Kelas XII_SMA IPA_Matematika_Pesta ES

Matematika Aplikasi Jilid 3 untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan NasionalDaftar Isi i

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangMatematika AplikasiJilid 3Untuk SMA dan MA Kelas XIIProgram Studi Ilmu AlamPenulis : Pesta E. S. Cecep Anwar H. F. S.Penelaah : Drs. Suwarkono, M.ScEditor : Adi Setiyawan Agus Tri AntoroPerancang Kulit : Henry Nur PatriaTata Letak : Riefmanto Sri SugiyarniIlustrasi : Andie AnakotaUkuran Buku : 20,5 x 28 cm510.07 PESTA E.SPES Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi m ilmu alam/Pesta E>S, Cecep Anwar H. F .S ; editor Adi Setiyawan, Agus Tri Antoro. — Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. x, 194 hlm. : ilus. ; 28 Cm. Bibliografi : hlm.190 Indeks ISBN 979-462-948-0 1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II. Cecep Anwar H. F. SDiterbitkan oleh Pusat Perbukuan Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu AlamDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ... ii ii

KATA SAMBUTAN Puji syukur kami panjatkan ke hadiratAllah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah,dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku tekspelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website)Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkansebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam prosespembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telahberkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakansecara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen PendidikanNasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi olehmasyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhiketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebihmudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang beradadi luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkanselamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masihperlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat PerbukuanKata Sambutan iii

KATA PENGANTAR Upaya menyeluruh dari pemerintah untuk meningkatkan mutu pendidikan meliputi aspek-aspek pengetahuan, keterampilan, sikap, dan nilai-nilai. Pengembangan aspek- aspek tersebut dilakukan untuk meningkatkan dan mengembangkan kecakapan hidup (life-skills) melalui seperangkat kompetensi agar siswa dapat bertahan hidup, menyesuaikan diri, dan berhasil di masa datang. Kebijakan pemerintah ini telah menyulut pemikiran penulis untuk ikut meningkatkan mutu pendidikan. Upaya yang penulis lakukan adalah dengan menyusun perangkat buku pelajaran Matematika Aplikasi untuk siswa Sekolah Menengah Atas (SMA) dan Madrasah Aliyah (MA). Buku ini berbalur ungkapan santun dengan bahasa yang komunikatif sehingga mudah dipahami oleh siswa. Selain itu, buku ini juga didukung dengan tampilan tata letak yang baik, disain dan ilustrasi yang menarik dengan memperhatikan tingkat pemahaman siswa. Dengan mengusung pendekatan induktif-dedukatif konstruktif, konsep dalam buku ini mengakar ke dalam pemikiran siswa karena pengenalan konsep-konsep ini disajikan dengan memberikan masalah yang memiliki makna dalam kehidupan sehari-hari. Kebermaknaan ini dapat dirasakan dari awal mempelajari setiap pelajaran dalam buku ini. Sebagai buku siswa, buku ini dilengkapi dengan bagian pelatihan yang terdiri atas dua kelompok soal. Masing-masing diberi nama Asah Kompetensi dan Asah Kemampuan. Bagian pelatihan ini dimaksudkan untuk mengukur penguasaan siswa terhadap konsep yang diberikan. Dalam buku ini, siswa juga dapat menemukan bagian pengayaan seperti Aktivitas di Kelas yang berisi kegiatan untuk dilakukan oleh siswa, Sahabat Kita yang berisi informasi tentang tokoh matematika, GameMath yang berisi pemainan matematika, dan Siapa Berani yang berisi soal-soal menantang khusus diberikan bagi siswa penggemar matematika. Terbitnya buku ini diharapkan seperti matahari yang mampu menjadi energi dan penerang dalam pendidikan bangsa kita. Buku ini masih jauh dari sempurna, kritik dan saran yang ada hubungannya dengan penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi berikutnya. Jakarta, Juli 2008 Penulisiviv Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Pada setiap awal bab terdapat Daftar simbol merupakantujuan pembelajaran untuk kumpulan simbol ataumengetahui isi dan manfaat rotasi beserta penjelasan-setelah mempelajari bab nya yang dilengkapi nomortersebut dan diberikan juga halaman kemunculannya.pengantar bab berupa uraiansingkat dan gambar yangberhubungan dengan kehidupansehari-hari.Ada Aktivitas di Kelas yang merupakan kegiatan di Catatan disajikan berupamana kamu dapat mengembangkan keterampilan informasi yang bergunadalam merencanakan melaksanakan dan untuk memperjelas konsepmenyimpulkan aktivitas. Matematika.Info Math disisipkan sebagai informasi untuk Sahabat Kita merupakan informasi latar belakangmembuka wawasan sehingga tidak buta terhadap matematikawan yang telah berjasa dengan mene-informasi Matematika dan perkembangan teknologi. mukan berbagai macam teori yang sekarang ini digunakan dan dirasakan manfaatnya. Asah Kompetensi digunakan untuk mengukur Siapa Berani merupakan soal-soal yang kemampuan dalam menguasai materi yang telah menantang. Soal-soal ini khusus diberikan buat dibahas. kamu yang gemar Matematika dan telah memahami materi.Apakah Keunggulan Buku Ini? v

GameMath berisi soal berupa permainan Asah Kemampuan digunakan untuk mengujimatematika. Jawabannya dapat dicari dengan kamu dalam menyelesaikan soal-soal relatifmenggunakan logika sehingga dapat mengasah lebih sulit yang berkaitan dengan materi yanglogika dan cara berpikir kritis. telah dibahas.Rangkuman disajikan di Ulangan Bab disajikanakhir materi bab supaya untuk mengukur ke-kamu dapat dengan mampuan kamu dalamcepat mengingat kem- menguasai semua materibali materi-materi yang yang telah dibahas dalamtelah dipelajari pada bab tersebut.bab tersebut.Tugas Akhir digunakan untuk mengukurkemampuan kamu mengingat danmenguasai semua materi yang telahdipelajari selama dua semester.Glosarium disajikan untuk memahami istilah- Indeks merupakan kumpulan istilah penting yangistilah penting yang disusun secara alfabetis dilengkapi dengan nomor halaman kemunculanbeserta penjelasannya. istilah dan disajikan secara alfabetis.vivi Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

DAFTAR ISIKata Sambutan ...................................................................................................................... iiiKata Pengantar ...................................................................................................................... ivApakah Keunggulan Buku Ini? ............................................................................................... vDaftar Simbol ......................................................................................................................... ixBAB 1 INTEGRAL ................................................................................................ 1 A. Pengertian Integral .................................................................................... 2 B. Integral Tak Tentu ...................................................................................... 4 C. Integral Tertentu ......................................................................................... 13 D. Menentukan Luas Daerah ......................................................................... 21 E. Menentukan Volume Benda Putar ............................................................ 26 Rangkuman ........................................................................................................ 31 Ulangan Bab 1 .................................................................................................. 33BAB 2 PROGRAM LINEAR ................................................................................. 35 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .......................................... 36 B. Model Matematika ...................................................................................... 39 C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif ....................................................... 41 Rangkuman ........................................................................................................ 47 Ulangan Bab 2 .................................................................................................. 48BAB 3 MATRIKS .................................................................................................. 51 A. Pengertian Matriks ..................................................................................... 52 B. Operasi Hitung pada Matriks .................................................................... 57 C. Determinan dan Invers Matriks ................................................................. 69 D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear ............................. 76 Rangkuman ........................................................................................................ 79 Ulangan Bab 3 .................................................................................................. 80BAB 4 VEKTOR ................................................................................................... 83 A. Pengertian Vektor ...................................................................................... 84 B. Operasi pada Vektor ................................................................................. 89Daftar Isi vii

