คณิตศาสตร์ พค31001 ม.ปลาย

44 3.1 การหาจาํ นวนสมาชกิ ของเซตจาํ กดั  ถา เซต A และ B ไมมสี มาชกิ รวมกันจะได n (A  B) = n (A) + n (B)  ถาเซต A และ B มสี มาชิกบางตวั รว มกนั จะได n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) พิจารณาจากรูป ตวั เลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกเซต จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18 2) n (A  B) = 6 4) n (A  B) = 28 5) n ( A/ ) = 12 6) n ( B / ) = 10 7) n (A  B)/ = 22 8) n ( A/  B/ ) = 22 ตวั อยา งที่ 3 กําหนดให A มสี มาชิก 15 ตัว B มีสมาชิก 12 ตวั A  B มสี มาชกิ 7 ตัว จงหาจาํ นวนสมาชิกของ A  B วธิ ที ํา n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A  B ) = 7 จากสูตร n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) = 15 + 12 – 7 = 20 ดงั นัน้ จํานวนสมาชกิ ของ A  B เทา กบั 20 ตวั

45 ตวั อยางที่ 4 กาํ หนดให A และ B เปนสับเซตของ U โดยท่ี U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 } ถา n (A/  B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A  B) / วธิ ที ํา จาก n ( U ) = 10 , n (A/  B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 n (A  B) = n (A  B/)  n ( A  B) = 10 – 5 = 5 n (A) = 10 – 3 = 7 n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) n(A  B) = 7+6–5 = 8  n ( A  B) / = 10 - 8 = 2  ถา เซต A เซต B และเซต C มสี มาชิกบางตัวรวมกนั n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C) ตัวอยางท่ี 5 พิจารณาจากรปู ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชกิ ของเซต จะได = 60 1) n (U) = 26 2) n (A) =7 3) n (B  C) =8 4) n (A  C) =3 5) n (A  B  C )

46 3.2 การนําเซตไปใชในการแกป ญ หา การแกปญ หาโจทยโดยใชค วามรูเ ร่ืองเซต สิง่ ท่ีนาํ มาใชประโยชนม ากกค็ อื การเขียนแผน ภาพเวนน - ออยเลอร และนําความรเู รือ่ งสมาชิกของเซตจาํ กดั ดงั ที่จะศกึ ษารายละเอียดตอไปนี้ ตวั อยางที่ 1 บริษัทแหง หนง่ึ มีพนักงาน 80 คน พบวา พนักงาน 18 คนมีรถยนต พนกั งาน 23 คน มบี า นเปน ของตวั เอง และพนกั งาน 9 คน มบี านของตัวเองและรถยนต จงหา 1) จาํ นวนพนกั งานทงั้ หมดทีม่ รี ถยนตห รือมีบานเปนของตวั เอง 2) จํานวนพนักงานทไี่ มม รี ถยนตห รือบา นของตวั เอง วธิ ที ํา ให A แทนเซตของพนกั งานท่ีมีรถยนต B แทนเซตของพนักงานทีม่ บี านเปน ของตวั เอง เขยี นจํานวนพนักงานที่สอดคลองกบั ขอมลู ลงในแผนภาพไดดังน้ี 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A  B) = 9 พจิ ารณา n (A  B) = n(A) + n(B) - n (A  B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดงั น้นั จาํ วนพนักงานที่มรี ถยนตหรอื มีบานของตวั เองเปน 32 คน 2) เนอ่ื งจากพนกั งานท้งั หมด 80 คน นน่ั คอื พนกั งานทไี่ มมรี ถยนตห รือบา นของตวั เอง = 80 - 32 = 48 คน ดงั นนั้ พนกั งานทไี่ มมรี ถยนตห รือบานของตัวเองเปน 48 คน

47 ตวั อยางท่ี 2 ในการสํารวจเกย่ี วกับความชอบของนักศกึ ษา 100 คน พบวา นกั ศึกษาท่ีชอบเรยี น คณติ ศาสตร 52 คน นกั ศกึ ษาที่ชอบเรียนภาษาไทย 60 คน นกั ศกึ ษาทไ่ี มชอบเรยี น คณติ ศาสตรและไมช อบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศกึ ษาทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตร และภาษาไทย วธิ ีทํา แนวคดิ ท่ี 1 ให A แทนเซตของนักศกึ ษาทีช่ อบเรียนคณิตศาสตร B แทนเซตของนกั ศกึ ษาท่ีชอบเรียนภาษาไทย จาก n (A) = 52 , n(B) = 60 n ( A/  B/ ) = 14 = n ( A  B )/ [A/  B/ = ( A  B ) / ]  n ( A  B ) = 100 n ( A  B ) = n(A) + n(B) - n (A  B) 100 – 14 = 52 + 60 - n (A  B) 86 = 52 + 60 - n (A  B) n (A  B) = 112 - 86 = 26 ดังนั้น จํานวนนกั ศกึ ษาท่ีชอบเรยี นคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน แนวคดิ ท่ี 2 ให x แทนจาํ นวนนกั ศกึ ษาทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตรและภาษาไทย จากแผนภาพเขยี นสมการไดด งั น้ี ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 ดังน้นั จาํ นวนนักศกึ ษาที่ชอบเรยี นคณิตศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน

48 ตวั อยา งที่ 3 นักศึกษาสาขาหนงึ่ มี 1,000 คน มนี กั ศกึ ษาเรยี นภาษาอังกฤษ 800 คน เรยี น คอมพวิ เตอร 400 คน และเลือกเรียนทง้ั สองวชิ า 280 คน อยากทราบวา 1) มีนักศกึ ษากคี่ นทีเ่ รียนภาษาอังกฤษเพยี งวชิ าเดียว 2) มีนกั ศกึ ษาก่ีคนท่ีเรียนคอมพิวเตอรเพียงวชิ าเดยี ว 3) มนี ักศกึ ษากค่ี นทไ่ี มไ ดเรียนวชิ าใดวิชาหนึง่ เลย 4) มีนักศกึ ษาก่ีคนทไี่ มไ ดเ รียนท้ังสองวชิ าพรอ มกัน วธิ ีทาํ ให U แทนเซตของนกั ศึกษาทง้ั หมด A แทน เซตของนกั ศกึ ษาทเี่ รียนวชิ าภาษาอังกฤษ B แทน เซตของนักศกึ ษาทเ่ี รียนวิชาคอมพวิ เตอร A  B แทน เซตของนกั ศึกษาทีเ่ รยี นทั้งสองวชิ า n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A  B) = 280 เขยี นแผนภาพไดด ังนี้ 1) นกั ศกึ ษาที่เรยี นภาษาอังกฤษเพยี งวิชาเดยี วมจี าํ นวน 800 - 280 = 520 คน 2) นักศกึ ษาทเี่ รียนคอมพวิ เตอรเพียงวชิ าเดียวมีจํานวน 400 - 280 = 120 คน 3) นกั ศกึ ษาท่ีไมไดเ รยี นวิชาใดวชิ าหนง่ึ เลย คือสว นที่แรเงาในแผนภาพซงึ่ มีจํานวน เทากบั 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

