รวมบทที่ 1

รากที่ องของจานวนบวกใด ๆ จะเปน็ จานวนตรรกยะ รอื จานวนอตรรกยะกไ็ ด้ กับ .....4............. ราก สอง ของ a โ...4........... ตอบ Ta -JI -....โ.....4...... , ท่ี องของ 6 คอื จานวนจริงทยี่ กกาลงั องแล้วเทา่ กับ .......6........... ด้ รากที่ องทีเ่ ป็นบวกของ .......เ........... คอื ....ร...อ........... รากท่ี องที่เป็นลบของ .......6........... คือ ....-....ร....เ...... นรากท่ี องของ .....6............. คือ ...ร...เ...,.-...ร...อ..

รากที่ องและการ ารากที่ องของจานวนจรงิ จง ารากที่ องของจานวนในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ 1) 44 12 รากท่ี องของา4 คือ จานวนจรงิ ทย่ี กกาลัง องแลว้ เทา่ ก จะได้ รากท่ี องท่เี ปน็ บGวก)ของ ...1....2........... คือ ....โ. วธิ ีทา และ รากที่ องท่ีเปน็ ลบของ ....1..2............ คอื ..-.. ดังนัน้ รากท่ี องของ ....1....2.......... คือ ...โ....1..2...,..-...J. T 12 C-# ง = 4) ไรTาาคา 2) 6ยก ง 2 ไ 415 | ำ¥ [E) ✗ ( 2) = 12 ะ 12 วธิ ที า④J รากท = 12 จะได ใ§\" และ ะ ดงั นน้ั เ× = % = 12 = 12 = 12 ๋ัภ๋ํหู่หู่ห๋ํห้ดัลำก้บำทุ่วัลำกืคำท

รากที่ องของจานวนบวกใด ๆ จะเป็นจานวนตรรกยะ รอื จานวนอตรรกยะกไ็ ด้ กับ ......1..2.......... ราก 2 อ ง โ....1...2..✓..... เวลา การ าน * -...J...T...2...... f ที่ องของ 6 คอื จานวนจรงิ ทยี่ กกาลงั องแลว้ เทา่ กบั .....1..5........... ด้ รากที่ องทีเ่ ปน็ บวกของ .......1..5......... คอื ...T...r..s.......... รากท่ี องทเี่ ปน็ ลบของ ......1..5.......... คือ ...-...✓............ นรากที่ องของ ......1..5.......... คือ ...โ....1.5...,..-..J..T. J

รากที่ องและการ ารากที่ องของจานวนจรงิ ตัวอยา่ งที่ 8 จง าวา่ จานวนในแต่ละขอ้ ต่อไปนเี้ ป็นรากที่ อ 1) -1 mn n ใIา2 2)°0.5 1) -1 ±. 2) 0.5 . . 2 2โ วธิ ีทา เ องจาก ( = วิธีทา เนอ่ื งจาก −1 โอโ( 5อ . 5 2 ดังนน้ั -1 เปน็ รากที่ องของ 14 d hlhl 2 บ 1 แ หน # 1 ๓น . → นานา\" ง น อ5 เ . 0.25 ่ีท็ป้ันัด่ีท็ป้ันัดักินิตัน่ืน่ืนัตักูคัมัตำนืคัลำกำค้ด้ลัลำกำน

ไป ยก ง 2 แ วไ ตอบ p ง 2 อ การ ว น เอง องของจานวนใด ณน 2 ว nnnn 3) - 8.3 2 3) - 8.3 2 ( 5)อ = วิธีทา เ องจาก f โ8 3.) = .. โ5) = 025• min 2TC/- 8. 3) ( 8. 3) = 68. 89 ← า ตน นงทศ ยม รวม น f) × c.) = E) \" ง น โ- 83 เ น ราก สอง น ราก สอง ของ ของ 68.89 5#

