Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore [สรุปสูตร] สรุปสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.4-5-6

[สรุปสูตร] สรุปสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.4-5-6

Published by lampblack, 2019-02-23 07:47:20

Description: [สรุปสูตร] สรุปสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.4-5-6

Search

Read the Text Version

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพโ่ี ต๋ ¤íÒá¹Ð¹íÒ : เอกสารน้ีเป็นสรปุ สตู รวชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รวม ม.4-5-6 ทาํ แจกสาํ หรบั น้องๆ สมาชกิ Dektalent.com เรยี นเรอ่ื งไหนสามารถเลอื กพมิ พเ์ ฉพาะเรอ่ื งทต่ี อ้ งการไดเ้ ลย ÊÒúÞÑ 2 3 ÊÃػʵ٠ä³µÔ ÈÒʵþ ×¹é °Ò¹ Á.4/Á.5/Á.6 4 6 เรื่อง หน้า ม.4 เทอมตน้ 7 9 บทท่ี 1 เซต บทท่ี 2 การใหเ้ หตุผล 10 บทท่ี 3 จาํ นวนจรงิ 11 บทท่ี 4 เลขยกกําลงั ม.4 เทอมปลาย 12 บทท่ี 5 ฟงั กช์ นั 12 บทท่ี 6 อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ ม.5 เทอมตน้ บทท่ี 7 ลาํ ดบั และอนุกรม บทท่ี 8 ความน่าจะเป็น ม.5 เทอมปลาย บทท่ี 9 สถติ แิ ละขอ้ มลู บทท่ี 10 การวเิ คราะหข์ อ้ มลู เบอ้ื งตน้ ม.6 ไมม่ เี น้อื หาคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ท่ี www.dektalent.com หน้า 1

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพ่ีโต๋ º··èÕ 1 ૵ ความร้เู บอื้ งต้นเรอื่ งเซต 1) เซตเป็นคาํ อนยิ าม สง่ิ ทอ่ี ยใู่ นเซตเรยี ก “สมาชกิ ” สมาชกิ แต่ละตวั คนั่ ดว้ ยเครอ่ื งหมายคอมมา่ 2) สญั ลกั ษณ์ ∈ แทนการเป็นสมาชกิ ของเซต / สญั ลกั ษณ์ ∉ แทนการไมเ่ ป็นสมาชกิ ของเซต 3) วธิ กี ารเขยี นเซต มี 2 แบบ (แบบบอกเงอ่ื นไข / แบบแจกแจงสมาชกิ ) 4) เซตวา่ ง คอื เซตทไ่ี มม่ สี มาชกิ สญั ลกั ษณ์ { } หรอื φ 5) เซตจาํ กดั คอื เซตทบ่ี อกจาํ นวนสมาชกิ ไดว้ า่ มกี ต่ี วั 6) เซตอนนั ต์ คอื เซตทไ่ี มใ่ ชเ่ ซตจาํ กดั หรอื เซตทม่ี สี มาชกิ มากมายนบั ไมถ่ ว้ น เชน่ เซตของจาํ นวนนบั 7) เซตทเ่ี ท่ากนั คอื เซตทม่ี จี าํ นวนสมาชกิ เหมอื นกนั ทกุ ตวั แต่ถา้ เป็นเซตทม่ี จี าํ นวนสมาชกิ เท่ากนั จะเรยี ก “เซต เทยี บเทา่ กนั ” สบั เซต 1) สญั ลกั ษณ์ ⊂ แทน การเป็นสบั เซต เช่น A เป็นสบั เซต B เขยี นแทนดว้ ย A ⊂ B 2) สญั ลกั ษณ์ ⊄ แทน การไมเ่ ป็นสบั เซต 3) เซตวา่ งเป็นสบั เซตของทกุ เซต 4) จาํ นวนสบั เซตทงั้ หมด = 2������������ โดย n คอื จาํ นวนสมาชกิ ของเซต 5) จาํ นวนสบั เซตแท้ = สบั เซตทกุ ตวั ยกเวน้ ตวั มนั เอง = 2������������ − 1 ( n คอื จาํ นวนสมาชกิ ของเซต) เพาเวอรเ์ ซต 1) เพาเวอรเ์ ซต คอื เซตของสบั เซต สญั ลกั ษณ์ P(A) แทน เพาเวอรเ์ ซต A 2) เวลาเขยี นเพาเวอรเ์ ซต ใหเ้ ขยี นสบั เซตใหห้ มดทุกตวั ก่อน แลว้ เขยี น ปีกกา คลมุ หวั ทา้ ยกจ็ ะไดเ้ พาเวอรเ์ ซตแลว้ 3) φ ∈ P(A) เซตว่างเป็นสมาชกิ ของเพาเวอรเ์ ซตเสมอ 4) จาํ นวนสมาชกิ ของเพาเวอรเ์ ซต คอื จาํ นวนสบั เซตทงั้ หมด การกระทาํ ของเซต 1) มี 4 แบบ ยเู นียน /อนิ เตอรเ์ ซคชนั / ผลต่าง/ คอมพลเี มนต์ 2) ยเู นียน คอื เอาสมาชกิ มารวมกนั สญั ลกั ษณ์ ∪ 3) อนิ เตอรเ์ ซคชนั คอื เอาสมาชกิ ทซ่ี ้าํ กนั สญั ลกั ษณ์ ∩ 4) ผลต่าง คอื เอามาลบกนั โดยดตู วั ตงั้ เป็นหลกั สญั ลกั ษณ์ เครอ่ื งหมายลบ (-) 5) คอมพลเี มนท์ คอื ไมเ่ อา เช่น A′หมายถงึ ไมเ่ อาสมาชกิ ทอ่ี ยใู่ น A สญั ลกั ษณ์ ( ′ ) โจทยป์ ัญหาเรื่องเซต 1) อ่านโจทยแ์ ลว้ วาดรปู ก่อน 2) สตู รสาํ หรบั 2 เซต n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 3) สตู รสาํ หรบั 3 เซต n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)–n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C) +n(A∩B∩C) เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 2

