การแยกตัวประกอบ

1 ใบความรทู้ ี่ 4 เรื่อง การแยกตวั ประกอบพหุนามดกี รีสงู กว่าสอง ทฤษฎบี ทตัวประกอบ (factor theorem) เมือ่ px คือพหุนาม px  an xn  an xn1  an xn2  a1 x  ...  a0 โดยท่ี n เป็น จานวนเตม็ บวก a a a a» , เปน็ จานวนจรงิ ซงึ่ an  0 พหนุ าม px นจ้ี ะมี ,..., , 0 n1 1 x  c เปน็ ตวั ประกอบกต็ ่อเม่ือ pc  0 การพิสจู น์ทฤษฎีบทนี้ จะต้องแสดงว่า 1. สาหรบั พหนุ าม px ถ้า x c เป็นตัวประกอบ แล้ว จะได้ pc  0 2. สาหรับพหนุ าม px ถ้า pc  0 แลว้ x  c จะเปน็ ตัวประกอบของพหุนาม px พสิ จู น์ 1. x c เป็นตัวประกอบของ px x c หาร px ลงตวั จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ pc คอื เศษทไี่ ด้จากการหารด้วย x c นัน่ คือ pc  0 2.  pc  0 ให้ px หารด้วย x c แล้วไดผ้ ลหารเป็น qx เศษ R จะได้ px  x  cqx  R จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ R  pc ดังน้นั R  0  px  x  cqx นนั่ คือ x c เป็นตัวประกอบของ px จาก (1) และ (2) สรุปได้ว่า พหนุ าม px มี x c เปน็ ตวั ประกอบก็ตอ่ เม่อื pc  0

2 ตวั อย่างท่ี 1 จงแสดงวา่ เป็นตัวประกอบของ วิธที า ให้ น่ันคือ หาร p(x) ลงตวั ลงตวั เมื่อนา ไปหาร เป็นตัวประกอบของ จากตัวอย่างท่ี 1 หาร ไดผ้ ลลพั ธ์ และ ในการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม เราจะใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลือ และทฤษฎบี ทตวั ประกอบ ซึง่ ทฤษฎีบท ดงั กลา่ วใช้ไดในกรณีที่สัมประสิทธิ์ของพหุนามเปน็ จานวนจรงิ ใดๆ แต่ในท่ีน้ีจะกลา่ วถึงการแยกตวั ประกอบของพหุ นามที่มีสัมประสทิ ธิเ์ ปน็ จานวนเตม็ เท่านน้ั โดยพจิ ารณาเปน็ 2 กรณคี ือ กรณที ี่ an  1 และ an  1 กรณที ี่ an  1 จากตวั อย่างที่ 1 เม่อื พจิ ารณาจาก x  3x  2x  2ซ่ึงเป็นตวั ประกอบของ x3  x2 8x 12 จะเหน็ ว่า 3,2,2 เปน็ ตวั ประกอบของ 12 ซงึ่ เปน็ ค่าคงตวั ของพหนุ าม x3  x2 8x 12

3 ในกรณที ัว่ ไป ถ้า x  c เป็นตัวประกอบของพหุนาม xn  an1xn1  ...  a1x  a0 โดยท่ี c และ สัมประสทิ ธิ์ของพหุนามนีเ้ ปน็ จานวนเตม็ แล้ว c จะเปน็ ตัวประกอบของ a0 ดังน้นั ในการพิจารณาหา c ดังกล่าว จงึ พิจารณาจากตวั ประกอบที่เป็นจานวนเตม็ ของ a0 การแยกตัวประกอบของพหุมาน px โดยใชท้ ฤษฎเี ศษเหลือในกรณนี ี้ทาไดด้ ังน้ี 1. หาตวั ประกอบของ c ของ a0 ทท่ี าให้ pc  0 2. นา x c ที่หาได้ไปหาร px ผลหารจะเป็นพหนุ ามดกรีสองของ px อยู่ 1 3. ถา้ ผลหารในข้อ 2 ยังมดี กี รสี งู กวา่ สอง และสามารถแยกเป็นตัวประกอบได้อกี ให้แยกต่อไป โดยวธิ ี ตามข้อ 1 และ 2 แต่ถา้ ผลลพั ธ์ท่ไี ด้เปน็ พหนุ ามดกี รสี อง ก็ใหแ้ ยกตัวประกอบตามท่ีไดเ้ รียนมาแล้ว ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ วิธที า ให้ พจนค์ งตวั คือ มตี วั ประกอบเป็น ลองแทน ใน ได้ หาร ลงตวั และ เปน็ ตวั ประกอบของ นัน่ คือ

4 ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ วิธที า ให้ พจนค์ งตัวคือ -24 มตี วั ประกอบเป็น ลองแทน ใน ได้ ลองแทน ใน ได้ ลองแทน ใน ได้ หาร ลงตัว และ เป็นตวั ประกอบของ ∴

5 ตัวอย่างท่ี 4 จงแยกตัวประกอบของ วธิ ีทา ให้ พจน์คงตัวคือ มตี วั ประกอบเปน็ ลองแทน ใน ได้ ลองแทน ใน ได้ หาร ลงตัว และ เปน็ ตวั ประกอบของ ให้ x-2 หาร ลงตวั

6 ในกรณที ่ี an  1 การแยกตวั ประกอบของพหุนาม px เราจะหาตัวประกอบท่ีเปน็ พหนุ ามดีกรหี นง่ึ ท่อี ยู่ ในรูป x  k เมอ่ื k และ m เปน็ จานวนเต็ม ซงึ่ m  0 จากท่ีกลา่ วมาแล้วพหนุ าม px จะมี x  k เป็นตัวประ mm กอยกต็ อ่ เมอ่ื p k   0 การพิจารณาหาค่า k และ m ทเ่ี ปน็ จานวนเต็มของพหุนาม x  k ดงั กลา่ วอาจใช้ m m ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะ เมื่อ px คอื พหุนามในรูป px  an xn  an xn1  an xn2  a1 x  ...  a0 โดยท่ี n เป็น จานวนเตม็ บวก a a a a» , , เป็นจานวนจริงซ่ึง an  0 n1,..., 0 1 ถ้า x  k เป็นตวั ประกอบของพหนุ าม px โดยที่ k และ m เป็นจานวนเต็มซึง่ m  0 และ ห.ร.ม.ของ k m และ m เทา่ กับ 1 แล้ว k จะเปน็ ตัวประกอบของ a0 m จะเปน็ ตวั ประกอบของ a0 ดังนั้น การแยกตวั ประกอบของพหุนาม px ในกรณีนี้สรุปไดด้ ังน้ี 1. หา k โดยพจิ ารณา k และ m จากตวั ประกอยของ a0 และ an ตามลาดับห.ร.ม.ของ k และ m เทา่ กับ 1 m 2. ทดสอบวา่ p k   0 หรือไม่ถา้ p k   0 จะได้ x  k เป็นตวั ประกอบของ pxในกรณที ี่ไมม่ ี k ทา m m m m ให้ px  0 แสดงว่าพหุนาม px ไม่มีตวั ประกอบท่ีเป็นพหนุ ามดีกรีหนึ่งในรปู  k ซ่งึ จะเรยี กว่าเป็นตัว m ประกอบจานวนตรรกยะ 3. นา x  k ซึ่งเปน็ ตวั ประกอบของพหุนาม pxไปหารพหนุ าม px ผลหารจะเป็นพหนุ ามทีม่ ีดกี รตี ่ากว่า m ดกี รีของพหุนาม px 4. ถา้ ผลหารในข้อ 3 ยงั มีดกรีสองกวา่ สอง และสามารถแยกตวั ประกอบไปไดอ้ ีกก็แยกตัวประกอบของผลหาร ตามขั้นตอน 1, 2 และ 3 แตถ่ า้ ผลหารเป็นดกี รีสองกแ็ ยกตัวประกอบตามวิธีทีเ่ รยี นมา

7 ตวั อย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ วธิ ที า ให้ จานวนเตม็ ทีห่ าร ลงตัวคอื และ จานวนเต็มที่หาร ลงตัวคือ ดังน้ันจานวนตรรกยะ ที่ทาให้ จะเปน็ จานวนต่อไปน้ี พจิ ารณา ได้ หาร ลงตัว และ เปน็ ตัวประกอบของ

8 แบบทดสอบก่อนเรียน ชุดท่ี 4 เรื่อง การแยกตวั ประกอบพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง คาช้แี จง 1. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนยั ชนิดเลือกตอบจานวน 10 ข้อ 2. ให้นกั เรยี นทาเคร่อื งหมาย x ลงในกระดาษคาตอบทต่ี รงกบั ข้อท่ีถกู ตอ้ ง ***************************************************************************************************** 1. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้เป็นตวั ประกอบของ x3  2x2  9x 18 1. x 1 2. x 1 3. x  2 4. x  2 2. พหนุ ามในข้อใดตอ่ ไปนี้เป็นตัวประกอบของ 3x3 10x2  9x  2 1. x 1 2. x  3 3. x  2 4. 3x 1 3. x3  7x2  7x 15 แยกตวั ประกอบของพหนุ ามตรงกับขอ้ ใด 1. x  3 x 1 x  5 2. x  3 x 1 x  5 3. x  3 x 1 x  5 4. x  3 x 1 x  5 4. x3  2x2  9x 18 แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกบั ขอ้ ใด 1. x  2 x  32 2. x  22 x  3 3. x  2 x  3 x  3 4. x  2 x  3 x  3

9 5. 2x3  3x2  2x  3 แยกตวั ประกอบของพหุนามตรงกับขอ้ ใด 1. x 1 x 1 2x  3 2. x 1 x 1 2x  3 3. x 1 2x  3 x 1 4 x 1 2x  3 x 1 6. 3x3  60x  24x2 แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกบั ขอ้ ใด 1. 3x x  2 x 10 2. 3x x  2 x 10 3. 3x x  2 x 10 4. 3x x  2 x 10 7. 3x3  5x2  3x  5 แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกบั ข้อใด 1. x 1 x 1 3x  5 2. x 1 x 1 3x  5 3. x 1 x 1 3x  5 4 x 1 x 1 3x  5 8. 6x3  7x2  x  2 แยกตัวประกอบของพหนุ ามตรงกบั ขอ้ ใด 1. x 1 2x 1 3x  2 2. x 1 3x  2 3x 1 3. x 1 2x 1 3x  2 4 x 1 3x  2 2x 1 9. 3x4  8x3  x2  8x  4 แยกตัวประกอบของพหนุ ามตรงกบั ขอ้ ใด 1. x 1 x 1 x  2 3x  2 2. x 1 x 1 x  2 3x  2 3. x 1 x 1 x  2 3x  2 4. x 1 x 1 x  2 3x  2

10 10. 4x5 16x4  9x3  31x2  40x 12 แยกตวั ประกอบของพหุนามตรงกับขอ้ ใด 1. x 1 x  2 x  2 2x 1 2x  3 2. x 1 x  2 x  2 2x 1 2x  3 3. x 1 x 1 x  2 2x 1 3x  2 4. x 1 x 1 x  2 2x 1 3x  2

11 แบบฝึกทักษะชุดท่ี 4 เรอ่ื ง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกวา่ สอง คาช้ีแจง จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้ 1. x3  x2  x 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. x3  2x2  x  2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. x3  6x2 11x  6 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12 4. 2x3  x2  5x  2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. 6x3 19x2 16x  4 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. x3  3x2  4x 12 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. x3 19x  30 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13 8. x3  4x2 11x  6 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9. x3  x2 14x  24 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 10. x4  2x3 11x2 12x  36 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

14 แบบทดสอบหลงั เรยี น ชดุ ที่ 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบพหนุ ามดีกรีสงู กว่าสอง คาชี้แจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยชนิดเลอื กตอบจานวน 10 ขอ้ 2. ให้นกั เรียนทาเคร่ืองหมาย x ลงในกระดาษคาตอบท่ีตรงกบั ขอ้ ท่ีถกู ต้อง ***************************************************************************************************** 1. พหนุ ามในข้อใดต่อไปน้ีเป็นตวั ประกอบของ x3  2x2  9x 18 1. x 1 2. x 1 3. x  2 4. x  2 2. พหนุ ามในข้อใดตอ่ ไปนี้เป็นตวั ประกอบของ 3x3 10x2  9x  2 1. x 1 2. x  3 3. x  2 4. 3x 1 3. x3  7x2  7x 15 แยกตวั ประกอบของพหนุ ามตรงกบั ข้อใด 1. x  3 x 1 x  5 2. x  3 x 1 x  5 3. x  3 x 1 x  5 4. x  3 x 1 x  5 4. x3  2x2  9x 18 แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด 1. x  2 x  32 2. x  22 x  3 3. x  2 x  3 x  3 4. x  2 x  3 x  3

15 5. 2x3  3x2  2x  3 แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับข้อใด 1. x 1 x 1 2x  3 2. x 1 x 1 2x  3 3. x 1 2x  3 x 1 4 x 1 2x  3 x 1 6. 3x3  60x  24x2 แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกบั ขอ้ ใด 1. 3x x  2 x 10 2. 3x x  2 x 10 3. 3x x  2 x 10 4. 3x x  2 x 10 7. 3x3  5x2  3x  5 แยกตัวประกอบของพหุนามตรงกับขอ้ ใด 1. x 1 x 1 3x  5 2. x 1 x 1 3x  5 3. x 1 x 1 3x  5 4 x 1 x 1 3x  5 8. 6x3  7x2  x  2 แยกตัวประกอบของพหนุ ามตรงกบั ขอ้ ใด 1. x 1 2x 1 3x  2 2. x 1 3x  2 3x 1 3. x 1 2x 1 3x  2 4 x 1 3x  2 2x 1 9. 3x4  8x3  x2  8x  4 แยกตัวประกอบของพหนุ ามตรงกับข้อใด 1. x 1 x 1 x  2 3x  2 2. x 1 x 1 x  2 3x  2 3. x 1 x 1 x  2 3x  2 4. x 1 x 1 x  2 3x  2

16 10. 4x5 16x4  9x3  31x2  40x 12 แยกตวั ประกอบของพหุนามตรงกับขอ้ ใด 1. x 1 x  2 x  2 2x 1 2x  3 2. x 1 x  2 x  2 2x 1 2x  3 3. x 1 x 1 x  2 2x 1 3x  2 4. x 1 x 1 x  2 2x 1 3x  2

17 เฉลยแบบฝึกทักษะชุดท่ี 4 เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบพหุนามดกี รีสูงกว่าสอง 1. x3  x2  x 1 ให้ px  x3  x2  x 1  p1 1111  0  x 1 ทาให้ px  0  x 1 เป็นตวั ประกอบของ px  px ลงตัว x 1 x3  x2  x 1  x2  2x 1 x 1  x3  x2  x 1  x 1 x2  2x 1  x 1x 1x 1 2. x3  2x2  x  2 ให้ px  x3  2x2  x  2  p1  1 2 1 2  0  x 1 ทาให้ px  0  x 1 เป็นตัวประกอบของ px  px ลงตัว x 1  x3  2x2  x  2  x2  x  2 x 1  x3  2x2  x  2  x 1 x2  x  2 x 1  x 1x 1x  2

18 3. x3  6x2 11x  6 ให้ px  x3  6x2 11x  6  p1 1 6 11 6  0  x 1 ทาให้ px  0  x 1 เป็นตวั ประกอบของ px  x3  6x2  11x  6  x2  5x  6 x 1  x3  6x2 11x  6  x 1 x2  5x  6  x 1x  2x 3 4. 2x3  x2  5x  2 ให้ px  2x3  x2  5x  2  p1  2 1 5  2  0  x 1 ทาให้ px  0  x 1 เปน็ ตวั ประกอบของ px  2x3  x2  5x  2  2x3  3x  2 x 1  2x3  x2  5x  2  x 1 2x3  3x  2  x 12x 1x  2 5. 6x3 19x2 16x  4 ให้ px  6x3 19x2 16x  4  p2  48  76  32  4  0  x  2 ทาให้ px  0  x  2 เป็นตวั ประกอบของ px   6x3 19x2 16x  4  6x2  7x  2 x2  6x3 19x2 16x  4  x  2 6x2  7x  2  x  22x 13x  2

19 6. x3  3x2  4x 12 ให้ px  x3  3x2  4x 12  p2  8 12 8 12  0  x  2 ทาให้ px  0  x  2 เป็นตวั ประกอบของ px  x3  3x2  4x  12  x2  x  6 x2  xx3  3x2  4x 12  x  2 2  x  6  x  2x  2x 3 7. x3 19x  30 ให้ px  x3 19x  30  p 2  8  38  30  0  x  2 ทาให้ px  0  x  2 เปน็ ตัวประกอบของ px  x3 19x  30  x2  2x 15 x2  x3 19x  30  x  2 x2  2x 15  x  2x  3x 5 8. x3  4x2 11x  6 ให้ px  x3  4x2 11x  6  p1 1 4 11 6  0  x  1 ทาให้ px  0  x 1 เปน็ ตวั ประกอบของ px  x3  4x2 11x  6  x2  5x  6 x 1  x3  4x2 11x  6  x 1 x2  5x  6  x 1x 1x  6

20 9. x3  x2 14x  24 ให้ px  x3  x2 14x  24  p 3  27  9  42  24  0  x  3 ทาให้ px  0  x  3 เปน็ ตัวประกอบของ px  x3  x2 14x  24  x2  2x  8 x2  x3  x2 14x  24  x  2 x2  2x  8  x  2x  3x  4 10. x4  2x3 11x2 12x  36 ให้ px  x4  2x3 11x2 12x  36  p2 16 16  44  24  36  0  x  2 ทาให้ px  0  x  2 เปน็ ตัวประกอบของ px  x4  2x3 11x2 12x  36  x3  4x2  3x 18 x2  x4  2x3 11x2 12x  36  x  2 x3  4x2  3x 18 ให้ qx  x3  4x2  3x 18  qx  x3  4x2  3x 18  0  x  3 ทาให้ qx  0  x  3 เป็นตัวประกอบของ qx   x3  4x2  3x 18  x  2 x2  x  6 x3  x3  4x2  3x 18  x  2x  3 x2  x  6  x  2x  3x  2x  3