÖìä~ê=êÉÖáçå= [~I Ä]× [ÅI Ç] I=íÜÉå== ∫∫Ñ (ñI ó )ÇñÇó = Ä  Ç Ñ (ñI ó )Çó Çñ = Ç  Ä Ñ (ñI ó )Çñ Çó K== o ∫ ∫ ∫ ∫ ~ Å Å ~ = få=íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ=ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ= Ñ (ñI ó) =Å~å=ÄÉ=ïêáí- íÉå=~ë= Ö(ñ)Ü(ó) =ïÉ=Ü~îÉ== ∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ö(ñ )Ü(ó )ÇñÇó =  Ä Ö(ñ )Çñ   Ç Ü(ó )Çó  K== o o ∫ ∫ ~ Å = 1087. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë= ∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ñ [ñ (ìI î )I ó (ìI î )] ∂ (ñI ó ) ÇìÇî I== ∂ (ìI î ) o p ∂(ñ I ó ) ∂ñ ∂ñ ∂(ìI î ) ïÜÉêÉ= = ∂ì ∂î ≠ M áë= íÜÉ= à~ÅçÄá~å= çÑ= íÜÉ= íê~åë- ∂ó ∂ó ∂ì ∂î Ñçêã~íáçåë= (ñIó) → (ìIî) I=~åÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=o=ïÜáÅÜ= 262

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS Å~å=ÄÉ=ÅçãéìíÉÇ=Äó= ñ = ñ(ìI î)I= ó = ó(ìI î)=áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåá- íáçå=çÑ=oK== = 1088. mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= ñ = ê Åçëθ I= ó = ê ëáå θ K== = = = Figure 195. = 1089. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= = qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇó=Ñçê=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=áë== ÇñÇó = ∂(ñ I ó ) ÇêÇθ = êÇêÇθ K== ∂(êIθ) = iÉí=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW= M ≤ Ö(θ) ≤ ê ≤ Ü(θ)I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ K== qÜÉå== β Ü(θ) ∫∫Ñ (ñIó)ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (êÅçëθIêëáåθ)êÇêÇθ K= o α Ö(θ) = 263

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = = Figure 196. = fÑ=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=íÜÉ=éçä~ê=êÉÅí~åÖäÉ=ÖáîÉå=Äó== M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ I=== íÜÉå== βÄ ∫∫ Ñ (ñI ó)ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θIê ëáå θ)êÇêÇθ K== o α~ = = = Figure 197. = = 264

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1090. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå= Ä Ñ(ñ) ^ = ∫ ∫ ÇóÇñ =EÑçê=~=íóéÉ=f=êÉÖáçåFK= ~ Ö(ñ) = = = Figure 198. = Ç è(ó) ^ = ∫ ∫ ÇñÇó =EÑçê=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçåFK= Å é(ó) = = = Figure 199. = = 265

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1091. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ= s = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ K== o = = = Figure 200. = fÑ=o=áë=~=íóéÉ=f=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ñ = ~ I= ñ = Ä I= ó = Ü(ñ) I= ó = Ö(ñ)I=íÜÉå== Ä Ö(ñ) s = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ = ∫ ∫ Ñ(ñIó)ÇóÇñ K== o ~ Ü(ñ) = fÑ=o=áë=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ó = Å I= ó = Ç I= ñ = è(ó) I= ñ = é(ó) I=íÜÉå= Ç è(ó) s = ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫ ∫ Ñ(ñIó)ÇñÇó K== o Å é(ó) = 266

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS fÑ== Ñ (ñI ó) ≥ Ö(ñI ó) ==çîÉê==~==êÉÖáçå==oI==íÜÉå==íÜÉ==îçäìãÉ==çÑ= íÜÉ= ëçäáÇ= ÄÉíïÉÉå= òN = Ñ (ñI ó)= ~åÇ= òO = Ö(ñI ó)= çîÉê= o= áë= ÖáîÉå=Äó= s = ∫∫[Ñ(ñIó)− Ö(ñIó)]Ç^ K== o = 1092. ^êÉ~=~åÇ=sçäìãÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= fÑ=p=áë=~=êÉÖáçå=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÄçìåÇÉÇ=Äó= θ = α I= θ = β I= ê = Ü(θ) I= ê = Ö(θ) I== íÜÉå== β Ö(θ) ^ = ∫∫Ç^ = ∫ ∫êÇêÇθ I== p α Ü(θ) s = ∫∫Ñ (êIθ)êÇêÇθ K== p = = = = Figure 201. 1093. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~= ∫∫p = N +  ∂ò O +  ∂ò O ÇñÇó = o  ∂ñ  ∂ó = 267

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1094. j~ëë=çÑ=~=i~ãáå~= ã = ∫∫ρ(ñIó)Ç^ I== o ïÜÉêÉ==íÜÉ==ä~ãáå~==çÅÅìéáÉë==~==êÉÖáçå==o=~åÇ==áíë==ÇÉåëáíó==~í= ~=éçáåí=EñIóF=áë= ρ(ñIó)K=== = 1095. jçãÉåíë= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ==ñ-~ñáë==áë=ÖáîÉå=Äó=Ñçê- ãìä~= jñ = ∫∫ óρ(ñIó)Ç^ K== o = qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë= jó = ∫∫ ñρ(ñIó)Ç^ K= o = qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=áë= fñ = ∫∫ óOρ(ñIó)Ç^ K== o = qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë= fó = ∫∫ ñOρ(ñIó)Ç^ K== o = qÜÉ=éçä~ê=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=áë= fM = ∫∫(ñO + óO )ρ(ñIó)Ç^ K== o = 1096. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë= ñ = jó = N ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ I== ã ã o o ∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ o 268

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ó = jñ = N ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ K== ã ã o o ∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ o = 1097. `Ü~êÖÉ=çÑ=~=mä~íÉ= n = ∫∫σ(ñI ó)Ç^ I== o ïÜÉêÉ=ÉäÉÅíêáÅ~ä=ÅÜ~êÖÉ=áë=ÇáëíêáÄìíÉÇ=çîÉê=~=êÉÖáçå=o=~åÇ=áíë= ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíó=~í=~=éçáåí=EñIóF=áë= σ(ñIó)K=== = 1098. ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=cìåÅíáçå= µ = N ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I== p o ïÜÉêÉ= p = ∫∫Ç^ K== o = = = 9.11 Triple Integral = cìåÅíáçåë=çÑ=íÜêÉÉ=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñI óIò)I= Ö(ñIóIò) I=£= qêáéäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫∫ Ñ (ñIóIò)Çs I= ∫∫∫ Ö(ñIóIò)Çs I=£= dd oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑∑ ( )ã å é Ñ ìá I î à I ï â ∆ñá∆ó à∆òâ = á=N à=N â =N pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá I= ∆ó à I= ∆òâ = iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=~I=ÄI=ÅI=ÇI=êI=ë= oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=dI=qI=p== `óäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I=ò= péÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I= ϕ = sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= 269

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS j~ëë=çÑ=~=ëçäáÇW=ã== aÉåëáíóW= µ(ñIóIò) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= jñó I= jóò I= jñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= fñó I= fóò I= fñò I= fñ I= fó I= fò I= fM = = = 1099. aÉÑáåáíáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä= qÜÉ=íêáéäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë]= áë=ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ== ãå é ∫∫∫ ( ) ∑∑∑ ( )Ñ ñI óIò ∆ñ á ∆ó à∆ò â I [~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë] Çs = äáã Ñ ìá I î à I ï â ã~ñ ∆ñ →M ã~ñ ∆ó á →M á=N à=N â =N à ( ) ã~ñ ∆òâ →M ïÜÉêÉ= ìá Iî àI ïâ =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= ( )(ñá−NI ñá )× ó à−NI ó à × (òâ−NIòâ ) I=~åÇ= ∆ñá = ñá − ñá−N I= ∆ó à = ó à − ó à−N I= ∆òâ = òâ − òâ−N K= = 1100. ∫∫∫ [Ñ(ñI óIò) + Ö(ñI óIò)]Çs = ∫∫∫ Ñ(ñI óIò)Çs + ∫∫∫ Ö(ñI óIò)Çs d dd = 1101. ∫∫∫ [Ñ (ñIóIò)− Ö(ñIóIò)]Çs = ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs − ∫∫∫ Ö(ñIóIò)Çs d dd = 1102. ∫∫∫ âÑ (ñIóIò)Çs = â∫∫∫ Ñ (ñIóIò)Çs I== dd ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK= = 1103. fÑ== Ñ (ñI óIò) ≥ M =~åÇ=d=~åÇ=q=~êÉ=åçåçîÉêä~ééáåÖ=Ä~ëáÅ= êÉÖáçåëI=íÜÉå== ∫∫∫ Ñ (ñIóIò)Çs = ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs + ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs K== d∪q d q eÉêÉ= d ∪ q =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=d=~åÇ=qK= = 270

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1104. bî~äì~íáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=Äó=oÉéÉ~íÉÇ=fåíÉÖê~äë= fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñIóIò) =ëìÅÜ=íÜ~í= = (ñI ó)∈oI χN(ñI ó) ≤ ò ≤ χO (ñI ó) I=íÜÉå== χO (ñIó)  = ∫∫∫ Ñ (ñI óIò)ÇñÇóÇò = ∫∫  ∫ Ñ (ñI óIò)Çò ÇñÇó I== d o χN(ñIó )  ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK= = fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñIóIò) =ëìÅÜ=íÜ~í= ~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN(ñ) ≤ ó ≤ ϕO(ñ)I χN(ñI ó) ≤ ò ≤ χO(ñI ó)I=íÜÉå== Ñ (ñI ó I ò )ÇñÇóÇò Ä ϕO (ñ )  χO (ñIó) óIò)Çò ÇóÇñ == ∫∫∫ ∫ ∫ ∫d = ~  (ñ )  ϕN Ñ (ñI χN(ñIó ) = 1105. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= fÑ=d=áë=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=[~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë]I=íÜÉå= ∫∫∫ Ñ (ñI ó I ò )ÇñÇóÇò = Ä Ç  ë Ñ (ñI óIò)Çò ÇóÇñ K== d ∫ ∫ ∫ ~  Å ê = få==íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ==ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ== Ñ (ñIóIò)==Å~å=ÄÉ= ïêáííÉå=~ë= Ö(ñ) Ü(ó) â(ò)=ïÉ=Ü~îÉ== ∫∫∫ Ñ (ñI ó I ò )ÇñÇóÇò =  Ä Ö(ñ )Çñ  Ç Ü(ó )Çó  ë â(ò )Çò  K== d ∫ ∫ ∫ ~ Å ê = 1106. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë= ∫∫∫ Ñ (ñIóIò)ÇñÇóÇò = = d = ∫∫∫ Ñ [ñ (ìI îI ï )I ó(ìI îI ï )I ò(ìI îI ï)] ∂(ñI óIò) ÇñÇóÇòI = p ∂(ìI îI ï) 271

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∂ñ ∂ñ ∂ñ ∂(ñ I óIò ) ∂ì ∂î ∂ï ∂(ìIîI ï) ∂ó ∂ó ∂ó ïÜÉêÉ= = = ∂ì ∂î ∂ï ≠ M ==áë==íÜÉ==à~ÅçÄá~å==çÑ= ∂ò ∂ò ∂ò ∂ì ∂î ∂ï íÜÉ= íê~åëÑçêã~íáçåë= (ñI óIò) → (ìI îI ï)I= ~åÇ= p= áë= íÜÉ= éìää- Ä~Åâ= çÑ= d= ïÜáÅÜ= Å~å= ÄÉ= ÅçãéìíÉÇ= Äó= ñ = ñ(ìI îI ï)I= ó = ó(ìI îI ï) = ò = ò(ìI îI ï)=áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=dK= == 1107. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= qÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉë=áë== ÇñÇóÇò = ∂(ñ I óI ò ) ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K== ∂(êIθIò) = iÉí=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW= (ñI ó)∈oI χN(ñI ó) ≤ ò ≤ χO (ñI ó) I= ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=qÜÉå== ∫∫∫ Ñ (ñIóIò)ÇñÇóÇò = ∫∫∫ Ñ (êÅçëθIêëáåθIò)êÇêÇθÇò = dp χO (ê ÅçëθIê ëáå θ)  = ∫∫  ∫ Ñ (êÅçëθIêëáåθIò)Çò êÇêÇθ K= o(êIθ) χN (êÅçëθIêëáåθ)  eÉêÉ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK= = 1108. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=áë== ÇñÇóÇò = ∂(ñI óIò) ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ == ∂(êI θI ϕ) = ∫∫∫ Ñ (ñIóIò)ÇñÇóÇò = = d 272

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ========= = ∫∫∫ Ñ (ê ëáåθÅçëϕIê ëáåθëáåϕIê Åçëθ) êO ëáåθÇêÇθÇϕ I== p ïÜÉêÉ=íÜÉ=ëçäáÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ëéÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇá- å~íÉëK=qÜÉ=~åÖäÉ== θ ==ê~åÖÉë==Ñêçã==M=íç== Oπ I==íÜÉ==~åÖäÉ== ϕ = ê~åÖÉë=Ñêçã=M=íç= π K== = ======= = = Figure 202. = 1109. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ= s = ∫∫∫ ÇñÇóÇò = d = 1110. sçäìãÉ=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= s = ∫∫∫ êÇêÇθÇò = p(êIθIò ) = 1111. sçäìãÉ=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= s = ∫∫∫ êO ëáåθÇêÇθÇϕ = p(êIθIϕ) = 273

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1112. j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ= ã = ∫∫∫ µ(ñIóIò)Çs I== d ïÜÉêÉ= íÜÉ= ëçäáÇ= çÅÅìéáÉë= ~= êÉÖáçå= d= ~åÇ= áíë= ÇÉåëáíó= ~í============ ~=éçáåí= (ñIóIò) =áë= µ(ñIóIò) K=== = 1113. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ= ñ = jóò I= ó = jñò I= ò = jñó I== ããã ïÜÉêÉ== jóò = ∫∫∫ ñµ(ñIóIò) Çs I== d jñò = ∫∫∫ óµ(ñIóIò) Çs I== d jñó = ∫∫∫ òµ(ñIóIò) Çs = d ~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí==íÜÉ==ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= ñ = M I= ó = M I= ò = M I=êÉëéÉÅíáîÉäóI== µ(ñI óIò) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK== = 1114. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí==íÜÉ==ñó-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI=óò-éä~åÉ== E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F= fñó = ∫∫∫ òOµ(ñIóIò) Çs I== d fóò = ∫∫∫ ñOµ(ñIóIò) Çs I== d fñò = ∫∫∫ óOµ(ñIóIò) Çs K== d = 1115. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= ( )∫∫∫fñ = fñó + fñò = òO + óO µ(ñI óIò) Çs I== d ( )∫∫∫fó = fñó + fóò = òO + ñO µ(ñIóIò) Çs I== d 274

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ( )∫∫∫fò = fñò + fóò = óO + ñO µ(ñIóIò) Çs K== d = 1116. mçä~ê=jçãÉåí=çÑ=fåÉêíá~= ∫∫∫ ( )fM = fñó + fóò + fñò = ñO + óO + òO µ(ñI óIò) Çs = d = = 9.12 Line Integral = pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= c(ñIóIò)I= c(ñIó)I= Ñ (ñ)= pÅ~ä~ê=éçíÉåíá~äW= ì(ñIóIò) = `ìêîÉëW=`I= `N I= `O = iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI= α I= β = m~ê~ãÉíÉêëW=íI=ë= srmmççÉåëäÅá~áíííêç=áî=çêÅÉ=çåÑÅáçí=ÉîçêäÉÇÇêÅëWáíW=å=çcr~ráêí(WImÉ== rëêrIàWn(=Ië=ê)IârIo==Iθ=)τr== = ^êÉ~=çÑ=êÉÖáçåW=p= iÉåÖíÜ=çÑ=~=ÅìêîÉW=i= j~ëë=çÑ=~=ïáêÉW=ã= aÉåëáíóW= ρ(ñI óIò)I= ρ(ñIó)= `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= jñó I= jóò I= jñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= fñ I= fó I= fò = sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= tçêâW=t= _r = j~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇW= `ìêêÉåíW=f= bäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉW= ε = j~ÖåÉíáÅ=ÑäìñW= ψ = 275

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1117. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= rê rê(ë) iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= = I= M ≤ ë ≤ p I=~åÇ=~=ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå=c=áë=ÇÉÑáåÉÇ=çîÉê=íÜÉ=ÅìêîÉ=`K== qÜÉå== p c(rê(ë ))Çë = ∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ cÇë I== ∫ ` M` ïÜÉêÉ=Çë=áë=íÜÉ=~êÅ=äÉåÖíÜ=ÇáÑÑÉêÉåíá~äK== = 1118. ∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë = `N ∪` O `N `O = = = Figure 203. 1119. = rê = rê(í) I= fÑ=íÜÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó= α ≤ í ≤ β I=íÜÉå== β ∫ c(ñIóIò)Çë = ∫ c(ñ(í)Ió(í)Iò(í)) (ñ′(í))O + (ó′(í))O + (ò′(í))OÇí K= `α = 1120. fÑ=`=áë=~=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ó = Ñ (ñ)I= ~ ≤ ñ ≤ Ä I=íÜÉå== Ä ∫ c(ñI ó)Çë = ∫ c(ñIÑ (ñ)) N+ (Ñ ′(ñ))O Çñ K== `~ = 1121. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= 276

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS β êO +  Çê O Çθ I==  Çθ  ∫ c(ñIó)Çë = ∫ c(êÅçëθIêëáåθ) `α ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=éçä~ê=ÑìåÅíáçå= êEθF K= = 1122. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= rê rê(ë) iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= = I= MÇrê≤ ë≤ p K=qÜÉå== βI Åçë γ)== = rτ Çë = (Åçë αI Åçë áë=íÜÉ=ìåáí=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=äáåÉ=íç=íÜáë=ÅìêîÉK== = = = Figure 204. =iqÉÜíÉ=å~==íîÜÉÉÅ=íäçáåêÉ= =ÑááåÉäíÇÉ=Öêcr~(äm=çInÑ=íIÜoÉ)==îáÉëÅ=íÇçÉêÑ=áÑåáÉÉäÇÇ==çcrî=É~êä=çíåÜÖÉ==íÅÜìÉê=ÅîìÉ=ê`îÉK== `=áë== p ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ∫ (mÅçëα + nÅçëβ + oÅçë γ)Çë K= `M = = 277

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ( ) ( )1123. m∫êçcré⋅ ÇÉêrêíáÉ=ë−=ç∫Ñ=icrá⋅åÇÉrê=fåI=í=ÉÖê~äë=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇë= −` ` ïÜÉêÉ=-`=ÇÉåçíÉ==íÜÉ=ÅìêîÉ=ïáíÜ=íÜÉ=çééçëáíÉ=çêáÉåí~íáçåK= ∫ (cr ⋅ Çrê)= ∫ (cr ⋅ Çrê ) = ∫ (cr = ∫ (cr ⋅ )Çrê I== )⋅ Çrê + ` `N ∪ `O `N `O ïÜÉêÉ=`=áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=ÅìêîÉë= `N=~åÇ= `O K== 1124. = rê(í) = ñ(í )I ó(í )I ò(í ) I= fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó= α ≤ í ≤ β I=íÜÉå== ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = = ` = β  m(ñ (í )I ó (í )I ò(í )) Çñ + n(ñ (í )I ó (í)I ò(í )) Çó + o(ñ (í )I ó(í )I ò (í )) Çò Çí  Çí Çí Çí  ∫ α = 1125. fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=~åÇ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ó = Ñ (ñ)I= íÜÉå== ∫ mÇñ + nÇó = Ä  m(ñI Ñ (ñ )) + n(ñ I Ñ (ñ )) ÇÑ Çñ K==  Çñ  ` ∫ ~ = 1126. dêÉÉå∞ë=qÜÉçêÉã= ∫∫  ∂n − =∂∂móm(ñÇIñóÇ)órá = ∫ mÇñ + nÇó I== ∂ñ cr + ` o )rà n(ñ ïÜÉêÉ= I ó = áë= ~= Åçåíáåìçìë= îÉÅíçê= ÑìåÅ- íáçå=ïáíÜ==Åçåíáåìçìë==Ñáêëí=é~êíá~ä==ÇÉêáî~íáîÉë= ∂m I= ∂n =áå=~= ∂ó ∂ñ ëçãÉ= Ççã~áå= oI= ïÜáÅÜ= áë= ÄçìåÇÉÇ= Äó= ~= ÅäçëÉÇI= éáÉÅÉïáëÉ= ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`K== = = 278

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1127. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=o=_çìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=`ìêîÉ=`= p = ∫∫ ÇñÇó = N ∫ ñÇó − óÇñ = O o ` = 1128. m~íÜ=fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë= cr mrá nrà oâr qÜÉ= äáåÉ= áåíÉÖê~ä= çÑ= ~= îÉÅíçê= ÑìåÅíáçå= = + + = áë= ë~áÇ= íç= ÄÉ= é~íÜ= áåÇÉéÉåÇÉåíI= áÑ= ~åÇ= çåäó= áÑ= mI= nI= ~åÇ= o= ~êÉ= Åçåíáåìçìë= áå= ~= Ççã~áå= aI= ~åÇ= áÑ= íÜÉêÉ= Éñáëíë= ëçãÉ= ëÅ~ä~ê= ÑìåÅíáçå== ì = ì(ñI óIò)==E~==ëÅ~ä~ê==éçíÉåíá~äF==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í= cr = Öê~Ç ì I=çê= ∂ì = m I= ∂ì = n I= ∂ì = o K== ∂ñ ∂ó ∂ò q∫ cÜr(Érêå)=⋅= Çrê = ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_) − ì(^)K== `` = 1129. Ñ^qáÉÉ=îäëÇÉí=ÅKÑ=íçqçêÜê=~=ÉÑ==á`äÉáåäçÇÉå==çëáåÉÑ=êííîÉÜÖ~Éêí=á~ÑîçäÉ=êç=ãcÑ=á~=Éc=räîÇ=É=ÅÖíçê~êÇ=Ñììå=Åáëí=áÅç~åää=ÉcrÇ==~m=Åráçå+ënÉêràî+~íoáîârÉ== áë=é~íÜ=áåÇrá ÉéÉåràÇÉåíâr=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== Åìêä cr = ∂ ∂ ∂ = Mr K== ∂ñ ∂ó ∂ò mno = fÑ=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=áå=ñó-éä~åÉ=ëç=íÜ~í== ∫ mÇñ + nÇó = ì(_) − ì(^) I== ` íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñçê=ÇÉíÉêãáåáåÖ=áÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=áë=ÅçåëÉêî~íáîÉ= Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=íÜÉ=Ñçêã== ∂m = ∂n K== ∂ó ∂ñ = 279

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1130. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ= ∫ ∫ ∫i = Çë = β Çrê (í)Çí = β  Çñ  O  Çó  O  Çò  O  Çí   Çí   Çí  ` α Çí + + Çí I= α íïáçÜåÉê=îÉÉ=`Åí=çá~ê==~rê=(éíá)ÉIÅ= αÉï≤áëíÉ≤=ëãβ Kç= çíÜ=ÅìêîÉ=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=éçëá- = fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íïç-ÇáãÉåëáçå~äI=íÜÉå= ∫ ∫ ∫i = Çë = β Çrê (í)Çí = β  Çñ  O +  Çó  O Çí K== ` α Çí  Çí   Çí  α = fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ=~=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ)=áå=íÜÉ=ñó- éä~åÉ= (~ ≤ ñ ≤ Ä)I=íÜÉå== ∫Ä  Çó  O  Çñ  i= N+ Çñ K== ~ = 1131. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= ∫β  Çê  O  Çθ  i= + êO Çθ I== α ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ê = ê(θ) I= α ≤ θ ≤ β =áå=éçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëK=== = 1132. j~ëë=çÑ=~=táêÉ= ã = ∫ ρ(ñI óIò)Çë I== ` ïÜÉêÉ= ρ(ñI óIò)=áë=íÜÉ=ã~ëë=éÉê=ìåáí=äÉåÖíÜ=çÑ=íÜÉ=ïáêÉK= = frêÑ(=í`)==áë=~ñ=(Åíì)IêîóÉ(í=é)I~òê(~íã) ÉI=í=êíÜáòÉÉåÇ===ÄíÜóÉ=í==ÜãÉ=~îëÉëÅ==íÅç~êå=Ñ=ì=ÄåÉÅ==íÅáççãå éìíÉÇ=Äó= íÜÉ=Ñçêãìä~= 280

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS β  Çñ  O +  Çó  O +  Çò  O  Çí   Çí   Çí  ã = ∫ ρ(ñ(í)I ó(í)Iò(í)) Çí K== α = fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=áå=ñó-éä~åÉI=íÜÉå=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=ïáêÉ=áë=ÖáîÉå= Äó== ã = ∫ ρ(ñI ó)Çë I= ` çê= β  Çñ  O +  Çó  O Çí =Eáå=é~ê~ãÉíêáÅ=ÑçêãFK=  Çí   Çí  ã = ∫ ρ(ñ(í)I ó(í)) α = 1133. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=táêÉ= ñ = jóò I= ó = jñò I= ò = jñó I= ããã ïÜÉêÉ== jóò = ∫ ñρ(ñI óIò)Çë I== ` jñò = ∫ óρ(ñI óIò)Çë I== ` jñó = ∫ òρ(ñI óIò)Çë K= ` = 1134. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~= qÜÉ= ãçãÉåíë= çÑ= áåÉêíá~= ~Äçìí= íÜÉ= ñ-~ñáëI= ó-~ñáëI= ~åÇ= ò-~ñáë= ~êÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~ë= ( )∫fñ = ó O + òO ρ(ñI óIò)Çë I== ` ( )∫fó = ñ O + òO ρ(ñI óIò)Çë I== ` ( )∫fò = ñ O + óO ρ(ñI óIò)Çë K== ` = 281

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1135. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ= p = ∫ ñÇó = −∫ óÇñ = N ∫ ñÇó − óÇñ K== ` O ` ` = = = Figure 205. = frêÑ(=íí)Ü=É=Åñäç(ëíÉ)IÇó=(Åíì)êîI=Éí=Ü`É=åáë==íÖÜáÉî=É~åê=Éá~å==Åé~~åê=~ÄãÉ=ÉÅí~êäáÅÅì=Ñäç~êíãÉÇ==Äó=íÜÉ=Ñçê- ãìä~= p = β ñ(í) Çó Çí = β ó(í) Çñ Çí = N β  ñ(í) Çó − ó(í) Çñ Çí K== Çí Çí O  Çí  ∫ −∫ ∫ Çí α α α = 1136. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=cçêãÉÇ=Äó=oçí~íáåÖ=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ= ~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë= ∫ ∫ ∫s = −π óOÇñ = −Oπ ñóÇó = − π OñóÇó + óOÇñ == ` ` O` = 282

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS = = Figure 206. = 1137. tçêâ= cr tçêâ=ÇçåÉ=Äó=~=ÑçêÅÉ= =çå=~å=çÄàÉÅí=ãçîáåÖ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ= `t=áë==Ö∫áîcrÉ⋅åÇ=rêÄIó==íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä= ` cr = áë= íÜÉ=îÉÅíçê=ÑçêÅÉ= ÑáÉäÇ= ~ÅíáåÖ= çå= íÜÉ= çÄàÉÅíI= Çrê =áë= ïÜÉêÉ= íÜÉ=ìåáí=í~åÖÉåí=îÉÅíçêK== = = Figure 207. 283

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ftÑ=íÜ=É∫=çcrÄ⋅àÇÉrêÅí==áë∫=ãmÇçñîÉ+Çn=~ÇäçóåI=Ö==~=ÅìêîÉ=`=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉI=íÜÉå= `` = fÑ= ~= é~íÜ= `= áë= ëéÉÅáÑáÉÇ= Äó= ~= é~ê~ãÉíÉê= í= Eí= çÑíÉå= ãÉ~åë= íáãÉFI=íÜÉ=Ñçêãìä~=Ñçê=Å~äÅìä~íáåÖ=ïçêâ=ÄÉÅçãÉë= t = β m(ñ(í)I ó(í)Iò(í)) Çñ + n(ñ(í)I ó(í)Iò(í)) Çó + o(ñ(í)I ó(í)Iò(í)) Çò ÇíI Çí Çí Çí ∫ α ïÜÉêÉ=í=ÖçÉë=Ñêçã= α =íç= β K== = ~= îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= cr = áë= ÅçåëÉêî~íáîÉ= ~åÇ= ì(ñI óIò ) = áë= ~= ëÅ~ä~ê= fÑ= éçíÉåíá~ä= çÑ= íÜÉ= ÑáÉäÇI= íÜÉå= íÜÉ= ïçêâ= çå= ~å= çÄàÉÅí= ãçîáåÖ= Ñêçã=^=íç=_=Å~å=ÄÉ=ÑçìåÇ=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~= t = ì(_)− ì(^)K== = 1138. ^∫ _ãr ⋅éÇÉrêêÉ=∞ëµ=iMf~Kï=== ` _r =~êçìåÇ=~=ÅäçëÉÇ=é~íÜ= qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ã~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇ= `= áë= Éèì~ä= íç= íÜÉ= íçí~ä= ÅìêêÉåí= f= ÑäçïáåÖ= íÜêçìÖÜ= íÜÉ= ~êÉ~= ÄçìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=é~íÜK== = Figure 208. = 284

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1139. c~ê~Ç~ó∞ë=i~ï= ∫ br ⋅ Çrê ε = = − Çψ = ` Çí = qÜÉ= ÉäÉÅíêçãçíáîÉ= ÑçêÅÉ= EÉãÑF= ε = áåÇìÅÉÇ= ~êçìåÇ= ~= ÅäçëÉÇ= äççé=`=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~åÖÉ=çÑ=ã~ÖåÉíáÅ=Ñäìñ= ψ = é~ëëáåÖ=íÜêçìÖÜ=íÜÉ=äççéK=== = = = Figure 209. = = = 9.13 Surface Integral = rmpÅçå~ëáäáí~í=áêîç=ÉÑåìÅí=åîçÅÉêíÅëáíWç=çåráêëëI=WW==ràÑrêI((=ñìârII=óîI)òI)= rêI=(òñ(IñóIIóò))== pìêÑ~ÅÉW=p= cr (mInI o) = sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Çáî cr = ∇ ⋅ cr = 285

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS s`kìÉçÅêêíäãç=çê~Ñ==äÉ~=äí=Éçîã=ÉëÅìÉíåêçÑíê~==çÅÑáÉÑÉ=W~ä=Ç=årëWì==ÅêìÑ~êÅäÉcrW==Çp∇r =× cr == pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=^= j~ëë=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW=ã= aÉåëáíóW= µ(ñIóIò) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= jñó I= jóò I= jñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= fñó I= fóò I= fñò I= fñ I= fó I= fò = scççêäÅìÉãW=Écr=ç= Ñ=~=ëçäáÇW=s= cdäêì~áîÇá=íî~ÉíäáççÅåá~íóä=WÅ=çîrå(rêë)í~= åíW=d= cmäêìÉáëÇëì=ÇêÉÉåW=ëéáí(órêW)==ρ = j~ëë=ÑäìñI=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñW= Φ = pìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉW=n= `Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñIó)= br = j~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇW= = = 1140. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= irê(Éìí=I~î=ë)ì=êñÑ~(ÅìÉI=îp)=Ärá É+=Öóáî(ìÉIåî=Ä)ràó=+íÜòÉ(ì=éIçîë)áâríáIç==å=îÉÅíçê= ïÜÉêÉ= (ìI î) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìIî)= çÑ= íÜÉ= ìî- éä~åÉK= qÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==áåíÉÖê~ä==çÑ==~==ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå== Ñ (ñI óIò)=çîÉê= íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÇÉÑáåÉÇ=~ë== ó(ìI î)Iò(ìI î)) ∂rê × ∂rê ÇìÇî I== ∫∫Ñ (ñI óIò)Çp = ∫∫ Ñ(ñ(ìI î)I ∂ì ∂î ∂rê =~åÇ= ∂rê =~êÉ=ÖáîÉå=Äó== p a(ìIî) ∂ì ∂î ïÜÉêÉ=íÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= 286

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∂rê = ∂ñ (ìI î )rá + ∂ó (ìI î )rà + ∂ò (ìI î )âr I== ∂∂ìrê = (ìI î )rá + ∂ì ∂ì = ∂ì ∂ó (ìIî)rà + ∂ò (ìIî)âr ∂ñ ∂î ∂∂rêî × ∂rê ∂î ∂î ~åÇ= =áë=íÜÉ=Åêçëë=éêçÇìÅíK== ∂ì ∂î = 1141. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó==íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò(ñIó) =ïÜÉêÉ= ò(ñIó)==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå=íÜÉ=Ççã~áå= a(ñI ó) I= íÜÉå== ∫∫ Ñ (ñI óIò)Çp = ∫∫ Ñ(ñI óIò(ñI ó)) N+  ∂ò  O +  ∂ò  O ÇñÇó K==  ∂ñ  ∂ó p a(ñIó) 1142. = cr =çîÉê=íÜÉ=pìêÑ~ÅÉ=p= pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= • f∫Ñ∫=pcr=(áñë=IçóêIáòÉ)å⋅íÇÉprÇ==çì∫∫íïcr(~ñêÇIóI=IíòÜ)É⋅åår=Ç= p = ===== p = ∫∫ p î )I ó(ìI î )I ò (ìI î ))⋅  ∂rê × ∂rê ÇìÇî K==  ∂ì ∂î ====== a(ìIî cr(ñ(ìI ) = • f∫Ñ∫=pcr=(áñë=IçóêIáòÉ)å⋅íÇÉprÇ==áå∫ï∫~crê(ÇñII=óíÜIòÉ)å⋅=å=rÇp = ===== p = ∫∫ p î )I ó(ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ∂rê × ∂rê ÇìÇî K==  ∂î ∂ì ====== a(ìIî cr(ñ(ìI ) =Çpr = årÇp ==áë==Å~ääÉÇ==íÜÉ==îÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉK==açí= qãÜÉÉ~=åéë~=ê=ííáÜ~Éä==Ç=ÉëÅêá~îä~~êíá=î= éÉëê=ç∂ÇrêìÅ=~íå= =Çç=Ñ==∂= írêÜ=É~=ê=É~=éÖáéîêÉçåé=Äêáó~=í=É= = îÉÅíçêëK= ∂ì ∂î 287

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∂rê = ∂ñ (ìIî)⋅ rá + ∂ó (ìI î )⋅ rà + ∂ò (ìI î )⋅ âr I== ∂∂ìrê = (ìIî)⋅ rá + ∂ì + ∂ì ∂ì ∂ó (ìIî)⋅ rà ∂ò (ìIî)⋅ âr K== ∂ñ ∂î ∂î ∂î ∂î = 1143. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò(ñIó) I=ïÜÉêÉ= ò(ñIó)==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå==íÜÉ=Ççã~áå= a(ñIó)I= íÜÉå== • fÑ= p= áë= çêáÉåíÉÇ= ìéï~êÇI= áKÉK= íÜÉ= â-íÜ= ÅçãéçåÉåí= çÑ= íÜÉ= =====å∫∫çcrêã(ñ~Ióä=îIòÉ)Å⋅íÇçprê=á=ë=∫é∫çcrë(áñíáIîóÉIIò=í)Ü⋅ÉåråÇ=p== = pp ∫∫====== = cr(ñI óIò)⋅  − ∂ò rá − ∂ò rà + âr ÇñÇó I== ∂ñ ∂ó a( ñ Ió ) = • fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=Ççïåï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â-íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ= =====å∫∫çcrêã(ñ~Ióä=îIòÉ)Å⋅íÇçprê=á=ë=∫å∫ÉcrÖ(~ñíIáîóÉIòI=í)Ü⋅ årÉåÇp=== pp ∫∫====== = cr(ñI óIò)⋅  ∂ò rá + ∂ò rà − âr ÇñÇó K== ∂ñ ∂ó a( ñ Ió ) ( )= cr ⋅ år Çp = ∫∫mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = 1144. ∫∫ pp = ∫∫(mÅçëα + n Åçëβ + o Åçë γ)Çp I== p ïÜÉêÉ= m(ñIóIò) I= n(ñIóIò) I= o(ñIóIò) =~êÉ=íÜÉ=ÅçãéçåÉåíë=çÑ= íÜÉ=îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= cr K== åÅççëêαãI~=ä=ÅîçÉëÅβíçI=ê=Åårç=ë~γå=Ç=~=êíÉÜ=ÉíÜ=ñÉ-=~~ñåáëÖIä=Éóë-=~ÄñáÉëíIï=~ÉåÉÇå==òíÜ-~Éñ=çáëìI=íêÉÉêë=ìéåÉÅáíí=- áîÉäóK= = 288

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 1145. frêÑ(=ñíÜ(ìÉ=Iëîì)êIÑó~(ÅìÉI=îp)=áIëò=(ÖìáîIîÉå))=Iá=å=í=ÜéÉ~åê~==ãíÜÉÉí=ê=äá~Åí=íÑçÉêê=ãÑç=êÄãó=ìíÜä~É==Åî~ÉåÅ=íÄçÉê== ïêáííÉå=~ë== ( )∫∫ ∫∫ ∫∫cr ⋅år Çp = mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = mno ∂ñ ∂ó ∂ò ÇìÇîI ∂ì ∂ì ∂ì pp a(ìIî ) ∂ñ ∂ó ∂ò ∂î ∂î ∂î ïÜÉêÉ= (ìIî) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìIî)= çÑ= íÜÉ= ìî- éä~åÉK= = ( )1146. a∫∫ácîrÉ⋅êÇÖprÉå=Å∫É∫=q∫ Ü∇Éç⋅ crêÉÇãs= I== pd ïcr(ÜñÉIêóÉI=ò= ) = m(ñIóIò)I n(ñIóIò)I o(ñIóIò) === áë==~==îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ==o==Ü~îÉ== Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI== ∇ ⋅ cr = ∂m + ∂n + ∂o == ∂ñ ∂ó ∂ò áë==íÜÉ==ÇáîÉêÖÉåÅÉ==çÑ== cr I==~äëç==ÇÉåçíÉÇ== Çáîcr K==qÜÉ==ëóãÄçä= ∫∫ =áåÇáÅ~íÉë==íÜ~í=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=~=ÅäçëÉÇ= ëìêÑ~ÅÉK== = 1147. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= ∫∫ mÇóÇò + nÇñÇò + oÇñÇó = ∫∫∫  ∂m + ∂n + ∂o ÇñÇóÇò K== d ∂ñ ∂ó ∂ò p = ( )1148. p∫ícrç⋅âÇÉrê∞ë==q∫Ü∫Éç∇ê×Éãcr =⋅ Çpr I== `p 289

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ïcr(ÜñÉIêóÉI=ò= ) = m(ñIóIò)I n(ñIóIò)I o(ñIóIò) === áë= = ~= îÉÅíçê= = ÑáÉäÇ= = ïÜçëÉ= = ÅçãéçåÉåíë= = mI= = nI= = ~åÇ= o= = Ü~îÉ= Åçåíáåìçrìá ë=é~rêàíá~ä=ÇârÉêáî~íáîÉëI== rá rà âr ∇ × cr = ∂  ∂ñ ∂ ∂ =  ∂o − ∂n +  ∂m − ∂o +  ∂n − ∂m m ∂ñ ∂ñ ∂ó ∂ò  ∂ò ∂ñ ∂ñ ∂ó n o áë=íÜÉ=Åìêä=çÑ= cr I=~äëç=ÇÉåçíÉÇ= Åìêä cr K== qÜÉ=ëóãÄçä== ∫ =áåÇáÅ~íÉë=íÜ~í=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê= ~=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉK== = 1149. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ` = ∫∫  ∂o − ∂n ÇóÇò +  ∂m − ∂o ÇòÇñ +  ∂n − ∂m ÇñÇó ∂ó ∂ò  ∂ò ∂ñ  ∂ñ ∂ó p == 1150. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~= ^ = ∫∫Çp = p = 1151. frêÑ(=ìíÜIîÉ=)ë=ìêñÑ~(ìÅÉIî=p)=rááë+=éó~(êì~Iãî)ÉràíÉ+êáòò(ÉìÇI=îÄ)óâr=íIÜ==É=îÉÅíçê== ∫∫í^ÜÉ=å=íÜÉ=ë∂ìrêêÑ×~Å∂Érê=~ÇêìÉ~Ç=îáëI==== rê (ìI î ) =áë= a(ìIî) ∂ì ∂î ïÜÉêÉ== a(ìIî)==áë==íÜÉ==Ççã~áå==ïÜÉêÉ==íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ÇÉÑáåÉÇK== = 290