เอกสารทบทวนความรู้พื้นฐานเตรียมสอบ Onet สรุปเนื้อหา 2560

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                49                                                   ตัวอย่าง 5   จงวาดกราฟของความสมั พนั ธ์ทกี าํ หนดให้ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน ี   (1)   {(x, y) |  x  1  y2 }          (2)  {(x, y) y x  2}                    (3)  {(x, y) y  2  x}          (4)  {(x, y) x  (y  1)2}                     (5)   {(x, y) |  y  x2 }          (6)  {(x, y) y x  1}                        (7)  {(x, y) x  y2  และ y  0 }       (8)  {(x, y) y  x  1  และ x  0 }                     

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                50                                                   ตัวอย่าง 6   จากราฟของความสมั พนั ธ์ทกี าํ หนดให้ จงระบสุ มาชิกของความสมั พนั ธ์มาอยา่ งน้อย 4 สมาชกิ    y y   (1)       3         (2)     2   4 3    1  x 2 2 1 1   3 2 1 0 1 23 x     1 1 1 2 2    2 3     ..........................................................      .............................................................    ..........................................................      .............................................................    ..........................................................      .............................................................    y   (3)                (4)    y y x2 (0, 4)     y3   2 x 2 0 2 x 3 y  2  x2   01   y  3   y  x  2   ..........................................................      .............................................................    ..........................................................      .............................................................    ..........................................................      .............................................................      ตวั อย่าง 7  ถ้า r1  = {(x, y)     | |y|  x} และ r2  = {(x, y)     | |x|  y}   Y    แล้วสว่ นทแี รเงาของกราฟในข้อใดตอ่ ไปนี แทน r1  r2     1.           2.           3.              4.    Y  Y  Y      X  X  X  X                    

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                51                                                   ตัวอย่าง 8   ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี กราฟของความสมั พนั ธ์ทีกาํ หนดให้ เป็ นกราฟของความสมั พนั ธ์ r1, r2, r3 หรือ r4   (1)           r1  (x, y)       y  x  1  และ y  x   y  x  r2  (x, y)       y  x  1  และ y  x y  r3  (x, y)       y  x  1  และ y  x   y  x  1 x  r4  (x, y)       y  x  1  และ y  x   y2  x  r1  (x, y)       y2  x  และ y  4     x  r2  (x, y)       y2  x  และ 0  y  4 (2)  y  r3  (x, y)       y2  x  และ y  4    r4  (x, y)       y2  x  และ 0  y  4 y4 0     (3)  y  r1  (x, y)       y  x2  และ y  1    0 x r2  (x, y)       x2  y  และ y  1  1 r3  (x, y)       y  x2  และ y  1    r4  (x, y)       x2  y  และ y  1 y  x2     (4) y       r1  (x, y)       x  y  1 , y  x  และ yx  0       1   x  y 1    r2  (x, y)       x  y  1 , y  x  และ yx  0  r3  (x, y)       x  y  1 , y  x  และ yx  0   1 1x  r4  (x, y)       x  y  1 , y  x  และ yx  0 0     y  x 1  

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                52                                                   4. ฟังก์ชนั ฟังก์ชนั คอื ความสมั พนั ธ์ทสี มาชิกในโดเมนแตล่ ะตวั จะจบั คกู่ บั สมาชิกในเรนจเ์ พียง 1 ตวั เทา่ นนั   นนั คือ ความสมั พนั ธ์ f จะเป็ นฟังก์ชนั ก็ตอ่ เมอื ทกุ (x1, y1)  f และ (x2, y2)  f แล้ว  y1 = y2    และจะเขียนแทน (x, y)  f ด้วย y  f(x)  4.1 การตรวจสอบการ เป็ น–ไม่เป็ น ฟังก์ชัน วิธีที 1 จากสมาชกิ ในเซตของความสมั พนั ธ์สมาชิกแบบแจกแจง   ถ้าทกุ คอู่ นั ดบั มีตวั หน้าตา่ งกนั ทงั หมด จะเป็นฟังก์ชนั   ถ้ามบี างคอู่ นั ดบั สมาชิกตวั หน้าเหมือนกนั จะไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั       วิธีที 2 จากกราฟของความสมั พนั ธ์ ให้ลากเส้นตรงตงั ฉากกบั แกน x  ถ้าทกุ ๆเส้นตดั กราฟจดุ เดยี วเสมอ จะเป็ นฟังกช์ นั   ถ้ามีบางเส้นตดั มากกวา่ 1 จดุ จะไมเ่ ป็ นฟังก์ชนั     วิธที ี 3 จากเซตทีมเี งือนไข   ถ้าแทน x ด้วยสมาชกิ ในโดเมน แก้สมการหาคา่ y ถ้าได้คา่ เดยี วเสมอ จะเป็นฟังก์ชนั   ถ้ามี x ทีแทนคา่ แล้วแก้สมการหาคา่ y ได้มากกวา่ 1 คา่ ไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั     ข้อสงั เกต ถ้าในเงือนไข  y มีเลขยกกําลงั เป็ นคู่ หรือ y ถกู ใสค่ า่ สมั บรู ณ์ หรือในเงอื นไขไมม่ ี y  จะไมเ่ ป็ นฟังก์ชนั     ตัวอย่าง 9   กาํ หนดความสมั พนั ธ์ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี จงตรวจสอบวา่ เป็นฟังกช์ นั หรือไม ่ (1)  r  (1, 3), (3,1),(2, 2), (3, 5),(4, 2)         (2)  r  (1, 2),(2,1), (4, 2), (5, 2), (2, 2)              (3)  r  (x, y)  A  A 2y  3x  6   เมอื A = {1, 2, 3, 4, 5}               

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                53                                                        (4)  r  (x, y)     y2  x  1  0    (5)  r  (x, y)     x  y  4                        (6)  r  (x, y)     y x  1     (7) r  (x, y)     x x  y  0                          (8)                (9)  y  y   x          0   x             0       (10)      y          (11)  y          x 0x  0      y y   (12)                (13)        0x x   0        

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                54                                                   4.2 การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชนั และ (x, y)  f       โดเมนของ f  แทนด้วย Df  = {x | (x, y)  f }  เรนจข์ อง f  แทนด้วย Rf  = {y | (x, y)  f }    การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนั 1.  การหาโดเมนและเรนจ์จากเงือนไข   ขนั ที 1  จดั รูปดงั นี หาโดเมน ให้จดั y ในเทอม x   (แตห่ าเรนจ์ ให้จดั x ในเทอม y)      ขนั ที 2  สร้างเงือนไข หาโดเมนเรนจ ์ (หรือเรนจ)์ โดยอาศยั ความรู้ในระบบจาํ นวนจริงเชน่          หาคา่ ได้เมอื   0 (ตวั ส่วน  ≠ 0 )    หาคา่ ได้เมอื   0  (ใน ต้อง ≥ 0  )          แสดงวา่   0           แสดงวา่   0 และ   0 2. การหาโดเมนและเรนจ์จากการวาดกราฟ   ตวั อย่าง 10  จงหาโดเมนและเรนจนข์ องฟังกช์ นั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี  (1)  f  (x, y)     xy  y  3x  2                        (2)  f  (x, y)     y  x  2                        

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                55                                                     (3)  f(x)  3 x  1  (วาดกราฟ)                         (4)  g(x)  | x 2   | 1                         (5)  f(x)  1  1  x2                              

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                56                                                   4.3  การหาค่าของฟั งก์ ชัน   ตวั อย่าง 11  จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน ี (1)  f = {(1, 3), (2, 2), (3, -5), (4, -3), (5, 2)}   แล้ว   f(2) + f(3) มีคา่ เทา่ ใด            (2) กําหนดกราฟของฟังกช์ นั f  เป็ นดงั รูป คา่ ของ 2f(7) + 3f(2)f(4)  เทา่ กบั  Y       y  f(x) 5     X   10 5 0     5   (3)  f(x)  x2  6x  9 จงหาคา่ ของ f(2)  f(3)           (4)  f(x)  x2  2x  1   จงหาคา่ ของ f(1  x)  f(1  x)              (5)  f(x)  x2  5   เมอื x  1 จงหาคา่ ของ f( x)  f( x  1)               

