Kelas XI_SMA IPA_Matematika_Wahyudin Djumanta

Ingatlah Aturan PerkalianApabila terdapat n buah Misalkan,tempat yang akan diduduki • operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;oleh n orang, terdapat: • operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1 • operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.cara orang menduduki Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalahtempat tersebut. n = n1 × n2 × n3 ... × nk. Contoh 2.1 Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan). Jawab: • Untuk posisi tekong. Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas yang tersedia. • Untuk posisi apit kiri. Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong). • Untuk posisi apit kanan. Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13 atlet yang ada ( 2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong dan apit kiri). Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730 cara. 2. Faktorial Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara. Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Jadi, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 Dengan penalaran yang sama 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120 6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720 Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.44 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Definisi 2.1a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli, untuk n ≥ 2.b. 1! = 1c. 0! = 1 Contoh 2.21. Hitunglaha. 7! b. 17! c. 12! d. 8! 0!16! 2!8! 5!2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial: a. 157 × 156 × 155 b. 8!(9 × 10) c. n(n – 1)(n – 2)3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!Jawab:1. a. 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040 b. 17!  17 •16!  17 0!6! 1 16!c. 12!  12r11r10 9 8!  12r11r10r9  5 940 2!8! 2!8! 12 d. 8!  8r7 6 5!  8 7r6  336 5! 5!2. a. 157 × 156 × 155 = 157r156r155r...r1  157! 154 r153r...r1 154! b. 8!(9 × 10) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)(9 × 10) = 10!c. n(n – 1)(n – 2) = nn n n ...1  n n! ! n n ...1 3. (n + 3)! = 10(n + 2)! ™ (n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)! ™ n + 3 = 10 0 ™n=73. Permutasi Sumber: Dokumentasi Penerbit Dalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih Gambar 2.23 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Calon pengurus kelasBanyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskansebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A,B, C, dan D. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisisekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendaharadapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukanuntuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidatadalah 4 × 3 × 2 = 24 cara. Uraian tersebut akan lebih jelasapabila Anda mengamati skema berikut. Peluang 45

Ketua Sekretaris Bendahara Hasil yang mungkin A B C ABC C B ABD D D B ACB ACD C D B ADB D ADC CIngatlah C BAC A BADUrutan ABC berbeda dengan BCAurutan ACB. Dalam urutan D BCDABC, sekretaris adalah B. BDADalam urutan ACB, sekretaris A BCDadalah C. C Gambar 2.3 D Diagram pohon untuk pemilihan A 3 pengurus kelas dari 5 calon D yang ada. C B CAB A CAD CBA D CBD CDA A CDB B D A D B B DAB A DAC DBA C DBC DCA A DCB B C A C B46 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Dari skema tersebut diperoleh 24 susunan 3 unsur,yaitu ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BCD CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB Tampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikanurutannya. ABC adalah suatu permutasi, ACB juga suatupermutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 24 susunanitu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannyadisebut permutasi. Dari uraian tersebut dapatkah Andamenduga pengertian permutasi? Cobalah nyatakan pengertianpermutasi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telahAnda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut. Definisi 2.2Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yangberbeda tanpa adanya pengulangan.Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsuradalah Soal Terbuka4 × 3 × 2 = 24. Buatlah sebuah soal permutasi yang berbedaBanyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dengan soal yang ada di buku ini. Berikan soal ini ke temandapat ditulis untuk diselesaikan dan beri komentar.P(4 , 3) = 4 × 3 × 2 = 4 3r2 1  4! 21 Ingatlah 4 3 ! Notasi P(n, k) dapat jugaPermutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat ditulis dengan Pkn .dipelajari melalui Tabel 2.1.Tabel 2.1Tempat ke- 1 2 3 ... r ...Banyak Cara n n(n – 1) n(n – 1) (n – 2) ... n(n – 1) (n – 2)...(n – (r – 1)) ... Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yangdiambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalahP(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))Untuk r = 1, makaP(n, 1) = nUntuk r = 2, makaP(n, 2) = n (n – 1) = nn n n ...    n! n ...n ...3 2 1 2 ! Peluang 47

Untuk r = 3 maka P(n, 3) = n (n – 1)(n – 2) = nn n n n ...     n! n ...n 4 ...3 2 1 3 ! Untuk r = k, diperoleh P(n, k) = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) … (n – (k – 1)) = nn n n ...n k n k n k  ...3 2 1    1 ...3 2 1 n! = n k ! Untuk r = n, diperoleh P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n! Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur adalah P n, k = n! dengan k ≤ n n - k ! Contoh 2.3 1. Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi. Jawab: P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga terpilih). P n, k  n ! ™ P  ,   3!  3r 2 r1  6 ! n k ! ! Sumber: Dokumentasi Penerbit Jadi, terdapat 6 cara. Coba Anda tentukan ke-6 susunan yang mungkin tersebut. Gambar 2.4 2. Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri Salah satu susunan yang atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan- mungkin. Dapatkah Anda bilangan tersebut yang kurangmenentukan susunan lainnya? a. dari 500 b. dari 600 puluhan Jawab: satuan a. Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka 4 angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu angka 4. Salah satu susunan yang mungkin dapat Anda diisi lihat pada Gambar 2.4. Gambar 2.5 Amati gambar 2.5. Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8. Ini berarti Anda harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu P(4,2) = 4 4!  4!  12 . 2! 2 !48 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500. Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba. Sekarang, coba Anda buktikan hal ini dengan menggunakan kartu angka. Tentukan pula susunan-susunan yang mungkin.b. Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5. 4 l angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur). 5 l angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4, 6, 7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur). Banyak bilangan yang kurang dari 600 adalah 2 × P(4,2) = 2 r 4 !  2 4 3• 2 1  24. 21 4 2 Jadi, terdapat 24 bilangan yang kurang dari 600.a. Permutasi Beberapa Unsur yang Sama Pada kata \"BUKU\" terdapat dua huruf yang sama, yaitu B K U BUKUU. Permutasi huruf-huruf pada kata \"BUKU\" dapat Anda Uamati pada diagram pohon di samping. U K BUUK Coba Anda buat diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K, U U BKUUdan U. Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram Kpohon tersebut adalah sebagai berikut. U U BKUU K U BUKU1. BUKU 6. BUUK 11. UBUK 16. KBUU 21. UUBK U2. BUUK 7. UKBU 12. UBKU 17. KUUB 22. UUKB U K BUUK3. BKUU 8. UKUB 13. KUBU 18. KUBU 23. UKBU4. BKUU 9. UUBK 14. KUUB 19. UBUK 24. UKUB5. BUKU 10. UUKB 15. KBUU 20. UBKU Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak adabeberapa susunan huruf yang sama sehingga permutasinyamenjadi:1. BUKU 4. UKBU 7. UUKB 10. KUBU2. BUUK 5. UKUB 8. UBUK 11. KUUB3. BKUU 6. UUBK 9. UBKU 12. KBUU Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU”adalah 12 atau 12 = 4 × 3 = 4 3r2 1  4! . 2 1 2! Sekarang, selidikilah permutasi untuk kata MAMA denganmenggunakan diagram pohon. Jika Anda melakukan denganbenar, terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu MAMA,MAAM, MMAA, AMMA, AMAM, dan AAMM, karena kata“MAMA” mempunyai dua pasang huruf yang sama. Banyak permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasangunsur sama, yaitu M dan dua unsur lainnya, yaitu A adalah6 3! 3 2r1  4 3r2 1  4 3r2 1  4! . 4 2!2! 2 1 2 1 Peluang 49

Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l1 unsur jenis pertama, l2 unsur jenis kedua, l3 unsur jenis ketiga, dan l unsur jenis ke-k yang sama adalah k n! P(n, l1, l2 ... lk) = I1!I2!...Ik! Contoh 2.4 Tentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari kata- kata berikut. 1. JAYAPURA 2. MATEMATIKA Jawab: 1. Pada kata \"JAYAPURA\", terdapat 3 buah A yang sama sehingga permutasinya adalah P(8, 3) = 8! = 6.720. 3! 2. Pada kata \"MATEMATIKA\" terdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama sehingga permutasinya adalah P(10, 2, 3, 2)= 10! 2 ! 3! 2 ! = 10 9 8r7 6 5r4 3r2 1  151.200 2 1 3 2r1 2r1 b. Permutasi Siklis Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasiA B siklis. Pada Gambar 2.6 posisi 1 dan posisi 2 menunjukkan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaranPosisi 1 jarum jam. Coba Anda amati Gambar 2.5, apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2? Apabila Anda mengamati dengan saksama makaB A posisi 1 = posisi 2 Jadi, permutasi siklis dua unsur mempunyai satu cara.Posisi 2 Pada permutasi siklis dua unsur, satu unsur ditetapkanGambar 2.6 sebagai titik acuan. Sementara, satu unsur yang lainnya ditempatkan dalam 1! cara atau (2 – 1)! cara. Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajari uraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. Banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat diterangkan sebagai berikut.50 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

A AAD B C BD CC D B BC DA A AA B C C DB D Sumber: Dokumentasi Penerbit DBC Gambar 2.7 Contoh permutasi siklis Keterangan: huruf yang diwarnai dianggap sebagai titik pangkal. Ingatlah Dengan cara yang sama, Anda dapat membuat formasilingkaran untuk titik pangkal B, C, dan D. Hasil dari seluruh Aformasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut. B D 1. ABCD 7. BACD 13. CABD 19. DABC 2. ABDC 8. BADC 14. CADB 20. DACB C 3. ACBD 9. BCAD 15. CBAD 21. DBAC B 4. ACDB 10. BCDA 16. CBDA 22. DBCA 5. ADBC 11. BDAC 17. CDAB 23. DCAB AC 6. ADCB 12. BDCA 18. CDBA 24. DCBA D Amati bahwa ada susunan-susunan yang sama, yaituABCD= BCDA = CDAB = DABC ACDB = BACD = CDBA = DBAC Susunan pada gambar (a) danABDC= BDCA = CABD = DCAB ADBC = BCAD = CADB = DBCA gambar (b) adalah sama karenaACBD=BDAC=CBDA=DACB ADCB=BADC=CBAD=DCBA unsur A dekat dengan D dan B, meskipun titik acuan berbeda. Dengan demikian, dari 24 susunan tersebut terdapat 6susunan yang berbeda, yaitu ABCD, ABDC, ACBD, ACDB,ADBC, dan ADCB. Jadi, banyak permutasi siklis dari 4 unsurada 6. Pada permutasi siklis dari 4 unsur, ditetapkan satu unsursebagai titik pangkal, kemudian 3 unsur lainnya ditempatkandalam 3! cara atau (4 – 1)! cara. Permutasi siklis 4 unsuradalah (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara. Susunan manik-manik pada kalung mirip susunanmelingkar, tetapi berbeda dengan permutasi siklis. Padapermutasi siklis, arah putaran diperhatikan, sedangkan padasusunan manik-manik dalam kalung arah putaran tidakdiperhatikan. Amati Gambar 2.7. Dari gambar, susunan manik-manik pada posisi 1 adalahABC atau ditulis ACB. Adapun susunan manik-manik padaposisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC. Peluang 51

