smp8mat MatematikaKonsepDanAplikasinya DewiNuharini

A BA B 1 a1 a bbAB Gambar 2.141x2x xa d. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a} maka n(A) = 3 dan n(B) = 1.3x Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada satu, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.15. Gambar 2.15 e. Jika A = {1} dan B {a, b, c} maka n(A) = 1 dan n(B) = 3. AB Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, seperti 1 x xa tampak pada diagram panah berikut ini. 2 x xb A BA BA B xa xa xa 1 x xb 1 x xb 1 x xb xc xc xc Gambar 2.16 f. Jika A = {1, 2} dan B = {a, b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.17. A BA BA B 1 x xa 1 x xa 1 x xa 2 x xb 2 x xb 2 x xb Gambar 2.17 g. Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.18.A BA BA BA B1x xa 1x xa 1x xa 1x xa2x 2x 2x 2x3x xb 3x xb 3x xb 3x xb A BA BA BA B 1x xa 1x xa 1x xa 2x 2x 2x xa 1x 3x xb 3x xb 3x 2x xb Gambar 2.18 xb 3x42 Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukanbanyaknya pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapatdilihat pada tabel berikut.Banyaknya Anggota Banyaknya Pemetaan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dariHimpunan A Himpunan B yang Mungkin dari B ke A A ke B11 1 = 11 1 = 1121 1 = 12 2 = 2112 2 = 21 1 = 1231 1 = 13 3 = 3113 3 = 31 1 = 1322 4 = 22 4 = 2232 8 = 23 9 = 32 Berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, dapat diambilkesimpulan sebagai berikut. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka1. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba;2. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab.Jika A = {bilangan prima Penyelesaian:kurang dari 5} danB = {huruf vokal}, hitung- a. A = {2, 3}, n(A) = 2lah banyaknya pemetaan B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5a. dari A ke B; Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 52 = 25b. dari B ke A, tanpa b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab menggambar diagram = 25 = 32 panahnya. Fungsi 43

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Diketahui P adalah himpunan bilangan a. A = {p, q}, B = {1, 2, 3} cacah kurang dari 6 dan Q adalah himpunan bilangan real . Relasi dari P b. A = {p, q, r}, B = {1, 2} ke Q ditentukan oleh f : x o 3x – 5. 3. Jika A = {x|–2 < x < 2, x  B} dan a. Apakah relasi itu merupakan suatu B = {x | x bilangan prima < 8}, tentukan pemetaan? Jelaskan. a. banyaknya pemetaan dari A ke B; b. Sebutkan daerah asalnya. b. banyaknya pemetaan dari B ke A. c. Sebutkan daerah kawannya. 4. Suatu fungsi dari A ke B didefinisikan d. Sebutkan daerah hasilnya. sebagai f(x) = –2x + 7. Jika A = {x | –1 < x d 5} dan B adalah himpunan e. Tentukan f(0), f(2), dan f(4). bilangan bulat maka f. Tentukan nilai x yang memenuhi a. tentukan f(x) untuk setiap x  A; f(x) = 25. b. gambarlah fungsi f(x) dalam diagram2. Gambarlah diagram panah yang mungkin panah, diagram Cartesius, dan dari himpunan A ke himpunan B dari himpunan pasangan berurutan. setiap pemetaan berikut. C. MENENTUKAN RUMUS FUNGSI JIKA NILAINYA DIKETAHUIDiketahui suatu fungsi Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari caraf(x) = ax + b, dengan menentukan nilai fungsi jika rumus fungsinya diketahui. Sekarang,f(1) = 3 dan f(–2) = 9. kalian akan mempelajari kebalikan dari kasus tersebut, yaitu jika nilai fungsinya diketahui.Tentukan bentukfungsi f(x). Pada pembahasan ini bentuk fungsi yang kalian pelajari hanyalah fungsi linear saja, yaitu f(x) = ax + b. Untuk bentuk fungsi kuadrat dan pangkat tinggi akan kalian pelajari pada tingkat yang lebih tinggi. Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x 6 ax + b, dengan a dan b konstanta dan x variabel maka rumus fungsinya adalah f(x) = ax + b. Jika nilai variabel x = m maka nilai f(m) = am + b. Dengan demikian, kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan b ditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui. Agar kalian mudah memahaminya pelajarilah contoh berikut.44 Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