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                57                                                   ตัวอย่าง 12  จงหาคําตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี (1)  f(3x  1)  6x  7   จงหาคา่ ของ f(x) และ f(x2)  f(4)                       (2)  f(x  1)  x2  x  5   จงหา f(x) และ f(1  x)f(0)   2                         ตัวอย่าง 13    กําหนดให้ f  และ g เป็นฟังกช์ นั โดยที f 1 x  2  = x – 2 และ g(x)  x2  2      3  จงหาผลบวกของคา่ x ทีทําให้ f(x)  g(x)                        

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                58                                                   5. ชนดิ ของฟังก์ชัน (1) ฟังก์ชนั คงตวั (Constant Functions) ฟังกช์ นั คงตวั คือ ฟังก์ชนั ทอี ยใู่ นรูป f(x) = c  เมอื c  เป็ นจาํ นวนจริง   กราฟของฟังกช์ นั ชนดิ นเี ป็ นเส้นตรงขนานแกน x    y     เชน่ f(x) = 5      0x       (2) ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Functions)     ฟังก์ชนั เชงิ เส้น คือ ฟังกช์ นั ทีอยใู่ นรูป f(x) = ax + b  เมอื a, b  เป็ นจํานวนจริง  กราฟของฟังกช์ นั ชนิดนเี ป็ นเส้นตรงไมข่ นานกบั แกน  y      เชน่ f(x) = 2x + 6          y          จุดตัดแกน x (ให้ y เป็ น 0 แล้วแก้สมการหา x)  คอื .....................     x 0 จุดตัดแกน y (ให้ x เป็ น 0 แล้วแก้สมการหา y)  คอื .....................      (3) ฟังก์ชนั กาํ ลงั สอง (Quadratic Functions)     ฟังก์ชนั กาํ ลงั สอง คอื ฟังก์ชนั ทอี ยใู่ นรูป  f(x)   ax2   bx    c เมือ a  0 และ a, b, c  เป็ น จาํ นวนจริงกราฟของฟังก์ชนั กาํ ลงั สองคอื เส้นโค้งทีอยใู่ นรูปพาราโบลา และจะมลี กั ษณะหงายขนึ หรือควาํ ลง นนั ขึนอยู่ กบั คา่ a   ถ้า a < 0 ควาํ (มคี า่ สงู สุด) ถ้า a > 0  หงาย (มคี า่ ตาํ สดุ )    y  y  x   ( จดุ2bวaก,กล4บั a(cจ4ดุ aยอbด2))  0  แกนสมมาตร คอื x   b   0 x 2a คา่ ตําสุด =  4ac  b2          4a คา่ สงู สุด =  4ac  b2   4a  

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                59                                                   เชน่ f(x)  4x2  4x  8    y         x  0             จดุ ยอด(จดุ วกกลบั ) คอื ..............................      แกนสมมาตรคอื ..............................      คา่ ตําสุดเทา่ กบั ..............................      จดุ ตดั แกน x  คือ ...........................  จดุ ตดั แกน y คือ ............................        (4) ฟังก์ชนั ค่าสมั บรู ณ์ (Absolute Value Functions)     ฟังก์ชนั คา่ สมั บรู ณ์ คือฟังก์ชนั ทอี ยใู่ นรูป y x  ab เมือ a , b            เชน่ f(x)  x  21            y                  x  0                    จดุ ตดั แกน x  คอื .......................      จดุ ตดั แกน y คือ ........................      โดเมนของฟังกช์ นั คอื ..................................          โดเมนของฟังก์ชนั คอื ....................................      คา่ น้อยสดุ ของฟังก์ชนั เทา่ กบั .........................         

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                60                                                     (5) ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล ฟังกช์ นั เอ็กซ์โพเนนเชียล คอื ฟังกช์ นั ทอี ยใู่ นรูป y = ax เมอื a > 0 และ a  1  yy     (0, 1) (0, 1)  x x  0 0       เมือ 0 < a < 1             เมอื a > 1    ลกั ษณะกราฟของฟังก์ชนั คอื   ลกั ษณะกราฟของฟังก์ชนั คอื ...........................................................    ....................................................................  ...........................................................    ....................................................................        (6) ฟังก์ชนั ขนั บันได (Step Functions)     ฟังก์ชนั ขนั บนั ได คือ ฟังก์ชนั ทีมคี า่ คงตวั เป็ นชว่ งๆ ลกั ษณะกราฟจะเหมอื นกบั ขนั บนั ได  1 , 0  x  2     เชน่ f(x)  2 , 2  x  4  3 ,4  x  6     y         x  0                        

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                61                                                   ตัวอย่าง 14 จงวาดกราฟของฟังกช์ นั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนแี ละตอบถามทีกาํ หนด (1)  f(x)  2  3x    y      x  0         จดุ ตดั แกน x คือ ......................                    จดุ ตดั แกน y คอื .....................      (2)  g(x)  2x  5  y      x           0       จดุ ตดั แกน x คือ ......................                       จดุ ตดั แกน y คือ .....................          ตัวอย่าง 15 ถ้า A  เป็ นบริเวณทีปิ ดล้อมด้วยเส้นตรง 3x  2y = 5  เส้นตรง  x + 4y = 4  และแกน  x      แล้วพนื ทีของ A เทา่ กบั กีตารางหนว่ ย                                 

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                62                                                   ตัวอย่าง 16 จงวาดกราฟของฟังกช์ นั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนแี ละตอบถามทีกาํ หนด  (1)  f(x) x  12      y      x         0             จดุ ตดั แกน x คือ ......................                      จดุ ตดั แกน y คือ .....................                      แกนสมมาตร คือ .....................                      คา่ ตําสุดคือ ...........................        (2)  g(x)  1 x  1   y      x         0             จดุ ตดั แกน x คอื ......................                      จดุ ตดั แกน y คือ .....................                      แกนสมมาตร คือ .....................                      คา่ สงู สดุ คือ ...........................    ตวั อย่าง 17 ถ้า A  {(x, y)x  1 y  และ y  4 แล้วพนื ทีของบริเวณ A เทา่ กบั กตี ารางหนว่ ย                                 

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                63                                                   ตัวอย่าง 18 จงวาดกราฟของฟังกช์ นั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนแี ละตอบถามทกี าํ หนด    (1)  f(x)  =   x2  2x  3   y x 0           จดุ ยอด(จดุ วกกลบั ) คือ ..............................      แกนสมมาตรคอื ..............................      คา่ ตาํ สดุ เทา่ กบั ..............................      จดุ ตดั แกน x  คือ ...........................  จดุ ตดั แกน y คอื ............................      โดเมนของฟังกช์ นั คอื .......................    เรนจข์ องฟังก์ชนั คือ .........................    y x 0   (2)  f(x)  =   8  2x  x2             จดุ ยอด(จดุ วกกลบั ) คือ ..............................      แกนสมมาตรคือ ..............................      คา่ สงู สดุ เทา่ กบั ..............................      จดุ ตดั แกน x  คอื  ...........................  จดุ ตดั แกน y คือ ............................      โดเมนของฟังก์ชนั คอื .......................    เรนจ์ของฟังก์ชนั คือ .........................      ตัวอย่าง 19  ถ้ากราฟของ y = 15  2x  x2 ตดั แกน X  ทจี ดุ A, B และมี C เป็ นจดุ วกกลบั     แล้วรูปสามเหลียม ABC  มพี นื ทีเทา่ กบั เทา่ ใด                      

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                64                                                   6. โจทย์ปัญหาฟังก์ชนั กาํ ลงั สอง   ตวั อย่าง 20  โรงงานผลิตเสอื สําเร็จรูปโรงงานหนงึ ผลิตเสือเพอื จาํ หนา่ ยในราคาตวั ละ 150 บาท       สมมตวิ า่ ในวนั หนงึ ๆ โรงงานผลิตเสือได้ x  ตวั และสง่ จาํ หนา่ ยได้หมดในตล่ ะวนั       ถ้าต้นทนุ การผลิตเสือเหลา่ นีตอ่ วนั เป็ น x2   6x    2000 บาท   จงหาวา่ จะได้กําไรสงู สุดเมอื ผลิตกีตวั และกําไรสงู สุดเทา่ ใด                          ตวั อย่าง 21  พอ่ ค้าขายข้าวสาร ขายถงุ ละ 80 บาท ใน 1 เดอื นจะขายได้ 1,000 ถงั   แต ่  ถ้าเข้าลดราคาขายถงุ ละ 1 บาท เข้าจะขายข้าวสารได้เพมิ ขนึ 50 ถงั     ถ้าเข้าลดราคาขายถงุ ละ 2 บาท เข้าจะขายข้าวสารได้เพมิ ขนึ 100 ถงั     ถ้าเข้าลดราคาขายถงุ ละ 3 บาท เข้าจะขายข้าวสารได้เพมิ ขนึ 150 ถงั       เชน่ นเี รือยไป  ดงั นนั เข้าจะต้องขายเป็ นราคาถงั ละกบี าท จงึ จะได้กาํ ไรมากทสี ดุ                          

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                65                                                   ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet       ในแต่ละปี จะมปี ระมาณ 4 - 5 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทเี คยออกข้อสอบได้แก่  หาความยาวด้าน เส้นรอบรูป หรือพืนทีของสามเหลยี มมุ ฉาก เมอื กําหนดอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ   หาคา่ ตรีโกณมติ ิของมมุ 30o, 45o, 60o และใช้สมบัตขิ อง co-function ในการหาคาํ ตอบ   หาความยาวด้าน เส้นรอบรูป หรือพืนทีของสามเหลยี เมือกําหนดมมุ ภายในเป็ น 30o, 45o, 60o    แก้โจทย์ปัญหาทเี กียวกบั การหาระยะทางและความสงู โดยมสี ถานการณ์เกียวกบั มมุ ก้ม มมุ เงย  1. อัตราส่วนตรีโกณมิติ           B  กําหนดรูป ABC  เป็นรูปสามเหลียมทีม ี ACˆB  เป็นมมุ ฉาก   เรียกอตั ราสว่ นระหวา่ งด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลยี มมมุ ฉากใดๆ  c  a  วา่ อัตราส่วนตรีโกณมิติ ซงึ ได้แก่     A    C      b     ความยาวด้านตรงข้ามมมุ A   sin A  =   ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก =  a cosec A    1  sin A c        ความยาวด้านประชดิ มมุ A b      sec A   1  cos A  =  ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก   =  c cos A ความยาวด้านตรงข้ามมมุ A a     1  b  tan A   tan A  =  ความยาวด้านประชิดมมุ A   =  cot A    ตัวอย่าง 1 จงหาอตั ราสว่ นตรีโกณมิติของมมุ A จากรปู สามเหลยี มทีกําหนดให้     B  sin A = ….……     cos A = ………    tan A = ………       5    4  cosec A = ….…     sec A = ………     cot A = ………      A  C  sin B = ….……     cos B = ………    tan B = ………    3       cosec B = ….…     sec B = ………     cot B = ………  ข้อสังเกต .......................................................................................................................  

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                66                                                   ตัวอย่าง 2 จงหาอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ จากรูปสามเหลียมทีกาํ หนดให้      C  3 A         2       B  tan  ABˆC  = …………..             sin  ABˆC  = ….……….        cos  ABˆC  = ………..…  cot  ACˆ B = …………..    sec  ACˆ B  = …………..  cosec  ACˆ B   = …………..   ตัวอย่าง 3 จงหาอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ จากรูปสามเหลียมทกี าํ หนดให้  ถ้า cos A  =    7   25   C      A  B        sin A = ….………....      tan A = ……….…… cot A = ………….....        cosec C = ….…………. sec C = …..………...      cot C = ……………..          ตวั อย่าง 4 จงหาอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ จากรูปสามเหลียมทกี าํ หนดให้  ถ้า sin B  =    1   5   C      A  B        sin A = ….………....      tan A = ……….…… cot A = ………….....        cosec B = ….…………. sec B = …..………...      cot B = ……………..         

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                67                                                   ตวั อย่าง 5 จงหาอตั ราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมมุ A จากรูปสามเหลียมทีกาํ หนดให้         sin A = ….……….       cos A    = …….…  B          2 3       tan A = ………….       cosec A = ….….…  3         sec A = …………       cot A   = …………                 A        C        D    4                        ตวั อย่าง 6 จงหาอตั ราส่วนตรีโกณมิตขิ องมมุ A จากรูปสามเหลียมทีกาํ หนดให้ A  sin A = ….………    cos A = ………..…    4              1 3    D       tan A = ………….  cosec A = ….……..  11        C            B       sec A = …………     cot A = ……….…..                            

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                68                                                   ตัวอย่าง 7 กาํ หนดให้ ABC เป็ นรูปสามเหลียมทมี มี มุ A เป็ นมมุ ฉาก มีด้าน AB  ยาวเทา่ กบั 5 3  หนว่ ย   และด้าน BC ยาวเทา่ กบั 10 หนว่ ย ถ้าลากเส้นตรงจากจดุ A ไปตงั ฉากกบั ด้าน BC ทีจดุ D   แล้ว AC + CD  ยาวเทา่ กบั เทา่ ใด                                 ตัวอย่าง 8 กําหนดให้ AC เป็ นเส้นผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลมวงหนงึ โดยมสี ามเหลียม ABC แนบในวงกลมวงน ี     ให้ D เป็ นจดุ บนด้าน AC ซงึ ทาํ ให้ BD ตงั ฉากกบั AC  และอยใู่ กล้กบั จดุ C มากกวา่ จดุ A    ถ้า AC ยาว 25 หนว่ ย และ BD ยาว 12 หนว่ ย แล้วพนื ทสี ามเหลียม ABD  เทา่ กบั เทา่ ใด                                 

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                69                                                   2. อตั ราส่วนตรีโกณมิตขิ องมุม 0o , 30o , 45o , 60o และ 90o มมุ  ค่าของอตั ราส่วนตรีโกณ 30o 45o 60o 90o 0o  sin   cos   tan   cosec   sec   cot   30o  –  45o  0  1  0  –  1  60o  3  90o  1  3  1  2  2  0o 2 2 1    3 3 1  2   2   1  2  2  3 2 2 22 0  3  1  3  2  2  2 2 3 1  0  –  1  –    ตวั อย่าง 9 จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี   (1)   2 sin 30o –  sin 60o +  2  sin 45o                   (2)   2 sin 30o + 4sin 45o cos 45o – tan2 60o               (3)  2 tan2 30o + 4 cos2 30o – 3 sin2 30o                  

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                70                                                   ตวั อย่าง 10 จงหาคา่ x  และ y  และพนื ทขี องสามเหลียม ABC ทกี ําหนดให้    B  x    C    8  30o      A  y               ตัวอย่าง 11  กําหนดให้ ABC เป็ นรูปสามเหลียมมมุ ฉาก มีมมุ B  เป็ นมมุ ฉาก และ BAC = 60o    ถ้า AC = 5  หนว่ ย แล้ว จงหาความยาวรอบรูปของ ABC    B        A  60o  5  C                ตวั อย่าง 12 กาํ หนดรูปสามเหลียมหน้าจวั ABC  ถ้า AB = BC ,  ABC = 120o  และ AC = 8  เซนติเมตร     แล้วจงหาพนื ทขี อง  ABC    B      120o    A   C    8                  

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                71                                                   3. ความสมั พนั ธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ B  c  a    จากรูปสามเหลียมมมุ ฉาก ABC  พบวา่ Aˆ  Bˆ  90o จะได้    (1)   sin A  =  cos B       cosec A = sec B        cos A  =  sin B      sec A    = cosec B  A  b  C            tan A  =  cot B     cot A    = tan B     (2)   sin A  = tan A     ,     cos A  cot A   cos A sin A         (3)   sin2A + cos2A = 1                                   ตวั อย่าง 13 จงหาคา่ ของ   (1)     sin 13o cosec 13o        (2)     sin 50o sec 40o                    (4)     sin 25o – cos 65o       (3)      sin2 75  cos2 75                       (6)   sin 28o sin 56o  tan 34o      (5)     tan 54o  tan 36o       sin 34o cos 62o                

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                72                                                   ตัวอย่าง 14   กําหนดให้ ABC เป็ นรูปสามเหลียม โดยที BD ตงั ฉากกบั สว่ นตอ่ ของด้าน AC   ถ้ามมุ BAC เทา่ กบั 30 องศา มมุ ABC เทา่ กบั 15 องศา และ AD ยาว 3 หนว่ ย   แล้ว BC มีความยาวกหี นว่ ย                                     ตัวอย่าง 15.   กาํ หนดให้ ABCD  เป็ นรูปสามเหลียมผืนผ้าซงึ มพี นื ที 120 ตารางหนว่ ย มจี ดุ  E เป็ นจดุ บนด้าน AB  ทที ําให้ ACˆE  20o และ CEˆB  50 แล้วสเี หลียม ABCD มีเส้นรอบรูปยาวกหี นว่ ย                                 

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                73                                                   4. การประยกุ ต์หาความสงู และระยะทาง เป็ นการนาํ อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิมาชว่ ยหาระยะทางความยาวและความสูงของวตั ถโุ ดยอาศยั ด้านและมมุ ที กาํ หนดให้    มุมก้ม คือมมุ ทีอย่รู ะหว่างเสน้ ระดบั สายตา กบั เสน้ ทีลากจากตาลงไปยงั วตั ถุ มมุ เงย คือมมุ ทีอยรู่ ะหว่างเสน้ ระดบั สายตา เกิดขึนเมือวตั ถอุ ยตู่ ํากว่าระดบั สายตา  กบั เสน้ ทีลากจากตาขึนไปยงั วตั ถุ เกิดขึนเมือวตั ถอุ ยู่สูงกว่าระดบั สายตา   วตั ถุ ระดบั สายตา(เส้นระดบั )     ระดบั สายตา(เส้นระดบั )    วตั ถุ   ตัวอย่าง 16 จากจดุ บนพนื ดนิ ทอี ยหู่ า่ งจากหอคอยแหง่ นี 135  เมตร ถ้ามองไปทยี อดหอคอย จะพบวา่   มมุ ทีแนวสายตาทาํ กบั เส้นระดบั เป็ นมมุ 60o  จงหาความสงู โดยประมาณของหอคอยน ี                     ตัวอย่าง 17 นาย เอ และนาย บี ยนื อยบู่ นพนื ราบซงึ หา่ งจากกาํ แพงเป็ นระยะ 2 เมตร และ 8 เมตร ตามลําดบั     ถ้านาย เอ มองโปสเตอร์แผน่ หนงึ บนกําแพงด้วยมมุ เงย  องศา ในขณะทนี าย บี มองโปสเตอร์แผน่ เดียวกนั ด้วยมมุ เงย 90     องศา ถ้าไมค่ ดิ ความสงู ของนาย ก และ นาย ข แล้วโปสเตอร์อยสู่ งู จาก พนื ราบประมาณกเี มตร                  

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                74                                                   ตวั อย่าง 18 จากจดุ สงั เกตการณ์บนยอดตกึ หลงั หนงึ ซงึ สูงจากพนื 29  เมตร ถ้ามองไปยงั ตกึ อีกหลงั หนงึ   ซงึ อยหู่ า่ งออกไป พบวา่ ถ้ามองทีฐานตกึ จะต้องมองเป็นมมุ ก้ม 45o  แต้ถ้ามองทียอดตกึ   จะต้องมองเป็ นมมุ เงย 60o  จงหาความสูงของตกึ หลงั ทมี อง                                   ตวั อย่าง 19 สาธิตอยบู่ นประภาคารหลงั หนงึ เมอื มองลงไปจากประภาคารไปยงั ทะเลเป็ นมมุ ก้ม 45o และ 30o    เหน็ เรือสองลําในแนวเดียวกนั ถ้าเรือสองลํานอี ยหู่ า่ งกนั 100  เมตร   ความสงู ของประภาคารเทา่ กบั เทา่ ใดโดยประมาณ เมอื กําหนดให้ 3  1.73                                

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                75                                                   ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet       ในแต่ละปี จะมีประมาณ 7 - 8 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทเี คยออกข้อสอบได้แก่  หาคา่ ลําดบั เมอื กําหนดพจน์ที n    จากลาํ ดบั ชนิดหนงึ ทกี ําหนด ให้พจิ ารณาวา่ ลาํ ดบั ใหมท่ ีสร้างจากลาํ ดบั เดิมเป็ นลาํ ดบั ชนิดใด   หาคาํ ตอบเกียวกบั ลาํ ดบั และอนกุ รมเลขคณิต   หาคําตอบเกียวกบั ลาํ ดบั และอนกุ รมเรขาคณิต   แก้โจทย์ปัญหาทเี กียวกบั ลําดบั เลขคณิต  1. ความหมายลําดับ  ลาํ ดบั คือฟังก์ชนั ทมี โี ดเมนเป็ นเซตของจํานวนเต็มบวก n ตวั แรก หรือโดเมนเป็ นเซตของจํานวนเต็มบวก       กําหนดให้ f เป็ นลําดบั โดยที f(1) = a1 ,  f(2) =  a2  ,  f(3) =  a 3  , … , f(n) = a n  , …   เราจะเขียนลําดบั f  เป็ นดงั นี a1,  a2,  a3,  ...,  an,  ...  และจะเรียก a1  วา่ พจนท์ ี 1 ของลําดบั   a2  วา่ พจนท์ ี 2 ของลําดบั    a3  วา่ พจน์ที 3 ของลําดบั          an  วา่ พจน์ที n หรือ พจน์ทวั ไป (general term) ของลําดบั     ตัวอย่าง 1  กาํ หนดให้ an แทนพจนท์ วั ไปของลําดบั หรือพจน์ที n ของลําดบั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี   (1)    an  2n  1    จงหา a2 , a4 , a6   2n  1           (2)    an  n2  1    จงหา a1 , a3 , a6   ( 1)n1 n      

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                76                                                   (3)   an  =   (2)n1    จงหา a2 , a3 , a6     4n  6               (4)  กําหนดให้ a3  1 , a4  2   และ an2  an  2n สาํ หรับ n = 1, 2, 3 , ...      จงหา a9  a10               (5)  กําหนดให้ a1  1 , a2  3   และ an2  an  2an1 สําหรบั n = 1, 2, 3 , ...      จงหา a9  a10               (6)   กําหนดให้ an  an1  an2  an  an1  an2 สาํ หรบั n = 1, 2, 3 , ...      ถ้า a1  2, a2  5 จงหา a10  a11  a12                  

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                77                                                   2. ลําดบั เลขคณิตและเรขาคณิต   ลาํ ดับเลขคณติ คือ ลําดบั ทีมผี ลตา่ งซงึ ได้จากพจนท์ ี  n + 1 ลบด้วยพจนท์ ี n มีคา่ คงตวั     คา่ คงตวั นี เรียกวา่ ผลต่างร่วม   จากบทนยิ าม กาํ หนดให้   a1 เป็ นพจนแ์ รก  d เป็ นผลตา่ งร่วม  และ an แทนพจน์ทวั ไป จะได้ d  =  an + 1 – an   หรือ an + 1  =  an + d     an  a1  (n  1)d   an  a1  (n  1) d     n  an  a1 1  d       an  ak  (n  k)d      an  ak  (n  k)d     n  an  ak  k  d         ลาํ ดบั เรขาคณิต คือ ลําดบั ทอี ตั ราส่วนของ พจน์ที  n + 1 ตอ่ พจน์ที n  มคี า่ คงตวั                     คา่ คงตวั นีเรียกวา่ อตั ราส่วนร่วม    จากบทนยิ าม ถ้ากาํ หนดให้    a1  เป็ นพจนแ์ รก r  เป็ นอตั ราส่วนร่วม และ an แทนพจน์ทวั ไป  จะได้ r  =   an1 หรือ   an   1  anr       an    an  a1rn1 an  rn1   a1 an  akrn1 an  rnk   ak     ตัวอย่าง 1  จงหาพจน์ที n ของลาํ ดบั เลขคณิตตามเงือนไขทีกําหนดให้ตอ่ ไปน ี (1)  a1  12 และ a8  2       (2)  a5  18 และ  d = 4                   

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                78                                                     (3)   a3 = 10 และ a7  –5        (4)   a6   5 และ a11  55                  ตวั อย่าง 2  กาํ หนดลาํ ดบั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี จงหาคา่ n ทที าํ ให้ an มีคา่ ตามทีกําหนด (1)  กาํ หนดลําดบั เลขคณิต  –2,  1,  4,  7, ...   จงหาคา่ n ทที ําให้พจนท์ ี n เทา่ กบั 58                     (2)   กาํ หนดลําดบั เลขคณิตม ี  a2  17, a4  27   จงหาคา่ n ทที าํ ให้พจน์ที n เทา่ กบั 157                    (3)    กําหนด an แทนพจน์ทวั ไปของลําดบั เลขคณิตทมี ี a1  3 และ a5  59     จงหาคา่ n ทงั หมดทที ําให้ an  283                    

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                79                                                   ตัวอย่าง 3  กําหนดลาํ ดบั ในแตล่ ะข้อตไ่ ปนเี ป็ นลําดลั เลขคณิต จงหาจาํ นวนพจน์ของลําดบั   (1)  12,  15,  18, ... , 72        (2)    15,  9, 3, ... , 123                (3)     3 – 2x , 2x + 5 , 5x + 9 , ... , 7x4  5x2  3   เมอื x เป็ นจาํ นวนจริง                (4)  x  5 , 2x  3 , 11  x , ... , 9  7x  5x3   เมือ x เป็ นจาํ นวนจริง                  ตวั อย่าง 4  จงหาจาํ นวนของจาํ นวนเตม็ ทีมีคา่ ตงั แต่ 10  ถงึ 200  ทสี อดคล้องเงือนไขตอ่ ไปนี (1)   หารด้วย 3 ลงตวั           (2)   หารด้วย  3 ไมล่ งตวั                 (3)  หารด้วย 7 เหลือเศษ 5        (4)  หารด้วย 4  เหลอื เศษ 3               

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                80                                                   ตัวอย่าง 5  ถ้า 7,  x,  y,  z,  42  เป็ นพจน์ห้าพจนท์ ีเรียงกนั ลําดบั เลขคณิต จงหาคา่ ของ  (y + z)  2x                    ตวั อย่าง 6  กาํ หนดให้ x และ y เป็ นจาํ นวนจริงซงึ  x  y    ถ้าลําดบั   x,  a1,  a2,  y  เป็ นลําดบั เลขคณิต และลําดบั x,  b1,  b2,  b3,  y เป็ นลําดบั เลขคณิต     จงหาคา่ ของ   a2  a1    b2  b1                   ตัวอย่าง 7  กําหนดลาํ ดบั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนเี ป็ นลําดบั เรขาคณิต จงหาพจน์ที n และพจนท์ ี 12   (1)    a1  1  และ a4  27      (2)  a7  12 และ r =  1   3             (3)  a2  6 และ a5  9 2       (4)  a8  8a6  และ a4  6            

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                81                                                   ตวั อย่าง 7  กําหนดลาํ ดบั ตอ่ ไปนเี ป็ นลําดบั เรขาคณิต   (1)  2, –6, 18, –54,  ... , 162      จงหาจาํ นวนพจน์ทงั หมดของลําดบั น ี           (2)  a5  48, a12  6144    จงหาคา่ n ทที ําให้ an  384                 ตัวอย่าง 8  ถ้า 2, a, b, c, 32  เป็ นห้าพจนเ์ รียงกนั ในลําดบั เรขาคณิตลําดบั หนงึ   จงหา a2  b2  c2                       ตวั อย่าง 9   จงหาจาํ นวนจริง k  ทที าํ ให้ k – 13,  k – 1 ,  k + 33  เรียงกบั เป็ นลําดบั เรขาคณิต                    

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                82                                                   ตัวอย่าง 10   พจิ ารณาลาํ ดบั ของรูปสามเหลียมด้านเทา่ ขนาดตา่ งๆ ดงั นี         รูปที 1       รูปที 2       รูปที 3  พนื ทขี องบริเวณแรเงาในรูปที 10 เป็ นกีเทา่ ของบริเวณแรเงาในรูปที 1 (ตอบในรูปเลขยกกําลงั )                ตวั อย่าง 11 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนเี ป็ นจริงหรือเทจ็   (1)    ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เลขคณิต  แล้วลําดบั bn  an  3 เป็ นลําดบั เลขคณิต            (2)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เลขคณิต  แล้วลาํ ดบั bn  3an เป็ นลําดบั เลขคณิต              (3)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เลขคณิต  แล้วลําดบั a1  a2, a3  a4, a5  a6,... เป็ นลําดบั เลขคณิต          (4)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เรขาคณิต แล้วลาํ ดบั   bn  an  3  เป็ นลําดบั เรขาคณิต           

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                83                                                     (5)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เรขาคณิต แล้วลําดบั   bn  2an  เป็ นลาํ ดบั เรขาคณิต              (6)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เรขาคณิต แล้วลําดบั   a1  a2, a3  a4, a5  a6,...  เป็ นลาํ ดบั เรขาคณิต              (7)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เรขาคณิต แล้วลาํ ดบั   bn  a2n  เป็ นลําดบั เรขาคณิต              (8)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เรขาคณิต แล้วลําดบั   a1a2, a3a4, a5a6,...  เป็ นลาํ ดบั เรขาคณิต                (9)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เรขาคณิต แล้วลําดบั   1 , 1 , 1 , ...  เป็ นลาํ ดบั เรขาคณิต  a2 a1 a3             (10)  ถ้าลําดบั an เป็ นลําดบั เรขาคณิต แล้วลาํ ดบั a2 , a3 , a4 ,...  เป็ นลําดบั เลขคณิต  a1 a2 a3          

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                84                                                   3. อนุกรม  3.1 ผลบวก n พจน์แรก ให้ a1, a2, a3, ..., an เป็ นลําดบั จาํ กดั ถ้านําแตล่ ะพจนม์ าบวกกนั จะได้ a1  a2  a3  ...  an   ซงึ จะเรียกวา่ เป็ น อนุกรมจาํ กดั       และเรียก a1  a2  a3  ...  an  เป็ นผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมโดยแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ Sn   อาจจะเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์แทนการบวก(summation)ดงั น ี a1  a2  a3  ...  an =  n ai     i1    นนั คือ Sn  a1  a2  a3  ...  an  n a      i i1 หมายเหตุ สมบตั บิ างประการทคี วรทราบ  (1)  Sn  Sn1  an     (2)  1  2  3  ...  n  n(n  1)   2   (3)  12  22  32  ...  n2  n(n  1)(2n  1)   6   (4)  13  23  33  ...  n3   n(n  1)2   2   ตวั อย่าง 12  กําหนดให้ผลบวก n พจนแ์ รกในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี จงหาพจนท์ ี n และพจน์ที 10 ของอนกุ รม  (1)  Sn  n2  3n                 (2)  Sn  7  3n2                

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                85                                                   ตัวอย่าง 13  จงหาผลลพั ทใ์ นแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 50   (1)   (k  2)             k 1               (2)   25 (i2  2i)    i1               20    (3)     (k  1)(k  1)   k 1                 100 (4)         1  (1)k k                    k 1                

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                86                                                   3.2 อนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณติ   อนุกรมเลขคณิต ถ้า a1, a2, a3, …, an  เป็ นลาํ ดบั เลขคณิตแล้ว a1 + a2 + a3 + … + an วา่ อนุกรมเลขคณิต  ให้ a1 และ d  เป็ นพจนแ์ รก และผลตา่ งร่วมของอนกุ รมเลขคณิต ตามลําดบั   ดงั นนั ผลบวก n พจนแ์ รก( Sn )ของอนกุ รมเลขคณิต หาได้ดงั น ี    Sn n หรือ  Snn  2 2a1  (n  1)d 2 a1  an       อนุกรมเรขาคณิต ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็ นลําดบั เรขาคณิตแล้ว a1 + a2 + a3 + … + an + …  วา่ อนุกรมเรขาคณติ   ให้ a1 และ r  เป็ นพจนแ์ รก และผลตา่ งรว่ มของอนกุ รมเรขาคณิต ตามลําดบั   ดงั นนั ผลบวก n พจน์แรก( Sn )ของอนกุ รมเรขาคณิต หาได้ดงั น ี   Sn  a1(1  rn ) หรือ Sn  a1  anr   1r 1 r     ตวั อย่าง 14 กาํ หนดอนกุ รมเลขคณิตที an เป็ นพจนท์ วั ไป และd เป็ นผลตา่ งร่วม ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี   (1)  a1  5 และ a30  63 จงหาผลบวก n พจน์แรก  และผลบวก 20 พจน์แรก                  (2)  d = –3  และ a12  20    จงหาผลบวก n พจนแ์ รก  และผลบวก 20 พจน์แรก   

