วรี ยทุ ธ อาภรณร ัมย 61102010501 บทที่ 8 สภาพสมดลุ และสภาพยืดหยุน
1 บทท่ี 8 สภาพสมดุลและสภาพยดื หยนุ 8.1. สภาพสมดุล สภาพสมดุล (equilibrium) คือ สภาพของวตั ถุตางๆทีพ่ บไดในชีวิตประจำวนั ทีส่ ามารถรักษาสภาพ การเคลื่อนทใี่ หคงเดมิ ได เชน หนังสือที่วางบนโตะ รถที่วิ่งในทางตรงดว ยความเรว็ คงตวั หรอื พัดลมทใ่ี บพดั หมนุ ดว ยความเรว็ เชงิ มมุ คงตัว เปนตน โดยทัว่ ไปสามารถจำแนกสภาพสมดลุ ไดเ ปน สมดลุ สถติ (static equilibrium) เปนสมดลุ ของวตั ถหุ รือสิ่งกอสรางที่อยนู ่ิง เชน หนงั สอื วางอยูน่ิงๆบน พื้นโตะ เสาไฟฟา อาคาร คอนโดมเิ นยี ม ทมี่ สี ภาพอยูนง่ิ โดยไมล ม หรอื พงั ลงมา เปนตน สมดุลจลน (dynamic equilibrium) เปน สมดุลของวตั ถุทเ่ี คลือ่ นท่ดี วยความเร็วคงตัว หรือหมนุ ดวย ความเร็วเชงิ มุมคงตัว เชน รถยนตท ี่แลนไปตามถนนตรงดวยความเร็วคงตัว ลิฟตขณะเคล่อื นท่ีขึน้ หรอื ลงดว ย ความเร็วคงตัว หรอื ลอหมุนดว ยความเร็วเชิงมมุ คงตัวเปนตน เมื่อพจิ ารณาเก่ยี วกบั การเคลือ่ นทขี่ องวัตถุ วัตถทุ คี่ งสภาพการเคลอื่ นท่เี ดิม คือหยดุ นงิ่ หรือเคลอ่ื นทดี่ ว ย ความเรว็ คงตวั จดั วา วตั ถนุ ั้น สมดลุ ตอการตอการเลอ่ื นที่ (translational equilibrium) ซ่งึ จากกฎของนิวตนั ไดว า เมื่อมแี รงกระทำตอวัตถุ โดยแรงลพั ธเปนศนู ย วัตถุจะคงสภาพการเคล่อื นที่เดมิ ดงั น้ัน วัตถจุ ะอยใู นสมดลุ ตอการเลือ่ นที่ทีม่ เี งอื่ นไขคือ แรงลัพธที่กระทำตอวตั ถเุ ปนศูนย
2 ถาให ������⃑������������������ แทนแรงตางๆที่กระทำตอวัตถุ (������������ = 1,2,3, … , ������������) ดังน้ัน ������������ � ������⃑������������������ = 0 ������������=1 เม่อื พิจารณา วัตถุ เก่ยี วกับการหมนุ ของวัตถุ วตั ถจุ ะไมห มุนหรือหมนุ ดว ยความเรว็ คงตวั ตอ เมอื่ ทอรก หรอื โมเมนตข องแรง ทีก่ ระทำตอวตั ถเุ ปน ศูนย จัดวาวตั ถุ สมดลุ ตอ การหมุน (rotational equilibrium) ดงั นนั้ เง่ือนไขของการหมนุ คอื ผลรวมของทอรก ลัพธหรือโมเมนตลัพธ กระทำตอ วัตถุรอบแกนหมนุ ไดเ ปนศนู ย ถาให ������⃑������������������ แทน ทอรก ตางๆ หรือ ������������������������ แทนโมเมนตของแรงตา งๆ ดังน้ัน ������������ ������������ � ������⃑������������������ = 0 หรอื � ������������������������ = 0 ������������=1 ������������=1 8.2. สมดุลตอการเล่อื นที่ วัตถุทอี่ ยูในสภาพสมดลุ ตอการเลือ่ นท่ี แรงลพั ธท ี่กระทำตอ วตั ถุเปน ศูนย ดังนั้นเมอื่ พจิ ารณาแรงทกี่ ระทำ ตอ วตั ถุ แลว ทำใหว ตั ถุสมดุลตอการเลื่อนที่ อาจพิจารณาไดด ังน้ี กรณที มี่ ีแรงสองแรงกระทำ เมอื่ วางหนังสือบนโตะ 8.2 ก หนงั สอื จะอยนู ่งิ บนโตะ โดยมีแรงสองแรงกระทำ แรงหน่งึ คือ แรง โนมถวงของโลก หรือนำ้ หนัก ������������⃑��� อกี แรงหนึง่ คอื แรงท่ีโตะ ดันหนังสือในแนวต้ังฉากกบั พนื้ โตะ �������⃑������ โดยแรง ท้งั สองมีทศิ ทางตรงขามกนั 8.2 ข จากกฎการเคลอ่ื นทข่ี องนวิ ตัน แรงลพั ธของ ������������⃑��� และ �������⃑������ เปนศูนย แสดงวา วตั ถุอยูในสมดุลสถติ ตอการ เล่อื นที่ ดังนัน้ ������������⃑��� + �������⃑������ = 0 หรอื ������������⃑��� = −�������⃑������
