Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore บทที่ 8 สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น

บทที่ 8 สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น

Published by Yut Arpornram, 2021-09-01 16:02:34

Description: บทที่ 8 สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น

นายวีรยุทธ อาภรณ์รัมย์ 61102010501

Keywords: สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น

Search

Read the Text Version

วรี ยทุ ธ อาภรณร ัมย 61102010501 บทที่ 8 สภาพสมดลุ และสภาพยืดหยุน

1 บทท่ี 8 สภาพสมดุลและสภาพยดื หยนุ 8.1. สภาพสมดุล สภาพสมดุล (equilibrium) คือ สภาพของวตั ถุตางๆทีพ่ บไดในชีวิตประจำวนั ทีส่ ามารถรักษาสภาพ การเคลื่อนทใี่ หคงเดมิ ได เชน หนังสือที่วางบนโตะ รถที่วิ่งในทางตรงดว ยความเรว็ คงตวั หรอื พัดลมทใ่ี บพดั หมนุ ดว ยความเรว็ เชงิ มมุ คงตัว เปนตน โดยทัว่ ไปสามารถจำแนกสภาพสมดลุ ไดเ ปน สมดลุ สถติ (static equilibrium) เปนสมดลุ ของวตั ถหุ รือสิ่งกอสรางที่อยนู ่ิง เชน หนงั สอื วางอยูน่ิงๆบน พื้นโตะ เสาไฟฟา อาคาร คอนโดมเิ นยี ม ทมี่ สี ภาพอยูนง่ิ โดยไมล ม หรอื พงั ลงมา เปนตน สมดุลจลน (dynamic equilibrium) เปน สมดุลของวตั ถุทเ่ี คลือ่ นท่ดี วยความเร็วคงตัว หรือหมนุ ดวย ความเร็วเชงิ มุมคงตัว เชน รถยนตท ี่แลนไปตามถนนตรงดวยความเร็วคงตัว ลิฟตขณะเคล่อื นท่ีขึน้ หรอื ลงดว ย ความเร็วคงตัว หรอื ลอหมุนดว ยความเร็วเชิงมมุ คงตัวเปนตน เมื่อพจิ ารณาเก่ยี วกบั การเคลือ่ นทขี่ องวัตถุ วัตถทุ คี่ งสภาพการเคลอื่ นท่เี ดิม คือหยดุ นงิ่ หรือเคลอ่ื นทดี่ ว ย ความเรว็ คงตวั จดั วา วตั ถนุ ั้น สมดลุ ตอการตอการเลอ่ื นที่ (translational equilibrium) ซ่งึ จากกฎของนิวตนั ไดว า เมื่อมแี รงกระทำตอวัตถุ โดยแรงลพั ธเปนศนู ย วัตถุจะคงสภาพการเคล่อื นที่เดมิ ดงั น้ัน วัตถจุ ะอยใู นสมดลุ ตอการเลือ่ นที่ทีม่ เี งอื่ นไขคือ แรงลัพธที่กระทำตอวตั ถเุ ปนศูนย

2 ถาให ������⃑������������������ แทนแรงตางๆที่กระทำตอวัตถุ (������������ = 1,2,3, … , ������������) ดังน้ัน ������������ � ������⃑������������������ = 0 ������������=1 เม่อื พิจารณา วัตถุ เก่ยี วกับการหมนุ ของวัตถุ วตั ถจุ ะไมห มุนหรือหมนุ ดว ยความเรว็ คงตวั ตอ เมอื่ ทอรก หรอื โมเมนตข องแรง ทีก่ ระทำตอวตั ถเุ ปน ศูนย จัดวาวตั ถุ สมดลุ ตอ การหมุน (rotational equilibrium) ดงั นนั้ เง่ือนไขของการหมนุ คอื ผลรวมของทอรก ลัพธหรือโมเมนตลัพธ กระทำตอ วัตถุรอบแกนหมนุ ไดเ ปนศนู ย ถาให ������⃑������������������ แทน ทอรก ตางๆ หรือ ������������������������ แทนโมเมนตของแรงตา งๆ ดังน้ัน ������������ ������������ � ������⃑������������������ = 0 หรอื � ������������������������ = 0 ������������=1 ������������=1 8.2. สมดุลตอการเล่อื นที่ วัตถุทอี่ ยูในสภาพสมดลุ ตอการเลือ่ นท่ี แรงลพั ธท ี่กระทำตอ วตั ถุเปน ศูนย ดังนั้นเมอื่ พจิ ารณาแรงทกี่ ระทำ ตอ วตั ถุ แลว ทำใหว ตั ถุสมดุลตอการเลื่อนที่ อาจพิจารณาไดด ังน้ี กรณที มี่ ีแรงสองแรงกระทำ เมอื่ วางหนังสือบนโตะ 8.2 ก หนงั สอื จะอยนู ่งิ บนโตะ โดยมีแรงสองแรงกระทำ แรงหน่งึ คือ แรง โนมถวงของโลก หรือนำ้ หนัก ������������⃑��� อกี แรงหนึง่ คอื แรงท่ีโตะ ดันหนังสือในแนวต้ังฉากกบั พนื้ โตะ �������⃑������ โดยแรง ท้งั สองมีทศิ ทางตรงขามกนั 8.2 ข จากกฎการเคลอ่ื นทข่ี องนวิ ตัน แรงลพั ธของ ������������⃑��� และ �������⃑������ เปนศูนย แสดงวา วตั ถุอยูในสมดุลสถติ ตอการ เล่อื นที่ ดังนัน้ ������������⃑��� + �������⃑������ = 0 หรอื ������������⃑��� = −�������⃑������

3 นนั่ คอื ������������ มขี นาดเทากบั ������������ เคร่ืองหมายลบ (-) ขา งหนา �������⃑������ หมายถึง �������⃑������ มที ิศทางตรงขามกับ ������������⃑��� กรณีท่ีมแี รง 3 แรงกระทำ ในกรณที ม่ี แี รงสามแรงกระทำตอ วตั ถแุ ลววัตถุอยูน่ิง แนวแรงทั้งสามจะเปนได 2 กรณดี งั น้ี กรณีท่ี 1 แนวแรงทง้ั 3 ขนานกนั ตัวอยางเชน แทง คอนกรตี พาดบนหวั เสาสองตน โดยแทงคอนกรีต จะมีแรงกระทำสามแรงคือ น้ำหนัก ������������⃑���, �������⃑������1 และ �������⃑������2โดย �������⃑������1 และ �������⃑������2 เปนแรงท่ีเสาดันแทงคอนกรตี ในทิศทางตงั้ ฉากดงั รปู 8.3 ดังนนั้ ������������⃑��� + �������⃑������1 + �������⃑������2 = 0 และสามารถแสดงวา แรงลพั ธข องแรงท้ังสามเปนศนู ยไ ดโ ดย การนำแรงท้ัง สามมาเขยี นหางตอ หัวเวกเตอร ดงั รูป 8.4 กรณที ี่ 2 แนวแรงท้งั สามไมขนานกนั เมือ่ มีแรงสามแรงกระทำตอ วัตถทุ ่ตี ำแหนงตา งๆโดยในแรงทงั้ สามไมข นานกันและวตั ถอุ ยูนง่ิ แนว แรงท้ังสามตอ งพบกันที่จดุ ๆนงึ และแรงทัง้ สามจะอยูใ นระนาบเดียวกัน

4 รปู 8.5 ในแรงดึงในเสน เชอื กท่ผี ูกกบั กระดาษแข็งเม่อื แผนกระดาษแข็งหยุดนิง่ ถา ให ������⃑������1 , ������⃑������2 และ ��������⃑������3 เปนแรงกระทำกับ กระดาษแขง็ ทอี่ านคาไดจากเครอ่ื งชง่ั สปริง 1 ,2 และ 3 ตามลำดับ ถานำเวกเตอรแทนแรงทั้งสามจากรูป 8.5 ข มาเขียนตอกัน โดยใหความยาวเวกเตอรเปนไปตามมาตรา สวนทกี่ ำหนดไว และใหห างของเวกเตอรหนง่ึ ตอกับหวั ของวเวกเตอรหนึง่ จนครบ หัวเวกเตอรสดุ ทา ย จะมาพบหาง ของเวกเตอรแรกพอดี ซึ่งไดเปนรูปสามเหลี่ยมปด หมายถึง เวกเตอรลัพธเปนศูนย ดังรูป 8.5 ค นั่นคือแรงลัพธท่ี กระทำตอกระดาษแขง็ มีคาเปน ศนู ย จะเขียนไดวา ������⃑������1 + ������⃑������2 + ������⃑������3 = 0 ถามีแรงหลายแรงกระทำตอวัตถุ ทำใหวัตถุสมดุลตอการเลื่อนที่ จะสามารถสรุปไดวา แรงลัพธของแรง หลายแรงน้ันเปนศูนย ������������ � ������⃑������������������ = 0 ������������=1 ถานำแรงเหลานี้ สมมุติวาเปน ดังรูป 8.6 ก มาหาแรงลัพธโดยการสรางรูปและใชความยาวตามมาตรา สวนดังรปู 8.6 ข จะไดร ปู หลายเหล่ียมปด ดงั รปู 8.6 ค รปู 8.6 การรวมเวกเตอรแ ทนแรงท่กี ระทำตอวัตถุท่ีสมดุลไดเ ปน รูปหลายเหลี่ยมปด

5 การหาแรงลพั ธนอกจากใชว ิธีหางตอหัวเวกเตอร ยังสามารถหาแรงลพั ธโ ดยการแยกแรงเปน แรง องคป ระกอบ แลว รวมองคประกอบ ตางๆ จะไดองคประกอบของแรงลัพธคอื ������⃑������������������ = ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������������������ และ ������⃑������������������ = ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������������������ เมอ่ื ������⃑������������������������������ และ ������⃑������������������������������ และ เปน แรงองคป ระกอบของแรง ������⃑������������������ อยูใ นแนวแกน x และ y ตามลำดับ ในกรณที วี่ ตั ถุสมดลุ ตอการเลื่อนทผ่ี ลรวมของแรงท่ีกระทำตอวตั ถตุ อ งเทา กบั ศูนย ดงั นัน้ ผลรวมของแรง องคป ระกอบของแรงกระทำตา งๆในแนวแกน x และแกน y จะตอ งเปน ศูนยดว ย นั่นคือ ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������������������ = 0 และ ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������������������ = 0 8.3. สมดลุ ตอ การหมนุ วัตถทุ ี่คงสภาพการหมุนคือไมห มุนหรอื หมนุ ดว ยความเรว็ เชงิ มมุ คงตวั คอื วตั ถทุ ีส่ มดุลตอการหมุนโดย วตั ถุจะสมดลุ ตอการหมนุ ไดเ มือ่ ทอรก ลัพธห รอื ผลรวมของโมเมนตของแรงท่กี ระทำตอ วตั ถุเปน ศนู ย 8.3.1. โมเมนตของแรงหรือทอรก การหมุนของวัตถุจะขึ้นกับโมเมนตของแรง (moment of force) หรือทอรก (torque) ถามีแรง กระทำตอ วตั ถทุ ต่ี ำแหนง ปลายของเวกเตอรบอกตำแหนง ���⃑��������� จากจดุ หมนุ ดงั รปู 8.7 ������⃑������ เปนแรงกระทำตอวัตถุ ���⃑��������� เปน เวกเตอรบ อกตำแหนงจากจุดหมนุ ไปถึงจดุ ที่แรง ������⃑������ กระทำ รปู 8.7 แรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุมีแนวแรงหางจากแกนหมุนเปน ระยะ d โดยนิยามมีสมการเวกเตอรของทอรก คอื ������⃑������ = ���⃑��������� × ������⃑������ จากการเคล่อื นทแ่ี บบหมุนขนาดของ ทอรก หรอื ขนาดของโมเมนต ������������ ของแรง ������⃑������ จะเทากบั ������������ = ������������������������ sin ������������ = ������������������������

6 d เปนระยะหา งจากจุดหมนุ ไปตง้ั ฉากกับแนวของแรง ������⃑������ ดงั นนั้ ขนาดของทอรก มคี า เทา กับ ผลคูณระหวางขนาดของแรงกบั ระยะทางจากจุดหมุนไป ตัง้ ฉากกบั แนวแรง มหี นว ย นิวตนั เมตร ทอรกเปน ปริมาณเวกเตอร ซง่ึ มีทั้งขนาดและทิศทางโดยสามารถพจิ ารณาทิศทางของทอรก ได จากการใชก ฎมือขวา และทศิ ทางของทอรกน้ันจะพุง ออกต้ังฉากกับระนาบของการหมนุ ดงั รปู 8.8 รปู 8.8 การหมุนของวัตถุเทียบกับการหมนุ ของเข็มนาิกา เม่อื วตั ถอุ ยใู นสภาพสมดุลสถิตคอื ไมหมนุ ผลรวมโมเมนตข องแรงตอ งเปน ศนู ย ∑���������������������=��� 1 ������������������������ = 0 หรอื อาจถือเปน หลักไดวา ผลรวมโมเมนตท วนเข็มนาิกา = ผลรวมของโมเมนตต ามเขม็ นากิ า เชน ในกรณที ีม่ นี ำ้ หนกั ������������⃑���1, ������������⃑���2และ ������������⃑���3 แขวนกับไมเ มตรและไมเมตรอยใู นสมดุล คอื อยนู ง่ิ ใน แนวระดบั ได ดังรปู 8.9 (ไมค ิดน้ำหนักของไมเ มตร) รปู 8.9 น้ำหนกั ������������⃑���1, ������������⃑���2และ ������������⃑���3 แขวนกับไมเ มตรซง่ึ อยูในแนวระดับ จะเกดิ โมเมนตของแรงกระทำตอ ไมเ มตร โดยผลรวมของโมเมนตจ ะเปนศนู ย คิดโมเมนตร อบตำแหนง ทีแ่ ขวนเชือกได ∑���������������������=��� 1 ������������������������ = 0 ใหโ มเมนตทวนเข็มนาิกามีเคร่อื งหมาย บวก (+) และโมเมนตต ามเข็มนาิกามเี ครอื่ งหมายลบ (-)

7 หรือไดว า 3 � ������������������������ = 0 ������������=1 ������������1������������1 − ������������2������������2 − ������������3������������3 = 0 ������������1������������1 = ������������2������������2 + ������������3������������3 นน่ั คอื เมื่อไมเมตรสมดลุ ตอ การหมุน ผลรวมของโมเมนตท วนเข็มนากิ า = ผลรวมของโมเมนตต ามเข็มนาิกา 8.3.2. โมเมนตข องแรงคคู วบ แรงสองแรงทม่ี ีขนาดเทา กนั กระทำตอวตั ถุ แนวแรงขนานกันแตมีทต่ี รงขา มกนั เรียกแรงคูนี้วา แรงคูควบ ดงั แรง ������⃑������1และ ������⃑������2 ทก่ี ระทำตอวตั ถุ ในรูป 8.10 รูป 8.10 แรงคูควบ ������⃑������1และ ������⃑������2 กระทำกับวตั ถุทีต่ ำแหนง A และ B ตามลำดบั โดยแนวแรงท้ังสองตง้ั ฉากกบั ระยะ AB พิจารณาจากรูป 8.10 จะไดวาโมเมนตของแรงคูควบ ������⃑������1และ ������⃑������2 รอบจุดหมุน O เปนโมเมนต ตามเข็มนาิกา และเนื่องจากขนาดของแรงคูควบเทากัน ดังนั้นถาให F เปนขนาดของแรงคูควบแตละแรง จะหา ผลรวมโมเมนตของแรงคูควบ ������⃑������1และ ������⃑������2 ไดเ ปน ดังนน้ั ������������1������������1 + ������������2������������2 = ������������������������1 + ������������������������2 = ������������(������������1 + ������������2) ������������1������������1 + ������������2������������2 = ������������������������ ������������������������ = ������������������������ เม่ือ ������������������������ เปน โมเมนตข องแรงคูควบ ������������ เปน ขนาดของแรงคูควบ ������������ เปนระยะตงั้ ฉาก ระหวางแนวแรงท้งั สอง

