Kelas XI_SMA IPA_Matematika_Wahyudin Djumanta

Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut. Limit menghasilkan Turunan teori menyelesaikan Aplikasi masalah menentukan menentukan menentukan menentukan lim f (x)  0 x a g(x) 0 rumus Laju Gradien Perubahanlim f x  lim f 'x Interval Titik Balik gx g 'x Fungsi Fungsi Maks./Min.xa xa Naik/ Turun dan 'x ''x Titik Belok 'x ''x lim f  lim f g gxa xa Tes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, 3). 6. f(x) = 2x3 + 3x, tentukan f(x + 1) dan Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan f (a + b). pula cara mencarinya. 7. = ....2. sin (α ± β) = .... 8. Tentukan gradien garis singgung kurva3. cos (α + β) = .... di titik4. tan (α + β) = ....5. cos 2α = ....194 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

A. Konsep Turunan Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulahdua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertamaadalah masalah garis singgung, sedangkan masalah keduaadalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itumenyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanikaterlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalahitu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya,pelajari uraian berikut.1. Garis Singgung y Amati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetap f(a + )pada grafik y = f(x) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang f(a) y = f(x)dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(x). Misalkan, B(a + ,titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat f(a + ))(a + Δx, f(a + Δx)). Garis yang melalui A dan B mempunyaigradien (kemiringan) f a  $x f a . Garis ini memotong A(a, f(a)) $x O a a+ xgrafik di dua titik A dan B yang berbeda. Gambar 8.1 Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekatititik A maka nilai Δx semakin kecil. Jika nilai Δx mendekati ynol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya,garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalahgaris yang melalui A(a, f(a)) dengan gradien mAB  lim f a  $x f a ...(1) $xl0 $x y = f(x) f (a + ) f(a) B(a + , f(a + ))Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh A(a, f(a)) tegak lurus sumbu-x? O a a+ x Contoh 8.1Tentukan gradien garis singgung pada kurva Gambar 8.2a. f(x) = x2 di titik dengan absis 2b. f(x) = x3 di titik dengan absis 3Jawab:a. m  lim f  $x f   lim   $x 2 22 $xl0 $x $xl0 $x lim 4$  $x2  lim 4 $x  4 $xl0 $x $xl0Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik denganabsis x = 2 adalah m = 4. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 195

b. m  lim f  $x f   lim   $x 3 33 $xl0 $x $xl0 $x  lim 33  • 32 $  $x3 33 $xl0 $x   lim 27$  9$x 2 $ 3  lim  $ $ $x $xl0 $x $xl0 $x  lim 27  $x  $x2  27 $xl0 Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x3 di titik dengan absis x = 3 adalah m = 27.Tabel 8.1 2. Kecepatan SesaatSelang $f Misalkan, fungsi f(x) = 15x2 + 20x menyatakan jarakWaktu $x (dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah x jam perjalanan selama selang waktu 0 ≤ x ≤ 2. Kecepatan rata- 0–1 35,0000 rata mobil itu selama perjalanannya adalah 0,8 – 1 47,0000 0,9 – 1 48,5000 $f  f  f   §©¨15 •  20 • 2·¹¸ §©¨15 • 2  20 • 0·¹¸ 0,99 – 1 49,8500 0,999 – 1 49,9850 $x 2 0 20,9999 – 1 49,9985  50 km/jam1 – 1,0001 50,0015 1 – 1,001 50,0150 Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam 1 – 1,01 50,1500 selang c ≤ x ≤ d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1. 1 – 1,5 57,5000 65,0000 1–2 Amati tabel tersebut. Nilai $f mendekat ke bilangan $x 50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil (Δx mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan (sesaat) pada x = 1. Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau Δx dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada x = 1 ditulis lim $f  lim f   $ f  $x$xl0 $xl0 $x 15  $ 2  20  $  •  •  $x  lim 50$  $x2  50 $xl0 $x Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam.196 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakankecepatan sesaat v di x = a? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Uraian tersebut menggambarkan definisi kecepatansesaat v di x = a, yaitu v lim vrata-rata  lim f a  $x f a ...(2) $xl0 $xl0 $x Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda Sumber: Dokumentasi Penerbitmenyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatansesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus Gambar 8.3tersebut, yaitu rumus (1) dan (2). Kedua rumus tersebut Jarak yang ditempuh mobil inimenggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama, mengikuti fungsitetapi dalam situasi yang berlainan. f(x) = 15x2 + 20x. Berapakah kecepatan rata-ratanya? Contoh 8.2Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukan-nya setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6x3 + x2 , denganf(x) dinyatakan dalam meter.a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 ≤ x ≤ 3.b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?Jawab:a. f x  $x f x  6 • 33  32 6 • 23  23  119 $x 3 2 Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.b. lim f 2  $x f 2 $xl0 $x  lim  62  $x 3 2  $x2 6 • 23  22 $xl0 $x  lim 68 12$x  6$x2  $x3 4  4$x  $x2 52 $xl0 $x  lim 6$x2  37$x  76  76 $xl0 Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 197

3. Turunan Fungsi di x = a Jika fungsi y = f(x) terdefinisi di sekitar x = a maka lim $y  lim f   $ f  . $x$xl0 $xl0 $x Jika lim $y ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(x) $xl0 $x di x = a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi turunan yang dilambangkan dengan f ‘(x). Untuk menyatakan turunan di x = a dinyatakan dengan f ‘(a). Jadi, f a  lim f a  $x f a atau f a  lim f x f a $xl0 $x xl0 x a Contoh 8.3 Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika f (x) = x2 – x , tentukan f'(5). Jawab:Tantangan f 'a lim f a  $x f a untuk Anda $xl0 $xCoba Anda tunjukkan f ' lim f 5  $ f  lim cos $ 1 0 . $xl0 $x$ l0 $x  lim   $  $  $xl0 $x  lim 10$x $x2 $x  li 10  $x 1  9 $xl0 $x $xl0 Contoh 8.4 Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = x2 + x b. f(x) = cos x Jawab: a. f x  x2  x f 'x  lim  x  $x x  $x x2  x $xl0 $x  lim 2x$  $ 2  $x $xl0 $x  li 2  $ 1  2x 1 $xl0198 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

b. f x  cos xf 'x  lim cosx  $x cos x $xl0 $x lim  x $x x $x cos x $xl0 $x lim cos xcos $x lim sin x sin $x $xl0 $x $xl0 $x cos x ¦¥¤¥¥$lixml0 cos $x 1µ´µµ¶ sin ¥¤¦¥¥$lixm0 sin $x µ´¶µµ $x $x cos x • 0 sin x •1  sin x Tokoh MatematikaContoh 8.5Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya.Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.Jawab:Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas =L = p × l = 3l.l = 3l 2.Jadi, L = f (l) = 3l2.Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L ‘(5).L '5 lim L 5  h L 5  lim 35  h 2 3, 52 Gottfried Wilhelm Leibnitz$xl0 h $x 0 h (1646–1716) 325 10h  h2 75  lim 30h  3h2 Gottfried Wilhelm Leibnitz h adalah orang jenius. Ia ahli lim dalam bidang hukum, agama,$xl0 h $xl0 politik, sejarah, filsafat, dan matematika. Bersama Newton li   h  30 merumuskan pengertian $xl0 dasar tentang kalkulus diferensial. Leibnitz pun4. Mengenal Notasi Leibnitz dikenal karena menemukan suatu jenis mesin hitung.Anda telah mempelajari bahwa turunan fungsi f(x) Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitisdinotasikan dengan f '(x). Nilai Δx menyatakan perubahan Jilid 1, 1990nilai x, yaitu Δx = x2 – x1. Adapun perubahan f(x + Δx) – f(x)menyatakan perubahan nilai fungsi f(x) dinotasikan denganΔf. Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskanmenjadi lim $f . $xl0 $x Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunanfungsi, yaitu df . Diketahui fungsi dx y = f(x) ....(1) Turunan Fungsi dan Aplikasinya 199

sehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi dy = y ' = f '(x) dx Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahlimatematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz(1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnyanotasi Double d Leibnitz.Contoh 8.6Misalkan f(x) = x3, tentukanlaha. df b. nilai x sehingga df = 12 dx dxJawab:a. df  lim f x  $x f x  lim x  $x 3 x3dx $xl0 $x $xl0 $x  lim 3x2$  3x$ 2  $x3  li 3 2  3x$  $x2  3x2 $xl0 $x $xl0b. df = 3x2 maka 3x2 = 12 ™ x = ± 2. dx Jadi, nilai x yang memenuhi df = 12 adalah x = ± 2. dxContoh 8.7Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhipersamaan s = f(t) = t2 – 3t. Tentukanlah laju perubahan sesaatjarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehinggalaju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15.Jawab:Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalahds  df  lim f t  $t f  dt dt $tl0 $t lim ©§¨t  $t 2 3  $ ·¹¸  $tl0 lim t 2  $t  $t 2 t 3$t t 2  3t$tl0 $t lim 2t  $t  $t 2 3$t  lim 2t  $t 3  2t 3$tl0 $t $tl0200 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16,diperolehdf = 2t – 3 ™ 15 = 2t – 3dx™ 2t = 18 ™ t = 9Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon. Tes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan a. f(x) = 2x2 di x = –1 soal-soal berikut. b. f(x) = x2 – 5 di x = –4 a. Jika f(x) = x2 + 3x, tentukan f '(x). c. f(x) = 2x + 1 di x b. Jika f(x) = x2 – 2x + 6, tentukan f '(x). xc. Jika f(x) = 2x , tentukan f '(x). d. f(x) = 3cos xdi x = P d. Jika f(x) = 1 1 , tentukan f '(x). 2 x Gunakan konsep limit untuk soal-soal berikut.2. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan 5. Sebuah benda bergerak, kedudukannya soal-soal berikut. setelah t sekon memenuhi persamaan S (t) a. Jika f(x) = 4 – x2, tentukan f '(–3). = 3t2 + 4t. b. Jika f(x) = 6x – 2x3, tentukan f '(2). a. Berapa kecepatan rata-rata pada c. Jika f(x) = x , tentukan f '(5). selang waktu t = 3 sekon dan t = 5 sekon? x 1 b. Berapa kecepatan sesaat pada waktu d. Jika f(x) = x2  x , tentukan f '(1). t = 2 sekon? x 1 6. Se b u a h pe r u s a h a a n m e n d ap a t k a n keuntungan setelah t tahun sebesar3. Dengan menggunakan konsep limit, 2.500.000t2–5.000t. a. Berapa besar keuntungan antara t = 3tentukan gradien garis singgung pada tahun dan t = 4 tahun? b. Berapa laju keuntungan sesaat pada tkurva berikut ini. = 2 tahun?a. f(x) = 5x2 di titik dengan absis x = 2 7. Gunakan rumus turunan untuk mencari turunan fungsi-fungsi berikut.b. f(x) = x 2 + x – 5 di titik dengan absis a. f(x) = 6x + 4 d. f(x) = sin x b. f(x) = ax + b e. f(x) = cos x x = –1 c. f(x) = 3x2 + 2 f. f(x) = tan xc. f(x) = x di titik dengan absis x = –2 x2d. f x  x  x di titik dengan absis x=44. Dengan menggunakan konsep limit, hitungnilai df dari fungsi berikut untuk x yang dxdiberikan. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 201

B. Menentukan Turunan Fungsi Proses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsungyang menggunakan definisi turunan, yaitu dengan menyusunhasil bagi selisih f x  $x f x dan menghitung limitnya, $xmemakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlumengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkanAnda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu.Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.1. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axnMisalkan, fungsi f(x) = axn dengan n = 1, 2, dan 3.Untuk n = 1, diperoleh f(x) = ax dan turunan fungsi tersebutadalahf 'x lim f x  $x f x $xl0 $x lim ax  $x ax  lim ax  a$x ax  lim a$x $xl0 $x $xl0 $x $xl0 $x= a ....(1)Untuk n = 2, diperoleh f (x) = ax2 dan turunan fungsi tersebutadalahf ' (x) = lim f   $ f  $xl0 $x= lim a  $ 2 ax2 $xl0 $x= lim ax2  $x  $x2 ax2 $xl0 $x= lim 2ax  $x $xl0 = 2ax Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsif(x) = ax3 , f(x) = ax4 dan f(x) = ax5. Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsiberikut. f(x) = ax6, f ‘(x) = 6ax5 \" f(x) = ax15, f ‘(x) = 15ax14 \" f(x) = axn, f ‘(x) = naxn – 1202 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebutdengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan asli maka f '(x) = naxn – 1. Untuk n = 0, f(x) = axn menjadi f(x) = ax0 = a. Fungsif(x) = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapapun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsikonstan adalah f x  lim f x  $x f $x $xl0 $x  lim a a  lim 0  lim 0  0 Tantangan $xl0 $x $x$xl0 $xl0 untuk Andasehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai Rumus ini juga berlaku untukberikut. n = –1Misalkan, f(x) = axn dengan n bilangan bulat maka f '(x) = anxn–1 f  x  auntuk f(x) = a, f '(x) = 0 dengan a sebarang bilangan real. x f  x  a x2 Contoh 8.8 Tunjukkanlah dengan cara limit.Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini.a. f(x) = x4 b. f(x) = –8x3Jawab:a. f(x) = x4 maka f '(x) = 4x4–1 = 4x3b. f(x) = –8x3 maka f ' (x) = –8(3)x3–1 = –24x2 Contoh 8.9Tentukan df untuk fungsi-fungsi berikut. dxa. f x  1 x4 b. g  x  1 8 3x 2Jawab:a. df  f x  1  x41 2 x5 dx 2b. g  x  1 8  1 x8 maka dg  g 'x  1  x81 3x 3 dx 3  8 3x9 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 203

Contoh 8.10Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia 11 tahun sampai12 tahun adalah tetap, yaitu T(t) = 120 cm. Tentukanlah lajupertumbuhan (laju pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut.Jelaskan.Jawab:Tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 12 tahuntetap. Oleh karena itu, T(t) = 120 adalah fungsi konstan sehinggaT ‘(t) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anaktersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia11 tahun sampai 12 tahun tidak mengalami perubahan.2. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axn dengan n Bilangan Rasional 1Misalkan, f(x) = x2, turunan fungsi f(x) adalahf x  lim f x  $x f x $xl0 $xf x  lim x  $x x • x  $x  x$xl0 $x x  $x  x  lim x  $x x  lim $x $xl0 $x x  $x  x $$xl0 $  lim 1  1  1  1 1$xl0 x  $x  x x  x 2 x 2 x2 Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cariturunan fungsi f(x) = x–1/3 dan f(x) = x–2/5. Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi f(x) = axn? Cobalah nyatakanbentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsepturunan fungsi f(x) = axn yang telah Anda pelajari tersebutmemperjelas kesimpulan berikut.Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan rasional makaturunannya adalah f '(x) = naxn – 1.Contoh 8.11Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 3 b. f x  1 c. f x  x3 x2a. f x  x 4 3 3x2204 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Jawab: k f 'x 3 x 31  3 1  3  3 4 41 x 3 x4 1 4 4a. f x  x 4 4x4b. f x  1  1 maka f x  1 2 3 3 • 3 x2 2 33 x3 3 3•x3 f x  1 ¦¤¥¥¥ 23´µ¶µµ 21  2 3 5  2 • 1 33 3 33 x3 x3 5 x3  2 • 1  2 3 3 x 3 x2 3x 3 3x2c. 5 k f 'x 5 51  2  5 3 x2 f x  x3 x2  x 3 x3 53 3 333. Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) + v(x), dalamhal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = auntuk a bilangan real. Dengan demikian, f a  f a  lim f a  $x f a $xl0 $x f 'a lim §©ua  $x  va  $x ·¹ §©ua  va ·¹ $xl0 $x  lim u  $ u    $ v $xl0 $x  lim ua  $ u  lim v  $ v $xl0 $x $xl0 $x  u '  v 'a Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuktersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunanfungsi y = u ± v yang telah Anda pelajari tersebut memperjelaskesimpulan berikut. Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku y ' = f '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y' = u' + v' Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan bahwa untuky = u – v maka y' = u' – v'. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 205

Contoh 8.12 Tentukan turunan fungsi berikut. a. f (x) = x3 – 3x2 c. f(x) = sin x + cos x Pembahasan Soal b. f(x) = 3x + 1 xDiketahuif(x) = 3x2 – 5x + 2 Jawab:g(x) = x2 + 3x – 3Jika h(x) = f(x) – 2g(x) maka h’ a. f(x) = x3 – 3x2 maka f '(x) = 3x2 – 6x(x) adalah....Jawab: b. f(x) = 3x + 1 = 3x + x–1 maka f '(x) = 3 – x–2 = 3 –h(x)= f(x) – 2g(x) x = 3x2 – 5x + 2 – c. f '(x) = cos x – sin x 2 (x2 + 3x – 3) 4. Turunan Fungsi y = c . u = x2 – 11x + 8h’(x) = 2x – 11 Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = c . u(x), dalam hal ini c konstanta dan u(x) fungsi yang dapat diturunkan di Soal UMPTN 1997 x = a untuk a bilangan real sehingga f 'a lim f a  $x f a $xl0 $x  lim c • ua  $x c • u $xl0 $x  c lim u  $ u  cu ' $xl0 $x Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = f(a) = c . u(a) berlaku f '(a) = c . u'(a). Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c . u'. Contoh 8.13 Tentukan turunan fungsi berikut. a. f(x) = 3x2 b. f(x) = 8 x c. f(x) = 3 cos x d. f(x) = 3 5 x Jawab: a. f(x) = 3x2 maka f '(x) = 6x b. f(x) = 8 = –8x–1 maka f '(x) = 8x –2 = 8 x x2 c. f(x) = 3 cos x maka f ‘(x) = –3 sin x206 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

d. f(x) = 3 5 x 1 1 maka f 'x  1 3 5 = 3 5x2  3 5x6 6 5x6 = 35 16 25 66 x5 6 x55. Turunan Fungsi y = uv Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) · v(x),dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi yang dapat diturunkandi x = a, untuk a bilangan real. Oleh karena ituf 'a lim f a  $x f a  lim ua  $x • va  $x ua va $xl0 $x $xl0 $x  lim ©§¨¨ u a  $x v a  $x u a  $x v a  u a  $x v a u a v a ¹·¸¸ a  $x $xl0 $x  lim ¨¨§©¨ u   $ [  $  ]  va [ua  $x u a ] ¸¹¸¸· $ $xl0  $x  li ua  $x va  $x va  lim va ua  $x ua $xl0 $x $xl0 $x  ua • v 'a  va • u 'a Oleh karena itu, jika y = f(x) = u(x) · v(x) dengan a Pembahasan Soalbilangan real sebarang berlaku f '(a) = u(a) · v'(a) + v(a) · u'(a).Untuk y = u · v, maka y' = uv' + vu'. Turunan dari y = (1 – x)2(2x + 3) adalah .... Contoh 8.14 Jawab:Tentukan turunan fungsi berikut. Misalkan, u = (1 – x)2 makaa. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2) u ‘ = 2(1 – x)(–1) = –2(1 – x).b. f(x) = cos x sin x Misalkan, v = (2x + 3) l v ‘ = 2 y = uvJawab: y ‘= u’v + uv’a. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2) = –2(1 – x)(2x + 3) + (1 – x)2(2) Misalkan, u = 5x2 – 1 maka u' = 10x dan v = 3x – 2 maka v' = 3 = 2(1 – x)[(–2x – 3) + (1 – x)] sehingga = 2(1 – x)(–3x – 2) f '(x) = u (x) . v' (x) + v (x) . u' (x) = (5x2 – 1) . 3 + (3x – 2) . 10x = 2(1 – x)(–1)(3x + 2) = 2(x – 1)(3x + 2). = 30x2 – 20x + 15x2 – 3 = 45x2 – 20x – 3b. f(x) = sin x cos x Soal UMPTN 1999 Misalkan, ux  sin x k u 'x cos x dan vx  cos x k v 'x sin x sehingga f '(x)= u (x) . v' (x) + v (x) . u' (x) = sin x (– sin x) + cos x . cos x = cos2 x – sin2 x = cos2 x – (1 – cos2 x) = 2 cos2 x – 1 = cos 2x Turunan Fungsi dan Aplikasinya 207

6. Turunan Fungsi y = un Diketahui y = f(u) dengan f(u) = un dan u = g(x). Jikafungsi u = g(x) dapat diturunkan di x = a, untuk a bilanganreal makag'(a) = lim g $ g $xl0 $x Oleh karena a bilangan real sebarang maka g'(x) = lim g $ g l g'(x) = lim $u $xl0 $xl0 $x $x Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperolehf '(u) = lim $y ? $u $ul0 Untuk Δx mendekati nol maka Δu mendekati nol sehinggaf u  lim $y dan g 'x  lim $u $ul0 $u $xl0 $xlim $y • lim $u  f  g ' $ul0 $u $x 0 $x™ lim $y • $u  f u g 'x $ul0 $u $x™ lim $y  f u g 'x $ul0 $x™ y'x  f  u ' f(u) = un, f '(u) = nun – 1 sehingga y'(x) = nun – 1 u'(x).Untuk y = un maka y' = nun – 1 u'(x). Contoh 8.15Tentukan turunan fungsi berikut.a. f(x) = (2 + 3x2)9 c. f(x) = 3sin3 1  2 cos2 x . x2b. f(x) = (5 + 2x)3 + 2x 1Jawab:a. f(x) = (2 + 3x2)9 Misalkan, u = 2 + 3x2 maka u’(x) = 6x sehingga f (x) = u9 f ‘(x) = 9u8 . u’(x) = 9(2 + 3x2)8 . 6x = 54x(2 + 3x2)8b. f(x) = (5 + 2x)3 + 2x 1 = 5  2 3 2 1  1 2 f '(x) = 3(5 + 2x)2 · 2 + 1 2x 1 12 • 2 = 6(5 + 2x)2 + 1 2 2x1c. f x 3¤¥¥¦¥3sin2 1x µµ´¶µ¤¥¦¥¥cos 1 µµ¶´µ¦¥¥¤¥ 1 ¶µ´µµ 2¥¤¥¥¦2 cos x ¶µ´µµ¥¦¥¥¤ 1 µµ´µ¶ x x2 2 2  9 sin2 1 cos 1 2 sin x cos x x2 x x 2 2208 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

7. Aturan Rantai Perhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y =un. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = f(u) =un dengan u = g(x) maka turunannya y' = nun–1 u'(x). Hasiltersebut menggambarkan aturan rantai. Misalkan, y = f(u) dan u = g(x). (f o g)(x) = f{g(x)} = f(u) = y Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi y = f{g(x)} = f o g(x) ditentukan sebagai berikut. (f o g)'(x) = f '(g(x)) . g'(x) atau dy  dy • du . dx du dx Contoh 8.16Tentukan turunan fungsi y=  6 x3 .Jawab:Misalkan, u = x 3 maka y = u6.du  1 1  1 x2dx 2 2 xdy  6u5dudy  dy • dudx du dx  6u5 • 1 2x  6 5 1 x3 • 2x  3 5 x 3 x8. Turunan Fungsi y = u v Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = uvxx , dalam halini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuka bilangan real maka Turunan Fungsi dan Aplikasinya 209

f $ f  u $ u  lim v $ v f '(a)= lim $xl0 $x $xl0 $x = lim v u  $ u v $ $xv v  $ $xl0 = lim v u  $ v u u  u va  $ $xl0 $x v v  $ v ¦¤¥¥¥ u  $ u µ´¶µµµ u ¥¦¤¥¥ va  $x va ¶µµ´µµ = lim $x $x $xl0 va va  $x lim v • lim u  $ u lim ua • lim v  $ v = $xl0 $xl0 $x $xl0 $xl0 $x lim va v  $ $xl0 Situs Matematika = u 'a • va u a • v 'a  u 'a • va u a v 'a va • va Anda dapat mengetahui va 2informasi lain tentangFungsi dan Turunannya Oleh karena itu, jika y= f(x) = ux dengan a sebarang bilanganmelalui internet dengan vx mengunjungi situs berikut.t
IUUQDBMDVMVTPSH real sehingga berlaku f '(a) = u 'a • va ua • v'a t
IUUQXXXXBMUFSGFOEUEFt
NBUFNBUJLBTNBCMPHTQPU va 2 DPN u ' x • v x u x • v ' x maka f '(x) = vx 2 . Untuk y = u , berlaku y' = u ' v uv ' . v v2 Contoh 8.17 Tentukan turunan fungsi berikut. a. f(x) = cosec x b. f(x) = tan x Jawab: a. f(x) = cosec x = 1 sin x Misalkan u = 1 maka u' = 0 dan v = sin x maka v' = cos x. f(x)= ux sehingga f '(x) = u 'v uv' vx v2 =0 ix 1  cos x  cos x ¦¤¥¥¥ 1 µ¶´µµ  cot x cosec x 2 sin2 x sin x sin  x210 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

b. f(x) = tan x = sin x cos xMisalkan u = sin x maka u' = cos x dan v = cos x maka v' = – sin x.f '(x) = cos x cos x sin x sin x  cos2 x  sin2 x  1 cos2 x cos2 cos x 2 x = sec2 x. Contoh 8.18Tentukan turunan fungsi berikut.a. f(x) = x 2 b. f(x) = x 3  x  Pembahasan Soal x2 2x2Jawab: 32 Jika f(x) = x  4 , makaa. Misalkan, u = x – 2 maka u' = 1 dan v = x + 2 maka v' = 1. turunan f –1(x) adalah ....f(x) = ux sehingga vx Jawab:f '(x) = u 'x • vx ux • v'x 32 vx 2 f(x) = x  4 œ y  3x2 = 1   2  2 1  4   2 2 x4  2 2  maka x = 4 y  2 3 yb. f(x) = x 3  x  f –1(x) = 4  2 2x2 3 xMisalkan, u = (x – 1)3(2x + 3) maka u’= 3(x – 1)2(2x + 3) + (x –1)3(2) df 1 x 4 x  x   v = 2x2 maka v’ = –4x.  dx ux u 'x vx ux vx  x 2f(x) = vx sehingga f '(x) = v2 x 14 = §¨©3x 1 2 2x  3 x 1 3 2 ·¹2x 2 x 1 3 2x    x 2  2  Soal UMPTN 1997 = 4x2 x 1 2 §©6  92x 2 ·¹ 4xx 2 2 §©x 1 2x  3 ·¹ 4x4 4xx 1 2 §©¨x12x2  6x 18 2x2  x 3 ·¹¸ = 4x4 x 2 §© x  x x x x  ·¹¸ = x3 x  x  x x  = x3 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 211

Contoh 8.19 Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 10 m/detik. Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi persamaan h(t) = 30t – 6t² dengan h(t) adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter. a. Carilah kecepatan peluru pada saat 1,5 detik. b. Kapan peluru berhenti? Jawab: Diketahui: Kecepatan awal peluru = 10 m/detik. Kedudukan peluru pada t detik = h(t) = 30t – 6t². Ditanyakan: a. Kecepatan peluru pada saat 1,5 detik. b. Kapan peluru berhenti. Pengerjaan: a. Dalam fisika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukan terhadap waktu sehingga v(t) = h'(t) = 30 – 12t. Jadi, kecepatan peluru pada saat t = 1,5 adalah v(1,5) = 30 –12(1,5) = 12 m/detik. b. Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga v(t ) = 0 ™ 30 – 12t = 0 ™ t = 2,5. Jadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik. Tes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 11. f(x) = x8 1. f(x) = 4x5 – x3 + 1 x2  x  22. f(x) = 3 2x 3x 12. f(x) = x 8x  53. f(x) = x  9 13. f(x) = sin (x + 2) 9x 14. f(x) = 5 sin(3 – x)4. f(x) = 18  2 15. f(x) = x2 sin x x 3 4x 16. f(x) = 4x3 cos(–6x)5. f(x) = x3 4x 1 17. f(x) = tan (5x + 1) x3 18. f(x) = tan (x3 – 5x) x2  56. f(x) = 19. f(x) = cot(5x – 3)7. f(x) = (x2 – 1)(x3 + 3) 20. Luas permukaan kubus berusuk x cm ditunjukkan oleh fungsi L(x) = 6x2. Tentukan8. f(x) = x4(x – 5) laju perubahan luas (L) terhadap x untuk x = 7 cm dengan cara menghitung L’ (7).9. f(x) = (x–3 + 5)(3x2 – 11) 11 )10. f(x) = ( 3 )(3 2212 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

21. Panjang dan lebar sebuah persegipanjang a. Tentukan laju perubahan sesaat P pada adalah 3x + 2 dan 2x. Carilah laju perubahan b. 1 Januari 2006. luas terhadap x untuk lebar 6 cm. 24. a. Tentukan laju perubahan sesaat P pada 1 Januari 2009.22. Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah b. barang (x) dengan biaya p(x) = 3x2 – 2x + Misalkan pertumbuhan bakteri pada 15. Jika biaya total marginal didefinisikan waktu t memenuhi persamaan sebagai dp , tentukan biaya total marginal dx N(t) = 3t2 t . untuk memproduksi barang itu. Berapa biaya Tentukan laju pertumbuhan bakteri total untuk memproduksi 20 barang? tersebut.23. Pendapatan koperasi \"Maju\" dalam x tahun, Populasi penduduk pada suatu daerah mulai 1 Januari 2004 adalah memenuhi persamaan P(x) = 3 x2  3x  20, 4 N = 240.000 – t 4 3  3.600 . dengan P dalam jutaan rupiah.  t  3 2 Tentukan dN . dtC. Persamaan Garis Singgung pada KurvaTelah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garissinggung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalahf '(a) = lim f   $ f  $xl0 $xPersamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1) dengangradien m adalah y – y1 = m(x – x1) Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titikA(a, f(a)) pada kurva adalah y – f(a) = f '(a) (x – a) Contoh 8.20Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.a. f(x) = x2 di titik (–2, 4)b. y = x3 di titik yang memiliki absis x = 1 dan x = 2.Jawab:a. Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4) adalah y – 4 = f '(–2) (x – (–2)). f(x) = x2 maka f '(x) = 2x sehingga f '(–2) = 2(–2) = –4 Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4) adalah y – 4 = –4 (x + 2) ™ y = –4 x – 4. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 213

Pembahasan Soal b. Untuk absis x = 1. Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalahKurva y = (x2 + 2)2 memotong y – f (1) = f '(1) (x – 1)sumbu-y di titik A. Persamaan f(1) dan f '(1) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 makagaris singgung pada kurva f(1) = 13 = 1.tersebut di A adalah .... f '(x) = 3x2 sehingga f '(1) = 3 . 12 = 3Jawab: Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titikA adalah titik potong kurva (1, 1) adalah y – 1 = 3 (x – 1) ™ y = 3x – 2.y = (x2 + 2)2 terhadap sumbu-y.absis xA = 0 Untuk absis x = 2.yA = (0 + 2)2 = 4 Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalahm = dy = 2(2x)(x2 + 2) y – f(2) = f '(2) (x – 2) dx f(2) dan f '(2) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 makamA = 2(0)(0 +2) = 0 f(2) = 23 = 8.Persamaan garis singgung f '(x) = 3x2 sehingga f '(2) = 3 . 22 = 12y – yA = mA(x – xA)y–4=0 l y=4 Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik (2,8) adalah y – 8 = 12(x – 2) ™ y = 12x – 16. Soal UMPTN 2001 Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajari beberapa contoh berikut. Contoh 8.21 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut. a. y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x b. y = f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y = – 1 x . 24 Jawab: a. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (1, 4), menurut rumus adalah y – f (1) = f '(1) (x – 1). Diketahui f(1) = 4 dan f '(x) = 3x2 + 6x maka f '(1) = 3 . 12 + 6 . 1 = 9. Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah y – 4 = 9 (x – 1) ™ y = 9x – 5. b. Jika g: y = mx + n adalah garis singgung pada kurva y = 2x3 dan tegak lurus terhadap garis h: y = – 1 x maka m (– 1 x ) = –1 24 24 ™ m = 24. Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 adalah y – f(x1) = f '(x1) (x – x1) dengan x1 absis titik singgung pada kurva y = 2x3. Selanjutnya, nilai x1 ditentukan sebagai berikut. f '(x) = 6x2 maka f '(x1) = 6x12.214 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Diketahui f '(x1) = 24 sehingga 6x12 =. 2234=™16x.12P=er4sa™maxa1n= ± 2.Untuk x1 = 2, diperoleh f (x1) = 2 garissinggung yang tegak lurus terhadap garis y = – 1 x adalah 24y – 16 = 24 (x – 2) ™ y = 24x – 32.Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk x1 = –2.Tes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihanmu.1. Tentukan persamaan garis singgung kurva- b. Tentukan persamaan garis singgungkurva berikut. kurva y = x2 – 4x + 5 yang tegak lurusa. f(x) = x2 di titik (2,4) y = –2x + 3.b. f(x) = 1 – 1 x2 di titik (2,–1) c. Tentukan koordinat pada kurva 2 y=x2+3x–10agargarissinggungkurvac. f(x) = x3 + 1 di titik (–1, 0) di titik itu mempunyai gradien 7.d. f(x) = x2 – 3x – 7 di x = 4 d. Tentukan persamaan garis singgung2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik yang diketahui kurva y = x – 1 di titik potong kurva x2jika gradien garis singgungnya diberikan itu dengan sumbu-x.oleh persamaan berikut.a. f '(x) = 4x – 4 di (1,–2) 4. Garis y = x + 1 memotong parabola y = x2 +b. f '(x) = 2 – 6x di (0,0) 2x + 1 di titik A dan B. Tentukan persamaanc. f '(x) = 3x2 – 2 di (–1,1) garis singgung parabola itu di titik A dan B.d. f '(x) = 3 – 3x2 di (2,–2) 5. Garis singgung kurva y = 1 x2 di titik 43. a. Tentukan persamaan garis singgung (2,1) memotong sumbu-x di titik A dankurva y = 2x2 – 3x yang sejajar garis memotong sumbu-y di titik B. Tunjukkany = x. bahwa koordinat titik A dan B adalah A(1,0) dan B(0,–1).D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun y Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan Blintasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = f(x), ACseperti pada Gambar 8.5. Oa b c Gambar 8.5 Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudianbergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan f disebut naikdalam daerah Df = {x| a ≤ x ≤ b} sebab semakin besar nilai xmenyebabkan nilai fungsi f semakin bertambah besar. Fungsif disebut turun dalam daerah Df = {x| b ≤ x ≤ c} sebab semakinbesar nilai x menyebabkan nilai fungsi f semakin kecil. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatufungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi f disebutmonoton turun? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 215

y Definisi 8.1 naik Misalkan f terdefinisi pada selang I. Kita katakan bahwa: • f monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan aturun dan b dalam I, a < b mengakibatkan f(a) < f(b); y x • f monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan Gambar 8.6 B a dan b dalam I, a < b menyebabkan f(a) > f(b).A P1 P2 DOa C P3 Sekarang amati Gambar 8.7. Titik P1adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (0, a), titik P2 adalah y bcx titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (a, b) Gambar 8.7 dan titik P3 adalah titik sebarang pada grafik yang terletak B g2 pada selang (b, c). Apabila Anda membuat garis singgungA P1 P2 D di P1, P2, dan P3 yang diberi nama g1, g2, dan g3 seperti padag1 C P3 Gambar 8.8 maka garis singgung g1 memiliki gradien positifOa (condong ke kanan), garis singgung g2 memiliki gradien g3 c x negatif (condong ke kiri), dan garis singgung g3 memiliki b gradien positif (condong ke kanan). Gambar 8.8 Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, mengapa g1 memiliki gradien positif, g2 memiliki gradien negatif, dan g3 memiliki gradien positif. Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik dapat ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan fungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi f dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b). • Jika f '(x) > 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f naik pada selang (a, b). • Jika f '(x) < 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f turun pada selang (a, b). Contoh 8.22 Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut. 1. f(x) = –x2 pada selang (0,1) 2. f(x) = 10x – x2 pada selang (0,10) Jawab: 1. f(x) = –x2 maka f '(x) = –2x. Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1. f '(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x2 pada selang (0, 1) merupakan fungsi turun. 2. f(x) = 10x – x2 maka f '(x) = 10 – 2x. Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10. f '(p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f '(p) = 10 – 2p < 0 untuk p > 5. Dengan demikian, f(x) = 10x – x2 pada selang (0, 10) merupakan fungsi naik dan fungsi turun.216 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Contoh 8.23Periksa naik atau turunnya fungsi f(x) = cos x pada selang-selangberikut.a. ¥¤¦¥¥0, P ´µ¶µµ b. ¥¥¥¦¤P, 3 P´¶µµµ 2 2Jawab:f(x) = cos x maka f '(x) = –sin x.a. f(x) = cos x pada selang ¥¥¦¤¥0, P µµµ¶´ 2 Misalkan, p adalah anggota ¥¥¦¥¤0, P ´¶µµµ sehingga 0 < p < P . 2 2 f '(p) = –sin p < 0 untuk 0 < p < P sehingga f(x) = cos x 2 ¤¥¥¦¥0, P µµ¶´µ pada selang 2 merupakan fungsi turun.b. f(x) = cos x pada selang ¥¦¥¤¥P, 3 Pµ´µµ¶ . 2 Misalkan, p anggota ¤¦¥¥¥P, 3 Pµ¶µ´µ sehingga π < p < 3 π. 2 2 f '(p) = –sin p > 0 untuk π < p < 3 sehingga f(x) = cos x 2 pada selang ¤¥¥¥¦P, 3 Pµ¶´µµ merupakan fungsi naik. 2 Contoh 8.24Tentukan pada interval (0, 2π) di mana tempat fungsi f(x) = cos(x + π) merupakan fungsi naik atau fungsi turun.Jawab:f(x) = cos ( x + π), maka f '(x) = –sin (x + π).• Agar fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik maka f '(x) > 0 sehingga –sin (x + π) > 0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan berikut: –sin (x + π) = 0 –sin (x + π) = sin 0 ™ x + π = 0 ± k 2π, k bilangan bulat x = –π ± k 2π Oleh karena x Œ (0, 2π) maka nilai x yang memenuhi adalah x1 = π sehingga diperoleh diagram tanda berikut. 0 π 2π Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan –sin (x + π) > 0 adalah 0 < x < π. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 217

y Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval1 0 < x < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.P2 2π • Fungsi f(x) = cos(x + π) merupakan fungsi turun, jika f '(x) < 0 π 3P x sehingga f '(x) = –sin (x + π) < 0. 2 Dengan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasil-–1 kan –sin(x + π) < 0 adalah π < x < 2. Gambar 8.9 Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi turun pada interval π < x < 2π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.Tes Kompetensi Subbab DKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Periksalah, apakah fungsi-fungsi berikut d. f(x) = sin (x – π)pada selang [0,1],[–1.1],[–1,0] merupakan e. f(x) = cos (x + π)fungsi naik atau fungsi turun. f. f(x) = cos 2xa. f(x) = 3x2 – 12x + 9 3. Tunjukkan bahwa untuk setiap x bilanganb. f(x) = x2 – 16x + 12 real, fungsi f (x) = 3 1 x selalu turun.c. f(x) = 4 + 10x – x2 4. Jika f (x) merupakan fungsi naik pada suatud. f(x) = 1 + x3 interval I, tunjukkan bahwae. f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 a. f(x) + c dengan c konstanta juga naik;f. f(x) = x3 – 3x2 – 24x + 7 b. –f(x) merupakan fungsi turun.2. Periksalah, apakah fungsi-fungsi f(x) pada 5. Konsentrasi K(t), suatu obat dalam darahselang [0, P ], [ P , π],[π, 3 P ], [ 3 P , 2π] pasien memenuhi persamaan 22 22 0,16tmerupakan fungsi naik atau fungsi turun. K t  t 2  4t  4 , 0  t  24a. f(x) = sin xb. f(x) = cos(x – P ) dengan t menunjukkan waktu (dalam jam) 2 setelah pemberian obat. Tentukan interval di mana konsentrasi obat naik, dan interval dic. f(x) = sin (x + P ) mana konsentrasi obat turun. 2 E. Maksimum dan Minimum Fungsi Anda telah mempelajari fungsi kuadrat dan grafiknya di Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Anda telah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titik ekstrim minimum dari fungsi kuadrat melalui proses aljabar bilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidak dapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim fungsi- fungsi yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakan turunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenis fungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu. Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut.218 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Gambar 8.10 memperlihatkan grafik y = f(x) = x2 – 2. y Anda mungkin memahami bahwa fungsi y = f(x) = x2 – 2 y = x2 – 2mempunyai nilai minimum pada x = 0 sebab f(x) = f(0) =02 – 2 = –2. Turunan fungsi f(x) = x2 – 2 adalah f '(x) = 2x. x1 x2 xAnda dapat memeriksa bahwa f '(x) < 0 untuk x < 0 dan f '(x) > 0 f '(x2) > 0untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) Oturun untuk x < 0 dan f (x) naik untuk x > 0. Bagaimana dengan f '(x1) < 0 –2fungsi di x = 0, apakah naik atau turun? Fungsi f(x) di x = 0tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner. f '(0) = 0 Gambar 8.10 Definisi 8.2 yJika fungsi f mencapai titik ekstrim pada (a, f(a)) dan terdiferensialkanpada titik itu maka titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner atauf '(x) = 0. Jika Anda amati grafik y = f(x) = x2 – 2, tampak adanya 2 f '(0) = 0perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari turun menjadi O f '(x1) < 0naik. f '(x2) > 0 Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadi x1 x2 xnaik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempatterjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik y = 2 – x2x = 0 fungsi bernilai minimum, yaitu f(x) = f(0) = –2. Gambar 8.11 Sekarang, selidiki grafik y = f(x) = 2 – x2 pada Gambar 8.11. Mudah diselidiki bahwa fungsi y = f(x) = 2 – x2 mem- y y = x3punyai nilai maksimum pada x = 0 sebab f(0) = 2 – 02 = 2.Turunan fungsi f(x) = 2 – x2 adalah f '(x) = –2x. Anda dapat x1 f'(x2) > 0menyelidiki bahwa f '(x) > 0 untuk x < 0 dan f '(x) < 0 untuk x2 xx > 0 serta f '(0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) naik f '(x2) > 0untuk x < 0, f(x) turun untuk x > 0, dan x = 0 adalah titikstasioner. Jika Anda amati grafik y = f(x) = 2 – x2, tampak (a)adanya perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari naikmenjadi turun. Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjaditurun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempatterjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titikx = 0 fungsi bernilai maksimum, yaitu f(x) = f(0) = 2. Pembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan mini-mum dengan memeriksa fungsi f(x) = x3 dan f(x) = |x|. Keduagrafik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.12.• Turunan pertama fungsi f(x) = x3 adalah f '(x) = 3x2. Anda dapat memeriksa bahwa f '(x) > 0 untuk x 0 dan f '(x) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) naik untuk x < 0 atau x > 0 dan x = 0 adalah titik stasioner. Akibatnya, titikTurunan Fungsi dan Aplikasinya 219

stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimum y atau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar f '(x) = |x| 8.12(a) bahwa grafik y = x3 selalu naik di sekitar x = 0. • Pada gambar 8.12(b), f(x) = |x| = ­ª¬­­«­xx jika x q 0 jika x  0f '(x2) < 0 f '(x2) > 0 0x sehingga f '(x) = –1 < 0 untuk x < 0 dan f '(x) = 1 > 0 (b) untuk x > 0. Adapun untuk menentukan f '(0) digunakan Gambar 8.12 konsep limit, yaitu sebagai berikut. f '(0) = lim f x f   lim x 0  lim x x0 x 0 xl0 x 0 xl0 x Dari Bab 7 tentang pengertian limit telah diterangkan bahwa limit fungsi tersebut tidak ada.y f (x) Jadi, f '(0) tidak ada atau f tidak terdiferensialkan. Oleh karena itu, f(x) turun untuk x < 0, f(x) naik untuk x > 0, dan x = 0 bukan merupakan titik stasioner sehingga pada x = 0 fungsi bernilai minimum. Sekarang amati Gambar 8.13. Diketahui, fungsi f(x) terdefinisi pada interval a ≤ x ≤ d x serta f '(b) = f '(c) = 0.a 0 b pc d Dari Gambar 8.13. diperoleh uraian berikut. Gambar 8.13 a. Untuk Df = [a, p] atau Df = {x | a < x < p}, • nilai maksimum fungsi f(x) adalah f(b) sehingga x = b menyebabkan f '(b) = 0; • nilai minimum fungsi f(x) adalah f(a) dan x = a merupakan titik ujung kiri interval Df . Nilai f(b) > f(x) untuk x anggota Df = [a, p] sehingga f(b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum global. Oleh karena f(a) < f(x) untuk x anggota Df = [a, p] maka f(a) disebut nilai minimum mutlak atau nilai minimum global. b. Untuk Df = [p, d] atau Df = {x | p ≤ x ≤ d}, • nilai maksimum fungsi f(x) adalah f(d) dan x = d merupakan titik ujung kanan interval Df; • nilai minimum fungsi f(x) sama dengan f(c) dan x = c menyebabkan f '(x) = 0. Untuk Df = [p, d] nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) merupakan nilai maksimum dan minimum global. c. Untuk Df = [a, d] atau Df = {x | a ≤ x ≤ d}, • nilai balik maksimum f(b) bukan merupakan nilai maksimum fungsi f(x), tetapi dinamakan nilai maksimum lokal atau maksimum relatif; • nilai balik minimum f(c) bukan merupakan nilai minimum fungsi f(x) akan tetapi dinamakan nilai minimum lokal atau minimum relatif.220 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsif(x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilaif(x) untuk nilai x sebagai titik ujung interval domain fungsif(x) dan nilai x yang menyebabkan f '(x) = 0. Kemudian,bandingkan nilai-nilai tersebut. Contoh 8.25Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 2x2 – x, untuk:a. Df = {x | –1 ≤ x ≤ 2},b. Df = {x | –6 ≤ x ≤ –4}.Jawab:f(x) = 2x2 – x ™ f '(x) = 4x – 14x – 1 = 0 ™ x = 1 . 4 1a. x= 4 anggota Df = {x | 1 ≤ x ≤ 2} f ¥¦¤¥¥ 1 ¶µµµ´  2¤¦¥¥¥ 1 ¶µµµ´2  1  1 ....(1) Soal Terbuka 4 4 4 8 Arif memiliki kawat yang f(–1) = 2 (–1)2 – 1 panjangnya 28 cm kawat. = 1 ....(2) Ia akan membuat bingkai berbentuk persegipanjang. f(2) = 2 (2)2 – 2 Tentukan ukuran bingkai = 6 ....(3) yang mungkin. Tentukan pula ukuran bingkai yang akan Dari (1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 adalah nilai maksimum memberikan luas maksimum. dan f ¦¥¥¤¥ 1 µ´µ¶µ  1 merupakan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 – x 4 8 dengan Df = {x | –1 ≤ x ≤ 2}. 1b. x= 4 bukan anggota Df = {x | –6 ≤ x ≤ –4} f(–6) = 2 (–6)2 – (–6) = 78 f(–4) = 2(–4)2 – (–4) = 36 Jadi, fungsi f(x) = 2x2 – x dengan Df = {x | –6 ≤ x ≤ –4} mempunyai nilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimum f(–4) = 36. Contoh 8.26Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup denganvolume 8.000π cm3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agaraluminium yang digunakan seminimal mungkin.Jawab:Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000π cm3.Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminiumminimal. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 221

Pengerjaan: Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas silinder = r, dan luas permukaan silinder = L (r). V (r) = luas alas × tinggi = π r2 × t = 8.000π sehingga t = 8.000P  8.000 ....(1) Pr2 r2 (a) L (r) = luas alas + luas selubung = π r² + 2πrt ....(2) (b) Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperoleh Gambar 8.14 L (r)= Pr2 2Pr ¦¥¥¥¤ 8.000 µµ´µ¶  P r 2  2P rt (a) Selembar aluminium. r2(b) Silinder yang akan dibuat. Nilai stasioner L (r) diperoleh jika nilai L' (r) = 0 sehingga L' (r) = 2P r 16.000P r2 ™2 16.000P  0 r2 ™2  16.000 P r2 ™ 3  8.000 ™ r = 20 ....(3) Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleh t = 8.000  8.000  20 r2 400 Jadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alas r = 20 cm. Contoh 8.27 Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan Q(v) = 1 v2 + 2v + 2.500 liter 65 Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun. Jawab: Q(v) = 1 v2 + 2v + 2.500 liter 65 Nilai stasioner Q(v) diperoleh jika Q'(v) = 0 sehingga Q’(x) = 2 v + 2 = 0 ™ 2 v = 2 ™ v = 65 65 65 Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah Q(65) = 1 (65)2 + 2(65) + 2.500 = 2.565 liter 65 Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah 4 × 2.565 = 10.260 liter.222 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi Subbab EKerjakanlah pada buku latihan Anda. a. tunjukkan bahwa luas penampang talang adalah L (x) = 40x – 2x2;Tentukan nilai maksimum dan nilai minimumfungsi-fungsi berikut untuk domain yang b. tentukan ukuran penampang L (x) =diberikan. 40x – 2x2.1. f(x) = x3 – 6x2 + 9x dengan 8. Luas sebuah juring lingkaran yang berjari- a. Df = {x | –3 ≤ x ≤ 0} jari r adalah 4cm2. b. Df = {x | 0 ≤ x ≤ 3} c. Df = {x | 3 ≤ x≤ 5} a. Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah d. Df = {x | 5 ≤ x ≤ 7} K(r) cm dengan K(r) = 2¥¥¤¦¥r  4 ¶µ´µµ .2. f(x) = 4x7 – x4 dengan r a. Df = {x | –1 ≤ x ≤ 0} b. Df = {x | 0 ≤ x ≤ 1} b. Tentukan nilai minimum K. c. Df = {x | 1 ≤ x ≤ 2} d. Df = {x | 2 ≤ x ≤3} 9. Suatu perusahaan membuat kaleng3. f(x) = (x –2)2(x – 5) dengan berbentuk tabung tertutup dengan volume a. Df = {x | 0 ≤ x ≤ 2} b. Df = {x | 2 ≤ x ≤ 4} V. Upah buruh (c) berbanding langsung c. Df = {x | 3 ≤ x ≤ 5} d. Df = {x | 5 ≤ x ≤ 7} dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu4. Jikafungsif(x)=x3+px+3dengandaerahasal jumlah tinggi kaleng dengan dua kali Df = {x | –1 ≤ x ≤ 1} mencapai nilai minimum relatif di x = 1, tentukan nilai f (1) dan p. keliling alas kaleng.5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8. a. Jika tinggi kaleng t dan jari-jari alas r, Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum. buktikan bahwa c = k ¥¦¥¥¤ V 2  4Pr¶µµ´µ Pr6. Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi x unit barang dengan k = konstanta. jenis A sebesar 2x3 – 4.000x2 + 6.000.000x rupiah per hari. Jika barang diproduksi, b. Buktikan bahwa upah buruh (c) tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya paling murah jika tinggi kaleng sama minimum. dengan keliling alasnya.7. Dari selembar seng berbentuk persegi- panjang, akan dibuat talang air. Kedua 10. Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri tepinya dilipat selebar x, seperti pada gambar setelah t menit diberikan oleh persamaan di samping. Jika lebar seng tersebut 40 cm, N(t) = 1000 + 30t2 – t3, 0 < t < 20 Tentukan kapan pertumbuhan bakteri P tersebut x a. menurun, b. meningkat, dan Q c. mencapai maksimum. S 11. Setelah satu jam x miligram obat ter- x tentu diberikan kepada seseorang, peru- R bahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan T(x) = x2 ¥¤¦¥¥1 x ¶µµµ´ , 0 ≤ t ≤ 6 9 Rata-rata perubahan T(x) bersesuaian dengan ukuran dosis x. T(x) disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 223

a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat? adalah konstanta. Tentukan jumlah zat b. Kapan sensitivitas tubuh menurun? tersebut agar kecepatan reaksi minimum. c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas 13. Jika impedansi suatu rangkaian listrik tubuh? memenuhipersamaanZ= R2 x1 xc 2 ,12. Kecepatan suatu reaksi kimia yang bergantung pada jumlahnya memenuhi tentukan XC agar Z minimum. (Diketahui: persamaan v = k (300x – 2x2), dengan k R = 1.500 Ω danXL = 1.000 Ω )F. Turunan Kedua Anda telah mempelajari turunan pertama fungsi yangdinotasikan dengan dy atau y' atau df atau f '(x) dx dx Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsiturunan kedua yang dinotasikan dengan d ¥¤¦¥¥ dy µµ¶µ´  d2y atau ditulis y\" dx dx dx 2 d ¥¦¤¥¥ df ¶µµµ´  d2 f atau ditulis f \"(x) dx dx dx 2Turunan kedua fungsi f(x) d2y d2 f dx2 atau y\" atau dx2 atau f \"(x)Contoh 8.28Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut.a. f(x) = 2x4 – 5x b. f(x) = x sin xJawab:a. f(x) = 2x4 – 5xf ‘(x) = 8x3 – 5f “(x) = 24x2Turunan kedua fungsi f(x) = 2x4 – 5x adalah f''(x) = 24x².b. f(x) = x sin xf '(x) = 1 1 sin x + x cos x = 1 sin x + x cos x 2x 2 x2224 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

f \"(x) = 1 3 sin x + 1 1 cos x = 1 1 cos x – x sinx x2 x2 2 x2 42 = 1 sin x + 1 cos x – x sin x 4x x xTurunan kedua dari f(x) = x sin x adalahf \"(x) = 1 sin x + 1 cos x – x sin x. 4x x xContoh 8.29Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan (s) memenuhipersamaan t3 – 6t2 + 30t. Dalam hal ini, s dalam meter dan t dalamdetik.a. Hitunglah panjang lintasan pada saat t = 3 dan t = 5.b. Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah t = 4 detik.c. Hitunglah laju pada waktu percepatannya nol.Jawab:a. Pada saat t=3, panjang lintasannya adalahs(3) = 33 – 6 32 + 30 3 = 63 meterPada saat t = 5, panjang lintasannya adalahs(5) = 5³ – 6 5² + 30 5 =125 meterb. s = t³ – 6t2 + 30tKecepatan v = ds = 3t2 – 12t + 30 dtKecepatan pada t = 4 sekon adalah v(4) = 3 42 – 12 4 + 30 = 30 m/detikPecepatan a = d2s  dv = 6t – 12 dt 2 dtPercepatan pada t = 4 sekon adalah a(4) = 6 4 – 12 = 12 m/detik2c. a = 0 maka 6t – 12 = 0 ™ t = 2v(t) = 3t ² – 12t + 30, untuk t = 2 maka v(2) = 3 2² – 12 2 + 30 = 18 m/detikTeorema L’ Hopital ke bentuk lim f x diperoleh gx Jika x = a disubstitusikan xabentuk tak tentu 0 atau ∞ , Anda dapat menggunakan 0 ∞teorema L' Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertamaoleh Marquis L' Hopital, seorang matematikawan Prancis(1661–1704 M). Turunan Fungsi dan Aplikasinya 225

Definisi 8.3Jika lim f x  0, lim gx  0 , serta lim f 'x ada, baik terhingga xa xa g 'x xaatau tak hingga maka lim f x  lim f 'x . gx g 'x xa xa Perluasan teorema L'Hopital adalah lim f x  lim f 'x  lim f ''x  lim f  g x g 'x g '' g ''' xa xa xa xla (Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk 0 ). 0 Contoh 8.30Tentukan limit fungsi berikut.a. lim x2 4 x  4 b. lim cos 4x 1 xl2 x 2 xl0 x sin xJawab:a. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh lim x2 4x  4   2 4  4  0 (bentuk tak tentu) xl2 x 2 22 0 Dengan teorema L' Hopital, diperoleh lim x2 4x  4  lim 2x 4x  4 = 2(2) – 4 = 0. x2 x 2 xl2 1b. Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh lim cos 4x 1  cos 0 1  11  0 (bentuk tak tentu) xl0 x sin x 0.sin 0 00 lim cos 4x 1  4 sin 4x xl0 x sin x x cos x  sin x = lim 16 cos 4x xl0 cos x x sin x  cos x = 16 cos 0  16.1 = –8 cos 0 i 0  cos 0 1 0 1226 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi Subbab FKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan turunan kedua dari fungsi aljabar c. f(x) = (1 – x)(1+ x)3berikut. d. f(x) = sin2 x, 0 ≤ x ≤ 2πa. f(x) = x5 + 7x3 + 2x2 + 12x + 8 e. f(x) = sin ¤¥¦¥¥ P x¶µµ´µ , 0 ≤ x ≤ 2π 2b. f(x) = 2 x + 5x2 – 3x f. f(x) = tan2 x, 0 ≤ x ≤ 2π 2c. f(x) = 6x4 + 12 x x3 g. f(x) = x cos x, 0 ≤ x ≤ 2π 2 h. f(x) = x tan x, 0 ≤ x ≤ 2πd. f(x) = x  4 4 4. Kerjakan soal-soal berikut.e. f(x) = (3x– 4)10 a. Jika f(x) = 3x  7 , hitunglah f ''(3) b. Jika f(x) = 3 2x  6 , hitunglah f ''(1)f. f(x) = (x2 + 5)(2x³ – 3x + 9) c. Jika f(x) = 6 , hitunglah f ''(2)g. f(x) = 2x 5 2x 1 2x 1 h. f(x) = 4 x d. Jika f(x) = (x2 + 1)3, hitunglah f ''(4) 3 x e. Jika f(x) = x 3 x ,hitunglah f ''(1)2. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut. f. Jika f(x) = 64 x  3 hitunglah f ''(1) a. f(x) = tan x b. f(x) = sin 3x g. Jika f(x) = cos x – sin x , hitunglah c. f(x) = cos x d. f(x) = x – cos x f ''¥¦¤¥¥P2 ¶µµµ´ e. f(x) = sin x – cos x h. Jika f(x) = x cos x, hitunglah f ''¤¦¥¥¥P2 µµ¶´µ f. f(x) = tan x2 g. f(x) = sin x cos x 5. Sebuah mobil bergerak lurus. Setelah h. f(x) = sin2 2x bergerak t sekon, perpindahannya dinyata-3. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut. kan dengan rumus s(t) = 25t + 10t2, s(t) a. f(x) = x3 – 3x + 2 b. f(x) = x3 (1+ x) dalam meter. Berapa m percepatan s2 mobil itu? Turunan Fungsi dan Aplikasinya 227

G. Nilai Stasioner 1. Pengertian Nilai Stasioner Fungsi y (1,4) Gambar 8.16 merupakan grafik fungsi f(x) = –(x – 1)2 + 4.4 f (x) = – (x – 1)2 + 4 Turunan pertama dari fungsi f(x) = –(x – 1)2 + 4 adalah3 f '(x) = –2(x – 1). Untuk x = 1, diperoleh f '(1) = –2(1 – 1) = 0. Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi f(x) = –(x – 1)2 + 42 mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner1 f(1) = –(1 – 1)2 + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titik0 x 1 2 3 x stasioner. Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kataAnda Gambar 8.16 sendiri. Konsep nilai stasioner fungsi yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut. Amati f \"(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f \"(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f \"(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2. Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner fungsi dengan kata-kata Anda sendiri. Definisi 8.4 Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan (diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c) jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner. Contoh 8.31 1. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = 3x2 – 6x + 5. 2. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2. Jawab: 1. f(x) = 3x2 – 6x + 5 œ f '(x) =6x – 6 Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga f '(x) = 0 6x – 6 = 0 x = 1.228 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x2 – 6x + 5 adalah f(1) = 22. f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2f '(x) = 3x2 + 8x – 3untuk f '(x) = 03x2 + 8x – 3 = 0(3x – 1) (x + 3) = 0x = 1 atau x = –3 3™ f '¥¥¦¤¥13´¶µµµ = 0 dan fsehingga untuk x = '(–3) = 0 1 diperoleh 3f ¥¥¦¥¤ 13µ¶µµ´  ¥¤¦¥¥ 1 µ´µ¶µ3  4 ¥¦¥¥¤ 13µ¶µ´µ2 3¤¥¦¥¥ 13¶µµ´µ  2  1 13 3 27untuk x = –3 diperoleh f(–3) = (–3)3 + 4 (3)2 – 3.3 + 2 = 2Jadi, nilai stasioner f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2 adalah f ¥¤¦¥¥ 13µ¶µ´µ  1 13dan f(–3) = 2. 27Titik ¥¦¤¥¥ 1 ,1 13 ´¶µµµ dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner. 3 27Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval f '(x) di f '(x) –3 1samping. 3Untuk mengetahui nilai f '(x) pada selang x < –3, –3 < x < 1 , dan 3x> 1 , substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut pada 3f '(x) sehingga diperoleh• untuk x = –4, f '(–4) = 13 > 0 sehingga f(x) naik untuk x < –3;• untuk x = 0, f '(0) = –3 < 0 sehingga f(x) turun untuk interval –3 < x < 1 ; f '(x) > 0 f '(x) < 0 f '(x) > 0• untuk 3 '(1) = 8 > 0 sehingga f(x) naik untuk x> 1 . –3 1 x = 1, f (3, 2) 3 3Jadi, nilai f '(x) dapat digambarkan pada selang interval disamping. f '(x)Dari gambar untuk selang interval tersebut ¦¥¥¤¥ 1 ,1 13 ¶µ´µµ 3 27• titik (–3, 2) adalah titik maksimum,• titik ¤¥¥¥¦ 1 ,1 1237 µ¶µ´µ adalah titik minimum. 3 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 229

2. Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi Anda telah mempelajari cara menentukan nilai stasioner dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, fungsi f(x) = x3 – 3x2 dengan f '(x) = 3x2 – 6x. Untuk f '(x) = 0 diperoleh titik- titik stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titik balik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balik minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan penerapannya menggunakan turunan kedua. Dengan menggunakan turunan kedua jenis titik stasioner dapat ditentukan sebagai berikut. • Jika f \"(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x) dan titik (c, f(c)) adalah titik balik maksimum lokal grafik fungsi f(x). • Jika f \"(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x) dan titik (c, f(c)) adalah titik balik minimum lokal grafik fungsi f(x). • Jika f \"(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenis nilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan pertama. Contoh 8.32 Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 dan f(x) = x4 – 4x3 dengan menggunakan uji turunan kedua. Jawab: • Untuk fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 f '(x) = 3x2 – 12x + 9 = 3(x – 1) (x – 3) f \"(x) = 6x – 12 Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu 3(x – 1) (x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3 untuk x = 1, f \"(1) = –6 < 0, sedangkan untuk x = 3, f \"(3) = 6 > 0 sehingga f(1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x), yaitu f(1) = 5 f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = 1 • Untuk fungsi f(x) = x4 – 4x3 f '(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x – 3) f \"(x) = 12x2 – 24x Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3 untuk x = 0, f \"(0) = 0 dan untuk x = 3, f \"(3) = 36 > 0 sehingga230 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = –27.Untuk x = 0 dengan f \"(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukandengan uji turunan pertama. Sekarang, amati diagram di samping. f '(x) < 0 f '(x) < 0 f '(x) > 0 Amati f \"(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke ataspada x < 0, f \"(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke 0 2bawah pada 0 < x < 2, dan f \"(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f f(x)cekung ke atas pada x > 2. Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungandari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik(0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2,0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)? Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga caramenentukan nilai stasioner suatu fungsi? Cobalah nyatakandengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut membawa kita pada definisi berikut. Definisi 8.5f cekung ke atas pada [a, b] jika f \"(x) > 0 dan f cekung ke bawahjika f \"(x) < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok.Tes Kompetensi Subbab GKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan nilai stasioner, titik stasioner, dan e. f (x) = px3 – 3x + 1, x = –1jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut. f. f (x) = 2x3 – px2 – 12x, x = –1 a. f (x) = 1 x3 + x2 – 3x g. f (x) = px4 – 4x3 + 2, x = 1 3 h. f (x) = 2x2 , x = 0 b. f (x) = x3 + 5 x2 – 2x 1 x2 2 3. Tentukan f '(x) serta nilai stasioner dan c. f (x) = x3 + 1 x2 – 2x + 1 jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut jika 2 0 ≤ x ≤ 2π. a. f (x) = 2sinx – x d. f (x) = x3 (1 – x) b. f (x) = x  cos x e. f (x) = 3x4 + 4x3 2 f. f (x) = (x² – 3x – 4)2 c. f (x) = sin x – cos x d. f (x) = cos 2x2. Tentukan nilai p jika fungsi-fungsi berikut e. f (x) = 2 sin 2x mencapai stasioner untuk nilai x yang f. f (x) = x – 2 cos 2x diberikan. a. f (x) = x2 – px + 4, x = 2 4. Tentukan nilai maksimum dan minimum b. f (x) = px2 + 4x – 21,x = -2 lokal fungsi-fungsi berikut, menggunakan c. f (x) = p (x – 2)2 –1, x = 2 uji turunan kedua. d. f (x) = x3 – px, x = 1 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 231

a. f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 R(x) = 1.296x – 0, 12x3. b. f (x) = x3 – 9x2 + 24x – 10 c. f (x) = 3x – x3 Tentukan nilai maksimum dan minimum d. f (x) = 2x2 – x4 lokal fungsi tersebut. e. f (x) = x4 – 3x2 + 5 f. f (x) = 2x5 – 3 7. Misalkan, persamaan biaya produksi perusahaan pada soal nomor 6 adalah5. Sebuah perusahaan komputer mengadakan C(x) = 830 + 306x. penelitian pasar untuk produk barunya. a. Tentukan persamaan yang menyatakan Mereka memperoleh suatu kesimpulan keuntungan perusahaan tersebut. bahwa hubungan antara harga h (juta per b. Tentukan nilai maksimum dan mini- unit) dan permintaan x (unit per minggu) mum lokal dari fungsi keuntungan memenuhi persamaan tadi. h = 1.296 – 0, 12x2, 0 < x < 80. Petunjuk: Keuntungan diperoleh dari pen- Dengan demikian, penghasilan pada akhir dapatan dikurangi biaya produksi. minggu dapat ditentukan dengan pendekatan rumusH. Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Di Kelas X, Anda telah mempelajari bagaimanamenggambar grafik fungsi y = ax2 + bx +c dengan langkah-langkah sebagai berikut.1. Menentukan titik potong grafik y = ax2 + bx +c dengan sumbu-x.2. Menentukan titik potong grafik y = ax2 + bx +c dengan sumbu-y.3. Menentukan koordinat titik balik fungsi.4. Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi. Langkah-langkah tersebut mudah dilakukan untukmenggambar fungsi parabola y = ax2 + bx +c. Akan tetapiuntuk fungsi yang lebih kompleks, Anda tidak menggunakancara tersebut. Sekarang, Anda akan mempelajari cara lain untukmenggambar grafik fungsi, yaitu dengan menggunakanturunan. Titik stasioner dan jenisnya adalah alat yang ampuhuntuk menggambar grafik fungsi tersebut khususnya untukmengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-cirigrafik. Untuk memudahkan pengerjaan, berikut ini adalahlangkah-langkah yang harus dilakukan. Langkah 1: Menganalisis f(x)a. Menentukan daerah asal fungsi f(x).b. Menentukan daerah nilai fungsi pada ujung interval daerah asal.232 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

c. Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat. Hal Penting• Titik potong dengan sumbu-x (diperoleh untuk y = 0 t
OPUBTJ -FJCOJU[atau f(x) = 0). t
UVSVOBO• Titik potong dengan sumbu-y (diperoleh untuk x = 0 t
HSBEJFO t
OJMBJ TUBTJPOFSatau f (0)).Langkah 2: Menganalisis f '(x)a. Menentukan titik stasioner.b. Menentukan interval di mana fungsi naik atau turun.c. Menentukan titik balik maksimum dan minimum lokal(jika ada).d. Menentukan titik belok fungsi.Langkah 3: Membuat sketsa grafika. Menyajikan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 dan2 pada bidang Cartesius.b. Membuat sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titiktersebut.Contoh 8.33Buatlah sketsa grafik fungsi f(x) = x3 + 3x2.Jawab:Langkah 1: Menganalisis f(x)a. Fungsi f(x) = x3 + 3x2 terdefinisi untuk semua bilangan real. Jadi, daerah asal f(x) adalah {x | x Œ R}.b. Daerah nilai f(x) = {f(x) | f(x) Œ R}.c. Titik potong dengan sumbu koordinat. • Titik potong dengan sumbu-y. Titik potong dengan sumbu-y diperoleh untuk x = 0 f(x) = x3 + 3x2 f(0) = 0 Fungsi f(x) memotong sumbu-y di y = 0. • Titik potong dengan sumbu-x. Titik potong dengan sumbu-x diperoleh untuk y = 0. f(x) = x3 + 3x2 y = f(x) x3 + 3x2 = 0 x2 (x + 3) = 0 x = 0 atau x = –3 Fungsi f(x) memotong sumbu-x di x = 0 atau x = –3.Langkah 2: Menganalisis f '(x) f(x) = x3 + 3x2 f '(x) = 3x2 + 6x Turunan Fungsi dan Aplikasinya 233

positif negatif positif a. Titik stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0. –2 0 f '(x) = 0 ™ 3x2 + 6x = 0 f(x) ™ 3x (x + 2) = 0 ™ x = 0 atau x = –2 titik balik y Titik stasioner diperoleh dengan menyubstitusikan x = 0maksimum lokal 4 dan x = –2 pada fungsi f(x) = x3 + 3x2 sehingga diperoleh 3 f(0) = 0 dan f(–2) = 4 2 Jadi, (0, 0) dan (–2,4) adalah titik-titik stasioner.naik turun b. Interval fungsi naik diperoleh jika f '(x) > 0 dan interval 1 titik balik fungsi turun diperoleh jika f '(x) < 0. Interval-interval tersebut diperoleh dengan menentukan nilai-nilai x yang –3 –2 –1 0 minimum lokal disubstitusikan pada fungsi f ‘(x). Substitusikan x = –3 untuk –1 12 3 x x < –2, x = –1 untuk –2 < x < 0 dan x = 1 untuk x > 0 pada fungsi –2 f '(x) = 3x2 + 6x sehingga diperoleh f '(–3) = 9 > 0, f '(–1) = –3 Gambar 8.17 f '(1) = 9 > 0 yang dapat digambarkan sebagai diagram di samping. f '(x) f '(–3) = 9 f '(–1) = –3 f '(1) = 9 Dari diagram tanda tersebut diperoleh interval berikut. • Interval fungsi naik pada x < –2 dan x > 0. • Interval fungsi turun pada –2 < x < 0. c. Titik balik maksimum dan minimum lokal dapat ditentukan dari diagram tanda. • Pada x = –2, f(x) berubah dari fungsi naik menjadi fungsi turun sehingga x = –2 adalah titik balik maksimum lokal. f(x) = x3 + 3x2 ™ f(–2) = 4 Titik (–2, 4) adalah titik balik maksimum lokal. • Pada x = 0, f(x) berubah dari fungsi turun menjadi fungsi naik sehingga x = 0 adalah titik balik minimum lokal f(x) = x3 + 3x2 ™ f(0) = 0 Titik (0, 0) adalah titik balik minimum lokal. Langkah 3: Membuat sketsa grafik Hasil sketsa grafik tampak pada Gambar 8.17. 234 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi Subbab HKerjakanlah pada buku latihan Anda. 2. f(x) = x3 – 6x2 9x + 1 3. f (x) = x5 – x4 + 14x3 + 6x2 – 45x – 3Buatlah sketsa grafik fungsi berikut.1. f(x) = x3 – x2 – 14x + 11 Rangkuman• Beberapa turunan fungsi aljabar a. f (x) = k; k adalah konstanta fi f ' (x) = 0 b. f (x) = x fi f ' (x) = 1 c. f (x) = xn; n Œ R fi f ' (x) = n · xn – 1• Beberapa turunan fungsi trigonometri a. f (x) = sin x fi f ' (x) = cos x b. f (x) = cos x fi f ' (x) = –sin x c. f (x) = tan x fi f ' (x) = sec2xSekarang, lanjutkanlah rangkuman diatas. RefleksiSetelah Anda mempelajari Bab 8,1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telah dipahamai,2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di buku latihan Anda. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 235

Tes Kompetensi Bab 8A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Jika f(x) = 5x maka f '(2) = .... 5. Ditentukan f(x) = 2 dan f \"(x) adalah 1 x 1 x a. 1 7 turunan kedua dari f(x). Nilai dari f \"(–2) 4 d. 9 adalah .... b. 5 e. 5 a. 3 4 6 9 25 d. 27 c. 1 b. 5 e. 6 2 29 272. Diketahuif(x)= sin sin x x . Nilai f ¥¤¥¦¥112 Pµ´µ¶µ c. 6 x cos 29 adalah .... 6. Turunan pertama f(x) = (2x – 1) cos (3x + 1) a. 1 3 adalah .... 3 2 d. a. (2x – 1) sin (3x + 1) + 2cos (3x + 1) b. 2 b. (2x – 1) cos (3x + 1) – 2 sin (3x + 1) 3 e. 3 c. 2 sin(3x + 1) + 2(6x – 3) cos (3x + 1) c. 1 d. 2 cos (3x + 1) + (2x – 1) sin (3x + 1) e. 2 cos(3x + 1) – (6x – 3) sin (3x + 1)3. d ¥¤¥¦¥ x 3 x 1µµµ¶´ = .... 7. Turunan pertama fungsi f(x) = cos5 (4x – 2) dx adalah .... x 2 a. 5 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2) b. –5 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2) a. 3x2 + x2 1 c. – 20 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2) x2 1 2 d. 10 cos3 (4x – 2) sin (8x – 2) e. –10 cos3 (4x – 2) sin (8x – 2) b. 3x2 – x2 1 8. Pada daerah asal 0 < x < 2, grafik fungsi x2 1 2 y = x3 – 2x2 + 1 bersifat .... a. selalu naik c. x2 + 3x 1 x2 1 2 d. x2 – 3x 1 b. selalu turun c. naik, lalu turun x2 1 2 d. turun, lalu naik e. turun naik berulang-ulang e. 3x2 – 3x 1 9. Luas semua sisi balok 96 cm2. Jika alasnya x2 1 24. Titik balik maksimum kurva y = 1 x3 – 2x2 berbentuk persegi, paling besar balok itu 3 dapat dibuat dengan volume ... cm3. + 3x adalah .... a. 0 a. (–3 , –36) d. (3 , –18) b. 54 b. (–1 , –5 1 ) e. (3 , 0) c. 64 3 d. 64 2 c. (1 , 1 1 ) e. 80 3236 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

10. Diketahui luas lingkaran merupakan fungsi 16. Turunan dari y = (1 – x)2 (2x + 3) adalah .... a. (1 – x) (3x + 2) dari kelilingnya. Jika keliling sebuah b. (x – 1) (3x + 2) c. 2(1 + x) (3x + 2) lingkaran adalah x, laju perubahan luas d. 2(x – 1) (3x + 2) e. 2(1 – x) (3x + 2) lingkaran terhadap kelilingnya adalah .... a. πx x d. P b. 2πx e. 2x 17. f(x) = 1 x3 – 3x2 + 5x – 10 turun dalam c. x P 3 2P interval .... a. –5 < x < – 111. Turunan pertama fungsi f(x) = cos3 (5 – 4x) b. x < – 1 c. x < 1 adalah .... d. 1 < x < 5 e. x < 1 atau x > 5 a. –12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x) b. 12 cos (5 – 4x) sin (5 – 4x) c. 12 sin2 (5 – 4x) sin (5 – 4x) 18. Kurva y = x3 – 6x2 + 9x + 1 turun pada interval .... d. –6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x) a. x ≤ 1 atau x ≤ 3 b. –2 ≤ x ≤ 1 atau 3 ≤ x ≤ 6 e. 6 cos (5 – 4x) sin (10 – 8x) c. 1 < x < 3 d. 1 ≤ x ≤ 312. Nilai maksimum dari f(x) = x3 – 6x2 + 9x e. –1 ≤ x ≤ 1 pada interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah .... a. 16 d. 1 b. 4 e. 0 c. 3 19. Nilai minimum relatif f(x) = 1 x3 – x2 – 3x + 4 adalah ....13. f(x) = x3 – 4x2 + 4x + 6 naik pada interval .... 3 a. –5 a. –2 < x < – 2 3 b. –2 2 3 b. 2 < x < 2 3 c. – 1 3 c. x < –2 atau x > 2 3 d. 1 3 d. x < 2 atau x > 2 3 e. 4 e. x < – 2 atau x > 2 314. Nilai maksimum dari f(x) = 2x3 – 6x2 – 48x 20. Jika f(x) = sin x  cos x dan sin x ≠ 0 maka dalam interval –3 < x < 4 adalah .... sin x a. –160 d. –99 f '¤¥¦¥¥P2 µµ´µ¶ = .... b. –155 e. –11 c. –131 a. –2 b. –115. Turunan pertama dari f(x) = x  3 , c. 0  x 2 d. 1 untuk x = –3 adalah .... e. 2 a. 0,000024 d. 0,024 b. 0,00024 e. 0,24 c. 0,0024 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 237

B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Gunakan konsep limit untuk menentukan 4. Tentukan interval yang membuat fungsi- turunan fungsi-fungsi berikut. fungsi berikut merupakan fungsi naik atau a. f(x) = sin 2x fungsi turun. b. f(x) = cos (1–3x) a. f(x) = 5 + 8x – 2x2 c. f(x) = tan x b. f(x) = 2x2 – 8x + 9 d. f(x) = 2x4 – 7 c. f(x) = 9 + 3x – 4x2 e. f(x) = 5x3 – 5x d. f(x) = x3 – 18x2 + 10x – 11 e. f(x) = 10 – 12x + 6x2 – x3 f. f(x) = 2 x – 2x f. f(x) = x4 – 24x2 + 10x – 52. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke 5. Sebuah kotak tanpa tutup, alasnya atas dengan kecepatan awal 10 m/detik. berbentuk persegi dengan sisi x cm, Kedudukan peluru setelah t detik meme- volumenya 32 cm3. Jika kotak tersebut nuhi persamaan h(t) = 60t – 7t² dengan terbuat dari karton, h(t) adalah tinggi peluru yang diukur a. tunjukkan bahwa luas karton yang dalam meter. diperlukan untuk membuat kotak itu a. Tentukan kecepatan peluru pada saat L(x) = x2 + 128 ; 3,5 detik. x b. Kapan peluru berhenti? b. tentukan ukuran kotak agar karton yang digunakan sesedikit mungkin.3. Diketahui f(x) = x ¥¤¦¥¥x  1 µ¶µµ´¥¦¤¥¥x 1 ¶´µµµ . x x Buktikan bahwa f ‘(x) = 5x4  3 . 2 x5238 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi Semester 2A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Jika f(x) = sin x maka f –1 ¥¦¤¥¥ P µµ´¶µ = .... a. 3  x d. 2x 4 2 2 a. 52 d. 0,71 b. x3 e. x  2 b. 41 e. 0,5 2 2 c. 0,90 c. 3 x2. Jika f (x) = 4x – 5 dan g(x) = 3x 2 maka f (g(2)) = .... 8. Invers dari y = 2log x adalah .... a. 27 d. 31 a. y = x2 d. y = 2x b. 9 e. 33 c. 3 b. y = 2x e. 2x+1 c. y = kx3. Jika p(x) = 4x – 6 dan p(a) = 0 maka a = .... 9. Diketahui f(x) = x + 1 dan (f o g) (x) = 3x2 + 4 d. 2 maka nilai g(4) = .... 3 a. –6 a. 15 d. 52 e. – 3 b. 16 e. 57 2 b. 2 c. 51 c. 3 10. Jika y= f1(xz)+=121mxak+a 3, z = 1 y + 2 2 w=f (z) = 3 44. Jika g(x) = x2 maka g(p3) = .... fungsi komposisi 2x 1 dari x ke w adalah .... a. p6 2 p6 a. 1 (x +42) d. 1 (4x +18) 2p3 1 d. 2 p3  1 24 24 p6 e. p3 b. 1 (2x + 7) e. 1 (6x + 18) b. p3  2 2p6 1 24 12 c. 2 p6 p3 1 c. 1 (3x = 21) Jika g(x) = 3x + 2 dan g(f(x)) = x maka 245. 11. lim 3x2 11x 10 = .... xl2 x 2 f(2) = .... a. –2 d. 2 a. 2 d. 8 b. –1 e. 3 b. 6 e. 1 c. 1 c. 0 12. lim x2 x 6 = ....6. Jika f (x) = 2x2 – x maka x2 9 xl3 f(2x –1) – 4 f(x) + f(x) = .... a. 2 5 d. 1 6 6 a. –2x d. 2x² + 7x – 3 b. 1 5 b. 2x² – 7x + 3 e. 2x² + 7x + 3 6 e. – 5 6 c. 2x² + 37. Jika h(x) = f (g(x)), f (x) = 4 – x dan c. 5 g(x) = 2x + 1 maka h-1(x) = .... 6 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 239

13. Jika lim f (x) = 2 dan lim g(x) = –4 d. k π, k = 1 , 5 , 9 , ... xl3 xl3 2 2 2 maka lim 2 f x  5 = .... e. k π, k = 3 , 7 , 11 , ... 3g  x 22 2 xl3 a. – 3 d. 3 19. Jika f (x) = x2 maka f '(1) = .... 4 4 x2 4 1 b. – 1 e. 2 a. – 8 d. 8 2 9 9 jika x ≠ 3 maka c. 1 jika x = 3 b. – 5 e. 1 5 4 9 914. Diketahui f (x) = ª«­­­¬­54x 3 c. 5 nilai lim g(x) = .... 9 xl3 20. Nilai maksimum dari f(x) = x3– 6x2+ 9x pada a. 5 d. 15 interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah .... b. 9 e. 18 c. 12 a. 16 d. 1 b. 4 e. 0 lim 1 cos x c. 3 xl0 x15. = .... 21. Jika f (x) = ¥¦¥¤¥x 1 ¶µ´µµ3 maka df = .... x dx a. –2 d. 1  b. –1 e. 2 c. 0 a. 3¦¤¥¥¥x 1 ´µ¶µµ4 ¤¥¥¥¦1 1 µµ´µ¶ x x216. lim sin 3x sin 2x = .... b. 3¤¦¥¥  1 ´¶µµµ4 ¦¤¥¥¥1 1 ¶µµ´µ xl0 x x x2 a. –2 d. 1 3¥¦¥¥¤x 1 ¶µµµ´4 ¥¤¥¥¦1  1 µ´¶µµ 2 x x2 b. –1 e. c. c. 0 ¶µµµ´417. Jika f (x) = x2 maka f '(–1) = .... d. 3¤¦¥¥  1 ¥¦¥¥¤1  1 ¶µµµ´ ax2  b x x2 a. 2b d. – 2b e. 3¤¥¥¦  1 µµµ´¶4 ¥¦¤¥¥1 1 µµ¶´µ ab ab x x2 2b e. – a 2b 22. Turunan pertama fungsi f (x) = cos² (5 – 4x) adalah .... b. a  b 2  b 2 a. –12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x) b. 8 cos (5 – 4x) sin (5 – 4x) c. – a  b c. 12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x) 2b d. – 6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x) e. 6 cos (5 – 4x) sin (10 – 8x)18. Jarak suatu titik dari suatu posisi P untuk setiap waktu t dirumuskan s(t) = A sin t, 23. Jika f (x) = x2  4 maka f ‘(4) = .... A > 0. Kecepatan terbesar diperoleh pada x waktu t = .... a. 2k π, k = 0, 1, 2,... a. 1 b. 2k π, k = 1, 3, 5,... 4 c. 2k π, k = 0, 2, 4,... b. 3 4240 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

c. 9 28. Jika f (x) = – cos x + sin x maka df = .... 4 dx d. 11 a. sin x + cos x 4 b. sin x – cos x c. sin x e. 1524. Nilai m4aksimum dari cos x d. x2 sin xf (x) = 2 x2 – 2x2 – 6x + 5 e. x sin x2 3 29. Turunan pertama dari f (x) = 5 sin x cos xdalam interval –2 ≤ x ≤ 4 adalah .... adalah .... a. 5sin 2xa. 13 d. 6 b. 5cos 2x c. 5sin2 x cos xb. 12 e. 5 d. 5sin x cos2 x e. 5sin 2x cos xc. 825. Jika f (x) = x2  3x 10 maka f '(x) = .... 30. Fungsi f yang dirumuskan dengan x2  9 f(x) = 5 + 3x + 4x2 turun pada interval .... 3 2  38x  27 a. – 1 < x < 3 a.   2 3 3x2  38x  27 b. –3 < x < 1 3 b. x2  9 2 3 2  38x 27 c. x < –3 atau x > 1 3c.   2 d. x < – 1 atau x > 3 3x2 38x 27 3d.   2 e. x < 1 atau x > 3 3x2 38x  27 3 31. Jika f (x) = – 1 cos x2 maka f '(x) = .... e.   2 a. x sin x 2 d. x2 sin x226. Jika f (x) = 1 sin2 maka f '(x) = .... 2 b. x2 sin x e. sin x2 a. sin x + cos x c. x sin x2 b. sin x – cos x c. sin x 32. Suku banyak f (x) = x3 – 2x2 + px + 6 cos x habis dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan d. sin x cos x e. sin x (1 – cos x) (x + 3)(x + 1), sisanya adalah ....27. Jika f (x) = (2 – 4x)5 adalah f '(x) = .... a. 16x + 24 d. 24x – 16 a. 20(2 – 4x)4 b. 20(2 – 4x)6 b. 16x – 24 e. –24x + 16 c. 1 (2 – 4x)4 6 c. 24x + 16 d. – (2 – 4x)4 e. –20(2 – 4x)4 33. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 1) sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh (x –2) sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak P(x) oleh (x2 – 3x + 2) adalah .... a. 12x + 23 d. 23x – 12 b. 12x – 23 e. –23x + 12 c. 23x + 12 Tes Kompetensi Semester 2 241

B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Diketahui g(x) = x 1 dan [(f ° g)]–1 =  lim $s f 1 $t f 1 3 x $tl0 $t Vt 1  lim $t $tl0 5  3x . Tentukan nilai: 3 x Tentukan kecepatan mobil pada saat t = 1. a. f(0) 5. Dengan menggunakan konsep limit, b. f(5) c. f(–2) tentukan gradien singgung pada kurva berikut.2. Tentukan hasil bagi dan sisa suku banyak a. f(x) = 5x2 di titik x = –2 3x3 + 10 x2 – 8x + 3 dibagi x2 + 3x – 1. b. f(x) = x2 + x – 5 di titik x = –13. Tentukan jenis nilai stasioner fungsi- c. f(x) = 1 di titik x = –2 fungsi berikut, menggunakan uji turunan x2 kedua. a. f (x) = 2x2 – 8x + 6 d. f(x) = x  x di titik x = 4 b. f (x) = 2x3 – 3x2 + 12x – 5 c. f (x) = x3 – 18x2 + 10x – 11 6. H i t u n g l a h lim f x  h f x u n t u k d. f (x) = x4 – 8x2 + 10 e. f (x) = x4 – 24x2 + 10x – 5 hl0 h f. f (x) = 7 + 3x + 4x3 – x4 fungsi berikut. a. f(x) = 2cos( x – π)4. Misalkan, s = f(t) = 24t2 + 4t merupakan b. f(x) = –cos x – π persamaan posisi mobil. Kecepatan mobil c. f(x) = 2tan 3 x pada saat t = 1 jam dapat diperoleh dari 7. Buatlah sketsa grafik fungsi berikut limit kecepatan rata-rata dalam selang t = 1 f(x) = x4 – 3x3 – 9x2 + 23x + 8 sampai t = 1 + Δt, dengan mengambil Δt l 0. Pernyataan ini dapat ditulis sebagai berikut.242 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi Akhir TahunA. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang b. ¥¦¤¥¥x 54 µ´2  ¤¥ y 15 µ¶µµ´2  482 muncul mata dadu bilangan prima atau mata 9¶ ¦ 9 81 dadu bilangan 4 adalah ....a. 1 d. 2 c. ¥¦¥¥¤x 50 ´µ2  ¤¥ y 12 µ´µ¶µ2  400 12 3 9¶ ¦ 9 81b. 1 e. 2 d. ¥¤¦¥¥x 48 µ´2  ¤¥ y 191´µµ¶µ2  386 3 9¶ ¦ 81c. 1 e. ¥¦¥¥¤x 47 ´µ2  ¤¥ y 10 ¶µ´µµ2  348 2 9¶ ¦ 9 812. Jika titik (–5, k) terletak pada lingkaran 7. Persamaan garis singgung yang melalui titikx2 + y2 + 2x – 5y –21 = 0, maka nilai k (5, 1) pada lingkaran x2 + y2 – 4 x + 6y – 12 = 0adalah .... adalah ....a. –1 atau –2 d. 0 atau 3 a. 3x + 4y – 19 = 0b. 2 atau 4 e. 1 atau –6 b. 3x – 4y – 19 = 0c. –1 atau 6 c. 4x – 3y + 19 = 03. Agar garis y = x + C menyinggung lingkaran d. x + 7y – 26 = 0 x2 + y2 = 25, maka nilai C adalah .... e. x – 7y – 26 = 0a. ± 1 d. ± 5 2 8. Lingkaran x2 + y2 – 2 px + 6y + 49 = 0b. ± 2 2 e. ± 6 2 menyinggung sumbu–x untuk a .... a. 10 d. 1c. ± 3 2 b. 7 e. –24. Titik pusat lingkaran x2 + y2 – ax + by + 9 = 0 c. 4terletak pada garis 2x + 3y = 0 di kuadran 9. (x–5)2 + y2 = 9 bersinggungan dengankeempat. Jika jari-jari lingkaran itu sama lingkaran ....dengan 1 maka nilai a dan b berturut-turut a. x2 + y2 = 1 d. x2 + y2 = 4adalah .... b. x2 + y2 = 2 e. x2 + y2 = 5a. –6 dan 4 d. 3 dan –2 c. x2 + y2 = 3b. 6 dan 4 e. –3 dan 2 10. Lingkaran x2 + y2 = 36 berpotongan di duac. 6 dan –4 titik yang berbeda dalam garis ....5. Salah satu koordinat fokus a. x = 4 d. x = 105x2 + 4y2 – 20x + 8y + 4 = 0 adalah .... b. x = 6 e. x = 12a. (1, –1) d. (2, –2) c. x = 8b. (2, –1) e. (–2, 1) 11. Suku banyak f (x) = x3 – 2x2 + px + 6 habisc. (3, –1) dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan (x + 3)6. Persamaan lingkaran yang menyinggung (x + 1) sisanya adalah .... x – 2y + 2 = 0 dan 2x – y – 17 = 0 serta melalui titik (6, –1) adalah .... a. 16x + 24 d. 24x – 16 b. 16x – 24 e. –24x + 16a. ¥¥¤¥¦x 58 µ´2  ¦¥¤ y 193µµµ´¶2  500 c. 24x + 16 9¶ 81 Tes Kompetensi Akhir Tahun 243