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพ่ีโต๋ º··Õè 2 ¡ÒÃãËŒà˵ؼŠการให้เหตผุ ล การใหเ้ หตุผลทางคณติ ศาสตรท์ ส่ี าํ คญั มี 2 วธิ ี 1) การใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั 2) การใหเ้ หตุผลแบบนิรนยั การให้เหตผุ ลแบบอปุ นัย 1) เป็นการใหเ้ หตุผลโดยยดึ ความจรงิ จากส่วนยอ่ ยทพ่ี บเหน็ ไปส่คู วามจรงิ ทเ่ี ป็นสว่ นรวม 2) วธิ กี ารสรปุ ผลในการคน้ หาความจรงิ จากการสงั เกตหรอื ทดลองหลายครงั้ จากกรณยี อ่ ยๆแลว้ นํามาสรปุ เป็นความรแู้ บบทวั่ ไป การให้เหตผุ ลแบบนิรนัย เป็นการนําความรพู้ น้ื ฐานซง่ึ อาจเป็นความเช่อื ขอ้ ตกลง กฎ หรอื บทนิยาม ซง่ึ เป็นสงิ่ ทร่ี มู้ าก่อนและ ยอมรบั ว่าเป็น จรงิ เพ่อื หาเหตุผลนําไปสขู่ อ้ สรปุ ข้อความท่ีใช้ในการอ้างเหตผุ ล มอี ยู่ 6 แบบ คอื ขอ้ ความ รปู วาด 1) สมาชกิ ของ A ทกุ ตวั เป็นสมาชกิ ของ B ตวั อยา่ ง สตั วเ์ ลย้ี งลกู ดว้ ยนมทกุ ตวั เป็นสตั วเ์ ลอื ดอุ่น B A 2) ไมม่ สี มาชกิ ของ A ตวั ใด เป็นสมาชกิ ของ B B ตวั อยา่ ง ไมม่ งี ตู วั ใดทม่ี ขี า A 3) สมาชกิ บางตวั ของ A เป็นสมาชกิ ของ B B ตวั อย่าง รถโดยสารบางคนั เป็นรถปรบั อากาศ A 4) สมาชกิ ของ A บางตวั ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ B B ตวั อย่าง รถโดยสารบางคนั ไม่ไดเ้ ป็นรถปรบั อากาศ A 5) มสี มาชกิ A หน่งึ ตวั ทเ่ี ป็นสมาชกิ ของ B B ตวั อย่าง สนุ ขั ของฉนั เป็นสนุ ขั พนั ธไุ์ ทยแท้ A 6) มสี มาชกิ ของ A หน่ึงตวั ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ B ตวั อยา่ ง สนุ ขั ของแตงไม่ใชส่ นุ ขั พนั ธุไ์ ทยแท้ B A เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 3

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพีโ่ ต๋ º··èÕ 3 ¨íҹǹ¨ÃÔ§ โครงสร้างของระบบจาํ นวนจริง จาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ จาํ นวนตรรกยะ คอื จาํ นวนทส่ี ามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู นรปู เศษสว่ น a ได้ เม่อื a, b เป็นจาํ นวนเตม็ และ b ≠ 0 b จาํ นวนอตรรกยะ คอื จาํ นวนจรงิ ทไ่ี มส่ ามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู น รปู เศษสว่ นของจาํ นวนเตม็ ได้ เปรยี บเทยี บจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนอตรรกยะ ไดต้ ามตารางดา้ นลา่ ง การเปล่ียนเศษส่วนเป็นทศนิยม และการเปล่ียนทศนิยมเป็นเศษส่วน 1) การเปลย่ี นเศษสว่ นเป็นทศนยิ มใชว้ ธิ กี ารตงั้ หาร จะหารสนั้ หรอื หารยาวกไ็ ดต้ ามใจเลย 2) การเปลย่ี นทศนิยมเป็นเศษสว่ น - ถา้ เป็นทศนิยมธรรมดา 0กส็. า4ม̇ า=รถท49าํ ไ,ดเ0้ ล.ย2เ3ช̇ ่น=0.2239=−01220 = 21 , 0. 3̇ 1̇ = 31 เป็นตน้ - ถา้ เป็นทศนยิ มซา้ํ เชน่ 90 99 การแก้สมการ 1) แกส้ มการดว้ ยวธิ กี ารแยกตวั ประกอบของพหนุ าม (มกั จะใชก้ ารแยกตวั ประกอบแบบ 2 วงเลบ็ ) - การดงึ ตวั รว่ ม - การแยกตวั ประกอบสองวงเลบ็ - กาํ ลงั สองสมบรู ณ์ - ผลต่างกาํ ลงั สอง - ผลบวก หรอื ผลต่างกาํ ลงั สาม - วธิ เี พม่ิ เขา้ -ลบออก - จบั คู่ ดงึ ตวั รว่ ม - การหารสงั เคราะห์ 2) หรอื ใชส้ ตู รสาํ หรบั แกส้ มการกาํ ลงั สอง ทอ่ี ยใู่ นรปู ������������������������2 + ������������������������ + ������������ = 0 ดงั น้ี ������������ = −������������ ± √������������2 − 4������������������������ 2������������ เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 4

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพ่โี ต๋ ช่วง (Interval) กําหนดให้ a,b เป็นจาํ นวนจรงิ และ a < b 1) ช่วง แบง่ เป็น 4 แบบ ชว่ งปิด ช่วงเปิด ช่วงครง่ึ เปิด และ ชว่ งอนนั ต์ 2) ชว่ งปิด สญั ลกั ษณ์ [a,b] ถา้ วาดกราฟจะเป็นวงกลมทบึ 3) ชว่ งเปิด สญั ลกั ษณ์ (a,b) ถา้ วาดกราฟจะเป็นวงกลมโปรง่ 4) ช่วงครง่ึ เปิด มี 2 แบบ สญั ลกั ษณ์ คอื [a, b) หรอื [a, b) ถา้ วาดกราฟตรงทเ่ี ป็นวงเลบ็ [, ] จะเป็นวงกลมทบึ และถา้ เป็น (,) จะเป็นวงกลมโปรง่ 5) ชว่ งอนนั ต์ มี 2 แบบ สญั ลกั ษณ์ คอื (a, ∞) หรอื (-∞, a) 6) การเขยี นช่วงอนนั ต์ ดา้ นทเ่ี ป็นตวั อนิ ฟินตี เ้ี ป็นชว่ งเปิดเสมอ การแก้อสมการ 1) ขนั้ ตอนการแกอ้ สมการ มี 3 ส่วนคอื แยกตวั ประกอบ ตเี สน้ จาํ นวน และ เลอื กช่วงของคาํ ตอบ 2) ถา้ ยา้ ยจาํ นวนทต่ี ดิ ลบ ไปคณู หรอื หาร เครอ่ื งหมาย >, <, ≥ และ ≤ ของอสมการจะตอ้ งเปลย่ี นเป็นเครอ่ื งหมาย ตรงกนั ขา้ ม เช่น -2x < 6 เอา -2 หารตลอด จะได้ x > - 3 ค่าสมั บรู ณ์ (Absolute value) 1) คา่ สมั บรู ณ์ของจาํ นวนจรงิ a ใดๆ หมายถงึ ระยะหา่ งระหว่าง 0 (ศูนย)์ กบั จดุ a บนเสน้ จาํ นวน 2) คา่ สมั บรู ณ์เป็นบวกเสมอ เพราะเป็นระยะห่าง 3) สมบตั ขิ องคา่ สมั บรู ณ์ • x ≥ 0 เสมอ • x = −x • x−y = y−x • x 2 = x2 = x2 • xy = x y • x=x yy • x+y ≤ x + y • x−y ≥ x − y 4) การแกส้ มการค่าสมั บรู ณ์ มี 3 วธิ ี ดงั น้ี 4.1 แปลตามนิยาม 4.2 ยกกาํ ลงั สอง 4.3 แปลค่าทลี ะคา่ สมั บรู ณ์ 5) การแกอ้ สมการคา่ สมั บรู ณ์ ทฤษฎบี ท เมอ่ื a เป็นจาํ นวนจรงิ บวก จะได้ - ถา้ |x| < a หมายถงึ –a < x < a - ถา้ |x| ≤ a หมายถงึ –a ≤ x ≤ a - ถา้ |x| > a หมายถงึ x < -a หรอื x > a - ถา้ |x| ≥ a หมายถงึ x ≤ -a หรอื x ≥ a เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 5

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋ º··èÕ 4 àŢ¡¡Òí Å§Ñ สมบตั ิของเลขยกกาํ ลงั 1) สมบตั ขิ องเลขยกกําลงั • ������������m ∙ ������������n = ������������m+n • ������������m ÷ ������������n = ������������m−n • ������������0 = 1 1 • ������������−n = ������������ n • (������������m )n = ������������mn • (������������������������)m = ������������m ������������m (������������������������ )m ������������ m • = ������������ m • ������������mn = n√������������m การหารากท่ีสองของจาํ นวนอตรรกยะ ( ) ( ) ( )1) a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 = a + b + 2 ab ( ) ( ) ( )2) a − b 2 = a 2 − 2 a b + b 2 = a + b − 2 ab การแก้สมการท่ีติดเครอื่ งหมายราก 1) การแกส้ มการทม่ี เี ครอ่ื งหมายราก โดยทวั่ ไปใชว้ ธิ ยี กกําลงั และจะตอ้ งตรวจคาํ ตอบดว้ ยว่าคาํ ตอบทไ่ี ดม้ านนั้ ใชไ้ ด้ ทุกค่าหรอื ไม่ เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 6

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋ º··èÕ 5 ¿˜§¡ª ¹Ñ ค่อู นั ดบั นิยาม ค่อู นั ดบั (a , b) = (c , d) กต็ ่อเมอ่ื a = c และ b = d ผลคณู คารท์ ีเชียน นิยาม ผลคณู คารท์ เี ชยี นของเซต A และเซต B คอื เซตของคอู่ นั ดบั (a , b) ทงั้ หมด โดยท่ี a ∈ A และ b ∈ B สญั ลกั ษณ์ A×B เชน่ A = {1,2} , B = {3,4,5} จะได้ AxB = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} สมบตั ทิ สี่ าํ คญั ของผลคณู คารท์ เี ชยี น 1) ถา้ A มสี มาชกิ m ตวั และ B มสี มาชกิ n ตวั ∴ A×B มสี มาชกิ mn ตวั 2) A × B = φ กต็ ่อเมอ่ื A = φ หรอื B = φ 3) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 4) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 5) A × (B – C) = (A × B) – (A × C) 6) A × B ≠ B × A ความสมั พนั ธ์ นิยาม r เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B กต็ ่อเมอ่ื r ⊂ A × B ถา้ A × B มสี มาชกิ n ตวั เราสามารถสรา้ งความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B ได้ 2n วธิ ี การหาโดเมน และ การหาเรนจ์ จากความสมั พนั ธ์ r - เรยี ก เซตของสมาชกิ ตวั หน้าของคอู่ นั ดบั ใน r วา่ โดเมน - เรยี ก เซตของสมาชกิ ตวั หลงั ของค่อู นั ดบั ใน r ว่า เรนจ์ การหาโดเมน มหี ลกั การคดิ ดงั น้ี การหาเรนจ์ มหี ลกั การคดิ ดงั น้ี - จดั รปู สมการ ใหอ้ ย่ใู นรปู y ในเทอม x - จดั รปู สมการ ใหอ้ ยใู่ นรปู x ในเทอม y - พจิ ารณาเทอมของ x ว่า คา่ x มขี อ้ ยกเวน้ ใดหรอื ไม่โดยดจู าก - พจิ ารณาเทอมของ y วา่ ค่า y มขี อ้ ยกเวน้ ใดหรอื ไม่โดยดจู าก 1. ถา้ เป็นรปู เศษสว่ น ∴สว่ นตอ้ ง ≠ 0 1. ถา้ เป็นรปู เศษสว่ น ∴สว่ นตอ้ ง ≠ 0 2. ถา้ ตดิ เคร่อื งหมายรากเลขคู่ 2. ถา้ ตดิ เครอ่ื งหมายรากเลขคู่ ∴ภายในเคร่อื งหมายรากตอ้ ง ≥ 0 ∴ภายในเครอ่ื งหมายรากตอ้ ง ≥ 0 ฟังกช์ นั นยิ าม ������������ จะเป็ นฟังกช์ นั กต็ ่อเม่ือ ������������ เป็นความสมั พนั ธ์ ซ่ึงมีเงื่อนไขวา่ ถา้ (������������ , ������������1) ∈ ������������ และ (������������ , ������������2) ∈ ������������ แลว้ ������������1 = ������������2 สรปุ งา่ ยๆ วา่ ถ้าสมาชิกตวั หน้าของค่อู นั ดบั ใดๆ เหมือนกนั แล้ว สมาชิกตวั หลงั ต้องเหมอื นกนั ด้วย วธิ ตี รวจสอบวา่ เป็นฟงั กช์ นั โดยใชก้ ราฟ คอื ถา้ ลากเสน้ ตรงขนานแกน y แลว้ ตดั กราฟ 1 จดุ แปลว่าเป็นฟงั กช์ นั เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 7

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋ ฟังกช์ นั ท่ีควรร้จู กั ฟงั กช์ นั เชงิ เสน้ รปู สมการทวั ่ ไป คอื ������������������������ + ������������������������ + ������������ = 0 หรอื ������������ = ������������������������ + ������������ ฟงั กช์ นั ค่าสมั บรู ณ์ รปู สมการทวั ่ ไป คอื ������������ = ������������|������������ − ������������| + ������������ ฟงั กช์ นั ขนั้ บนั ได เป็นฟงั กช์ นั ทเ่ี ป็นฟงั กช์ นั คงทเ่ี ป็นช่วงๆ กราฟของฟงั กช์ นั มรี ปู คลา้ ยขนั้ บนั ได เช่น อตั ราคา่ ไฟฟ้า ฟงั กช์ นั กาํ ลงั สอง รปู สมการทวั ่ ไป ������������ = ������������������������2 + ������������������������ + ������������ ฟงั กช์ นั พหุนาม รปู สมการทวั ่ ไป������������ = ������������1������������������������ + ������������2������������������������−1 + ������������3������������������������−2 + ⋯ เชน่ ������������ = 2������������3 − 5������������ + 2 ฟงั กช์ นั ทเี่ ป็นคาบ เป็นฟงั กช์ นั ทไ่ี มใ่ ช่ฟงั กช์ นั คงตวั เช่น ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ท่ี www.dektalent.com หน้า 8

