เอกสารทบทวนความรู้พื้นฐานเตรียมสอบ Onet สรุปเนื้อหา 2560

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                99                                                   ตัวอย่าง 16    มีคน 6 คน ในจํานวนนมี ี Aและ B รวมอยดู่ ้วย จดั คนทงั 6 คนนนี งั รอบโต๊ะกลมตวั หนงึ จะได้กวี ธิ ี เมอื (1)  ไมม่ ีข้อกําหนดเพิมเตมิ (2)  ให้  A นงั ตดิ กบั B                    (4)  ให้ A นงั ตรงข้ามกบั B     (3)  ให้ A นงั แยกกบั B                  ตัวอย่าง 17    ครอบครวั หนงึ มีพอ่ แม่ ลกู ชาย 2 คน และลกู สาว 2 คน           จดั คนทงั หมดนงั รับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม จะได้กวี ิธี เมือ  (1)  พอ่ และแมน่ งั ตดิ กนั (2)  ลกู สาวสองคนนงั ติดกนั                 (3)  ลูกชายสองคนไมน่ งั ติดกนั     (4)   พอ่ และแมน่ งั ตรงข้ามกนั                  

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                100                                                   5. วิธจี ัดหมู่ (Combination)     การนําสิงของทมี คี วามแตกตา่ งกนั ทงั หมดหรือเพียงบางสว่ นมาจดั หมู่ โดยไมถ่ ือตาํ แหนง่ หรือลําดบั กอ่ นหลงั เป็ นสาํ คญั เชน่ การเลือกหยิบของพร้อมกนั จากจํานวนทมี อี ยู่ การสร้างสบั เซต สตู รทคี วนรู้     ถ้ามสี ิงของ n  สิงทแี ตกตา่ งกนั ทงั หมด หยิบหรือเลือกออกมา r สิงรวมเป็ นหมู่ (หยิบพร้อมกนั )    จาํ นวนวธิ ีทีได้ทงั หมดเทา่ กบั nCr   n   (n n! r !   r  r)! ตวั อย่าง 18    จงตอบคําถามตอ่ ไปน ี (1)  การเลือกปากกาสี 3 แทง่ จากปากกาสีตา่ งกนั 12 สีๆละ 1 แทง่   มจี าํ นวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วธิ ี (2)  มีรายชือนกั เรียนในกลอ่ งจาํ นวน 8 รายชือ สมุ่ เลือกหยบิ รายชือนกั เรียนมา 5 รายชือ   มจี าํ นวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วิธี    (3)  ในกลอ่ งใบหนงึ มีลกู บอลทเี ขียนด้วยหมายเลข 1 ถงึ 9 อยา่ งละลูก สุ่มหยิบลูกบอลมาพร้อมกนั 7 ลูก  มจี าํ นวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วิธี  (4)  เลือกนกั เรียน 2 คนจากนกั เรียนห้องนีทมี ี ....... คน  มจี ํานวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วธิ ี    (5)  ในถงุ ใบหนงึ มลี ุกบอลขนาดเดียวกนั 5 ลกู สีแตกตา่ งกนั เลือกมา 3 ลูก  มจี ํานวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วธิ ี     ตัวอย่าง 19 ชายคนหนงึ  มีเสือทีแตกตา่ งกนั 8 ตวั และกางเกงทแี ตกตา่ งกนั 6 ตวั       ถ้าเขาต้องการนาํ เสอื 5 ตวั และกางเกง 4 ตวั ไปตา่ งจงั หวดั       เขาจะมวี ธิ ีการเลือกเสือและกางเกงทงั หมดกีวธิ ี           ตวั อย่าง 20  มดี ินสอ 12 แทง่ ซงึ มีสแี ตกตา่ งกนั ทงั หมด ต้องการหยบิ ทลี ะ 5 แทง่       จงหาวธิ ีทแี ตล่ ะครังในการหยบิ มา จะต้องมดี นิ สอสเี ขียวอยดู่ ้วยเสมอ  

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                101                                                   6. ความน่าจะเป็ น   การทดลองส่มุ (Random Experiment) หมายถงึ การทดลอง หรือการกระทาํ ซงึ ทราบวา่ ผลลพั ธ์ทไี ด้จากการทดลองนนั ทเี ป็ นไปได้มีอะไรบ้าง แตไ่ ม่ สามารถระบไุ ด้แนช่ ดั วา่ ในการทดลองแตล่ ะครังจะเกดิ ผลลพั ธ์อะไร จากผลลพั ธ์ทงั หมดเหล่านนั เชน่ การโยนเหรียญ การโยนลกู เตา๋ ฯลฯ  ปริภมู ติ วั อย่าง(Sample Space) หมายถงึ เซตของผลลพั ธ์ทเี ราสนใจ ซงึ เป็ นไปได้ทงั หมดจากการทดลองสมุ่ ใช้สญั ลกั ษณ์ S  แทนปริภูมติ วั อยา่ ง  เหตกุ ารณ์ (Event)   หมายถงึ สบั เซตของปริภูมติ วั อยา่ ง ใช้สญั ลกั ษณ์ E  แทนเหตกุ ารณ ์   ดงั นนั  E  เป็ นเหตกุ ารณ์ของปริภมู ติ วั อยา่ ง S กต็ อ่ เมอื E  S  หมายเหตุ   1.   สามารถดาํ เนินการทางเซตได้กบั เหตกุ ารณส์ องเหตกุ ารณ์ใดๆโดยมี S เป็ นเอกภพสมั พทั ธ์   2.   เพราะวา่   S และ S  S  ดงั นนั  และ S เป็ นเหตกุ ารณ์  3.   ถ้า S เป็ นเซตจาํ กดั และ E เป็ นเหตกุ ารณ์แล้ว E  เป็ นเซตจํากดั โดยที    0  n(E)  n(S)   n(E) = 0 เมอื E =      n(E) = n(S)  เมอื E = S    ตัวอย่าง 21 จงเขียนเซต S ทเี ป็ นปริภูมิตวั อยา่ ง (sample space) ของการทดลองส่มุ ตอ่ ไปน ี 1. การโยนลกู เตา๋ 1 ลกู 1 ครงั สนใจแต้มทไี ด้    S = ...................................................................................................................    2.  การโยนเหรียญเทยี งตรง 1 เหรียญ 1 ครงั สนใจหน้าทีหงาย   S = ...................................................................................................................    3.  การโยนเหรียญเทยี งตรง 1 เหรียญ 2 ครงั สนใจหน้าทีหงาย   S = ...................................................................................................................     4.  การโยนเหรียญเทยี งตรง 2 เหรียญ 1 ครงั สนใจหน้าทหี งาย   S = ...................................................................................................................    5. การโยนลกู เตา๋ 1 ลกู และเหรียญ 1 เหรียญพร้อมกนั สนใจแต้มและหน้าเหรียญ    S = ...................................................................................................................            6. จากการโยนเหรียญ 3 เหรียญ  สนใจการเกิดหวั (H)หรือก้อย(T)     S = ...................................................................................................................   