Diketahui f fungsi linear Penyelesaian:dengan f(0) = –5 danf(–2) = –9. Tentukan Karena f fungsi linear, maka f(x) = ax + b.bentuk fungsi f(x). Dengan demikian diperoleh f(0) = –5 f(0) = a (0) + b = –5 0 + b = –5 b = –5 Untuk menentukan nilai a, perhatikan langkah berikut. f(–2) = –9 f(–2) = a (–2) + b = –9 –2a – 5 = –9 –2a = –9 + 5 –2a = –4 a = 4 2 a =2 Jadi, fungsi yang dimaksud adalah f(x) = ax + b = 2x – 5.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Diketahui suatu fungsi linear 4. Diketahui f(x) = (x + a) + 3 dan f(2) = 7. f(x) = 2x + m. Tentukan bentuk fungsi Tentukan tersebut jika f(3) = 4. a. bentuk fungsi f(x);2. Jika f(x) = ax + b, f(1) = 2, dan f(2) = 1 maka tentukan b. nilai f(–1); a. bentuk fungsi f(x); c. nilai f(–2) + f(–1); b. bentuk paling sederhana dari d. bentuk fungsi f(2x – 5). f(x – 1); 5. Diketahui dua buah fungsi, yaitu c. bentuk paling sederhana dari f(x) = 2 – a x dan g(x) = 2 – (a – 3)x. f(x) + f(x – 1). 23. Diketahui f(x) = ax + b. Tentukan bentuk Jika f(x) = g(x), tentukan fungsi-fungsi berikut jika a. nilai a; a. f(1) = 3 dan f(2) = 5; b. bentuk fungsi f(x) dan g(x); b. f(0) = –6 dan f(3) = –5; c. bentuk fungsi f(x) + g(x); c. f(2) = 3 dan f(4) = 4. d. nilai f(–1), f(2), g(1), dan g(4) Fungsi 45

D. MENGHITUNG NILAI PERUBAHAN FUNGSI JIKA NILAI V ARIABEL BERUBAHDiketahui suatu fungsi Kalian telah mempelajari bahwa suatu fungsi f(x) mempunyaidinyatakan d engan variabel x dan untuk nilai variabel x tertentu, kita dapat menghitungf : x o x2 – 1, untuk x nilai fungsinya. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan pada nilai fungsinya.bilangan bulat.a. Tentukan rumus Misalkan fungsi f ditentukan oleh f : x 6 5x + 3 dengan domain {x/–1 d x d 3, x  bilangan bulat}. Nilai fungsi dari fungsi f(2x + 2) dan variabel x adalah nilai-nilainya unt uk x = –2, –1, 0, 1, 2. f(–1) = 5(–1) + 3 = –2;b. Tentukan rumus fungsi f(x + a) untuk f(0) = 5(0) + 3 = 3; suatu a bilangan bulat dan tentukan f(1) = 5(1) + 3 = 8; nilai perubahan fungsi f(x + a) – f(x). f(2) = 5(2) + 3 = 13;c. Jika x adalah varia- bel pada himpun- f(3) = 5(3) + 3 = 18; an bilangan real, tentukan nilai per- Jika variabel x diubah menjadi x + 3 maka kita harus ubahan f ungsi menentukan nilai dari fungsi f(x + 3). Untuk menentukan nilai f(x) – f(x – a), untuk f(x + 3), terlebih dahulu kalian harus menentukan variabel baru, suatu a bilangan yaitu (x + 3) sehingga diperoleh nilai-nilai variabel baru sebagai real. berikut. –1 + 3 = 2 0+3 =3 1+3 =4 2+3 =5 3+3 =6 Setelah kalian menentukan nilai-nilai variabel baru, yaitu (x + 3) = 2, 3, 4, 5, 6, tentukan nilai-nilai f(x + 3) berdasarkan pemetaan f : (x + 3) o 5(x + 3) + 3. Dengan demikian, diperoleh f(2) = 5 (2) + 3 = 13; f(3) = 5 (3) + 3 = 18; f(4) = 5 (4) + 3 = 23; f(5) = 5 (5) + 3 = 28; f(6) = 5 (6) + 3 = 33; Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) yaitu selisih antara f(x) dan f(x + 3), dituliskan f(x + 3) – f(x).46 Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