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                87                                                   (3)  a10  7 และ a25  –53    จงหา S25                     (4)  S10  60   และ a3  a1  4 จงหาพจน์ที 15  และผลบวก n พจนแ์ รก                      (5)  S3  3 และ S5  20 จงหา an และ Sn                   (6)      a1  14  และ d 3     จงหาคา่ n ทที าํ ให้ผลบวก n พจน์แรกเทา่ กบั 180  2                    

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                88                                                   ตัวอย่าง 15 กาํ หนดให้ an แทนพจน์ทวั ไปของอนกุ รมเรขาคณิตทีม ี  อตั ราสว่ นร่วมเทา่ กบั r  จงตอบคาํ ถามตอ่ ไปนี   (1)  a1  9 และ a4  1    จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รก 3                 (2)  a5  1 และ r  2    จงหาผลบวก 15 พจนแ์ รก 8                 (3)  a1  729, r  1    จงหาคา่ n ทีทําให้ Sn  1089   3                 ตวั อย่าง 16 ถ้า a  เป็ นจํานวนจริงลบ ทีสอดคล้องกบั สมการ a25  5a  6  0     จงหา 1  a  a2  ...  a24                

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                89                                                   3.3 โจทย์ปัญหาเกยี วกับลาํ ดับอนุกรม   ตวั อย่าง 17 ทีนงั ส่วนด้านข้างด้านหนงึ ของอฒั จนั ทร์(grandstand)ในสนามกีฬาแหง่ หนงึ มแี ถวทนี งั ทงั หมด 20 แถว   ใน 10 แถวแรกได้จดั ทีนงั โดย มี 30 ทนี งั ในแถวแรก 32 ทีนงั ในแถวทสี อง  34 ทีนงั ในแถวทีสาม   เชน่ นเี รือยๆไปจนถงึ แถวที 10  ส่วนอีก 10 แถวทีเหลือจดั ให้มีทีนงั แถวละ 50 ทนี งั     จงหาจาํ นวนทนี งั ทงั หมดในสว่ นด้านข้างของอฒั จนั ทร์นี                             ตวั อย่าง 18 นาย ก ยืมเงินนาย ข จาํ นวน 12,000 บาทเพอื มาเป็นทนุ ค้าขาย โดยนาย ก บอกนาย ข วา่ จะใช้คนื ใน วนั แรก 2,000 บาท และวนั ตอ่ ๆไปจะขอใช้คนื โดยลง 100 บาท จากยอดเงินทใี ช้คนื ในวนั กอ่ นหน้า   ถ้านาย ก คนื เงินแกน่ าย ข ตอ่ เนอื งกนั ทกุ วนั จะต้องใช้เวลาคนื เงินทงั หมดกีวนั จงึ จะครบตามยอดทยี ืมมา                              

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                90                                                   ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet       ในแต่ละปี จะมีประมาณ 5 - 6 ข้อ(3 ปี ลา่ สดุ ปี ละ 3 ข้อ) โดยมขี อบเขตเนือหาทเี คยออกข้อสอบได้แก่  หาจํานวนผลการทดลองสมุ่ โดยใช้กฎการนบั    หาจาํ นวนวิธีการเรียงสบั เปลยี นแบบเชิงเส้น แบบทกุ สงิ ทเี รียงสบั เปลยี นต่างกนั และไม่ตา่ งกนั ทงั หมด( เคยมีออก 1 ข้อ)   หาจาํ นวนวิธีเรียงสบั เปลยี นแบบวงกลม(เคยออกมา 1 ข้อ)   หาความน่าจะเป็ นโดยเน้นความหมายถงึ ของความน่าจะเป็ นทเี ป็ นโอกาสทีจะเกิดขนึ    หาความน่าจะเป็ นโดยเน้นการแจกสมาชิกในปริภมู ิตวั อย่างกอ่ นก็ได้ หรืออาจจะหาจํานวนวธิ ีโดย กฏการนบั กอ่ นแล้วนํามาหาความน่าจะเป็ น มกั กลา่ วถงึ การหยิบทลี ะครังแบบใสค่ นื ไม่ใสค่ ืน และ หยิบเลอื กพร้อมกนั ซงึ อาจจะหาจาํ นวนวธิ ีเลย    หาความน่าจะเป็ นของเหตกุ ารณ์ ยเู นียน อินเตอร์เซกชนั ดดยอาศยั กฎของความน่าจะเป็ น หรือ แผนภาพเวน-ออยเลอร์  1. กาหาค่าแฟคทอเรียล (Factorial) บทนิยาม กาํ หนดให้ n เป็ นจาํ นวนนบั     n!  =  1  2  3 ...(n –1)  n และกาํ หนด 0! = 1     จากนยิ าม n!  หาคา่ ได้ก็ตอ่ เมือ n ≥ 0    ตัวอย่าง 1  จงหาคา่ ของแตล่ ะข้อตอ่ ไปน ี   (1)  3 !  4 !              (2)  4!2!          ..................................................................  ......................................................................    ..................................................................  ......................................................................    (3)  6 !              (4)  7! !       4!2! 3!4     ..................................................................  ......................................................................    ..................................................................  ......................................................................    (5)  5 !  4 !             (6)    7! !  4 !   3 ! 5!3     ..................................................................  ......................................................................    ..................................................................  ......................................................................   

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                91                                                   2. กฎการนับเบืองต้น (Fundamental Principal of Counting)  กฏการนับเบืองต้น ถ้าต้องการทาํ งาน k  ชนดิ ตอ่ เนือง(หรือเกิดพร้อมกนั ) โดยท ี มีวธิ ีทํางานชนิดที 1 n1 วธิ ี   ในแตล่ ะวิธีของการทาํ งานชนดิ ที 1 มีวิธีของการทํางานชนดิ ที 2 n2   วิธี   ในแตล่ ะวิธีของการทาํ งานชนิดที 1 และชนิดที 2  มวี ธิ ีของการทาํ งานชนิดที 3   n3  วธิ ี     ในแตล่ ะวธิ ีของการทาํ งานชนดิ ที 1 ถงึ ชนดิ k – 1 มีวิธีของการทาํ งานชนดิ ที k   nk   วธิ ี  จะได้ จํานวนวธิ ีการทาํ งานทงั k  ชนิดนีเทา่ กบั n1  n2  n3  nk  วิธี     ตวั อย่าง 1  ในกลอ่ งใบหนงึ มีลกู บอลอยู่ 4 ลูกแตล่ ะลกู เขียนด้วยหมายเลข 1 ถงึ 4 ลกู ละ 1 หมายเลข   ถ้าหยิบลูกบอลจากกลอ่ งใบนอี อกมา 2 ลูก โดยหยบิ ครังละ 1 ลกู และไมใ่ สค่ นื กอ่ นหยิบครังตอ่ ไป      จงสร้างแผนภาพต้นไม้แสดงวธิ ีการหยบิ ลกู บอลสองลกู และจะมีวิธีการหยิบลูกบอลสองลูกนไี ด้กวี ธิ ี                      ตวั อย่าง 2  ในกล่องใบหนงึ มีลูกบอลอยู่ 4 ลูกแตล่ ะลกู เขียนด้วยหมายเลข 1 ถงึ 4 ลกู ละ 1 หมายเลข   ถ้าหยบิ ลกู บอลจากกล่องใบนอี อกมา 2 ลกู โดยหยบิ ครังละ 1 ลูก และไมใ่ ส่คนื กอ่ นหยบิ ครังตอ่ ไป      จงสร้างแผนภาพต้นไม้แสดงวธิ ีการหยบิ ลูกบอลสองลูก และจะมีวธิ ีการหยิบลูกบอลสองลูกนไี ด้กวี ิธี                     

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                92                                                   ตวั อย่าง 3  ในกลอ่ งใบหนงึ มีลูกบอลอยู่ 4 ลูกแตล่ ะลกู เขียนด้วยหมายเลข 1 ถงึ 4 ลูกละ 1 หมายเลข   ถ้าหยิบลูกบอลจากกล่องใบนอี อกมา 2 ลูก โดยหยบิ ครังละ 1 ลูก และไมใ่ สค่ นื กอ่ นหยิบครังตอ่ ไป      จงสร้างแผนภาพต้นไม้แสดงวธิ ีการหยบิ ลูกบอลสองลกู และจะมวี ิธีการหยิบลกู บอลสองลกู นไี ด้กวี ิธี              ตัวอย่าง 4 กฎการนับเบืองต้น (1)  มีบตั รอยใู่ นกลอ่ ง 6 ใบ ดดยทีแตล่ ะใบมหี มายเลข 1 ถงึ 6  ถ้าหยิบบตั รในกลอ่ งใบนอี อกมา 3 ใบ   โดยหยบิ ทลี ะ 1 ใบแบบไมใ่ ส่คนื จะมีวธิ ีการหยบิ บตั ร 3 ใบนีได้กวี ธิ ี      ตอบ ...........................................................................................................................  (2)   ถ้านกั เรียนมเี สอื แตกตา่ งกนั 5 ตวั กางเกง 4 ตวั และรองเท้าอกี 3 คู่   จะมีวธิ ีเลือกเสือ กางเกง อยา่ งละ 1 ตวั และรองเท้า 1 คู่ เพือการแตง่ ตวั ได้กวี ธิ ี      ตอบ ...........................................................................................................................  (3)   ถ้านกั เรียนมดี ินสอ 5 แทง่ ทีตา่ งกนั ต้องการแจกดนิ สอทงั หมดให้แกเ่ ดก็ ทมี อี ยู่ 3 คน โดยแตล่ ะคนอาจจะได้รับ  หรือไมก่ ไ็ ด้ จะแจกดินสอทงั หมดนไี ด้กวี ธิ ี    ตอบ ...........................................................................................................................  (4)    มจี ดหมาย 3 ฉบบั จะนาํ ไปทงิ ใสล่ งในต้ไู ปรษณีย์ 5 ตู้ ได้ทงั หมดกวี ธิ ี    ตอบ ...........................................................................................................................  (5)  มีหมวกจํานวน 4 แบบ จํานวนวธิ ีการเลือกหมวกของคนทงั 2 คน คนละ 1 ใบ  โดยไมซ่ าํ แบบกนั  ได้ทงั หมดกีวธิ ี    ตอบ ...........................................................................................................................  (6)  จํานวนวธิ ีของผลลพั ท์ทงั หมดทไี ด้จากการโยนเหรียญ 1 เหรียญ ลกู เตา๋ 1 มีกีวิธี    ตอบ ............................................................................................................................     (7)  รหสั ปลดล็อคโทรศพั ทท์ ใี ช้ตวั เลข 4 ตวั มีทงั หมดกรี หสั     ตอบ ...........................................................................................................................  (8)     ข้อสอบแบบเลือกตอบ 2 ตวั เลือกคือถกู หรือผิด จํานวน 10 ข้อ จะมวี ธิ ีการทาํ ข้อสอบนไี ด้ทงั หมดกวี ิธี    ตอบ ...........................................................................................................................   (9)    ครอบครวั หนงึ มลี ูก 3 คน จาํ นวนรูปแบบเพศลกู ทงั 3 คนในครอบครวั นี มีกีวธิ ี  ตอบ ...........................................................................................................................  (10)    จํานวนวิธีทเี ป็ นไปได้ทงั หมดของแลข 3 หลกั จะเป็ นรางวลั เลขท้ายสามตวั ในแตล่ ะงวด มีกีวธิ ี    ตอบ ...........................................................................................................................     

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                93                                                   ตัวอย่าง 5  มกี ล่อง 2 ใบ กลอ่ งแตล่ ะใบมลี ูกบอลขนาดเดยี วกนั 5 สี สีละ 1 ลกู   ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกล่องทงั สองใบนี กลอ่ งละลูก จงหา  (1) จาํ นวนวธิ ีทสี องลกู ทีหยบิ ได้เป็ นสีเดยี วกนั       (2)  จํานวนวธิ ีทสี องลกู นนั เป็นสีตา่ งกนั       ตัวอย่าง 6  กําหนดให้การสร้างจาํ นวน 3 หลกั ใช้ตวั เลข  0, 1, 2, ..., 9  จงหาจํานวนทงั หมดทสี ามารถสร้างได้ ตามเงือนไขตอ่ ไปนี    (1)  จาํ นวนสามหลกั ทงั หมด      (2)   จํานวนทีมตี วั เลขทงั สามหลกั ของจาํ นวนไมซ่ าํ กนั         (3)   จํานวนทีมีตวั เลขทงั สามหลกั ของจาํ นวนไมซ่ าํ กนั และเป็ นจํานวนค ี         (4)   จาํ นวนทมี ตี วั เลขทงั สามหลกั ของจํานวนไมซ่ าํ กนั และเป็ นจาํ นวนค ู่             (5)   จํานวนทีมีตวั เลขทงั สามหลกั ของจาํ นวนไมซ่ าํ กนั และเป็ นจาํ นวนทหี ารด้วย 5 ลงตวั                

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                94                                                   ตัวอย่าง 7  โรงหนงั แหง่ มีประตทู างเข้า 2 ประตู และประตทู างออกเพมิ มาอกี 2 ประตจู ากประตทู างเข้า จะมวี ธิ ีเข้า และออกโรงหนงั นีได้ทงั หมดกวี ธิ ี เมอื   (1)  เดินเข้าและเดินออกประตใู ดก็ได้      (2)  ต้องออกอีกประตหู นงึ ซงึ ไมซ่ าํ กบั ประตทู เี ข้ามา      (3)  เดนิ เข้าและเดินออกประเดิม      ตวั อย่าง 8  ต้ซู อื นําดมื นาํ ดมื อตั โนมตั ิ มีนาํ ดมื ให้เลือก 12  ชนดิ ถ้านกั เรียนและเพอื นของนกั เรียนอกี 2 คนมา  ซอื นําทีต้นู ที ีละคนโดยไมใ่ ห้คนอืนรู้วา่ เลือกซอื นําดืมชนิดใด จงหาจาํ นวนวธิ ีท ี   (1)  แตล่ ะเลือกซอื นําดืมชนดิ ใดกไ็ ด้    (2)  เพือนทงั 2 คน ซอื นําดืมชนดิ เดยี วกนั กบั นกั เรียน    (3)  แตล่ ะคนซอื นาํ ดืมคนละชนิดกนั     ตวั อย่าง 9  ครวั หนงึ มี พอ่ แม่ ลูกชาย 2 คน  และลูกสาว 1 คน ทงั หมดยืนเป็ นแถวยาวเพือถา่ ยรูปครอบครัว   จะสามารถทาํ ได้กีวธิ ีทแี ตกตา่ งกนั   (1)   พอ่ และ แม่ ยนื หวั แถวและท้ายแถว      (2)   ลกู สาวยืนตรงกลางของแถว      (3)   ยนื สลบั ชาย-หญิง คราวละ 1 คน         (4)  ชายยืนทงั หมดตดิ กนั และหญิงทงั หมดยนื           

         เอกสารทบทวนความรู้คณติ ศาสตร์พืนฐาน                95                                                   4. วธิ ีเรียงสบั เปลียน (Permutation)    วิธีเรียงสบั เปลยี น หมายถงึ การนําสิงของทมี อี ยทู่ งั หมดหรือบางส่วนมาจดั เรียงลาํ ดบั สบั ไปมา โดยคาํ นงึ ถงึ   ลําดบั หรือตาํ แหนง่ สงิ ของเป็นสําคญั วิธีการเรียงสบั เปลียนแบง่ เป็ น 2  ลกั ษณะ ดงั น ี วิธเี รียงสบั เปลยี นแบบเชงิ เส้น (Linear Permutation) จาํ แนกได้ดงั นี สูตรทีควรรู้ได้แก่ 1.   ถ้ามสี ิงของทแี ตกตา่ งกนั ทงั หมด n สิง จํานวนวิธีเรียงสบั เปลยี นเชิงเส้น เทา่ กบั n!  วธิ ี    2.   ถ้ามสี ิงของทแี ตกตา่ งกนั ทงั หมด n สิง จาํ นวนวธิ ีเรียงสบั เปลียนเชงิ เส้น r  สิง (r ≤ n)  เทา่ กบั n Pr  Pn,r n Pr  (n n!    วิธี   r)!   3.  ถ้ามสี ิงของอยู่ n  สิง ทีแตกตา่ งกนั ไมท่ งั หมด โดยที ในกลมุ่ ที   1, 2, …., k มีสิงของซํากนั       เป็ น n1,  n2 ,…, nk สิง  ตามลาํ ดบั และ   n1  n2  n3  ...  nk =  n  จะได้จาํ นวนวิธีเรียงสบั เปลียนของสิงของทงั n  สิงเทา่ กบั n !    วธิ ี n1 ! n2 ! n3 ! nk ! วิธเี รียงสบั เปลยี นแบบวงกลม (Circular Permutation) สูตรทีควรรู้ได้แก่ 4. ถ้ามีสิงของทีแตกตา่ งกนั ทงั หมด n สิง จํานวนวธิ ีเรียงสบั เปลยี นแบบวงกลมเทา่ กบั (n-1)!  วิธี      หมายเหตุ :  แนวคิดการจดั เรียงสบั เปลียนแบบวงกลมอกี แนวทางหนงึ คือ ให้กําหนดตาํ แหนง่ สิงของสิง         หนงึ สิงใดไปแล้ว ให้จดั ทเี หลือแบบเชิงเส้น     เทคนิคการเรียงสบั เปลยี นของสถานการณ์ทนี ่าสนใจ     (1)   เทคนิคการจดั เรียงให้สิงของบางสิงอยใู่ ห้ตดิ กนั เสมอ ให้มองรวมสิงทตี ้องการให้อยตู่ ดิ กนั เป็ นสงิ ของหนงึ สิงแล้วเรียงสบั เปลียนในกลุม่ ด้วย (เทคนิดมดั มองรวมเป็นหนงึ )            (2)    เทคนคิ การจดั เรียงทใี ห้สิงของบางสงิ ไม่ให้อย่ตู ิดกนั เลย ให้จดั เรียงสิงของอืนกอ่ นแล้วนาํ สงิ ของทเี หลือ  ไปแทรกระหวา่ งสิงทีจดั ไว้แล้ว (จดั อยา่ งอืนกอ่ นแล้วแทรก)         

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                96                                                   ตัวอย่าง 10 จงตอบคําถามตอ่ ไปน ี   (1)  การจดั คน 4 คนนงั บนเก้าอียาวหนงึ ตวั   มจี าํ นวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วิธี  (2)  การสร้างคําใหมท่ ีไมค่ ํานงึ ถงึ ความหมาย จากสบั เปลียนตวั อกั ษรทงั หมดในคาํ วา่ IPHONE      มคี าํ เทา่ กบั ....................................................... คํา  (3)  การจดั เรียงรายชอื นกั เรียน 5 คนเพือเข้ารบั การสอบสมั ภาษณ์   มจี าํ นวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วิธี  (4)  การสบั เปลียนหน้าความรบั ผิดชอบ 6 หน้าที ในเวรทาํ ความสะอาดห้องเรียนของนกั เรียน 6 คน   มจี ํานวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วิธี    (5)  มีคน 10 คน จดั ให้คนมานงั เก้าทวี า่ งอยู่ 3 ที   มีจาํ นวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วิธี  (6)  การเลือกนกั เรียน 3 คน จากนกั เรียน 30 คน มาตอบคําถามทแี ตกตา่ งกนั 3 คําถาม   มจี ํานวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วธิ ี  (7)  การจดั เรียงสบั เปลียนตวั อกั ษรทงั หมดจากคําวา่ GOOGLE ให้เป็ นคาํ ใหมท่ ีไมค่ าํ นงึ ถงึ ความหมาย  มคี าํ เทา่ กบั ....................................................... คํา (8)  การจดั เรียงสบั เปลียนตวั อกั ษรทงั หมดจากคําวา่ DELETE ให้เป็นคาํ ใหมท่ ีไมค่ ํานงึ ถงึ ความหมาย  มีคาํ เทา่ กบั ....................................................... คาํ   (9)  การสร้างจาํ นวน 7 หลกั จากเลขโดด 7 ตวั ได้แก่ 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3  มเี ทา่ กบั ........................................................... จาํ นวน   (10)  การจดั คน 4 คนนงั บนเก้าอี 4 ทโี ดยเรียงเป็ นวงกลม   มจี ํานวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วธิ ี  (11)  การจดั คน 6 คนยืนล้อมวงกลม   มจี าํ นวนวธิ ีเทา่ กบั .............................................. วิธี  ตวั อย่าง 11 มีหนงั สือวิชาคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ภาษาองั กฤษ และภาษาจนี อยา่ งละเล่ม   จะจดั วางบนชนั หนงั สือได้กีวธิ ี ถ้า  (1)  ไมม่ ขี ้อกาํ หนดเพมิ เติม    (2)   ให้วชิ าคณิตศาสตร์อยตู่ ิดกบั วิชาวทิ ยาศาสตร์            (3)   ไมใ่ ห้วชิ าภาษาองั กฤษและวชิ าภาษาจนี วางตดิ กนั          

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                97                                                   ตวั อย่าง 12 ชาย 3  คน และหญิง 3  คน นงั บนเก้าอียาวตวั หนงึ จะมวี ธิ ีการนงั ทงั หมดกวี ิธี เมือ  (1)  ไมม่ เี งือนไขเพมิ เตมิ   (2)  ชาย 3 คน นงั ติดกนั             (4)  ไมม่ ีชายคนใดนงั ตดิ กนั เลย    (3)   หญิง 3 คน นงั ตดิ กนั               (6)  หวั แถวและท้ายแถวเป็ นเพศเดยี วกนั       (5)  ชายและหญงิ นงั สลบั กนั ทลี ะคน                ตวั อย่าง 13   มีนกั เรียนชาย-หญิงจาํ นวน 2 คนเทา่ ๆกนั  ครูอกี 2 คน     ถ้าต้องการจดั คนทงั หมดยนื เรียงแถวหน้ากระดาน จะได้กวี ธิ ีเมอื     (1)  ไมม่ ีเงือนไขเพิมเติม    (2)   ครู 2 คนยืนติดกนั         (3)   ครูยืนในตําแหนง่ หวั แถวและท้ายแถว     (4)   ไมม่ นี กั เรียนชายทียนื ติดกนั           (5)   นกั เรียนชายยืนตดิ กนั กนั นกั เรียนหญิงยนื ติดกนั และครูยืนหวั แถว ท้ายแถว      

         เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน                98                                                   ตัวอย่าง 14 ตวั อกั ษรในคําวา่ “TOYOTA”  จะมีวิธีเรียงสบั เปลียนเป็ นคําตา่ งๆ โดยไมค่ ํานงึ ถงึ ความหมาย  ได้ทงั หมดกวี ิธี (1)   ไมม่ เี งือนไขเพมิ เติม (2)   อกั ษร Y และ A อยตู่ ิดกนั               (3)   T สองตวั อยตู่ ิดกนั และ O สองตวั อยตู่ ิดกนั     (4) อกั ษร Y และ A ไมอ่ ยตู่ ิดกนั       ตวั อย่าง 15 ถ้าเลขโดด 1, 1, 1, 2, 2, 3  มาสบั เปลียนเพือสร้างเป็ นจํานวน 6  หลกั จะได้กีจาํ นวนเมอื   (1)  ไมม่ เี งือนไขเพมิ เติม (2)  จํานวนทไี ด้เป็ นจาํ นวนค ู่               (4)  จาํ นวนทีได้เกนิ 2 แสน (3)  จํานวนทีได้เป็ นจํานวนคี