A Susunan manik-manik pada Gambar 2.8 adalah sama. Oleh karena itu, banyak cara menyusun 3 manik-manik dalam kalung adalah 1 susunan. Banyaknya cara yangC digunakan untuk menyusun 3 manik-manik dalam kalung B adalah setengah dari banyak permutasi siklis 3 unsur, yaituPosisi (1) 1 susunan atau 3 1 !. 2 Untuk n unsur, apabila disusun seperti manik-manikA dalam kalung terdapat n ! susunan yang berbeda. 2 Contoh 2.5BC 1. Delapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah meja bundar untuk membahas sebuah proyek tertentu. BerapaPosisi (2) banyak cara agar para ilmuwan dapat duduk melingkar dengan Gambar 2.8 urutan yang berbeda? 2. Dua puluh lima mutiara akan dibuat sebuah kalung. Ada berapa cara mutiara-mutiara itu dapat disusun? Jawab: 1. Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8–1)! = 7! = 5.040 cara. 2. Banyaknya cara mutiara itu dapat disusun menjadi sebuah kalung adalah 25 1  24! cara. 22Ingatlah 4. KombinasiKombinasi ABC sama dengan Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang darikombinasi CBA atau ACB. 5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat diterangkan sebagai berikut. Dari Subbab A.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur dari 5 unsur, yaitu ABC ADE BCD CAB CDE DBC EAB ECD ABD AEB BCE CAD CEA DBE EAC EDA ABE AEC BDA CAE CEB DCA EAD EDB ACB AED BDC CBA CED DCB EBA EDC52 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

ACD BAC BDE CBD DAB DCE EBC Soal TerbukaACE BAD BEA CBE DAC DEA EBDADB BAE BEC CDA DAE DEB ECA Jelaskan perbedaan antara permutasi dan kombinasi. BeriADC BCA BED CDB DBA DEC ECB contoh untuk memperjelas Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba uraian Anda.debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunanitu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunantersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD,BCE, BDE, dan CDE. Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebutkombinasi. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan penger-tian kombinasi? Cobalah nyatakan pengertian kombinasidengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pengertian kombinasi yang telah Anda pelajaritersebut memperjelas definisi berikut. Definisi 2.3Kombinasi r unsur dari n unsur ialah himpunan bagian r unsuryang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutanpenyusunan unsur tidak diperhatikan. Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur dilambangkandengan Cnr atau ¥¦¥¥¤nr¶µµ´µµ atau C =(n, r).a. Menentukan Banyak KombinasiTelah diketahui bahwa banyaknya kombinasi 5 unsurberlainan jika disusun sebanyak 3 unsur adalah 5 4 = 10 2cara .Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur ditulisC53  5 4  5 4r3 2 r1  5! 3r2 1 2 2 5 3 ! 3! Uraian tersebut memberi gambaran mengenai banyaknyakombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsuryang dirumuskan C53 = ¦¥¤¥¥nr ´µ¶µµµ = n! r ! dengan r < n r!n Peluang 53

Pembahasan Soal Contoh 2.6Suatu pertemuan dihadiri Kerjakan soal-soal berikut.oleh 15 orang undangan. 1. Diketahui Cn2 = 4n, tentukanlah nilai n.Jika mereka saling berjabat 2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atastangan, banyak jabattangan yang terjadi dalam 11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.pertemuan itu adalah ....Jawab: Jawab:Banyak jabat tangan = C(15,2)= 15! 105 1. Cn2  4n ™ n! 2 !  4n 2!13! 2!n Soal Ebtanas 2000 ™ n  !  4n 2! Pembahasan Soal !Banyaknya segitiga yang ™ n  4ndapat dibuat dari 7 titik tanpaada tiga titik yang terletak 1• 2segaris adalah ....Jawab: ™ n(n – 1) = 8nMembuat segitiga dengan ™ n2 – n = 8nmemilih 3 titik dari 7 titik ™ n2 – 9n = 0yang tersedia adalah masalahkombinasi C(7, 3). Jadi, ™ n(n – 9) = 0banyaknya segitiga = C(7,3) Oleh karena n ≥ r maka yang memenuhi adalah n = 9.= 7!  7 6r5 4!  35 2. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi 3! 4! 3 2r1 4! karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11 Soal UMPTN 2000 orang siswa dari 20 siswa, yaitu C2101. C11  20!  20! 20 11!9! 11!20 11 !  20 r19 r18 r17 r16 15 14 13 12 11! 5r4 3r2 11!9 8r7 6 1 = 167.960 Coba Anda tentukan susunannya dengan diagram pohon. b. Binomial Newton Di SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkan bentuk perpangkatan berikut. (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya. Bagaimana menjabarkan (a+b)15? Untuk menyelesaikannya Anda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatan tersebut.54 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Amati dengan saksama koefisien-koefisien bentuk-bentuk perpangkatan tersebut. Apabila koefisien-koefisiendari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram,diperoleh 1 11 12 1 133 1 14 641dan seterusnya.Diagram itu dikenal dengan nama Segitiga Pascal. Amatipola Segitiga Pascal tersebut. Tokoh MatematikaBaris ke-1: 1 Omar KhayyamBaris ke-2: 11 (1049–1123)Baris ke-3: 121 Untuk n = 2, Teorema Binomial telah ditemukanBaris ke-4: 1 (1 + 2) (2 + 1) 1 oleh Euclid pada tahun 300 Sebelum Masehi. AkanBaris ke-5: 1 (1 + 1 + 2) (1 + 2) + (2 + 1) (2 + 1 + 1) 1 tetapi, untuk yang lebih umum ditemukan olehdan seterusnya. matematikawan dan ahli astronomi Irak, yaitu OmarKarena ¦¥¥¥¤00¶µµµµ´ = ¦¤¥¥¥01µµµ´µ¶ = ¦¤¥¥¥11´¶µµµµ = ¦¥¤¥¥02µµµµ¶´ = ¦¥¥¥¤22´µ¶µµµ = ¦¥¥¥¤03µµµ´¶µ = ¥¥¥¤¦33µµµµ´¶ = 1, ¥¥¦¤¥12´¶µµµµ Khayyam.= 2, dan ¥¥¦¥¤13µµ¶´µµ = ¥¤¦¥¥23µ´µ¶µµ = 3 maka pola Segitiga Pascal tersebut Sumber: Precalculus, 1999dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasiberikut. ¦¥¤¥¥00¶´µµµµ ¤¦¥¥¥10¶µ´µµµ ¥¤¥¥¦11¶µµµ´µ ¤¥¦¥¥02´µµµ¶µ ¤¦¥¥¥21µ¶µµµ´ ¦¤¥¥¥22µµ¶´µµ ¦¤¥¥¥03µµ´µ¶µ ¦¥¤¥¥13µµ¶µµ´ ¦¥¥¤¥23¶µµ´µµ ¦¥¥¥¤33µ¶µµ´µdan seterusnya. Dari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat ditulis-kan sebagai berikut. (a + b)0 = ¦¤¥¥¥00´¶µµµµ(a + b)1 = ¦¥¥¥¤10¶µ´µµµa ¥¦¤¥¥11µµ´µ¶µb Peluang 55

(a + b)2 = ¦¥¥¥¤20¶µµµµ´a2 ¦¥¤¥¥12´µµµ¶µab ¤¦¥¥¥22µµµ¶µ´b2(a + b)3 = ¥¦¥¥¤03µµµ´µ¶a3 ¤¥¦¥13µµ´¶µa2b ¦¥¤¥¥23µ´µ¶µµab2 ¦¥¥¤¥33´µµµ¶µb3dan seterusnya.Secara umum bentuk (a + b)n dapat ditulis menjadia  b n  ¥¥¤¦¥n0¶µµµ´µan 1b   ¥¥¦¤¥nrµµµµ´¶anrbr   ¥¥¦¥¤n n 1´µ¶µµµ ab n1  ¤¥¥¥¦nn¶´µµµµ b n dengan ¥¦¥¥¤nr¶µµ´µµ  Cnr  n! r!n r !Dengan demikian,Cn0 • an  Cn1 an1 • b1   Cnn 1 • a bn 1  Cnn • bn in£(a + b)n = Cni anibi i0 Bentuk tersebut dinamakan binomial Newton (ekspansibinomial). Contoh 2.7Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x2 + 2y)5.Jawab:(x2 + 2y)5= ¦¥¥¥¤50µ´¶µµµ 2 5 ¥¦¥¥¤51´¶µµµµ 2 4 2 1 ¦¥¥¥¤25´µµ¶µµ 2 3 2 2  ¥¥¥¦¤53´µµ¶µµx2 2 2 3 ¥¦¥¤¥45µ¶µµµ´ 2 1 2 4 ¦¥¥¥¤55µ¶µ´µµ 5 = x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5Mari, Cari TahuCarilah di perpustakaan buku petunjuk penggunaan kalkulator, caramenghitung faktorial, permutasi, dan kombinasi dengan kalkulatorscientific. Anda juga dapat menanyakan hal tersebut ke kakak kelas.Demonstrasikan dan laporkan hasilnya di depan kelas termasukjenis kalkulator yang digunakan. Tes Kompetensi Subbab A untuk bendahara.Apakah masalah ini adalah kombinasi atau permutasi? Ada berapa caraKerjakanlah pada buku latihan Anda. keempat posisi tersebut dapat diisi?1. Dalam sebuah perkumpulan panjat tebing ada 5 calon untuk ketua, 4 calon untuk wakil ketua, 3 calon untuk sekretaris, dan 4 calon56 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

2. Dengan menggunakan 5 huruf pertama 7. Tentukan berapa cara yang berbeda dapat dalam abjad, dibuat kata yang terdiri atas dituliskan dari hasil kali x4 y3 z2 tanpa 3 huruf. Berapa banyak kata yang dapat menggunakan eksponen. dibuat jika: a. tidak ada huruf boleh diulang, 8. Tentukan suku keempat dari penjabaran b. huruf-huruf boleh diulang, dan dan penyederhanaan bentuk (3x2 – 4y3)7. c. hanya huruf-huruf pertama tidak boleh diulang. 9. Dalam pertemuan untuk menentukan tanggal kelulusan siswa, 20 orang guru3. Ketua dan wakil OSIS harus dipilih di diundang, setelah memutuskan tanggal antara 8 orang laki-laki dan 4 orang perem- kelulusan, mereka saling berjabat tangan. puan. Dalam berapa cara hal itu dapat Berapa banyak jabat tangan yang terjadi? dilakukan jika a. ketua harus laki-laki, sedangkan wakil- 10. Jika 5P(n, 3) = 24 C(n, 4), berapa nilai n? nya boleh laki-laki atau perempuan; b. ketua harus perempuan, sedangkan Untuk soal nomor 11–16, tentukan banyak wakilnya boleh laki-laki atau cara yang dapat dilakukan. perempuan; c. wakilnya harus laki-laki; 11. Mengatur susunan tempat duduk dalam d. wakilnya harus perempuan. suatu rapat yang disusun melingkar dan dihadiri oleh 8 orang serta ada 2 orang yang4. Empat orang siswa masuk ruang rapat. selalu berdampingan. Tempat yang masih kososng ada 5 kursi, berapa cara mereka dapat mengambil 12. Memilih 5 orang dari 15 orang siswa untuk tempat duduk? menjadi pelaksana upacara bendera Senin pagi.5. Hitung nilai n dari persamaan berikut. a. (n + 4)! = 9(n + 3)! 13. Menentukan tiga orang pemenang juara 1, b. (n + 3)! = 20(n + 1)! 2, dan 3 dari 15 orang finalis. 6. Bilangan yang terdiri atas tiga angka 14. Menentukan lima orang pemain cadangan berbeda, disusun dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, dari 16 orang anggota kesebelasan dan 8. Tentukan banyak bilangan dengan sepakbola. angka-angka yang berlainan dan lebih kecil dari 500. 15. Menyusun lima buku Matematika yang sama, tiga buku Fisika yang sama, tiga buku Kimia yang sama, dan dua buku Biologi yang sama dalam rak buku. (Petunjuk: buku-buku yang berjudul sama harus berdampingan)B. Peluang Sebuah uang logam yang bentuknya simetris ditos(dilempar ke atas sambil diputar) dan dibiarkan jatuh kelantai. Oleh karena uang itu bentuknya simetris maka tidakberalasan munculnya gambar lebih sering atau kurangdaripada munculnya angka. Secara matematika, nilai peluangmunculnya gambar adalah salah satu dari dua atau 1 , dan 2dengan sendirinya nilai peluang munculnya angka adalah1 juga.2 Peluang 57

(a) 1. Peluang Suatu Kejadian (b) a. Kejadian Sederhana (c) Dalam seperangkat kartu remi terdapat 13 kartu merah bergambar hati, 13 kartu merah bergambar diamond, 13 kartu (d) hitam bergambar wajik, dan 13 kartu hitam bergambar kriting. Gambar 2.9 Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu tersebut.Seperangkat kartu remi.(a) Kartu hati yang berwarna Misalkan, kartu yang terambil bergambar hati. Kejadian muncul kartu bergambar hati pada pengambilan tersebut di- merah. namakan kejadian sederhana karena muncul kartu bergambar(b) Kartu wajik yang berwarna hati pasti berwarna merah. Lain halnya jika kartu yang terambil berwarna merah. Kejadian muncul kartu berwarna hitam. merah dinamakan kejadian bukan sederhana karena muncul(c) Kartu diamond yang berwarna kartu berwarna merah belum tentu bergambar hati, tetapi mungkin bergambar diamond. merah.(d) Kartu kriting yang berwarna b. Ruang Sampel hitam. Jika sekeping uang logam ditos, akan muncul muka angka (A) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A dan G dinamakan titik sampel, sedangkan {A, G} dinamakan ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian ruang sampel? Cobalah nyatakan pengertian ruang sampel dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut. Definisi 2.4 Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Contoh 2.8 Tentukan ruang sampel percobaan berikut. a. Tiga keping uang logam ditos bersamaan. b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan.58 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Jawab: A A AAAa. Perhatikan diagram pohon pada Gambar 2.10 di samping A G AAG dengan saksama. Dari diagram tersebut, jika tiga keping uang G A AGA logam ditos bersamaan, ruang sampelnya adalah {AAA, AAG, AGA, AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}. G AGGb. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos, ruang sampelnya (amati Tabel 2.3) adalah { AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6, A A GAA AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2, GA3, GA4, G GA5, GA6, GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6}. G GAG G A GGA G GGGTabel 2.3 1 2 3 45 6 Gambar 2.10 Diagram pohon pelemparan 3 1 Dadu AA1 AA2 AA3 AA4 AA5 AA6 keping uang logam.2 Uang Logam AG 1 AG2 AG3 AG4 AG5 AG6 GA1 GA2 GA3 GA4 GA5 GA6 AA GG1 GG2 GG3 GG4 GG5 GG6 AG GA GGMari, Cari Tahu Tantangan untuk AndaBersama dengan teman sebangku, cari di internet atau di bukuterbitan luar negeri artikel yang berhubungan dengan materi 1. Tiga keping uang logampeluang. Kemudian, kumpulkan hasilnya pada guru Anda. dilemparkan secara bersamaan. Tentukanc. Peluang a. ruang sampel, b. kejadian muncul duaMisalkan, sekeping uang logam yang bentuknya simetris angka.ditos sebanyak 50 kali, kejadian munculnya muka gambar 2. Sebuah tas berisi 5 kelereng merah,sebanyak 23 kali sehingga 23  0, 46 dinamakan frekuensi 5 kelereng putih, dan 50 9 kelereng hijau. Apabila diambil 3 kelerengrelatif muncul muka gambar. Jika pengetosan uang logam sekaligus secara acak, tentukan peluang yangtersebut dilakukan berulang-ulang dalam frekuensi yang terambil: a. semua hijau;besar, frekuensi relatif kejadian muncul muka gambar akan b. semua putih; c. 2 merah dan 1 hijau.mendekati suatu bilangan tertentu, yaitu 1 . Bilangan tersebut Gambar 2.11 2 Hasil yang mungkin dari pelemparan sebuah uang logamdinamakan peluang dari kejadian muncul angka. Rp500,00.Pada pengetosan sekeping uang logam yang bentuknyasimetris, kemungkinan yang muncul hanya dua, yaitupermukaan gambar dan permukaan angka. Peluang munculpermukaan gambar atau permukaan angka sama. Secaramatematika, peluang munculnya permukaan gambar adalahsatu dari dua kemungkinan atau 1 sehingga peluang 2munculnya permukaan angka juga 1 . 2 Peluang 59

Ingatlah Misalkan, sebuah kotak berisi 8 bola, yaitu 3 bola merah,Mata uang yang bentuknya 1 bola putih, dan 4 bola hijau. Dari kotak tersebut, akansimetris artinya tidak lebihberat ke arah gambar atau ke diambil sebuah bola. Peluang terambil 1 bola dari kotak yangarah angka. berisi 8 bola tersebut adalah 1 . Peluang terambilnya 1 bola 8 merah adalah 3. Adapun peluang terambilnya 1 bola putih 8 adalah 1, dan peluang terambil 1 bola hijau adalah 4. 88 Diketahui, N adalah banyak titik sampel pada ruang sampel S dari sebuah percobaan. Kejadian A adalah salah satu kejadian pada percobaan tersebut sehingga peluang A adalah P(A) = 1 . N Apabila banyak kejadian A yang terjadi dari percobaan tersebut adalah n, peluang terjadinya kejadian A adalah P(A) = n. N Contoh 2.9 Informasi Dalam pengetosan sebuah dadu yang seimbang, tentukan untuk Anda a. peluang muncul angka prima; b. peluang muncul kelipatan 2; Informations for You Jawab: Pada pengetosan sebuah dadu, ruang sampelnya adalahPada 2000 tahun Sebelum {1, 2, 3, 4, 5, 6} l n (S) = 6.Masehi, orang kaya dan a. Peluang muncul angka prima.penyihir menggunakan dadusebagai permainan. Dadu Ruang sampel mata dadu angka prima adalah P = {2, 3, 5}yang digunakan berbentuk maka n (P) = 3, Dengan demikian, peluang muncul angkabangun bersisi empat. Bentuk prima adalahdadu sekarang dikenalbeberapa waktu kemudian. P(prima) = nP  3  1 .Dadu yang kali pertama N S 6 2digunakan dalam permainantersebut terbuat dari tulang b. Peluang muncul kelipatan 2.rusa, sapi, atau kerbau. Ruang sampel mata dadu angka kelipatan 2 adalahAt least as far back as 2000 BC, therich and the mystical have had dice K = {2, 4, 6} maka n (K) = 3. Dengan demikian, peluangto play with. Very early dice wereoften in the shape of a tetrahedron. muncul kelipatan 2 adalahThe modern cube shape came later.The first dice like objects to be used P(K) = nK  3  1 .for games were made from the N S 6 2astralagus of deer, cow or oxen. d. Kisaran Nilai Peluang Sumber: www.DrMath.com Di Kelas IX Anda telah mengetahui bahwa nilai peluang suatu percobaan adalah antara 0 dan 1 atau 0 ≤ P(x) ≤ 1 dengan x adalah kejadian pada percobaan tersebut.60 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

• Apabila P(x) = 0, kejadian x mustahil terjadi. Tokoh• Apabila P(x) = 1, kejadian x pasti terjadi. Matematika Jadi, jika Anda mengetahui bahwa suatu kejadiankemungkinan kecil terjadi maka peluangnya mendekatinilai nol. Sebaliknya, jika peluang suatu kejadian yangkemungkinan besar dapat terjadi, peluangnya mendekatinilai 1. Contoh 2.10 Pierre de Fermat (1601–1665)Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.1. Ikan dapat hidup di darat. Pierre de Fermat adalah2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah. seorang hakim. Kemahiran3. Lumut tumbuh di daerah gurun. matematikanya luar biasa4. Muncul kartu as pada pengambilan seperangkat kartu remi. memungkinkannya memberi sumbangan besar padaJawab: matematika tingkat tinggi,1. Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga antara lain teori bilangan dan kalkulus diferensial. Ketika ia peluangnya sama dengan 0. mengklaim bahwa ia telah2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan membuktikan beberapa teorema matematika, ia selalu suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1. berkata benar. \"Teorema Akhir3. Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan Fermat\" yang menyebabkan ia terkenal, akhirnya terbukti sehingga peluangnya sama dengan 0. 300 tahun kemudian, yaitu4. Muncul kartu as pada kartu remi bukan merupakan suatu pada tahun 1994 oleh Andrew Willes. kemustahilan dan bukan pula suatu kepastian sehingga peluangnya di antara 0 dan 1, yaitu 1 . Sumber: Finite Mathematics and its Application, 1994 132. Frekuensi Harapan Anda telah mempelajari bahwa peluang munculpermukaan gambar pada pengetosan uang logam adalah21. Apabila pengetosan dilakukan 100 kali, harapan akanmuncul permukaan angka adalah 50 kali atau setengah dari100. Banyak muncul permukaan angka sebanyak 50 kali dari100 kali pengetosan dinamakan frekuensi harapan. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan penger-tian frekuensi harapan suatu kejadian? Cobalah nyatakanpengertian frekuensi harapan suatu kejadian dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelasdefinisi berikut. Peluang 61

Definisi 2.11 Frekuensi harapan suatu kejadian ialah frekuensi yang diharapkan terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan tersebut. Frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut. fH = n × P(A) Dalam hal ini, n : banyak percobaan P(A) : peluang terjadinya kejadian ATantangan Contoh 2.11 untuk Anda 1. Sebuah dadu ditos sebanyak 100 kali, tentukan a. harapan muncul mata dadu 5,1. Peluang seorang anak b. harapan muncul mata dadu yang habis dibagi 3, terjangkit penyakit c. harapan muncul mata dadu prima ganjil, demam berdarah adalah d. harapan muncul mata dadu prima genap, dan 0,087. Tentukan peluang e. harapan muncul mata dadu ganjil. seorang anak tidak terkena demam berdarah. 2. Di sebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang terkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkena2. Dalam suatu percobaan penyakit liver adalah 0,17. Jika sebanyak 25.000 orang dewasa diambil sebuah kartu di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena secara acak dari satu set penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena kartu remi, kemudian penyakit liver? mengembalikannya (satu set kartu remi terdiri atas 3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil 52 kartu). Tentukanlah penyilangan diperoleh hasil 1.000 bunga dengan warna yang frekuensi harapan yang berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3 merah muda : 1 terambil adalah kartu jack merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan jika percobaan dilakukan putih yang dihasilkan? 117 kali. Jawab:3. Dalam percobaan melempar dua keping 1. a. fH(mata dadu 5) = 100r 1  100  50 logam secara bersamaan, 6 6 3 tentukan frekuensi harapan muncul b. f (habis dibagi 3) = 100r 2  100 sedikitnya satu muka jika 6 3 percobaan dilakukan 200 H kali. c. fH( prima ganjil) = 100 r 2  100 6 3 d. fH( prima genap) = 100r 1  100  50 6 6 3 e. fH(ganjil) = 100r 3  50 6 2. f (orang terkena serangan jantung) = 25.000 × 0,07 = 1.750 H fH(orang terkena penyakit liver) = 25.000 × 0,17 = 4.250 3. Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1, maka banyaknya bunga yang diperoleh adalah62 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

• bunga putih = 1 r1.000  200 bunga 5• bunga merah muda = 3 r1.000  600 bunga 5• bunga merah = 1 r1.000  200 bunga 5 Aktivitas MatematikaSediakan sebuah dadu. Kemudian, bersama kelompok belajar Andalemparkanlah ke atas (sambil diputar) dadu itu sebanyak 100 kali.Catatlah berapa kali muncula. mata dadu bilangan 5,b. mata dadu bilangan yang habis dibagi 3,c. mata dadu bilangan prima ganjil,d. mata dadu bilangan prima genap, dane. mata dadu bilangan ganjil.Coba Anda bandingkan dengan penyelesaian Contoh 2.11(1). Apayang dapat Anda simpulkan? Presentasikan kesimpulan Anda didepan kelas. Tes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan ruang sampel percobaan berikut. c. terambil kartu berangka habis dibagia. Pengetosan 3 keping uang logam tiga; sekaligus. d. terambil kartu berangka kelipatanb. Pengetosan dua keping uang logam lima; dan sebuah dadu. e. terambil kartu berangka kelipatan duac. Penelitian jenis kelamin tiga bayi. dan tiga;d. Penelitian warna kulit (putih, sawo f. terambil kartu berangka memiliki 4 matang, dan hitam) dari tiga orang. faktor.e. Penelitian golongan darah dari empat 3. Di suatu daerah, peluang bayi terkena polio orang pasien (untuk memudahkan, adalah 0,03 dan peluang terkena campak golongan darah AB ditulis A2). adalah 0,05. Jika 1.500 bayi di daerah itu2. Lima puluh dua kartu diberi angka 1, 2, diperiksa, berapakah:,3, 4, 5, ..., 52. Kemudian, diambil sebuah a. bayi yang terkena polio;kartu secara acak. Tentukan peluang: b. bayi yang tidak terkena polio;a. terambil kartu berangka ganjil; c. bayi yang terkena campak;b. terambil kartu berangka prima; d. bayi yang tidak terkena campak? Peluang 63

C. Kejadian Majemuk Situs Matematika Misalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3 bola hijau. Dari kotak tersebut, Anda akan mengambil 1 buahAnda dapat mengetahui bola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1informasi lain tentang buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadianPeluang melalui internet majemuk.dengan mengunjungi situsberikut. 1. Peluang Komplemen Suatu Kejadianhttp://mathword.wolfram.com Diketahui, A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel, A sedangkan A’ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat bukan A pada ruang sampel tersebut. Gambar 2.11 Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga komplemen kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A), dan peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkan dengan P(bukan A) atau P(A’). Amati diagram Venn pada Gambar 2.11. Gambar 2.11 menunjukkan ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan kejadian bukan A. Peluang ruang sampel sama dengan 1 sehingga P(A) + P(bukan A) = 1 atau P(bukan A) = 1 – P(A) Contoh 2.12 Tentukan peluang komplemen dari peluang berikut. a. Peluang kereta datang terlambat adalah 0,03. b. Peluang Indra meraih juara kelas adalah 0,25. Jawab: a. Komplemen kejadian kereta api datang terlambat adalah kejadian kereta api datang tepat waktu. Peluang kereta api datang tepat waktu adalah (1 – 0,03) = 0,97. b. Peluang gagal menjadi juara kelas adalah (1 – 0,25) = 0,75. 2. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas Sebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, A adalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan B adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A dan B merupakan kejadian saling lepas sebab irisan dari dua kejadian tersebut adalah himpunan kosong.64 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Diketahui, himpunan A melambangkan kejadian A dan Tugashimpunan B melambangkan kejadian B. Apabila P(A) danP(B) setiap peluang kejadian A dan kejadian B yang saling Bersama kelompok belajarlepas, peluang gabungan 2 kejadian tersebut yang dinyatakan Anda, buatlah tiga contoh duaoleh P(A†B) adalah P(A) + P(B) – P(A…B). Oleh karena A… kejadian yang saling lepasB = Ø maka tentunya P(A … B) = 0 sehingga dalam kehidupan sehari- hari. Kemudian, jelaskan P(A † B) = P(A) + P(B) (presentasikan) di depan kelas mengapa contoh yang Anda Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang saling buat merupakan dua kejadianlepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah yang saling lepas.penjumlahan peluang dua kejadian tersebut. Contoh 2.13 Ingatlah1. Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan A dan B saling lepas kejadian A adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadian P(A † B) = P(A) + P(B) B adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah A dan B tidak saling lepas kejadian A dan B saling lepas? P(A † B) = P(A) + P(B) – P(A … B)2. Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uang Tantangan logam, tentukan peluang munculnya: untuk Anda a. mata dadu < 3 atau angka; b. mata dadu prima genap atau gambar; Tiga puluh kartu diberi nomor 1, 2, 3, ..., 30. Kartu dikocok,Jawab: kemudian diambil secara1. Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan acak. Tentukan: a. peluang kartu yang hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas dari muncul kartu hitam. Jadi, kejadian A dan B saling terambil adalah kartu lepas. yang bernomor bukan2. a. Ruang sampel pelemparan dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. kelipatan 3, b. peluang kartu yang Misalkan, A = kejadian muncul dadu < 3 sehingga P(A) = terambil adalah kartu 2  1. yang bernomor bukan 63 kelipatan 3 dan 5, dan Ruang sampel pelemparan satu keping uang logam = c. peluang kartu yang {A, G}. terambil adalah kartu Misalkan, B = kejadian muncul angka sehingga yang bernomor bukan P(B) = 1 kelipatan 6. 2 PA † B PA  PB 1  1 2  3 5 . 32666 b. A = kejadian muncul mata dadu prima genap sehingga P(A) = 1 . 6 B = kejadian muncul gambar sehingga P(B) = 1 . 2 PA † B PA  PB  1  1  4  2 . 62 6 3 Peluang 65

Pembahasan Soal Contoh 2.14Suatu kelas terdiri atas Dua puluh buah kartu diberi nomor 1 sampai 20. Kemudian,40 siswa, 25 siswa gemar dikocok dan diambil secara acak. Tentukanlah peluang dari:matematika, 21 siswa gemar a. kartu yang terambil nomor bilangan genap atau nomor 6;IPA, dan 9 siswa gemar b. kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau nomor 15;matematika dan IPA. Peluangseorang tidak gemar mate- Jawab:matika maupun IPA adalah .... a. • Peluang terambil kartu nomor bilangan genap adalahJawab: P(genap) = 10 .n(S) = 40; n(M) = 25; n(I) = 21; 20n(M … I) = 9n(M † I) = n(M) + n(I) – n(M … I) • Peluang terambil kartu nomor bilangan kelipatan 6 adalah P(kelipatan 6) = 3 . = 25 + 21 – 9 = 37 20P(M † I)’ = 1– P(M † I) Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan genap atau nomor n † bilangan kelipatan 6 adalah = 1 n P(genap atau kelipatan 6) = P(genap) + P(kelipatan 6)= 1 37  3 = 10  3  13 40 40 20 20 20 Soal Ebtanas 2000 b. • Peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil adalah • P(ganjil) = 10 . 20 Peluang terambil kartu nomor 15 adalah P(15) = 1. 20 Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil atau nomor 15 adalah P(ganjil atau 15) = P(ganjil) + P(15) = 10  3  13 . 20 20 20Tantangan 3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas untuk Anda a. Kejadian Melempar Dua Mata Uang secara1. Sebuah kartu diambil Bersamaan secara acak dari satu set kartu remi. Tentukan Dalam pelemparan dua keping uang logam secara peluang yang terambil, serempak, apabila G1 adalah kejadian muncul permukaan kartu hitam atau king. gambar pada pengetosan mata uang pertama maka kejadian muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada2. Sebuah dadu merah dan mata uang kedua tidak dipengaruhi oleh G1. Begitu pula dadu putih dilemparkan apabila A1 menyatakan kejadian muncul permukaan angka bersamaan. Tentukan pada mata uang pertama maka muncul permukaan gambar peluang muncul mata ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akan dadu berjumlah 6 atau dipengaruhi oleh A1. berjumlah kelipatan 5. Kejadian pelemparan dua mata uang secara bersamaan dinamakan dua kejadian yang saling bebas.66 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Misalkan, G2 adalah kejadian muncul permukaangambar pada mata uang kedua dan A2 adalah kejadian munculpermukaan angka pada mata uang kedua sehingga ruangsampel untuk pelemparan dua buah mata uang logam adalah{(A1, A2), (A1, G2), (G1, A2), (G1, G2)}. Peluang muncul permukaan gambar pada mata uangpertama sama dengan peluang muncul permukaan gambarpada mata uang kedua sehingga PG1  PG2  1 . 2Peluang munculnya permukaan angka pada mata uangpertama sama dengan peluang munculnya permukaan angkapada mata uang kedua sehingga PA1  PA2  1 . Peluang munculnya A1 dan munculnya A2 2= P(A1 dan A2) = A1 … A2 = P(A1) × P(A2)= 1r1  1 P  A1 PA2  1. 22 4 4Jadi, PA1 dan A2 Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan:P(A1 dan G2) = P(A1) × P(G2) = 1 4P(G1 dan A2) = P(G1) × P(A2) = 1 4P(G1 dan G2) = P(G1) × P(G2) = 1 4b. Kejadian Mengambil Bola dari Dalam Sebuah Tas Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. Anda inginmengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian.Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau,kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Padapengambilan kedua diperoleh bola biru. Kedua kejadianpengambilan bola tersebut dinamakan dua kejadian yangsaling bebas stokastik karena pengambilan bola pertamatidak mempengaruhi pengambilan bola kedua. Ruang sampelkejadian pengambilan bola tersebut adalah sebagai berikut.• Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau, biru} P(hijau) = 5 dan P(biru) = 7 . 12 12• Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruang sampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (biru dan hijau), (biru dan biru)}. Peluang 67

Ingatlah P(hijau dan hijau) = P(hijau) × P(hijau) = 5 r 5  25Dua kejadian yang saling 12 12 144bergantung dinamakan jugadengan kejadian bersyarat. P(hijau dan biru) = P(hijau) × P(biru) = 5 r 7  35 12 12 144 P(biru dan hijau) = P(biru) × P(hijau) = 7 r 5  35 12 12 144 P(biru dan biru) = P(biru) × P(biru) = 7 r 7  49 12 12 144 Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumus berikut Jika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara ber- samaan, yang dinyatakan oleh P (A … B) adalah PA … B = PA r PB Contoh 2.15Tantangan 1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan untuk Anda pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bola tersebut bernomor bilanganPenerbangan dari bandara a. kelipatan 4 dan nomor 9;Soekarno-Hatta telah b. ganjil dan genap.terjadwal teratur. Peluangberangkat tepat waktu adalah 2. Sebuah kotak berisi 11 bola yang bernomor 1 sampai dengan0,80. Peluang sampai tepat 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian tanpawaktu adalah 0,75. Adapun pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bolapeluang berangkat dan tersebut bernomor bilangan berikut ini.sampai tepat waktu adalah a. Genap, kemudian ganjil.0,70. Tentukan: b. Ganjil, kemudian genap.a. peluang pesawat sampai c. Kelipatan 3, kemudian nomor 8. tepat waktu jika diketahui Jawab: berangkat tepat waktu;b. peluang berangkat tepat 1. a. Peluang terambil bola bernomor kelipatan 4 adalah waktu jika diketahui sampai tepat waktu. P (kelipatan 4) = 2 , peluang bola bernomor 9 adalah 11 P(9) = 1 . 11 Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 9) = P (kelipatan 4) × P(9) = 2 r 1  2 . 11 11 121 b. Peluang bola bernomor bilangan ganjil adalah P (ganjil) = 6 , peluang bola bernomor bilangan genap 11 adalah P(genap) = 5 . 1168 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Jadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap adalahP(ganjil dan genap) = P(ganjil) × P(genap) = 6 r 5  30 . 11 11 1212. a. Peluang bola bernomor bilangan genap adalahP(genap) = 5 . 11Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluangterambil bola bernomor bilangan ganjil adalah P(ganjil| genap) = 6 . Jadi, P(bola bernomor bilangan genap 10kemudian ganjil) adalahP(genap) × P(ganjil | genap) = 5 r 6 11 10 = 30  6 . 110 22b. Peluang bola bernomor kelipatan 3 adalah Hal Penting P(kelipatan 3) = 3 . t
faktorial 11 t
QFSNVUBTJ t
kombinasi Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, t
QFMVBOH t
SVBOH TBNQFMjumlah bola yang tersedia di dalam kotak tinggal 10 buah. t
kejadian majemukPeluang terambil bola bernomor 8 adalahP(8 | kelipatan 3) = 1 . 10Jadi, P (kelipatan 3 kemudian nomor 8) adalahP (kelipatan 3) × P (8 | kelipatan 3) = 3 r 1  3 . 11 10 110c. Peluang bola bernomor kelipatan 4 adalah P(kelipatan 4) = 2 . Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengem- 11 balian, jumlah bola yang tersedia dalam kotak tinggal10 buah.Peluangterambilbolabernomor11adalahP(11|kelipatan4)=1 . Jadi, P(kelipatan 4 kemudian 11) adalah10P( kelipatan 4) × P(11 | kelipatan4) = 2r1 11 10 = 2  1. 110 55Mari, Cari TahuBersama tujuh orang teman, buatlah poster ilmuwan yang berjasadalam mengembangkan materi peluang, seperti Pierre de Fermatdan Blaise Pascal. Carilah ilmuwan lainnya. Tempelkan hasilnyadi ruangan kelas Anda. Peluang 69

Tes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan peluang komplemen dari kejadian d. angka prima genap pada dadu pertamaberikut. dan angka kelipatan 3 pada dadu kedua.a. Peluang hari ini hujan 2 . 5 5. Tiga orang pasien penyakit tumor, usus buntu, dan hernia akan dioperasi. Peluangb. Peluang pengguna narkotika terinfeksi ketiga pasien itu tertolong adalah sebagaiHIV 0,98. berikut.c. Peluang muncul mata dadu angka Peluang pasien tumor tertolong adalah kurang dari 5 dari pengetosan sebuah dadu adalah 2 . P(T) = 2 . 3 17d. Peluang bayi yang baru lahir hidup Peluang pasien usus buntu tertolong adalahadalah 75%. P(B) = 10 .e. Peluang kesebelasan A memenangkan 17pertandingan adalah 63%. Peluang pasien hernia tertolong adalahf. Peluang bukan perokok terkena P(H) = 14 . Tentukan peluang dari: penyakit jantung adalah 0,025. 172. Pada pengetosan dua buah dadu berwarna a. ketiga pasien akan tertolong; b. ketiga pasien tidak akan tertolong;merah dan putih, tentukanlah peluang c. pasien hernia tertolong, tetapi pasienmuncul jumlah mata dadu sama dengan tumor dan usus buntu tidak tertolong; d. pasien usus buntu dan hernia tertolong,a. 3 atau 5, d. 4 atau 10, tetapi pasien tumor tidak tertolong;b. 3 atau 6, e. 5 atau 6, e. pasien tumor tertolong, tetapi pasienc. 4 atau 7, f. 6 atau 8. usus buntu dan hernia tidak tertolong; f. pasien tumor dan usus buntu tertolong,3. Dari seperangkat kartu remi diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan tetapi pasien hernia tidak tertolong. peluang dari kartu yang terambil kartu a. as atau king, 6. Sebuah kotak berisi lima belas kartu b. as hati atau queen merah, bernomor 1 sampai dengan 15. Tiga lembar c. kartu bernomor 10 atau jantung, kartu diambil acak secara bergantian d. kartu bernomor kelipatan 5 atau tanpa pengembalian. Tentukan peluang bernomor 9, kartu-kartu tersebut bernomor bilangan e. kartu bernomor kelipatan 2 atau kartu berikut. sekop, a. Kelipatan 4, kelipatan 5, kemudian f. kartu jantung atau kartu bergambar. kelipatan 7. b. Nomor ganjil, genap kurang dari 5,4. Pada pengetosan dua buah dadu, tentukan kemudian kelipatan 6. peluang untuk memperoleh c. Nomor genap, prima ganjil kemudian a. angka ganjil pada dadu pertama dan kelipatan 9. angka genap pada dadu kedua, b. angka kurang dari 4 pada dadu 7. Misalkan, peluang seorang laki-laki dapat pertama dan angka lebih dari 4 pada hidup sampai 60 tahun adalah 0,75 dan dadu ke dua, perempuan dapat hidup sampai 60 tahun c. angka kelipatan dua pada dadu peluangnya 0,70. Berapa peluang kedua pertama dan angka prima ganjil pada orang itu dapat hidup sampai 60 tahun? dadu kedua, dan70 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

8. Dalam sebuah kotak terdapat 7 kelereng tentukan peluang terambilnya merah, 4 kelereng biru, dan 5 kelereng berturut-turut kelereng merah, biru, kuning. Kelereng tersebut diambil secara kemudian kuning. acak. a. Tentukan peluang terambilnya 9. Sebuah kantong berisi 18 kelereng merah, 12 kelereng merah atau bukan biru. kelereng kuning, dan 8 kelereng biru. Sebuah b. Jika dilakukan tiga kali pengambilan kelereng diambil secara acak dari kantong. secara berurutan tanpa pengembalian, Tentukan peluang terambil kelereng merah atau kuning. Rangkuman• Permutasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan yang mementingkan urutannya.• Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan tidak mementingkan urutannya.• Frekuensi harapan suatu kejadian ialah harapan banyaknya kejadian yang dapat terjadi dari banyak percobaan yang dilakukan. Frekuensi harapan dirumuskan fH = n × P(A) Dalam hal ini n : banyak percobaan P(A) : peluang terjadinya kejadian ASekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas. RefleksiSetelah Anda mempelajari Bab 2,1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang mudah,2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan penting untuk dipelajari. Peluang 71

Tes Kompetensi Bab 2A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan 6. Tiga keping uang logam ditos sebanyakyang terdiri atas tiga angka yang berbeda. 208 kali. Frekuensi harapan munculnyaDi antara bilangan-bilangan tersebut yang minimal dua sisi gambar adalah ....kurang dari 400 banyaknya adalah .... a. 156 d. 72a. 16 d. 8 b. 130 e. 52b. 12 e. 6 c. 104c. 10 7. Tiga orang siswa masuk ruangan rapat.2. Dua buah dadu ditos sekali. Peluang Tempat yang masih kosong 5 kursi.kedua mata dadu berjumlah bilangan Banyaknya cara mereka dapat mengambilprima adalah .... tempat duduk adalah ....a. 7 d. 4 a. 72 d. 24 18 11 b. 60 e. 18b. 5 e. 1 c. 48 11 2 8. Peluang pada pengetosan 7 mata uangc. 5 sekaligus yang muncul 3 gambar adalah 12 ....3. Sebuah dadu dan sekeping logam ditos a. 17 d. 31 128 128bersama-sama. Peluang dadu menunjukkan b. 19 e. 35angka genap dan uang menunjukkan angka 128 128adalah ....a. 1 d. 1 c. 27 2 6 128b. 1 e. 1 9. Jika P(n + 4,11) : P(n + 3,11) = 14 : 3 maka 3 12 n = ....c. 1 a. 12 d. 9 4 b. 11 e. 84. Pada pengetosan dua buah dadu, peluang c. 10munculnya mata dadu berjumlah kurang 10. Koefisien x17 dari x5(1 – x2)17 adalah ....dari delapan adalah .... a. 12.376 d. –6188a. 5 d. 5 b. –924 e. 924 36 12 c. –12.376b. 7 e. 8 11. Dua buah dadu dilempar undi bersama- 12 12 sama. Peluang munculnya jumlah matac. 5 6 dadu 9 atau 10 adalah ....5. Jika Crn menyatakan banyaknya kombinasi a. 5 d. 9 36 36r elemen dari n elemen dan C3n = 2n maka b. 7 e. 11 36 36C72n = .... c. 8a. 16 d. 9 36b. 12 e. 8c. 1172 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

12. Tono beserta 9 orang temannya bermaksud bercita-cita menjadi dokter atau pilotmembentuk suatu tim bola volley terdiri adalah ....atas 6 orang. Apabila Tono harus menjadi a. 20% d. 50%anggota tim tersebut maka banyak tim b. 30% e. 60%yang mungkin dibentuk adalah .... c. 40%a. 126 d. 216 17. Pelat nomor mobil angkutan umum di suatu kota terdiri atas tiga huruf dan duab. 162 e. 252 angka. Banyaknya cara menyusun pelat nomor tersebut jika tidak boleh ada hurufc. 210 atau pun angka yang berulang adalah .... a. 26 × 26 × 26 × 9 × 9 cara13. Tiga buah kelereng merah dan empat buah b. 26 × 25 × 24 × 9 × 8 cara c. 26 × 25 × 9 × 8 × 7 carakelereng putih yang identik dimasukkan ke d. 26 × 25 × 24 × 10 × 9 cara e. 26 × 25 × 10 × 9 × 8 caradalam sebuah kotak. Peluang terambilnyasebuah kelereng merah dan dua buahkelereng putih dalam sekali pengambilanadalah ....a. 5 d. 24 18. Peluang seorang siswa mendapat nilai baik 35 35b. 12 e. 30 dalam mata pelajaran Matematika dan 35 35 Fisika berturut-turut adalah 0,2 dan 0,4.c. 18 Peluang siswa tersebut mendapat nilai baik 35 untuk salah satu mata pelajaran tersebut14. Dua buah dadu ditos bersama. Peluang adalah ....munculnya jumlah mata dadu tiga atau a. 0,92 d. 0,8enam adalah .... b. 0,08 e. 0,6a. 12 d. 1 c. 0,85 36 36 19. Peluang seorang anak menebak denganb. 8 e. 5 tepat huruf pertama nama temannya adalah 36 36 ....c. 7 a. 1 d. 2 36 13 5215. Peluang seorang pemain basket memasuk- b. 1 e. 2 26 26kan bola ke dalam keranjang dengan tepat c. 1adalah 0,2. Tentukan peluang pemain 25basket tersebut memasukkan paling sedikitsekali dari dua kali percobaan .... 20. Peluang untuk memperoleh bilangana. 4 d. 96 ganjil pada sebuah dadu dan gambar 100 100 pada sekeping mata uang yang dilemparb. 2 e. 2 10 100 bersama sebanyak satu kali adalah ....c. 4 a. 1 d. 1 10 12 316. Diketahui bahwa 20% siswa sebuah b. 1 e. 1 6 2sekolah dasar bercita-cita ingin menjadi c. 1dokter, 50% siswa bercita-cita menjadi 4pilot, dan 10% siswa bercita-cita menjadidokter dan pilot. Jumlah siswa yang Peluang 73

B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Dalam satu keranjang terdapat 9 buah ada perempuan yang duduk berdampingan tomat. Jika diambil tiga buah tomat secara dengan perempuan. Dalam berapa cara acak dari empat buah tomat berwarna kondisi tersebut dapat diatur? merah, tiga buah tomat berwarna hijau kemerahan, dan tiga buah tomat yang 4. Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentuk masih hijau. Tentukan banyaknya cara yang dapat dilakukan. berikut.2. Dari 36 orang siswa terdapat 22 orang a. (3a + b2)4 d. (2x2 – 3y)6 gemar voli, 17 orang gemar tenis, dan 4 orang tidak gemar keduanya. Jika b. (2p + q2)5 e. (3a2 – 2ab)6 seorang siswa dipilih secara acak, berapa peluang: c. (3p2 – q)5 f. (a + 2b – 3c)7 a. seorang gemar olahraga voli; b. seorang siswa gemar olahraga tenis; 5. Satu stoples berisi 16 permen rasa cokelat c. seorang siswa hanya gemar olahraga dan 12 permen rasa jeruk. Jika diambil dua voli; permen satu per satu tanpa pengembalian, d. seorang siswa hanya gemar olahraga tentukan peluang yang terambil itu tenis; adalah e. seorang siswa gemar olahraga voli a. keduanya rasa cokelat, dan tenis. b. keduanya rasa jeruk, c. pengambilan pertama rasa cokelat dan pengambilan kedua rasa jeruk, d. berturut-turut rasa jeruk, kemudian rasa cokelat.3. Tiga orang perempuan harus duduk di antara empat orang pria. Tidak ada perempuan yang duduk di pinggir dan tidak74 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Bab 3 mil.id Sumber: www.tnial.TrigonometriSetelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakanrumus trigonometri jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudutganda; merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih duasudut dan sudut ganda. Anda telah mempelajari perbandingan trigonometri A. Rumus Trigonometridari sudut berelasi di Kelas X. Pada bab ini, materi itu akan untuk Jumlah dandikembangkan sampai ke rumus trigonometri untuk jumlah Selisih Dua Sudutdan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini akan dibahasmengenai rumus trigonometri untuk sudut rangkap. B. Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda Konsep-konsep trigonometri yang akan dibahas di babini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan C. Perkalian,dan teknologi, misalnya dalam menjawab permasalahan Penjumlahan, sertaberikut. Pengurangan Sinus dan Kosinus Sebuah roket yang ditembakkan ke atas membentuksudut θ terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut θagar roket mencapai jarak maksimum? Agar Anda dapat menjawab permasalahan tersebut,pelajari bab ini dengan baik. 75

Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut. Trigonometri menentukanRumus Jumlah dan Selisih Rumus Sudut Ganda Rumus Konversi terdiri atas terdiri atas dapat berupa1. Rumus untuk cos (α ± β) 1. Rumus untuk sin 2 α2. Rumus untuk sin (α ± β) 2. Rumus untuk cos 2 α.3. Rumus untuk tan (α ± β) 3. Rumus untuk tan 2 α. Bentuk Kali Bentuk Jumlah ke Jumlah ke KaliTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Isilah titik-titik berikut. e. sin(– α) = .... sin α a. cos2a = 1 – .... f. cos(– β) = ....cos β b. tan A  .... g. cos(90º – β) = .... .... h. tan(– β) = ....tan c. sin(180º – A) = .... 2. Tentukan jarak antara titik A(1, –2) dan d. cos(90º – A) = .... B(4,2).76 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut1. Rumus untuk Cos (α ± β)Amati gambar Gambar 3.1 dengan saksama. Gambar 3.1 ymenunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r C Or. Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar βB αAtersebut, diperoleh OC = OB = OD = OA = r dan koordinat titik –β xA, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r Dsin α), C(r cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,diperoleh Gambar 3.1 d 2 AB 2 xA xB 2 yA yB 2 ABsehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitua. (AC)2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2 = r2 cos2 (α + β) – 2r2cos (α + β) + r2 + r2 sin2 (α + β) = r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2 – 2r2cos (α + β) = r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos (α + β)Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos (s + β)b. (DB)2 = (r cos α – r cos β)2 + (r sin α + r sin β)2 = r2 cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2 sin2 α + 2 r2sin α sin β + r2 sin2 β = r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β ) – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β = r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin βJadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cos s cos β + 2r2 sins

Pembahasan Soal Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β), yaituDiketahui cos(A – B) = 3 dan 5 cos(α – β) = cos (α + (–β))cos A . cos B = 7 . Tentukan = cos α cos(–β) – sin α sin(–β) = cos α cos β + sin α sin β 25 cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin βnilai tan A . tan BJawab: Contoh 3.1cos (A – B) =cos A cos B + sin A sin B 1. Hitunglah cos 75°.sin A sin B =cos (A – B) – cos A cos B 2. Buktikan cosA B  1 tan A tan B .= 3 7 cos A cos B 5 25 Jawab:= 157  8 1. cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30° 25 25 = ¤¥¥¥¦ 1 2 µµ´¶µ• ¤¥¦¥¥ 1 3¶µµ´µ¦¥¤¥¥ 1 2 µ¶µ´µ•¥¥¦¤¥ 1 ´µµ¶µtan A tan B = sin A• sinB 2 2 2 2 cos A• cos B =1 61 21 2 3 1 8 4 4 4 = 25  8 77 25 2. cosA B  cos A cos B sin A sin B  cos A cos B sin A sin B Ebtanas 1998 cos A cos B cos A cos B cos A cos B cos A cos B  1 tan A tan B 2. Rumus untuk sin (α ± β) Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α

Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β Sekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendirirumus-rumus yang diberi kotak. Contoh 3.21. Hitunglah sin 15°.2. Hitunglah sin ¥¥¦¥¤ 1 P  Qµµ¶´ cos¦¥¤¥¥ 1 P Qµµ´¶µ  cos ¤¥¦¥¥ 1 P  Q¶´µµµ ¤¥¦¥¥ 1 P Qµµµ´¶ . 4 4 4 4Jawab:1. sin 15° = sin (45°–30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30° = ¦¥¥¥¤ 1 2 µ´µ¶µ • ¦¥¤¥¥ 1 3¶´µµµ ¦¥¥¥¤ 1 2 µ¶µµ´ • ¥¤¥¦¥ 1 ¶µµ´µ 2 2 2 2 Tantangan = 1 6 1 2  1 6 2 untuk Anda 44 4 1. Jelaskan mengapa2. Soal tersebut bentuknya sama dengan rumus rumus tan(t – β) = sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) dengan tanA tanB A  ¦¤¥¥ 1 P  Q¶´µ B  ¦¤¥¥¥ 1 P Qµµµ´¶ . Akibatnya, 1 tanA tanB 4 4 tidak bisa digunakan sin ¦¤¥¥¥ 1 Qµ´¶µ cos ¤¥¥¦¥ 1 Q¶µ´µµ  cos¤¥¦¥¥ 1 Qµ¶µ´µ ¥¥¥¤¦ 1 Q´µµ¶µ untuk menunjukkan 4 4 4 4 P  P P  P tan¦¥¤¥ P Q´¶µµµ cot Q. 2 = sin ¤¦¥¥¥ 1 P  Qµµ´¶ cos¤¥¦¥¥ 1 P Q¶µµµ´  cos¤¥¦¥¥ 1 P  Q¶µ´µµ ¥¥¤¦¥ 1 P Q´¶µµµ 2. Perhatikan uraian berikut. 4 4 4 4 tanÊËÁ q + p ˆ = sin 1 P  1 2 ¯˜ 2 ((= )Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba. tanq tan p / ) 1- tanq tan p / tanq 2) +13. Rumus untuk tan (α ± β) = tan( / tanq Anda telah mempelajari bahwa 2) - tanq tan( / tanA  sinA cosA = 0 0 1 - tanq Kemudian, Anda juga telah mempelajari bahwa = - 1 cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β tanq dan = - cotq sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β Jelaskan alasan setiap langkah pada uraian tersebut. Trigonometri 79

Tantangan Sekarang, pelajari uraian berikut. untuk Anda tanA B  sinA B  sin A cos B  cos A sin BJelaskan makna dari π jika cosA B cos A cos B sin A sin Bdikatakan cos P = 0 1 2dan π = 3,14 = sin A cos B  cos A sin B r cos A cos B cos A cos B sin A sin B 1 cos A B sin A cos B  cosA sin B sin A cos B  cosA sin B cosA cos B cosA cos B cosA cos B = cosA cos B sin A sin B  cosA cos B sin A sin B cosA cos B cosA cos B cosA cos B sin A  sin B  tan A  tan B cos A cos B 1 tan A tan B = 1 sin A • sin B cos A cos B Jadi, tanA B  tanA + tanB 1 tanA tanB Rumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β), sebagai berikut: tan A B  tanA  B  tan A tan B 1 tan A tanB  tan A B 1 A B Jadi, tanA B = tanA tanB 1  tanA tanB Contoh 3.3 1. Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°. 2. Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sin C  2 . Jika tan 13 A tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B. Jawab: 1. tan 50° = tan (45° + 5°) = tan 45o  tan 5o 1 tan 45o tan 5o = 1 p  1 p 1 1• p 1 p80 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

2. Langkah ke-1 y+ Kuadran II A+B Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari r soal tersebut. Diketahui: • sin C  2 x– 13 • tan A tan B = 13 • ΔABC lancip. Ditanyakan: Nilai (tan A + tan B). Langkah ke-2 Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep sudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut. Langkah ke-3 Menentukan nilai (tan A + tan B) dengan strategi yang telah diketahui. Sudut-sudut dalam ΔABC berjumlah 180° sehingga A + B + C = 180°. A + B + C = 180° C = 180° – (A + B) sin C sinA B  2 13 Karena ΔABC lancip maka (A + B) terletak di kuadran II. sin (A + B) = y  2 sehingga y = 2 dan r = 13 r 13 x = r2 y2  13 4  3 tan (A + B) = y  2  2 x 3 3 tan (A + B) = tan A + tan B 1 – tan A tan B 2  tan A + tan B 3 113 tan A + tan B = 2 12  8 3Tes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Jika cos 5° = p, sin 5° = q, dan tan 5° = r, 2. Tentukan nilai dari a. cos 80° cos 55° – sin 80° sin 55°tentukan nilai dari b. cos 350° cos 20° + sin 350° sin 20° c. sin 250° cos 25° – cos 250° sin 25°a. cos 25° d. sin 95° d. tan 85o  tan 35ob. cos 80° e. tan 55° 1 tan 85o tan 35oc. sin 40° f. tan 10° Trigonometri 81

e. tan 390o  tan 75o ini adalah T sin A  1 w. Jika berat tongkat 1 tan 390o tan 75o 23. Buktikan bahwa 4 6 newton dan α = 75°, berapa newtona. cos (60° – b) – cos (60° + b) = 3 sin b tegangan tali?b. sin (a + 45°) + sin (a – 45°) = 2 sin a T sin αc. (cos a – cos b)2 + (sin a – sin b)2 = 2 (1 – cos (a – b))d. cos ¥¦¤¥¥a P ´µ¶µµ = sin a T cos α 2 P αe. sin a = – sin a w Q4. a. Jika α dan β sudut lancip, cos A  4 , 7. Sebuah benda yang massanya m didorong 5 ke atas pada sebuah bidang miring yang dan sin B 5 , tentukan cos (α – β). kasar seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Usaha (W) oleh gaya berat saat 13 benda didorong sejauh S dirumuskan oleh W = mgs cos (90° + α). Dalam hal ini gb. Jika α di kuadran I, β di kuadran III, adalah percepatan gravitasi bumi yang besarnya 10 m/s2. tan A  3 , dan tan B  7 , tentukan a. Tunjukkan bahwa W = – mgs sin α. 4 24 b. Jika diketahui massa benda 4 kg, α = 45°, dan benda terdorong sejauh cos (α + β).c. Jika α dan β di kuadaran II, sin A  5 , 6 meter, berapa newton usaha oleh gaya berat itu? 13 dan tan B  3 , tentukan sin (α + β). N 45. a. Jika tan A  1 dan tan B  1 , 1 p 1 p buktikan bahwa tan(α + β) = –2p–2 . F Sb. Jika sin b cos (B – a) = sin a cos f 90o + α (b – B), buktikan sin (a – b) = 0. α6. Sebatang tongkat yang beratnya w di- pasang engsel pada titik P sehingga tongkat dapat bergerak bebas seperti gambar berikut. Besar tegangan tali sistem B. Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda 1. Rumus untuk sin 2α Anda telah mengetahui bahwa sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Untuk β = α, diperoleh sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α sin 2 α = 2 sin α cos α Jadi, sin 2α = 2 sin α cos α82 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

2. Rumus untuk cos 2α Anda juga telah mempelajari bahwa cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β. Untuk β = α, diperolehcos (α + α) = cos α cos α – sin α sin αcos 2α = cos2α – sin2αJadi, cos 2α = cos2α – sin2α Untuk rumus cos2α dapat juga dituliscos 2α = cos2α – sin2αcos 2α = (1 – sin2α) – sin2αcos 2α = 1 – 2 sin2αJadi, cos 2α = 1 – 2 sin2αSekarang, coba Anda tunjukkan bahwa cos 2α = 2 cos2α – 13. Rumus untuk tan 2α Dari rumustan(α + β) = tan A tan B 1 tan A tan BUntuk β = α diperolehtan(α + α) = tan A  tan A ™ tan 2α = 2 tan A 1 tan A tan A 1 tan2 AJadi, tan 2α = 2tanA 1 tan2A Contoh 3.41. Jika sin A = 6 dengan 0 < A < 1 P, tentukan sin 2A, cos 2A, 10 A 10 2 6 dan tan 2A. x2. Buktikan bahwa Gambar 3.3 sin 1 Q  o 1 cos Q 22Jawab:1. Amati Gambar 3.3. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh Trigonometri 83

x  102 62  64  8 • sin A  6  3 • tan A  6  6  3 10 5 x84 • cos A  x  8  4 10 10 5 sin2A = 2 sin A cos A = 2 • 3 • 4  24 5 5 25 cos2A = cos2A – sin2A = ¥¤¥¦¥ 4 ´µµµ¶2 ¥¤¦¥¥ 3 ´µµµ¶2  16 9  7 5 5 25 25 25 2 tan A 2• 3 6 6 • 16 27 1 tan2 A 4 47 7 tan2A =  ¦¥¤¥¥ 3 µ¶´µµ2  4   7 1 4 16 2. 2 sin2α = 1 – cos 2α ™ sin2α = 1 cos 2A ™ i  o 1 cos 2A 22 Substitusikan A 1 Q ke persamaan tersebut, diperoleh 2 sin 1 Q  o 1 cos 2 ¥¦¤¥¥ 1 Qµ´µµ¶ 1 1 cos Q 2 ™ sin Q  o 2 2 22 Contoh 3.5 Sebuah meriam yang ditembakkan ke atas membentuk sudut Q terhadap arah horizontal (perhatikan Gambar 3.4). Diketahui kecepatan awal peluru meriam v0 m/s dan jarak R yang ditempuh 1 peluru meriam memenuhi persamaan R= 16 v0 2 sin Q cos Q . a. Tunjukkan bahwa R = 1 v0 2 sin 2Q. 32 b. Carilah sudut Q yang memberikan R maksimum.Gambar 3.4 Jawab: a. Langkah ke-1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal. Diketahui: • Kecepatan awal peluru meriam = vo m/s. • Jarak yang ditempuh peluru meriam = R. Ditanyakan: Menunjukkan R = 1 v0 2 sin 2Q 3284 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Langkah ke-2Menentukan konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikansoal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rumustrigonometri untuk sudut ganda.Langkah ke-3Menunjukkan R= 1 v0 2 sin 2Q menggunakan strategi yang 32telah diketahui.Anda telah mengetahui sin 2 Q = 2sin Q cos Q sehinggaR 1 v0 2 sinq cosq = 1 v0 2 2 sinq cosq 1 v0 2 sin 2q . 16 16 2 32b. Untuk kecepatan awal v0, sudut θ terhadap arah horizontal mempengaruhi nilai R. Oleh karena fungsi sinus memiliki nilai maksimum 1, R akan maksimum ketika 2 Q = 90° ™ Q = 45°Tes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. a. Jika sin A = 9 dengan 0 < A < 1 P , Misalkan sudut kemiringannya 22,5°, 15 2 tentukan percepatan yang dialami silinder jika hitunglah sin 2A, cos 2A, dan tan 2A. a. tidak ada gesekan b. silinder menggelindingb. Jika tan α = 2 3x 1 dan α lancip, 3x (Petunjuk: jangan gunakan kalkulator, gunakan rumus setengah sudut) hitunglah sin 2α, cos 2α, dan tan 2α. 5. Gambar berikut memperlihatkan sebuah2. Jika cos α = 1 5 dan 3P < α < 2π, titik yang bergerak melingkar beraturan.hitunglah 5 2 ya. sin 3α c. sin 4αb. cos 3α d. cos 4α P' RQ= A P P\"3. Jika tan α = –a dan P < α < π, tentukan x 2a. sin 3α c. sin 4αb. cos 3α d. cos 4α4. Percepatan yang dialami silinder pejal Simpangan dari getaran titik P' dirumuskan yang ditempatkan pada bidang miring dengan sudut kemiringan α dirumuskan oleh y = A sin ¤¥¦¥¥ 2P ¶µµµ´t . sebagai berikut. T a. a = g sin α jika tidak ada gesekan antara silinder dan bidang miring. Dalam hal ini,b. a = 2 g sin α jika silinder meng- A = amplitudo getaran, 3 T = periode getaran, dan gelinding. t = lamanya titik benda bergetar. Trigonometri 85

Jika periode getaran 8 sekon dan benda 8. Diketahui sin P = 12 , dengan 0 < P < 1 P. titik bergetar selama 3 sekon, tentukan 20 2 2 Hitunglah sin 2P, cos 2P, dan tan 2P. simpangan dari getaran a. titik P' 9. Dengan menggunakan rumus setengah b. titik P\"t sudut, hitunglah: (Petunjuk: gunakan rumus setengah sudut). a. tan 22,5º d. cos 112,5º6. Tulislah rumus sin 4a dan cos 4a. b. tan 165º e. sin 292,5º7. Nyatakan sin 16a dengan sin 8a dan cos c. cos 67,5º f. sin 157,5º 8a. 10. Untuk tan x = 2 , tan y = 3, hitunglah: 34 a. tan 2 x c. tan (2x + y) b. tan 2 y d. tan (x + 2y)C. Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus1. Perkalian Sinus dan Kosinus Anda telah mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisihdua sudut, yaitu: cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dankosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut. cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1) cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2) Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akanmemperoleh cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos βJadi, cos A cos B  cos A B + cos A B 2cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperolehcos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin βJadi, sinA sin B  cos A B cos A B 286 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5) Pembahasan Soal sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6) Bentuk sederhana 4 sin 36°Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh cos 72° sin 108° adalah .... sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β JawabJadi, sinA cos B  sinA B  sinA B 4 sin 36° cos 72°sin 108° = 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] = 2 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°] = sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7) 2 sin 36°[0 + sin 36°] = sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8) 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh = 1 – cos 72° sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β Soal Ebtanas 2000Jadi, cos A B  sinA B sinA B 2 Contoh 3.61. Hitunglah: a. cos 75° cos15° b. –2 sin 15°sin 75°2. Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.Jawab:1. a. cos 75° cos 15° = 1 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°) 2 = 1 (cos 90° + cos 60°) = 1 ¤¥¥¥¦0  1 µµµ´¶  1 2 2 2 4 b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)° = cos 90° – cos (–60)° = cos 90° – cos 60° =0– 1 =–1 222. 4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°] = 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°] = 2 sin 72°[0 + sin72°] = 2 sin cos 2 (72°) = 1 – cos2(72°) = 1 – cos144°2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus Rumus perkalian sinus dan kosinus di bagian C.1 dapatditulis dalam rumus berikut. cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9) cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10) Trigonometri 87

