دليل إرشادي لمعلمي الرياضيات 2013 Final

‫إذن فللمعادلة حلان هما (‪ )4 ، 2‬؛ (‪)2 ، 7‬‬ ‫وعندما م = ‪ 1310‬فإن ‪25 × 50 + 3 × 20 = 1310‬‬ ‫=‪23 × 50 + 8 × 20‬‬ ‫=‪21 × 50 + 13 × 20‬‬ ‫=‪19 × 50 + 18 × 20‬‬ ‫=‪17 × 50 + 23 × 20‬‬ ‫=‪15 × 50 + 28 × 20‬‬ ‫=‪13 × 50 + 33 × 20‬‬ ‫=‪11 × 50 + 38 × 20‬‬ ‫=‪9 × 50 + 43 × 20‬‬ ‫=‪7 × 50 + 48 × 20‬‬ ‫=‪5 × 50 + 53 × 20‬‬ ‫=‪3 × 50 + 58 × 20‬‬ ‫=‪1 × 50 + 63 × 20‬‬ ‫وهذا يفتح باباً لحل السؤال (‪:)2‬‬ ‫فلإيجاد أكبر عدد لقطع الأوراق النقدية من فئة ‪ 50‬ديناراً نتبع ما يأتي‪.‬‬ ‫‪ 26 = 50 ÷ 1310‬والباقي ‪10‬‬ ‫وهذا الباقي لا يمكن سحبه بالأوراق من فئة ‪ 20‬ديناراً‬ ‫ولذلك نقلل عدد القطع من فئة ‪ 50‬ديناراً ورقة واحدة فيصبح‬ ‫‪ 25 = 50 ÷ 1310‬والباقي ‪ 60‬وهذا الباقي مضاعف للعدد ‪ 20‬حيث ‪3 × 20 = 60‬‬ ‫‪25 × 50 + 3 × 20 = 1310‬؞‬ ‫وهذا الحل يتفق مع السؤال (‪)2‬‬ ‫‪45‬‬

‫وبالأسلوب نفسه‪:‬‬ ‫‪ 18 = 50 ÷ 930‬والباقي ‪ 30‬وهذا الباقي ليس مضاعفاً للعدد ‪20‬‬ ‫نقلل عدد قطع النقد فئة ‪ 50‬ديناراً ورقة واحدة‬ ‫= ‪ 17‬والباقي ‪ 80‬وهذا الباقي مضاعف للعدد ‪ 20‬حيث ‪4 × 20 = 80‬‬ ‫إذن ‪17 × 50 + 4 × 20 = 930‬‬ ‫أي أنه إلتزاماً بشرط سؤال (‪ )2‬يكون أكبر عدد ممكن للأوراق النقدية من فئة ‪ 50‬ديناراً هو‬ ‫‪ 17‬ومن فئة ‪ 20‬ديناراً هو ‪4‬‬ ‫ولحل السؤال الثاني من الأسئلة المشابهة‪:‬‬ ‫وثمن الكتكوت = ‪ 1‬دينار‬ ‫نفرض عدد الكتاكيت التي اشتراها قصي = س‬ ‫‪3‬‬ ‫عدد الدجاجات التي اشتراها قصي = ص‬ ‫وثمن الدجاجة = ‪ 2‬دينار‬ ‫فيكون‪:‬‬ ‫حيث ‪ ≤1‬س ≤ ‪ ≤ 1 ، 75‬ص ≤ ‪12‬‬ ‫س ‪ +‬ص = ‪ 25‬طيراً‬ ‫‪ 1‬س ‪2 +‬ص = ‪ 25‬ديناراً‬ ‫‪3‬‬ ‫إذن س ‪ +‬ص = ‪ 1‬س ‪2 +‬ص‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬س = ص أو س = ‪ 3‬ص‬ ‫‪23‬‬ ‫المعادلة الأخيرة تحتم أن تكون قيم ص زوجية حتى تكون قيم س صحيحة‪.‬‬ ‫وبما أن ‪ ≤ 1‬ص ≤ ‪12‬‬ ‫فإن القيم التي يمكن أن تأخذها ص هي‪12 ، 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، 2 :‬‬ ‫نكون جدولاً كالآتي نضع فيه قيم ص ونحسب قيم س ونبحث متى تكون س ‪ +‬ص = ‪25‬‬ ‫‪46‬‬

‫س‪+‬ص‬ ‫صس‬ ‫‪5‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪12 8‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪15 10‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪18 12‬‬ ‫من هذا الجدول نجد أن عدد الدجاجات التي اشتراها قصي = ‪10‬‬ ‫وعدد الكتاكيت التي اشتراها قصي = ‪15‬‬ ‫وللتحقق من ذلك‪:‬‬ ‫س ‪ +‬ص = ‪10 + 15‬‬ ‫= ‪25‬‬ ‫‪ 1‬س ‪2 +‬ص = ‪10 × 2 + 15 × 1‬‬ ‫‪33‬‬ ‫= ‪20 + 5‬‬ ‫= ‪25‬‬ ‫إذن فالحل صحيح‪.‬‬ ‫‪47‬‬

‫الإحـصــاء‬ ‫والاحتـمـالات‬ ‫‪48‬‬

‫شراء منزل‬ ‫يرغب فارس أن يتزوج‪ .‬وفكر أن يشتري منزلاً خاصاً به‪.‬‬ ‫يبين الجدول الآتي مواصفات أربعة منازل أرشده إليها مكتب عقاري‪.‬‬ ‫البيت البيت البيت البيت‬ ‫المواصفات‬ ‫الأول الثاني الثالث الرابع‬ ‫سنة‌البناء ‌‬ ‫‪‌ 1990 ‌ 2003 ‌ 1995 ‌ 2008‬‬ ‫الثمن‌بالدينار ‌‬ ‫‪‌ 24000 ‌ 25000 ‌ 28500 ‌ 32000‬‬ ‫البعد‌عن‌مركز‌المدينة‌بالكيلومتر ‌‬ ‫‪‌ 1.755 ‌ 2.25 ‌ 1.867 ‌ 1.76‬‬ ‫المساحة‌بالأمتار‌المربعة ‌‬ ‫‪‌ 165 ‌ 185 ‌ 180 ‌ 170‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬يريد فارس أن يشتري بيتاً يحقق الشروط الآتية جميعها‪:‬‬ ‫‪ ‬لا يزيد ُبعد البيت عن مركز المدينة على ‪ 2‬كيلومتر‪.‬‬ ‫‪ُ ‬بني البيت سنة ‪1995‬م أو في السنوات اللاحقة‪.‬‬ ‫‪ ‬لا يزيد ثمن البيت على ‪ 30000‬دينار‪.‬‬ ‫أي بيت يحقق شروط فارس؟‬ ‫أ) البيت الأول‪.‬‬ ‫ب) البيت الثاني‪.‬‬ ‫ج) البيت الثالث‬ ‫د) البيت الرابع‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت نسبة الطلبة الأردنيين الذين أجابوا سؤالاً مشابهاً إجابة صحيحة ‪ ٪73.76‬وهي‬ ‫قريبة من النسبة الدولية والتي بلغت ‪٪77.65‬‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬ما الرقم الذي يجب أن يكتب في حتى يصبح العدد ‪:2844‬‬ ‫‪ ‬يقبل القسمة على ‪2‬‬ ‫‪ ‬ويقبل القسمة على ‪3‬‬ ‫‪ ‬ويقبل القسمة على ‪ 11‬؟‬ ‫‪49‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬يعالج هذا السؤال وأمثاله بطريقة الاستبعاد‪ .‬وهي إحدى طرق البرهان‪ .‬حيث يتم‬ ‫تناول الشروط واحداً تلو الآخر‪ .‬ويتم استبعاد الحالات التي لا تحققه‪.‬‬ ‫فمن الشرط الأول‪ُ :‬يستبعد البيت الثالث لأنه يبعد عن مركز المدينة بأكثر من ‪ 2‬كيلومتر‪ .‬وتبقى‬ ‫البيوت الأول والثاني والرابع‪.‬‬ ‫ومن الشرط الثاني‪ُ :‬يستبعد البيت الرابع لأنه ُبني قبل سنة ‪1995‬م‪ .‬ويبقى البيتان الأول‬ ‫والثاني‪.‬‬ ‫ومن الشرط الثالث‪ُ :‬يستبعد البيت الأول لأن ثمنه يزيد على ‪ 30000‬دينار‪ .‬ويبقى البيت الثاني‪.‬‬ ‫إذن‪ ،‬فالبيت الثاني يحقق شروط فارس جميعها‪.‬‬ ‫وتتم هذه المراحل باستعمال أسلوب الحوار والمناقشة‪ .‬حيث يطرح المعلم أسئلة حول هذه‬ ‫الشروط‪ ،‬ويطلب تبريراً لإجابات الطلبة‪ .‬ويستعمل المثال المضاد عندما تكون الإجابة خطأ‪.‬‬ ‫فمثلاً؛ حول الشرط الأول‪:‬‬ ‫كم متراً يبعد البيت الأول عن مركز المدينة؟‬ ‫وكم متراً يبعد البيت الثاني عن مركز المدينة؟ البيت الثالث؟ البيت الرابع؟‬ ‫أي بيت يزيد ُبعده عن مركز المدينة على ‪ 2000‬متر؟‬ ‫ما البيوت التي تحقق شرط فارس الأول؟‬ ‫وبالمثل‪ُ ،‬تطرح أسئلة حول الشرط الثاني‪ ،‬وأسئلة حول الشرط الثالث‪ ،‬إلى أن يتم تحديد البيت‬ ‫الذي يحقق الشروط جميعها‪.‬‬ ‫‪50‬‬

‫سؤال (‪ :)2‬أي بيت أقرب لمركز المدينة؟‬ ‫أ) البيت الأول‪.‬‬ ‫ب) البيت الثاني‪.‬‬ ‫ج) البيت الثالث‬ ‫د) البيت الرابع‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا هذا السؤال إجابة صحيحة (البيت‬ ‫الرابع) ‪ ٪28.81‬وهي نسبة منخفضة بشكل عام ومقارنة بالنسبة العالمية والتي بلغت‬ ‫‪٪42.12‬‬ ‫الـعـلاج‪ُ :‬يعزى انخفاض مستوى أداء الطلبة على مثل هذا السؤال إلى ضعفهم في فهم وإدراك‬ ‫المنازل العشرية وقيمها‪ .‬فهم يتعاملون مع الجزء الكسري وكأنه جزء صحيح‪ .‬ولذلك يرون أن‬ ‫العدد ‪ 0.175‬أكبر من ‪0.25‬‬ ‫ولمعالجة هذا الضعف يجب التأكيد على القيم المنزلية للأرقام في الجزء العشري والعلاقة بينها‬ ‫في النظام العشري‪ .‬فمثلاً‪:‬‬ ‫‪... 0.200 = 0.20 = 0.2‬‬ ‫أي جزءان من عشرة = عشرون جزءاً من مائة = مئتا جزء من ألف = ‪...‬‬ ‫ومنها يؤكد على أن وضع أصفار إلى يمين الجزء الكسري لا يغير في قيمة العدد‪ .‬وتوظف هذه‬ ‫الفكرة لترتيب الأعداد‪.‬‬ ‫فأبعاد البيوت عن مركز المدينة بالكيلومترات هي على الترتيب‪:‬‬ ‫‪1.755 2.25 1.867 1.76‬‬ ‫ويصبح السؤال‪ :‬ما أصغر عدد بين هذه الأعداد الأربعة؟‬ ‫ولإجابة هذا السؤال نوحد عدد المنازل العشرية؛ ونبدأ بمقارنة أرقام الأعداد في المنازل‬ ‫المتشابهة من اليسار إلى اليمين‪.‬‬ ‫‪1.755 2.250 1.867 1.760‬‬ ‫‪51‬‬