8•3 ×8 3 • - งเวลา ณ อ า ดมอง บ ณ น ธรรมดา แ ว อยใ |ด ห ง \" วห า า }แห ง }ตอบ อง วห ง 1 แห ง เ+เ = 2 แห ง 2 83 × 83 24 9 + 66 40 68 • 8 9 งาน <- ใการ ด ของ ตอบ อง เ ม บ แห ง ด าย จาก ายไป ขวา : 8.3 ✗ 8.3=66.89 . # ้ซ้ทุส่นำตัน่ิร้ตำคุจ่ส่นำตีม่นำตีมัลัต้ตำค่นำตีม้นัตัล่ีทุจ่ส่ค้ลักูคัจุจ่ึพ่ยุค

รากท่ี องและการ ารากที่ องของจานวนจรงิ จะเ น็ วา่ โง ของ → งj ☐32 = 3 = 3 → (−3)2 = 3 = −3 hญ1 บทนิยาม ต→ C- [-3) F- 3)→ ใ ้ a แทนจานวนจรงิ ใด ๆ จะไดว้ ่า = เม่ือ a คือ คา่ มั บรู ณข์ อง a C)a2 = ไ เสมอ เลข ฐาน ด ลบ ย น เ นออก มา บอก เสมอ จะ ็ป้ัน่ีทำคู่คัลำกิต่ีท้วำจัน⃝?ุ้ทึณัลำกัลำกุ่วัลำก

แปลง T → ง น}j ✓# = (32 →_ ¥3ะ =3 # ④¥ → =3 = - 3ft) - a ← ศาสม มๆ . = ยก ง

การหารากทสี่ อง % 1) การหารากทส่ี องโดยการแยกตวั ประกอบ mnn ราก 2 = เลข ง ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหารากท่สี องขอ _ วิธที า เน่อื งจาก 225 ป= ± ใน (22 5) ④# →± = 15 จะได้ 15 เปน็ รากทีส่ อ JIำ• 5 = 15 # แตเ่ นอ่ื งจาก (−15)2 = = -15 จะได้ -15 เปน็ รากท่สี # ดังนัน้ รากที่สองของ 2 ัตำน่ัวัลำก้ีช่ีท็กุ๋ห๋ืฐ

= 15 ✗ 15 ⑤<- 22 ← 5ั12ว545 % 152 ⑦ะ = = JI Ta= - gjdmd9 5-15 องo225 Ta = 3×3×5×5 = (5 × 3) × (5 × 3) h วประกอบ = 15 × 15 3 225 = 152 → องท่เี ปน็ บวกของ 225 3 75 = 225 สองท่เี ปน็ ลบของ 225 5a-7 25 225 คอื 15, -15 55 1 4

การหารากทสี่ อง 1) การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ JI = T ☐ตัวอยา่ งที่ 2 จงหารากทส่ี องของ☐625 n วธิ ที า _ _ ✓้652 hrs625)± ง แปลง T เ น เลข 01= ( 25\\2)ว → & = 25g -25 ฬง o ราก สอง ของ 625 = 25 , -25 ำนัลำก้ีช็ป้ืซ่ีซ

5 แยกตัวประกอบ 5L K - |กอ 625 ← 12 Ta # # 1- 12£⑤ , /⑤✗ ntt อ อ25 25C ้ 25 51้ฑํ๊ ¥& 1= 625 = 2 20= 25 ts = Cl-2n5n)✗ Cr-25) = 252 5

การหารากทสี่ อง แนม 1) การหารากทส่ี องโดยการแยกตวั ประกอบ ใ ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหารากทส่ี องของo676 ห วธิ ีทา ] {ใน แปลง มา ( 67 6) ] = 676 0* \" @- ะ (2เ2\\) 1 แ2= I เJ7้เ = 26 g-26 # ✓ ุ๋ทุ้ว่ัญ่ัว๋ํห๊ิญัต่ีท็ปัลำก้ีช้หัตู่คัจฺว