8 ดังนั้นสรุปไดวา โมเมนตของแรงคูควบใดๆ มีขนาดเทากับผลคูณของขนาดของแรงใดแรง หนึ่ง กับระยะทางตั้งฉากกับแนวแรงทงั้ สอง ซึง่ จะหมุนตามเขม็ นาิกาหรือหมนุ เข็มนาิกา ข้ึนอยูกับทิศของแรง คูควบนั้น และแรงคูควบเปนแรงที่ทำใหวัตถุไมสมดุลตอการหมุน แตสมดุลตอการเลื่อนที่ เนื่องจากแรงลัพธของ แรงคคู วบจะเปน ศนู ย เพราะแรงทงั้ สองมขี นาดเทากนั แรงคูควบจึงไมมผี ลในการเลื่อนที่ของวัตถุ แตจ ะมผี ลเฉพาะ ทำใหเกิดการหมนุ อยางเดียว 8.4. ศูนยกลางมวลและศูนยถ ว ง ศูนยกลางมวล (centre of mass, cm) เปนตำแหนงที่เปรียบเสมือนเปนจุดรวมของมวลวัตถุทั้งกอน สำหรับวัตถุแขง็ เกรง็ กอนหนึง่ จะมีศนู ยกลางมวลเพียงจุดเดยี ว ซ่งึ อาจอยูภายในหรอื ภายนอกวัตถกุ ไ็ ด หรอื ถาวัตถุ ที่เปนจุดสองกอนมีมวลเทากันและอยูแยกกันศูนยกลางมวลจะอยูที่กึงกลางระหวางมวลทั้งสอง แตถามวลไม เทากัน ศูนยกลางมวลจะอยูใกลกับมวลที่มีคามากกวา สำหรับมวล m1 และ m2 ที่อยูบนแกน x อาจหาตำแหนง ศูนยก ลางมวลไดจากสมการตอ ไปนี้ คอื (������������1 + ������������2)������������������������������������ = ������������1������������1 + ������������2������������2 ������������������������������������ = ������������1������������1 + ������������2������������2 (������������1 + ������������2) นอกจากนีต้ ำแหนง ศูนยกลางมวลอาจไมอ ยูภายในเน้อื ของวัตถแุ ข็งเกร็งนั้นก็ได เชน ศูนยกลางมวลของวง แหวนสม่ำเสมอ ตำแหนงศนู ยกลางมวล อยูทศ่ี ูนยกลางของระนาบวงแหวน ดังรปู 8.11 รปู 8.11 ศนู ยก ลางมวลของวงแหวน ศูนยถวง (centre of gravity, cg) เปนตำแหนงที่แรงลัพธของแรงดึงดูดของโลกกระทำตอวัตถุ โดยทั่วไปศูนยถวงและศูนยกลางมวลจะอยูที่ตำแหนงเดียวกัน ยกเวนแตในกรณีที่มีวัตถุขนาดใหญ จนแตละสวน ของวัตถุนั้น อยูในสนามโนมถวงที่ไมเทากัน เชน ภูเขาสูงๆสนามโนมถวงบริเวณใกลผิวโลกมีคามาก สวนบริเวณที่ สูงขน้ึ ไป สนามโนมถวงมขี นาดลดลง ทำใหแรงท่ีโลกดงึ ดดู ภูเขานัน้ ณ บริเวณท่ีสงู ขึ้นไปมคี านอ ยลง ศนู ยถว งจะอยู คนละตำแหนง กบั ศนู ยกลางมวล โดยศูนยถว งจะอยูตำ่ กวา ศูนยก ลางมวล

9 สมมติวา มมี วล m1 และ m2 ยดึ กนั ไวดว ยแทง วัตถุท่ีเบามาก อยูใ นสนามโนม ถวงทส่ี มำ่ เสมอ g ดังรปู 8.12 วิธีหนึง่ ที่เราอาจหาตำแหนง ของแรงลัพธของแรงขนานซ่งึ เปนน้ำหนกั ของวตั ถุทงั้ สองคือหาวา ตำแหนงใดทม่ี ี แรงเพียงแรงเดยี ว (R) กระทำแลว จะทำใหว ัตถุท้ังระบบอยูในสมดลุ ไดซ ง่ึ ตำแหนง นนั้ จะเปน ศนู ยถว ง และเมือ่ วัตถุ อยใู นสมดุลจะไดว าทัง้ แรงและโมเมนตข องแรงรอบจดุ ใดๆ ตอ งเปน ศนู ย รูป 8.12 ตำแหนง ของศูนยถว งและศูนยก ลางมวล อยูต ำแหนง เดียวกันเม่ือวตั ถอุ ยูในสนามโนม ถว งสม่ำเสมอ จากรปู 8.12 จะเหน็ วา เมอ่ื โมเมนต ของแรงรอบศนู ยถ วงเทา กับศนู ย จะไดว า ������������1������������������������1 = ������������2������������������������2 เมอื่ ������������1และ ������������2 เปน ระยะจากศูนยถ วงไปยัง ������������1 และ ������������2 ตามลำดับ ซึง่ จะพบวาเปนเง่อื นไขเดยี วกบั ทจี่ ุดน้ันเปน ศนู ยกลางมวลคอื ������������1������������1 = ������������2������������2 ในกรณีท่รี ะบบมวลทัง้ สองนัน้ อยูในสนามโนมถวงที่ไมส มำ่ เสมอ เชน ������������1 อยูใ นสนามโนม ถวงท่มี ีคา ������������1 และ ������������2 อยูในสนามโนม ถวงทีม่ ีคา ������������2 ใหค า ������������1 มากกวา ������������2 ศูนยถ วงจะอยู ณ จดุ ทีท่ ำใหสมการนเี้ ปน จรงิ ������������1������������1������������1 = ������������2������������2������������2 รปู 8.13 ตำแหนง ของศนู ยถ วงและ ศูนยก ลางมวล อยูต ำแหนง เดียวกันเมอื่ วัตถอุ ยูในสนามโนมถวงไมสม่ำเสมอ

10 ดังนน้ั ศนู ยถ วงจะเล่อื นมาทางมวล ������������1 ในขณะท่ศี ูนยกลางมวลของระบบมวลอยูทีเ่ ดิม ศูนยถ วงจึงอยคู น ละตำแหนงกับศนู ยก ลางมวลดังรปู 8.13 8.5. สมดลุ ของวตั ถุ วัตถุท่อี ยูใ นสมดลุ อาจอยูใ นสมดลุ ตอการเล่ือนท่ีหรือสมดลุ ตอการหมนุ หรอื สมดลุ ทั้งตอ การเล่ือนทีแ่ ละ สมดุลตอการหมุน วัตถุทสี่ มดลุ ตอ การเลอื่ นทอ่ี าจหยุดน่ิงหรือเคล่อื นท่ดี ว ยความเรว็ คงตัว สว นวัตถุท่ีสมดลุ ตอการ หมุนกอ็ าจหยุดนง่ิ ไมหมนุ หรอื หมนุ ดวยความเร็วเชิงมมุ คงตัว พจิ ารณาวัตถุทรงสเ่ี หลยี่ มซง่ึ มนี ำ้ หนัก ������������⃑��� และตัง้ อยูบ นพ้ืนราบระดบั ทม่ี ีความฝด ดังรูป 8.14 รปู 8.14 วัตถุวางบนพ้ืนราบระดบั ท่ีมีความฝด ขณะที่วัตถุวางบนพื้นราบระดับจะมีแรงเนื่องจากน้ำหนักวัตถุ และมีแรงที่พื้นโตตอบกับแรงที่วัตถุกดพื้น โดยแรงโตตอบนี้ดันวัตถุไวในแนวตั้งฉากกับพื้น แรงทั้งสองนี้อยูในแนวเดียวกันและมีขนาดเทากัน แรงลัพธท่ี กระทำตอวัตถุจะเปนศูนย วัตถุจะอยูในสมดุลตอการเลื่อนที่ และไมมีโมเมนตที่ทำใหวัตถุหมุน ดังนั้นวัตถุจึงอยูใน สมดลุ ตอการหมุนดวย ถา ออกแรง ������⃑������ ในแนวระดบั กระทำกบั วตั ถุท่ตี ำแหนงสูงจากพื้นเปน ระยะ h1 ดงั รปู 8.15 ก โดยวตั ถยุ ังคง อยูนิ่ง แสดงวา วัตถุยังไมเปล่ียนสภาพการเลื่อนที่ และไมเปลี่ยนสภาพการหมนุ หลังจากนั้นเปลี่ยนตำแหนง ที่แรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุใหสูงจากพื้นขึ้นเรื่อย ๆ จนถึงความสูง h2 ดังรูป 8.15 ข ซึ่งเปลี่ยนตำแหนงที่แรงกระทำใหสูงข้ึน จะทำใหวัตถุเริ่มเอียงและเมื่อสูงถึงคาหนึ่งวัตถุจะลมวางตัวลงในแนวนอน แสดงวาในชวงนี้วัตถุไมสมดุลตอการ หมุน

11 รูป 8.15 แรง ������⃑������ กระทำตอ วตั ถใุ นแนวระดับท่ีตำแหนงสงู จากพื้นตางกนั เม่อื พจิ ารณาแรงตางๆ ทก่ี ระทำตอวัตถุ ดงั รปู 8.15 ก วัตถอุ ยใู นสมดุล ในขณะที่ออกแรง ������⃑������ ในแนวระดับ กระทำตอวัตถุ จะมีแรงเสียดทาน ������⃑������ ขนาดเทากับแรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุในทิศทางตรงกันขาม แนวแรงทั้งสอง ขนานกันและไมอยูในแนวเดียวกัน ดังนั้น แรง ������⃑������ , ������⃑������ จึงเปนแรงคูควบ ทำใหเกิดโมเมนตของแรงคูควบมีคา ������������ℎ1 หรือ ������������ℎ1 ซึ่งทำใหวัตถุหมุนทวนเข็มนาิกา แตวัตถุนี้ไมมีการหมุน แสดงวา จะตองมีโมเมนตของแรงคูควบอีกคู หนึ่ง ซึ่งมีขนาดเทากับ ������������ℎ1 กระทำกับวัตถุใหหมุนตามเข็มนาิกา ถาพิจารณาที่วัตถุแลวแรงคูควบนี้คือแรง �������⃑������ และ ������������⃑��� และ เมื่อ �������⃑������ คือแรงที่พื้นกระทำตอวัตถุในแนวตั้งฉากซึ่งมีขนาดเทากับ ������������⃑��� ซึ่งเปนน้ำหนักของวัตถุ ใน กรณีนีแ้ นวของ �������⃑������ และ ������������⃑��� จะตองไมอ ยูใ นแนวเสนตรงเดยี วกัน �������⃑������อยูที่ตำแหนงซึ่งหางจากแนวของ ������������⃑��� เปนระยะ d1 เพอ่ื ทำใหเ กดิ โมเมนตข องแรงคคู วบ มีคาเทา กับ ������������������������1 ซ่ึงจะเขียนความสัมพนั ธไดว า ������������ℎ1 = ������������������������1 จากที่กลาวมาแลวจะเห็นวาถาออกแรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุ แรง �������⃑������ และ ������������⃑��� จะไมอยูในแนวเสนตรง เดยี วกัน ถาตำแหนง ที่ออกแรง ������⃑������ กระทำตอ วัตถุสูงจากพ้ืนเพ่ิมข้ึน คอื คา h1 เพม่ิ ขนึ้ โดยวัตถุไมเปล่ียนสภาพการ หมุน ระยะ d1 ตองเพิ่มขึ้นดวย เพื่อใหผลรวมของโมเมนตที่กระทำกับวัตถุมีคาเปนศูนย เนื่องจากน้ำหนัก ������������⃑��� มี แนวแรงอยูในแนวเดิม ดังนั้นแนวแรง �������⃑������ จะตองเลื่อนออกหางจากแนวแรง ������������⃑��� ซึ่งจะเลื่อนไดมากที่สุด เมื่อแนว แรง �������⃑������ อยูท ี่ตำแหนงริมสดุ ของฐานวตั ถุ โดยหางจากแนว ������������⃑��� เปน d2 ดังรปู 8.15 ข

12 8.6. เสถยี รภาพของสมดลุ เสถยี รภาพของสมดลุ จะแบงออกไดเ ปน 3 กรณี ไดแก สมดุลเสถียร (stable equilibrium) คือ สมดุลของวัตถุที่เมื่อออกแรงกระทำใหวัตถุเอียงจากเดิมแลว ศูนยกลางมวลของวัตถุเปลี่ยนตำแหนงอยูในระดับที่สูงขึ้น (พลังงานศักยของวัตถุมากชั้น) เมื่อหยุดออกแรง วัตถุ จะกลบั มาอยใู นลักษณะเดมิ สมดุลสะเทิน (neutral equilibrium) คือ สมดุลของวัตถุที่เมื่อออกแรงกระทำตอวัตถุแลววัตถุจะกลิ้ง ไป โดยที่ศูนยกลางมวลอยูในระดับความสูงทีเ่ ทาเดิม (พลังงานศักยของวัตถุคงเดิม) วัตถุจะเปลี่ยนตำแหนงไปโดย วางตวั ในลกั ษณะเดิม สมดุลไมเสถียร (unstable equilibrium) คือ สมดุลของวัตถุที่เมื่อออกแรงกระทำใหวัตถุเอียงจากเดมิ แลว ศนู ยก ลางมวลของวตั ถเุ ปล่ยี นตำแหนงไปอยใู นที่ต่ำกวาเดิม (พลงั งนศักยข องวัตถจุ ะลดลง) วัตถจุ ะลม และไม สามารถกลบั มาอยใู นลกั ษณะเตมิ ได ตวั อยางของวัตถุทอี่ ยใู นเสถยี รภาพของสมดลุ ทีแ่ ตกตา งกัน ในแตล ะกรณี สมดุลของกรวยจะแตกตา งกัน จากรูป 8.16 ก เมือ่ ผลักกรวยใหเอยี งจากเดิมเล็กนอ ยแลว ปลอยมอื กรวยจะเคลอ่ื นท่กี ลับมาอยูใ นลกั ษณะเดมิ ในกรณีนเ้ี รียกวา สมดุลเสถยี ร ถา ออกแรงผลักกรวยที่อยูใ น ลักษณะดังรูป 8.16 ข กรวยจะไมเ คลอื่ นกลบั ทีเ่ ดมิ แตจ ะอยนู ิ่งในลกั ษณะเดมิ ได เรยี กวา สมดุลสะเทิน ถา วาง กรวยดงั รูป 8.16 ค เมอ่ื ผลักกระใหเอียงจากเดิมเลก็ นอ ยแลวปลอยมีอ กรวยจะลมลง ในกรณนี ้ีกรวยอยใู น สภาพ สมดลุ ไมเสถยี ร รูป 8.16 กรวยวางตัวในลักษณะตา งกนั บนพื้นระดับ

13 8.7. การนำหลักสมดลุ ไปประยกุ ต หลกั การสมดุลมีใชม ากมายในชวี ติ ประจำวัน ในที่นี้จะกลา วถึงการนำหลักการสมดุลไปใชก บั เครอ่ื งกล อยางงาย เชน คาน คีมตดั สวด ไขควง ลอ กบั เพลา และกวา น เปน ตัน ซง่ึ เครื่องกลอยางงายเหลา นสี้ ามารถผอ น แรงหรอื อำนวยความสะดวกในการทำงาน คาน เปนเคร่ืองผอ นแรงทีเ่ ราใชกนั มากทส่ี ุด เชน ชะแลงงัดฝากลอ ง คอนงดั ตะปู คีมตัดลวด กรรไกรตดั ผา ชนิ้ สวนตา งๆ ของรถและเครอื่ งกล มดี ควั่นออย ท่เี จาะรูเข็มขัด เปนตน หลักการทำงาน ของคานจะพิจารณาขณะคานอยใู นสมดุล รปู 8.17 การทำงานของคาน น่นั คอื ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������ = 0 และ ∑���������������������=��� 1 �����������⃑��������������� = 0 คิดโมเมนตรอบจุดหมนุ ใหโมเมนตทวนเขม็ นาิกามเี คร่อื งหมายบวก (+) โมเมนตต ามเข็มนากิ ามีเครื่องหมายลบ (-) ������������1���������1��� − ������������2������������2 = 0 ������������1���������1��� = ������������2������������2 ������������1 = ������������2 ������������2 ���������1��� ������������1 ������������2 โดย อตั ราสว น ������������2 = ������������1 เรยี กวา การไดเ ปรียบเชงิ กล (mechanical advantage, MA) เมอ่ื ������������1 เปน แรงที่ไดจากเคร่อื งกล และ ������������2 เปน แรงกระทำ กลาวคือ \"การไดเ ปรยี บเชิงกลเปน ปรมิ าณที่บอกใหท ราบวา แรง ท่ีไดจ ากเครอื่ งกลเปน กี่เทาของแรงทเ่ี รากระทำ\"

14 รอก เปนเครื่องกลอยางงายที่ใชกันในโรงงานหรือสถานที่ท่ีมกี ารกอสราง เชน ใชยกของขึ้นที่สูง ยกเครื่องยนต ออกจากตัวถังรถเพื่อซอมบางครั้งรอกจะอยูติตกับรถเครนที่ทำหนาที่ยกวัสดุตาง ๆ หลักการทำงานของรอกจะ พจิ ารณาขณะรอกอยใู นสมดุล นัน่ คือ ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������ = 0 พจิ ารณาที่รอก (โดยถือวารอกเบา ไมค ดิ โมเมนตความเฉือ่ ย และรอกหมนุ คลอ ง) ในที่นไ้ี มม แี รงองคประกอบในแนวแกน x มแี ตแรงองคป ระกอบในแนวแกน y ใหแ รงที่ มีทิศขึ้น มีเครอ่ื งหมายบวก (+) แรงทมี่ ที ศิ ลงมีเครื่องหมายลบ (-) ������������ � ������⃑������������������������������ = 0 ������������=1 �������⃑������1 + �������⃑������2 + �������⃑������3 = 0 ������������1 + ������������2 − ������������3 = 0 เนอ่ื งจาก ������������1 = ������������2 เพราะวาเปนแรงดึงของเชอื กเสน เดยี วกนั ใหเทากับ T รูป 8.18 การทำงานของรอก 2������������ = ������������3 ������������ = ������������3 (1) 2 พิจารณาทวี่ ัตถุ 2 � ������⃑������������������������������ = 0 ������������=1 �������⃑������3 + ������������⃑��� = 0 ������������3 − ������������ = 0 แทน T3 ลงใน (1) ������������ 2 จะได ������������ = ในกรณนี ีม้ ีการไดเปรยี บเชงิ กลเปน สอง ( ������������ = ������������ ) ทำใหเ ราสามารถยกของที่มนี ำ้ หนักมากโดยใช 2 แรงเพยี งครึ่งเดยี วของน้ำหนักทยี่ ก

15 ลอกบั เพลา เปนเคร่อื งผอ นแรงทใี่ ชกนั แพรหลายมาก ไมว า จะเปน ในรถยนต รถจักรยาน เครอ่ื งกลึง เคร่อื งเจาะ กวาน เครื่องตอกเสาเขม็ พวงมาลัยรถ สายพาน และเกียร ตา งกใ็ ชห ลักการทำงานของลอกับเพลา ซ่ึงจะพิจารณาขณะ ลอกบั เพลาอยใู นสมดุล รูป 8.19 การทำงานของลอกบั เพลา นน่ั คือ ∑���������������������=��� 1 ������⃑������������������ = 0 และ ∑���������������������=��� 1 ������������������������ = 0 คิดโมเมนตร อบจุดหมุน o ใหโมเมนตทวนเข็มนากิ ามเี ครอื่ งหมายบวก (+) โมเมนตตามเข็มนาิกามีเครือ่ งหมายลบ (-) ������������1���������1��� − ������������2������������2 = 0 ������������1���������1��� = ������������2������������2 ������������1 = ������������2 ������������2 ���������1��� จะเหน็ วา การทำงานของลอกบั เพลาจะเหมอื นกับการทำงานของคาน

16 8.8. สภาพยืดหยนุ เมื่อออกแรงดึงยางรัดของหรือออกแรงกดดินน้ำมัน จะพบวายางรัดของจะยืดออกและกลับสูสภาพเดิม เมื่อหยุดออกแรง สวนดินน้ำมันยุบตัวลงโดยไมกลับสูสภาพเดิม ดังรูป 8.20 สมบัติของวัสดุที่มีการเปลี่ยนรูปราง เมื่อมีแรงมากระทำและสามารถคืนตัวกลับสูรูปรางเดิมเมื่อหยุดออกแรงกระทำ เรียกวา สภาพยืดหยุน (elasticity) สวนกรณีวัสดุทีเ่ ปลย่ี นรปู รางไปอยา งถาวร โดยผิววัสดุไมมกี ารฉีกขาดหรอื แตกหัก เรยี กสมบตั นิ ี้วา สภาพ พลาสตกิ (plasticity) วสั ดหุ ลายชนิดมที ั้งสภาพยดื หยนุ และสภาพพลาสตกิ ในตวั เองดยมีสภาพยืดหยุนเม่ือแรง กระทำมคี า นอย และมสี ภาพพลาสตกิ เมื่อแรงกระทำมีคา มาก รูป 8.20 การเปลีย่ นแปลงรูปรางของยางรดั และดินน้ำมน้ั การดงึ วัสดชุ นิดตางๆ เชน สปริงใหย ดื ออกจะพบวาความยาวทสี่ ปรงิ ยดื ออก แปรผันตรงกับขนาดของแรง ดงึ แตถ า เพม่ิ แรงดงึ สปรงิ ใหย ืดออกไปเรอื่ ยๆ อกี เมื่อถึงระยะหนึ่ง จะพบวาความยาวทีส่ ปรงิ ยืดออกไมแปรผันตรง กบั ขนาดของแรงดงึ รปู 8.21 รปู รางของสปริงเม่ือถกู แรงกระทำ

17 กราฟระหวา งขนาดของแรงดึงกบั ความยาวท่ีสปรงิ ยืดออก กฎของฮุก (Hooke's law) เม่อื ออกแรงดึงหรอื กดสปริง หรอื เสนลวดพบวาใน ขอบเขตหนงึ่ แรงท่ีกระทำตอสปริง F มคี วามสัมพันธ กับความยาวที่เปล่ยี นไป x ดังนี้ ������������ ������������ ������������ หรือ ������������ = ������������������������ เม่ือ ������������ คือ คา คงตัวสปรงิ (spring constant) หรอื คา คงตวั แรง (force constant) ความสมั พนั ธตามสมการขางตน เรียกวา กฎของฮกุ จากกราฟจะเห็นไดวา ความยาวท่ีสปริงยืดออกแปรผันตรงกับขนาดของแรงดึงอยูในชวงแรกเทานั้น คือ ในชวง 0a ของเสนกราฟ ซึ่งการยืดของสปริงจะเปนไปตามกฎของฮุก หลังจากนั้นความยาวที่สปริงยืดออกจะไม แปรผันตรงกับขนาดของแรงดึง จุด a ซึ่งเปนตำแหนงสุดทายที่ความยาวที่สปริงยึดออกแปรผันตรงกับขนาดของ แรงดึงเรียกวา ขีดจำกัดการแปรผนั ตรง (proportional limit) ถาออกแรงดึงสปริงใหยืดอกี เล็กนอยจนถึงจุด b เมื่อหยุดออกแรงกระทำพบวาสปริงจะกลับไปอยูในสภาพเดิม ตำแหนงสุดทาย (จุด b ) ที่สปริงยืดออกแลวยัง สามารถคืนตัวกลับสสู ภาพเดิมไดเรียกวา ขีดจำกดั สภาพยดื หยนุ (elastic limit) จะเห็นวาเสนกราฟชวง 0b เปนชวงที่สปริงสามารถคืนตัวสูรูปรางเดิมได สภาพของวัสดุในชวง 0b ก็คือ สภาพยืดหยุน สวนชวงของกราฟตั้งแตจุด b เปนตนไป สปริงเปลี่ยนรูปไปอยางถาวร ไมสามารถกลับสูสภาพเดิม และถาดึงตอไปก็จะถึงจุด c ซึ่งเปนจุดที่เสนวัสดุขาด จุดน้ีเรียกวา จุดแตกหัก (breaking point) สภาพของวัสดุ ในชว ง bc ก็คือ สภาพพลาสตกิ 8.8.1. ความเคน และความเครียด เม่อื นำวตั ถุมาแขวนไวกบั เสนลวด (เสนลวดเบา) เสนลวดจะถูกดึงจากน้ำหนักของวตั ถนุ ้นั ดงั รปู 8.22 ขณะเสนลวดอยใู นสมดลุ แรงดงึ ทั้งสองปลายของเสนลวดจะมีขนาดเทา กัน และทุกๆสว นของภาคตัดขวาง ของเสนลวดจะไดรับแรงกระทำอยางสมำ่ เสมอดว ยเชนกัน ดังรปู 8.22

18 รูป 8.22 แรงในเสน ลวดเมื่อพิจารณาภาคตัดขวาง ให ������⃑������ เปนแรงดึงซึ่งกระทำในแนวตั้งฉากกับพื้นที่หนาตัด A ของเสนลวด อัตราสวนระหวางแรง ดึงและพื้นที่หนาตัด เรียกวา ความเคนดึง (tensile stress) แทนดวยสัญลักษณ ������������ และเขียนเปนความสัมพันธ ไดวา ความเคนดงึ = แรงดงึ พ้ืนทห่ี นาตดั หรือ ������������ = ������������⊥ ������������ ������������ เปนความเคนดงึ มีหนวย นิวตันตอตารางเมตร (N/m2) หรือ พาสคัล (Pa) โดยความเคนเปน ปรมิ าณสเกลาร โดยทว่ั ไปความเคน มี 2 ชนดิ คอื ความเคนตามยาว และความเคนเฉือน ความเคน ตามยาว (longitudinal stress) แบงได 2 ชนิด คอื ความเคน ดึง (tensile stress) ซ่งึ แรง ������⃑������ กระทำตอ วัตถใุ นลักษณะดึงใหยดื ออกดังรปู 8.23 ก กับความเคน อดั (compressive stress) ซึ่งแรง ������⃑������ กระทำตอวัตถุในลักษณะอัดใหหดสั้นลง ดังรูป 8.23 ข สวนความเคนเฉือน (shear stress) น้นั แรง ������⃑������ ทก่ี ระทำตอ วตั ถจุ ะทำใหว ตั ถุบิดเบอื นรปู รา งไปจากเดมิ ดังรูป 8.23 ค

19 รูป 8.23 การออกแรงทใี่ หเกิดความเคน แบบตา งๆ พิจารณาเสนลวดซ่งึ มีความยาวเดิม ������������0 เมื่อมแี รงขนาดเทากนั สองแรงมาดึงที่ปลายแตละขางของ เสนลวดในทิศทางตรงขามกัน เสนลวดจะยืดออก ถาให ∆������������ เปนความยาวของเสนลวดสวนที่ยืด และ ������������0 เปน ความยาวเดิมของเสนลวด อัตราสว นระหวา งความยาวสว นทีย่ ืดกบั ความยาวเดมิ เรียกวา ความเครยี ด ตามยาว (longitudinal strain) แทนดวยสญั ลกั ษณ ������������ และเขียนเปน ความสมั พนั ธไดวา ������������ = ∆������������ ������������0 เน่อื งจากความเครยี ดเปนอัตราสวนระหวา งความยาวท่ีเปลีย่ นไปกบั ความยาวเดิม ซงึ่ มหี นว ย เดยี วกนั ความเครียดจึงไมม หี นวย 8.8.2. มอดลุ สั ยัง เมื่อออกแรงดึงเสนวัสดุโดยไมใ หข นาดของแรงดึงเกนิ จำกดั การแปรผันตรงของวสั ดุ ความเคน ดงึ จะแปรผันตรงกับความเครยี ดดึง น่ันคอื อัตราสวนระหวางความเคนดงึ และความเครยี ดดงึ ของวัสดุชนิดหน่งึ ๆ จะ มีคาคงตัว เรยี กคา คงตวั น้วี า มอดุลัสของยงั (Young's modulus) แทนดวยสัญลกั ษณ Y และเขียนไดว า ������������ = ������������ = ������������/������������ ������������ ∆������������/������������0 มอดุลัสของยงั มหี นว ย นวิ ตนั ตอตารางเมตร วสั ดทุ ม่ี ีมอดลุ สั ของยงั สูง แสดงวา วสั ดนุ ัน้ เปลย่ี น ความยาวไดนอย ขณะทม่ี ีความเคน มาก

20 นอกจากมอดุลัสของยงั แลว ยงั มมี อดุลสั ประเภทอน่ื ไดแก มอดลุ ัสเฉอื น (shear modulus) และมอ ดุลัสเชิงปริมาตร (bulk modulus) โดยทั้งมอดลุ สั ของยงั มอดลุ ัสเฉือนและมอดลุ ัสเชิงปรมิ าตร รวมเรยี กวา มอ ดุลสั สภาพยืดหยุน (modulus of elasticity) โดยมอดุลัสสภาพยืดหยุนของวสั ดุตางแบบกนั จะมคี า ตางกนั ถงึ แมว าจะเปน วสั ดชุ นิดเดยี วกันก็ตาม ตัวอยา งมอดลุ ัสสภาพยดื หยนุ ของวัสดบุ างชนิด ดังตาราง 8.1


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook