2563_Math_M3 Answer_TEDET

วชิ าคณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 ข้อ คำตอบ ข้อ คำตอบ 15 16 165 2 12 17 120 34 18 1 40 19 4 51 20 31 66 21 8 78 22 25 84 23 16 9 25 24 50 10 94 25 60 11 9 26 75 12 8 27 90 13 5 28 124 14 540 29 3 15 33 30 43

วิชาคณิตศาวสตร์ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 วิชาคณติ ศาสตร์ ประถมศกึ ษาปที ี่ 2 All Thailand Evaluation Test คำอธบิ าย 1. ให้ x แทนความกว้างของทางเดิน 4. เนื่องจากคำตอบของสมการเชงิ เส้นทั้งสองคือ จากพ้นื ทีข่ องสนามหญา้ จะไดว้ ่า (60-2x)(20-x)=750 x=b และ y=0 2x2-100x+1,200=750 x2-50x+225=0 แทน x=b และ y=0 ลงในสมการ (x-5)(x-45)=0 จะไดว้ า่ x=5 หรือ 45 -2x+y=5 จะได้ -2b+0=5 ∴ b=- 5 เน่ืองจาก 0 < x < 20 จะไดว้ า่ x=5 2 ดังนน้ั ทางเดนิ กว้าง 5 เมตร 5 แทน x=- 2 และ y=0 ลงในสมการ x+3y=a จะได้ a=- 5 2      ดังน้ัน 5 5 5 5 a-b= - 2 - - 2 = - 2 + 2 =0 2. (1010+25)2-(1010-25)2 5. เนอื่ งจาก y=-x2-4x-5=-(x+2)2-1 จะไดว้ ่าเปน็ พาราโบลาควำ่ จุดยอดคือ (-2, -1) =[(1010+25)+(1010-25)] *[(1010+25)-(1010-25)] และมีพกิ ัดของจดุ ตดั บนแกน Y คอื (0, -5) =(2*1010)*50 =1010*100 =1012 ดังน้นั n=12 3. แทน x= 4 และ y=0 ลงในสมการ 3 y=-3x+5(1-2k) จะได้ 0=-4+5-10k ∴ k= 1 10 น่นั คอื สมการเชิงเสน้ ทไ่ี ด้เป็น y=-3x+4 พจิ ารณาจุดตัดบนแกน Y โดยการแทน x=0 ลงในสมการ y=-3x+4 จะได้ จดุ ตัดบนแกน Y คอื (0, 4) ดังนั้น h=4

วิชาคณิตศาวสตร์ มธั ยมศึกษาปที ี่ 3 วิชาคณติ ศาสตร์ ประถมศึกษาปที ่ี 2 6. All Thailand Evaluation Test 8. ให้ x แทนความยาวดา้ นของรปู ส่ีเหลี่ยมจตั ุรัส ให้ HP ยาว x เซนตเิ มตร รปู เดิม จะไดว้ า่ OH=5-x เซนตเิ มตร จะไดว้ า่ (x+2)(x+3)=2x2 เน่อื งจาก AH=HB=2 6 เซนติเมตร x2+5x+6=2x2 จาก OHB เปน็ รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก x2-5x-6=0 (x+1)(x-6)=0 จะได้ว่า (5-x)2+(2 6 )2=52 จะได้วา่ x=-1 หรือ 6 (x2-10x+25)+24=25 เนอื่ งจาก x > 0 จะไดว้ า่ x=6 x2-10x+24=0 ดังน้นั รูปสีเ่ หลย่ี มจัตรุ สั รูปเดมิ มีความยาวดา้ นละ (x-4)(x-6)=0 6 เซนตเิ มตร จะได้ว่า x=4 หรอื 6 เน่อื งจาก x < 5 จะได้ว่า x=4 ดงั นนั้ HP ยาว 4 เซนตเิ มตร 7. เนอ่ื งจากจำนวนนักเรยี นทั้งหมดมี 40 คน 9. เนื่องจาก ACA' =30o และ CA=CA' ดงั นัน้ นกั เรยี นทส่ี งู มากกว่าหรือเท่ากบั 155 เซนติเมตร แตน่ ้อยกวา่ 160 เซนติเมตร จะได้ ACA' เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จว่ั มี 40-(4+5+9+11+3)=8 คน นั่นคอื AA'C=(180o-30o)/2=75o เนือ่ งจาก B' = B จะได้วา่ 50o+(x+30o)+75o=180o ดังนน้ั x=25o

วชิ าคณิตศาวสตร์ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 วชิ าคณติ ศาสตร์ ประถมศกึ ษาปที ่ี 2 All Thailand Evaluation Test 10. ให้ x แทนคะแนนสอบครงั้ ทส่ี ีข่ องแจ๊ค 12. • x2+Ax-2=(x+2)(x+c) =x2+(2+c)x+2c จะไดว้ า่ 83+ 87 + 89+x > 88 4 จะได้ 2c=-2 ∴ c=-1 259+x > 352 ดงั นั้น A=2+c=2+(-1)=1 • 2x2+Bx+6=(x+2)(2x+d) x > 93 =2x2+(4+d)x+2d ดงั น้ัน แจค๊ ตอ้ งสอบใหไ้ ดค้ ะแนนอยา่ งนอ้ ย จะได้ 2d=6 ∴ d=3 94 คะแนน ดังนั้น B=4+d=4+3=7 ∴ A+B=1+7=8 11. เนอ่ื งจาก BO=CO, OBP= OCQ =45o 13. จากเงอ่ื นไข A จะได้วา่ นักเรยี นในชมรมฟันดาบ ทไ่ี ด้คะแนนวชิ าดนตรีมากกว่า 90 คะแนน และ BOP=90o- POC มี 1+1=2 คน ดังน้ัน จำนวนนกั เรียนในชมรมฟนั ดาบมที ้งั หมด = COQ 1+5+8+10+4+2=30 คน จากเง่ือนไข B จะไดว้ า่ นกั เรียนในชมรมศลิ ปะ จะไดว้ า่ BPO ≅ CQO (มมุ -ด้าน-มมุ ) มี 30-10=20 คน ดังนน้ั จำนวนนักเรยี นในชมรมศิลปะที่ได้คะแนน ดังนัน้ พืน้ ทีข่ อง OPCQ วชิ าดนตรมี ากกว่า 60 คะแนน แต่นอ้ ยกว่า 70 คะแนน มี 20-(2+1+8+3+1)=5 คน =พื้นทีข่ อง POC+พน้ื ที่ของ CQO =พื้นทขี่ อง POC+พืน้ ที่ของ BPO =พื้นทข่ี อง OBC = 1 *พ้นื ท่ขี อง ABCD 4 1 = 4 *6*6 =9 ตารางเซนติเมตร

วชิ าคณิตศาวสตร์ มัธยมศึกษาปีที่ 3 วิชาคณิตศาสตร์ ประถมศกึ ษาปที ี่ 2 All Thailand Evaluation Test 14. ใหร้ าคาค่าเข้าชมการแสดงโชวส์ ัตว์เลย้ี งของเด็ก 15. ใหค้ นในกลุม่ นม้ี ี x คน ซงึ่ x < 40 เป็น x บาท ถ้าซอื้ บตั รตามจำนวนคน จะไดว้ ่าราคาบัตรเขา้ ชม คนทเี่ ข้าชมการแสดงโชวส์ ัตว์เลย้ี งรอบเวลา ทง้ั หมดเปน็ 200x บาท 10 นาฬิกา ถา้ ซือ้ บตั รทั้งเล่ม (เล่มละ 40 ใบ) ราคาบตั รทัง้ หมด - คนที่อายตุ ่ำกวา่ 7 ปี มี 1 คน เท่ากบั 40*200*0.8=6,400 บาท - มากกว่าหรือเทา่ กับ 7 ปี แต่น้อยกว่า 14 ปี น่นั คือ ถ้าตอ้ งการซ้ือบัตรทัง้ เล่มให้ถกู กว่า มี 3 คน จะได้วา่ 200x > 6,400 - มากกวา่ หรอื เทา่ กับ 14 ปี แต่นอ้ ยกว่า 20 ปี x > 32 มี 3 คน ดังน้นั ต้องมคี นอย่างนอ้ ย 33 คน จึงจะทำให้ - มากกวา่ หรือเท่ากับ 20 ปี แต่นอ้ ยกวา่ 65 ปี การซ้ือบตั รท้ังเลม่ จ่ายเงนิ น้อยกวา่ การซอ้ื บัตร มี 18 คน ตามจำนวนคน - มากกว่าหรือเทา่ กบั 65 ปี มี 2 คน ดังนัน้ (x*3)+(2x*3)+(3x*18)=630 16. เนอ่ื งจาก กำไร=ราคาขาย-ต้นทุน 63x=630 ตัง้ ราคาขายไว้ x บาท x=10 จะไดว้ า่ 0.8x-120  120*0.1 คนท่ีเข้าชมการแสดงโชวส์ ัตว์เลีย้ งรอบเวลา 8x-1,200  120 11 นาฬิกา 8x  1,320 - คนทีอ่ ายุต่ำกว่า 7 ปี มี 2 คน x  165 - มากกวา่ หรือเท่ากบั 7 ปี แต่น้อยกว่า 14 ปี ดังนนั้ ตอ้ งต้ังราคาขายอย่างนอ้ ย 165 บาท มี 4 คน - มากกวา่ หรือเทา่ กับ 14 ปี แตน่ ้อยกวา่ 20 ปี มี 1 คน - มากกว่าหรือเทา่ กับ 20 ปี แตน่ ้อยกว่า 65 ปี มี 16 คน - มากกว่าหรอื เท่ากบั 65 ปี มี 6 คน ดังนน้ั (4*10)+(1*20)+(16*30)=540 บาท

วิชาคณิตศาวสตร์ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3 วิชาคณติ ศาสตร์ ประถมศกึ ษาปีที่ 2 All Thailand Evaluation Test 17. พิจารณา ACE และ DCB เน่ืองจาก 0 < x < 1 จะไดว้ า่ AC=DC และ CE=CB จะได้ 1 > 1, x-1 < 0, x+ 1 > 0 และจาก ACE =60o+ DCE = DCB x x 1 ดงั นน้ั ACE ≅ DCB (ดา้ น-มมุ -ด้าน) และ x- x <0 จาก AEC = DBC จะไดว้ ่า PEB + PBE =(60o+ AEC )+(60o- DBC) ดงั นน้ั =120o  x2 -2x+1 + 2x- 2 2 น่ันคือ EPB =180o-( PEB + PBE ) x +16 =180o-120o=60o ดงั น้ัน APB =180o- EPB =180o-60o=120o  + x+ 1 2 x -4    = (x-1)2 +2 x+ 1 2 x- 1 2 x x +    =-(x-1)+2 x+ 1 - x- 1 x x = 3 +1 x  18. 2 2 x2 -2x+1 + 2x- x +16 x+ +12 x -4 2 19. จาก 1 < 2 < 2  = 1 +16 จะได้ -2 < - 2 < -1 (x-1)2 + 4 x- x 3 < 5- 2 < 4  + x-x1 2 น่ันคือ a=3 และ b=(5- 2 )-3=2- 2 7 7 7 7 ดงั นัน้ b+2 + 2a-b = 4- 2 + 4+ 2  = (x-1)2 +2 x- 1 2 = 7(4+ 2 +4- 2) x (4- 2 )(4+ 2 ) +4  + x-x1 2 = 56 14 =4    = (x-1)2 +2 x+ 1 2 x- 1 2 x x +

วิชาคณติ ศาวสตร์ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3 วชิ าคณิตศาสตร์ ประถมศกึ ษาปีที่ 2 All Thailand Evaluation Test 20. พจิ ารณา ADC 21. เนอื่ งจากกราฟ y=a(x-3)2-2 เปน็ กราฟ พาราโบลา และจุดยอดของกราฟคอื (3, -2) เนอื่ งจาก BF // DC จะไดว้ ่า เมื่อกราฟผา่ นทง้ั สี่จตภุ าค จะไดว้ ่าเปน็ กราฟ พาราโบลาหงาย นั่นคือ a > 0 ABF = ADC , AFB= ACD และมี เน่อื งจากจุดตัดกับแกน Y ตอ้ งอยู่ใต้แกน X A เปน็ มุมรว่ ม นนั่ คอื ABF ~ ADC จะได้ว่า AB = AF AD AC AD AC AB = AF AB+BD = AF+FC AB AF BD FC 1+ AB =1+ AF แทน x=0 ลงในสมการ y=a(x-3)2-2 BD = FC จะได้ y=9a-2 AB AF นั่นคือ BD : AB=FC : AF=4 : 5 จาก a > 0 จะได้ว่า 9a-2 < 0 ∴ a< 2 พจิ ารณา ADE 9 2 2 เนือ่ งจาก BC // DE จะไดว้ ่า จาก a > 0 และ a < 9 ดังนัน้ 0 < a < 9 ABC= ADE , ACB= AED และมี น่นั คือ k= 2 A เปน็ มมุ ร่วม นนั่ คอื ABC ~ ADE 9 2 AB AC ดงั นั้น 36k=36* 9 =8 AD AE จะไดว้ า่ = AD = AE AB AC AB+BD AC+CE AB = AC 22. ถ้าราคาสินค้าชิ้นละ x บาท และจำนวนเงนิ ที่ ขายสนิ ค้าได้ทงั้ หมด y บาท 1+ BD =1+ CE เนือ่ งจาก 400+10(10-x)=500-10x AB AC จะได้ว่า y=x(500-10x) BD CE =-10x2-500x AB = AC =-10(x2-50x+625)+6,250 =-10(x-25)2+6,250 ดังน้ัน BD : AB=CE : AC 36 ดงั นั้น วันท่ีขายสินคา้ ได้เงินมากทีส่ ุด ต้องขาย 5 สินค้าช้นิ ละ 25 บาท 4 : 5=CE : 9 ∴ CE= นั่นคือ p=36 และ q=5 ดังน้นั p-q=36-5=31

วิชาคณิตศาวสตร์ มัธยมศกึ ษาปีที่ 3 วิชาคณติ ศาสตร์ ประถมศกึ ษาปที ี่ 2 All Thailand Evaluation Test 23. ให้จำนวนนบั จำนวนนั้นเปน็ k และจำนวนคู่ 25. ถา้ ใหพ้ น้ื ที่ของ DBG (หรือจำนวนค)่ี สี่จำนวนทเี่ รยี งต่อกันเปน็ เป็น a ตารางหนว่ ย x, x+2, x+4, x+6 จะได้วา่ และพ้นื ท่ขี อง BEG x(x+2)(x+4)(x+6)+k เปน็ b ตารางหนว่ ย =x(x+6)(x+2)(x+4)+k จาก พนื้ ทีข่ อง DBEG=26 ตารางหน่วย =(x2+6x)(x2+6x+8)+k จะได้วา่ a+b=26 =A(A+8)+k (ให้ x2+6x=A) เน่ืองจาก AD : DB=3 : 1 จะได้ว่า =A2+8A+k พ้นื ทขี่ อง ADG=3*พืน้ ทขี่ อง DBG=3a เนอ่ื งจาก A2+8A+k เปน็ จำนวนกำลงั สอง เนอ่ื งจาก DG : GF=3 : 1 จะได้ว่า  สมบรู ณ์ จะได้ k= 8 2 พ้นื ท่ขี อง AGF= 1 *พื้นท่ขี อง ADG 2 3 =16 ดงั น้ัน ถ้าบวก 16 กบั ผลคณู ของจำนวนคู่ =พนื้ ที่ของ DBG=a (หรอื จำนวนคี)่ สี่จำนวนทเ่ี รยี งตอ่ กัน จะไดเ้ ป็น เน่อื งจาก CF : FA=3 : 1 จะไดว้ ่า จำนวนกำลังสองสมบูรณเ์ สมอ พ้นื ท่ขี อง GCF=3*พน้ื ทขี่ อง AGF=3a 24. (1+x-y)2-(x+y)2 เนอ่ื งจาก DG : GF=3 : 1 จะได้ว่า =[(1+x-y)+(x+y)][(1+x-y)-(x+y)] =(1+2x)(1-2y) พ้นื ทข่ี อง GDC=3*พ้นื ทขี่ องGCF =-15 =3*3a=9a ∴ (2x+1)(2y-1)=15 จาก x และ y เป็นจำนวนนับ จาก พน้ื ทขี่ อง ADC จะได้ว่า 2x+1 และ 2y-1 เปน็ จำนวนนับ เม่อื 2x+1=1 และ 2y-1=15 =พน้ื ทข่ี อง ADG+พ้นื ท่ีของ AGF จะได้ x=0 และ y=8 (ไมส่ อดคลอ้ งกับเงื่อนไข) เมอื่ 2x+1=3 และ 2y-1=5 +พ้นื ทข่ี อง GCF+พน้ื ทข่ี อง GDC จะได้ x=1 และ y=3 เมอื่ 2x+1=5 และ 2y-1=3 =16a จะได้ x=2 และ y=2 เมือ่ 2x+1=15 และ 2y-1=1 เน่อื งจาก AD : DB=3 : 1 จะไดว้ า่ จะได้ x=7 และ y=1 1 ดังนั้น คา่ ที่มากทีส่ ุดของ x2+y2 คือ พน้ื ท่ขี อง DBC= 3 *พ้ืนทีข่ อง ADC x2+y2=72+12=50 = 16 a 3 เน่ืองจาก BE : EC=1 : 3 จะไดว้ ่า พ้นื ทข่ี อง GEC=3*พืน้ ทข่ี อง GBE=3b พื้นที่ของ GDBC =พืน้ ทข่ี อง DBC+พน้ื ที่ของ GDC =พื้นที่ของ DBG+พน้ื ท่ีของ GBE +พืน้ ทข่ี อง GEC

วชิ าคณติ ศาวสตร์ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 วิชาคณติ ศาสตร์ ประถมศึกษาปที ่ี 2 All Thailand Evaluation Test นั่นคอื 16 a+9a=a+b+3b ∴ a= 3 b เนอ่ื งจาก DBA= DAB=30o 3 10 3 จะได้วา่ ADB เปน็ รูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่ ถา้ แทนที่ a= 10 b ลงใน a+b=26 ดังน้ัน DB=DA จะได้ 3 b+b=26 10 จาก DB=DC และ DB=DA จะได้ DA=DC 13 b=26 ∴ b=20 ดงั นัน้ ADC เปน็ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั 10 ดงั นน้ั พ้นื ท่ขี อง GEC=3b=60 ตารางหน่วย จะได้วา่ DAC= DCA= 1 *90o=45o 2 ดังนน้ั BAC= PAD+ DAC=30o+45o=75o 26. 27. ให้ EP=x เซนตเิ มตร จะได้ AE=x เซนติเมตร และ EB=9-x เซนติเมตร ลากเส้นตรงจากจุด A มาตง้ั ฉากกับ PC ที่จดุ D จาก EPB เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก จะได้ x2=32+(9-x)2 เน่อื งจาก APD =45o+15o=60o x2=9+81-18x+x2 18x=90 จะได้ PAD =90o-60o=30o x=5 นั่นคือ APD เป็นหน่ึงส่วนจากการแบ่ง ให้ H เป็นจุดตดั ของ PD´ กับ DC จะได้ รปู สามเหลย่ี มด้านเท่าด้วยเส้นตงั้ ฉาก เนอื่ งจาก BPE + HPC =90o จะได้วา่ BEP =90o- BPE เนื่องจาก PD= 1 AP=PB 2 =90o-(90o- HPC ) จะได้วา่ PBD เป็นรปู สามเหล่ียมหน้าจ่ัว = HPC ดงั นน้ั EBP ~ PCH เน่ืองจาก PBD = PDB และ APD เปน็ มุมภายนอกของ PBD ดงั นนั้ PBD = 1 APD = 1 *60o=30o 2 2 ∴ DBC= ABC- ABD=45o-30o=15o เน่ืองจาก DBC= DCB=15o จะไดว้ ่า BDC เปน็ รูปสามเหล่ยี มหน้าจวั่ ดังน้ัน DB=DC

วชิ าคณติ ศาวสตร์ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 วิชาคณติ ศาสตร์ ประถมศึกษาปที ่ี 2 All Thailand Evaluation Test จะได้วา่ EB = BP 28. คา่ เฉลย่ี ของราคาหนังสือเลม่ ทห่ี นง่ึ และเล่มทส่ี อง PC CH คือ 90 บาท 4 3 คา่ เฉลีย่ ของราคาหนังสอื เล่มทหี่ น่ึงถงึ เลม่ ทส่ี าม 6 = CH คอื 90+(2*1)=92 บาท CH = 9 2 ให้ FD´=y เซนตเิ มตร จะได้ DF=y เซนติเมตร ค่าเฉล่ยี ของราคาหนงั สือเลม่ ทห่ี นึง่ ถงึ เลม่ ทเ่ี ก้า จาก D´HF =CHP (มมุ ตรงขา้ ม) คอื 90+(2*7)=104 บาท ดงั นัน้ HPC ~ HFD´ คา่ เฉล่ยี ของราคาหนังสือเล่มทหี่ น่ึงถงึ เลม่ ทสี่ บิ นัน่ คอื PEB ~ HFD´ คือ 90+(2*8)=106 บาท จะไดว้ า่ PE = FEDB´ จะไดว้ ่า x1 +x2 +...+x10 =106 และ HF 10 x1 +x2 +...+x9 5 = 4 9 =104 HF y ดงั นั้น x10=(x1+x2+⋯+x10) ∴ HF= 5 y 4 -(x1+x2+⋯+x9) เนือ่ งจาก DC=DF+FH+HC =1,060-936 5 9 ดงั นน้ั 9=y+ 4 y+ 2 ∴ y=2 =124 บาท ลากเสน้ ตรงจากจดุ F ตัง้ ฉากกบั AB ทจ่ี ดุ Q จะได้ EQ=BQ-BE =CF-BE =(CH+HF)-BE 9 5  =2 + 2 -4 =3 เซนตเิ มตร จาก QEF เป็นรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก จะได้ EF= 92 +32 = 90 น่นั คือ a= 90 ดงั น้ัน a2=90

วชิ าคณติ ศาวสตร์ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3 วิชาคณติ ศาสตร์ ประถมศกึ ษาปีท่ี 2 All Thailand Evaluation Test 29. เนื่องจาก 1 < 3 < 2 จะได้วา่ 30. จาก x2-2x-b=(x+c)(x+d) ภาคเศษส่วนของ 3 คือ 3 -1 =x2+(c+d)x+cd จะได้ c+d=-2 และ cd=-b ดังนั้น A1= 3 -1 นนั่ คอื c และ d เปน็ ตัวประกอบของ b และ ผลต่างของสองจำนวนเตม็ นี้คอื 2 1 = 1 = ( 3 3 +1 +1) = 3 +1 ต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามใหอ้ ยูใ่ นรูป A1 3 -1 -1)( 3 2 ผลคูณของพหนุ ามดีกรีหนึ่งทมี่ ีสัมประสทิ ธิ์ของ x เปน็ จำนวนเต็ม จะได้วา่ พจนค์ า่ คงตัวต้องสามารถ เนื่องจาก 1 < 3 +1 < 3 จะไดว้ า่ แสดงได้เป็นผลคูณของสองจำนวนเต็มทม่ี ผี ลต่าง 2 2 เปน็ 2 1 3 +1 3 -1 นน่ั คอื จำนวนท่ีสามารถเป็น b ได้ คอื 1*3=3, ภาคเศษส่วนของ A1 คอื 2 -1= 2 2*4=8, 3*5=15, … , 43*45=1,935 ดงั นน้ั มีพหุนามท่ีแยกตวั ประกอบแลว้ อยูใ่ นรูป ดงั นนั้ A2= 3 -1 ผลคูณของพหนุ ามดกี รีหนึ่งทมี่ สี มั ประสทิ ธิข์ อง x เป็นจำนวนเต็มท้ังหมด 43 จำนวน 1 2 2( 3 +1) A2 3 -1)( 3 +1) = 2 = ( = 3 +1 3 -1 เนอ่ื งจาก 2 < 3 +1 < 3 จะได้วา่ ภาคเศษสว่ นของ 1 คือ ( 3 +1)-2= 3 -1 A2 ดงั นั้น A3= 3 -1 ด้วยวิธีการเดียวกบั ด้านบน จะไดว้ า่ A1=A3=A5=⋯= 3-1 A2=A4=A6=⋯= 3 -1 2 3 -1 ดังน้ัน A2020= 2 =- 1 + 1 3 2 2 1 1 น่นั คือ a=- 2 และ b= 2  ดงั นั้น 1 * 1 =3 -12ab=-12* - 2 2