เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น เ พื อ เ พิ ม ผ ล สั ม ฤ ท ธิ O - N E T 1 . อั ต ร า ส่ ว น ต รี โ ก ณ มิ ติ 2 . ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟ ง ก์ ชั น 3 . ลํา ดั บ แ ล ะ อ นุ ก ร ม 4 . ส ถิ ติ ชื อ - ส กุ ล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ม . 6 / . . . . . . เ ล ข ที . . . . . . . ก ลุ่ ม ส า ร ะ ก า ร เ รี ย น รู้ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ โ ร ง เ รี ย น ส า ย นาํ ผึ ง ใ น พ ร ะ อุ ป ถั ม ภ์ ฯ
굄 ÃÒÊÇ‹ ¹µÃâÕ ¡³ÁµÔ Ô 1. 굄 ÃÒÊÇ‹ ¹µÃâÕ ¡³ÁµÔ Ô ถาให ABC เปน รูปสามเหล่ียมมมุ ฉากท่มี ีมมุ C เปน มมุ ฉาก และ B���C� เปนดานตรงขามมุม A ยาว a หนวย A���C� เปนดา นประชดิ มุม A ยาว b หนวย A���B� เปนดา นตรงขามมมุ ฉาก ยาว c หนวย จะได sin A = ความยาวของดา นตรงขา มมุม A เรยี กส้ันๆวา ขาม = a ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก ฉาก c cos A = ความยาวของดา นประชดิ มุม A เรียกส้ันๆวา ชิด = b ความยาวของดานตรงขา มมุมฉาก ฉาก c ความยาวของดาตรงขามมมุ A เรยี กส้ันๆวา ขาม = a = sin A tan A = ความยาวของดา นประชดิ มุม A ชดิ b cos A 1b cot A = tan A = a 1c sec A = cos A = b 1c csc A = sin A = a 2. ¡ÒûÃÐÂØ¡µ¢Í§ÍѵÃÒʋǹµÃÕ⡳ÁÔµÔ การประยกุ ตของอตั ราสวนตรีโกณมิติ จะใชในการแกปญหาเกี่ยวกับการหาระยะทางและความสูงที่ ไมสามารถหาไดดวยการวัดโดยตรง เชน ความสูงของหนาผา ความสูงของตนไม ความกวางของแมน้ํา เปน ตน ในการหาความสูงดังกลา ว จะมมี ุมกมหรอื มุมกดลง และมุมเงยหรือมมุ ยกขนึ้ เขา มาเกี่ยวของเสมอ มมุ กมหรือมุมกดลง คือ มมุ ที่วัดจากระดับสายตาลงมา มมุ เงยหรือมุมยกขึ้น คือ มุมทีว่ ดั จากแนว ระดบั สายตาข้ึนไป เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 1
¢ÍŒ Êͺ O-NET àÃÍ×่ § 굄 ÃÒÊÇ‹ ¹µÃâÕ ¡³ÁµÔ Ô 12 1. กาํ หนดให ABC เปน รูปสามเหลี่ยมที่มีมุม B เปนมุมฉาก ถา cot A = 5 แลว 10 csc A + 12 sec A มคี าเทาใด 2. csc 30° �csoins 31° csions3559°°� tan 55° มีคา เทา กบั เทา ใด 35° 3. ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมท่ีมมุ B เปนมมุ ฉาก และ cos A = 3 แลว cos(B − A) มีคา เทากับเทาใด 5 4. กําหนดให ABC เปน รปู สามเหลี่ยม ซึ่งมีมมุ A เปน มมุ ฉาก และมีมุม B = 30° ถา D และ E เปนจุดบน ดาน AB และ BC ตามลําดับ ซ่ึงทําให DE ขนานกับ AC โดยท่ี DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากบั ขอ ใดตอไปน้ี 1. 7.5 หนวย 2. 8 หนว ย 3. 8.5 หนว ย 4. 9 หนวย เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 2
5. กําหนดให ABC เปน รปู สามเหลย่ี มทมี่ ีมมุ C เปนมุมฉากและดา น BC ยาว 6 น้ิว ถา D เปน จดุ บนดาน AC โดยที่ BD�C = 70° และ AB�D = 10° แลว ดาน AB ยาวเทากบั ขอใดตอไปน้ี 1. 4√3 2. 5√3 3. 8 นว้ิ 4. 10 นว้ิ 6. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน BC ยาว 10√3 หนวย และดาน AB ยาวเทากับ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจุด C ไปต้ังฉาก AB ท่ีจุด D แลว จะไดวา CD ยาวเทากับ เทาใดตอไปน้ี 1. 5√2 หนว ย 2. 5√3 หนวย 3. 10√2 หนวย 4. 10√3 หนวย 7. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีมีมุม B เปนมุมฉาก มีมุม A เทากับ 30° และมีพ้ืนท่ีเทากับ 24√3 ตารางหนว ย ความยาวดาน AB เทากบั ขอ ใดตอไปน้ี 1. 12 หนวย 2. 14 หนว ย 3. 16 หนวย 4. 18 หนว ย 8. กาํ หนดให ABC เปน รูปสามเหลี่ยมทมี่ พี ้ืนที่เทากับ 15 ตารางหนวยและมีมุม C มมุ ฉาก ถา sin B = 3 sin A แลวดา น AB ยาวเทา กบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1. 5 หนวย 2. 5√3 หนวย 3. 5√2 หนว ย 4. 10 หนว ย เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 3
9. วงกลมวงหน่ึงมีรัศมี 6 หนวย และ A, B, C เปนจุดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผาน ศนู ยกลางของวงกลม และ CA�B = 60° แลวพน้ื ท่ขี องรปู สามเหลี่ยม ABC เทา กบั ขอ ใดตอไปนี้ 1. 12√3 ตารางหนวย 2. 17√3 ตารางหนวย 3. 16√3 ตารางหนวย 4. 18√3 ตารางหนวย 10. ถารูปสามเหล่ียมดานเทารูปหน่ึงมีความสูง 1 หนวย แลวดานของรูปสามเหล่ียมรูปนี้ยาวเทากับขอใด ตอ ไปนี้ 1. √3 หนว ย 2. 2 √3 หนวย 3. 4 หนวย 4. 3 หนวย 2 3 3 2 11. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหล่ียมท่ีมีมุม C เปนมุมฉาก และ cos B = 2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย 3 แลว พ้นื ทีข่ องรปู สามเหลยี่ ม ABC เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1. √5 2. √5 3. √5 4. √5 5 4 3 2 12. กาํ หนดให ABCD เปนรูปส่เี หลี่ยมผืนผาซ่ึงมีพ้ืนท่ีเทากับ 12 ตารางหนวย และ tan AB�D = 1 ถา AE 3 ตง้ั ฉากกับ BD ทจี่ ดุ E แลว AE ยาวเทากบั ขอ ใดตอไปนี้ 1. √10 หนว ย 2. 2√10 หนวย 3. √10 หนวย 4. 3√10 หนวย 3 5 2 5 เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 4
13. พจิ ารณารูปสามเหล่ียมตอ ไปน้ี โดยทมี่ ุม CF�E, CA�B, AE�B และ ED�B ตางเปนมมุ ฉาก ขอใดตอ ไปน้ผี ดิ 1. sin�1�� = sin�5�� 2. cos�3�� = cos�5�� 3. sin�2�� = cos�4�� 4. cos�2�� = sin�3�� 14. จากรูป ขอ ใดตอไปนี้ถกู ตอง 1. sin 21° = cos 69° 2. sin 21° = cos 21° 15. ขอ ใดตอ ไปนี้ถูกตอ ง 3. cos 21° = tan 21° 1. sin 30° < sin 45° 4. tan 21° = cos 69° 3. tan 45° < cot 45° 2. cos 30° < cos 45° 4. tan 60° < cot 60° 16. โดยการใชต ารางหาอัตราสวนตรโี กณมติ ิของมมุ ขนาดตางๆ ท่กี าํ หนดใหต อไปนี้ θ sin θ cos θ มุมภายในท่ีมีขนาดเล็กท่ีสุดของรูปสามเหล่ียมที่มีดาน 72◦ 0.951 0.309 ท้ังสามยาว 7, 24 และ 25 หนวย มีขนาดใกลเคียงกับ 73◦ 0.956 0.292 ขอใดมากท่ีสดุ 1. 15◦ 2. 16◦ 74◦ 0.961 0.276 3.17◦ 4. 18◦ 75◦ 0.966 0.259 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 5
17. กําหนดใหต าราง A ตาราง B และตาราง C เปน ตารางหาอัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ ขนาดตางๆ ดงั น้ี ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ 40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900 ถา รปู สามเหล่ยี ม ABC มมี ุม B เปนมมุ ฉาก มุม C มีขนาด 41° และสวนสูง BX ยาว 1 หนวย แลวความ ยาวของสว นของเสนตรง AX เปน ดังขอใดตอไปนี้ B 1. ปรากฏอยูใ นตาราง A 2. ปรากฏอยูในตาราง B 3. ปรากฏอยใู นตาราง C Ax C 4. ไมป รากฏอยูในตาราง A, B และ C 18. มุมมุมหน่ึงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีขนาดเทากับ 60 องศา ถาเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาว 3 − √3 ฟตุ แลว ดานที่ยาวเปน อันดบั สองมคี วามยาวเทา กับขอ ใด 1. 2 − √3 ฟตุ 2. 2 + √3ฟุต 3. 2√3 − 3ฟุต 4. 2√3 + 3ฟุต 19. กลองวงจรปดซึ่งถูกติดตั้งอยูสูงจากพ้ืนถนน 2 เมตร สามารถจับภาพไดตํ่าท่ีสุดท่ีมุมกม 45◦ และสูง ที่สดุ ทมี่ ุมกม 30◦ ระยะทางบนพ้นื ถนนในแนวกลอง ที่กลองนี้สามารถจบั ภาพไดค อื เทา ใด 1. 1.00 เมตร 2. 1.46 เมตร 3. 2.00 เมตร 4. 3.46 เมตร เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 6
20. กาํ หนดใหส ามเหล่ยี ม ABC มี B� = A� + C� ให D เปนจดุ ก่ึงกลางดาน AC ถา A = 20° แลว AD�B มี ขนาดเทา กับกี่องศา 1. 80° 2. 100° 3. 120° 4. 140° 21. กําหนดใหสามเหลี่ยมมุมฉาก AB�C มี C� = 90° ให D เปนจุดบนดาน AB ซ่ึงทําให CD ตั้งฉากกับ AB ถา AB ยาว 20 หนวย และ CD ยาว 8 หนว ย แลว AD มีความยาวมากท่ีสดุ กี่หนว ย 1. 10 2. 12 3. 14 4. 16 22. นาย ก และ นาย ข ยืนอยูบนพ้ืนราบซ่ึงหางจากกําแพงเปนระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามลําดับ ถานาย ก มองหลอดไฟบนกําแพงดวยมุมเงย α องศาในขณะท่ีนาย ข มองหลอดไฟดวงเดียวกันดวย มุม 90 - α องศา ถาไมค ดิ ความสูงของนาย ก และ นาย ข แลวหลอดไฟอยูส ูงจากพน้ื ราบกี่เมตร 1. 10 2. 10√2 3. 10√3 4. 20 23. ถา 2cos2θ + cos θ = 1 โดยท่ี 0 ≤ θ ≤ 90° แลว θ เปนมุมก่ีองศา เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 7
24. กาํ หนดใหส ามเหลี่ยม ABC มี AD เปน เสนความสงู โดยที่ D อยบู นดา น BC ถา ดาน AB ยาว 5 หนวย ดา น AD ยาว 3 หนว ย และ BA�D = AC�D แลวดาน BC ยาวกห่ี นวย 25. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมท่ีมีมุม C เทากับ 45 องศา และ D เปนจุดบนดาน BC ท่ีทําให AD เปน เสนความสูงของสามเหล่ียม ถาดาน BD ยาว a หนวย และ ดาน AB ยาว 3a หนวยแลว ดาน AC มี ความยาวเทา กับกี่หนว ย 1. 2a 2. √6a 3. 4a 4. 5a 5. 6a 26. ให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซ่ึงมี E เปนจุดก่ึงกลางของดาน CD ถามุม AE�B = 90° แลว sin BA� C มีคาเทากับขอ ใด 1. 1 2. 2 3. √3 4. √5 5. √5 √5 √5 5 3 4 27. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก ดาน BC ยาว a หนวย และดาน AC ยาว a + 8 หนวย ถา cot(90° − B) = 3 แลว a มีคา เทา กับขอ ใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 5. 6 เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 8
28. อิทธิยืนอยูบนยอดประภาคารสูง 30 เมตร เห็นเรือสองลําจอดอยูในทะเลทางทิศตะวันออกในแนว เสน ตรงเดียวกัน โดยทสี่ ายตาของเขาทาํ มุมกม α องศา เม่ือมองเรือลําทหี่ นึง่ และทํามุมกม β องศาเม่ือ มองเรือลําท่ีสอง ถาเรือสองลําอยูหางกัน 80 เมตร และ α + β = 90 องศา แลว เรือลําท่ีอยูไกลจาก ฝง ที่สดุ อยูหา งจากจดุ ทต่ี ้ังประภาคารกเี่ มตร 1. 90 2. 100 3. 120 4. 150 5. 170 »‚ 2558 1. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลม มีดาน AC เปนเสนผานศูนยกลาง ถา BA�C = 60° และดาน BC ยาว 10√3 หนวย แลว รัศมขี องวงกลมยาวเทา ใด 1. 5√3 หนว ย 2. 10 หนวย 3. 15 หนวย 4. 10√3 หนวย 5. 20 หนว ย 2. กาํ หนดใหวงกลมวงเลก็ และวงใหญม ีรัศมี a หนวย และ b หนว ย ตามลําดบั ถาเสนสัมผัสวงกลมท้ังสอง เสน ทํามุม 60° ดังรปู แลว อตั ราสว น a : b เทา กับเทาใด 1. 1 : 2 2. 1 : 3 3. 2 : 3 4. 3 : 5 5. 4 : 9 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 9
3. น้ําฝนปลูกไมดอก 2 ชนิด ภายในที่ดินรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป โดยปลูกกุหลาบในบริเวณภายในรูป สามเหลย่ี ม ABD และปลูกทานตะวันในบริเวณรูปสามเหล่ียม BCD ถาดาน AB และ BC ยาว 12 เมตร และ 10 เมตร ตามลําดบั แลว พน้ื ท่ที ปี่ ลกู ทานตะวันเทา กบั ก่ตี ารางเมตร 1. 6√3 2. 16 3. 10√3 4. 21 5. 24 4. ถาเงาของเสาธงท่ีทอดไปตามพื้นวัดไดยาว 14 เมตร และมุมเงยจากจุดปลายของเงาไปยังยอดเสาธงมี ขนาด A องศา แลว เสาธงสงู กเ่ี มตร (กาํ หนดให sin A = 0.6 และ cos A = 0.8) »‚ 2559 1. ความยาวของเสนรอบรปู ส่ีเหลี่ยมคางหมู ABCD ดงั แสดงในรูป ยาวก่หี นว ย 1. 18 + 10√3 หนว ย 2. 18 + 10�√2 + √3� หนวย 3. 26 + 10√3 หนวย 4. 26 + 10√2 หนวย 5. 26 + 10�√2 + √3� หนว ย เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 10
2. เสอื ดาวตัวหนง่ึ หมอบอยูบนพืน้ ดนิ หางโคนตน ไม (ในระดับเดียวกัน) 32 ฟุต ถาเสือดาวมองดูนกท่ีเกาะ อยูบนยอดไมเ ปนมมุ เงย A° แลว ตนไมส ูงกฟ่ี ุต (กําหนดให sin A = 0.6 และ cos A = 0.8) 1. 8 ฟตุ 2. 16 ฟุต 3. 18 ฟุต 4. 21 ฟตุ 5. 24 ฟตุ 3. สุทัศนย ืนมองจากหนาตางหองพักในตึก A ไปยังตึก B เขามองยอดตึก B เปนมุมเงย 45° และมองฐาน ตึก B เปนมมุ กม 30° ถา หนาตา งหอ งพกั อยสู ูงจากพ้นื ดนิ 20 เมตร แลวตกึ B สูงก่เี มตร 2. 20(1 + √13) เมตร 1. 20√3 เมตร 4. 20�1 + √3� เมตร 3. 20�1 + √2� เมตร 5. 60 เมตร 4. ถาความยาวของดานของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก เปน x , x + 2 และ x + 3 หนวย ดังรูป แลวความ ยาวของเสน รอบรูปสามเหล่ยี ม เปนเทา ใด 1. 8 + 3√6 เมตร 2. 8 − 3√6 เมตร 3. 1 + √6 เมตร 4. 1 − √6 เมตร 5. 11 + 6√6 เมตร 5. กําหนดส่ีเหล่ยี ม ABCD แสดงดังรปู โดยมีดา น AD ยาว 15√2 หนว ย แลวดา น AB ยาวก่ีหนวย เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 11
»‚ 2560 1. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ที่มีมุม C เปนมุมฉาก มี a และ b เปนความยาวของดาน ตรงขา มมมุ A และ B ตามลาํ ดับ ถา A� = 2B� แลวขอใดถูกตอง 1. b 2. a = √3b 3. a = √3b 4. a = √3b 5. a = 2b a=2 3 2 2. ปา ยโฆษณารูปส่ีเหล่ียมผืนผาอันหน่ึงติดอยูดานขางตึกสูง โดยท่ีขอบลางของปายขนานกับพื้น นักเรียน คนหนงึ่ ยืนอยูหา งจากตกึ เปนระยะทาง 60 เมตร ถา มมุ เงยของสายตาของนักเรียนท่ีมองจุดกึ่งกลางของ เสน ขอบบนของปาย มขี นาด 45 องศา แลวระยะหางจากจุดกึ่งกลางของเสนขอบบนถึงจุดก่ึงกลางของ เสน ขอบลางของปา ยโฆษณาเทา กบั ขอ ใด 1. 20 เมตร 2. 30 เมตร 3. 10√3 เมตร 4. 20√3 เมตร 5. 20�3 − √3� เมตร 3. เมอื่ วนิ ยั ยนื อยทู ี่โคนเสา A เขามองขน้ึ ไปบนยอดเสา B เปนมุมเงยขนาด 30 องศา และเมื่อวินัยยืนอยูท่ี โคนเสา B เขามองข้ึนไปบนยอดเสา A เปนมุมเงยขนาด 60 องศา ถาเสา A สูง 45 เมตร แลวเสา B สูง กเี่ มตร (กําหนดใหโ คนเสา A และ B อยบู นระนาบเดียวกัน และไมค ดิ ความสงู ของวนิ ัย) เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 12
»‚ 2561 1. กองยืนอยูบนตึกเหนือจุด A ท่ีอยูบนพื้นดิน และตาของกองอยูสูงจากจุด A 90 ฟุต เขามองลงไปยัง รถยนตที่จอดอยู ณ จุด B บนพ้ืนดิน โดยมุมท่ีแนวสายตาทํากับแนวเสนระดับเปนมุมกม มีขนาด 30° ดังรปู รถยนตคันนี้จอดอยหู า งจากจุด A กี่ฟุต 1. 90 ฟุต 2. 180 ฟตุ 3. 30√3 ฟุต 4. 60√3 ฟุต 5. 90√3 ฟตุ 2. ถนนสันติภาพและถนนเสรีภาพตัดกันเปนมุมฉากท่ีจุด C โรงเรียนตั้งอยูที่จุด A และรานคาตั้งอยูที่จุด B โดยมีซอยมิตรภาพเชื่อมระหวางจุด A และจุด B ดังรูป ถาการเดินทางจากโรงเรียนไปยังรานคา โดยใช เสนทางในซอยมิตรภาพเปนระยะทาง 800 เมตร แลวการเดินทางจากโรงเรียนไปยังรานคา โดยใช เสนทางตามถนนสันติภาพและถนนเสรีภาพ เปน ระยะทางกเ่ี มตร 1. 1,200 เมตร 2. 400 + 400√2 เมตร 3. 600√3 เมตร 4. 400 + 400√3 เมตร 5. 800√3 เมตร 3. สนามรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC ดังรูป โดย sin A = 3 5 4 และ cos A = 5 ถา สนามมีพ้ืนท่ี 54 ตารางเมตร แลว ความยาวรอบสนามนเี้ ทากบั กีเ่ มตร เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 13
¤ÇÒÁÊÁÑ ¾¹Ñ ¸á Åп§˜ ¡ª ¹Ñ 1. ¤ÍÙ‹ ¹Ñ ´ºÑ คอู ันดบั ใดๆจะเทา กันกต็ อเม่ือสมาชิกตวั หนาและสมาชิกตัวหลังเทากัน กลาวคอื (a, b) = (c, d) ก็ตอ เมื่อ a = c และ b = d ขอ สังเกต 1. (a, b) ≠ (b, a) ยกเวน a = b 2. (a, b) ≠ (c, d) ก็ตอเม่ือ a ≠ c หรือ b ≠ d 2. ¼Å¤³Ù ¤Ò÷ àÕ «Õ¹ ผลคูณคารทีเซยี น A และ B เขียนแทนดวย A × B (อา นวา เอคณู บี) ผลคณู คารท เี ซียน A และ B หมายถงึ เซตของคูอนั ดบั (x , y) ท้งั หมด โดยท่ี x เปนสมาชกิ ของ A และ y เปน สมาชิกของ B กลาวคอื A × B = {(x, y)|x ∈ A และ y ∈ B} ขอ สังเกต 1. โดยท่ัวไป A × B ≠ B × A ยกเวน A = B หรอื A = ∅ หรอื B = ∅ 2. n(A × B ) = n(A) × n(B) 3. A × B = ∅ ก็ตอเมื่อ A = ∅ หรอื B = ∅ 4. ถา A เปน เซตจํากดั ทไี่ มใชเซตวา ง และ B เปนเซตอนันต A × B และ B × A เปน เซตอนนั ต สมบัติของผลคณู คารทีเซียน 1. ถา A ⊂ B แลว A × C ⊂ B × C 2. ถา A ⊂ B และ C ⊂ D แลว A × C ⊂ B × D 3. ถา A ≠ ∅ และ A × B ⊂ A × C แลว B ⊂ C 4. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 5. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 6. A × (B − C) = (A × B) − (A × C) 7. (A − B) × C = (A × C) − (B × C) 8. (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B) × (A ∩ B) ขอ ควรระวงั เม่ือ A, B, C เปนเซตจาํ กัดทไ่ี มเปน เซตวาง หนา้ 14 1. A ∩ (B × C) ≠ (A ∩ B) × (A ∩ C) 2. A ∪ (B × C) ≠ (A ∪ B) × (A ∪ C) 3. (A × B) − C ≠ (A − C) × (B − C) เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2
3. ¤ÇÒÁÊÁÑ ¾¹Ñ ¸ ความสัมพันธเปนสบั เซตของผลคูณคารท เี ซียนระหวางเซตสองเซต นยิ ามแทนความสัมพันธด วย r r ⸦ A × B แสดงวา r เปนความสัมพันธจ าก A ไป B r ⸦ A × A แสดงวา r เปนความสมั พันธใน A ความสัมพันธเปนเซตที่มีสมาชกิ เปน คูอนั ดับ การเขียนแทนความสัมพันธจ ะเขยี นเปน เซตแบบแจกแจงสมาชกิ หรอื แบบบอกเงือ่ นไขก็ได 4. ¡ÃÒ¿¢Í§¤ÇÒÁÊÁÑ ¾¹Ñ ¸ กราฟของความสัมพันธ r หมายถึง เซตของจดุ ในระนาบซงึ่ แตล ะจุดแทนสมาชกิ ของความสมั พันธ 5. â´àÁ¹áÅÐàù¨¢Í§¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ เนื่องจากความสมั พนั ธ r เปน เซตทม่ี สี มาชิกเปนคูอันดับ เรียกเซตของสมาชิกตัวหนาในคูอันดับของ ความสัมพันธ R วาโดเมนของ r นิยมเขียนแทนดวย Dr ดังน้ัน Dr = {x|(x, y) ∈ r} เรียกเซตของสมาชิก ตัวหลงั ในคอู ันดบั ของความสมั พันธ r วาเรนจข อง r นิยมเขียนแทนดวย Rr ดังนน้ั Rr = {y|(x, y) ∈ r} 6.¿˜§¡ª ¹Ñ ฟงกชัน คือ ความสัมพันธที่สมาชิกตัวหนาในคูอันดับของความสัมพันธแตละตัวจับคูกับสมาชิกตัว หลงั ของความสัมพันธเพียงตัวเดียวเทา นั้น เชน AB AB แดง 5 −5 1 ดาํ 6 0− ขาว 8 50 จากภาพทั้งสองแสดงวา ความสมั พนั ธ r1 และ r2 ดังกลา วเปน ฟงกชนั AB ยางลบ สเี ขยี ว ปากกา สีสม จากภาพความสัมพันธ r3 ดงั กลา วไมเปนฟงกช ัน วิธีท่ีจะพิจารณาวา ความสมั พันธใ ดเปนหรอื ไมเ ปนฟงกช ันแยกเปนกรณีตางๆ ดงั น้ี ถามีคูอันดับอยา งนอย 2 คู ที่สมาชิกตัวหนา เหมอื นกนั แตส มาชิกตวั หลงั ไมเหมือนกันความสมั พันธ นั้นจะไมเ ปน ฟง กช นั หรอื วธิ ที ่จี ะพจิ ารณาวา ความสัมพันธใ ดเปน หรือไมเ ปนฟงกช ันแยกเปนกรณตี า งๆ ดังนี้ เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 15
1. ถา ความสมั พนั ธท่ีกาํ หนดใหเขียนแบบแจกแจงสมาชกิ หลกั การพจิ ารณา : ถาสมาชิกตัวหนาของแตละคูอันดับไมเหมือนกันเลย สรุปไดวาความสัมพันธนั้นเปน ฟงกชัน และถาสมาชิกตัวหนาเทากัน แตสมาชิกตัวหลังไมเทากัน สรุปไดวา ความสมั พันธน ไ้ี มเ ปนฟงกช ัน 2. ถา ความสัมพนั ธท่กี าํ หนดใหเขยี นแบบบอกเงื่อนไข หลักการพจิ ารณา อาจทาํ ไดด ังนี้ วิธีที่1 ถา r เปนความสมั พันธท ่ี (x, y) ∈ r เขียนในรูป y ในรูปของ x แลวพิจารณาคา y ถาแตละคาของ x หาคา y ไดเพียงคาเดียว สรุปไดวา r เปนฟงกชัน ถามีบางคาของ x ที่ทําใหหาคาของ y ไดมากกวา 1 คา สรปุ ไดว า r ไมเปน ฟงกช นั วิธีที่2 ถา r เปนความสัมพันธท่ี (x, ������1) ∈ r และ (x, ������2) ∈ r เขียน ������1 และ ������2 ในรูปของ x ถาสามารถ แสดงไดวา ������1 = y2 แสดงวา r เปนฟงกชัน ถา เปนกรณี ������1 ≠ y2 แสดงวา r ไมเ ปนฟง กชนั วธิ ีท่3ี โดยใชกราฟของความสมั พนั ธ ถา สามารถลากเสน ตรงทีข่ นานกบั แกน Y อยา งนอยเสนหน่ึงใหตัดกราฟ ของความสัมพันธมากกวา 1 จุด สรุปไดวาความสัมพันธนั้น ไมเปนฟงกชัน แตถาเสนตรงแตละเสนท่ีขนาน กบั แกน Y ตดั กราฟไดเ พยี งจดุ เดยี วเทานน้ั สรปุ ไดวาความสัมพนั ธน้นั เปน ฟงกชัน ขอตกลงเกีย่ วกบั สัญลักษณ ถา f เปนความสัมพันธท่ีเปนฟงกชันและ (x, y) ∈ f แลว จะเขียนแทน (x, y) ∈ f ดวย y = f(x) และอานวา วายเทากับเอฟที่เอกซ หรือ วายเทากับเอฟเอกซ เชน f = {(2,5), (3,8)(4,16)} เปนฟงกชัน และ (2,5) ∈ f เขยี นแทนดวย 5 = f(2) ดังน้ันจากขอตกลงเก่ียวกับสัญลักษณดังกลาว การเขียนฟงกชันในรูปเซตแบบแจกแจงของคูอันดับ อาจจะเขียนใหมในรูปเงือ่ นไข y = f(x) ไดด งั น้ี เชน f = {(x, y) ∈ R × R|y − 3x + 1 = 0} เขียนแทนไดเปน f(x) = 3x − 1 จาก f(x) = 3x − 1 จะไดวา f(1) = 3(1) − 1 = 2 หรือ f(−5) = 3(−5) − 1 = −16 เปน ตน สําหรับการหาโดเมนและเรนจข องฟง กช ันทําไดเ ชน เดียวกับการหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ เชน ฟง กชนั f = {(1, −1), (0,0), (−2,2)} จะไดโ ดเมนของ f คอื {1,0, −2} ตัวอยาง 1. กาํ หนดให A = {a, b, c} และ B = {0,1} ฟงกช ันในขอใดตอไปนี้ เปนฟงกช ันจาก B ไป A 1. {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 3. {(b, 1), (c, 0)} 2. {(0, b), (1, a), (1, c)} 4. {(0, c), (1, b)} 2. ความสัมพันธใ นขอ ใดเปน ฟงกชนั 3. {(1,3), (1,2), (1,1), (1,4)} 1. {(1,3), (2,3), (3,2), (2,4)} 4. {(1,3), (2,1), (3,3), (4,1)} 2. {(1,2), (2,3), (3,1), (3,3)} หนา้ 16 เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2
3. ความสัมพนั ธในขอใดเปนฟงกชัน 2. {(0,2), (1,1), (2,2), (3,0)} 1. {(0,1), (0,2), (2,1), (1,3)} 4. {(1,2), (0,3), (1,3), (2,2)} 3. {(1,1), (2,0), (2,3), (3,1)} 4. ถา f = {(1,0), (2,1), (3,5)(4,3)(5,2)} แลว f(2) + f(3) มคี าเทาใด 5. กําหนดให n(A) แทนจํานวนสมาชิกของเซต A ถา r1 = {(−1, −2), (0, −1), (1,2), (2, −3), (3,4)} และ r2 = {(x, y)||y + 1| = x} แลว n(r1 ∩ r2) เทา กับเทา ใด 6. แผนภาพของความสัมพันธในขอใดเปนฟงกชันที่มี {1, 2, 3, 4, 5} เปนโดเมน และ {1, 2, 3, 4} เปน เรนจ 7. ถา A = {1,2,3,4} และ r = {(������, ������) ∈ ������ ������ ������|������ ≤ ������} แลวจํานวนสมาชิกในความสัมพันธ r เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1. 8 2. 10 3. 12 4. 16 8. กําหนดให A = {1,2} และ B = {a, b} คูอันดับในขอใดตอไปน้ีเปนสมาชิกของผลคูณคารทีเซียน A×B 2. (b, a) 3. (a, 1) 4. (1,2) 1. (2, b) เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 17
9. กําหนดให r = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B และ b หารดวย a ลงตวั }ถา A = {2,3,5} ความสัมพันธ r จะเปนฟง กช นั เม่ือ B เทา กบั เซตใดตอ ไปนี้ 1. {3 , 4 , 10} 2. {2 , 3 , 15} 3. {0 , 3 , 10} 4. {4 , 5 , 9} 10. กําหนดให A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,2,3, … ,11,12}และ S = �(a, b) ∈ A × B�b = 2a + 2a� จํานวนสมาชิกของ S เทากับขอใดตอไปน้ี 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 11. ให A = {1 , 99} ความสมั พันธใ น A ในขอใดไมเ ปน ฟงกช ัน 1. เทา กับ 2. ไมเ ทา กนั 3. หารลงตวั 4. หารไมล งตัว 12. จากความสมั พนั ธ r ทแ่ี สดงดว ยกราฟดงั รูป ขอ ใดตอไปนีถ้ กู ตอง 1. r เปน ฟง กชนั เพราะ (1,1) , (2,2) และ (3,3) อยใู นแนวเสน ตรงเดยี วกัน 2. r เปน ฟง กช นั เพราะ มีจํานวนจุดเปน จาํ นวนจาํ กดั 3. r ไมเปน ฟงกชัน เพราะ มจี ดุ (3,3) และ (3,-1) อยูบนกราฟ 4. r ไมเ ปน ฟงกชนั เพราะ มีจุด (1,1) และ (-1,1) อยูบนกราฟ 13. จาํ นวนในขอใดตอ ไปนีเ้ ปนสมาชกิ ของโดเมนของฟงกช ัน y = x2 x + 2x−1 +3x+2 x2 − 1 1. -2 2. -1 3. 0 4. 1 เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 18
14. กาํ หนดใหกราฟของฟง กช นั f เปน ดังน้ี คาของ 11f(-11) – 3f(-3) f(3) คอื ขอ ใด 1. 57 2. 68 3. 75 4. 86 15. บริเวณท่ีแรเงาในขอ ใดเปน กราฟของความสมั พนั ธ {(x, y)|x ≤ y2, 0 ≤ y ≤ 1} 16. ถา f(x) = √3 − x และ g(x) = −2 + |x − 4| แลว Df ∪ Rg คือขอใด 1. (∞, 3] 2. [−2, ∞) 3. [−2, 3] 4. (−∞, ∞) เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 19
¿§˜ ¡ª¹Ñ àª§Ô àʹŒ ฟง กชันเชงิ เสน หมายถงึ ฟง กชันท่ีเขียนอยใู นรูปสมการ y = ax + b เมอ่ื a, b เปน จาํ นวนจรงิ ที่ a ≠ 0 กราฟของฟงกชันเชิงเสน y = ax + b จะเปนเสนตรงท่ีมีความชันเทากับ a จุดตัดแกน Y คือ (0, b) และ จุดตดั แกน X คอื �−ab , 0� ขอ สังเกต (1) ถา a > 0 กราฟจะเปน เสนตรงท่ีทาํ มุมแหลมกับแกน X เมอื่ วัดทวนเขม็ นาฬิกา (2) ถา a < 0 กราฟจะเปน เสนตรงท่ีทํามุมปานกับแกน X เม่ือวัดทวนเขม็ นาฬิกา (3) ถา b = 0 กราฟจะเปน เสนตรงที่มจี ุดตัดแกน X และจดุ ตัดแกน Y เปน จดุ เดียวกันคือ (0, 0) (4) กราฟเสนตรงทีข่ นานกันจะมีความชันเทา กัน (5) กราฟเสนตรงที่ต้ังฉากกนั จะมีผลคณู ของความชันเทากับ -1 ¿§˜ ¡ª¹Ñ ¡Òํ Å§Ñ Êͧ ฟงกชันกําลังสอง หมายถึง ฟงกชันที่เขียนอยูในรูป y = ax2 + bx + c เม่ือ a, b และ c เปน จํานวนจรงิ ใดๆ ที่ a ≠ 0 1. กราฟของฟงกชนั กาํ ลังสอง กราฟของฟงกชนั กําลังสอง เรียกวา พาราโบลา ลกั ษณะของกราฟของฟง กช นั กําลังสองขน้ึ อยูกบั คา ของ a, b และ c ถา a > 0 จะเปน กราฟหงายข้นึ ดังรปู ถา a < 0 จะเปนกราฟควํ่าลง ดงั รูป ฟงกชนั กําลงั สอง นอกจากเขียนอยใู นรปู y = ax2 + bx + c , a ≠ 0 แลว ยังเขยี นใหอยูในรปู ของ y = a(x − h)2 + k , a ≠ 0 4ac4−ab2� ถา เขยี นอยูในรปู y = ax2 + bx + c , a ≠ 0 จะไดจดุ วกกลับ คือ �− b , 2a b �−2ab�� ถา เขียนอยใู นรปู y = a(x − h)2 + k จะไดจ ดุ วกกลับ คือ�− 2a , f สําหรับกราฟหงายขึ้น จะเรียกจดุ วกกลบั วา จุดต่ําสดุ และคาตํ่าที่สดุ ค4aอื c4−abc42−ab2 สาํ หรับกราฟควํ่าลง จะเรยี กจุดวกกลบั วาจุดสูงสุด และคา สูงสดุ คือ 4a เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 20
ขอ สังเกต (1) ถา b = 0 และ c = 0 สมการจะเปน y = ax2 จะมจี ดุ วกกลบั คือ จุด (0, 0) (2) ถา b = 0 สมการจะเปน y = ax2 + c จะมจี ุดวกกลบั คือ (0, c) (3) สําหรบั สมการท่ีเขียนอยใู นรปู y = a(x − h)2 + k , a ≠ 0 ถา k = 0 สมการจะเปน y = a(x − h)2 จะมจี ดุ วกกลับคือ จดุ (h, 0) ถา k ≠ 0 สมการจะเปน y = a(x − h)2 + k จะมีจดุ วกกลับคือ จดุ (h, k) หมายเหตุ 1. กราฟพาราโบลาในขอ 1 และ ขอ 2 จะมแี กน Y เปนแกนสมมาตร หรือแกน Y เปนแกนของพาลาโบลา 2. กราฟพาราโบลาในขอ 3 จะมีเสนตรง x = h เปนแกนสมมาตร หรอื x = h เปน แกนของพาราโบลา 2. การนาํ กราฟไปใชใ นการไปแกสมการกําลังสอง 2.1 การนาํ กราฟไปใชในการแกอสมการ ในการแกสมการกาํ ลังสอง ax2 + bx + c = 0 โดยใชกราฟ สามารถทําไดโดยพิจารณาจากจดุ ตดั แกน X ของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมือ่ a ≠ 0 ดังนี้ 1) ถา กราฟไมต ัดแกน X แสดงวา สมการนัน้ ไมม คี ําตอบทเ่ี ปนจํานวนจริง 2) ถา กราฟตัดแกน X เพียง 1 จดุ แสดงวา สมการมคี ําตอบเปนจาํ นวนจริง 2 คาํ ตอบทเี่ ทากัน 3) ถากราฟตัดแกน X 2 จุด แสดงวา สมการมีคําตอบท่ีเปน จํานวนจรงิ 2 คําตอบ ไมเทากัน 2.2 การนาํ กราฟไปใชในการแกอสมการ ในการแกสมการกาํ ลงั สอง ax2 + bx + c ≤ 0 หรือ ax2 + bx + c ≥ 0 หรือ ax2 + bx + c < 0 หรือ ax2 + bx + c > 0 สามารถหาไดโ ดยใชกราฟดวยการพิจารณาจากกราฟตรงตําแหนงของ x ทีท่ าํ ให y ≥ 0 หรือ y ≤ 0 หรือ y < 0 หรอื y > 0 3. การแกป ญหาโดยใชความรูเรอ่ื งฟงกชนั กาํ ลงั สองและกราฟ สามารถนําความรูเ รือ่ งฟง กชันกําลงั สองและกราฟท่เี ขียนในรูปสมการ f(x) = ax2 + bx + c เมอื่ a ≠ 0 ไปใชในการแกป ญหาท่ีตองการหาคาสูงสุดหรือคาตํา่ สุดได การแกสมการและอสมการโดยใชกราฟ การแกสมการโดยพิจารณาจากกราฟ ทาํ ไดดังนี้ 1. ถากราฟไมต ดั แกน X จะไมม ีคําตอบท่ีเปนจาํ นวนจริง 2. ถากราฟตัดแกน X เพียงจุดใดจุดหน่ึงเพียง 1 จุด แสดงวามีคําตอบของสมการมีคําตอบเปนจํานวน จริง 2 คาํ ตอบท่ีเทากัน 3. ถากราฟตัดแกน X 2 จดุ แสดงวา สมการมคี ําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คาํ ตอบ ไมเทากนั เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 21
สําหรบั การแกอสมการโดยพิจารณาจากกราฟ ทําไดดังน้ี 1. ถาอสมการอยูในรูป f(x) < 0 หรือ f(x) ≤ 0 คําตอบของอสมการ คือ คา x ท่ีทําใหกราฟอยูใตแกน x หรอื คาํ ตอบของอสมการ คือ คา x ท่ที าํ ใหก ราฟอยใู ตแกน x และคา x ท่ีเปน จดุ ตัดแกน x 2. ถาอสมการอยูในรูป f(x) > 0หรอื f(x) ≥ 0คาํ ตอบของอสมการ คอื คา x ที่ทําใหกราฟอยูเหนือแกน x หรอื คําตอบของอสมการ คือ คา x ท่ีทาํ ใหก ราฟอยูเหนือแกน x และคา x ทีเ่ ปนจดุ ตัดแกน x ¿§˜ ¡ª ¹Ñ ÊÁ¡ÒÃàÍ¡«â ¾à¹¹àªÂÕ Å ฟงกช นั เอกซโ พเนนเชียลเขียนอยใู นรปู y = ax เมอื่ a > 0 และ a ≠ 1 กราฟจะมีลกั ษณะดังน้ี (1) ถา a > 1 Y จะพบวา เม่ือ x มีคาเพ่มิ ขน้ึ y จะมีคาเพิ่มขนึ้ (0,1) X (2) ถา 0 < a < 1 จะพบวา เม่ือ x มคี า เพิม่ ขนึ้ y จะมคี าลดลง Y (0,1) X (3) กราฟของ y = ax เม่ือ a > 0 และ a ≠ 1 จะผานจุด (0,1) เสมอ (4) โดเมนของฟงกชัน คือ เซตของจาํ นวนจริง เรนจของฟง กช นั คือ เซตของจาํ นวนจรงิ บวก (5) ax = ay กต็ อ เม่ือ x = y เมอ่ื a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลดังกลาว สามารถนํามาใชในการแกปญหาเก่ียวกับการเพิ่มของประชากร ผลตอบแทนจากการฝากเงนิ ท่ีมีดอกเบี้ยคงตัวได เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 22
¿§˜ ¡ª ¹Ñ ¤Ò‹ ÊÁÑ ºÃÙ ³ ฟงกช ันคา สัมบรู ณท ่ีกลาวถงึ จะเขยี นอยูในรูป y = | x − a| + b เมือ่ a และ b เปนจํานวนจริง ฟงกช นั คา สัมบูรณ y = | x − a| + b จะมี Dr = {x|x ∈ R} และ Rr = {y|y ∈ R และ y ≥ b} กราฟของฟงกชันคา สมบรู ณ สามารถนาํ ไปใชในการแกส มการที่อยูในรปู คา สมบรู ณไ ด เชน ตองการหาคา x จาก | x| = 2 ทาํ ไดดว ยการเขียนกราฟของ y1 = | x| และ y1 = 2 ดังนี้ y1 = |x| -2 2 X จากกราฟจะเหน็ ไดว า y1 = ������2 เมือ่ x = −2 หรือ x = 2 ดังน้นั | x| = 2 เม่ือ x = −2 หรือ 2 ¿§˜ ¡ª¹Ñ ¢¹้Ñ ºÑ¹ä´ ฟงกชันขั้นบันได เปนฟงกชันท่ีมีโดเมนเปนสับเซตของจํานวนจริง และคาของฟงกชันเปนคาคงตัว เปน ชว งๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟง กชนั ขนั้ บนั ได จะมีลกั ษณะคลายๆขัน้ บนั ได ตัวอยางของกราฟของฟงกชันขั้นบันได ไดแก อัตราคาบริการรถประจําทาง อัตราคาบริการ ไปรษณยี ภณั ฑ อัตราคาบรกิ ารกระแสไฟฟา เปน ตน เชน จงวาดกราฟของฟงกชัน 1;0 ≤ x < 2 y = �3 ; 2 ≤ x < 4 5;4 ≤ x < 6 จากฟง กชนั ท่ีกําหนดให จะพบวา คา y จะมี 3 คา ตามชวงของ x ซง่ึ วาดกราฟไดดงั รปู เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 23
¢ÍŒ Êͺ O-NET àÃÍ×่ § ¤ÇÒÁÊÁÑ ¾¹Ñ ¸á Åп§˜ ¡ª ¹Ñ 4. f ��29� < −6 »‚ 2549 1. กําหนดให f(x) = −x2 + 4x − 10 ขอ ความใดตอ ไปนีถ้ กู ตอง 1. f มีคา ต่ําสุดเทา กับ -6 2. f มีคา สูงสุดเทากับ 6 3. f ไมม คี าสงู สุด 2. ถา P เปนจุดวกกลับของพาลาโบลา y = −x2 + 12x − 38 และ O เปนจุดกําเนิด แลวระยะทาง ระหวางจุด P และจดุ O เทา กบั ขอใดตอไปน้ี 1. √10 หนวย 2. 2√10 หนว ย 3. √13 หนว ย 4. 2√13 หนวย 3. ฟง กชนั y = f(x) ในขอใดในกราฟดงั รูปตอไปน้ี Y y = f(x) 1. f(x) = 1 − |x| X 2. f(x) = |1 − x| (0,1) 3. f(x) = 1 + |x| 4. f(x) = |1 + x| »‚ 2550 1. พาราโบลารูปหนึ่งมีเสนสมมาตรขนานกับแกน Y และมีจุดสูงสุดอยูท่ีจุด (a, b) ถาพาราโบลารูปน้ีตัด แกน X ทจ่ี ุด (−1, 0) และ (5, 0) แลว a มคี าเทาใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 24
2. ถากราฟของ y = x2 − 2x − 8 ตัดแกน X ที่จุด A, B และมี C เปนจุดวกกลับแลวรูปสามเหลี่ยม ABC มีพน้ื ที่เทา กับขอ ใดตอไปนี้ 1. 21 ตารางหนวย 2. 27 ตารางหนวย 3. 24 ตารางหนว ย 4. 30 ตารางหนวย 3. กราฟของฟง กช ันในขอใดตอไปน้ี ตดั แกน X มากกวา 1 จดุ 4. y = �21�x 1. y = 1 + x2 2. y = |x| − 2 3. y = |x − 1| »‚ 2551 1. ทกุ x ในชวงใดตอไปน้ีที่กราฟของสมการ y = −4x2 − 5x + 6 อยเู หนอื แกน X 1. �− 2 , − 13� 2. �− 5 , − 23� 3. �14 , 76� 4. �12 , 32� 3 2 2. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก ถากราฟของฟงกชัน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx มลี กั ษณะดงั ทีแ่ สดงในภาพดังตอไปน้ี ขอใดตอ ไปนี้เปน จรงิ Y y2 = 1 + bx y1 = 1 + ax 1. 1 < a < b 2. a < 1 < b 2 3. b < 1 < a 1 4. b < a < 1 0X เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 25
3. ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟง กช ัน f(x) = −x2 + (k + 5)x + (k2 − 10) เม่ือ k เปน จํานวนจรงิ แลว f มคี าสงู สุดเทากับขอใดตอ ไปน้ี 1. -4 2. 0 3. 6 4. 14 4. กาํ หนดให f(x) = x2 − 2x − 15 ขอใดตอไปนี้ผิด 1. f(x) ≥ −17 ทกุ จํานวนจรงิ x 2. f�1 + √3 + √5� = f�1 − √3 − √5� 3. f�−3 − √2 − √3� > 0 4. f�−1 + √3 + √5� = f�−1 − √3 − √5� »‚ 2552 1. คา ของ a ทที่ าํ ใหกราฟของฟงกช นั y = a(2x) ผานจุด (3, 16) คือ ขอ ใดตอ ไปนี้ 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 2. ตองการลอมรว้ั รอบทด่ี ินรปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผาซ่ึงมพี ืน้ ที่ 65 ตารางวา โดยดานยาวของที่ดินยาวกวาสองเทา ของดานกวา งอยู 3 วา จะตองใชร ้ัวทมี่ คี วามยาวเทากบั ขอใดตอไปน้ี 1. 30 วา 2. 36 วา 3. 42 วา 4. 48 วา เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 26
3. เม่อื เขียนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท่ี a ≠ 0 เพือ่ หาคาํ ตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอ ใดตอไปนแี้ สดงวา สมการไมมีคําตอบเปนจํานวนจริง 1. 2. 3. 4. »‚ 2553 1. ถา f(x) = −x2 + x + 2 แลวขอสรปุ ใดถูกตอง 1. f(x) ≥ 0 เม่ือ −1 ≤ x ≤ 2 2. จดุ วกกลบั ของกราฟของฟงกชัน f อยูใ นจตุภาคที่สอง 3. ฟงกช นั f มีคาสงู สดุ เทา กับ 2 4. ฟง กช นั f มคี า ตํา่ สุดเทา กับ 2 2. รูปสามเหล่ียมมุมฉากรูปหน่ึง มีพ้ืนท่ี 600 ตารางเซนติเมตร ถาดานประกอบมุมฉากดานหนึ่งยาวเปน 75% ของดานประกอบมุมฉากอีกดานหน่ึงแลว เสน รอบรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากรูปนย้ี าวกเ่ี ซนตเิ มตร 1. 120 2. 40 3. 60√2 4. 20√2 เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 27
3. ขบวนพาเหรดรูปสี่เหลี่ยมผืนผาขบวนหน่ึง ประกอบดวยผูเดินเปนแถว แถวละเทาๆกัน (มากกวา 1 แถว และแถวละมากกวา 1 คน)โดยมีเฉพาะผูอยูริมดานนอกทั้งส่ีดานของขบวนเทาน้ัน ที่สวมชุดสีแดง ซึ่งมีทั้งหมด 50 คน ถา x คือจํานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คือจํานวนคนที่อยูในขบวน พาเหรดแลว ขอใดถูกตอ ง 1. 31x − x2 = N 2. 27x − x2 = N 3. 29x − x2 = N 4. 25x − x2 = N 4. รูปสี่เหลี่ยมผืนผาสองรูป มีขนาดเทากันโดยมีเสนทแยงมุมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานํารูป สเี่ หล่ยี มผืนผา ทง้ั สองมาวางตอ กนั ดงั รูปจุด A และจดุ B อยูหางกันเปนระยะกี่เทาของดา นกวาง A 1. 1.5 2. 3 B 3. √2 4. 2√2 CC C »‚ 2554 1. ขอใดตอ ไปนี้เปน ความสันพนั ธทีม่ ีกราฟเปนบรเิ วณท่ีแรเงา 1. {(x, y)||y| ≥ x} 2. {(x, y)||y| ≤ x} 3. {(x, y)|y ≥ |x|} 4. {(x, y)|y ≤ |x|} เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 28
2. ถา f(x) = 3 − √4 − x2 แลว ขอ ใดตอไปนี้ถกู ตอง 1. Df = [−2,2] และ Rf = [0,3] 2. Df = [−2,2] และ Rf = [1,3] 3. Df = [0,2] และ Rf = [0,3] 4. Df = [0,2] และ Rf = [1,3] 3. ถา f(x − 2) = 2x − 1 แลว f(x2) มีคาเทากับขอ ใดตอไปน้ี 1. 2x2 − 1 2. 2x2 + 1 3. 2x2 + 3 4. 2x2 + 9 4. พาราโบลารูปหนึ่งเปน กราฟของฟงชันก f(x) = 2x2 − 4x − 6 พจิ ารณาขอความตอ ไปนี้ ก. พาราโบลารูปน้มี แี กนสมมาตรคอื เสน ตรง x = −1 ข. พาราโบลารูปนี้มีจดุ วกกลับอยทู ี่จตุภาคที่ส่ี ขอใดตอไปนถ้ี กู ตอง 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด »‚ 2556 1. กัลยามีธุรกิจใหเชาหนังสือ เธอพบวา ถาคิดคาเชาหนังสือเลมละ 10 บาท จะมีหนังสือถูกเชาไป 100 เลม ตอ วนั แตถาเพมิ่ คาเชา เปน 11 บาท จํานวนหนังสอื ท่ีถกู เชา จะเปน 98 เลมตอวัน และถาเพิ่มคาเชา เปน 12 บาท จํานวนหนังสือที่ถูกเชาจะเปน 96 เลมตอวัน กลาวคือ จํานวนหนังสือที่ถูกเชาตอวันจะ ลดลง 2 เลม ทุกๆ 1 บาทของคาเชาท่ีเพมิ่ ขึ้น ถา x คอื จาํ นวนเงินสว นที่เพิม่ ข้ึนของคา เชา ตอ เลม และ y คือรายไดจากคา เชา หนังสอื ตอ วัน (หนว ย : บาท) แลว ขอ ใดคอื สมการแสดงรายไดตอ วนั จากธรุ กจิ นีข้ องกลั ยา 1. y = 1000 + 80x − 2x2 2. y = 1000 − 80x − 2x2 3. y = 1000 + 80x − x2 4. y = 500 − 40x − x2 5. y = 500 + 40x − x2 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 29
2. ถา f(x) = 1 แลว เรนจของ f คือเซตในขอใด |x|−1 1. {y|−1 < y ≤ 0} 2. {y|−1 ≤ y < 0} 3. {������|������ < −1 หรือ y > 0} 4. {������|������ < −1 หรอื y ≥ 0} 5. {������|������ ≤ −1 หรอื y > 0} 3. ถา y2 − x = 1 แลว xy2 มคี า นอ ยทีส่ ุดเทากบั ขอ ใด 1 1 1 1 1 4 2 1. − 2 2. − 4 3. − 8 4. 5. 4. โรงพิมพแหงหนึ่งคิดคาจางในการพิมพแผนพับแยกเปน 2 สวน คือ สวนท่ีหน่ึงเปนคาเรียงพิมพ ซึ่งไม ขึ้นกับจาํ นวนแผนพับทพี่ มิ พ กบั สวนที่สองเปนคาพิมพ ซึ่งข้ึนอยูกับจํานวนแผนพับท่ีพิมพ โดยโรงพิมพ เสนอราคาดังนี้ ถา สง่ั พิมพ 100 ใบ จะคิดคา จางรวมทั้งหมดเปนเงิน 800 บาท ถาสง่ั พมิ พ 200 ใบ จะคดิ คาจางรวมท้ังหมดเปนเงิน 1,100 บาท โรงพิมพค ิดคา เรียงพิมพก ี่บาท »‚ 2558 2. กราฟของ f ตัดแกน x แตไมตัดแกน y 1. ถา f(x) = x + |x| แลว ขอ ใดถูกตอง 4. กราฟของ f ตดั แกน x มากกวา 1 จุด 1. กราฟของ f อยูเหนือแกน x 3. กราฟของ f ตดั แกน y แตไ มตดั แกน x 5. กราฟของ f เปน เสนตรงท่ีผานจดุ (0, 0) เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 30
2. ถา f(x) = a√x + b โดยท่ี a และ b เปนจํานวนจรงิ บวก กราฟของ y = f(x) เปนดงั รูป ขอ ใดถูก 1. a + b = 4 2. f(x) = 4√x + 2 3. f(−x) = 3√4 − x 4. f(x2) = 2(x + 2) 5. [f(x)]2 = 4(x + 4) 3. ถา x + y = 1 แลว คา ต่ําสดุ ของ x2 + 2y2 = 1 เทา กบั เทาใด 2 10 14 1. 3 2. 1 3. 7 4. 9 5. 2 4. โยนกอ นหินขึ้นไปในแนวดงิ่ ดวยอัตราเร็ว 96 ฟุต/วินาที เม่ือเวลาผานไป t วินาที กอนหินอยูที่ความสูง h ฟุตจากพ้นื ดิน ถา ความสัมพันธระหวาง h และ t คือ h = 96t − 16t2 แลวชวงเวลาในขอใดที่กอน หนิ อยสู งู จากพื้นอยา งนอย 80 ฟตุ 1. 1 ≤ t ≤ 2 2. 1 ≤ t ≤ 5 3. 2 ≤ t ≤ 3 4. 2 ≤ t ≤ 4 5. 3 ≤ t ≤ 6 5. จากผลการวิเคราะหของโรงงานแหงหนึ่งพบวา เม่ือผลิตสินคา x (หนวย : รอยช้ิน) โรงงานจะไดกําไร P(x) โดยท่ี P(x) = ax2 + bx + c (หนวย : พันบาท) ถาไมผลิตเลย จะขาดทุน 5,000 บาท ถาผลิต 100 ช้ิน จะเทาทุน และถาผลิต 200 ชิ้น จะไดกําไร 3,000 บาท เพื่อใหไดกําไรสูงสุด โรงงานตองผลิต สนิ คาก่ชี ้นิ 1. 300 2. 320 3. 350 4. 360 5. 400 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 31
6. พรเทพขับรถออกจากเมือง A เม่อื เวลา 13:00 น. ดวยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรตอช่ัวโมง หลังจากนั้น 30 นาที สุธีขับรถออกจากเมือง A โดยมีจุดเร่ิมตนและใชเสนทางเดียวกับพรเทพ ดวยอัตราเร็ว 55 กโิ ลเมตรตอ ช่ัวโมง สธุ จี ะขับรถไปทันพรเทพเม่อื เวลาใด 1. 14:10 น. 2. 14:50 น. 3. 15:15 น. 4. 15:20 น. 5. 15:30 น. 7. เกษตรกรคนหนึ่งซื้อรถกระบะโดยผอนชําระเปนเวลา 4 ป ทางผูขายกําหนดใหผอนชําระเดือนแรก 5,500 บาท และเดือนถัดๆไป ใหผอนชําระเพิ่มข้นึ ทกุ เดอื น เดือนละ 400 บาท จนครบกาํ หนด ถา x คือจํานวนเงินท่เี ขาตองชําระในเดือนสดุ ทา ย และ y คอื จํานวนเงนิ ท่เี ขาชาํ ระไปใน 2 ปแรก (หนว ย : บาท) แลวขอ ใดถกู ตอ ง 1. x = 24,300 และ y = 242,300 2. x = 24,400 และ y = 242,400 3. x = 24,400 และ y = 242,000 4. x = 24,400 และ y = 243,900 5. x = 24,900 และ y = 243,900 »‚ 2559 1. มูลนธิ หิ น่ึงจัดสรรเงินจํานวนไมเกิน 100,000 บาท เปนทนุ การศกึ ษาสาํ หรบั นักเรียน ดงั น้ี ทุนสําหรบั นกั เรยี นมธั ยมตน ทนุ ละ 4,000 บาท ทุนสําหรับนกั เรยี นมธั ยมปลาย ทุนละ 6,000 บาท ถามูลนิธกิ ําหนดใหจาํ นวนทนุ สาํ หรบั นกั เรียนมัธยมตน เปนสองเทา ของจํานวนทนุ สําหรบั นักเรียนมธั ยม ปลาย แลวจาํ นวนทนุ รวมทงั้ หมดมีไดมากท่ีสุดก่ที นุ 1. 15 ทุน 2. 18 ทนุ 3. 21 ทนุ 4. 24 ทนุ 5. 27 ทนุ 2. กาํ หนดให f(x) = 4 − x2 และ g(x) = |x + 2| ขอใดถูก 1. Df = Dg และ Rf ⸦ ������������ 2. Df ∩ Dg = (−∞, ∞) และ Rf ∩ Rg = [0,4] 3. กราฟของ g ไมต ดั แกน X 4. กราฟของ f ตัดแกน X เพียงจุดเดียว 5. กราฟของ f ตัดกบั กราฟของ g เพยี งจุดเดยี ว เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 32
3. บริเวณทแี่ รเงา (ในรูป) เปนกราฟของความสัมพนั ธใ นขอ ใด 1. {(x, y)|1 ≤ x ≤ 3, x − 1 < y < 1 − x} 2. {(x, y)|1 ≤ x ≤ 3, x − 1 ≤ y ≤ 1 − x} 3. {(x, y)|1 < x ≤ 3,1 − x < y ≤ x − 1} 4. {(x, y)|1 < x ≤ 3,1 − x ≤ y < x − 1} 5. {(x, y)|1 < x ≤ 3,1 − x ≤ y ≤ x − 1} 4. นาํ ลวดยาว 32 เซนตเิ มตร มาดัดทําเปนโครงกลอง รูปทรงสี่เหล่ียมมุมฉากไดพอดี โดยมีดานขางทั้งสอง ดานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ x เซนติเมตร และโครงกลองยาว y เซนติเมตร ดังรูป ถา V เปน ปริมาตรกลอ ง (ลกู บาศกเซนตเิ มตร) แลว ขอใดถกู ตอ ง 1. V = 2x2(2 − x) 2. V = 2x2(3 − x) 3. V = 2x2(4 − x) 4. V = 4x2(2 − x) 5. V = 4x2(3 − x) 5. จากกราฟขางตน ขอใดผิด 1. 2x2 + 4x + 3 > 0 ทกุ จาํ นวนจรงิ x 2. y1 = y2 กต็ อเม่อื x = 0 หรือ x = 2 3. y1 < y2 กต็ อเมื่อ 0 < x < 2 4. จุดวกกลับของกราฟ y1 = 2(x − 1)2 + 1 อยูต ํ่ากวากราฟ ในแนวดงิ่ 2 หนวย 5. 2x2 − 4x + 3 = 0 มคี าํ ตอบเปนจาํ นวนจริง เพียงคาํ ตอบเดยี ว เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 33
6. จากกราฟ เซตคาํ ตอบของอสมการ x ≤ x(4 − x) คือชวงในขอ ใด 2 1. [0 , 2] 2. [0 , 2.5] 3. [0 , 3] 4. [0 , 3.5] 5. [0 , 4] 7. รา นคา แหง หนงึ่ ขายเสอ้ื สามแบบ คอื เสือ้ ยืด ราคาตัวละ 150 บาท เสื้อโปโล ราคาตัวละ 200 บาท และ เส้ือเชิ้ต ราคาตัวละ 300 บาท ถาจํานวนเส้ือยืดที่ขายไดเปน 4 เทาของเส้ือเช้ิต และจํานวนเสื้อโปโลท่ี ขายไดเปน 2 เทาของเสื้อเช้ิต ทําใหทางรานขายไดเงินท้ังหมด 26,000 บาท แลวเส้ือที่ขายไดมีจํานวน ท้งั หมดก่ตี วั »‚ 2560 1. รานขายเส้ือแหงหน่ึง ขายเส้ือราคาตัวละ 200 บาท หากซ้ือเสื้อตั้งแต 30 ตัวขึ้นไป จะไดสวนลด 20% ทุกตัว ถาเอมซ้ือเส้ือ 25 ตัว เปนเงินท้ังหมด a บาท และบีซ้ือเสื้อ 30 ตัว เปนเงินท้ังหมด b บาท แลว ขอใดถกู ตอ ง 1. a = b − 200 2. a = b + 200 3. a = b 4. a = b − 1000 5. a = b + 1000 2. กําหนดกราฟ 1. y = 3−x + 1 2. y = 3−x − 1 3. y = 3x 4. y = 3x + 1 5. y = 3x − 1 สมการในขอใดที่เปน ไปไดท ่ีจะมีกราฟดังรปู หนา้ 34 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2
3. กําหนดให f(x) = |x − 5| − 5 ขอ ใดไมถ กู ตอง 1. f(−6) = 6 2. f(−5) = 5 3. f(0) = 0 4. f(5) = −5 5. f(6) = −6 4. กําหนดให r = {(2a, a2)|a เปน จํานวนจรงิ } แลว คอู ันดบั ในขอ ใด เปน สมาชกิ ของ r 1. (−2 , −1) 2. (−1 , 1) 3. (1 , 1) 4. (2 , 2) 5. (4 , 4) 5. ถากราฟของ y1 = f(x) ตัดกราฟของ y2 = g(x) ทีจ่ ดุ (1 , 3) และ (4 , 5) ดงั รูป แลว เซตคําตอบของอสมการ f(x) < g(x) คือเซตในขอใด 1. (1 , 4) 2. (3 , 5) 3. (−∞ , 4) 4. (−∞ , 1) ∪ (4 , ∞) 5. (−∞ , 3) ∪ (5 , ∞) 6. สระวายนา้ํ “รกั สุขภาพ” คดิ คา บรกิ าร 2 แบบ คอื แบบท่ี 1 บุคคลทีไ่ มเ ปน สมาชกิ คดิ คา ใชสระวา ยน้ํา 40 บาท ตอ คร้ัง แบบท่ี 2 บุคคลท่ีเปนสมาชกิ คดิ คา สมาชิกรายป 2,000 บาท และคาใชสระวายนํ้า 15 บาท ตอคร้ัง ภายใน 1 ป จาํ นวนคร้งั ทน่ี อ ยที่สุดในการใชสระวายนํ้าใน 1 ป ที่ทําใหจํานวนเงินที่ตองจายทั้งหมดของบุคคลที่เปน สมาชกิ นอยกวา ของบุคคลที่ไมเ ปนสมาชกิ เทา กบั ขอใด 1. 79 คร้งั 2. 81 คร้ัง 3. 101 ครง้ั 4. 133 ครง้ั 5. 134 ครงั้ เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 35
7. ถากราฟของ f(x) = ax2 + bx + c ตัดแกน Y ที่จดุ (0 , 1) มีจุดวกกลบั ที่ (3 , 0) ดงั รปู แลว f(−6) เทา กับเทาใด »‚ 2561 1. ถา f เปน ฟง กชนั โดยที่ f(x) = −x2 + 4x − 6 แลว ขอใดถกู ตอง 1. คาสงู สดุ ของฟงกช ัน f คือ -6 2. คา สูงสุดของฟงกช ัน f คอื -2 3. คา สูงสุดของฟง กชัน f คอื 2 4. คา สงู สุดของฟงกช นั f คอื -2 5. คา สงู สุดของฟงกชัน f คือ 2 3. ถงั ใบหนึง่ มนี ้าํ อยู 100 ลิตร ตองการตักน้าํ ออกจากถงั โดย ครงั้ ทีห่ นึ่ง ตักนํ้าออก 10% ของปริมาตรนํ้าท่ีมีอยู ครง้ั ทีส่ อง ตักนํ้าออก 10% ของปริมาตรนํา้ ที่เหลืออยใู นถงั หลังจากการตกั นํ้าออกครัง้ ท่ีหน่งึ ครง้ั ท่ีสาม ตักนาํ้ ออก 10% ของปรมิ าตรนํ้าท่เี หลอื อยใู นถงั หลงั จากการตกั นํ้าออกคร้งั ท่ีสอง และ ตกั นา้ํ ออกในทํานองนี้ไปเรอื่ ยๆ ถา ให f(t) แทน ปรมิ าตรของนาํ้ ทีเ่ หลอื อยูในถังเมือ่ ตกั น้าํ ออกไป t คร้ัง แลวขอใดถูกตอง 1. f(t) = 100(0.10)t 2. f(t) = 100(0.30)t 3. f(t) = 100(0.70)t 4. f(t) = 100(0.90)t 5. f(t) = 100(1.10)t เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 36
4. กราฟของ y1 = f(x) และกราฟของ y2 = g(x) ตดั กันทจ่ี ุด (2 , −2) และจุด (4 , −2) ดงั รปู เซตคาํ ตอบของสมการ f(x) = |g(x)| คือเซตในขอ ใด 1. {−2 , 8} 2. {−2 , 2} 3. {0 , 6} 4. {2 , 4} 5. {2 , 8} 5. กาํ หนดให f(−11) + f(20) เทากับเทาใด เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 37
ÅÒํ ´ÑºáÅÐ͹¡Ø ÃÁ ÅÒํ ´ºÑ ลาํ ดบั คือ ฟงกชนั ท่ีมีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตวั แรก หรอื โดเมนเปน เซตของจาํ นวนเตม็ บวก ลําดับท่ีมโี ดเมนเปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวก n ตวั แรก เรียกวา ลาํ ดบั จาํ กัด ลําดบั ท่มี โี ดเมนเปน เซตของจาํ นวนเตม็ บวก เรยี กวา ลําดับอนนั ต ให f เปน ฟง กชนั ที่มโี ดเมนเปน เซตของจํานวนเตม็ บวก จะได f = ��1 , f(1)�, �2 , f(2)�, �3 , f(3)�, ⋯ , �n , f(n)�, ⋯ � เขียนแทนลาํ ดบั ไดด ังน้ี f(1) , f(2) , f(3) , ⋯ , f(n) , ⋯ หรอื เขียนแทนดว ย a1 , a2 , a3 , ⋯ , an โดยที่ f(1) = a1 แทนพจนท่ี 1 ของลําดบั f(2) = a2 แทนพจนท ่ี 2 ของลาํ ดบั f(3) = a3 แทนพจนท ่ี 3 ของลําดับ ⋮ f(n) = an แทนพจนที่ n ของลาํ ดบั เรยี ก an วา พจนท ี่ n หรอื พจนทว่ั ไปของลาํ ดบั ดังนนั้ ลาํ ดบั a1 , a2 , a3 , ⋯ , an มโี ดเมน เปน {1 , 2 , 3 , ⋯ , n} เรยี กลาํ ดับ a1 , a2 , a3 , ⋯ , an วา ลําดบั จํากัด และลาํ ดับ a1 , a2 , a3 , ⋯ , an , ⋯ มโี ดเมน เปน {1 , 2 , 3 , ⋯ , n , ⋯ } เรียกลาํ ดบั a1 , a2 , a3 , ⋯ , an , ⋯ วา ลาํ ดบั อนันต ลําดับตอไปนี้เปน ตัวอยา งของลาํ ดับจํากัด 1) 2 , 4 , 6 , ⋯ , 20 2) 5 , 10 , 15 , ⋯ , 50 3) an = 10n เมอ่ื n ∈ {1 , 2 , 3 , ⋯ , 10} ลาํ ดับตอไปน้ีเปนตัวอยางของลาํ ดบั อนันต 1) 2 , 4 , 6 , ⋯ , 2n , ⋯ 2) 1 , 2 , 3 , ⋯ , n , ⋯ 3) an = 10n เมื่อ n ∈ {1 , 2 , 3 , ⋯ } เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 38
µÇÑ Í‹ҧ 1. ถาผลบวกของ n พจนแ รกของอนุกรมหนงึ่ คอื Sn = 3n2 + 2 แลว พจนท ่ี 10 ของอนุกรมนี้มีคา เทา กับขอใดตอ ไปน้ี 1. 57 2. 82 3. 117 4. 302 2. มคี า เทา กบั ขอใดตอไปน้ี 3. 1400 4. 1450 1. 1300 2. 1350 3. ใน 40 พจนแ รกของลาํ ดับ an = 3 + (−1)n มีกี่พจน ทม่ี ีคาเทากับพจนที่ 40 1. 10 2. 20 3. 30 4. 40 4. ถา a เปน จํานวนจริงลบ และ a20 + 2a − 3 = 0 แลว 1 + a + a2 + ⋯ + a19 มคี าเทา กับขอ ใด ตอ ไปนี้ 1. -2 2. -3 3. -4 4. -5 5. ผลบวก 3 พจนแรกของลาํ ดบั an = (−1)n+1n เทากบั ขอ ใด n+1 7 5 7 11 13 1. − 12 2. − 12 3. 12 4. 12 5. 12 6. ถา a1 = 2, a2 = 1และ an+2 = an+1 + an เม่อื n = 1, 2, 3, ⋯ แลว a11 เทากับขอ ใด 1. 76 2. 113 3. 123 4. 199 5. 384 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 39
1. ÅÒํ ´ºÑ àÅ¢¤³µÔ áÅÐÅÒํ ´ºÑ àâҤ³µÔ 1.1 ÅÒํ ´ºÑ àÅ¢¤³µÔ บทนิยาม ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับท่ีพจนท่ี n + 1 ลบดวยพจนท่ี n เปนคาคงตัวคาเดียวกัน สําหรับทุกๆ n = 1, 2, 3, ⋯ เรียกคาคงตัวนี้วา ผลตางรวมของลําดับเลขคณิต เขียนแทนดวย ดังนั้น ลาํ ดบั a1 , a2 , a3 , ⋯ , an , ⋯ เปน ลําดับเลขคณิตก็ตอเม่ือมคี าคงตัว d ท่ีทาํ ให an+1 − an = d และ n = 1, 2, 3, ⋯ จาก an+1 − an = d จัดใหมจะได an+1 = an + d ถา ลาํ ดบั เลขคณติ มีพจนแ รก เทา กบั a1 และมผี ลตางรว ม เทา กับ d จาก an+1 = an + d จะได a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d ดงั น้ัน an = a1 + (n − 1)d จะไดร ปู ทว่ั ไปของลําดบั เลขคณติ จาํ กัดเปน a1, a1 + d, a1 + 2d, ⋯ , a1 + (n − 1)d และรูปทว่ั ไปของลําดับเลขคณติ อนนั ตเ ปน a1, a1 + d, a1 + 2d, ⋯ , a1 + (n − 1)d, ⋯ สรปุ ไดดงั น้ี พจนท ่ัวไปหรือพจนที่ n ของลาํ ดบั เลขคณิต คอื an = a1 + (n − 1)d เมอ่ื a1 เปน พจนแ รกของลาํ ดับ d เปน ผลตางรว ม และ n = 1, 2, 3, ⋯ µÑÇÍ‹ҧ 1. ถา ผลบวกและผลคณู ของสามพจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ ท่ีมี d เปน ผลตา งรวมเทา กับ15 และ 80 ตามลาํ ดบั แลว d2 มีคา เทากบั ขอใดตอไปนี้ 1. 1 2. 4 3. 9 4. 16 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 40
2. ปาจเุ รมิ่ ขายขนมครกในวันที่ 3 มกราคม ในวนั แรกขายไดกาํ ไร 100 บาท และในวนั ตอ ๆ ไปจะขาย ไดกําไรเพิ่มขน้ึ จากวันกอนหนาวันละ 10 บาท ทุกวนั ขอใดตอไปนี้เปน วันทข่ี องเดือนมกราคมที่ปา จุ ขายไดเ ฉพาะกาํ ไรในวนั น้นั 340 บาท 1. วันท่ี 24 2. วนั ที่ 25 3. วันที่ 26 4. วนั ท่ี 27 3. ถา a1, a2, a3, ⋯ เปนลาํ ดบั เลขคณติ ซง่ึ a30 − a10 = 30 แลวผลตา งรวมของลําดบั เลขคณิตน้ี มีคา เทา กบั ขอใดตอไปน้ี 1. 1.25 2. 1.5 3. 1.75 4. 2.0 4. พจนท ี่ 31 ของลําดบั เลขคณิต − 1 , − 1 , − 1 , ⋯ เทากบั ขอใดของขอ ตอ ไปนี้ 20 30 60 5 13 9 7 1. 12 2. 30 3. 20 4. 15 5. ลาํ ดบั เลขคณิตในขอใดตอไปนม้ี บี างพจนเ ทากับ 40 1. an = 1 − 2n 2. an = 1 + 2n 3. an = 2 − 2n 4. an = 2 + 2n 6. กําหนดให 23, 1, 1 , ⋯ เปนลาํ ดับเลขคณติ ผลบวกของพจนท่ี 40 และ พจนที่ 42 เทา กับขอ ใด 2 1. -18 2. -19 3. -37 4. -38 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 41
7. ถา พจนท ี่ 5 และพจนท่ี 10 ของลําดับเลขคณิตเปน 14 และ 29 ตามลําดับแลว พจนท่ี 99 เทากับขอใด 1. 276 2. 287 3. 296 4. 297 5. 299 8. ลาํ ดับ −24, −15, −6, 3, 12, 21, ⋯ , 1776 มกี ่ีพจน 4. 202 5. 203 1. 199 2. 200 3. 201 9. ลาํ ดับเลขคณิต −43, −34, −25, ⋯ มพี จนท ่ีมคี านอ ยกวา 300 อยูก่ีพจน 1.2 ÅÒํ ´ºÑ àâҤ³µÔ บทนยิ าม ลาํ ดบั เรขาคณิต คือ ลําดับท่อี ัตราสว นระหวางพจนท ี่ n + 1 และพจนท ี่ n มคี าคงตัว คาเดยี วกนั สําหรับทุกๆ n = 1, 2, 3, ⋯ เรยี กคาคงตัวนว้ี า อตั ราสวนรวมของลําดบั เรขาคณิตเขยี นแทนดว ย r (r ≠ 0) ดงั นน้ั ลําดับ a1 , a2 , a3 , ⋯ , an , ⋯ เมื่อ a1 ≠ 0 เปนลําดับเรขาคณิตก็ตอเม่ือมีคา คงตวั r ที่ทาํ ให an+1 ÷ an = r , r ≠ 0 และ n = 1, 2, 3, ⋯ จาก an+1 ÷ an = r จดั ใหมจ ะได an+1 = a1r เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 42
ถา ลําดับเรขาคณติ มีพจนแ รก เทากบั a1 และมีอตั ราสว นรวม เทา กับ r จาก an+1 = a1r จะได a2 = a1r a3 = a2r = a1r2 a4 = a3r = a1r3 ดงั นน้ั an = a1rn−1 จะไดร ูปทว่ั ไปของลําดบั เรขาคณิตจาํ กัดเปน a1, a1r, a1r2, ⋯ , a1rn−1 และรูปทว่ั ไปของลาํ ดับเรขาคณติ อนันตเ ปน a1, a1r, a1r2, ⋯ , a1rn−1, ⋯ สรุปไดด งั นี้ พจนทั่วไปหรือพจนท่ี n ของลําดับเรขาคณิต คือ an = a1rn−1 , a1 ≠ 0 และ r ≠ 0 เม่ือ a1 เปน พจนแ รกของลําดับ r เปน อัตราสวนรว ม และ n = 1, 2, 3, ⋯ µÑÇÍ‹ҧ 1. ลําดบั เรขาคณิตในขอใดตอไปน้ี มอี ัตราสว นรวมอยใู นชวง (0.3, 0.5) 5 25 4 8 9 16 1. 3, 4 , 48 , ⋯ 2. 2, 3 , 9 , ⋯ 3. 4, 3, 4 , ⋯ 4. 5, 4, 5 , ⋯ 2. ลาํ ดับในขอใดตอไปนี้ เปน ลําดับเรขาคณิต 2. an = 3n2 1. an = 2n ∙ 32n 3. an = 2n + 4n 4. ������������ = (2������)������ 3. พจนที่ 16 ของลาํ ดบั เรขาคณิต 1 , 1 , 1 ,⋯ เทา กบั ขอใดตอไปน้ี 625 125√5 125 1. 25√5 2. 25 3. 125√5 4. 625 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 43
4. กําหนดให a1 , a2 , a3 , ⋯ เปนลาํ ดบั เรขาคณติ พิจารณาลําดบั สามลําดับตอ ไปนี้ (ก) a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ⋯ (ข) a1a2 , a2a3 , a3a4 , ⋯ (ค) 1 , 1 , 1 , … a1 a2 a3 ขอ ใดตอ ไปน้ีถูก 1. ทัง้ สามลาํ ดบั เปนลําดบั เรขาคณิต 2. มลี ําดบั หน่งึ ไมเปนลาํ ดับเรขาคณติ 4. ทัง้ สามลาํ ดับไมเปน ลาํ ดบั เรขาคณติ 3. มสี องลาํ ดบั ไมเปนลาํ ดับเรขาคณิต 5. กาํ หนดให a1 , a2 , a3 เปน ลาํ ดับเรขาคณิต โดยท่ี a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คือคา ในขอใดขอ หน่ึงตอ ไปน้ีแลวขอดังกลาวคือขอใด 1. 20 2. -50 3. 60 4. 100 6. ลาํ ดับเรขาคณิตลาํ ดับหน่งึ มีผลบวกและผลคูณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตามลาํ ดับ ถา r เปน 1 อัตราสว นรวมของลาํ ดับนแ้ี ลว r + r มคี าเทากบั ขอใดตอ ไปน้ี 7 1. 10 2. 3 3. 4 4. 1 3 3 3 2. ͹¡Ø ÃÁàÅ¢¤³µÔ áÅР͹¡Ø ÃÁàâҤ³µÔ หนา้ 44 2.1 ͹ءÃÁàÅ¢¤³Ôµ บทนยิ าม ถา a1 , a2 , a3 , ⋯ , an เปนลําดับจํากัดแลว เราเรียกวา a1 + a2 + a3 + ⋯ + an วาเปน อนกุ รมจาํ กัด เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2
ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเขียนแทนดว ย S มคี วามหมายดงั น้ี S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 ⋮ Sn = a1 + a2 + a3 + ⋯ + an อนกุ รมทไี่ ดจากลาํ ดบั เลขคณิต เรยี กวา อนุกรมเลขคณิต และผลตา งรว มของลาํ ดบั เลขคณิต จะเปน ผลตา งรว มของอนุกรมเลขคณติ ดว ยเชน กนั ถา a1, a1 + d, a1 + 2d, ⋯ , a1 + (n − 1)d เปน ลาํ ดบั เลขคณติ แลว a1, (a1 + d), (a1 + 2d), ⋯ , [a1 + (n − 1)d] จะเปน อนกุ รมเลขคณิต สามารถหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต ไดดังนี้ Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ⋯ + [a1 + (n − 1)d] ผลของ n พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิต n Sn = 2 (a1 + an) n หรือ Sn = 2 {2a1 + (n − 1)d} µÑÇÍ‹ҧ 1. กําหนดให S = {101, 102, 103, ⋯ , 999} ถา a เทา กบั ผลบวกของจํานวนคีท่ ัง้ หมดใน S และ b เทา กับผลบวกของจาํ นวนคูทงั้ หมดใน S แลว b − a มีคา เทากบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 1. -550 2. -500 3. -450 4. 450 2. ถา a1 , a2 , a3 , ⋯ เปน ลําดบั เลขคณิตซึง่ a2 + a3 + ⋯ + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + a3 + ⋯ + a10 มคี า เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1. 120 2. 125 3. 130 4. 135 เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 45
3. คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ⋯ + 101 เทา กับขอ ใดตอไปน้ี 1. 970 2. 1020 3. 1050 4. 1071 4. ในสวนปาแหงหนึ่ง เจา ของปลกู ตน ยูคาลิปตัสเปน แถวดังนี้ แถวแรก 12 ตน แถวที่สอง 14 ตน แถวท่ีสาม 16 ตน โดยปลูกเพ่ิมเชนน้ี ตามลําดบั เลขคณติ ถาเจาของปลกู ตนยูคาลปิ ตัสไวท้ังหมด 15 แถว จะมตี น ยูคาลปิ ตสั ในสวนปานี้ทั้งหมดกต่ี น 5. กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิต a1 , a2 , a3 , ⋯ ถา S5 = 90 และ S10 = 5 แลว a11 มีคาเทากับขอ ใดตอไปนี้ 1. – 39 2. – 38 3. – 37 4. – 36 2.2 ͹¡Ø ÃÁàâҤ³µÔ อนกุ รมทีไ่ ดจากลาํ ดบั เรขาคณติ เรยี กวา อนกุ รมเรขาคณิต และอตั ราสวนรวมของลาํ ดับเรขาคณิตจะ เปน อตั ราสวนรวมของอนุกรมเรขาคณติ ดว ยเชน กัน ถา a1 , a1r , a1r2 , ⋯ , a1rn−1 เปนลาํ ดับเรขาคณติ แลว a1 + a1r + a1r2 + ⋯ + a1rn−1 จะเปนอนุกรมเรขาคณิต สามารถหาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณติ ไดดงั น้ี Sn = a1 + a1r + a1r2 + ⋯ + a1rn−1 ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ Sn = a1(1−rn) = a1(rn−1) เม่ือ r ≠ 1 1−r r−1 หรอื Sn = a1−ran = ran−a1 เม่ือ r ≠ 1 1−r r−1 และ Sn = na1 เมื่อ r = 1 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 46
µÇÑ ÍÂÒ‹ § 1. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ + 256 เทากบั ขอ ใดของขอตอไปน้ี 1. -171 2. -85 3. 85 4. 171 2. กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตซ่ึงมีอัตราสวนรวมเทากับ 2 ถา S10 − S8 = 32 แลว พจนที่ 9 ของอนกุ รมน้ีเทา กบั ขอใดตอไปน้ี 1. 16 2. 20 3. 26 4. 32 3 3 3 3 3. ขอใดตอไปนี้เปน อนกุ รมเรขาคณิตที่มี 100 พจน 1. 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) + ⋯ + 199 2. 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 3 5 (2������−1) 199 3. 1 + 2 + 4 + ⋯ + (2n−1) + ⋯ + 2199 4. 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 5 125 3125 52������−1 5199 4. กําหนดให a1 , a2 , a3 , ⋯ เปนลําดับเรขาคณิต ถา a1 = 8 และ a5 = −64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรกของลาํ ดับนีเ้ ทา กับขอใด 1. 2,048 2. 1,512 3. 1,364 4. 1,024 เอกสารประกอบการเรยี นเพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 47
5. ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณติ 1 + (−2) + 4 + (−8) + ⋯ + 256 เทากับเทาใด 6. ถาอนุกรมเรขาคณิตมีผลบวก 10 พจนแรกเปน 3069 และมีอัตราสวนรวมเปน 2 แลว พจนท่ี 3 ของ อนกุ รมนี้เทา กบั ขอใด 1. 2 2. 6 3. 8 4. 12 5. 24 ¢ÍŒ Êͺ ONET àÃÍ×่ §ÅÒํ ´ºÑ áÅÐ͹¡Ø ÃÁ »‚ 2558 4 8 16 32 64 5 9 13 17 21 1. พจนที่ 8 ของลําดับ , , , , ,⋯ เทากับเทาใด 1. 128 2. 134 3. 234 4. 416 5. 512 29 31 31 33 33 2. ให a1 , a2 , a3 , ⋯ เปนลาํ ดบั เลขคณติ ถา a4 = 5a1 และ a10 = 39 แลว a1 เทากับเทาใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 3. กําหนดให a, ar, ar2, ⋯ , arn−1 เปนลําดับเรขาคณิตที่มี n พจน ซ่ึงผลรวมของ 3 พจนสุดทายเปน 4 เทาของผลรวมของ 3 พจนแรก ถาพจนท ่ี 3 คือ 22 แลว พจนส ุดทายมคี า เทาใด 1. 56 2. 72 3. 88 4. 96 5. 102 เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดท่ี 2 หนา้ 48
4. บริษัทแหงหนึ่งซื้อเครื่องจักรมาในราคา A บาท คิดคาเส่ือมราคาคงที่ 15% ตอป กลาวคือ ราคา เครื่องจักรจะลดลง 15% ของมูลคาคงเหลือในแตละปทุกป ถาใชเครื่องจักรผานไป t ป แลว มูลคา คงเหลอื ของเครื่องจักรน้ีเทา กบั เทา ใด 1. (0.15)t−1A บาท 2. (0.15)tA บาท 3. (0.85)t−1A บาท 4. (0.85)tA บาท 5. (0.85)t+1A บาท 5. สําหรับ n = 2 , 3 , 4 ⋯ กําหนดให an = (2)n−2 1n ถา An = a2 + a3 + ⋯+ an แลว 729A6 3 เทา กบั เทา ใด 1. 190 2. 195 3. 200 4. 211 5. 243 6. กมลศักด์ิขยายพันธุตนกุหลาบโดยการตอนก่ิงเพื่อจําหนาย ในวันแรกเขาตอนก่ิงได 20 ก่ิง ในวันถัดๆไป เขาทําไดเร็วข้ึน โดยเขาสามารถตอนก่ิงไดมากกวาวันกอนหนานั้น 5 ก่ิง เมื่อครบ 7 วัน แลวเขาตอนก่ิง กหุ ลาบไดท ้งั หมดกกี่ ง่ิ 1. 235 2. 240 3. 245 4. 250 5. 255 7. กําหนดให an เปนพจนที่ n ของลําดับ ซ่ึงมี an+1 = an + n เมื่อ n = 1 , 2 , 3 ⋯ ถา a4 = 26 แลว a1 + a2 + a3 เทา กับเทาใด เอกสารประกอบการเรยี นเพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธ์ิ O-NET ชุดที่ 2 หนา้ 49
Search
