วงกลมคู่อาร์คิมีเดียนในอาร์บีลอส : Some Archimedean Circles in Arbelos

39 ขัน้ ท่ี 4 สรา้ งDEG  CIE ดงั ภาพที่ 3.57 ภาพที่ 3.57 สร้างDEG  CIE ขอ้ สังเกต จะเหน็ ว่าDEG  CIE ดงั ภาพที่ 3.58 ภาพท่ี 3.58 DEG  CIE ขนั้ ท่ี 5 พสิ จู นว์ ่า ∆DEG  ∆CIE (มุมบนเส้นตรง) จาก CIE +CIG =180 (โจทยก์ ำหนด) จะได้ C=IE 180 −CIG ฉะนน้ั CIG = 90 (โจทยก์ ำหนด) จะได้วา่ C=IE 180 − 90 CIE = 90 จาก CI / /DG

40 จะได้วา่ CIE = DGE (มมุ ผนวกและมุมภายในทีอ่ ยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเส้นตัด) และ ICE = GDE (มุมผนวกและมุมภายในทอี่ ยู่ตรงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตัด) สงั เกตไดว้ ่า DEG = CEI (มมุ รว่ ม) น่ันคอื ∆DEG  ∆CEI เนื่องจากมมี มุ 3 มมุ ที่สมนัยกัน=คอื CIE D=GE,ICE GD=E,DEG CEI ข้นั ที่ 6 พสิ ูจน์วา่ GI เปน� รศั มีของวงกลมอาร์คิมเี ดียน เนอ่ื งจาก เน่ืองจาก DEG มี EG = b และ DE = a+ b และ CEI มี CE = b จาก DEG  CEI จะไดว้ า่ EG = DE EI CE b a + b EI = b EI = b2 a+b จาก GI = EGEI จะไดว้ ่า GI = b  b2 นน่ั คือ a+b ab GI = a+b ซ่ึงเป�นรศั มีของวงกลมอารค์ ิมีเดยี น

41 ขนั้ ท่ี 7 สรา้ งวงกลมวงทหี่ นงึ่ ท่ีมจี ุดศูนย์กลาง I และรัศมี IG ดงั ภาพที่ 3.59 ภาพท่ี 3.59 สร้างวงกลมวงท่ีหนงึ่ ทมี่ จี ดุ ศูนย์กลาง I และรัศมี IG 3.3 การสรา้ งวงกลมอารค์ มิ ีเดยี นคู่ทส่ี าม 3.3.1 การสรา้ งวงกลมอารค์ ิมีเดยี นคทู่ ่ีสาม ขั้นที่ 1 สร้างอาร์บีลอสที่ล้อมรอบด้วยลงกลม X Y และ Z ซึ่งมีรัศมีรัศมีและ ตามลำดบั และมจี ุดศนู ยก์ ลาง O D และ E ตามลำดับ ดังภาพที่ 3.60 ภาพที่ 3.60 อาร์บลี อสทีล่ ้อมรอบด้วยครงึ่ วงกลม X Y และ Z ขนั้ ท่ี 2 สรา้ งวงกลม B ท่มี ีรัศมียาว BC มาตดั กับครึ่งวงกลม AB ทีจ่ ดุ F ดังภาพท่ี 3.61 ภาพที่ 3.61 สร้างวงกลม B ทีม่ ีรศั มียาว BC ตัดคร่ึงวงกลม AB ทจี่ ุด F

42 ขน้ั ที่ 3 สรา้ งวงกลมวงกลม A ท่มี ีรัศมี AC มาตดั กับครึง่ วงกลม AB ท่จี ุด I ดงั ภาพท่ี 3.62 ภาพท่ี 3.62 วงกลม A ท่มี ีรัศมี AC ตัดคร่งึ วงกลม AB ท่ีจุด I ขนั้ ท่ี 4 สรา้ ง AF ตัดกบั ครึง่ วงกลม AC ท่จี ุดG ดังภาพท่ี 3.63 ภาพที่ 3.63 AF ตัดกับคร่ึงวงกลม AC ทจ่ี ุดG ขน้ั ที่ 5 สร้างเสน้ ตรงผา่ นจุด G มาตัง้ ฉากกบั AB และกำหนดให้จดุ ตดั เปน� จุด G ดงั ภาพท่ี 3.64 ภาพท่ี 3.64 สร้างเส้นตรงผ่านจุด G มาตัง้ ฉากกับ AB และกำหนดใหจ้ ุดตดั เปน� จดุ G

43 ขัน้ ที่ 6 สร้าง BI ตัดกบั ครง่ึ วงกลม CB ทจี่ ุด H ดงั ภาพที่ 3.65 ภาพท่ี 3.65 BI ตดั กบั ครึง่ วงกลม CB ท่จี ดุ H ขน้ั ท่ี 7 สร้างเสน้ ตรงผ่านจุด H มาต้ังฉากกับ AB และกำหนดใหจ้ ดุ ตดั เปน� จุด H ดังภาพท่ี 3.66 ภาพท่ี 3.66 สรา้ งเส้นตรงผา่ นจุด H มาตัง้ ฉากกับ AB และกำหนดให้จุดตัดเป�นจุด H

44 ขนั้ ท่ี 8 สร้างวงกลมอาร์คมิ ีเดียนวงท่หี นึง่ ที่มี R เปน� จดุ ศนู ยก์ ลางซ่งึ ลอ้ มรอบโดย เส้นรอบรอบวงของวงกลมของวงกลม A ทม่ี ีรัศมี AC กับเส้นรอบวงของวงกลม O ท่มี ีรัศมี OA และ เสน้ ตั้งฉาก GG ดงั ภาพท่ี 3.67 ภาพที่ 3.67 สรา้ งวงกลมอาร์คมิ ีเดียนวงท่ีหนง่ึ ที่มี R เป�นจุดศนู ยก์ ลางซ่ึงล้อมรอบโดยเส้นรอบวง ของวงกลมของวงกลม A ท่ีมีรัศมี AC กับเส้นรอบวงของวงกลม O ทีม่ ีรัศมี OA และเสน้ ตงั้ ฉาก GG ขน้ั ท่ี 9 สร้างวงกลมอาร์คิมีเดียนวงทีห่ นึ่ง ทมี่ ี S เปน� จุดศูนยก์ ลางซ่ึงลอ้ มรอบโดย เส้นรอบรอบวงของวงกลมของวงกลม B ทีม่ ีรัศมี BC กบั เส้นรอบวงของวงกลม O ทม่ี รี ัศมี OA และ เสน้ ตง้ั ฉาก HH ดังภาพท่ี 3.68 ภาพที่ 3.68 สร้างวงกลมอาร์คมิ เี ดยี นวงที่หนึ่ง ที่มี S เปน� จดุ ศูนย์กลางซ่ึงล้อมรอบโดยเส้นรอบรอ บวงของวงกลมของวงกลม B ท่มี ีรัศมี BC กบั เส้นรอบวงของวงกลม O ท่ีมรี ศั มี OA และเส้นต้งั ฉาก HH 

45 3.3.2 พสิ ูจนก์ ารสร้าง AGC  AFB โดยทฤษฎีบทของเธลสิ (Thales) ขน้ั ท่ี 1 สรา้ งAGC และมมี ุมขนาด 90 ท่จี ดุ G ดงั ภาพท่ี 3.69 ภาพท่ี 3.69 สรา้ งAGC และมีมุมขนาด 90 ท่ีจดุ G ขัน้ ท่ี 2 สร้างAFB และมีมุมขนาด 90 ท่จี ดุ F ดังภาพที่ 3.70 ภาพที่ 3.70 สร้างAFB และมมี มุ ขนาด 90 ท่ีจดุ F

46 ข้อสังเกต จากทฤษฎีบทของเธลิส (Thales) จะได้ AG=C A=FB 90 ดังนั้น AGC  AFB ดังภาพท่ี 3.71 ภาพท่ี 3.71 AGC  AFB ขั้นท่ี 3 พิสูจนว์ ่า ∆AGC  ∆AFB จาก AG=C A=FB 90 (โจทยก์ ำหนด) และ GAC = F AB (มุมร่วม) ให้ G=AC F=AB X (มมุ ร่วม) จะไดว้ า่ AGC =GAC + ACG =180 (มุมภายในสามเหลยี่ ม) 90 + X + ACG =180 X + ACG =90 AC=G 90 − X AFB + F AB + ABF =180 มมุ ภายในรปู สามเหลยี่ ม 90 + X + ABF =180 X + ABF =180

47 X + ABF =90 AB=F 90 − X จะได้ว่า ACG = ABF ดังนัน้ ∆AGC  ∆AFB เนื่องจากมมุ ทีส่ มนยั กัน=คือ AGC A=FB,GAC F=AB,ACG ABF ขน้ั ท่ี 4 พิสูจนว์ า่ RT เปน� รศั มขี องวงกลมอาร์คิมเิ ดยี น กำหนดให้ RT = X เนือ่ งจาก AG=C A=FB 90 BF = 2b AC = 2a AB= 2a + 2b จาก ∆AGC  ∆AFB จะได้ค่า GC = AC BF AB GC = 2a 2a 2b + 2b GC = ab 2 a+b จะไดว้ ่า GC คอื รศั มีของวงกลมอาร์คิมีเดยี น 2

48 ขอ้ สังเกต จะสงั เกตเหน็ ว่าวงกลมท่มี รี ัศมี CG คือ วงกลมอาร์คมิ เี ดยี น ดงั ภาพท่ี 3.72 2 ภาพท่ี 3.72 วงกลมที่มรี ัศมี CG คอื วงกลมอารค์ ิมเี ดียน 2 ข้ันท่ี 5 พิสจู น์ว่า สามเหลย่ี ม AGC เปน� รูปสามเหล่ยี มคลา้ ยกบั รปู สามเหลี่ยม AFB จากทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะได้ว่า =AF (AB)2 −(BF )2 AF = (2a + 2b)2 −(2ab)2 =AF 2 a2 + 2ab จาก ∆AGC  ∆AFB AF = AB AG AC 2 a2 + 2ab = 2a + 2b AG 2a AG = 4a a2 + 2ab 2a + 2b AG = 2a a2 + 2ab a+b

49 จากทฤษฎีบทของพที าโกรัสใช้วา่ =GC (AC)2 −(AG)2 =GC 4a 2 − 4a2 (a2 + 2ab ) (a +b)2 GC = 2a 4ab + b2 a+b 3.3.3 พิสจู นก์ ารสรา้ งAGG  ACG โดยทฤษฎีบทของพีทาโกรัส (Pythagoras) ขนั้ ท่ี 1 ลากเส้นจากจุด A ไปจดุ G เพือ่ สร้าง AG ดังภาพท่ี 3.73 ภาพท่ี 3.73 ลากเสน้ จากจดุ A ไปจุด G เพอ่ื สรา้ ง AG ขั้นท่ี 2 สร้าง GC ใหท้ ำมุม 90 กบั AG ที่จดุ G ดังภาพท่ี 3.74 ภาพท่ี 3.74 สร้าง GC ใหท้ ำมุม 90 กบั AG ที่จุด G

50 ขน้ั ท่ี 3 สรา้ ง GG′ ให้ทำมมุ 90 กบั AB ดังภาพที่ 3.75 ภาพท่ี 3.75 สรา้ ง GG′ ให้ทำมุม 90 กับ AB ขั้นที่ 4 สร้างรูปสามเหลีย่ ม AG′G และรปู สามเหล่ยี ม AGC ดงั ภาพท่ี 3.76 ภาพท่ี 3.76 สรา้ งรปู สามเหลี่ยม AG′G และรูปสามเหลี่ยม AGC

51 ข้อสังเกต จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส (Pythagoras)จะได้ AG=′G A=GC 90 ดังน้ัน รปู สามเหลี่ยม AG′G เปน� รูปสามเหล่ยี มคลา้ ยกบั รปู สามเหลีย่ ม AGC ดังภาพท่ี 3.77 ภาพที่ 3.77 รูปสามเหลย่ี ม AG′G เป�นรปู สามเหล่ยี มคลา้ ยกับรปู สามเหลย่ี ม AGC ขนั้ ท่ี 4 พสิ ูจน์ว่า ∆AGG′  ∆ACG จาก GAG′ = CAG มุมรว่ ม และ A=GG A=GC 90 โดยโจทยก์ ำหนด ให้ GA=G′ C=AG x จะไดว้ า่ GAG′+ AGG + AGG′ =180 มุมภายในสามเหล่ียม จะได้ว่า x + 90 + AGG′ =180 x + AGG′ =90 AGG=′ 90 − x และ CAG + AGC + ACG =180 มมุ ภายในสามเหล่ยี ม x + 90 + ACG =180 x + ACG =90

52 AC=G 90 − x จะได้วา่ AGG′ = ACG ดังนนั้ ∆AGG′  ∆ACG เนอ่ื งจากมุม3มุมทีส่ มนัยกัน=คือ GAG′ C=AG,AGG′ A=GC,AGG′ AGG จาก ∆AGG′  ∆ACG จะได้วา่ AG′ = GG′ AG GC AG ′ = 2a (a2 + 2ab ) ดงั ภาพท่ี 3.78 (a+b) ภาพที่ 3.78 AG′ = 2a(4ab + b2 ) (a + b)2 เมอ่ื ลาก RR′และ AR จะได้วา่ =RR′ AR2 − AR′ RR′= ( )(2a + x )2 − AG′− x 2

จะไดว้ า่ AR= 2a + x 53 และ A=R′ AG′− x ดังภาพที่ 3.79 ภาพท่ี 3.79 A=R′ AG′− X เมื่อลาก OR ( )จะได้ (OR)2 =AO − AG′− X 2 +(RR)2 นน่ั คือ  2a (a2 + 2ab )  2  2a(a 2 + 2ab )  2 (   + b)2  (a + b + x )2=  a + b ) − (a+b) + x  + ( 2a + x )2 −  (a − x  เม่ือแก้สมการหาค่า x จะได้วา่ x = ab ดังภาพท่ี 3.80 a+b ภาพท่ี 3.80 x = ab a+b

54 บรรณานุกรม จารุวรรณ สงิ ห์ม่วง. (2548). เรขาคณิตเบื้องต้น. ฉะเชงิ เทรา: มหาวทิ ยาลัยราชภฏั ราชนครินทร์. ทรงวทิ ย์ ฤทธกิ ัณฑ.์ (2558). เรขาคณติ . นครศรธี รรมราช: มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครศรธี รรมราช. ยพุ ิน พิพธิ กุล และอุษณีย์ ลีรวัฒน์. (2561). เรขาคณิต. กรุงเทพฯ: มูลนธิ ิ สอวน. สมศักด์ิ สินธุระเวชญ.์ (2560). คณิตศาสตร์สำหรบั ครปู ระถมศกึ ษา. กรงุ เทพฯ: เดอะบคุ ส์. สำนกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน. (2560). ความสำคัญของคณติ ศาสตร.์ กรุงเทพฯ: โรงพมิ พช์ มุ นุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จำกัด. อจั ฉรา จันทร์เหลือง. (2560). สมบตั ิสามเหลย่ี มคล้าย. สบื ค้น 1 มกราคม 2564, จาก https://ajcharachanlueng.wordpress.com/สมบตั ิสามเหล่ยี มคลา้ ย. อัมพร ม้าคนอง. (2557). คณิตศาสตรส์ ำหรับครมู ธั ยมศึกษา. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลยั . Antonio Gutierrez. (n.d.). Problem 644: Archimedes' Book of Lemmas: Proposition 5, Arbelos, Archimedean Twins. Retrived September 23, 2021, Fromhttp://www.gogeometry.com/ArchBooLem05.htm?fbclid=IwAR0OoXz2RR 7kk- aJDZmMo_aJ DZmMo_QugIdX4xfiba_CThAbQ54uCi7lVgDNNO5qcdc. Geometry Problem 295. (n.d.). Retrived September 23, 2021, From http://www.gogemetry.com/problem/p295_archimedes_twins_harmonic_mea n_radius.htm?fbclid=IwAR0LfRFIA7P2xj6jm1tzRhiPfEaViLX5CFVs60XsWYesEENx5 _ly31NUc. An, L. V., & Garcia, E. A. J. (2019). Some Archimedean Circles in an Arbelos. Forum Geometricorum, 19, 53-58.

55 ภาคผนวก

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65