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                102                                                   7.   การโยนลกู เตา๋ 2 ลกู 1 ครงั  สนใจแต้มทีเกดิ ขนึ ของลกู เตา๋ แตล่ ะลกู ทงั 2 ลูก   S =  ...................................................................................................................        ...................................................................................................................        ...................................................................................................................         ...................................................................................................................      ...................................................................................................................      ...................................................................................................................    8.  การสุม่ หยิบลกู บอล 2 ลกู จากกลอ่ งใบหนงึ ทีมีลกู บอลสแี ดง 2 สีนาํ เงิน 1 และสีขาว 1 ลูก    (8.1)  ถ้าสมุ่ หยบิ ออกมาทีละลกู แล้วใสค่ นื   S =  ..................................................................................................................        ..................................................................................................................      ..................................................................................................................      (8.2)  ถ้าสมุ่ หยิบออกมาทลี ะลูกแล้วไมใ่ ส่คนื จะได้ปริภมู ิตวั อยา่ งคอื   S =  ..................................................................................................................        ..................................................................................................................      ..................................................................................................................      (8.3)  ถ้าสุ่มหยบิ ออกมาพร้อมกนั 2 ลูก   S =  ..................................................................................................................        ..................................................................................................................      ..................................................................................................................    ตวั อย่าง 22  ในการโยนเหรียญ 4 เหรียญ ใน 1 ครงั ถ้าผลลพั ธ์ทสี นใจคือ จํานวนเหรียญทีขึนหน้าหวั ทีได้   ปริภูมิตวั อยา่ ง คือ S       S = ………………......................................……………………………….……            ...............................................................................................................      n(S)  = ……………………        ถ้า A  แทนเหตกุ ารณ์ทมี เี หรียญขึนหน้าหวั มากกวา่ ขึนหน้าก้อย แล้ว  A  = ……………………………………………………...      n(A)  = ……………………        ถ้า B  แทนเหตกุ ารณ์ทีมีเหรียญขึนหน้าหวั และหน้าก้อยจํานวนเทา่ กนั แล้ว  B  = ……………………………………………………...      n(B)  = …………………     

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                103                                                   ตัวอย่าง 23  ในกล่องใบหนงึ มีลกู บอลสขี าว 1 ลูก สีแดง 1 ลกู และสีนาํ เงนิ 2 ลูก       ถ้าหยิบลูกบอลจากลอ่ งอยา่ งสุ่มจาํ นวน 2 ลกู พร้อมกนั จะได้  ปริภมู ติ วั อยา่ ง  =……………………………………………………………….............................  จะได้ n(S)  =  …………………    เหตกุ ารณ์ทลี กู บอลทงั 2 ลูกสีตา่ งกนั  =……………………………………………………………….    และมีจาํ นวนสมาชิก =………………     เหตกุ ารณ์ทลี ูกบอลทงั 2 ลูกสีเหมือนกนั =……………………………………………………………….  และมจี าํ นวนสมาชกิ  =…………      ตัวอย่าง 24  ในกล่องใบหนงึ มีลูกบอลสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก และสีนาํ เงนิ 2 ลูก        ถ้าหยบิ ลูกบอลจากล่องอยา่ งสมุ่ จาํ นวน 2 ลกู ทลี ะลกู และไมใ่ สค่ นื กอ่ นเลอื กครังถดั ไป จะได้  ปริภูมิตวั อยา่ ง  =……………………………………………………………….............................  จะได้ n(S)  =  …………………    เหตกุ ารณ์ทลี กู บอลทงั 2 ลกู สีตา่ งกนั  =……………………………………………………………….    และมจี ํานวนสมาชกิ  =………………     เหตกุ ารณ์ทลี กู บอลทงั 2 ลกู สีเหมอื นกนั =……………………………………………………………….  และมจี ํานวนสมาชกิ  =…………      ตัวอย่าง 25  ในกลอ่ งใบหนงึ มีลูกบอลสีขาว 1 ลกู สีแดง 1 ลูก และสีนาํ เงนิ 2 ลกู        ถ้าหยบิ ลูกบอลจากลอ่ งอยา่ งสมุ่ จาํ นวน 2 ลกู ทลี ะลูกและใสค่ นื กอ่ นเลือกครงั ถดั ไป จะได้  ปริภูมติ วั อยา่ ง  =……………………………………………………………….............................  จะได้ n(S)  =  …………………    เหตกุ ารณ์ทลี ูกบอลทงั 2 ลูกสีตา่ งกนั  =……………………………………………………………….    และมีจํานวนสมาชิก =………………     เหตกุ ารณ์ทลี ูกบอลทงั 2 ลูกสีเหมือนกนั =……………………………………………………………….  และมจี ํานวนสมาชิก =…………     

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                104                                                   ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ (Probability of Events)   บทนิยาม ถ้า S เป็ นปริภมู ติ วั อยา่ งซงึ เป็ นเซตจาํ กดั และประกอบด้วยผลลพั ธ์ทมี โี อกาสเกดิ ขนึ เทา่ กนั   และ E เป็ นเหตกุ ารณ์ ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ E จะเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ P(E)       P(E) หมายถงึ อตั ราสว่ นของจาํ นวนผลลพั ธ์ใน E ตอ่ จํานวนผลลพั ธ์ใน S นนั คือ  P(E)  n(E) n(S)   คุณสมบตั บิ างประการเกียวกบั ความน่าจะเป็ น   1.    ถ้า E เป็ นเหตกุ ารณ์ใด ๆ แล้ว   0  P(E)  1  2    ถ้า A และ B เป็ นเหตกุ ารณ์ใด ๆ ในปริภมู ิตวั อยา่ ง S  จะได้     P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)      P(A – B) = P(A) – P(AB)      P(A) = 1 – P(A )   3.    ถ้า A และ B เป็ นเหตกุ ารณใ์ ด ๆ ในปริภูมิตวั อยา่ ง S ทเี ป็ นอสิ ระกนั  กต็ อ่ เมอื P(AB)  = P(A)P(B)    ตวั อย่าง 26  จากการสํารวจนกั เรียนกลุ่มหนงึ จาํ นวน 50 คน ได้ข้อมลู วา่ มีนกั เรียนทสี วมรองเท้าขนาดตา่ งๆ ดงั นี       เบอร์รองเท้า จาํ นวนนกั เรียน  7  13  6  12  8  15  9  10    รวม 50 คน     เมอื เลือกนกั เรียน 1 คน จากนกั เรียนกลมุ่ นี   (1)  ความนา่ จะเป็ นทจี ะเลือกได้นกั เรียนสวมรองเท้าเบอร์ 8 เทา่ กบั เทา่ ใด       (2)  ความนา่ จะเป็ นทีจะเลือกได้นกั เรียนสวมรองเท้าเบอร์ 6 หรือเบอร์ 9 เทา่ กบั เทา่ ใด      (3)  ความนา่ จะเป็ นทีจะเลอื กได้นกั เรียนสวมรองเท้าเบอร์ทขี นาดน้อยกวา่ เบอร์ 9 เทา่ กบั เทา่ ใด       

