แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม เร่ือง การวดั การกระจายของข้อมูล ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 นายปรวรรต ศักดิพ์ รหม ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครปู ฏบิ ตั ิการ โรงเรียนพระปรยิ ัติธรรมสามญั วัดสระเรยี ง สานักงานเขตการศึกษาพระปรยิ ตั ธิ รรม แผนสามัญศกึ ษา เขต 2
ใบความรู้ที่ 15 เรอ่ื ง พสิ ัย ผลการเรยี นร้ทู ่คี าดหวงั นกั เรียนสามารถหาพิสยั ของขอ้ มูลท่กี าํ หนดให้ได้ การวดั การกระจายของข้อมูล ในการศกึ ษาการวดั การกระจายของขอ้ มลู นนั้ เราจะศึกษาใน 2 รปู แบบใหญค่ อื 1. การวดั การกระจายสมั บูรณ์ เปน็ การวัดการกระจายของขอ้ มลู เพยี งชดุ เดยี ว เพื่อวดั การ กระจายของข้อมูลเพยี งชดุ เดียว เพ่อื ตรวจดวู า่ คา่ จากการสงั เกตของขอ้ มูลมีความแตกต่างกัน มากนอ้ ยเพียงใด ซึ่งในการวัดการกระจายวธิ นี ้มี ใี ชอ้ ยู่ 4 ชนดิ คือ 1. พสิ ัย (Range) 2. สว่ นเบย่ี งเบนควอร์ไทล์ ( Quartlle deviation ) 3. ส่วนเบย่ี งเบนเฉลีย่ ( Mean deviation ) 4. สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ( Standard deviation )
2. การวดั การกระจายสัมพัทธ์ เปน็ การวดั การกระจาย ซ่งึ ได้จาการนําค่าท่ีได้จากการวัด การกระจายสัมบูรณ์ หารด้วยค่ากลางของข้อมูลดงั กลา่ ว ดังนั้นค่าที่ไดจ้ งึ เปน็ อตั ราสว่ น และอตั ราส่วนทไี่ ด้จะเปน็ ส่งิ ทน่ี าํ ไปใชเ้ ปรยี บเทียบการกระจายของขอ้ มลู แตล่ ะกลมุ่ ว่า กลุม่ ใดมกี ารกระจายมากน้อยกว่ากนั ที่นิยมใช้มี 4 ชนดิ คอื 1. สมั ประสทิ ธ์ขิ องพิสยั ( Coefficient of range) 2. สมั ประสทิ ธ์ขิ องส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Coefficient of quartlle deviation ) 3. สมั ประสิทธขิ์ องส่วนเบ่ยี งเบนเฉล่ยี (Coefficient of mean deviation ) 4. สัมประสิทธข์ิ องการแปรผนั (Coefficient of variation )
พสิ ยั (Range) เปน็ การวัดการกระจายอยา่ งง่าย ๆ ไม่คํานงึ ถึงรายละเอียด 1. กรณขี องขอ้ มลู ท่ไี ม่ได้แจกแจงความถี่ พสิ ยั = ขอ้ มูลสงู สดุ – ข้อมูลต่าสุด ตัวอยา่ งท่ี 1 ถ้าข้อมูลประกอบด้วย 2 7 5 4 9 พบวา่ คา่ สงู สุดของขอ้ มูลคือ 9 และคา่ ตํา่ สุดของขอ้ มลู คือ 2 ดังนน้ั พิสัย = 9 – 2 = 7 2. กรณขี องขอ้ มูลทแี่ จกแจงความถ่เี ปน็ อนั ตรภาคช้ัน พสิ ยั = ขอบบนของอันตรภาคช้ันทมี่ คี า่ มากท่สี ุด – ขอบลา่ งของอนั ตรภาคชัน้ ทม่ี คี า่ น้อยท่สี ดุ
ตัวอย่างท่ี 2 จากตารางแจกแจงความถ่ีของข้อมูล จงหาพิสัย คะแนน จานวนนกั เรยี น 10 – 19 2 20 – 29 5 30 – 39 3 40 – 49 2 วิธีทา จากตาราง ขอบบนของอนั ตรภาคชนั้ ท่ีมีคา่ มากทส่ี ดุ คือ 49.5 ขอบลา่ งของอันตรภาคชนั้ ที่มีคา่ น้อยทีส่ ดุ คอื 9.5 ดังนน้ั พสิ ัย = 49.5 – 9.5 = 40 คะแนน
ใบกิจกรรมที่ 15 เรอื่ ง พสิ ยั คาช้แี จง ให้นกั เรียนทําโจทยต์ อ่ ไปน้ี 1) จงหาพิสัยของขอ้ มูลต่อไปน้ี 1. 16 32 9 34 8 34 23 31 2. 20 33 12 11 23 9 21 16 13 3. 23.6 23.7 19.3 19.3 12.8 11.1 9.5 2) ถ้าค่ากงึ่ กลางพสิ ยั และพิสัยของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ ในการสอบชิง ทุนครั้งหนง่ึ เท่ากบั 60 และ 80 คะแนนตามลาํ ดบั จงหาคะแนนสงู สุดและ คะแนนตํ่าสดุ ในการสอบครั้งนี้