C. Perbandingan Vektor ................................................................................. 98D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor ................................... 100Rangkuman ........................................................................................................ 104Ulangan Bab 4 .................................................................................................. 107BAB 5 BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA .............................................. 109A. Barisan dan Deret Aritmetika ................................................................... 110B. Barisan dan Deret Geometri .................................................................... 114C. Notasi Sigma dan Induksi Matematika ..................................................... 120D Aplikasi Barisan dan Deret ....................................................................... 124Rangkuman ........................................................................................................ 127Ulangan Bab 5 .................................................................................................. 129BAB 6 TRANSFORMASI GEOMETRI ................................................................ 131A. Translasi .................................................................................................... 132B. Refleksi ...................................................................................................... 138C. Rotasi ........................................................................................................ 146D. Dilatasi ....................................................................................................... 151E. Komposisi Transformasi dengan Matriks ................................................. 153Rangkuman ........................................................................................................ 156Ulangan Bab 6 .................................................................................................. 158BAB 7 FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA ............................................................................................. 161A. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma ...................................... 162B. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen ............................................ 165C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma ............................................ 173Rangkuman ........................................................................................................ 179Ulangan Bab 7 .................................................................................................. 181Tugas Akhir ....................................................................................................... 184Glosarium ........................................................................................................... 187Pustaka Acuan ................................................................................................... 190Kunci Jawaban .................................................................................................. 191Indeks ................................................................................................................. 193viiiviii Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

DAFTAR SIMBOL³dxynf (x) dx Simbol Arti Halaman + Tanda penjumlahan, ditambah, plus 2, 36, 57, 90, 110, 133dx − Tanda pengurangan, dikurang, 2, 36, 67, 85, 110, 133, 162 diambil, minus = Sama dengan 2, 36, 67, 89, 110, 133, 162 ×, ⋅ Tanda perkalian, dikali dengan 52, 137 :, ÷ Tanda pembagian, dibagi dengan 98 > Lebih besar dari 36, 116, 151, 162 < Lebih kecil dari 36, 116, 151, 162 ≥ Lebih besar atau sama dengan 21, 37 ≤ Lebih kecil atau sama dengan 22, 36 ≠ Tidak sama dengan 71, 167 ± Kurang lebih, plus minus 6, 116 a b a dibagi b, a per b 2, 111, 162 () Tanda kurung 4, 55, 85, 110, 132, 162 f (x) Akar kuadrat dari n 9, 85, 162 f ′(x) Fungsi x 2, 162 f (x, y) Turunan pertama dari fungsi f(x) 2 Fungsi objektif dari x dan y 40 c Nilai mutlak x 28, 69, 89, 117 [a, b] Turunan fungsi y terhadap x 4 x ∑ Integral fungsi f(x) terhadap dx 4 Konstanta 4 Interval, selang tertutup a sampai b 4 Rata-rata, mean 26 Notasi sigma 14, 120 ix Daftar ISsimbol

Simbol Arti Halaman Un Suku ke-n Sn Jumlah n suku yang pertama 110 S∝ Jumlah suku tak terhingga 111 Sinus x 116 sin x Cosinus x cos x Tangen x 5, 146 tan x Secan x 5, 146 sec x 5, 150 9lim f (x) Limit x mendekati dari f(x) 14xoa Matriks dengan i baris dan j kolom 53 Ai × j 54 At Transpos dari A 133 A′ Bayangan pertama dari A 142 A′′ 142 A′′′ Bayangan kedua dari A 71 A 71 A−1 Bayangan ketiga dari A 84 133T2 ο T1 Determinan A log x Invers dari A Vektor bawah dari A ke B Komposisi transformasi T1 dilanjutkan dengan T2 Logaritma dari x 162xx Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Integral B A B 1 A. Pengertian Integral B. Integral Tak Tentu C. Integral Tertentu D. Menentukan Luas Daerah E. Menentukan Volume Benda PutarSumber: www.wallpaperbase.comPernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakahbentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-balingpesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakahbentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar,kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkahkalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaranbaling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapatmengetahuinya.Bab 1 Integral 1

A. Pengertian Integral Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahamantentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahamikonsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.• fffff34152(((((xxxxx))))) 3x3  3• 3x3  7• 3x3  1• 3x3  10• 3x3  99 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umumf(x) 3x3  c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunanf c(x) 9x2.Jadi, turunan fungsi f(x) 3x3  c adalah f c(x) 9x2. Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f(x) darif c(x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f c (x), berarti menentukanantiturunan dari f c(x). Sehingga, integral merupakan antiturunan(antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat Fc(x) f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut. ³ f(x) dx F(x)  cdengan:³ notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)f(x) fungsi integranF(x) fungsi integral umum yang bersifat Fc(x) f(x)c konstanta pengintegralanSekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.• g1(x) x, didapat g1c(x) 1. Jadi, jika g1c(x) 1 maka g1(x) ³ g1c(x) dx x  c1.• g2(x) 1 x2, didapat g2c(x) x. 2 1 Jadi, jika g2c(x) x maka g2(x) ³ g2c(x) dx 2 x2  c2.• g3(x)  1 x3, didapat g3c(x) x2. 3 Jadi, jika g3c(x) x2 maka g3(x)  ³ g3c(x) dx 1 x3  c3. 3• g4(x) 1 x6, didapat g4c(x) x5. 6 Jadi, jika g4c(x) x5 maka g4(x) ³ g4c(x) dx 1 x6  c4. 622 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Dari uraian ini, tampak bahwa jika g‘(x) xn, maka g(x)  n 1 1 xn1 c atau  1dapat dituliskan ³ xndx n  1 xn1  c, n z 1.Sebagai contoh, turunan fungsi f(x) 3x3  c adalah f c(x) 9x2.Ini berarti, antiturunan dari f c(x) 9x2 adalah f(x) 3x3  c atau dituliskan³ f ‘(x) dx 3x2  c.Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.Jika f ‘(x) xn, maka f(x)  1 1 xn1  c, n z 1 dengan c suatukonstanta nContoh1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut!a. f(x) 5x2  10 c. f(x) 1 x3  2x 2b. f(x) 2x3  3x2  4x  5 d. f(x) 1 x4  1 x3  1 x2  1 4 3 2Jawab:a. f ’(x) (2 ˜ 5)x2  1 0 10xb. f ’(x) (3 ˜ 2)x3  1 (2 ˜ 3)x2  1  (1 ˜ 4)x1  1  0 6x2  6x  4c. f ’(x) § 3 ˜ 1 · x3  1  (1 ˜ 2)x1  1 ¨© 2 ¸¹ 3 x2  2 2d. f ’(x)  § 4 ˜ 1 · x4  1  ¨§© 3 ˜ 1 ¸·¹ x3  1  § 2 ˜ 1 · x2  1  0 ¨© 4 ¸¹ 3 ©¨ 2 ¹¸ x3  x2  x2. Tentukanlah antiturunan x jika diketahui:a. g1c(x) x3 c. g3c(x) 3x4  2xb. g2c(x) 2x6  3 d. g4c(x) x2  4x  1 2Jawab:a. g1(x)  1 x3  1   1 x4  c  4 3 1b. g2(x) 2 x6  1  3 1 x0  1 2 x7  3x  c   7 6 1 0c. g3(x) 3 1 x4  1  2 1 x1  1  c  3 x 5  2 x2  3 x5  x2  c   5 2 5 4 1Bab 1 Integral 3

d. g4(x) 1 x2  1 4 x1  1  1 c   2 2 1  1 1  0 1x0 1    1 x3  4 x2  1 x1  c 3 2 2 1 x3  2x2  1 x  c 3 2B. Integral Tak Tentu Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integralmerupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapatdidiferensialkan pada interval >a, b@ sedemikian hingga d(F(x)) f(x), dxmaka antiturunan dari f(x) adalah F(x)  c.Secara matematis, ditulis ³ f (x) dx  F(x)  cdi mana ³ dx Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c KonstantaSebagai contoh, dapat kalian tuliskan ³ x2 dx x3  c 3karena d § x3  c · x2 dx ©¨ 3 ¹¸Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagaiwakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilaikonstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikanteorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitungintegral.Teorema 1 1 x n 1  c di mana Jika n bilangan rasional dan nz 1, maka ³ xn dx n 1c adalah konstanta. Teorema 2 Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka ³ kf (x) dx k ³ f (x)dx44 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Teorema 3Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x)dx  ³ g(x) dxTeorema 4Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x) dx  ³ g(x) dxTeorema 5Aturan integral substitusiJika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan³rasional tak nol, maka (u(x))r uc(x)dx r 1 1 (u( x ))r  1  c, di mana c adalah konstanta dan r z 1.Teorema 6Aturan integral parsialJika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka ³ u dv uv  ³ v duTeorema 7Aturan integral trigonometri• ³ cos x dx sin x  c• ³ sin x dx  cos x  c• ³ 1 x dx tan x  c cos2di mana c adalah konstantaBab 1 Integral 5

Pembuktian Teorema 11 Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan xn  1  c yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut. d ( x n  1  c) (n  1)xn . . . kalikan kedua ruas dengan 1 dx n1n 1 1 ˜ d ¬ªxn1  c º¼ n 1 1 ˜ n  1xn  dx  d ª xn1  c º xn dx «¬ n1 »¼Sehingga ³ xn dx 1 1 xn  1  c  nPembuktian Teorema 3 dan 4Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan³ f (x) dx r ³ g(x) dx yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.d ª¬³ f (x) dx r ³ g(x) dx ¼º d ª¬³ f (x) dx¼º r d ¬ª ³ g(x) dxº¼ f xr gxdx dx dxddx ¬ª³ f (x) dx r ³ g(x) dx¼º f (x) r g(x)Sehingga didapat:³ ( f (x) r g(x)) dx ³ f (x) dx r ³ g(x) dxContohHitunglah integral dari ³(3x2  3x  7) dx!Jawab:³ (3x2  3x  7) dx 3³ x2 dx  3³ x dx  ³ 7 dx (Teorema 2, 3, dan 4)  2 3 1 x2  1 3 1 x1  7x  c (Teorema 1)   3 x3  2 x 2  7x  c³Jadi, (3x2  3x  7) dx x3  3 x2  7x  c. 266 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Pembuktian Teorema 6Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsif(x) u(x) ˜ v(x) adalah d >u(x )v(x)@ ux˜ vcx vx˜ucx dxAkan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut.Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaanseperti berikut.³ d ª¬u x ˜ v x ¼º ³ u x ˜ vc xdx  ³ v x˜ ucxdx dx ux˜ v x ³ ux˜ vcxdx  ³ v x˜ ucxdx ³ ux˜ vcxdx u x˜ v x ³ v x˜ ucxdxKarena vc(x) dx dv dan u’(x) dx duMaka persamaan dapat ditulis ³ u dv uv  ³ v duB. 1. Aturan Integral Substitusi Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturanini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapatdiselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebihjelasnya, perhatikan contoh berikut ini.ContohHitunglah integral dari: b. ³ sin x x dx x 4dx 1  2x2a. ³ x 9  x2 dx  c.³Jawab:a. Misalkan u 9  x2, maka du 2x dx x dx du 2 ³ x 9  x2 dx  1 ³ u 1 ¨©§ du ¸·¹ 2 2 ³ 9  x2 2 xdx 1 3 1 2 1 2u2  2 ³ u du  2 u 3 c  1 u 2 u3 u 2  c  1 u u c 2 3 3  1 3 9  x2 9  x2  c  ³Jadi, x 9  x2 dx 1 9  x2  c .  3 9  x2Bab 1 Integral 7

b. Misalkan u 1 x x2 du 1 x  1 1 dx 2 2 2x dx 2 x du, sehingga ³ sin x x dx ³ sin u ˜ 2 x du x 2³ sin u du 2 cos u  c 2 cos x  cc. Misalkan u 1  2x2, makadu  4x dx dx du 4x sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut. ³ x dx ³ x ˜ du (Teorema 5) u4 (4x) 1  2x2 4 1 ³ 4 u4 du §  1 ·§  1 · u3  c ¨© 4 ¹¸ ©¨ 3 ¹¸ 1 12 u3  c Substitusi u 1  2x2 ke persamaan 12u3  c ³ x dx  1 u3  c 12 1  2x2 4 1  12 (1  2x2 )3  c ³Jadi, x dx 1 (1  2x2 )3  c 1  c. (1  2x2 )4 12 12(1  2x2 )3Pembuktian Teorema 7Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri,yaitu d (sin x) cos x, d (cos x) sin x, dan d (tan x) sec2x. dx dx dxBerikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometrimenggunakan rumus tersebut. Caranya adalah denganmengintegralkan kedua ruas seperti berikut.• Dari d (sin x) cos x diperoleh ³ cos x dx sin x  c dx d• Dari dx (cos x) sin x diperoleh ³ sin x dx cos x  c• Dari d (tan x) sec2x diperoleh ³ sec2 x  tan x  c dx88 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

B. 2. Integral dengan Bentuk a2  x2 , a2  x2 , dan x2  a2 Pengintegralan bentuk-bentuk a2  x2 , a2  x2 , dan x2  a2 dapatdilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x a sin t, x a tan t ,x a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini. x a2  x2  a2  a2 sin2 t a2 1  sin2 t Ingat  a2  cos2 t a cost ³ cos (ax  b) dx 1 sin (ax b) a   c x a2  x2  a2  a2 tan2 t a2 1  tan2 t ³ sin (ax  b) dx 1 cos (ax b)  a2 sec2 t a sec t  a   c ³ sec2(ax  b) dx 1 tan (ax b) a   cx x2  a2  a2 sec2 t  a2  a2 sec2 t  1 a2 tan2 t a tan txa x x2  a2 x t x2  a2 a2  x2 t t (i) a a (ii) (iii) Gambar 1.1 Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri:(i) a2  x2 a cost , (ii) a2  x2 a sec t , (iii) x2  a2 a tan tContoh 1. Hitunglah setiap integral berikut! a. ³ sin (3x  1) cos (3x  1) dx b. x2 dx 9  x2 Jawab: a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin (3x  1) cos (3x  1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaituBab 1 Integral 9

sin D cos D 1 sin 2D. 2 Dengan rumus ini, kalian mendapatkan: ³ sin (3x  1) cos (3x  1) dx ³ 1 sin (6x  2) dx 2 1 2 ³ sin (6x  2) dx 1 ©¨§ 1 ·¸¹ cos (6x  2)  c 2 6 1  12 cos (6x  2)  c Jadi, ³ sin 3x  1 cos3x  1dx  1  cos6x  2  c 12 b. Misalkan, x 3 sin t, maka sin t  x dan dx 3 cos t dt. 3 Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini! Dari segitiga di samping, cos t  9  x2 3 3 x 9  x2 3 cos t t ³ ³x2 dx (3 sin t)2 ˜ 3 cos t dt 9  x2 9  x2 3 cos t Ingat, rumus kosinus sudut rangkap 9 ³ sin2 t cos 2t 1  2 sin2 tx Inga at  ³ 1 (1  cos 2t) dt Integral bentuk: 2 • a2  x2 diubah ³ x2 dx 9 ³ (1  cos 2t) dt menjadi x a sin t 9  x2 2 • a2  x2 diubah 9 ¨§© t  1 sin 2t ¹¸·  c menjadi x a tan t 2 2 • x2  a2 diubah 9 t  9 sin 2t  c menjadi x a sec t 2 4 10  9 t  9 sin t cos t  c 10 2 2  9 sin 1 x  9 § x ˜ 9  x2 · c 2 3 2 ©¨¨ 3 3 ¸¸¹   9 sin 1 x  x 9  x2  c 2 3 2 Jadi, ³ x2 x2 dx 9  sin1 x  x 9  x2  c 9 2 3 2 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

2. Jika g’(x) 2x  3 dan g(2) 1, tentukanlah g(x).Jawab:g(x) ³ g '(x) dx ³ (2x  3) dx x2  3x  cKarena g(2) 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut.g(x) x2  3x  cg(2) 22  3˜2  c 1 46c 1 2  c c 12 c3Jadi, g(x) x2  3x  33. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (2, 12) danmemiliki persamaan gradien garis singgung dy 6x  15 . dxJawab:dy 6x  15dx y ³ (6x  15) dx  3x2  15x  cf(x) 3x2  15x  cKarena kurva melalui titik (2, 12), maka: 3x2  15x  30.f(2) 3(2)2  15(2)  c 12 3˜430 c 12 12 30  c 12 42  c c 12  42 c  30Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x)Asah Kompetensi 11. Hitunglah setiap integral berikut!a. ³ 2x3 dx ³c. ( 1 x 4  2x3  3) dx 4 b. ³ (4x2  3x  5) dx ³d. (5x3  10x2  3x  1 ) dx 42. Jika g’(x)  4x  5 dan g(3) 6, tentukanlah g(x).3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan memiliki gradien garis singgungdy x3.dxBab 1 Integral 11

1 A KSAH EMAMPUANWaktu : 90 menit1. Tentukanlah integral berikut! Bobot soal: 30 Bobot soal: 30 2 i. ³( x  4)3 dx xa. ³ x 3 dxb. ³ (5x4  S ) dx ³j. 1 ¨©§ 1  1 ¸·¹2 dx x2 x³c. (18x8  25x4  3x2 ) dx k. ³  1 x 3 dx x 1³d. 4x6  3x5  8 dx l. ³ (x  2) x2  4x  1 dx x5³e. ( 4  3 ) dx m. ³ x 4x  1 dx x5 x4f. ³ (x3  x ) dx n. ³ x2 1  x dxg. ³ 3x  2 dx o. ³( 2  x  4)dx³h. x2 (x3  5)9 dx2. Tentukanlah setiap integral berikut!a. ³ (sin x  cos x) dx ³f. § sin x  cos 8x · dxb. ³ (x2  2 sin x) dx ©¨ cos6 x 4 sin 8x ¹¸c. ³ sin x cos2 x dxd. ³ (3 sin x  4 cos x) dx g. ³ (8 sin 9x cos 3x  6 sin 9x sin 3x) dxe. ³ sin 5x sin 4x dx ³h. (sin5 x2 )(x cos x2 ) dx ³i. (x2  1)3 x ˜ sin3 (x2  1)4 cos(x2  1)4 dx j. ³ (2x  1)sin 3x dx3. Tentukanlah fungsi g(t), jika diketahui: Bobot soal: 20 UMPTN 1994a. g‘(t) 7 dan g(0) 0b. g‘(t) 3t2  8t  1 dan g(2) 5c. g‘(t) 6t2  4t  1 dan g(1) 5d. g‘(t) t 1 dan g(2) 4 1e. g‘(t) t2 2f. g‘(t) 1g. g‘(t) t 1 dan g(4) 3 3h. g‘(t) t 1 t1 dan g(3) 18 2t  1 dan g( 1 ) 1 2 3 t dan g(4) 191212 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

4. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (2, 8) dan memiliki Bobot soal: 10 Bobot soal: 10 persamaan gradien garis singgung dy 2 ¨§© x  1 ¸¹· . dx x25. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan gradien garis singgung pada sebarang titiknya adalah setengah koordinat-y.C. Integral TertentuC. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerahgrafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yangbatas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlahaktivitas berikut. A Kktivitas di elas1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f(x) 9  x2 pada interval >0, 3@ .2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing 'x  3 , memakai titik- n titik x0 0  x1  x2  …  xn 1  xn 3.3. Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya 'x dan tingginya f(xi). Tentukan pula luas setiap persegi panjang tersebut!4. Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut!5. Dengan memilih 'x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah dari hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi kurva f(x) 9  x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3.6. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu! Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan yluasnya. 9 f(x) 9  x2Setelah membagi interval >0, 3@ menjadi n selang bagian yang lebarnyamasing-masing 'x 3 , kalian memperoleh: nx0 0 3x1 'x nx2 2'x 6 'x n x1 x3 3 x 9 x0 Ox3 3'x n## # Gambar 1.2 Daerah yang dibagixi i'x 3i menjadi n selang bagian nBab 1 Integral 13

Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:f (xi ) 'x f § 3i · u 3 § 9  § 3i ·2 · u 3 § 27  27 i 2 · ©¨ n ¹¸ n ©¨¨ ©¨ n ¹¸ ¹¸¸ n ©¨ n n3 ¹¸Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.L f(x1)'x  f(x2)'x  . . .  f(xn)'x ……(*) §©¨ 27  27 12 ·¹¸  §©¨ 27  27 22 ¹·¸  \"  §©¨ 27  27 n2 ·¹¸ n n3 n n3 n n3  n.27  12  22 n  n3  ...  n2 27  27 ª n n  12n  1º 27  9 ¨§© 2  3  1 ¸·¹ 18  9 ¨©§ 3  1 ¸¹· 2 n n2 2 n n2 n3 ¬« 6 ¼»Dengan memilih 'x o 0 maka n of, sehingga akan diperoleh luas daerahyang dibatasi kurva f(x) 9  x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3 sebagaiberikut.L(R) lim § 18  9 ¨©§ 3  1 ¸·¹ · 18 ¨© 2 n n2 ¹¸ nofSekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.L(Rn) f(x1)'x  f(x2)'x  …  f(xn)'xDengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaantersebut sebagai berikut. L(Rn ) n ¦ f (xi )'x i1Jika 'x o 0, maka akan diperoleh L(Rn ) n ¦lim f (xi )'x 'x o0 i 1Dengan mengambil batas daerah txe1rtenatudaynanxg2 b, maka bentuk di atasmerupakan suatu bentuk integral dituliskan sebagai b L ³ f (x) dx a ³3 9x  1 x3 º3 27  9 18. 3 ¼»0Sehingga diperoleh (9  x2 ) dx 0 bJika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka ³ f (x) dx adalah integral atertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagaiberikut. b b a ³ f (x) dx > f @ x  F b F adengan: af(x) fungsi integrana batas bawahb batas atas1414 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

bSehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu ³ f (x) dx aadalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnyaadalah fungsi.Asah Kompetensi 2Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut! 1 S 21. ³ 5x dx 0 4. ³ sin x dx 0 1 32. ³ (x  1) dx 5. ³ x dx 2 3 3 S3. ³ x2 dx 6. ³ cos2 x dx 0 0Sahabat KitaSiapakah orang yang pertama kali menemukan integral tertentu? Dia Sumber:adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan http://www-groups.dcs.st-asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskanintegral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya and.ac.ukmenggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang Gambar 1.3 Riemannjasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann.Riemann meninggal pada tahun 1866. Sumber: Calculus and Geometry AnaliticC. 2. Teorema Dasar Kalkulus Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatuteorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus. Jika f kontinu pada interval >a, b@ dan andaikan F sembarang b antiturunan dari f pada interval tersebut, maka ³ f (x) dx F(b)  F(a). aDalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalianmenggunakan teorema-teorema berikut.Bab 1 Integral 15

Teorema 1KelinearanJika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta,maka bba. ³ kf (x) dx k ³ f (x) dx aa b bbb. ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x) dx  ³ g(x) dx a aa b bbc. ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x) dx  ³ g(x) dx a aaTeorema 2Perubahan batasJika f terintegralkan pada interval [a, b] maka: a a ba. ³ f (x) dx 0 b. ³ f (x) dx  ³ f (x) dx a b aTeorema 3Teorema penambahan intervalJika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c,makac bc³ f (x) dx ³ f (x) dx  ³ f (x) dxa abTeorema 4Kesimetrian a a 2³ f (x) dx 0a. Jika f fungsi genap, maka ³ f (x) dx a 0 ab. Jika f fungsi ganjil, maka ³ f (x) dx a1616 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Akan dibuktikan teorema 1a dan 1c, teorema 2b, dan teorema 3.Pembuktian Teorema 1a1a. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), makab >kF(x)@ba³ kf (x) dx kF(b)  kF(a)a k(F(b)  F(a)) b k ³ f (x) dx a bbJadi, ³ kf (x) dx k³ f (x) dx aaPembuktian Teorema 1b dan 1c1b. Jika F(x) dan G(x) masing-masing sembarang antiturunan dari f(x) dan g(x), makab >F(x) r G(x)@ba³ ( f (x) r g(x)) dxa (F(b) r G(b))  (F(a) r G(a)) (F(b) r F(a))  (G(b) r G(a)) bb ³ f (x) dx r ³ g(x) dx aa b bbJadi, ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x) dx  ³ g(x) dx . a aaPembuktian Teorema 2b 12b. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), makab ¬ªF  x º¼ b a³ f (x)dxa F(b)  F(a) (F(a)  F(b)) a  ³ f (x) dx b baJadi, ³ f (x) dx ³ f (x) dx . abBab 1 Integral 17

Pembuktian Teorema 3 1Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), makac³ f (x) dx [F (x)]caa F(c)  F(a) (F(c)  F(b))  (F(b)  F(a)) cb ³ f (x) dx  ³ f (x) dx bac cb bcJadi, ³ f (x) dx ³ f (x) dx  ³ f (x) dx ³ f (x) dx  ³ f (x) dx .a ba abContoh S 61. Hitunglah ³ (sin 3x  cos x) dx . 0 Jawab: S SS 6 66 ³ sin 3x  cos x dx ³ sin 3x dx  ³ cos x dx (Teorema 1b) 0 00 1 S S 3  ª«¬ cos 3x º 6  >sin @x 6 »¼ 0 0  1 ©§¨ cos S  cos 0 ·¹¸  ©§¨ sin S  sin 0 ¹·¸ 3 2 6  1 ˜ 1  1 3 2 5 6 65. S 6Jadi, ³ (sin 3x  cos x) dx 0 12. Tentukan ³ x2 dx . 1 Jawab:Oleh karena untuk f(x) x2, berlaku f(x) f(x), maka f(x) x2merupakan fungsi genap.Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:11³ x2 dx 2³ x2 dx1 0  2 ª 1 x 3 º 1 «¬ 3 ¼» 01818 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

2 (13  03) 3  2 3 ³1 2 . 3Jadi, x2 dx 1 43. Tentukanlah ³ f (x) dx jika fungsi f didefinisikan sebagai 0f(x) ­®¯ x  2, jika 0dx 2 1, jika xt2Jawab:4 24 (Teorema 3)³ f (x) dx ³ f (x) dx  ³ f (x) dx0 02 24 ³ (x  2) dx  ³ 1 dx 02 1 x 2  2x 2 x 4 2 0 2  ¬«ª( 1 ˜ 22  2 ˜ 2)  ( 1 ˜ 02  2 ˜ 0)¼»º  >4  2@ 2 2 242 8 4Jadi, ³ f (x) dx 8. 0Asah Kompetensi 31. Tentukanlah integral tertentu berikut ini! 5 e. 1 x2  7x  6 x 1a. ³ 2x dx ³ 1 S 0 2 5b. ³ (4x  3  cos x) dx 0  f. ³ 3x2  5x 0 100 2Sc. ³ x5 dx 100 g. ³ (cos x  sin x) dx S S 2 ³h. 6 cos(3x  3 S ) dx 0 4d. ³ (2x  1)3 dx 0Bab 1 Integral 19

52. Dari fungsi f(x) berikut, hitunglah ³ f (x) dx 0a. f x ®¯­ x  2, jika 0 d x  2 6  x, jika 2 d x d 5b. f x ­ 4  x2 , jika  3 d x  4 ® 2 , jika 4 d x d 10 ¯c. f x ­  9  x2 , jika 0 d x d 3 ®  5x , jika x t 3 ¯ 2 A KSAH EMAMPUANWaktu : 60 menit1. Tentukanlah integral tertentu berikut! Bobot soal: 80 Bobot soal: 10 2 0a. ³ 4t  6t2 dt ³e. 3x2 x3  1 dx 1 1 81 4 S 4³b. (x 3  x 3 ) dx 1 f. ³ (sin3 2x cos 2x) dx 0 4 Sc. ³ (2x  1) x  x2 dx g. ³ 1  cos x dx 0 S  2³d. 31 dt S 1 (t  2)2 4 h. ³ tan4 x dx 0 112. Jika ³ f (x) dx 4 dan ³ g(x) dx 2 , hitunglah integral-integral 00berikut! 1 1a. ³ 3 f (x) dx d. ³ (2g(x)  3 f (x)) dx 0 0 1 0b. ³ ( f (x)  g(x)) dx e. ³ (2 f (x)  3x2 ) dx 0 1 1c. ³ (3 f (x)  2g(x)  2) dx 02020 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi genap Bobot soal: 10 1 1 3. Tentukanlah integral-integral berikut!dengan ³ f (x) dx ³ g(x) dx 0 0 1a. ³ f (x) dx 1 1b. ³ g(x) dx 1 1c. ³ f (x) dx 1 D. Menentukan Luas DaerahD. 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x Pada subbab c kalian telah mengetahui bahwa luas merupakan limitsuatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu.Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luasdaerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garisx a, dan garis x b, dengan f(x) t 0 pada [a, b], maka luas daerah Radalah sebagai berikut. b L(R) ³ f (x)dx a y y = f(x) L(RR) Oa bx Gambar 1.4 Luas daerah di atas sumbu-xBab 1 Integral 21

ContohTentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh ykurva f(x) 4  x2, sumbu-x, garis x 0, dan 4x 1. x=1Jawab:Daerah tersebut adalah daerah R. Luas f(x) = 4  x2 Rdaerah R adalah: 1 2 1 O 1 ³ (4  x2 ) dxL(R) 2 x 0 º1 »¼ 0 ¬ª«4x  1 x3 3 (4 ˜ 1  1 ˜ 13  0) 3 3 2 3Jadi, luas daerah R adalah 3 2 satuan luas. 3D. 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garisx a, dan garis x b, dengan f(x) d 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahasdi subbab D.1, maka luas daerah S adalah b L(S)  ³ f (x) dx a y a b x O S y = f(x) Gambar 1.5 Luas daerah di bawah sumbu x2222 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

ContohTentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis y 1 x  2,sumbu-x, garis x 4, dan sumbu-y. 4Jawab: y x=4 1 y= 1 x 2 43 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 S 2 3Daerah tersebut adalah daerah S. Luas Daerah S adalahL(S) ³4 § 1 x  2 · dx ¨© 4 ¹¸  4 x2  2 x º 0 0 »¼ ª1 «¬ 8 (( 1 ˜ 42  2 ˜ 4)  0) 8 (2  8) 6Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 6 satuan.D. 3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y f(x) dan sumbu-x Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garisx a, dan garis x c, dengan f(x) t 0 pada [a, b] dan f(x) d 0 pada [b, c],maka luas daerah T adalah bc L(T) ³ f (x) dx  ³ f (x) dx abdmseaabesarRiganuhagimylpuuaansadsgiandtieiadnrriltadeehtaravpykaaaltdnd[igaeb,ntaebgwr]aleandthaamnkseu[dmmbi,bbaacut]ga.-isxKd.saauelmiraanbhudT-xampdeaantnjmaldueianTse1nTdt2ausnkeabTna2 mglauaiaslisunaTgs-1 y T1 y f(x) aO b T2 cx Gambar 1.6 Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu-xBab 1 Integral 23

ContohTentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x) sin x,0 d x d2S, dan sumbu-x. yJawab: y f(x)Luas daerah yang dibatasi oleh kurva A1y f(x) sin x, 0d x d2S, dan sumbu- 1x adalah: 3S 2SL L(A1)  L(A2) 2 2S S³  sin x dx  ³  sin x dx 1S0  x @2S  >cos x@S0 2>cos S(cos 2S  cos S) (cos S  cos 0) O1 x(1  (1))  (1  1) 1222 24 A2Jadi, luas daerah tersebut adalah4 satuan luas. –1D. 4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua KurvaLuas daerah U pada gambar di bawah adalah L(U) Luas ABEF  Luas ABCD F E U y1 f(x) D C y2 g(x) A B a b Gambar 1.7 Luas daerah yang terletak di antara dua kurvaABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 f(x), x a, x b, dany 0 sehingga b Luas ABEF ³ f (x) dx aAdapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 g(x), x a,x b, dan y 0 sehingga b Luas ABEF  ³ g(x) dx aDengan demikian, luas daerah U adalah bb b L(U) ³ f (x) dx  ³ g(x) dx ³ ( f (x)  g(x)) dx aa a2424 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

ContohTentukanlah luas daerah yang dibatasi yoleh kurva f(x) 4  x2, garis x 0, dan diatas garis y 1. 4 f(x) 4  x2Jawab: UU y1 1 xLuas daerah yang dimaksud adalah luasdaerah U. O2Tentukanlah batas-batas pengintegralan,yaitu absis titik potong antara kurva y f(x)4  x2 dan garis y 1 di kuadran I.Substitusi y 1 ke persamaan y 4  x2sehingga didapat:4  x2 1 x2 3 x1  3 atau x2 3Oleh karena daerah U ada di kuadran I, maka batas-bataspengintegralannya adalah x 0 sampai x 3 .Dengan demikian, luas daerah U adalah sebagai berikut. 3 ³ (4  x2  1) dxL(U) 0 3 ³ (3  x2 ) dx 0 1 3 ª«¬3x 3 º  x3 ¼»0   3 ˜ 3  1 ˜ 33 3 3  1 ˜ 3 3 3 3 3˜ 3  3 2 3Jadi, luas daerah U adalah 2 3 satuan luas. 3 A KSAH EMAMPUAN contohWaktu : 60 menit1. Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut. Bobot soal: 60Kemudian, tentukan luas daerah tersebut!a. f(x) 3x2  x3 dan sumbu-x.b. g(x) 1  x3, sumbu-x, dan garis x 2c. h(x) x2  3x, sumbu-x, x 0, dan sumbu simetri parabolad. i(x) x, g(x) 2x, dan x 5e. j(x) x2  3x  4 dan sumbu garis y 4 Sf. k(x) sin x dan g(x) cos x, untuk 0d xd 2Bab 1 Integral 25

2. Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) x2  2x  8 dan sumbu-x Bobot soal: 20 dibagi menjadi dua bagian oleh sumbu-y. Tentukan perbandingan luas Bobot soal: 20 bagian masing-masing!3. Tentukan luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva y x2 dan garis y 4. Olimpiade Matematika SMU, 2000Titik (a, b) dan (a, b) dengan a dan b bilangan real positif merupakan dua titik pada parabolaf(x) 1  x2. Jika kedua titik tersebut dengan titik (1, 0) dan (1, 0) membentuk trapesium,tentukanlah luas terbesar trapesium tersebut! Sumber : Olimpiade Matematika SMU, 2000E. Menentukan Volume Benda PutarE. 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-xSecara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secaramatematis, ditulis V A.hKemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampang-penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu.Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang dix adalah A(x) dengan a d x d b. Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagia x0  x1  x2 ...  xn b. Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-x, sehinggadiperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volumesuatu lempengan ini dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu'Vi | A(x)'xi dengan xi1 d xi d xi . nDengan jumlah yang kalian dapatkan V | ¦ A(xi )'xi , kemudian akan t1 bmenjadi V ³ A(x) dx . aA(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar iniberupa lingkaran, maka A(x)  Sr2 jari-jari yang dimaksud merupakansebuah fungsi dalam xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putardapat dinyatakan sebagai V b  f (x)2 dx . S³ a2626 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis yx a, garis x b, dengan a  b, maka volume benda putar yang diperoleh y f(x)dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah Oa R bx b Gambar 1.8 V S ³( f (x))2 dx Volume benda putar yang a mengelilingi sumbu-xE. 2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi y Sumbu-y y f(x) Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x f(y), sumbu-y, bgaris x a, garis x b, dengan a  b, maka volume benda putar yangdiperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V. b V S ³ ( f (y))2 dy aContoh a OxTentukanlah volume benda putar, jika ydaerah yang dibatasi oleh grafik f(x) = 4  x2 Gambar 1.9f(x) 4  x2, sumbu-x, dan sumbu-y diputar Volume benda putar yang360° terhadap: R mengelilingi sumbu-ya. sumbu-x 2 1 O 1 2b. sumbu-y xJawab:a. Volumenya adalah: 2 2S (4  x2 )2 dx  S (16  8x2  x4 ) dx³ ³V00 S «¬ª16x  8 x3  1 x5 º2 3 5 »¼0 S § §©¨ 16 ˜ 2  8 ˜ 23  1 ˜ 25 ¸·¹  0 · ¨© 3 5 ¸¹ S §©¨ 32  64  32 ·¹¸ 3 5 256 15 SJadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputarmengelilingi sumbu-x adalah 256 S satuan volume. 15b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerahR diputar mengelilingi sumbu-y, kalian harus nyatakan persamaankurva y f(x) 4  x2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y.y 4  x2 Ÿ x2 4  yVolume benda putar tersebut adalahBab 1 Integral 27

4V  S ³ (4  y) dy 0 S ª«¬4y  1 y2 º4 2 ¼»0 S § ¨©§ 4 ˜ 4  1 ˜ 42 ·¸¹  0 · ©¨ 2 ¹¸ S(16  8) 8SJadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputarmengelilingi sumbu-y adalah 8S satuan volume.E. 3. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan f x t g xpada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x seperti yang telahdijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalahsebagai berikut. b V(T) S ³  f (x)2  g(x)2 dx a y y f(x) T y g(x) Oa b x Gambar 1.10 Volume benda putar yang dibatasi kurva f(x) dan g(x) jika diputar mengelilingi sumbu-x Contoh Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) x  2, sumbu-y, garis x 2, dan y 1 diputar 360° mengelilingi sumbu-x Jawab: Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-x, maka volume nya adalah 2 ³V  S ((1)2  (x  2)2 )) dx 02828 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

2 y f (x) x  2S ³ 1  (x2  4x  4) dx O 0  2S §©¨  1 x3  2x2  3x ·¹¸ 2 3 0 2 x «¬ª§©¨ 8 8 6 ¸·¹ 0º»¼ S y 1 3S    2 S3 x2Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah S diputarmengelilingi sumbu-x adalah 4 1 S satuan volume. 6E.4. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva y x g(y) f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y b Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan f (y) t g(y) Upada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telahdijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalah asebagai berikut. x f(y) b Ox V(U)  S ³ (( f (y))2  g(y)2 dy Gambar 1.11 a Volume benda putar yang dibatasi kurva f(y) dan g(y)Contoh jika diputar mengelilingi sumbu-yTentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi olehgrafik f(x) 14suxmb2u, -syu.mbu-x, garis x 0, dan garis x 4 diputar 360°mengelilingiJawab: y x4 1 f(x) 1 x  2 43 2 1 O 1 2 3 4 U5 6 7 8 x 1 2 3Untuk menentukan volume benda putar tersebut, tentukan batas-bataspengintegralan, yaitu ordinat titik potong antara kurvay f(x) 1 x  2 dan garis x 4. 4 1Substitusi x 4 ke persamaan y 4 x  2 sehingga diperoleh,Bab 1 Integral 29

y f(x) 1 ˜ 4  2 1 4 Jadi, batas-batas pengintegralannya adalah y 1 sampai y 0. Oleh karena daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-y, maka kalian harus menyatakan persamaan kurva y 1 x  2 menjadi persamaan x dalam variabel y. 4 Dari y 1 x  2 4 1 4 x y2 x 4y  8 Jadi, volume benda putar tersebut adalah 0 1 V ³ ³ S ((4y  8)2  42 ) dy  S (4y  8)2 dy 1 2 0 1 S ³ (16y2  64y  48) dy  S ³ (16y2  64y  64) dy 1 2 0 1 S ©§¨ 16 y3  32 y 2  48y ¹·¸ 1  S ©§¨ 16 y3  32 y 2  64y ·¹¸ 2 3 3 S «¬ª0  ¨§© 16 ˜ (1)3  32(1)2  48(1)¸¹·¼»º  3 S «¬ª¨§© 16 ˜ ( 1)3  32(1)2  64(1)¸·¹  ¨©§ 16 ˜ (2 )3  32(2)2  64( 2 ) ¸¹· »º¼ 3 3  S ¨§©  16  16 ¸¹·  S «ª¬¨©§  16  32  64 ¸¹·  ¨©§ 16 ˜ 8  128  128 ¸·¹»¼º 3 3 3 21 1 S  16 S 80 S 3 3 3 Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi jika daerah U diputar mengelilingi sumbu-y adalah 80 S satuan volume. 34 A KSAH EMAMPUANWaktu : 60 menitGambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini.Kemudian, tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerahtersebut diputar 360° mengelilingi sumbu-x dan volume jika diputar360° mengelilingi sumbu-y.1. y x, sumbu-x, garis x 0, dan garis x 6 Bobot soal: 20 Bobot soal: 202. f(x) sin x pada interval ªS , 3S º dan sumbu-x Bobot soal: 20 «¬ 2 2 ¼»3. x2  y2 64, sumbu-x, dan sumbu-y3030 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

4. y2 10x, y2 4x, dan x 4 Bobot soal: 20 Bobot soal: 20 EBTANAS 19895. f(x)  1 x3  2, g(x) 2  x, dan x 2 4 Raannggkkuummaann1. Bentuk umum integral tak tentu  ³ f (x) dx  F(x)  c dengan ³ dx : Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan f(x) : Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c : Konstanta2. Rumus integral tak tentu • ³ xn dx n 1 1 xn1  c, di mana c adalah konstanta, n z 1  • ³ kf (x) dx k ³ f (x)dx • ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x)dx  ³ g(x) dx • ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x) dx  ³ g(x) dx • ³ (u(x))r uc(x) dx 1 (u(x))r  1  c, di mana c adalah konstanta, n z 1  r 1 • ³ u dv uv  ³ v du • ³ cos xdx sin x  c , di mana c adalah konstanta • ³ sin x dx  cos x  c , di mana c adalah konstanta 1 • ³ cos2 x tan x  c , di mana c adalah konstanta3. Bentuk umum integral tertentu b ³ f (x) dx F(b)  F(a) a di mana f kontinu pada interval >a, b@4. Rumus-rumus integral tertentu bb • ³ kf (x) dx k ³ f (x) dx aaBab 1 Integral 31

b bb• ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x) dx  ³ g(x) dx a aa b bb• ³ ( f (x)  g(x)) dx ³ f (x) dx  ³ g(x) dx a aa a• ³ f (x) dx 0 a aa• ³ f (x) dx  ³ f (x) dx bb c bc• ³ f (x) dx ³ f (x) dx  ³ f (x) dx a ab aa• ³ f (x) dx 2³ f (x) dx di mana f fungsi genap a 0 a• ³ f (x) dx 0 di mana f fungsi ganjil a5. Rumus luas daerah (L) yang terletaka. di atas sumbu-x b L(R) ³ f (x) dxb. di bawah sumbu-x a b L(S)  ³ f (x) dxc. di atas dan di bawah sumbu–x ad. di antara dua kurva bc L(T) ³ f (x) dx  ³ f (x) dx ab bb b L(U) ³ f (x) dx  ³ g(x) dx ³ ( f (x)  g(x)) dx aa a6. Volume benda putar (V) yang diputar mengelilingi a. sumbu-xb. sumbu-y b V S ³ ( f (x))2 dx a b V S ³ ( f (y))2 dy ac. sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x) b ³V S (( f (x))2  g(x))2 dx ad. sumbu-y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y) b ³V  S (( f (y))2  g(y))2 dy a3232 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Ulangan Bab 1I. Pilihlah jawaban yang paling tepat! ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 6. Luas bidang yang dibatasi oleh grafik y 6x2  x dan sumbu-x adalah. . . . 2 A. 1 satuan luas D. 1 satuan luas 36 216³1. Nilai dari (3x2  3x  7) dx adalah . . . .A. 12 0 1 D. 6 B. 1 satuan luas E. 432 satuan luasB. 16 E. 4 72 1C. 10 C. 108 satuan luas2. Jika f(x) ³(x2  2x  5) dx dan f(0) 5, maka 7. Daerah yang dibatasi oleh kurva y x  7 f(x) . . . . dan y 7  x2 diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360°. Volume benda yang terjadiA. 1 x3  x2  5x  5 adalah . . . . 3 1B. 3 x3  2x2  5x  5 A. 12 1 S D. 2 4 S 5 5C. 2 x3  2x2  5x  5 3 4 2 B. 11 5 S E. 2 2 SD. 3 x3  x2  5x  5 3E. 4 x3  x2  5x  5 C. 2 1 S 3 5 b 8. Luas daerah terbatas di bawah ini adalah . . . .3. Jika b ! 0 dan ³ 2x  3 dx 12, maka nilai badalah . . . . 1 yA. 2 D. 5B. 3 E. 6C. 4 p 1 x 1 O 24. Jika ³ (1  x) dx p , maka nilai p adalah . . . . 1 1A. 3 D. 1B. 2 E. 1C. 5 2 S 5 2 D. 25. Nilai dari ³ 2 sin x  cos xdx adalah . . . . E. 1 S A. 4 3A. 1  14 2 D. 2  1 2 10 2 2 B. 3 1 1B. 1 2 2 E. 2  2 2 C. 8 3C. 2  1 2 2Bab 1 Integral 33

9. Panjang busur kurva y 2 x x dari x 0 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ jauhkah jarak yang ditempuh bola dari awal sampai x 8 adalah . . . . 3 sampai berhenti? A. 18 2 D. 16 4. Ayu dan Bernard berangkat dari tempat 3 yang sama pada saat t 0. Kecepatan pada 2 waktu t adalah v(t) dan jarak yang dijalani 3 B. 18 E. 14 b C. 16 2 antara t a dan t b adalah ³ vt dt . 3 a10. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-y, Kecepatan Ayu seperti kurva yang terlihat kurva y x2  1, dan kurva y x2  19 pada gambar di bawah ini. Jika sin D 5 . adalah . . . . 5 A. 3 D. 60 B. 36 E. 72 Berapakah jarak yang ditempuh mereka masing-masing pada saat kecepatannya C. 54 sama?II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas y dan tepat!1. Proporsi dari pekerja yang mendapatkan upah 1 antara a ribu dan b ribu rupiah/hari adalah  y x2  6x dan dibatasi sumbu-x. Terletak tg D 36 di antara a dan b yang bernilai 0 dan 6. O x Berapakah persentase pekerja yang 2 mendapatkan upah di bawah Rp1.500,00? 12. Sebuah benda bergerak dengan laju 5. Sekelompok bakteri dalam suatu lingkungan v m/det. Pada saat t 2 detik posisi benda hidup tertentu berkembang biak sesuai berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukanlah posisi benda sebagai fungsi dengan ppearudma ukseaandaddnat n 0,5 N. Jika jumlah waktu t! bakteri awal adalah 200,3. Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang hitunglah jumlah bakteri setelah t 2 detik, datar dengan laju awal 4 m/det. Akibat t 4 detik, t 8 detik, t 10 detik! gesekan dengan bidang itu, bola mengalami (Petunjuk: Nyatakan hasil perhitungan perlambatan 2 m/det2. Jika pada saat t 0 dalam e 2, 71828 . . .) posisi benda berada pada s 0, berapa3434 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Program Linear B A B 2 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel B. Model Matematika C. Nilai Optimum Suatu Fungsi ObjektifSumber: http://blontankpoer.blogsome.comDalam dunia usaha, seorang pengusaha pada umumnyaingin memperoleh keuntungan sebanyak-banyaknya daribidang usaha yang digelutinya. Untuk itu, pengusahatersebut membuat perencanaan untuk mengoptimalisasisumber daya yang tersedia, seperti bahan baku, transportasi,sumber daya manusia, dan lain-lain. Upaya optimalisasi inidapat dimodelkan dengan program linear.Bab 2 Program Linear 35

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan denganpersamaan yang berbentuk: a1x  a2y b Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabelx dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagaipersamaan linear dengan n variabel x1, x2, . . . xn dalam bentuk berikut. a1x1  a2x2  . . .  anxn b dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistempersamaan linear. Dapat dituliskan sebagai berikut.a11x1  a12x2  . . .  a1nxn b1a21x1  a22x2  . . .  a2nxn b2## ## an1x1  an2x2  . . .  amnxn bn dengan x1, x2, . . ., xn adalah variabela11, a12, . . ., a1n, a21, a22, . . ., a2n, . . ., amn adalah konstanta real. Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untukpertidaksamaan linear, tanda “ ” diganti dengan “d”, “”, “t”, “!”.Sebagai contoh, untuk pertidaksamaan linear dua variabel dijelaskansebagai berikut. Misalnya, kalian menggambar garis x  y 2 dapatdigambarkan sebagai berikut. y 3 x 2 1 1233 2 11O 2 3 x y  Gambar 2.1 Garis x  y 2 Garis x  y 2 membagi bidang koordinat menjadi dua daerah, yaitu daerah x  y  2 dan daerah x  y ! 2. Sekarang, substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut. Didapat, 0  0 0 ! 2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x  y ! 2. Daerah x  y ! 2 ini diarsir seperti pada gambar berikut.3636 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

y 3 2 1 3 2 1 O 123 x 1 x  y t 2 3 Gambar 2.2 Daerah penyelesaian x  y t 2Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai x, y d 0, maka diperolehgambar seperti berikut. y 3 HP 2 123 1 3 2 1 O x yd0 1 2 3 x  y ! xd0 Gambar 2.3 Himpunan penyelesaian sistem per- tidaksamaan x  y ! 2, x d 0, dan y d 0 Daerah yang diarsir berupa daerah segitiga. Tampak bahwa daerahini merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linearx  y t 2, x d 0, dan y d 0. Untuk selanjutnya, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaanlinear ini disebut daerah penyelesaian.Bab 2 Program Linear 37

Contoh Tentukanlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dengan x  y d 3, x  3y  3 d 0, dan x t 0. Jawab: Daerah yang diarsir berikut merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear x  yd 3, x  3y  3 d 0, dan xt0. y 4 HP 3 x 2 1 1234 x+y d3 4 3 2 1 O 1 xt0 daerah kanan 2 x  3y  3 d 0 3 4 1 A KSAH EMAMPUANWaktu : 60 menit1. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear Bobot soal: 80 berikut untuk x, y  R. Bobot soal: 20 a. x  5y t 10, x t 5 b. 2 d x  3, 0 d y d 4 c. 0  x  2, 2  y d 2 d. 8x  4y d 56 x t 0, y t 0 e. y d x  3, x d 1  y, x ! 3 f. 4x  2y d 10, x  6y d 12, x t 0, y t 4 g. 7x  14y  21 t 0, x  9y  27 t 0, x d0, y t 0 h. 6x  9yd 3, y  2x d 6, 2x  8y  6 d 0, xd 8, x t 4, y d02. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linearberikut untuk x, y  R.x  8y d 80 2x  yt 42x  4y t 5 x t 0, yt 02x  y t 12Tentukanlah luas daerah penyelesaian tersebut. Kesimpulan apayang diperoleh?3838 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

B. Model MatematikaSistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapatditerapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkanpermasalahan tersebut ke dalam model matematika.Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababanmemproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motormelalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui duamesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesinini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan Sumber: www.germes-online.commaksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntunganRp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiappenjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini,maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyakban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagaikendala sebagai berikut.Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksisebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan ybilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaanitu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.Pada mesin I : 2x  5y d 800 …. Persamaan 1Pada mesin II : 8x  4y d 800 .… Persamaan 2Pada mesin III : 10 x d 800 .… Persamaan 3x, y bilangan asli : x t 0, y t 0 .… Persamaan 4Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntunganadalah f(x, y) 40.000x  30.000y. Dalam merumuskan masalah tersebut,PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalahprogram linear. DEFINISIModel matematika adalah suatu cara sederhana untukmenerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika denganmenggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.ContohLia ingin membuat puding buah dan esbuah. Untuk membuat puding buah, iamembutuhkan 3 kg mangga dan 2 kgmelon. Sedangkan untuk membuat esbuah, ia membutuhkan 1 kg mangga dan4 kg melon. Lia memiliki persediaan 11 kgmangga dan 14 kg melon. Buatlah modelmatematika dari persoalan ini!Jawab: banyaknya puding buah Sumber: electronicintifada.netMisalkan: x banyaknya es buah yBab 2 Program Linear 39