ວິຊາດີຈິຕໍ້ແລະໂລຈິກ

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข 1. นําตัวเลขฐานสิบแตละพจนยอยมาแปลงเปนเลขฐานสอง และใสจํานวนบิตใหเทากับ จํานวนอินพตุ เชนกรณี 3 อนิ พุตของ 210 เม่ือแปลงเปน ฐานสองจะได 102 แตเนอ่ื งจากเปน 3 อนิ พุต จึงตอ งเพิม่ 0 ไวตาํ แหนง หนา สดุ อีก 1 ตวั ไดเปน 0102 2. แทนคาเลขฐานสองท่ีไดจากขอ 1 ดวยอินพุตแตละตัวและนํามาเช่ือมกันโดยใชตัว ดาํ เนนิ การออรโดยกรณที ีค่ า ประจําบิตเปน 1 ใหใ สค อมพลิเมนตด ว ย เชน กรณีอินพุต (A, B, C) มีคา เปน 2 เมื่อแปลงจาก 0+1+0 จะได A + B+ C 3. นําพจนยอ ยแตล ะพจนม าเชอ่ื มกันดวยตวั ดําเนนิ การแอนด ตวั อยา งที่ 5-6 จงแปลง f(A,B)= M(0,1) ใหอยูในรูปสมการพชี คณิตบลู นี วธิ ที าํ เน่ืองจากมอี นิ พตุ ทงั้ หมด 2 ตวั จึงสามารถแปลงพจนย อยแตจะพจนไดด ังนี้ 010 -> 002 -> 0 + 0 -> (A + B) 110 -> 012 -> 0 + 1 -> (A + B) เพราะฉะนนั้ f(A,B)= (A + B)(A + B) ตัวอยา งท่ี 5-7 จงแปลง f(A,B,C)= M(0,2,5,7) ใหอยูใ นรูปสมการพีชคณติ บลู นี วธิ ที าํ เนอื่ งจากมอี นิ พตุ ทง้ั หมด 3 ตวั จงึ สามารถแปลงพจนย อ ยแตจ ะพจนไดด งั น้ี 010 -> 0002 -> 0+ 0+ 0 -> (A + B+ C) 210 -> 0102 -> 0+ 1+ 0 -> (A + B+ C) 510 -> 1012 -> 1+ 0+ 1 -> (A + B+ C) 710 -> 1112 -> 1+ 1+ 1 -> (A + B+ C) เพราะฉะนั้น f(A,B,C)= (A + B+ C)(A + B+ C)(A + B+ C)(A + B+ C) สําหรบั พจนย อยแตล ะพจนข องสมการพชี คณติ บลู นี ทซี่ งึ่ ออรกนั อยู เรยี กวา แมกเทอม (m axterm ) 5.4 การเขยี นสมการพีชคณติ บลู นี จากตารางความจรงิ การนําสถานะของเอาตพุตจากตารางความจริงมาเขียนเปนสมการพีชคณิตบูลีน สามารถ พจิ ารณาได 2 กรณี ดงั น้ี กรณที ่ี 1 เลอื กสถานะของเอาตพ ตุ เฉพาะกรณที ่ีมคี าเปน 1 ท้ังหมด และเขียนสมการพชี คณติ บลู ีนในรูปของผลรวมของผลคณู (สถานะอินพุตทีม่ คี า เปน 0 ใหใสคอมพลเิ มนต) กรณที ่ี 2 เลือกสถานะของเอาตพ ตุ เฉพาะท่มี คี า เปน 0 ทั้งหมด และเขยี นสมการพีชคณติ บลู นี ใน รปู ของผลคณู ของผลรวม (สถานะอินพตุ ท่ีมคี า เปน 1 ใหใสค อมพลเิ มนต) 82

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ ตวั อยางที่ 5-8 จงเขยี นสมการพีชคณติ บลู ีนในรปู ผลรวมของผลคณู และ ผลคูณของผลรวมจาก ตารางความจรงิ ตอ ไปนี้ อินพตุ เอาตพ คุ AB C Z 0 00 0 0 1 00 1 1 0 01 0 1 0 01 1 0 10 0 10 1 11 0 11 1 กรณีท่ี 1 เลอื กสถานะของเอาตพ ุตที่มคี าเปน 1 วิธที ํา เนือ่ งจากสถานะของอินพตุ ทท่ี าํ ใหส ถานะของเอาตพตุ มคี า เปน 1 มีดังนี้ 1. A = 0, B = 1 และ C = 0 2. A = 0, B = 1 และ C = 1 3. A = 1, B = 0 และ C = 1 ดังนั้น ดังเขยี นเปน สมการพชี คณติ บลู นี ไดด งั นี้ Z = ABC+ ABC+ ABC กรณที ่ี 2 เลือกสถานะของเอาตพ ตุ ทมี่ คี า เปน 0 วธิ ที ํา เนอ่ื งจากสถานะของอนิ พตุ ทที่ าํ ใหส ถานะของเอาตพ ตุ มคี า เปน 0 มดี งั นี้ 1. A = 0, B = 0 และ C = 0 2. A = 0, B = 0 และ C = 1 3. A = 1, B = 0 และ C = 0 4. A = 1, B = 1 และ C = 0 5. A = 1, B = 1 และ C = 1 ดงั นน้ั ดังเขยี นเปน สมการพชี คณติ บลู นี ไดด งั นี้ Z = (A + B+ C)(A + B+ C)(A + B+ C)(A + B+ C)(A + B+ C) 5.5 การออกแบบวงจรรวมเชงิ จัดหมู การออกแบบวงจรรวมเชิงจัดหมู คือการที่ผูออกแบบวงจร ทําการออกแบบวงจรตาม คณุ ลักษณะของวงจรที่ตองการโดยใชตารางความจริงสําหรบั ออกแบบสถานะของเอาตพุต เพื่อที่จะ แปลงมาเปน สมการพีชคณติ บูลีนตอ ไป โดยมีข้นั ตอนดงั นี้ 83

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ 1. จากคณุ ลกั ษณะของวงจรทต่ี อ งการ นํามาออกแบบโดยใชต ารางความจริง 2. จากตารางความจริงทีไ่ ดนํามาแปลงเปนสมการพชี คณติ บูลนี 3. ทาํ การลดรปู สมการพีชคณติ บลู นี ใหอยใู นรูปอยางงา ย 4. สรางวงจรตามสมการพชี คณติ บลู นี ทีไ่ ดใ นขั้นตอนท่ี 3 ตัวอยางท่ี 5-9 จงออกแบบวงจรลอจิกทส่ี ถานะของเอาตพ ตุ มคี า เปน 1 กต็ อ เมอ่ื อินพตุ อยางนอ ย 2 ตัวจากท้งั หมด 3 ตวั มสี ถานะเปน 1 วิธที าํ จากโจทยกําหนดวาอินพุตอยางนอย 2 ตัวจากท้ังหมด 3 ตวั แสดงวามีจํานวนอินพุต ท้ังหมด 3 ตัว โดยทสี่ ถานะของเอาตพ ุตจะมีคา เปน 1 ไดน ้ันจะตองมีอินพตุ อยางนอย 2 ตวั มีคาเปน 1 พรอมกันเทานั้น สวนกรณีอื่นๆ สถานะของเอาตพตุ จะมีคาเปน 0 ท้ังหมด สามารถสรางเปน ตาราง ความจริงไดดงั นี้ แถวท่ี อนิ พุต เอาตพ ตุ ABC Z 10 0 0 0 20 0 1 0 30 1 0 0 40 1 1 1 51 0 0 0 61 0 1 1 71 1 0 1 81 1 1 1 จากตาราง เหน็ ไดวา มีเพยี งแถวสีเทาเทานั้นที่ทําใหสถานะเอาตพุตมีคาเปน 1 เนื่องจากเปน แถวทม่ี อี นิ พุตอยา งนอ ย 2 ตวั ทีม่ คี าเปน 1 พรอ มกนั โดยมีท้ังหมด 4 แถวดังน้ี แถวท่ี 4 A = 0, B = 1 และ C = 1 แถวท่ี 6 A = 1, B = 0 และ C = 1 แถวท่ี 7 A = 1, B = 1 และ C = 0 แถวท่ี 8 A = 1, B = 1 และ C = 1 ดงั น้ัน ดงั เขียนเปนสมการพีชคณิตบูลีนไดด ังนี้ Z = ABC+ ABC+ ABC+ ABC จากสมการพชี คณติ บลู ีนท่ไี ด สามารถใชกฎพชี คณติ บูลีนในการลดรูปไดดงั นี้ Z = ABC+ ABC+ ABC+ ABC กฎ 4.4.3 ขอที่ 1 = ABC+ ABC+ AB(C+ C) กฎ 4.4.8 ขอท่ี 2 = ABC+ ABC+ AB(1) กฎ 4.4.6 ขอ ที่ 2 = ABC+ ABC+ AB กฎ 4.4.3 ขอ ท่ี 1 = ABC+ A(BC+ B) กฎ 4.4.9 ขอท่ี 3 = ABC+ A(C+ B) กฎ 4.4.3 ขอที่ 1 = ABC+ AC+ AB 84

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทลั และลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข = ABC+ AB+ AC กฎ 4.4.1 ขอที่ 1 = (AC+ A)B+ AC กฎ 4.4.3ขอท่ี 1 = (C+ A)B+ AC กฎ 4.4.9ขอที่ 3 = BC+ AB+ AC กฎ 4.4.3ขอ ที่ 1 เพราะฉะนนั้ ไดส มการพีชคณติ บลู นี ทีอ่ ยูใ นรูปที่งา ยทสี่ ดุ เปน ดงั นี้ Z = AB+ AC+ BC ตัวอยางท่ี 5-10 จงออกแบบวงจรลอจกิ ทสี่ ถานะของเอาตพ ุตมคี า เปน 1 กต็ อ เมอื่ อนิ พตุ 2 ตวั จาก ทง้ั หมด 4 ตวั มีสถานะเปน 1 วิธที าํ จากโจทยก าํ หนดวา อินพุต 2 ตวั จากทั้งหมด 4 ตวั แสดงวา มจี ํานวนอนิ พตุ ท้งั หมด 4 ตัว โดยท่สี ถานะของเอาตพุตจะมคี า เปน 1 ไดนนั้ จะตอ งมีอินพุต 2 ตัวมคี าเปน 1 พรอมกันเทา นั้น สวน กรณอี ื่น ๆ สถานะของเอาตพ ตุ จะมีคาเปน 0 ท้งั หมด สามารถสรางเปนตารางความจรงิ ไดดังนี้ แถวท่ี A อนิ พุต D เอาตพตุ 0 0 1 0 BC 1 Z 2 0 00 0 0 3 0 00 1 0 4 0 01 0 0 5 0 01 1 1 6 0 10 0 0 7 0 10 1 1 8 1 11 0 1 9 1 11 1 0 10 1 00 0 0 11 1 00 1 1 12 1 01 0 1 13 1 01 1 0 14 1 10 0 1 15 1 10 1 0 16 11 0 11 0 จากตาราง เหน็ ไดวา มเี พียงแถวสีเทาเทาน้ันที่ทําใหสถานะเอาตพุตมีคาเปน 1 เนื่องจากเปน แถวทีม่ ีอินพุต 2 ตวั เทานน้ั ที่มีคา เปน 1 พรอมกัน โดยมที ัง้ หมด 6 แถวดงั น้ี แถวท่ี 4 A = 0, B = 0, C = 1 และ D = 1 แถวที่ 6 A = 0, B = 1, C = 0 และ D = 1 แถวท่ี 7 A = 0, B = 1, C = 1 และ D = 0 แถวท่ี 10 A = 1, B = 0, C = 0 และ D = 1 85

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข แถวท่ี 11 A = 1, B = 0, C = 1 และ D = 0 แถวที่ 13 A = 1, B = 1, C = 0 และ D = 0 ดงั นัน้ ดังเขยี นเปนสมการพชี คณิตบลู นี ไดด งั น้ี Z = ABCD + ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD จากสมการพีชคณิตบูลีนท่ีได พบวาไมสามารถลดรูปไดแลว เพราะฉะนั้นสรุปไดวาสมการ ดงั กลา วเปน สมการท่อี ยูใ นรปู ที่งา ยที่สุดแลว 5.6 การใชยนู เิ วอรแ ซลเกตในการออกแบบวงจรรวมเชิงจดั หมู ยนู เิ วอรแ ซลเกต (Universal Gate) คือ เกตพนื้ ฐานทีส่ ามารถนาํ ไปใชง านแทนเกตพน้ื ฐานชนิด อื่นๆ ไดท้ังหมด ซ่ึงเปนกลุมของเกตพื้นฐานที่ชวยอํานวยความสะดวกใหผูออกแบบไดเปนอยางดี เนอ่ื งจากไมจําเปน ตอ งมองหาเกตพื้นฐานชนิดอื่นอีกเลย เพราะสามารถใชยูนิเวอรแซลเกตแทนได ทงั้ หมด โดยเกตพืน้ ฐานท่ีเปน ยูนิเวอรแ ซลเกตมี 2 ชนิดคอื แนนดเ กต และ นอรเ กต ตวั อยา งท่ี 5-11 จงใชแ นนดเ กตมาสรา งวงจรที่มกี ารทาํ งานเปน น็อตเกต แอนดเกต และ ออรเกต วธิ ที ํา 1. น็อตเกต จากรูป อนิ พตุ คือ A และ เอาตพุตคอื A ดังน้นั หากใชแนนดเกตในการสรางวงจรนอ็ ตเกตดังกลาว จะไดด งั ตอไปน้ี จากรูปอนิ พุต A เช่ือมตอกับ ขาอินพุตท้ังสองขาของแนนดเกต ดังน้ันจากกฎ 4.4.4 ขอ 2 ได AA = A 2. แอนดเ กต จากรปู อนิ พุต คอื A และ B เอาตพตุ คือ Z ดงั นนั้ หากใชแนนดเกตในการสรา งวงจรแอนดเ กต ดงั กลา วจะไดด งั ตอ ไปน้ี 86

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ จากรูป อินพุต A และ B เช่ือมตอกับ ขาอินพุตทั้งสองขาของแนนดเกตไดเปน AB และนํา ผลลัพธด ังกลา วมาผา นแนนดเกตตวั ทีส่ องซึ่งทาํ หนา ที่เปนน็อตเกต ดงั น้นั จากกฎ 4.4.5 ได AB=AB 3. ออรเ กต จากรูป อินพตุ คือ A และ B เอาตพตุ คือ Z ดังนั้น หากใชแนนดเกตในการสรางวงจรออรเกต ดงั กลาวจะไดด งั ตอไปน้ี จากรูป อนิ พตุ A และ B แตละตัวถูกเช่ือมตอกับแนนดเกตท่ีทําหนาที่เปนน็อตเกตไดเปน A และ B และนาํ ผลลัพธท ั้งสองมาใชง านเปนอนิ พตุ ใหแนนดเกตตวั สดุ ทายไดเปน AB และจากกฎ เดอมอรแกน (กฎ 4.4.10 ขอ 2) ไดว า AB= A+ B= A+ B ตัวอยา งท่ี 5-12 จงใชนอรเกตมาสรางวงจรทมี่ ีการทาํ งานเปน น็อตเกต แอนดเ กต และ ออรเ กต วธิ ที ํา 1. นอ็ ตเกต จากรปู อินพตุ คือ A และ เอาตพตุ คอื A ดงั น้ัน หากใชนอรเ กตในการสรา งวงจรน็อตเกต ดังกลาวจะไดดงั ตอ ไปนี้ จากรูป อนิ พตุ A เชอื่ มตอ กบั ขาอนิ พตุ ทง้ั สองขาของนอรเ กต ดงั น้ัน A + A= A 87

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข 2. แอนดเ กต จากรปู อนิ พตุ คอื A และ B เอาตพ ตุ คือ Z ดงั น้นั หากใชน อรเกตในการสรางวงจรแอนดเกต ดงั กลา วจะไดดงั ตอ ไปน้ี จากรปู อนิ พตุ A และ B แตละตวั ถกู เช่อื มตอกับนอรเ กตทท่ี าํ หนา ท่ีเปน นอ็ ตเกตไดเปน A และ B และนําผลลัพธทั้งสองมาใชงานเปนอินพุตใหนอรเกตตัวสุดทายไดเปน A+ B และ จากกฎเด อมอรแ กน (กฎ 4.4.10 ขอ 1) ไดวา A+ B= AB= AB 3. ออรเกต จากรูป อินพตุ คือ A และ B เอาตพุตคือ Z ดังนั้น หากใชนอรเกตในการสรางวงจรออรเกต ดังกลา วจะไดด งั ตอ ไปน้ี จากรูป อินพุต A และ B เช่ือมตอกับ ขาอินพุตทั้งสองขาของนอรเกตไดเปน A+ B และนํา ผลลัพธดังกลาวมาผานนอรเกตตัวที่สองซึ่งทําหนาท่ีเปนน็อตเกต ดังนั้นจากกฎ 4.4.5 ได A + B=A + B ตัวอยางท่ี 5-11 และ 5-12 แสดงใหเห็นวาสามารถใชแนนดเกต และ นอรเกตไปประยุกตใช แทนเกตพน้ื ฐานอ่นื ๆ ไดท ัง้ หมด 88

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข ตวั อยางที่ 5-13 จากวงจรลอจกิ ตอ ไปนี้ จงออกแบบวงจรดงั กลาวใหมโ ดยใชแ นนดเ กตเทา นั้น วิธที าํ จากรูป เปน วงจรลอจิกท่ีใช แอนดเกต 1 ตัว และ ออรเกต 1 ตัว ดังนนั้ จากตวั อยา งท่ี 5-11 ท่ีกลาวถงึ การใชย ูนเิ วอรแซลเกตแทนเกตพน้ื ฐานชนดิ อนื่ ๆ ไดวงจรลอจิกใหมเ ปนดังน้ี Y X เน่ืองจากแนนดเกต X และ แนนดเกต Y ทําหนาท่ีเปนคอมพลิเมนตที่อยูติดกัน ซ่ึงจากกฎ พ้นื ฐานพชี คณติ บูลนี พบวาเม่อื นําอนิ พุตมาผาน คอมพลเิ มนต สองคร้ัง ผลลัพธท่ีไดจะไดเปนอินพุต ตวั เดมิ (กฎ 4.4.5) ดังน้นั สามารถตัด แนนดเกต X และ แนนดเกต Y ไดดงั น้ี จากวงจรพสิ จู นไดด งั นี้ Z = ABC = AB+ C = AB+ C 5.7 บทสรุป กฎพชี คณิตบูลีนสามารถนํามาใชสําหรบั การลดรูปของวงจรเพอ่ื ใหวงจรมีขนาดท่เี ลก็ ลง และทํา ใหส มการของวงจรอยูใ นรปู ทง่ี า ยขน้ึ โดยสมการพีชคณิตบูลีนสามารถแปลงไดจากสมการท่ีอยูในรูป ชองผลรวมของผลคูณ (Sum of Product) สมการที่อยใู นรูปของผลคูณของผลรวม (Product of Sum) หรอื จากตารางความจรงิ สาํ หรบั การออกแบบวงจรรวมเชงิ จดั หมูน ั้นสามารถใชเ พียงแนนดเ กต หรือนอรเ กตในการออกแบบแทนเกตพนื้ ฐานชนิดอ่นื ไดทั้งหมด จึงเรยี กแนนดเ กต และ นอรเ กตวา ยนู ิ เวอรแซลเกต 89

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข คําถามทา ยบท 1. จงลดรูปวงจรตอไปน้โี ดยใชก ฎบูลีนเพอ่ื ใหอยใู นรปู แบบทง่ี า ยทีส่ ดุ 1.1 AB+ AB+ B 1.2 (AB+ A)BC 1.3 B(A + B)(A + C) 1.4 (A + B)(B+ C)(A + C) 1.5 ABC+ AB(AC) 2. จงแปลงจากฟงกชันตอ ไปน้ใี หอ ยูใ นรปู ของสมการพีชคณติ บลู ีน และลดรูปใหอ ยใู นรูปทง่ี า ยทส่ี ดุ 2.1 f(A, B, C) = m (0,1,4,6) 2.2 f(A, B, C) = m (1,3,4,5,7) 2.3 f(A, B, C, D) = m (0,1,4,5,6,9,10,13) 2.4 f(A, B, C) = M(1,2,4,7) 2.5 f(A, B, C) = M(0,3,5,7) 3. จงออกแบบวงจรลอจิกทส่ี ถานะของเอาตพตุ มคี า เปน 1 ก็ตอเม่อื อนิ พตุ อยางนอ ย 3 ตวั จากทั้งหมด 4 ตัวมสี ถานะเปน 0 4. จากสมการพชี คณติ บลู ีนที่กาํ หนดใหต อไปน้ี จงออกแบบวงจรโดยใชนอรเกตเพยี งอยางเดยี ว และ ใชแนนดเ กตเพยี งอยางเดยี ว 4.1 AB+ C 4.2 (A + B)C 4.3 AB(C+ D) 4.4 AB+ CD 4.5 AB+ CD 90

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข เอกสารอา งองิ Marcovit z, A. B. (2009). Introduction to Logic Design. New York: McGraw-Hil l . Mark, B. (2003). Com plete Digital Design: A Com prehensive Guide to Digital Electronics and Com puter System Architecture. New York: McGraw-Hil l . David, M. H. (2012).Digital Design and Com puter Architecture. USA: Morgan Kaufm ann. Ram aswam y, P. (2011). Digital System s Design. United Kingdom : London Business School . Morris, M, Michael , D. C. (2006). Digital Design. New Jersey: Prentice-Hal l Int ernational In c. ธวัชชยั เลอื่ นฉวี และ อนุรักษ เถือ่ นศริ ิ. (2527). ดจิ ิตอลเทคนิคเลม 1.กรงุ เทพฯ: มิตรนราการพิมพ. มงคล ทองสงคราม. (2544).ทฤษฎีดิจิตอล.กรุงเทพฯ: หางหุนสว นจาํ กดั วี.เจ. พรน้ิ ดงิ้ . ทมี งานสมารท เลริ น น่ิง. (2543). ออกแบบวงจร Digital และประยกุ ตใ ชงาน.กรงุ เทพฯ: หา งหนุ สว น สามัญสมารท เลริ นนิ่ง. สมชาย ชื่นวฒั นาประณธิ ิ. (2535). ดจิ ิตอลอิเลก็ ทรอนิกส.จ. อดุ รธาน:ี มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอดุ รธานี. 91

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข แผนบรหิ ารการสอนประจาํ บทที่ 6 แผนผังคารโ นห 3 ชว่ั โมง หวั ขอ เนอ้ื หา 6.1 รปู แบบของแผนผังคารโ นห 6.1.1 แผนผงั คารโนหข นาด 2 ตวั แปร 6.1.2 แผนผังคารโนหข นาด 3 ตวั แปร 6.1.3 แผนผังคารโ นหข นาด 4 ตัวแปร 6.2 การอา นคา ลงแผนผงั คารโ นห 6.3 การสรางลูป 6.4 เงอื่ นไขท่ีไมสนใจ 6.5 การออกแบบวงจรบวก และลบเลขฐานสอง 6.5.1 วงจรบวกแบบไมค ดิ ตัวทด 6.5.2 วงจรบวกแบบคดิ ตัวทด 6.5.3 วงจรลบแบบไมค ิดตัวยืม 6.5.4 วงจรลบแบบคดิ ตวั ยืม 6.5.5 วงจรบวกแบบหลายบิต 6.5.6 วงจรลบแบบหลายบติ 6.6 บทสรปุ วตั ถุประสงคเ ชงิ พฤตกิ รรม 1. เพอ่ื ใหผ เู รยี นมคี วามรูความเขา ใจเกยี่ วกบั แผนผงั คารโนห 2. เพอ่ื ใหผ เู รยี นสามารถใชแ ผนผงั คารโ นหเพอื่ ลดรูปสมการพชี คณิตบลู ีนได 2. เพอื่ ใหผ ูเ รยี นมคี วามรคู วามเขาใจเกยี่ วกบั สถานะที่ไมสนใจ 3. เพอ่ื ใหผ เู รยี นมคี วามรคู วามเขา ใจเกยี่ วกบั วงจรบวกและวงจรลบเลขฐานสอง วธิ กี ารสอนและกจิ กรรมการเรยี นการสอนประจําบท 1. บรรยายเนอื้ หาในแตล ะหวั ขอ พรอมยกตัวอยา งประกอบ 2. ศกึ ษาจากเอกสารประกอบการสอน 3. ผสู อนสรปุ เนอ้ื หา 4. ทาํ แบบฝก หดั เพ่อื ทบทวนบทเรยี น 5. เปด โอกาสใหผ เู รยี นถามขอสงสยั 6. ผสู อนทําการซักถาม สอ่ื การเรยี นการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ทิ ลั และลอจกิ 2. ภาพเล่ือน 92

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทลั และลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข การวัดผลและการประเมิน 1. ประเมินจากการซักถามในชน้ั เรยี น 2. ประเมินจากความรวมมอื และความรบั ผดิ ชอบตอการเรยี น 3. ประเมินจากการทาํ แบบฝกหดั ทบทวนบทเรียน 93

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ บทท่ี 6 แผนผังคารโ นห แผนผังคารโ นห (Karnaugh Map) เปน เทคนิควิธีท่ีใชสําหรับลดรูปสมการพีชคณิตบูลีนอีกวิธี หนึ่ง โดยใชต ารางเปน ตัวชว ยในการลดรปู เพ่อื ใหอยูในรปู ทงี่ า ยขึ้น การใชแผนผงั คารโนหจะแกป ญ หา ไดง า ย และรวดเรว็ กวา การใชกฎพื้นฐานพชี คณติ บูลนี ในกรณที ส่ี มการพชี คณติ บูลนี มอี ินพุตขนาด 2 – 4 ตวั แปร 6.1 รปู แบบแผนผงั คารโนห แผนผงั คารโ นห เปนเทคนิควิธีท่ีเหมาะกับอินพุตขนาด 2 – 4 ตัวแปร ซึ่งหากสมการพีชคณิต บูลีนมีจํานวนอินพุตที่มากกวา 4 ตัวแปรข้ึนไป วิธีอื่นจะมีความเหมาะสมกวา ดังนั้นในบทนี้จะ กลาวถงึ แผนผงั คารโนหท ่ีมขี นาด 2 – 4 ตวั แปรเทา นั้น ซึ่งจํานวนชอ งตารางของแผนผงั คารโ นหคือ 2จํานวนอินพุต ดังนี้ อินพตุ ตัวแปร มจี าํ นวนชอ งทงั้ หมด 2 ชอง 2 = 4 2 อินพตุ 3 ตัวแปร มีจาํ นวนชอ งทั้งหมด 3 = 8 ชอ ง 2 อินพุต 4 ตัวแปร มีจํานวนชองท้งั หมด 4 = 16 ชอง 2 6.1.1 แผนผังคารโนหขนาด 2 ตัวแปร แผนผงั คารโ นหข นาด 2 ตัวแปร ภายในตารางจะมีจํานวนชองท้ังหมด 4 ชองดังตอไปนี้ (สมมติ A และ B เปนอินพุตใดๆ) A B 0 1 ชองที่ 1 0 ชอ งที่ 3 ชอ งที่ 2 1 ชองที่ 4 รปู ท่ี 6.1 แผนผงั คารโนหแบบ 2 อนิ พุต จากรปู 6.1 แสดงแผนผังคารโนหแบบ 2 อินพุต มีท้ังหมด 2 แถว 2 คอลัมน ซ่ึงแตละ แถวจะใชส าํ หรับการแทนคาทเ่ี ปนไปไดท ัง้ หมดของตวั แปร B และแตละคอลัมนใชสําหรับแทนคาที่ เปนไปไดท้งั หมดของตวั แปร A ดังน้ี ชอ งท่ี 1 (แถวท่ี 1 คอลมั นที่ 1): เปน การแทนคาของ A = 0 และ B = 0 ชอ งท่ี 2 (แถวที่ 2 คอลมั นท ี่ 1): เปน การแทนคาของ A = 0 และ B = 1 ชองที่ 3 (แถวท่ี 1 คอลัมนที่ 2): เปนการแทนคา ของ A = 1 และ B = 0 ชอ งท่ี 4 (แถวท่ี 2 คอลัมนท่ี 2): เปน การแทนคา ของ A = 1 และ B = 1 94

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ 6.1.2 แผนผังคารโ นหขนาด 3 ตวั แปร แผนผังคารโ นหขนาด 3 ตวั แปร ภายในตารางจะมจี ํานวนชองทัง้ หมด 8 ชอง ซงึ่ สามารถ เขียนได 2 แบบคือตารางแนวนอนและตารางแนวต้งั ดงั ตอไปนี้ (สมมติ A, B และ C เปน อินพุตใดๆ) AB C 00 01 11 10 0 1 รปู ที่ 6.2 แผนผงั คารโนหแ บบ 3 อินพุตแบบตารางแนวนอน จากรูป 6.2 แสดงแผนผงั คารโ นหแบบ 3 อนิ พุตแบบตารางแนวนอน มีท้งั หมด 2 แถว 4 คอลมั น ซึ่งแตละแถวจะใชส ําหรับการแทนคาทเ่ี ปน ไปไดท้งั หมดของตวั แปร C และแตละคอลัมนใช สาํ หรบั แทนคา ที่เปน ไปไดท ง้ั หมดของตวั แปร A และตัวแปร B ดังน้ี แถวที่ 1 คอลมั นท ่ี 1: เปน การแทนคาของ A = 0, B = 0 และ C = 0 แถวที่ 2 คอลมั นท ี่ 1: เปน การแทนคาของ A = 0, B = 0 และ C = 1 แถวที่ 1 คอลมั นท ่ี 2: เปนการแทนคา ของ A = 0, B = 1และ C = 0 แถวท่ี 2 คอลมั นที่ 2: เปน การแทนคา ของ A = 0, B = 1 และ C = 1 แถวท่ี 1 คอลมั นที่ 3: เปน การแทนคา ของ A = 1, B = 1 และ C = 0 แถวที่ 2 คอลมั นที่ 3: เปนการแทนคา ของ A = 1, B = 1 และ C = 1 แถวที่ 1 คอลมั นที่ 4: เปนการแทนคา ของ A = 1, B = 0 และ C = 0 แถวท่ี 2 คอลมั นท ่ี 4: เปน การแทนคา ของ A = 1, B = 0 และ C = 1 A 0 1 BC 00 01 11 10 รปู ที่ 6.3 แผนผงั คารโ นหแบบ 3 อนิ พุตแบบตารางแนวตง้ั จากรปู 6.3 แสดงแผนผงั คารโ นหแ บบ 3 อินพตุ แบบตารางแนวนอน มที งั้ หมด 4 แถว 2 คอลัมน ซ่งึ แตล ะแถวจะใชสาํ หรบั การแทนคา ทเี่ ปนไปไดท ัง้ หมดของตัวแปร B และ ตัวแปร C และ แตละคอลมั นใ ชส ําหรับแทนคา ทเ่ี ปนไปไดทงั้ หมดของตัวแปร A ดงั นี้ แถวที่ 1 คอลมั นที่ 1: เปนการแทนคา ของ A = 0, B = 0 และ C = 0 แถวที่ 1 คอลมั นที่ 2: เปน การแทนคาของ A = 1, B = 0 และ C = 0 แถวที่ 2 คอลมั นที่ 1: เปน การแทนคาของ A = 0, B = 0 และ C = 1 แถวท่ี 2 คอลมั นท่ี 2: เปนการแทนคาของ A = 1, B = 0 และ C = 1 แถวท่ี 3 คอลมั นท ี่ 1: เปนการแทนคาของ A = 0, B = 1 และ C = 1 95

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ แถวที่ 3 คอลมั นท ี่ 2: เปน การแทนคาของ A = 1, B = 1 และ C = 1 แถวที่ 4 คอลมั นท ี่ 1: เปน การแทนคา ของ A = 0, B = 1และ C = 0 แถวที่ 4 คอลมั นท ่ี 2: เปน การแทนคาของ A = 1, B = 1และ C = 0 สําหรับแผนผงั คารโนหท ม่ี ชี องในแนวแถว หรอื คอลมั น 4 ชองตอ 1 แถวหรือ 1 คอลมั น จะเรียงขอมูลอินพุตเปน 00, 01, 11 และ 10 ตามลําดับเสมอ ดังแสดงรูปท่ี 6.2 และ 6.3 เน่ืองจากวาสถานะของอินพุตที่อยูแตละชองติดกันในแผนผังคารโนหจะตองมีสถานะของอินพิต ตางกนั เพยี ง 1 ตัวเทานน้ั จึงใชว ิธีการเรยี งคา แบบรหสั เกรยแทนรหสั เลขฐานสอง 6.1.3 แผนผงั คารโนหข นาด 4 ตัวแปร แผนผังคารโ นหข นาด 4 ตวั แปร ภายในตารางจะมีจาํ นวนชองท้งั หมด 16 ชอ ง ดังตอไปน้ี (สมมติ A, B, C และ D เปนอินพตุ ใดๆ) AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 รปู ที่ 6.4 แผนผงั คารโ นหแ บบ 4 อนิ พตุ จากรปู 6.4 แสดงแผนผงั คารโนหแ บบ 4 อนิ พตุ ซึง่ มีทง้ั หมด 4 แถว 4 คอลัมน ซ่ึงแตล ะ แถวจะใชสาํ หรับการแทนคาท่ีเปนไปไดทั้งหมดของตัวแปร C และตัวแปร D และแตละคอลัมนใช สําหรับแทนคา ทเี่ ปนไปไดท ้งั หมดของตวั แปร A และตัวแปร B ดงั น้ี แถวท่ี 1 คอลมั นท่ี 1: เปน การแทนคาของ A = 0, B = 0, C = 0 และ D = 0 แถวท่ี 2 คอลมั นท่ี 1: เปน การแทนคา ของ A = 0, B = 0, C = 0 และ D = 1 แถวท่ี 3 คอลมั นท่ี 1: เปนการแทนคาของ A = 0, B = 0, C = 1 และ D = 1 แถวที่ 4 คอลมั นท ่ี 1: เปนการแทนคาของ A = 0, B = 0, C = 1 และ D = 0 แถวที่ 1 คอลมั นที่ 2: เปนการแทนคา ของ A = 0, B = 1, C = 0 และ D = 0 แถวที่ 2 คอลมั นท ่ี 2: เปนการแทนคาของ A = 0, B = 1, C = 0 และ D = 1 แถวท่ี 3 คอลมั นท ่ี 2: เปน การแทนคาของ A = 0, B = 1, C = 1 และ D = 1 แถวที่ 4 คอลมั นท ่ี 2: เปน การแทนคา ของ A = 0, B = 1, C = 1 และ D = 0 แถวที่ 1 คอลมั นท ี่ 3: เปน การแทนคาของ A = 1, B = 1, C = 0 และ D = 0 แถวท่ี 2 คอลมั นท ่ี 3: เปนการแทนคา ของ A = 1, B = 1, C = 0 และ D = 1 แถวท่ี 3 คอลมั นท่ี 3: เปนการแทนคาของ A = 1, B = 1, C = 1 และ D = 1 แถวที่ 4 คอลมั นท ี่ 3: เปนการแทนคาของ A = 1, B = 1, C = 1 และ D = 0 แถวท่ี 1 คอลมั นท่ี 4: เปน การแทนคา ของ A = 1, B = 0, C = 0 และ D = 0 แถวที่ 2 คอลมั นท ่ี 4: เปนการแทนคา ของ A = 1, B = 0, C = 0 และ D = 1 96

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข แถวที่ 3 คอลมั นท ี่ 4: เปนการแทนคา ของ A = 1, B = 0, C = 1 และ D = 1 แถวที่ 4 คอลมั นท่ี 4: เปน การแทนคา ของ A = 1, B = 0, C = 1 และ D = 0 6.2 การอานคาลงแผนผังคารโ นห การอานคา ลงแผนผังคารโนหสามารถทาํ ได 2 วิธี ดงั นี้ อา นจากสมการพีชคณิตบูลีนที่แปลงมา จากผลรวมของผลคูณ (หรอื แปลงจากตารางความจริงโดยเลือกเฉพาะสถานะเอาตพุตท่ีเปน 1) และ อา นจากสมการพีชคณิตบูลีนที่แปลงมาจากผลคูณของผลรวม (หรือแปลงจากตารางความจริงโดย เลอื กเฉพาะสถานะเอาตพ ตุ ทีเ่ ปน 0) ดงั ตอไปนี้ กรณีท่ี 1 สมการพชี คณติ บูลีนอยูใ นรูปผลรวมของผลคูณ: ใหพ จิ ารณามินเทอมของแตล ะพจน เพ่ือนําไปใสในแตละชอ งของตาราง โดยหากอนิ พุตไมมีคอมพลิเมนต คาของอินพตุ ตวั ดังกลาวจะมคี า เปน 1 แตหากมคี อมพลเิ มนตทอี่ นิ พตุ อนิ พุตตวั ดังกลา วจะมีคา เปน 0 เม่ือทราบสถานะอินพุตท้งั หมด ของพจนใ ด ๆ แลว ใหใส “ 1” ลงชองในแผนผังคารโ นหที่สถานะของอนิ พุตทง้ั หมดมีคาตรงกัน เมื่อใส “ 1” ครบทกุ ชอ งแลว ชอ งทเ่ี หลือจะมีคาเปน “ 0” กรณีที่ 2 สมการพชี คณิตบูลีนอยูในรูปผลคูณของผลรวม: ใหพิจารณาแมกเทอมของแตละ พจนเ พอ่ื นาํ ไปใสใ นแตละชองของตาราง โดยหากอินพตุ ไมม คี อมพลเิ มนตคาของอนิ พุตตวั ดังกลาวจะ มคี าเปน 0 แตห ากมคี อมพลิเมนตที่อินพุตอินพุตตัวดังกลาวจะมีคาเปน 1 เมอ่ื ทราบสถานะอินพุต ทง้ั หมดของพจนใดๆแลวใหใ ส “ 0” ลงชอ งในแผนผังคารโ นหทสี่ ถานะของอนิ พุตทั้งหมดมีคาตรงกัน เมอื่ ใส “ 0” ครบทุกชองแลว ชอ งทีเ่ หลอื จะมคี าเปน “ 1” ตัวอยางท่ี 6-1 จากสมการตอ ไปนี้ Z = AB+ AB จงเขยี นคาสถานะของอนิ พุตทงั้ หมดลงแผนผังคาร โนห วธิ ที ํา สมการนีอ้ ยใู นรูปผลรวมของผลคณู แบบ 2 อินพุต ดังนั้นนาํ มนิ เทอมแตละพจนมาใสค า ลงแผนผังคารโ นหด งั นี้ AB ใส “ 1” ลงชอ ง A = 0 และ B = 1 AB ใส “ 1” ลงชอ ง A = 1 และ B = 1 A 0 1 B 0 00 1 11 ตวั อยางท่ี 6-2 จากสมการตอ ไปน้ี Z = (A + B+ C)(A + B+ C)(A + B+ C)(A + B+ C)(A + B+ C) จง เขยี นคา สถานะของอนิ พตุ ท้งั หมดลงแผนผังคารโนห วธิ ที าํ สมการน้ีอยูใ นรูปผลคณู ของผลรวมแบบ 3 อินพตุ ดังน้ันนาํ แมกเทอมแตล ะพจนม าใส คา ลงแผนผังคารโนหด งั นี้ A +B+ C ใส “ 0” ลงชอง A = 1 และ B = 1 และ C = 0 A +B+ C ใส “ 0” ลงชอง A = 0 และ B = 1 และ C = 0 A +B+ C ใส “ 0” ลงชอ ง A = 0 และ B = 1 และ C = 1 A+B+ C ใส “ 0” ลงชอ ง A = 1 และ B = 0 และ C = 0 97

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ - A + B+ C ใส “ 0” ลงชอ ง A = 0 และ B = 0 และ C = 0 AB C 00 01 11 10 00 0 0 0 11 0 1 1 6.3 การสรา งลูป การสรางลปู เปน ขน้ั ตอนของการแกสมการใหอยใู นรูปทงี่ า ยข้ึน โดยเปน คายุบรวมตําแหนงของ ชอ งท่มี ีคา เปน 1 ติดกนั ใหค รบทกุ ชอ ง (หรอื 0 ติดกัน) สําหรับขนั้ ตอนท่ีจะกลาวตอไปนี้ เปนกรณีท่ี พจิ ารณาเฉพาะชอ งทมี่ คี า เปน 1 โดยมหี ลักการดังน้ี 1. เลือกชองดาํ เนนิ การ คอื เลอื กเฉพาะชองทม่ี คี าเปน 1 ทั้งหมด ยบุ รวมชอ งทมี่ ี ตดิ กัน โดยแตล ะวงจะยบุ ไดจ าํ นวน n ชอ งเทา น้ัน เชน 2. 1 1, 2, 4, 8, 16,… 2 แตเน่อื งจากแผนผงั คารโนหท กี่ ลาวถงึ ในเอกสารเลมนมี้ ขี นาด 2 – 4 อนิ พุต ดงั นั้น จะยุบชองทมี่ ี 1 ตดิ กนั ไดสงู สดุ 16 ชอ ง 3. การยุบรวมจะใชว ิธีการวงรอบกลุม ทมี่ คี า 1 อยตู ดิ กัน โดยจะตอ งวงใหไ ดว งท่ใี หญทส่ี ดุ เทา ท่ี จะเปนไปได เชน ถาวงได 4 ชอง หามวงเปน วงเลก็ 2 วง ๆ ละ 2 ชอ ง 4. ชองทีอ่ ยตู าํ แหนง ขอบของตาราง หากสมมติวาพับแผนตารางแลว พบวา ชอ งทบั กัน ถอื วา อยู ตดิ กัน 5. ชอ งทถ่ี กู วงแลวสามารถถกู นําไปวงกบั วงอ่นื ไดอ กี เพ่ือใหว งดงั กลาวมขี นาดใหญข ้นึ 6. นําวงแตละวงท่ียุบไดมาแปลงเปนมินเทอม วิธีการแปลงใหดูสถานะของอนิ พุตท้ังหมดที่ ตาํ แหนงของวงดังกลาว (มองขน้ึ และมองไปทางซา ย) โดยกรณีท่พี บอินพตุ ตวั เดียวกันเปน ทงั้ 0 และ 1 ใหหกั ลา งทิง้ กรณีทอี่ ินพตุ ตวั เดียวกนั มคี า เปน 1 เหมอื นกนั ทั้งหมดใหใ สอ ินพุตตวั ดงั กลาวเพียงตัว เดยี ว แตถา พบอนิ พตุ ตัวเดยี วกนั มคี าเปน 0 ทง้ั หมดใหใสอินพุตตัวดังกลาวเพียงตัวเดียว และใหใส คอมพลิเมนตใ หอนิ พุตตวั ดังกลา ว 7. นาํ มินเทอมทัง้ หมดมาผานตัวดําเนนิ การ ออร ตัวอยา งที่ 6-3 จงหาสมการพชี คณติ บลู นี ทอ่ี ยใู นรปู ทีง่ ายทส่ี ดุ จากแผนผงั คารโนหต อไปน้ี AB C 00 01 11 10 01 1 0 0 10 0 1 1 วธิ ีทาํ เนอ่ื งจากพิจารณาเฉพาะชองทม่ี ีคาเปน 1 ทงั้ หมด จึงสามารถลบชองทมี่ คี าเปน 0 ออกกอน ได และจากตัวอยางพบวามี 1 ตดิ กนั 2 ชอ ง อยู 2 จุด จงึ มีการวงเพ่อื ยบุ รวม 2 ชองอยู 2 วงดังน้ี 98

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ AB C 00 01 11 10 วงที่ 1 01 1 1 11 วงที่ 2 การแปลงเปน มินเทอมแตละพจนใ หมองขึน้ และมองไปทางซายตามตําแหนงของชอ งท้ังหมดที่ถูกวง ดงั นี้ วงที่ 1 มองขนึ้ AB 00 01 11 10 C มองซา ย 0 1 1 1 11 มองข้ึน: พบ 00 และ 01 สงั เกตวาตัวหนาเปน ของ A และมคี า เปน 0 จงึ ใสค อมพลิเมนตดวยไดเปน A สวนตวั หลังเปน ของ B และเนอ่ื งจากวา พบทง้ั 0 และ 1 (00, 01) จึงหักลางออกไป มองซาย: พบ 0 ซ่ึงเปน ของ C และใสคอมพลิเมนตจงึ ไดเปน C ดงั นั้นไดม ินเทอมของพจนวงที่ 1 เปน AC วงที่ 2 มองข้ึน AB 00 C 01 11 10 01 1 มองซาย 1 11 มองข้ึน: พบ 11 และ10 สงั เกตวา ตวั หนา เปน ของ A และมคี าเปน 1 ไดเ ปน A สว นตวั หลงั เปนของ B และเนอื่ งจากวาพบทั้ง 0 และ 1 (11, 10) จึงหกั ลางออกไป มองซา ย: พบ 1 ซึง่ เปนของ C ไดเ ปน C ดังนนั้ ไดม ินเทอมของพจนวงที่ 2 เปน AC เพราะฉะน้ันเม่ือรวมมินเทอมท้งั สองพจนไดส มการพชี คณติ บูลีนเปน AC+ AC ตัวอยางท่ี 6-4 จงหาสมการพชี คณติ บลู นี ทอี่ ยูในรูปทงี่ ายทสี่ ดุ จากแผนผงั คารโ นหต อไปน้ี AB C 00 01 11 10 00 1 1 0 10 1 1 1 99

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข วธิ ที ํา จากตวั อยางพบวา มี 1 ติดกัน 4 ชอ ง อยู 1 จดุ และตดิ กัน 2 ชอ ง 1 จดุ จงึ ยบุ รวม ได 2 วง ดงั นี้ AB 00 01 11 10 C วงที่ 1 0 11 1 111 วงท่ี 2 การแปลงเปน มินเทอมแตล ะพจนใ หม องขึน้ และมองไปทางซายตามตําแหนง ของชอ งทงั้ หมดทถี่ กู วง ดงั น้ี วงท่ี 1 AB มองข้นึ C 00 01 11 10 มองซาย 0 1 11 1 1 11 มองข้ึน: พบ 01 และ 11 สังเกตวาตัวหนา เปนของ A และเนอ่ื งจากวาพบท้ัง 0 และ 1 (01, 11) จึง หกั ลางออกไปสวนตัวหลังเปนของ B ซึ่งมคี าเปน 1 จึงไดเ ปน B มองซา ย: พบ 0 และ 1 ซ่ึงเปน ของ C จงึ หักลา งออกไป ดงั น้ันไดม ินเทอมของพจนวงท่ี 1 เปน B วงที่ 2 มองข้นึ AB 00 01 11 10 C 01 1 1 มองซา ย 1 111 มองขึ้น: พบ 11 และ10 สังเกตวา ตัวหนาเปนของ A และมคี า เปน 1 ไดเ ปน A สว นตัวหลงั เปนของ B และเน่อื งจากวาพบท้งั 0 และ 1 (11, 10) จงึ หักลา งออกไป มองซา ย: พบ 1 ซึ่งเปน ของ C ไดเ ปน C ดงั นั้นไดม ินเทอมของพจนว งท่ี 2 เปน AC เพราะฉะนนั้ เม่อื รวมมินเทอมท้งั สองพจนไ ดส มการพชี คณติ บลู ีนเปน B + AC ตวั อยางที่ 6-4 แสดงใหเ ห็นวา ชอ งที่ถกู วงแลว สามารถถูกนําไปยบุ รวมกบั วงอืน่ ไดอกี เพอื่ ใหมนิ เทอมมขี นาดที่เล็กลง (จากตวั อยางคอื ชอ งที่ A, B, C มคี าเปน 1, 1, 1 ตามลําดับ) 100

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข ตวั อยางที่ 6-5 จงหาสมการพชี คณติ บลู นี ทอี่ ยูใ นรูปท่ีงา ยทสี่ ดุ จากแผนผงั คารโ นหต อ ไปนี้ AB C 00 01 11 10 00 0 0 0 11 0 0 1 วิธที าํ จากตัวอยา ง หากลองพับตารางตามแนวคอลมั นพ บวา ตําแหนงที่ A, B, C มคี าเปน 001 และ 101 จะทับกนั พอดเี พราะฉะน้ันสรปุ ไดวา 2 ชองดังกลา วอยตู ดิ กนั ดงั น้ี AB มองขน้ึ 01 มองขึ้น C 0 00 11 10 มองซา ย 1 1 1 มองขึ้น: พบ 00 และ10 สังเกตวา ตัวหนาเปนของ A และเนื่องจากวาพบทั้ง 0 และ 1 (00, 10) จึง หักลางออกไปสว นตัวหลงั เปน ของ B และมคี าเปน 0 ไดเ ปน B มองซา ย: พบ 1 ซ่งึ เปน ของ C ไดเปน C ดังน้ันไดมนิ เทอมเปน BC เนือ่ งจากมีการยบุ รวมเพยี งวงเดียวจงึ ไดส มการพีชคณิตบลู ีนคือ BC ตัวอยางท่ี 6-6 จงแกส มการพีชคณติ บลู นี Z = ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD ใหอยูใ นรปู ทีง่ า ยท่สี ดุ โดยใชแ ผนผงั คารโ นห วิธที าํ เน่อื งจากเปนสมการแบบ 4 อินพตุ จึงใชแ ผนผงั คารโ นหข นาด 16 ชอ ง และเติม 1 ใสช อ งท่ี ตรงกบั มนิ เทอมของสมการพชี คณติ บลู นี ขา งตน ในแตละพจน ดังนี้ มนิ เทอมตวั ท่ี 1: ABCD เตมิ 1 ใสช อง A = 0, B = 0, C = 0 และ D = 0 มินเทอมตวั ที่ 2: ABCD เตมิ 1 ใสช อง A = 0, B = 0, C = 0 และ D = 1 มินเทอมตวั ที่ 3: ABCD เตมิ 1 ใสช อ ง A = 0, B = 1, C = 0 และ D = 0 มินเทอมตวั ที่ 4: ABCD เตมิ 1 ใสช อง A = 0, B = 1, C = 0 และ D = 1 มินเทอมตวั ท่ี 5: ABCD เตมิ 1 ใสช อง A = 1, B = 0, C = 0 และ D = 0 มนิ เทอมตวั ท่ี 6: ABCD เติม 1 ใสช อ ง A = 1, B = 1, C = 1 และ D = 1 นาํ มินเทอมทัง้ 6 คา ใสลงในแผนผังคารโ นห ดังนี้ 101

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข AB 00 01 11 10 CD 1 1 1 1 00 1 1 11 10 01 11 1 1 วงที่ 2 10 11 10 จากแผนผงั คารโนหส ามารถยบุ รวมไดด งั นี้ 1 1 วงท่ี 1 CD 00 01 00 1 1 01 1 1 วงท่ี 3 11 10 วงที่ 1 มองขน้ึ มองซา ย AB 00 01 CD 1 1 00 1 1 01 11 10 มองขึ้น: พบ 00 และ 01 สังเกตวา ตวั หนา เปน ของ A และมีคา เปน 0 จงึ ใสค อมพลิเมนตดวยไดเปน A สว นตวั หลงั เปน ของ B และเนอื่ งจากวาพบทงั้ 0 และ 1 (00, 01) จงึ หักลา งออกไป มองซา ย: พบ 00 และ 01 สังเกตวาตวั หนา เปน ของ C และมคี าเปน 0 จึงใสค อมพลเิ มนตดวยไดเปน C สวนตวั หลงั เปน ของ D และเน่ืองจากวา พบทง้ั 0 และ 1 (00, 01) จงึ หกั ลางออกไป ดังนั้นไดมินเทอมของพจนว งที่ 1 เปน AC วงท่ี 2 มองขนึ้ มองขน้ึ AB 00 01 11 10 มองซา ย CD 1 1 1 00 1 1 01 1 11 10 102

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทลั และลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ มองขน้ึ : พบ 00 และ10 สังเกตวาสวนตัวหนา เปนของ A และเนอ่ื งจากวาพบท้ัง 0 และ 1 (00, 10) จึงหักลา งออกไปสว นตวั หลงั เปน ของ B และมีคาเปน 0 ไดเปน B มองซา ย: พบ 00 ซง่ึ เปน ของ C และ D ไดเปน CD ดังนน้ั ไดม ินเทอมของพจนวงที่ 2 เปน BCD วงท่ี 3 มองขนึ้ AB 00 01 11 10 CD 1 11 00 1 1 มองซาย 01 1 11 10 มองขนึ้ : พบ 11 ซ่งึ เปนของ A และ B ไดเ ปน AB มองซาย: พบ 11 ซึง่ เปน ของ C และ D ไดเปน CD ดงั น้ันไดมนิ เทอมของพจนว งท่ี 3เปน ABCD เพราะฉะน้นั เมือ่ รวมมินเทอมทงั้ สามพจนไดสมการพชี คณิตบลู นี เปน AC+BCD+ ABCD ตัวอยางที่ 6-7 จงเขยี นสมการพชี คณิตบูลีนจากตารางความจริงตอไปนี้ อินพุต เอาตพตุ AB C Z 0 00 0 0 1 00 1 1 0 01 0 1 0 01 1 0 10 0 10 1 11 0 11 1 วธิ ที ํา จากตารางความจรงิ เลอื กเฉพาะมนิ เทอมของอนิ พตุ ท่สี ถานะของเอาตพ ตุ มีคาเปน 1 ไดด ังน้ี มนิ เทอมตวั ที่ 1: A = 0, B = 1 และ C = 0 มินเทอมตวั ที่ 2: A = 0, B = 1 และ C = 1 มินเทอมตวั ท่ี 3: A = 1, B = 0 และ C = 1 103

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข AB 00 01 11 10 C 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 11 10 จากแผนผังคารโ นหส ามารถยบุ รวมไดด ังน้ี 11 1 วงที่ 2 AB 00 01 C 10 วงท่ี 1 0 1 1 1 1 วงที่ 1 มองขึน้ AB 01 C 00 1 มองซา ย 0 1 1 มองขึ้น: พบ 01 ซ่ึงเปน ของ A และ B ไดเ ปน AB มองซาย: พบ 0 และ 1 ซ่งึ เปนของ C จึงหกั ลางออกไป ดังน้นั ไดมนิ เทอมของพจนว งที่ 1 เปน AB วงที่ 2 มองขน้ึ AB 00 C 01 11 10 01 มองซา ย 1 1 1 มองขึน้ : พบ 10 ซ่งึ เปน ของ A และ B ไดเ ปน AB มองซาย: พบ 1 ซง่ึ เปน ของ C ไดเ ปน C ดงั น้นั ไดมนิ เทอมของพจนวงที่ 2 เปน ABC เพราะฉะนน้ั เมือ่ รวมมินเทอมทัง้ สองพจนไดส มการพชี คณติ บลู นี เปน AB+ ABC ตัวอยางที่ 6-8 จงหาสมการพชี คณติ บลู นี ทอี่ ยูในรปู ทีง่ ายทสี่ ดุ จากแผนผงั คารโ นหต อไปน้ี โดยใหอ ยู ในรปู ของผลคูณของผลรวม 104

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข AB 00 01 11 10 C 01 0 0 1 10 0 1 1 วธิ ที าํ จากโจทยกําหนดใหหาสมการพีชคณิตบูลีนโดยใหอยูในรูปของผลคูณของผลรวม ซึ่งจะ แตกตางจากตวั อยา งกอ นหนา น้ที ้ังหมดท่ไี ดเ คยแสดงมา เน่ืองจากตัวอยางกอนหนาน้ีทั้งหมดจะหา สมการพชี คณิตบูลนี ซ่งึ อยใู นรปู ผลรวมของผลคูณทงั้ หมด โดยวธิ กี ารหาสมการพชี คณิตบลู นี ในรูปผล คูณของผลรวม จะแตกตางจากวิธกี ารหาสมการพีชคณติ บลู ีนในรูปผลรวมของผลคูณ ดงั น้ี 1. เลือกชองดําเนินการ 0 ทงั้ หมด โดยทช่ี อ งดําเนินการ 1 ท้ังหมดใหเอาออก 2. ขัน้ ตอนการยบุ รวมเหมือนกบั แบบวธิ กี ารหาแบบผลรวมของผลคูณทุกประการ 3. นําวงแตล ะวงทย่ี บุ ไดมาแปลงเปนแมกเทอม 4. นาํ แมกเทอมทง้ั หมดมาผานตวั ดําเนนิ การ แอนด ดังนัน้ จากหลกั การขัน้ ตน เลือกเฉพาะชอ งดําเนินการ 0 ทง้ั หมดได ดังน้ี AB 00 01 11 10 C วงที่ 1 วงที่ 2 0 00 10 0 วงท่ี 1 มองข้นึ AB 00 01 11 10 มองซาย C 0 00 0 0 1 มองขนึ้ : พบ 01 และ 11 สังเกตวาตวั หนา เปนของ A และเนื่องจากวาพบท้ัง 0 และ 1 (01, 11) จึง หักลา งออกไป สวนตวั หลังเปนของ B และมีคาเปน 1 จึงใสคอมพลเิ มนตดวยไดเ ปน B มองซาย: พบ 0 ซงึ่ เปน ของ C ไดเปน C ดงั นั้นไดแ มกเทอมของพจนว งที่ 1 เปน B+C วงที่ 2 มองขนึ้ AB 00 01 11 10 C 0 00 มองซาย 1 0 0 105

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข มองข้นึ : พบ 00 และ 01 สังเกตวาตวั หนา เปนของ A และ มคี า เปน 0 ไดเปน A สว นตวั หลงั เปน ของ B เนอ่ื งจากวา พบทัง้ 0 และ 1 (00, 01) จึงหกั ลางออกไป มองซาย: พบ 1 ซง่ึ เปนของ C ไดเ ปน C ดังน้นั ไดแ มกเทอมของพจนวงที่ 2 เปน A+ C เพราะฉะนั้นเมอ่ื รวมแมกเทอมทงั้ สองพจนไดส มการพชี คณติ บลู นี เปน (B+ C)(A+ C) 6.4 เงือ่ นไขท่ไี มสนใจ (Don’t Care Condition) เงื่อนไขที่ไมสนใจคือ การกําหนดใหสถานะของมินเทอม หรือแมกเทอมเปนไดทั้ง 0 หรือ 1 ประโยชนของการนําเงื่อนไขท่ีไมสนใจมาใชงานคือจะชวยใหสามารถลดรูปสมการพีชคณิตบูลนี มี ขนาดที่เลก็ ลงได ขอ ควรระวงั คือ เง่ือนไขที่ไมสนใจอาจทําใหสมการพีชคณิตบูลีนมีขนาดท่ีใหญข้ึน เพราะฉะน้ันจึงตอ งระวงั ไมใ หเกิดกรณดี ังกลา วขึ้นดว ย สาํ หรับมนิ เทอม หรือแมกเทอมใดท่มี ีสถานะ เปน เงอ่ื นไขทไ่ี มสนใจใหใ ชสญั ลกั ษณ “ x” หรอื สญั ลกั ษณ “ d” แทนสถานะดังกลาว โดยท่ีเอกสาร ประกอบการสอนเลม น้จี ะเลอื กใชเฉพาะสัญลักษณ “ x” เทา น้นั ตัวอยา งที่ 6-9 จงเขียนสมการพชี คณติ บูลีนจากแผนผงั คารโ นหต อไปนี้ AB 00 01 11 10 CD 00 01 1 x 11 x 1 10 x วธิ ีทํา จากแผนผงั คารโ นหสงั เกตวา มีสถานะทเี่ ปนเงอ่ื นท่ไี มสนใจทั้งหมด 3 คา ซง่ึ อยตู ําแหนง ที่มิน เทอม “ ABCD” มีสถานะอินพุตเปน “ 0111” , “ 1101” และ “ 1110” เน่ืองจากสามารถมองให สถานะทเ่ี ปนเง่อื นไขที่ไมส นใจเปนไดท ้ัง “ 0” หรือ “ 1” จึงกําหนดใหส ถานะทีเ่ ปนเงื่อนไขทีไ่ มสนใจท่ี อยูต าํ แหนง “ ABCD” ทม่ี สี ถานะอินพตุ เปน “ 0111” และ “ 1101” มีคาเปน “ 1” เพอ่ื ใหส ามารถยุบ รวมไดว งท่ีใหญขึ้น (ยุบ 4 ชอง) สวนสถานะที่เปนเงื่อนไขที่ไมสนใจอีกคาหน่ึง (“ ABCD” มีคาเปน “ 1110” ) ใหก าํ หนดเปน “ 0” เพอื่ ทจ่ี ะไมไ ดถ กู นํามาใชงาน ดังนี้ มองขนึ้ AB 00 01 11 10 CD 00 มองซาย 01 11 11 11 10 มองขน้ึ : พบ 01 และ 11 สังเกตวา ตัวหนา เปนของ A เน่ืองจากวาพบทง้ั 0 และ 1 (01, 11) จึง หักลา งออกไป สว นตัวหลงั เปน ของ B และ มีคา เปน 1 ไดเ ปน B 106

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ มองซา ย: พบ 01 และ 11 สงั เกตวา ตัวหนาเปน ของ C เนอื่ งจากวา พบท้งั 0 และ 1 (01, 11) จงึ หกั ลา งออกไป สว นตัวหลงั เปนของ D และ มคี า เปน 1 ไดเปน D เพราะฉะน้ันไดสมการพชี คณติ บลู ีนเปน BD จากตวั อยา งนีห้ ากมองสถานะทเี่ ปนเงือ่ นทไี่ มส นใจของ “ ABCD” ท่มี ีสถานะอินพตุ เปน “ 1110” ใหมีสถานะเปน “ 1” จะพบวา จะทาํ ใหสมการพชี คณติ บูลีนมขี นาดทใ่ี หญข ้ึน ดงั นี้ AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 BD 11 11 1 10 ABC จากแผนผังคารโ นหข างตนจะไดสมการพชี คณติ บลู นี เปนดงั น้ี ABC + BD ซึ่งสังเกตไดว าสมการ ท่ีไดเปนสมการที่มีขนาดใหญกวาสมการที่เปนคําตอบที่ถูกตอง (ถึงแมจะไดสถานะเอาตพุตที่ เหมือนกัน) ซงึ่ สงผลใหม ีการใชง านจาํ นวนไอซมี ากขน้ึ ตวั อยางที่ 6-10 กําหนดให A, B, C และ D แทนเลขฐานสองที่เรียงกันตามลําดับความสําคัญจาก มากไปหานอ ย โดย A เปน บิตที่มีลําดับความสําคัญสูงท่ีสุดและ D เปนบิตที่มีลําดับความสําคัญตํ่า ท่ีสุด จงเขียนสมการพีชคณิตบูลนี ทที่ ําใหเอาตพุตมีคาเปน 1 ก็ตอเม่ือสถานะของอินพุตซ่ึงมีการใช งานเพยี งแค 10 คาคอื 0000, 0001,…, 1001 มีคาเปน 1 พรอ มกนั 2 คา วธิ ที ํา จากตวั อยา งโจทยกาํ หนดใหมีการใชง านอินพตุ เพยี งแค 10 คา แตเน่ืองจากอินพุตมีจํานวน ทั้งหมด 4 บิตซึ่งมีคาท่ีเปนไปไดทั้งหมด 16 คา ดังนั้นอีก 6 คาที่เหลือ (1010, 1011,…, 1111) จะ เปนเง่ือนไขท่ีไมสนใจน่ันเอง และหากเอาตพ ุตจะมีคาเปน 1 ได สถานะของอินพุตจะตองเปน 1 พรอ มกัน 2 คาเทา นัน้ ดงั ตารางตอ ไปน้ี สถานะอินพุต สถานะเอาตพ ุต A B C D (Z) 00 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 01 1 0 1 107

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทลั และลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข สถานะอนิ พุต สถานะเอาตพุต AB C D (Z) 10 01 1 00 11 10 0 0x 1x 10 0 0x 1x 10 1 0x 1x 10 1 11 0 11 0 11 1 11 1 จากตารางความจริงสามารถนํามาเขยี นลงแผนผงั คารโ นหไ ดด งั น้ี AB 00 01 11 10 CD 00 0 0 x 0 01 0 1 x 1 11 1 0 x x 10 0 1 x x จากท่ีไดเ คยกลาวมาแลว วา การเขียนสมการการบูลีนจากแผนผังคารโนหสามารถทําได 2 วิธี คอื เลือกชองท่มี คี าเปน 1 ทัง้ หมด และ เงื่อนไขทไี่ มส นใจบางชอง หรือ เลือกชองที่มคี าเปน 0 ทัง้ หมด และเง่อื นไขทไ่ี มส นใจบางชอง ดังน้นั จากตัวอยา งผเู ขยี นเลอื กใชช องที่มคี า เปน 1 ทัง้ หมดและเง่อื นไข ทีไ่ มสนใจบางชองดงั น้ี AB 00 01 11 10 CD 00 x BCD 01 1x1 AD BCD 11 1 xx BCD 10 1xx เพราะฉะนัน้ ไดส มการพชี คณติ บูลนี เปน AD+BCD+BCD+BCD 6.5 การออกแบบวงจรบวกและลบเลขฐานสอง วงจรบวก และวงจรลบเลขฐานสอง คือวงจรท่ีมีการนาํ อนิ พตุ 2 ตวั ท่มี ีขนาด 1 บิตและมีลําดบั ความสําคัญที่เทากัน มาดําเนินการบวก หรือ ลบกันโดยกรณีท่ีเปนวงจรบวกผลลัพธท่ีไดจะเปน ผลรวม และตวั ทดในบิตถัดไป แตหากเปนวงจรลบผลลัพธท่ีไดจ ะเปนผลลบ และตัวยืมจากบิตท่ีมี 108

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ ลําดับความสําคัญท่สี งู กวา 1 ตาํ แหนง โดยแบง ออกเปน 4 วงจรประกอบดว ยวงจรบวกแบบไมค ิดตัว ทด (Half Adder), วงจรบวกแบบคิดตัวทด (Full Adder), วงจรลบแบบไมคิดตัวยืม (Half Subtractor) และวงจรลบแบบคิดตัวยมื (Ful l Subtractor) 6.5.1 วงจรบวกแบบไมคิดตัวทด วงจรบวกแบบไมค ิดตัวทดคอื วงจรที่เกิดจากการนําบิตท่ีมีลําดับความสําคัญต่ําท่ีสุดมา ผานการดําเนินการบวกกันซึง่ ผลลัพธท ี่ไดจะมี 2 คาคอื ผลบวก และตวั ทดในบิตถดั ไป A Sum Half Add er B Carry รปู ที่ 6.5 โครงสรางวงจรบวกแบบไมคิดตวั ทด รูปท่ี 6.5 แสดงโครงสรางวงจรบวกแบบไมค ิดตวั ทด การทาํ งานของวงจรคือจะนําอินพุต A และ B ซ่ึงมีขนาด 1 บิตมาบวกกัน โดยเอาตพุตที่ไดจะมี 2 คาคือผลบวก (Sum) และตัวทด (Carry) เน่ืองจากอนิ พตุ มี 2 ตัว ดังน้นั คา ท่ีเปนไปไดทัง้ หมดมี 4 กรณี ดงั นี้ กรณีท่ี 1: A = 0 และ B = 0 Carry 0 (A) 0 (B) + (Sum ) 0 0 ผลลัพธท ่ไี ด: Sum = 0, Carry = 0 กรณีท่ี 2: A = 0 และ B = 1 Carry 0 (A) 0 (B) + (Sum ) 1 1 ผลลพั ธท ไี่ ด: Sum = 1, Carry = 0 109

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข กรณที ี่ 3: A = 1 และ B = 0 Carry 0 (A) 1 (B) + (Sum ) 0 1 ผลลัพธท ไ่ี ด: Sum = 1, Carry = 0 กรณีที่ 4: A = 1 และ B = 1 Carry 1 (A) 1 (B) + (Sum ) 1 0 ผลลพั ธท ไี่ ด: Sum = 0, Carry = 1 ตารางที่ 6.1 ตารางความจรงิ ของวงจรบวกแบบไมคดิ ตวั ทด อนิ พุต เอาตพ ตุ AB Sum Carry 00 0 0 01 1 0 10 1 0 11 0 1 จากตารางความจริงสามารถคาํ นวณคํานวณหาสมการพีชคณติ บลู นี ของ Sum และ Carry ได ดงั น้ี A 0 1 B 1 AB 0 AB 1 1 Sum = AB + AB 110

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข A 0 1 AB B 1 0 1 Carry = AB รปู ท่ี 6.6 วงจรบวกแบบไมค ิดตัวทด 6.5.2 วงจรบวกแบบคดิ ตวั ทด วงจรบวกแบบคดิ ตัวทดคอื วงจรทีเ่ กดิ จากการนําอนิ พตุ ขนาด 1 บิต 2 ตวั มาบวกกัน แต อนิ พุตทัง้ 2 ตวั จะตองเปน บิตที่มีลําดับความสาํ คัญท่เี ทา กนั และเปนบิตท่ีไมใชตําแหนงบิตที่มีลําดับ ความสาํ คัญต่ําท่สี ดุ ดังนั้นการบวกจงึ มคี วามเปนไปไดท ่จี ะตองนาํ ตวั ทดเขา (Carry_in) เขามาคดิ รว ม ดว ย อธิบายไดดงั น้สี มมติวาตองการบวกเลขขนาด 2 บติ คือ A1A0 + B1B0 โดยบิตท่ีเราสนใจคือการ บวกระหวา ง A1 และ B1 เทานัน้ แตเน่อื งจาก A1 และ B1 เปน บิตทไ่ี มไดเ ปน บิตที่มีลาํ ดับความสําคัญ ตํา่ ที่สุด ดงั น้นั จงึ มีความเปนไปไดท จี่ ะตอ งนาํ ตวั ทดเขาซึ่งเกดิ จากการบวกกนั เกนิ ของ A0 และ B0 เขา มาบวกรว มดว ย ซง่ึ ผลลัพธท ี่ไดจ ะมี 2 คาคือผลบวก และตวั ทดในบติ ถัดไป A Full Adder Sum B Carry_out Carry_in รปู ที่ 6.7 โครงสรางวงจรบวกแบบไมค ิดตวั ทด รูปท่ี 6.7 แสดงโครงสรางวงจรบวกแบบคดิ ตวั ทด การทาํ งานของวงจรคือจะนาํ อนิ พุต A, B และ Carry_in ซง่ึ มีขนาด 1 บติ มาบวกกนั โดยเอาตพ ุตทไี่ ดจ ะมี 2 คา คอื ผลบวก (Sum) และตวั ทด (Carry_out) เน่อื งจากอินพุตมี 3 ตวั ดงั นัน้ คาท่เี ปนไปไดท ้ังหมดมี 8 กรณี ดงั นี้ 111

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทลั และลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ กรณีที่ 1: A = 0, B = 0และ Carry_in = 0 Carr y_o ut Carry_in 00 0 (A) + 0 (B) 0 (Sum ) ผลลพั ธท ่ีได: Sum = 0, Carry_out = 0 กรณที ี่ 2: A = 0, B = 0 และ Carry_in = 1 Carry_out Carry_in 01 0 (A) + 0 (B) 1 (Sum ) ผลลพั ธท ่ีได: Sum = 1, Carry_out = 0 กรณีท่ี 3: A = 0, B = 1 และ Carry_in = 0 Carry_out Carry_in 00 0 (A) + 1 (B) 1 (Sum ) ผลลัพธท ีไ่ ด: Sum = 1, Carry_out = 0 กรณีที่ 4: A = 0, B = 1 และ Carry_in = 1 Carry_out Carry_in 11 0 (A) + 1 (B) 0 (Sum ) 112

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ ผลลพั ธท ไี่ ด: Sum = 0, Carry_out = 1 กรณีท่ี 5: A = 1, B = 0 และ Carry_in = 0 Car ry _o u t Carry_in 00 1 (A) + 0 (B) 1 (Sum ) ผลลัพธท ่ไี ด: Sum = 1, Carry_out = 0 กรณที ี่ 6: A = 1, B = 0 และ Carry_in = 1 Carr y _o u t Carry_in 11 1 (A) + 0 (B) 0 (Sum ) ผลลพั ธท ไ่ี ด: Sum = 0, Carry_out = 1 กรณีที่ 7: A = 1, B = 1 และ Carry_in = 0 Carr y _o u t Carry_in 10 1 (A) + 1 (B) 0 (Sum ) ผลลัพธท ี่ได: Sum = 0, Carry_out = 1 113

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ กรณีท่ี 8: A = 1, B = 1 และ Carry_in = 1 Carry_out Carry_in 11 1 (A) + 1 (B) 1 (Sum ) ผลลัพธท ่ีได: Sum = 1, Carry_out = 1 ตารางท่ี 6.2 ตารางความจรงิ ของวงจรบวกแบบคดิ ตวั ทด อนิ พตุ เอาตพ ุต A B Carry_in Sum Carry_out 00 0 0 0 00 1 1 0 01 0 1 0 01 1 0 1 10 0 1 0 10 1 0 1 11 0 0 1 11 1 1 1 จากตารางความจรงิ สามารถคํานวณคํานวณหาสมการพชี คณติ บลู ีนของ Sum และ Carry_out ไดด งั นี้ AB 00 01 11 10 Carry_in ABCarry_in 0 1 1 ABCarry_in ABCarry_in 11 1 ABCarry_in Sum = ABCarry_in + ABCarry_in + ABCarry_in + ABCarry_in AB 00 01 11 10 Carry_in 01 AB ACarry_in BCarry_in 1 111 114 Carry_out = AB+ ACarry_in + BCarry_in

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข รูปที่ 6.8 วงจรบวกแบบคิดตวั ทด 6.5.3 วงจรลบแบบไมคิดตวั ยมื วงจรลบแบบไมคิดตัวยมื คือ วงจรทีเ่ กดิ จากการนาํ บิตทม่ี ีลาํ ดับความสาํ คญั ตา่ํ ทส่ี ดุ มาผา น การดาํ เนนิ การลบกนั ซึ่งผลลัพธท ไ่ี ดจ ะมี 2 คา คือผลลบ และตวั ยมื จากบติ ถดั ไป A Sub Half Subtractor B Borrow รูปที่ 6.9 โครงสรางวงจรลบแบบไมค ิดตัวยมื รูปที่ 6.9 แสดงโครงสรางวงจรลบแบบไมคดิ ตวั ยมื การทาํ งานของวงจรคือจะนาํ อินพตุ A ซง่ึ มขี นาด 1 บิตลบออกดว ย อนิ พตุ B ซ่ึงมขี นาด 1 บติ โดยเอาตพ ุตที่ไดจ ะมี 2 คาคือผลลบ (Sub) และตัวยืม (Borrow) เนอื่ งจากอินพตุ มี 2 ตวั ดงั นนั้ คาทเ่ี ปน ไปไดท ั้งหมดมี 4 กรณี ดงั นี้ กรณีท่ี 1: A = 0 และ B = 0 Borrow 0 (A) 0 (B) - (Su b ) 0 0 ผลลัพธท ี่ได: Sub = 0, Borrow = 0 115

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข กรณที ่ี 2: A = 0 และ B = 1 Borrow 1 (A) 0 (B) - (Su b ) 1 1 ผลลัพธท ไ่ี ด: Sub = 1, Borrow = 1 จากผลลัพธท ไ่ี ดใ นกรณที ี่ 2 อธบิ ายไดด ังนี้ เน่อื งจากตวั ต้ัง (A) มีคา นอยกวา ตวั ลบ (B) ซงึ่ ลบกันไมได A จึงตองไปขอยืมคาจากบิตติดกันที่มีลําดับความสําคัญสูงกวาทําให Borrow มีคาเปน 1 และ เนื่องจากเปนการลบกันแบบเลขฐานสอง คาที่ A ยืมมาไดจึงมีคาเปน 2 ดังน้ันผลลัพธของ A – B (Sub) คอื 102 – 12 = 1 กรณีที่ 3: A = 1 และ B = 0 Borrow 0 (A) 1 (B) - (Su b ) 0 1 ผลลพั ธท ่ีได: Sub = 1, Borrow = 0 กรณที ี่ 4: A = 1 และ B = 1 Bo r ro w 0 (A) 1 (B) - (Su b ) 1 0 ผลลัพธท ่ีได: Sum = 0, Carry = 0 116

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ ตารางที่ 6.3 ตารางความจริงของวงจรลบแบบไมคดิ ตัวยมื อนิ พตุ เอาตพ ตุ AB Sub Borrow 00 00 01 11 10 10 11 00 จากตารางความจริงสามารถคํานวณคํานวณหาสมการพีชคณติ บลู ีนของ Subและ Borrowได ดงั น้ี A 0 1 B 01 AB AB 1 1 Su m = AB+ AB A 0 1 B 0 AB 1 1 Carry = AB x รปู ท่ี 6.10 วงจรลบแบบไมค ดิ ตวั ยมื จากรปู 6.10 สงั เกตไดวาไมจ าํ เปน ตอ งสรางวงจร Borrow ขน้ึ มาใหม เน่ืองจากผลลัพธของ เกต x มคี า เปน AB ซ่ึงตรงกับคา ของ Borrow ดังน้ันจึงสามารถใชรวมกันได ทําใหประหยัดการใช งานเกตไปได 1 ตวั 117

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ 6.5.4 วงจรลบแบบคิดตัวยืม วงจรลบแบบคิดตัวยืมคือ วงจรที่เกิดจากการนําอินพุตขนาด 1 บิต 2 ตัวมาลบกัน แต อนิ พุตทัง้ 2 ตวั จะตอ งเปนบิตที่มีลําดับความสําคญั ทเี่ ทากนั และเปนบิตที่ไมใชตําแหนงบิตท่ีมีลําดับ ความสําคญั ต่าํ ท่ีสดุ ดงั น้นั การลบจึงมีความเปนไปไดที่บิตของตัวต้ังจะถูกยืม (Borrow_in) โดยบิต ตดิ กนั ท่มี ีลาํ ดับความสาํ คัญที่ตํ่ากวา เน่ืองจากบิตตวั ต้ังมคี า นอ ยกวา บติ ตวั ลบ อธิบายไดดังนีส้ มมตวิ า ตอ งการลบเลขขนาด 2 บิตคอื A1A0 - B1B0 โดยบติ ท่เี ราสนใจคือการลบระหวา ง A1 และ B1 เทานั้น แตเนื่องจาก A1 และ B1 เปน บติ ทีไ่ มใชบ ิตที่มลี าํ ดบั ความสําคญั ตํ่าทีส่ ุด ดังนัน้ จึงมคี วามเปนไปไดท ่จี ะ A1 อาจจะถกู ยมื จาก A0 เน่ืองจาก A0 มีคานอยกวา B0 ซึ่งลบโดยตรงไมไดจึงตองขอยืมจาก A1 ซ่ึง ผลลัพธท ่ไี ดจะมี 2 คาคอื ผลลบ และตัวยืมในบิตถดั ไป A Full Subtractor Su b B Bo rro w _o u t Bo rro w _in รปู ที่ 6.11 โครงสรา งวงจรลบแบบคดิ ตวั ยมื รปู ที่ 6.11 แสดงโครงสรางวงจรลบแบบคดิ ตัวยมื การทํางานของวงจรคือจะนําอินพุต A1 ซ่ึงมีขนาด 1 บิตมาลบออกดวย B1 ซึง่ มขี นาด 1 บิตเชนกนั และหาก Borrow_in ซึ่งมขี นาด 1 บติ มคี า เปน 1 จะตองนํา Borrow_in มาลบออกดว ย โดยเอาตพ ตุ ทีไ่ ดจะมี 2 คา คอื ผลลบ (Sub) และตัว ยมื (Borrow_out) เนอ่ื งจากอนิ พุตมี 3 ตัว ดงั น้นั คาที่เปนไปไดท้งั หมดมี 8 กรณี ดังนี้ กรณที ี่ 1: A = 0, B = 0 และ Borrow_in = 0 Borrow _out Bo rro w _in 00 0 (A) - 0 (B) 0 (Sub) ผลลัพธท ่ไี ด: Sub = 0, Borrow_out = 0 กรณีท่ี 2: A = 0, B = 0 และ Borrow_in = 1 Bo rro w _o u t Bo rro w _in 11 0 (A) - 0 (B) 1 (Sub) 118

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ ผลลัพธท ่ไี ด: Sub = 1, Borow_out = 1 จากผลลัพธท่ีไดในกรณีที่ 2 อธิบายไดดังน้ี เน่ืองจากตัวต้ัง (A) ถูกยืมจากบิตที่มีลําดับ ความสําคญั ตํา่ กวาไป 1 คา (Borrow_in = 1) ทําให A มีคา นอยกวาตัวลบ (B) ซ่ึงลบกันไมได A จึง ตองไปขอยืมคาจากบิตติดกันท่ีมีลาํ ดับความสําคัญสูงกวาทําให Borrow_out มีคาเปน 1 และ เนื่องจากเปน การลบกนั แบบเลขฐานสอง คาท่ี A ยืมมาไดจ ึงมีคาเปน 2 แตโดนหักจากบิตที่มีลําดับ ความสาํ คญั ตา่ํ กวาทข่ี อยมื ไป 1 คา ดังนนั้ ผลลัพธของ A – B (Sub) คือ 1 – 0 = 1 กรณที ่ี 3: A = 0, B = 1 และ Borrow_in = 0 Bo rro w _o ut Bo rro w _in 10 0 (A) - 1 (B) 1 (Sub) ผลลพั ธท ี่ได: Sub = 1, Borrow_out = 1 กรณที ี่ 4: A = 0, B = 1 และ Borrow_in = 1 Bo rro w _o u t Bo rro w _in 11 0 (A) - 1 (B) 0 (Sub) ผลลัพธท ไ่ี ด: Sub = 0, Borrow_out = 1 กรณีที่ 5: A = 1, B = 0 และ Borrow_in = 0 Bo rro w _o u t Bo rro w _in 00 1 (A) - 0 (B) 1 (Sub) ผลลัพธท ี่ได: Sub = 1, Borrow_out = 0 119

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ กรณีท่ี 6: A = 1, B = 0 และ Borrow_in = 1 Bo rro w _o u t Borrow _in 01 1 (A) - 0 (B) 0 (Sub) ผลลัพธท ่ีได: Sub = 0, Borrow_out = 0 กรณที ี่ 7: A = 1, B = 1 และ Borrow_in = 0 Bo rro w _o ut Bo rro w _in 00 1 (A) - 1 (B) 0 (Sub) ผลลัพธท ่ไี ด: Sub = 0, Borrow_out = 0 กรณีท่ี 8: A = 1, B = 1 และBorrow_in = 1 Bo rro w _o ut Borrow _in 11 1 (A) - 1 (B) 1 (Sub) ผลลพั ธท ี่ได: Sub = 1, Borrow_out = 1 120

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข ตารางท่ี 6.4 ตารางความจรงิ ของวงจรลบแบบคิดตวั ยมื อินพตุ เอาตพ ตุ A B Borrow_in Sub Borrow_out 00 0 0 0 00 1 1 1 01 0 1 1 01 1 0 1 10 0 1 0 10 1 0 0 11 0 0 0 11 1 1 1 จากตารางความจริงสามารถคาํ นวณคาํ นวณหาสมการพีชคณิตบลู ีนของ Subและ Borrow_out ไดด ังนี้ AB 00 01 11 10 Borrow _in ABBorrow_in 0 1 1 ABBorrow_in ABBorrow_in 11 1 ABBorrow_in Sub = ABBorrow_in + ABBorrow_in + ABBorrow_in + ABBorrow_in AB 00 01 11 10 Borrow _in 01 AB BBo rro w _in ABorrow_in 1 1 1 1 Borro w_out = AB+ ABorrow_in + BBorrow_in 121

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ รูปที่ 6.12 วงจรลบแบบคิดตวั ยมื 6.5.5 วงจรบวกแบบหลายบติ วงจรบวกเลขฐานสองแบบคิดตัวทด และแบบไมคิดตวั ทดน้ันใชสําหรบั คํานวณหาผลบวก เลขฐานสองของอนิ พุต 2 ตวั ทมี่ ขี นาดเพยี ง 1 บติ เทา นัน้ โดยวงจรบวกแบบไมคิดตวั ทดจะใชสําหรับ การบวกเลขที่ตาํ แหนง บิตทม่ี ลี าํ ดบั ความสําคัญตา่ํ ท่สี ดุ สวนวงจรบวกแบบคิดตัวทดจะเปนวงจรที่ใช สาํ หรบั การบวกเลขท่ีตาํ แหนงบิตท่ไี มไดอยูในตําแหนงท่มี ีลําดับความสาํ คัญตา่ํ ทส่ี ดุ ดงั นน้ั กําหนดให จาํ นวนบิตของคาที่จะนาํ มาบวกกันมคี าเทากัน หากตอ งการออกแบบวงจรบวกเลขฐานสองท่ีมีขนาด มากกวา 1 บิตตอ งใชจํานวนวงจรบวกเลขฐานสองตามจาํ นวนบิตของอินพุตทั้งหมด เชนหากอินพุต ตัวทีม่ ีขนาดมากที่สดุ คือ 4 บิต ตองใชวงจรบวกเลขฐานท้งั หมด 4 ตวั ประกอบไปดวยวงจรบวกแบบ ไมค ดิ ตัวทด 1 ตวั และวงจรบวกแบบคิดตวั ทดอกี 3 ตวั ดังตัวอยางท่ี 6-11 ตัวอยา งท่ี 6-11 การออกแบบวงจรบวกเลขฐานสองขนาด 4 บติ วธิ ที าํ การออกแบบวงจรบวกเลขฐานสองขนาด 4 บิต โดยบติ ตัวทดออกของแตล ะวงจรจะถูกเชอื่ ม กบั ตัวทดเขาของ วงจรทม่ี ีลําดบั ความสําคัญทสี่ ูงกวา ดังน้ี A3 B3 A2 B2 A1 B1 A0 B0 Carry_ out 3 Full Add er Full Add er Full Add er Half Adder (3) (2) (1) (0) S3 S2 S1 S0 122

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ ทดสอบการทํางาน กําหนดให A = 1011 และ B = 0110 การคํานวณหา S = A+B จะถูกแบง ออกเปน 4 สว นซง่ึ แตละสว นมกี ารคํานวณเปน ดังน้ี สว นท่ี 1: A0 = 1 และ B0 = 0 ดงั นน้ั S0 = A0 + B0 = 1 + 0 = 1 สวนท่ี 2: A1 = 1 และ B1 = 1 ดงั นนั้ S0 = A1 + B1 = 1 + 1 = 0 แตม ีตวั ทดออกไปยังบิตที่ 2 สวนที่ 3: A2 = 0 และ B2 = 1 และมีตัวทดเขา (Carry_in2 = 1) ดังน้ัน S2 = A2 + B2 + Carry_in2 = 0 + 1 + 1 = 0 แตม ตี ัวทดออกไปยงั บติ ที่ 3 สวนท่ี 4: A3 = 1 และ B3 = 0 และมีตัวทดเขา (Carry_in3 = 1) ดังนั้น S3 = A3 + B3 + Carry_in3 = 1 + 0 + 1 = 0 แตม ตี ัวทดออกคอื Carry_out3 = 1 ดงั นัน้ S = S3S2S1S0 = 0001 และมีตวั ทดออก 6.5.6 วงจรลบแบบหลายบติ การออกแบบวงจรลบแบบหลายบติ สามารถทําไดโดยการนาํ วงจรลบแบบคิดตัวยืม และ วงจรลบแบบไมค ดิ ตัวยืมมาตอ รวมกัน กําหนดใหจ าํ นวนบิตของคา ท่ีจะนํามาลบกันมีคาเทากัน หาก ตอ งการออกแบบวงจรลบเลขฐานสองท่ีมีขนาดมากกวา 1 บิตตองใชจาํ นวนวงจรลบเลขฐานสองตาม จํานวนบิตของอินพุตท้ังหมด อยางไรก็ตามสามารถนําวงจรบวกเลขฐานสองแบบคิดตัวทดมา ออกแบบเปน วงจรลบเลขฐานฐานสองไดโ ดยการนําบติ ตัวลบทง้ั หมดมาผา นตัวดําเนนิ การเอ็กออรก ับ คา “ 1” และกําหนดใหต วั ทดเขา ของวงจรบวกเลขฐานสองของตําแหนง บิตท่ีมีลําดับความสําคัญตํ่า ท่ีสดุ มีคาเปน “ 1” ขอดีการการนําวงจรบวกเลขฐานสองมาออกแบบแทนวงจรลบเลขฐานสองคือ วงจรชนิดเดียวสามารถสรางไดท้ังวงจรบวก และวงจรลบเลขฐานสองซ่ึงจะชว ยใหจํานวนเกตที่จะ นํามาใชง านลดลง ตวั อยา งท่ี 6-12 การออกแบบวงจรลบเลขฐานสองขนาด 4 บติ วิธที ํา การออกแบบวงจรลบเลขฐานสองขนาด 4 บิต โดยการใชวงจรบวกเลขฐานสองแทนทง้ั หมด สามารถทาํ ไดด งั นี้ B3 B2 B1 B0 “ 1” A3 A2 A1 A0 X3 X2 X1 X0 Carry_ ou t 3 Full Adder Full Adder Full Adder Full Add er (3) (2) (1) (0) S3 S2 S1 S0 ทดสอบการทาํ งาน กาํ หนดให A = 1011 และ B = 0110 การคาํ นวณหา S = A - B จะถูกแบง ออกเปน 4 สวนซงึ่ แตล ะสว นมีการคาํ นวณเปน ดังน้ี 123

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข สว นที่ 1: A0 = 1 และ B0 = 0, ได X0 = B 1 = 0 1 = 1 0 ดงั น้ัน S0 = A0 + X0 + Carry_in0 = 1 + 1 + 1 = 1 และมตี วั ทดออกไปยงั บิตท่ี 1 สวนท่ี และ ได และมีตวั ทดเขาจากบติ ที่ 2: A1 = 1 B1 = 1, X1 = B 1 = 1 1 = 0 0 1 ดงั นั้น S1 = A1 + X1 + Carry_in1 = 1 + 0 + 1 = 0 และมีตวั ทดออกไปยังบติ ที่ 2 สว นท่ี และ ได และมีตวั ทดเขาจากบิตที่ 3: A2 = 0 B2 = 1, X2 = B 1 = 1 1 = 0 1 2 ดังนั้น S2 = A2 + X2 + Carry_in2 = 0 + 0 + 1 = 1 และไมมตี วั ทดออกไปยังบติ ท่ี 3 สวนที่ และ B3 0, ได X3 เน่ืองจากไมมตี ัวทดเขาจากบติ ท่ี 4: A3 = 1 = = B 1 = 0 1 = 1 3 2 ดังนัน้ S3 = A3 + X3 + Carry_in3 = 1 + 1 + 0 = 0 และมีตวั ทดออกคอื Carry_out3 = 1 ดงั นน้ั S = S3S2S1S0 = 0101 และมีตัวทดออกโดยตัวทดออกเปรียบเสมือนเปนตัวยืมจาก บติ ถดั ไป 6.6 บทสรุป นอกจากการใชกฎบูลีนแลว แผนผังคารโ นห (Karnaugh Map) เปน วธิ กี ารลดรูปสมการบูลนี อกี วธิ ีหน่ึงซึ่งเปนวิธที งี่ าย และมขี อผิดพลาดที่นอ ยกวา หากเปรียบเทียบกบั การใชกฎบูลนี สําหรบั การลด รปู สมการ โดยแผนผังคารโนหจะใชตารางสเ่ี หลย่ี มทีม่ จี าํ นวนชองเทา กบั 2จํานวนตัวแปร โดยการยุบรวม น้นั จะตอ งเลอื กชองทม่ี ีคาเปน 1 ท้ังหมดเพียงอยางเดียว หรือเลือกชองท่ีมีคาเปน 0 ท้ังหมดเพียง อยา งเดียว และทาํ การยบุ รวมชอ งท่ีอยูต ดิ กนั โดยแตละกลุมท่ถี ูกยุบรวมน้ันจะมีจํานวนชองอยูในรูป ของ n เทานั้น เม่ือ คือจํานวนเต็มบวกใดๆ โดยกรณีที่เลือกชองที่มีคาเปน ทั้งหมดใหเขียน n 1 2 สมการบูลีนของแตละกลุมโดยใชตัวดําเนินการแอนดเพ่ือเชื่อมแตละตัวแปร และนําแตละกลุมมา เช่ือมกันดว ยตัวดําเนนิ การออร แตห ากเปน กรณีที่เลือกชอ งทีม่ คี าเปน 0 ทัง้ หมด ใหเ ขียนสมการบลู ีน ของแตละกลมุ โดยใชตวั ดําเนินการออรเ พอ่ื เช่อื มแตละตัวแปร และนําแตละกลุมมาเชอื่ มกันดวยตัว ดําเนินการแอนด อยางไรก็ตามแผนผังคารโนหจะเหมาะสมกับการใชลดรูปสมการที่มีตัวแปรอยู ระหวา ง 2 – 4 ตวั เทา นั้น สถานะท่ไี มส นใจ (Don’ t Care Condition) คอื สถานะท่มี ีคาเปนไดทั้ง 0 หรอื 1 ซง่ึ สามารถชว ยลดรูปใหว งจรมขี นาดทเ่ี ล็กลงได และสุดทายในบทนี้ไดกลาวถึงการออกแบบ วงจรบวก และลบเลขฐานสองโดยใชแผนผังคารโนหสําหรับการลดรูปวงจร โดยวงจรบวก และลบ เลขฐานสองเปน วงจรทส่ี ามารถนํามาใชสําหรับการคํานวณดานการบวก และการลบระหวาง 2 ตัว แปรที่มีขนาด 1 บิต แตหากตองการใหมีการบวก หรือลบระหวางตัวแปรท่ีมีขนาดมากกวา 1 บิต สามารถทําไดโดยนําวงจรดังกลา วมาตอ เชือ่ มกนั ตามจาํ นวนบติ ท่ตี องการ 124

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทลั และลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ คาํ ถามทา ยบท 1. จงลดรูปสมการตอไปน้ีโดยใชแ ผนผงั คารโ นห 1.1 f(A, B, C) = m (0,1,4,6) 1.2 f(A, B, C) = m (1,3,4,5,7) 1.3 f(A, B, C, D) = m (0,1,4,5,6,9,10,13) 1.4 f(A, B, C) = M(1,2,4,7) 1.5 f(A, B, C) = M(0,3,5,7) 1.6 f(A, B, C) = m (0,4) 1.7 f(A, B, C, D) = m (1, 2, 5, 11) + d(3, 4, 8, 9) 1.8 f(A, B, C, D) = m (0, 2, 12, 15) 1.9 f(A, B, C) = M(2,3,5) + d(1,6) 1.10 f(A, B, C, D) = M(1,3, 10, 12) + d (2, 6, 11, 15) 2. จากตารางความจรงิ ตอ ไปนี้จงหาสมการบลู นี ทีอ่ ยใู นรูปที่งายท่ีสดุ และอยใู นรูปของผลรวมของผล คูณ 2.1) อินพุต เอาตพตุ AB (Z) 00 01 1 10 1 11 1 0 2.2) อินพุต เอาตพตุ A B (Z) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 125

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทลั และลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ 2.3) เอาตพ ุต อนิ พตุ C (Z) 01 AB 11 00 01 00 10 01 00 01 10 10 01 10 10 11 11 2.4) อินพุต เอาตพตุ AB C (Z) 00 01 00 10 01 00 01 11 10 01 10 10 11 00 11 11 3. กําหนดให A, B, C และ D แทนเลขฐานสองท่ีเรียงกันตามลําดับความสําคัญจากมากไปหานอย โดย A เปนบิตท่มี ีลาํ ดบั ความสําคญั มากทสี่ ุดและ D เปนบิตที่มีลําดับความสําคัญนอยท่ีสุด จงเขียน สมการพชี คณิตบูลนี ท่ีทาํ ใหเ อาตพ ุตมคี าเปน 1 กต็ อเม่ือ สถานะของอินพตุ ซง่ึ มีการใชง านเพียงแค 8 คา คอื 0000, 0001,…, 1000 มคี า เปน 1 พรอ มกนั อยางนอย 2 คา 4. จงออกแบบวงจรบวกเลขฐานสองระหวา ง 2 ตัวแปรโดยทตี่ ัวแปรตัวหนง่ึ มีขนาด 5 บิต และตวั แปร อกี ตวั หนึ่งมขี นาด 3 บิต 126

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทัลและลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข เอกสารอางอิง Marcovit z, A. B. (2009). Introduction to Logic Design. New York: McGraw-Hil l . Mark, B. (2003). Com plete Digital Design: A Com prehensive Guide to Digital Electronics and Com puter System Architecture. New York: McGraw-Hil l . David, M. H. (2012).Digital Design and Com puter Architecture. USA: Morgan Kaufm ann. Ram aswam y, P. (2011). Digital System s Design. United Kingdom : London Business School . Morris, M, Michael , D. C. (2006). Digital Design. New Jersey: Prentice-Hal l Int ernational In c. ธวชั ชัย เลอ่ื นฉวี และ อนรุ ักษ เถื่อนศิริ. (2527). ดจิ ิตอลเทคนคิ เลม 1.กรงุ เทพฯ: มิตรนราการพิมพ. มงคล ทองสงคราม. (2544).ทฤษฎีดจิ ิตอล.กรุงเทพฯ: หา งหนุ สวนจํากดั วี.เจ. พรน้ิ ด้งิ . ทีมงานสมารท เลริ น นง่ิ . (2543). ออกแบบวงจร Digital และประยุกตใชงาน.กรงุ เทพฯ: หางหุนสวน สามัญสมารทเลิรนนิง่ . 127

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสขุ แผนบริหารการสอนประจําบทที่ 7 ฟลปิ ฟลอป 3 ชว่ั โมง หวั ขอ เนอื้ หา 7.1 ฟลปิ ฟลอปแบบ RS 7.1.1 ตารางเอก็ ไซเทชน่ั ของฟลปิ ฟลอปแบบ RS 7.1.2 การคํานวณหาสมการพชี คณติ บูลีนของเอาตพตุ ใหมข องฟลปิ ฟลอปแบบ RS 7.2 ฟลปิ ฟลอปแบบ D 7.2.1 ตารางเอ็กไซเทชัน่ ของฟลปิ ฟลอปแบบ D 7.2.2 การคํานวณหาสมการพชี คณติ บลู ีนของเอาตพ ตุ ใหมข องฟลปิ ฟลอปแบบ D 7.3 ฟลปิ ฟลอปแบบ T 7.3.1 ตารางเอ็กไซเทช่นั ของฟลปิ ฟลอปแบบ T 7.3.2 การคาํ นวณหาสมการพชี คณติ บูลีนของเอาตพตุ ใหมข องฟลปิ ฟลอปแบบ T 7.4 ฟลปิ ฟลอปแบบ JK 7.4.1 ตารางเอก็ ไซเทชั่นของฟลปิ ฟลอปแบบ JK 7.4.2 การคํานวณหาสมการพชี คณติ บูลีนของเอาตพตุ ใหมข องฟลปิ ฟลอปแบบ JK 7.5 บทสรุป วัตถปุ ระสงคเชิงพฤตกิ รรม 1. เพอ่ื ใหผ ูเรยี นมคี วามรูความเขาใจเกยี่ วกบั นยิ าม และคุณสมบตั ขิ องฟลปิ ฟลอปชนดิ ตางๆ 2. เพอ่ื ใหผ ูเ รยี นสามารถคาํ นวณหาสมการพีชคณิตบลู ีนสถานะเอาตพ ตุ ใหมของฟลปิ ฟลอปชนิดตา งๆ ได วธิ กี ารสอนและกจิ กรรมการเรียนการสอนประจําบท 1. บรรยายเน้ือหาในแตล ะหวั ขอ พรอมยกตวั อยา งประกอบ 2. ศกึ ษาจากเอกสารประกอบการสอน 3. ผสู อนสรปุ เน้ือหา 4. ทาํ แบบฝก หดั เพอื่ ทบทวนบทเรยี น 5. เปด โอกาสใหผ ูเรยี นถามขอสงสยั 6. ผสู อนทาํ การซักถาม สื่อการเรยี นการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดจิ ิทัลและลอจิก 2. ภาพเลือ่ น 128

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดิจิทลั และลอจิก โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข การวดั ผลและการประเมิน 1. ประเมินจากการซกั ถามในช้นั เรยี น 2. ประเมินจากความรว มมือและความรับผดิ ชอบตอการเรยี น 3. ประเมินจากการทําแบบฝกหดั ทบทวนบทเรียน 129

เอกสารประกอบการสอนวิชาวงจรดจิ ิทลั และลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข บทที่ 7 ฟลปิ ฟลอป ฟลิปฟลอป เปน อปุ กรณทางอิเล็กทรอนกิ สทมี่ ีลักษณะเปนแบบมีหนวยความจําขนาด 1 บิต ซงึ่ สามารถสรา งไดโ ดยใชเ กตพ้ืนฐานตา งๆ โดยเฉพาะอยางย่ิง แนนดเกต หรือ นอรเกตโดยที่เอาตพุต ของฟลิปฟลอปจะคงสถานะเดิมไว ถึงแมวาจะไมมีสถานะของอินพุตเกิดข้ึนเลยก็ตาม โดยหาก ตองการเปล่ียนสถานะของเอาตพุตจะตองทาํ การเปลี่ยนสัญญาณอินพุต พรอมกับการเกิดสัญญาณ นาฬกิ า หรือเกดิ สญั ญาณเซต หรือ สัญญาณเคลียรส ัญญาณใดสัญญาณหนง่ึ เทานนั้ โดยวงจรทเ่ี กดิ จาก การนําฟลปิ ฟลอปมาใชงาน ซง่ึ อาจจะมีหรือไมม ีเกตพื้นฐานตอ ใชง านรวมดว ย เรยี กวา วงจรเชิงลําดบั (Sequential Logic) Input SET Q CLK Ou t p u t CLR Q รูปที่ 7.1 โครงสรางฟลปิ ฟลอป รปู ที่ 7.1 แสดงโครงสรางของฟลปิ ฟลอปซึ่งมสี ายสัญญาณที่สําคัญทั้งหมด 5 ตัวประกอบดวย สัญญาณอินพตุ สัญญาณเอาตพ ุต สญั ญาณนาฬิกา (CLK) สัญญาณเคลียรคา (CLR) และ สัญญาณ เซตคา (SET) สัญญาณอนิ พุตของฟลิปฟลอปจะถูกแบงออกเปน 2 ชนิดคือ ฟลิปฟลอปท่ีมีอินพุต 1 คามี 2 ชนิดคือ ฟลิปฟลอปแบบ D และ ฟลิปฟลอปแบบ T และ ฟลิปฟลอปท่ีมีอินพุต 2 คามี 2 ชนิดคือ ฟลิปฟลอปแบบ RS และ ฟลปิ ฟลอปแบบ JK สญั ญาณเอาตพ ตุ ของฟลิปฟลอปจะมี 2 คาคือ Q และ Q สังเกตวาทงั้ 2 คานีจ้ ะเปนนิเสธซ่ึงกัน และกันเพราะฉะนัน้ หาก Q มีคา เปน 1 แลว Q จะตองมีคา เปน 0 เทาน้ัน ในทางกลบั กันหาก Q มี คาเปน 0 แลว Q จะตองมีคา เปน 1 เทา น้นั สญั ญาณ CLK คอื สัญญาณทีท่ าํ ใหม กี ารเปลีย่ นสถานะท่ีสัญญาณเอาตพ ุต โดยหากไมมสี ญั ญาณ CLK เกดิ ขน้ึ สญั ญาณเอาตพตุ จะไมม กี ารเปลี่ยนแปลง (หากไมเ กดิ สัญญาณ SET หรือ CLR) ถงึ แมวา จะมีการเปลยี่ นสถานะของสัญญาณอินพุตก็ตาม โดยสัญญาณ CLK สามารถเกิดได 2 ตําแหนงคือ ตําแหนงที่เกิดจากการเปลี่ยนสถานะจาก “ 0” เปน “ 1” เรียกวาเกิดสัญญาณนาฬิกาท่ีขอบขาข้ึน และตาํ แหนงท่ีเกิดจากการเปล่ียนสถานะจากสถานะ “ 1” เปน “ 0” เรียกวาเกิดสัญญาณนาฬิกาที่ ขอบขาลง 130

เอกสารประกอบการสอนวชิ าวงจรดิจิทัลและลอจกิ โดย อาจารย กฤษณพงศ สมสุข รปู ที่ 7.2 การเกิดสัญญาณนาฬกิ าที่ขอบขาข้นึ รปู ที่ 7.3 การเกดิ สัญญาณนาฬิกาที่ขอบขาลง สาํ หรบั กรณีทใี่ ชฟลปิ ฟลอปทมี่ กี ารเปลย่ี นสถานะของเอาตพ ุตทีข่ อบขาลง จะมีสัญลักษณ “ o” ทหี่ นาสัญญาณ CLK ดงั นี้ Input SET Q CLK Out p ut CLR Q รปู ท่ี 7.4 โครงสรา งฟลิปฟลอปทมี่ กี ารเปลย่ี นสถานะเอาตพุตท่ขี อบขาลง สญั ญาณ CLR คอื สญั ญาณทท่ี ําใหสถานะของเอาตพ ุตมีคาเปน 0 ทันทีทีไ่ ดรับสญั ญาณดงั กลาว โดยที่ไมสนใจวาในขณะนั้นมีสัญญาณ CLK เกิดขึ้นหรือไม เน่ืองจากสัญญาณ CLR มีลําดับ ความสําคญั ทสี่ งู กวาสัญญาณ CLK สัญญาณ SET คอื สญั ญาณท่ีทาํ ใหสถานะของเอาตพตุ มีคาเปน 1 ทันทีไดรับสัญญาณดังกลาว โดยท่ีไมสนใจวาในขณะน้ันมีสัญญาณ CLK เกิดข้ึนหรือไม เนื่องจากสัญญาณ SET มีลําดับ ความสาํ คัญทส่ี งู กวาสัญญาณ CLK จากผลลัพธขางตนของสัญญาณ CLR และสัญญาณ SET สรุปไดวาไมสามารถท่ีจะทําใหเกิด สัญญาณ CLR และ สญั ญาณ SET พรอมกนั ได เนอ่ื งจากสถานะของเอาตพ ตุ มคี า ออกมาตรงกันขาม กนั โดยเง่ือนไขท่ีเปนไปไดทั้งหมดของการเกดิ สญั ญาณทง้ั 2 คาเปน ดงั น้ี (กาํ หนดใหส ถานะ “ 1” คือ การสงสญั ญาณ และสถานะ “ 0” คอื ยงั ไมมีการสง สัญญาณ) กรณีท่ี 1 (CLR = 0, SET = 0): ยงั ไมมีการสง สญั ญาณ CLR และสญั ญาณ SET ดงั น้นั เอาตพ ตุ ที่ ไดจะขึน้ กับสญั ญาณ CLKและ อนิ พุต กรณที ่ี 2 (CLR = 0, SET = 1): มกี ารสงสญั ญาณ SET ดังนั้นเอาตพตุ ท่ีไดจะมีคา เปน 1 ทันทที ี่ ไดรับสญั ญาณ SET 131