UNIT1 Ebook

คณติ ศาสตร์เครื่องมือกล (20102-2005) บทท่ี 1 เส้นรอบรูป พืน้ ที่ ปริมาตร และนา้ หนักของวสั ดุ

บทท่ี 1 เสน้ รอบรูป พ้ืนท่ี ปรมิ าตร และน้าหนกั ของวสั ดุ หวั ข้อเร่อื ง (Topics) 1. พ้ืนฐานคณิตศาสตรเ์ คร่ืองมอื กลระบบหน่วยวดั มาตรฐานสากล 2. การคานวณความยาวเส้นรอบรปู 1. การคานวณพ้ืนท่ี 4. การคานวณปรมิ าตร 5. การคานวณมวลและน้าหนกั ของวัตถุ แนวคิดสา้ คญั (Main Idea) งานอุตสาหกรรมสาหรับช่างเทคนิคน้ัน ความรู้ความสามารถด้านการคานวณคณิตศาสตร์เคร่ืองมือกล พ้ืนฐาน เช่น การคานวณเส้นรอบรูป พ้ืนท่ี ปริมาตร และน้าหนักของวัสดุ มีความสาคัญในกระบวนการผลิต การออกแบบ การวิเคราะห์ปรบั ปรุงและพัฒนา เพ่ือให้กระบวนเหล่านั้นมีความถกู ต้องแม่นยา ลดความผิดพลาด เสยี ต่อการผลติ ซ่งึ ใชใ้ นการคานวณหาการใชว้ ัสดแุ ละคานวณราคาต้นทุนการผลิตได้ สมรรถนะย่อย (Element of competency) แสดงความร้หู ลกั การคานวณคณิตศาสตร์เครื่องมือกลพ้ืนฐาน จุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม (Behavioral Objectives) 1. เลอื กใชร้ ะบบหน่วยในการวดั ตามมาตรฐานสากลได้ 2. คานวณความยาวเส้นรอบรูปได้ 1. คานวณพ้ืนทีไ่ ด้ 4. คานวณปรมิ าตรได้ 5. คานวณมวลและนา้ หนักของวตั ถไุ ด้

บทท่ี 1 เสน้ รอบรปู พ้นื ท่ี ปรมิ าตร และน้าหนกั ของวัสดุ 1. พืน้ ฐานคณติ ศาสตรเ์ คร่อื งมอื กลระบบหน่วยวัดมาตรฐานสากล หนว่ ยการวัดปริมาณตา่ งๆ มีหลายระบบ ทีส่ าคัญ คือ ระบบอังกฤษและระบบเมตรกิ ระบบอังกฤษ (English System) ซ่ึงวัดระยะทางเป็นหน่วยฟุตและวัดมวลเป็นหน่วยปอนด์ ระบบอังกฤษน้ีนิยมใชก้ นั ในประเทศองั กฤษและสหรัฐอเมรกิ า ระบบเมตริก (Metric System) ซึ่งวัดระยะทางเป็นหน่วยเมตรและวัดมวลเป็นหนว่ ยกิโลกรมั ระบบเมตริกน้ีนิยมใช้กันในหลายประเทศทวั่ โลก ระบบหนว่ ยการวดั สากล ในทางวิทยาศาสตร์และในทางอุตสาหกรรม นิยมใช้มาตรฐานเดยี วกัน เรยี กวา่ ระบบหนว่ ยการวดั ระหวา่ งชาติ (The International System of Units) เรียกย่อว่า ระบบเอสไอ (SI-Units; System International d’ Unites) 1.1 หนว่ ยรากฐาน (Basic units) ระบบหน่วย เอสไอ ประกอบข้นึ จากหนว่ ยฐาน 7 หนว่ ย ดงั นี้ ตารางที่ 1 แสดงระบบการวัดหนว่ ยรากฐาน ปรมิ าณพน้ื ฐาน ชอื่ หนว่ ยรากฐาน สญั ลักษณ์ ไทย องั กฤษ ความยาว (length) เมตร meter m มวล (mass) กโิ ลกรัม kilogram kg เวลา (time) วินาที second s กระแสไฟฟ้า แอมแปร์ ampere A อุณหภูมิ(temperature) เคลวิน Kelvin K ความเข้มแห่งการส่องสว่าง แคนเดลา Candela cd (luminous intensity) ปรมิ าณสาร(amount of substance) โมล mole mol

ระบบการวดั พนื้ ฐานทงั้ 7 หนว่ ย ไดม้ าจากการวัดเหล่านี้ 1. เมตร (m.) คือ ความยาวท่ีแสงเดนิ ทางได้ในสญุ ญากาศ ในช่วงเวลา 1/299,792,458 ของวนิ าที 2. กิโลกรมั (kg.) คือ หนว่ ยของมวลซึ่งเท่ากับมวลตน้ แบบระหวา่ งชาติของกโิ ลกรมั 1. วินาที (s.) คือ ช่วงเวลา 9,192,631,770 เท่าของคาบการแผ่รังสีที่เกิดจากการเปล่ียนระดับ พลังงานของอะตอมซีเซยี ม -133 (Cs – 133) ระหว่างระดบั ไฮเพอรไ์ ฟนส์ องระดบั ของสถานะฟืน้ 4. แอมแปร์ (A.) คือ กระแสคงตัว ซึ่งเมื่อให้อยู่ในตัวนาตรง 2 เส้นท่ีมีความยาวไม่จากัด และมี พ้ืนท่ีหน้าตัดน้อยจนไม่ต้องคิด ซ่ึงวางอยู่คู่ขนานห่างกัน 1 เมตร ในสุญญากาศแล้ว จะทาให้เกิดแรงระหว่างลวด ตวั นาทง้ั สองวงเท่ากบั 2  10 นิวตนั ต่อความยาว 1 เมตร 5. เคลวนิ (K.) คอื หน่วยของอุณหภมู อิ ุณหพลวัต (หรืออณุ หภมู ิเทอร์โมไดนามกิ ส์) มีคา่ เทา่ กับ 1/271.16 ของอุณหภมู ิอณุ หพลวตั ของจุดรวมสามของน้า 6. โมล (mol.) คือ ปริมาณของสารในระบบซ่ึงประกอบด้วยองค์ประกอบมูลฐานท่ีเทียบเท่ากับจานวน อะตอมคารบ์ อน –12 (C – 12) ปรมิ าณ 0.012 กิโลกรมั 7. แคนเดลา (cd.) คือ ความเข้มของการส่องสว่างในทิศที่กาหนดของแหล่งกาเนิดท่ีแผ่รังสี ของแสงความถี่เดียวที่มีความถี่ 540 เฮิรตซ์ และมีความเข้มของการแผ่รังสีในทิศทางนั้นเท่ากับ 1/683 วัตต์ต่อ สตีเรเดียน 1.2 การเขยี นสญั ลกั ษณ์และการใช้หน่วย เอส ไอ 1.2.1 การใช้สัญลกั ษณข์ องหนว่ ย เอส ไอ เชน่ เดยี วกับการใช้สัญลักษณ์ในหนว่ ยอื่นๆ น่นั คือจะตอ้ งจาสัญลักษณ์ทถี่ ูกต้องไดเ้ ป็นอย่างดี เพราะสัญลกั ษณ์บางหนว่ ยใช้อกั ษรตัวเดยี วกัน เพียงแต่เปน็ ตัวพมิ พ์เล็กและตวั พิมพ์ใหญ่ดังตัวอยา่ ง เช่น K = เคลวิน (Kelvin) k = กิโลกรมั A = แอมแปร์(ampere) a = ปี (year) N = นวิ ตัน(newton) n = นาโน(nano) C = คูลอมป(์ coulomb) c = องศาเซลเซยี ส(degree Celsius) 1.2.2 พหุคณู ของหนว่ ย เอส ไอ คาอปุ สรรค (prefix) ใช้เป็นชื่อและสญั ลกั ษณ์ของพหุคูณ ของหน่วย เอส ไอ สญั ลกั ษณข์ องคาอปุ สรรค คาหนึ่งๆ น้ัน ใชผ้ สมกับสญั ลกั ษณ์ของหนว่ ยโดยตรงจะทาให้เกิดสญั ลักษณ์ของหนว่ ยใหม่ ซึง่ สามารถยก กาลังบวกหรือลบก็ได้ และสามารถใช้ผสมกบั สัญลักษณ์ของหนว่ ยอน่ื ๆ กลายเป็นสญั ลักษณ์ของหน่วยเชงิ ประกอบ(compound unit) ขึน้ ไดอ้ กี ตัวอยา่ ง เชน่

1 cm3= (10-2m)3=10-6m3 1µs-1= (10-6s)-1=106s-1 1 km2/s= (103m)2/s=106m2/s ไมค่ วรใชค้ าอปุ สรรคซอ้ นกนั ตัวอยา่ งเชน่ ใหเ้ ขยี น nm (นาโนเมตร) แทนท่ีจะเขยี น mµm หมายเหตุ ด้วยเหตุท่ชี ือ่ ของหนว่ ยรากฐานของมวลคือ กิโลกรัม (kg) ซ่ึงเป็นช่ือท่ีประกอบดว้ ยคาอุปสรรค เอส ไอ คอื “กิโล(k)” แทนที่จะเตมิ นาหนา้ คาว่า กโิ ลกรัม เช่น มิลลกิ รมั (mg) เดซิกรัม(dg) จะไมเ่ ขียนวา่ เป็น มิลลกิ รมั (mkg) หรอื เดซิกิโลกรัม (dkg) เพราะจะเป็นการใช้คาอุปสรรคซ้อนกนั 1.2.3 การใชห้ นว่ ย เอส ไอ และพหุคูณของหน่วย เอส ไอ การเลือกใชพ้ หุคูณ เพ่อื ทาให้ใหญ่ขึน้ หรอื เล็กลงโดยใชท้ ศนยิ ม จะเลือกใช้ไดเ้ หมาะสมขนึ้ อย่กู ับ ความสะดวกของผ้ใู ช้ ตวั พหุคูณท่จี ะเลอื กใช้ควรเปน็ ตัวที่ทาให้คา่ ตวั เลขอยูร่ ะหว่าง 0.1 กบั 1000 ตวั อย่าง เชน่ 1.2x104N อาจเขียนเป็น 12 kN 0.00394 m อาจเขียนเปน็ 1.94 mm 1401 PA อาจเขียนเป็น 1.401 kPa 1.1 ×10-8s อาจเขยี นเป็น 31 ns อย่างไรก็ดี ค่าต่างๆ ของปรมิ าณเดียวกันในตารางหรอื ในการอภิปรายคา่ ของเร่อื งใดเรื่องหนงึ่ ควรใช้ พหคุ ณู ให้เหมอื นกันตลอดรายการ ถึงแมว้ ่าค่าตัวเลขจะอย่นู อกพิสัย 0.1 ถึง 1000 ก็ตาม ในงานเฉพาะ บางอยา่ ง นิยมใชต้ วั พหุคณู ชนิดเดยี วกันตลอด เช่น การเขยี นแบบทางวิศวกรรมเครือ่ งกล มักใช้ขนาดเปน็ มลิ ลเิ มตร (mm) 1.2.4 หลกั การเขยี นสญั ลกั ษณ์ของหนว่ ย เอส ไอ 1.1.4.1 สัญลักษณข์ องหนว่ ยควรพมิ พ์ดว้ ยอกั ษรโรมันแบบตัวตรง โดยไมต่ อ้ งคานงึ วา่ จะเขียน ร่วมกบั ตวั ชนิดใดกต็ าม ไมต่ ้องเปล่ยี นตามพจน์ ไมต่ ้องมีมหพั ภาค และควรเขียนไวท้ ้ายค่าตวั เลขซง่ึ แสดง ปริมาณ โดยเวน้ ระยะระหวา่ งคา่ ตัวเลขกับสญั ลกั ษณ์ของหน่วย 1.1.4.2 สัญลักษณ์ของหน่วยควรเขยี นด้วยอกั ษรตวั เลก็ นอกจากหน่วยท่ไี ด้ชอ่ื มาจากวิสามา นยนามให้เขียนอักษรตวั แรกเป็นตวั ใหญ่ ตวั อย่างเชน่ m (เมตร) s (วินาที) A (แอมแปร์) Ab (เวเบอร์)

ตารางที่ 2 คา้ อุปสรรคของหนว่ ย เอส ไอ คา้ อุปสรรค ตัวคูณหน่วย ตวั อย่าง ชอ่ื สัญลกั ษณ์ 1 MW = 106 W 1 km = 1003m เอกซะ(exa) E 1018 1 hl = 1002l 1 dag = 100g เพทะ(peta) P 1015 1 dm = 10-1m เทอรา(tera) T 1012 1 cm = 10-2m 1 mm = 10-3m จิกะ(giga) G 109 1 µm = 10-6m เมกะ(mega) M 106 กิโล(kigo) k 103 เฮกโต(hector) h 102 เดคา(deca) da 101 เดซซิ(deci) d 10-1 เซนต(ิ centi) c 10-2 มิลล(ิ milli) m 10-3 ไมโคร(micro) µ 10-6 นาโน(nano) n 10-9 พิโค(pico) p 10-12 เฟมโต(femto) f 10-15 อัตโต(atto) a 10-18 2. การค้านวณหาความยาวเส้นขอบรูป ความยาวเส้นรอบรปู คือ ความยาวในขณะเหยยี ดตรง เพ่อื ท่จี ะใช้ดัดให้โค้งหรอื ให้เปน็ มมุ ตามท่ีแบบต้องการ ซึง่ วธิ ีดัดโค้ง อาจเป็นโคง้ ทีเ่ ป็นสว่ นหน่ึงของวงกลมหรือวงรี และอาจหกั เป็นมมุ ฉาก หรอื ค่ามมุ ตา่ ง ๆ ได้ L  l1  R  l 2  l 3  l 4  l 5  l 6  l 7 รปู ท่ี 1.1

วงกลม l  2r เสน้ รอบรูป l  d รปู ที่ 1.2 เซกเมนตว์ งกลม ขนาดมมุ  ท่ีจุดศูนยก์ ลาง รปู ที่ 1.3 เส้นโค้งของเซกเมนต์ รปู ที่ 1.4 l1   d 360 วงรี l   D  d  เสน้ รอบรูปวงรี 2 D = ความยาวแกนยาว d = ความยาวแกนส้ัน

ตวั อย่างท่ี 1.1จากรูปที่กาหนดให้ จงคานวณหาความยาวเสน้ ขอบรูป ( หน่วยเป็น mm ) l1  600mm l 2  500mm l 3  300mm d  210mm รปู ท่ี 1.5 วธิ ที า้ ความยาวเส้นขอบรปู สามารถคานวณหาได้จาก      L 4 d  = 2 1  3  2 2  d  2 3  d   2 = 2(600 - 300) + 2(500 - 200) + 2(300 - 210) +4  22  210  7 2 = 600 + 580 + 180 + 1,320  L = 2,680 mm สรุปได้วา่ ความยาวเสน้ ขอบรปู มีคา่ เทา่ กบั 2,680 mm    หรอื อาจหาจาก 2 4 d  L = 1  d 2 2  d   2 = 2(600 - 210) + 2(500 - 210) + 4  22  210  7 2 = 780 + 580 + 1,320  L = 2,680 mm ซ่ึงคาตอบท่ีไดม้ ีค่าเท่ากันกบั วธิ ีแรก ดังน้นั จึงกล่าวไดว้ า่ ในการหาความยาวเสน้ ขอบรูป สามารถทาได้หลายวธิ ีแลว้ แต่หลักการของแตล่ ะคน คาตอบที่ไดก้ จ็ ะมี คา่ เท่ากนั เสมอ

ตวั อยา่ งท่ี 1.2 จากรูปทก่ี าหนดให้ จงคานวณหาความยาวเสน้ ขอบรูป ( หน่วยเปน็ mm ) รูปที่ 1.6 พจิ ารณาจากรปู ที่ 1.6 จะได้ว่า L = 1   2   3   4   5   6   7 โดยท่ี 1 =  7 ,  2 =  6 และ  3 =  5 แทนค่า = 2(40) + 2(   10) + 2(25) +  (30) = 80 + 62.84 + 50 + 94.26 = 287.1 mm  ความยาวของชิน้ งานทงั้ หมด = 287.1 mm

1.2 การค้านวณหาพื้นทีข่ องรูปทรงต่าง ๆ 1.2.1 พื้นท่ีของรปู เหล่ยี มทั่วไป ในการคานวณหาพ้ืนท่รี ูปเหลีย่ มท่ัวไป สามารถพจิ ารณาไดด้ ังน้ี กาหนดให้ A = พ้ืนที่ U = ความยาวเส้นรอบรูป e = ความยาวเส้นทแยงมมุ h = สว่ นสงู a, b = ความยาวด้าน สตู รท่ีใช้ในการคานวณหาพ้ืนท่แี ละเสน้ รอบรปู ของรปู เหลีย่ มทัว่ ไป พจิ ารณาไดด้ งั น้ี รปู ที่ 1.7 สีเ่ หลี่ยมจัตรุ สั (Square) A  a2 U  4a e a 2  1.414a a e 1. 414  0.707e สี่เหล่ียมผนื ผา้ (Rectangle) A  ab U  2a  b  e  a2 b2 รปู ท่ี 1.8

รปู ท่ี 1.9 ส่ีเหลย่ี มดา้ นขนาน (Parallelogram) รูปที่ 1.10 รูปที่ 1.11 A  ah รปู ที่ 1.12 U  2a  b  สเ่ี หลย่ี มขนมเปยี กปูน (Rhombus) A  ab U  4a สีเ่ หล่ียมคางหมู (Trapezoid) A  1 a  b h 2 เหลย่ี มดา้ นไมเ่ ทา่ (Quadrilateral) A  ผลบวกของรปู สามเหล่ียมยอ่ ย A  1  เส้นทแยงมมุ  ผลบวกของเส้นก่งิ 2

รูปท่ี 1.13 สามเหลย่ี ม (Triangle) รปู ที่ 1.14 A  1h รูปที่ 1.15 2 รูปที่ 1.16 รปู ท่ี 1.17 สามเหลย่ี มดา้ นเท่า (Equilateral Triangle) h  0.866a A  1 ah 2  0.433a 2 สามเหล่ยี มมมุ ฉาก (Right Triangle) A  1 ab 2 สามเหลี่ยมหน้าจว่ั (Isoceles) a2  h2  b2 4 A  1 bh 2 รปู หลายเหล่ียมด้านไม่เท่า A = ผลบวกของรูปสามเหล่ยี มยอ่ ย

รูปที่ 1.18 รปู หลายเหลี่ยมดา้ นเท่า มมุ ที่แต่ละดา้ นกาง ณ จุดศนู ย์กลาง () = 360/n n = จานวนด้านเท่าของรปู () มมุ ระหว่างด้านเท่า = 180 -  ;  = (n-2)/n  180 A = n  พ้ืนท่ีของรูปสามเหลย่ี มยอ่ ยบนแตล่ ะด้าน U = na 1.2.2 พืน้ ทีร่ ปู ทรงผิวโค้ง ในการคานวณหาพืน้ ท่รี ปู ทรงผวิ โค้ง สามารถพิจารณาได้ดงั นี้ กาหนดให้ d = ขนาดของเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง A = พ้นื ที่  = ขนาดของมมุ กาง ณ จุดศูนย์กลาง L = ความยาวคอร์ด B = ความสูงคอรด์ S = ความยาวคอรด์ หรอื ความยาวส่วนโค้ง ดงั น้นั สตู รที่ใช้ในการคานวณพ้ืนที่ รปู ทรงผิวโคง้ ลักษณะตา่ ง ๆพิจารณาดังนี้ วงกลม เสน้ รอบวง = d = 2r พ้ืนที่ = r²= d²/4 รปู ท่ี 1.19

วงแหวน พ้นื ท่ี = (R²- r²) = /4  (D²- r²) = 0.785(D²- r²) รปู ที่ 1.20 เซกเตอร์ รปู ท่ี 1.21 ความยาวโค้ง s    d 360  r   180 พน้ื ทีเ่ ซกเตอร์    d 2    r 2  S  r 360 4 360 2 เซกเมนต์ พืน้ ที่เซกเมนต์ = พนื้ ที่เซกเตอร์ - ในเซกเมนต์    r 2   L r  b  360 2  S  r  Lr  b  22 รูปที่ 1.2  2 LB 3 วงรี พืน้ ท่ี =   D/2  d/2 รปู ที่ 1.23 = Dd / 4 เสน้ รอบรปู =   (D+d)/2

ตัวอย่างท่ี 1.3 จงคานวณหาพน้ื ท่ดี ังรูปที่กาหนดให้ (หนว่ ยเปน็ mm) รูปที่ 1.24 รปู ที่ 1.25  พนื้ ที่ท้ังหมดของรปู Ax = พืน้ ทที่ ง้ั หมด - (A1 + A2) เม่อื Aทงั้ หมด = 60  100 = 6,000 mm2 พน้ื ท่ี A1 = 1 (10 + 75)  30 = 1,275 mm2 2 พื้นที่ A2 = 10  10 = 100 mm2 แทนคา่ พ้นื ท่ีภาคตดั รปู Ax = 6,000 - (1,275 + 100) = 4,625  พื้นทภี่ าคตัด รปู Ax = 4,625 ตารางมลิ ลิเมตร

ตวั อยา่ งท่ี 1.4 จงคานวณหาพน้ื ท่ีจากรปู ที่กาหนดให้ (หนว่ ยเป็น mm) รูปท่ี 1.26 จากรูปที่ 1.26 จะได้วา่ = A1 + A2 + A3 ; A1 = A3 Aทั้งหมด หา A1 = 0.785(D2  d2 ) 4  A1 0.785(1162  1002 ) = 4 = 678.24 mm2 หา A2 = (8  100) = 800 mm2 แทนคา่ Aทั้งหมด = 678.24 + 800 + 678.24  พน้ื ทที่ ง้ั หมดของรปู = 2,156.48 ตารางมิลลิเมตร

1.3 การคา้ นวณหาปรมิ าตรและ พืน้ ทผ่ี วิ ในการหาปรมิ าตรและพ้ืนทีผ่ ิวของรปู ทรงตา่ ง ๆ สามารถพิจารณาได้ดงั น้ี คอื 1. สงู ขนาน 2. รูปทรงยอดแหลม 3. รูปทรงยอดตัด 4. รูปทรงกลมและทรงกลมตัด 5. รูปวงแหวน 6. รูปทรงอ่นื ๆ กาหนดให้ V = ปรมิ าตร A = พ้ืนทห่ี นา้ ตัด Am = พื้นท่หี น้าตัดเฉลย่ี Ab = พนื้ ท่ีฐาน As = พ้ืนท่ผี ิวทั้งหมด h = ความสงู hm = ความสูงเฉล่ยี d = เส้นผา่ นศนู ย์กลาง r = รัศมี 3.31 ปริมาตร และพ้นื ที่ผวิ ของรูปทรงสงู ขนาน สูตรท่ใี ช้ในการคานวณหาปรมิ าตรและพ้นื ทผี่ วิ ของรูปทรงสูงขนาน พิจารณาได้ดงั นี้ ปรมิ าตร = พื้นที่หนา้ ตดั  สงู พื้นทีผ่ วิ = พ้นื ทร่ี อบผิวขา้ ง + พื้นที่ปิดหวั ท้าย รูปลกู บาศก์ V = a³ As = 6a² รูปที่ 1.27

รูปท่ี 1.28 รูปทรงกระบอก V = r²h = d²/4 h As = 2r²+ 2rh = d²/2+dh รปู ทรงสงู ขนานอนื่ ๆ = A h = A  hm รปู ที่ 1.29 1.1.2 ปริมาตรและพ้ืนทผ่ี วิ ของรปู ทรงยอดแหลม สตู รทใี่ ชใ้ นการคานวณหาปรมิ าตรและพื้นท่ีผวิ ของรปู ทรงยอดแหลม พิจารณาดังนี้ ปรมิ าตร = 1/3 (พื้นที่ฐาน  สูงตรง) พนื้ ที่ผวิ = พืน้ ทฐ่ี าน + พนื้ ทรี่ อบรูปทรงยอดแหลม พจิ ารณารปู ทรงยอดแหลมในลกั ษณะต่าง ๆไดด้ ังรูป รูปที่ 1.30 จากรปู จะไดว้ ่า V  1  Ab h 3

1.1.3 ปริมาตรและพ้ืนทผ่ี ิวของรปู ทรงยอดตดั สูตรทใี่ ช้ในการคานวณหาปริมาตรและพืน้ ทผี่ วิ ของรปู ทรงยอดตดั พิจารณาไดด้ งั นี้ ปริมาตร = พนื้ ทีห่ นา้ ตดั เฉลี่ย  ความสูงตรง พน้ื ทผ่ี ิว = พน้ื ท่รี อบรูปทรงยอดตดั + พื้นที่ปดิ หวั ทา้ ย พิจารณาลักษณะต่าง ๆ ของรูปทรงยอดตดั ไดด้ งั รปู รูปท่ี 1.31 จากรูปจะได้วา่ V  Am  h V  A1  A2  h 2 1.1.4 ปริมาตร และพืน้ ทผี่ ิวของรูปทรงกลม และทรงกลมตดั สูตรที่ใช้ในการคานวณหาปริมาตรและพ้นื ทผี่ ิวของรูปทรงกลม และทรงกลมตัด พิจารณาได้ดังนี้ หุ้มทรงกลม ทรงกลมและทรงกระบอกหมุ้ ทรงกลม รูปท่ี 1.32 ปรมิ าตรทรงกลม = 1/6 d³ V = 4/3 r³ V = 2/3  ปริมาตรทรงกระบอก พื้นทผ่ี วิ ของทรงกลม = 4  r² As = d²

รูปท่ี 1.33 ทรงกลมตดั ปรมิ าตรทรงกลมตดั = h²(d/2  h/3) V = h(s²/8 + h²/6) พน้ื ทีผ่ ิวของทรงกลมตัด = 2rh = /4(s² + 4h²) 1.1.5 ปรมิ าตร และพืน้ ทผี่ วิ ของรูปวงแหวน สตู รที่ใช้ในการคานวณหาปริมาตรและพืน้ ท่ผี วิ ของรปู วงแหวน พิจารณาไดด้ งั น้ี รปู วงแหวนกลม จุดศูนยถ์ ว่ ง รูปท่ี 1.34 จดุ ศูนย์ถว่ ง จากรูปจะได้วา่ ปริมาตรวงแหวนกลม = พื้นท่ีหน้าตัด  เส้นรอบวงวัดตามแนว นน่ั คอื V = (d²/4)  (D) พื้นที่ผิวของวงแหวนกลม = เส้นรอบวงหน้าตัด  เส้นรอบวงวัดตามแนว นนั่ คอื As = (d)  (D)

รปู วงแหวนสามเหลี่ยม รูปที่ 1.35 จากรปู จะไดว้ า่ ปริมาตรของวงแหวนสามเหล่ียม = พื้นท่หี น้าตัด  เสน้ รอบวงวดั ตามแนวจดุ ศนู ยถ์ ่วง น่นั คอื V = Ai  D พื้นที่ผิวของวงแหวนสามเหล่ียม = เส้นรอบวงหน้าตัด  เส้นรอบวงวัดตามแนว จุดศนู ย์ถว่ ง น่ันคอื As = (a + a + a)  D = 3a  D 1.1.6 ปรมิ าตรและพื้นที่ผิวของรปู ทรงอื่น ๆ พิจารณาลกั ษณะของรูปทรงทแ่ี ตกตา่ งของรปู ทรงทกี่ ล่าวมาทงั้ หมด ได้แก่ รปู ทรงถังผวิ โค้ง รปู ท่ี 1.36 จากรปู จะได้ว่า ปรมิ าตรของถังผวิ โค้ง = /3  h (D²/2 – d²/4)

นน่ั คือ V = /3  h(D²/2 – d²/4) ตัวอยา่ งท่ี 1.5 ถังใส่นา้ ดงั รปู ท่ีกาหนดให้ จงคานวณหา 1.เมอ่ื บรรจนุ ้าเต็ม จะจไุ ดก้ ีล่ ิตร 2.จะต้องสรา้ งจากแผน่ เหลก็ หนา 2 มิลลเิ มตร พ้ืนทโี่ ตเท่าใด 1.เมอ่ื บรรจนุ า้ สูงสามในสี่ส่วน จะจไุ ดก้ ่ีลิตร รูปที่ 1.37 วธิ ีทา้ 1. พิจารณาจากโจทยจ์ ะได้วา่  ปรมิ าตรตามรปู (V) = 1 (120 + 250)  150  600 2 = 75  (370)  600 mm3 = 16,650,000 mm3  ปรมิ าตรเมอ่ื บรรจุน้าเตม็ = 1,665 ลติ ร 2. ถา้ สร้างด้วยเหล็กหนา 2 mm จะมพี ื้นที่  A ท้งั หมด = 2  1 150  2 120  250 + (120  600) + (171.20  600) + (156.15  600) = 55,500 + 72,000 + 103,920 + 93,690 = 325,110 mm2  จะต้องสรา้ งดว้ ยแผ่นเหลก็ มพี ืน้ ที่ = 0.325 ตารางเมตร

1. จากข้อ (1) เมื่อบรรจุน้าเตม็ = 16.65 ลติ ร ถ้าบรรจุ 3 = 16.65  3 4 4 3  เมื่อบรรจนุ า้ 4 จะมปี ริมาณ = 12.48 ลติ ร 1.4 การค้านวณมวลและน้าหนักของชน้ิ งาน การคานวณมวลของช้ินงาน สามารถคานวณไดจ้ าก ปริมาตร และความหนาแน่น ดงั นี้ มวล = ปริมาตร  ความหนาแน่น หรือ m = V   โดยที่ - ถ้ามวลเป็นกรมั (g) ปรมิ าตรจะเปน็ ลูกบาศก์เซนตเิ มตร (cm³) - ถา้ มวลเปน็ กโิ ลกรมั (kg) ปริมาตรจะเป็นลกู บาศก์เดติเมตร (dm³) - ถา้ มวลเปน็ เมตรกิ ตัน (ton) ปริมาตรจะเปน็ ลูกบาศกเ์ มตร (m³) เราสามารถพจิ ารณาความหนาแน่นของโลหะต่าง ๆ ไดด้ ังนี้ ตารางท่ี 1.1 แสดงความหนาแน่นของโลหะต่าง ๆ (kg/dm³)หรือ (  10³ kg / m³) โลหะ ความหนาแนน่ โลหะ ความหนาแนน่ โลหะ ความหนาแนน่ อะลมู ิเนียม 2.7 ทองแดง 8.9 ปรอท 11.6 ตะกวั่ นกิ เกิล 11.3 ทองเหลอื ง 8.5 สังกะสี 7.1 เหล็กหลอ่ 8.9 ดบี กุ 7.3 เหลก็ เหนียว 7.85 7.25 เบนซนิ 0.7 นา้ 1.00 ช้ินงานทง้ั หลายสามารถคานวณหาปรมิ าตรไดจ้ าก ผลบวกของทรงต่าง ๆ ท่ีประกอบกนั เป็นชนิ้ งานนน้ั ซงึ่ วิธกี ารคานวณหาปรมิ าตรจะตอ้ งคานวณจากทรงย่อย ๆ ก่อนแล้วจงึ รวมกันเป็นปริมาตรชนิ้ งาน นน่ั คือ V = V1 + V2 + V3 +………..+ Vn และจะไดว้ ่า m = V  

นา้ หนกั ของช้นิ งาน คือ แรงทเ่ี กิดจากการเคลือ่ นทีด่ ้วยความเร่งของมวลจานวนหนง่ึ นน่ั คอื F = mg เมอื่ F = แรง มีหนว่ ยเป็นนิวตัน (N) M = มวล มหี น่วยเปน็ กโิ ลกรัม (kg) g = แรงโน้มถว่ งของโลก = 9.81 m/s² ดงั นั้น 1 kg = 9.81 N  10 N ตวั อย่างที่ 1.6 จะตอ้ งใชเ้ หล็กหล่อ  120 mm มีความยาวเทา่ ใด ถงึ จะพอดีถว่ งแรงจากมวล 25 kg ดังรูปทีก่ าหนดให้ รปู ท่ี 1.38 วธิ ที า้ จากรปู จะไดว้ า่ ; ความหนาแน่นเหล็กหล่อ จากตาราง = 7.25 kg/dm3 นั่นคอื  มวล (m) = ปริมาตร (V)  ความหนาแนน่ () 25 kg = V  7.25 kg dm 2 25 kg  ปรมิ าตร (V1) = 7.25 = 1.448 kg dm3  ปริมาตร (V1) = d 2 h ; เม่อื V1 = V2 4

แทนคา่ =   1202 1.448 dm3 = 4 h h=   1202 4  h mm3 3.448  4   14400  10 dm 3 mm3 = 304.75 mm mm2  dm 3  เหลก็ หล่อขนาด  120 mm จะตอ้ งมคี วามยาว (h) = 304.75 mm