ม2 พื้นฐาน เทอม 1 เล่ม 2

๒เลม ๑ ปริซมึ และทรงกระบอก การแปลงทางเรขาคณิต 60.-





พืน้ ทีผ่ ิวและปริมาตร 1 พ้ืนทีผ่ ิวและปริมาตร 1 รูปเรขาคณิตสามมติ ิ ส่ิงรอบตัวในชิีวิตประจ�ำวันของเราหลายสิ่งที่ส่วนประกอบมีลักษณะเป็นรูปเรขาคณิตสาม มิติ เช่น กล่องใส่กระดาษและตู้มีลักษณะเป็นทรงส่ีเหลี่ยมมุมฉาก ปิ่นโตและกระป๋องนมข้นหวานมี ลกั ษณะเปน็ ทรงกระบอก ไอศกรมี บรรจอุ ยใู่ นกรวยทท่ี ำ� จากแปง้ อบกรอบ ลกู โลกและลกู บอลมลี กั ษณะ ใกลเ้ คยี งกับทรงกลม ปริซึม ส่งิ ของรอบตวั เราหลายอย่างเป็นปรซิ ึม เชน่ กล้องสลบั ลายมีลักษณะเป็นปรซิ มึ สามเหลย่ี ม กล่องยาสีฟนั มลี กั ษณะเปน็ ปรซิ ึมสี่เหลีย่ มและอื่น ๆ มากมาย รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานท้ังสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บน ระนาบทข่ี นานกนั และด้านขา้ งแต่ละดา้ นเป็นรูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน เรยี กวา่ ปรซิึ มึ (prism) รูปข้างลา่ งนีเ้ ปน็ รูปของปรซิ ึมและส่วนตา่ ง ๆ ของปริซึม หนา้ ตดั หรือฐาน ด้านข้าง ดา้ นขา้ ง หน้าตดั หรือฐาน ส่วนสูง ปรซิ ึมตรง ปรซิ มึ เอยี ง เราเรยี กช่อื ปริซึมต่าง ๆ ตามลักษณะของฐานปรซิ ึม ดงั ตัวอยา่ ง ปริซึมสามเหลี่ยมด้านเท่า ปริซึมสี่เหลี่ยมจตั รุ สั ปริซึมส่เี หลีย่ มผืนผา้ ปรซิ มึ หา้ เหลย่ี ม

2 แบบฝึกหดั คณติ ศาสตร์ ม.3 (พน้ื ฐาน) ปรซิ มึ ทรงสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก ถา้ ทกุ หนา้ ของทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากเปน็ รปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั ทงั้ หมด เราจะเรยี กทรงสเี่ หลี่ยมมุมฉากน้วี ่า ลกู บาศก์ (cube) นอกจากปรซิ ึมท่มี ฐี านเป็นรปู เหล่ยี มดงั ขา้ งต้นแลว้ เราอาจพบปริซึมทม่ี ีฐานเป็นรูปเหลี่ยม ชนิดใด ๆ กไ็ ด้ เช่น แท่นรับรางวลั 1 3 2 ฐานหรือหน้าตดั ของปรซิ มึ ทรงกระบอก ทรงกระบอกเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีรูปร่างคล้ายกระบอกไม้ไผ่ที่ตัดเป็นท่อน มีหลาย ส่ิงที่มคี ำ� วา่ กระบอกอยู่ในชอ่ื เพ่ือบ่งบอกให้รวู้ ่ามสี ว่ นเกีย่ วขอ้ งกับทรงกระบอก เช่น เสื้อแขนกระบอก หนุ่ กระบอก หรอื ปลากระบอก นอกจากนร้ี อบ ๆ ตวั เรายงั มสี ง่ิ ของอกี หลายสง่ิ ทสี่ ว่ นประกอบเปน็ ทรง กระบอก เช่น แก้วน้�ำ แจกัน และถ่านไฟฉาย เปน็ ต้น รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีฐานสองฐานเป็นวงกลมท่ีเท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบ ท่ีขนานกัน และเมื่อตดั รูปเรขาคณิตสามมิตนิ ้ันด้วยระนาบทขี่ นานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็น วงกลมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการกบั ฐานเสมอ เรยี กรปู เรขาคณติ สามมติ นิ นั้ วา่ ทรงกระบอก (cylinder) รูปข้างลา่ งน้เี ป็นรปู ทรงกระบอกและส่วนตา่ ง ๆ ของทรงกระบอก หนา้ ตัดหรือฐาน แกน สว่ นสงู หนา้ ตดั หรือฐาน ทรงกระบอก ทรงกระบอกเอยี ง

พนื้ ท่ผี วิ และปริมาตร 3 พีระมิด ในชีวิตประจ�ำวัน นักเรียนอาจพบส่ิงก่อสร้างท่ีส่วนประกอบมีลักษณะเป็นพีระมิด เช่น หลังคายอดโดมของ ม. ธรรมศาสตร์ หลงั คาบา้ นและอาคารตา่ ง ๆ โดยท่ัวไปเมื่อกล่าวถึงค�ำว่าพีระมิด เรามักนึกถึงและเข้าใจว่าพีระมิดจะต้องมีฐานเป็นรูป สี่เหล่ียมจัตุรัสเช่นเดียวกันกับฐานของพีระมิดในประเทศอียิปต์เสมอ แต่ในทางคณิตศาสตร์และฐาน ของพีระมิดไมจ่ �ำเปน็ ตอ้ งเป็นรปู ส่เี หลยี่ มจัตรุ ัสกไ็ ด้ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลมท่ีไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน กับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหล่ียมท่ีมีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น เรียกว่า พีระมิด (pyramid) รปู ขา้ งลา่ งน้เี ปน็ รปู ของพีระมิดและส่วนตา่ ง ๆ ของพรี ะมิด ยอด สนั หนา้ ส่วนสงู เอียง หนา้ สว่ นสงู ของพีระมิด พีระมดิ ตรง ฐาน พีระมดิ เอียง เราเรียกชอื่ พีระมิดชนิดตา่ ง ๆ ตามลักษณะของฐานพรี ะมดิ ดงั ตวั อยา่ ง พีระมดิ ฐานส่ีเหลีย่ ม พีระมิดฐานหกเหล่ียม พีระมดิ ฐานสามเหลี่ยม

4 แบบฝกึ หัดคณิตศาสตร์ ม.3 (พื้นฐาน) กรวย สงิ่ ตา่ ง ๆ ทส่ี ว่ นประกอบมลี กั ษณะเปน็ กรวย สว่ นใหญเ่ ปน็ สงิ่ ทม่ี นษุ ยส์ รา้ งขนึ้ เชน่ กระโจม โคมไฟ หมวก และกระทงใบตองท่ีฝามลี กั ษณะเป็นกรวย รปู เรขาคณติ สามมติ มิ ฐี านเปน็ วงกลม มยี อดแหลมทไี่ มอ่ ยบู่ นระนาบเดยี วกนั กบั ฐาน และ เสน้ ทีต่ ่อระหวา่ งจดุ ยอดและจดุ ใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเสน้ ตรง เรยี กรูปเรขาคณิตสาม มิตินั้นวา่ กรวย (cone) รปู ข้างล่างนี้เป็นรปู ของกรวยและสว่ นต่าง ๆ ของกรวย ยอด สว่ นสงู ส่วนสงู เอียง สว่ นสูง แกน ฐาน กรวยตรง กรวยเอียง ทรงกลม ทรงกลมเปน็ รปู เรขาคณติ สามมติ อิ กี ชนดิ หนงึ่ ทนี่ กั เรยี นอาจพบเหน็ ไดจ้ ากสว่ นประกอบของ สิ่งทมี่ นุษยส์ ร้างขึ้น และสิ่งมีชวี ติ ท้ังพืช สตั ว์ ตลอดจนจลุ ชพี ท่ีไม่สามารถเห็นได้ดว้ ยตาเปลา่ เช่น ลูก เทนนสิ ลูกปงิ ปองและผลไม้ลกู กลม ๆ รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ม่ี ผี วิ โคง้ เรยี บ และจดุ ทกุ จดุ บนผวิ โคง้ อยหู่ า่ งจากจดุ คงทจ่ี ดุ หนงึ่ เปน็ ระยะเทา่ กนั เรียกว่า ทรงกลม (sphere) จุดคงทนี่ ั้นเรยี กวา่ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม ระยะที่เทา่ กันน้นั เรียกวา่ รัศมีของทรงกลม เมอื่ ตดั ทรงกลมดว้ ยระนาบผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของทรงกลม จะไดห้ นา้ ตดั เปน็ วงกลม เรยี กวา่ วงกลมใหญ่ รูปขา้ งล่างนีเ้ ปน็ รูปของทรงกลมและส่วนโค้งตา่ ง ๆ ของทรงกลม ผวิ โค้ง วงกลมใหญ่ เสน้ ผ่านศูนย์กลาง รศั มี จดุ ศนู ยก์ ลาง

พื้นที่ผวิ และปริมาตร 5 แบบฝึกความเข้าใจ 1 1. รปู คลใ่ี นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนเี้ ปน็ รูปคลี่ของปริซมึ ชนิดใด และประกอบรปู คลข่ี องปรซิ ึมนี้ 1) ตอบ.......................................................................................................................................................................................... 2) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 3) ตอบ....................................................................................................................................................................................

6 แบบฝึกหัดคณติ ศาสตร์ ม.3 (พน้ื ฐาน) 4) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 5) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 6) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 7) ตอบ....................................................................................................................................................................................

พนื้ ที่ผวิ และปรมิ าตร 7 8) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 9) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 10) ตอบ....................................................................................................................................................................................

8 แบบฝกึ หัดคณิตศาสตร์ ม.3 (พน้ื ฐาน) 2. ขอ้ ใดเป็นรปู ปรซิ มึ 1) 2) 3) 4) 5) 6)

พน้ื ท่ผี ิวและปริมาตร 9 3. รูปคล่ตี ่อไปนรี้ ปู ในขอ้ ใดเป็นรูปคลข่ี องทรงกระบอก ก. ข. ค. ง. รูปเรขาคณิตสามมติ ริ ปู ใดเปน็ ทรงกระบอก ก. ข. ค. ง.

10 แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ม.3 (พน้ื ฐาน) 4. รูปคลี่ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีเปน็ รูปคลข่ี องพีระมิดชนิดใด และประกอบรูปคลข่ี องพรี ะมดิ นี้ 1) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 2) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 3) ตอบ....................................................................................................................................................................................

พ้ืนท่ผี ิวและปรมิ าตร 11 4) ตอบ.................................................................................................................................................................................... 5) ตอบ....................................................................................................................................................................................

12 แบบฝกึ หัดคณิตศาสตร์ ม.3 (พืน้ ฐาน) 5. รปู แตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติรปู ใด และจงบอกสว่ นตา่ งๆ ทีก่ ำ� หนด 1 ปรซิ มึ .........................................................................................   คอื ................................................................................  คอื ................................................................................  2  ปรซิ ึม.........................................................................................  คอื ................................................................................  คอื ................................................................................  3  รูป................................................................................................  คอื ................................................................................  คอื ................................................................................   คือ................................................................................  4 รปู ................................................................................................  คือ................................................................................   คือ................................................................................   คอื ................................................................................   คือ................................................................................   คือ................................................................................ 

พืน้ ท่ผี วิ และปรมิ าตร 13 5  รปู ................................................................................................  คือ................................................................................  คอื ................................................................................  คือ................................................................................    คอื ................................................................................  6  รปู ................................................................................................  คือ................................................................................  คอื ................................................................................  คอื ................................................................................   คอื ................................................................................   คือ................................................................................  7 รปู ................................................................................................  คือ................................................................................   คือ................................................................................  คอื ................................................................................  

14 แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ม.3 (พื้นฐาน) 2 ปรมิ าตรของปริซึมและทรงกระบอก ปริมาตรของปรซิ มึ ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นปริซึมชนิดหน่ึงท่ีเรียกว่า ปริซึมส่ีเหลี่ยมมุมฉาก นักเรียนรู้จักการ หาปรมิ าตรของทรงสเ่ี หล่ียมมุมฉากมาแล้ว ดังนนั้ สูตรการหาปรมิ าตรของปรซิ มึ สีเ่ หล่ียมมุมฉาก จงึ เป็นสูตรเดียวกนั กับสูตรการหาปรมิ าตรของทรงส่เี หล่ียมมุมฉาก กล่าวคือ สูง กวา้ ง ยาว ปรมิ าตรของปรซิ มึ สเี่ หลีย่ มมมุ ฉาก = ความกว้าง x ความยาว x ความสงู = พน้ื ท่ีฐาน x ความสงู การหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมใด ๆ สามารถใช้วิธีการหาปริมาตรของสามเหลี่ยม มุมฉาก ดงั น้ี (ก) (ข) (ค) ตดั ปรซิ มึ สเ่ี หลยี่ มมมุ ฉากตามระนาบทแ่ี รเงา ดงั รปู (ก) จะไดร้ ปู เรขาคณติ สามมติ สิ องรปู ทมี่ ี ขนาดและรปู รา่ งอยา่ งเดยี วกนั รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ งั้ สองรปู เปน็ ปรซิ มึ สามเหลย่ี มมมุ ฉากทมี่ ปี รมิ าตร ดังรปู (ข) แตล่ ะรปู มีปริมาตรเป็นครึ่งหนงึ่ ของปรมิ าตรของปรซิ มึ ส่ีเหลีย่ มมุมฉากดังรปู (ค) ปรมิ าตรของปรซิ มึ สามเหล่ยี มมมุ ฉาก = 12 ของปริมาตรของปริซมึ ส่ีเหล่ยี มมมุ ฉาก

พ้ืนท่ผี วิ และปริมาตร 15 จากความจริงขา้ งตน้ ช่วยให้เราหาปริมาตรของปริซมึ สามเหลย่ี ม ASR ใด ๆ ได้ดงั นี้ B C A S DR แบง่ ปรซิ มึ สามเหลยี่ ม ASR เปน็ ปรซิ มึ สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ASD และปรซิ มึ สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ARD โดยตัดตามแนวระนาบ ABCD ดงั รปู สร้างปริซมึ สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก PQRS ใหม้ ปี ริซมึ สามเหลีย่ ม ASR เปน็ ส่วนหนง่ึ ดังรปู B C P AQ S DR ปริมาตรของปริซึมสามเหล่ียมมุมฉาก ASD เป็นคร่ึงหนึ่งของปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียม มมุ ฉาก ADSP และในท�ำนองเดียวกนั ปริมาตรของปริซึมสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ARD ก็เป็นคร่ึงหน่ึงของ ปรมิ าตรของปรซิ ึมส่ีเหลี่ยมมมุ ฉาก ADRQ ดงั น้นั ปริมาตรของปรซิ ึมสามเหลย่ี ม ASR จึงเปน็ ครึ่งหน่งึ ของปรมิ าตรของปริซมึ สีเ่ หล่ยี ม มุมฉาก PQRS นั่นคือ ปรมิ าตรของปรซิ ึมสามเหลีย่ ม ASP = 12 ของปรมิ าตรของปรซิ ึมส่เี หลย่ี มมุมฉาก PQRS ( )= 21 x (พ้นื ทข่ี อง PQRS x AB) = 21 x พ้ืนท่ีของ PQRS x AB = พนื้ ที่ของ ASR x AB = พื้นท่ฐี านของปริซมึ สามเหลยี่ ม ASP x ความสูง นน่ั คือ ปริมาตรของปริซึมสามเหลย่ี มใด ๆ = พ้ืนท่ฐี าน x ความสูง

16 แบบฝกึ หดั คณติ ศาสตร์ ม.3 (พื้นฐาน) เราสามารถนำ� สูตรการหาปริมาตรของปริซมึ สามเหลี่ยมใด ๆ ไปหาสูตรของปริซึมที่มีฐาน เปน็ รูปหลายเหล่ยี มไดโ้ ดยแบง่ ฐานของปรซิ มึ หลายเหล่ียมน้ันออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลาย ๆ รูป เช่น เราแบง่ ปรซิ ึมหา้ เหลีย่ ม ซ่ึงสูง h หน่วย ออกเปน็ ปริซึมสามเหล่ียม 3 รูป ดังน้ี 1 23 1 23 1 23 h h h ปรมิ าตรของปริซมึ หา้ เหล่ียม = ปรมิ าตรของปริซึม 1 + ปริมาตรของปรซิ มึ 2 + ปรมิ าตร ของปริซึม 3 = (พื้นที่ฐานของปริซึม 1 x h) + (พ้ืนท่ีฐานของปริซึม 2 x h) + (พื้นทีฐ่ านของปริซึม 3 x h) = [(พ้นื ทีฐ่ านของปรซิ มึ 1 + พน้ื ท่ฐี านของปริซึม 2 + พืน้ ท่ี ฐานของปริซึม 3)] x h = พน้ื ท่ฐี านของปรซิ มึ หา้ เหลย่ี ม x h โดยทัว่ ไป สตู รการหาปรมิ าตรของปริซึมเปน็ ดงั นี้ ปรมิ าตรของปรซิ ึมใด ๆ = พืน้ ทฐี่ าน x ความสูง

พนื้ ท่ีผิวและปริมาตร 17 ตวั อย่างที่ 1 จงหาปรมิ าตรของปริซมึ รูปต่อไปน้ี วธิ ีท�ำ 1. ปรซิ มึ รูปสามเหลี่ยม ปรซิ มึ รูปสามเหล่ยี ม = พน้ื ทฐี่ าน x สูง 8 20 ซ.ม. = 1122x0015ลูกxบ8าศxก2์เซ0นตเิ มตร 15 = 2. ปรซิ มึ รปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ 12 12 ปรซิ มึ รูปสามเหล่ียมด้านเท่า = พน้ื ท่ีฐาน x สูง 12 15 = 43 x (ด้าน)2 x สงู = 43 x 3 x 12 x 15 = 540 3 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร 3. ปรซิ ึมรปู สี่เหลย่ี มจตั ุรัส 10 ปริซมึ รูปสี่เหล่ยี มจตั ุรสั = พนื้ ทฐี่ าน x สูง 10 = 10 x 10 x 50 10 50 1 0 = 5000 ลูกบาศกห์ นว่ ย 4. ปริซึมรปู สามเหล่ียมด้านเท่า 8 ปริซึมรูปหกเหลย่ี มด้านเทา่ = พน้ื ทฐี่ าน x สงู 8 = 6x 43 x 8 x 8 x 10 8 = 960 3 ลกู บาศกห์ น่วย

18 แบบฝกึ หดั คณติ ศาสตร์ ม.3 (พ้นื ฐาน) ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาปริมาตรของปริซมึ ส่ีเหลี่ยมคางหมทู ่มี ีขนาดดังรูปต่อไปน้ี 13 24 9 7 วิธีทำ� จากรูป ฐานของปริซมึ เป็นรูปสเี่ หลี่ยมคางหมทู สี่ งู 9 หนว่ ย มดี ้านคูข่ นานยาว 7 หนว่ ยและ 13 หน่วย ความสงู ของปริซึม 24 หน่วย หาพ้นื ทฐี่ านของปรซิ มึ พน้ื ที.่ คางหมู = 21 x (ผลบวกดา้ นคขู่ นาน) x สงู = 12 x (7 + 13) x 9 = 90 ตารางหนว่ ย เน่อื งจาก ปรมิ าตรของปรซิ มึ = พื้นที่ฐาน x ความสูง = 90 x 24 = 2,160 ลูกบาศกห์ น่วย ตอบ ปริมาตรของปรซิ มึ สีเ่ หล่ยี มคางหมเู ท่ากับ 2,160 ลูกบาศก์หน่วย

พ้นื ท่ผี ิวและปริมาตร 19 ตัวอย่างท่ี 3 ท่อระบายน้�ำมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ 2 เมตร มีน้�ำไหลผ่าน เต็มท่อด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตรต่อวินาที จงหาปริมาตรของน้�ำเต็มท่อท่ีไหล ออกในเวลา 30 นาที วธิ ีท�ำ ปริมาตรของนำ�้ เต็มทอ่ ทไี่ หลออกในเวลา 1 วินาที คือปริมาตรของนำ้� ในปรซิ ึมสีเ่ หล่ยี มจัตรุ สั พ้ืนท่ฐี านรปู สเี่ หลี่ยมจตั รุ ัส = ด้าน x ดา้ น = 2 x 2 = 4 ตารางเมตร ปริมาตรของปริซมึ = พื้นท่ฐี าน x สูง = 4 x 1.5 = 6 ลูกบาศกเ์ มตร ในเวลา 1 วนิ าที ปริมาตรของนำ�้ เตม็ ทอ่ ที่ไหลออก = 6 ลูกบาศก์เมตร ในเวลา 30 นาที จะมนี ้�ำไหลออก = 6 x (30 x 60) = 10,800 ลกู บาศกเ์ มตร ตอบ ปริมาตรของนำ้� เต็มท่อที่ไหลออกในเวลา 30 นาทเี ท่ากบั 10,800 ลกู บาศก์เมตร ตัวอยา่ งที่ 4 จงหาปรมิ าตรของปรซิ ึมของรูปท่กี �ำหนดให้ 6 ซม. 7 ซม. 20 ซม. 16 ซม. วธิ ที �ำ จากรูป ฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหล่ียมด้านไม่เท่า แต่สามารถแยกรูปปริซึมน้ีออกเป็น ปริซึมสามเหลี่ยม และปริซึมส่ีเหล่ียมมุมฉาก จะได้ฐานของปริซึมสามเหลี่ยม มีความยาว 16 เซนตเิ มตร และความสงู 7 เซนติเมตร จะได ้ ปริมาตรปริซมึ สามเหล่ียม = พน้ื ท่ฐี าน x สงู = (21 x 16 x 7) x 20 = 1,120 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร ปริมาตร ปรซิ ึมสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉาก = พน้ื ทฐี่ าน x สูง = (16 x 20) x 6 = 1,920 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

20 แบบฝึกหดั คณติ ศาสตร์ ม.3 (พ้นื ฐาน) ดังนน้ั ปรมิ าตรของปริซึมท่ีมีฐานเป็นรูปหา้ เหลยี่ มด้านไมเ่ ทา่ = 1,120 + 1,920 = 3,040 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตอบ ปรมิ าตรของปรซิ ึมหา้ เหลีย่ มดา้ นไม่เท่า เท่ากับ 3,040 ลกู บาศก์เซนติเมตร ตัวอยา่ งท่ี 5 แปลงปลูกต้นไม้รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้ายาว 4.5 เมตร กว้าง 1.8 เมตร ต้องการท�ำ ทางเดินกว้าง 1 เมตร รอบนอกแปลงและให้สูงจากพื้นดิน 10 เซนติเมตร อยากทราบว่าจะตอ้ งใชด้ นิ เปน็ ปรมิ าตรเท่าใด วิธีทำ� 4.5 ม. 1.8 ม. 1 ม. 3.8 ม. 1 ม. 6.5 ม. แปลงปลูกต้นไม้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว 4.5 เมตร กว้าง 1.8 เมตร ต้องการท�ำทางเดินกว้าง 1 เมตร รอบนอกแปลง น่นั คือ จะได้แปลงปลูกตน้ ไมร้ วมทางเดินยาว = 4.5 + 2 = 6.5 เมตร ด้านกวา้ ง = 1.8 + 2 = 3.8 เมตร พื้นท่ีของแปลงปลูกต้นไม้เดิม = กว้าง x ยาว = 8.1 ตารางเมตร พน้ื ท่ีของแปลงปลกู ต้นไม้รวมทางเดิน = กวา้ ง x ยาว = 3.8 x 6.5 = 24.7 ตารางเมตร � พืน้ ที่สว่ นทเี่ ป็นทางเดนิ คิดเปน็ = 24.7 - 8.1 = 16.6 ตารางเมตร ตอ้ งการถมดนิ ให้บรเิ วณทางเดนิ สูงขึ้น 10 ซม. คิดเปน็ 0.1 เมตร ปรมิ าตรของทางเดนิ = พื้นที่ฐาน x ความสูง = 16.6 x 0.1 = 1.66 ลูกบาศกเ์ มตร ตอบ จะตอ้ งใชด้ นิ เป็นปรมิ าตร 1.66 ลูกบาศกเ์ มตร

พ้ืนท่ีผิวและปรมิ าตร 21 แบบฝึกหดั 2.1 1. จงหาปรมิ าตรของปริซึมตอ่ ไปน้ี (ความยาวทกี่ �ำหนดให้มหี น่วยเป็นเซนติเมตร) 1) .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 6 .................................................................................................................. 312 4 .................................................................................................................. 2) ................................................................................................................. 12 .................................................................................................................. .................................................................................................................. 16 .................................................................................................................. .................................................................................................................. 4 12 3) ................................................................................................................ .................................................................................................................. .................................................................................................................. 3 .................................................................................................................. 21.3.1 ..................................................................................................................

22 แบบฝึกหัดคณติ ศาสตร์ ม.3 (พื้นฐาน) 4) .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 8 .................................................................................................................. 5 10 .................................................................................................................. 1 4 .................................................................................................................. 5) .................................................................................................................. .................................................................................................................. 4 7 .................................................................................................................. 5 .................................................................................................................. 10 .................................................................................................................. 12 .................................................................................................................. 6) .................................................................................................................. 3 1 5 .................................................................................................................. .................................................................................................................. 4 3 .................................................................................................................. .................................................................................................................. 612 .................................................................................................................. 4 612

พน้ื ที่ผิวและปริมาตร 23 7) .................................................................................................................. .................................................................................................................. 1 1.4 .................................................................................................................. .................................................................................................................. พื้นท่ฐี า น 101.4 ตารางเซ นติเมตร .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 8) .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 8 .................................................................................................................. .................................................................................................................. พ้ืนท่ีฐาน 98 ตารางเซนตเิ ม ตร .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ..................................................................................................................

24 แบบฝกึ หัดคณติ ศาสตร์ ม.3 (พ้ืนฐาน) 9) .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 30 .................................................................................................................. 50 40 40 30 120 .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 10) .................................................................................................................. .................................................................................................................. 25 .................................................................................................................. 40 5 .................................................................................................................. 205 0 20 30 5 .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ..................................................................................................................

พ้นื ท่ผี วิ และปรมิ าตร 25 2. ปี๊บน�้ำมันพืชทรงส่ีเหลี่ยมใบหนึ่งมีฐานเป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 30 เซนติเมตร ปี๊บสูง 55 เซนติเมตร บรรจุน�้ำมันพืชเต็มปี๊บ ถ้าแบ่งน�้ำมันพืชใส่ถุง ถุงละ 0.75 ลิตร จนหมดปบี๊ จะไดน้ ้�ำมันพชื อยา่ งมากกถ่ี ุง .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 3. ถา้ อากาศ 1 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร หนัก 0.008 กรัม จงหาน�้ำหนกั ของอากาศซึง่ อยู่ในหอ้ งทีย่ าว 26 เมตร กวา้ ง 16.8 เมตร และสูง 5.5 เมตร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 4. อ่างเก็บน�้ำทรงสเ่ี หลย่ี มมุมฉาก ยาว 20 เมตร และกว้าง 12 เมตร ถา้ ต้องการเกบ็ น้ำ� ไว้ในอา่ ง 1,920 ลูกบาศกเ์ มตร ระดับนำ�้ จะต้องสงู จากก้นอา่ งเทา่ ไร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

26 แบบฝกึ หัดคณิตศาสตร์ ม.3 (พื้นฐาน) 5. พิชัยต้องการซื้อท่ีดินมาถมสนามหญ้าหน้าบ้านซ่ึงเป็นรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก กว้าง 18 เมตร ยาว 21 เมตร โดยยกระดับสงู กว่าเดมิ 20 เซนติเมตร ถา้ รถบรรทกุ ดินคนั หนงึ่ มีกระบะบรรทุก ยาว 3.5 เมตร กวา้ ง 2 เมตร สูง 1 เมตร จะตอ้ งซ้ือดนิ อยา่ งนอ้ ยก่ีคัน .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 6. คลองส่งน้�ำชลประทานมีหน้าตัดเป็นรูปทรงส่ีเหลี่ยมคางหมู ดังรูป การสร้างคลองยาว 12 กิโลเมตร จะต้องขดุ ดนิ ออกไปคิดเป็นปรมิ าตร 160,000 ลกู บาศก์เมตร คลองนีม้ ีความลึก โดยเฉล่ียก่เี มตร ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ 5 ม. ........................................................................................................ ส่วนลึก ........................................................................................................ 3 ม. ........................................................................................................ 7. แปลงปลูกต้นไม้รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้ายาว 4.5 เมตร กว้าง 1.8 เมตร ต้องการท�ำทางเดินกว้าง 1 เมตร รอบนอกแปลงและให้สูงจากพ้ืนดิน 10 เซนติเมตร อยากทราบว่าจะต้องใช้ดิน เปน็ ปริมาตรเท่าไร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

พืน้ ที่ผวิ และปริมาตร 27 8. บ่อเลี้ยงปลามีลักษณะเป็นปริซึม มีฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า และมีพ้ืนท่ี 6 ตารางเมตร บ่อลึก 1.35 เมตร ถ้าบ่อนี้ใส่น�้ำไว้ 7.5 ลูกบาศก์เมตร จงหาว่าระดับน้�ำ อยู่ตำ่� กวา่ ขอบบนของบ่อเทา่ ไร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 9. แม่น�้ำสายหน่ึงลึก 9 เมตร กวา้ ง 180 เมตร โดยเฉลย่ี น้�ำไหลลงทะเลดว้ ยอัตราเรว็ ประมาณ 4 กิโลเมตร/ช่วั โมง จงหาปรมิ าตรน้�ำท่ไี หลลงทะเลใน 1 วินาที .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 10. เสาต้นหน่ึงเป็นทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ซึ่งปลายเสาเป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสและมีด้านยาวด้านละ 20 เซนติเมตร ช่างไม้ตัดปลายเสาออกให้มีลักษณะดังรูป โดยตัวเลขที่ก�ำหนดไว้ในรูปแทน ความยาวและมีหน่วยเป็นเซนติเมตร ถ้าเดิมเสาต้นน้ียาว 1.5 เมตร เม่ือตัดเสาแล้วเสาต้นนี้ มปี รมิ าตรมากทส่ี ดุ กี่ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร 12 ........................................................................................................ 5 ........................................................................................................ ........................................................................................................ 8 12 ....................................................................................................... 20 ........................................................................................................ ........................................................................................................

28 แบบฝึกหดั คณิตศาสตร์ ม.3 (พืน้ ฐาน) ปรมิ าตรของทรงกระบอก เมื่อพิจารณารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า เร่ิมจากรูปสามเหล่ียมด้านเท่า รูปสี่เหล่ียม ดา้ นเทา่ รปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั รปู หา้ เหลยี่ มดา้ นเทา่ รปู หลายเหลยี่ มเพมิ่ ดา้ นไปเรอ่ื ย ๆ จะพบวา่ ยงิ่ จำ� นวน ดา้ นมากขน้ึ รปู หลายเหล่ียมดา้ นเทา่ มุมเทา่ นน้ั จะมรี ปู รา่ งใกลเ้ คยี งกับรปู วงกลมมากข้ึน นนั่ คือ ปรมิ าตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน x สูง ดังนัน้ ปรมิ าตรของทรงกระบอก = π r2h ลูกบาศก์หน่วย เมือ่ r แทนรัศมขี องรปู วงกลมท่ีเป็นฐาน และ h แทนความสงู ของทรงกระบอก หมายเหตุ : ใช้คา่ π ประมาณ 272 หรือ 3.14 ตัวอยา่ งที่ 1 สระน้�ำพุกลางสวนสาธารณะแห่งหนึ่งมีลักษณะเป็นทรงกระบอก วัดเส้น ผ่าศูนย์กลางภายในได้ 4 เมตร และวัดความลึกจากก้นสระถึงขอบสระได้ 80 เซนตเิ มตร สระนจ้ี ะจนุ ำ้� เตม็ ทใี่ นวนั ฝนตกหนกั ไดเ้ ทา่ ไร (กำ� หนดให้ π ≈ 3.14) วธิ ีท�ำ สสรระะนน�้ำ�ำ้ ลพึกมุ รี ศั80ม เี ทเซ่านกับติเ ม 42ตร= 2 เมตร = 0.8 เมตร ปริมาตรของทรงกระบอก = พ้ืนทฐ่ี าน x ความสงู = πr2 x 0.8 ≈ 3.14 x (2)2 x 0.8 ≈ 10.05 ลูกบาศกเ์ มตร ตอบ สระน้จี นุ �้ำไดเ้ ตม็ ทปี่ ระมาณ 10.05 ลกู บาศกเ์ มตร 2. รูปทรงกระบอกวัดเส้นผ่าศูนย์กลางได้ 20 เซนติเมตร และมีความสูง 15 เซนติเมตร ทรงกระบอกนจี้ ะมีปริมาตรเท่าใด ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................

พ้ืนที่ผวิ และปริมาตร 29 ตัวอยา่ งที่ 2 ถังเก็บน�้ำมันทรงกระบอกขนาดใหญ่มีรัศมียาว 19 เมตร เก็บน�้ำมันได้ 200,000 บารเ์ รล ถังเกบ็ นำ�้ มันนส้ี งู เท่าใด (กำ� หนดให้ 1 บาร์เรล ≈ 159 ลติ ร และ π ≈ 3.14) วิธที �ำ ถังเก็บน�้ำมนั มรี ศั มียาว 19 เมตร เก็บนำ้� มนั ได ้ 200,000 บารเ์ รล เนอื่ งจาก 1 บารเ์ รล เท่ากับปริมาตรประมาณ 159 ลติ ร ดงั น้ัน 200,000 บาร์เรล เทา่ กับปรมิ าตร 159 x 200,000 ลติ ร แต่ 1,000 ลติ ร เทา่ กบั ปริมาตร 1 ลกู บาศก์เมตร จะได้ 159 x 200,000 ลิตร เทา่ กับปรมิ าตร 159 1x,020000,000 ≈ 31,800 ลกู บาศก์เมตร ปรมิ าตรของทรงกระบอก = พ้นื ทฐ่ี าน x ความสงู = πr2 x h 31,800 = 3.14 x (19)2 x h h = 31,800 3.14 x 192 h ≈ 28 เมตร ตอบ น่ันคอื ถังเกบ็ น้ำ� มันสูงประมาณ 28 เมตร 2. ถังนำ�้ รปู ทรงกระบอก เส้นผา่ ศูนย์กลาง 42 เซนตเิ มตร มีความสูง 80 เซนตเิ มตร ตกั นำ้� ออก 40 ลติ ร จะเหลอื น�ำ้ ในถงั สงู เท่าไหร่ ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................

30 แบบฝึกหดั คณิตศาสตร์ ม.3 (พ้นื ฐาน) ตัวอย่างท่ี 3 จงหาพื้นท่ีฐานและปริมาตรของทรงกระบอก ซ่ึงมีรัศมีของฐาน และความสูง ตามกำ� หนด (ก�ำหนด π ปรมิ าณ 272 หรอื 3.14) วธิ ีทำ� 1. รัศม ี 14 เซนตเิ มตร สูง 1.5 เมตร พ้ืนท่ีฐานทรงกระบอก = πr2 = 12762 6 x ต1า4ราxงเ1ซ4นตเิ มตร = = 0.0616 ตารางเมตร ปริมาตรของถังทรงกระบอก = พนื้ ทีฐ่ าน x สงู = 0.0616 x 1.5 = 0.0924 ตารางเมตร 2. รัศม ี 20 นว้ิ ความสงู 50 นิ้ว พืน้ ที่ฐานทรงกระบอก = πr2 = 3.14 x 20 x 20 = 1256 ตารางนว้ิ ปริมาตรของทรงกระบอก = พ้ืนท่ีฐาน x สงู = 1256 x 50 = 62,800 ลูกบาศก์นิ้ว 3. รัศมี 49 นวิ้ ความสงู 10 นวิ้ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................

พน้ื ทผี่ ิวและปรมิ าตร 31 4. รัศมี 18 ฟุต ความสงู 20 ฟุต ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ตัวอยา่ งท่ี 4 ถังเก็บน�้ำรูปทรงกระบอก เส้นผ่านศูนย์กลางจนถึงขอบนอกวัดได้ 5.6 เมตร สูง 14 เมตร มีความหนา 0.20 เมตร สามารถบรรจนุ �้ำไดก้ ีล่ ิตร และถา้ ไมค่ ิด สว่ นฐาน จะตอ้ งใช้ปูนหลอ่ ถังเก็บน�้ำน้เี ป็นปรมิ าตรเทา่ ใด วธิ ีทำ� ถงั เก็บน้ำ� เสน้ ผ่านศูนย์กลาง 5.6 เมตร สงู 14 เมตร มคี วามหนา 0.20 เมตร � เส้นผา่ นศนู ย์กลางขอบใน = 5.6 - 0.40 = 5.2 เมตร รศั มีขอบในของถงั = 52.2 = 2.6 เมตร นัน่ คือ ปรมิ าตรภายในของถงั เก็บนำ้� = พื้นทฐี่ าน x สูง = πr2 h = 22792 7x.4(42.ล6กู)2บxาศ1ก4เ์ มตร ≈ ปริมาตรของถังขอบนอก = พืน้ ท่ฐี าน x สูง = 272 x (2.8)2 x 14 = จะตอ้ งใชป้ นู ในการหล่อถงั = ปริมาตรของถงั ขอบนอก - ปรมิ าตรของถงั ขอบใน = 344.96 - 297.44 = 47.52 ลกู บาศกเ์ มตร

32 แบบฝึกหดั คณติ ศาสตร์ ม.3 (พ้นื ฐาน) หรือใช้สตู ร ปรมิ าตรของปูนท่ีใช้หล่อ = ปรมิ าตรถงั ขอบนอก - ปริมาศถงั ขอบใน = πR2h - πr2h = πh (R2 - r2) 42772 . 5 x2 1ล4กู บ((า2ศ.8ก)์เ2ม-ต(ร2.6)2) = =

พน้ื ทผี่ ิวและปริมาตร 59 แบบฝกึ ความเขา้ ใจ 4 เลือกใชค้ า่ π ประมาณ 272 หรือ 3.14 ตามความเหมาะสม 1. ลกู ทมุ่ นำ�้ หนกั เหลก็ ทรงกลมลกู หนง่ึ มเี สน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง 18 เซนตเิ มตร ลกู ทมุ่ นำ�้ หนกั นม้ี ปี รมิ าตร เทา่ ใด .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 2. ก้อนไอศกรมี มีลักษณะเปน็ ทรงกลม ไอศกรีมชนิดเดียวกันสองกรวย กรวยแรกมไี อศกรมี 2 ลูก แตล่ ะลูกมีรัศมี 2.5 เซนติเมตร กรวยทีส่ องมีไอศกรีม 3 ลูก แต่ละลูกมีรัศมี 1.5 เซนติเมตร กรวยใดมีไอศกรีมมากกวา่ กนั .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 3. ลูกฟุตบอลลูกหนึ่งวัดความยาวรอบวงกลมใหญ่ได้ 66 เซนติเมตร ถ้าลูกฟุตบอลท�ำด้วย หนังหนา 0.5 เซนตเิ มตร จะจุลมไดก้ ีล่ ูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

60 แบบฝกึ หดั คณติ ศาสตร์ ม.3 (พื้นฐาน) 4. แตงโมผลหน่ึงมีรูปร่างใกล้เคียงทรงกลมมาก ความยาวรอบวงกลมใหญ่เป็น 55 เซนติเมตร เปลือกแตงโมหนา 1 เซนติเมตร เน้ือแดงของแตงโมจะมปี รมิ าตรก่ีลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 5. ชาวเอสกิโมอาศัยอยู่ในเขตหนาวจัดทางตอนเหนือของทวีปอเมริกา พวกเขาสร้างบ้านพักท่ี เรียกว่า อิกลู (Igloo) ด้วยก้อนน้�ำแข็งซ่ึงมีความหนาประมาณ 20 เซนติเมตร ลักษณะของ อกิ ลเู ปน็ ครงึ่ วงกลมและสูงประมาณ 2 เมตร จงหาปริมาตรของอากาศภายในอกิ ลู .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 6. จงหาปริมาตรของอากาศภายในลูกโลกจ�ำลอง ซ่ึงท�ำด้วยสังกะสี มีเส้นศูนย์สูตรยาว 25 เซนตเิ มตร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

พ้นื ที่ผวิ และปริมาตร 61 7. ห้องฉายดาวของท้องฟ้าจ�ำลองกรุงเทพ มียอดโดมเป็นคร่ึงวงกลม เส้นผ่าศูนย์กลางภายใน ของส่วนท่เี ปน็ ยอดโดมยาว 20.6 เมตร ฐานโดมเป็นทรงกระบอกสงู 3 เมตร จงหาปรมิ าตร ของอากาศภายในห้องฉายดาว .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 8. ก้อนขี้ผึ้งของทรงกลมสามลูก แต่ละลูกมีรัศมี 2 เซนติเมตร วางเรียงซ้อนกันอยู่ในแก้วทรง กระบอกทนความร้อนท่มี รี ัศมภี ายใน 2 เซนตเิ มตรเช่นเดียวกนั เม่อื ใหค้ วามร้อนจนกอ้ นขผ้ี ึง้ หลอมเหลวเป็นเนื้อเดียวกัน ขี้ผ้ึงเหลวจะสงู จากกน้ แก้วกีเ่ ซนติเมตร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

62 แบบฝกึ หดั คณติ ศาสตร์ ม.3 (พ้นื ฐาน) 9. แท่งตะก่ัวรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก กว้าง 14 ซม. ยาว 25 ซม. สูง 10 ซม. น�ำไปหลอมเป็น ลกู ปืนกลมขนาดเสน้ ผา่ ศูนย์กลาง 2 ซม. จะหลอมเป็นลกู ปนื ได้ประมาณกี่ลกู .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 10. ตะกั่วรูปทรงกลม 3 ลูก มีรัศมี 3, 4 และ 5 เซนติเมตร ตามล�ำดับน�ำมาหลอมเป็นตะก่ัว ทรงกลมลูกใหญ่จะไดต้ ะกัว่ ทรงกลมใหญ่รศั มีเท่าไร .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

พ้นื ทผ่ี ิวและปรมิ าตร 63 5 พนื้ ทีผ่ วิ ของปรซิ มึ และทรงกระบอก การหาพ้ืนที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติใด ๆ เป็นการหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิวท้ังหมดของรูป เรขาคณิตสามมติ นิ ัน้ พืน้ ที่ผิวของปรซิ มึ หาพน้ื ทข่ี องดา้ นขา้ งท้ังหมด รวมกบั พืน้ ที่ของฐานทง้ั สอง ตัวอย่างดงั รูปคลีน่ ี้ ฐาน ผวิ ขา้ ง ฐาน รปู คลข่ี องปริซมึ สเ่ี หล่ยี ม พืน้ ท่ีผิวของปรซิ มึ เทา่ กบั พ้ืนทท่ี ้ังหมดของรปู คลข่ี องปรซิ ึม นัน่ คือ พ้นื ท่ีผวิ ของปริซมึ = พื้นทีผ่ วิ ขา้ ง + พนื้ ทีห่ น้าตดั หวั ท้าย (หรือ 2 เทา่ ของพน้ื ท่ฐี าน) พ้นื ทผ่ี วิ ข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน x ความสูง หรือ พนื้ ทผี่ ิวขา้ งของปริซมึ สี่เหลีย่ มมุมฉาก = 2x (ความกว้าง + ความยาว) x ความสงู พนื้ ท่ผี วิ ของทรงกระบอก ฐาน ฐาน รูปคลขี่ องทรงกระบอก

64 แบบฝึกหัดคณติ ศาสตร์ ม.3 (พน้ื ฐาน) พื้นทีผ่ ิวของทรงกระบอก เทา่ กบั พนื้ ที่ทั้งหมดของรูปคลข่ี องทรงกระบอก นนั่ คอื พนื้ ทผี่ วิ ของทรงกระบอก ประกอบดว้ ยพนื้ ทผี่ วิ ขา้ งของทรงกระบอก และพน้ื ทฐ่ี าน ท้งั สองของทรงกระบอก ดังนั้น พื้นท่ผี ิวของทรงกระบอก = พื้นท่ีผิวดา้ นข้างของทรงกระบอก + พนื้ ท่ฐี านทั้งสอง ของทรงกระบอก ถา้ ทรงกระบอกมีสว่ นสงู ยาว h หนว่ ย และฐานมีรศั มียาว r หน่วย จะได้ พื้นที่ผิวดา้ นข้างของทรงกระบอก = 2πrh พนื้ ทีฐ่ านทง้ั สองของทรงกระบอก = 2πr2 ดังนั้น พ้ืนทผี่ ิวของทรงกระบอก = 2πrh + 2πr2 ตารางหนว่ ย หรอื = 2πr (h + r) ตารางหน่วย เม่ือ r แทนรศั มขี องฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสงู ของทรงกระบอก ตวั อย่างที่ 1 ห้องทรงสี่เหลีย่ มมมุ ฉากห้องหนง่ึ กว้าง 3 เมตร ยาว 4.5 เมตร และสูง 3 เมตร ถา้ ตอ้ งการทาสเี พดานและผนงั หอ้ งภายในทง้ั 4 ดา้ น บรเิ วณทที่ าสจี ะมพี น้ื ทเ่ี ทา่ ใด 3 4.5 3 วธิ ที ำ� หอ้ งกวา้ ง 3 เมตร ยาว 4.5 เมตร และสงู 3 เมตร ผนงั หอ้ งเปน็ รูปส่เี หลี่ยมมุมฉากมีสี่ดา้ น ดา้ นทอ่ี ย่ตู รงขา้ มมพี น้ื ทเี่ ทา่ กัน จะได้ พื้นที่ของผนังหอ้ งคูห่ น่งึ เทา่ กับ 2 x (ความกวา้ ง x ความสงู ) = 2 x (3 x 3) = 18 ตารางเมตร พน้ื ที่ของผนงั ห้องอีกคหู่ นึ่งเท่ากับ 2 x (ความยาว x ความสงู ) = 2 x (4.5 x 3) = 27 ตารางเมตร พ้นื ทข่ี องเพดานทีเ่ ปน็ รูปส่เี หลย่ี มผืนผา้ เทา่ กับ 3 x 4.5 ตารางเมตร = 13.5 ตารางเมตร ดังนนั้ บริเวณทท่ี าสมี ีพ้ืนท่ีเท่ากบั 18 + 27 + 13.5 = 58.5 ตารางเมตร ตอบ 58.5 ตารางเมตร

พนื้ ที่ผิวและปรมิ าตร 65 2. ตอ้ งการทาสผี นังห้อง และเพดาน ของหอ้ งกวา้ ง 4 เมตร ยาว 8 เมตร สูง 3 เมตร ถ้าตอ้ ง เสยี เงนิ คา่ จา้ งทาสตี ารางเมตรละ 150 บาท เขาจะตอ้ งเสยี เงนิ ทง้ั สน้ิ เทา่ ไร .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ตัวอยา่ งท่ี 2 ช็อกโกแลตก้อนหนึ่งมีลักษณะเป็นปริซึมสามเหลี่ยมหน้าจั่วดังรูป จะต้องใช้ กระดาษหอ่ ชอ็ กโกแลตท่ีมพี ื้นทอ่ี ย่างน้อยเทา่ ใด 5 ซม. 5 ซม. 12 ซม. 6 ซม. วธิ ีท�ำ 5 5 ก้อนช็อกโกแลตมีลักษณะเป็นปริซึมสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว ฐานของปริซึม เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจั่วท่ีมีฐานยาว 6 เซนติเมตร ด้านประกอบมุมยอด h แตล่ ะด้านยาว 5 เซนตเิ มตร ให้ h แทนความสงู ของรูปสามเหล่ยี มหน้าจ่ัว 6 จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได้ ( )h2 = 52 - 26 2 = 25 - 9 = 16 ดงั นั้น h = 4

66 แบบฝึกหัดคณติ ศาสตร์ ม.3 (พ้ืนฐาน) จจาะกไดร้ปู พทื้นี่กทำ� ขี่หอนงดฐใาหน้ปทร้งั ซิ สึมอสงงูเท ่า1ก2ับ เซน2ตxเิ ม(ต12รx 6 x 4) = 24 ตารางเซนตเิ มตร พ้นื ทขี่ องดา้ นขา้ งซงึ่ เป็นรปู ส่เี หล่ยี มผืนผ้าสามรปู เทา่ กบั (5 x 12) + (5 x 12) + 96 x 12) = 192 ตารางเซนติเมตร ดงั น้นั พ้ืนท่ผี ิวของปริซึมสามเหล่ยี มหนา้ จัว่ เทา่ กบั 24 + 192 = 216 ตารางเซนตเิ มตร นั่นคอื กระดาษท่ีใชห้ อ่ ตอ้ งมพี ้ืนทอ่ี ย่างน้อย 216 ตารางเซนตเิ มตร 2. ก�ำหนดกระโจมดังรปู (มีหนว่ ยเปน็ เมตร) จงหาพน้ื ทผ่ี ิวทั่ง้ หมด 6 6 20 6 .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

พ้ืนที่ผวิ และปรมิ าตร 67 ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาพนื้ ท่ีผิวของปริซึม ต่อไปน้ี วธิ ีทำ� 1. 10 5    8 6 พ้นื ทผ่ี วิ ท้ง่ั หมด = พ้นื ท่ดี า้ นข้างทั้งหมด + พื้นทฐ่ี าน 2 รปู พ้ืนทด่ี า้ นขา้ งเป็นรูป 3 รปู ได้แก่ พน้ื ท่ี สีเ่ หลย่ี มผืนผา้ กวา้ ง x ยาว รปู 1 = 5 x 6 = 30 ตารางหนว่ ย รปู 2 = 5 x 8 = 40 ตารางหนว่ ย รปู 3 = 5 x 10 = 50 ตารางหน่วย พืน้ ทฐ่ี านเปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก (มีด้าน 6, 8 และ 10) พน้ื ท่ีสามเหล่ียม = 212214xx ตฐ6าาxรนา8งxหสนงู ว่ ย = = � พืน้ ทผ่ี ิวท้งั หมด = พื้นท่ีด้านขา้ ง + พนื้ ท่ฐี าน 2 รปู = (30 + 40 + 50) + 2(24) = 120 + 48 � พ้ืนท่ผี วิ ทง้ั หมด = 168 ตารางหน่วย ตอบ 168 ตารางหน่วย

68 แบบฝึกหดั คณิตศาสตร์ ม.3 (พื้นฐาน) จงหาพน้ื ทผี่ วิ ทัง้ หมดของปริซึม ตอ่ ไปน้ี 21 13 12 35 16 ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................

พื้นทผ่ี วิ และปรมิ าตร 69 ตวั อยา่ งที่ 4 ปลากระป๋องยี่ห้อหนึ่งบรรจุในกระป๋องทรงกระบอกสูง 3.5 เซนติเมตร รัศมี ของฐานยาว 4.25 เซนตเิ มตร บริษทั ผลติ ปลากระป๋องได้วันละ 5,000 กระปอ๋ ง ถ้าการปดิ ฉลากด้านขา้ งกระปอ๋ งต้องมีสว่ นทซ่ี ้อนกันส�ำหรับทากาว 1 เซนตเิ มตร จงหาวา่ ในแตล่ ะวนั จะตอ้ งใชก้ ระดาษสำ� หรบั ทำ� ฉลาก คดิ เปน็ พน้ื ทอ่ี ยา่ งนอ้ ยเทา่ ไร (กำ� หนดให ้ π ≈ 3.14) วิธีทำ� ฐานกระปอ๋ งมรี ศั มี 4.25 เซนติเมตร ความยาวรอบฐานของกระป๋องเท่ากบั 2πr เซนติเมตร เม่ือ r แทนรศั มีของฐาน กระดาษท่ีใชป้ ิดดา้ นข้างกระป๋องมสี ่วนทากาว 1 เซนตเิ มตร ดังนั้น กระดาษทใ่ี ชป้ ดิ ดา้ นขา้ งกระป๋องยาว เทา่ กับ 2π (4.25) + 1 ≈ (2 x 3.14 x 4.25) + 1 ≈ 27.69 เซนติเมตร กระป๋องทรงกระบอกสูง 3.5 เซนติเมตร ดังนนั้ กระดาษทป่ี ิดดา้ นขา้ งกระป๋องหน่งึ กระปอ๋ งมพี ื้นทอ่ี ย่างน้อยประมาณ 3.5 x 27.69 ≈ 96.92 ตารางเซนติเมตร ผลติ ปลากระปอ๋ งวันละ 5,000 กระป๋อง ดงั นัน้ แตล่ ะวันต้องใชก้ ระดาษนอ้ ย ประมาณ 96.92 x 5,000 ≈ 484,600 ตารางเซนตเิ มตร น่นั คอื แต่ละวนั ต้องใชก้ ระดาษอยา่ งน้อย ประมาณ 484,600 ตารางเซนตเิ มตร ตอบ ประมาณ 484,600 ตารางเซนติเมตร ตวั อยา่ งท่ี 5 โลหะทรงกระบอกมีรัศมีทฐ่ี านยาว 7 ฟตุ สงู 16 ฟตุ จะมีพ้ืนทผี่ ิวทัง้ หมดเทา่ ไร วิธีท�ำ พื้นทผ่ี วิ ของทรงกระบอก = 2πrh + 2πr2 = 2πr (h + r) ≈ 274x827ต2ารxาง7ฟุต(10 + 7) ≈ ตอบ พนื้ ท่ผี ิวท้งั หมดประมาณ 748 ตารางฟุต

70 แบบฝกึ หัดคณติ ศาสตร์ ม.3 (พ้ืนฐาน) แบบฝกึ ความเข้าใจ 5 1. จงหาพื้นทผ่ี ิวของรปู เรขาคณติ สามมิตติ ่อไปนี้ (ความยาวทก่ี ำ� หนดให้มีหนว่ ยเปน็ เซนตเิ มตร) 1) ....................................................................................................................... 5 9 ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... 10.5 ........................................................................................................................ 12 ....................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... 2) ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ 5 ....................................................................................................................... 1.5 ........................................................................................................................ 4 ....................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ .......................................................................................................................

พืน้ ท่ผี ิวและปริมาตร 71 3) ....................................................................................................................... 12 ........................................................................................................................ 15 ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ 4 ....................................................................................................................... 12 ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... 4) ....................................................................................................................... 19 ........................................................................................................................ 10 28 ....................................................................................................................... 24 ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ .......................................................................................................................

72 แบบฝกึ หัดคณติ ศาสตร์ ม.3 (พืน้ ฐาน) 5) 8 ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ 23 ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ 12 ....................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ....................................................................................................................... 6) ........................................................................................................................ 3 7 ....................................................................................................................... 4 10 ....................................................................................................................... 11 ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ .......................................................................................................................

พน้ื ท่ผี ิวและปรมิ าตร 73 7) ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ 8 ....................................................................................................................... 14 ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... 8) 21 ....................................................................................................................... 7 ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... 20 ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ .......................................................................................................................