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพ่โี ต๋ º··Õè 6 굄 ÃÒÊÇ‹ ¹µÃÕ⡳ÁÔµÔ สามเหล่ียมมมุ ฉาก จากรปู จะได้ ฉาก2 = ขา้ ม2 + ชดิ 2 อตั ราส่วนดา้ นของ ∆ มมุ ฉากทค่ี วรจาํ 1) 3 : 4 : 5 2) 5 : 12 : 13 3) 7 : 24 : 25 4) 8 : 15 : 17 อตั ราส่วนตรโี กณมิติ มี 6 อตั ราส่วนสาํ คญั ดงั น้ี = ขา้ มฉาก = ชดิ ขา้ ม 1) sin ������������ 4) cot ������������ 2) cos ������������ = ชดิ ฉาก 5) sec ������������ = ฉากชดิ 3) tan ������������ = ขา้ มชดิ 6) cosec ������������ = ฉากขา้ ม สตู รพืน้ ฐาน 8 สตู ร 1. sin������������ cosec������������ = 1 2. cos ������������ sec������������ = 1 3. tan������������ cot������������ = 1 4. sin2������������ + cos2������������ = 1 5. sec2������������ − tan2������������ = 1 6. cosec2������������ − cot2������������ = 1 7. tan ������������ = sin ������������ 8. cot ������������ = cos ������������ cos ������������ sin ������������ อตั ราส่วนตรีโกณมิติของมมุ 30° , 45° และ 60° เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 9

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพ่โี ต๋ º··Õè 7 ÅÒí ´ÑºáÅÐ͹ءÃÁ ลาํ ดบั 1) ลาํ ดบั เลขคณติ คอื ลาํ ดบั ทม่ี ผี ลต่างของพจน์ท่ี n+1 กบั พจน์ท่ี n เป็นคา่ คงตวั พจน์ทวั ่ ไป an = a1 + (n −1)d เมอ่ื d คอื ผลต่างรว่ ม, ������������1 คอื พจน์ท่ี 1 2) ลาํ ดบั เรขาคณติ คอื ลาํ ดบั ทม่ี อี ตั ราสว่ นของพจน์ท่ี n+1 ต่อพจน์ท่ี n เป็นคา่ คงตวั พจน์ทวั ่ ไป an = a1r n−1 เมอ่ื r คอื อตั ราส่วนรว่ ม, ������������1 คอื พจน์ท่ี 1 อนุกรม 1) สญั ลกั ษณ์แทนการบวก ( ∑ อ่านว่า ซกิ มา ) สมบตั ขิ อง ∑ N 1. ∑ c = c+c+c +... +c = cN i=1 N NN (ดงึ คา่ คงทไ่ี ปอยหู่ น้า ∑ ได)้ 2. ∑ cxi = c∑ xi i=1 i=1 N NN (∑ ผลบวก สามารถกระจายได)้ ∑ ∑ ∑3. (xi + yi ) = xi + yi i=1 i=1 i=1 N NN ∑ ∑ ∑4. (xi − yi ) = xi − yi (∑ ผลลบ สามารถกระจายได)้ i=1 i=1 i=1 ∑5. n i = 1+ 2 + 3 + ... + n = n(n +1) i=1 2 ∑6. n i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n +1)(2n +1) i=1 6 ∑ ∑7.ni3 = 13 + 23 + 33 n3 =  n i 2 =  n(n +1) 2 i =1 + ... +  i =1   2  2) อนุกรมเลขคณติ (Arithmetic Series) สตู รผลบวก Sn = n [2a1 + (n −1)d ] หรอื Sn = n [a1 + an ] มี 2 สตู ร ตอ้ งจาํ ไดเ้ ลอื กใชต้ ามสะดวกเลยจา้ 2 2 3) อนุกรมเรขาคณติ (Geometric Series) สตู รผลบวก Sn = a1 (1 − r n ) = a1 (r n − 1) 1− r r −1 เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 10

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพีโ่ ต๋ º··Õè 8 ¤ÇÒÁ¹Ò‹ ¨Ð໹š กฎเกณฑเ์ บอื้ งต้นเกี่ยวกบั การนับ กฎข้อ 1 ในการทาํ งาน 2 อยา่ ง โดยทง่ี านอยา่ งแรกสามารถทาํ ได้ n1 วธิ ี และในแต่ละวธิ ขี องงานอยา่ งแรก สามารทาํ งานอยา่ งทส่ี องไดอ้ กี n2 วธิ ี ∴จาํ นวนวธิ กี ารทาํ งานทงั้ 2 อยา่ ง = n1⋅n2 วธิ ี กฎข้อ 2 ในการทาํ งาน k อยา่ ง ถา้ งานอยา่ งแรก มวี ธิ ที าํ ได้ n1 วธิ ี ในแต่ละวธิ ี ของงานอยา่ งแรก สามารถทาํ งานท่ี 2 ไดอ้ กี n2 วธิ แี ละในแต่ละวธิ ขี องงานอยา่ งแรกและงานอยา่ งท่ี 2 สามารถทาํ งานอยา่ งท่ี 3 ไดอ้ กี n3 วธิ ี เป็นเชน่ น้ไี ปเรอ่ื ยๆ ∴จาํ นวนวธิ กี ารทาํ งานทงั้ k อยา่ ง = n1⋅n2⋅n3⋅ … ⋅nk วธิ ี ความน่ าจะเป็ น 1) การทดลองส่มุ คอื การทดลองหรอื การกระทาํ ทท่ี ราบวา่ ผลลพั ธอ์ าจเป็นอะไรไดบ้ า้ ง แต่ไมส่ ามารถบอกไดอ้ ยา่ ง แน่นอนว่า ในแต่ละครงั้ ทท่ี ดลองนนั้ ผลจะเกดิ เป็นอะไร เชน่ การโยนเหรยี ญ, การทอดลกู เต๋า 2) แซมเปิลสเปซ(S) คอื เซตของผลลพั ธท์ อ่ี าจเป็นไปไดท้ งั้ หมดจากการทดลองส่มุ 3) เหตุการณ์(E) คอื สบั เซตของแซมเปิลสเปซ 4) สตู รความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E = P(E) = n(E) n(S ) สมบตั ิของความน่าจะเป็น 1) 0 ≤ P(E) ≤ 1 2) ถา้ P(E) = 0 แสดงวา่ E = φ นนั่ คอื เหตกุ ารณ์นัน้ ไมม่ ีโอกาสเกิดขึ้นเลย 3) ถา้ P(E) = 1 แสดงวา่ E = S นนั่ คอื เหตุการณ์นนั้ เกิดขึน้ แน่นอน 4) P(E′) = 1 – P(E) 5) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 6) P(A∪B) = P(A) + P(B) เมอ่ื A และ B เป็นเหตุการณ์ทไ่ี มเ่ กดิ รว่ มกนั 7) P(A - B) = P(A) – P(A∩B) เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 11