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11) sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12) Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh p + q = (α + β) + (α – β) = 2α A 1  .... (13) 2 p – q = α + β – α + β = 2β B 1 ....(14) 2 Coba Anda substitusikan persamaan (13) dan (14) pada rumus (9) sampai (12). Apakah Anda memperoleh kesimpulan berikut? Pembahasan Soal cos p + cos q = 2 cos 1 (p + q) cos 1 (p – q)Nilai dari sin 105° – sin 15° 22adalah .... cos p – cos q = –2 sin 1 (p + q) sin 1 (p – q)Jawab:sin 105° – sin 15° = 22 2cos 1 105o 15o sin p + sin q = 2 sin 1 (p + q) cos 1 (p – q) 2 22 sin 1 105o 15o 2 sin p – sin q = 2 cos 1 (p + q) sin 1 (p – q)2• 1 3• 1 2 22 221 6 Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian. 2 Contoh 3.7 Soal Ebtanas 1997 1. sin 105° + sin 15° = 2 sin 1 (105 + 15)° cos 1 (105 – 15)° 22 = 2 sin 1 (120)° cos 1 (90)° 22 = 2 sin 60° cos 45° = 2•1 3•1 2  1 6 22 2 2. cos 75° – cos 15° = –2 sin 1 (75° + 15°) sin 1 (75° – 15°) 22 = –2 sin 45° sin 30° = – 2 • ¥¥¤¦¥ 1 2 ¶´µµµ • ¥¥¤¦¥ 1 µ´µ¶µ  1 2 2 2 288 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

3. Identitas Trigonometri Misalkan, Anda akan membuktikan kebenaran hubunganberikut. cos4 sin4A = cos4A ...(15) 1 tanACara membuktikannya dengan mengubah bentuk darisalah satu ruas persamaan tersebut sehingga menjadi bentukyang sama dengan ruas lainnya.Misalkan, Anda akan mengubah ruas kiri persamaantersebut sehingga menjadi bentuk yang sama seperti di ruaskanan. Pembahasan Soal( )(cos4 a sin4 a cos2 a )sin2 a ( )(1- tan4 a - ) = cos2 a sin2 a Bentuk 2 tan x ekuivalen + 1 tan2 x ( )=1◊ - dengan .... sec2 a Ê 1 - sin2 a ˆ Jawab: ËÁ cos2 a ˜¯ 2 tan x 2 sin x ( )=  cos x - 1 Ê cos2 a sin2 a ˆ 1 tan2 x 1 sin2 x cos2 a ËÁ cos2 a cos2 a ¯˜ cos2 x -  cos2 x ( )= cos2 x  s 2 x - 1 Ê cos2 a - sin2 a ˆ cos2 x cos2 a ÁË cos2 a ¯˜  sin2x  sin2x 1 Soal Ebtanas 2000 = ( - ) )= 1 - 1 1 ( cos4 a cos4 a = cos4α .... (16) Bentuk (16) adalah bentuk yang sama dengan bentuk ruaskanan persamaan (15). Untuk menunjukkan kebenaran suatuidentitas trigonometri, diperlukan pemahaman tentang identitasdasar seperti yang telah Anda pelajari dalam pembahasansebelumnya. Sekarang, coba Anda ubah ruas kanan dari identitas(15) sehingga diperoleh ruas kiri. Trigonometri 89

Hal Penting Contoh 3.8t
USJHPOPNFUSJ Buktikan kebenaran identitas berikut.t
TJOVT 2 si 3x  2 cos 3x  8 o 2xt
DPTJOVTt
UBOHFO sin x cos xt
TVEVU HBOEB Jawab:t
JEFOUJUBT USJHPOPNFUSJ 2 si 3x  2 cos 3x  2 sin 3x cos x  2 cos 3x sin x sin x cos x sin x cos x  2 sin x  x  4 sin 4x sin 2x 1 sin 2x 2  42 sin 2x cos 2x  8 cos 2x sin 2xTes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihan Anda. 4. Buktikan kebenaran identitas berikut.1. Tentukan nilai dari soal-soal berikut ini. a. sin A  sin B  tan A  B a. cos 105º cos 15º cos A  cos B 2 b. sin 75º cos 15º c. 2 cos 15º sin 45º b. sin 4  sin 2A  tan 3A d. 2 cos 75º sin 45º cos 4  cos 2A e. 2 sin 82,5º cos 37,5º f. 2 sin 127,5º sin 97,5º c. sin A sin B  tan 1 A B sin A  sin B tan 2 A  B 2. Tentukan nilai dari soal-soal berikut. 1 a. sin 75° + sin 15° b. sin 75° – sin 45° 2 c. cos 45° – cos 15° d. cos 105° + cos 15° 5. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatu jumlah atau selisih.3. Hitunglah soal-soal berikut. a. cos 3x cos 2x e. 2 cos 3x cos 6x a. cos 465° cos 165° b. sin 4x sin 3x f. 2 sin 3x sin 5x b. sin 75o  sin15o c. sin 5x cos 2x g. 2 sin 2x cos 7x cos 75o cos15o d. cos 7x sin 3x h. 2 cos 5x sin 8x c. cos 220° + cos 100° + cos 20° d. cos 130° + cos 110° + cos 10° 6. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatu e. sin115o  sin 35o hasil kali. cos115o cos 35o a. cos 3x + cos 2x b. cos 4x – cos 3x c. sin 5x + sin 2x d. sin 7x – sin 3x90 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

e. 1 cos x  1 cos 3x 8. Jika x = sin 3 Q + sin Q dan y = cos 3 Q + 22 cos Q , buktikan identitas berikut. a. x + y = 2 cos Q (sin 2 Q + cos 2 Q )f. 1 cos 5x o 6x b. x  tan 2Q y 2 c. x2 + y2 = 2 + 2 cos 2 Q7. Buktikan kebenaran identitas berikut. a. sin A  sin 3A  cot A 9. Jelaskan strategi yang Anda lakukan untuk cos A cos 3A menyelesaikan soal pembuktian identitas trigonometri. Bandingkan hasilnya denganb. sin A  sin B  tan A  B teman lain. Manakah yang strateginyacos A  cos B 2 lebih baik?c. sin A  sin B  cot B Acos A cos B 2 Rangkuman• Rumus-rumus jumlah dan selisih sudut adalah 1. cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β 2. cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β 3. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 4. sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β tan A  tan B 5. tan (α + β) = 1 tan A • tan B Sekarang, lanjutkan rangkuman di atas. RefleksiSetelah Anda mempelajari Bab 3,1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang mudah,2. bagian manakah yang menurut Anda amat menarik dan penting untuk dipelajari. Trigonometri 91

Tes Kompetensi Bab 3A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. sin15o cos15o  .... 7. Jika sin A 4 , cos B 5 , A B tan 15 o 5 13 2 31 ¥¦¥¤ 21 6 µµ´µ¶ di kuadran I maka sin(α – β) = .... 4 2  a. d. a. 56 d. 63 65 65 2 31 ¥¤¦¥ 31 6 µ¶µ´µ 4 3 b. 33 e. 64  b. e. 65 65 c. 2 3 c. 16 652. sin (45° + α) – sin (45° – α) = .... a. 2 sin A d. 2 cos A 8. Jika cos A  5 dan sin B  7 , α di b. 2 sin A e. sin 2A 34 c. 2 cos A kuadran II, dan β di kuadran IV maka cos (α + β) = ....3. sin (30o + β) + cos (60o + β)= .... a. sin β d. 2 cos β a. 3 5  2 7 d. 6 35 12 12 b. cos β e. cos B c. 2 sin β 2 b. 3 5 2 7 e. 8 35 12 124. sina b  .... c. 6  35 tan a tan b 12 a. cos a cos b d. –sin a sin b b. sin a sin b e. cos (a–b) 9. J i k a tan2 x  1; 0o a x a 90o maka c. –cos a cos b 1 sec x5. Jika sin A  2 dan cos A < 0 maka tan 2A sudut x adalah .... = .... 3 a. 0° d. 60° a. 4 5 d. 4 5 b. 30° e. 75° 5 9 c. 45° b. 4 5 e. 4 5 10. Bentuk sin x cos x ekuivalen dengan .... cos2x sin2x c. 4 5 9 a. 1 tan2x d. 1 tan2 x tan x tan x6. Jika sin 38° = p maka sin 76° = .... tan x tan x a. 2 p 1 p2 d. 2p2 – 1 b. 1 tan2 x e. 1 tan2 x b. 2p2 + 1 e. p c. 2p c. 1 tan x 1 p292 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

11. sin (x + 30) + cos (x + 60)=… a. 1 d. 6 3 e. 2a. sin x d. cotan x b. 2 3b. cos x e. sec x c. 3c. sin x12. –2 sin2 sin 15˚ sin 75˚ = .... 17. Identitas yang benar adalah .... (1) cos 2x = cos4x – sin4xa. 1 d. 1 (2) cos 2x = (cos x + sin x) (cos x – sin x) 42 (3) cos 2x = sin P cos 2x – cos P sin 2xb. 1 2 e. 1 22 24c. 1 (4) cos 2x = 2 cos2x + 1 2 a. (1), (2), dan (3) b. (1), dan (3)13. Jika sin Q 2 10 , Q di kuadran IV maka c. (2) dan (4) tan 1 Q  .... 7 d. (4) 2 e. semua benara. 2 e. 3 18. Fungsi y = 4 sin x sin (x + 60°) mencapai 5 5 nilai minimum pada .... a. x = 60° + k 360°b. 5 d. 5 b. x = 60° + k 180° 2 2 c. x = 30° + k 360° d. x = 30° + k 180°c. 2 e. x = k 360° 514. cos 110° sin 55° = .... 19. sin 292 1 o  .... 2 a. 1 sin165o  sin 55o a. 1 2 3 d. 1 2 3 2 2 2b. 1 sin165o sin 55o b. 1 2  2 2 e. 1 2  2 22 2c. 1 sin 55o sin165o c. 1 2  2 2 2d. 1 cos165o  cos 55o 20. Jika cos Q  3 maka tan 2 Q = .... 4 2e. 1 cos165o cos 55o a. 24 d. 24 7 5 215. cos 35° – cos 75° = ...a. –2 sin 55° sin 20° b. 24 e. o 24 7 7b. 2 sin 55° cos 20°c. –2 sin 55° cos 20° c. 24 5d. 2 cos 55° sin 20°e. –2 cos 55°cos 20°16. Periode grafik fungsi y 1 Px adalah 32P maka nilai P adalah ....3 Trigonometri 93