‫وعند مقارنة الجزء الصحيح نجد أن العدد ‪ 2.250‬هو الأكبر‪.‬‬ ‫وعند مقارنة أجزاء العشرة في الأعداد الباقية نجد أن العدد ‪ 1.867‬هو الأكبر‪.‬‬ ‫وعند مقارنة أجزاء المئة في العددين الباقيين نجد أن العدد ‪ 1.760‬هو الأكبر‪.‬‬ ‫إذن فأصغر الأعداد الأربعة هو ‪1.755‬‬ ‫أي أن البيت الرابع هو الأقرب لمركز المدينة‪.‬‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬ما أصغر عدد بين الأعداد ‪3.824 4.5 3.83 3.95‬‬ ‫سؤال (‪ :)3‬يتعين على فارس أن يدفع رسوماً إضافية للدولة تساوي ‪ ٪2.5‬من ثمن البيت‪ .‬ما‬ ‫مقدار الرسوم الإضافية المترتبة على البيت الأول؟‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة على سؤال مشابه‬ ‫‪ ٪20.09‬وهي نسبة منخفضة رغم بساطة السؤال‪ .‬وكذلك كانت النسبة المئوية العالمية‬ ‫منخفضة حيث بلغت ‪٪27.41‬‬ ‫الـعـلاج‪ :‬فكرة هذا السؤال تدور حول حساب نسبة مئوية من كمية معلومة‪ .‬فيبدو أن مفهوم‬ ‫النسبة المئوية غير واضح لدى الطلبة‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫لذلك يجب التأكيد على أن ‪ ٪2.5‬تعني ‪ 2.5‬أي‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ثم تأتي الفكرة الثانية وهي حساب نسبة (أو كسر) من عدد ما‪ .‬فلحساب ‪ 25‬من ثمن البيت‬ ‫‪1000‬‬ ‫الأول والبالغ ‪ 32000‬دينار نضرب ‪ 25‬في ‪32000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫إذن مقدار الرسوم الإضافية المترتبة على البيت الأول = ‪32000 X 25‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫= ‪ 800‬دينار‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬أعلن تاجر عن خصم ‪ ٪15‬من ثمن بضاعته‪ ،‬ما مقدار الخصم على سلعة ثمنها‬ ‫‪ 650‬ديناراً؟‬ ‫‪52‬‬

‫القرص الدوار‬ ‫سؤال‪ :‬في لعبة القرص الدوار المرقم من ‪ 1‬إلى ‪ُ 36‬يدور القرص ‪ 5‬مرات‪ ،‬ويربح الجائزة من‬ ‫يتوقع الأرقام الخمسة التي يستقر عندها المؤشر‪.‬‬ ‫راقب سامر هذه اللعبة مرات عديدة وحفظ الأرقام التي لم تظهر في المرات السابقة‪ .‬كما حفظ‬ ‫الأرقام التي ربحت في المرة الأخيرة‪.‬‬ ‫ضع دائرة حول كلمة \"صواب\" أو كلمة \"خطأ\" مقابل كل من العبارات الآتية‪:‬‬ ‫قيمة الصواب‬ ‫العبارة‬ ‫صواب ‪ /‬خطأ‬ ‫لا فائدة للمعلومات التي حفظها سامر في التنبؤ بالأرقام التي‬ ‫صواب ‪ /‬خطأ‬ ‫صواب ‪ /‬خطأ‬ ‫ستظهر في المرة التالية‬ ‫صواب ‪ /‬خطأ‬ ‫الأرقام التي لم تظهر في المرات السابقة لها فرصة أكبر في‬ ‫الظهور‬ ‫الأرقام التي ظهرت في المرة الأخيرة فرصتها أقل لأنه من غير‬ ‫المحتمل تكرار ظهورها مرتين متتاليتين‬ ‫الأرقام التي تكرر ظهورها في المرات السابقة فرصتها أكبر في‬ ‫الظهور لأنها أرقام شائعة‬ ‫‪53‬‬

‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا عن الفقرات الأربع إجابة صحيحة‬ ‫‪ ٪15.2‬في حين بلغت نسبة طلبة الدول المشاركة ‪٪38.11‬‬ ‫كما كانت نسبة الطلبة الأردنيين الذين أجابوا ثلاث عن فقرات إجابة صحيحة ‪٪26.45‬‬ ‫والذين أجابوا عن فقرتين إجابة صحيحة ‪٪30.5‬‬ ‫والذين أجابوا عن فقرة واحدة إجابة صحيحة ‪٪19.8‬‬ ‫أما النسبة الباقية وهي ‪ ٪8.05‬فتمثل الطلبة الذين أخطأوا الفقرات الأربعة أو أهملوا السؤال‬ ‫ولم يصلوه‪.‬‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬ألقيت ثلاث قطع نقود منتظمة عشوائياً ‪ 100‬مرة‪ ،‬وظهرت \"الصورتان والكتابة\"‬ ‫أكبر عدد من المرات‪ ،‬في حين لم تظهر \"الصور الثلاث\" في المرات السابقة‪.‬‬ ‫ألقيت قطع النقود الثلاث مرة أخرى‪.‬‬ ‫ضع دائرة حول كلمة \"صواب\" أو كلمة \"خطأ\" مقابل كل من العبارات الآتية‪:‬‬ ‫قيمة الصواب‬ ‫العبارة‬ ‫صواب ‪ /‬خطأ‬ ‫فرصة ظهور الصور الثلاث أكبر لأنها لم تظهر في المرات السابقة‬ ‫صواب ‪ /‬خطأ‬ ‫صواب ‪ /‬خطأ‬ ‫فرصة ظهور \"صورتان وكتابة\" أكبر لأنها أصبحت شائعة‬ ‫لا فائدة من المعلومات السابقة عن رمي القطع الثلاث ‪ 100‬مرة‬ ‫صواب ‪ /‬خطأ‬ ‫في التنبؤ بنتيجة الرمية التالية‬ ‫نتيجة الرمي الأخيرة فرصتها أقل لأنه من غير المحتمل تكرار‬ ‫ظهورها مرتين متتاليتين‬ ‫الـعـلاج‪ :‬تعتمد إجابة مثل هذه الأسئلة على إتقان الطالب لمفاهيم الاحتمالات‪ .‬وتمييزهم ما بين‬ ‫الاحتمالات المشروطة والحوادث المستقلة‪ .‬ففي حالة سلسلة من الحوادث‪ ،‬إذا كان احتمال‬ ‫حادث يتأثر بوقوع أو عدم وقوع الحوادث السابقة له كانت احتمالات الحوادث مشروطة بوقوع‬ ‫أو عدم وقوع ما قبلها‪ .‬وعندها لا نستطيع إيجاد احتمال حادث إلا إذا عرفنا نتائج الحوادث‬ ‫السابقة له‪ .‬أما إذا كان احتمال حادث لا يتأثر بوقوع الحوادث السابقة له كانت الحوادث مستقلة‪.‬‬ ‫‪54‬‬

‫فإذا كان ح‪ ،1‬ح‪ 2‬حادثين من فضاء عيني ‪ Ω‬لتجربة عشوائية‪ ،‬وكان احتمال ح‪ 2‬يتأثر بوقوع أو‬ ‫عدم وقوع ح‪ 1‬فإن احتمال ح‪ 2‬مشروط بوقوع أو عدم وقوع ح‪ .1‬وعندها‬ ‫نكتب ل (ح‪|2‬ح‪ )1‬ليعني احتمال وقوع ح‪ 2‬تحت شرط وقوع ح‪1‬‬ ‫أو ل (ح‪|2‬ح‪ )1‬ليعني احتمال وقوع ح‪ 2‬تحت شرط عدم وقوع ح‪1‬‬ ‫ويكون احتمال وقوع الحادثين معاً هو‪:‬‬ ‫ل (ح‪ ∩ 1‬ح‪ = )2‬ل (ح‪ . )1‬ل (ح‪|2‬ح‪)1‬‬ ‫أما إذا كان احتمال وقوع ح‪ 2‬لا يتأثر بوقوع ح‪ 1‬أو عدم وقوعه فإننا نكتب‪:‬‬ ‫ل (ح‪|2‬ح‪ = )1‬ل (ح‪)2‬‬ ‫وكذلك ل (ح‪|2‬ح‪ = )1‬ل (ح‪)2‬‬ ‫وفي الحالتين يكون احتمال وقوع الحادثين معاً هو‪:‬‬ ‫ل (ح‪ ∩ 1‬ح‪ = )2‬ل(ح‪ . )1‬ل(ح‪)2‬‬ ‫وتمييز الطالب ما بين الحوادث المشروطة والحوادث المستقلة شيء مهم جداً لحل مثل هذه‬ ‫المسائل‪.‬‬ ‫ففي تجربة القرص الدوار‪ ،‬استقرار المؤشر عند رقم ما لا يؤثر في احتمال استقراره عند رقم‬ ‫آخر في المرة التالية‪ ،‬وعليه فإن حفظ سامر للأرقام التي لم تظهر في المرات السابقة والأرقام‬ ‫التي ربحت في المرة الأخيرة لا فائدة منها لأنها لن تؤثر ولن تغير من فرصة ظهور الأرقام في‬ ‫المرة التالية‪.‬‬ ‫ويجب على المعلم أن يقدم عدداً من التجارب و ُيجري نقاشاً حول تأثر الحوادث المتعاقبة‬ ‫ببعضها حتى يكتسب الطلبة القدرة على التمييز بين الحوادث المشروطة والحوادث المستقلة‪.‬‬ ‫‪55‬‬

‫شقة للإيجار‬ ‫وجد كريم الإعلان التالي على الإنترنت عن بيت معروض للبيع في مدينة سياحية يؤجر في‬ ‫الإجازات والأعياد‪ .‬فكر كريم بشرائه بحيث يمكنه تأجيره لأولئك الراغبين في قضاء إجازاتهم‪.‬‬ ‫السعر‪ 200000 :‬دينار‬ ‫غرفة معيشة وسفرة واحدة‬ ‫عدد الغرف‬ ‫غرفة نوم واحدة‬ ‫غرفة حمام‬ ‫‪ 60‬متراً مربعاً (م‪)2‬‬ ‫المساحة الكلية‬ ‫مكان للسيارة نعم‬ ‫الزمن للوصول لمركز المدينة ‪ 10‬دقائق‬ ‫‪ 350‬متراً في طريق مباشر‬ ‫المسافة إلى الشاطئ‬ ‫معدل إشغالها بالزوار في آخر ‪ 315‬يوماً في السنة‬ ‫‪ 10‬سنوات‬ ‫سؤال (‪ :)1‬لتقييم سعر الشقة‪ ،‬طلب كريم إلى أحد الخبراء تقييم سعر البيت‪.‬‬ ‫استخدم الخبير المعايير الواردة في الجدول أدناه لتقدير قيمة البيت‪.‬‬ ‫‪2500‬‬ ‫السعر‬ ‫سعر المتر‬ ‫ديناراً‬ ‫الأساسي‪:‬‬ ‫المربع‬ ‫أقل من ‪0.5‬‬ ‫أقل من ‪5‬‬ ‫من‪ 5‬إلى ‪15‬‬ ‫أكثر من ‪15‬‬ ‫زمن الوصول‬ ‫معايير‬ ‫كيلومتر‪:‬‬ ‫دقائق‪:‬‬ ‫دقيقة‪:‬‬ ‫دقيقة‪:‬‬ ‫لمركز المدينة‬ ‫قيمة‬ ‫إضافية‬ ‫‪ 15000‬دينار‬ ‫‪ 20000‬دينار‬ ‫‪ 10000‬دينار‬ ‫لا شيء‬ ‫المسافة إلى‬ ‫الشاطئ‬ ‫من ‪ 0.5‬إلى‬ ‫من ‪ 1‬إلى ‪2‬‬ ‫أكثر من ‪2‬‬ ‫(بالطريق‬ ‫‪ 1‬كيلومتر‪:‬‬ ‫كيلومتر‪:‬‬ ‫كيلومتر‪:‬‬ ‫المباشر)‬ ‫‪ 10000‬دينار‬ ‫‪ 5000‬دينار‬ ‫لا شيء‬ ‫مكان للسيارة‬ ‫نعم‪:‬‬ ‫لا‪:‬‬ ‫‪ 35000‬دينار‬ ‫لا شيء‬ ‫‪56‬‬

‫إذا كانت القيمة المقدرة من قبل الخبير أكبر من سعر البيع المعلن‪ ،‬فإن السعر المعلن يعتبر \"جيد‬ ‫جداً\" بالنسبة لكريم كمشتر محتمل‪.‬‬ ‫بين أن – وبنا ًء على معايير الخبير‪ -‬سعر البيع المعلن \"جيد جداً\" لكريم‪.‬‬ ‫____________________________________________________‬ ‫__________________________________________________‬ ‫__________________________________________________‬ ‫سؤال (‪ :)2‬معدل إشغال البيت من قبل الزائرين الراغبين في قضاء إجازاتهم في السنوات‬ ‫العشر الأخيرة هو ‪ 315‬يوم في السنة‪.‬‬ ‫حدد ما إذا كانت العبارات التالية يمكن أن تستنتج من هذه المعلومة‪.‬‬ ‫ضع دائرة حول \"نعم\" أو \"لا\" لكل عبارة‪.‬‬ ‫هل يمكن أن تستنتج العبارة من البيانات‬ ‫العبارة‬ ‫المعطاة؟‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫يمكن القول بثقة أن البيت قد أشغل ‪315‬‬ ‫يوماً بالضبط من قبل الزائرين في سنة واحدة‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫على الأقل من السنوات العشر الأخيرة‬ ‫نعم ‪ /‬لا‬ ‫من الممكن نظرياً أن يكون البيت قد أشغل‬ ‫أكثر من ‪ 315‬يوماً في كل سنة من السنوات‬ ‫العشر الأخيرة‬ ‫من الممكن نظرياً أن يكون البيت لم ُيشغل‬ ‫بتاتاً في سنة من السنوات العشر الأخيرة من‬ ‫قبل الزائرين‬ ‫ملاحظة‪ :‬اعتبر السنة ‪ 365‬يوماً‬ ‫‪57‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬تدور فكرة السؤال الأول حول استعمال مجموعة من المعايير وتطبيقها لتقدير قيمة‬ ‫شيء لاتخاذ قرار‪.‬‬ ‫فحسب المعيار الأول‪ :‬مساحة الشقة ‪ 60‬متراً مربعاً‬ ‫وسعر المتر الواحد ‪ 2500‬دينار‬ ‫إذن فالقيمة بنا ًء على ذلك = ‪2500 × 60‬‬ ‫= ‪ 150000‬دينار‬ ‫وحسب المعيار الثاني‪ :‬زمن الوصول لمركز المدينة ‪ 10‬دقائق وهو بين ‪ 5‬إلى ‪ 15‬دقيقة‪.‬‬ ‫إذن فالقيمة المضافة = ‪ 10000‬دينار‬ ‫وحسب المعيار الثالث‪ :‬المسافة إلى الشاطئ ‪ 350‬متراً وهي أقل من ‪ 0.5‬كيلومتر‪.‬‬ ‫إذن فالقيمة المضافة = ‪ 15000‬دينار‬ ‫وحسب المعيار الرابع‪ :‬يوجد في البيت مكان للسيارة‬ ‫إذن فالقيمة المضافة = ‪ 35000‬دينار‬ ‫مما سبق وحسب المعايير الأربعة تكون قيمة البيت كما يلي‪:‬‬ ‫‪ 210000 = 35000 + 15000 + 10000 + 150000‬دينار‬ ‫وهذه القيمة أعلى من السعر المعلن للبيت وهو ‪ 200000‬دينار‪.‬‬ ‫إذن فالسعر المعلن جيد جداً لكريم‪.‬‬ ‫أما فكرة السؤال الثاني فتدور حول مفهوم المتوسط الحسابي (المعدل)‪.‬‬ ‫فالمتوسط الحسابي لمجموعة من الأعداد هو عدد حقيقي (ليس بالضرورة أن يكون منتمياً‬ ‫لمجموعة الأعداد) مجموع انحرافات الأعداد عنه يساوي صفراً‪.‬‬ ‫وعلى ذلك فالوسط الحسابي لمجموعة من الأعداد يكون واقعاً بين أصغر عدد وأكبر عدد‪.‬‬ ‫‪58‬‬

‫فبالنسبة للعبارة الأولى‪ ،‬لا يمكن الجزم بأن البيت قد أشغل ‪ 315‬يوماً بالضبط من قبل الزائرين‬ ‫في سنة على الأقل من السنوات العشر الأخيرة‪.‬‬ ‫لذلك فالعبارة الأولى \"لا\" يمكن أن تستنتج من البيانات المعطاة‬ ‫وبما أن الوسط الحسابي يقع بين أصغر عدد وأكبر عدد فلا يمكن أن يكون المتوسط الحسابي‬ ‫أصغر من جميع الأعداد‪ .‬ولذلك فالعبارة الثانية \"لا\" يمكن أن تستنتج من البيانات المعطاة‪.‬‬ ‫وبالنسبة للعبارة الثالثة‪:‬‬ ‫عدد أيام إشغال البيت في العشر سنوات = ‪10 × 315‬‬ ‫= ‪ 3150‬يوماً‬ ‫والسؤال الآن‪ ،‬هل يمكن أن يكون هذا العدد من الأيام قد تم في تسع سنوات؟‬ ‫وللإجابة على ذلك‪:‬‬ ‫‪ 350 = 9 ÷ 3150‬يوماً في السنة‬ ‫وهو عدد معقول لأن عدد أيام السنة ‪ 365‬يوماً‬ ‫كل هذه المراحل تتم من خلال الحوار والمناقشة‪ .‬حيث يطرح المعلم أسئلة ويستمع لإجابات‬ ‫الطلبة ويطلب منهم تبرير إجاباتهم‪.‬‬ ‫‪59‬‬

‫مكونات البيض‬ ‫ي ي ناأيأل ي ا لّأ اق نا ي ط نا اةأط ‪ 8‬أنع نا يألأ أنا لر نا (أيط ا لّأ اق‪.‬‬ ‫القشرة‬ ‫مكّونات البيضة‬ ‫الصفار‬ ‫الوزن‬ ‫النوع‬ ‫غم ‪٪‬‬ ‫غم ‪٪‬‬ ‫بالج ارمات‬ ‫‪10.2 5.9‬‬ ‫البياض‬ ‫‪31.8 18.5‬‬ ‫الدجاج‬ ‫‪15.0 6.4‬‬ ‫غم ‪٪‬‬ ‫‪37.4 16.0‬‬ ‫‪58.1‬‬ ‫‪11.2 9.6‬‬ ‫‪58 33.7‬‬ ‫‪32.9 28.3‬‬ ‫‪10.2 7.2‬‬ ‫‪47.5 20.3‬‬ ‫‪35.9 25.3‬‬ ‫دجاجة الوادي ‪42.7‬‬ ‫‪12.8 20.6‬‬ ‫‪55.9 48.0‬‬ ‫‪35.6 57.3‬‬ ‫‪1.03 2.0‬‬ ‫‪53.8 37.9‬‬ ‫‪34.0 6.6‬‬ ‫الرومي ‪85.9‬‬ ‫‪9.0 0.9‬‬ ‫‪51.6 83.1‬‬ ‫‪35.0 3.5‬‬ ‫‪20.0 260‬‬ ‫‪55.7 10.8‬‬ ‫‪30.0 390‬‬ ‫البط ‪70.4‬‬ ‫‪56.0 5.6‬‬ ‫‪50.0 650‬‬ ‫‪161.0‬‬ ‫الأوز‬ ‫الحمام ‪19.4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫الس ّمان‬ ‫‪1300‬‬ ‫النعام‬ ‫نا يألأ ةلأ نا ل ط نا (أيط ا ّن الأ ا ن ل لأ؟‬ ‫سؤال(‪ :)1‬لا يا ث أع‬ ‫الجواب‪_______________________________________________ :‬‬ ‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن أا ط نحيحط ل نل شا (‬ ‫ط ن ا ا لا نلا ة الأ لا ط نال نل أناةا ة أم لا‬ ‫‪ ٪66.7‬أ ا ل ط‬ ‫قلنأ ص نا يا اق نا ظ ط لا أينأل‪ .‬لا حي اق نا ل ط نا (أيط ا ط نايأل نا شالألط‬ ‫‪60‬‬

‫‪ .٪86.56‬أن ح نا لأم نال يلأ ي نا ل ةي ‪ .‬أن ة ي ار ي ز ا يم ةيلأير نا ط‬ ‫هالأةي ‪ :‬قلنأ ص نا يا اق نا ظ ط لا أينأل أنلة ص ةا(م‬ ‫ل ن نال نل أنا ث ية‬ ‫ها‪ ،‬أة ظيم نا يا اق لا أينأل يلهل قلنأ ةها أنلة ص ةا(م اشلأص ها‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬ا أ أع أ نز نا لّأ اق ناين يط ا ي ط ن أز؟‬ ‫أز نا لّأ اق ناين يط ا ي ط ن أز‪_________________________________ :‬‬ ‫النتيجة ‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن أا اق نحيحط ل نل شا (‬ ‫ط شلل ام أ الأط اا ل ط نا (أيط ا يط نايأل نا شالألط أنا اااط‬ ‫‪ ٪12.36‬أ ا‬ ‫لا لهم نال نل أةحييي نا أر م نلة ص‬ ‫‪ ّ .٪30.33‬لللأص ن نال نل ة أم‬ ‫نا أ اق أنألنأ نا يط يها‪.‬‬ ‫نا يا اق؟‬ ‫سؤال (‪ :)3‬ل نا النأق نلآةيط نحيحط ا م‬ ‫ين(لأص حأل \" م\" أ \"لا\" لا لل حااط‪:‬‬ ‫هل هذه العبارة صحيحة؟‬ ‫العبارة‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫يشكل البياض أكثر من نصف وزن البيضة لجميع هذه‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫الطيور‬ ‫وزن البياض أكبر من وزن الصفار لجميع هذه الطيور‬ ‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن نا لأةي ال نل شا ( أا اق‬ ‫نحيحط ‪ ٪41.84‬ا ل ‪ ٪64.22‬ا ط نايأل نا شالألط؛ أنا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي‬ ‫نا ي أا أن ل لأص أنحيص أا ط نحيحط ‪ ٪51.25‬ا ل ‪ ٪30.84‬ا ط نايأل نا شالألط‪.‬‬ ‫‪61‬‬

‫سؤال (‪ :)4‬ا نا ل ط نا (أيط ا زيايص لا أز نا ياا لا ي ط نا ام أز نان الأ؟‬ ‫‌أ) ‪٪20‬‬ ‫‌ب) ‪٪40‬‬ ‫‌ج) ‪٪66.7‬‬ ‫‌د) ‪٪76.7‬‬ ‫النتيجة‪ :‬لا ق نا ل ط نا (أيط ا ط ن لأي يي نا ي أا أن أا اق نحيحط ل نل شا (‬ ‫‪ ٪22.56‬لا حي اق نا ل ط نا (أيط ا ط نايأل نا شالألط ‪ ٪47.31‬أيشيلأ ن اا ل ط‬ ‫نا ط ن لأي يي ا ا نا ط لا نا ل ط نا (أيط أ لأي ط حلا ها‪.‬‬ ‫سؤال مشابه ‪ :‬طيور البطريق‬ ‫سافر مصور الحيوانات جين بابتسي ‪ J. Baptiste‬في بعثة سنوية‪،‬‬ ‫وأخذ عدداً كبيراً من الصور لطيور البطريق وصغارها‪ .‬وكان مهتماً‬ ‫على وجه الخصوص بزيادة حجم مستعمرات عدة لطيور البطريق‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬عاد ًة يضع كل زوج من طيور البطريق (ذكر وأنثى)‬ ‫بيضتين كل سنة‪ .‬وغالباً ما يبقى الصوص الخارج من البيضة الكبيرة‬ ‫فقط على قيد الحياة‪.‬‬ ‫ولنوع معين من طائر البطريق يكون وزن البيضة الأولى ‪ 78‬غراماً‬ ‫تقريباً ووزن البيضة الثانية ‪ 110‬غرامات تقريباً‪.‬‬ ‫على وجه التقريب‬ ‫ما النسبة المئوية للزيادة في وزن البيضة‬ ‫الثانية على وزن البيضة الأولى؟‬ ‫‌أ) ‪٪29‬‬ ‫‪62‬‬

‫‌ب) ‪٪32‬‬ ‫‌ج) ‪٪41‬‬ ‫‌د) ‪٪71‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬تساءل جين كيف سيتغير حجم مستعمرة لطيور البطريق عبر السنوات القليلة‬ ‫القادمة‪ .‬ومن أجل ذلك‪ ،‬وضع الافتراضات التالية‪:‬‬ ‫‪ ‬عند بداية السنة‪ ،‬كانت مستعمرة طيور البطريق مكونة من ‪ 10000‬طائر‬ ‫(‪ 5000‬زوج)‬ ‫‪ ‬وفي ربيع كل سنة‪ ،‬يفرخ كل زوج طائراً واحداً يضاف للمستعمرة‪.‬‬ ‫‪ ‬ومع نهاية كل سنة يموت ‪ 20‬من طيور البطريق كلها (كباراً وصغاراً)‬ ‫ما عدد طيور البطريق في هذه المستعمرة عند نهاية السنة الأولى؟‬ ‫عدد طيور البطريق‪____________ :‬‬ ‫سؤال (‪ :)3‬افترض جين أن المستعمرة ستستمر في النمو بالحالة الآتية‪:‬‬ ‫‪ ‬عند بداية كل سنة‪ ،‬تتكون المستعمرة من أعداد متساوية من الذكور والإناث والتي‬ ‫تشكل أزواجاً‪.‬‬ ‫‪ُ ‬يفرخ كل زوج طائراً واحدأ كل سنة‪.‬‬ ‫‪ ‬ومع نهاية كل سنة يموت ‪ 20‬من طيور البطريق كلها (كباراً وصغاراً)‬ ‫‪ ‬تبدأ طيور البطريق بالتزاوج والتكاثر عندما تتم سنة من عمرها‪.‬‬ ‫بنا ًء على هذه الافتراضات‪ ،‬أي من الصيغ التالية تمثل العدد الكلي ع لطيور البطريق في‬ ‫المستعمرة بعد ‪ 7‬سنوات؟‬ ‫‌أ) ع = ‪7) 0.2 X 1.5 ( 10000‬‬ ‫‌ب) ع = ‪7) 0.8 X 1.5 ( 10000‬‬ ‫‌ج) ع = ‪7) 0.2 X 1.2 ( 10000‬‬ ‫‌د) ع = ‪7) 0.8 X 1.2 ( 10000‬‬ ‫‪63‬‬

‫سؤال (‪ :)4‬بعد عودته من البعثة إلى البيت‪ ،‬بحث في الإنترنت ليرى كم طائراً صغيراً يضيف‬ ‫كل زوج من طيور البطريق في المتوسط‪.‬‬ ‫وجد جين لوحة الأعمدة البيانية لثلاثة أنواع من البطريق‪ :‬الأمبراطوري‪ ،‬السلطاني‪ ،‬المجلاني‪.‬‬ ‫بنا ًء على لوحة الأعمدة أعلاه‪ ،‬هل العبارات الآتية حول هذه الأنواع الثلاثة صحيحة أم خطأ؟‬ ‫ضع دائرة حول \"صح\" أو \"خطأ\" لكل عبارة‪.‬‬ ‫هل العبارة صحيحة أم خطأ‬ ‫العبارة‬ ‫صح ‪ /‬خطأ‬ ‫في سنة ‪ ،2000‬كان متوسط أعداد الصغار التي‬ ‫صح ‪ /‬خطأ‬ ‫يفرخها كل زوج من البطريق أكبر من ‪0.6‬‬ ‫في سنة ‪ ،2006‬في المتوسط‪ ،‬أقل من ‪ 80‬من أزواج‬ ‫صح ‪ /‬خطأ‬ ‫صح ‪ /‬خطأ‬ ‫طائر البطريق فرخ صغاراً‬ ‫حوالي ‪ ،2015‬ستنقرض هذه الأنواع الثلاثة‬ ‫تناقص متوسط أعداد الصغار التي يفرخها كل زوج‬ ‫من طائر المجلاني بين عامي ‪ 2001‬و ‪2004‬‬ ‫‪64‬‬

‫سؤال مشابه‪ :‬النمو السكاني‪:‬‬ ‫نشرت جريدة السوسنة في الموسوعة الحرة ويكيبيديا ووفق بيان أصدرته دائرة الإحصاءات‬ ‫العامة أن عدد سكان الأردن ارتفع من حوالي ‪ 586‬ألف نسمة عام ‪1652‬م إلى ‪ 6.4‬مليون‬ ‫نسمة نهاية عام ‪2011‬م‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬ما معدل الزيادة السنوية في عدد السكان في الفترة من عام ‪ 1952‬إلى عام ‪2011‬؟‬ ‫سؤال (‪ :)2‬ونشرت الجريدة نفسها أن معدل النمو السكاني في الفترة من ‪ 2004‬إلى ‪2012‬‬ ‫كان ‪.٪2.2‬‬ ‫إذا استمر النمو السكاني بهذا المعدل حتى عام ‪ 2020‬فإن عدد السكان سيكون‪:‬‬ ‫أ‪2.2 × 6400000 -‬‬ ‫ب‪8)2.2( × 6400000 -‬‬ ‫ج‪1.022 × 6400000 -‬‬ ‫د‪8)1.022( × 6400000 -‬‬ ‫الـعـلاج‪ :‬تدور الأسئلة حول الأفكار التالية‪:‬‬ ‫السؤال (‪ :)1‬يتناول حساب النسبة المئوية للزيادة في كمية ما على كمية أخرى‪ .‬ومصدر خطأ‬ ‫الطلاب في مثل هذا السؤال هو عدم معرفة الكمية المنسوب إليها والكمية المنسوبة‪.‬‬ ‫ففي هذا السؤال‪.‬‬ ‫الكمية المراد إيجاد نسبتها المئوية = الزيادة في وزن البيضة الثانية على وزن البيضة الأولى‬ ‫= ‪78 – 110‬‬ ‫= ‪ 32‬غراماً تقريباً‬ ‫والكمية التي ستقارن بها هذه الزيادة هي وزن البيضة الأولى = ‪ 78‬غراماً تقريباً‪.‬‬ ‫‪65‬‬

‫وهنا يجب الإشارة إلى والتأكيد على وجوب أن تكون الكميتان مقدرتين بالوحدة نفسها‪ .‬وهي هنا‬ ‫الغرام‪.‬‬ ‫إذن النسبة المئوية للزيادة في وزن البيضة الثانية على وزن البيضة الأولى‬ ‫= ‪٪100 × 32‬‬ ‫‪78‬‬ ‫= ‪ ٪41‬تقريباً‪.‬‬ ‫ويتضمن السؤال (‪ )2‬فهم مسألة من واقع الحياة وحلها تحت شروط معطاة‪.‬‬ ‫فتحت الشرط الأول‪ :‬عدد طيور البطريق في المستعمرة = ‪ 10000‬طائر‪.‬‬ ‫= ‪ 5000‬زوج‬ ‫وتحت الشرط الثاني‪ :‬يزداد عدد طيور البطريق في فصل الربيع ب ‪ 5000‬طائر‪ ،‬ليصبح عدد‬ ‫طيور البطريق في المستعمرة = ‪ 15000‬طائر‪.‬‬ ‫وتحت الشرط الثالث‪ :‬عدد الطيور التي تموت = ‪ 3000 = 15000 × 20‬طائر‬ ‫‪100‬‬ ‫إذن‪ ،‬عدد طيور البطريق في المستعمرة عند نهاية السنة = ‪3000 – 15000‬‬ ‫= ‪ 12000‬طائر بطريق‬ ‫ويتضمن السؤال (‪ )3‬الوصول إلى قاعدة عامة لعدد طيور البطريق في المستعمرة بعد عدد من‬ ‫السنوات وتحت شروط محددة‪:‬‬ ‫عدد طيور البطريق في ربيع السنة الأولى = ‪0،5 × 10000 + 10000‬‬ ‫= ‪ 1.5 × 10000‬طائر‬ ‫وعند نهاية السنة الأولى يموت ‪ ٪20‬من مجمل الطيور ليبقى ‪ ٪80‬منها حياً‬ ‫إذن عدد طيور البطريق في المستعمرة عند نهاية السنة الأولى = ‪0.8 × 1.5 × 10000‬‬ ‫طائر‬ ‫وفي ربيع السنة الثانية تكون الطيور الصغيرة قد بلغت سنة من عمرها وتصبح قادرة على‬ ‫التزاوج والتكاثر‪.‬‬ ‫‪66‬‬

‫إذن‪،‬‬ ‫عدد طيور البطريق في المستعمرة في بداية السنة الثانية = ‪ 0.8 × 1.5 × 10000‬طائراً‬ ‫ويصبح عددها في ربيع السنة الثانية = (‪1.5 × )0.8 × 1.5 × 10000‬‬ ‫= (‪0.8 × 1.5 × )0.8 × 1.5 × 10000‬‬ ‫وعددها عند نهاية السنة الثانية‬ ‫= ‪2)0.8 × 1.5 ( × 10000‬‬ ‫ومن ذلك يمكننا أن نستنتج أن‪:‬‬ ‫عدد طيور البطريق في المستعمرة عند نهاية السنة السابعة = ‪7)0،8 × 1،5 ( × 10000‬‬ ‫أما السؤال (‪ )4‬فيتناول قدرة الطالب على تحليل عبارات تتعلق بلوحة أعمدة بيانية وتحديد قيم‬ ‫الصواب لها‪.‬‬ ‫بالنظر إلى الأعمدة الثلاثة لعام ‪ 2000‬نلاحظ أن المتوسطات الثلاثة أكبر من ‪ 0.6‬؛ ولذلك فإن‬ ‫متوسط هذه المتوسطات سيكون أكبر من ‪0.6‬‬ ‫ولذلك فالعبارة الأولى صحيحة‪.‬‬ ‫وبالنظر إلى الأعمدة لعام ‪ 2006‬نلاحظ أن المتوسطات الثلاث أقل من ‪ 0.8‬؛ وهذا يعني أن‬ ‫أقل من ‪ ٪80‬من أزواج طائر البطريق فرخ صغاراً‬ ‫ولذلك فالعبارة الثانية صحيحة‪.‬‬ ‫إن الأعمدة في الرسم البياني تمثل متوسط الزيادة السنوية لأنواع البطريق ولا تمثل أعداد طائر‬ ‫البطريق‪ .‬صحيح أن مقدار الزيادة السنوية يقل إلا أن الأعداد الكلية تزيد‪ .‬ولذلك لن تنقرض هذه‬ ‫الأنواع سنة ‪2015‬‬ ‫فالعبارة الثالثة خطأ‪.‬‬ ‫وبتتبع الأعمدة الممثلة لمتوسط أعداد الصغار التي يفرخها طائر البطريق المجلاني بين عامي‬ ‫‪ 2001‬إلى ‪ 2004‬نجد أنها تتناقص‬ ‫لذلك فالعبارة الرابعة صحيحة‪.‬‬ ‫‪67‬‬

‫سؤال مشابه ‪ :‬يا اق ناللا أنا اةم نلإأ ااا‬ ‫ي ّي ناأيأل ي ا يا اق ا يي للا ا نايأل نا لأيط أ اةأها نلإأ ااا‪:‬‬ ‫الناتج الإجمالي (‪)$‬‬ ‫عدد السكان‬ ‫المساحة (كم‪)2‬‬ ‫الدولة‬ ‫‪5.307.470‬‬ ‫‪92111‬‬ ‫ن لأي‬ ‫‪ 28‬ملياًار‬ ‫‪21.593.784‬‬ ‫‪185180‬‬ ‫لألأيا‬ ‫‪ 72‬ملياًار‬ ‫‪31.333.816‬‬ ‫‪437072‬‬ ‫نا لنأم‬ ‫‪ 90‬ملياًار‬ ‫‪3.677.780‬‬ ‫‪10452‬‬ ‫اا‬ ‫‪ 24‬ملياًار‬ ‫‪80.000.000‬‬ ‫نلأ‬ ‫‪ 384‬ملياًار‬ ‫‪36.600.410‬‬ ‫‪1001449‬‬ ‫ناأ نز(لأ‬ ‫‪ 253‬ملياًار‬ ‫‪10.102.000‬‬ ‫‪2381740‬‬ ‫‪ 98‬ملياًار‬ ‫‪6.461.454‬‬ ‫‪163610‬‬ ‫ةأ‬ ‫‪ 75‬ملياًار‬ ‫‪31.700.175‬‬ ‫‪1759540‬‬ ‫اي يا‬ ‫‪ 162‬ملياًار‬ ‫‪32.218.456‬‬ ‫‪710850‬‬ ‫نا الأر‬ ‫‪ 80‬ملياًار‬ ‫‪4.496.000‬‬ ‫‪1865818‬‬ ‫نالأين‬ ‫‪ 146‬ملياًار‬ ‫‪29.513.330‬‬ ‫نلإ النأق‬ ‫‪ 733‬ملياًار‬ ‫‪656.397‬‬ ‫‪82880‬‬ ‫نال أييط‬ ‫‪ 14‬ملياًار‬ ‫‪3.200.000‬‬ ‫‪2240582‬‬ ‫نا حلأي‬ ‫‪ 54‬ملياًار‬ ‫‪793.941‬‬ ‫ا‬ ‫‪ 69‬ملياًار‬ ‫‪3.441.813‬‬ ‫‪665‬‬ ‫ق لأ‬ ‫‪ 136‬ملياًار‬ ‫‪23.701.257‬‬ ‫‪212460‬‬ ‫نالأيق‬ ‫‪ 63.4‬ملياًار‬ ‫‪11437‬‬ ‫‪17820‬‬ ‫ناي‬ ‫‪555000‬‬ ‫نايأل ا ن ل لأ اة مأا؟‬ ‫سؤال (‪ّ :)1‬ث‬ ‫‪ 12000‬يألالأ لإ ار نا أة‬ ‫سؤال (‪ :)2‬ا ةلأا ّ(‪ :‬ن لا ةأل اةم نا لأي قل‬ ‫ي ا ا نا لأ‪.‬‬ ‫‪68‬‬

‫لأث نايأل ناةاايط ة ا ا نا لأ؟‬ ‫ن لأي – اي يا – نلأ ‪ -‬ق لأ‬ ‫سؤال (‪ :)3‬ن لّأل ا نال الط ناللا يط أ ها يي ن للنأي لا نالي أ ةلأ نا لأ ‪ ،‬أأن ا نايأاط‬ ‫الازيحام ن نزيق نال الط ناللا يط ‪ 150‬للأمين لا نالي أ ةلأ نا لأ ‪ .‬لأث نايأل ناةاايط‬ ‫ةلأ زيح ط؟‬ ‫ن لأي – ا ا – نلأ ‪ -‬نا حلأي‬ ‫نا يا اق؟‬ ‫سؤال (‪ :)4‬ل نا النأق نلآةيط نحيحط ا‬ ‫هل هذه العبارة صحيحة؟‬ ‫ين(لأص حأل \" م\" أ \"لا\" لا لل حااط‪:‬‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫العبارة‬ ‫م ‪ /‬لا‬ ‫كل ّما ازد عدد السكان ازد الناتج الإجمالي‬ ‫كل ّما صغرت المساحة ق ّل عدد السكان‬ ‫الـعـلاج‪ :‬ي أم لأا م نا م ةيلأير نا ط ة ظيم نا يا اق ا ةايلأي أالل ه ا ل لأ‬ ‫لةأ ‪ .‬م ةيلأي هم قلنأ ص ل ناأينأل أنلة ص نا أ اق نا أ ط لأي ط‬ ‫ظ ط‪.‬‬ ‫فبالنسبة للسؤال (‪:)1‬‬ ‫نا أر لألط نا يألأ ناةا ل ط نا ّن الأ لا ي ها ا نا ل ط نا (أيط ن ل لأ‪ .‬حّيي أي‬ ‫ل ط ي ها‬ ‫نا ل ط نا (أيط ا ّن الأ لا نا يا أ أ نا أي نالنأ لا ناأيأل أ حع‬ ‫‪69‬‬

‫ل أي ا ‪ .٪37.4‬أ اا ظلأ ا أع نا يلأ لا نا أي ن أل ا أي يأاأط ناأنيث ا نا يلأ نا ث‬ ‫نا ل ط نا (أيط ا ّن الأ لا ي ( ا ن ل لأ‪.‬‬ ‫وبالنسبة للسؤال (‪:)2‬‬ ‫نا أر يأاي أ أع أ نز نا لّأ اق ناين يط ا ي ط ن أز‪ .‬أا ار حع لا نا أي ن أل‬ ‫ن أز م حيي أز نا ّن الأ أأز نا ياا لا ي ط ن أز أ أ ناأزي ما‪.‬‬ ‫أ أع أ نز نا لّأ اق ناين يط ا ي ط ن أز = أز نان الأ ‪ +‬أز نا ياا‬ ‫= ‪83.1 + 57.3‬‬ ‫= ‪ 140.4‬لنأما‬ ‫أي لأ ل نل‬ ‫نا ط ن لا يط ناحل لأي ط لأ ‪.‬‬ ‫أ أع أ نز نا لأ اق ناين يط = أز نا ي ط – أز نا شلأص‬ ‫= ‪20.6 – 161.0‬‬ ‫= ‪ 140.4‬لنأ ام‬ ‫ّ( ي ل ة قي ط حي نا ةايلأي أي ر‬ ‫أناةأليي ي اقشط نال ناي نالا ي‬ ‫يأاي قي ط نا ةايلأ نا ا ا نا ا ط‪.‬‬ ‫‪70‬‬

‫وبالنسبة للسؤال (‪:)3‬‬ ‫ي اقش نا ط ألا اا النأق نا لّألأص ل ّيا أ أز(ّيا أقيم نانأنر الل ه ا‪ ،‬لإ ن لا ق ا )‬ ‫أ ط ةأحط أ أ أ ط ناة أا اها م لإ ّ نا الأص نا لألأص ل ّيا ‪:‬‬ ‫∀ ∋ م؛ ا )‬ ‫ةلأ نحيحط ن أل ن لا ق ا ) نحيحط الل ∋ م‬ ‫ن قل نلأ ∋ م حيع ةلأ ا ) أ‪ .‬أ ل ن‬ ‫أةلأ أ ن أل ن أأي‬ ‫نا نلأ يل ّ ال اي‪.‬‬ ‫ل اا ل ط ا الأص ن أا ‪ :‬ةة أ نز نا ياا ا يا ن أنع نا ة ط ا يألأ لا نا أي نا ا‬ ‫نا ياا لا ي ط يأاأط ناأنيث قل‬ ‫أ الأةها أأ نز نا يا لا نا أي نا ا ا ل أي‬ ‫نا أز نا ي ط أ نا ل ط نا (أيط ا ياا قل‬ ‫‪.٪50‬‬ ‫ا نا الأص نا ا يط لها نحيحط ( لا يأأي ا ي ها‪ .‬ل أ ي أنع نا يألأ أز نا ياا لا‬ ‫نا ي ط ل لأ أز نان الأ ليها‪.‬‬ ‫أما السؤال (‪:)4‬‬ ‫أ نا ر لا يأاي نا ل ط نا (أيط أ يم لألةهم ا شا نا لأر اي(‪ ،‬م يم‬ ‫لا ة ي‬ ‫لألةهم ا لأي ط ةحأيل نا ل ط ا ل ط (أيط‪.‬‬ ‫ل ا ن نال نل‪:‬‬ ‫نا يي نا لأر أ‪ :‬نازيايص لا أز نا ياا أز نا ّن الأ لا ي ط نا ام‪.‬‬ ‫‪71‬‬

‫أنا يي نا لأر اي( أ‪ :‬أز نان الأ‪.‬‬ ‫أةحييي نا يي نا لأر أنا يي نا لأر اي( ا نا أص ن لا احل نال نل‪.‬‬ ‫لاا يي نا لأر = ‪390 – 650‬‬ ‫= ‪ 260‬لنأما‪.‬‬ ‫أنا يي نا لأر اي( = ‪ 390‬لنأما‪.‬‬ ‫لأها لا ‪ 100‬ث لا ‪ ٪100‬ل أي‪:‬‬ ‫أنا ل ط ي ه ا= ‪260‬‬ ‫‪390‬‬ ‫‪100‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أاةحأيل نا ل ط ا ل ط (أيط‬ ‫‪٪66.7 = ٪100 × 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أ ا نلإأا ط أا)‬ ‫ة اع ناة ليلأ نا ظم‬ ‫ل ن ل( ط ةحةام ا يي ل يلأ ل يا ناةيلأي اق ناةأليي‬ ‫ا أنأل ا ناحل للأ ط‪.‬‬ ‫‪72‬‬

‫الأوزان ومعامل اللياقة‬ ‫تشكو النساء في كثير من الدول من زيادة أوزانهن‪ .‬وتسعى الحكومات لدراسة هذه الظاهرة‬ ‫لاقتراح مجموعة من الإرشادات تعمل على تخفيف الأوزان والتخلص من البدانة‪ .‬قامت إحدى‬ ‫الجمعيات النسائية بدراسة شملت ‪ 11793‬سيدة‪.‬‬ ‫يبين الرسم الرسم البياني التالي عدد السيدات موزعة في فئات للأوزان‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)1‬اعتماداً على هذا الرسم البياني‪ ،‬ما العدد التقريبي للسيدات اللواتي تزيد أوزانهن‬ ‫عن ‪ 80‬كيلوغراماً؟‬ ‫‌أ) ‪1570‬‬ ‫‌ب) ‪3530‬‬ ‫‌ج) ‪4150‬‬ ‫‌د) ‪7650‬‬ ‫‪73‬‬

‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة على سؤال مشابه‬ ‫‪ ٪21.46‬وهي نسبة منخفضة بشكل عام وبالمقارنة مع النسبة المئوية لطلبة الدول المشاركة‬ ‫والبالغة ‪ ٪35.23‬خاصة إذا ما أخذ في الاعتبار بساطة السؤال‪ .‬وقد كانت النسبة الأعلى للطلبة‬ ‫لأولئك الطلبة الذين اختاروا تكرار الفئة المجاورة للوزن ‪ 0.80‬فبعضهم اختار تكرار الفئة على‬ ‫يمين الوزن ‪ 80‬مباشرة‪ .‬وبعضهم اختار تكرار الفئة على يسار الوزن ‪ 0.80‬وهذا يشير إلى‬ ‫استعجال الطلبة في قراءة السؤال فلم يفهموا المطلوب منه‪.‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬إذا علمت أن معامل اللياقة يعطى بالمعادلة م = الوزن بالكيلوغرامات‬ ‫مربع الطول بالأمتار‬ ‫وكان م < ‪ 20‬فإن وزن السيدة أقل من المعدل الطبيعي‬ ‫‪ < 20 ،‬م < ‪ 22‬فإن وزن السيدة في المعدل الطبيعي‬ ‫‪ < 22 ،‬م < ‪ 25‬فإن وزن السيدة في الحدود الصحية‬ ‫‪ < 25 ،‬م < ‪ 30‬فإن وزن السيدة يزيد عن الحدود الصحية‬ ‫‪ < 30 ،‬م فإن وزن السيدة زائد بدرجة كبيرة وغير صحية‬ ‫تزن إحدى السيدات ‪ 67‬كيلوغراماً وطولها ‪ 160‬سنتمتراً‪ .‬ما معامل لياقتها؟ وفي أي فئة‬ ‫تصنف؟‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة على سؤال مشابه‬ ‫‪ ٪47.08‬وهي نسبة منخفضة مقارنة بالنسبة المئوية لطلبة الدول المشاركة والبالغة‬ ‫‪.٪67.07‬‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬تقدم من مدرسة ما ‪ 162‬طالباً وطالبة لامتحان الشهادة الثانوية العامة‬ ‫(التوجيهي) نجح منهم نجاحاً كاملاً ‪ 151‬طالباً وطالبة‪ .‬يبين الشكل أدناه علامات الناجحين‬ ‫ممثلة بالأعمدة البيانية‪.‬‬ ‫‪74‬‬

‫سؤال (‪ :)1‬ما العدد التقريبي للطلبة الذين علاماتهم من ‪ 80‬إلى أقل من ‪95‬؟‬ ‫‌أ) ‪15‬‬ ‫‌ب) ‪60‬‬ ‫‌ج) ‪84‬‬ ‫‌د) ‪97‬‬ ‫سؤال (‪ :)2‬إذا كانت النسبة المئوية للعلامات الأقل من العلامة س = ي ‪ ٪‬فإن ي تسمى الرتبة‬ ‫المئينية للعلامة س‪.‬‬ ‫حصل طالب على العلامة ‪ ،90‬ما الرتبة المئينية لعلامته لأقرب عشر؟‬ ‫‪75‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬يتناول هذا السؤال ومثيلاته فكرتين أساسيتين‪:‬‬ ‫‪ ‬فهم لوحة الأعمدة وما تمثله (توزيع تكراري لقيم متغير في فترات) وقدرة الطالب‬ ‫على استخلاص معلومات منها والإجابة عن أسئلة تطرح حولها‪.‬‬ ‫‪ ‬فهم الطالب العلاقة بين متغيرين وتفسير معامل بين المتغيرين‪.‬‬ ‫فبالنسبة للسؤال الأول‪ ،‬يجب أن يدرب الطالب على قراءة لوحة الأعمدة والاجابة عن أسئلة‬ ‫مثل‪:‬‬ ‫‪ ‬ما عدد السيدات اللواتي أوزانهن من ‪ 75‬كغم وأقل من ‪ 80‬كغم؟‬ ‫‪ ‬ما عدد السيدات اللواتي أوزانهن من ‪ 70‬كغم وأقل من ‪ 90‬كغم؟‬ ‫‪ ‬ما عدد السيدات اللواتي أوزانهن أقل من ‪70‬؟‬ ‫‪ ‬ما عدد السيدات اللواتي أوزانهن أكبر من أو يساوي ‪ 70‬كغم؟‬ ‫فالسؤال الأول يهدف لمعرفة فهم الطالب للوحة الأعمدة وقدرته على التقدير‪ .‬وعليه أن يحدد‬ ‫الفترة ‪ 80 – 75‬للأوزان ويقدر ارتفاع العمود المنشأ على هذه الفترة‪.‬‬ ‫أما السؤال الثاني فيتطلب من الطالب أن يحدد فترات الأوزان من ‪ 70‬كغم إلى أقل من ‪ 90‬كغم‬ ‫وهي‪.90 – 85 ، 85 – 80 ، 80 – 75 ، 75 – 70 :‬‬ ‫ثم يقدر عدد السيدات اللواتي أوزانهن في هذه الفترات‪ ،‬ويجمع هذه الأعداد ليحصل على إجابة‬ ‫السؤال‪ .‬فمثلاً‪:‬‬ ‫عدد السيدات اللواتي أوزانهن ‪ 75 – 70‬يساوي تقريباً ‪ 2350‬سيدة‬ ‫وعدد السيدات اللواتي أوزانهن ‪ 80 – 75‬يساوس تقريباً ‪ 1950‬سيدة‬ ‫وعدد السيدات اللواتي أوزانهن ‪ 85 – 80‬يساوي تقريباً ‪ 1550‬سيدة‬ ‫وعدد السيدات اللواتي أوزانهن ‪ 90 – 85‬يساوي تقريباً ‪ 1400‬سيدة‬ ‫إذن العدد التقريبي للسيدات اللواتي أوزانهن من ‪ 70‬كغم وأقل من ‪ 90‬كغم يساوي ‪7250‬‬ ‫سيدة‪.‬‬ ‫‪76‬‬

‫وفكرة السؤال الثالث تتناول إيجاد عدد السيدات اللواتي أوزانهن تقل عن ‪ 70‬كغم وهن السيدات‬ ‫اللواتي أوزانهن ضمن الفترات‪، 70 – 65 ، 65 – 60 ، 60 – 55 :‬وعلى الطالب أن يقدر‬ ‫عدد السيدات اللواتي أوزانهن في هذه الفترات ويجمع الأعداد كما في السؤال الثاني‪.‬‬ ‫وبالمثل يعالج السؤال الرابع‪ ،‬فالسيدات اللواتي أوزانهن أكبر من أو يساوي ‪ 70‬كغم هن‬ ‫السيدات اللواتي أوزانهن في الفترات‪:‬‬ ‫‪.100 – 95 ، 95 – 90 ، 90 – 85 ، 85 – 80 ، 80 – 75 ، 75 – 70‬‬ ‫ويمكن إيجاد جواب هذا السؤال بطريقة أخرى وذلك بطرح عدد السيدات اللواتي أوزانهن أقل‬ ‫من ‪ 70‬كغم من العدد الكلي للسيدات اللواتي شملتهن الدراسة‪ .‬أي‪:‬‬ ‫عدد السيدات اللواتي أوزانهن أكبر من أو يساوي ‪ 70‬كغم = ‪ – 11793‬عدد السيدات اللواتي‬ ‫أوزانهن أقل من ‪ 70‬كغم‪.‬‬ ‫ويهدف السؤال الثاني إلى حساب معامل ما وتفسير دلالة هذا المعامل‪.‬‬ ‫فبالنسبة للسيدة المراد حساب لياقتها‪:‬‬ ‫وزنها = ‪ 67‬كيلوغراماً‬ ‫وطولها = ‪ 160‬سنتمتراً‬ ‫= ‪ 1.6‬متراً‪ .‬وهنا يجب أن ينتبه الطالب إلى الوحدات المستعملة في حساب‬ ‫المعامل‪.‬‬ ‫إذن‪،‬‬ ‫= الوزن بالكيلوغرامات‬ ‫معامل لياقتها‬ ‫مربع الطول بالأمتار‬ ‫= ‪67‬‬ ‫(‪2)1،6‬‬ ‫= ‪67‬‬ ‫‪2.56‬‬ ‫= ‪26.17‬‬ ‫وهذا المعامل يشير إلى أن وزن السيدة يزيد عن الحدود الصحية‪.‬‬ ‫‪77‬‬

‫يدرب الطلبة على أسئلة مماثلة يمكن الحصول عليها من الصحف والمجلات والدراسات حتى‬ ‫يعتاد الطالب على التعامل مع مثل هذا السؤال ويحس بتطبيقات الاحصاء في واقع الحياة‪.‬‬ ‫كما أن من الأمور الهامة جداً أن يعتاد الطالب على قراءة السؤال قراءة متأنية وواعية كي يفهم‬ ‫السؤال ويحدد المطلوب منه‪ .‬ففهم السؤال هو الخطوة الأولى والأساسية للتفكير الصحيح في‬ ‫إجابة السؤال‪.‬‬ ‫‪78‬‬

‫الأشـكــال‬ ‫والفــراغــات‬ ‫‪79‬‬

‫النقوش‬ ‫يبين الشكل الآتي بلاطة عليها نقش‪.‬‬ ‫أي واحد من الترتيبات الآتية لا يمكن تشكيله باستعمال ‪ 4‬بلاطات من النوع المبين في الشكل‬ ‫أعلاه؟‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة (الترتيب ب)‬ ‫‪ ٪37.61‬في حين بلغت النسبة المئوية لطلبة الدول المشاركة ‪٪66.24‬‬ ‫‪80‬‬

‫سؤال مشابه‪ :‬ترتيب البلاط‬ ‫يبين الشكل الآتي بلاطة عليها نقش‬ ‫أي واحد من الترتيبات الآتية يمكن تكوينه باستعمال ‪ 4‬بلاطات من النوع المبين في الشكل‬ ‫أعلاه؟‬ ‫‪81‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬يمكن التفكير في مثل هذه الأسئلة بطريقتين‪.‬‬ ‫الطريقة الأولى‪ :‬باستعمال التحويلات الهندسية (الانسحاب والدوران) لمعرفة إمكانية الحصول‬ ‫على البلاطات الأربع من بلاطة واحدة‪.‬‬ ‫فمثلاً؛ في الشكل أ؛ بتدوير البلاطة ‪ 1×1‬حول مركزها‪:‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 590‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪1×2‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 5180‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪2×2‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 5270‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪2×1‬‬ ‫فالشكل أ يمكن تشكيله باستعمال ‪ 4‬بلاطات من النوع نفسه‪.‬‬ ‫وفي الشكل ب؛ إذا أخذنا البلاطة ‪ 2×1‬فإننا سنحصل على البلاطة ‪ 1×1‬بانعكاس‬ ‫البلاطة ‪ 2×1‬بالمحور ل‪.‬‬ ‫إذن فالشكل ب لا يمكن تشكيله باستعمال ‪ 4‬بلاطات من النوع نفسه‪.‬‬ ‫وفي الشكل د؛ بتدوير البلاطة ‪ 2×2‬حول مركزها‪:‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 590‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪2×1‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 590‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪1×2‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 5180‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪1×1‬‬ ‫فالشكل د يمكن تشكيله باستعمال أربع بلاطات من النوع نفسه‪.‬‬ ‫‪82‬‬

‫وفي الشكل ج؛ بتدوير البلاطة ‪ 1×2‬حول مركزها‪:‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 590‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪2×2‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 5180‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪2×1‬‬ ‫بزاوية قياسها ‪ 5270‬باتجاه دوران عقارب الساعة نحصل على البلاطة ‪1×1‬‬ ‫فالشكل ج يمكن تشكيله باستعمال ‪ 4‬بلاطات من النوع نفسه‪.‬‬ ‫الطريقة الثانية‪ :‬بإيجاد علاقة تحدد موقع الجزء المظلل في البلاطة بالنسبة للأشكال الأخرى‪.‬‬ ‫لاحظ في البلاطة النموذج‪ :‬عندما يكون الجزء المظلل إلى اليمين يكون الشكل‬ ‫المعين فوقها وشكل ورقة الشجر أسفلها‪.‬‬ ‫لاحظ في الشكل ب‪ :‬إذا نظر للبلاطة ‪ 1×1‬من أعلى يكون الجزء المظلل إلى اليمين‬ ‫بينما الشكل المعين أسفلها وورقة الشجر أعلاها‪.‬‬ ‫إذن لا يمكن تشكيله باستعمال ‪ 4‬بلاطات من النوع نفسه‪.‬‬ ‫‪83‬‬

‫الكهرباء‬ ‫تشكل ثلاث مجمعات سكنية رؤوس مثلث متطابق الأضلاع وطول ضلعه ‪10‬كم‬ ‫أقيمت محطة لتوليد الكهرباء عند مركز المثلث‪.‬‬ ‫في الشكل أدناه أربع طرق مقترحة لربط محطة توليد الكهرباء بالمجمعات السكنية‪.‬‬ ‫رتب هذه المقترحات الأربع حسب طول خطوط توصيل الكهرباء من الأقصر إلى الأطول‪.‬‬ ‫________ ________ ________ ________‬ ‫الأطول‬ ‫الأقصر‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا إجابة صحيحة على سؤال مشابه‬ ‫‪ ٪16.71‬في حين بلغت النسبة المئوية لطلبة الدول المشاركة ‪٪48.58‬‬ ‫الـعـلاج‪:‬تحتاج مثل هذه المسائل إلى تطبيق استراتيجية حل المسألة ذات الخطوات التالية‪:‬‬ ‫أولاً‪ :‬فهم المسألة‪ :‬عندما يقرأ الطالب نص المسألة عليه أن يحدد المعلومات المعطاة في‬ ‫المسألة ويحاول تذكر الخواص لهذه المعطيات؛ مثل‪:‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪ ‬المثلث متطابق الأضلاع تكون زواياه الداخلية متطابقة‪.‬‬ ‫‪ ‬مركز المثلث متطابق الأضلاع هي نقطة إلتقاء قطعه المتوسطة وتقسم هذه النقطة كل‬ ‫قطعة بنسبة ‪ 1:2‬من جهة الرأس‪ .‬والقطع المتوسطة للمثلث متطابق الأضلاع متطابقة‪.‬‬ ‫وهي منصفات لزوايا المثلث الداخلية وعمودية على أضلاع المثلث‪.‬‬ ‫ثم يحدد المطلوب من السؤال‪ :‬إيجاد أطوال خطوط توصيل الكهرباء وترتيبها‪.‬‬ ‫ثانياً‪ :‬التفكير في طريقة الحل‪ :‬حتى نتمكن من إيجاد أطوال خطوط توصيل الكهرباء نحتاج إلى‬ ‫إيجاد طول ضلع المثلث (معطى)؛ و ُبعد مركز المثلث عن رؤوسه وعن أضلاعه‪.‬‬ ‫ثالثاً‪ :‬التنفيذ‪:‬‬ ‫بما أن ب جـ = ‪10‬كم فإن ب هـ = هـ جـ = ‪5‬كم‬ ‫وبالمثل أ د = د ب = ‪5‬كم‬ ‫أ و = و جـ = ‪5‬كم‬ ‫وبتطبيق نظرية فيثاغورث على المثلث القائم الزاوية أ هـ ج ‪:‬‬ ‫(أ هـ)‪( + 2‬هـ جـ)‪( = 2‬أ جـ)‪2‬‬ ‫(أ هـ)‪25 – 100 = 2‬‬ ‫= ‪75‬‬ ‫إذن أ هـ = ‪ 3 5‬كم‬ ‫ولأن ُبعد مركز المثلث عن أي رأس من رؤوسه يساوي ضعفي بعده عن الضلع المقابل فإن‪:‬‬ ‫أ م = ‪ 2‬أ هـ = ‪ 3 10‬كم‬ ‫‪33‬‬ ‫م هـ = ‪ 1‬أ هـ = ‪ 3 5‬كم‬ ‫‪33‬‬ ‫وبذلك تصبح المعلومات اللازمة لإيجاد أطوال خطوط توصيل الكهرباء معلومة‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫طول خطوط توصيل الكهرباء في الشكل أ = ‪ 3 10 = 3 10 × 3‬كم‬ ‫‪3‬‬ ‫طول خطوط توصيل الكهرباء في الشكل ب = (‪ )3 5 + 10‬كم‬ ‫‪85‬‬

‫طول خطوط توصيل الكهرباء في الشكل جـ = (‪ ) 3 10 + 20‬كم‬ ‫‪3‬‬ ‫طول خطوط توصيل الكهرباء في الشكل د =(‪ ) 3 5 + 20‬كم‬ ‫‪3‬‬ ‫ج‬ ‫د‬ ‫وترتيبها هو‪ :‬أ ب‬ ‫الأطول‬ ‫الأقصر‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬خطوط أنابيب المياه‬ ‫تشكل أربع مجمعات سكنية رؤوس معين طولا قطريه ‪8‬كم ‪6 ،‬كم‪ُ .‬بني خزان ماء عند ملتقى‬ ‫القطرين‪.‬‬ ‫في الشكل أدناه أربع طرق مقترحة لربط خزان الماء بالمجمعات السكنية‪.‬‬ ‫رتب هذه المقترحات الأربع حسب طول خط الأنابيب من الأقصر إلى الأطول‬ ‫________ ________ ________ ________‬ ‫الأطول‬ ‫الأقصر‬ ‫الـعـلاج‪ :‬يعتمد حل مثل هذا السؤال على معرفة خواص المعين واستعمالها في إيجاد الأطوال‬ ‫غير المعلومة‪ .‬فقطرا المعين متناصفان ومتعامدان‪.‬‬ ‫وفي الشكل إلى اليسار‪:‬‬ ‫بما أن أ جـ = ‪ 8‬كم فإن أ م = م جـ = ‪4‬كم‬ ‫‪86‬‬

‫وبما أن ب د = ‪6‬كم فإن ب م = م د = ‪3‬كم‬ ‫وبتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث أ م ب يكون‪:‬‬ ‫(أ ب)‪( = 2‬أ م) ‪( + 2‬م ب)‪2‬‬ ‫= ‪9 + 16‬‬ ‫= ‪25‬‬ ‫إذن أ ب = ‪5‬كم‬ ‫ولأن أضلاع المعين متطابقة فإن أ ب = ب ج = ج د = د أ = ‪5‬كم‬ ‫من هذه المعلومات نستطيع حساب أطوال خطوط الأنابيب في الطرق الأربع‪.‬‬ ‫في الشكل الأول‪ :‬طول خطوط الأنابيب = ‪6 + 8‬‬ ‫= ‪14‬كم‬ ‫في الشكل الثاني‪ :‬طول خطوط الأنابيب = ‪6 + 5 + 5‬‬ ‫= ‪16‬كم‬ ‫في الشكل الثالث‪ :‬طول خطوط الأنابيب = ‪8 + 5 + 5‬‬ ‫= ‪18‬كم‬ ‫في الشكل الرابع‪ :‬طول خطوط الأنابيب = ‪3 + 4 + 5 + 5‬‬ ‫= ‪17‬كم‬ ‫إذن فالترتيب التصاعدي لأطوال خطوط الأنابيب هو‪:‬‬ ‫ع‬ ‫صل‬ ‫س‬ ‫الأطول‬ ‫الأقصر‬ ‫‪87‬‬

‫الحظيرة‬ ‫لدى فيصل ‪ 195‬متراً من السياج‪ .‬ويرغب في تسييج ثلاث حظائر مربعة لأغنامه‪ .‬حظيرتان‬ ‫صغيرتان وحظيرة كبيرة‪ ،‬وطول ضلع الحظيرة الكبيرة ضعفي طول ضلع الحظيرة الصغيرة‪.‬‬ ‫كما يظهر في الشكل‪.‬‬ ‫ما مساحة كل حظيرة؟‬ ‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا عن سؤال مشابه إجابة صحيحة‬ ‫‪ ٪4.09‬وهي نسبة منخفضة جداً بصورة مطلقة ومقارنة مع النسبة العالمية والبالغة ‪٪20.25‬‬ ‫وأعتقد أن ذلك يعود لأسباب عدة‪.‬‬ ‫‪ ‬عدم القدرة على ترجمة المسألة إلى معادلة رياضية يجد منها طول ضلع كل حظيرة‪.‬‬ ‫‪ ‬عدم فهم مدلول السياج وما يمثله‪.‬‬ ‫‪88‬‬

‫أسئلة مشابهة‪:‬‬ ‫(‪ )1‬لدى رائد حديقة خلف بيته مستطيلة الشكل محيطها ‪ 64‬متراً‪ ،‬وطولها يزيد عن عرضها‬ ‫بـ ‪ 8‬أمتار‪ .‬ما مساحتها؟‬ ‫وإذا عمل رائد في وسطها بركة ماء دائرية الشكل طول قطرها ‪ 7‬أمتار‪ ،‬وزرع الجزء‬ ‫الباقي من الحديقة وروداً وأشجاراً‪ .‬فما مساحة الجزء المزروع من الحديقة؟‬ ‫(‪)2‬استعمل معلم التربية الرياضية ورقاً لاصقاً طوله ‪144‬متراً لتخطيط ملعب لإحدى‬ ‫الألعاب الرياضية يتكون من منطقتين مربعتين ومنطقة مثلثة متطابقة الأضلاع كما في‬ ‫الشكل‪.‬‬ ‫ما مساحة الملعب كله؟‬ ‫‪89‬‬

‫الـعـلاج‪ :‬يتناول هذا السؤال قدرة الطالب على ترجمة السؤال إلى معادلة جبرية وحلها‪.‬‬ ‫ويتم تناوله بالحوار والمناقشة‪.‬‬ ‫‪ ‬إذا فرضنا طول ضلع الحظيرة الصغيرة س متراً فكم يكون طول ضلع الحظيرة‬ ‫الكبيرة؟‬ ‫الجواب‪ 2 :‬س متراً‪ .‬ضع هذه الأطوال على الشكل‪.‬‬ ‫‪ ‬ما مجموع أطوال الأسوار المحيطة بالحظائر الثلاث؟‬ ‫الجواب‪ 13 :‬س‬ ‫‪ ‬استعمل فيصل ‪ 195‬متراً من السياج في تسييج الحظائر‪ .‬كون معادلة تستعملها‬ ‫لإيجاد قيمة س‪.‬‬ ‫الجواب‪ 13 :‬س = ‪195‬‬ ‫‪ ‬حل هذه المعادلة‪.‬‬ ‫الجواب‪ :‬بقسمة طرفي المعادلة على ‪ 13‬ينتج‬ ‫س = ‪ 15‬متراً‬ ‫‪ ‬ما مساحة الحظيرة الصغيرة؟‬ ‫الجواب‪ :‬س‪ 225 = 2‬متراً مربعاً‬ ‫‪ ‬ما طول ضلع الحظيرة الكبيرة؟‬ ‫الجواب‪ 2 :‬س = ‪ 30‬متراً‬ ‫‪ ‬ما مساحة الحظيرة الكبيرة؟‬ ‫الجواب‪ 2( :‬س)‪ 900 = 2‬مترمربع‬ ‫‪90‬‬

‫المـرابــط‬ ‫السؤال‪ :‬يعمل سالم نجاراً‪ ،‬ويصنع أرففاً تثبت على الحائط لعرض التحف‪.‬‬ ‫يستعمل سالم قطعاً معدنية بثلاثة أشكال لتثبيت الأرفف مع بعضها وهي‪:‬‬ ‫يبين الشكل التالي هذه القطع المعدنية المستعملة في صنع نموذج مستطيل من الأرفف يتكون من‬ ‫ثلاثة صفوف وأربعة أعمدة‪.‬‬ ‫والتي يحتاجها سالم ليصنع نموذجاً‬ ‫‪ )1‬ما عدد القطع المعدنية التي على الشكل‬ ‫مستطيلاً من الأرفف يتكون من خمسة صفوف وستة أعمدة‪.‬‬ ‫‪______________ :‬‬ ‫عدد القطع ذات الشكل‬ ‫‪ )2‬يريد سالم أن يصنع نموذجاً مستطيلاً من الأرفف يتكون من أربعة صفوف وسبعة‬ ‫التي يحتاج إليها؟‬ ‫أعمدة‪ .‬ما عدد القطع ذات الشكل‬ ‫‪ )3‬يريد سالم أن يكتب صيغاً رياضية ُتحدد عدد القطع من كل نوع عندما يكون عدد‬ ‫الصفوف ن وعدد الأعمدة م‪ .‬أكتب الصيغ الثلاث بدلالة ن‪ ،‬م‪.‬‬ ‫عدد القطع من النوع ‪:‬‬ ‫عدد القطع من النوع ‪:‬‬ ‫عدد القطع من النوع ‪:‬‬ ‫‪91‬‬

‫النتيجة‪ :‬كانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا السؤال الأول إجابة صحيحة‬ ‫‪ ٪60.29‬مقارنة بنسبة طلبة الدول المشاركة والتي بلغت ‪ ٪74.75‬وهي نسبة منخفضة ولا‬ ‫تتناسب مع سهولة السؤال‪.‬‬ ‫وكانت النسبة المئوية للطلبة الأردنيين الذين أجابوا السؤال الثاني إجابة صحيحة ‪٪5.99‬‬ ‫مقارنة بنسبة طلبة الدول المشاركة والتي بلغت ‪ ٪17.03‬والنسبتان منخفضتان‪ ،‬مما يشير إلى‬ ‫ضعف عام لدى الطلبة في تشكيل أنماط واكتشاف قاعدتها وتطبيقها‪ .‬ويظهر جلياً في إجابة‬ ‫الطلبة على السؤال الثالث حيث كانت نسبة الطلبة الأردنيين الذين توصلوا للصيغة العامة‬ ‫‪ ٪1.29‬ونسبة طلبة الدول المشاركة ‪٪7.05‬‬ ‫سؤال مشابه‪ :‬يعمل عادل بليطاً‪ .‬ويستعمل ثلاثة أشكال من البلاط هي‪:‬‬ ‫يبين الشكل التالي كيف استعملت هذه الأشكال في ترتيب مربع مكون من ‪ 16‬بلاطة‪.‬‬ ‫‪92‬‬

‫التي يحتاج إليها عادل ليكون ترتيباً‬ ‫‪ )1‬ما عدد البلاطات من الشكل‬ ‫مربعاً مكوناً من ‪ 36‬بلاطة مربعة؟‬ ‫‪ )2‬يريد عادل أن يكون ترتيباً مربعاً من ‪ 81‬بلاطة مربعة‪ .‬ما عدد البلاطات من الشكل‬ ‫التي يحتاج إليها؟‬ ‫‪ )3‬يريد عادل أن يكون ترتيباً من ن‪ 2‬بلاطة مربعة‪.‬‬ ‫أكتب صيغة بدلالة ن يمكن لعادل أن يحسب بوساطتها عدد البلاطات من الشكل‬ ‫التي يحتاج إليها‪.‬‬ ‫الـعـلاج‪ :‬يعتمد حل مثل هذه الأسئلة على تنظيم معلومات في جدول لتكوين نمط واستنتاج‬ ‫قاعدته‪ .‬ولتنمية قدرات الطلبة على تنظيم المعلومات في جداول لإظهار الأنماط واستنتاج‬ ‫قواعدها‪ ،‬يجب تضمين مثل هذه النشاطات في عمليات التدريس‪ ،‬وتخصيص حصص لمناقشة‬ ‫مثل هذه الأنشطة وإجراء حوار ومناقشة لتفعيل دور الطلبة في عملية التنظيم والاستنتاج‪.‬‬ ‫وتضمين الواجبات البيتية أنشطة مشابهة‪.‬‬ ‫‪93‬‬

‫ففي السؤال الأول تنظم المعلومات في جدول كالتالي‪:‬‬ ‫عدد القطع‬ ‫عدد القطع‬ ‫عدد‬ ‫الشكل‬ ‫عدد الأعمدة (م)‬ ‫من النوع‬ ‫من النوع‬ ‫القطع‬ ‫عدد الصفوف (ن)‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫‪=2 =6 4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪)1-3()1-2( 4-)3+2(2‬‬ ‫‪=6 =10 4‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪)1-4()1-3( 4-)4+3(2‬‬ ‫‪=8 =12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪)1-5()1-3( 4-)5+3(2‬‬ ‫نم‬ ‫‪(2 4‬ن‪+‬م)‪( 4-‬ن‪()1-‬م‪)1-‬‬ ‫‪94‬‬