49 4) นกั ศกึ ษาทไี่ มเ รียนทั้งสองวชิ าพรอมกนั คอื นกั ศกึ ษาท่ีเรียนวชิ าใดวิชาหนงึ่ เพยี งวชิ า เดยี ว รวมกับนกั ศกึ ษาทีไ่ มเ รียนวชิ าใดเลย คอื สวนที่แรเงาในแผนภาพ ซึง่ มีจาํ นวน เทา กบั 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน ตัวอยางที่ 4 ในการสาํ รวจผใู ชสบู 3 ชนดิ คือ ก , ข , ค พบวา มผี ใู ชชนดิ ก. 113 คน, ชนดิ ข. 180 คน, ชนดิ ค. 190 คน, ใชช นิด ก . และ ข. 45 คน, ชนดิ ก. และ ค. 25 คน, ชนดิ ข. และ ค. 20 คน, ท้ัง 3 ชนิด 15 คน, ไมใ ชท ั้ง 3 ชนิด 72 คน จงหาจาํ นวนของผเู ขา รับการสาํ รวจทง้ั หมด วิธที ํา แนวคิดท่ี 1 ให A แทนผใู ชสบูช นิด ก. B แทนผใู ชสบูชนิด ข. C แทนผูใ ชส บูช นดิ ค. จาก n (A  B  C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n ( A  C ) + n (A  B  C) โดยท่ี n (A) = 113 n (B) = 180 n (C) = 190 n (A  B) = 45 n (A  C) = 25 n (B  C) = 20 n (A  B  C) = 15 n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C)  n (A  B  C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

50 จาํ นวนผูท ใี่ ชสบู ก. หรอื ข. หรือ ค. = 408 คน จํานวนผทู ี่ไมใ ชท้ัง 3 ชนิด = 72 คน ดงั นัน้ จาํ นวนของผเู ขารับการสาํ รวจทงั้ หมด 408 + 72 = 480 คน แนวคิดที่ 2 ให A แทนผใู ชสบูช นิด ก. B แทนผใู ชส บชู นิด ข. C แทนผใู ชส บูชนิด ค. จาํ นวนผูทใ่ี ชสบู ก. หรอื ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คน จาํ นวนผูที่ไมใ ชท งั้ 3 ชนิด = 72 คน ดงั นน้ั จํานวนของผเู ขา รับการสาํ รวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน

51 แบบฝกหดั ท่ี 3 1. จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเ พอื่ แสดงเซตตอไปน้ี 1) B 2) A  B 3) A 4) A  B 5) A  B 2. จากแผนภาพท่ีกาํ หนดให จงหาคา 1) A 2) A  B 3) AU B 4) A  B

52 3. จากแผนภาพ กาํ หนดให U , A, B และ AB เปน เซตทม่ี จี าํ นวนสมาชกิ 100 ,40,25, และ 6 ตามลําดบั จงเตมิ จํานวนสมาชกิ ของเซตตา ง ๆ ลงในตารางตอ ไปน้ี เซต A-B B-A AB A B ( A  B จํานวนสมาชกิ 4. จากการสอบถามผเู รยี นชอบเลนกฬี า 75 คน พบวา ชอบเลนปง ปอง 27 คน ชอบเลนแบตมนิ ตัน 34 คน ชอบเลนฟุตบอล 42 คน ชอบท้งั ฟุตบอลและปง ปอง 14 คน ชอบทง้ั ฟตุ บอลและ แบตมนิ ตัน 12 คน ชอบทัง้ ปงปองและแบดมนิ ตนั 10 คน ชอบทง้ั สามประเภท 7 คน จงหาวานกั ศกึ ษาท่ชี อบเลนกฬี าประเภทเดยี วมกี คี่ น

53 บทที่ 4 การใหเหตผุ ล สาระสําคัญ 1. การใหเหตผุ ลแบบอุปนัยเปนการสรปุ ผลภายหลังจากคนพบความจริงทไ่ี ดจ ากการสงั เกต หรือการทดลองหลาย ๆ คร้งั จากทกุ ๆ กรณียอ ยแลวนาํ บทสรุปมาเปน ความรูแบบทั่วไปเรา เรยี กขอสรุปแบบนวี้ า “ ขอ ความคาดการณ” 2. การใหเหตผุ ลแบบนิรนัยไมไ ดค าํ นงึ ถงึ ความจริงหรอื ความเทจ็ แตจะคํานงึ เฉพาะขอ สรปุ ที่ ตอ งสรุปออกมาไดเ ทานั้น ผลการเรยี นรูท ี่คาดหวงั 1. อธบิ ายและใชก ารใหเหตุผลแบบอุปนยั และนริ นยั ได 2. บอกไดวาการอางเหตผุ ลสมเหตสุ มผลหรอื ไม โดยใชแ ผนภาพเวนน – ออยเลอรได ขอบขายเน้ือหา เร่อื งที่ 1 การใหเหตุผล เร่ืองที่ 2 การอา งเหตผุ ลโดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

54 เร่อื งท่ี 1 การใหเหตุผล การใหเหตุผลมีความสาํ คัญ เพราะการดําเนนิ ชีวติ ของคนเราตองขึน้ อยกู ับเหตผุ ลไมวา จะเปน ความเช่อื การโตแ ยง และการตดั สินใจ เราจาํ เปน ตองใชเหตผุ ลประกอบทั้งสนิ้ อกี ทง้ั ยงั เปน พน้ื ฐานท่ี สาํ คญั ในการหาความรขู องศาสตรตา ง ๆ อกี ดว ย การใหเหตุผล แบง เปน 2 ประเภท ไดแ ก การให เหตุผลแบบอุปนยั และการใหเ หตผุ ลแบบนิรนยั 1.1 การใหเหตผุ ลแบบอปุ นยั ( Inductive Reasoning ) การใหเ หตุผลแบบอปุ นยั หมายถึง การสรปุ ผลภายหลังจากการคนพบความจริงท่ไี ดจ าก การใชสังเกต หรือการทดลองมาแลว หลาย ๆ ครง้ั จากทกุ ๆ กรณียอ ย ๆ แลวนาํ บทสรปุ มาเปน ความรแู บบท่ัวไป หรอื อีกนยั หน่ึง การใหเหตุผลแบบอปุ นัย หมายถึง การใหเ หตุผลโดยยดึ ความ จรงิ สว นยอยทพ่ี บเหน็ ไปสคู วามจริงสวนใหญ ตัวอยา งการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัย 1. มนุษยส ังเกตพบวา : ทุก ๆวนั ดวงอาทิตยข ้นึ ทางทศิ ตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตก จึงสรุปวา : ดวงอาทติ ยข ้นึ ทางทิศตะวนั ออก และตกทางทศิ ตะวันตกเสมอ 2. สุนทรี พบวา ทกุ ครั้งทคี่ ณุ แมไ ปซอื้ กว ยเตย๋ี วผดั ไทยจะมีตน กุยชายมาดวยทกุ ครัง้ จึงสรุปวา กว ยเต๋ียวผดั ไทยตองมตี น กุยชาย 3. ชาวสวนมะมวงสงั เกตมาหลายปพบวา ถา ปใ ดมหี มอกมาก ปน ัน้ จะไดผ ลผลติ นอย เขาจึงสรปุ วาหมอกเปนสาเหตทุ ี่ทาํ ใหผลผลติ นอย ตอ มามีชาวสวนหลายคนทดลอง ฉีดน้ําลา งชอ มะมว ง เม่อื มีหมอกมาก ๆ พบวา จะไดผ ลผลิตมากขึน้ จงึ สรุปวา การลางชอมะมวงตอนมหี มอกมาก ๆ จะทําใหไดผลผลิตมากขึ้น

55 4. นายสมบัติ พบวา ทกุ ครัง้ ทีท่ าํ ความดจี ะมคี วามสบายใจ จึงสรปุ ผลวา การทาํ ความดจี ะทําใหเ กิดความสบายใจ ตวั อยา งการใหเ หตผุ ลแบบอุปนัยทางคณติ ศาสตร 1. จงใชก ารใหเหตุผลแบบอปุ นยั สรปุ ผลเก่ียวกบั ผลบวกของจาํ นวนคูสองจํานวน 0+2 = 2 (จาํ นวนคู) 2+4 = 6 (จํานวนคู) 4+6 = 10 (จาํ นวนคู) 6+8 = 14 (จาํ นวนคู) 8+10 = 18 (จํานวนคู) สรปุ ผลวา ผลบวกของจาํ นวนคูสองจาํ นวนเปน จาํ นวนคู 2. 1111 = 121 11111 = 12321 11111111 = 1234321 1111111111 = 123454321 3. (1  9) + 2 = 11 (12  9) + 3 = 111 (123  9) + 4 = 1111 (1234  9) + 5 = 11111 ขอ สงั เกต 1) ขอสรุปของการใหเหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไมจ ริงเสมอไป 2) การสรปุ ผลของการใหเหตผุ ลแบบอปุ นัยอาจขนึ้ อยกู บั ประสบการณข องผสู รปุ 3) ขอสรุปที่ไดจากการใหเหตผุ ลแบบอุปนัยไมจ ําเปนตอ งเหมอื นกัน ตัวอยา ง 1. กาํ หนด จํานวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a จะได a = 8 2. กําหนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 10 3. กําหนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 22 เพราะวา 6 = (2  4)-2 และ 22 = (4  6)-2

56 4) ขอ สรปุ ของการใหเหตุผลแบบอปุ นัยอาจ ผิดพลาดได ตัวอยาง ให F(n) = n2 - 79n + 1601 ทดลองแทนคาจาํ นวนนับ n ใน F(n) n = 1 ได F(1) = 1523 เปน จํานวนเฉพาะ n = 2 ได F(2) = 1447 เปน จํานวนเฉพาะ n = 3 ได F(3) = 1373 เปนจํานวนเฉพาะ  F(n) = n2 - 79n + 1601 แทนคา n ไปเร่อื ยๆ จนกระทัง่ แทน n = 79 ได F(79) เปนจํานวนเฉพาะ จากการทดลองดังกลาว อาจสรุปไดวา n2 - 79n + 1601 เปนจาํ นวนเฉพาะ สาํ หรับทกุ จาํ นวนนบั แต F(n) = n2 - 79n + 1601 F(80) = 802 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41)  F(80) ไมเปน จาํ นวนเฉพาะ

57 แบบฝก หัดที่ 1 จงเติมคําตอบลงในชอ งวางตอไปนี้ 1) 1,4,9,16,  ,  ,49, 64,  ,  2) 2,7,17,  ,52 ,  ,  3) 5,10,30,120,  ,  4) ถา 12345679  9 = 111111111 12345679  18 = 222222222 12345679  27 = 333333333 12345679   = 12345679   = 999999999 5) ถา 2=2 2+4 = 6 2+4+6 = 12 2+4+6+8 = 20 2+4+6+8+ = 30 2+4+ +8+ + 12 =  2+ + +8+ 12+14 =  2+ + +8+ +12+14+ = 

58 1.2. การใหเ หตผุ ลแบบนิรนยั (Deductive reasoning) เปน การนาํ ความรพู นื้ ฐานท่อี าจเปนความเชือ่ ขอตกลง กฏ หรือบทนยิ าม ซง่ึ เปนส่ิงทีร่ ู มากอนและยอมรบั วาเปน จรงิ เพอ่ื หาเหตุผลนําไปสขู อ สรปุ การใหเหตผุ ลแบบนิรนยั ไมไดค าํ นงึ ถงึ ความจริงหรอื ความเท็จ แตจะคํานงึ ถึง เฉพาะ ขอสรุปท่ตี องออกมาไดเทานนั้ พจิ ารณากระบวนการการใหเหตุผลแบบนิรนยั จากแผนภาพดังนี้ ตัวอยางการใหเ หตผุ ลแบบนริ นัย 1. เหตุ 1) จาํ นวนคูหมายถงึ จาํ นวนทห่ี ารดว ย 2 ลงตัว 2) 10 หารดวย2 ลงตวั ผล 10 เปนจํานวนคู 2. เหตุ 1) คนท่ีไมมหี น้สี นิ และมเี งินฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปน เศรษฐี 2) คณุ มานะไมมีหนี้สนิ และมเี งินฝากในธนาคาร 11 ลา นบาท ผล คุณมานะเปนเศรษฐี

59 3. เหตุ 1) นกั กีฬาการแจงทกุ คนจะตอ งมีสขุ ภาพดี 2) เกยี รตศิ กั ดเ์ิ ปน นกั ฟตุ บอลทมี ชาตไิ ทย ผล เกยี รตศิ ักดิ์มีสุขภาพดี จากตวั อยา งจะเห็นวาการยอมรบั ความรูพ นื้ ฐานหรอื ความจรงิ บางอยางกอ น แลวจงึ หาขอสรปุ จากส่ิงทีย่ อมรบั แลว นน้ั ซ่ึงเรียกวา ผล การสรปุ ผลจะถกู ตอ งก็ตอ เมอ่ื เปน การสรุปผลไดอ ยาง สมเหตสุ มผล(valid) เชน เหตุ 1) เรอื ทกุ ลาํ ลอยนํา้ 2) ถงั นํา้ พลาสติกลอยน้าํ ได ผล ถังนา้ํ พลาสตกิ เปน เรอื การสรปุ ผลจากขา งตน ไมส มเหตสุ มผล แมวาขออา งหรอื เหตุทง้ั สองขอ จะเปน จริง แตก ารที่เรา ทราบ วา เรือทกุ ลําลอยน้ําไดก ็ไมไ ดหมายความวาสิ่งอนื่ ๆ ท่ลี อยนา้ํ ไดจะตอ งเปน เรือเสมอไป ขอ สรปุ ใน ตวั อยา งขา งตน จงึ เปนการสรปุ ทไ่ี มส มเหตุสมผล ขอ สงั เกต 1. เหตเุ ปน จรงิ และ ผลเปนจริง เหตุ แมงมมุ ทุกตวั มี 6 ขา และสัตวท ี่มี 6 ขา ทกุ ตวั มีปก ผล ดงั นน้ั แมงมมุ ทุกตวั มีปก 2. เหตุเปนเท็จ และ ผลเปน เท็จ เหตุ ถานายดาํ ถกู ลอ ตเตอร่รี างวลั ทีห่ น่ึง นายดําจะมเี งนิ มากมาย แตนายดาํ ไมถ ูกลอ ตเตอรรี่ างวัลท่หี นึ่ง ผล ดังนั้นนายดาํ มเี งนิ ไมมาก 3. เหตุอาจเปน จรงิ และผลอาจเปน เทจ็ 4. ผลสรุปสมเหตสุ มผลไมไ ดป ระกนั วา ขอสรุปจะตอ งเปนจริงเสมอไป

60 แบบฝก หดั ท่ี 2 จงตรวจสอบผลท่ไี ดวา สมเหตุสมผลหรือไม 1) เหตุ 1. คนทุกคนทเ่ี ปน ไขหวดั ตองไอ 2. คนชื่อมนุ ีไอ ผล มุนีเปนไขหวดั 2) เหตุ 1. ชาวนาทกุ คนเปน คนอดทน 2. นายมเี ปนชาวนา ผล นายมเี ปน คนอดทน 3) เหตุ 1. สัตวมีปกจะบนิ ได 2. นกกระจอกเทศเปน สตั วม ีปก ผล นกกระจอกเทศบินได 4) เหตุ 1. จํานวนเต็มที่หารดว ย 9 ลงตวั จะหารดว ย 3 ลงตวั 2. 15 หารดว ย 3 ลงตวั ผล 15 หารดว ย 9 ลงตวั 5) เหตุ 1. สตั วเ ลยี้ งลูกดวยนมบางชนดิ ไมม ขี า 2. งไู มม ขี า ผล งเู ปน สัตวเ ลีย้ งลูกดว ยนม

61 เรอ่ื งที่ 2 การอางเหตผุ ลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร ออยเลอร เปน นกั คณิตศาสตรชาวสวสิ เซอรแลนด มชี วี ติ อยูร ะหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาได คนพบวิธกี ารตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชร ูปปด เชน วงกลม ซงึ่ เปน วธิ กี ารทีง่ า ย และรวดเรว็ โดย มหี ลักการดงั นี้ 1. เขียนวงกลมแตล ะวงแทนเซตแตละเซต 2. ถา มี 2 เซตสมั พนั ธก นั กเ็ ขยี นวงกลมใหคาบเกย่ี วกัน 3. ถา เซต 2 เซตไมส มั พนั ธก ันก็เขยี นวงกลมใหแ ยกหางจากกนั แผนผงั แสดงการตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใชแ ผนภาพเวนน- ออยเลอร

62 ขอ ความ หรอื เหตแุ ละผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทใี่ ชใ นการใหเหตุผลมี 6 แบบ ดงั นี้

63 ตวั อยาง การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการใหเหตผุ ลโดยใชแ ผนภาพ 1. เหตุ 1 : คนทุกคนเปนสงิ่ ทีม่ สี องขา 2 : ตํารวจทกุ คนเปน คน ผลสรุป ตาํ รวจทกุ คนเปนสง่ิ ทีม่ ีสองขา จากเหตุ 1 จากเหตุ 2 แผนภาพรวม จากแผนภาพจะเหน็ วา วงของ \" ตาํ รวจ \" อยใู นวงของ \" สง่ิ มี 2 ขา \" แสดงวา \" ตาํ รวจทกุ คนเปน คนมีสองขา \" ซงึ่ สอดคลองกับผลสรุปทกี่ าํ หนดให ดังนน้ั การใหเ หตุผลนสี้ มเหตสุ มผล 2. เหตุ 1 : สนุ ัขบางตวั มขี นยาว 2 : มอมเปนสุนัขของฉัน ผลสรุป มอมเปนสนุ ัขที่มขี นยาว ดงั นน้ั ผลสรปุ ทีว่ า มอมเปน สุนขั ท่มี ขี นยาว ไมส มเหตุสมผล

64 แบบฝก หดั ที่ 3 จงตรวจสอบผลที่ไดวา สมเหตสุ มผลหรอื ไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร 1) เหตุ 1. ถา ฝนตก แคทลยี ากไ็ มออกนอกบา น ผล 2. ฝนตก 2) เหตุ แคทลยี าไมออกนอกบาน 1. ถา สมชายขยันเรียนแลวเขาสอบเขา เกษตรได ผล 2. สมชายสอบเขา เกษตรไมได 3) เหตุ สมชายไมข ยนั เรียน 1. ถา อากาศชน้ื แลว อณุ หภมู จิ ะลด 2. ถา อณุ หภมู ลิ ด แลวเกิดหมอก 3. อากาศชนื้ ผล จะเกิดหมอก 4) เหตุ 1. a เปน จาํ นวนบวก หรือเปน จาํ นวนลบ 2. a ไมเ ปน จํานวนบวก ผล a เปน จาํ นวนลบ 5) เหตุ 1. แมวบางตัวมีสองขา 2. นกยงู ทกุ ตวั มสี องขา ผล นกบางตวั เปนแมว

65 บทที่ 5 อัตราสวนตรโี กณมิตแิ ละการนําไปใช สาระสําคัญ 1. ถา รปู สามเหลย่ี มคูใ ดคลายกนั อัตราสวนของดานท่อี ยูต รงขา มมุมทีเ่ ทา กนั จะเทากนั 2. ในรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากทกุ รปู อตั ราสว นความยาวดา น 2 ดา น จะถกู กาํ หนดคาตา งๆไวดงั น้ี 2.1 คาไซนข องมมุ ใด (sine) จะเทา กบั อัตราสว นระหวา งความยาวของดานตรงขามมมุ นั้น กับความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก 2.2 คา โคไซนข องมมุ ใด (cosine) จะเทา กบั อัตราสวนระหวา งความยาวดานประชติ มุม กับความยาวดานตรงขามมมุ ฉาก 2.3 คา แทนเจนตข องมุมใด (tangent) จะเทากบั อัตราสว นระหวา งความยาวของดานตรง ขา มมมุ กบั ความยาวของดา นประชติ มุมนน้ั ๆ 3. นอกจากอตั ราสว นตรโี กณมิตหิ ลัก 3 คาน้ีแลว สว นกลับของ sine , cosine และ tangent เรียกวา cosecant , secant และ cotangent ตามลาํ ดบั 4. อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องมุม 30,45 และ 60 องศา มีคา เฉพาะของแตล ะอตั ราสว น สามารถ พสิ จู นได 5. การแกป ญ หาโจทยท ี่เกยี่ วขอ ง จะทาํ โดยการเปล่ยี นปญ หาโจทยใ หเ ปนประโยคสญั ลกั ษณ และ ใชอัตราสวนตรโี กณมติ ใิ นการชวยหาคําตอบโดยเฉพาะการนําไปใชแกป ญ หาเกีย่ วกบั การวัดระยะทาง และความสูง ผลการเรียนรูทค่ี าดหวงั 1. อธิบายการหาคา อัตราสว นตรีโกณมติ ิได 2. หาคาอตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องมุม 300 , 450 และ 600 ได 3. นาํ อัตราสวนตรโี กณมิติไปใชแ กปญ หาเกี่ยวกบั ระยะทาง ความสงู และการวดั ได ขอบขายเนือ้ หา เรอื่ งท่ี 1 อัตราสวนตรีโกณมิติ เรื่องที่ 2 อตั ราสวนตรโี กณมิตขิ องมมุ 30, 45 และ 60 องศา เรื่องที่ 3 การนําอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ ไปใชแกปญ หาเก่ยี วกบั ระยะทาง ความสูง และการวดั

66 เรือ่ งที่ 1 อัตราสวนตรีโกณมิติ เปน แขนงหน่งึ ของคณิตศาสตร วาดว ยการวัดรูปสามเหลี่ยมตาง ๆ โดยหาความสมั พนั ธ ระหวางดา น มมุ และพนื้ ทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม มีความสําคญั ตอวิชาดาราศาสตร การเดนิ เรอื และงาน สาํ รวจใชใ นการคํานวณสง สงู ของภเู ขา และหาความกวางของแมน ํ้า มีประโยชนมากสําหรับวชิ า วทิ ยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และการศกึ ษาเกยี่ วกับวตั ถุ ซึ่งมีสภาพเปน คลื่น เชน แสง เสียง แมเหล็กไฟฟาและวทิ ยุ ความรเู ดมิ ท่ีตอ งนาํ มาใชใ นบทเรียนน้ี 1. สมบตั ิสามเหลย่ี มคลา ย พจิ ารณารปู สามเหลย่ี มสองรปู ท่มี ขี นาดของมมุ เทา กนั 3 คู ดงั น้ี ถา รปู สามเหลีย่ ม 2 รปู มีมุมเทา กนั มุมตอมุมท้งั 3 คู แลว สามเหลย่ี ม 2 รูปน้จี ะคลา ยกนั ดังรูป B Y ca z x A bC Xy Z รูปที่ 1 รปู ท่ี 2 จากรปู Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ ดงั น้นั รปู สามเหลย่ี ม ABC คลายกับรปู สามเหลยี่ ม XYZ และจากสมบัตกิ ารคลา ยกนั ของ รปู สามเหล่ยี มจะไดผลตามมาคือ AB  BC  AC หรอื a  b  c XY YZ XZ xyz เมอื่ a,b,c เปนความยาวของดา น AB, BC และ AC ตามลําดับในสามเหล่ียม ABC x,y,z เปน ความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลําดบั ในสามเหลย่ี ม XYZ

67 จาก a  b จะไดว า a x จะไดวา by xy จะไดวา b y bc cz yz ax ac cz xz นน่ั คือ ถา มีรปู สามเหลีย่ มสองรปู คลายกัน อตั ราสวนของความยาวของดา นสองดานของรปู สามเหลี่ยมรปู หนึ่ง จะเทา กับอตั ราสว นของความยาวของดา นสองดานของรูปสามเหลี่ยมอกี รูปหนึ่ง โดย ที่ดา นของรูปสามเหลีย่ มทีห่ าความยาวน้ันจะตองเปนดานที่สมนัยกันอยตู รงขา มกับมุมท่เี ทากนั ในทาํ นองเดียวกนั ถารูปสามเหลี่ยมท้งั สองเปน รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ซงึ่ มีมมุ ทไ่ี มเปนมมุ ฉาก เทากนั สมมตวิ า เปน มมุ A เทา กับมมุ X ดงั รูป B zY c ax A b X yZ C พบวา รูปสามเหลย่ี มสองรูปนค้ี ลา ยกัน ( มมี มุ เทากนั มุมตอ มมุ ทงั้ 3 คู ) ดังนน้ั จะไดว า ax a  x, cz , c zb yb y สรุป ไมวารูปสามเหลย่ี มดังกลา วจะมขี นาดใหญหรือเลก็ กต็ าม ถารปู สามเหลี่ยม ท้งั สองรปู คลา ยกนั แลว อัตราสวนความยาวของดานสองดา นของรูปสามเหลยี่ มรูปหน่งึ จะเทากบั อตั ราสว นของความยาวของดา นสองดา นของรูปสามเหล่ียมอีกรูปหนึ่งทส่ี มนัย กนั เสมอ ( ดานทกี่ ลาวถึงนต้ี องเปน ดานทีอ่ ยูตรงขามกับมมุ ทเ่ี ทา กัน )

68 2. สมบตั สิ ามเหลีย่ มมุมฉาก ถาให ABC เปน รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ท่ีมีมมุ ฉากท่ี C และมี a , b , c เปน ความยาวของดานตรง ขามมมุ A , B และ C ตามลําดบั c a b ดา น AB เปนดานท่อี ยูตรงขามมุมฉากยาว c หนวย เรียกวา ดานตรงขา มมุมฉาก ดาน BC เปน ดา นทอ่ี ยูตรงขามมมุ A ยาว a หนวย เรยี กวา ดานตรงขามมมุ A ดาน AC เปน ดา นทีอ่ ยูตรงขามมมุ B ยาว b หนว ย เรียกวา ดา นประชดิ มุม A ถา ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ซึง่ มมี มุ เปน มมุ ฉาก c แทนความยาวดา นตรงขา มมมุ ฉาก a และ b แทนความยาวของดา นประกอบมมุ ฉาก จะไดความสมั พันธระหวางความยาวของดา นทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากดังตอ ไปนี้ c2  a2  b2 เมือ่ a แทนความยาวของดานตรงขา มมุม A b แทนความยาวของดานตรงขามมุม B c แทนความยาวของดา นตรงขามมมุ C

69 ขอ ควรรูเกยี่ วกบั ทฤษฎีบทปท าโกรสั ปท าโกรัสไดศกึ ษาคน ควา เกย่ี วกบั ความสมั พนั ธร ะหวา งดานตรงขามมุมฉากและดา นประกอบมุม ฉากของสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ซ่ึงเปน ทฤษฎีบทท่เี กา แกและมชี อ่ื เสียงทีส่ ุดบทหน่งึ ไดแกท ฤษฎบี ทปทา โกรสั ซึ่งมีใจความวา ในสามเหลยี่ มมมุ ฉากใดๆ พน้ื ทขี่ องสี่เหลีย่ มจตั ุรสั บนดานตรงขามมมุ ฉาก จะเทา กบั ผลบวกของพนื้ ทสี่ ี่เหลี่ยมจัตุรสั บนดานประกอบมุมฉาก ตวั อยาง จงเขยี นความสมั พันธร ะหวา งความยาวของดานของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากตอไปน้ี ตามทฤษฎีบท ของปท าโกรัส 1). a 3 5 2). a 12 13

70 วิธีทํา พจิ ารณาความสมั พันธร ะหวางความยาวดา นของรูปสามเหล่ียมมุมฉากตามทฤษฎบี ทปท าโกรัส 52  a2  32 a2  9  25 a2  16 ดังนนั้ a  4 2). a 2  122  132 a2 144  169 b2  25 ดังน้ัน b  5 อัตราสวนตรโี กณมติ ิ ถาให ABC เปน รปู สามเหลยี่ มมุมฉากทม่ี มี ุมฉากท่ี C และมี a , b , c เปน ความยาวของดานตรง ขา มมมุ A , B และ C ตามลาํ ดับ B ca A b C A อัตราสวนตรีโกณมติ ิ คอื อัตราสว นที่เกิดจากความยาวของดานของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก

71 a 1. อตั ราสวนของความยาวของดา นตรงขา มมมุ A ตอ ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก หรอื c เรยี กวา ไซน (sine) ของมมุ A b 2. อตั ราสว นของความยาวของดา นประชดิ มุม A ตอ ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก หรือ c เรยี กวา โคไซน (cosine) ของมมุ A a 3. อตั ราสว นของความยาวของดานตรงขา มมุม A ตอความยาวของดา นประชดิ มุม A หรอื b เรียกวา แทนเจนต (tangent) ของมุม A เรียกอัตราสว นทั้งสามนวี้ า อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ อง A เมอ่ื A เปน มมุ แหลมในรูปสามเหล่ยี ม มุมฉากหรอื อาจสรุปไดว า ความยาวของดา นตรงขา มมุมA sin A = ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก cos A = ความยาวของดานประชดิ มุมA ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก tan A= ความยาวของดานตรงขามมมุ A ความยาวของดานประชดิ มมุ A ตวั อยาง กาํ หนดรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC มีมมุ C เปน มุมฉาก มคี วามยาวดานทงั้ สาม ดงั รูป จงหาคา ตอ ไปน้ี 1. sin A, cos A และ tan A 6 2. sin B, cos B และ tan B 8 วิธีทาํ กําหนด ABC เปนรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก มีมมุ C เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทปท าโกรสั จะได วา AB 2  AC 2  BC 2 แทนคา AC = 8 , BC = 6 ดังนนั้ AB2  82  62 AB2  64  36 AB2  100 AB2  10 10หรอื 102 นน่ั คอื AB = 10

72 (1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพจิ ารณาท่ีมมุ A sin A = ความยาวของดา นตรงขามมมุ A  BC  6  3 ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5 cos A = ความยาวของดา นประชิดมุมA  AC  8  4 ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก AB 10 5 tan A= ความยาวของดานตรงขามมุมA  BC  6  3 ความยาวของดานประชิดมุม A AC 8 4 (2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาที่มมุ B sin B = ความยาวของดานตรงขามมมุ B  AC  8  4 ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก AB 10 5 cos B = ความยาวของดานประชิดมุม B  BC  6  3 ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5 tan B = ความยาวของดานตรงขา มมุมB  AC  8  4 ความยาวของดานประชิดมุม B BC 6 3 ขอสังเกต ถา ABC เปน รูปสามเหล่ยี มมุมฉากทม่ี ีมมุ C เปน มุมฉากแลว จะไดว า 1. Aˆ  Bˆ  1800  Cˆ  1800  900  900 2. sin A = cos B 3. cos A = sin B

73 แบบฝก หดั ท่ี 1 1. จากรูปสามเหลีย่ มมุมฉากทก่ี ําหนดใหต อ ไปนี้ จงเขยี นความสัมพันธข องความยาวของรปู สามเหล่ยี ม มุมฉากโดยใชท ฤษฎีบทปท าโกรัส และหาความยาวของดา นที่เหลือ (1) (2) 2. กาํ หนด ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก มี Cˆ  90 และความยาวของดา นทง้ั สาม ดังรปู จงหา 1) sin A , cos A และ tan A 2) sin B , cos B และ tan B B

74 3. จงหาวาอัตราสวนตรีโกณมิตทิ กี่ าํ หนดใหตอ ไปน้ี เปน คา ไซน( sin) หรอื โคไซน( cos) หรือแทนเจนต (tan) ของมมุ ทกี่ าํ หนดให 1).........................A = b c 2).........................B = b a 3).........................A = a c 4).........................A = b c 4. กําหนด ABC เปน รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก โดยมีมุม C เปนมมุ ฉาก มดี าน AB = 10 และ AC = 8 จงหา 1 ) ความยาวดาน BC 2) sin A , cos A และ tan A 3) sin B , cos B และ tan B 5. กาํ หนดใหร ปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมมี มุ C เปน มุมฉาก และ a,b,c เปน ความยาวดา นตรงขามมมุ A, มมุ B และมุม C ตามลาํ ดับ (1) ถา cot A = 3 และ a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5

75 เร่อื งท่ี 2 การหาคาอตั ราสวนตรีโกณมิติของมมุ 30 ,45 , 60 องศา การหาคา อัตราสว นตรโี กณมติ ิของมมุ 60 องศา พจิ ารณารูปสามเหลยี่ มดานเทา ABD มีดานยาวดา นละ 2 หนว ย ดงั นี้ A 2 B 300 300 300 2 2 60 60 D 60 C B 1 C1 A1 จากรปู สามเหลี่ยมดา นเทา ABD ลาก AC แบงครง่ึ มุม A เสนแบงครึ่งมมุ A จะตั้งฉากกับ BD ท่ี จดุ C โดยใชห ลกั ของสมบัติของสามเหลยี่ มคลาย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนวย ดงั รูป และ จาก รูปสามเหลีย่ มมุมฉาก ABC ใชคณุ สมบตั ขิ องปทาโกรัสไดด งั นี้ B 300 AB 2  AC 2  BC 2 2 22  12  BC 2 4  1  BC 2 BC2  4 1 60 BC 2  3 A1 C BC  3

76 จะไดว า ดา น BC = 3 ดงั นัน้ Sin 60  3 2 Cos 60  1 2 ในทํานองเดยี วกนั Tan 60  3  3 1 การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30 องศา ดังน้นั Sin 300  1 2 Cos 300  3 2 Tan 300  1 3

77 สรปุ อตั ราสว นของตรโี กณมิติทีส่ าํ คญั ดังน้ี น่นั คอื sin 300  1 cos 300  3 tan 300  1 21 21 3 sin 450  2 cos 450  2 tan 450  1 1 1  sin 600  3 cos 600  1 tan 600  3  3 2 2 1

78 เกรด็ ความรู การใชนิว้ มอื ชวยในการจําคา ตรีโกณมติ ขิ องมมุ พน้ื ฐาน การจาํ คา ตรโี กณมติ พิ ้ืนฐานโดยใชน ้วิ มือ ตองใชม ือซาย มขี ้ันตอนดังตอ ไปน้ี วธิ ีการนใ้ี ชจ ําคาตรโี กณมติ ขิ องมมุ พน้ื ฐานกลาวคอื 1. แบมอื ซายออกมา มองเลขมุมจับคูก ับนิ้วเรยี งจากซายไปขวา เปนมมุ องศา 2. เม่อื ตอ งการหาคาตรโี กณมติ ขิ องมมุ ใดใหง อนิ้วนนั้ สมมตวิ า หา cos กจ็ ะตรงกบั นวิ้ ช้ี ก็งอนวิ้ ชี้ เกบ็ ไว 3. ถอื กฎวา \"sin-ซาย(ออกเสียงคลายกนั ) cos-ขวา(ออกเสียง /k/ เหมอื นกัน)\" เม่ือหาคา ของฟง กช นั ใด ใหส นใจจํานวนนว้ิ มือฝง ท่ีสอดคลอ งกับฟง กช นั นั้น o เพื่อจะหาคา นําจาํ นวนนิว้ มอื ดานทส่ี นใจตดิ รากท่ีสองแลวหารดว ยสอง (หรืออาจจาํ วา มี เลขสองตวั ใหญๆอยูบนฝา มือ เมอื่ อานก็จะเปน รากทส่ี องของจํานวนน้ิวมือดา นทสี่ นใจ หารฝา มือ) สาํ หรบั cos 30 กจ็ ะไดว ามนี วิ้ มือเหลืออยูท างดา นขวาอกี สามนวิ้ (กลาง นาง กอ ย) กจ็ ะได cos30= สําหรบั ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิอืน่ กใ็ ชส มบตั ขิ องฟงกชนั นน้ั กบั sin และ cos เชน tan=sin/cos

79 คา โดยประมาณของไซน โคไซน และแทนเจนต (ถงึ ทศนยิ มตําแหนง ที่ 3 ) หาไดจ ากตาราง ตอ ไปน้ี โดยทค่ี า ของไซน โคไซน และแทนเจนต ของมุมทม่ี ีคา อยรู ะหวาง 00 และ900 จะมคี าอยู ระหวาง 0 และ 1

80 ตวั อยา ง จงหาคาของ a, b จากรปู สามเหลย่ี มทก่ี ําหนดใหต อไปนี้ วธิ ีทาํ sin 320  BC AB แทนคา sin 320  0.530 และ BC = a , AB = 10 ดังนัน้ 0.530  a นน่ั คอื 10 a  10  0.530 จงหาคาตอไปน้ี a  5.3 1. sin 450  tan 450 cos 450 2.sin 300 sin 600  cos300 cos 600    3. cos300 2  sin 300 2 4.tan 2 300  2 sin 600  tan 450  tan 600  cos2 300 5.cos 600  tan 2 450  4 tan2 300  cos2 300  sin 300 3 วิธีทาํ 1 1. sin 450  tan 450 = 2 1 = 1  2 =1-1 =0 cos 450 1 21 1 2 2.sin 300 sin 600  cos300 cos 600 =  1   3    3   1  = 3 32 3= 3 2  2   2  2   44 42    3. cos300 2  sin 300 2 =  3  2   1  2 = 3  1  4 1 2  2  44 4 =  1  2 2 3  3   3  2 3 2 2 4.tan 2 300  2 sin 600  tan 450  tan 600  cos2 300   1  = 1  3 1 3  3 34 = 25 12 5. cos 60 0  tan 2 450  4 tan2 300  cos2 300  sin 300 = 1  12  4  1  2   3  2  1 3 2 3 3 2 2 = 1 1 4  3  1 2 942 =7 36

81 อตั ราสวนตรีโกณมติ อิ น่ื ๆ อัตราสว นของความยาวของดานของรปู สามเหลี่ยมมุมฉากท่ีเรียกวา ไซน โคไซน และ แทนเจนต เรียกวา อตั ราสว นตรโี กณมติ ิ (Trigonometric ratio) ซง่ึ เปนหลกั เบ้ืองตน ในคณติ ศาสตรแขนง หนง่ึ ทเ่ี รียกวา ตรโี กณมิติ (Trigonometry) หมายถงึ การวดั เกี่ยวกบั รูปสามเหลีย่ ม มีอตั ราสว นตรีโกณมติ ิอกี 3 อตั ราสว น ซึ่งกําหนดดวยบทนยิ าม ดังน้ี 1. ซีแคนตของมมุ A เขยี นแทนดว ย secant A หรอื sec A คอื สวนกลบั ของ cos A เม่อื cos A  0 นัน่ คอื sec A = 1 เม่ือ cos A  0 cos A 2. โคซีแคนตข องมุม A เขยี นแทนดว ย cosecant A หรอื cosec A คอื สว นกลับของ sin A เมือ่ sin A  0 นน่ั คือ cosec A = 1 เมอ่ื sin A  0 sin A 3. โคแทนเจนตของมมุ A เขยี นแทนดว ย cotangent A หรอื cot A คือสว นกลบั ของ tan A เม่ือ tan A  0 นน่ั คือ cotangent A = 1 เมือ่ tan A  0 tan A

82

83 แบบฝกหดั ที่ 2 1. จงหาคาตอไปนี้ 1) sin 300 sin 600  cos300 cos600    2) sin 600 2  cos600 2 3) 1  tan 450 2. จงหาคา อตั ราสวนตรีโกณมติ ติ อไปน้จี ากตาราง 1) sin 200 2) sin 380 3) cos500 4) cos520 5) tan 770 6) tan 890 3. ให ABC เปนรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก มมี ุม C เปน มมุ ฉาก ดงั รปู จงหา cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B 4. จงหาคา a, b หรือ c จากรูปสามเหลี่ยมตอ ไปน้ี (1)

84 (2) (3) 5. กําหนดใหรปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมีมุม C เปนมมุ ฉาก และ a,b,c เปนความยาวดา นตรงขา มมุม A, มมุ B และมมุ C ตามลาํ ดับ (1) ถา cot A = 3 และ a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5

85 เรือ่ งที่ 3 การนําอัตราสวนตรโี กณมติ ิไปใชแ กปญ หาเกี่ยวกับหาระยะทางและความสงู และ การวดั อัตราสวนตรโี กณมติ มิ ีประโยชนม ากในการหาความยาว ระยะทางหรอื สวนสงู โดยที่ทราบคา มุมใด มุมหน่ึง และความยาวของดานใดดา นหนึ่งของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก แลว จะสามารถหาดา นท่ีเหลอื ได เสน ระดบั สายตา คอื เสนทีข่ นานกับแนวพนื้ ราบ มุมกม คือ มุมท่ีแขนขางหนง่ึ ของมมุ อยูตาํ่ กวา ระดบั สายตา มมุ เงย คือ มมุ ทีแ่ ขนขางหนง่ึ อยูส ูงกวาเสนระดบั สายตา

86 ตัวอยางที่ 1 สมพรยืนอยูห างจากบานหลังหนง่ึ เปนระยะทาง 100 เมตร เขาเหน็ เครอ่ื งบิน เครื่องหน่ึง บนิ อยเู หนือหลังคาบานพอดี และแนวทเี่ ขามองเปนมุมเงย 60 องศา จงหาวาเคร่อื งบนิ อยูสงู จาก พืน้ ดินกเี่ มตร วิธที าํ Tan 60 = ความยาวของดานตรงขา มมมุ 60 ความยาวของดานประชิดมมุ 60 3= ความยาวของดานตรงขามมุม 60 100 นน่ั คอื ความยาวของดา นตรงขามมมุ 600  100 3 จะเหน็ ไดวา ความสงู ของเคร่อื งบินอยหู า งจากพน้ื ดนิ 100 3 ตวั อยางท่ี 2 บนั ไดยาว 50 ฟตุ พาดอยูกับกําแพง ปลายบนั ไดถึงขอบกําแพงพอดี ถา บันไดทํามุม 600 กับกําแพง จงหาวาบนั ไดอยหู างจากกําแพงเทาไร

87 วิธีทาํ COS 600 = ความยาวของดา นประชดิ มมุ 60 ความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก 1 = ความยาวของดานประชิดมุม 60 2 50 จะได ความยาวของดานประชดิ มุม 60  50 2 ดงั น้นั ระยะระหวา งบนั ไดกบั กําแพงเทากบั 25 ฟุต ตวั อยา งท่ี 3 สมพรยืนอยบู นหนาผาสงู ชนั แหง หนง่ึ ซ่ึงสูงจากระดบั ผนาํ้ ทะเล 50 เมตร เม่ือเขาทอดสายตา ไปยังเรือลาํ หนึ่งกลางทะเล มมุ ท่ีแนวสายตาทาํ กับเสนระดบั มีขนาด 30 องศา เรอื ลํานีอ้ ยหู า งจากฝง โดยประมาณกเี่ มตร วธิ ที าํ ให A เปน ตําแหนงทสี่ มพรยนื อยู AC แทนระยะความสูงจากนํ้าทะเลของหนา ผา คอื 50 เมตร BC เปนระยะท่ีเรอื อยูหา งจากฝง จาก AD // BC จะได CBˆA  DAˆB  300 ABC เปนรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ดังน้ัน tan 300  AC BC 1  50 3 BC BC  50 3  50 1.732 BC  86.6

88 แบบฝกหดั ที่ 3 1. ตนไมต นหนงึ่ ทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสน ตรงทีล่ ากผา นปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทาํ มุม 30 องศา กับเงาของตนไม จงหาความสงู ของตน ไม 2. วินยั ตอ งการหาความสูงของเสาธงโรงเรยี น จึงทาํ มมุ ขนาด 45 องศา เพือ่ ใชในการเล็งไปทีย่ อดเสาธง ถา ในขณะที่เลง็ นั้นเขามองไปท่ียอดเสาธงไดพ อดี เม่อื กาวไปอยทู จี่ ดุ ซงึ่ อยูหางโคนเสาธง 16 เมตร วนิ ยั มี ความสูง 160 เซนติเมตร จงหาวา เสาธงสงู ประมาณกีเ่ มตร 4. จดุ พลขุ ึ้นไปในแนวดิ่ง โดยกําหนดจดุ สงั เกตการณบ นพนื้ ดินหา งจากตําแหนง ท่จี ดุ พลุ 1 กโิ ลเมตร ในขณะทมี่ องเหน็ พลุทํามมุ 60 องศา กบั พ้นื ดนิ พลุขนึ้ ไปสูงเทา ใด และอยหู า งจากจดุ สังเกตการณ เปนระยะทางเทา ใด

89 บทท่ี 6 การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ สาระสาํ คญั 1. การเลือกใชเ ครอื่ งมอื ตา ง ๆ ในการสรา งรูปเรขาคณติ 2. ในชีวติ ประจาํ วัน การออกแบบวสั ดหุ รอื ครุภณั ฑ อาคารท่ีพกั อาศัย หรืออาคารสํานกั งานตา ง ๆ จะเก่ียวขอ งกับรปู แบบ การเลอ่ื นขนาน การหมนุ และการสะทอ น 3. การมบี รรจุภณั ฑข องสินคา ทด่ี ี สวยงาม นาสนใจ จะมสี ว นชวยในการการเพ่มิ มลู คาของสนิ คา นน้ั ๆ ได ผลการเรียนรทู ่ีคาดหวงั 1. สรางรูปเรขาคณติ โดยใชเ คร่อื งมือได 2. วิเคราะหและอธบิ ายความสมั พันธระหวางรูปตน แบบ และรูปที่ไดจากการเลือ่ นขนาน การ สะทอนและการหมนุ ได 3. นาํ สมบตั ิเก่ยี วกบั การเลื่อนขนาน การหมนุ และการสะทอ นจากการแปลงทางเรขาคณิตศาสตร และทางเรขาคณติ ไปใชใ นการออกแบบ งานศิลปะได ขอบขา ยเนื้อหา เรอื่ งที่ 1 การสรางรูปทางเรขาคณติ โดยใชเ ครอ่ื งมือ เร่อื งที่ 2 การแปลงทางเรขาคณิต เรอ่ื งท่ี 3 การออกแบบเพือ่ การสรางสรรคงานศลิ ปะโดยใชการแปลงทางคณติ ศาสตร และ ทางเรขาคณติ

90 เร่ืองที่ 1 การสรางรปู เรขาคณิตโดยใชเ ครอื่ งมอื 1.1 รูปเรขาคณติ สองมติ ิ สามารถสรางไดโ ดยใชเสน ตรง เชน ไมบ รรทดั ฟุตเหลก็ ไมฉ าก ไมท ี เพอื่ วัดความยาว ใชไ มโปรแทรกเตอร เพือ่ วดั มมุ หรือขนาดของมมุ ใชว งเวยี น เพอ่ื ประกอบการ สรางเสนโคง ท่แี ทนความยาวรอบวงกลม หรอื ชวยในการสรา งมมุ ท่มี ขี นาดทีต่ อ งการ สมบัติตา ง ๆ ของรูปเรขาคณิตและความสัมพนั ธระหวา งรปู เรขาคณติ เพื่อใหนกั ศกึ ษามคี วามเขาใจในการสรา งรูปเรขาคณิตสองมติ ิ ผเู รยี นควรทบทวนสมบัติตาง ๆ ของรปู เรขาคณิตสองมิตแิ ละสามมิติดงั นี้ 1. รูปสีเ่ หลยี่ มผนื ผา 1. มีมุมทง้ั ส่เี ปน มมุ ฉาก 2. ดานท่ีอยูตรงขา มกนั ยาวเทากนั สองคแู ละขนานกัน 3. เสน ทแยงมุมแบง คร่ึงกันและกัน 4. พ้ืนท่ขี องสเ่ี หลยี่ มผนื ผา = ความยาวของดา นกวา ง x ความยาวของดานยาว 5. ความยาวรอบรปู ของสีเ่ หล่ยี มผนื ผา = ( 2 x ความยาวของดานกวาง ) + ( 2 x ความยาวของดานยาว ) 2. รปู สีเ่ หลยี่ มจัตรุ ัส 1. มมุ ท้งั สีเ่ ปนมมุ ฉาก 2. ดานท้ังส่ยี าวเทา กนั 3. เสน ทแยงมมุ แบง คร่งึ ซ่งึ กนั และกนั และต้ังฉากกนั 4. พนื้ ทีข่ องรปู ส่เี หลีย่ มจัตรุ ัส = ความยาวดาน x ความยาวดาน หรอื 1  ผลคูณของ 2 ความยาวเสน ทแยงมุม 3. รูปส่เี หลยี่ มดา นขนาน

91 1. มีดานตรงกันยาวเทา กันและขนานกันสองคู 2. เสนทแยงมมุ แบง คร่ึงกันและกนั แตยาวไมเทา กนั 3. พน้ื ทขี่ องรูปส่ีเหลีย่ มดานขนาน = ความยาวฐาน X สวนสงู 4. รูปสีเ่ หลย่ี มขนมเปยกปนู 1. มดี านตรงขามกนั ขนานกนั สองคู 2. ดา นทั้งสีย่ าวเทา กนั 3. เสน ทแยงมมุ แบงครึง่ ซงึ่ กนั และกนั และตัง้ ฉากกนั 4. พ้ืนทรี่ ปู สามเหลยี่ มขนมเปย กปนู = ความยาวฐาน x สว นสงู หรือ 1  ผลคูณของความยาว 2 ของเสน ทแยงมุม

92 5. รูปสี่เหลย่ี มรูปวาว 1. มดี านประชดิ กนั ยาวเทา กนั 2 คู 2. เสนทแยงมุมสองเสน ต้ังฉากกัน 3. เสนทแยงมมุ แบง คร่งึ ซึ่งกันและกนั แตยาวไมเทากัน 4. พ้ืนทีข่ องรูปสเี่ หลี่ยมรปู วาว = 1  ผลคณู ของความยาวของเสนทแยงมมุ 2 6. รูปสเี่ หลยี่ มคางหมู 1. มีดานขนานกนั 1 คู 1 2 2. พน้ื ทข่ี องรปู ส่เี หลีย่ มคางหมู =  ผลบวกของความยาวของดานคขู นาน  สว นสงู 7. รูปวงกลม 1. ระยะทางจุดศนู ยกลางไปยงั เสน รอบวงเปน ระยะที่เทา กนั เสมอ เรียกวา รศั มขี องวงกลม 2. เสนผา นศูนยก ลางยาวเปน 2 เทาของรศั มี 3. พื้นทีว่ งกลม = r 2 4. ความยาวเสน รอบรปู ของวงกลม 2r

93 1.2 รูปเรขาคณติ สามมติ ิ รปู เรขาคณิต สามมติ สิ ามารถแสดงรปู รา งซึง่ มีทง้ั ความกวา ง ความยาว ความสงู หรอื ความ หนา ตวั อยา งรปู ทรงเรขาคณติ สามมติ ิ เชน ปริซึม เปน รปู สามมิติทม่ี หี นา ตดั หัวทายเทา กนั และขนานกันและผวิ ดานขางเปน รูปสเี่ หลยี่ ม เชน ปรซิ มึ สามเหลี่ยม ปรซิ มึ สี่เหล่ียม ปรซิ มึ หาเหลี่ยม พรี ะมิด เปน รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมยี อดแหลม ผวิ ดานขา งเปน รูปสามเหลยี่ ม สงู เอยี ง พีระมิดฐานสเ่ี หล่ยี ม พรี ะมดิ ฐานสามเหลย่ี ม ตวั อยางรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ีพ่ บเหน็ ในชวี ิตประจาํ วนั เชน ตูเย็น เปนรูปทรงสี่เหลีย่ มมมุ ฉาก หรอื ปริซึมส่เี หลีย่ ม ปลากระปอ ง เปน รปู ทรงกระบอก ไอศกรมี เปนรปู กรวยกลม เปน ตน รปู เรขาคณิตทพี่ บในชวี ติ ประจําวนั โดยเฉพาะรปู เรขาคณิตสามมติ แิ ละสองมติ ิ มคี วามสัมพนั ธ กนั อยา งมาก ซึง่ ตองใชก ารสังเกตหาความสมั พนั ธ การจําแนก การเปรียบเทียบภาพทม่ี องเหน็ จะ สามารถอธบิ ายขนาด ตําแหนง ระยะทาง และใชการคาดเดารูปรางของสิง่ ที่กาํ หนดให เมอ่ื มีการเปลี่ยน ตาํ แหนงหรือมุมมองในดานตาง ๆ