Pithanotites_Statistiki_unloc

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (∆Ι∆ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) Χ. ∆ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ∆ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ∆ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 2003

Στη ΡίτσαΣτη ΧρυσούλαΣτη Λένα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΑντί Προλόγου v ΜΕΡΟΣ Α ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 10 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ 13 Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ 18 191. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 282. ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΑ 393. ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 434. ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ, ∆ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΙ 485. ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ6. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 577. ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 618. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ 659. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ∆ΟΚΙΜΕΣ 68 75 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 1 79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 79 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 85 931. ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜHΣ 972. ∆ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1033. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ4. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ∆ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ∆ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ2. ΚΑΤΑΝΟΜΗ BERNOULLI ΚΑΙ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ PASCAL4. ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ5. ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 3

ii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 107 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 110 117 1. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 2. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ERLANG 126 3. ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 132 4. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ 135 ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ POISSON ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 141 145 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΚΕΝΤΡΙΚΟ 147 154 ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1. ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 2. ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 3. ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 5 ΜΕΡΟΣ Β ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 157 158 Β1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 161 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ 179 ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ 179 187 1. ΕΙΣΑΓΩΣΗ 194 2. ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 3. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ 196 200 ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ 201 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2. ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ Η ΤΑΣΗΣ 3. ΜΕΤΡΑ ∆ΙΑΣΠΟΡΑΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 4. ΘΗΚΟΓΡΑΜΜΑΤΑ 5. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΣΜΟΙ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ – ΚΩ∆ΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΕΘΟ∆ΟΣ 6. ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 7

Β2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ iii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 213 215 ΤΥΧΑΙΟ ∆ΕΙΓΜΑ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 218 2211. ΤΥΧΑΙΟ ∆ΕΙΓΜΑ 2222. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΕΣ) 2273. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ∆ΙΑΣΠΟΡΑΣ4. ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ΚΑΙ ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ∆ΙΑΣΠΟΡΑ 2295. ΣΥΝΕΠΕΙΑ 231 237 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 8 245ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 253 256 ∆ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΓΝΩΣΤΕΣ 265 276 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 283 2891. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕ ∆ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 2972. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ3. ∆ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΛΕΓΧΩΝ2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΜΕΣΟ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ3. ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ∆ΙΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΑΠΟ ∆ΥΟ ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 10ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α – ΤΥΠΟΛΟΓΙΟΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Αντί Προλόγου Οι διδακτικές αυτές σηµειώσεις προήλθαν κατόπιν συγκερασµού των απόψεων τωνσυγγραφέων σχετικά µε την ∆ιδασκαλία της Στατιστικής και των Πιθανοτήτων σε φοιτητέςεκτός του Μαθηµατικού Τµήµατος. Από τη µια µεριά η πολυετής διδακτική εµπειρία δύοεκ των διδασκόντων και από την άλλη η προσπάθεια για όσο το δυνατόν απλή καικατανοητή παρουσίαση των Θεµελιωδών Στατιστικών Νόµων, είχε ως αποτέλεσµα(πιστεύουµε εποικοδοµητικό) την παρούσα µορφή του κειµένου. Οι σηµειώσεις χωρίζονται σε δύο βασικά µέρη: Το Μέρος Α που πραγµατεύεται,σχετικά λεπτοµερώς, τις βασικές αρχές των Πιθανοτήτων, και το Μέρος Β που στην ουσίααποτελεί µία πολύ πρωταρχική προσέγγιση στη Στατιστική. Αν και το πρώτο µέροςενδέχεται να δυσκολέψει ελαφρώς τους όχι και τόσο καλά καταρτισµένους αναγνώστες,εντούτοις θεωρήσαµε απαραίτητη την αρκετά εκτενή ανάπτυξή του για δύο κυρίως λόγους:(α) επειδή η Στατιστική δεν µπορεί να διδαχθεί και να εφαρµοστεί σωστά χωρίς τηνκατανόηση των θεµελιωδών εννοιών και ιδιοτήτων των Πιθανοτήτων, και(β) επειδή θεωρήσαµε ότι ακόµα και αν κριθεί αναγκαίο να µην διδαχθούν ορισµέναεδάφια στη διάρκεια ενός εξαµήνου, εντούτοις θα ήταν χρήσιµο να συµπεριλάβουν οιενδιαφερόµενοι φοιτητές τις σηµειώσεις αυτές στη βιβλιοθήκη τους, σε περίπτωση που θαχρειαστεί να ανατρέξουν αργότερα. Σηµειώνεται ότι στο Κεφάλαιο 1, που είναι το εκτενέστερο των Κεφαλαίων 1-5 (ταοποία αποτελούν το Μέρος Α των Πιθανοτήτων), έγινε προσπάθεια να συγκεντρωθούν όλεςοι απαραίτητες στοιχειώδεις γνώσεις των Πιθανοτήτων, έτσι ώστε να είναι προσιτό (και,ίσως, χρήσιµο) ακόµα και σε τελειόφοιτους µαθητές Λυκείου. Στα Κεφάλαια 2-4αναπτύσσεται η βασική θεωρία τυχαίων µεταβλητών, ενώ στο 5ο Κεφάλαιο αναπτύσσονται(χωρίς αποδείξεις) κάποια από τα κάπως προχωρηµένα αποτελέσµατα της ΘεωρίαςΠιθανοτήτων (Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα, Νόµος των Μεγάλων Αριθµών, ΑνεξαρτησίαΤυχαίων Μεταβλητών), µε στόχο την µετέπειτα αξιοποίησή τους από τη Στατιστική. Το Μέρος Β (της Στατιστικής) χωρίζεται σε δύο εδάφια, την Περιγραφική Στατιστική(Κεφάλαια 6 και 7) και τη Στατιστική Συµπερασµατολογία (Κεφάλαια 8-10). Τοπεριεχόµενο της Περιγραφικής Στατιστικής, µπορεί να θεωρηθεί σχετικά αυτόνοµο, καιέτσι είναι δυνατόν είτε να µην διδαχθεί, είτε να διδαχθεί στην αρχή του εξαµήνου. Η γνώση και κατανόηση (σε βάθος) του εδαφίου που αποτελείται από τα Κεφάλαια 8έως 10 είναι στην ουσία ο βασικός στόχος των διδακτικών αυτών σηµειώσεων, ακριβώςεπειδή απευθύνονται σε µελλοντικούς εφαρµοσµένους επιστήµονες (φοιτητές Βιολογίας,Γεωλογίας, Φυσικής, Φαρµακευτικής, Ιατρικής, Πληροφορικής κ.ο.κ.), οι οποίοι ενδέχεταινα χρησιµοποιήσουν στην επιστήµη τους στατιστικές µεθόδους. Για το λόγο αυτό, έγινεπροσπάθεια να περιληφθεί στις σηµειώσεις σχετικά µεγάλος αριθµός παραδειγµάτων,εφαρµογών και ασκήσεων που σχετίζονται µε τα ενδιαφέροντα των εφαρµοσµένωνεπιστηµόνων, δεδοµένου ότι το ενδιαφέρον για τη Στατιστική στις επιστήµες αυτές

viεπικεντρώνεται στους Ελέγχους Στατιστικών Υποθέσεων, το δε επιδιωκόµενοαποτέλεσµα είναι η εξαγωγή ασφαλών συµπερασµάτων. Έτσι, θα µπορούσαµε να πούµε ότι το ενδιαφέρον του (εφαρµοσµένου) αναγνώστη θαπρέπει να επικεντρωθεί στο εδάφιο της Εκτιµητικής (Κεφάλαια 8-10). Όµως, όπως εύκολαδιαπίστωσε όποιος προσπάθησε να εµβαθύνει στις Στατιστικές έννοιες, αυτό δεν είναιδυνατό χωρίς την σχετικά άρτια γνώση των Πιθανοτήτων. Εποµένως, θεωρήσαµεαπαραίτητη την παρούσα µορφή του κειµένου. Από την άλλη µεριά, θα παρατηρήσει κανείς ότι το εύρος των Στατιστικών Μεθόδωνπου παρουσιάζονται στις σηµειώσεις είναι σχετικά (έως πολύ) περιορισµένο, συγκρινόµενεςµε αντίστοιχα βιβλία ή σηµειώσεις Στατιστικής που κυκλοφορούν στην Ελλάδα και τοεξωτερικό. Αυτό πιστεύουµε ότι, ως ένα βαθµό, θα αντιµετωπιστεί στο µέλλον µε τηνπροσθήκη εδαφίων σχετικών µε τη γραµµική παλινδρόµηση και την ανάλυση διασποράς,αν και κατά την άποψή µας, δεν θα πρέπει να «θυσιάζεται» η ποιότητα της γνώσης στο«βωµό» της ποσότητας. Στο σηµείο αυτό θα θέλαµε να εκφράσουµε τις θερµότερες ευχαριστίες µας προς την καΡόζα Γαρδέρη, Γραµµατέα του Τοµέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας τουΤµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αθηνών, για την άψογη δακτυλογράφηση,καθώς επίσης και προς τον κο Αλκαίο Σουγιούλ, Μεταπτυχιακό φοιτητή του Τµήµατος, γιατην επιµέλεια του Εξωφύλλου και την πολύτιµη βοήθειά του σε ποικίλα τεχνικά θέµατα. Εξυπακούεται ότι παρατηρήσεις και υποδείξεις για βελτίωση των σηµειώσεων είναιευπρόσδεκτες (και επιθυµητές) από τους συναδέλφους και από όλους τους αναγνώστες.Αθήνα, Ιούνιος 2003 Χ. ∆αµιανού, Ν. Παπαδάτος, Χ.Α. Χαραλαµπίδης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών

Μέρος ΑΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ H Θεωρία των Πιθανοτήτων έχει ως αντικείµενο τη µελέτη µαθηµατικώνυποδειγµάτων (προτύπων ή µοντέλων) γνωστών ως στοχαστικών υποδειγµάτων ταοποία χρησιµοποιούνται για την περιγραφή των στοχαστικών (ή τυχαίων) πειραµάτων(ή φαινοµένων). Βασικό χαρακτηριστικό των πειραµάτων αυτών είναι ότι οισυνθήκες κάτω από τις οποίες πραγµατοποιούνται δεν προκαθορίζουν το αποτέλεσµααλλά µόνο το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων. Στην αδυναµία προκαθορισµούτου αποτελέσµατος έγκειται το στοιχείο της τυχαιότητας. Έτσι η ρίψη ενόςνοµίσµατος ή ενός κύβου και η παρατήρηση του αποτελέσµατος, όπως και ηπαρατήρηση του φύλου νεογέννητου σε µία σειρά γεννήσεων αποτελούν στοχαστικά(τυχαία) πειράµατα (ή φαινόµενα). Όταν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγµατοποιείται ένα πείραµα ήεµφανίζεται ένα φαινόµενο καθορίζουν το αποτέλεσµα, το πείραµα ή το φαινόµενοείναι γνωστό ως αιτιοκρατικό (ή προσδιοριστικό). Για την περιγραφή τούτων αρκούντα αιτιοκρατικά (ή προσδιοριστικά) µαθηµατικά υποδείγµατα (πρότυπα ή µοντέλα) ταοποία αποτελούν το αντικείµενο της µελέτης άλλων κλάδων της επιστήµης. Οι νόµοιτης βαρύτητας που περιγράφουν την πτώση ενός σώµατος αποτελούν ένα τέτοιοµαθηµατικό υπόδειγµα (µοντέλο).2. ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΑ Ας θεωρήσουµε ένα στοχαστικό (τυχαίο) πείραµα (ή φαινόµενο) ή πείραµα τύχης.Όπως έχουµε ήδη σηµειώσει στην εισαγωγή, οι συνθήκες κάτω από τις οποίεςπραγµατοποιείται δεν προκαθορίζουν το αποτέλεσµά του αλλά µόνο το σύνολο τωνδυνατών αποτελεσµάτων του. Παραδείγµατα τέτοιων πειραµάτων µε τα δυνατάαποτελέσµατα (∆.Α.) που µπορεί να προκύψουν είναι:α) Η ρίψη ενός νοµίσµατος µία φορά: ∆.Α.: κεφαλή (κ) , γράµµατα (γ) .

2β) Η ρίψη ενός ζαριού και η παρατήρηση της ένδειξης της άνω έδρας του ∆.Α.: 1, 2, 3, 4, 5, 6 .γ) Η διαδοχική ρίψη ενός νοµίσµατος µέχρι να εµφανιστεί η ένδειξη κεφαλή (κ) ∆.Α.: κ, γκ, γγκ, γγγκ,... .δ) Η (ταυτόχρονη) ρίψη δύο ζαριών ∆.Α. : (1,1), (1, 2), ..., (1, 6), (2,1), (2, 2), ..., (2, 6), ... ... ... ... (6,1), (6, 2), ..., (6, 6).ε) Η επιλογή ν αντικειµένων από µία παραγωγική διαδικασία και ο προσδιορισµός του αριθµού των ελαττωµατικών αντικειµένων ∆.Α.: 0, 1, 2, ..., v .στ) Ο αριθµός των εκπεµποµένων σωµατιδίων από µία (τυχαία επιλεγόµενη) ραδιενεργό πηγή σε συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα ∆.Α.: 0, 1, 2, ... .ζ) Ο χρόνος λειτουργίας ενός λαµπτήρα φωτισµού που επιλέγεται τυχαία από ένα σύνολο λαµπτήρων. ∆.Α.: Κάθε µη αρνητικός πραγµατικός αριθµός. Σχετικά σηµειώνουµε ότι: Σύνολο καλείται µία καλώς ορισµένη συλλογή διακεκριµένων στοιχείων. Τασύνολα συµβολίζουµε µε τα κεφαλαία γράµµατα του αλφαβήτου µε δείκτες ή χωρίςδείκτες και τα στοιχεία που τα αποτελούν µε τα µικρά (πεζά) γράµατα. Το γεγονός ότιτο στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α σηµειώνουµε µε α ∈ A , ενώ το γεγονός ότι τοστοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο Α σηµειώνουµε µε α ∉ A . Ένα σύνολο Α καλείταιυποσύνολο ενός συνόλου Β αν και µόνο αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο τουΒ. Το γεγονός αυτό συµβολίζεται µε A ⊆ B . Αν A ⊆ B και υπάρχει στοιχείο του Βπου δεν ανήκει στο Α, τότε το Α καλείται γνήσιο υποσύνολο του Β. Για τηνπερίπτωση αυτή χρησιµοποιείται ο συµβολισµός A ⊂ B . Το A ⊆ B δεν αποκλείει και το B ⊆ A . Στην περίπτωση που ισχύουν και οι δύοαυτές σχέσεις τα σύνολα Α και Β αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία και καλούνταιίσα και τούτο συµβολίζεται µε A = B . Μετά την εισαγωγή των εννοιών αυτών θέτουµε τον ακόλουθο ορισµό.