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                105                                                   ตัวอย่าง 27  ในการโยนลูกเตา๋ 3 ลูก ใน 1  ครงั จงหา  (1)  ความนา่ จะเป็ นทีลูกเตา๋ สามลูกนนั ขนึ แต้มคที งั สามลูก   (2)  ความนา่ จะเป็ นทลี ูกเตา๋ สามลูกนนั ขนึ แต้มเดยี วกนั ทงั สามลูก  (3)  ความนา่ จะเป็ นทีลกู เตา๋ สามลูกนนั ขนึ แต้มแตกตา่ งกนั                                   ตัวอย่าง 28  สุ่มหยบิ ลกู บอล 2 ลกู พร้อมกนั จากกลอ่ งใบหนงึ ซงึ มลี ูกบอลสีแดง 3 ลกู สขี าว 2 ลกู   และสนี าํ เงิน 4 ลกู จงหา  (1)  ความนา่ จะเป็ นทจี ะได้ลกู บอลสีเดียวกนั ทงั สองลกู (2)  ความนา่ จะเป็ นทีจะได้ลกู บอลสีตา่ งกนั   (3)  ความนา่ จะเป็ นทจี ะได้ลกู บอลสีนาํ เงินมาด้วยเสมอ                             

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                106                                                   ตัวอย่าง 29  ในลินชกั มีถงุ เท้าสีขาว 4 คู่ สีดาํ 3 คู่ และสนี าํ เงิน 2 คู่ แตไ่ มไ่ ด้จดั เรียงไว้เป็นคๆู่   ถ้าสมุ่ หยบิ ถงุ เท้ามา 2 ข้าง  จงหา    (1)  ความนา่ จะเป็ นทจี ะได้ถงุ เท้าสีขาวทงั สองข้าง       (2)  ความนา่ จะเป็ นทจี ะได้ถงุ เท้าสีดําทงั สองข้าง  (3)  ความนา่ จะเป็ นทจี ะได้ถงุ เท้าสีนาํ เงินทงั สองข้าง  (4)  ความนา่ จะเป็ นทจี ะได้ถงุ เท้าสีเดียวกนั ทงั สองข้าง  (5)  ความนา่ จะเป็ นทจี ะได้ถงุ เท้าสีตา่ งกนั                     ตัวอย่าง 30  ถ้า A และ B เป็ นเหตกุ ารณ์ โดยที P(A) = 0.2  P(B) = 0.6  และ P(A  B)  0.9    จงหา    (1)  P(A  B)           (2)  P(A  B)      (3)  P(A)           (4)  P(A  B)      ตัวอย่าง 31  ถ้า A และ B เป็ นเหตกุ ารณ์ โดยที P(A) = 0.7, P(B) = 0.4  และ P(A  B) = 0.3  จงหา     (1)   P(A  B)      (2)   P(B)      (3)   P(A  B)            (4)   P(A  B)      (5)   P(A – B)       

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                107                                                   ตัวอย่าง 32 บวั ขาวเข้าสอบสองวชิ า คือ คณิตศาสตร์ และภาษไทย พบวา่   ความนา่ จะเป็ นทเี ขาจะสอบผา่ นวิชาคณิตศาสตร์มีคา่ เทา่ กบั 2   5 ความนา่ จะเป็ นทจี ะสอบตกภาษาไทยเทา่ กบั 2   3 และความนา่ จะเป็ นทเี ขาจะสอบผา่ นอยา่ งน้อยหนงึ วิชาเทา่ กบั 3 จงหา 5 (1) ความนา่ จะเป็ นทเี ขาจะสอบผา่ นทงั สองวิชา  (2) ความนา่ จะเป็ นทีเขาจะสอบผา่ นอยา่ งมากหนงึ วชิ า  (3) ความนา่ จะเป็ นทเี ขาจะสอบผา่ นคณิตศาสตร์แตต่ กภาษาไทย  (4) ความนา่ จะเป็ นทีเขาจะสอบผา่ นภาษไทยแตต่ กคณิตศาสตร์                                ตัวอย่าง 4   ในการยงิ นาย ก แตล่ ะนดั ของเขา ความนา่ จะเป็นทจี ะยงิ ถกู เป้ าหมายเทา่ กบั 4   5 ถ้านาย ก ยิงปื น 5 นดั จงหาความนา่ จะเป็ นทเี ขาจะ  (1) ยงิ ถกู เป้ า 3 นดั (2)  ยงิ ไมถ่ กู เป้ า 4 นดั                            

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                108                                                   ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet       ในแต่ละปี จะมปี ระมาณ 6 - 7 ข้อ(3 ปี ลา่ สดุ ปี ละ 6 ข้อ) โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่  ความเข้าใจเกียวกบั กระบวนการทางสถิติ   ความเข้าใจเกยี วกบั ข้อมลู เชิงปริมาณ เชงิ คุณภาพ ปฐมภมู ิ ทตุ ยิ ภูมิ และการเก็บรวบรวมข้อมลู    ความเข้าใจเกยี วกบั การแจกแจงความถี ได้แก่ ตาราง แผนภาพต้น–ใบ ฮีสโทแกรม    ความเข้าใจเกียวกบั การวดั ค่ากลาง คา่ เฉลยี เลขคณิต ค่ามธั ยฐาน และฐานนยิ ม และการเลอื กใช้ คา่ กลางให้เพมาะสมกบั ข้อมูล   หาคา่ กลางของข้อมลู ได้แก่ คา่ เฉลียเลขคณติ คา่ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม สาํ หรบั ข้อมูลทไี มไ่ ด้แจก แจงเป็ นอตั รภาคชนั และแจกแจงเป็ นอนั ตรภาคชนั    หาค่าการวดั ตาํ แหนง่ ได้แก่ ควอร์ไทล์ เดไซน์ และเปอร์เซน็ ไทล์ ได้สาํ หรบั ข้อมลู ทไี มไ่ ด้แจกแจงเป็ น อตั รภาคชนั    หาคา่ การวดั การกระจายของข้อมลู เน้นค่าพิสยั ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน ความแปรปวน และความ แปรปรวนรวม    การอา่ นแผนภาพกลอ่ ง(box-and-whisker-plot)   ความเข้าใจขนั ตอนการสาํ รวจความคิดเห็น  1. สถติ แิ ละข้อมูล ความหมายของสถติ ิ มอี ยู่ 2 ประการ คอื   สถติ ิ หมายถงึ ตวั เลขทแี สดงข้อเทจ็ จริงของข้อมลู   สถิติ หมายถงึ ศาสตร์หรือหลกั การทีมรี ะเบยี บวธิ ี ทเี รียกวา่ ระเบียบการทางสถิติ โดยมกี ระบวนการทสี ําคญั 4 ขนั ตอนคอื การเก็บรวบรวมข้อมลู การวเิ คราะหข์ ้อมลู  การนาํ เสนอข้อมลู การตีความหมายของข้อมลู     ประเภทของสถิติ แยกได้ 2  ประเภทดงั น ี สถติ เิ ชิงพรรณนา หมายถงึ วธิ ีการคดิ วเิ คราะหข์ ้อมลู เบอื งต้น เพืออธิบายลกั ษณะกว้างๆข้อมลู นนั โดยไมไ่ ด้นํา ผลนนั ไปทํานาย คอื คาดคะเนเกียวกบั เหตกุ ารณ์อนื ๆ เชน่ การหาคา่ กลาง การวดั การกระจายของข้อมลู แล้วนาํ เสนอ ด้วยกราฟ ตาราง เป็ นต้น  สถติ เิ ชงิ อนุมาน หมายถงึ วธิ ีการคดิ วิเคราะหข์ ้อมลู จากลมุ่ ตวั อยา่ ง โดยต้องเป็ นตวั อยา่ งทดี ี ซงึ อาจจะเป็ น การวเิ คราะหช์ นั สงู เพอื หาข้อสรุป หลงั จากนนั นาํ ผลสรุปทีได้ไปทดสอบเพอื ทจี ะนาํ ผลไปคาดคะเน หรือทาํ นายเกยี วกบั สว่ นรวมหรือผลทีเกิดขึนในอนาคต และข้อมลู ทไี ด้จากการวิเคราะหเ์ ราเรียกวา่ สารสนเทศ หรือข่าวสาร    

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                109                                                   ความหมายของคาํ ต่างๆ ทใี ช้ในวิชาสถติ ิ ประชากร หมายถงึ กล่มุ ของสิงตา่ งๆ ทงั หมด ทเี ราต้องการศกึ ษา    ตวั อย่าง หมายถงึ สว่ นหนงึ หรือสบั เซตหรือเป็ นตวั แทนของประชากรและเป็ นสว่ นทเี รานาํ มาหาข้อมลู   พารามิเตอร์ หมายถงึ คา่ ตา่ งๆทแี สดงลกั ษณะของประชากร เชน่ คา่ เฉลียเลขคณิต( ) สว่ นเบยี งเบน มาตรฐาน(  )  ร้อยละ อตั ราส่วน เป็นต้น     ค่าสถติ ิ หมายถงึ หมายถงึ คา่ ตา่ งๆทีแสดงลกั ษณะของตวั อยา่ ง เชน่ คา่ เฉลียเลขคณิต( x ) ส่วนเบยี งเบน มาตรฐาน(s หรือ SD)  ร้อยละ อตั ราสว่ น เป็ นต้น     ข้อมูล หมายถงึ สิงหรือข้อความจริงทีอาจจะแสดงได้ด้วยตวั เลขหรือข้อความทบี อกถงึ สภาพหรือสถานการณ์ ใดสถานการณห์ นงึ   ประเภทของข้อมลู (1) จาํ แนกตามลกั ษณะของข้อมูล  ข้อมูลเชงิ ปริมาณ หมายถงึ ข้อมลู ทแี สดงขนาดหรือปริมาณทวี ดั ออกมาเป็ นจาํ นวน ทสี ามารถนํามา เปรียบเทียบกนั ได้โดยตรง  ข้อมูลเชิงคุณภาพ หมายถงึ ข้อมลู ทีไมส่ ามารถวดั ออกมาเป็ นจํานวนได้โดยตรง แตส่ ามารถอธิบาย ลกั ษณะรูปร่าง ขนาด หรือคณุ สมบตั ขิ องสิงทวี ดั ออกมา เชน่ เพศ อาชพี ศาสนา ความชอบ เป็นต้น      (2) จาํ แนกตามการเก็บรวบรวมข้อมูล  ข้อมูลปฐมภมู ิ คอื ข้อมลู ทเี ราเกบ็ รวบรวมจากแหลง่ ทมี าของข้อมลู โดยตรง มี 2 วิธีกว้างๆ คอื    การสาํ มะโน เป็ นการเก็บรวบรวมข้อมลู จากทกุ หนว่ ยของกลมุ่ ประชากร ซงึ สามารถทาํ ได้ โดยการสมั ภาษณ์ การสง่ แบบสอบถาม การสอบถามทางโทรศพั ท์ การสงั เกต การทดลอง    การสาํ รวจจากกลุ่มตวั อย่าง เป็ นการเก็บรวบรวมข้อมลู จากกลุ่มตวั อยา่ ง โดยแตล่ ะหนว่ ย ในกลุม่ ตวั อยา่ งต้องเป็ นตวั แทนทีมลี กั ษณะหรือคณุ สมบตั ทิ ีใกล้เคยี งกบั หนว่ ยอนื ๆในกล่มุ ประชากรทีไมถ่ กู เลือกมา  ข้อมูลทตุ ยิ ภมู ิ คอื ข้อมลู ทเี ราได้มาจากแหลง่ ทมี ผี ้อู นื เก็บรวบรวมไว้แล้ว เชน่ นาํ ข้อมลู มาจากรายงาน ตา่ งๆของหนว่ ยงานราชการและองคก์ รของรัฐบาล หรือเอกชน     2. การวเิ คราะห์ข้อมูลเบืองต้น เป็ นการวิเคราะหเ์ พือหาลกั ษณะ หรือสมบตั ติ า่ งๆของข้อมลู ชดุ นนั เพือนาํ ไปสรุปภาพรวมของข้อมงู ดงั กล่าว   ตัวแปรและค่าจากการสงั เกต ตัวแปร หมายถงึ ลกั ษณะหรือสิงทีต้องการศกึ ษาในประชากร คา่ ของตวั แปรทีมีโอกาสเกิดขึนได้ ทงั หมดเรียกวา่ “ค่าทเี ป็ นไปได้” สว่ นคา่ ทีเกดิ ขึนจริงของตวั แปรเรียกวา่ “ค่าจากการสังเกต”  การแจกแจงความถขี ้อมูล ความถี คือ จาํ นวนทีเกิดขนึ ของแตล่ ะคา่ จากการสงั เกต  ความถีสะสม คือ ผลรวมของความถขี องคา่ นนั หรือนั ตรภาคชนั นนั กบั ความถขี องคา่ ทีมนี ้อยกวา่ ทงั หมด หรือสงู กวา่ ทงั หมดอยา่ งหนงึ อยา่ งใด   

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                110                                                   ความถีสมั พันธ์ ของคา่ ใด คอื ความถขี องคา่ นนั หารด้วยผลรวมของความถีทงั หมด  ความถีสะสมสัมพันธ์ ของคา่ ใด คือ ความถสี ะสมของคา่ นนั หารด้วยผลรวมของความถที งั หมด    อัตราภาคชนั เป็ นการแบง่ คา่ ทไี ด้จากการสงั เกตออกเป็ นชว่ งๆ แตล่ ะชว่ งเรียกวา่ อนั ตรภาคชนั   ขอบล่าง(L) ของอนั ตรภาคชนั คือคา่ กงึ กลางระหวา่ งคา่ น้อยทสี ุดในอตั รภาคชนั นนั กบั คา่ ทีมากทีสุด  ของอนั ตรภาคชนั ทีตดิ กนั และตาํ กวา่   ขอบบน(U) ของอนั ตรภาคชนั คือคา่ กงึ กลางระหวา่ งคา่ ทีมากทสี ุดในอนั ตรภาคชนั กบั คา่ ทนี ้อยทสี ดุ   ของอนั ตรภาคชนั ทตี ดิ กนั และสงู กวา่   ความกว้างของอันตรภาคชนั (I) =  ขอบบน – ขอบล่าง    ขอบล่าง + ขอบบน คา่ มากสดุ + คา่ น้อยสุด จดุ กงึ กลางของอนั ตรภาคชนั ( xi )   =   2    =   2     การแจกแจงความถโี ดยใช้กราฟ (1) ฮสิ โทแกรม และ รูปหลายเหลียมของความถ ี ความถ  ี ความถี ข้อมลู   ข้อมลู     รูปหลายเหลียมของความถ ี                  ฮสิ โทแกรม   (2) เส้นโค้งของความถ ี  ซงึ เส้นโค้งของความถีของข้อมลู มี 3  ลกั ษณะ คือ                  เส้นโค้งปกติ      เส้นโค้งเบ้ขวา    เส้นโค้งเบ้ซ้าย    (3)    แผนภาพต้นใบ(stem-and-leaf plot)  เชน่   178 ข้อมลู ชดุ ที 1      ข้อมลู ชดุ ที 2    3  2 6 6 98 09 1 4 2 4 5  7 653 112   5 12 30 244 5 ข้อมลู ได้แก่ ....................................................... ข้อมลู ชดุ 1 ได้แก่ .......................................................  ......................................................................     ข้อมลู ชดุ 2 ได้แก่ .......................................................   

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                111                                                   ตวั อย่าง 1 ตารางแสดงคะแนนของนกั เรียนจาํ นวน 50  คน เป็ นดงั น ี   คะแนน จาํ นวนคน ความถสี ะสม  ขอบล่าง  ขอบบน  ความกว้าง  จดุ กงึ กลาง  ความถสี มั พทั ธ์    51 – 60  5             61 – 70  12             71 – 80  18             81 – 90  8             91 – 100  7                    สัญลกั ษณ์แทนการบวก  (summation) N  xi  x1  x2  x3  ...  xN   i 1   สมบตั ิของ summation N NN 1.  xi  yi    xi   yi i1 i1 i 1 NN 2.  cxi  c  xi i1 i1 N 3.  c  cN i1 3. การวัดค่ากลางของข้อมูล(measures of central value) ค่าเฉลยี เลขคณติ (arithmetic mean) (1) คา่ เฉลียเลขคณิตกลมุ่ ประชากร(population mean)  N xi          x1  x2  x3  ...  xN      เมอื N  แทนจํานวนจากประชากร i1 NN   (2)    คา่ เฉลียเลขคณิตกลุม่ ตวั อยา่ ง(sample mean)  n xi  x  x1  x2  x3  ...  xn      เมือ n  แทนจาํ นวนจากประชากร  i1 nn    

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                112                                                     (3)    คา่ เฉลียเลขคณิตของข้อมลู ทมี กี ารแจกแจงความถเี ป็ นอนั ตรภาคชนั   k fixi    x   เมือ xi แทนจดุ กงึ กลางชนั และ fi  แทนความถใี นอนั ตรภาคชนั ที i  i1 k fi     i1 n w x  (4)   คา่ เฉลียเลขคณิตถว่ งนาํ หนกั x i i เมือ wi แทนนําหนกั ของคา่ จากการสงั เกต xi   i1 n w  i i1 k ni xi    (5)  คา่ เฉลีเลขคณิตรวม x รวม =      i1 k ni  i1       เมือ xi  แทนคา่ เฉลียเลขคณิต และ ni แทนจาํ นวนคา่ จากการสงั เกตของข้อมลู ชดุ ที i    มัธยฐาน(median) (1) มธั ยฐานของข้อมลู ทีไมไ่ ด้แจกแจงความถีเป็ นอนั ตรภาคชนั ตาํ แหนง่ มธั ยฐาน = n  1 เมอื เรียงข้อมลู จากน้อยมาก  2 ถ้าตาํ แหนง่ เป็ นจาํ นวนเตม็  จะได้   Med  x(N1)   2 x n2 )  x n 2 ถ้าตาํ แหนง่ ไมเ่ ป็ นจาํ นวนเตม็ จะได้ Med  ( ( 1)   2   (2) มธั ยฐานของข้อมลู ทีแจกแจงความถเี ป็ นอนั ตรภาคชนั   ตําแหนง่ มธั ยฐาน = n เมือ เรียงข้อมลู จากน้อยมาก(สร้างความถสี ะสม)  2       Med =  L   n  f  I   2 fM L ฐานนยิ ม(mode) (1) ฐานนิยมของข้อมลู ทีไมไ่ ด้แจกแจงความถีเป็ นอนั ตรภาคชนั Mod  =  คา่ ของข้อมลู ทมี ีความถีสงู สุด(บางข้อมลู อาจจะไมม่ ีฐานนิยมหรือมสี องคา่ ได้)           หมายเหตุ สูตรในการคํานวณคา่ กลางสามารถทาํ ได้ทงั สําหรับกลุ่มตวั อยา่ ง n หนว่ ย และกลุม่ ประชากร N หนว่ ย  คา่ เฉลียเรขาคณิตมีประโยชนใ์ นการหาคา่ เฉลียของข้อมลู ทเี กยี วเนอื งกบั เวลาทีตอ่ เนือง  คา่ เฉลียฮาร์โมนิกมีประโยชนใ์ นการหาคา่ เฉลียของข้อมลู ทเี ป็นอตั ราส่วนเชน่ จํานวนสินค้าตอ่ หนงึ บาท             

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                113                                                   สมบตั ิของค่ากลางทคี วรทราบ (1)  สมบตั ขิ องคา่ เฉลียเลขคณิต  1.   n xi  = n x    i1 2.   n (xi  a)  = 0  เมอื a = x (แสดงวา่ x เป็ นคา่ กลางทแี บง่ นําหนกั ข้อมลู 2 ด้านสมดลุ กนั )   i1 n  a)2 มีคา่ น้อยทีสุด เมอื a =  x   3.   i1(xi (2)  สมบตั ิของคา่ มธั ยฐาน n xi  a | มคี า่ น้อยทีสดุ เมือ a = Med  :   | i1 (3)  สมบตั ิของคา่ ฐานนิยม : ในข้อมลู ชดุ หนงึ อาจม ี 2 จาํ นวน หรือ ไมม่ ี และข้อมลู คณุ ภาพนยิ มใช้  (4)   ให้ x1, x2,..., xn  เป็ นคา่ จากการสงั เกตชดุ ที 1  และ y1, y2,..., yn  เป็ นคา่ จากการสงั เกตชดุ ที 2       โดย yi  axi  b เมอื a และ b เป็ นคา่ คงตวั จะได้          y  ax  b   ,  Medy  a(Medx)  b   ,   Mody  a(Modx )  b     หลักการสาํ คัญในการใช้ค่ากลางชนิดต่างๆ  1.  คา่ เฉลียเลขคณิตเป็ นคา่ กลางทีได้จากการนําทกุ คา่ ของข้อมลู มาคํานวณ แตม่ ธั ยฐานและฐานนยิ มเป็น เพียงคา่ กลางทใี ช้ข้อมลู บางคา่ เทา่ นนั  ดงั นนั ข้อมลู เชงิ ปริมาณจงึ นิยมใช้คา่ เฉลียเลขคณิต  2.  ถ้าในจาํ นวนข้อมลู ทงั หมดมขี ้อมลู บางคา่ ทีมีคา่ สงู หรือตาํ กวา่ ข้อมลู อืนๆมาก จะมผี ลตอ่ คา่ เฉลียเลขคณิต แตไ่ มม่ ีผลตอ่ มธั ยฐานหรือฐานนิยม ดงั นนั จงึ นยิ มใช้คา่ มธั ยฐานแทนคา่ เฉลียเลขคณิต  3. มธั ยฐานและฐานนิยมใช้เพือการหาคา่ กลางทรี วดเร็วและโดยประมาณ  4. ถ้าข้อมลู เป็ นแบบอนั ตรภาคชนั เปิ ดจะไมส่ ามารถคํานวณคา่ กลางด้วยคา่ เฉลียเลขคณิต แตส่ ามารถหา คา่ มธั ยฐานหรือฐานนยิ มได้  5. กรณีทีอตั รภาคกว้างไมเ่ ทา่ กนั อาจจะทําให้คา่ กลางทีคํานวณจากคา่ เฉลียเลขคณิตและฐานนยิ มคาดเคลือน ไปได้ แตไ่ มม่ ผี ลตอ่ มธั ยฐาน  6. ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพคาํ นวณได้จากฐานนยิ มเทา่ นนั     ความสมั พนั ธ์ระหว่างค่ากลางและการแจกแจงความถขี องข้อมูล ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งเส้นโค้งของความถขี องข้อมลู ทมี ีการแจกแจงความถี และคา่ กลาง มี 3 ลกั ษณะ คือ เส้นโค้งปกติ เส้นโค้งเบ้ขวา  เส้นโค้งเบ้ซ้าย   Mod = Med =  x      Mod < Med <  x     x  <  Med < Mod  x  Mode  3 x  Median  (Pearson’s Coefficial of Skewness)   

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                114                                                   ตัวอย่าง 2  กาํ หนดข้อมลู 10 จํานวนเรียงจากน้อยไปมากดงั นี   6  7  7  8  9  9  9  10  10  11     จงหา (1)  มธั ยฐาน      (2) คา่ เฉลียเลขคณิต (3)  ฐานนยิ ม                  ตัวอย่าง 3 กาํ หนดคะแนนของการสอบคณิตศาสตร์ซงึ มีคะแนนของนกั เรียน แสดงด้วยแผนภาพ ต้น – ใบ ดงั นี        1  7        2  0  4  5    8          3  0  2  3    3  3  8        4  0  3  5        5  0           จงหา (1)  มธั ยฐาน      (2) คา่ เฉลียเลขคณิต (3)  ฐานนยิ ม                 ตัวอย่าง 4  กําหนดตารางการแจกแจงความถขี องข้อมลู 30 จาํ นวนเป็ นดงั น ี          จงหา(1)  มธั ยฐาน     (2) คา่ เฉลียเลขคณิต   คะแนน  ความถี  0 – 4  2  5 – 9  6  10 – 14  8  15 – 19  10     20 – 24  4             

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                115                                                   ตัวอย่าง 5  กําหนดเกรดวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชนั มธั ยมศกึ ษา 6  ของสมใจดงั น ี   ค 33101  ค 33201  ค 33102  ค 33202  รายวิชา  3  4  4  3.5  เกรด  1.5  2  1.3  2  หนว่ ยกิต        จงหาเกรดเฉลียของวิชาคณิตศาสตร์ 4 รายวชิ านี                   ตัวอย่าง 6  นกั เรียนห้องหนงึ มี 30 คนสอบวิชาคณิตศาสตร์ได้คะแนนเฉลียเลขคณิต เทา่ กบั 60 คะแนน         ถ้ามีนกั เรียนชายในห้องนนั 12 คน สอบได้คะแนนเฉลียเลขคณิต 54 คะแนน         แล้วนกั เรียนหญิงสอบได้คะแนนเฉลียเลขคณิตเทา่ กบั เทา่ ใด                      ตัวอย่าง 7  ข้อมลู ชดุ หนงึ มี 6 จาํ นวน คือ 2, 3, 6, 11, A, B         ถ้าคา่ เฉลียเลขคณิตของข้อมลู ชดุ นเี ทา่ กบั 8 และคา่ มธั ยฐานเทา่ กบั 7  แล้ว |A  B|  เทา่ กบั เทา่ ใด               

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                116                                                   4. การวดั ตาํ แหน่งทีของข้อมลู     ควอไทล์ คือ คา่ ทีแบง่ ข้อมลู ออกเป็ น 4 ส่วนเทา่ ๆกนั เมอื เรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก       น้อ ย   มาก     Q1  Q2  Q3    ควอร์ไทลท์ ี k (Qk) เป็ นคา่ ทมี ีจํานวนในข้อมลู ซงึ น้อยกวา่ คา่ นอี ยปู่ ระมาณ  k   ของ จาํ นวนข้อมลู ทงั หมด  4  เดไซล์ คอื คา่ ทีแบง่ ข้อมลู ออกเป็ น 10 ส่วนเทา่ ๆกนั เมอื เรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก    มาก   น้อย          D1       D2       D3        D4  D5   D6     D7        D8        D9  เดไซล์ที k (Dk) เป็ นคา่ ทมี จี ํานวนคา่ ในข้อมลู ซงึ น้อยกวา่ คา่ นอี ยปู่ ระมาณ  k ของจาํ นวนข้อมลู ทงั หมด  10    เปอร์เซน็ ไทล์ คอื คา่ ทแี บง่ ข้อมลู ออกเป็ น 100 ส่วนเทา่ ๆกนั เมอื เรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก    น้อย มาก          P1       P2       P3        P4  P5       P97       P98       P99    เปอร์เซน็ ไทล์ที k(Pk) เป็ นคา่ ทีมจี ํานวนคา่ ในข้อมลู ซงึ น้อยกวา่ คา่ นีอยปู่ ระมาณ k ของจาํ นวนข้อมลู ทงั หมด  100    ขนั ตอนการหาค่าควอไทล์ เดไซน์ และเปอร์เซน็ ไทล์ (1)  นาํ ข้อมลู มากเรียงจากน้อยไปมาก  (2)  หาตาํ แหนง่ คา่ ของคา่ ทตี ้องการหา  คา่   Qk   Dk   Pk   k(N  1)   k(N  1)   ตาํ แหนง่   k(N  1)   4 10 100   (3)  หาคา่ ทอี ยใู่ นตาํ แหนง่ นนั   ถ้าตําแหนง่ เป็นจํานวนเตม็ จะได้วา่ ข้อมลู ทีอยใู่ นตําแหนง่ นนั เป็ นคา่ ทตี ้องการ ถ้าตําแหนง่ ไมเ่ ป็ นจาํ นวนเตม็ ใช้การเทียบบญั ญตั ไิ ตรยางศ์ ระหวา่ งตาํ แหนง่ กบั คา่ ของข้อมลู เพอื หาคา่ ตามทตี ้องการ    

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                117                                                   ตวั อย่าง 8  กาํ หนดข้อมลู 14  จํานวนเรียงจากน้อยไปมากดงั น ี   10   11  12  12  15   20  23  25  27   33  34  34  37   38          จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน ี (1)   มธั ยฐาน (2)   Q3       (3) D8       (4)   P25                             ตัวอย่าง 9  ข้อมลู การสอบคณิตศาสตร์มคี ะแนนของนกั เรียน แสดงด้วยแผนภาพ ต้น – ใบ ดงั นี        2  7        3  8  4  3    8  5        4  2  3  0    3  8  5        5  3  1  7        6  8    จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี (1)   Q1       (3) D4       (4)   P65     (4)  คะแนนทีมีจํานวนนกั เรียนซงึ มีคะแนนสอบไมเ่ กนิ คะแนนนอี ยู่ 80% ของนกั เรียนทงั หมด                      

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                118                                                   ตัวอย่าง 10  ในการสอบครงั หนงึ มนี กั เรียน 12  คน ทีได้คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ไมเ่ กิน 30 คะแนน       ถ้าเปอร์เซน็ ไทล์ที 25  ของคะแนนสอบครังนเี ทา่ กบั 30 คะแนน จงหาจาํ นวนนกั เรียนทงั หมดทเี ข้าสอบ                    ตวั อย่าง 11   จากตารางแจกแจงความถีของข้อมลู ชดุ หนงึ ปรากฏวา่ มขี ้อมลู ทตี าํ กวา่ คะแนน  49.5 อยู่ 7จาํ นวน และ มขี ้อมลู ทตี ํากวา่ 59.5 อยู่ 13 จํานวน ถ้า Q1 = 54.5  จงหาจํานวนของข้อมลู ชดุ นี                   ตัวอย่าง 12   กําหนดให้ x1, x2, x3, ..., x10 เป็ นข้อมลู ทเี นรียงลําดบั จากน้อยไปหามาก   โดยที 10 xi  x3  165 และเปอร์เซนไทล์ที 25  เทา่ กบั    13.5    i1 ถ้า x1 = 8 และ x2  = 12  แล้วคา่ เฉลียเลขคณิตของข้อมลู ชดุ นเี ทา่ กบั เทา่ ใด                         

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                119                                                   5. การวดั การกระจายของข้อมูล(measures of dispersion) การวดั การกระจายของข้อมลู เป็ นการศกึ ษาความแตกตา่ งกนั ของข้อมลู ในชดุ ๆหนงึ ถ้าข้อมลู แตกตา่ งกนั น้อย เรากลา่ ววา่ ข้อมลู นนั มกี ารกระจายน้อย ในขณะทขี ้อมลู แตกตา่ งกนั มากเรากล่าววา่ ข้อมลู นนั มกี ารกระจายมาก  ในทีนีจะกลา่ วถงึ เพียงสองวธิ ีคือ  (1) พิสยั (range) เป็ นการวดั การกระจายอยา่ งคร่าวๆ โดยมองเฉพาะความแตกตา่ งระหวา่ งข้อมลู ทีมี คา่ สูงสุดและคา่ ตําสุดเทา่ นนั   พิสยั =   xmax  xmin     เมอื xmax  และ xmin เป็ นคา่ สูงสุดและคา่ ตําสดุ ตามลพดบั   (2) ส่วนเบยี งเบนมาตรฐาน(standard deviation) ข้อมลู ทีไมไ่ ด้แจกแจงความถีประชากร   (xi  )2   x 2  2   N i N   ข้อมลู ทีไมไ่ ด้แจกแจงความถีกลมุ่ ตวั อย่าง s   (xi  x)2   xi2  nx2   n 1 n 1     ความแปรปรวน(variance) คอื กําลงั สองของสว่ นเบียงเบนมาตรฐาน       นนั คือ v  s2 หรือ v  2     ความแปรปรวนรวมของข้อมูล 2 ชดุ s2 รวม =  n1s12  n2s22 เมอื x1  x2   n1  n2 s2 รวม =  n1s12  n2s22  n1(x1  x)2  n2(x2  x)2 เมือ x1  x2   n1  n2     สมบตั ิการวัดการกระจายสมบรู ณ์ทคี วรทราบ 1.  การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ทกุ ชนิดมากกวา่ หรือเทา่ กบั ศนู ย ์ 2.  การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ เทา่ กบั ศนู ย์ ก็ตอ่ เมอื ทกุ คา่ ของข้อมลู เทา่ กนั และเทา่ กบั คา่ เฉลียเลขคณิต 3.  ถ้านําคา่ คงที k บวกเข้าหรือลบออกกบั คา่ ของข้อมลู ทกุ คา่ จะได้พสิ ยั และสว่ นเบียงมาตรฐาน ยงั คงเทา่ เดิม   4.  ถ้านําคา่ คงที k คณู กบั คา่ ของข้อมลู ทกุ คา่ จะได้วา่ พิสยั และสว่ นเบียงเบนของข้อมลู ใหม่ เทา่ กบั k คณู กบั พิสยั และส่วนเบยี งเบนของข้อมลู เดิม ตามลาํ ดบั   5.    (xi  )2   (xi  a)2    เมือ a เป็ นจํานวนจริงใดๆทไี มเ่ ทา่ กบั คา่ เฉลียเลขคณติ   N N        

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                120                                                   ลักษณะของเส้นโค้งทเี กียวข้องกบั การกระจาย เส้นโค้งความถีของข้อมลู A  เส้นโค้งความถีของข้อมลู B  เส้นโค้งความถีของข้อมลู C  x  ของ A , B ,    จากรูป ข้อมลู ทีมกี ารกระจายมากไปหาน้อยทสี ุดคือ ข้อมลู C ข้อมลู B และ ข้อมลู A ตามลําดบั   [กระจายมากจะแบนราบ แตก่ ระจายน้อยจะโดง่ ขนึ ]     การใช้แผนภาพกลอ่ ง (box - plot) แสดงการกระจายของข้อมลู   การวดั การกระจายของข้อมลู โดยใชส่ ว่ นเบยี งเบนควอไทล์อาศยั คา่ ของ Q1 และ Q3  เพือนํามาหาระยะหา่ ง แล้วนําคา่ ครงึ หนงึ ของระยะหา่ งดงั กลา่ วมาเป็ นตวั วดั การกระจายของข้อมลู สามารถเขียนเป็นแผนภาพทเี รียกวา่ แผนภาพกล่อง ได้ ดงั นี     xmin Q1  Q3  Q2    xmax คาํ อธบิ ายจากแผนภาพกล่อง (1) ความยาวของส่วนของเส้นตรงในแตล่ ะชว่ งแทนการกระจายวา่ มากหรือน้อย ชว่ งยาวแทนกระจายมาก ชว่ งสนั แทนกระจายน้อย  (2) ข้อมลู ในแตล่ ะชว่ ง 4 ชว่ ง มจี าํ นวนข้อมลู อยู่ 25%  (3) สามารถบอกลกั ษณะของการแจกแจงความถไี ด้  ดงั นี    ถ้า Q2 อยกู่ งึ กลางระหวา่ ง  Q1 และ Q3 จะทําให้ข้อมลู มีการแจกแจงปกต ิ   ถ้า Q2   อยใู่ กล้ Q3 จะทําให้ข้อมลู มีการแจกแจงเบ้ซ้าย เพราะ x  Me(Q2)   ถ้า Q2   อยใู่ กล้ Q1 จะทําให้ข้อมลู มกี ารแจกแจงเบ้ขวา เพราะ x  Me(Q2)  

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                121                                                   ตวั อยา่ งแผนภาพกลอ่ ง    จากการทดสอบนกั เรียนจาํ นวน 100 คน ใน 2 รายวชิ า แตล่ ะวิชามคี ะแนนเต็ม 150 คะแนน ถ้าผลการ ทดสอบทงั สองรายวิชา เขียนเป็ นแผนภาพกลอ่ งได้ดงั น ี     คะแนนสอบรายวิชาที 1        คะแนนสอบรายวิชาที 2      20  40  60  80  100  120  140    0  คะแนนสอบรายวชิ าที 1  คะแนนสอบรายวิชาที 2  จะได้วา่                 คา่ มากสดุ คา่ มากสุด คา่ น้อยสดุ   คา่ น้อยสุด  Q1   Q1     Q2   Q2     Q3   Q3   Q4   Q4   มธั ยฐาน   มธั ยฐาน พสิ ยั   พิสยั   ในรายวิชาที 1   คะแนนทีอยใู่ นชว่ ง 0 ถงึ 60 มกี ารกระจาย .................. คะแนนทอี ยใู่ นชว่ ง 60 – 130  คะแนนทอี ยใู่ นชว่ ง 30 ถงึ 60 มกี ารกระจาย .................. คะแนนทอี ยใู่ นชว่ ง 60 – 100 คะแนนทีอยใู่ นชว่ ง 0 ถงึ 30 มกี ารกระจาย .................. คะแนนทีอยใู่ นชว่ ง 100 – 130  ในรายวิชาที 2   คะแนนทีอยใู่ นชว่ ง 20 ถงึ 60 มีการกระจาย .................. คะแนนทอี ยใู่ นชว่ ง 60 – 110  คะแนนทีอยใู่ นชว่ ง 50 ถงึ 60 มกี ารกระจาย .................. คะแนนทีอยใู่ นชว่ ง 60 – 80 คะแนนทอี ยใู่ นชว่ ง 20 ถงึ 50 มีการกระจาย .................. คะแนนทอี ยใู่ นชว่ ง 80 – 110 จากแผยภาพกลอ่ งทกี าํ หนดตรวจสอบวา่ รายวชิ าใดทีมกี ารกระจายมาก น้อยกวา่ หรือเทา่ กนั ...........................................................................................................................................    ...........................................................................................................................................   

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                122                                                   ตัวอย่าง 13   กําหนดข้อมลู ชดุ หนงึ ได้แก่   25  20  15  10  5  จงหา (1)  พสิ ยั     (2)  สว่ นเบยี งเบนมาตรฐาน (3)  ความแปรปรวน   ตัวอย่าง 14   กาํ หนดข้อมลู ชดุ หนงึ ได้แก ่ 2  4  6    8  10       12 จงหา (1)  พสิ ยั     (2)  ส่วนเบยี งเบนมาตรฐาน (3)  ความแปรปรวน                             ตัวอย่าง 15   ถ้า 2, 5, 8, 10, 12, 15, 18   เป็ นข้อมลู ของกล่มุ ตวั อยา่ งหนงึ ของประชากร       ความแปรปรวนของตวั อยา่ งนเี ทา่ กบั เทา่ ใด                   

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                123                                                   ตัวอย่าง 16   ข้อมลู ชดุ หนงึ เรียงจากน้อยไปหามาก ดงั นี a, 3, 5, 7, b       ถ้าข้อมลู ชดุ นมี คี า่ เฉลียเลขคณิตเทา่ กบั 7 และ ส่วนเบยี งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 2 10      แล้วคา่ ของ 2a + b  เทา่ กบั เทา่ ใด                      ตวั อย่าง 17   นําข้อมลู 3 จาํ นวนทีแตกตา่ งกนั มารวมกนั มผี ลรวมเทา่ กบั 195         ถ้าข้อมลู ชดุ นมี คี า่ มธั ยฐาน และพสิ ยั เทา่ กบั 60  และ  27 ตามลําดบั        แล้วความแปรปรวนของข้อมลู ชดุ นมี ีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด                        ตวั อย่าง 18   กาํ หนดให้ x1, x2, x3, ..., xn       เป็ นข้อมลู ทีมีคา่ เฉลียเลขคณิตเทา่ กบั 6  และส่วนเบียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 1.5        แล้วคา่ เฉลียเลขคณิตและความแปรปรวนของข้อมลู               2x1  5, 2x2  5, 2x3  5, ..., 2xn  5 มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด                

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                124                                                   ตัวอย่าง 18   ข้อมลู ชดุ หนงึ ประกอบด้วยคา่ สงั เกต 6  5  4  3  7  3  4  a   ถ้าให้ xi คอื คา่ สงั เกตตวั ที i ของข้อมลู ชดุ นี และ 8 (xi  M)2 มีคา่ น้อยสดุ เมอื    M = 4      แล้วความแปรปรวนของข้อมลู ชดุ นเี ทา่ กบั เทา่ ใด  i1                                 ตัวอย่าง 20   ในชนั ม.6 ห้องหนงึ มจี าํ นวนนกั เรียนชาย 22 คน และนกั เรียนหญงิ 28 คน      ถ้าคะแนนสอบของนกั เรียนชายและนกั เรียนหญิงมคี า่ เฉลียเลขคณิตเทา่ กนั และมสี ว่ นเบยี งเบนมาตรฐาน     เทา่ กบั 3  และ 2 ตามลําดบั แล้วสว่ นเบยี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของชนั ม.6 ห้องนเี ทา่ กบั เทา่ ใด                           

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                125                                                   6. การสาํ รวจความคิดเหน็ ประกอบด้วย 4 ขนั   1.   กาํ หนดขอบเขตทตี ้องการศกึ ษา ตามลกั ษณะของพืนที ลกั ษณะสว่ นตวั และการมสี ว่ นได้เสีย ของง ผู้ตอบแบบสอบถาม  2. เลือกกล่มุ ตวั อย่างทตี ้องการทาํ การสาํ รวจความคดิ เหน็ จากกลุม่ ประชากรทงั หมด โดยต้องมกี ล่มุ ตวั อยา่ งครบทกุ ลกั ษณะ มีจํานวนมากพอทสี อดคล้องกบั จาํ นวนทีมีอยจู่ ริงในแตล่ ะลกั ษณะ   3. สร้างแบบสาํ รวจความคิดเหน็ ทจี ะต้องไปประกอบด้วย   ลกั ษณะทวั ไปของผู้ตอบ ผู้ตอบจะต้องมคี วามใน เข้าใจ ในเรืองทีต้องการสํารวจ  ส่วนคาํ ถาม คาํ ถามต้องไมม่ าก ไมถ่ ามนาํ ความคดิ   สว่ นเสนอแนะ ต้องมใี ห้ผู้ตอบได้เสนอแนะความคิดเห็นเพมิ เตมิ ด้วย    4. ประมวลผลและวิเคราะห์ความคิดเหน็ Note  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................  ..........................................................................................................................................................