3) จงหาพสิ ยั ของขอ้ มลู ต่อไปนี้ จานวนนักเรยี น คะแนน > 72 8 69 – 71 27 66 – 68 42 63 – 65 18 60 – 62 5
ใบความรูท้ ่ี 16 เรือ่ ง ส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์ ผลการเรียนรทู้ ่ีคาดหวัง นกั เรยี นสามารถหาส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทลข์ องขอ้ มูลที่กาํ หนดให้ได้ ส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์ ( Quartlle deviation ) สว่ นเบย่ี งเบนควอร์ไทลเ์ ขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ Q.D. โดยสามารถหาได้จากสตู ร ������. ������. = ������������ − ������������ ������ ตวั อย่างท่ี 3 จากข้อมลู ทก่ี าํ หนดให้ 2 3 3 5 5 5 8 10 12 จงหาสว่ นเบ่ียงเบน ควอร์ไทล
วธิ ีทา เรียงลาํ ดบั ข้อมลู จากนอ้ ยไปหามาก 2 3 3 5 5 5 8 10 12 หาตาํ แหนง่ ของ ������������ และ ������������ จะได้ ตาํ แหนง่ ของ ������������ = ������+1 = 9+1 = 2.5 และ 4 4 ���3������แ��� ล=ะ3���(���������������4+=19) 3(9+1) ตําแหนง่ ของ = 4 = 7.5 นัน่ คอื ������������ = ดังนน้ั Q.D. = 9 −3 = 3 2 ตวั อย่างท่ี 4 ขอ้ มลู ต่อไปนี้เปน็ คะแนนสอบของนกั เรียนจาํ นวน 120 คน จงหาสว่ น เบ่ยี งเบนควอร์ไทล์
วธิ ที า คะแนน จานวนนกั เรียน ความถ่สี ะสม 30 – 39 1 1 40 – 49 3 4 50 – 59 11 15 60 – 69 21 36 70 – 79 43 79 80 – 89 32 111 90 - 99 9 120 ตําแหนง่ ของ ������������ = 120 = 30 และ 4 3(120) ตําแหน่งของ ������������ = 4 = 90
จากสตู ร ������������ = ������ + ������4������−σ ������������ ������ ������������ นน่ั คอื ������1 = 59.5 + 30−15 10 = 59.5 + 7.14 = 66.64 21 90−79 10 = 79.5 + 3.44 = 82.94 ������3 = 79.5 + 32 ดนงั่นั นคน้ั ือสว่ นเบQย่ี .งDเบ. น=ค8ว2อ.ร9ไ์ 4ท−ล2เ์ 6ท6า่ ก.6บั 48=.185.1ค5ะแนน
ใบกิจกรรมท่ี 16 เร่ือง ส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ คาช้แี จง ใหน้ ักเรียนทําโจทย์ตอ่ ไปน้ี 1) จากข้อมลู 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12, 9, 15, 9 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 2) จากขอ้ มลู จงหาสว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ ขอ้ มลู (x) ความถ่ี (f) 82 10 3 12 5 15 4 20 2
3) ข้อมูลตอ่ ไปนเี้ ปน็ จาํ นวนเงนิ ทน่ี ักเรยี นนาํ มาโรงเรยี นใน 1 วนั จงหาสว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ จานวนเงนิ จานวนนกั เรยี น 5–7 14 8 – 10 11 11 – 13 38 14 – 16 27 17 – 19 10
แบบฝกึ ทกั ษะชุดที่ 7 เรอ่ื ง พสิ ัยและสว่ นเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์ 1) จงหาพิสัยและสว่ นเบีย่ งเบนควอรไ์ ทลข์ องข้อมูล 5 1. 4, 6, 6, 9, 20, 25, 16, 20 3 2. 4, 10, 25, 20, 2, 25, 15, 5, 15, 45 15 2) จงหาพสิ ยั และสว่ นเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์ของขอ้ มลู 2 x1234 f2312 3) จงหาพสิ ัยและส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทลข์ องขอ้ มูล x 3 6 9 12 f1232
4) จงหาพิสยั และสว่ นเบี่ยงเบนควอร์ไทลข์ องขอ้ มูล คะแนน จานวน 11 – 20 1 5) จงหาพสิ ยั และส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทลข์ องขอ้ มลู 21 – 30 2 31 – 40 4 อันตรภาคช้ัน ความถี่ 41 – 50 12 51 – 60 5 – 8 13 61 – 70 71 – 80 20 9 – 12 12 81 – 90 10 13 – 16 35 5 17 – 20 28 6 21 – 24 9
ใบความร้ทู ี่ 17 เร่อื ง ส่วนเบีย่ งเบนเฉล่ยี ของข้อมลู ทไี่ ม่ได้แจกแจงความถี่ ผลการเรยี นรู้ท่ีคาดหวงั นักเรยี นสามารถหาสว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ยี ขอ้ มูลทีไ่ มไ่ ด้แจกแจง ความถ่แี ละแจกแจงความถ่ีแตไ่ มเ่ ปน็ อันตรภาคชัน้ ได้ ส่วนเบ่ยี งเบนเฉล่ีย ( Mean devlation ) สว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ยี เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ M.D. มีวธิ กี ารหาได้ 2 กรณี ดังนี้ 1. กรณที ่ขี ้อมูลทไี่ ม่ไดแ้ จกแจงความถ่แี ละแจกแจงความถ่ีแตไ่ ม่เปน็ อันตรภาคชั้น ให้ ������1, ������2, ������3, … , ������������ เป็นขอ้ มูลซง่ึ มี ������ҧ เป็นคา่ เฉล่ยี เลขคณิต จะได้ M.D. = σ���������=��� ������ ������������−���ഥ��� ������
ตัวอย่างท่ี 1 จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลย่ี จากข้อมูลตอ่ ไปน้ี 1. 16 8 12 9 11 2. 25 18 32 40 35 29 27 36 29 34 วธิ ีทา 1. ������ҧ = 56 = 11.2 5 = 4.8 + 3.2 + 0.8 + 2.2 + 0.2 = 11.2 σ ������������ − ������ҧ M.D. = 11.2 = 2.24 5 2. ������ҧ = 305 = 30.5 10 σ = 5.5+12.5+1.5+9.5+4.5+1.5+3.5+5.5+1.5+3.5=49 ������������ − ������ҧ M.D. = 49 = 4.9 10
ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาส่วนเบีย่ งเบนเฉล่ยี ของความสูง (นว้ิ ) ของเดก็ 100 คน ซ่งึ มีข้อมูลดังนี้ ความสงู : 60 61 62 63 64 65 66 67 68 จาํ นวนเดก็ : 2 0 15 29 25 12 10 4 3 วิธีทา เนอ่ื งจากขอ้ มูลท่ีกาํ หนดให้มี ความสูง จานวนเด็ก xf ������������ − ���ഥ��� f ������������ − ���ഥ��� ความถ่ี ดงั นนั้ ในการคํานวณจึงตอ้ ง 60 2 120 3.89 7.78 คํานงึ ถงึ ความถ่ดี ว้ ย 61 0 0 2.89 0 62 15 930 1.89 28.35 ������ҧ = 6,389 = 63.89 63 29 1,827 0.89 25.81 100 64 25 1,600 0.11 2.75 65 12 780 1.11 13.32 ดังนั้น M.D. = 123.88 = 1.2388 66 10 660 2.11 21.1 นัน่ คอื สว่ นเบย่ี งเ1บ0น0เฉลยี่ ของความสงู 67 4 268 3.11 12.44 68 3 204 4.11 12.33 ของเดก็ = 1.239 นิ้ว 100 6,389 123.88
ใบกิจกรรมที่ 17 เรื่อง ส่วนเบี่ยงเบนเฉลย่ี ของข้อมูลทีไ่ ม่ไดแ้ จกแจงความถี่ คาชี้แจง ใหน้ ักเรยี นทําโจทย์ตอ่ ไปน้ี 1) จากข้อมูล 2, 7, 5, 4, 9, 10, 7, 12 จงหาส่วนเบีย่ งเบนเฉลยี่ 2) จากข้อมูล 22,17, 15, 24, 9, 12,2 7, 12, 30, 11 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนเฉลยี่ 3) จงหาส่วนเบยี่ งเบนเฉลีย่ จากขอ้ มูล ข้อมูล 1 2 3 4 5 ความถ่ี 2 3 1 2 3
ใบความรูท้ ่ี 18 เร่ือง ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลีย่ ของขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถ่ีเปน็ อันตรภาคชน้ั ผลการเรียนรูท้ ี่คาดหวัง นกั เรียนสามารถหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลย่ี ข้อมลู แจกแจงความถี่เปน็ อันตรภาคช้นั ได้ สว่ นเบย่ี งเบนเฉลย่ี กรณีทีแ่ จกแจงความถแ่ี ล้ว =M.D. σ������������=������ ������������ ������������−���ഥ��� σ������������=������ ������������ เมอื่ ������ คอื จํานวนอันตรภาคชั้น ������������ คือ ความถข่ี องอันตรภาคชนั้ ท่ี i ������������ คือ จดุ กึ่งกลางช้ันของอนั ตรภาคชั้นที่ i
ตัวอย่างท่ี 3 ตารางต่อไปนีเ้ ปน็ ตารางแสดงจํานวนเงินทล่ี ูกคา้ นาํ มาฝากในวนั หน่งึ จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ีย จานวนเงนิ (พันบาท) จานวนลกู ค้า 48 – 50 2 51– 53 4 54 – 56 3 57 – 59 8 60 – 62 7 63 – 66 1
วธิ ที า จานวนเงิน ������������ ������������ ������������������������ ������������ − ���ഥ��� f ������������ − ���ഥ��� 2 49 98 8.04 16.08 48 – 50 4 52 208 5.04 20.16 51– 53 3 55 165 2.04 6.12 54 – 56 8 58 464 0.96 7.68 57 – 59 7 61 427 3.96 27.72 60 – 62 1 64 64 6.96 6.96 63 – 66 25 1,426 84.72 ������ҧ = 1,426 = 57.04 ดงั นั้น M.D. = 84.72 = 3.3888 นน่ั คอื 2ส5่วนเบยี่ งเบนเฉลยี่ ของจํานวนเงนิ = 3.382858 × 1,000 = 3,388.80 บาท
ใบกจิ กรรมที่ 18 เร่อื ง สว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี ของขอ้ มลู ทแี่ จกแจงความถเ่ี ปน็ อนั ตรภาคช้นั คาชี้แจง ให้นักเรยี นทาํ โจทยต์ ่อไปนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่ 1) จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนเฉลีย่ ของข้อมลู ต่อไปน้ี 11 – 13 1 14 – 16 8 17 – 19 12 20 – 22 21 23 – 25 18 26 – 28 7 29 – 31 2 32 – 34 1
2) จงหาสว่ นเบย่ี งเบนเฉลีย่ ของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี อันตรภาคชั้น ความถ่ี 80 – 89 3 70 – 79 8 60 – 69 13 50 – 59 20 40 – 49 15 30 – 39 7 20 – 29 3 10 – 19 1
ใบความรทู้ ี่ 19 เรื่อง ส่วนเบีย่ งเบนเฉลย่ี ของขอ้ มลู ทีแ่ จกแจงความถีเ่ ปน็ อนั ตรภาคช้ันโดยการทอนค่า ผลการเรียนรูท้ ่คี าดหวงั นักเรียนสามารถหาสว่ นเบย่ี งเบนเฉลี่ยขอ้ มูลแจกแจงความถเ่ี ป็นอันตรภาคชนั้ ได้ ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยขอ้ มลู แจกแจงความถ่เี ป็นอันตรภาคช้นั โดยการทอนค่า =M.D. ������ σ������������=������ ������������ ������������−���ഥ��� σ������������=������ ������������
ตัวอย่างท่ี 4 ตารางต่อไปนีเ้ ปน็ ตารางแสดงจํานวนเงินทล่ี ูกคา้ นาํ มาฝากในวนั หน่งึ จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ีย จานวนเงนิ (พันบาท) จานวนลกู ค้า 48 – 50 2 51– 53 4 54 – 56 3 57 – 59 8 60 – 62 7 63 – 66 1
วธิ ที า จานวนเงิน ������������ ������������ ������������������������ ������������ − ���ഥ��� f ������������ − ���ഥ��� 48 – 50 2 -3 -6 2.68 5.36 51– 53 4 -2 -8 1.68 6.72 54 – 56 3 -1 -3 0.68 2.04 57 – 59 8 0 0 0.32 2.56 60 – 62 7 1 7 1.32 9.24 63 – 66 1 2 2 2.32 2.32 25 -8 28.24 ���น���่นั ҧ =คือ−25ส8่ว=นเ-บ0่ีย.3ง2เบนเฉลีย่ ดขังอนง้ันจําMนว.Dน.เง=นิ 3=(2328.53.2848)8=×31.3,080808 = 3,388.80 บาท
ใบกิจกรรมที่ 19 เรื่อง ส่วนเบี่ยงเบนเฉลย่ี ของข้อมลู ทแี่ จกแจงความถ่ีเป็นอนั ตรภาคช้นั โดยการทอน คาช้แี จง ให้นักเรียนทําโจทยต์ ่อไปนี้ คะแนน จานวน นร. 1) ขอ้ มลู ต่อไปน้เี ป็นคะแนนสอบของนักเรียน 30 – 39 1 จาํ นวน 120 คน จงหาส่วนเบีย่ งเฉลยี่ โดย 40 – 49 3 การทอนค่า 50 – 59 11 60 – 69 21 70 – 79 43 80 – 89 32 90 - 99 9
2) ขอ้ มลู ต่อไปน้ี จงหาส่วนเบ่ียงเฉล่ยี โดยการทอนคา่ อันตรภาคชน้ั ความถ่ี 49 – 55 3 42 – 48 7 35 – 41 13 28 – 34 11 21 – 27 6 14 – 20 4 7 - 13 1
แบบฝกึ ทกั ษะชุดที่ 8 เรือ่ ง ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลี่ย 1) จงหาส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ยของข้อมลู 1. 4, 6, 6, 9, 20, 25, 16, 20 2. 4, 10, 25, 20, 2, 25, 15, 5, 15, 45 2) จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลยี่ ของขอ้ มูล x12345 f23123 3) จงหาสว่ นเบีย่ งเบนเฉลีย่ จากตารางแสดงนาํ้ หนักของนักเรียน น้าหนกั (กก.) 40 42 45 50 55 จานวนนักเรียน 15 25 20 24 16
4) จากตารางแจกแจงความถ่ี จงหาส่วนเบย่ี งเบนเฉลยี่ จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต และจงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลีย่ จากมธั ยฐาน คะแนน จานวน 93 – 97 2 5) จงหาส่วนเบยี่ งเบนเฉลี่ยของข้อมูล 98 – 102 5 103 – 107 12 อันตรภาคช้นั ความถ่ี 108 – 112 17 113 – 117 14 5 – 10 11 118 – 122 6 11 – 16 12 123 – 127 3 17 – 22 35 128 – 132 1 23 – 28 28 29 – 34 13
ใบความรูท้ ี่ 20 เร่อื ง ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ทไ่ี ม่ไดแ้ จกแจงความถี่ ผลการเรยี นรทู้ ค่ี าดหวงั นกั เรียนสามารถหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานข้อมลู ไมแ่ จกแจงความถไ่ี ด้ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน ( Standard deviation ) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นการวัดการกระจายชนิดหน่ึงที่นักสถิตินิยมใช้มาก เม่ือเปรียบเทียบกับการวัดการกระจายอีก 3 ชนิดที่กล่าวมาแล้ว ท้ังนี้เน่ืองจากส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานมีความไวต่อการเปล่ียนแปลงข้อมลู เพราะต้องใช้ข้อมูลทกุ ตัวมา คํานวณ เรานยิ มใช้สญั ลกั ษณ์ S.D. หรอื s แทนส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน
1. กรณีทข่ี อ้ มูลไมไ่ ดจ้ ดั เปน็ อันตรภาคชั้น ให้ ������1, ������2, ������3, … , ������������ เปน็ ขอ้ มลู ซึ่งมี µ เปน็ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร S.D. = σ���������=��� ������ ������������−������ ������ หรอื S.D. = σ���������=��� ������ ������������������ − ������������ ������ ������ ให้ ������1, ������2, ������3, … , ������������ เป็นข้อมลู ซ่งึ มี ������ҧ เป็นคา่ เฉล่ยี เลขคณติ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของกลุม่ ตัวอยา่ ง S.D. = σ���������=��� ������ ������������−���ഥ��� ������ หรือ S.D. = σ���������=��� ������ ������������������−���������ഥ��������� ������−������ ������−������
ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากขอ้ มูลต่อไปน้ี 2, 4, 6, 8, 10, 12 วธิ ีทา ���ഥ��� = 2+4+6+8+10+12 = 7 σ ������ − ������ҧ 2 =625+9+1+1+9+25 = 70 S.D. = = 3.42=σ���������=��� ������ ������������−������ ������ 70 ������ 6 ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน จากข้อมลู ต่อไปนี้ 4, 5, 7, 9, 10 วิธีทา ���ഥ��� = 4+5+7+9+10 = 7 5 σ ������2 = 16 +25+49+81+100 = 271 S.D. = =σ���������=��� ������������������������−������������271−49 = 26 = 2.28 5 ������ 5
ใบกิจกรรมท่ี 20 เรอ่ื ง ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลท่ไี ม่ได้แจกแจงความถี่ คาชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนทาํ โจทยต์ อ่ ไปนี้ 1) จงหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี นช้ัน มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 จํานวน 68 คน ซงึ่ ไดค้ ะแนนดงั นี้ 8, 6, 5, 10, 9, 8, 7, 3 2) จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบแขง่ ขัน วชิ าภาษาอังกฤษของ นักเรียนจาํ นวน 10 คน ซึ่งได้คะแนนดงั น้ี 63, 72, 67, 79, 56, 95, 57, 69, 80, 92 3) ถ้าความแตกต่างระหวา่ งค่าของข้อมลู แตล่ ะค่าจาก 11 เทา่ กับ 1, 0,-3, -1, 2, -2, -2, 3 และ 2 จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดดังกลา่ ว
ใบความร้ทู ่ี 21 เรอื่ ง สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ที่แจกแจงความถแ่ี ตไ่ ม่เปน็ อนั ตรภาคชั้น ผลการเรยี นรู้ที่คาดหวัง นักเรยี นสามารถหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานข้อมูลไม่แจกแจงความถีไ่ ด้ ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน วธิ ีทา ������������ ������������ ������������������������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ จากขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้ 1 2212 2 3 6 4 12 ขอ้ มลู (x) 1 2 3 4 5 3 1399 4 2 8 16 32 ความถ่ี (f) 2 3 1 2 3 5 3 15 25 75 11 34 130
34 ������ҧ = 11 130 34 2 S.D. = σ���������=��� 1 ���������������������2��� − ������2 = 11 − 11 ������ 1430 − 1156 274 = 1.505 = 121 = 121 ตวั อย่างที่ 4 จงหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานคะแนนสอบซึ่งมคี ะแนนเตม็ 30 คะแนนของ นักเรียนกลุ่มหนง่ึ จากนกั เรยี นทัง้ หมดซง่ึ มคี ะแนนดงั น้ี คะแนน 11 15 18 24 27 จานวนนกั เรียน 2 3 4 5 6
วธิ ที า 34 ������ҧ = 11 ������������ ������������ ������������������������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ σ���������=��� 1 ���������������������2��� −������������ҧ2 11 2 22 121 242 S.D. = ������−1 15 3 45 225 675 18 24 4 72 324 1296 9467 − 20 21.05 2 27 5 120 576 2880 = 19 6 162 729 4374 9467 − 8862.05 = 19 20 421 9467 604.95 = 5.643 = 19
ใบกจิ กรรมที่ 21 เรื่อง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลท่ีแจกแจงความถี่แต่ไมเ่ ปน็ อันตรภาคชน้ั คาชีแ้ จง ให้นกั เรียนทําโจทย์ตอ่ ไปน้ี 1) จงหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานจากขอ้ มูลต่อไปนี้ 1.1 ขอ้ มลู ความถ่ี 1.2 ขอ้ มลู ความถี่ 4 62 11 3 8 10 3 14 5 3 12 5 16 2 15 3 17 19 2 22 20 1 23
แบบฝึกทักษะชุดที่ 9 เรือ่ ง ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ไม่แจกแจงความถี่ 1) จากข้อมูล จงหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1. 6 8 14 4 11 10 17 2. 5 6 6 6 7 8 3. 1 2 4 7 9 12 2) พ่ีน้อง 4 คน มี 2 คน นาํ้ หนกั เท่ากนั และหนกั นอ้ ยกวา่ 2 คนท่เี หลอื ถา้ ฐานนยิ ม มธั ยฐาน และพิสยั คอื 40, 41 และ 6 ตามลําดับ จงหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน
3) ภาณวุ เิ คราะห์ขอ้ มูลชดุ หนง่ึ เขาพบวา่ ข้อมูลน้ีมี 8 จาํ นวน มีค่าเฉลย่ี เลขคณติ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 9 และ 15 ตามลาํ ดับ ตอ่ มาพบว่าคาํ นวณผิด เพราะข้อมูลจริงมี 9 จํานวน คา่ ท่ีหายไปคือ 18 จงหาคา่ เฉลีย่ เลขคณติ และส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานท่ถี กู ต้อง 4) นักเรยี น 3 คน มีอายเุ ฉลีย่ 5 ปี ถา้ 2 คนมีอายุ 8 และ 5 ปีตามลําดับ จงหาส่วน เบ่ียงเบนมาตรฐานของอายุของเด็ก 3 คนน้ี 5) นักเรยี น 10 คน สอบไดค้ ะแนนเฉลยี่ เท่ากบั 9.5 คะแนน และส่วนเบ่ียงเบน มาตรฐานเท่ากบั 2.5 คะแนน ตามลําดบั ต่อมามนี กั เรียนเพิ่มเข้ามาอกี 1 คน ซงึ่ นกั เรียนคนนส้ี อบได้ 15 คะแนน จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตและส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ของนักเรยี น 11 คน
6) จากข้อมลู 50, 30, 25, 44, 48, 51, 55, 60, 42, 35, 28, 40 จงหาพิสัย ส่วนเบย่ี งควอร์ไทล์ สว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน 7) จงหาสว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ จากตารางแสดงน้ําหนกั ของคนกลมุ่ หนึ่ง น้าหนัก (กก.) 40 42 45 50 55 จานวน (คน) 15 25 20 24 16
ใบความรทู้ ่ี 22 เร่อื ง สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ทแี่ จกแจงความถ่เี ปน็ อนั ตรภาคชนั้ ผลการเรยี นรทู้ ค่ี าดหวงั นกั เรียนสามารถหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลู แจกแจงความถ่ีได้ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ( Standard deviation ) กรณีท่ีขอ้ มูลจดั เป็นอนั ตรภาคชั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร S.D. = σ������������=1 ������������ ������������−������ 2 หรือ S.D. = ������ σ������������=1 ���������������������2��� − ������2 ������
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกลุม่ ตัวอย่าง S.D. = σ������������=1 ������������ ������������−������ҧ 2 ������−1 หรอื S.D. = σ������������=1 ���������������������2��� −������������ҧ2 ������−1 เมื่อ ������ คอื จาํ นวนอนั ตรภาคชั้น ������������ คอื ความถีข่ องอนั ตรภาคช้นั ที่ i ความสูง จานวนนร. ������������ คอื จุดกึ่งกลางชน้ั ของอนั ตรภาคช้ันที่ i ������ คอื จาํ นวนตัวอยา่ งทงั้ หมด ( ������ = σ������������=1 ������������ ) 60 – 62 5 63 – 65 18 ตัวอย่างท่ี 1 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสงู ของ 66 – 68 42 69 – 71 27 นกั เรียน 100 คน จากนักเรยี นทง้ั หมดของโรงเรียนแหง่ หน่ึง 8 ซ่ึงปรากฎดงั ตาราง 72 – 74
วธิ ีทา อนั ตรภาคช้นั จดุ กึง่ กลาง (������������) ความถ่ี (������������) ������������������������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ 60 – 62 61 5 305 3721 18605 1152 4096 73728 63 –65 64 18 2814 4489 188538 1890 4900 132300 66 – 68 67 42 584 5329 42632 69 – 71 70 27 6745 455803 72 – 74 73 8 100
วิธีทา ������ҧ = σ���7���=1 ������������������������ = 6745 67.45 σ���7���=1 ������������ 100 = ������. ������. = σ������������=1 ���������������������2��� − ������������ҧ 2 = 455803 − 100 67.45 2 ������ − 1 99 852.75 = 99 = 2.93 ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของความสูงของนกั เรยี น = 2.93 ซม.
ตัวอยา่ งที่ 2 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์นักเรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี ี่ 4 จํานวน 98 คน ดงั น้ี อนั ตรภาคชนั้ ความถี่ 40 – 44 6 45 –49 14 50 – 54 22 55 – 59 26 60 – 64 14 65 – 69 12 70 –74 4 รวม 98
วธิ ที า อันตรภาคชั้น จดุ กึ่งกลาง (������������) ความถ่ี (������������) ������������������������ ������������ − ���ഥ��� ������������ − ���ഥ��� ������ ������������ ������������ − ���ഥ��� ������ 40 – 44 42 6 252 -14.08 198.25 1,189.5 45 – 49 47 14 658 -9.08 82.45 1,154.3 50 – 54 52 22 1,144 -4.08 16.65 366.3 55 – 59 57 26 1,482 0.92 0.85 22.1 60 – 64 62 14 868 5.92 35.05 490.7 65 – 69 67 12 804 10.92 119.25 1,431 70 – 74 72 4 288 15.92 253.45 1,013.8 98 5496 5,667.7
วธิ ที า ������ҧ = σ7������=1 ������������������������ = 5496 56.08 σ���7���=1 ������������ 98 ≈ σ������������=1 ������������ ������������ − ������ҧ 2 5667.7 ������ 98 ≈ 7.60 ������. ������. = ≈ ดังน้ัน คะแนนสอบมสี ว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานประมาณ 7.60
ใบกจิ กรรมท่ี 22 เรอ่ื ง ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลท่แี จกแจงความถ่ีเปน็ อันตรภาคชน้ั คาชี้แจง ใหน้ ักเรยี นทาํ โจทยต์ ่อไปนี้ 1) ขอ้ มลู ต่อไปน้เี ปน็ คะแนนสอบของนักเรียนจํานวน 120 คน จงหาสว่ นเบี่ยงมาตรฐาน คะแนน จานวนนักเรยี น 30 – 39 1 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 21 70 – 79 43 80 – 89 32 90 - 99 9
Search