i
KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah penulis penjatkan kehadirat Allah swt yang telah melimpahkan rahmat dan hidaya-Nya kapada penulis untuk menyelesaikan e-modul berbasis etnomatematika Masjid 99 Kubah Makassar. Shalawat serta salam penulis kirimkan kepada Rasulullah Saw sebagai sosok nomor satu yang menjadi suri tauladan dalam kehidupan utamanya dalam menuntut ilmu pengetahuan. Ucapan terimakasih penulis haturkan kepada semua pihak yang telah berperan penting dalam proses penyusunan modul ini sehingga bisa selesai sesuai dengan waktu yang telah ditentukan. Modul ini disusun untuk melengkapi kebutuhan dosen, mahasiswa ataupun pembaca yang sedang mempelajari mata kuliah Geometri Analitik Bidang dan Ruang dan dapat digunakan sebagai salah satu rujukan untuk mendalami materi koordinat pada bidang, persamaan garis lurus, lingkaran, dan parabola. Karakteristik utama e-model ini yaitu modul ini dilengkapi dengan materi berbasis etnomatematika Masjid 99 Kubah Makassar, kunci jawaban latihan dan tes formatif. Selain itu, contoh soal pada modul ini dilengkapi dengan indikator kemampuan berpikir kritis, sehingga melalui modul ini diharapkan dapat melatih kemampuan berpikir kritis mahasiswa. Akhirnya, penulis menyadari bahwa modul ini membutuhkan penyempurnaan. Oleh karena itu, segala masukan perbaikan, penulis harapkan dari pembaca. Awal dari segalanya, penulis berharap bahwa modul ini bermanfaat bagi pembaca dan bernilai ibadah di sisi Allah Swt. Gowa, 14 Februari 2023 Penulis ii
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ..............................................................................................................ii DAFTAR ISI........................................................................................................................... iii PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL.................................................................................iv PETA KONSEP........................................................................................................................v SISTEM KOORDINAT PADA BIDANG...............................................................................1 KEGIATAN BELAJAR 1 ...................................................................................................2 PERSAMAAN GARIS LURUS ............................................................................................ 13 KEGIATAN BELAJAR 2 ................................................................................................14 UJI KOMPETENSI 1............................................................................................................ 21 KUNCI JAWABAN UJI KOMPETENSI 1.......................................................................... 24 LINGKARAN......................................................................................................................... 25 KEGIATAN BELAJAR 3 ................................................................................................26 PARABOLA........................................................................................................................... 40 KEGIATAN BELAJAR 4 ................................................................................................41 UJI KOMPETENSI 2............................................................................................................ 52 KUNCI JAWABAN UJI KOMPETENSI 2.......................................................................... 55 iii
PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL A. Petunjuk Penggunaan Modul bagi Dosen Respon dosen sebagaimana diharapkan pada model pembelajaran problem based learning yaitu sebagai penyedia sumber belajar, sebagai pembimbing, sebagai fasilitator dan sebagai konsultan. Dalam menggunakan modul ini dosen memiliki 3 tugas utama, yaitu tugas pra aktif, tugas interaktif, dan tugas pasca aktif. Tugas pra-aktif antara lain: 1. Berusaha memperoleh gambaran yang jelas tentang pengetahuan awal mahasiswa. 2. Memberi fasilitas belajar mahasiswa, antara lain dengan mengajukan pertanyaan, menggunakan pertanyaan, atau melakukan klarifikasi konsep. 3. Mengevaluasi secara teratur apakah para mahasiswa puas dengan proses yang sedang berlangsung, kemudian memberi saran untuk perbaikan. Tugas interaktif antara lain: 1. Mendorong mahasiswa untuk membuat persetujuan diantara mereka dalam hal prosedur kerja, partisipasi dan peran anggota kelompok 2. Mendorong anggota kelompok untuk aktif 3. Mengevaluasi proses diskusi 4. Mendorong kelompok untuk membuat evaluasi terhadap kerjasama yang sedang berlangsung Tugas pasca aktif antara lain: 1. Memberikan evaluasi terhadap pemahaman mahasiswa setelah proses diskusi. 2. Memberi umpan balik kepada mahasiswa tentang mutu tugas yang dilaksanakannya sesuai dengan bahan diskusi B. Petunjuk Penggunaan Modul bagi Mahasiswa Agar kamu lebih mudah mempelajari dan memahami modul ini, ikuti petunjuk penggunaan modul ini, sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi sebelumnya menjadi prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Ikutilah kegiatan belajar yang disajikan dalam modul ini dan dengarkan penjelasan materi dengan mengunjungi laman youtube yang tersedia pada setiap kegiatan belajar dengan cara double klik materinya. 3. Ulangi apabila kamu kurang memahami materi yang disajikan dan lanjutkan jika kamu sudah menguasai materi. 4. Kerjakanlah latihan setelah kamu mempelajari setiap kegiatan belajar. 5. Kerjakanlah tes formatif untuk menguji kemampuanmu setelah mempelajari semua kegiatan belajar. iv
PETA KONSEP Koordinat Siku atau Kartesius Koordinat pada Bidang Koordinat Polar atau Kutub Persamaan Garis Lurus Jarak Antara Dua Titik pada Bidang GEOMETRI ANALITIK BIDANG Bentuk-bentuk Persamaan Garis DAN RUANG Kedudukan Dua Garis Persamaan Normal Hesse Lingkaran Persamaan Parabola Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Persamaan Parabola Persamaan Garis Singgung Parabola v
SISTEM KOORDINAT PADA BIDANG Capaian Pembelajaran Mata Kuliah: Memahami sistem koordinat pada bidang dan ruang Sub-Capaian Pembelajaran Mata Kuliah: Memahami definisi sistem koordinat pada bidang, mengubah koordinat siku/kartesius ke koordinat polar dan sebaliknya, menghitung jarak dua titik pada bidang Sintaks Model Pembelajaran Problem Based learning: 1. Student Orientation to the Problem 2. Organize Student 3. Individual and Group Guide 4. Develop and Present the Work 5. Analyze and Evaluate the Problem-Solving Process 1
KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT PADA BIDANG Student Orientation to the Problem Ayo Mengamati! Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat ������ (absis) dan koordinat ������ (ordinat) dari titik tersebut. Sistem koordinat ini sangat banyak diterapkan dalam kehidupan nyata. Salah satu di antaranya, seperti pada gambar 1.1 berikut. Gambar 1.1 Rute Menuju Masjid 99 Kubah Sumber: Google Maps Ahmad dan Fajar ingin berkunjung ke Masjid 99 Kubah. Namun, mereka belum tahu lokasi Masjid 99 Kubah secara pasti. Mereka hanya memperoleh informasi dari teman mereka bahwa Globe CPI Makassar berjarak 800 m dari Masjid 99 Kubah. Akhirnya, dengan prinsip coba-coba, Ahmad dan Fajar berangkat bersama 2
dari Globe CPI Makassar dan menempuh jalan yang berbeda. Warna merah adalah rute perjalanan yang dilalui Ahmad dan warna biru adalah rute perjalanan yang dilalui Fajar seperti yang ditunjukkan dalam gambar 1.1. Ternyata Ahmad berhasil menemukan Masjid 99 Kubah terlebih dahulu. Mengapa Fajar lebih lambat menemukan Masjid 99 Kubah? Permasalahan seperti ini dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat. Ayo Mengumpulkan Informasi! 1. Definisi Sistem Koordinat Pada Bidang Sistem koordinat pada bidang adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang (������2). Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara lain sistem koordinat siku / cartesius, sistem koordinat polar / kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidang (������2), letak titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat siku / cartesius dan koordinat polar/ kutub. Sebagaimana telah dijelaskan di atas, bahwa letak suatu titik dalam bidang dinyatakan dalam koordinat siku / cartesius dan koordinat polar / kutub. Masing-masing sistem koordinat dalam bidang dijabarkan sebagai berikut: Sistem Koordinat Siku / Cartesius Gambar 1.2 Kuadran di Bidang Berdasarkan Gambar 1.2 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y, masing-masing bidang dinamakan kuadran, sehingga terdapat 4 kuadran, yaitu kuadran I (������ > 0, ������ > 0), kuadran II (������ < 0, ������ > 0), kuadran III (������ < 0, ������ < 0), dan kuadran IV (������ > 0, ������ < 0). Misalkan ������(������, ������) sebarang titik pada bidang XOY, maka titik 3
tersebut posisinya terdapat di kuadran I, atau II, atau III, atau kuadran IV tergantung besaran x dan y. Jika letak titik ������(������, ������), maka ������ disebut absis, ������ disebut ordinat dan ������(������, ������) disebut koordinat. Sistem Koordinat Polar / Kutub Sistem koordinat cartesius, menyatakan bahwa letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan (������, ������), dengan ������ dan ������ masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu y dan ke sumbu x. Pada sistem koordinat polar / kutub, letak sebarang titik ������ pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real (������, ������) , dengan r menyatakan jarak titik ������ ke titik O (disebut kutub) sedangkan adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub), seperti pada gambar 1.3 berikut. Gambar 1.3 Koordinat Polar 2. Hubungan antara Koordinat Siku dan Koordinat Polar Suatu titik ������ berkoordinat (������, ������) dalam sistem koordinat cartesius dan (������, ������) dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut: Y ������(������, ������) = (������, ������) r X Or Gambar 1.4 Hubungan Koordinat Kartesius & Koordinat Kutub 4
Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut: (1) ������ = ������ ������������������ ������ ������ = ������ ������������������ ������ atau: (2) ������ = √������2 + ������2, ������ = ������������������������������������ (������) = ������������������������������������ (������) ������ ������ Contoh 1.1: Perhatikan gambar berikut! Gambar 1.5 Tiang Penyangga Masjid 99 Kubah Gambar di atas merupakan penampakan beberapa tiang penyangga dari Masjid 99 Kubah yang diwakili oleh angka 1,2,3,4, dan 5. Misalkan letak tiang pertama di representasikan sebagai titik ������ (4, 2������), tiang kedua 3 direpresentasikan sebagai titik ������ (−5, ������), dan tiang ketiga direpresentasikan 4 sebagai titik ������ (−3, − 5������). Ubahlah ketiga koordinat tersebut ke dalam sistem 6 koordinat cartesius! Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (1.1): 5
a. ������ = 4 ������������������ 2������ = −2 3 ������ = 4 ������������������ 2������ = 2√3. 3 Jadi, ������(−2,2√3). b. ������ = −5 ������������������ ������ = − 5 √2 42 ������ = −5 ������������������ ������ = − 5 √2. 42 Jadi, ������ (− 5 √2, − 5 √2). 2 2 c. ������ = −3 ������������������ (− 5������) = 3 √3 62 ������ = −3 ������������������ (− 5������) = 3. 62 Jadi, ������ (3 √2, 3). 2 2 Apabila ������ ≠ 0 maka persamaan (2) dapat dinyatakan sebagai: (3) ������2 = ������2 + ������2������ = ������������������������������������ (������) , ������ ≠ 0 ������ Apabila menggunakan persamaan (3) perlu diperhatikan secara seksama karena ������ = ������������������������������������ ������ akan memberikan 2 nilai yang berbeda, 0 ≤ ������ ≤ 2������. ������ Untuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kuadran I atau II, atau di kuadran II atau IV. Apabila dipilih nilai yang lain, maka ������ = −√������2 + ������2. Contoh 1.2: Perhatikan kembali gambar 1.5 di atas! Jika letak tiang keempat direpresentasikan oleh titik ������(4, −4) dan letak tiang kelima direpresentasikan oleh titik ������(−4,4), maka nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub kedua titik tersebut! 6
Penyelesaian: Dari persamaan (3), diperoleh: a. ������ = ±√42 + (−4)2 = ±4√2 4 3������ 7������ ������ = ������������������������������������ −4 = 4 atau 4 Selanjutnya, karena letak titik P di kuadran IV, maka: ������ = 4√2 dengan ������ = 7������, atau 4 3������ ������ = −4√2 dengan ������ = 4 Jadi, ������ (4√2, 7������) atau ������ (−4√2, 3������) 44 b. ������ = ±√(−4)2 + 42 = ±4√2 −4 3������ 7������ ������ = ������������������������������������ 4 = 4 atau 4 Selanjutnya, karena letak titik Q di kuadran II, maka: ������ = 4√2 dengan ������ = 3������, atau 4 7������ ������ = −4√2 dengan ������ = 4 Jadi, ������ (4√2, 3������) atau ������ (−4√2, 7������) 4 4 3. Jarak Antara Dua Titik Pada Bidang Perhatikan gambar berikut: Misal ������(������1, ������1) dan terletak di kuadran I hal ini berarti ������1 > 0 dan ������1 > 0 7
Gambar 1.6 Grafik Jarak Dua Titik Berdasarkan gambar 1.6 di atas, tampak suatu segitiga yaitu ������������������������ yang salah satu sudutnya siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras ������������ 2 = ������������2 + ������������2 = (������1 − 0)2 + (������1 − 0)2 = ������12 + ������12 = √������12 + ������12 atau ditulis dengan notasi |������������| = √������12 + ������22 Rumus tersebut dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik ������(0,0) dengan titik ������(������1, ������1) Selanjutnya perhatikan gambar berikut: Gambar 1.7 Grafik Segitiga PQR Gambar 1.6 di atas menunjukkan segitiga PQR yang masing-masing titik sudutnya yaitu ������(������1, ������1) terletak pada kuadran II, ������(������2, ������2) terletak pada kuadran IV, ������(������3, ������3) terletak pada kuadran III dan jarak masing-masing titik dinyatakan oleh: 8
1. |������������| = √(������������ − ������������)2 + (������������ − ������������)2 = √(������2 − ������1)2 + (������2 − ������1)2 2. |������������| = √(������������ − ������������)2 + (������������ − ������������)2 = √(������3 − ������1)2 + (������3 − ������1)2 3. |������������| = √(������������ − ������������)2 + (������������ − ������������)2 = √(������3 − ������2)2 + (������3 − ������1)2 Kemudian untuk menentukan letak suatu titik pada segmen garis adalah sebagai berikut: Gambar 1.8 Grafik Letak Suatu Titik Pada Segmen Garis Misalkan ������(������1, ������1) dan ������(������2, ������2) Titik R terletak di tengah PQ denga perbandingan ������ ∶ ������ ������(������, ������) = (x x1) : (x2 x1) a : b (bx bx1) (ax2 ax1) (bx ax) (ax2 bx1) x ax2 bx1 ab Dengan cara yang sama, diperoleh: y ay2 by1 ab 9
Rx, y ax2 bx1 , ay2 by1 ab ab Jika R terletak di tengah PQ, maka: R x1 x2 , y1 y2 2 2 Ayo Menanya! Berdasarkan apa yang telah kalian amati pada materi di atas, adakah yang kalian ingin tanyakan? Ajukanlah pertanyaan : 1. ......................................................................... 2. ......................................................................... 3. ......................................................................... Jika ada hal yang ingin kalian tanyakan terkait materi ini, silakan ajukan pertanyaan ke dosen kalian! Ayo Menalar! Agar kalian semakin paham dengan materi “Sistem Koordinat pada Bidang”, silakan mengerjakan permasalahan berikut secara berkelompok! 1. Masjid Kubah 99 merupakan salah satu masjid terunik dan ikonik di Kota Makassar. Masjid ini berlokasi di lahan reklamasi pesisir Pantai Losari, tepatnya di kawasan Center Point of Indonesia (CPI). Jika lokasi ini direpresentasikan oleh persamaan kutub 2������2 + 5������(cos ������ − sin ������) = 10, maka tentukanlah letak Masjid Kubah 99 jika direpresentasikan dalam bentuk kartesius! a) Tulislah informasi penting yang diketahui dan ditanyakan dari soal di atas! b) Tuliskan strategi yang mungkin untuk menyelesaikan soal tersebut (rumus, sketsa, gambar, grafik atau model matematika) 10
c) Selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode yang Anda pilih! 2. Fatih, Rayyan, dan Nurul adalah tiga orang mahasiswa yang sedang melalukan kunjungan di Masjid 99 Kubah Makassar. Saat berada di dalam Masjid, ketiga mahasiswa ini berpencar untuk mengamati keunikan dari Masjid 99 Kubah ini. Fatih berdiri di dekat tiang pertama dengan titik (4,8) dan Rayyan berdiri di dekat tiang kelima dengan titik (8,2). Adapun Nurul berada pada tiang kedua dengan posisi yang sejajar terhadap tempat berdiri Fatih dan Rayyan sedemikian sehingga perbandingan antara jarak Fatih ke Nurul dan jarak Nurul Ke Rayyan adalah 1 : 3. Tentukan letak titik tempat Nurul berdiri! a) Tulislah informasi penting yang diketahui dan ditanyakan dari soal di atas! b) Tuliskan strategi yang mungkin untuk menyelesaikan soal tersebut (rumus, sketsa, gambar, grafik atau model matematika) c) Selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode yang Anda pilih! d) Gunakan cara lain untuk mengecek kebenaran jawaban Anda! Organize Student Ayo Mencoba! Diskusikanlah jawaban kalian dengan teman kelompok kalian! Tentukan Jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban berbeda dalam diskusi tersebut. Individual and Group Guide Referensi tambahan dapat diperoleh melalui barcode berikut: 11
Develop and Present the Work Ayo Mengomunikasikan! Selesaikan soal pada kegiatan “Ayo Menalar!” bersama teman kelompok kalian, lalu presentasikan hasil kerja tersebut di depan kelas! Analyze and Evaluate the Problem-Solving Process Bagi kelompok yang tidak presentasi, harap memberikan evaluasi terhadap kelompok yang melakukan presentasi. Evaluasi pemecahan masalah yang disajikan oleh kelompok yang presentasi 12
PERSAMAAN GARIS LURUS Capaian Pembelajaran Mata Kuliah: Menentukan persamaan garis dan bidang dalam R2 dan R3 Sub-Capaian Pembelajaran Mata Kuliah: Menentukan persamaan garis yang melalui satu titik dan dua titik, menunjukkan kedudukan dua garis, dan menerapkan persamaan normal Hesse Sintaks Model Pembelajaran Problem Based learning: 1. Student Orientation to the Problem 2. Organize Student 3. Individual and Group Guide 4. Develop and Present the Work 5. Analyze and Evaluate the Problem-Solving Process 13
KEGIATAN BELAJAR 2 PERSAMAAN GARIS LURUS Student Orientation to the Problem Ayo Mengamati! Dalam kehidupan sehari-hari, konsep persamaan garis lurus sangat banyak diterapkan dalam beberapa hal. Salah satu di antaranya dapat dilihat pada gambar 2.1 berikut: Gambar 2.1 Masjid 99 Kubah Gambar di atas merupakan masjid 99 kubah. Masjid 99 Kubah atau yang lebih dikenal dengan Masjid Asmaulhusna adalah sebuah masjid bersejarah yang berada di Kota Makassar, Provinsi Sulawesi Selatan, Indonesia. Konsep 99 kubah diambil dari Asmaul Husna yang merupakan nama nama Allah dan berhasil menjadikan masjid ini memiliki arsitektur megah dan cantik di saat yang bersamaan. Tak heran jika masjid ini masuk 30 masjid unik di Dunia. Jika di amati, konsep peletakan kubah dari masjid tersebut membentuk pola kemiringan tertentu sebagaimana diilustrasikan pada gambar 2.1 di atas. Apakah sebenarnya yang dimaksud 14
kemiringan? Dapatkah kalian menentukan besar kemiringan yang dihasilkan? Konsep kemiringan ini merupakan salah satu pembahasan dalam persamaan garis lurus. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pembahasan berikut! Ayo Mengumpulkan Informasi! Pemahaman tentang Persamaan Garis Lurus Bentuk umum persamaan suatu garis lurus (garis yang tidak sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat) adalah ������ = ������������ + ������. ������ disebut gradien atau koefisien arah garis tersebut, nilai ������ = ������������������ ������, dengan ������ adalah besar sudut antara garis tersebut dengan sumbu ������ positif dan ������ adalah jarak dari titik pangkal ke titik potong garis itu dengan sumbu ������. Persamaan garis lurus biasa juga ditulis dalam bentuk implisit, yaitu: ������������ + ������������ + ������ = 0 1. Bentuk-bentuk Persamaan Garis Persamaan Garis Melalui Titik (������������, ������������) Garis ������ = ������������ + ������ melalui titik (������1, ������1) berarti ������1 = ������������1 + ������, ������ = ������1 − ������������1 substitusi pada persamaan ������ = ������������ + ������, akan diperoleh ������ = ������������ + ������1 − ������������1 atau ������ – ������1 = ������ (������ – ������1), merupakan persamaan garis yang melalui titik (������1, ������1) dengan gradien ������. Persamaan Garis Melalui Titik (������������, ������������) dan (������������, ������������) Persamaan garis melalui titik (������1, ������1) adalah ������ – ������1 = ������ (������ – ������1), garis tersebut melalui pula titik (������2, ������2) maka ������2 – ������1 = ������ (������1 – ������2). ������ = ������2− ������1 di substitusi pada ������ – ������1 = ������ (������ – ������1) sehingga di peroleh ������ − ������2−������1 ������1= ������2− ������1 (������ – ������1) atau ������− ������1 = ������− ������1 . ������2− ������1 ������2− ������1 ������2− ������1 Contoh 2.1 Perhatikan gambar berikut! 15
Gambar 2.2 Gaya Arsitektur Masjid 99 Kubah Gambar di atas merupakan desain langit-langit Masjid 99 Kubah yang memiliki pinggiran berwarna putih dan nampak memiliki kemiringan tertentu. Jika dimisalkan bahwa pinggiran berwarna putih tersebut merupakan suatu garis yang melalui titik ������(2,5) dan ������(6,3), tentukan gradien dan persamaan garisnya! Penyelesaian: Gradien ������ = ������2 − ������1 = 3 − 5 = − 2 = − 1 ������2 − ������1 6 − 2 4 2 Persamaan garis ������ − ������1 = ������ − ������1 ������2 − ������1 ������2 − ������1 ������ − 5 ������ − 2 3−5=6−2 4(������ − 5) = −2(������ − 2) 4������ − 20 = −2������ + 4 2������ + 4������ − 24 = 0 2. Kedudukan Dua Garis Perhatikan gambar dua garis sejajar berikut! 16
Gambar 2.3 Grafik Dua Garis Saling Sejajar ������1 = ������������������ ������1 dan ������2 = ������������������ ������2 karena ������1//������2 maka sudut dari ������ = ������1 (sudut yang sehadap) dan sehingga ������������������ ������1 = ������������������ ������2 atau ������1 = ������2. Jadi ������1 = ������2 ↔ ������1 = ������2. Jika kedua garis itu ditulis dalam bentuk persamaan umum, yaitu jika ������1: ������1������ + ������1������ + ������1 = 0 dan ������1: ������2������ + ������2������ + ������2 = 0 ������1//������2 ↔ ������1 = ������1 ≠ ������1 ������2 ������2 ������2 ������1 = ������2 ↔ ������1 = ������1 = ������1 ������2 ������2 ������2 Gambar 2.4 Grafik Dua Garis yang Saling Tegak Lurus Pada segitiga tersebut, ������ + ������ = ������ → ������ = ������ − ������ tan ������ = tan ������ − ������ tan ������ = tan ������−tan ������ 1+tan ������.tan ������ 17
karena ������1 = tan ������1 dan ������2 = tan ������2 maka tan ������ = ������1 − ������2 . 1+ ������1������2 Untuk ������ = 00 maka 0 = ������1 − ������2 atau ������1 = ������2 1+ ������1������2 Maka ������1 = ������2 atau ������1//������2 ↔ ������1 = ������2 Untuk ������ = 900 maka ∞ = ������1 − ������2 atau ������1������2 = −1 1+ ������1������2 Maka ������1 tegak lurus ������2 ↔ ������1������2 = −1 3. Persamaan Normal Hesse Persamaan normal Hesse adalah ������ ∶ ������ ������������������ ������ + ������ ������������������ ������ = ������ , dengan ������ = jarak dari titik pangkal ke garis dan ������ = sudut antara garis ������ dengan sumbu ������ positif Diketahui titik ������(������1, ������1) di luar garis (terlihat gambar) Gambar 2.4 Grafik Persamaan Garis Hesse Jika jarak ������(������1, ������1) ke garis ������ sama dengan ������. Buat garis ������’ melalui titik ������ sejajar ������, ������′ = ������ ������������������ ������ + ������ ������������������ ������ = ������′ , karena ������ terletak pada ������’ maka ������’ = ������1 ������������������ ������ + ������1 ������������������ ������ = ������, berarti ������ = |������′ − ������|= |������1 ������������������ ������ + ������1 ������������������ ������ − ������|. Jadi jarak titik ������(������1, ������1) ke garis ������: ������1 cos ������ + ������1 sin ������ − ������ adalah ������ = |������1 cos ������ + ������1 sin ������ − ������|. Sehingga jika ������ ∶ ������������ + ������������ + ������ = 0, maka jarak titik ������(������1, ������1) ke ������ adalah d = |������������√1���+���2���+������������1���2+������| Ayo Menanya! Berdasarkan apa yang telah kalian amati pada materi di atas, adakah yang kalian ingin tanyakan? Ajukanlah pertanyaan : 18
1. ......................................................................... 2. ......................................................................... 3. ......................................................................... Jika ada hal yang ingin kalian tanyakan terkait materi ini, silakan ajukan pertanyaan ke dosen kalian! Ayo Menalar! Agar kalian semakin paham dengan materi “Persamaan Garis Lurus”, silakan mengerjakan permasalahan berikut secara berkelompok! 1. Miftah seorang mahasiswi Pendidikan Matematika yang sedang berkunjung ke Masjid 99 Kubah untuk mengamati unsur etnomatematika yang terdapat pada masjid tersebut. Proses pengamatan Miftah bermula saat berada di depan pintu masuk dengan titik koordinat (5, −2). Pada pintu tersebut, Miftah menemukan motif-motif geometri seperti gambar berikut: Selanjutnya, perjalanan Miftah berlanjut setelah masuk melalui pintu menuju ke depan mimbar khatib dengan melewati suatu tiang penyangga yang memiliki koordinat (������, 7). Jika perjalanan Miftah membentuk suatu garis ������ dengan gradien 3, maka tentukan persamaan garis ������ tersebut! 5 a) Tulislah informasi penting yang diketahui dan ditanyakan dari soal di atas! 19
b) Tuliskan strategi yang mungkin untuk menyelesaikan soal tersebut (rumus, sketsa, gambar, grafik atau model matematika) c) Selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode yang Anda pilih! 2. Berdasarkan hasil yang telah kalian peroleh dari soal No.1, carilah suatu persamaan garis melalui titik koordinat tiang penyangga yang dilewati Miftah dan membentuk sudut 45° dengan garis ������ pada soal No.1! a) Tulislah informasi penting yang diketahui dan ditanyakan dari soal di atas! b) Tuliskan strategi yang mungkin untuk menyelesaikan soal tersebut (rumus, sketsa, gambar, grafik atau model matematika) c) Selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode yang Anda pilih! Organize Student Ayo Mencoba! Diskusikanlah jawaban kalian dengan teman kelompok kalian! Tentukan Jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban berbeda dalam diskusi tersebut. Individual and Group Guide Referensi tambahan dapat diperoleh melalui barcode berikut: 20
Develop and Present the Work Ayo Mengomunikasikan! Selesaikan soal pada kegiatan “Ayo Menalar!” bersama teman kelompok kalian, lalu presentasikan hasil kerja tersebut di depan kelas! Analyze and Evaluate the Problem-Solving Process Bagi kelompok yang tidak presentasi, harap memberikan evaluasi terhadap kelompok yang melakukan presentasi. Evaluasi pemecahan masalah yang disajikan oleh kelompok yang presentasi UJI KOMPETENSI 1 1. Diberikan persamaan kutub ������2 = sin 2������, bentuk kartesius dari persamaan koordinat kutub tersebut adalah ... A. ������4 + ������4 + 2������2������2 + ������������ = 0 B. ������4 + ������4 + 2������2������2 − 2������������ = 0 C. ������4 + ������4 + 2������2������2 − ������2������ = 0 21
D. ������4 + ������4 + 2������2������2 + 2������������2 = 0 E. ������4 + ������4 + 2������2������2 + ������������2 = 0 2. Diberikan persamaan kutub ������2 + ������2 + ������������ = ������√������2 + ������2, bentuk koordinat kutub dari tersebut adalah ... A. ������ = 1 atau ������ = ������ cos ������ + 1 B. ������ = 0 atau ������ = cos ������ + ������ C. ������ = 1 atau ������ = −������ cos ������ − ������ D. ������ = 0 atau ������ = −������ cos ������ + ������ E. ������ = 1 atau ������ = cos ������ − ������ 3. Diberikan ruas garis ������������ dengan titik ujungnya ������(4,7) dan ������(5, −3). Selanjutnya, jika terdapat titik ������ di antar ������������ dan membagi ruas garis sama besar, maka koordinat dari titik ������ tersebut adalah ... A. (7,1) B. (5 , 4) 2 C. (9 , 2) 2 D. (7 , 7) 2 E. (2,6) 4. Diketahui dua titik ������(8,1) dan ������(2,5). Jika terdapat titik ������ pada ruas garis ���̅̅���̅���̅��� sedemikian hingga |������������|: |������������| = 2: 5, maka koordinat titik ������ adalah ... A. (6 2 , 2 1) 77 B. (7 2 , 4 1) 77 C. (2 2 , 3 1) 77 D. (5 2 , 5 1) 77 E. (9 2 , 8 1) 77 5. Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan membuat sudut 45 dengan garis ������ 5������ – 7������ – 2 = 0 adalah ... 22
A. ������ + 7������ − 20 = 0 dan 6������ − ������ − 9 = 0 B. 2������ + 5������ − 20 = 0 dan 6������ − 2������ − 9 = 0 C. ������ + 4������ − 20 = 0 dan 6������ − ������ − 9 = 0 D. 2������ + 3������ − 20 = 0 dan 6������ − 2������ − 9 = 0 E. ������ + 6������ − 20 = 0 dan 6������ − ������ − 9 = 0 6. Diketahui garis ������ melalui titik ������(−6,7) dan titik ������(������, 4). Persamaan garis ������ dengan gradien 4 adalah ... 9 A. 13������ − 26������ + 260 = 0 B. 14������ − 27������ + 262 = 0 C. 12������ − 27������ + 261 = 0 D. 11������ − 26������ + 263 = 0 E. 10������ − 27������ + 266 = 0 7. Diketahui garis ������ dengan gradien 3 dan melalui titik (4,5). Jika terdapat 8 pula garis ������ yang memotong tegak lurus garis ������, maka persamaan garis ������ yang dimaksud adalah ... A. 5������ + 4������ − 46 = 0 B. 6������ + 3������ − 47 = 0 C. 9������ + 2������ − 46 = 0 D. 8������ + 3������ − 47 = 0 E. 7������ + 2������ − 48 = 0 8. Persamaan garis yang tegak lurus dengan segmen yang menghubungkan titik ������(−7,2) dengan ������(3,8) dan melalui titik tengah segmen tersebut (bisektor) adalah ... A. 3������ − 57 = −31 B. 4������ − 56 = −31 C. 5������ − 55 = −31 D. 6������ − 54 = −31 E. 9������ − 53 = −31 9. Diberikan persamaan garis ������ yang tegak lurus dengan garis ������ ≡ 2������ + 5������ = 11. Jika terhadap sumbu-sumbu koordinat membentuk segitiga 23
dengan luasnya 7 satuan, maka persamaan garis ������ yang dimaksud adalah ... A. ������ = 5 ������ + √32 dan ������ = 5 ������ − √32 2 2 B. ������ = 5 ������ + √35 dan ������ = 5 ������ − √35 22 C. ������ = 5 ������ + √37 dan ������ = 5 ������ − √37 2 2 D. ������ = 5 ������ + √39 dan ������ = 5 ������ − √39 2 2 E. ������ = 5 ������ + √33 dan ������ = 5 ������ − √33 2 2 10. Diberikan persamaan garis −5������ − 12������ + 8 = 0. Bentuk persamaan normal Hesse dari garis tersebut adalah ... A. 1 ������ + 14 ������ − 8 = 0 13 13 13 B. 2 ������ + 17 ������ − 8 = 0 13 13 13 C. 3 ������ + 15 ������ − 8 = 0 13 13 13 D. 4 ������ + 11 ������ − 8 = 0 13 13 13 E. 5 ������ + 12 ������ − 8 = 0 13 13 13 KUNCI JAWABAN UJI KOMPETENSI 1 1. B 2. D 3. C 4. A 5. E 6. C 7. D 8. A 9. B 10. E 24
LINGKARAN Capaian Pembelajaran Mata Kuliah: Menemukan dan mampu menyelesaikan persamaan lingkaran, parabola, elips, hiperbola Sub-Capaian Pembelajaran Mata Kuliah: Membuat gambar lingkaran, beserta unsur-unsurnya Menemukan persamaan lingkaran, serta persamaan garis singgung pada lingkaran Sintaks Model Pembelajaran Problem Based learning: 1. Student Orientation to the Problem 2. Organize Student 3. Individual and Group Guide 4. Develop and Present the Work 5. Analyze and Evaluate the Problem-Solving Process 25
KEGIATAN BELAJAR 3 LINGKARAN Student Orientation to the Problem Ayo Mengamati! Dalam kehidupan sehari-hari, tentu Anda banyak sekali melihat atau menemukan bangun-bangun yang permukaannya berbentuk lingkaran. Coba Anda catat bangun-bangun apa saja yang permukaannya berbentuk lingkaran. Salah satu penerapan konsep lingkaran dalam kehidupan dapat dilihat pada gambar 3.1 berikut: Gambar 3.1 Arsitektur Masjid 99 Kubah Gambar di atas merupakan desain arsitektur masjid 99 kubah yang melekat pada langit-langit masjid dan memiliki bentuk yang menyerupai lingkaran. Dari gambar tersebut, dapatkah kalian mengidentifikasi ciri-ciri dari bangun yang menyerupai lingkaran tersebut? Apakah ciri-ciri tersebut dapat dikaitkan dengan unsur-unsur pada lingkaran? Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah kalian bagaimana menentukan persamaan lingkarannya? Untuk lebih jelasnya, perhatikan pembahasan berikut! 26
Ayo Mengumpulkan Informasi! A. Pemahaman tentang Lingkaran dan Unsur-unsurnya Definisi: Gambar 3.2 Lingkaran dan Unsur-unsurnya Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama (jari-jari lingkaran) terhadap sebuah titik tertentu (pusat lingkaran) yang digambarkan pada bidang kartesius. P (a ,b) = Pusat Lingkaran r = jari-jari lingkaran r = AP = BP = CP Sebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik ������ (������1, ������1) dan ������ (������1, ������1) 27
Gambar 3.3 Konsep Phytagoras Pada segitiga ABC di atas, berlaku : ������ ������ ������ ������������ = ������������ + ������������ ������������² = (������������ − ������������)������ + (������������ − ������������)² ������������ = √(������������ − ������������)������ + (������������ − ������������)������ Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari – jarinya r. B. Persamaan Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat ������(������, ������) dan Jari-jari ������ Gambar 3.4 Lingkaran dengan Pusat ������(0,0) dan Jari-jari ������ 28
Misalkan titik P(x0,y0) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran, maka: ������������ = ������ √(������������ − ������)������ + (������������ − ������)������ = ������ (������������ − ������)������ + (������������ − ������)������ = ������������ ������������������ + ������������������ = ������������ Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x0 dan y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi ������2 + ������2 = ������2. Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah : ������������ + ������������ = ������������ Persamaan Lingkaran dengan Pusat ������(������, ������) dan Jari-jari r Gambar 3.5 Lingkaran dengan Pusat ������(������, ������) dan Jari-jari ������ Jarak ������������ = ������ = jari –jari. Titik ������ (������, ������) adalah pusat lingkaran. Andai kata ������ (������0, ������0) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran didapat : ������������ = ������ √(������������ − ������)������ + (������������ − ������)������ = ������ (������������ − ������)������ + (������������ − ������)������ = ������������ Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2. Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat ������ (������, ������) dan jari – jari r adalah : 29
(������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2 Contoh 3.1: Perhatikan gambar berikut! Gambar 3.6 Pintu Masjid 99 Kubah Gambar di atas merupakan pintu masuk dari Masjid 99 Kubah. Jika diperhatikan, tampak desain-desain geometri pada kaca pintu, salah satunya terdapat desain berbentuk lingkaran. Jika dimisalkan bahwa lingkaran tersebut memiliki pusat ������(5,2) dan jari jari 4, maka tentukan persamaan dari lingkaran tersebut! Penyelesaian: (������ − 5)2 + (������ – 2)2 = 42 ������2 – 10������ + 25 + ������2 − 4������ + 4 = 16 ������2 + ������2 – 10������ − 4������ + 25 + 4 – 16 = 0 2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran ������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������ = ������ Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, kita dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut : 30
Persamaan Lingkaran: ������2 + ������2 + ������������ + ������������ + ������ = 0 ������ 2 + ������������ + 1 ������) ² + ������2 + ������������ + 1 ������) ² + ������ − 1 ������) ² − 1 ������) ² = 0 (2 (2 (2 (2 (������ + 1 ������)2 + 12 = 1 ������2 + 1 ������2 − ������ 2 (������ + 2 ������) 4 4 Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah ������ (− 1 ������, − 1 ������) dan jari – 22 jari lingkaran ������ = √1 ������2 + 1 ������2 − ������ dan ������ = −√1 ������2 + 1 ������2 − ������ tidak diambil, 44 44 karena jari – jari lingkaran selalu positif. Contoh 3.3: Perhatikan kembali gambar 3.6 di atas! Jika dimisalkan bahwa lingkaran tersebut memiliki persamaan : a.������2 + ������2 − 10������ + 8������ − 23 = 0 b.������2 + ������2 − 10������ − 24 = 0 Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran tersebut! Penyelesaian: a. ������ = −10, ������ = 8 ������������������ ������ = −23 11 ������������������������������ ������������������������������������������������������ ������ = (− 2 ������, − 2 ������) = (5, −4) ������������������������ − ������������������������ ������������������������������������������������������ ������ = √1 ������2 + 1 ������2 − ������ 4 4 ������ = √1 (−10)2 + 1 8 + 23 44 = √25 + 16 + 23 = √64 = 8 b. ������ = 0, ������ = −10, ������������������ ������ = −24 31
11 ������������������������������ ������������������������������������������������������ ������ = (− 2 ������, − 2 ������) = (0,5) ������������������������ − ������������������������ ������������������������������������������������������ ������ = √1 ������2 + 1 ������2 − ������ 4 4 = √1 02 + 1 (−10)2 + 24 44 = √0 + 25 + 24 = √49 = 7 C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Definisi: Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut! Gambar 3.7 Hubungan Garis dengan Lingkaran Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk ������ = ������������ + ������. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini: a. Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran 32
Gambar 3.8 Sketsa Garis Singgung melalui Satu Titik pada Lingkaran b. Garis singgung bergradien m Y=m+c2 Y=m+c1 Gambar 3.9 Sketsa Garis Singgung Bergradien m c. Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran Gambar 4.0 Sketsa Garis Singgung melalui Satu Titik di Luar Lingkaran 33
Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran. Tabel 3.1 Persamaan Garis Singgung di Suatu Titik pada Lingkaran Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung ������2 + ������2 = ������2 ������������1 + ������������1 = ������2 (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2 ������2 + ������2 + ������������ + ������������ + ������ = 0 (������ − ������)(������1 − ������) + (������ − ������)(������1 − ������) = ������2 ������������1 + ������������1 + 1 ������(������ + ������1) + 1 ������(������ + ������1) + ������ 2 2 =0 Contoh 3.4: Perhatikan gambar berikut: Gambar 4.1 Lampu Masjid 99 Kubah Gambar di atas merupakan model lampu Masjid 99 Kubah yang berbentuk lingkaran. Jika di misalkan bahwa lampu tersebut memiliki persamaan ������ ≡ ������2 + ������2 = 10 yang melalui titik (-3,1), tentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut! Penyelesaian: Titik (-3,1)⇒ ������1 = −3 dan ������1 = 1, terletak pada ������ ≡ ������2 + ������2 = 10 Persamaan garis singgungnya ������������1 + ������������1 = ������2 (−3)������ + (1)������ = 10 34
−3������ + ������ = 10 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran ������ ≡ ������2 + ������2 = 10 yang melalui titik (-3,1) adalah −3 + y = 10 d. Persamaan Garis Singgung Bergradien m Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsur lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah: Tabel 3.2 Persamaan Garis Singgung Bergradien m Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung ������2 + ������2 = ������2 ������ = ������������ ± ������√1 + ������2 (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2 ������ − ������ = ������(������ − ������) ± ������√1 + ������2 ������2 + ������2 + ������������ + ������������ + ������ = 0 Ubah bentuk persamaan ke (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2 gunakan rumus ������ − ������ = ������(������ − ������) ± ������√1 + ������2 e. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m. 1). Menggunakan rumus Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik ������(������1, ������1) pada lingkaran (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2 adalah ������ − ������1 = ������(������ − ������1) adalah dengan ������ = (������1 − ������)(������1 − ������) ± √(������1 − ������)2 + (������1 − ������)2 − ������2 (������1 − ������)2 − ������2 2). Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m Teknik ini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui A(x1, y1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m. 35
Contoh 3.5: Perhatikan kembali gambar 4.1! Jika dimisalkan bahwa model lampu berbentuk lingkaran tersebut memiliki persamaan ������2 + ������2 = 25 yang melalui (7,1), tentukan persamaan garis singgungnya! Penyelesaian: Persamaan 1 : ������ − ������1 = ������(������ − ������1) ������ − 1 = ������ (������ − 7) y = mx – 7m + 1 Persamaan 2 : ������ = ������������ ± ������√1 + ������2 ������ = ������������ ± 5√1 + ������2 ������ = ������������ ± 5√1 + ������2 → ������ = ������������ − 7������ + 1 5√1 + ������2 = 7������ + 1 25(1 + ������2) = 49������2 − 14������ + 1 25 + 25������2 = 49������2 − 14������ + 1 24 − 14 − 24 = 0 (4������ + 3)(3������ − 4) = 0 34 ������1 = − 4 ������������������������ ������2 = 3 Persamaan Garis singgung 1 ������1 = ������ = ������������ − 7������ + 1 ������ = − 3 ������ − 7 (− 3) + 1 44 4������ = −3������ + 21 + 4 3������ + 4������ = 25 Persamaan Garis singgung ke 2 ������2 = ������ = ������������ − 7������ + 1 ������ = 4 ������ − 7 (4) + 1 33 3������ = 4������ − 28 + 3 36
Ayo Menanya! Berdasarkan apa yang telah kalian amati pada materi di atas, adakah yang kalian ingin tanyakan? Ajukanlah pertanyaan : 1. ......................................................................... 2. ......................................................................... 3. ......................................................................... Jika ada hal yang ingin kalian tanyakan terkait materi ini, silakan ajukan pertanyaan ke dosen kalian! Ayo Menalar! Agar kalian semakin paham dengan materi “Lingkaran”, silakan mengerjakan permasalahan berikut secara berkelompok! 1. Masjid Kubah 99 merupakan salah satu masjid yang terkenal karena memiliki unsur seni yang unik. Karena keunikan ini, Ridwan seorang mahasiswa seni dan desain tertarik untuk mengamati unsur seni dari Masjid 99 Kubah ini. Saat memasuki masjid, pandangan Ridwan terarah pada motif unik pada gambar berikut: Di tengah-tengah motif, terdapat bentuk lingkaran yang berisi tulisan “MASJID KUBAH 99 ASMAUL KUSNA”. Jika dimisalkan bahwa lingkaran tersebut melalui tiga titik, yaitu ������(2,1), ������(4,0) dan ������(2,3), maka tentukan persamaan lingkaran yang terbentuk, kemudian carilah titik pusat dan jari- jarinya! 37
a) Tulislah informasi penting yang diketahui dan ditanyakan dari soal di atas! b) Tuliskan strategi yang mungkin untuk menyelesaikan soal tersebut (rumus, sketsa, gambar, grafik atau model matematika) c) Selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode yang Anda pilih! 2. Berdasarkan persamaan lingkaran yang kalian peroleh dari No.1, tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (7,5)! a) Tulislah informasi penting yang diketahui dan ditanyakan dari soal di atas! b) Tuliskan strategi yang mungkin untuk menyelesaikan soal tersebut (rumus, sketsa, gambar, grafik atau model matematika) c) Selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode yang Anda pilih! AyOorMgaenniczoebSat!udent Ayo Mencoba! Diskusikanlah jawaban kalian dengan teman kelompok kalian! Tentukan Jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban berbeda dalam diskusi tersebut. Individual and Group Guide Referensi tambahan dapat diperoleh melalui barcode berikut: 38
Develop and Present the Work Ayo Mengomunikasikan! Selesaikan soal pada kegiatan “Ayo Menalar!” bersama teman kelompok kalian, lalu presentasikan hasil kerja tersebut di depan kelas! Analyze and Evaluate the Problem-Solving Process Bagi kelompok yang tidak presentasi, harap memberikan evaluasi terhadap kelompok yang melakukan presentasi. Evaluasi pemecahan masalah yang disajikan oleh kelompok yang presentasi 39
PARABOLA Capaian Pembelajaran Mata Kuliah: Menemukan dan mampu menyelesaikan persamaan parabola Sub-Capaian Pembelajaran Mata Kuliah: Membuat gambar parabola, beserta unsur-unsurnya Menemukan persamaan parabola, serta persamaan garis singgung pada parabola Sintaks Model Pembelajaran Problem Based learning: 1. Student Orientation to the Problem 2. Organize Student 3. Individual and Group Guide 4. Develop and Present the Work 5. Analyze and Evaluate the Problem-Solving Process 40
KEGIATAN BELAJAR 4 PARABOLA Student Orientation to the Problem Ayo Mengamati! Dalam kehidupan sehari-hari, sangat banyak suatu bangun yang menyerupai bentuk parabola. Salah satu di antaranya pada gambar 4.1 berikut: Gambar 4.1 Kubah Masjid 99 Kubah Sumber: https://ihram.republika.co.id/ Perhatikan bentuk kubah terbesar dari masjid 99 kubah di atas. Apa yang terlintas di bayangan kalian jika melihat kubah tersebut? Apakah kalian menemukan konsep parabola dari kubah masjid 99 kubah tersebut? Lantas, bagaimana cara kalian mengidentifikasi ada atau tidaknya konsep parabola dari bentuk tersebut? Ayo Mengumpulkan Informasi! 1. Pemahaman tentang parabola dan Unsur-unsurnya Definisi: 41
Diberikan suatu titik tertentu ������ dan garis tertentu ������ dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (������, ������) sedemikian sehingga jarak antara ������ dan (������, ������) sama dengan jarak antara ������ dan (������, ������). Titik ������ disebut sebagai fokus parabola dan garis ������ disebut sebagai direktriks. Gambar 4.2 Parabola Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, ������). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan ������ = – ������ , sehingga semua titik pada ������ dapat dituliskan sebagai (������, – ������). 42
Gambar 4.3 Parabola dengan Puncak (0,0) dan Fokus (0, ������) Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa ������1 = ������2, kita mendapatkan, Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah ������² = 4������������. 2. Persamaan Parabola a. Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-Direktriks Suatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: ������² = 4������������, yang memiliki fokus di (0, ������) dan dengan direktriks: ������ = – ������. Jika ������ > 0, parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika ������ < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah. 43
Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: ������² = 4������������, yang memiliki fokus di (������, 0) dan dengan direktriks: ������ = – ������. Jika ������ > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika ������ < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri. Untuk lebih memahami mengenai persamaan suatu parabola dalam bentuk fokus-direktriks, perhatikan contoh berikut. Contoh 4.1: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola Perhatikan gambar berikut! Gambar 4.4 Mimbar Masjid 99 Kubah Gambar di atas merupakan mimbar masjid 99 kubah. Jika diamati dengan baik, terdapat bentuk geometri pada desain mimbar tersebut, yaitu bentuk parabola. Misalkan bentuk tersebut direpresentasikan oleh persamaan ������2 = −12������, maka tentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola tersebut, kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya. Penyelesaian: Karena hanya suku-x yang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilai p: 44
Karena p = – 3 (p < 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, –3) dan direktriksnya y = 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6² dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikan x = 6 dan x = – 6, dan menghasilkan titik-titik (6, –3) dan (–6, –3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 4.5 Grafik Parabola ������² = – 12������ Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garis x = 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan. Sebagai titik-titik alternatif dalam menggambar grafik parabola, kita dapat menggunakan apa yang disebut tali busur fokus dari parabola. Serupa dengan elips dan hiperbola, tali busur fokus adalah ruas garis yang melalui fokus, sejajar dengan direktriks, dan titik-titik ujungnya terletak pada grafik. Dengan menggunakan definisi dari parabola, jarak horizontal dari ������ ke (������, ������) adalah 2������. Karena ������1 = ������2, maka ruas garis yang sejajar dengan direktriks dari fokus ke grafik memiliki panjang |2������|, dan panjang tali busur fokus dari sembarang parabola adalah |4������|. Dan akhirnya, jika titik puncak dari suatu parabola vertikal digeser ke (ℎ, ������), maka persamaan dari parabola tersebut akan menjadi (������ ± ℎ) 2 = 4������(������ ± ������). Seperti 45
Search