บพยายาม ว เลข แยกตัวประกอบ เลข ง เ น เลข 2 6 76 หาร ลง ว 2000/ \\ ~ 33 8 ] ว676 = ( 67 6) บป\"④ ④← h\" หา 2k :(% 3 2 676 = 26×26 = 262 = 13 ✗ 2 ะ 26 ะ 132✗ 22 ✓☒6 = ลาย 26 -26 , 6

การหารากทสี่ อง * JI า ข 1) การหารากทส่ี องโดยการแยกตวั ประกอบ และ าม * Taxb = ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สองของ }25 * J = 169 fฐึ้วิธีทา ใญ ตอบแ มา G) = , → ง ใน = = [25) % = Jฐึ๋ ¥ะ # ง= ๋ึก่ัษู่วุ่บ๋วัลำก้ิญ่ต้หิต้ห่ว้น้ห่ค

ของ a าม อย ก า 0 แยกตัวประกอบ ม ด ลบ n25g > Ta × Tb g I = งง 169 a น ' 13 13 → 132 ⑤☒= = , = ฏํ๋ # * 7

การหารากทส่ี อง ง 1) การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ ②ตวั อยา่ งที่ 4 จงหารากท่ีสองของ ใ225 → ต 400 วิธที า ]¥ = อน- ง = ๐ = ( 225) ± ±* = ✓ ู๊ฐฺค๋ืฅ่ิวูฑ่วัลำก่ต้ห่ิญ

¥ง = 51~2245 5 แยกตวั ประกอบ 2oz §2 25 _ →5 แต . +- , ฑื๋ป§12 1- _ a :OC 15} f 15×15=1520 32×52 = = 102✗22 a4pอeอ ¥\" → ฐ# 4 \"£ ✓ : อ2 8.

การหารากทส่ี อง 0.µ425 → 1) การหารากทส่ี องโดยการแยกตวั ประกอบ เ อน 2 ตัวอย่างท่ี 5 จงหารากท่สี องของ 0n.3g6e → แป วิธที า 2 µ ะฒํ๊J ง จ#④3) Cเ cแ-วะ ☒ 3 ¥ะ # 5 ๊ืห่ัวุ๊ฐ๋วัลำก่ีทฐฺฑัล่ส่ืย็ป้หิน๋ึลัตัตีอ้ต่ืล์ุว๊ืห

°! ? 7w. u t = 4 |ย_อฐํ๋-- แยกตวั ประกอบก→ องการ 0อ 2 ว0 2ว te ปลง ทศ ยมใ Ioo เน §เศษ วน = 1ลง ห ง a_นหมด ะf \" จ¥ ะ| อ# 2 36 = 2 r a เ 66 # }# ^ JIO = , f- _ ¥ 3g- 9

การหารากทส่ี อง JI ; a > 5นะ ¥ 1) การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ JI × JJ ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาผลสาเรจ็ 3ต02าา0×มnnใ8- บ เลขใน โ เอวธิ ที า ✗☒ บ เลข ห า นก☒ ข. ง3J] × =3 T 8 → แยก วประกอ md1← 3 ้ 16 Clqn ใ เ น เลข ง = 34 6) 01= 3 ( 4\\3 22 โ3 2 × 8 = |2 # 3× 4 = 12 # ้ขอฺตุ่ว่ัวุ่วัลำก้ีช็ป้หุ้ยุ่งัต้หักูด้ข้นัจ้กัจุก้ดำจ้ด่ม้น

>/ o อย 0ไ ไ } ¥ เ อ ! 1. J= µ- ×b โคน น น 42Cอบ Cg 1 \\2 × ะ 1 ll 11

การหารากทส่ี อง 1) การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ กระจาย clstyตวั อย่างท่ี 2 จงหาผลลัพธข์ อง 2 3 ( 3 + 12 ) วธิ ที า กม → 3 Bf253C า2) (= 2 Oง+ ( ะ (213 ) ) C+ 2 _ ใน= เ + 2 - t แปลงร {ะ 6 + 2 (3 6) = 6 t 2 [62,/120 1 a- ( 2)= 6 + 1 = 18 # ตฐ 2 ร3 (53 + 72) = 18 # ัลำก้ีช็ป้หู๊ญ้ัณ้ข⃝?ุ่ท็ษ