3Ορισµός 2.1. ∆ειγµατικός χώρος (δ.χ.) Ω ενός στοχαστικού (ή τυχαίου) πειράµατος (ήφαινοµένου) καλείται το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του. Ένα στοιχείο ω τουδειγµατικού χώρου Ω καλείται δειγµατικό σηµείο. Ας σηµειωθεί ότι σε ένα στοχαστικό πείραµα είναι δυνατό, ανάλογα µε τονκαθορισµό των δυνατών αποτελεσµάτων, να ορισθούν περισσότερα από ένα σύνολαδυνατών αποτελεσµάτων. Στην περίπτωση αυτή ανάλογα µε τις απαιτήσεις τουσυγκεκριµένου προβλήµατος λαµβάνεται το καταλληλότερο απ’ αυτά ως δειγµατικόςχώρος. Πολλά παράδοξα έχουν προκύψει από τη µη κατάλληλη επιλογή δειγµατικούχώρου. Το σηµείο αυτό διευκρινίζεται περισσότερο στα παραδείγµατα. Σηµειώνουµεακόµη ότι ο δειγµατικός χώρος Ω ενός στοχαστικού πειράµατος είναι είτεπεπερασµένος: Ω = {ω1, ω2 ,..., ωN } είτε αριθµησίµως άπειρος: Ω = {ω1, ω2 ,...} είτεµη αριθµήσιµος. Στις δύο πρώτες περιπτώσεις ο δειγµατικός χώρος Ω καλείται γενικάδιακριτός (ή απαριθµητός ή αριθµήσιµος) και στην τρίτη περίπτωση µη αριθµήσιµος ήυπεραριθµήσιµος (στην ειδική περίπτωση που ο δειγµατικός χώρος αποτελείται απόόλα τα σηµεία ενός διαστήµατος ή µιας ευθείας (και άρα είναι υπεραριθµήσιµος)καλείται συνεχής). Έτσι, ο δειγµατικός χώρος για καθένα από τα παραπάνω πειράµατα τύχης είναι:α) Ω = {κ, γ}β) Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}γ) Ω = {κ, γκ, γγκ,...}δ) Ω = {(1,1), (1, 2),..., (6, 6)}ε) Ω = {0,1, 2,..., ν}στ) Ω = {0,1, 2,...}ζ) Ω = {t :t ≥ 0} = [0,+∞) . Όπως µπορούµε να διαπιστώσουµε από τα παραπάνω παραδείγµατα (α), (β), (δ)και (ε) οι αντίστοιχοι δειγµατικοί χώροι είναι πεπερασµένοι. Στα παραδείγµατα όµως(γ) και (στ) ο δειγµατικός χώρος Ω είναι της µορφής Ω = {ω1, ω2 , ω3 ,...}δηλαδή απειροσύνολο αλλά αριθµήσιµο σύνολο που στην ουσία αντιµετωπίζεταικατά τον ίδιο τρόπο όπως και οι πεπερασµένοι δειγµατικοί χώροι. Υπάρχουν όµωςκαι πειράµατα στα οποία ο δειγµατικός χώρος είναι µη αριθµήσιµος, όπως το (ζ) όπουο δ.χ. είναι το σύνολο Ω =[0, ∞) αφού όλοι οι χρόνοι ω ≥ 0 µπορούν να θεωρηθούνως απλά ενδεχόµενα (δυνατά αποτελέσµατα). Το ίδιο συµβαίνει όταν µελετάµε τοχρόνο (σε δευτερόλεπτα) που θα χρειαστεί ένας αθλητής να τρέξει µια απόσταση, τούψος (σε mm) της βροχόπτωσης σε µία περιοχή σε δεδοµένη χρονική περίοδο κ.ά.,

4αφού σε όλες αυτές τις περιπτώσεις οι δ.χ. είναι συνεχείς και άρα υπεραριθµήσιµοι(µη αριθµήσιµοι).Ορισµός 2.2. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός στοχαστικού πειράµατος. Έναυποσύνολο Α του Ω καλείται ενδεχόµενο (ως προς το δειγµατικό χώρο Ω). Ειδικά οδειγµατικός χώρος Ω καλείται βέβαιο ενδεχόµενο και το κενό σύνολο ∅ καλείταιαδύνατο ενδεχόµενο. ΄Ενα ενδεχόµενο Α = {ω}, που περιέχει ένα µόνο στοιχείο ω του δειγµατικούχώρου Ω, καλείται απλό ή στοιχειώδες ενδεχόµενο ενώ ένα ενδεχόµενο που περιέχειπερισσότερα από ένα στοιχεία του δειγµατικού χώρου καλείται σύνθετο ενδεχόµενο. Σε µία εκτέλεση ενός στοχαστικού πειράµατος µε δειγµατικό χώρο Ω έναενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται αν και µόνο αν το αποτέλεσµα της εκτέλεσης τουπειράµατος αυτού είναι στοιχείο ω που ανήκει στο Α. Ενδιαφέρον, τόσο από θεωρητική άποψη όσο και από άποψη εφαρµογών,παρουσιάζουν ενδεχόµενα τα οποία προκύπτουν µετά από συνολοθεωρητικές πράξειςµεταξύ ενδεχοµένων. Τα βασικότερα από τα ενδεχόµενα αυτά είναι τα ακόλουθα. Η ένωση δύο ενδεχοµένων (συνόλων) Α και Β (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω)είναι το ενδεχόµενο A ∪ B = {ω ∈ Ω:ω ∈ A ή ω ∈ B} ,της πραγµατοποίησης ενός τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α και Β. Γενικότερα, ηένωση των ενδεχοµένων A1, A2 ,..., Aν είναι το ενδεχόµενο A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν = {ω ∈ Ω :ω ∈ Aj για έναν τουλάχιστο δείκτη j = 1, 2,...,ν},της πραγµατοποίησης ενός τουλάχιστον από τα ν ενδεχόµενα A1, A2 ,..., Aν .Περαιτέρω, η ένωση των ενδεχοµένων A1, A2 ,..., Aν ,... είναι το ενδεχόµενο A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ∪L = {ω ∈ Ω:ω ∈ Aj για έναν τουλάχιστο δείκτη j = 1, 2,...},της πραγµατοποίησης ενός τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα A1, A2 ,..., Aν ,... . Η τοµή δύο ενδεχοµένων (συνόλων) Α και Β (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω)είναι το ενδεχόµενο Α ∩ Β ≡ ΑΒ = {ω ∈ Ω:ω ∈ A και ω ∈ B} ,της πραγµατοποίησης και των δύο ενδεχοµένων Α και Β. Γενικότερα, η τοµή τωνενδεχοµένων A1, A2 ,..., Aν είναι το ενδεχόµενο Α1 ∩ Α2 ∩L∩ Αν ≡ Α1 Α2 L Αν = {ω ∈ Ω: ω ∈ Aj για όλους τους δείκτες j = 1, 2,...,ν},

5της πραγµατοποίησης και των ν ενδεχοµένων A1, A2 ,..., Aν . Περαιτέρω, η τοµή τωνενδεχοµένων A1, A2 ,..., Aν ,... είναι το ενδεχόµενο Α1 ∩ Α2 ∩L∩ Αν ∩L ≡ Α1 Α2 L Αν L = {ω ∈ Ω:ω ∈ Aj για όλους τους δείκτες j = 1, 2,...},της πραγµατοποίησης όλων των ενδεχοµένων A1, A2 ,..., Aν ,... . Αν η τοµή των ενδεχοµένων Α και Β είναι το αδύνατο ενδεχόµενο, Α ∩ Β = ∅ ,τότε τα Α και Β καλούνται ξένα ή αµοιβαίως αποκλειόµενα (ή ασυµβίβαστα)ενδεχόµενα. Το συµπλήρωµα ενός ενδεχοµένου Α (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω) είναι τοενδεχόµενο A′ = {ω ∈ Ω:ω ∉ A} ,της µη πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Α. Το ενδεχόµενο A′ καλείται αντίθετοτου ενδεχοµένου Α. Η διαφορά του ενδεχοµένου Β από το ενδεχόµενο Α (ως προς ένα δειγµατικόχώρο Ω) είναι το ενδεχόµενο A − B = {ω ∈ Ω:ω ∈ A και ω ∉ B} ,της πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Α και της µη πραγµατοποίησης τουενδεχοµένου Β. Σηµειώνουµε ότι A − B = A ∩ B′ . Σχηµατικά διαγράµµατα είναι συχνά χρήσιµα για την εποπτική παράστασησχέσεων µεταξύ συνόλων (ενδεχοµένων). Τέτοια διαγράµµατα είναι τα γνωστά ωςδιαγράµµατα του Venn στα οποία το καθολικό σύνολο (δειγµατικός χώρος) Ωορίζεται από µία περιοχή του επιπέδου που περικλείει τα στοιχεία του, τα οποίαορίζονται από γεωµετρικά σηµεία του επιπέδου αυτού. Τα υποσύνολα του Ωορίζονται από υποπεριοχές του. Στα διαγράµµατα Venn των Σχηµάτων 2.1-2.4δίδονται σκιασµένα τα σύνολα A ∪ B , A ∩ B , A′ = Ω − Α και A − B αντίστοιχα. Το καρτεσιανό γινόµενο αποτελεί µία συνολοθεωρητική κατασκευή χρήσιµητόσο στην έκφραση του δειγµατικού χώρου συνθέτου τυχαίου πειράµατος, το οποίοσυντίθεται από ακολουθίες απλών τυχαίων πειραµάτων ή δοκιµών απλού τυχαίουπειράµατος, όσο και ενδεχοµένων ως προς αυτόν. Έστω Ω1 και Ω2 δύο σύνολα. Τοκαρτεσιανό γινόµενο των Ω1 και Ω2 , συµβολιζόµενο µε Ω1 × Ω2 , είναι το σύνολο τωνδιατεταγµένων ζευγών στα οποία η πρώτη συνιστώσα είναι στοιχείο του Ω1 και ηδεύτερη συνιστώσα είναι στοιχείο του Ω2 , δηλαδή Ω1 × Ω2 = {(ω1, ω2):ω1 ∈ Ω1, ω2 ∈ Ω2}`.

6Ο ορισµός αυτός επεκτείνεται και για ν σύνολα Ω1, Ω2 ,..., Ων ως εξής: Ω1 × Ω2 ×L× Ων = {(ω1, ω2,...,ων):ω1 ∈ Ω1, ω2 ∈ Ω2,...,ων ∈ Ων} .Ειδικά αν Ω1 = Ω2 =L= Ων ≡ Ω το καρτεσιανό γινόµενο συµβολίζεται µε Ω ν . Ω Β Ω B Α A Σχήµα 2.1: A ∪ B Σχήµα 2.2: A ∩ B Ω Ω Β Α Α A΄ Σχήµα 2.3: A′ Σχήµα 2.4: A − BΠαράδειγµα 2.1. (α) Ας θεωρήσουµε το στοχαστικό (τυχαίο) πείραµα της ρίψης ενόςνοµίσµατος. Ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι τοσύνολο Ω = {γ ,κ} ,όπου σηµειώνεται µε γ η όψη γράµµατα και µε κ η όψη κεφαλή (ή κορώνα). Ταυποσύνολα του Ω Α = {γ } και Β = {κ}είναι τα στοιχειώδη ενδεχόµενα εµφάνισης της όψης γράµµατα και κεφαλήαντίστοιχα. (β) Ας θεωρήσουµε τώρα το στοχαστικό (τυχαίο) πείραµα µιας ακολουθίας 2ρίψεων ενός νοµίσµατος. Τούτο είναι ένα σύνθετο στοχαστικό πείραµα συντιθέµενοαπό 2 δοκιµές του απλού στοχαστικού πειράµατος της ρίψης ενός νοµίσµατος.Οποιοδήποτε αποτέλεσµα των 2 ρίψεων δύναται να παρασταθεί από έναδιατεταγµένο ζεύγος του οποίου το πρώτο στοιχείο είναι το αποτέλεσµα της πρώτης

7ρίψης και το δεύτερο στοιχείο το αποτέλεσµα της δεύτερης ρίψης. Έτσι ο δειγµατικόςχώρος του σύνθετου στοχαστικού πειράµατος είναι το σύνολο Ω2 = {(γ ,γ ), (γ ,κ ), (κ ,γ ), (κ ,κ )} .Σηµειώνουµε ότι το Ω2 είναι το καρτεσιανό γινόµενο του Ω = {γ ,κ} µε τον εαυτότου. Τα υποσύνολα του Ω2 , Α0 = {(γ ,γ )} , Α1 = {(γ ,κ ), (κ ,γ )} και Α2 = {(κ ,κ )}είναι τα ενδεχόµενα εµφάνισης 0, 1 και 2 φορές της όψης κεφαλή, αντίστοιχα.Παράδειγµα 2.2. Ας θεωρήσουµε το στοχαστικό (τυχαίο) πείραµα της ρίψης ενόςκύβου. Καταγράφοντας την ένδειξη της επάνω έδρας του κύβου ο δειγµατικός χώροςτου στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι το σύνολο Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}.Τα σύνολα Α1 = {1}, Α2 = {2} , Α3 = {3}, Α4 = {4} , Α5 = {5} και Α6 = {6}είναι τα στοιχειώδη ενδεχόµενα της εµφάνισης του αριθµού 1, 2,3, 4,5 και 6αντίστοιχα, ενώ τα σύνολα Β1 = {1}, B2 = {1, 2} , B3 = {1, 2,3} , B4 = {1, 2,3, 4} , B5 = {1, 2,3, 4,5} και B6 = {1, 2,3, 4,5, 6}είναι τα ενδεχόµενα εµφάνισης αριθµού µικροτέρου ή ίσου του 1, 2,3, 4,5 και 6αντίστοιχα. Ας σηµειωθεί ότι B1 = A1 , B2 = A1 ∪ A2 , B3 = A1 ∪ A2 ∪ A3 , B4 = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 , B5 = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 , B6 = Ω .Παράδειγµα 2.3. Ας θεωρήσουµε µία σειρά 3 γεννήσεων σ’ ένα µαιευτήριο τωνΑθηνών. Καταγράφοντας κατά σειρά γέννησης το φύλο των νεογέννητων οδειγµατικός χώρος είναι το σύνολο Ω = {(κ, κ, κ),(α, κ, κ),(κ,α, κ),(κ, κ,α),(α,α, κ),(α, κ,α),(κ,α,α),(α,α,α)} ,όπου σηµειώνεται µε α η γέννηση αγοριού και µε κ η γέννηση κοριτσιού. Ταενδεχόµενα Α0 , Α1 , Α2 και Α3 της γέννησης 0, 1, 2 και 3 αγοριών, αντίστοιχα,περιλαµβάνουν τα εξής δειγµατικά σηµεία: Α0 = {(κ, κ, κ)} , Α1 = {(α, κ, κ),(κ, α, κ),(κ, κ, α)}

8 Α2 = {(α, α, κ),(α, κ, α),(κ, α, α)} , Α3 = {(α, α, α)},ενώ το ενδεχόµενο Β της γέννησης ενός τουλάχιστο αγοριού περιλαµβάνει τα εξήςδειγµατικά σηµεία Β = {(α, κ, κ),(κ,α, κ),(κ, κ,α),(α,α, κ),(α, κ,α),(κ,α,α),(α,α,α)}και είναι Β = Α1 ∪ Α2 ∪ Α3 = A0′ .Το συµπληρωµατικό (αντίθετο) του ενδεχοµένου Β είναι το ενδεχόµενο Β′ τηςγέννησης 3 κοριτσιών και περιλαµβάνει το σηµείο Β′ = {(κ, κ, κ)} = A0 .Παράδειγµα 2.4. Μέτρο του φόρτου εργασίας σε ένα τηλεφωνικό κέντρο παροχήςπληροφοριών αποτελεί τόσο ο αριθµός των τηλεφωνικών κλήσεων που φθάνουν σ’αυτό στη διάρκεια ενός ορισµένου χρονικού διαστήµατος, όσο και ο χρόνος πουµεσολαβεί µεταξύ διαδοχικών τηλεφωνικών κλήσεων. (α) Καταγράφοντας τον αριθµό των τηλεφωνικών κλήσεων, το σύνολο τωνδυνατών αποτελεσµάτων, το οποίο αποτελεί το δειγµατικό χώρο, είναι το Ω1 = {0,1, 2,..., Ν}.Το ενδεχόµενο µιας τουλάχιστο τηλεφωνικής κλήσης είναι το υποσύνολο Α του Ω1µε Α = {1, 2,..., Ν}.Το συµπληρωµατικό (αντίθετο) του ενδεχοµένου Α είναι το ενδεχόµενο Α′ , καµµιάςτηλεφωνικής κλήσης, το οποίο περιλαµβάνει ένα µόνο σηµείο: Α′ = {0} .Σηµειώνουµε ότι στην περίπτωση που ο µέγιστος αριθµός των τηλεφωνικών κλήσεωνΝ είναι πρακτικά πολύ µεγάλος, λαµβάνεται θεωρητικά ίσος µε ∞ . (β) Καταγράφοντας το χρόνο µεταξύ διαδοχικών τηλεφωνικών κλήσεων, τοσύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων, το οποίο αποτελεί το δειγµατικό χώρο είναι τοδιάστηµα Ω2 = {t ∈ R:0 < t < θ},όπου ο µέγιστος χρόνος θ είναι ένας θετικός αριθµός. Το ενδεχόµενο Α ο χρόνοςµεταξύ διαδοχικών τηλεφωνικών κλήσεων να ξεπεράσει τα α δευτερόλεπτα είναι το Α = {t ∈ R:α < t < θ} .

9 Σηµειώνουµε ότι ο δειγµατικός χώρος Ω1 είναι πεπερασµένος. Στην περίπτωσηπου το Ν αντικατασταθεί από το ∞ , ο δειγµατικός χώρος καθίσταται αριθµησίµωςάπειρος. Ο δειγµατικός χώρος Ω2 είναι υπεραριθµήσιµος και ειδικότερα συνεχής.Παράδειγµα 2.5. Από µία παραγωγική διαδικασία λαµβάνουµε διαδοχικά ένααντικείµενο (προϊόν) και εξετάζεται ως προς την ποιότητά του, αν βρίσκεται δηλαδήεντός των προδιαγραφών (κ) ή είναι ελαττωµατικό (ε) . Αν η παραγωγικήδιαδικασία διακόπτεται µε την εµφάνιση του πρώτου ελαττωµατικού αντικειµένου,τότε ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος είναι Ω = {ε, κε, κκε, κκκε, ...}.Σηµειώνουµε ότι ο δειγµατικός χώρος Ω είναι αριθµήσιµος.α) Το ενδεχόµενο να χρειαστούν ακριβώς 4 δοκιµές µέχρι να διακοπεί η παραγωγική διαδικασία είναι το A = {κκκε}β) Το ενδεχόµενο να χρειαστούν τουλάχιστον 4 δοκιµές µέχρι να διακοπεί η παραγωγική διαδικασία είναι το Β = {κκκε, κκκκε,...}γ) Το ενδεχόµενο να χρειαστούν το πολύ 4 δοκιµές µέχρι να διακοπεί η παραγωγική διαδικασία είναι το Γ = {ε, κε, κκε, κκκε} .Παράδειγµα 2.6. (α) Ποµπός εκπέµπει κωδικοποιηµένο ψηφιακό σήµα, το οποίολαµβάνεται µε τη συµβολική µορφή 0 και 1. Αν υποθέσουµε ότι ο δέκτης πρόκειταινα λάβει µία «λέξη» τριών ψηφίων, τότε ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω1 = {000, 001, 010,100, 011,101,110,111} ,(αξιοσηµείωτη είναι η αναλογία του δ.χ. Ω1 µε τον δ.χ. Ω του Παραδείγµατος 2.3). (β) ∆ύο άτοµα προσέρχονται για αιµοδοσία σε µονάδα αιµοληψίας του Κ.Α.Τ.Ως γνωστόν οι οµάδες αίµατος είναι οι εξής 4: Α, Β, Ο και AB . Επειδή τασυγκεκριµένα άτοµα θεωρούνται ως τυχαία επιλεγµένα από τον πληθυσµό, οδειγµατικός χώρος µπορεί να θεωρηθεί ως το σύνολο Ω2 = {( Α, Α), ( Α, Β), ( Α,Ο), ( Α, ΑΒ), (Β, Α), (Β, Β), (Β,Ο), (Β, ΑΒ), (Ο, Α), (Ο, Β) , (Ο,Ο), (Ο, ΑΒ),( ΑΒ, Α), ( ΑΒ, Β), ( ΑΒ,Ο), ( ΑΒ, ΑΒ)} ,όπου π.χ. το στοιχείο (Β, Α) σηµαίνει ότι ο πρώτος δότης έχει οµάδα αίµατος Β και οδεύτερος Α.

103. ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας διατυπώθηκε αρχικά από τον De Moivre(1711). O ορισµός αυτός εξυπηρετούσε την περιγραφή «απλών» τυχαίωνπειραµάτων, τα οποία παρουσιάζουν µία εγγενή συµµετρία (ρίψη συνήθουςνοµίσµατος ή ζαριού, γέννηση αγοριού – κοριτσιού κ.λ.π.) και διατυπώνεται ως εξής: Η πιθανότητα της πραγµατοποίησης ενός ενδεχοµένου είναι το πηλίκο µε αριθµητήτον αριθµό των περιπτώσεων ευνοϊκών για την πραγµατοποίηση του ενδεχοµένουτούτου και παρονοµαστή το συνολικό αριθµό των περιπτώσεων, µε την προϋπόθεση ότιόλες οι περιπτώσεις είναι εξίσου πιθανές (ισοπίθανες). Η συνθήκη του ισοπιθάνου των περιπτώσεων είναι αναγκαία γιατί διαφορετικάθεωρώντας τις περιπτώσεις της πραγµατοποίησης και της µη πραγµατοποίησηςενδεχοµένου θα καταλήγαµε στο συµπέρασµα ότι η πιθανότητα οποιουδήποτεενδεχοµένου είναι ίση µε 1/2. Το συµπέρασµα τούτο δεν ισχύει γενικά επειδή οι δύοαυτές περιπτώσεις δεν είναι πάντοτε εξίσου πιθανές. Η έννοια των εξίσου πιθανών(ισοπιθάνων) περιπτώσεων είναι απαραίτητο να ορισθεί ανεξάρτητα από την έννοιατης πιθανότητας γιατί διαφορετικά ο κλασικός αυτός ορισµός θα οδηγούσε σε φαύλοκύκλο. Σηµειώνουµε ότι ο κλασικός αυτός ορισµός της πιθανότητας αφοράαναγκαστικά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους, οι οποίοι επιπροσθέτωςπαρουσιάζουν µία εγγενή συµµετρία ως προς τα δειγµατικά τους σηµεία (δυνατάαποτελέσµατα). Η θεµελίωση του Λογισµού των Πιθανοτήτων µε βάση τον κλασικό ορισµό τηςπιθανότητας αποδίδεται στον Laplace (1812). Αξίζει να παρουσιάσουµε τιςσηµαντικότερες ιδιότητες της κλασικής πιθανότητας, οι οποίες και ενέπνευσαν τηνκατάλληλη επέκταση της τόσο σε πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους µε µηισοπίθανα δειγµατικά σηµεία (περιπτώσεις) όσο και γενικότερα σε αριθµήσιµους ήµη αριθµήσιµους δειγµατικούς χώρους. Ας θεωρήσουµε έναν πεπερασµένο δειγµατικό χώρο Ω του οποίου τα στοιχεία(δειγµατικά σηµεία, περιπτώσεις), είναι εξίσου πιθανά (ισοπίθανα) και έναοποιοδήποτε ενδεχόµενο Α (ως προς το δειγµατικό χώρο Ω). Η πιθανότητα του Α,συµβολιζοµένη µε P( A) , δίδεται από τη σχέση P( A) = N ( A) (3.1) Nόπου N ( A) είναι ο αριθµός των στοιχείων του ενδεχοµένου Α και N ≡ N (Ω) είναι οαριθµός των στοιχείων του δειγµατικού χώρου Ω. Η συνάρτηση P( A) η οποία σεκάθε ενδεχόµενο Α (στον Ω) αντιστοιχεί τον αριθµό (3.1) είναι

11 (α) µη αρνητική : P( A) ≥ 0 για κάθε ενδεχόµενο A ⊆ Ω , (β) νορµαλισµένη : P(Ω) = 1, (γ) προσθετική : P( A ∪ B) = P(A) + P(B) για οποιαδήποτε ξένα (αµοιβαίωςαποκλειόµενα) ενδεχόµενα Α και B ⊆ Ω . Οι ιδιότητες αυτές προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό (3.1) και τις αντίστοιχεςιδιότητες: N ( A) ≥ 0 για κάθε σύνολο Α και N ( A ∪ B) = N ( A) + N (B) για ξέναµεταξύ τους σύνολα Α και Β, του αριθµού των στοιχείων πεπερασµένου συνόλου.Σηµειώνουµε ότι από την προσθετική ιδιότητα συνάγεται επαγωγικά η σχέσηP( A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ) = P( A1) + P( A2 ) +L+ P( Aν ) (3.2)για κατά ζεύγη ξένα (αµοιβαίως αποκλειόµενα, ασυµβίβαστα) ενδεχόµεναA1, A2 ,..., Aν ⊆ Ω . Άµεσα συνάγονται από τον ορισµό (3.1) η σχέση P( A) ≤ 1 για κάθε ενδεχόµενο Α ⊆ Ω .όπως και η σχέση P(∅) = 0 . Επίσης, αν Ω = Ω1 × Ω2 ×L× Ων και Α = Α1 × A2 ×L× Aν µε Ai ⊆ Ωi καιP( Ai ) = N ( Ai ) / N (Ωi ) , i = 1, 2,...,ν , τότε P( A) = P( A1)P( A2 )LP( Aν ) . (3.3) Επέκταση της κλασικής πιθανότητας στην περίπτωση που ο δειγµατικός χώροςείναι συνεχής (µη αριθµήσιµος) αποτελεί η γεωµετρική πιθανότητα που ορίζεται ωςεξής: Ας θεωρήσουµε ένα µη αριθµήσιµο δειγµατικό χώρο Ω οριζόµενο από µίαπεριοχή του (µονοδιαστάτου ή διδιαστάτου ή τριδιαστάτου) χώρου στην οποίαοποιεσδήποτε στοιχειώδεις περιοχές είναι εξίσου πιθανές (ισοπίθανες) και έναοποιοδήποτε ενδεχόµενο Α οριζόµενο από µία περιοχή του δειγµατικού χώρου Ω. Ηπιθανότητα του Α δίδεται από τη σχέση P( A) = µ( A) , (3.4) µ(Ω)όπου µ( Α) και µ(Ω) είναι το µέτρο (µήκος ή εµβαδόν ή όγκος) των περιοχών Α καιΩ αντίστοιχα. Η πιθανότητα (3.4), όπως εύκολα µπορεί να διαπιστωθεί, έχειαντίστοιχες ιδιότητες µε την πιθανότητα (3.1).Παράδειγµα 3.1. Ας θεωρήσουµε µία ακολουθία δύο ρίψεων ενός συνήθουςνοµίσµατος και το ενδεχόµενο Aj της εµφάνισης σ’ αυτή j φορές της όψης κεφαλή,j = 0,1, 2. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες P( Aj ) , j = 0,1, 2.

12 Παρατηρούµε ότι ο δειγµατικός χώρος του απλού τυχαίου πειράµατος της ρίψηςενός συνήθους (συµµετρικού) νοµίσµατος είναι το σύνολο

12 Ω = {γ, κ} .Τα δειγµατικά σηµεία, λόγω της συµµετρίας του νοµίσµατος, είναι ισοπίθανα: P({γ}) = P({κ}) = 1 . 2 Περαιτέρω, ο δειγµατικός χώρος του συνθέτου τυχαίου πειράµατος µιαςακολουθίας 2 ρίψεων ενός νοµίσµατος είναι το σύνολο Ω2 = {(γ, γ),(γ, κ),(κ, γ),(κ, κ)},το οποίο είναι το καρτεσιανό γινόµενο του Ω = {γ ,κ} µε τον εαυτό του. Σύµφωνα µετην (3.3) τα 4 δειγµατικά σηµεία είναι ισοπίθανα: P({(γ, γ)}) = P({γ})P({γ}) = 1 ⋅ 1 = 1 , P({(γ, κ)}) = P({γ})P({κ}) = 1 ⋅ 1 = 1 , 2 2 4 2 2 4 P({(κ, γ)}) = P({κ})P({γ}) = 1 ⋅ 1 = 1, P({(κ, κ)}) = P({κ})P({κ}) = 1 ⋅ 1 = 1. 2 2 4 2 2 4Εποµένως, εφαρµόζοντας τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας (3.1) και επειδή Α0 = {(γ, γ)} , Α1 = {(γ, κ), (κ, γ)}, Α2 = {(κ, κ)},συνάγουµε τις πιθανότητες P( A0 ) = 1 , P( A1) = 1 , P( A2 ) = 1 . 4 2 4Παράδειγµα 3.2. Έστω ότι ένα νόµισµα διαµέτρου r τοποθετείται τυχαία πάνω σεορθογώνιο τραπέζι το οποίο είναι χωρισµένο σε Ν ορθογώνια µε πλευρές α και β,όπου α ≤ β και r < α . Να υπολογισθεί η πιθανότητα όπως το νόµισµα τοποθετηθείστο εσωτερικό ορθογωνίου. Ο δειγµατικός χώρος Ω είναι το ορθογώνιο τραπέζι µε εµβαδό µ(Ω) = Ναβ .Για τον καθορισµό της περιοχής του τραπεζιού η οποία ορίζεται από το ενδεχόµενοΑ, όπως το νόµισµα τοποθετηθεί στο εσωτερικό ορθογωνίου, ας θεωρήσουµε έναορθογώνιο ΑΒΓ∆ µε πλευρές α και β, όπου α ≤ β και ένα δεύτερο ορθογώνιοΕΖΗΘ κείµενο στο εσωτερικό του πρώτου ορθογωνίου µε πλευρές παράλληλες στιςπλευρές αυτού και σε απόσταση r / 2 απ’ αυτές (βλ. Σχήµα 3.1). Ένα νόµισµαδιαµέτρου r κείται στο εσωτερικό του ορθογωνίου ΑΒΓ∆ αν και µόνο αν το κέντροΟ του νοµίσµατος κείται στο εσωτερικό του ορθογωνίου ΕΖΗΘ . Το εµβαδό του

13ορθογωνίου ΕΖΗΘ είναι (α − r)( β − r) . Η περιοχή του τραπεζιού η οποία ορίζεταιαπό το ενδεχόµενο Α είναι η ένωση Ν τέτοιων ορθογωνίων και έτσι µ( Α) = Ν (α − r)(β − r) .Aβ B Ζ Ε β−r .Ο r/2 Ηα a−r Γ Θ r/2∆ Σχήµα 3.1Εποµένως, σύµφωνα µε τον ορισµό της γεωµετρικής πιθανότητας (3.4),P( A) = µ( Α) = (α − r)(β − r) = ⎛⎜1 − r ⎟⎠⎞⎝⎜⎜⎛1 − r ⎞⎟⎟⎠ . µ(Ω) αβ ⎝ α βΣηµειώνουµε ότι στη µερική περίπτωση τετραγώνων, β = α , η πιθανότητα αυτήγίνεται P( A) = ⎜⎛1 − r ⎟⎞ 2 . ⎝ α ⎠4. ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ, ∆ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΙ Ο υπολογισµός της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α στην περίπτωσηπεπερασµένου δειγµατικού χώρου Ω του οποίου τα στοιχεία (δειγµατικά σηµεία,περιπτώσεις) είναι ισοπίθανα ανάγεται, σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό τηςπιθανότητας, P( A) = N ( A) / N , στον υπολογισµό του αριθµού N ( A) των στοιχείωντου Α και του αριθµού N ≡ N (Ω) των στοιχείων του Ω. Στο εδάφιο αυτόπαρουσιάζουµε µερικά βασικά στοιχεία της Συνδυαστικής τα οποία διευκολύνουν τηναντιµετώπιση τέτοιων προβληµάτων απαρίθµησης. Η αρχή του αθροίσµατος και ηαρχή του γινοµένου (ή πολλαπλασιαστική αρχή), οι οποίες αποτελούν τις δύο βασικέςαρχές απαρίθµησης, µπορούν να διατυπωθούν ως εξής:

14 Αρχή του αθροίσµατος. Αν ένα στοιχείο (αντικείµενο) α1 µπορεί να εκλεγεί κατάκ1 τρόπους και ένα στοιχείο α2 µπορεί να εκλεγεί κατά κ2 τρόπους και η εκλογή τουενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, τότε το στοιχείο α1 ή α2 µπορεί ναεκλεγεί κατά κ1 + κ2 τρόπους. Αρχή γινοµένου (ή πολλαπλασιαστική αρχή). Αν ένα στοιχείο (αντικείµενο) α1µπορεί να εκλεγεί κατά κ1 τρόπους και για κάθε ένα από αυτούς τους τρόπους ένα άλλοστοιχείο α2 µπορεί να εκλεγεί κατά κ2 τρόπους, τότε και τα δύο στοιχεία α1 και α2µπορούν να εκλεγούν κατά κ1 ⋅ κ2 τρόπους. Οι αρχές αυτές µπορούν να διατυπωθούν και για α1, α2 ,..., αν στοιχεία(αντικείµενα). Για να βρούµε τους διαφορετικούς τρόπους εκλογής των διαφόρων στοιχείωνα1, α2 ,..., αv συνήθως διευκολύνει η χρήση ενός δενδροδιαγράµµατος. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι πρόκειται να διαλέξουµε v = 3 στοιχεία(α1, α2 , α3 ) . Αν το πρώτο στοιχείο α1 µπορεί να επιλεγεί κατά κ1 = 2 τρόπους (α ήβ) , το δεύτερο στοιχείο α2 µπορεί να επιλεγεί κατά κ2 = 3 τρόπους (γ ή δ ή ε) καιτο α3 κατά κ3 = 2 τρόπους (ζ ή η) , τότε οι κ1 ⋅ κ2 ⋅ κ3 = 12 διαφορετικοί τρόποιεκλογής των α1, α2 και α3 είναι:

15∆ιατάξεις - Συνδυασµοί Ας θεωρήσουµε ένα πεπερασµένο σύνολο ν στοιχείων Ω = {ω1, ω2 ,..., ων} .∆ιάταξη των ν ανά κ καλείται µία διατεταγµένη κ-αδα (α1, α2 ,..., ακ ) µε αr ∈ Ωr = 1, 2,..., κ . Συνδυασµός των ν ανά κ καλείται µία (µη διατεταγµένη) συλλογή κστοιχείων {α1,α2 ,...,ακ } µε αr ∈ Ω , r = 1, 2,..., κ . Τα στοιχεία µιας διάταξης ή ενόςσυνδυασµού είναι είτε διαφορετικά είτε όχι κατ’ ανάγκη διαφορετικά στοιχεία του Ω.Για την πρώτη περίπτωση διατηρούµε την ονοµασία διάταξη ή συνδυασµός των ν ανάκ, ενώ στη δεύτερη περίπτωση όπου τα στοιχεία του Ω επιτρέπεται ναεπαναλαµβάνονται, χρησιµοποιούµε την ονοµασία διάταξη ή συνδυασµός των ν ανά κµε επανάληψη. Η ειδική περίπτωση διάταξης των ν ανά ν (όλων των θεωρουµένωνστοιχείων) καλείται ειδικότερα µετάθεση ν στοιχείων. Σχετικά µε το πλήθος των διατάξεων και των συνδυασµών αποδεικνύουµε ταεπόµενα θεωρήµατα.Θεώρηµα 4.1. (α) Ο αριθµός των διατάξεων των ν ανά κ, συµβολιζόµενος µε (ν)κ ,δίδεται από τη σχέση (ν)κ = ν(ν −1)(ν − 2)L(ν − κ +1) = (ν ν! , (4.1) − κ)!όπου το γινόµενο όλων των ακεραίων από το 1 µέχρι το ν καλείται ν παραγοντικό καισυµβολίζεται µε ν!= 1⋅ 2 ⋅ 3L(ν −1)ν (δεχόµαστε ότι (v)0 = 1 και 0!= 1)(β) Ο αριθµός των συνδυασµών των ν ανά κ συµβολιζόµενος µε ⎜⎝⎛⎜ ν ⎟⎞⎠⎟ , δίδεται από κτη σχέση ⎜⎛⎝⎜ ν ⎟⎠⎟⎞ = (ν)κ = ν! . (4.2) κ κ! κ!(ν − κ)!Απόδειξη. (α) Σε µια οποιαδήποτε διάταξη (α1, α2 ,..., ακ ) των ν στοιχείων τουΩ = {ω1, ω2 ,..., ων} ανά κ, το πρώτο στοιχείο α1 µπορεί να εκλεγεί από το σύνολοτων ν στοιχείων, ενώ µετά την εκλογή του πρώτου στοιχείου, το δεύτερο στοιχείο α2 ,επειδή πρέπει να είναι διαφορετικό από το α1 , µπορεί να εκλεγεί από το σύνολο τωνυπολοίπων ν −1 στοιχείων. Τελικά µετά την εκλογή των α1,α2 ,...,ακ−1 στοιχείων, τοτελευταίο στοιχείο ακ , επειδή πρέπει να είναι διαφορετικό από τα κ −1 προηγούµενα

16στοιχεία, µπορεί να εκλεγεί από το σύνολο των υπολοίπων ν − (κ −1) = ν − κ +1στοιχείων. Έτσι, σύµφωνα µε την πολλαπλασιαστική αρχή, συνάγεται η (4.1). (β) Σε κάθε συνδυασµό {α1,α2 ,...,ακ } των ν στοιχείων του Ω ανά κ αντιστοιχούνκ! διατάξεις των ν ανά κ, οι οποίες προκύπτουν µε µετάθεση των κ στοιχείων τουκατά όλους τους κ! το πλήθος δυνατούς τρόπους. Εποµένως ο αριθµός τωνδιατάξεων των ν ανά κ είναι ίσος µε κ! φορές τον αριθµό των συνδυασµών των ν ανάκ και έτσι χρησιµοποιώντας την (4.1) συνάγουµε την (4.2).Θεώρηµα 4.2. Ο αριθµός των διατάξεων των ν ανά κ µε επανάληψη είναι ίσος µε ν ⋅ ν ⋅L⋅ ν = νκ . (4.3)Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι σε µία οποιαδήποτε διάταξη (α1, α2 ,..., ακ ) των νστοιχείων του Ω = {ω1, ω2 ,..., ων} ανά κ µε επανάληψη οποιοδήποτε στοιχείο αiµπορεί να εκλεγεί από το σύνολο των ν στοιχείων. Έτσι, σύµφωνα µε τηνπολλαπλασιαστική αρχή, συνάγεται η (4.3).Θεώρηµα 4.3. Ο αριθµός των συνδυασµών των ν ανά κ µε επανάληψη είναι ίσος µε ⎛⎝⎜⎜ ν + κ − 1⎟⎟⎠⎞ = ν(ν + 1)L(ν + κ − 1) = (ν + κ −1)! . (4.4) κ κ! κ!(ν −1)!Απόδειξη. Ας θεωρήσουµε ένα συνδυασµό {ωi1 , ωi2 ,..., ωiκ } των ν στοιχείων τουΩ = {ω1, ω2 ,..., ων} ανά κ µε επανάληψη και ας υποθέσουµε ότι οι κ δείκτεςi1,i2 ,...,iκ είναι αριθµηµένοι από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο. Η υπόθεσηαυτή δεν περιορίζει τη γενικότητα εφόσον η σειρά αναγραφής των στοιχείων ενόςσυνδυασµού δεν παίζει κανένα ρόλο. Τότε 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤L≤ iκ ≤ ν και αν στοσυνδυασµό {ωi1 , ωi2 ,..., ωiκ } αντιστοιχήσουµε το συνδυασµό { j1, j2 ,..., jκ } µε j1 = i1 , j2 = i2 + 1,..., jκ = iκ + (κ −1) ,θα είναι 1 ≤ j1 < j2 <L< jκ ≤ ν + κ −1 , δηλαδή τα στοιχεία του δευτέρουσυνδυασµού θα είναι διαφορετικά είτε είναι είτε δεν είναι διαφορετικά τα στοιχείατου πρώτου συνδυασµού, και επιπλέον ο συνδυασµός { j1, j2 ,..., jκ } είναι έναςσυνδυασµός των ν + κ −1 στοιχείων του συνόλου W = {1, 2,,..., ν + κ −1} ανά κ(χωρίς επανάληψη). Η αντιστοιχία αυτή συνεπάγεται ότι ο αριθµός των συνδυασµώντων ν ανά κ µε επανάληψη είναι ίσος µε τον αριθµό των συνδυασµών των ν + κ −1ανά κ (χωρίς επανάληψη).

17Παράδειγµα 4.1. (α) Κατανοµή διακεκριµένων σφαιριδίων σε διακεκριµένα κελιά. Αςθεωρήσουµε κ διακεκριµένα σφαιρίδια {σ1,σ2 ,...,σκ } τα οποία τοποθετούνται µέσασε ν διακεκριµένα κελιά {c1, c2 ,..., cν} . Ο αριθµός των τρόπων τοποθέτησης των κ διακεκριµένων σφαιριδίων µέσα στα νδιακεκριµένα κελιά, είναι ίσος µε νκ ,τον αριθµό των διατάξεων των ν ανά κ µε επανάληψη, επειδή κάθε σφαιρίδιο µπορείνα τοποθετηθεί σε οποιοδήποτε από τα ν κελιά. Ο αριθµός των τρόπων τοποθέτησης των κ διακεκριµένων σφαιριδίων µέσα στα νδιακεκριµένα κελιά έτσι ώστε το j κελί να περιέχει κ j σφαιρίδια για όλα τα j = 1, 2,..., ν µε κ1 + κ2 +L+ κν = κ , είναι ίσος µε κ! , κ1!κ 2 !L κ ν !επειδή τα κ1 σφαιρίδια του πρώτου κελιού µπορούν να επιλεγούν από τα κ σφαιρίδιακατά ⎜⎝⎛⎜ κ ⎟⎠⎟⎞ τρόπους. Μετά την επιλογή αυτή τα κ2 σφαιρίδια του δευτέρου κελιού κ1µπορούν να επιλεγούν από τα υπόλοιπα κ − κ1 σφαιρίδια κατά ⎛⎜⎝⎜ κ − κ1 ⎠⎟⎞⎟ τρόπους. κ2Συνεχίζοντας την ανάλυση αυτή, µετά την επιλογή των σφαιριδίων για τα ν −1πρώτα κελιά, τα κν σφαιρίδια του ν-οστού κελιού µπορούν να επιλεγούν από ταυπόλοιπα κ − (κ1 + κ2 +L+ κν−1) = κν σφαιρίδια κατά ένα µόνον τρόπο και έτσι,σύµφωνα µε την πολλαπλασιαστική αρχή, συνάγεται ο ζητούµενος αριθµός, ⎛⎜⎜⎝ κ ⎠⎟⎟⎞⎜⎛⎜⎝ κ − κ1 ⎟⎟⎞⎠L⎝⎜⎛⎜ κ − κ1 −L− κ ν −1 ⎟⎟⎞⎠ κ1 κ2 κν = κ! κ1 )! κ (κ − κ1)! )!L (κ − κ1 −L− κν−1)! κ1!(κ − !(κ − κ1 − κ κν!(κ − κ1 −L− κν )! 2 2µετά από απλοποιήσεις. (β) Κατανοµή όµοιων σφαιριδίων σε διακεκριµένα κελιά. Ας θεωρήσουµε κ όµοιασφαιρίδια τα οποία τοποθετούνται µέσα σε ν διακεκριµένα κελιά {c1, c2 ,...,cν} . Στηνπερίπτωση που κάθε κελί µπορεί να χωρέσει ένα µόνο σφαιρίδιο, κάθε τοποθέτησητων κ όµοιων σφαιριδίων µέσα στα ν διακεκριµένα κελιά αντιστοιχεί σε µία επιλογήκ κελιών {ci1 , ci2 ,..., ciκ } ανεξάρτητα σειράς και αντίστροφα, όπου η τοποθέτηση ενός

18σφαιριδίου µέσα σε ένα κελί αντιστοιχεί στην επιλογή του κελιού αυτού. Εποµένως, οαριθµός των τρόπων τοποθέτησης κ όµοιων σφαιριδίων µέσα σε ν διακεκριµένακελιά (χωρητικότητας ενός σφαιριδίου το καθένα) είναι ίσος µε ⎛⎜⎜⎝ ν ⎟⎟⎞⎠ , κτον αριθµό των συνδυασµών των ν ανά κ. Στην περίπτωση που τα κελιά είναιαπεριόριστης χωρητικότητας, ο αριθµός των τρόπων τοποθέτησης κ όµοιωνσφαιριδίων µέσα σε ν διακεκριµένα κελιά είναι ίσος µε ⎛⎜⎜⎝ ν + κ − 1⎠⎟⎟⎞ , κτον αριθµό των συνδυασµών των ν ανά κ µε επανάληψη.5. ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η προϋπόθεση του ισοπιθάνου των περιπτώσεων ή στοιχειωδών περιοχών πουαπαιτούν τόσο ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας όσο και η γεωµετρική επέκτασήτου περιορίζει σηµαντικά το πεδίο εφαρµογών της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Έτσισε στοχαστικά πειράµατα (ή φαινόµενα) µε πεπερασµένο δειγµατικό χώρο στονοποίο τα δειγµατικά σηµεία δεν είναι ισοπίθανα ή µε αριθµησίµως άπειρο δειγµατικόχώρο, όπως για παράδειγµα η εκποµπή σωµατιδίων από ραδιενεργό ουσία, δεν µπορείνα εφαρµοσθεί ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας. Επίσης σε στοχαστικάπειράµατα (ή φαινόµενα) µε µη αριθµήσιµο δειγµατικό χώρο στον οποίο οιστοιχειώδεις περιοχές δεν είναι ισοπίθανες, όπως για παράδειγµα ο χρόνος ζωής µιαςµηχανής, δεν µπορεί να εφαρµοσθεί ο γεωµετρικός ορισµός της πιθανότητας. Ο Von Mises στην προσπάθειά του να αντιµετωπίσει το πρόβληµα ορισµούπιθανότητας σε οποιουσδήποτε δειγµατικούς χώρους διατύπωσε τον ακόλουθοεµπειρικό ορισµό της πιθανότητας. Ας υποθέσουµε ότι ένα στοχαστικό πείραµα (ή φαινόµενο) µε δειγµατικό χώρο Ωµπορεί να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες απεριόριστο αριθµό φορών καιας θεωρήσουµε ένα οποιοδήποτε ενδεχόµενο A ⊆ Ω . Έστω ότι σε ν επαναλήψεις τουστοχαστικού πειράµατος (ή φαινοµένου) το ενδεχόµενο Α έχει πραγµατοποιηθείnν ( Α) φορές. Η σχετική συχνότητα του Α, δίδεται από το λόγο nν ( Α) . ν

19Στην περίπτωση που υπάρχει το όριο της σχετικής συχνότητας όταν το ν τείνει στοάπειρο τούτο ορίζει, σύµφωνα µε τον Von Mises, την πιθανότητα του Α: P( A) = lim nν ( Α) . ν ν→∞(5.1)Σηµειώνουµε ότι, όπως εύκολα µπορεί να διαπιστωθεί, και η εµπειρική πιθανότηταείναι (α) µη αρνητική : P( A) ≥ 0 για κάθε ενδεχόµενο A ⊆ Ω (β) νορµαλισµένη : P(Ω) = 1 (γ) προσθετική : P( A ∪ B) = P( A) + P(B) για οποιαδήποτε ξένα (αµοιβαίωςαποκλειόµενα) ενδεχόµενα Α και Β ⊆ Ω . Η υπόθεση ότι ένα στοχαστικό πείραµα µπορεί να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιεςσυνθήκες απεριόριστο αριθµό φορών αποτέλεσε το σηµείο κριτικής του εµπειρικούορισµού της πιθανότητας. Επίσης η σύγκλιση στην (5.1) δεν µπορεί να νοηθεί µε τηναπόλυτη µαθηµατική έννοια αλλά στοχαστικά.6. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Επέκταση του κλασικού ορισµού της πιθανότητας ενδεχοµένου, τόσο στηνπερίπτωση πεπερασµένου δειγµατικού χώρου µε όχι κατ’ ανάγκη ισοπίθαναδειγµατικά σηµεία όσο και στις περιπτώσεις αριθµησίµου ή µη αριθµησίµουδειγµατικού χώρου, επιτυγχάνεται µε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας. Οορισµός αυτός είναι αρκετά γενικός και ενσωµατώνει ως ειδική περίπτωση τηνκλασική πιθανότητα και ως οριακό θεώρηµα την εµπειρική πιθανότητα.Ορισµός 6.1. Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ήφαινοµένου). Μια συνάρτηση η οποία σε κάθε ενδεχόµενο A ⊆ Ω αντιστοιχεί(εκχωρεί) έναν πραγµατικό αριθµό P( A) καλείται πιθανότητα αν ικανοποιεί τααξιώµατα (συνθήκες): (α) µη αρνητικότητας, P( A) ≥ 0 για κάθε ενδεχόµενο A ⊆ Ω , (β) νορµαλισµού, P(Ω) = 1, (γ) αριθµήσιµης προσθετικότητας,

20 P( A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ∪L) = P( A1) + P( A2 ) +L + P( Aν ) +Lγια οποιαδήποτε ακολουθία κατά ζεύγη ξένων (αµοιβαίως αποκλειοµένων)ενδεχοµένων Ai ⊆ Ω , i = 1, 2,..., ν,....Παρατήρηση 6.1. Στην περίπτωση πεπερασµένου δειγµατικού χώρου Ω αντί τουαξιώµατος της αριθµήσιµης προσθετικότητας αρκεί το ασθενέστερο αξίωµα (γ΄) προσθετικότητας : P( A ∪ B) = P( A) + P(B) για οποιαδήποτε ξένα (αµοιβαίωςαποκλειόµενα) ενδεχόµενα A, B ⊆ Ω ,από το οποίο συνάγεται επαγωγικά η σχέση P( A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ) = P( A1) + P( A2 ) +L+ P( Aν ) ,για οποιαδήποτε κατά ζεύγη ξένα (αµοιβαίως αποκλειόµενα) ενδεχόµενα Ai ⊆ Ω ,i = 1, 2,..., ν . Σηµειώνουµε ότι ο αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας δεν καθορίζει κάποιαέκφραση (τύπο) υπολογισµού της (συνάρτησης) πιθανότητας P( A) για κάθεενδεχόµενο A ⊆ Ω . Απλώς περιορίζεται στον καθορισµό των συνθηκών που πρέπεινα ικανοποιεί η συνάρτηση P( A) , A ⊆ Ω για να είναι πιθανότητα. Η ύπαρξηπρόσθετων στοιχείων σχετικών µε το δειγµατικό χώρο Ω και τις πιθανότητες τωνστοιχειωδών ενδεχοµένων του δύναται να οδηγήσει στον προσδιορισµό µιαςέκφρασης (τύπου) υπολογισµού της πιθανότητας οποιουδήποτε ενδεχοµένου. Τέτοιεςπεριπτώσεις εξετάζουµε στα επόµενα παραδείγµατα.Παράδειγµα 6.1. Πεπερασµένοι δειγµατικοί χώροι.Ας θεωρήσουµε έναν πεπερασµένο δειγµατικό χώρο Ω = {ω1, ω2 ,..., ωΝ } µεΝ (Ω) = Ν και έστω Α = {ωi1 , ωi2 ,..., ωiκ } ⊆ Ω ένα οποιοδήποτε ενδεχόµενο. Ηπιθανότητα P( A) δύναται να εκφρασθεί συναρτήσει των πιθανοτήτων τωνστοιχειωδών ενδεχοµένων του Ω: P({ωi }) = pi , i = 1, 2,..., N .Συγκεκριµένα, χρησιµοποιώντας το ότι A = {ωi1 } ∪{ωi2 }∪L∪{ωiκ } συνάγουµε,σύµφωνα µε το αξίωµα της προσθετικότητας, την έκφραση P( A) = P({ωi1 }) + P({ωi2 }) +L+ P({ωiκ })και έτσι P( A) = pi1 + pi2 +L+ piκ .

21Σηµειώνουµε ότι, σύµφωνα µε το αξίωµα του νορµαλισµού και επειδήΡ(Ω) = p1 + p2 +L+ pN , οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων ικανοποιούντη σχέση p1 + p2 +L+ pN = 1.Συµπερασµατικά, στην περίπτωση πεπερασµένου δειγµατικού χώρου, η γνώση τωνπιθανοτήτων των στοιχειωδών ενδεχοµένων επιτρέπει τον υπολογισµό τηςπιθανότητας οποιουδήποτε ενδεχοµένου. Οι αρχικές αυτές πιθανότητες δύνανται ναπροκύψουν από την εξέταση και ανάλυση των συνθηκών και των οργάνων εκτέλεσηςτου συγκεκριµένου στοχαστικού πειράµατος. Αξίζει να σηµειωθεί ότι στηνπερίπτωση ισοπιθάνων δειγµατικών σηµείων,pi = P({ωi }) = 1 , i = 1, 2,..., N , Nη ανωτέρω έκφραση της πιθανότητας P( A) απλοποιείται λαµβάνοντας τη µορφή P( A) = N ( A) , Nη οποία συµφωνεί µε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας.Παράδειγµα 6.2. Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός κύβου.Καταγράφοντας την ένδειξη της επάνω έδρας του κύβου ο δειγµατικός χώρος τουτυχαίου αυτού πειράµατος είναι το σύνολο Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}µε Ν = Ν (Ω) = 6 δειγµατικά σηµεία. (α) Στην περίπτωση συνήθους κύβου, ο οποίος είναι συµµετρικός καικατασκευασµένος από οµοιογενές υλικό (όπως συµβαίνει συνήθως στην πράξη), όλεςοι έδρες έχουν την ίδια πιθανότητα εµφάνισης:pj = P({ j}) = 1 , j = 1, 2,3, 4,5, 6 . 6H πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχοµένου Α δίδεται τότε από τον τύπο P( A) = N ( A) , 6της κλασικής πιθανότητας. Έτσι, αν Α είναι το ενδεχόµενο εµφάνισης αριθµούµεγαλύτερου ή ίσου του 5, τότε A = {5, 6} και N ( A) = 2 , οπότε P( A) = 1 . 3

22 (β) Στην περίπτωση κύβου µε ανοµοιογενές υλικό κατασκευής, τέτοιο ώστε ηπιθανότητα εµφάνισης οποιασδήποτε έδρας να είναι ανάλογη του αριθµού (τωνκουκκίδων) που φέρει, τότε p j = P({ j}) = cj , j = 1, 2,3, 4,5, 6 ,όπου c ο συντελεστής αναλογίας. Όµως p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1, οπότεc(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1 και έτσι c = 1/ 21. Εποµένως η πιθανότητα οποιουδήποτεενδεχοµένου A = { j1, j2 ,..., jκ } ⊆ Ω δίδεται από τον τύπο P( A) = j1 + j2 +L+ jκ . 21Έτσι αν Α είναι το ενδεχόµενο εµφάνισης αριθµού µεγαλυτέρου ή ίσου του 5, τότεA = {5, 6} και P( A) = 5+6 = 11 . 21 21Παράδειγµα 6.3. Υποθέτουµε ότι οι οµάδες αίµατος A, B,O, AB κατανέµονται στονπληθυσµό σε ποσοστά 40% 14%, 42% και 4%, αντίστοιχα. Είναι γνωστό ότι έναςασθενής µε οµάδα αίµατος Α µπορεί να λάβει αίµα µόνο από τις οµάδες Ο και Α, καιένα άτοµο της οµάδας Β µπορεί να δώσει αίµα µόνο σε ασθενείς της οµάδας Β καιΑΒ. Αν υποθέσουµε ότι ένας εθελοντής αιµοδότης έρχεται να δώσει αίµα για ασθενήτης οµάδας Α, τότε η πιθανότητα όπως το αίµα είναι συµβατό είναι P({A, O}) = P({A})) + P({O}) = 0.40 + 0.42 = 0.82 = 82% .Επίσης, αν ένα άτοµο της οµάδας Β δώσει αίµα, τότε το αίµα του είναι συµβατό γιατο 18% του πληθυσµού, διότι P({B, AB}) = P({B}) + P({AB}) = 0.14 + 0.04 = 0.18 = 18% . Στηριζόµενοι στα αξιώµατα (α), (β) και (γ) αποδεικνύουµε στα επόµεναθεωρήµατα κάποιες βασικές ιδιότητες της πιθανότητας.Θεώρηµα 6.1. (α) Αν ∅ είναι το αδύνατο ενδεχόµενο, ως προς το δειγµατικό χώρο Ω,τότε P(∅) = 0 . (6.1) (β) Αν Ai ⊆ Ω , i = 1, 2,..., ν είναι κατά ζεύγη ξένα (αµοιβαίως αποκλειόµενα)ενδεχόµενα, τότε

23 P( A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ) = P( A1) + ( A2 ) +L+ P( Aν ) (6.2) (γ) Αν A′ είναι το συµπλήρωµα ενός ενδεχοµένου Α, ως προς το δειγµατικό χώροΩ, τότε P(A′) = 1 − P( A) . (6.3)(δ) Αν A,B ⊆ Ω είναι οποιαδήποτε ενδεχόµενα, τότε P( A − B) = P( A) − P( AB) (6.4)και αν B ⊆ A, τότε P(A − B) = P( A) − P(B) . (6.5)(ε) Αν A, B ⊆ Ω είναι οποιαδήποτε ενδεχόµενα, τότε P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( AB) (6.6)και P( A′B′) = 1 − P( A) − P(B) + P( AB) . (6.7)Απόδειξη. (α) Θέτοντας Ai = ∅ , i = 1, 2,... , έχουµε A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ∪L= ∅ καιχρησιµοποιώντας το αξίωµα (γ) συνάγουµε τη σχέση P(∅) = P( A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ∪L) = P( A1) + P( A2 ) +L+ P( Aν ) +L = P(∅) + P(∅) +L+ P(∅) +L.Επιπλέον, σύµφωνα µε το αξίωµα (α) έχουµε P(∅) ≥ 0 . Εποµένως η σειρά µηαρνητικών όρων, P(∅) +L+ P(∅) +L= 0 ,είναι µηδενική, οπότε P(∅) = 0 . (β) Ας θεωρήσουµε και τα ενδεχόµενα Ai = ∅ , i = ν +1, ν + 2,... . Τότεχρησιµοποιώντας το αξίωµα (γ) και την (6.1) συµπεραίνουµε ότι P( A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ) = P( A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν ∪ Aν+1 ∪L) = P( A1) + P( A2 ) +L+ P( Aν ) + P( Aν+1) +L= P( A1) + ( A2 ) +L+ P( Aν ) . (γ) Παρατηρούµε ότι τα ενδεχόµενα Α και A′ είναι ξένα (αµοιβαίωςαποκλειόµενα), A ∩ A′ = ∅ , και A ∪ A′ = Ω . Εποµένως χρησιµοποιώντας την (6.2)µε ν = 2 και το αξίωµα (β) συνάγουµε τη σχέση P( A) + P( A′) = P(Ω) = 1, η οποίασυνεπάγεται την (6.3).

24 (δ) Παρατηρούµε ότι τα ενδεχόµενα Α − Β = Α ∩ Β′ = AB′ και A ∩ B = AB είναιξένα µεταξύ τους: ( A ∩ B′) ∩ (A ∩ B) = A ∩ (B′ ∩ B) = A ∩ ∅ = ∅και επιπλέον (A ∩ B′) ∪ (A ∩ B) = A ∩ (B′ ∪ B) = A ∩ Ω = A .Εποµένως, χρησιµοποιώντας την (6.2) µε ν = 2 , συνάγουµε την P(A) = P[(A ∩ B′) ∪ (A ∩ B)] = P(A ∩ B′) + P(A ∩ B) = P(AB′) + P(AB)και έτσι P(A − B) = P( AB′) = P( A) − P( AB) .Στην περίπτωση που B ⊆ A έχουµε AB = B και εποµένως P(A − B) = P( A) − P(B) . (ε) Τα ενδεχόµενα A − B = A ∩ B′ και Β είναι ξένα, ( A ∩ B′) ∩ B = ∅ , και( A ∩ B′) ∪ B = A ∪ B . Εποµένως σύµφωνα µε την (6.2), P(A ∪ B) = P[(A − B) ∪ B] = P(A − B) + P(B)και χρησιµοποιώντας την (6.4) συνάγουµε την (6.6). Επειδή A′B′ = ( A ∪ B)′ ,εφαρµόζοντας την (6.3) συµπεραίνουµε την (6.7).Παρατήρηση 6.2. Η περίπτωση (ε) του παραπάνω θεωρήµατος µπορεί να γενικευτείκαι για ν ενδεχόµενα A1, A2 ,..., Av ⊆ Ω . Για παράδειγµα, όπως εύκολα µπορεί ναδιαπιστωθεί και από το Σχήµα.6.1, στην περίπτωση τριών ενδεχοµένων Α, Β, Γ ⊆ Ωισχύουν (βλ. Άσκηση 11):i) P(A ∪ B ∪ Γ ) = P(A) + P(B) + P(Γ ) − Ρ( ΑΒ) − Ρ( ΑΓ ) − Ρ(ΒΓ ) + Ρ( ΑΒΓ ) ,ii) Ρ(Α′Β′Γ ′) = 1 − Ρ(Α) − Ρ(Β) − Ρ(Γ ) + Ρ(ΑΒ) + Ρ(ΑΓ) + Ρ(ΒΓ) − Ρ(ΑΒΓ) . Α ΒΩ Γ Σχήµα 6.1: Α ∪ Β ∪ Γ

25Θεώρηµα 6.2. Η πιθανότητα P( A), A ⊆ Ω , λαµβάνει τιµές στο διάστηµα [0,1] :0 ≤ P( A) ≤ 1 για κάθε A ⊆ Ω (6.8)και είναι αύξουσα συνάρτηση:P( A) ≤ P(Β) για κάθε A, B ⊆ Ω µε A ⊆ B . (6.9)Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι, σύµφωνα µε το αξίωµα (α) της µη αρνητικότητας,έχουµε P( A) ≥ 0 , P( A′) ≥ 0 για κάθε A ⊆ Ωοπότε χρησιµοποιώντας και την (6.3), P( A′) = 1 − P( A) , συνάγουµε την (6.8).Επίσης, σύµφωνα µε το αξίωµα (α) της µη αρνητικότητας, η πιθανότητα τουενδεχοµένου B − A ⊆ Ω είναι µη αρνητική, P(B − A) ≥ 0 ,και επειδή σύµφωνα µε την (6.5), P(B − A) = P(B) − P( A) ,εφόσον A ⊆ B , συνάγουµε την (6.9). Οι βασικές ιδιότητες της πιθανότητας που αποδείχθηκαν στο θεώρηµα 6.1 εκτόςαπό το θεωρητικό ενδιαφέρον που παρουσιάζουν, είναι και υπολογιστικά χρήσιµεςόπως φαίνεται στα επόµενα παραδείγµατα.Παράδειγµα 6.3. Ας θεωρήσουµε µία σειρά τριών γεννήσεων σ’ ένα µαιευτήριο καιτο ενδεχόµενο Β της γέννησης ενός τουλάχιστο αγοριού. Υποθέτοντας ότι η γέννησηαγοριού είναι εξίσου πιθανή µε τη γέννηση κοριτσιού, να υπολογισθεί η πιθανότηταP(B) . Παρατηρούµε ότι το συµπληρωµατικό του ενδεχοµένου Β είναι το ενδεχόµενο B′της γέννησης κοριτσιού και στις τρεις περιπτώσεις. Η πιθανότητα P(B′)υπολογίζεται πιο εύκολα από την P(B) . Συγκεκριµένα, ο δειγµατικός χώροςπεριλαµβάνει 8 ισοπίθανα δειγµατικά σηµεία (βλ. Παράδειγµα 2.3) από τα οποίαµόνο ένα ανήκει στο B′ και έτσι P(B′) = 1 8και σύµφωνα µε την (6.3) παίρνουµεP(B) = 1 − P(B′) = 1 − 1 = 7 . 8 8

26 Ένας άλλος τρόπος υπολογισµού της πιθανότητας P(B) είναι να θεωρήσουµε τοενδεχόµενο Β ως ένωση των κατά ζεύγη ξένων ενδεχοµένων A1, A2 και A3 τηςγέννησης 1, 2 και 3 αγοριών, αντίστοιχα. Τότε P(B) = P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P( A1) + P( A2 ) + P( A3 ) = 3 + 3 + 1 = 7 . 8 8 8 8Παράδειγµα 6.4. Το πρόβληµα των γενεθλίων. Ας θεωρήσουµε ένα σύνολο κ ατόµωντων οποίων καταγράφουµε τα γενέθλια. Σηµειώνουµε ότι ένα έτος έχει 365 ηµέρεςεκτός και αν είναι δίσεκτο, οπότε έχει 366 ηµέρες. Επίσης έχει παρατηρηθεί ότι οαριθµός των γεννήσεων δεν είναι σταθερός καθ’ όλη τη διάρκεια του έτους. Όµως, σεπρώτη προσέγγιση, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι ένα έτος έχει 365 ηµέρες οι οποίεςείναι εξίσου πιθανές ως ηµέρες γενεθλίων. Με την παραδοχή αυτή, να υπολογισθεί ηπιθανότητα όπως δύο τουλάχιστο από τα κ άτοµα έχουν γενέθλια την ίδια ηµέρα. Παρατηρούµε ότι οι ηµέρες των γενεθλίων του συνόλου των κ ατόµων µπορούννα παρασταθούν από µία διάταξη (i1,i2 ,...,iκ ) του συνόλου των 365 ηµερών{1, 2,...,365} ανά κ µε επανάληψη, όπου ir είναι η ηµέρα γέννησης του r ατόµου,r = 1, 2,..., κ . Ο δειγµατικός χώρος Ω, ο οποίος περιλαµβάνει τις διατάξεις αυτές, έχειΝ (Ω) = 365κ ισοπίθανα δειγµατικά σηµεία. Έστω Α το ενδεχόµενο όπως δύοτουλάχιστο από τα κ άτοµα έχουν γενέθλια την ίδια ηµέρα. Το συµπληρωµατικό τουενδεχοµένου Α είναι το ενδεχόµενο A′ όπως τα κ άτοµα έχουν διαφορετικές ηµέρεςγενεθλίων. Παρατηρούµε ότι η πιθανότητα P( A′) υπολογίζεται πιο εύκολα από τηνπιθανότητα P( A) . Συγκεκριµένα, το ενδεχόµενο A′ περιλαµβάνει τις διατάξεις(i1,i2 ,...,iκ ) του συνόλου των 365 ηµερών {1, 2,...,365} ανά κ (χωρίς επανάληψη) καιέτσι Ν ( Α′) = (365)κ . Εφαρµόζοντας την (6.1), συνάγουµε την πιθανότητα P( A′) = (365) κ 365κκαι σύµφωνα µε την (6.3) συµπεραίνουµε τη ζητούµενη πιθανότητα: P( A) = 1 − P( A′) =1− (365) κ . 365κΣηµειώνουµε ότι για κ = 23 , έχουµε P( Α) = 0.5073 > 1/ 2 .Παράδειγµα 6.5. Έστω ότι από µία κληρωτίδα η οποία περιέχει 10 σφαιρίδιααριθµηµένα από το 0 µέχρι το 9 κληρώνεται κάθε εβδοµάδα ένας αριθµός. Μετά απόκάθε κλήρωση το εξαγόµενο σφαιρίδιο επανατοποθετείται στην κληρωτίδα. Αςθεωρήσουµε το στοχαστικό πείραµα 3 (διαδοχικών) κληρώσεων. Να υπολογισθεί η

27πιθανότητα του ενδεχοµένου όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα κληρωθεί είναι το5. Το ενδεχόµενο όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα κληρωθεί είναι το 5 δύναταινα παρασταθεί ως διαφορά A − B του ενδεχοµένου Α όπως ο µεγαλύτερος αριθµόςπου θα κληρωθεί είναι ένας από τους αριθµούς {0,1, 2,3, 4,5} και του ενδεχοµένου Βόπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα κληρωθεί είναι ένας από τους αριθµούς{0,1, 2,3, 4}. Παρατηρούµε ότι B ⊆ A και σύµφωνα µε την (6.5) P(A − B) = P( A) − P(B) .Ο αριθµός των στοιχείων του δειγµατικού χώρου Ω των 3 διαδοχικών κληρώσεωνείναι ίσος µε N (Ω) = 103 , τον αριθµό των διατάξεων των 10 αριθµών {0,1, 2,...,9}ανά 3 µε επανάληψη, ενώ ο αριθµός των στοιχείων του ενδεχοµένου Α είναι ίσος µεΝ ( Α) = 63 , τον αριθµό των διατάξεων των 6 αριθµών {0,1, 2,3, 4,5} ανά 3 µεεπανάληψη. Οµοίως Ν (Β) = 53 και έτσιP(A − B) 63 53 = 0.091 . = 103 − 103Παράδειγµα 6.6. (Συνέχεια). Να υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου νακληρωθούν οι αριθµοί 0 και 1 (από µία τουλάχιστο φορά ο καθένας). Ας θεωρήσουµε τα ενδεχόµενα Α και Β να µη κληρωθούν οι αριθµοί 0 και 1,αντίστοιχα. Τότε A′B′ είναι το ενδεχόµενο να κληρωθούν οι αριθµοί 0 και 1 (από µίατουλάχιστο φορά ο καθένας) και σύµφωνα µε την (6.7),P(A′B′) = 1 − P( A) − P(B) + P(AB) .Ο αριθµός των στοιχείων του ενδεχοµένου Α είναι ίσος µε N ( A) = 93 , τον αριθµότων διατάξεων των 9 αριθµών {1, 2,...,9} ανά 3 µε επανάληψη, ο αριθµός τωνστοιχείων του Β είναι ίσος µε N (B) = 93 , τον αριθµό των διατάξεων των 9 αριθµών{0, 2,3,...,9} ανά 3 µε επανάληψη και ο αριθµός των στοιχείων του AB είναι ίσος µεN ( AB) = 83 , τον αριθµό των διατάξεων των 8 αριθµών {2,3,...,9} ανά 3 µεεπανάληψη. ΕποµένωςP( A′B′) = 1 − 2 93 + 83 = 0.054 . 103 103Παράδειγµα 6.7. Ψηφιακός ποµπός εκπέµπει τα σήµατα 0,1, 2 και 3 σε ποσοστά50%, 30%, 10% και 10%, αντίστοιχα. Υποθέτουµε ότι εκπέµπονται συνολικά 5

28σήµατα. Υπολογίστε την πιθανότητα να σταλούν από τουλάχιστον µία φορά τασήµατα 1, 2 και 3. Έστω Α το ενδεχόµενο να µην σταλεί το σήµα 1, Β το ενδεχόµενο να µην σταλείτο σήµα 2 και Γ το ενδεχόµενο να µην σταλεί το 3. Η ζητούµενη πιθανότηταγράφεται ως P( A′B′Γ ′) που λόγω της Παρατήρησης 6.2 (ii) ισούται µε P( A′B′Γ ′) = P((A ∪ B ∪ Γ )′) = 1 − P( A ∪ B ∪ Γ ) = 1 − P( A) − P(B) − P(Γ ) + P( AB) + P( AΓ ) + P(BΓ ) − P( ABΓ ) .Οι παραπάνω πιθανότητες υπολογίζονται ως εξής. P(A) = P( να µην σταλεί το σήµα 1 στις 5 δοκιµές) = (1 − P({1}))5 = (0.7)5 .Οµοίως βρίσκουµε P(B) = P( Γ ) = (0.9)5 . Για την P( AB) έχουµε: P(AB) = P( να µην σταλεί 1 ή 2 στις 5 δοκιµές) = (P({0, 3}))5 = (0.5 + 0.1)5 = (0.6)5 .Παρόµοια, P( AΓ ) = (0.6)5 και Ρ(ΒΓ ) = (0.8)5 .Τέλος, έχουµε P( ABΓ ) = P( να µην σταλεί 1 ή 2 ή 3 στις 5 δοκιµές) = (P({0}))5 = (0.5)5 .Άρα, η ζητούµενη πιθανότητα είναι Ρ( Α′Β′Γ ′) = 1 − (0.7)5 − (0.9)5 − (0.9)5 + (0.6)5 + (0.6)5 + (0.8)5 − (0.5)5 = 0.1029 = 10.29% .7. ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσειςόπου µερική γνώση, ως προς την έκβαση, ενός τυχαίου (στοχαστικού) πειράµατοςµειώνει την αβεβαιότητα συρρικνώνοντας το δειγµατικό χώρο. Συγκεκριµένα, αςθεωρήσουµε ένα τυχαίο πείραµα µε δειγµατικό χώρο Ω και πιθανότητα P( A) γιακάθε ενδεχόµενο A ⊆ Ω . Ας υποθέσουµε ότι σε κάποιο στάδιο εκτέλεσής τουπραγµατοποιήθηκε ένα συγκεκριµένο ενδεχόµενο A ⊆ Ω . Τότε, όσον αφορά τηντελική του έκβαση, ο δειγµατικός χώρος συρρικνώνεται στο σύνολο Α και έναοποιοδήποτε ενδεχόµενο Β (ως προς το δειγµατικό χώρο Ω) συρρικνώνεται στο

29ενδεχόµενο Γ = AB το οποίο συµβολίζεται µε Β | Α και διαβάζεται: το ενδεχόµενο Βδεδοµένου του (ενδεχοµένου) Α. Η πιθανότητα του ενδεχοµένου Β δεδοµένου του Α,η οποία συµβολίζεται µε P(B | A) , Β ⊆ Ω και καλείται δεσµευµένη πιθανότητα(δεδοµένου του Α), συνδέεται, όπως είναι φυσικό, µε τις πιθανότητες P( A) καιP( AB) . Το επόµενο παράδειγµα χρησιµεύει στην καλύτερη κατανόηση του πλαισίουστο οποίο τοποθετείται η δεσµευµένη πιθανότητα.Παράδειγµα 7.1. Ας θεωρήσουµε µία κληρωτίδα η οποία περιέχει 5 σφαιρίδιααριθµηµένα από το 1 µέχρι το 5. Τα σφαιρίδια 1 και 2 είναι άσπρα ενώ τα σφαιρίδια3, 4 και 5 είναι µαύρα. (α) Έστω ότι σε µία πρώτη κλήρωση ένα σφαιρίδιο εξάγεται τυχαία και αςθεωρήσουµε το ενδεχόµενο Α εξαγωγής σ’ αυτήν άσπρου σφαιριδίου. Ο δειγµατικόςχώρος του τυχαίου αυτού πειράµατος περιλαµβάνει τα ισοπίθανα δειγµατικά σηµεία:Ω1 = {1, 2,3, 4,5} και το ενδεχόµενο της εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου περιλαµβάνειτα σηµεία: A = {1, 2}. Εποµένως, σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας,P( A) = 2 , P( A′) = 3 . 5 5 (β) Έστω ότι, χωρίς επανάθεση στην κληρωτίδα του σφαιριδίου που εξάγεται στηνπρώτη κλήρωση, σε µία δεύτερη κλήρωση ένα σφαιρίδιο εξάγεται τυχαία και αςθεωρήσουµε το ενδεχόµενο Β εξαγωγής σ’ αυτήν άσπρου σφαιριδίου. O υπολογισµόςτης πιθανότητας P(B) απαιτεί τη γνώση της σύνθεσης των σφαιριδίων στηνκληρωτίδα τη στιγµή της εξαγωγής του δευτέρου σφαιριδίου. Συγκεκριµένα, η γνώσητης πραγµατοποίησης ή µη πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Α κατά την πρώτηεξαγωγή επιτρέπει τον υπολογισµό της πιθανότητας P(B) , σύµφωνα µε το θεώρηµατης ολικής πιθανότητας το οποίο εξετάζουµε πιο κάτω. Το παράδειγµα αυτόυποδεικνύει την ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας P(B | A) , τουενδεχοµένου Β δεδοµένου του Α. Περαιτέρω, η σύνδεση της πιθανότητας P(B | A) µετις πιθανότητες P( A) και P( AB) , η οποία συνάγεται από τη σύνθεση των δύοκληρώσεων στο ακόλουθο (σύνθετο) τυχαίο πείραµα, υποδεικνύει τον ορισµό τηςδεσµευµένης πιθανότητας µέσω της (µη δεσµευµένης) πιθανότητας. (γ) Έστω ότι από την ανωτέρω κληρωτίδα εξάγονται τυχαία δύο σφαιρίδια, το έναµετά το άλλο, χωρίς επανάθεση. Ο δειγµατικός χώρος Ω του σύνθετου αυτού τυχαίουπειράµατος περιλαµβάνει τα εξής N ≡ N (Ω) = (5)2 = 20 ισοπίθανα δειγµατικάσηµεία:Ω = {(1, 2), (1,3),{(1, 4), (1,5), (2,1), (2,3), (2, 4), (2,5), (3,1), (3, 2),(3, 4), (3,5), (4,1), (4, 2), (4,3), (4,5), (5,1), (5, 2), (5,3), (5, 4)} .

30To ενδεχόµενο Α (ως προς το δειγµατικό χώρο Ω), εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στηνπρώτη κλήρωση, περιλαµβάνει τα ακόλουθα N ( A) = 8 δειγµατικά σηµεία: A = {(1, 2),(1,3), (1, 4), (1,5),(2,1), (2,3), (2, 4),(2,5)},ενώ τo ενδεχόµενο Β (ως προς το δειγµατικό χώρο Ω), εξαγωγής άσπρου σφαιριδίουστην δεύτερη κλήρωση, περιλαµβάνει τα ακόλουθα N (B) = 8 δειγµατικά σηµεία: B = {(1, 2), (2,1), (3,1), (3, 2), (4,1), (4, 2), (5,1), (5, 2)}.Έτσι, σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας, η πιθανότηταπραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Α είναι ίση µε P( A) = N ( A) = 8 = 2 , N 20 5σε συµφωνία µε το αποτέλεσµα της περίπτωσης του τυχαίου πειράµατος της µιας(πρώτης) κλήρωσης. Ας υποθέσουµε ότι στην πρώτη κλήρωση του συνθέτου τυχαίου πειράµατοςπραγµατοποιήθηκε το ενδεχόµενο Α, της εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου. Η γνώση τηςπραγµατοποίησης του Α παρέχει επιπρόσθετη πληροφόρηση ως προς την τελικήέκβαση του συνθέτου τυχαίου πειράµατος συρρικνώνοντας το δειγµατικό χώρο Ω στοσύνολο Α και το ενδεχόµενο Β στο ενδεχόµενο AB = {(1, 2), (2,1)}µε N ( AB) = 2 . Εποµένως η δεσµευµένη πιθανότητα του Β δεδοµένου του Α είναι ίσηµε P(B | A) = N ( AB) = 2 = 1 . N ( A) 8 4 Παρατηρούµε ότι, χρησιµοποιώντας τις σχέσεις P( AB) = N ( AB) , P( A) = N ( A) N Nσυνάγουµε για τη δεσµευµένη πιθανότητα την έκφραση P(B | A) = P( AB) . P( A) Σηµειώνουµε ότι, σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας, η (µηδεσµευµένη) πιθανότητα του Β είναι ίση µε P(B) = N (B) = 8 = 2 . N 20 5

31Η πιθανότητα αυτή, τόσο στην παρούσα περίπτωση του πεπερασµένου δειγµατικούχώρου Ω µε ισοπίθανα δειγµατικά σηµεία όσο και σε οποιαδήποτε γενικότερηπερίπτωση, όπως αναφέρθηκε και πιο πάνω, δύναται να υπολογισθεί µε τη χρήση τουθεωρήµατος της ολικής πιθανότητας (βλ. Παράδειγµα 7.3). Ο ορισµός της δεσµευµένης πιθανότητας που ακολουθεί αξιοποιεί τασυµπεράσµατα της προηγηθείσας ανάλυσης.Ορισµός 7.1. Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ήφαινοµένου) και A ⊆ Ω ένα ενδεχόµενο µε P( A) > 0 . Η δεσµευµένη πιθανότητα,δεδοµένου του Α, είναι µία συνάρτηση P(B | A) , B ⊆ Ω , η οποία ορίζεται ως εξής: P(B | A) = P( AB) , B⊆ Ω. (7.1) P( A)Όταν P( A) = 0 , η P(B | A) δεν ορίζεται. Για συγκεκριµένο ενδεχόµενο B ⊆ Ω ηP(B | A) καλείται δεσµευµένη πιθανότητα του Β δεδοµένου του Α. Άµεση συνέπεια του ορισµού αυτού είναι ότι η P(B | A) , B ⊆ Ω , ικανοποιεί τατρία αξιώµατα, (α) µη αρνητικότητας: P(B | A) ≥ 0 για κάθε ενδεχόµενο B ⊆ Ω ,(β) νορµαλισµού: P(Ω | A) = 1,(γ) αριθµήσιµης προσθετικότητας:P(B1 ∪ B2 ∪L ∪ Bν ∪L | A) = P(B1 | A) + P(B2 | A) +L+ P(Bν | A) + Lγια οποιαδήποτε ξένα (αµοιβαίως αποκλειόµενα) ενδεχόµενα Bi ⊆ Ω, i = 1, 2,..., ν,...και έτσι είναι µια γνήσια πιθανότητα. Σηµειώνουµε ότι από την ιδιότητα (γ) συνάγεται ως µερική περίπτωση η σχέσηP(B1 ∪ B2 ∪L ∪ Bν | A) = P(B1 | A) + P(B2 | A) +L+ P(Bν | A)για κατά ζεύγη ξένα (αµοιβαίως αποκλειόµενα) ενδεχόµενα Bi ⊆ Ω, i = 1, 2,..., ν . Η δεσµευµένη πιθανότητα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την έκφραση τηςπιθανότητας της τοµής ενδεχοµένων. Χρησιµοποιώντας την (7.1) βρίσκουµε Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α)Ρ(Β | Α) . (7.2)Γενικότερα αποδεικνύεται το επόµενο θεώρηµα.

32Θεώρηµα 7.1. (Πολλαπλασιαστικός νόµος των πιθανοτήτων). Έστω Ai ⊆ Ωi = 1, 2,...,ν , ενδεχόµενα µε P( A1 A2 L Aν−1) > 0 . Τότε P( A1 A2 L Aν ) = P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1 A2 )L P( Aν | A1 A2 L Aν−1) . (7.3)Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι A1 A2 L Aν−1 ⊆ A1 A2 L Aν−2 ⊆ L ⊆ A1 A2 ⊆ A1 ,οπότε P( A1 A2 L Aν−1) ≤ P( A1 A2 L Aν−2 ) ≤ L ≤ P( A1 A2 ) ≤ P( A1)και επειδή P( A1 A2 L Aν−1) > 0 , έπεται ότι P( A1) > 0 , P( A1 A2 ) > 0,..., P( A1 A2 L Aν−1) > 0 .Εποµένως οι δεσµευµένες πιθανότητες στο δεξιό µέλος της (7.3) έχουν έννοια(ορίζονται). Σύµφωνα µε τον ορισµό (7.1) έχουµε P( A2 | A1 ) = P( A1 A2 ) , P( A3 | A1 A2 ) = P( A1 A2 A3 ) ,…, P( A1) P( A1 A2 ) P( Aν | A1 A2 L Aν−1 ) = P( A1 A2 L Aν−1 Aν ) P( A1 A2 L Aν−1 )και συνεπώς P( A1 A2 L Aν ) = P( A1) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) L P( A1 A2 L Aν ) P( A1) P( A1 A2 ) P( A1 A2 L Aν−1 ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )L P( Aν | A1 A2 L Aν−1) .Παράδειγµα 7.2. Ας θεωρήσουµε µία κληρωτίδα η οποία περιέχει ν σφαιρίδιααριθµηµένα από το 1 µέχρι το ν και έστω ότι r από τα σφαιρίδια αυτά είναι άσπρα.Εξάγουµε τυχαία και χωρίς επανάθεση το ένα µετά το άλλο κ σφαιρίδια. Ναυπολογισθεί η πιθανότητα όπως και τα κ εξαγόµενα σφαιρίδια είναι άσπρα. Έστω A j το ενδεχόµενο εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στην j εξαγωγή j = 1, 2,..., ν . Τότε A1 A2 L Aκ είναι το ενδεχόµενο όπως και τα κ εξαγόµενασφαιρίδια είναι άσπρα και η ζητουµένη πιθανότητα, σύµφωνα µε την (7.3), είναι P( A1 A2 L Aκ ) = P( A1 )P( A2 | A1 )LP( Aκ | A1 A2 L Aκ−1) = r r − 11L r − κ + 1 = (r)κ . ν ν − ν − κ + 1 (ν) κ

33 Στην περίπτωση του Ελληνικού Lotto η κληρωτίδα περιέχει ν = 49 σφαιρίδια καικληρώνονται κ = 6 αριθµοί. Τα r σφαιρίδια φέρουν τους αριθµούς στους οποίουςστοιχηµατίζει κάποιος. Έτσι αν στοιχηµατίσει σε r = 6 αριθµούς, η πιθανότητα ναπετύχει και τους 6 αριθµούς που κληρώνονται είναιp = 1 ≅ 0.00000007 = 7 ⋅10−8 . 13998816 Η πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχοµένου δύναται να αναλυθεί σε άθροισµαπιθανοτήτων µε τη χρησιµοποίηση δεσµευµένων πιθανοτήτων του ενδεχοµένουαυτού. Η ανάλυση αυτή απαιτεί την έννοια της διαµέρισης του δειγµατικού χώρου Ωη οποία ορίζεται ως εξής: Μία συλλογή {A1, A2 ,..., Aν} ν ενδεχοµένων Ai ⊆ Ω , i = 1, 2,..., ν , τα οποία είναικατά ζεύγη ξένα, Ai ∩ Aj = ∅ , i ≠ j , και η ένωσή τους είναι το Ω,A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν = Ω , καλείται διαµέριση του Ω.Θεώρηµα 7.2. (Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας, Θ.Ο.Π.). Αν τα ενδεχόµενα{A1, A2 ,..., Aν} αποτελούν µία διαµέριση του δειγµατικού χώρου Ω µε P( Aκ ) > 0 ,κ = 1, 2,..., ν και Β είναι ένα ενδεχόµενο στον Ω, τότε ν (7.4) P(B) = ∑ P( Aκ )P(B | Aκ ) . κ =1Απόδειξη. Παρατηρούµε ότιB = ΩΒ = ( A1 ∪ A2 ∪L∪ Aν )B = A1B ∪ A2 B ∪L∪ Aν B ,όπου τα ενδεχόµενα Γ κ = Aκ B , κ = 1, 2,..., ν είναι κατά ζεύγη ξένα µεταξύ τουςεπειδή για i ≠ j , Γi Γ j = ( Ai Aj )B = ∅ (βλ. Σχήµα 7.2).A1 A2 A3 L Av A1B A2B A3B L Av B Ω Σχήµα 7.2Εποµένως, σύµφωνα µε την προσθετική ιδιότητα της πιθανότητας, έχουµε

34 P(B) = P( A1B) + P( A2 B) + L + P( Aν B) .Επειδή P( Aκ ) > 0 , από την (7.2), έπεται ότι P( Aκ B) = P( Aκ )P(B | Aκ ) , κ = 1, 2,..., ν ,οπότε P(B) = P( A1)P(B | A1) + P( A2 )P(B | A2 ) + L + P( Aν )P(B | Aν ) .Θεώρηµα 7.3. (Θεώρηµα (Τύπος) του Bayes). Aν τα ενδεχόµενα {A1, A2 ,..., Aν}αποτελούν µία διαµέριση του δειγµατικού χώρου Ω µε P( Aκ ) > 0 , κ = 1, 2,..., ν και Βείναι ένα ενδεχόµενο στον Ω µε P(B) > 0 , τότε P( Ar | B) = P( Ar )P(B | Ar ) , r = 1, 2,..., ν . (7.5) ν ∑ P( Aκ )P(B | Aκ ) κ =1Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας και τοθεώρηµα της ολικής πιθανότητας παίρνουµε P( Ar | B) = P( Ar B) = P( Ar )P(B | Ar ) , r = 1, 2,..., ν . P(B) ν ∑ P( Aκ )P(B | Aκ ) κ =1Παρατήρηση 7.1. α) Οι πιθανότητες P( Aκ ) , κ = 1, 2,..., ν , που γνωρίζουµε πριν απότην εκτέλεση του τυχαίου πειράµατος, καλούνται και “εκ των προτέρων” (a priori)πιθανότητες, ενώ οι δεσµευµένες πιθανότητες P( Ar | B) , που υπολογίζουµε µεδεδοµένη την πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Β και εποµένως µετά την εκτέλεσητου τυχαίου πειράµατος, καλούνται και “εκ των υστέρων” (a posteriori) πιθανότητες.β) Συνήθως το Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας (Θ.Ο.Π.) και ο τύπος Bayesεφαρµόζονται για v = 2 , οπότε A1 = A και A2 = A′ , µε Α οποιοδήποτε ενδεχόµενοτέτοιο ώστε 0 < P( A) < 1. Στην περίπτωση αυτή το Θ.Ο.Π. παίρνει τη µορφή P(B) = P( A)P(B | A) + (1 − P( A))P(B | A′) ,και ο τύπος Bayes γίνεται (για P(B) > 0) P(A | B) = P( A)P(B P( A)P(B | A) | A′) , P(A′ | B) = 1 − P(A | B) . | A) + (1 − P( A))P(Bγ) Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι ακόµα και αν τα ξένα ανά 2 ενδεχόµεναA1, A2 ,..., Av δεν αποτελούν διαµέριση του Ω, οι τύποι (7.4) και (7.5) εξακολουθούν

35να ισχύουν, µε την προϋπόθεση ότι B ⊆ A1 ∪L∪ Av (δηλ. το Β µπορεί να συµβείµόνο σε συνδυασµό µε κάποιο από τα A1,..., Av ) .δ) Επίσης αξίζει να σηµειωθεί ότι οι (7.4) και (7.5) εξακολουθούν να ισχύουν και γιαακολουθία ενδεχοµένων A1, A2 ,..., Av ,... (θέτοντας δηλ. v = ∞ στις σχέσεις αυτές).Παράδειγµα 7.3. Οι ηλεκτρικοί λαµπτήρες προωθούνται στην αγορά συσκευασµένοισε χαρτοκιβώτια των 25 λαµπτήρων. Ας υποθέσουµε ότι από ένα χαρτοκιβώτιο πουπεριέχει 3 ελαττωµατικούς λαµπτήρες εξάγουµε 2 λαµπτήρες. Να υπολογισθούν οιπιθανότητες των ενδεχοµένων Α και Β εξαγωγής ελαττωµατικού λαµπτήρα κατά τηνπρώτη και δεύτερη εξαγωγή αντίστοιχα. (α) Αν οι εξαγωγές γίνονται µε επανάθεση, τότε P( A) = 3, P(B) = 3. 25 25(β) Αν οι εξαγωγές γίνονται χωρίς επανάθεση, τότε P( A) = 3 25και η πιθανότητα του ενδεχοµένου Β υπολογίζεται µε τη χρησιµοποίηση του Θ.Ο.Π.ως εξής:P(B) = P( A)P(B | A) + P( A′)P(B | A′) = 3 ⋅ 2 + 22 ⋅ 3 = 3 . 25 24 25 24 25Παράδειγµα 7.4. Έστω ότι 5% των εγκύων γυναικών που παρακολουθούνται απόµία κλινική παρουσιάζουν βακτηριουρία. Επίσης είναι γνωστό ότι 30% των εγκύωνγυναικών που παρουσιάζουν βακτηριουρία και 1% των εγκύων γυναικών που δενπαρουσιάζουν βακτηριουρία, πάσχουν από πυελονεφρίτιδα. Να υπολογισθούν οιπιθανότητες όπως µία έγκυος γυναίκα που παρακολουθείται στην κλινική αυτή καιπροσέρχεται για προγραµµατισµένη εξέταση (α) παρουσιάσει βακτηριουρία καιπάσχει από πυελονεφρίτιδα, (β) πάσχει από πυελονεφρίτιδα και (γ) παρουσιάζειβακτηριουρία δεδοµένου ότι πάσχει από πυελονεφρίτιδα. Ας θεωρήσουµε τα ενδεχόµενα Α και Β όπως µία έγκυος γυναίκα πουπαρακολουθείται από τη συγκεκριµένη κλινική παρουσιάσει βακτηριουρία και πάσχειαπό πυελονεφρίτιδα, αντίστοιχα. Τότε από τα δεδοµένα του προβλήµατος συνάγουµετις πιθανότητεςP( A) = 0.05 , P( A′) = 1 − P( A) = 0.95 , P(B | A) = 0.30 , P(B | A′) = 0.01.(α) Σύµφωνα µε το πολλαπλασιαστικό θεώρηµα η ζητουµένη πιθανότητα είναι: P( AB) = P( A)P(B | A) = 0.05 ⋅ 0.30 = 0.0150 .

36 (β) Εφαρµόζοντας το Θ.Ο.Π. συνάγουµε για τη ζητούµενη πιθανότητα: P(B) = P( A)P(B | A) + P( A′)P(B | A′) = 0.05 ⋅ 0.30 + 0.95 ⋅ 0.01 = 0.0245 . (γ) Σύµφωνα µε τον τύπο του Bayes η ζητουµένη πιθανότητα είναι: P(A | B) = P( A)P(B | A) A′) = 0.05 ⋅ 0.30 = 0.6122 . P( A)P(B | A) + P( A′)P(B | 0.05 ⋅ 0.30 + 0.95 ⋅ 0.01Παράδειγµα 7.5. Ο πληθυσµός µίας χώρας κατανέµεται, αναφορικά µε την ασθένειατου AIDS, στις οµάδες Α: υψηλού κινδύνου, Β: µέτριου κινδύνου και Γ: χαµηλούκινδύνου, σε ποσοστά 25%, 25% και 50%, αντίστοιχα. Είναι γνωστό ότι 5% τωνατόµων της οµάδας Α πάσχουν από την ασθένεια, ενώ τα αντίστοιχα ποσοστά για τιςΒ και Γ είναι 1% και 1‰. (α) Τι ποσοστό της χώρας πάσχει από AIDS; (β) Αν ένασυγκεκριµένο άτοµο πάσχει από AIDS, ποιά η πιθανότητα να µην ανήκει στην οµάδαυψηλού κινδύνου Α; Έστω Π το σύνολο των ατόµων που πάσχουν.(α) Αφού Ρ(Π | A) = 0.05 , Ρ(Π | Β) = 0.01 και Ρ(Π | Γ ) = 0.001, έχουµε από τοΘ.Ο.Π. Ρ(Π) = Ρ(Π | Α)Ρ(Α) + Ρ(Π | Β)Ρ(Β) + Ρ(Π | Γ )Ρ(Γ ) = 0.05 ⋅ 0.25 + 0.01⋅ 0.25 + 0.001⋅ 0.50 = 0.0125 + 0.0025 + 0.0005 = 0.0155 = 1.55% .Άρα το 1.55% των ατόµων πάσχουν.β) Η πιθανότητα να ανήκει στην οµάδα υψηλού κινδύνου, Ρ( Α | Π) , βρίσκεται απότον τύπο Bayes: Ρ(Α | Π) = Ρ(Π | Α)Ρ( Α) = 0.05 ⋅ 0.25 = 0.0125 = 25 . Ρ(Π) 0.0155 0.0155 31Άρα, η πιθανότητα να µην ανήκει στην οµάδα Α είναι Ρ( Α′ | Π) =1− Ρ(Α | Π) = 6 . 31 Ευαισθησία και ειδικότητα ενός διαγνωστικού τεστ ∆ύο βασικά ποσοστά στην ιατρική στατιστική και επιδηµιολογία σχετικά µε τηνεµφάνιση µιας ασθένειας είναι ο επιπολασµός ή επικράτηση (prevalence) και ηπροσβλητικότητα ή επίπτωση (??) που ορίζονται ως εξής: Επιπολασµός = # περιπτώσεων σε µία χρονική \"στιγµή\" t # ατόµων του πληθυσµού τη \"στιγµή\" t

37και Επίπτωση = # νέων περιπτώσεων σε δεδοµένη περίοδο . µέσος πληθυσµός την ίδια περίοδοΓια παράδειγµα, αν σ’ ένα πληθυσµό 100 ατόµων παρατηρήθηκαν µέσα σ’ ένα έτος10 κρούσµατα της ασθένειας ενώ µέσα στον µήνα π.χ. Μάρτιο εµφανίστηκαν γιαπρώτη φορά 4 (νέα) κρούσµατα τότε ο επιπολασµός της ασθένειας τον Μάρτιο είναι4 /100 = 4% ενώ η ετήσια επίπτωση είναι 10 /100 = 10% . Είναι γνωστό ότι κατά κανόνα ένα τεστ υπόκειται σε ένα ποσοστό εσφαλµένηςδιαγνωστικής ισχύος. Μπορεί ένα άτοµο να µην πάσχει από συγκεκριµένη ασθένειακαι παρόλα αυτά το τεστ να είναι θετικό. Όπως και αντίστροφα, ένα τεστ να “βγει”αρνητικό για άτοµο που πάσχει από δεδοµένη ασθένεια. ∆ύο µέτρα της ορθότηταςτου διαγνωστικού τεστ, όσον άφορά την αναγνώριση µιας ασθένειας είναι ηευαισθησία (sensitivity) και η ειδικότητα (specificity) του διαγνωστικού τεστ. Έστω τα παρακάτω ενδεχόµενα: Τ + : Το διαγνωστικό τεστ είναι θετικό Τ − : Το διαγνωστικό τεστ είναι αρνητικό Α+ : Ένα άτοµο να είναι πράγµατι Ασθενής Α− : Ένα άτοµο να µην πάσχει από τη συγκεκριµένη ασθένεια. Έστω επίσης ότι για ν = a + b + c + d άτοµα που υποβλήθηκαν σε έναδιαγνωστικό τεστ για την διάγνωση µιας ασθένειας προέκυψαν τα παρακάτωδεδοµένα: Παράγοντες “ασθένειας” Αποτέλεσµα διαγνωστικού + Ασθενής − Υγιής Σύνολο τεστ + a b a+b − c d c+d Σύνολο a+c b+d a+b+c+dΤότε µε τη βοήθεια των ενδεχοµένων αυτών οι ποσότητες που χαρακτηρίζουν τηνποιότητα (ορθότητα) ενός διαγνωστικού τεστ είναι: Ευαισθησία = P[T + | A+ ] = a , Ειδικότητα = P [T − | A− ] = d . + + a c b d

38Η ευαισθησία δηλαδή ενός διαγνωστικού τεστ είναι η πιθανότητα ορθής διάγνωσηςµιας ασθένειας, ενώ ειδικότητα είναι η πιθανότητα το τεστ να βγει αρνητικό για υγιέςάτοµο.Αυτό που κυρίως µας ενδιαφέρει είναι η πιθανότητα ένα άτοµο να πάσχει πράγµατιαπό µία ασθένεια όταν το διαγνωστικό τεστ βγει θετικό, δηλαδή η προβλεπτική ήδιαγνωστική αξία (predictive value) τόσο του θετικού όσο και του αρνητικού τεστκαι τα οποία ορίζονται από τις σχέσεις: ∆ιαγνωστική αξία θετικού τεστ = P[ A+ |T +] = a a b +και ∆ιαγνωστική αξία αρνητικού τεστ = P[ A− |T −] = c d d . +Η χρησιµότητα της διαγνωστικής αξίας ενός τεστ έγκειται στο ότι έχουµε συνήθωςεκτιµήσεις της ευαισθησίας και της ειδικότητας, οπότε εφαρµόζοντας το ΘεώρηµαBayes βρίσκουµε: P( A+ |T+) = P(T + | P(T + | A+ )P( A+ ) A+ )P( A+ ) + P(T + | A− )P( A− ) = (εευαισθησα) × (εευαισθησα) × (εεπιπολασ ός) επιπολασµός) (εεπιπολασ ός) + (1- ειδικότητα)(1-όπου Επιπολασµός = P(A+ ) = a a+c d . +b+c+Ανάλογα, ορίζεται η διαγνωστική αξία αρνητικού τεστ. Είναι προφανές από τον παραπάνω πίνακα ότι ισχύουν τα εξής: Ποσοστό λανθασµένων θετικών διαγνώσεων = P[T + | A− ] = b +d bκαι Ποσοστό λανθασµένων αρνητικών διαγνώσεων = P[T − | A+ ] = c . + a cΠαράδειγµα 7.6. Ας υποθέσουµε ότι το ποσοστό µιας ασθένειας (επιπολασµός) σ’ένα δεδοµένο πληθυσµό είναι 5%. Έστω επίσης ότι 80% από εκείνους που έχουν τηνασθένεια εµφανίζουν ένα ορισµένο εργαστηριακό εύρηµα ενώ µόνο 10% από τους µηασθενείς παρουσιάζουν το ίδιο εύρηµα. Ποια είναι η πιθανότητα ένα τυχαίο άτοµο

39του πληθυσµού που εµφανίζει το συγκεκριµένο εύρηµα να έχει πράγµατι τηνασθένεια; Αν συµβολίσουµε µε A+ το ενδεχόµενο “ασθένεια”, A− το ενδεχόµενο“απουσία ασθένειας”, T + το ενδεχόµενο “εµφάνιση ευρήµατος” (τεστ θετικό) καιT − το ενδεχόµενο “απουσία του ευρήµατος” (τεστ αρνητικό), τότε έχουµε: P( A+ ) = 0.05 , P( A− ) = 1 − P( A+ ) = 1 − 0.05 = 0.95 ,P(T + | A+ ) = 0.80 , P(T − | A+ ) = 1 − P(T + | A+ ) = 0.20 ,P(T + | A− ) = 0.10 , P(T − | A− ) = 1 − P(T + | A− ) = 0.90 .Από το Θεώρηµα Bayes, η θετική προβλεπτική αξία του τεστ είναιP(A+ |T + ) = P(T + | A+ )P( A+ ) P(T + | A+ )P( A+ ) + P(T + | A− )P( A− ) = 0.80 ⋅ 0.80 ⋅ 0.05 0.90 ≅ 0.30 = 30% . 0.05 + 0.10 ⋅∆ηλαδή, εάν ένα άτοµο εµφανίζει το σύµπτωµα έχει (εκ των υστέρων, a posteriori)πιθανότητα 30% να πάσχει πράγµατι από τη συγκεκριµένη ασθένεια, ενώ αντίθετα ηa-priori (εκ των προτέρων) πιθανότητα να πάσχει είναι µόνο 5%.8. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Ας θεωρήσουµε ένα δειγµατικό χώρο Ω και δύο ενδεχόµενα A, B ⊆ Ω . Από τονορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας συνάγουµε ότι (α) αν τα ενδεχόµενα Α και Βείναι ξένα µεταξύ τους, AB = ∅ , τότε P(B | A) = 0 , επειδή δεδοµένης τηςπραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Α αποκλείεται η πραγµατοποίηση τουενδεχοµένου Β, ενώ (β) αν το ενδεχόµενο Α είναι υποενδεχόµενο του ενδεχοµένου Β,A ⊆ B , τότε P(B | A) = 1, επειδή η πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Α συνεπάγεταιτην πραγµατοποίηση και του ενδεχοµένου Β. Αυτές είναι οι δύο ακραίες περιπτώσειςόπου η γνώση της πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Α µας παρέχει µία πολύ θετικήπληροφορία για την πιθανότητα πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Β. Υπάρχουνόµως και περιπτώσεις στις οποίες η γνώση της πραγµατοποίησης ενός ενδεχοµένου Αδεν έχει καµµιά επίδραση στην πραγµατοποίηση ή µη του ενδεχοµένου Β, δηλαδή P(B | A) = P(B) .Στην περίπτωση αυτή το ενδεχόµενο Β καλείται στοχαστικώς ανεξάρτητο τουενδεχοµένου Α. Επειδή, σύµφωνα µε τον πολλαπλασιαστικό νόµο, ισχύει

40 P( AB) = P( A)P(B | A) = P(B)P( A | B) ,στην περίπτωση που το ενδεχόµενο Β είναι στοχαστικώς ανεξάρτητο τουενδεχοµένου Α έπεται ότι P(A | B) = P( AB) = P( A)P(B | A) = P( A) , P(B) P(B)δηλαδή και το ενδεχόµενο Α είναι στοχαστικώς ανεξάρτητο του ενδεχοµένου Β καιεπιπλέον P( AB) = P(A)P(B) .Με τη χρησιµοποίηση της τελευταίας αυτής σχέσης εισάγεται η έννοια τηςανεξαρτησίας δύο ενδεχοµένων. Συγκεκριµένα θέτουµε τον ακόλουθο ορισµό.Ορισµός 8.1. Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ήφαινοµένου) και A, B ⊆ Ω . Τα ενδεχόµενα Α και Β καλούνται στοχαστικώςανεξάρτητα αν και µόνο αν ισχύει η σχέση P(AB) = P(A)P(B) . (8.1)Παρατήρηση 8.1. Αν δύο ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε και ταενδεχόµενα Α και B′ είναι ανεξάρτητα. Τούτο συνάγεται από το συνδυασµό των εξήςπαρατηρήσεων: (α) Η ανεξαρτησία των ενδεχοµένων Α και Β συνεπάγεται ότι ηγνώση της πραγµατοποίησης του Α δεν επιδρά στην πραγµατοποίηση ή µη του Β και(β) η πραγµατοποίηση του Β αποκλείει την πραγµατοποίηση του B′ . Το συµπέρασµααυτό µπορεί να διαπιστωθεί µε τη χρησιµοποίηση των σχέσεων P( AB′) = P( A) − P( AB) , P(B′) = 1 − P(B)και της υπόθεσης της ανεξαρτησίας των Α και Β, P( AB) = P(A)P(B) ,ως εξής: P( AB′) = P( A) − P( AB) = P( A) − P( A)P(B) = P( A)[1 − P(B)] = P( A)P(B′) .Aνάλογα διαπιστώνεται ότι, στην περίπτωση αυτή, και τα ενδεχόµενα A′ και Β, όπωςεπίσης και τα ενδεχόµενα A′ και B′ , είναι ανεξάρτητα (Άσκηση 10).Παράδειγµα 8.1. Έστω ότι µία οικογένεια µε 3 παιδιά επιλέγεται τυχαία. Αςθεωρήσουµε το ενδεχόµενο Α όπως η επιλεγόµενη οικογένεια έχει παιδιά και των δύοφύλων και το ενδεχόµενο Β όπως έχει το πολύ ένα κορίτσι. Να εξετασθεί κατά πόσοντα ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα. Παρατηρούµε ότι η τοµή AB είναι το ενδεχόµενο η επιλεγόµενη οικογένεια ναέχει ακριβώς ένα κορίτσι. Εύκολα υπολογίζονται οι πιθανότητες:

41 P( A ∩ B) = 3 , P( A) =1− P( A′) =1− 2 = 3 , P(B) = 1 . 8 8 4 2Eποµένως ισχύει η σχέση (8.1) και τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα. Η έννοια της στοχαστικής ανεξαρτησίας ενδεχοµένων µπορεί να επεκταθεί γιαπερισσότερα από δύο ενδεχόµενα. Ας θεωρήσουµε αρχικά τρία ενδεχόµεναA1, A2 , A3 ⊆ Ω και ας υποθέσουµε ότι είναι κατά ζεύγη ανεξάρτητα οπότε ισχύουν οισχέσεις P( A1 A2 ) = P( A1)P( A2 ) , (8.2) P( A1 A3 ) = P( A1)P( A3 ) , P( A2 A3 ) = P( A2 )P( A3 ) .Η ανεξαρτησία του A1 τόσο από το A2 όσο και από το A3 δεν συνεπάγεται κατ’ ανά-γκη την ανεξαρτησία του A1 από την τοµή A2 A3 (βλ. Παράδειγµα 8.2).Παρατηρούµε ότι αν, επιπλέον των (8.2), ισχύει και η σχέση P[ A1( A2 A3 )] = P( A1)P( A2 A3 ) , (8.3)τότε ισχύει και η σχέση P( A1 A2 A3 ) = P( A1)P( A2 )P( A3 ) . (8.4)Αντίστροφα αν, επιπλέον των (8.2), ισχύει και η (8.4), τότε ισχύει και η (8.3), όπωςεπίσης και οι σχέσεις P[ A2 ( A1 A3 )] = P( A2 )P( A1 A3 ) , (8.5) P[ A3 ( A1 A2 )] = P( A3 )P( A1 A2 ) . (8.6) Μετά τις προκαταρκτικές αυτές παρατηρήσεις θέτουµε τον ακόλουθο ορισµό τηςστοχαστικής ανεξαρτησίας ενδεχοµένων.Ορισµός 8.2. Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ήφαινοµένου) και A1, A2 ,..., Aν ⊆ Ω . Τα ενδεχόµενα A1, A2 ,..., Aν καλούνται(αµοιβαίως ή πλήρως) στοχαστικώς ανεξάρτητα αν και µόνο αν ισχύουν οι σχέσεις P( Ai1 Ai2 L Aiκ ) = P( Ai1 )P( Ai2 )L P( Aiκ ) (8.7)για κάθε συνδυασµό {i1,i2 ,...,iκ } των ν δεικτών {1, 2,..., ν} ανά κ και για κάθεκ = 2,3,..., ν . Σύµφωνα µε τον ορισµό αυτό, για την ανεξαρτησία ν = 3 ενδεχοµένωναπαιτείται να ισχύουν οι σχέσεις (8.2) και (8.4).