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋ º··Õè 9-10 ʶԵáÔ ÅТ͌ ÁÙÅ áÅСÒÃÇàÔ ¤ÃÒÐË¢ ÍŒ ÁÅÙ àº×éͧµ¹Œ สถิติเบอื้ งต้น 1. ความหมายของสถิติ สถติ ิ หมายถงึ ตวั เลขทบ่ี อกขอ้ เทจ็ จรงิ ต่างๆ ซง่ึ ตวั เลขน้จี ะอยใู่ นลกั ษณะ รวบยอดทไ่ี ดม้ าจากการวเิ คราะหก์ ารเปรยี บเทยี บ หรอื การคาํ นวณ หรอื หมายถงึ ศาสตรท์ เ่ี ป็นทงั้ วทิ ยาศาสตรแ์ ละศลิ ปะ ซง่ึ เกย่ี วขอ้ งกบั กระบวนการ 4 ขนั้ ตอน ดงั น้ี 1.1 การเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู 1.2 การนําเสนอขอ้ มลู 1.3 การวเิ คราะหข์ อ้ มลู 1.4 การตคี วามหมายของขอ้ มลู 2. การเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล ขอ้ มลู สถติ ิ หรอื ขอ้ มลู หมายถงึ ขอ้ ความจรงิ ในเร่อื งใด เร่อื งหน่ึงท่ี เราสนใจศกึ ษา ซง่ึ อาจเป็นตวั เลข หรอื ขอ้ ความกไ็ ด้ ขอ้ สาํ คญั ขอ้ มลู เพยี งหน่วยเดยี วไม่ถอื เป็นขอ้ มลู สถติ ิ ประเภทของขอ้ มลู ถา้ จาํ แนกตามวธิ กี ารเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู แบง่ ได้ 2 ประเภท คอื 1) ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ คอื ขอ้ มลู ทเ่ี กบ็ รวบรวมจากผใู้ หข้ อ้ มลู หรอื สงั เกตจากแหล่งขอ้ มลู โดยตรง เช่น ดช. วกี จิ สาํ รวจสว่ นสงู ของเพ่อื นในชนั้ เรยี นโดยการเดนิ ถามทลี ะคน 2) ขอ้ มลู ทุตยิ ภูมิ คอื ขอ้ มลู ทไ่ี ดจ้ ากขอ้ มลู ทผ่ี อู้ น่ื เกบ็ รวบรวมไวแ้ ลว้ เช่น จากรายงานต่างๆ ของหน่วยงานราชการ องคก์ าร หรอื เอกชน บทความจากหนงั สอื พมิ พ์ วารสาร เป็นตน้ ลกั ษณะของข้อมูล แบง่ เป็น 2 ลกั ษณะ คอื 1) ขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ เป็นขอ้ มลู ทใ่ี ชแ้ ทนขนาด หรอื ปรมิ าณ ซง่ึ สามารถ ชงั่ ตวง วดั ออกมาเป็นตวั เลขไดโ้ ดยตรง 2) ขอ้ มลู เชงิ คุณภาพ เป็นขอ้ มลู ทไ่ี ม่สามารถวดั ออกมาเป็นตวั เลขไดโ้ ดยตรง แต่วดั ออกมาโดยอาศยั คุณลกั ษณะของสงิ่ นนั้ ๆแต่ใน บางกรณี ขอ้ มลู เชงิ คุณภาพวดั ออกมาเป็นตวั เลขได้ แต่ตวั เลขเหลา่ นนั้ ไม่สามารถนํามาหาค่าเฉลย่ี ได้ เชน่ เบอรเ์ สอ้ื เบอรร์ องเทา้ วิธีการเกบ็ รวบรวมข้อมูล มวี ธิ เี กบ็ ไดห้ ลายวธิ ี คอื 1) จากทะเบยี นประวตั ิ เป็นการเกบ็ รวบรวมจากฝา่ ยทะเบยี นต่างๆ เช่น ฝา่ ยทะเบยี นของโรงเรยี น เขต โรงพยาบาล หน่วยงานของ รฐั การเกบ็ รวบรวมโดยทาํ การคดั ลอกซง่ึ ขอ้ มลู ทไ่ี ดม้ คี วามเช่อื ถอื คอ่ นขา้ งสงู ประหยดั เวลาและค่าใชจ้ า่ ย 2) จากการสาํ รวจ บางครงั้ ขอ้ มลู จากทะเบยี นประวตั มิ ไี มค่ รบตามทต่ี อ้ งการ หรอื ไม่ไดเ้ กบ็ รวบรวมไวจ้ งึ จาํ เป็นตอ้ งใชว้ ธิ สี าํ รวจเอง โดยใชแ้ บบสอบถาม หรอื การสมั ภาษณ์ 3) จากการสงั เกต ขอ้ มลู บางประเภทใชแ้ บบสอบถามหรอื สมั ภาษณ์ อาจไมไ่ ดข้ อ้ เทจ็ จรงิ กต็ อ้ งใชว้ ธิ แี อบดหู รอื สงั เกตเอง 4) จากการทดลอง สว่ นใหญ่เป็นการเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู ทางวทิ ยาศาสตร์ เป็นขอ้ มลู ทถ่ี ูกตอ้ งและ เช่อื ถอื ไดม้ าก ถา้ ไม่เกดิ ความ คลาดเคล่อื นจากการวดั หรอื การวางแผนการทดลอง 3. การนําเสนอข้อมูล การนําเสนออยา่ งไมเ่ ป็นแบบแผน เชน่ - การนําเสนอในรปู ขอ้ ความ คอื การนําขอ้ มลู มาเสนอเป็นสว่ นหน่งึ ของขอ้ ความ - การนําเสนอในรปู กง่ึ ตาราง คอื การนําเสนอขอ้ มลู โดยแยกตวั เลขออกจากขอ้ ความ การนําเสนอขอ้ มลู อย่างเป็นแบบแผน เชน่ - การนําเสนอดว้ ยตาราง แผนภูมิ หรอื แผนภาพ กราฟเสน้ 4. การวิเคราะหข์ อ้ มูลเบอื้ งต้น - ตารางแจกแจงความถ่ี - ฮสิ โตแกรม - รปู หลายเหลย่ี มของความถ่ี - เสน้ โคง้ ความถ่ี - เสน้ โคง้ ความถส่ี ะสม เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 12

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพโ่ี ต๋ สญั ลกั ษณ์แทนการบวก ( ∑ อ่านว่า ซิกมา) สมบตั ขิ อง ∑ N 1. ∑ c = c+c+c +... +c = cN i=1 N NN (ดงึ ค่าคงทไ่ี ปอยหู่ น้า ∑ ได)้ 2. ∑ cxi = c∑ xi i=1 i=1 N NN (∑ ผลบวก สามารถกระจายได)้ ∑ ∑ ∑3. (xi + yi ) = xi + yi i=1 i=1 i=1 N NN ∑ ∑ ∑4. (xi − yi ) = xi − yi (∑ ผลลบ สามารถกระจายได)้ i=1 i=1 i=1 ค่ากลางของข้อมลู ค่ากลางของขอ้ มลู ขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงความถ่ี ขอ้ มลู แจกแจงความถ่ี 1) ค่าเฉลย่ี เลขคณติ (������������̅) ������������̅ = ∑ ������������ ������������̅ = ∑ ������������������������ • คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ������������ ������������ + �∑������������������������������������������������ หรอื ������������̅ = � ������������ • ค่าเฉลย่ี เลขคณติ แบบถ่วง น้ําหนกั ������������̅ = ������������1������������1 + ������������2������������2 + ⋯ + ������������������������ ������������������������ - ������������1 + ������������2 + ⋯ + ������������������������ • ค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวม ������������̅ = ������������1������������1 + ������������2������������2 + ⋯ + ������������������������ ������������������������ - 2) มธั ยฐาน (Median = Med.) ������������1 + ������������2 + ⋯ + ������������������������ 3) ฐานนิยม (Mode = Mo.) 1) เรยี งขอ้ มลู จากน้อยไปหามาก ������������������������������������. = ������������ + ������������ −∑ ������������������������ � ������������ 4) ค่ากง่ึ กลางพสิ ยั (Mid - range) 2) ขอ้ มลู ทอ่ี ยตู่ รงกลางคอื มธั ยฐาน �2 ������������������������ 5) ค่าเฉลย่ี ฮารโ์ มนกิ ขอ้ มลู ทซ่ี ้าํ กนั มากทส่ี ดุ คอื ฐานนยิ ม ������������������������������������������������ = ������������ + �ข���������อ���1บ���+���บ������1น������+������2�ข���อ��������� บลา่ ง (Harmonic Mean = H.M.) ������������������������������������ − ������������������������������������������������������������ =2 6) ค่าเฉลย่ี เรขาคณติ (Geometric ������������������������������������ − ������������������������������������������������������������ = ������������������������������������������������ + ������������������������������������������������ Mean = G.M.) 2 ������������. ������������. = 1 1 ������������ 1 - ������������1 ������������2 + ������������������������ + ⋯ + ������������. ������������. = ������������� ������������1 ∙ ������������2 ∙ … ∙ ������������������������ - เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 13

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พนื ้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพโ่ี ต๋ การวดั ตาํ แหน่งท่ีของข้อมลู การวดั ตาํ แหน่งทข่ี องขอ้ มลู ขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงความถ่ี ขอ้ มลู แจกแจงความถ่ี 1) ควอไทล(์ แบง่ 4 ส่วน) 1)เรยี งขอ้ มลู จากคา่ น้อยไปหาค่ามาก 1)สรา้ งชอ่ งความถส่ี ะสมของขอ้ มลู ท่ี 2)หาตาํ แหน่ง สตู ร (N +1) กาํ หนดให้ Qr = 4 × r N 3)เทยี บคะแนนจาก 4 2)หาตาํ แหน่ง สตู ร Qr = ×r คะแนน = คา่ ของขอ้ มลู ทต่ี รงกบั ตาํ แหน่ง 3)เทยี บคะแนน สตู ร + (เศษ x ชว่ งห่างของขอ้ มลู ) ������������������������ ������������������������ ������������ �4 −∑ ������������������������ � ������������ = + ������������������������ 2) เดไซล์ (แบ่ง 10 ส่วน) 1)เรยี งขอ้ มลู จากคา่ น้อยไปหาคา่ มาก 1)สรา้ งชอ่ งความถส่ี ะสมของขอ้ มลู ท่ี 2) หาตําแหน่ง สตู ร (N + 1) กาํ หนดให้ Dr = 10 ×r N ×r 3)เทยี บคะแนนจาก 10 2)หาตําแหน่ง สตู ร Dr = คะแนน = คา่ ของขอ้ มลู ทต่ี รงกบั ตาํ แหน่ง 3)เทยี บคะแนน สตู ร + (เศษ x ช่วงห่างของขอ้ มลู ) ������������������������ ������������������������ ������������ �10 −∑ ������������������������ � ������������ = + ������������������������ 3) เปอรเ์ ซน็ ไทล์ (แบง่ 100 สว่ น) 1)เรยี งขอ้ มลู จากคา่ น้อยไปหาค่ามาก 1)สรา้ งช่องความถส่ี ะสมของขอ้ มลู ท่ี 2) หาตาํ แหน่ง สตู ร (N + 1) กาํ หนดให้ Pr = 100 ×r N ×r 3)เทยี บคะแนนจาก 100 2)หาตําแหน่ง สตู ร Pr = คะแนน = คา่ ของขอ้ มลู ทต่ี รงกบั ตาํ แหน่ง 3)เทยี บคะแนน สตู ร + (เศษ x ชว่ งหา่ งของขอ้ มลู ) ������������������������ ������������������������ ������������ �100 − ∑ ������������������������ � ������������ = + ������������������������ เมอ่ื ������������ คอื ขอบล่างของชนั้ ท่ี Qr, Dr, Pr อยู่ ∑ ������������������������ คอื ความถส่ี ะสมของชนั้ ทอ่ี ยกู่ ่อนจะถงึ ชนั้ ท่ี Qr, Dr, Pr อยู่ ������������������������ คอื ความถข่ี องอนั ตรภาคชนั้ ท่ี Qr, Dr, Pr อยู่ ������������ คอื ความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้ ท่ี Qr, Dr, Pr อยู่ ������������ คอื จาํ นวนขอ้ มลู ทงั้ หมด เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ท่ี www.dektalent.com หน้า 14

DekTalent.com เอกสารสรุปสตู ร คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋ การวดั การกระจายของข้อมลู การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ 1) พสิ ยั 1) สมั ประสทิ ธขิ ์ องพสิ ยั ( ขอ้ มลู ไม่แจกแจงความถ)่ี = xmax − xmin พสิ ยั = xmax − xmin xmax + xmin ( ขอ้ มลู แจกแจงความถ)่ี 2) สมั ประสทิ ธขิ ์ องสว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ พสิ ยั = ขอบบนชนั้ สงู สดุ – ขอบล่างชนั้ ต่ําสดุ = Q3 − Q1 Q3 + Q1 2) ส่วนเบย่ี งเบนควอไทล์ 3) สมั ประสทิ ธขิ ์ องส่วนเบย่ี งเบนเฉลย่ี Q.D. = Q3 − Q1 2 = M .D. x 3) ส่วนเบย่ี งเบนเฉลย่ี ส่วนเบย่ี งเบนเฉลย่ี ( ขอ้ มลู ไม่แจกแจงความถ)่ี M .D = ∑ xi − x N ( ขอ้ มลู แจกแจงความถ)่ี M .D = ∑ f xi − x N 4) สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 4) สมั ประสทิ ธขิ ์ องการแปรผนั ( ขอ้ มลู ไม่แจกแจงความถ)่ี 2 = S.D. x N S.D. = ∑ x2 −  ∑x (Sข.Dอ้ .ม=ลู แจ∑iก=1แ(จxงNi ค−วxา)ม2ถ)่ี หรอื N N S.D. = N หรอื S.D. = ∑ fx2 −  ∑ fx 2 ∑ fi (xi − x)2 N N i =1 N ความแปรปรวน (������������2) 1) ความแปรปรวน ( )∑ ∑ ∑ ∑S2 = 2 (x − x)2 x2 −  x = x2 − x 2 = N N N N 2) ความแปรปรวนรวม x12∑ ∑ ∑ ∑= x22 −  2 N1 + x1 + x2 + N2 N1 + N2 เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ท่ี www.dektalent.com หน้า 15


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook