STAT300_M7

Módulo 7: Estimación STAT 300

Objetivos de aprendizaje En esta unidad aprenderemos a: ▪ Construir e interpretar intervalos de confianza estimados para la media y proporción. ▪ Determinar el tamaño de muestra necesario para desarrollar un intervalo de confianza estimado para la media o proporción. 2

Estimadores puntuales y de intervalo ▪ Un estimador puntual es un número singular, ▪ Un intervalo de confianza provee información adicional sobre la variabilidad del estimador Límite de confianza Límite de confianza inferior superior Estimador puntual Ancho del intervalo

Estimadores puntuales Se puede estimar Con un estadígrafo parámetro poblacional… muestral Media μ (estimador puntual) Proporción ������ ഥX p

Intervalos de confianza ▪ Responden a la interrogante de cuánta incertidumbre se asocia a un estimados puntual de un parámetro poblacional ▪ Un estimador de intervalo provee más información sobre la característica poblacional que un estimador puntual. ▪ Los estimadores de intervalos se conocen como intervalos de confianza.

Intervalos de confianza ▪ Un intervalo provee un rango de valores: o Considera la variación en el estadígrafo muestral por cada muestra o Basado en observaciones de una (1) muestra o Provee información sobre la cercanía a parámetros poblacionales desconocidos o Se presentan en términos de niveles de confianza • 95% confianza, 99% confianza • NUNCA es 100% de confiable

Intervalo de confianza: ejemplo Población tiene µ = 368 y σ = 15. 15 Si se toma una muestra, n = 25, entonces 368 ± 1.96 25 = (362.12, 373.88) contiene el 95% de las medias muestrales ▪ Cuando se desconoce µ, se utiliza Xഥ para aproximar µ o Si X = 362.3 el intervalo es 362.3 ± 1.96 15 = (356.42, 368.18) 25 o Como 356.42 ≤ µ ≤ 368.18 el intervalo se basa en la muestra, representa correctamente µ. Si el intervalo contiene el valor del parámetro poblacional, hace una buena representación.

Fórmula general Estimador puntual ± (Valor crítico)(Error estándar) Donde, Estimador puntual es el estadígrafo muestral que estima el parámetro poblacional. Valor crítico es un valor de la tabla a base de la distribución de muestreo del estimador puntual al nivel de confianza deseado. Error estándar es la desviación estándar del estimador puntual.

Nivel de confianza, (1-) ▪ Contiene el parámetro poblacional desconocido ▪ Se expresa porcentualmente y es menor que 100% ▪ Si el nivel de confianza es = 95% (1- ), entonces  = 0.05 ▪ Significa que 95% de todos los intervalos de confianza que se pueden construir, tendrán el verdadero parámetro desconocido ▪ Un intervalo específico puede contener o no contener el verdadero parámetro

Intervalo de confianza para μ (σ conocida) ▪ Supuestos o Se conoce la desviación estándar de la población σ i o Población normalmente distribuida o Si la población no es normal, utilizar muestra de tamaño grande ▪ Estimador del intervalo de confianza: X  Zα/2 σ n Donde, X es el estimador puntual de /2 en cada cola Zα/2 es el valor crítico de la distribución normal para una probabilidad es el error estándar σ/ n

Valor crítico, Zα/2 Zα/2 = 1.96 ▪ Considere 95% intervalo d(1e- c)o=0n.f9i5a,nz=a0:.05 α = 0.025 α = 0.025 2 2 Z units: Zα/2 = -1.96 0 Zα/2 = 1.96 X unidades: Límite de Estimador puntual Límite de confianza confianza inferior superior Desarrollado por Profesora Sylvia Y. Cosme Montalvo, MBA

Niveles de confianza comunes Los niveles de confianza comúnmente utilizados son: 90%, 95% y 99% Nivel de Coeficiente de Valor Zα/2 confianza confianza, 1.28 80% 1−  1.645 90% 1.96 95% 0.80 2.33 98% 0.90 2.58 99% 0.95 3.08 99.8% 0.98 3.27 99.9% 0.99 0.998 0.999

Ejemplo X  Zα/2 σ n ▪ Una muestra de 11 empleados, de una población grande = 2.20  1.96 (0.35/ 11) normalmente distribuida, cuenta con 2.2 días de vacaciones = 2.20  0.2068 acumuladas mensualmente. Se 1.9932  μ  2.4068 conoce por experiencia que la desviación estándar de las Interpretación: vacaciones de la población es 0.35 días. Se está 95% confiado que la media real de días de vacaciones ▪ Determine un intervalo de mensuales acumulados de la confianza de 95% para la media población está entre 1.9932 and real de la población de días de 2.4068. Aunque la verdadera media vacaciones acumulados podría estar o no estar en el intervalo, el 95% de los intervalos sí mensualmente. la contienen

Intervalo de confianza para μ (σ desconocida) ▪ Si la desviación estándar σ se desconoce, se puede sustituir la desviación estándar de la muestra, s. ▪ Se tiene mayor incertidumbre ya que s, es variable de muestra a muestra. ▪ En estos casos, se utiliza la distribución t o Supuestos • Se desconoce desviación estándar de la población • Población normalmente distribuida • Si la población no es normal, utilizar muestra grande o Estimador del intervalo de confianza: S n X  tα / 2 (donde tα/2 es el valor crítico de la distribución t con n -1 grados de libertad y área de α/2 en cada cola)

Distribución t, Student ▪ La t se refiere a la familia de distribuciones ▪ El valor tα/2 depende de los grados de libertad (g.l.) o g.l. = n-1 es el número de observaciones que quedan libres de variar luego que se calcula la media de la muestra. o Ejemplo: Suponga que la media de 3 números es 8.0 Sea X1 = 7, X2 = 8, X3 = ? Si la media es 8.0, entonces X3 = 9 n = 3, por lo que el grado de libertad = n – 1 = 3 – 1 = 2 (2 valores pueden ser cualesquiera números, pero el tercer valor no es libre de variar para una media dada)

Distribución t, Student Note: t se acerca a Z a medida que n aumenta Normal estandardizada (t con g.l. = ∞) Tienen forma acampanada t (g.l. = 13) y son simétricas con colas t (g.l. = 5) menos finas que la normal 0t

Tabla distribución t, Student Área cola superior Sea: n = 3 g.l. = n - 1 = 2 g.l. .10 .05 0.025  = 0.10 1 3.078 6.314 12.706 /2 = 0.05 2 1.886 2.920 4.303 /2 = 0.05 3 1.638 2.353 3.182 0 2.920 t Cuerpo de la tabla presenta valores t, no probabilidades

Ejemplo de intervalo de confianza de distribución t Una muestra aleatoria n = 25 tiene media = 50 y s = 8. Construya un intervalo al 95% de confianza para μ. g.l. = n – 1 = 24, por tanto, tα/2 = t 0.025 = 2.0639 El intervalo de confianza es: X  tα/2 S = 50  (2.0639) 8 n 25 46.698 ≤ μ ≤ 53.302

Idnetelarvpaolobsladceiócno,nπfianza para la proporción ▪ Un estimador de intervalo para la proporción de la población π, se puede calcular sumando una provisión por incertidumbre a la proporción de la muestra ( p ). ▪ Recordando que la distribución de la proporción muestral se aproxima a una normal si el tamaño de la muestra es grande y la desviación estándar es:  (1−  ) σp = n ▪ Se estima con datos muestrales: p(1− p) n Desarrollado por Profesora Sylvia Y. Cosme Montalvo, MBA

Extremos del intervalo de confianza ▪ Las fronteras del intervalo de confianza inferior y superior para la proporción de la población se calcula con la fórmula p  Zα/2 p(1 − p) n ▪ Donde, o Zα/2 es el valor estándar normal para el nivel de confianza deseado o p proporción de la muestra o n tamaño de la muestra

Ejemplo ▪ Una muestra aleatoria de 100 individuos demuestra que 25 son izquierdos. ▪ Desarrolle un intervalo de confianza al 95% para la proporción real de izquierdos np = 100 * 0.25 = 25 > 5 y n(1-p) = 100 * 0.75 = 75 > 5 Debe asegurarse que la muestra p  Z/2 p(1 − p)/n es los suficientemente grande = 25/100  1.96 0.25(0.75)/100 = 0.25  1.96 (0.0433) 0.1651    0.3349 Se tiene un 95% de confianza que el porcentaje verdadero de izquierdos en la población está entre 16.51% y 33.49%. Aunque el intervalo [0.1651, 0.3349] puede o no contener la proporción verdadera, 95% de los intervalos formados de las muestras de tamaño 100 contienen la verdadera proporción.

Error de muestreo ▪ El tamaño de muestra requerido se puede encontrar para obtener un margen de error (e) deseado con un nivel de confianza especificado (1 - ). ▪ El margen de error también se conoce como error de muestreo: o Cantidad de imprecisión en el estimado del parámetro poblacional. o Cantidad sumada y restada del estimador puntual para construir el intervalo de confianza.

Determinación del tamaño de la muestra ▪ Para determinar el tamaño de muestra requerido para la media: 1. Se debe conocer el nivel de confianza (1 - ), que determina el valor crítico, Zα/2 2. Se debe conocer el error de muestreo aceptable, e 3. Se debe conocer la desviación estándar, σ

Tamaño de la muestra requerido: ejemplo Si  = 45, encuentre el tamaño de la muestra para estimar la media a ± 5 con 90% de confianza n = Z2 σ2 = (1.645)2 (45)2 = 219.19 e2 52 Por tanto, n = 220 Siempre se redondea

Si σ es desconocida ▪ Si se desconoce, σ se puede estimar al determinar el tamaño de muestra requerido o Use un valor para σ que se espera sea por lo menos tan grande como la verdadera σ. o Seleccione una muestra piloto y estime σ la desviación estándar de la muestra, s. ▪ Para determinar el tamaño de la muestra para una proporción: o Debe saber nivel de confianza (1 - ), que determina el valor crítico, Zα/2 o Debe conocer el error de muestreo aceptable, e o Debe saber la proporción real de eventos de interés, π o π puede estimarse con muestra piloto de ser necesario (o conservadoramente utilice 0.5 como estimador de n)

Determinación del tamaño de la muestra ▪ Para determinar el tamaño de muestra requerido para la proporción, debe conocer: o El valor deseado de confianza (1 - ), que determina el valor crítico, Zα/2 o El error de muestreo aceptable, e o La proporción verdadera de los eventos de interés, π • π puede estimarse con una muestra piloto, de ser necesario o puede utilizar 0.5 como un estimado conservador.

Tamaño de muestra requerido: ejemplo Determine tamaño de muestra necesario para estimar la proporción verdadera de defectos en una población grande dentro un intervalo ±3%, con un nivel de confianza de 95% (Asuma muestra piloto, p = 0.12) Respuesta: Para 95% de confianza, Zα/2 = 1.96 e = 0.03 p = 0.12 (se utiliza p para estimar π) n= Z/2 2 π (1 − π) = (1.96)2(0.12)(1 − 0.12) = 450.74 Por tanto, n = 451 e2 (0.03)2

Aspectos éticos 1. Un estimador de un intervalo de confianza que refleja un error de muestreo, debe incluirse SIEMPRE que se reporte un estimador puntual. 2. El nivel de confianza SIEMPRE debe informarse. 3. El tamaño de la muestra debe informarse. 4. SIEMPRE debe proveerse una interpretación del estimador del intervalo de confianza.

Resumen En esta unidad, aprendimos a: 1. Crear estimadores puntuales. 2. Crear estimadores de intervalos de confianza para la media cuando se conoce σ. 3. Crear estimadores de intervalos de confianza para la media cuando se desconoce σ. 4. Desarrollar estimadores de intervalos de confianza para una proporción. 5. Calcular el tamaño de muestra requerido para la media y proporción de los estimadores del intervalo de confianza con un margen de error deseado. 6. Considerar aspectos éticos en la estimación de intervalos de confianza.

Recursos para repaso de conceptos y prácticas ▪ Elorza, A. (2008). Estadística para Ciencias Sociales del comportamiento y de la salud. México: Cengage Leasing Editores https://www.uv.mx/rmipe/files/2015/09/Estadistica-para-las-ciencias-sociales-del- comportamiento-y-de-la-salud.pdf ▪ Pérez Juste, R. (2012). Estadística aplicada a las Ciencias Sociales. Madrid: Universidad Nacional de Educación a Distancia ▪ Berenson, Levine & Szabat, (2015). Basic Business Statistics. 13th Edition. Pearson. ISBN-10: 0133869466, ISBN-13: 978-0133869460 ▪ Estimación o https://www.youtube.com/watch?v=2wugQGs1GNY o https://www.youtube.com/watch?v=Pco0bNME-Ho o https://www.youtube.com/watch?v=yf1R1hgQOzk o https://www.youtube.com/watch?v=qQeTW20tmPI o https://www.youtube.com/watch?v=BKlM9nPFkNI

¡Felicitaciones ha revisado el resumen teórico del tema de esta semana! Recuerde que para construir exitosamente su aprendizaje es importante que: Repase cuantas veces requiera la información contenida en la carpeta de módulos (incluye esta presentación). Lea el material de referencia para aclarar dudas. Desarrolle todas las actividades según consta en las instrucciones. Envíe las tareas en la fecha indicada a través de la plataforma educativa. Participe activamente en las sesiones colaborativas.