วงกลมคู่อาร์คิมีเดียนในอาร์บีลอส : Some Archimedean Circles in Arbelos

EMA0111 สมั มนาคณติ ศาสตร์ศกึ ษา (Mathematics Education Seminar) วงกลมค่อู าร์คิมเี ดียนในอารบ์ ีลอส Some Archimedean Circles in an Arbelos โดย 6115102001025 นายณรงค์ฤทธิ์ วงศจ์ ินดา 6115102001055 นายสมพงศ์ พรหมดำ 6115102001060 นายธนศกั ด์ิ นาคมณี กลุม่ เรยี น 61003.151 อาจารยท์ ี่ปรกึ ษา : อาจารย์ ศริ เศรษฐ ภูศรี หลักสูตรสาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภฏั สรุ าษฎรธ์ านี ภาคเรยี นท่ี 1/2564



EMA0111 สมั มนาคณติ ศาสตร์ศกึ ษา (Mathematics Education Seminar) วงกลมค่อู าร์คิมเี ดียนในอารบ์ ีลอส Some Archimedean Circles in an Arbelos โดย 6115102001025 นายณรงค์ฤทธิ์ วงศจ์ ินดา 6115102001055 นายสมพงศ์ พรหมดำ 6115102001060 นายธนศกั ด์ิ นาคมณี กลุม่ เรยี น 61003.151 อาจารยท์ ี่ปรกึ ษา : อาจารย์ ศริ เศรษฐ ภูศรี หลักสูตรสาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภฏั สรุ าษฎรธ์ านี ภาคเรยี นท่ี 1/2564

ก กิตตกิ รรมประกาศ การจัดทำรายงานสัมมนาคณิตศาสตร์ เรื่อง การสร้างวงกลม 6 แบบที่สอดคล้องกับวงกลม อาร์คิมีเดียนบนพื้นที่อาร์บีลอส (We construct six circles congruent to the Archimedean twin circles in the arbelos.) ในครั้งนี้สามารถสำเร็จลุล่วงได้ดว้ ยดี ผู้จัดทำขอขอบคุณบุคคลต่างๆ ที่มีส่วนช่วยให้งานในครั้งนี้สำเร็จ ขอขอบคุณ Le Viet An and Emmanuel A. J. Garcia ซึ่งเป�น เจ้าของบทความฉบับนี้ ทำให้คณะผู้จัดทำได้มีความรู้เพิ่มเติมในเรื่องการสร้างวงกลม 6 แบบที่ สอดคล้องกับวงกลมอาร์คิมีเดียนบนพื้นที่อาร์บีลอส โดยความรู้เหล่านี้ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ใน การศกึ ษาเรือ่ งอน่ื ๆตอ่ ไปได้ คณะผู้จัดทำขอขอบคุณ อาจารย์ศิรเศรษฐ ภู่ศรี อาจารย์ที่ปรึกษาวิชาสัมมนาคณิตศาสตร์ ศึกษา ซึ่งเป�นบุคคลสำคัญที่คอยให้คำแนะนำ ให้คำปรึกษาเกี่ยวกับการจัดทำรายงานสัมมนา คณิตศาสตร์ในลำดับขั้นตอนต่างๆ ตลอดจนเป�นที่ปรึกษาในการนำเสนอ และการทำรูปเล่มรายงาน สัมมนาคณิตศาสตร์ ทำให้การนำเสนอและการทำรายงานฉบับนี้สำเร็จลุล่วงไปได้ด้วยดี นอกจากนี้ เพื่อให้การสัมมนาครั้งนี้สมบูรณ์ที่สุด คณะผู้จัดทำขอขอบคุณอาจารย์ประจำหลักสูตรสาขาวิชา คณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภฏั สรุ าษฎรธ์ านีทุกทา่ น ทีไ่ ด้ใหค้ วามร้รู วมถึงคำแนะนำ ในการค้นคว้าหาขอ้ มูลตา่ งๆ มาโดยตลอด คณะผู้จัดทำหวังเป�นอย่างยิ่งว่า รายงานสัมมนาคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะมีประโยชน์แก่บุคคล ทั่วไป รวมไปถึงนิสิตนักศึกษาที่สนใจค้นควา้ และเพิ่มพูนหาความรูเ้ กี่ยวกับ เรื่อง การสร้างวงกลม 6 แบบที่สอดคล้องกับวงกลมอาร์คิมีเดียนบนพื้นที่อาร์บีลอส (We construct six circles congruent to the Archimedean twin circles in the arbelos.) สำหรับนักศึกษาที่มีความสนใจเฉพาะด้าน เพือ่ นำความรู้ที่ได้ไปใช้ให้เกิดประโยชน์ต่อไปน้ีในการฝ�กประสบการณ์วิชาชีพครูและการจัดการเรียน การสอนตอ่ ไปในอนาคต ณรงคฤ์ ทธ์ิ วงศจ์ นิ ดา ธนศักดิ์ นาคมณี สมพงศ์ พรหมดำ

ข บทคัดย่อ อารบ์ ลี อสเปน� พ้นื ทีท่ ีล่ ้อมรอบด้วยคร่ึงวงกลม 3 รปู ดงั ภาพท่ี 1 และสอดคล้องกับเง่อื นไขดงั นี้ 1. จดุ ปลายของรูปครึ่งวงกลมเปน� จุดเดียวกัน คอื - จุด A เปน� จุดปลายของรูปคร่งึ วงกลม X และรูปคร่งึ วงกลม Y - จดุ B เป�นจุดปลายของรูปครึง่ วงกลม X และรูปครงึ่ วงกลม Z - จุด C เปน� จดุ ปลายของรปู ครง่ึ วงกลม Y และรูปคร่ึงวงกลม Z 2. รปู ครึ่งวงกลมท้งั 3 รปู มีเส้นผ่านศนู ยก์ ลางเดยี วกัน คือ - รปู คร่ึงวงกลม Z มเี สน้ ผา่ นศูนยก์ ลางคือ BC โดยท่ี รัศมี เท่ากบั b - รูปคร่งึ วงกลม Y มเี สน้ ผ่านศนู ย์กลางคือ AC โดยท่ี รัศมี เทา่ กับ a - รปู คร่งึ วงกลม X มเี สน้ ผา่ นศูนย์กลางคือ AB โดยที่ รัศมี เท่ากบั a + b วงกลมอาร์คมิ เี ดียนเป�นวงกลมที่มีความยาวของรัศมี เท่ากับ ab a+b บทความนีน้ ำเสนอการสรา้ งวงกลมคู่อาร์คิมีเดยี นจากอาบีลอสจำนวน 3 คู่ ดังภาพที่ 2 – 4 ภาพที่ 1 อาร์บลี อส ภาพที่ 2 วงกลมคอู่ ารค์ ิมเี ดยี นคู่ที่ 1 ภาพท่ี 3 วงกลมคู่อาร์คมิ เี ดยี นคูท่ ่ี 3 ภาพท่ี 4 วงกลมคอู่ ารค์ ิมเี ดียนคูท่ ี่ 4

ค Abstract Arbelos is an area surrounded by 3 semicircles as Picture 1 and conforms with the conditions as follows, 1.The end point of the semicircles is the same point, namely - A is the end point of the semicircle X and the semicircle Y - B is the end point of the semicircle X and the semicircle Z - C is the end point of the semicircle Y and the semicircle Z 2.All 3 semicircles have diameter in the same line, namely - The semicircle Z has the diameter is BC with radius equal to b - The semicircle Y has the diameter is AC with radius equal to a - The semicircle X has the diameter is AB with radius equal toa + b ab Archimedean Circle is the circle which has radius equal to a+b Very good with a novel filtering out Archimedean pairs from Abi the secretary 3 Examines 2 – 4. Figure 1 Arbelos Figure 2 Archimedean Circle Figure 3 Archimedean Circle 3 Figure 4 Archimedean Circle 4

สารบญั ง เร่ือง หน้า กิตตกิ รรมประกาศ (ก) บทคัดย่อภาษาไทย (ข) บทคัดยอ่ ภาษาองั กฤษ (ค) สารบัญ (ง) สารบญั (จ) 1 บทที่ 1 บทนำ - บทนำ บทท่ี 2 ความรู้พื้นฐาน - รปู สามเหลีย่ มคล้าย (Similar Triangles) - ส่วนประกอบของวงกลม (Circle components) - ทฤษฎีบทของสจวรต์ (Stewart's theorem) - ทฤษฎบี ทพที าโกรสั (Pythagorean theorem) - อารบ์ ลี อส (Arbelos) - วงกลมอาร์คมิ เี ดยี น (Archimedean Circle) บทที่ 3 การสรา้ งวงกลมอาร์คิมีเดยี นสามคทู่ ่ีเกดิ จากอาร์บีลอส - การสร้างวงกลมอารค์ ิมีเดียนคทู่ ี่ 1 - การสรา้ งวงกลมอารค์ ิมเี ดยี นคู่ท่ี 2 - การสร้างวงกลมอารค์ ิมเี ดยี นคทู่ ่ี 3 บรรณานกุ รม ภาคผนวก

จ สารบญั รปู ภาพ ภาพท่ี หน้า 1.1 อารบ์ ีลอส 1.2 วงกลมอารค์ ิมีเดยี นในอารบ์ ลี อส 2.1 รูปสามเหลีย่ มคล้าย 2.2 รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก 2.3 ส่วนโค้งของวงกลม 2.4 จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม 2.5 คอรด์ ของวงกลม 2.6 เสน้ รอบวงของวงกลม 2.7 เส้นผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลม 2.8 รศั มีของวงกลม 2.9 เซกเมนต์ของวงกลม 2.10 เซกเตอร์ของวงกลม 2.11 เสน้ สมั ผัสวงกลม 2.12 คร่งึ วงกลม 2.13 สามเหลี่ยมแนบในคร่ึงวงกลม 2.22 แผนผังของทฤษฎบี ทของสจว๊ ต 2.23 ผลรวมของพ้ืนทข่ี องสีเ่ หลีย่ มสองรปู บนด้านประชิดมุมฉาก (a และ b) เทา่ กบั พื้นที่ของสี่เหล่ียม บนด้านตรงข้ามมุมฉาก (c) 2.24 อารบ์ ลี อส 2.25 วงกลมอาร์คมิ เี ดยี นในอาร์บลี อส 3.1 อาร์บีลอสที่ล้อมรอบดว้ ยครง่ึ วงกลม X Y และ Z 3.2 การสร้างเส้นสมั ผัสคร่งึ วงกลม AC จากจดุ E 3.3 การสรา้ งเสน้ สัมผัสครึง่ วงกลม CB จากจุด D 3.4 สรา้ งวงกลม H ทีม่ รี ศั มี CH โดยมี H เปน� จดุ ตดั ของ EF และ DG 3.5 การสร้างจดุ ตัด I และ J

สารบัญรปู ภาพ ฉ ภาพที่ หน้า 3.6 สรา้ ง Iเป�นจดุ ท่ลี ากจากจุด I มาต้ังฉากกับ AB 3.7 สรา้ ง J เปน� จดุ ที่ลากจากจุด J มาตั้งฉากกับ AB 3.8 สร้างเสน้ รอบวง ( A,AJ ) 3.9 สร้างเส้นรอบวงของวงกลม (B,BI) 3.10 สร้าง S เปน� จุดศูนยก์ ลางของวงกลม ทล่ี ้อมรอบโดยวงกลม ( A,AJ ) (B,BI) และครึ่งวงกลม AC 3.11 สร้าง T เปน� จุดศูนย์กลางของวงกลม ท่ลี อ้ มรอบโดยเสน้ รอบวงวงกลม ( A,AJ ) (B,BI) และคร่งึ วงกลม C 3.12 CI ตดั DH และตงั้ ฉากท่ีจดุ M 3.13 สร้าง CH 3.14 สรา้ ง HI 3.15 สรา้ ง ID 3.16 สร้าง DC 3.17 สเ่ี หล่ยี มรูปว่าวทเ่ี กิดจากจุด CDIH และCI ต้งั ฉากกบั DH 3.18 เสน้ ขนานระหว่างCM และ EG 3.19 CDM  EDG 3.20 วงกลมท่ีมีเส้นผ่านศูนย์กลาง CI ทีม่ ีชื่อว่า “วงกลมอาร์คมิ ีเดยี นO50a ” 3.21 สร้าง CII 3.22 สร้าง EDG 3.23 CII  EDG 3.24 สรา้ ง CJ ตัด EH ท่จี ุด N 3.25 สร้าง CE 3.26 สรา้ ง EJ

สารบัญรปู ภาพ ช ภาพที่ หนา้ 3.27 สรา้ ง JH 3.28 สรา้ ง HC 3.29 ส่ีเหล่ียมรปู ว่าวทเี่ กิดจากจุด CEJH และCJ ต้งั ฉากกับ EH 3.30 สรา้ ง CJ ตดั EH ท่ีจดุ N 3.31 สร้าง CEN 3.32 สร้าง DEF 3.33 CEN  DEF 3.34 สร้างCJJ 3.35 CEN  CJJ 3.36 วงกลมทีม่ ีเสน้ ผา่ นศนู ย์กลาง CJ เป�นวงกลมอารค์ ิมีเดียน 3.37 สร้างรูปสามเหล่ียมจากเสน้ จดุ A S และจุด B 3.38 สรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงจากจุด D ไปสมั ผัสจุด S และให้ DS เป�นเส้นซีเวยี น 3.39 สรา้ ง x เปน� รัศมีของวงกลมท่มี จี ดุ ศนู ยก์ ลาง S 3.40 สร้างรปู สามเหลี่ยมจากเส้นจุด A T และจุด B 3.41 สรา้ งสว่ นของเส้นตรงจากจุด E ไปสัมผสั จดุ T และให้ ET เป�นเส้นซีเวียน 3.42 สร้าง x เปน� รศั มีของวงกลมที่มีจุดศนู ยก์ ลาง T 3.43 อาร์บลี อสที่ล้อมรอบด้วยคร่ึงวงกลม X Y และ Z 3.44 สรา้ งครง่ึ วงกลม DE ตดั คร่ึงวงกลม AC และ BC ที่จดุ F และ G ตามลำดบั 3.45 สรา้ งเส้นคอร์ด DF และเส้นคอรด์ EG 3.46 CH ไปตงั้ ฉากกับ DH 3.47 CI ไปตั้งฉากกบั GE 3.48 สรา้ ง DF ทมี่ ีความยาวเท่ากับ a 3.49 สร้าง EF ให้ทำมมุ 90 กบั DF ที่จดุ F' 3.50 สร้าง CH ใหท้ ำมุม 90 กับ DF ทีจ่ ดุ H

ซ สารบญั รปู ภาพ ภาพท่ี หน้า 3.51 สร้างCDF และEDF 3.52 CDF  EDF 3.53 สรา้ งวงกลมวงที่หน่งึ ที่มีจดุ ศูนยก์ ลาง H ทมี่ ีรัศมี HF 3.54 สรา้ ง DG 3.55 สร้าง GE ให้ทำมุม 90 กับ DG ที่จดุ G 3.56 สร้าง CI ให้ทำมมุ 90 กบั GE ท่ีจดุ I 3.57 สร้างDEG  CIE 3.58 DEG  CIE 3.59 สร้างวงกลมวงท่ีหน่งึ ท่ีมีจุดศนู ย์กลาง I และรัศมี IG 3.60 อาร์บลี อสทล่ี ้อมรอบดว้ ยครึ่งวงกลม X Y และ Z 3.61 สร้างวงกลม B ท่ีมีรัศมียาว BC ตัดครงึ่ วงกลม AB ท่ีจุด F 3.62 วงกลม A ทมี่ รี ัศมี AC ตัดครงึ่ วงกลม AB ทีจ่ ดุ I 3.63 AF ตดั กับคร่ึงวงกลม AC ที่จดุ G 3.64 สร้างเส้นตรงผ่านจุด G มาตงั้ ฉากกับ AB และกำหนดใหจ้ ุดตัดเป�นจดุ G 3.65 BI ตดั กบั ครึ่งวงกลม CB ทจี่ ุด H 3.66 สรา้ งเส้นตรงผ่านจดุ H มาต้ังฉากกบั AB และกำหนดให้จุดตัดเปน� จดุ H 3.67 สร้างวงกลมอาร์คมิ เี ดียนวงทหี่ นง่ึ ทีม่ ี R เป�นจดุ ศูนย์กลางซึ่งลอ้ มรอบโดยเสน้ รอบวงของวงกลม ของวงกลม A ทม่ี รี ัศมี AC กับเสน้ รอบวงของวงกลม O ที่มีรัศมี OA และเส้นต้ังฉากGG 3.68 สรา้ งวงกลมอารค์ ิมีเดียนวงที่หน่ึง ทีม่ ี S เป�นจุดศูนย์กลางซึ่งลอ้ มรอบโดยเส้นรอบรอบวงของ วงกลมของวงกลม B ท่ีมรี ศั มี BC กบั เส้นรอบวงของวงกลม O ที่มีรศั มี OA และเสน้ ตง้ั ฉาก HH  3.69 สร้างAGC และมีมุมขนาด 90 ท่ีจุด G 3.70 สรา้ งAFB และมีมมุ ขนาด 90 ทจ่ี ุด F 3.71 AGC  AFB

สารบัญรูปภาพ ฌ ภาพท่ี หน้า 3.72 วงกลมท่มี ีรัศมี CG คือ วงกลมอาร์คมิ เี ดียน 2 3.73 ลากเส้นจากจุด A ไปจุดG เพ่อื สรา้ ง AG 3.74 สรา้ ง GC ให้ทำมมุ 90 กบั AG ท่ีจุด G 3.75 สรา้ ง GG′ ให้ทำมมุ 90 กับ AB 3.76 สรา้ งรูปสามเหลย่ี ม AG′G และรปู สามเหลยี่ ม AGC 3.77 รูปสามเหลีย่ ม AG′G เปน� รูปสามเหล่ยี มคล้ายกับรูปสามเหลีย่ ม AGC 3.78 AG′ = 2a(4ab + b2 ) (a + b)2 3.79 A=R′ AG′− X 3.80 x = ab a+b

1 บทที่ 1 บทนำ กระทรวงศึกษาธิการ (2560, น.1) คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อความสำเร็จในการ เรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 เนื่องจากคณิตศาสตร์ช่วยให้มนุษย์มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ คิดอย่างมี เหตุผล เป�นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ป�ญหาหรือสถานการณ์ได้อย่างรอบคอบและถี่ถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ป�ญหาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำไปใช้ในชีวิต จริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป�นเครื่องมือในการศึกษาด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อื่นๆ อันเป�นรากฐานในการพัฒนาทรัพยากรบุคคลของชาติให้มีคุณภาพ และ พัฒนาเศรษฐกิจของประเทศให้ทัดเทียมกับนานาชาติ การศึกษาคณิตศาสตร์จึงจำเป�นต้องมีการ พัฒนาอย่างต่อเนื่อง เพื่อให้ทันสมัยและสอดคล้องกับสภาพเศรษฐกิจ สังคม และความรู้ทาง วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยที ่ีเจริญก้าวหนา้ อยา่ งรวดเร็วในยุคโลกาภวิ ัตน์ จารุวรรณ สิงห์ม่วง (2548, น.1) เรขาคณิตเป�นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มีการแพร่หลาย มากที่สุด เรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษาและเรขาคณิตวิเคราะห์เป�นเพียงส่วนประกอบเล็กน้อยส่วน หนึ่งของเรขาคณิตเทา่ นั้น ในป�จจุบนั การนำความรู้เกี่ยวกบั เรขาคณิตไปประยุกตใ์ นทางปฏิบตั ิได้เพิ่ม ปริมาณขึ้นเป�นลำดับ ทำให้เกิดความสนใจในเนื้อหาใหม่ ๆ มากขึ้น สมบัติทางเรขาคณิตเป�นพื้นฐาน ของหลายสิ่งที่มนุษย์เกี่ยวข้องด้วย และสามารถดัดแปลงนำเรขาคณิตไปประยุกต์ใช้ในงานออกแบบ สถาป�ตยกรรม งานอุตสาหกรรม ฯลฯ เรขาคณิตทำให้คนเป�นคนระมัดระวังแม่นยำในกิจกรรมอื่นๆ นอกจากนี้เรขาคณิตยังเป�นวิชาที่ให้ความสำคัญในทางปฏิบัติจึงเป�นประโยชน์อย่างยิ่งต่อบุคคล ทุกสาขาอาชีพ กล่าวได้ว่าทุกคนมีโอกาสทีจ่ ะใช้เรขาคณิตทัง้ สิ้น ถือกันว่าการศึกษาเรขาคณิตเป�นส่งิ สำคัญในการก้าวไปสู่การฝ�กอาชีพวิชาการที่ต้องใช้เรขาคณิต คือ ฟ�สิกส์ เคมี วิศวกรรม สถิติ เศรษฐศาสตร์ เปน� ตน้

2 อารบ์ ลี อส เป�นพ้ืนท่ีทีล่ ้อมรอบด้วยรูปครงึ่ วงกลม 3 รปู ดงั ภาพที่ 1.1 ภาพที่ 1.1 อารบ์ ีลอส วงกลมอาร์คมิ เี ดยี น เป�นวงกลมที่มีความสัมพันธ์กับอาร์บีลอส และมีความยาวของรศั มี เท่ากับ ������������ ดงั ภาพท่ี 1.2 ������������+������������ ภาพท่ี 1.2 วงกลมอาร์คิมเี ดยี นในอาร์บลี อส ซึ่งท่ีผ่านมาไดม้ ผี ลงานวิจยั ท่เี ก่ยี วข้องกับวงกลมอารค์ ิมเี ดียนมากมาย ดังนั้นทางคณะผู้จัดทำ จึงสนใจศึกษา เรื่อง วงกลมคู่อาร์คิมีเดียนในอาร์บีลอส เพื่อที่จะหาความรู้เพ่ิมเติมทางด้านเรขาคณติ และเข้าใจ เรื่อง วงกลมคู่อาร์คิมีเดียนในอาร์บีลอส โดยการศึกษาบทความน้ีใช้ความรู้พื้นฐาน ได้แก่ รปู สามเหล่ยี มคลา้ ย เสน้ cevian ภาพฉายระยะเงา ทฤษฎบี ทพที าโกรสั สว่ นประกอบของวงกลม อาร์ บีลอส และวงกลมอาร์คิมีเดียน เพื่อเป�นประโยชน์ต่อคณะผู้จัดทำและผู้ที่สนใจในเรื่องวงกลมอาร์คิ มเี ดยี นตอ่ ไป

3 บทที่ 2 ความรพู้ นื้ ฐาน 2.1 รูปสามเหลยี่ มคลา้ ย (Similar Triangles) รูปสามเหลี่ยมคลา้ ย คือ รปู สามเหลีย่ มสองรูปที่มีขนาดของมุมเทา่ กันสามคู่ - ขนาดของมุม ABC เท่ากับขนาดของมมุ DEF - ขนาดของมุม BCA เท่ากบั ขนาดของมุม EFD - ขนาดของมุม BAC เท่ากับขนาดของมุม EDF รปู สามเหล่ียมคล้ายสองรูป มีด้านสมนยั กัน เป�นสัดส่วนกัน - ความยาวด้าน AB สมนัยกบั ความยาวด้าน DE - ความยาวด้าน BC สมนยั กบั ความยาวดา้ น EF - ความนาวดา้ น AC สมนัยกับความยาวด้าน DF A D C BF E ภาพที่ 2.1 รูปสามเหลยี่ มคล้าย จากภาพท่ี 2.1 จะไดว้ ่า DA=EB BE=CF AC DF จาก AB = BC จะได้ว่า AB = DE DE EF BC EF BC = AC จะได้วา่ BC = EF EF DF AC DF

4 AB = AC จะไดว้ า่ AB = DE DE DF AC DF นั่นคือ ถ้ามีรูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน อัตราส่วนของความยาวของด้านสองด้านของรูป สามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหน่ึง โดยทดี่ า้ นของรปู สามเหล่ยี มทหี่ าความยาวนัน้ จะต้องเป�นดา้ นทสี่ มนัยกนั อยู่ตรงข้ามกบั มุมที่เท่ากันใน ทำนองเดียวกัน ถ้ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองเป�นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุมที่ไม่เป�นมุมฉากเท่ากัน สมมติวา่ เป�นมุม BCA เทา่ กบั มมุ EFD ดังรปู A D C BF E ภาพที่ 2.2 รปู สามเหลย่ี มมุมฉาก พบว่า รูปสามเหล่ียมสองรูปนค้ี ลา้ ยกนั (มีมุมเทา่ กันมุมต่อมุม ท้ัง 3 ค่)ู ดงั น้ัน จะได้ว=่า AACB DD=EF , BACB DE=FE , BACC DF EF สรุปได้ว่า ไม่ว่ารปู สามเหลีย่ มดังกลา่ วจะมีขนาดใหญห่ รือเลก็ ก็ตาม ถ้ารูปสามเหล่ียมทั้งสอง รูปคล้ายกันแล้ว อัตราส่วนความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งจะเท่ากับอัตราส่วน ของความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งที่สมนัยกันเสมอ ( ด้านที่กล่าวถึงนี้ต้อง เป�นด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน ) และ ถ้า ∆ABC และ ∆DEF เป�นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เขยี นแทนดว้ ย ∆ABC  ∆DEF

5 2.2 ส่วนประกอบของวงกลม (Circle components) 2.2.1 ส่วนโค้ง (Arc) คอื สว่ นเช่อื มต่อต่าง ๆ ของเสน้ รอบวงของวงกลม ภาพที่ 2.3 สว่ นโคง้ ของวงกลม 2.2.2 จุดศูนย์กลาง (Center) คือ จุดที่ตรงกลางวงกลมพอดี และห่างจากเส้นรอบวงเท่ากนั โดยตลอด A ภาพที่ 2.4 จุดศูนย์กลางของวงกลม 2.2.3 เส้นคอร์ด (Chord) คือ เส้นแบ่งส่วนของวงกลมหรือเส้นตรงระหว่างจุด 2 จุดบนเส้น รอบวง AB CD ภาพที่ 2.5 คอร์ดของวงกลม

6 2.3.4 เส้นรอบวง (Circumference) คือเส้นขอบของรูปวงกลมที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง เทา่ กนั ภาพท่ี 2.6 เสน้ รอบวงของวงกลม 2.2.5 เส้นผ่านศูนย์กลาง (Diameter) คือ เส้นคอร์ดที่ยาวที่สุด หรือเป�นเส้นแบ่งที่ผ่านจุด ศูนย์กลางของวงกลม และเปน� เสน้ ที่ยาวที่สุดระหว่างจุด 2 จดุ บนวงกลม A K B ภาพท่ี 2.7 เส้นผ่านศนู ย์กลางของวงกลม 2.2.6 รัศมี (Radius) คอื ระยะทเ่ี ท่ากันของระยะหา่ งระหว่างจดุ ศนู ย์กลางไปยังเส้นรอบวง A K ภาพที่ 2.8 รัศมีของวงกลม

7 2.2.7 เซกเมนต์ (Segment) คอื พืน้ ทท่ี ่ถี ูกป�ดลอ้ มดว้ ยคอร์ดกบั ส่วนโค้งของวงกลม ภาพที่ 2.9 เซกเมนต์ของวงกลม 2.2.8 เซกเตอร์ (Sector) คือ ส่วนท่ีปด� ล้อมด้วยรศั มวี งกลม 2 เส้นและส่วนโคง้ ของวงกลม ภาพที่ 2.10 เซกเตอรข์ องวงกลม 2.2.9 เสน้ สัมผัสวงกลม (Tangent) คือ เส้นตรงที่สัมผัสกบั วงกลมทจ่ี ดุ จดุ หนง่ึ ภาพท่ี 2.11 เสน้ สัมผัสวงกลม

8 2.2.10 ครึ่งวงกลม (Semicircle) คือ ส่วนโค้งของครึ่งวงกลมที่ถูกแบ่งออกโดยเส้นผ่าน ศนู ยก์ ลาง ภาพท่ี 2.12 ครงึ่ วงกลม 2.2.11 สามเหลยี่ มแนบในคร่ึงวงกลม คือ มมุ ในครึง่ วงกลมมขี นาดเท่ากับ 90 องศา หรือ หนึ่งมุมฉาก น่นั คือมุม ACB = 90° ภาพท่ี 2.13 คร่งึ วงกลม 2.3 ทฤษฎบี ทของสจวร์ต (Stewart's theorem) เส้นซีเวียน (Cevian) เป�นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดกับจุดที่อยู่บนด้านตรงข้ามในรูป สามเหล่ียม และมรี ายละเอียดสอดคลอ้ งกับเง่ือนไขดังตอ่ ไปนี้ กำหนดให้ a, b และ c เป�นความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ให้ d เป�นความ ยาวของเส้นซีเวียน (Cevian) หากเส้นซีเวียน (Cevian) แบ่งความยาวด้าน a ออกเป�นสองส่วน คือ ความยาวขนาด m และ n โดยมีด้าน m ตดิ กับดา้ น c และดา้ น n ติดกับดา้ น b แลว้ ไดว้ า่ b2m c2n  ad 2  mn

9 a ภาพที่ 2.14 แผนผังของทฤษฎบี ทของสจว๊ ต 2.4 ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั (Pythagorean theorem) ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป�นแสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม มุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือในแง่ ของพ้ืนท่ี กล่าวไว้ดังนี้ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป�นด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ ผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป�นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น ทฤษฎีบท ดังกลา่ วสามารถเขียนเป�นสมการแสดงความสัมพนั ธ์ระหว่างความยาวของดา้ น a, b และ c ได้ ซึ่งมัก เรยี กวา่ สมการพที าโกรสั โดยระวา่ a2  b2  c2 ภาพท่ี 2.15 ผลรวมของพน้ื ท่ีของสี่เหลีย่ มสองรปู บนด้านประชดิ มุมฉาก (a และ b) เท่ากับพนื้ ที่ของ สเ่ี หล่ียมบนด้านตรงข้ามมมุ ฉาก (c)

10 2.5 อารบ์ ีลอส (Arbelos) อาร์บีลอสเป�นพน้ื ทีท่ ลี่ ้อมรอบดว้ ยครึง่ วงกลม 3 รปู ดังภาพท่ี 2.24 และสอดคลอ้ งกบั เงื่อนไขดงั นี้ 1. จดุ ปลายของรปู ครึ่งวงกลมเปน� จุดเดยี วกนั คอื - จดุ A เป�นจุดปลายของรูปครึ่งวงกลม X และรูปคร่งึ วงกลม Y - จุด B เปน� จดุ ปลายของรปู ครึ่งวงกลม X และรปู ครึ่งวงกลม Z - จุด C เปน� จดุ ปลายของรูปครง่ึ วงกลม Y และรูปคร่ึงวงกลม Z 2. รูปคร่ึงวงกลมทง้ั 3 รูป มเี สน้ ผา่ นศูนยก์ ลางเดียวกัน คือ - รปู ครง่ึ วงกลม Z มีเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางคือ BC โดยท่ี รัศมี เท่ากับ a - รูปครงึ่ วงกลม Y มเี สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางคือ AC โดยที่ รัศมี เท่ากับ b - รปู คร่ึงวงกลม X มีเส้นผ่านศูนย์กลางคือ AB โดยท่ี รศั มี เทา่ กับ a + b ภาพที่ 2.16 อารบ์ ีลอส

11 2.6 วงกลมอารค์ ิมเี ดยี น (Archimedean Circle) วงกลมอาร์คิมเี ดยี น เป�นวงกลมที่มีความสัมพันธ์กบั อาร์บีลอส มีเส้นผ่านศูนยก์ ลาง 1 หน่วย  1 AB ⋅ 1 BC  1  AC ⋅BC   2 1 2  2 BA และมคี วามยาวของรศั มี เทา่ กบั  2  =  BA  = 1 2b ⋅ 2a  2  2(a + b)  = ab a+b ภาพที่ 2.25 วงกลมอาร์คิมีเดยี นในอาร์บลี อส

12 บทที่ 3 การสร้างวงกลมอารค์ ิมีเดยี นสามคทู่ เ่ี กดิ จากอารบ์ ลี อส 3.1 การสร้างวงกลมอาร์คิมีเดียนคทู่ ี่หน่ึง 3.1.1 การสร้างวงกลมอาร์คิมเี ดยี นคู่ทห่ี นึ่ง ขั้นที่ 1 สร้างอาร์บีลอส ที่ล้อมรอบด้วยลงกลม X Y และ Z ซึ่งมีรัศมี a+b a และ b ตามลำดับ และมีจดุ ศนู ยก์ ลาง O D และ E ตามลำดับ ดังภาพท่ี 3.1 ภาพที่ 3.1 อาร์บีลอสท่ลี ้อมรอบด้วยครึง่ วงกลม X Y และ Z ขั้นที่ 2 สร้างเส้นสัมผัสจากจุด E ให้สัมผัสครึ่งวงกลม AC โดยมี F เป�นจุดสัมผัส ดงั ภาพท่ี 3.2 ภาพท่ี 3.2 การสรา้ งเส้นสมั ผสั ครง่ึ วงกลม AC จากจุด E

13 ขั้นที่ 3 สร้างเส้นสัมผัสจากจุด D ไปสัมผัสครึ่งวงกลม CB โดยมี G เป�นจุดสัมผัส ดงั ภาพท่ี 3.3 ภาพท่ี 3.3 การสร้างเสน้ สมั ผสั ครง่ึ วงกลม CB จากจดุ D ขั้นที่ 4 สร้างวงกลม H ที่มีรัศมี CH โดยมี H เป�นจุดตัดของ EF และ DG ดงั ภาพท่ี 3.4 ภาพท่ี 3.4 สร้างวงกลม H ท่ีมรี ศั มี CH โดยมี H เปน� จุดตัดของ EF และ DG ขั้นที่ 5 กำหนดให้จุดจัดของวงกลม H กับครึ่งวงกลม AC และครึ่งวงกลม BC เป�น จดุ I และจดุ J ตามลำดบั ดังภาพที่ 3.5 ภาพที่ 3.5 การสร้างจุดตัด I และ J

14 ขัน้ ท่ี 6 สร้าง Iเปน� จดุ ทีล่ ากจากจดุ I มาต้ังฉากกบั AB ดังภาพที่ 3.6 ภาพท่ี 3.6 สรา้ ง Iเป�นจุดทีล่ ากจากจดุ I มาตัง้ ฉากกับ AB ขน้ั ที่ 7 สรา้ ง J เป�นจุดท่ีลากจากจุด J มาต้ังฉากกบั AB ดงั ภาพที่ 3.7 ภาพท่ี 3.7 สร้าง J เป�นจดุ ทีล่ ากจากจุด J มาตัง้ ฉากกบั AB ขั้นท่ี 8 สรา้ งเสน้ รอบวงของวงกลม A ที่มีรัศมี AJ ดังภาพท่ี 3.8 ภาพท่ี 3.8 สรา้ งเส้นรอบวง ( A,AJ )

15 ขั้นที่ 9 สรา้ งเสน้ รอบวง ( B,BI) ดังภาพท่ี 3.9 ภาพท่ี 3.9 สรา้ งเสน้ รอบวงของวงกลม ( B,BI) ขั้นที่ 10 สร้าง S เป�นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่ล้อมรอบโดยวงกลม ( A,AJ ) (B,BI) และคร่ึงวงกลม AC ดงั ภาพที่ 3.10 ภาพท่ี 3.10 สรา้ ง S เป�นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม ทีล่ อ้ มรอบโดยวงกลม ( A,AJ ) (B,BI) และครึ่งวงกลม AC

16 ขั้นที่ 11 สร้าง T เป�นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบโดยเส้นรอบวงวงกลม ( A,AJ ) (B,BI) และครง่ึ วงกลม CB ดงั ภาพท่ี 3.11 ภาพที่ 3.11 สร้าง T เป�นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม ทลี่ อ้ มรอบโดยเสน้ รอบวงวงกลม ( A,AJ ) (B,BI) และครึ่งวงกลม C 3.1.2 การพสิ จู น์วงกลมอารค์ มิ ีเดียนคูท่ ห่ี นึ่งและต้องการพสิ จู นว์ า่ CDM  EDG ขน้ั ที่ 1 สรา้ ง CI ตัด DH และต้งั ฉากที่จุด M ดังภาพท่ี 3.12 ภาพท่ี 3.12 CI ตดั DH และตง้ั ฉากท่ีจุด M ข้นั ท่ี 2 สร้าง CH ดงั ภาพท่ี 3.13 ภาพที่ 3.13 สร้าง CH

17 ขนั้ ท่ี 3 สรา้ ง HI ดงั ภาพท่ี 3.14 ภาพท่ี 3.14 สร้าง HI ข้ันท่ี 4 สร้าง ID ดังภาพท่ี 3.15 ภาพท่ี 3.15 สร้าง ID ข้นั ท่ี 5 สร้าง DC ดงั ภาพท่ี 3.16 ภาพที่ 3.16 สร้าง DC

18 ขั้นที่ 6 จะได้สี่เหลี่ยมรูปว่าวที่เกิดจากจุด CDIH และ CI ตั้งฉากกับ DH ดังภาพท่ี 3.17 ภาพท่ี 3.17 สเ่ี หลี่ยมรปู วา่ วทีเ่ กดิ จากจุด CDIH และCI ตั้งฉากกับ DH จากภาพท่ี 3.11 เมือ่ ลาก CI ให้ตัด DH ท่จี ดุ M HI = HC และ DI = DC นั่นคอื รปู สเ่ี หล่ียม CDIH เป�นสี่เหล่ยี มรูปว่าว เนื่องจากมดี ้านซ่ึงอย่ตู ดิ กันมีขนาดเท่ากนั 2 คู่ ขน้ั ท่ี 7 สร้างเสน้ ขนานระหว่างCM และ EG ดังภาพท่ี 3.18 ภาพท่ี 3.18 เส้นขนานระหว่างCM และ EG

19 ขั้นท่ี 8 สรา้ งCDM  EDG ดงั ภาพที่ 3.19 ภาพท่ี 3.19 CDM  EDG พิสูจนว์ ่า ∆CDM  ∆EDG จากส่ีเหลยี่ มรูปว่าว CDIH จะไดว้ ่า D=MC D=GE 90 (มุมภายนอกและมมุ ภายในที่อยู่ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกันของเส้นตดั ) และ GDE = MDC (มุมรว่ ม) นั่นคอื ∆CDM  ∆EDG เน่อื งจากมีมมุ ทส่ี มนัยกัน 2 มุมคือ DMC = DGE และ GDE = MDG จากสเ่ี หลย่ี มรปู วา่ ว CDIH จะได้ค่า CM = CI 2 (เสน้ ทแยงมุมของส่ีเหลย่ี มรูปวา่ วหาร 2) EG = b DE = a + b

20 และ DC = a จาก ∆CMD  ∆EDG จะไดว้ า่ EG = DE CM DC ดังนน้ั b = a + b CI a 2 CI = 2ab a+b 3.1.3 พิสจู นก์ ารสร้าง CII  EDG ขั้นที่ 1 สร้างวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง CI เป�นวงกลมอาร์คิมีเดียน (วงที่ 3 ) และให้ชื่อวา่ “วงกลมอาร์คิมีเดียนO50a ” ดังภาพที่ 3.20 ภาพที่ 3.20 วงกลมทม่ี เี ส้นผ่านศูนย์กลาง CI ท่มี ีช่อื วา่ “วงกลมอาร์คิมีเดยี นO50a ” ขน้ั ท่ี 2 สร้างสามเหลย่ี ม CII ดังภาพท่ี 3.21 ภาพที่ 3.21 สร้าง CII

21 ขั้นที่ 3 สรา้ ง EDG ดังภาพที่ 3.22 ภาพที่ 3.22 สรา้ ง EDG ข้อสังเกต จะเห็นว่าCII  EDG Z (จะเห็นว่า MC // GE ) ดังภาพท่ี 3.23 ภาพท่ี 3.23 CII  EDG พิสจู น์ ∆CII′  ∆EDG จาก CI / /EG จะไดว้ ่า ICI′ = GED (มมุ ภายนอกและมุมภายในมีอยตู่ รงข้ามบนข้างเดียวกันของเสน้ ตดั ) จาก II′ ตัง้ ฉากกับ AB จะได้ว่า II′C = 90 จาก DGE = 90

22 จะได้ว่า DG=E II=′C 90 นน่ั คอื ∆CII′  ∆EDG จาก ∆CII′  ∆EDG จะได้ว่า CI = CI EG ED จาก CI = 2ab a+b EG = b ED= a + b CI′ 2ab b a+b จะได้ว่า = a+b CI′ = ( 2ab2 a + b)2 ขั้นท่ี 4 สรา้ ง CJ ตัด EH ทจ่ี ดุ N ดงั ภาพที่ 3.24 ภาพที่ 3.24 สรา้ ง CJ ตดั EH ที่จดุ N

23 ข้ันท่ี 5 สรา้ ง CE ดังภาพท่ี 3.25 ภาพท่ี 3.25 สร้าง CE ข้ันที่ 6 สรา้ ง EJ ดังภาพที่ 3.26 ภาพท่ี 3.13 สรา้ ง CH ภาพท่ี 3.26 สร้าง EJ ขั้นที่ 7 สรา้ ง JH ดังภาพที่ 3.27 ภาพที่ 3.27 สรา้ ง JH

24 ขั้นท่ี 8 สรา้ ง HC ดงั ภาพที่ 3.28 ภาพท่ี 3.28 สร้าง HC ขั้นที่ 9 จะได้สี่เหลี่ยมรูปว่าวที่เกิดจากจุด CEJH และ CJ ตั้งฉากกับ EH ดงั ภาพท่ี 3.29 ภาพท่ี 3.29 สเี่ หล่ียมรูปว่าวที่เกดิ จากจดุ CEJH และCJ ตั้งฉากกบั EH พสิ จู น์ว่า ส่ีเหลย่ี ม CEJH เป�นสีเ่ หลยี่ มรูปว่าว เมื่อลาก CJ ใหต้ ัด EH ท่จี ดุ N จะได้วา่ HJ = HC (รศั มขี องวงกลมทีม่ จี ดุ ศนู ยก์ ลาง H ) และ EC = EJ (รัศมขี องวงกลมที่มีจดุ ศูนย์กลาง E) นนั่ คอื สีเ่ หลี่ยม CEJH เป�นสเ่ี หลี่ยมรูปว่าว เนอ่ื งจากมีด้านซง่ึ อยตู่ ดิ กันมีขนาดเท่ากัน 2 คู่

25 3.1.4 พสิ จู น์การสร้างCEN  DEF (ในลักษณะเดียวกนั กับ 3.1.3) ขนั้ ท่ี 1 สรา้ ง CJ ตดั EH ที่จดุ N ดงั ภาพท่ี 3.30 ภาพที่ 3.30 สร้าง CJ ตดั EH ทีจ่ ดุ N ขน้ั ท่ี 2 สร้าง CEN ดังภาพที่ 3.31 ภาพท่ี 3.31 สร้าง CEN ขนั้ ที่ 3 สร้าง DEF ดังภาพท่ี 3.32 ภาพท่ี 3.32 สร้าง DEF

26 ขอ้ สังเกต จะเหน็ วา่ CEN  DEF ดงั ภาพที่ 3.33 ภาพท่ี 3.33 CEN  DEF พิสูจน์ ∆CEN  ∆DEF จาก DF / /CN จะได้ว่า EDF = ECN (มมุ ภายนอกและมุมภายในท่ีอยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตดั ) และ DEF = CEN (มมุ ร่วม) นัน่ คือ ∆CEN  ∆DEF เนอ่ื งจากมุมทีส่ มนยั กัน 2 มุมคือ EDF = ECN และDEF = CEN DF = a DE = a + b CE = b จาก ∆CEN  ∆DEF จะไดว้ ่า DF = DE CN CE

27 a = a +b CN a นน่ั คือ CN = ab a+b ขั้นท่ี 4 สรา้ งCJJ ดงั ภาพที่ 3.34 ภาพท่ี 3.34 สร้างCJJ ขอ้ สังเกต จะเหน็ วา่ CEN  CJJ ดังภาพที่ 3.35 ภาพท่ี 3.35 CEN  CJJ

28 พสิ ูจน์ ∆CEN  ∆CJJ′ (เสน้ ทแยงมุมตดั กันเป�นมมุ ฉาก) จากสี่เหล่ยี มรูปว่าว CEJH จะได้วา่ CNE = 90 เนือ่ งจาก JJ′ ต้ังฉากกบั AB จะได้ว่า CJJ = 90 ดังนนั้ CN=E C=JJ 90 และ NCE = J′CJ (เป�นมมุ ร่วม) นั่นคอื ∆CNE  ∆CJJ′ เน่อื งจากมีมมุ ทีส่ มนัยกนั 2 มุมคอื CNE = CJJ′ และ NCE = J′CJ จาก ∆CEN  ∆CJJ′ จะไดว้ า่ CJ′ = CJ CN CE จาก CE = b CN = ab a+b และ =CJ 2C=N 2 ab  a+b CJ′ 2ab ab a+b จะไดว้ า่ a+b = b CJ′ =  2ab  1  ab  a+b b a+b CJ ′ = ( 2a2b a + b)2

29 ขั้นที่ 5 สร้างวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง CJ เป�นวงกลมอาร์คิมีเดียน (วงที่ 4 ) ดงั ภาพที่ 3.36 ภาพที่ 3.36 วงกลมทีม่ ีเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง CJ เปน� วงกลมอาร์คมิ ีเดียน 3.1.5 สรา้ งรัศมขี องวงกลมอารค์ ิมีเดียนจากเส้นซีเวยี น ข้นั ท่ี 1 สรา้ งรูปสามเหล่ียมจากเสน้ จดุ A S และจุด B ดงั ภาพท่ี 3.37 ภาพท่ี 3.37 สรา้ งรปู สามเหลีย่ มจากเสน้ จดุ A S และจุด B ข้นั ท่ี 2 สร้างส่วนของเส้นตรงจากจุด D ไปสมั ผัสจดุ S และให้ DS เปน� เส้นซเี วยี น ดังภาพท่ี 3.38 ภาพท่ี 3.38 สร้างสว่ นของเส้นตรงจากจุด D ไปสัมผัสจุด S และให้ DS เปน� เสน้ ซเี วยี น

30 ขนั้ ท่ี 3 สร้าง x เปน� รัศมีของวงกลมท่มี จี ุดศูนย์กลาง S ดังภาพท่ี 3.39 ภาพที่ 3.39 สร้าง x เปน� รัศมีของวงกลมท่ีมจี ุดศนู ย์กลาง S สังเกต ∆ASB ซึง่ มี DS เปน� เสน้ ซเี วียน จากทฤษฎีบทของสจวร์ต (Stewart's theorem) จะได้ b2m +c2n = ad 2 +mn ให้ x เป�นรศั มขี องวงกลมท่ีมจี ุดศูนย์กลาง S และ a = AB = AC +CB = 2a + 2b b =AS =AC +CJ′ − X =2a + ( a 2a2 )2 −x +b c = BC = BC +CI′+ X =2b + ( 2ab2 + x a + b)2 d = DS = DC + X = a + x m = DB = DC +CB = a + 2b =n A=D a จาก b2m + c2n = ad 2 + mn

31 จะได้ 2a 2a2b  2 2b 2ab2  (a +b)2  (a +b)2  + − x (a + 2b ) + + + x a = ( 2a + 2b )+ (a + x )2 + a(a + 2b ) เมอื่ แก้สมาการหาค่า x จะไดว้ ่า x = ab a+b ดงั นน้ั วงกลมทีม่ จี ุดศูนยก์ ลาง S เปน� วงกลมอารค์ ิมเี ดียน ขัน้ ท่ี 4 สร้างรปู สามเหลยี่ มจากเส้นจดุ A T และจุด B ดังภาพท่ี 3.40 ภาพที่ 3.40 สร้างรูปสามเหลย่ี มจากเสน้ จุด A T และจุด B ข้ันที่ 5 สรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงจากจุด E ไปสัมผัสจดุ T และให้ ET เปน� เส้นซเี วยี น ดงั ภาพท่ี 3.41 ภาพที่ 3.41 สร้างสว่ นของเส้นตรงจากจดุ E ไปสัมผัสจดุ T และให้ ET เป�นเสน้ ซเี วียน

32 ขั้นที่ 6 สรา้ ง x เปน� รัศมีของวงกลมทมี่ ีจุดศนู ย์กลาง T ดงั ภาพที่ 3.42 ภาพที่ 3.42 สรา้ ง x เปน� รศั มีของวงกลมที่มจี ุดศูนย์กลาง T สังเกต ∆ATB ซ่ึงมี ET เป�นเส้นซีเวียน จากทฤษฎขี องสจวร์ต (Stewart's theorem) จะได้ b2m +c2n = ad 2 +mn ให้ x เปน� รศั มีของวงกลมที่มีจุดศนู ยก์ ลาง S และ a =AC +CB =2a + 2b b= AC +CJ′+ x = 2a + 2a2b + x (a +b)2 c= BC +CI′− x = 2a + 2ab2 − x (a + b)2 d =EJ + JT =b + x m= E=B b n =AC +CE =2a + b จะได้ 2a 2a2b 2 2a 2ab2  2 (a +b)2  (a +b)2  + + x b + + − x ( 2a + b) =(2a + b ) ( b + x )2 + b ( 2a + b )

33 เมอื่ แกส้ มาการหาค่า x จะไดว้ ่า x = ab . a+b ดังนั้น วงกลมที่มจี ุดศูนยก์ ลาง S เปน� วงกลมอารค์ ิมีเดยี น 3.2 การสร้างวงกลมอาร์คิมีเดียนคู่ที่สองและการพิสูจน์CDH  EDF โดยทฤษฎีบทของ เธลสิ (Thales) 3.2.1 การสรา้ งวงกลมอารค์ มิ ีเดียนคทู่ ี่สอง ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 1 สร้างอาร์บีลอสที่ล้อมรอบด้วยลงกลม X Y และ Z ซึ่งมีรัศมีรัศมี a  b a และ b ตามลำดับ และมจี ุดศนู ย์กลาง O D และ E ตามลำดับ ดงั ภาพท่ี 3.43 ภาพท่ี 3.43 อารบ์ ีลอสทีล่ ้อมรอบด้วยครง่ึ วงกลม X Y และ Z ขั้นที่ 2 สร้างครึง่ วงกลม DE ตัดครึ่งวงกลม AC และ BC ที่จุด F และ G ตามลำดบั ดังภาพท่ี 3.44 ภาพท่ี 3.44 สรา้ งคร่งึ วงกลม DE ตดั ครึ่งวงกลม AC และ BC ทจี่ ุด F และ G ตามลำดับ

34 ขั้นที่ 3 สร้างเสน้ คอร์ด DF และเสน้ คอร์ด EG ดงั ภาพท่ี 3.45 ภาพท่ี 3.45 สร้างเส้นคอรด์ DF และเสน้ คอร์ด EG ขนั้ ท่ี 4 สร้าง CH ไปตง้ั ฉากกบั DH ดงั ภาพที่ 3.46 ภาพที่ 3.46 CH ไปตงั้ ฉากกบั DH ข้ันท่ี 5 สรา้ ง CI ไปตง้ั ฉากกับ GE ดงั ภาพที่ 3.47 ภาพท่ี 3.47 CI ไปต้ังฉากกับ GE

35 3.2.2 พิสูจนก์ ารสร้างCDF  EDF โดยทฤษฎีบทของเธลสิ (Thales) ขน้ั ที่ 1 สรา้ ง DF ท่มี ีความยาวเทา่ กบั a ดังภาพท่ี 3.48 ภาพท่ี 3.48 สรา้ ง DF ทม่ี คี วามยาวเทา่ กับ a ข้ันท่ี 2 สรา้ ง EF ให้ทำมุม 90 กบั DF ทจี่ ดุ F ดงั ภาพท่ี 3.49 ภาพที่ 3.49 สร้าง EF ให้ทำมมุ 90 กับ DF ทจี่ ดุ F ข้นั ที่ 3 สร้าง CH ใหท้ ำมุม 90 กับ DF ท่ีจดุ H ดงั ภาพท่ี 3.50 ภาพท่ี 3.50 สร้าง CH ให้ทำมุม 90 กับ DF ทจ่ี ดุ H

36 ขัน้ ท่ี 4 สรา้ งCDF และEDF ดงั ภาพที่ 3.51 ภาพท่ี 3.51 สร้างCDF และEDF ข้อสังเกต จะเหน็ ว่าCDF  EDF ดังภาพที่ 3.52 ภาพที่ 3.52 CDF  EDF ข้นั ที่ 5 พสิ จู น์ว่า CDF  EDF กำหนด CHD = 90 จะได้ว่า CHD = EFD (มมุ ภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตัด) และ DCH = DEF (มุมผนวกและมมุ ภายในที่อยู่ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตดั )

37 สังเกตไดว้ ่า CDH = EDF (มมุ ร่วม) น่ันคือ CDF  EDF เน่ืองจากมีมมุ 3 มุมทีส่ มนยั กัน=คอื CHF CH=D,CHD E=FD,DCH DEF ขัน้ ท่ี 6 พสิ จู นว์ า่ FH เปน� รศั มขี องวงกลมอาร์คิมดี ีน เน่อื งจาก EDF มี DF = a และ DH = a+ b และ CDH มี DC = a จาก CDH  CDH จะไดว้ ่า DF = DE DH DC a a + b DH = a DH = ab a+b จาก FH = DF DH จะไดว้ า่ FH = a ab นั่นคอื a+b ab FH = a a+b ซ่ึงเปน� รัศมีของวงกลมอารค์ มิ เี ดียน ขน้ั ท่ี 7 สรา้ งวงกลมวงทหี่ นึ่งทมี่ จี ุดศูนย์กลาง H ท่มี รี ศั มี HF ดังภาพท่ี 3.53 ภาพท่ี 3.53 สร้างวงกลมวงที่หนึง่ ทีม่ จี ดุ ศนู ย์กลาง H ที่มีรัศมี HF

38 3.2.3 พิสจู น์การสรา้ ง DEG  CIE โดยทฤษฎบี ทของเธลิส (Thales) ขั้นท่ี 1 ลากเส้นจากจดุ D ไปจดุ G เพ่ือสร้าง DG ดงั ภาพที่ 3.54 ภาพท่ี 3.54 สรา้ ง DG ขั้นที่ 2 สรา้ ง GE ให้ทำมุม 90 กบั DG ที่จดุ G ดังภาพที่ 3.55 ภาพที่ 3.55 สรา้ ง GE ให้ทำมมุ 90 กับ DG ทจี่ ุด G ขั้นที่ 3 สรา้ ง CI ใหท้ ำมมุ 90 กับ GE ทีจ่ ดุ I ดังภาพท่ี 3.56 ภาพที่ 3.56 สรา้ ง CI ให้ทำมมุ 90 กับ GE ทจี่ ดุ I