ะanC#× 0 ¥! \" = / แยกตัวประกอบ นาน* ะ 36 = 62 =a n c- cq 66 / Tttze (2 ง × 1T2) _ 2) -> ง ร ใ เ น เลข #- 12

การหารากทส่ี อง aj 1) การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ h ตัวอย่างท่ี 3 จงหาผลสาเรจ็ ตอ่ ไปนี้ 64������2������4������8 ไป/ JIวธิ ที า %64 2 b = × # × งน4 ใแ ไงะ [ a ✗ [aำ × ฐ= , × a × × ย= 8 ab 4 # ฐ J 64 b% }= 8 ab 4 ้ห๋หุ่ยู๋ง๋ย้ทัลำก๋ืษ่ํงิปำนู้ห

jba JIHJ แยกตวั ประกอบ ¥ i✗ 2 84C64 = /\\ = ป ② 8C→ เ ดหมวก ะ | 1 ำ1แปลง 5 → ใ 52Cง g 32 64 ไ × =4 \" 8 4C ¢⑦ 4 × 22 # 13

การหารากทส่ี อง ถอด 1) การหารากทส่ี องโดยการแยกตวั ประกอบ p เอา ตัวอย่างท่ี 4 จงหาผลสาเรจ็ ตอ่ ไปนี้ ������������ ������������ − ������ ������������������ วธิ ีทา p mr 2อ JT5- 3J-1 = 20C 25) - = De}ffte # ④[53(2= อ ก 3- 5 5 I 0± มm (ะ #่ 3- 5 (5) 1= 3 (5) 5T ออ - m 55ะ 1 ออ - 1 5 lt ญ ✓¥2 • -3 ใน = loo - 1555 ู่ดิกืรัลำก็ปัตู่คัจัตีท้ข่ย๋ืฅ่ีทำทัลำก่ว่วึก่ก็รำส้ห่ว

ใาด รา เ จ อน แยกตวั ประกอบ ⑤= 55 - 3 G25) ญื้ อมn e ราก 2 กระจาย ง การ 25 5 เ า ละ ว บการ ของ ว . ... . . มา 5×5.0☒ เน ง2 หาอr~ง _ I1 # 14

การหารากทส่ี อง 1) การหารากทส่ี องโดยการแยกตวั ประกอบ ตวั อย่างท่ี 5 จงหาผลลพั ธ์ของ ������2 − 729 = 0 3 การ วิธที า mrnn ง2 ~ จาก - าย าม เค ✗ ๆ ฯ2 ๐ ←_= |ง ๐2 → _ 2 จา 2 ✗ = o + 729 ใ หายไป ยก 1 →✗ = ๆ2g 2 2\" 0 f ผํง 2 าง \"\" ✗= ( ่ ✗ = [ 729) l7zTา ๓± ย ✗ ุ๋ร๋ัย้ข้ัทัลำก้หำท้ข่ืร่ัฝ้ข้ย่ค๋ึญ่ัม

31 ง แยกตัวประกอบ รหา า ✗ ' 729=272 ค องหมาย ตรง าม ④c- 243 าก,e27,ใา④2× . = 1 ].. 2- ④⑦ ํ๊* 02,.1l2t / \" ( 2 ๆ 27 ✗ 27 = 272 ✗ = 27 # 15

การหารากทสี่ อง 1) การหารากทส่ี องโดยการแยกตวั ประกอบ ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาผลลพั ธ์ของ Chr������2 − 9 = 538 → ห พบ องหมาย 090 อ |วธิ ที า ✗2- กม ว ตรง าม เค ะ 538 ตรง าม ป✗ = 2 • ✗= 538+9 7 ม อน ง± €× 547 → / ง 2 าง (× = 547)ย ✗ = (547) → _w ⃝?ุ๋น้ข้ัทัลำก่ก๊ิต้ข่ืร้ข่ัผ่ค

หา า ✗ แยกตวั ประกอบ ป7# 547 /- 16

การหารากทสี่ อง 1) การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ ตวั อย่างที่ 7 ������ = 6 จงหาคา่ Cx วธิ ที า \\2Jx 6= E|④ ](✗] จาก # ม ง x %ราก 2 ค เลข ตอง การ เ ม 6 ง2 - ✗= ง ยก ง 2 ง 2 าง ๓ฐ ้ข้ัทัลำกึจัลำกิต่ัวัลำก้ีช่ีท

21\\# = 1 แยกตวั ประกอบ Ei= 620-0 622 = 6 ✗ 6 = 36 = 36 #× = 36 17

การหารากทส่ี อง 1) การหารากทสี่ องโดยการแยกตวั ประกอบ ตัวอยา่ งที่ 8 ������ = ✗616จงหาค่า x ง± ✗= วธิ ที า -0✓☒ - 16 ✗= แปลง ร เ น เลข ✗ะ อง การ {ใ หาย จาก ¢× = 1 ④ แ อง การ 2 ด บ1 [✗, iii. าง องb(× (แ → £ #× 1= ุ่บ้ว่ย้ขัทุ๋ญักำดำน้ตูม้หำท้ตัลำก้ีช็ป

162 แยกตวั ประกอบ = 3 = 16 ✗ 16 16 × ะ 256 16 # _ 96 + 1 60 _ เ2ส5นอ 18

การหารากท่สี อง 2) การหารากทส่ี องโดยการเปิดตาราง ถ้า n เ _ คือ ราก ตวั อย่างตารางแสดงคา่ รากทส่ี อง ถ้า n ไ n ������ ⋮⋮ เปน็ ค่า 12 3.464 13 3.606 เช่น n = 15 จ 14 3.742 แตร่ ากทสี่ องข 15 3.873 16 4.000 นั่นคอื รากทีส่ ⋮⋮ และ -3.875

เป็นจานวนเตม็ บวก แลว้ n กทส่ี องทเ่ี ปน็ บวกของ n ไม่เปน็ จานวนเตม็ ค่าในตารางจะ าโดยประมาณ จะไดว้ า่ n ≈ 3.875 ของ n คอื n และ - n สองของ 15 มคี ่าประมาณ 3.875 19

เ มเ ม ค ป 4 การ หา า ราก สอง J1) 441 → 1) เรา อง แยก ว ประกอบ 54 41 = ( 441) { = hy แปลง T เ น ง 1 ✓ การา 2 ÷¥ = ^ 3\" 7✗ = 7 ×3 = 21 # ]44-1 = 21 ู๊ญ่ืณืย้อัลำก็ปำทีธิวัต้ตัต่ีท่ค่ีทิลิต่ิพ้หักูด่ีทัตำจ

→ นวน ว ณน = axa บ ของ 4 41 แยก ว ประกอบ 44① ← 1 3,7← , /\\ 9 . .. . 63 ④ ⑦ าไn 63 2 9 ✗⑦ 7 14แ ⑤ๆ 42 t I ง2 2T > 441 = 72 ✗ 32 T =

เ มเ ม ค ป 4 การ หา า ราก สอง f ฐ }2) 1 ประกอบ= แยก ว ง บน และ , ← พยายามใ ไ บรร ด . ok ! = แปลง รเ น yi ]ญื๋ }# ญื0= ( 169) £ ( 48 4)ม ÷ = 1 /เ [, ำ= = # _ |¥ ำต¥ # = 4 ุ่วุ่วุว่ห๊ัห๊ฬ๊ืข้ด็ก้วู่วัลำก็ปัท้ม้ชิว่ส่ล้ัทัตัต้ดุร๋ัศ๋ัห่ีท่ค่ีทิลิต่ิพัท

t โดย b 40 [ ท แยกไ ) = แยก ว ประกอบ าง (เศษ/ วน) /⑨16 £* /3,17,9,13 .. . ④ ④ 320น ง 1 ✗• 0 ④⑦ 2% 02 ฺg× เแะเ # _ ④ ④48 → 4,316 . . . ✗ ไเอา 2 ไ ②242 ② 484=22× แ ำE #กาลนาน

เ มเ ม ค ป 4 การ หา า ราก สอง เ อน แห |3)~ แปลง ดใ เ น เศษ วน อ . 3 2 47• นh้น เ อน แห ง3 องการ ว วน rnooern -0m 0¥,1☒1 ° ° , ÷แ /7)} ะง / 0.324 = |¥ }JTLI อ ✗¥ \" = fµ-ออ = ( 324) 12 [= ( 22 × ิ [10 ออง ม (เ ⑦#= [ 2 × เอ) [9 ÷= a. µ - •ำ 18 ×ง± _ เอง% Jw ่ํงิน่มัลำกัด๋ิหูร็ป้หัต⃝?้อัลำกีม่มืร่มัต่ีทีม๊ิก้อัต๊ืฅิว๋ัฐัตีม่ีท่สัต้ต่นำต่ืล่ก่ส็ป้หุจัต์ย้ต็ก่นำตีกืล่ีท่ค่ีทิลิต่ิพูดัลำก็ปัจ

พยายาม บ เ น ง ห ง อง การขน 1MW แยก ว ประกอบ น อน เสมอ 22× 2 0= 3 ว 324 = q ttd - Te /\\ _ ④220 |m \" 10ออ q ft n µ เออ 81 2 g- } แยก ว n 0* เอา☐ ประกอบ looo = 1 × 1 o \" [④ นายดไ หมด ห อไ ง ิ > ดใ แปลง เ น ป เท ) ÷= น ง วะ T ④. ☒ ไ ยม C 10 → ✓%

ยมตอบ สวน ดราก อ§ - ไ° •. ำ• ⑤โ C = 18 อ t= \" Tnr ต¥ _ } จะ อ บา Jaxta - a อ นะ - เอ (เอง Jห ☒% = 10 1 8)% %32-4 = d-0 ู่ยิต็ปิธัมัตูคัมัต้ฬีณ๋ืห้ขู้ร๊ืฐ๋ัหิติน่ม๋ึฏ

7ettok! \" jicJa - ☒× 2= e = 2 . .. . . . .. .. . ในกร ว นเอง าย เ น เ ม ณ ว น เอง นะ ะแ ~

เ มเ ม ค ป 4 การ หา า ราก สอง ้ ไท→ แยก 4) 108 49 } แยก ว ประก \"\"\" J|¥ญื๊ = 1 *\" = 11 ¥ :÷JI.at ( 49) I = ( 220 32 C 22×3 [ = ว โ {I. 3 → 3 = 2×3 × [ 3) 7 7 ใ= เTาำ←# ต± ฑํ๊ = µ § ้ด้ข⃝?ีม่มุ๋ภัต๋ืฐิว้ด็กู่ข้ดูรัต่ีท่ค่ีทิลิต่ิพ

แยก ว ประกอบ | 08 → 1 ลบ เอา 2 n ไ 54 ② กอบ ②/\\ 22 lg\"\" \" 108 = 22×32✗ 3 \"1 ไ A 32 โคโลราโด 20 0 30{ Q(3)q3 mi = /\\ 3_ f)← ตอบไ ooe ใ#น

เ มเ ม ค ป 4 การ หา า ราก สอง 5) (75 57-ก= าบ75)12 %④= ( 52× = J {50(= ะ (3) = 5×53 ⑤= 5×# ญบ JTT = 5T3 # ำน่งำทีธิวัต่ีท่ค่ีทิลิต่ิพ

Z 1= แยก ว ประกอบ JI = a I 75← 3 ± = JJ # 550215 / '5ft CCLGCOLCOL- 75 = 52×3