3 นนั่ คอื ������������ มขี นาดเทากบั ������������ เคร่ืองหมายลบ (-) ขา งหนา �������⃑������ หมายถึง �������⃑������ มที ิศทางตรงขามกับ ������������⃑��� กรณีท่ีมแี รง 3 แรงกระทำ ในกรณที ม่ี แี รงสามแรงกระทำตอ วตั ถแุ ลววัตถุอยูน่ิง แนวแรงทั้งสามจะเปนได 2 กรณดี งั น้ี กรณีท่ี 1 แนวแรงทง้ั 3 ขนานกนั ตัวอยางเชน แทง คอนกรตี พาดบนหวั เสาสองตน โดยแทงคอนกรีต จะมีแรงกระทำสามแรงคือ น้ำหนัก ������������⃑���, �������⃑������1 และ �������⃑������2โดย �������⃑������1 และ �������⃑������2 เปนแรงท่ีเสาดันแทงคอนกรตี ในทิศทางตงั้ ฉากดงั รปู 8.3 ดังนนั้ ������������⃑��� + �������⃑������1 + �������⃑������2 = 0 และสามารถแสดงวา แรงลพั ธข องแรงท้ังสามเปนศนู ยไ ดโ ดย การนำแรงท้ัง สามมาเขยี นหางตอ หัวเวกเตอร ดงั รูป 8.4 กรณที ี่ 2 แนวแรงท้งั สามไมขนานกนั เมือ่ มีแรงสามแรงกระทำตอ วัตถทุ ่ตี ำแหนงตา งๆโดยในแรงทงั้ สามไมข นานกันและวตั ถอุ ยูนง่ิ แนว แรงท้ังสามตอ งพบกันที่จดุ ๆนงึ และแรงทัง้ สามจะอยูใ นระนาบเดียวกัน
4 รปู 8.5 ในแรงดึงในเสน เชอื กท่ผี ูกกบั กระดาษแข็งเม่อื แผนกระดาษแข็งหยุดนิง่ ถา ให ������⃑������1 , ������⃑������2 และ ��������⃑������3 เปนแรงกระทำกับ กระดาษแขง็ ทอี่ านคาไดจากเครอ่ื งชง่ั สปริง 1 ,2 และ 3 ตามลำดับ ถานำเวกเตอรแทนแรงทั้งสามจากรูป 8.5 ข มาเขียนตอกัน โดยใหความยาวเวกเตอรเปนไปตามมาตรา สวนทกี่ ำหนดไว และใหห างของเวกเตอรหนง่ึ ตอกับหวั ของวเวกเตอรหนึง่ จนครบ หัวเวกเตอรสดุ ทา ย จะมาพบหาง ของเวกเตอรแรกพอดี ซึ่งไดเปนรูปสามเหลี่ยมปด หมายถึง เวกเตอรลัพธเปนศูนย ดังรูป 8.5 ค นั่นคือแรงลัพธท่ี กระทำตอกระดาษแขง็ มีคาเปน ศนู ย จะเขียนไดวา ������⃑������1 + ������⃑������2 + ������⃑������3 = 0 ถามีแรงหลายแรงกระทำตอวัตถุ ทำใหวัตถุสมดุลตอการเลื่อนที่ จะสามารถสรุปไดวา แรงลัพธของแรง หลายแรงน้ันเปนศูนย ������������ � ������⃑������������������ = 0 ������������=1 ถานำแรงเหลานี้ สมมุติวาเปน ดังรูป 8.6 ก มาหาแรงลัพธโดยการสรางรูปและใชความยาวตามมาตรา สวนดังรปู 8.6 ข จะไดร ปู หลายเหล่ียมปด ดงั รปู 8.6 ค รปู 8.6 การรวมเวกเตอรแ ทนแรงท่กี ระทำตอวัตถุท่ีสมดุลไดเ ปน รูปหลายเหลี่ยมปด
5 การหาแรงลพั ธนอกจากใชว ิธีหางตอหัวเวกเตอร ยังสามารถหาแรงลพั ธโ ดยการแยกแรงเปน แรง องคป ระกอบ แลว รวมองคประกอบ ตางๆ จะไดองคประกอบของแรงลัพธคอื ������⃑������������������ = ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������������������ และ ������⃑������������������ = ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������������������ เมอ่ื ������⃑������������������������������ และ ������⃑������������������������������ และ เปน แรงองคป ระกอบของแรง ������⃑������������������ อยูใ นแนวแกน x และ y ตามลำดับ ในกรณที วี่ ตั ถุสมดลุ ตอการเลื่อนทผ่ี ลรวมของแรงท่ีกระทำตอวตั ถตุ อ งเทา กบั ศูนย ดงั นัน้ ผลรวมของแรง องคป ระกอบของแรงกระทำตา งๆในแนวแกน x และแกน y จะตอ งเปน ศูนยดว ย นั่นคือ ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������������������ = 0 และ ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������������������ = 0 8.3. สมดลุ ตอ การหมนุ วัตถทุ ี่คงสภาพการหมุนคือไมห มุนหรอื หมนุ ดว ยความเรว็ เชงิ มมุ คงตวั คอื วตั ถทุ ีส่ มดุลตอการหมุนโดย วตั ถุจะสมดลุ ตอการหมนุ ไดเ มือ่ ทอรก ลัพธห รอื ผลรวมของโมเมนตของแรงท่กี ระทำตอ วตั ถุเปน ศนู ย 8.3.1. โมเมนตของแรงหรือทอรก การหมุนของวัตถุจะขึ้นกับโมเมนตของแรง (moment of force) หรือทอรก (torque) ถามีแรง กระทำตอ วตั ถทุ ต่ี ำแหนง ปลายของเวกเตอรบอกตำแหนง ���⃑��������� จากจดุ หมนุ ดงั รปู 8.7 ������⃑������ เปนแรงกระทำตอวัตถุ ���⃑��������� เปน เวกเตอรบ อกตำแหนงจากจุดหมนุ ไปถึงจดุ ที่แรง ������⃑������ กระทำ รปู 8.7 แรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุมีแนวแรงหางจากแกนหมุนเปน ระยะ d โดยนิยามมีสมการเวกเตอรของทอรก คอื ������⃑������ = ���⃑��������� × ������⃑������ จากการเคล่อื นทแ่ี บบหมุนขนาดของ ทอรก หรอื ขนาดของโมเมนต ������������ ของแรง ������⃑������ จะเทากบั ������������ = ������������������������ sin ������������ = ������������������������
6 d เปนระยะหา งจากจุดหมนุ ไปตง้ั ฉากกับแนวของแรง ������⃑������ ดงั นนั้ ขนาดของทอรก มคี า เทา กับ ผลคูณระหวางขนาดของแรงกบั ระยะทางจากจุดหมุนไป ตัง้ ฉากกบั แนวแรง มหี นว ย นิวตนั เมตร ทอรกเปน ปริมาณเวกเตอร ซง่ึ มีทั้งขนาดและทิศทางโดยสามารถพจิ ารณาทิศทางของทอรก ได จากการใชก ฎมือขวา และทศิ ทางของทอรกน้ันจะพุง ออกต้ังฉากกับระนาบของการหมนุ ดงั รปู 8.8 รปู 8.8 การหมุนของวัตถุเทียบกับการหมนุ ของเข็มนาิกา เม่อื วตั ถอุ ยใู นสภาพสมดุลสถิตคอื ไมหมนุ ผลรวมโมเมนตข องแรงตอ งเปน ศนู ย ∑���������������������=��� 1 ������������������������ = 0 หรอื อาจถือเปน หลักไดวา ผลรวมโมเมนตท วนเข็มนาิกา = ผลรวมของโมเมนตต ามเขม็ นากิ า เชน ในกรณที ีม่ นี ำ้ หนกั ������������⃑���1, ������������⃑���2และ ������������⃑���3 แขวนกับไมเ มตรและไมเมตรอยใู นสมดุล คอื อยนู ง่ิ ใน แนวระดบั ได ดังรปู 8.9 (ไมค ิดน้ำหนักของไมเ มตร) รปู 8.9 น้ำหนกั ������������⃑���1, ������������⃑���2และ ������������⃑���3 แขวนกับไมเ มตรซง่ึ อยูในแนวระดับ จะเกดิ โมเมนตของแรงกระทำตอ ไมเ มตร โดยผลรวมของโมเมนตจ ะเปนศนู ย คิดโมเมนตร อบตำแหนง ทีแ่ ขวนเชือกได ∑���������������������=��� 1 ������������������������ = 0 ใหโ มเมนตทวนเข็มนาิกามีเคร่อื งหมาย บวก (+) และโมเมนตต ามเข็มนาิกามเี ครอื่ งหมายลบ (-)
7 หรือไดว า 3 � ������������������������ = 0 ������������=1 ������������1������������1 − ������������2������������2 − ������������3������������3 = 0 ������������1������������1 = ������������2������������2 + ������������3������������3 นน่ั คอื เมื่อไมเมตรสมดลุ ตอ การหมุน ผลรวมของโมเมนตท วนเข็มนากิ า = ผลรวมของโมเมนตต ามเข็มนาิกา 8.3.2. โมเมนตข องแรงคคู วบ แรงสองแรงทม่ี ีขนาดเทา กนั กระทำตอวตั ถุ แนวแรงขนานกันแตมีทต่ี รงขา มกนั เรียกแรงคูนี้วา แรงคูควบ ดงั แรง ������⃑������1และ ������⃑������2 ทก่ี ระทำตอวตั ถุ ในรูป 8.10 รูป 8.10 แรงคูควบ ������⃑������1และ ������⃑������2 กระทำกับวตั ถุทีต่ ำแหนง A และ B ตามลำดบั โดยแนวแรงท้ังสองตง้ั ฉากกบั ระยะ AB พิจารณาจากรูป 8.10 จะไดวาโมเมนตของแรงคูควบ ������⃑������1และ ������⃑������2 รอบจุดหมุน O เปนโมเมนต ตามเข็มนาิกา และเนื่องจากขนาดของแรงคูควบเทากัน ดังนั้นถาให F เปนขนาดของแรงคูควบแตละแรง จะหา ผลรวมโมเมนตของแรงคูควบ ������⃑������1และ ������⃑������2 ไดเ ปน ดังนน้ั ������������1������������1 + ������������2������������2 = ������������������������1 + ������������������������2 = ������������(������������1 + ������������2) ������������1������������1 + ������������2������������2 = ������������������������ ������������������������ = ������������������������ เม่ือ ������������������������ เปน โมเมนตข องแรงคูควบ ������������ เปน ขนาดของแรงคูควบ ������������ เปนระยะตงั้ ฉาก ระหวางแนวแรงท้งั สอง
8 ดังนั้นสรุปไดวา โมเมนตของแรงคูควบใดๆ มีขนาดเทากับผลคูณของขนาดของแรงใดแรง หนึ่ง กับระยะทางตั้งฉากกับแนวแรงทงั้ สอง ซึง่ จะหมุนตามเขม็ นาิกาหรือหมนุ เข็มนาิกา ข้ึนอยูกับทิศของแรง คูควบนั้น และแรงคูควบเปนแรงที่ทำใหวัตถุไมสมดุลตอการหมุน แตสมดุลตอการเลื่อนที่ เนื่องจากแรงลัพธของ แรงคคู วบจะเปน ศนู ย เพราะแรงทงั้ สองมขี นาดเทากนั แรงคูควบจึงไมมผี ลในการเลื่อนที่ของวัตถุ แตจ ะมผี ลเฉพาะ ทำใหเกิดการหมนุ อยางเดียว 8.4. ศูนยกลางมวลและศูนยถ ว ง ศูนยกลางมวล (centre of mass, cm) เปนตำแหนงที่เปรียบเสมือนเปนจุดรวมของมวลวัตถุทั้งกอน สำหรับวัตถุแขง็ เกรง็ กอนหนึง่ จะมีศนู ยกลางมวลเพียงจุดเดยี ว ซ่งึ อาจอยูภายในหรอื ภายนอกวัตถกุ ไ็ ด หรอื ถาวัตถุ ที่เปนจุดสองกอนมีมวลเทากันและอยูแยกกันศูนยกลางมวลจะอยูที่กึงกลางระหวางมวลทั้งสอง แตถามวลไม เทากัน ศูนยกลางมวลจะอยูใกลกับมวลที่มีคามากกวา สำหรับมวล m1 และ m2 ที่อยูบนแกน x อาจหาตำแหนง ศูนยก ลางมวลไดจากสมการตอ ไปนี้ คอื (������������1 + ������������2)������������������������������������ = ������������1������������1 + ������������2������������2 ������������������������������������ = ������������1������������1 + ������������2������������2 (������������1 + ������������2) นอกจากนีต้ ำแหนง ศูนยกลางมวลอาจไมอ ยูภายในเน้อื ของวัตถแุ ข็งเกร็งนั้นก็ได เชน ศูนยกลางมวลของวง แหวนสม่ำเสมอ ตำแหนงศนู ยกลางมวล อยูทศ่ี ูนยกลางของระนาบวงแหวน ดังรปู 8.11 รปู 8.11 ศนู ยก ลางมวลของวงแหวน ศูนยถวง (centre of gravity, cg) เปนตำแหนงที่แรงลัพธของแรงดึงดูดของโลกกระทำตอวัตถุ โดยทั่วไปศูนยถวงและศูนยกลางมวลจะอยูที่ตำแหนงเดียวกัน ยกเวนแตในกรณีที่มีวัตถุขนาดใหญ จนแตละสวน ของวัตถุนั้น อยูในสนามโนมถวงที่ไมเทากัน เชน ภูเขาสูงๆสนามโนมถวงบริเวณใกลผิวโลกมีคามาก สวนบริเวณที่ สูงขน้ึ ไป สนามโนมถวงมขี นาดลดลง ทำใหแรงท่ีโลกดงึ ดดู ภูเขานัน้ ณ บริเวณท่ีสงู ขึ้นไปมคี านอ ยลง ศนู ยถว งจะอยู คนละตำแหนง กบั ศนู ยกลางมวล โดยศูนยถว งจะอยูตำ่ กวา ศูนยก ลางมวล
9 สมมติวา มมี วล m1 และ m2 ยดึ กนั ไวดว ยแทง วัตถุท่ีเบามาก อยูใ นสนามโนม ถวงทส่ี มำ่ เสมอ g ดังรปู 8.12 วิธีหนึง่ ที่เราอาจหาตำแหนง ของแรงลัพธของแรงขนานซ่งึ เปนน้ำหนกั ของวตั ถุทงั้ สองคือหาวา ตำแหนงใดทม่ี ี แรงเพียงแรงเดยี ว (R) กระทำแลว จะทำใหว ัตถุท้ังระบบอยูในสมดลุ ไดซ ง่ึ ตำแหนง นนั้ จะเปน ศนู ยถว ง และเมือ่ วัตถุ อยใู นสมดุลจะไดว าทัง้ แรงและโมเมนตข องแรงรอบจดุ ใดๆ ตอ งเปน ศนู ย รูป 8.12 ตำแหนง ของศูนยถว งและศูนยก ลางมวล อยูต ำแหนง เดียวกันเม่ือวตั ถอุ ยูในสนามโนม ถว งสม่ำเสมอ จากรปู 8.12 จะเหน็ วา เมอ่ื โมเมนต ของแรงรอบศนู ยถ วงเทา กับศนู ย จะไดว า ������������1������������������������1 = ������������2������������������������2 เมอื่ ������������1และ ������������2 เปน ระยะจากศูนยถ วงไปยัง ������������1 และ ������������2 ตามลำดับ ซึง่ จะพบวาเปนเง่อื นไขเดยี วกบั ทจี่ ุดน้ันเปน ศนู ยกลางมวลคอื ������������1������������1 = ������������2������������2 ในกรณีท่รี ะบบมวลทัง้ สองนัน้ อยูในสนามโนมถวงที่ไมส มำ่ เสมอ เชน ������������1 อยูใ นสนามโนม ถวงท่มี ีคา ������������1 และ ������������2 อยูในสนามโนม ถวงทีม่ ีคา ������������2 ใหค า ������������1 มากกวา ������������2 ศูนยถ วงจะอยู ณ จดุ ทีท่ ำใหสมการนเี้ ปน จรงิ ������������1������������1������������1 = ������������2������������2������������2 รปู 8.13 ตำแหนง ของศนู ยถ วงและ ศูนยก ลางมวล อยูต ำแหนง เดียวกันเมอื่ วัตถอุ ยูในสนามโนมถวงไมสม่ำเสมอ
10 ดังนน้ั ศนู ยถ วงจะเล่อื นมาทางมวล ������������1 ในขณะท่ศี ูนยกลางมวลของระบบมวลอยูทีเ่ ดิม ศูนยถ วงจึงอยคู น ละตำแหนงกับศนู ยก ลางมวลดังรปู 8.13 8.5. สมดลุ ของวตั ถุ วัตถุท่อี ยูใ นสมดลุ อาจอยูใ นสมดลุ ตอการเล่ือนท่ีหรือสมดลุ ตอการหมนุ หรอื สมดลุ ทั้งตอ การเล่ือนทีแ่ ละ สมดุลตอการหมุน วัตถุทสี่ มดลุ ตอ การเลอื่ นทอ่ี าจหยุดน่ิงหรือเคล่อื นท่ดี ว ยความเรว็ คงตัว สว นวัตถุท่ีสมดลุ ตอการ หมุนกอ็ าจหยุดนง่ิ ไมหมนุ หรอื หมนุ ดวยความเร็วเชิงมมุ คงตัว พจิ ารณาวัตถุทรงสเ่ี หลยี่ มซง่ึ มนี ำ้ หนัก ������������⃑��� และตัง้ อยูบ นพ้ืนราบระดบั ทม่ี ีความฝด ดังรูป 8.14 รปู 8.14 วัตถุวางบนพ้ืนราบระดบั ท่ีมีความฝด ขณะที่วัตถุวางบนพื้นราบระดับจะมีแรงเนื่องจากน้ำหนักวัตถุ และมีแรงที่พื้นโตตอบกับแรงที่วัตถุกดพื้น โดยแรงโตตอบนี้ดันวัตถุไวในแนวตั้งฉากกับพื้น แรงทั้งสองนี้อยูในแนวเดียวกันและมีขนาดเทากัน แรงลัพธท่ี กระทำตอวัตถุจะเปนศูนย วัตถุจะอยูในสมดุลตอการเลื่อนที่ และไมมีโมเมนตที่ทำใหวัตถุหมุน ดังนั้นวัตถุจึงอยูใน สมดลุ ตอการหมุนดวย ถา ออกแรง ������⃑������ ในแนวระดบั กระทำกบั วตั ถุท่ตี ำแหนงสูงจากพื้นเปน ระยะ h1 ดงั รปู 8.15 ก โดยวตั ถยุ ังคง อยูนิ่ง แสดงวา วัตถุยังไมเปล่ียนสภาพการเลื่อนที่ และไมเปลี่ยนสภาพการหมนุ หลังจากนั้นเปลี่ยนตำแหนง ที่แรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุใหสูงจากพื้นขึ้นเรื่อย ๆ จนถึงความสูง h2 ดังรูป 8.15 ข ซึ่งเปลี่ยนตำแหนงที่แรงกระทำใหสูงข้ึน จะทำใหวัตถุเริ่มเอียงและเมื่อสูงถึงคาหนึ่งวัตถุจะลมวางตัวลงในแนวนอน แสดงวาในชวงนี้วัตถุไมสมดุลตอการ หมุน
11 รูป 8.15 แรง ������⃑������ กระทำตอ วตั ถใุ นแนวระดับท่ีตำแหนงสงู จากพื้นตางกนั เม่อื พจิ ารณาแรงตางๆ ทก่ี ระทำตอวัตถุ ดงั รปู 8.15 ก วัตถอุ ยใู นสมดุล ในขณะที่ออกแรง ������⃑������ ในแนวระดับ กระทำตอวัตถุ จะมีแรงเสียดทาน ������⃑������ ขนาดเทากับแรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุในทิศทางตรงกันขาม แนวแรงทั้งสอง ขนานกันและไมอยูในแนวเดียวกัน ดังนั้น แรง ������⃑������ , ������⃑������ จึงเปนแรงคูควบ ทำใหเกิดโมเมนตของแรงคูควบมีคา ������������ℎ1 หรือ ������������ℎ1 ซึ่งทำใหวัตถุหมุนทวนเข็มนาิกา แตวัตถุนี้ไมมีการหมุน แสดงวา จะตองมีโมเมนตของแรงคูควบอีกคู หนึ่ง ซึ่งมีขนาดเทากับ ������������ℎ1 กระทำกับวัตถุใหหมุนตามเข็มนาิกา ถาพิจารณาที่วัตถุแลวแรงคูควบนี้คือแรง �������⃑������ และ ������������⃑��� และ เมื่อ �������⃑������ คือแรงที่พื้นกระทำตอวัตถุในแนวตั้งฉากซึ่งมีขนาดเทากับ ������������⃑��� ซึ่งเปนน้ำหนักของวัตถุ ใน กรณีนีแ้ นวของ �������⃑������ และ ������������⃑��� จะตองไมอ ยูใ นแนวเสนตรงเดยี วกัน �������⃑������อยูที่ตำแหนงซึ่งหางจากแนวของ ������������⃑��� เปนระยะ d1 เพอ่ื ทำใหเ กดิ โมเมนตข องแรงคคู วบ มีคาเทา กับ ������������������������1 ซ่ึงจะเขียนความสัมพนั ธไดว า ������������ℎ1 = ������������������������1 จากที่กลาวมาแลวจะเห็นวาถาออกแรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุ แรง �������⃑������ และ ������������⃑��� จะไมอยูในแนวเสนตรง เดยี วกัน ถาตำแหนง ที่ออกแรง ������⃑������ กระทำตอ วัตถุสูงจากพ้ืนเพ่ิมข้ึน คอื คา h1 เพม่ิ ขนึ้ โดยวัตถุไมเปล่ียนสภาพการ หมุน ระยะ d1 ตองเพิ่มขึ้นดวย เพื่อใหผลรวมของโมเมนตที่กระทำกับวัตถุมีคาเปนศูนย เนื่องจากน้ำหนัก ������������⃑��� มี แนวแรงอยูในแนวเดิม ดังนั้นแนวแรง �������⃑������ จะตองเลื่อนออกหางจากแนวแรง ������������⃑��� ซึ่งจะเลื่อนไดมากที่สุด เมื่อแนว แรง �������⃑������ อยูท ี่ตำแหนงริมสดุ ของฐานวตั ถุ โดยหางจากแนว ������������⃑��� เปน d2 ดังรปู 8.15 ข
12 8.6. เสถยี รภาพของสมดลุ เสถยี รภาพของสมดลุ จะแบงออกไดเ ปน 3 กรณี ไดแก สมดุลเสถียร (stable equilibrium) คือ สมดุลของวัตถุที่เมื่อออกแรงกระทำใหวัตถุเอียงจากเดิมแลว ศูนยกลางมวลของวัตถุเปลี่ยนตำแหนงอยูในระดับที่สูงขึ้น (พลังงานศักยของวัตถุมากชั้น) เมื่อหยุดออกแรง วัตถุ จะกลบั มาอยใู นลักษณะเดมิ สมดุลสะเทิน (neutral equilibrium) คือ สมดุลของวัตถุที่เมื่อออกแรงกระทำตอวัตถุแลววัตถุจะกลิ้ง ไป โดยที่ศูนยกลางมวลอยูในระดับความสูงทีเ่ ทาเดิม (พลังงานศักยของวัตถุคงเดิม) วัตถุจะเปลี่ยนตำแหนงไปโดย วางตวั ในลกั ษณะเดิม สมดุลไมเสถียร (unstable equilibrium) คือ สมดุลของวัตถุที่เมื่อออกแรงกระทำใหวัตถุเอียงจากเดมิ แลว ศนู ยก ลางมวลของวตั ถเุ ปล่ยี นตำแหนงไปอยใู นที่ต่ำกวาเดิม (พลงั งนศักยข องวัตถจุ ะลดลง) วัตถจุ ะลม และไม สามารถกลบั มาอยใู นลกั ษณะเตมิ ได ตวั อยางของวัตถุทอี่ ยใู นเสถยี รภาพของสมดลุ ทีแ่ ตกตา งกัน ในแตล ะกรณี สมดุลของกรวยจะแตกตา งกัน จากรูป 8.16 ก เมือ่ ผลักกรวยใหเอยี งจากเดิมเล็กนอ ยแลว ปลอยมอื กรวยจะเคลอ่ื นท่กี ลับมาอยูใ นลกั ษณะเดมิ ในกรณีนเ้ี รียกวา สมดุลเสถยี ร ถา ออกแรงผลักกรวยที่อยูใ น ลักษณะดังรูป 8.16 ข กรวยจะไมเ คลอื่ นกลบั ทีเ่ ดมิ แตจ ะอยนู ิ่งในลกั ษณะเดมิ ได เรยี กวา สมดุลสะเทิน ถา วาง กรวยดงั รูป 8.16 ค เมอ่ื ผลักกระใหเอียงจากเดิมเลก็ นอ ยแลวปลอยมีอ กรวยจะลมลง ในกรณนี ้ีกรวยอยใู น สภาพ สมดลุ ไมเสถยี ร รูป 8.16 กรวยวางตัวในลักษณะตา งกนั บนพื้นระดับ
13 8.7. การนำหลักสมดลุ ไปประยกุ ต หลกั การสมดุลมีใชม ากมายในชวี ติ ประจำวัน ในที่นี้จะกลา วถึงการนำหลักการสมดุลไปใชก บั เครอ่ื งกล อยางงาย เชน คาน คีมตดั สวด ไขควง ลอ กบั เพลา และกวา น เปน ตัน ซง่ึ เครื่องกลอยางงายเหลา นสี้ ามารถผอ น แรงหรอื อำนวยความสะดวกในการทำงาน คาน เปนเคร่ืองผอ นแรงทีเ่ ราใชกนั มากทส่ี ุด เชน ชะแลงงัดฝากลอ ง คอนงดั ตะปู คีมตัดลวด กรรไกรตดั ผา ชนิ้ สวนตา งๆ ของรถและเครอื่ งกล มดี ควั่นออย ท่เี จาะรูเข็มขัด เปนตน หลักการทำงาน ของคานจะพิจารณาขณะคานอยใู นสมดุล รปู 8.17 การทำงานของคาน น่นั คอื ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������ = 0 และ ∑���������������������=��� 1 �����������⃑��������������� = 0 คิดโมเมนตรอบจุดหมนุ ใหโมเมนตทวนเขม็ นาิกามเี คร่อื งหมายบวก (+) โมเมนตต ามเข็มนากิ ามีเครื่องหมายลบ (-) ������������1���������1��� − ������������2������������2 = 0 ������������1���������1��� = ������������2������������2 ������������1 = ������������2 ������������2 ���������1��� ������������1 ������������2 โดย อตั ราสว น ������������2 = ������������1 เรยี กวา การไดเ ปรียบเชงิ กล (mechanical advantage, MA) เมอ่ื ������������1 เปน แรงที่ไดจากเคร่อื งกล และ ������������2 เปน แรงกระทำ กลาวคือ \"การไดเ ปรยี บเชิงกลเปน ปรมิ าณที่บอกใหท ราบวา แรง ท่ีไดจ ากเครอื่ งกลเปน กี่เทาของแรงทเ่ี รากระทำ\"
14 รอก เปนเครื่องกลอยางงายที่ใชกันในโรงงานหรือสถานที่ท่ีมกี ารกอสราง เชน ใชยกของขึ้นที่สูง ยกเครื่องยนต ออกจากตัวถังรถเพื่อซอมบางครั้งรอกจะอยูติตกับรถเครนที่ทำหนาที่ยกวัสดุตาง ๆ หลักการทำงานของรอกจะ พจิ ารณาขณะรอกอยใู นสมดุล นัน่ คือ ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������ = 0 พจิ ารณาที่รอก (โดยถือวารอกเบา ไมค ดิ โมเมนตความเฉือ่ ย และรอกหมนุ คลอ ง) ในที่นไ้ี มม แี รงองคประกอบในแนวแกน x มแี ตแรงองคป ระกอบในแนวแกน y ใหแ รงที่ มีทิศขึ้น มีเครอ่ื งหมายบวก (+) แรงทมี่ ที ศิ ลงมีเครื่องหมายลบ (-) ������������ � ������⃑������������������������������ = 0 ������������=1 �������⃑������1 + �������⃑������2 + �������⃑������3 = 0 ������������1 + ������������2 − ������������3 = 0 เนอ่ื งจาก ������������1 = ������������2 เพราะวาเปนแรงดึงของเชอื กเสน เดยี วกนั ใหเทากับ T รูป 8.18 การทำงานของรอก 2������������ = ������������3 ������������ = ������������3 (1) 2 พิจารณาทวี่ ัตถุ 2 � ������⃑������������������������������ = 0 ������������=1 �������⃑������3 + ������������⃑��� = 0 ������������3 − ������������ = 0 แทน T3 ลงใน (1) ������������ 2 จะได ������������ = ในกรณนี ีม้ ีการไดเปรยี บเชงิ กลเปน สอง ( ������������ = ������������ ) ทำใหเ ราสามารถยกของที่มนี ำ้ หนักมากโดยใช 2 แรงเพยี งครึ่งเดยี วของน้ำหนักทยี่ ก
15 ลอกบั เพลา เปนเคร่อื งผอ นแรงทใี่ ชกนั แพรหลายมาก ไมว า จะเปน ในรถยนต รถจักรยาน เครอ่ื งกลึง เคร่อื งเจาะ กวาน เครื่องตอกเสาเขม็ พวงมาลัยรถ สายพาน และเกียร ตา งกใ็ ชห ลักการทำงานของลอกับเพลา ซ่ึงจะพิจารณาขณะ ลอกบั เพลาอยใู นสมดุล รูป 8.19 การทำงานของลอกบั เพลา นน่ั คือ ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������ = 0 และ ∑���������������������=��� 1 ������������������������ = 0 คิดโมเมนตร อบจุดหมุน o ใหโมเมนตทวนเข็มนากิ ามเี ครอื่ งหมายบวก (+) โมเมนตตามเข็มนาิกามีเครือ่ งหมายลบ (-) ������������1���������1��� − ������������2������������2 = 0 ������������1���������1��� = ������������2������������2 ������������1 = ������������2 ������������2 ���������1��� จะเหน็ วา การทำงานของลอกบั เพลาจะเหมอื นกับการทำงานของคาน
16 8.8. สภาพยืดหยนุ เมื่อออกแรงดึงยางรัดของหรือออกแรงกดดินน้ำมัน จะพบวายางรัดของจะยืดออกและกลับสูสภาพเดิม เมื่อหยุดออกแรง สวนดินน้ำมันยุบตัวลงโดยไมกลับสูสภาพเดิม ดังรูป 8.20 สมบัติของวัสดุที่มีการเปลี่ยนรูปราง เมื่อมีแรงมากระทำและสามารถคืนตัวกลับสูรูปรางเดิมเมื่อหยุดออกแรงกระทำ เรียกวา สภาพยืดหยุน (elasticity) สวนกรณีวัสดุทีเ่ ปลย่ี นรปู รางไปอยา งถาวร โดยผิววัสดุไมมกี ารฉีกขาดหรอื แตกหัก เรยี กสมบตั นิ ี้วา สภาพ พลาสตกิ (plasticity) วสั ดหุ ลายชนิดมที ั้งสภาพยดื หยนุ และสภาพพลาสตกิ ในตวั เองดยมีสภาพยืดหยุนเม่ือแรง กระทำมคี า นอย และมสี ภาพพลาสตกิ เมื่อแรงกระทำมีคา มาก รูป 8.20 การเปลีย่ นแปลงรูปรางของยางรดั และดินน้ำมน้ั การดงึ วัสดชุ นิดตางๆ เชน สปริงใหย ดื ออกจะพบวาความยาวทสี่ ปรงิ ยดื ออก แปรผันตรงกับขนาดของแรง ดงึ แตถ า เพม่ิ แรงดงึ สปรงิ ใหย ืดออกไปเรอื่ ยๆ อกี เมื่อถึงระยะหนึ่ง จะพบวาความยาวทีส่ ปรงิ ยืดออกไมแปรผันตรง กบั ขนาดของแรงดงึ รปู 8.21 รปู รางของสปริงเม่ือถกู แรงกระทำ
17 กราฟระหวา งขนาดของแรงดึงกบั ความยาวท่ีสปรงิ ยืดออก กฎของฮุก (Hooke's law) เม่อื ออกแรงดึงหรอื กดสปริง หรอื เสนลวดพบวาใน ขอบเขตหนงึ่ แรงท่ีกระทำตอสปริง F มคี วามสัมพันธ กับความยาวที่เปล่ยี นไป x ดังนี้ ������������ ������������ ������������ หรือ ������������ = ������������������������ เม่ือ ������������ คือ คา คงตัวสปรงิ (spring constant) หรอื คา คงตวั แรง (force constant) ความสมั พนั ธตามสมการขางตน เรียกวา กฎของฮกุ จากกราฟจะเห็นไดวา ความยาวท่ีสปริงยืดออกแปรผันตรงกับขนาดของแรงดึงอยูในชวงแรกเทานั้น คือ ในชวง 0a ของเสนกราฟ ซึ่งการยืดของสปริงจะเปนไปตามกฎของฮุก หลังจากนั้นความยาวที่สปริงยืดออกจะไม แปรผันตรงกับขนาดของแรงดึง จุด a ซึ่งเปนตำแหนงสุดทายที่ความยาวที่สปริงยึดออกแปรผันตรงกับขนาดของ แรงดึงเรียกวา ขีดจำกัดการแปรผนั ตรง (proportional limit) ถาออกแรงดึงสปริงใหยืดอกี เล็กนอยจนถึงจุด b เมื่อหยุดออกแรงกระทำพบวาสปริงจะกลับไปอยูในสภาพเดิม ตำแหนงสุดทาย (จุด b ) ที่สปริงยืดออกแลวยัง สามารถคืนตัวกลับสสู ภาพเดิมไดเรียกวา ขีดจำกดั สภาพยดื หยนุ (elastic limit) จะเห็นวาเสนกราฟชวง 0b เปนชวงที่สปริงสามารถคืนตัวสูรูปรางเดิมได สภาพของวัสดุในชวง 0b ก็คือ สภาพยืดหยุน สวนชวงของกราฟตั้งแตจุด b เปนตนไป สปริงเปลี่ยนรูปไปอยางถาวร ไมสามารถกลับสูสภาพเดิม และถาดึงตอไปก็จะถึงจุด c ซึ่งเปนจุดที่เสนวัสดุขาด จุดน้ีเรียกวา จุดแตกหัก (breaking point) สภาพของวัสดุ ในชว ง bc ก็คือ สภาพพลาสตกิ 8.8.1. ความเคน และความเครียด เม่อื นำวตั ถุมาแขวนไวกบั เสนลวด (เสนลวดเบา) เสนลวดจะถูกดึงจากน้ำหนักของวตั ถนุ ้นั ดงั รปู 8.22 ขณะเสนลวดอยใู นสมดลุ แรงดงึ ทั้งสองปลายของเสนลวดจะมีขนาดเทา กัน และทุกๆสว นของภาคตัดขวาง ของเสนลวดจะไดรับแรงกระทำอยางสมำ่ เสมอดว ยเชนกัน ดังรปู 8.22
18 รูป 8.22 แรงในเสน ลวดเมื่อพิจารณาภาคตัดขวาง ให ������⃑������ เปนแรงดึงซึ่งกระทำในแนวตั้งฉากกับพื้นที่หนาตัด A ของเสนลวด อัตราสวนระหวางแรง ดึงและพื้นที่หนาตัด เรียกวา ความเคนดึง (tensile stress) แทนดวยสัญลักษณ ������������ และเขียนเปนความสัมพันธ ไดวา ความเคนดงึ = แรงดงึ พ้ืนทห่ี นาตดั หรือ ������������ = ������������⊥ ������������ ������������ เปนความเคนดงึ มีหนวย นิวตันตอตารางเมตร (N/m2) หรือ พาสคัล (Pa) โดยความเคนเปน ปรมิ าณสเกลาร โดยทว่ั ไปความเคน มี 2 ชนดิ คอื ความเคนตามยาว และความเคนเฉือน ความเคน ตามยาว (longitudinal stress) แบงได 2 ชนิด คอื ความเคน ดึง (tensile stress) ซ่งึ แรง ������⃑������ กระทำตอ วัตถใุ นลักษณะดึงใหยดื ออกดังรปู 8.23 ก กับความเคน อดั (compressive stress) ซึ่งแรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุในลักษณะอัดใหหดสั้นลง ดังรูป 8.23 ข สวนความเคนเฉือน (shear stress) น้นั แรง ������⃑������ ทก่ี ระทำตอ วตั ถจุ ะทำใหว ตั ถุบิดเบอื นรปู รา งไปจากเดมิ ดังรูป 8.23 ค
19 รูป 8.23 การออกแรงทใี่ หเกิดความเคน แบบตา งๆ พิจารณาเสนลวดซ่งึ มีความยาวเดิม ������������0 เมื่อมแี รงขนาดเทากนั สองแรงมาดึงที่ปลายแตละขางของ เสนลวดในทิศทางตรงขามกัน เสนลวดจะยืดออก ถาให ∆������������ เปนความยาวของเสนลวดสวนที่ยืด และ ������������0 เปน ความยาวเดิมของเสนลวด อัตราสว นระหวา งความยาวสว นทีย่ ืดกบั ความยาวเดมิ เรียกวา ความเครยี ด ตามยาว (longitudinal strain) แทนดวยสญั ลกั ษณ ������������ และเขียนเปน ความสมั พนั ธไดวา ������������ = ∆������������ ������������0 เน่อื งจากความเครยี ดเปนอัตราสวนระหวา งความยาวท่ีเปลีย่ นไปกบั ความยาวเดิม ซงึ่ มหี นว ย เดยี วกนั ความเครียดจึงไมม หี นวย 8.8.2. มอดลุ สั ยัง เมื่อออกแรงดึงเสนวัสดุโดยไมใ หข นาดของแรงดึงเกนิ จำกดั การแปรผันตรงของวสั ดุ ความเคน ดงึ จะแปรผันตรงกับความเครยี ดดึง น่ันคอื อัตราสวนระหวางความเคนดงึ และความเครยี ดดงึ ของวัสดุชนิดหน่งึ ๆ จะ มีคาคงตัว เรยี กคา คงตวั น้วี า มอดุลัสของยงั (Young's modulus) แทนดวยสัญลกั ษณ Y และเขียนไดว า ������������ = ������������ = ������������/������������ ������������ ∆������������/������������0 มอดุลัสของยงั มหี นว ย นวิ ตนั ตอตารางเมตร วสั ดทุ ม่ี ีมอดลุ สั ของยงั สูง แสดงวา วสั ดนุ ัน้ เปลย่ี น ความยาวไดนอย ขณะทม่ี ีความเคน มาก
20 นอกจากมอดุลัสของยงั แลว ยงั มมี อดุลสั ประเภทอน่ื ไดแก มอดลุ ัสเฉอื น (shear modulus) และมอ ดุลัสเชิงปริมาตร (bulk modulus) โดยทั้งมอดลุ สั ของยงั มอดลุ ัสเฉือนและมอดลุ ัสเชิงปรมิ าตร รวมเรยี กวา มอ ดุลสั สภาพยืดหยุน (modulus of elasticity) โดยมอดุลัสสภาพยืดหยุนของวสั ดุตางแบบกนั จะมคี า ตางกนั ถงึ แมว าจะเปน วสั ดชุ นิดเดยี วกันก็ตาม ตัวอยา งมอดลุ ัสสภาพยดื หยนุ ของวัสดบุ างชนิด ดังตาราง 8.1
Search
Read the Text Version
- 1 - 22
Pages: