دليل إرشادي لمعلمي الرياضيات 2013 Final

‫=‪4‬‬ ‫وإجابة الأسئلة الثلاثة تكون‪:‬‬ ‫= (ن – ‪()1‬م – ‪)1‬‬ ‫‪4 )1‬‬ ‫= ‪(2‬ن ‪ +‬م) – ‪4‬‬ ‫‪18 = )1 – 7()1 - 4( )2‬‬ ‫‪ )3‬عدد القطع من النوع‬ ‫عدد القطع من النوع‬ ‫عدد القطع من النوع‬ ‫ثم ُتطرح أسئلة مثل‪:‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة ويساوي ن فما عدد القطع من كل نوع؟‬ ‫عدد القطع من النوع = ‪4‬‬ ‫= (ن – ‪2)1‬‬ ‫عدد القطع من النوع‬ ‫= ‪2(2‬ن) – ‪( 4 = 4‬ن – ‪)1‬‬ ‫عدد القطع من النوع‬ ‫‪ )2‬إذا كان عدد الأعمدة يزيد عن عدد الصفوف بـ ‪ 2‬فما عدد القطع من كل نوع؟‬ ‫أي م = ن ‪2 +‬‬ ‫عدد القطع من النوع = ‪4‬‬ ‫= (ن – ‪()1‬ن ‪)1 – 2 +‬‬ ‫عدد القطع من النوع‬ ‫= ن‪1 – 2‬‬ ‫= ‪(2‬ن ‪ +‬ن ‪4 – )2 +‬‬ ‫عدد القطع من النوع‬ ‫=‪4‬ن‬ ‫‪95‬‬

‫جسر معلق‬ ‫تستخدم أسلاك معدنية قوية لحمل وتثبيت الجسور المعلقة‪.‬‬ ‫يظهر أدناه رسم مبسط لجسر معلق‪ .‬في هذا الرسم‪:‬‬ ‫‪ ‬أ ب مستقيم رأسي وهو محور تماثل للجسر المعلق‪.‬‬ ‫‪ ‬هـ منتصف أ د‪.‬‬ ‫‪ > ‬أ ب د ‪ > ،‬هـ ص د زاويتان قائمتان‪.‬‬ ‫‪ ‬جـ د مستقيم أفقي‪.‬‬ ‫‪96‬‬

‫سؤال (‪ :)1‬لكل زوج من القطع المستقيمة من الجسر المعلق المبينة في الجدول أدناه‪ .‬حدد ما‬ ‫إذا كانت القطعتان متساويتين في الطول‪.‬‬ ‫ضع دائرة حول \"نعم\" أو \"لا\" لكل زوج من القطع المستقيمة‪.‬‬ ‫هل القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول؟‬ ‫زوج القطع المستقيمة‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫أد و دب‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫هـ أ و هـ ب‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫د س و جـ ص‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا عن السؤال كاملاً إجابة صحيحة‬ ‫‪ ٪35.44‬وهي نسبة منخفضة مقارنة مع نسبة طلبة الدول المشاركة والبالغة ‪ ٪66.22‬خاصة‬ ‫إذا ما أخذ بعين الاعتبار سهولة السؤال واعتماده على معلومات رياضية بسيطة‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬لكل زوج من زوايا الجسر المعلق المبينة في الجدول أدناه‪ ،‬حدد ما إذا كانت‬ ‫الزاويتان متساويتين في القياس‪.‬‬ ‫ضع دائرة حول \"نعم\" أو \"لا\" لكل زاويتين‪.‬‬ ‫هل الزاويتان متساويتان في القياس؟‬ ‫زوج الزوايا‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫> أ د ب و > أ جـ ب‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫> د هـ ص و > د أ ب‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫> جـ أ ب و > د ب أ‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا عن السؤال كاملاً إجابة صحيحة‬ ‫‪ ٪22.63‬وهي منخفضة جداً بصورة عامة وأقل من نسبة طلبة الدول المشاركة والبالغة‬ ‫‪97‬‬

‫‪ ٪29.77‬وهي منخفضة أيضاً‪ .‬مما يشير إلى تدني إدراك الطلبة لخصائص الشكل المتماثل‬ ‫والعلاقة بين الزوايا الناتجة عن قطع مستقيم لمستقيمين مختلفين ومتوازيين‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)3‬يبين الشكل أدناه رسماً مكبراً لمقطع من الجسر المعلق‪.‬‬ ‫استعمل الرسم والمعلومات المبينة عليه لحساب ارتفاع العمود أ ب‪ .‬بين خطوات الحل‪.‬‬ ‫____________________________________________________‬ ‫____________________________________________________‬ ‫____________________________________________________‬ ‫____________________________________________________‬ ‫ارتفاع العمود أ ب ‪___________ :‬متراً‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا عن السؤال إجابة صحيحة ‪٪10‬‬ ‫وهي نسبة منخفضة بشكل عام ومقارنة بالنسبة المئوية لطلبة الدول المشاركة والتي بلغت‬ ‫‪ ٪28.44‬وهي منخفضة أيضاً‪ .‬مما يشير إلى ضعف الطلبة في إدراك تشابه المثلثات والشروط‬ ‫الكافية للتشابه‪.‬‬ ‫‪98‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬معالجة الأفكار في هذا السؤال وأمثاله تتم باستعمال أسلوب الحوار والمناقشة‬ ‫لتوضيح المفاهيم‪:‬‬ ‫‪ ‬تماثل الأشكال وخواصه‪.‬‬ ‫‪ ‬الزوايا الناتجة عن قطع مستقيم لمستقيمين مختلفين في نقطتين مختلفتين والنتائج‬ ‫المترتبة على شرط أن يكون المستقيمان متوازيين‪.‬‬ ‫‪ ‬تشابه المضلعات والشروط الكافية في حالة المثلثات‪.‬‬ ‫فإذا كان شكل متماثلاً حول خط مستقيم فإن‪:‬‬ ‫‪ ‬القطع المستقيمة المتناظرة تكون متطابقة‪.‬‬ ‫‪ ‬الزوايا المتناظرة تكون متطابقة‪.‬‬ ‫‪ ‬المناطق المتناظرة تكون متطابقة‪.‬‬ ‫ففي السؤال الأول‪:‬‬ ‫أ ب د مثلث قائم الزاوية في ب‪.‬‬ ‫ُيذ َكر الطلبة بالخاصية التي تنص على أن الزاوية الأكبر في مثلث يقابلها الضلع الأطول‪ .‬ثم‬ ‫يسأل الطلبة‪:‬‬ ‫بما أن ق(> ب) = ‪ ، 590‬فهل يمكن أن توجد زاوية أخرى في المثلث أ ب جـ قياسها أكبر من‬ ‫أو يساوي ‪ 590‬؟ ولماذا؟‬ ‫إذن ق (> ب) < ق (> د)‬ ‫ماذا يترتب على ذلك بخصوص طولي الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين؟‬ ‫الجواب‪ :‬أ د < د ب‬ ‫‪99‬‬

‫ثم ُيذكر الطلبة بخاصية المثلث القائم الزاوية‪:‬‬ ‫القطعة المستقيمة الواصلة من رأس القائمة إلى منتصف الوتر طولها يساوي نصف طول الوتر‪.‬‬ ‫ثم ُيسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ما العلاقة بين ب هـ ‪ ،‬أ د ؟ الجواب‪ :‬ب هـ = ‪ 1‬أ د‬ ‫‪2‬‬ ‫الجواب‪ :‬هـ أ = ‪ 1‬أ د‬ ‫وما العلاقة بين هـ أ ‪ ،‬أ د ؟‬ ‫‪2‬‬ ‫ماذا تستنتج عن العلاقة بين هـ أ ‪ ،‬ب هـ ؟ الجواب‪ :‬هـ أ = ب هـ‬ ‫ونعود لخواص تماثل الأشكال‪.‬‬ ‫بما أن أ ب محور تماثل فإن‪:‬‬ ‫ب د = ب جـ‬ ‫بس=بص‬ ‫___________ وبالجمع‬ ‫د س = جـ ص‬ ‫وفي السؤال الثاني‪:‬‬ ‫ما الزاوية التي تناظر > أ د ب؟ الجواب‪ > :‬أ جـ ب‬ ‫الجواب‪ :‬ق (> أ د ب) = ق (> أ جـ ب)‬ ‫ما العلاقة بينهما؟‬ ‫هل الزاويتان جـ أ ب ‪ ،‬د ب أ متناظرتان؟ الجواب‪ :‬لا‬ ‫الجواب‪ :‬لا‬ ‫هل هما متطابقتان؟‬ ‫الجواب‪ :‬لأنهما غير متناظرتين وكلاهما زاوية داخلية في‬ ‫ولماذا؟‬ ‫مثلث و > أ ب د قائمة‪.‬‬ ‫‪100‬‬

‫أو‪ :‬لأن > أ ب د ‪ > ،‬أ ب جـ متجاورتان على خط مستقيم‬ ‫ولأن > أ ب د قائمة فإن > أ ب جـ قائمة‪.‬‬ ‫إذن لا يمكن أن تكون > جـ أ ب قائمة‪ .‬لماذا؟‬ ‫ويسأل الطلبة عن مفهوم التجاور بين الزوايا‪:‬‬ ‫تكون زاويتان متجاورتين إذا وفقط إذا كان بينهما ضلع مشترك وداخليهما منفصلتين‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬هل وجود ضلع مشترك بين زاويتين يحتم أن يكون لهما رأس مشترك؟‬ ‫الزاويتان أ و ب ‪ ،‬ب و جـ متجاورتان لأن‪:‬‬ ‫‪ ‬و ب ضلع مشترك‪.‬‬ ‫‪ ‬داخلية > أ و ب غير متقاطعة مع داخلية > ب و جـ‪.‬‬ ‫وبالنسبة للسؤال الثالث‪:‬‬ ‫يناقش الطلبة بمفهوم تشابه المضلعات‪.‬‬ ‫يكون مضلعان متشابهين إذا وفقط إذا كان لهما العدد نفسه من الأضلاع ولهما الشكل نفسه‪.‬‬ ‫والشروط الكافية لذلك هي‪:‬‬ ‫‪ ‬الزوايا المتناظرة متطابقة‪.‬‬ ‫‪ ‬والأضلاع المتناظرة متناسبة‪.‬‬ ‫‪101‬‬

‫وفي حالة المثلثات‪ :‬للمثلث ستة عناصر‪ .‬ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا ويكفي لتشابه مثلثين توفر‬ ‫الشروط التالية‪:‬‬ ‫‪ )1‬تطابق الزوايا المتناظرة في المثلثين وينتج عن ذلك تناسب الأضلاع المتناظرة‪.‬‬ ‫‪ )2‬تناسب الأضلاع المتناظرة في المثلثين وينتج عن ذلك تطابق الزوايا المتناظرة‪.‬‬ ‫‪ )3‬تناسب زوجين من الأضلاع المتناظرة في المثلثين وتطابق الزاويتين المحصورتين في‬ ‫المثلثين وينتج عن ذلك تناسب الضلعين المتبقيين وتطابق الزوايا المتناظرة الأخرى‪.‬‬ ‫ويناقش الطلبة بالزوايا الناتجة عن قطع مستقيم لمستقيمين مختلفين في نقطتين مختلفتين‪.‬‬ ‫ففي الشكل أعلاه‪:‬‬ ‫ن يقطع ل ‪ ،‬م في النقطتين أ ‪ ،‬ب‬ ‫نسمي الزوايا ‪ 6 ، 5 ، 4 ، 3‬زوايا داخلية‪.‬‬ ‫والزوايا ‪ 8 ، 7 ، 2 ، 1‬زوايا خارجية‪.‬‬ ‫وتعرف العلاقات التالية على مجموعة الزوايا ‪8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫‪ )1‬التبادل‪ :‬تكون زاويتان متبادلتين داخليا (خارجيا) إذا وفقط إذا كانتا داخليتين‬ ‫(خارجيتين) وفي جهتين مختلفتين من القاطع وغير متجاورتين‪.‬‬ ‫التبادل الخارجي‪ 1 :‬و ‪7‬‬ ‫التبادل الداخلي‪ 3 :‬و ‪5‬‬ ‫‪2‬و‪8‬‬ ‫‪4‬و‪6‬‬ ‫‪102‬‬

‫‪ )2‬التحالف‪ :‬تكون زاويتان متحالفتين داخليا (خارجيا) إذا وفقط إذا كانتا داخليتين‬ ‫(خارجيتين) وفي جهة واحدة من القاطع‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬هل شرط \" غير متجاورتين\" ضروري؟‬ ‫التحالف الخارجي‪ 1 :‬و ‪8‬‬ ‫التحالف الداخلي‪ 3 :‬و ‪6‬‬ ‫‪2‬و‪7‬‬ ‫‪4‬و‪5‬‬ ‫‪ )3‬التناظر‪ :‬تكون زاويتان متناظرتين إذا وفقط إذا كانت إحداهما داخلية والأخرى خارجية‬ ‫وفي جهة واحدة من القاطع وغير متجاورتين‪.‬‬ ‫التناظر‪ 1:‬و ‪5‬‬ ‫‪2‬و‪6‬‬ ‫‪3‬و‪7‬‬ ‫‪4‬و‪8‬‬ ‫سؤال‪ :‬إذا ُحذف الشرط \"غير متجاورتين\" من تعريف التناظر‪ .‬فهل ينطبق الشرطان المتبقيان‬ ‫على أزواج من الزوايا غير المذكورة أعلاه؟ أذكرها‪.‬‬ ‫وعند إضافة شرط لمجموعة الشروط في أي عبارة شرطية فإنه يترتب على ذلك نتائج‬ ‫بالإضافة للنتائج الأولى‪.‬‬ ‫نظرية‪ :‬إذا قطع مستقيم مستقيمين مختلفين ومتوازيين فإن‪:‬‬ ‫‪ )1‬كل زاويتين متبادلتين (داخلياً أو خارجياً) متطابقتان‬ ‫‪ )2‬كل زاويتين متحالفتين (داخلياً أو خارجياً) متكاملتان‪.‬‬ ‫‪ )3‬كل زاويتين متناظرتين متطابقتان‪.‬‬ ‫والعكس صحيح أيضاً‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬لماذا تم الاستغناء عن الشرط \"‪ ...‬في نقطتين مختلفتين\" في النظرية؟‬ ‫سؤال‪ :‬أكتب نص عكس النظرية‪.‬‬ ‫وبالعودة إلى السؤال الثاني‪:‬‬ ‫د ب قاطع لـ هـ ص ‪ ،‬أ ب‪.‬‬ ‫‪103‬‬

‫ما العلاقة بين الزاويتين هـ ص د ‪ ،‬أ ب د؟ الجواب‪ :‬متطابقتان‪.‬‬ ‫الجواب‪ :‬متناظرتان‪.‬‬ ‫وكيف تصف وضعهما؟‬ ‫ماذا تستنتج حول العلاقة بين هـ ص ‪ ،‬أ ب؟ الجواب‪ :‬متوازيان‪.‬‬ ‫وبما أن هـ ص ‪ //‬أ ب ‪ ،‬د أ قاطع لهما‪ ،‬فماذا تستنتج حول الزاويتين د هـ ص ‪ ،‬د أ ب ؟‬ ‫والآن‪ ،‬نعود للسؤال الثالث‪:‬‬ ‫بما أن ط ي ‪ //‬أ ب ‪ ،‬هـ أ قاطع لهما فإن‪:‬‬ ‫> هـ ط ي تطابق > هـ أ ب‪ .‬لماذا؟‬ ‫وكذلك ط ي ‪ //‬أ ب ‪ ،‬هـ ب قاطع لهما فإن‬ ‫> هـ ي ط تطابق > هـ ب أ‪ .‬لماذا؟‬ ‫وكذلك‪ > :‬هـ تطابق > هـ‪ .‬لماذا؟‬ ‫إذن زوايا المثلث هـ ط ي تطابق نظيراتها في المثلث هـ أ ب‪.‬‬ ‫هل هذا يكفي لاستنتاج أن المثلثين هـ ط ي ‪ ،‬هـ أ ب متشابهان؟ الجواب‪ :‬نعم‪.‬‬ ‫ما النتائج المترتبة على ذلك؟ الجواب‪ :‬الأضلاع المتناظرة متناسبة‪.‬‬ ‫إذن هـ ط = ط ي = هـ ي وبالتعويض‬ ‫هـ أ أ ب هـ ب‬ ‫‪ 9 = 16‬ومنها أ ب = ‪ 27‬متراً‬ ‫‪ 48‬أ ب‬ ‫‪104‬‬

‫تقسيم قرص دائري‬ ‫تعمل سميرة مدرسة في المرحلة الابتدائية‪ .‬سميرة معلمة مخلصة‪ ،‬تقضي وقتاُ طويلاً في إعداد‬ ‫الوسائل التعليمية‪ .‬احتاجت يوماً أن تقسم قرصاً ورقياً دائرياً لتصنع منه أجزاء تمثل كسوراً‪.‬‬ ‫طلبت من أخيها سهيل أن يساعدها في ذلك‪ .‬رسم أخوها دائرة‪ ،‬ورسم فيها نصفي قطر قياس‬ ‫الزاوية بينهما ‪ 540‬ليحدد قطاعاً دائرياً‪.‬‬ ‫سؤال (‪:)1‬‬ ‫إذا استمر سهيل في رسم أنصاف أقطار قياس الزاوية بين كل نصفي قطرين متتاليين ‪ 540‬فهل‬ ‫سينتج عن ذلك عدد صحيح من القطاعات الدائرية؟ وما عددها؟ وما الكسر الذي يمثله كل قطاع‬ ‫من القرص كله؟‬ ‫الحل‪__________________________________________________:‬‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة على سؤال مشابه‬ ‫‪ ٪14.53‬مقارنة بالنسبة المئوية العامة والبالغة ‪ ٪27.62‬والنسبتان منخفضتان عموماً‪.‬‬ ‫أعتقد أن السبب في انخفاض نسبة الطلبة الذين أجابوا إجابات صحيحة ُيعزى إلى ضعف في‬ ‫معرفة الطلبة بقانون مساحة القطاع الدائري والنسبة بين مساحتي قطاعين دائريين في دائرة‪.‬‬ ‫‪105‬‬

‫سؤال (‪ :)2‬عرفت سميرة من أخيها الفكرة الأساسية لتقسيم قرص دائري إلى قطاعات متطابقة‪.‬‬ ‫ترغب سميرة أن تقسم أقراصاً عدة لتعمل نماذج تمثل كسوراً مختلفة‪.‬‬ ‫‪ -‬ما هي الشروط التي ستلتزم بها جميلة على الزاوية‬ ‫المركزية حتى يتم تقسيم القرص الدائري‬ ‫إلى عدد صحيح من القطاعات؟‬ ‫‪ -‬هل يمكن تقسيم قرص إلى سبعة قطاعات متطابقة‬ ‫قياس الزاوية المركزية لكل منها عدد‬ ‫صحيح من الدرجات؟‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة عن سؤال مشابه‬ ‫منخفضة جداً حيث بلغت ‪ ٪7.84‬وهي قريبة من النسبة المئوية العامة والبالغة ‪. ٪7.87‬‬ ‫وأعتقد أن هذا التدني في نسبة الطلبة الذين أجابوا إجابة صحيحة ُيعزى إلى ضعف عند الطلبة‬ ‫في تحديد الشروط اللازم وضعها على المتغيرات حتى يكون الحل معقولاً‪ .‬فكل مسألة تتضمن‬ ‫معطيات ومطلوب وشروط يجب الالتزام بها لتحديد المطلوب المعقول والمقبول‪.‬‬ ‫الـعـلاج‪ :‬يوجد ضعف واضح عند الطلبة في لغة الرياضيات‪ .‬فهم يتعاملون مع المفردات‬ ‫الرياضية وهي في الغالب أسماء لمفاهيم دون أن ُيدركوا معناها الرياضي الدقيق‪ .‬فإتقان أي لغة‬ ‫أمر ضروري وهام لسلامة التفكير‪ .‬ولذلك يجب على المعلمين عند تدريسهم للمعلومات‬ ‫الرياضية أن لا ُيغفلوا الجانب اللغوي‪ .‬وعليهم أن يتأكدوا من أن الطلبة أدركوا المعاني‬ ‫الرياضية الصحيحة لكل مفردة‪ .‬فمثلاً؛‬ ‫الدائرة‪ :‬منحنى مغلق بسيط جميع نقطه تبعد ُبعد ًا ثابتاًعن نقطة معلومة بداخله‪.‬‬ ‫ُتسمى النقطة المعلومة مركز الدائرة‪.‬‬ ‫وال ُبعد الثابت بين نقط الدائرة ومركزها‬ ‫يسمى طول نصف قطر الدائرة ويرمز له‬ ‫بالرمز نق‪.‬‬ ‫أما نصف قطر الدائرة فهو قطعة مستقيمة‬ ‫طرفاها مركز الدائرة ونقطة على الدائرة‪.‬‬ ‫والمنطقة المظللة في الشكل إلى اليسار ُتسمى‬ ‫‪106‬‬

‫داخلية الدائرة أو منطقة دائرية‪ .‬فالمنطقة الدائرية هي جزء من مستوى يحده دائرة‪ .‬وهو ما‬ ‫نقيسه تحت مسمى مساحة المنطقة الدائرية‪ .‬حيث‪:‬مساحة المنطقة الدائرية = ‪ π‬نق‪2‬‬ ‫أما الدائرة نفسها فلا مساحة لها‪ ،‬وإنما يمكننا قياس طولها و ُيسمى محيط الدائرة حيث‪:‬‬ ‫محيط الدائرة = ‪ π 2‬نق‪.‬‬ ‫والعدد ‪ π‬عدد حقيقي غير نسبي يمثل النسبة بين محيط الدائرة وطول قطرها‪.‬‬ ‫أي أن ‪ = π‬محيط الدائرة‬ ‫طول قطر الدائرة‬ ‫والقطاع الدائري هو جزء من داخلية الدائرة محصور‬ ‫بين نصفي قطر في الدائرة وقوس منها‪.‬‬ ‫و ُتسمى الزاوية أ م ب الزاوية المركزية للقطاع‬ ‫الدائري وإذا كان ق (< أ م ب) = هـ راديان‬ ‫فإن مساحة القطاع الدائري = ‪ 1‬هـ نق‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫والنسبة بين مساحتي قطاعين دائريين لدائرة واحدة‬ ‫تساوي النسبة بين قياسي زاويتهما المركزيتين‪.‬‬ ‫إن معرفة الطالب وإدراكه لها ستمكنه من معالجة السؤالين وحلهما‪.‬‬ ‫فبالنسبة للسؤال (‪:)1‬‬ ‫حتى يتم تقسيم القرص الدائري (المنطقة الدائرية) إلى عدد صحيح من القطاعات الدائرية‬ ‫المتطابقة يجب أن يكون قياس الزاوية المركزية لكل قطاع عامل لـ ‪( 5360‬قياس الزاوية‬ ‫المركزية الكاملة عند مركز الدائرة)‪.‬‬ ‫وبما أن ‪ 9 = 540 ÷ 5360‬فإن القياس ‪ 540‬عامل لـ ‪5360‬‬ ‫إذن سينتج مع سهيل عدد صحيح من القطاعات الدائرية وعددها ‪ 9‬قطاعات‪.‬‬ ‫وبما أن جميع القطاعات متطابقة فإن كل قطاع يمثل ‪ 1‬من القرص كله‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫وبالنسبة للسؤال (‪:)2‬‬ ‫الشرط اللازم والضروري لقياس الزاوية المركزية للقطاع الدائري حتى يتم تقسيم القرص‬ ‫الدائري إلى عدد صحيح من القطاعات هو أن يكون قياس الزاوية المركزية للقطاع عاملاً لـ‬ ‫‪ .5360‬وعليه سيكون عدد القطاعات الدائرية عاملاً للعدد ‪.5360‬‬ ‫‪107‬‬

‫وبما أن ‪ 51 = 7 ÷ 360‬والباقي ‪ 3‬فإن العدد ‪ 7‬ليس عاملاً للعدد ‪ .360‬إذن لا يمكن تقسيم‬ ‫قرص إلى سبعة قطاعات متطابقة التزاماً بشرط أن يكون قياس الزاوية المركزية لكل منها عدد‬ ‫صحيح من الدرجات‪.‬‬ ‫‪108‬‬

‫حجارة البناء‬ ‫لأأن لا حي نازأنيا نا الأأيط ا زا( قا يص اي ق يها ة الا لي‪ .‬نلة ل لأأن‬ ‫حأاملنأ ط أنل ة ط‪ 25 :‬لم‪ 50 ،‬لم‪ 75 ،‬لم أ لأا أنحي ‪ 25‬لم اةا يط ناأنأهةي‬ ‫نا الأأيةي ‪ .‬ل ا لا ناشلل ي ا ‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬نللأا لأأن نلة ل نا أع نانايلأ ناحأالأص ل ‪.‬‬ ‫ا يي ناحأالأص نانايلأص ناةا ليحةاأها اةا يط ناأنأهةي نا الأأيةي ‪.‬‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت نتيجة الطلبة الأردنيين على سؤال مشابه منخفضة وبلغت ‪ ٪11.11‬مقارنة مع‬ ‫النتيجة العامة لطلبة الدول المشاركة والتي بلغت ‪٪38.34‬‬ ‫وتقوم فكرة السؤال على عد القطع المكونة لمجسم ما من خلال صورة لمجسم ذو ثلاثة أبعاد‪.‬‬ ‫‪109‬‬

‫أسئلة مشابهة‪:‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬الطوب‬ ‫في كومة من الطوب تجد الطوب بثلاثة أحجام مختلفة‪.‬‬ ‫طولا طوبتين من الحجم المتوسط وطول طوبة صغيرة يساوي طول طوبة واحدة كبيرة‪ .‬وطولا‬ ‫طوبتين صغيرتين يساوي طول الطوبة المتوسطة‪.‬‬ ‫المنظران أدناه لنموذج صنع من هذا الطوب‪.‬‬ ‫افرض أنك تريد صنع النموذج نفسه باستعمال الطوب الصغير فقط‪.‬‬ ‫فكم طوبة صغيرة تحتاج؟‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫الجواب‪______________________________________________ :‬‬ ‫‪110‬‬

‫النتيجة ‪ :‬كانت نتيجة الطلبة الأردنيين على سؤال مشابه منخفضة وبلغت ‪ ٪11.11‬مقارنة مع‬ ‫النتيجة العامة لطلبة الدول المشاركة والتي بلغت ‪‌ ‌.٪38.34‬‬ ‫وتقوم فكرة السؤال على عد القطع المكونة لمجسم ما من خلال صورة لمجسم ذو ثلاثة أبعاد‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬حجارة النرد‬ ‫في الصورة أدناه إنشا ٌء صنع باستعمال سبعة أحجار نرد متطابقة مرقمة وجوهها من ‪ 1‬إلى ‪6‬‬ ‫وعندما ُينظر للمنشأ من أعلى يمكن رؤية خمسة أحجار فقط‪.‬‬ ‫ما عدد النقط التي يمكن رؤيتها عندما ُينظر لهذا المنشأ من أعلى؟‬ ‫عدد النقط التي يمكن رؤيتها‪_____________________________________:‬‬ ‫سؤال (‪ :)3‬قطع اللوجو‬ ‫في كومة من قطع اللوجو تجد القطع بثلاثة أحجام مختلفة‪.‬‬ ‫طول قطعة من الحجم المتوسط وطول قطعة صغيرة يساوي طول قطعة واحدة كبيرة وطولا‬ ‫قطعتين صغيرتين يساوي طول قطعة متوسطة‪.‬‬ ‫‪111‬‬

‫الشكل أدناه لنموذج صنع من هذه القطع‪.‬‬ ‫افرض أنك تريد صنع النموذج نفسه باستعمال القطع الصغيرة فقط‪.‬‬ ‫فكم طوبة صغيرة ستحتاج؟‬ ‫الجواب‪________________________________________________ :‬‬ ‫الـعـلاج‪ :‬تهدف مثل هذه الأسئلة إلى تنمية قدرة الطلبة على التخيل ودقة الملاحظة‪ .‬والتحويل‬ ‫من وحدة لأخرى‪ .‬حيث يقوم الطالب بعد الحجارة في الجدار الأمامي وحساب عددها بالحجارة‬ ‫الصغيرة‪:‬‬ ‫= ‪ × 3‬الحجر الصغير‬ ‫الحجر الكبير‬ ‫وعدد الحجارة الكبيرة = ‪8‬‬ ‫إذن فالحجارة الكبيرة = ‪3 × 8‬‬ ‫= ‪ 24‬حجراً صغيراً‬ ‫= ‪ × 2‬الحجر الصغير‬ ‫الحجر المتوسط‬ ‫وعدد الحجارة المتوسطة = ‪8‬‬ ‫‪112‬‬

‫؞ فالحجارة المتوسطة = ‪2 × 8‬‬ ‫= ‪ 16‬حجراً صغيراً‬ ‫عدد الحجارة الصغيرة = ‪10‬‬ ‫؞ سيحتاج مروان ‪ 50 = 10 + 16 + 24‬حجراً صغيراً‬ ‫و ُيسأل الطلبة عن حلول أخرى للسؤال مثل‪:‬‬ ‫ح ٌل ثان‪ :‬مساحة الحجر الصغير = ‪25 × 25‬‬ ‫= ‪ 625‬سم‪2‬‬ ‫طول كل واجهة = ‪ 125‬سم‬ ‫وارتفاعها = ‪25 × 5‬‬ ‫= ‪ 125‬سم‬ ‫؞ فمساحة كل واجهة = ‪125 × 125‬‬ ‫= ‪ 15625‬سم‪2‬‬ ‫ومساحة الواجهتين معاً = ‪15625 × 2‬‬ ‫= ‪ 31250‬سم‪2‬‬ ‫؞ عدد الحجارة الصغيرة لتي سيحتاها مروان = ‪625 ÷ 31250‬‬ ‫= ‪ 50‬حجراً‬ ‫ح ٌل ثالث‪ :‬طول الصف الواحد من كل واجهة = ‪ 125‬سم‬ ‫وهذا يحتاج إلى ‪ 5 = 25 ÷ 125‬حجارة صغيرة‬ ‫؞ فالواجهة الواحدة وبها خمسة صفوف ستحتاج إلى ‪ 25 = 5 × 5‬حجراً صغيراً‬ ‫والواجهتان ستحتاجان إلى ‪ 50 = 2 × 25‬حجراً صغيراً‪.‬‬ ‫‪113‬‬

‫أطوال أضلاع المثلث‬ ‫سؤال‪ :‬ن لا أر حي ع ع ل لأ ‪ 5‬أق ّل ‪ ،13‬ل ا ألا نا ي نلآ لأي ‪.‬‬ ‫أ ا نا يم نا ل ط ا أل ن نا ناةا ةأ ل نا ع قا(م نا نزأيط؟‬ ‫أسئلة مشابهة‪:‬‬ ‫‪ )1‬ث أ أ ط أ أ اق ن يني ناةاايط ة ل أنل ع ع؟‬ ‫ب) {‪}8 ،5 ،2‬‬ ‫أ) {‪}6 ،5 ،3‬‬ ‫د) {‪}13 ،7 ،6‬‬ ‫ج) {‪}5 ،4 ،1‬‬ ‫ط ن لأي يي نا ي أا أن أا ط نحيحط ألا ط ط أمين‬ ‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا‬ ‫نا ل ط نا (أيط ا ط نايأل نا شالألط أنا اااط ‪ .٪6.51‬أل‬ ‫حيع اق ‪ ٪0.56‬أ ا قل‬ ‫ط‪ .‬ألا ن ة ايث نال ر ي أي ا يم أأأي نا انّيط ناةا ةحلم نا قط‬ ‫نا ل ةي‬ ‫ع نا ع لا نا ا م نايلنأليط‪ ،‬أ ن ة ام نا ي ها ام يل لاليام‪.‬‬ ‫ي أنل‬ ‫أ ار قلم‬ ‫نا ط قام حاألاق أز(يط ام ةأن ( ل ناحل نالا ل أ ل ةهم نا (أيط ‪.٪1.72‬‬ ‫ا اا ل ط نا اقيط أ ا ‪ ٪97.72‬ل ي ةأز ق ي حاألاق أ أ ال ا ل نل أ ام ينل‬ ‫اي( نا اار‪.‬‬ ‫‪114‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬ي ل ااأط ل ن ل( ط إلةلنأةيأيط حل نا لأاط‪.‬‬ ‫ع أم ي أل حي (‪.‬‬ ‫أولا‪ :‬لهم نا لأاط‪:‬‬ ‫أنا أر يأاي أاا نا ي نلآ لأي ‪ ،‬أ لألط نا يم نا ل ط ا أل ن نا ناةا ةأ ل‬ ‫نا ع قا(م نا نزأيط‪.‬‬ ‫ثانيا‪ :‬نا حع لأي ط ا حل‪ :‬نا قط ناةا ةلأ ي أنل ع ث ع ا‪ :‬أل ث‬ ‫ع نا ع ل لأ نا لأم ي أاا نا ي نلآ لأي أنالأ أ أع‬ ‫أايه ا‪.‬‬ ‫ين ع‪.‬‬ ‫ثالثا‪ :‬ناة ي ‪ :‬لأا أل نا نا‬ ‫أ أاا نا ي نلآ لأي ‪ ،‬ص حيع > ص ليلأ ‪:‬‬ ‫–ص<ع< ‪+‬ص‬ ‫أ ا ّ ‪ <5‬ع < ‪13‬‬ ‫لإ ّ – ص = ‪5‬‬ ‫‪ + ،‬ص = ‪13‬‬ ‫أ حل اةي نا اياةي ‪:‬‬ ‫أ نا اياةي ي ةم ‪18 = 2‬‬ ‫أ ها = ‪ 9‬أحينق‪.‬‬ ‫أ ااة أيا لا نا اياط نا ا يط أحّها أي ّ ص = ‪ 4‬أحينق‪.‬‬ ‫لنأ ا‪ :‬ناةح م‪:‬‬ ‫ا ّ ع< –ص ي ا ع<‪4–9‬‬ ‫‪115‬‬

‫ث ع<‪5‬‬ ‫أل نر ع > ‪ +‬ص لإ ّ ع > ‪4 + 9‬‬ ‫ث ع > ‪13‬‬ ‫‪ < 5‬ع < ‪13‬‬ ‫أ أ ا ية م نا ياق‪.‬‬ ‫ولمعرفة القيم لطول الضلع التي تجعل المثلث قائم الزاوية نناقش حالتين‪:‬‬ ‫الحالة الأولى‪ :‬إذا كان الوتر هو الضلع الذي طوله ‪9‬سم فإن‬ ‫ع‪29 = 24 + 2‬‬ ‫ع‪16 – 81 = 2‬‬ ‫= ‪65‬‬ ‫فتكون ع = ‪8 = 65‬سم تقريباً وهذه القيمة تنتمي للفترة (‪)13 ، 5‬‬ ‫الحالة الثانية‪ :‬إذا كا ن الوتر هو الضلع الثالث فيكون‪:‬‬ ‫ع‪29 + 24 = 2‬‬ ‫= ‪81 + 16‬‬ ‫= ‪97‬‬ ‫فتكون ع = ‪9،85 = 97‬سم تقريباً وهذه القيمة تنتمي للفترة (‪)13 ، 5‬‬ ‫إذن توجد قيمتان لطول الضلع الثالث تجعلان المثلث قائم الزاوية‪ .‬وهما ‪97 ، 65‬‬ ‫سؤال ‪ :‬هل يمكن أن يكون الضلع الذي طوله ‪4‬سم وتراً؟ ولماذا؟‬ ‫‪116‬‬

‫ملعب كرة القدم‬ ‫ي ي ناشلل نلآةا ا ا ر للأص قيم أ ي( نا يالاق ا ةالأ‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬لم ةملنأ لأا ن نا ر؟‬ ‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن أا ط نحيحط ل نل شا (‬ ‫ط أًّين حيع اق ‪ ٪2.86‬لا حي اق نا ل ط نا (أيط ا ط نايأل نا شالألط‬ ‫‪ .٪24.15‬ألا ن ة ايث نا ط ام يةيلأأن حلار لالط لّأ اةها‪ ،‬أام ي ةايأن‬ ‫ناة ا ل أنقا أنق ناحياص‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬ن ألأ لا ط يألأص لا ط حأل ناأز نا ظّل نا ر أألأ ةيليلأ يألأص لا ط‬ ‫حأل نا نا نلآ لأ نا ر ةة ا نا أ نا الأأيط لاأث نا لالةي ل لأ ناةا ق ها‬ ‫لا ط م ناةا ق ها ةيليلأ؟ أ ا نا لأم ي ه ا؟‬ ‫‪117‬‬

‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن أا ط نحيحط ل نل شا (‬ ‫ط أين ي ا حيع اق ‪ ٪2.72‬أ ا قل نا ل ط نا (أيط ا يط نايأل‬ ‫اه ن نال نل‬ ‫ط ي ا‪.‬‬ ‫نا شالألط نا ا لا ق ‪ ٪15.19‬أ ا‬ ‫ط ناأ نز ؟‬ ‫سؤال (‪ :)3‬ا أل قأ‬ ‫سؤال إضافي‪:‬‬ ‫يلأ ر لا لأ يلأأث شأالأ حيي ة( ااة ي ‪ .‬ةحأث حيي ط لا لأ لأ ط ن أا ن شأالأ‪.‬‬ ‫نا لالط ي لل ن يّ ةأاألأي شلأص ةالأ‪ .‬أنا لالط ي لل شألأةي ةأاألأةي شلأص ةالأ‬ ‫ي ا‪.‬‬ ‫ن ا ير نا ث ليلة (‪.‬‬ ‫اي ّي‬ ‫لألم لا لأ نا‬ ‫‪118‬‬

‫ن لأا ةملنأ أنحمين أ ي ن ل ا أل شألأص‬ ‫سؤال (‪ :)1‬ن لا نلأة اع ن ألأ نا نز‬ ‫‪ 15‬ةلنأ‪ ،‬أنا أ ي لل نا أنانا نا ث ي ي( نا ين(لأص؛ للم ا ير نالأث ليحةام‬ ‫لا لأ؟‬ ‫سؤال (‪ :)2‬أن ن أ نا ّنز ي نان ي نا ا ا أنا ااع حيع لا نان ألأ يلأة ةملنأ أنحمين‬ ‫ط ةنا نا لالط ي ناشألأةي ‪ ،‬لهل ليحةام لا لأ ا ير أل م قنلأ‬ ‫نا لأي ط ن أا ؟‬ ‫الـعـلاج‪ :‬ا ااأط ل ن ل( ط ييلّأر نا ط ة ليم نا لالط نالّّيط ا أ نز ال ط‬ ‫يلهل يأاي ا م ةأ نا لالاق ناأز(ّيط لإيأاي نا لالط نال يط‪.‬‬ ‫فبالنسبة للسؤال (‪:)1‬‬ ‫نالألم ي ا يأ ح لأا نا ر أأ نز(( نا اص أناها‪.‬‬ ‫ةيأط اة ا ل نا ر حأل ةنا نا لأ لإ ّ ‪:‬‬ ‫ر= اأ‬ ‫ر أا = ي ا‬ ‫‪119‬‬

‫؛ لأا نا ر = ر ‪ +‬ا أ) ‪ +‬ر أا ‪ +‬ي ا) ‪ +‬أا ي‬ ‫= ‪7.32 + 16.5 × 2 + 24.84 × 2‬‬ ‫= ‪7.32 + 33 + 49.68‬‬ ‫= ‪ 90.000‬ةملنأ‬ ‫أي ل حلار لأا نا ر ة لي ط لأ ‪:‬‬ ‫ط ةنا نا لأ ا ط ةنا لأا نا ر‪ .‬أا ار حلر نا لالط ي ط‬ ‫ةنا نا لأ أ نزأيط نا ر لةلأ نا لالط ةلاأث نا لأا نا ر‪.‬‬ ‫؛‬ ‫ر = ‪) 7.32 + 16.5 + 24.84 × 2‬‬ ‫لأا نا‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪7.32 + 33 + 49.68‬‬ ‫= ‪ 90‬ةملنأ‬ ‫وبالنسبة للسؤال (‪:)2‬‬ ‫نا لالط ناةا لأل ها ةيليلأ= ‪ × 2‬لأا نا ر ‪ × 1 +‬أل نا ر ‪ × 1 +‬أل نا ر‬ ‫‪22‬‬ ‫= ‪120 × 1 + 120 × 1 + 90 × 2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫= ‪60 + 60 + 180‬‬ ‫= ‪ 300‬ةملنأ‬ ‫‪120‬‬

‫نالألم ي ا ي ّي نا لالط ناةا لأل ها لا ط‬ ‫لاحظ ر = ا أ = ‪24.84‬م‬ ‫أا ي = ر ا لا نالألم نالا م‪.‬‬ ‫= ‪7.32 + 16.5 × 2‬‬ ‫= ‪7.32 + 33‬‬ ‫= ‪40.33‬م‬ ‫ر أا = ا ي = ‪16.5‬م‬ ‫ر = أز = ‪60‬م‬ ‫رث‪ +‬ز=رز–ث‬ ‫= ‪ 2 - 90‬م‬ ‫= ‪18.30 – 90‬‬ ‫= ‪ 71.7‬م‬ ‫‪121‬‬

‫=‪ π2 × 1‬م‬ ‫أل نا أ ث‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪9.15 × 3.14‬‬ ‫= ‪28.73‬م‬ ‫؛‬ ‫نا لالط ناةا لأل ها لا ط= ر ‪ +‬ا أ) ‪ +‬ر أا ‪ +‬ا ي) ‪ +‬أا ي ‪ +‬ر ‪ +‬أز) ‪+‬‬ ‫ر ‪ +‬ز) ‪ +‬أل نا أ‬ ‫= ‪28.73 + 71.70 + 60 × 2 + 40.33 + 16.5 × 2 + 24.84 × 2‬‬ ‫= ‪28.73 + 71.70 + 120 +40.33 + 33 + 49.68‬‬ ‫= ‪ 343.44‬ةملنأ‬ ‫نا لالط ناةا لأل ها ةيليلأ أنا لأم‬ ‫ا ل م حظ ّ نا لالط ناةا لأل ها لا ط ل لأ‬ ‫ي ه ا = ‪300 – 343.44‬‬ ‫= ‪ 43.44‬ةملنأ‬ ‫‪122‬‬

‫أ اا ل ط ا ل نل ‪:)3‬‬ ‫ي ي ناشلل ي ا لأل ام ل لنمأ ا ط ناأ نز ‪.‬‬ ‫‪123‬‬

‫الأشكال المتماثلة‬ ‫يأأي لا نا ي ط ل يلأ ن شلال نا ة ا ط‬ ‫ل ا ين ّم نلإ لا ل يملنأ ناةن ي اق نا ة ا ط‪.‬‬ ‫يظهلأ ناشلل شل ة ا م لي(‪:‬‬ ‫‪ ‬لأ ي حألأ ناة ا ل‪.‬‬ ‫ع نا ع أا لأ لا ر‪ ،‬ا‪ ،‬أ‪.‬‬ ‫‪ ‬م لألز ين(لأص ة‬ ‫ع نا ع ع لأ لا ص‪ ،‬ث‪ ،‬ل‪.‬‬ ‫‪ ‬لألز ين(لأص ة‬ ‫‪ ‬لأ أا أيّيط ي‪.‬‬ ‫‪124‬‬

‫نا لة ي ط لا ناأيأل ي ا ‪ ،‬حّيي ا ن لا ق نا ةا‬ ‫سؤال (‪ :)1‬الل زأم نا‬ ‫ةلاأيةي لا نا أل‪.‬‬ ‫ين(لأص حأل \" م\" أ \"لا\" الل زأم نا نا لة ي ط‪.‬‬ ‫هل القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول؟‬ ‫زوج القطع المستقيمة‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫جـ د ‪ ،‬د ع‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫م هـ ‪ ،‬ن ل‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫أ جـ ‪ ،‬أ ر‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫ر ل ‪ ،‬ر هـ‬ ‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن ل نلا شا ها أا ط نحيحط اأ ي‬ ‫ط الأط نا ل ط نا (أيط ا ط نايأل نا شالألط أنا اااط‬ ‫نا لنأق‪ ٪35.44‬أ ا ل ط‬ ‫ن ي ز ا يم ة ا نا ط اة م هأم ناة ا ل أ أن ّن( أ ا‬ ‫‪ .٪66.22‬ألا ن ة ايث‬ ‫أأن ر ناين(لأص‪.‬‬ ‫‪125‬‬

‫نازأنيا لا ناأيأل ي ا ‪ ،‬حّيي ا ن لا ق نازأنيةا ةلاأيةي لا‬ ‫سؤال (‪ :)2‬الل زأم‬ ‫نا يا ؟‬ ‫ين(لأص حأل \" م\" أ \"لا\" الل زأم نازأنيا‪:‬‬ ‫هل ال ازويتان متساويتان في القياس؟‬ ‫زوج الزوايا‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫< م هـ جـ ‪ < ،‬ن ل ر‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫< هـ جـ د‪ < ،‬ي ع س‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫< أ ر جـ ‪ < ،‬ر س ع‬ ‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن ل نلا شا ها أا ط لا ط أنحيحط‬ ‫ط نألأص ا ط أقل نا ل ط نا (أيط ا ط نايأل نا شالألط‬ ‫‪ ٪22.63‬أ ا ل ط‬ ‫ط ي ا‪ .‬ا يشيلأ ا ةي ا لهم نا ط ا نا(ص ناشلل‬ ‫أنا اااط ‪ ٪29.77‬أ ا‬ ‫̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‬ ‫نا ة ا ل أ ا أنص ناين(لأص‪.‬‬ ‫ناشلل ن ن ا‪ .‬ألأل ق حا ع أق ق لأ ي لا ‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)3‬ي ي ناشلل ي ا أز ن‬ ‫نلة ل نالألم أنا أ اق نا ّي ط ي( احلار حا ‪.‬‬ ‫‪126‬‬

‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن ل نل شا ( أا ط لا ط‬ ‫أنحيحط ‪ ٪10‬لا حي لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط نايأل نا شالألط ‪ ٪28.44‬أل نا ل ةي‬ ‫ةا ‪ .‬أ ن يشيلأ ا ا ي نا ر لا ةشا ( نا اق أشلأأ ناةشا (‪ ،‬أ ّهم‬ ‫أ اق لا حل نا لا(ل أ أ‬ ‫ةأظيا ا ي لألأ‬ ‫ي لألأ ها أال هم ام ييلّأأن ةيلأي ا لاليا‬ ‫حي هالنأق ناة ليلأ نا يا‪.‬‬ ‫الـعـلاج‪ :‬ااأط ن نال نل أ ي ة( ةةم الة ال لةلنأةيأيط حل نا لأاط أنألنأ حأنلأ‬ ‫أ اقشط نا ط اةحييي نا أر أة للأ نا أ اق نق نا قط م نقةلنأ للأ ياق اةأظيا‬ ‫نا أ اق احل ن ل( ط‪.‬‬ ‫أولا‪ :‬لهم نا لأاط‪:‬‬ ‫‪ ‬ما هي المعطيات في هذا السؤال؟‬ ‫الجواب‪ :‬شلل ة ا ل حأل لة يم‪.‬‬ ‫‪ ‬ماذا يترتب على تماثل خط مستقيم؟‬ ‫لة يم ي ا ّ أز(ا ناشلل حأل نا لة يم ن لا ا ه ا‬ ‫الجواب‪ :‬ناة ا ل حأل‬ ‫نا ا‪.‬‬ ‫‪ ‬ما خواص الانعكاس في خط مستقيم؟‬ ‫‪127‬‬

‫الجواب‪ :‬نلا لا ةحأيل قيالا يحالظ نا يالاق نا أاّيط أنا لاحاق أقيالاق نازأنيا‪.‬‬ ‫ل أل ل ّل ق ط لة ي ط يلاأث أل نألأةها‪ ،‬أقيا ل ّل نزأيط يلاأث قيا نألأةها‪،‬‬ ‫أ لاحط لل ط ةلاأث لاحط نألأةها‪.‬‬ ‫‪ ‬ماذا أيضا؟‬ ‫حألأ ناة ا ل‪،‬‬ ‫ط أنألأةها ةلأ أيّيط‬ ‫الجواب‪ :‬نا ط نا لة ي ط ناأنن ط ي‬ ‫أ حألأ ناة ا ل ي ّن ها‪.‬‬ ‫أةا نلآ ا ن ل( ط‪:‬‬ ‫‪ ‬ما المطلوب في السؤال الأول؟‬ ‫الجواب‪ :‬ل نا ةا لا لل زأم ة ا ةا ةلاأيةا لا نا أل)؟‬ ‫̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‬ ‫الزوج الأول‪ :‬نا ةا أا ي ‪ ،‬ي ع ل ّل ه ا ن لا الأ لأ ‪ .‬ا ار ل ه ا نا أل ل(‪.‬‬ ‫لالإأا ط م‪.‬‬ ‫الزوج الثاني‪ :‬ا ّ ل ناين(لأةي ن لا الأ لأ له ا ة ا ةا ‪.‬‬ ‫أ ة ةة ا م ين(لأةا ؟ ناأأنر‪ :‬ن لا ن ا ق لأيه ا ةلاأيي لا نا أل‪.‬‬ ‫̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‬ ‫ل م ا ‪ ،‬ل ة ا ةا ؟ ناأأنر‪ :‬م‪ ،‬ه ا ن ا ق لأي اين(لأةي ة ا ةي ‪.‬‬ ‫̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‬ ‫الزوج الثالث‪ :‬حا ‪ ،‬لأ ا ا ع حا لأ نا ا(م نا نزأيط لا حا‪.‬‬ ‫‪ ‬ل ي ل ةلأ نزأيط لأ لا نا ع حا لأ قا( ط؟ أا ا ن؟‬ ‫‪128‬‬

‫الجواب‪ :‬لا ي ل ‪ ،‬أ أع قيالاق زأنيا نا ع ناين يط ‪ .°180‬أ ا ّ‬ ‫م < حا) = ‪°90‬‬ ‫لإ ّ م < ) ‪ +‬م < لأ) = ‪°90‬‬ ‫ث قيا لل نزأيط ه ا قل ‪°90‬‬ ‫‪ ‬ا نا قط ي قيالاق نا ع أ أنل (؟‬ ‫الجواب‪ :‬نا نزأيط ن ل لأ ة ا ل نا ن أل‪.‬‬ ‫أ ا م < حا) > م < لأ)‪ ،‬ل ا ن ةلة ةم؟‬ ‫الجواب‪ :‬نا نا ا ل اا < حا أل نا نا ا ل اا < لأ‪.‬‬ ‫ث لأ > حا‬ ‫̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‬ ‫لأ ‪ ،‬حا ‪ ،‬ايلةا ةلاأيةي لا نا أل‪ ،‬لااأأنر‪ :‬لا‪.‬‬ ‫أاا نا ةي‬ ‫ط الأأها‪ ،‬ل ا نا قط ي‬ ‫الزوج ال اربع‪ :‬أن ن لألم ا ّلا اين(لأص‬ ‫ناأنن ةي ي ة ر نا ط أ ةا ناة ا ‪.‬‬ ‫الجواب‪ :‬ةلاأيةا لا نا أل‪.‬‬ ‫‪ ‬ل لأل = لأث؟ أا ا ن؟‬ ‫نا ط لأ‪.‬‬ ‫الجواب‪ :‬م ّه ا ألا ق ةي اليةي ا ين(لأص‬ ‫‪129‬‬

‫أ ل لأأ = لأ ا ؟ أا ا ن؟‬ ‫الجواب‪ :‬لاالا م‪.‬‬ ‫̅̅‬ ‫‪ ‬ل لأل‪ ،‬لأأ ةلاأيةا لا نا أل؟ أا ا ن؟‬ ‫الجواب‪ :‬م‪ ،‬؟ ّ ل ه ا ن لا الأ لأ حألأ ناة ا ل‪.‬‬ ‫؛ لأل = لأأ ؛ لأأ = لأ ا‪ .‬ا ن ةلة ةم؟‬ ‫انيط ناة ّيث ا قط نا لاأنص‪.‬‬ ‫الجواب‪ :‬لأل = لأ ا ا م‬ ‫̅̅‬ ‫لأل‪ ،‬لأ ا ةلاأيةا لا نا أل‪.‬‬ ‫فالجواب‪ :‬م‬ ‫السؤال (‪:)2‬‬ ‫‪ ‬ما المطلوب في هذا السؤال؟‬ ‫الجواب‪ :‬ل نا نزأيةا لا لل زأم ةلاأيةا لا نا يا ‪.‬‬ ‫الزوج الأول‪ :‬نا ق لأ ناة ا أي ّث نا ا ‪ .‬لاا نزأيةا م ا حا ‪ ،‬ل لأ‬ ‫قا( ةا ‪ .‬أنازأنيا نا أن(م ة ا ط‪ .‬؛ لااأأنر‪ :‬م‪.‬‬ ‫الزوج الثاني‪ :‬نا نزأيةا ا حا ي‪ ،‬ث ع لل ه ا ن لا الأ لأ ؛ له ا ة ا ةا ‪ .‬؛‬ ‫لااأأنر‪ :‬م‪.‬‬ ‫الزوج الثالث‪ < :‬لأ حا ‪ < ،‬لأ ع ن لا ا ه ا نا ا له ا ة ا ةا ‪.‬‬ ‫‪130‬‬

‫أ ا نا ع لأ ع يلأ ة ا م نا ي ‪ ،‬ث لأ ع ≠ ع ‪.‬‬ ‫لإ م < لأع) ≠ م < لأ ع)‬ ‫م < لأ حا) ≠ م < لأ ع)‬ ‫فالجواب‪ :‬لا‬ ‫السؤال (‪:)3‬‬ ‫ا ّ نا ط حا ن لا ا ط ع حألأ ناة ا ل لإّ( أٌي ّنا اا حا ع‪ .‬ث ّ حا‬ ‫= ‪ 1‬حا ع‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نا ا لأ حا ي‪ ،‬لأ حا ليه ا‪:‬‬ ‫< لأ حا ي = < لأ حا نزأيةا قا( ةا ‪.‬‬ ‫< ي لأ حا = < حا لأ انيط نلا لا اة ا م نازأنيا أ نزأيط شةلألط‪.‬‬ ‫< حا ي لأ = < حا لأ أ أع قيالاق زأنيا نا ع ‪.°180‬‬ ‫‪ ،‬لاا ا ةشا ها أي ةم ّ ‪:‬‬ ‫لأ حا = أا ي = لأ ي أ ااة أيا‬ ‫حا لأ أا‬ ‫لأ‬ ‫‪5,2× 6,6‬‬ ‫ها‬ ‫أ‬ ‫‪8,4‬‬ ‫‪= 5,2‬‬ ‫‪= 6,6‬‬ ‫‪6,6‬‬ ‫حا = ‪8.4‬‬ ‫حا‬ ‫لأ‬ ‫≈ ‪ 4.1‬لم‬ ‫‪131‬‬

‫ل ن ل( ط ي ا ة اقش نا ط ةح م يلي لأ(يلي ‪.‬‬ ‫‪ ‬لنأأ ط أ اق لا ط ل يلأص أة يةها‪.‬‬ ‫‪ ‬تنمية قدرة الطالب على تطبيق هذه المعلومات وتوظيفها في حل المسائل بطرق مبتكرة‬ ‫وهو أحد مظاهر التفكير‪ ،‬أي أ ّنها تساعد الطالب على اكتساب مهارات التفكير‪.‬‬ ‫‪132‬‬

‫تبليط عامود‬ ‫في منزل عمر عمود قاعدته مستطيلة الشكل طولها ‪50‬سم وعرضها ‪40‬سم‪ ،‬وارتفاعه‬ ‫‪250‬سم‪ .‬أراد عمر أن يغطيه بقطع من السيراميك مستطيلة الشكل طولها ‪30‬سم وعرضها‬ ‫‪15‬سم‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬ما عدد قطع السيراميك الكاملة التي سيستعملها عمر بالوضع المبين في الشكل؟‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة على سؤال مشابه‬ ‫منخفضة جداً حيث بلغت ‪ ٪0.78‬وهي أقل من النسبة المئوية لطلبة الدول المشاركة والتي‬ ‫كانت منخفضة أيضاً حيث بلغت ‪ .٪7.42‬وأعتقد أن الطلبة لم يعتادوا على مثل هذه الأسئلة‬ ‫ولذلك لم يتمكنوا من فهم السؤال جيداً لتحديد طريقة الحل‪.‬‬ ‫‪133‬‬

‫سؤال مشابه‪ :‬في إحدى قاعات متحف لعرض اللوحات الفنية عمود أسطواني ارتفاعه ثلاثة‬ ‫أمتار‪ ،‬وطول قطره نصف متر‪ُ .‬يراد تغطيته بطلاء ثمن العلبة منه ‪ 15‬ديناراً‪ .‬إذا كانت العلبة‬ ‫تكفي لطلاء ‪ 1.25‬متراً مربعاً‪ ،‬فما أقل عدد من ُعلب الطلاء تلزم لطلاء العمود؟‬ ‫الـعـلاج‪ :‬تتمحور فكرة حل مثل هذا السؤال في وضع تصور لطريقة حساب عدد القطع الكاملة‬ ‫اللازمة لتغطية العمود‪.‬‬ ‫للعمود أربعة أوجه مستطيلة الشكل‪ ،‬كل اثنين منهما متطابقان‪ :‬وجهان ُبعدا كل منهما ‪50‬سم‪،‬‬ ‫‪250‬سم‪ ،‬ووجهان ُبعدا كل منهما ‪40‬سم‪250 ،‬سم‪.‬‬ ‫أولاً‪ :‬نحسب عدد القطع الكاملة لتغطية الوجه ‪ 250 × 50‬ثم نضرب العدد في ‪.2‬‬ ‫‪ 8 = 30 ÷ 250‬والباقي ‪10‬‬ ‫إذن يحتاج عمر ‪ 8‬قطع كاملة لعمل صف رأسي‪.‬‬ ‫‪ 3 = 15 ÷ 50‬والباقي ‪5‬‬ ‫إذن يحتاج عمر ‪ 3‬قطع كاملة لعمل صف أفقي‪.‬‬ ‫وسيحتاج عمر إلى ‪ 24 = 3 × 8‬قطعة كاملة لكل وجه من هذين الوجهين‪.‬‬ ‫‪ 48 = 2 × 24‬قطعة سيستعملها عمر لهذين الوجهين‪.‬‬ ‫ثانياً‪ :‬نحسب الآن عدد القطع الكاملة لتغطية الوجه ‪ 250 × 40‬ثم نضرب في ‪.2‬‬ ‫‪ 8 = 30 ÷ 250‬والباقي ‪10‬‬ ‫‪ 2 = 15 ÷ 40‬والباقي ‪10‬‬ ‫إذن سيحتاج عمر إلى ‪ 16 = 2 × 8‬وقطعة كاملة لكل من الوجهين‪.‬‬ ‫‪ 32 = 2 × 16‬قطعة كاملة سيستعملها عمر لهذين الوجهين‪.‬‬ ‫وعدد القطع الكاملة كلها التي سيستعملها عمر لتغطية العمود = ‪32 + 48‬‬ ‫= ‪ 80‬قطعة‬ ‫إذن حل مثل هذا السؤال يتطلب من الطالب تجزئة الحل إلى أجزاء لتسهيل عملية الحساب ثم‬ ‫تجميع الحلول الجزئية‪.‬‬ ‫‪134‬‬

‫المـرآب‬ ‫تنتج الشركة ال ُمصنعة للمرآب نماذج \"أساسية\" متنوعة تشتمل على نماذج ذات نافذة واحدة‬ ‫وباب واحد فقط‪.‬‬ ‫يختار جلال النموذج التالي من بين النماذج \"الأساسية\"‪ .‬يبين هذا الشكل موقع كل من النافذة‬ ‫والباب‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬تبين الرسوم التوضيحية الآتية نماذج \"أساسية \" مختلفة عندما تشاهد من الخلف‪.‬‬ ‫واحد فقط من هذه الرسوم التوضيحية يطابق النموذج أعلاه الذي اختاره جلال‪.‬‬ ‫ما النموذج الذي اختاره جلال؟ ضع دائرة حول أ أو ب أو ج أو د‪.‬‬ ‫أب‬ ‫جد‬ ‫‪135‬‬

‫‪2.50‬‬ ‫يبين المخططان أدناه أبعاد المرآب الذي اختاره جلال ‪ ،‬بالأمتار‪.‬‬ ‫‪1.00‬‬ ‫‪1.00‬‬ ‫‪2.40 2.40‬‬ ‫‪0.50 1.00‬‬ ‫‪2.00‬‬ ‫‪1.00 0.50‬‬ ‫‪6.00‬‬ ‫منظر‌أمامي‬ ‫منظر‌جانبي‬ ‫ملاحظة‪ :‬الشكل ليس مرسو ًما وفق مقياس رسم‪.‬‬ ‫يتكون السقف من لوحين متطابقين مستطيلي الشكل‪.‬‬ ‫احسب المساحة الكلية للسقف‪.‬ب ّين خطوات الحل ‪.‬‬ ‫‪.....................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................‬‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت نتيجة الطلبة الأردنيين الذين أجابوا السؤال الأول إجابة صحيحة (النموذج ج)‬ ‫‪ ٪49.36‬وهي نتيجة منخفضة‪ ،‬ولا تتناسب مع بساطة السؤال‪ .‬في حين بلغت النسبة الدولية‬ ‫‪ 60.41‬وهي ليست مرتفعة أيضاً‪.‬‬ ‫وبالنسبة للسؤال الثاني فقد بلغت نسبة الطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة ‪٪1.56‬‬ ‫والنسبة الدولية ‪ ٪3.1‬وكلاهما منخفضتان جداً مما يشير إلى ضعف عام عند الطلبة في‬ ‫توظيف المعلومات الرياضية لمعالجة مواقف من واقع الحياة‪.‬‬ ‫‪136‬‬

‫سؤال مشابه‪ :‬الشكل إلى اليسار‪ ،‬رسم تخطيطي لباب‬ ‫قدمه سامر لنجار كي ينفذه‪ ،‬وطلب منه أن يكون‬ ‫القوس في أعلى الباب قوساً دائرياً‪.‬‬ ‫ما طول نصف قطر تلك الدائرة؟‬ ‫الـعـلاج‪ :‬تعتمد إجابة السؤال الأول على تأمل الطالب في المنظر الأمامي وإدراك العلاقة بين‬ ‫أجزاء النموذج لتحديد المنظر من جهة أخرى‪.‬‬ ‫فمن المنظر الأمامي تكون واجهة الشباك إلى يمين الناظر ويكون الشباك في الطرف القريب‬ ‫من الواجهة‪.‬‬ ‫ولذلك‪ ،‬عند النظر إلى النموذج من الخلف ستكون واجهة الشباك إلى يسار الناظر‪ ،‬ويكون‬ ‫الشباك في الطرف البعيد من الواجهة‪ .‬وهذا الوصف يتحقق في البديل جـ‪.‬‬ ‫أما بالنسبة للسؤال الثاني فتحتاج إجابته لتوظيف نظرية فيثاغورس لإيجاد عرض اللوح الواحد‬ ‫ثم إيجاد مساحته‪.‬‬ ‫‪137‬‬

‫من المثلث أ ب جـ ‪:‬‬ ‫عرض اللوح الواحد = أ ب = (أ ب)‪( + 2‬جـ ب)‪2‬‬ ‫= (‪21 + 2)2.5‬‬ ‫= ‪ 7.25‬متراً‬ ‫وطوله = ‪ 6‬أمتار‬ ‫إذن مساحة اللوح = ‪7.25 × 6‬‬ ‫والمساحة الكلية للسقف = ‪7.25 6 × 2‬‬ ‫= ‪7.25 12‬‬ ‫ومثل هذا السؤال يعزز شعور الطالب بالجانب الوظيفي للرياضيات في واقع الحياة‪ .‬مما يزيد‬ ‫من شعوره باهمية الرياضيات‪.‬‬ ‫وعلى المعلم أن يكثر من التطبيقات الحياتية المتنوعة للرياضيات كي يعتاد الطالب على توظيف‬ ‫ما يتعلمه من معرفة رياضية في معالجة مواقف حياتية‪.‬‬ ‫‪138‬‬