Untuk menentukan nilai perubahan fungsi f(x) dapatdinyatakan seperti tabel berikut.x –1 0 1 2 3f(x) = 5x + 3 –2 3 8 13 18x+3 23456f(x + 3) = 5(x + 3) + 3 13 18 23 28 33f(x + 3) – f(x) 15 15 15 15 15 Berdasarkan tabel di atas tampak bahwa untuk semua nilaix  domain, nilai perubahan fungsi f(x + 3) – f(x) = 15. Cara lain untuk menentukan nilai perubahan fungsi sebagaiberikut.Tentukan terlebih dahulu fungsi f(x + 3).Diketahui f(x) = 5x + 3 maka f (x + 3) = 5(x + 3) + 3 = 5x + 15 + 3 = 5x + 18 Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) adalah selisihantara f(x) dan f(x + 3) sebagai berikut.f(x + 3) – f(x) = (5x + 18) – (5x + 3) = 5x + 18 – 5x – 3 = 15Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Fungsi f didefinisikan sebagai 3. Diketahui fungsi f(x) = 2x untuk suatu x bilangan real. f(x) = 2x – 6. a. Apakah fungsi f(–x) = –f(x)? a. Tentukan rumus fungsi yang paling sederhana dari f(x + 1), f(2x – 1), b. Bagaimana dengan fungsi f(x) = x2? dan f(x2). Apakah f(–x) = –f (x)? b. Tentukan rumus fungsi untuk 4. Jika f(x) = x + 1 untuk x bilangan ganjil, f(x – a) untuk suatu bilangan asli a apakah fungsi f(–(x + 2)) = f(–x –2)? dan tentukan perubahan fungsi f(x + a) – f(x). 5. Jika f(x) = 4x – 5 untuk x bilangan real maka tentukan nilai x yang memenuhi2. Jika fungsi f dirumuskan dengan persamaan f(x) = f(2x + 1). f(x) = 4x + 3, untuk x bilangan real maka tentukan rumus fungsi yang paling seder- hana dari f(x – 3) dan f(x) – f(x – 3). Fungsi 47

E. GRAFIK FUNGSI/PEMETAAN Suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuat grafik pemetaannya. Grafik suatu pemetaan (fungsi) adalah bentuk diagram Cartesius dari suatu pemetaan (fungsi).Gambarlah grafik fungsi Penyelesaian:f : x 6 x + 3 dengan Untuk memudahkan menggambar grafik fungsidomain f : x 6 x + 3, kita buat terlebih dahulu tabel yang memenuhi fungsi tersebut, sehingga diperoleh koordinata. {x | 0 d x d 8, x  titik-titik yang memenuhi. bilangan bulat}; x 012 3 4 5 6 7 8b. {x | 0 d x d 8, x  bilangan real}. y = x + 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (x, y) (0, 3) (1, 4) (2, 5) (3, 6) (4, 7) (5, 8) (6, 9) (7, 10) (8, 11) a. Y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 56 78 Gambar 2.19 Berdasarkan Gambar 2.19, tampak bahwa grafik fungsi f : x 6 x + 3, dengan {x | 0 d x d 8, x  bilangan bulat}, berupa titik-titik (noktah) saja.48 Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

b. Y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 56 78 Gambar 2.20 Pada Gambar 2.20 tampak grafik fungsi f : x 6 x + 3, dengan {x | 0 d x d 8, x  bilangan real}. Titik-titik yang ada dihubungkan hingga membentuk kurva/garis lurus. Mengapa? Fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukanoleh rumus f(x) = ax + b dengan a, b  R dan a z 0 disebutfungsi linear. Grafik fungsi linear berupa suatu garis lurus denganpersamaan y = ax + b. Grafik fungsi linear akan kalian pelajaripada bab selanjutnya.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. b. Y 0X1. Di antara grafik berikut manakah yang merupakan grafik fungsi dari f(x) jika sumbu X adalah daerah asal? a. Y0X Fungsi 49

c. Y X a. Gambarlah grafiknya pada bidang 0 X Cartesius.d. Y b. Berbentuk apakah grafik tersebut? 0 3. Diketahui fungsi f(x) didefinisikan sebagai f(x) = 2x2 – 1. a. Gambar grafiknya pada bidang Cartesius jika x adalah variabel pada himpunan bilangan cacah. Berbentuk apakah grafik tersebut? b. Gambar grafiknya pada bidang Cartesius jika x adalah variabel pada himpunan bilangan real. Berbentuk apakah grafik tersebut? 4. Fungsi f(x) dirumuskan dengan f(x) = x 1 dengan domain {x | 1 d x d 12; 2 e. Y x  C} ke himpunan bilangan cacah. 0X a. Buatlah tabel pasangan nilai x dan y2. Fungsi f(x) didefinisikan sebagai f(x) = x2 + x dengan domain yang memenuhi fungsi tersebut. A = {x | –2 d x d 2, x  R} ke himpunan bilangan real R. b. Gambarlah grafiknya pada bidang Cartesius. 5. Diketahui fungsi f : x o 3x – 5 dengan domain P = {x | 0 d x d 5, x  C} ke himpunan bilangan real. a. Gambarlah grafiknya pada bidang Cartesius. b. Berbentuk apakah grafik fungsi tersebut? F. KORESPONDENSI SATU-SATU Agar kalian memahami pengertian korespondensi satu-satu, perhatikan Gambar 2.21. Perhatikan deretan rumah di suatu kompleks rumah (peru- mahan). Setiap rumah memiliki nomor rumah tertentu yang berbeda dengan nomor rumah yang lain. Mungkinkah satu rumah memiliki dua nomor rumah? AtauSumber: Dok. P enerbit mungkinkah dua rumah memiliki nomor rumah yang sama? TentuGambar 2.21 saja jawabannya tidak. Keadaan sebuah rumah memiliki satu nomor rumah atau satu nomor rumah dimiliki oleh sebuah rumah dikatakan sebagai korespondensi satu-satu .50 Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

Contoh lain yang menggambarkan korespondensi satu-satu (Menumbuhkansebagai berikut. Enam orang siswa bermain bola voli dengan nomor kreativitas)punggung 301 – 306. Ternyata Tulislah k ejadian s e-Bonar bernomor punggung 301; hari-hari di lingkungan sekitarmu yangAsti bernomor punggung 302; merupakan contoh korespondensi satu-Reni bernomor punggung 303; satu. Ceritakan hasil temu-Asep bernomor punggung 304; anmu secara singkat di depa n kelas.Buyung bernomor punggung 305;Beta bernomor punggung 306. Selanjutnya, jika kita misalkan A = {Bonar, Asti, Reni, Asep,Buyung, Beta} dan B = {301, 302, 303, 304, 305, 306} maka“bernomor punggung” adalah relasi dari A ke B. Relasi “bernomor punggung” dari himpunan A ke himpunanB pada kasus di atas dapat digambarkan dalam bentuk diagrampanah berikut. bernomor punggung ABBonar 301Asti 302 303Reni 304Asep 305Buyung 306Beta Gambar 2.22 Perhatikan bahwa setiap anggota A mempunyai tepat satukawan di B. Dengan demikian, relasi “bernomor punggung” darihimpunan A ke himpunan B merupakan suatu pemetaan. Selan-jutnya, amati bahwa setiap anggota B yang merupakan peta (ba-yangan) dari anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota A. Pemetaan dua arah seperti contoh di atas disebut korespon-densi s atu-satu atau perkawanan s atu-satu.Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakan anggota dari himpunan A dan B, dimana semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. Jadi, banyak anggota himpunan A dan B harus sama atau n(A) = n(B). Fungsi 51

(Berpikir kritis)Buatlah kelompok terdiri atas 4 orang, 2 pria dan 2 wanita.Untuk menentukan banyaknya korespondensi satu-satu yangmungkin a ntara h impunan A d an B , b uatlah d iagram-diagram pa nahyang mungkin jika banyak anggota A dan B seperti pada tabel berikut.Salin dan lengkapi tabel berikut. Kemudian, buatlah kesimpulannya.Banyak Anggota Banyak Anggota Banyak Korespondensi Himpunan A = Himpunan B = Satu-Satu yang Mungkin n(A) n(B) antara Himpunan A dan B2 2 2=2 u 13 3 6=3 u 2 u 14 4 24 = 4 u ... u ... u ...5 5 ........ .... ....n n .... Jika kalian mengerjakannya dengan tepat maka kalian akan menyimpulkan seperti berikut ini. Jika n(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu- satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah n! = n u (n – 1) u (n – 2) u ... u 3 u 2 u 1. n! dibaca : n faktorial.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Di antara diagram panah di bawah ini, AB manakah yang menunjukkan korespon- b x xe densi satu-satu? AB ABax xdbx xe a x xd (v)cx xf xe bx xf 2. Jika P = {–2, –1, 0, 1, 2}, apakah fungsi (i) f : P o P yang didefinisikan di bawah c x xg ini merupakan korespondensi satu-satu? AB a. f : x 6 –xa x xd (ii) b. f : x 6 x2c x xf AB (iii) a x xd b x xe c x xf d x xg (iv)52 Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

­ x 2 , untuk x 2, 1,0 4. Di antara dua himpunan berikut ini mana- ° 1, 2 kah yang dapat dibuat korespondensi satu-c. f(x) = ¯°® 1 satu? x , untuk x a. A = {nama hari dalam seminggu} d. f(x) = 2x2 – 1 B = {bilangan prima antara 1 dan 11}3. Diketahui R = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} dan S = {bilangan cacah}. b. P = {a, e, i, o, u} Suatu pemetaan g : R o S didefinisikan Q = {lima kota besar di Pulau Jawa} sebagai berikut. • g : x 6 x2 + 1, untuk x = –3, –2, –1 c. A = {nama bulan dalam setahun} dan B = {nama hari dalam seminggu} • g : x 6 3x + 2, untuk x = 0, 1, 2, 3 d. C = {bilangan genap kurang dari 10} a. Tentukan daerah hasil pemetaan itu. D = {bilangan prima kurang dari 10} b. Gambarlah diagram Cartesius peme- taan itu. 5. Berapa banyak korespondensi satu- satu yang dapat dibuat dari himpunan c. Nyatakan pemetaan tersebut dalam berikut? himpunan pasangan berurutan. a. A = {faktor dari 6} dan d. Apakah pemetaan tersebut termasuk B = {faktor dari 15} korespondensi satu-satu? Mengapa? b. K = {huruf vokal} dan L = {bilangan cacah antara 0 dan 6}(Berpikir Kritis)Coba cek j awaban soal no. 5 pada Uji Kompet ensi 8 denganmenggunakan kalkulator. Tekanlah notasi x! di kalkulator.Apakah hasilnya sama?1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota- anggota himpunan B.2. Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.3. Fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Fungsi 53

4. Jika x anggota A (domain) dan y anggota B (kodomain) maka fungsi f yang memetakan x ke y dinotasikan dengan f : x 6 y, dibaca fungsi f memetakan x ke y atau x dipetakan ke y oleh fungsi f. 5. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka a. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba; b. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab. 6. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan pada nilai fungsinya. 7. Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. 8. Jika n(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah n! = n u (n – 1) u (n – 2) u ... u 3 u 2 u 1. Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah paham mengenai Fungsi? Jika kalian sudah paham, coba rangkum kembali materi ini dengan kata-katamu sendiri. Bagian mana dari materi ini yang belum kamu pahami? Catat dan tanyakan kepada temanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu. Kemukakan hal ini secara singkat di depan kelas.Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.1. A B AB AB AB xx x1 xx x1 xx x1 xx x1 yx x2 yx x2 yx x2 yx x2 x3 zx x3 zx x3 zx x3 zx (ii) (iii) (iv) (i)54 Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

AB a. domain = {x, y, z} xx x1 b. kodomain = {p, q, r, s} yx x2 c. r  B tidak mempunyai pasangan zx x3 di A (v) d. diagram tersebut menunjukkan ko- Dari diagram panah di atas yang respondensi satu-satu bukan merupakan pemetaan adalah .... 7. Berikut ini yang merupakan korespon- a. (i) dan (iii) densi satu-satu adalah .... b. (ii) dan (iii) a. {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} c. (ii) dan (iv) b. {(1, a), (2, c), (3, d)} d. (iv) dan (v) c. {(1, b), (2, c), (3, b)} d. {(a, b), (c, d), (b, d)}2. Himpunan pasangan berurutan yang menunjukkan fungsi f : x o 2x + 5 8. Grafik fungsi ditunjukkan oleh gambar dari domain {1, 3, 5, 7} adalah .... .... a. {(1, 7), (3, 11), (5, 15), (7, 19)} a. Y b. {(1, 5), (3, 5), (5, 5), (7, 5)} c. {(1, 2), (3, 7), (5, 9), (7, 11)} X d. {(7, 1), (11, 3), (15, 5), (19, 7)} 03. Pada pemetaan {(1, 6), (2, 5), (3, 7), b. Y (4, 0), (5, 1)} domainnya adalah .... a. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 0X b. {1, 2, 3, 4, 5} c. {1, 2, 3} c. Y d. {0} 0 X4. Jika f(x) = x2 + 4 maka 29 adalah ba- yangan dari .... d. Y a. 2 c. 5 b. 3 d. 65. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan A = {a, i} ke himpunan A sendiri adalah .... a. 2 c. 4 b. 3 d. 86. A B xx xp yx xq zx xr xsDi antara pernyataan berikut, yang ti- 0Xdak benar adalah .... Fungsi 55

9. Pada fungsi linear f(x) = ax + b 10. Jika f(x) = ax + b maka nilai dengan f(1) = 0 dan f(0) = –2, rumus perubahan fungsi f(x) – f(x + 1) = .... fungsi f(x) = .... a. 0 a. x – 4 b. 1 b. 2x – 2 c. a c. x + 3 d. a d. 2x + 5B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Diketahui P adalah himpunan bilangan 3. Diketahui genap kurang dari 100 dan A adalah K = himpunan warna lampu lalu lintas. himpunan bilangan asli. Relasi dari P L = himpunan titik sudut segitiga ABC. ke A ditentukan oleh f : x 6 x2. a. Gambarlah diagram panah yang a. Nyatakan relasi itu dengan himpun- menunjukkan korespondensi satu- an pasangan berurutan. satu dari himpunan K ke L. b. Apakah relasi itu merupakan suatu b. Berapa banyaknya korespondensi pemetaan? Jelaskan. satu-satu yang mungkin terjadi? c. Sebutkan daerah asalnya. d. Sebutkan daerah kawannya. 4. Diketahui fungsi f dinyatakan dengan e. Sebutkan daerah hasilnya. f : x 6 3x – 5, untuk x bilangan real. f. Tentukan nilai x yang memenuhi a. Tentukan rumus fungsi yang paling f(x) = 64. sederhana dari f(x + 2), f(2x – 1), dan f(–x + 5).2. a. Buatlah relasi antara himpunan hari b. Tentukan nilai a sehingga f(a + 2) Senin sampai dengan hari Sabtu ke = f(2a – 1). himpunan jadwal mata pelajaran di kelasmu. Apakah relasi itu merupa- 5. Diketahui f fungsi linear dengan kan pemetaan? Mengapa? f(x) = ax + 1 dan f(6) = 4. Tentukan a. bentuk fungsinya; b. Buatlah relasi dari himpunan jadwal b. nilai f(–2); mata pelajaran di kelasmu ke c. nilai f(–2) + f(2); himpunan hari Senin sampai dengan d. bentuk fungsi f(2x –1). Sabtu. Apakah relasi itu merupakan pemetaan? Mengapa?56 Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

3 PERSAMAAN GARIS LURUS Perhatikan gambar di samping. Gambar tersebut menunjukkan penampang sebuah derek yang dibangun pada tahun 1886 di Dermaga Tilburi dekat London. Derek tersebut terdiri dari pipa baja yang dihubungkan dengan kabel sebagai kerekan. Pipa baja bisa diibaratkan sebagai garis lurus. Dapatkah kalian menentukan nilai kemiringannya terhadap tanah mendatar? Apakah nilai kemiringan tersebut dapat dipandang sebagai gradien pada persamaan garis lurus?Sumber: Jendela Iptek, 2001Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:™ dapat mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus dalam berbagai bentuk;™ dapat menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik, melalui satu titik dengan gradien tertentu;™ dapat menggambar grafik garis lurus.Kata-Kata Kunci:™ gradien garis lurus™ persamaan garis lurus™ grafik garis lurus

Pada pembahasan sebelumnya kalian telah mempelajari secara singkat mengenai fungsi linear f(x) = ax + b dan grafiknya pada bidang Cartesius. Grafik fungsi linear f(x) = ax + b berupa garis lurus jika x anggota bilangan real. Sekarang akan kalian pelajari secara lebih mendalam mengenai garis lurus, bagaimana persamaannya, cara menggambar grafik, gradien, dan bentuk- bentuk persamaan garis tersebut. Agar kalian mudah mempelajarinya, kalian harus menguasai materi sistem koordinat Cartesius, persamaan linear satu variabel, dan kedudukan dua garis. Sumber: Ensiklopedi A. PERSAMAAN GARIS (1) Matematika d anPeradaban Manusia, 2003Gambar 3.1 Rene Descartes Sebelum kita membahas lebih mendalam mengenai persamaan garis lurus, coba kalian ingat kembali pengertianSistem koordinat persamaan linear satu variabel.Cartesius pertama kalidiperkenalkan oleh Perhatikan garis lurus pada Gambar 3.2 berikut. KemudianRene Descartes salin dan lengkapilah tabel pasangan nilai x dan y dari titik-titikbersama rekannya Piere yang terletak pada garis itu.de Fermet pada perte-ngahan abad ke-17. YSistem koordinatCartesius terdiri at as 5 x ygaris mendatar, yaitu 4 #sumbu X dan garis 3 #tegak, yaitu sumbu Y. 2Letak suatu titik pa da 1 0koordinat C artesius 1diwakili oleh pasangan 3 2 10 1 2 3 4 5 6 2titik (x, y), dengan x 1 X3absis dan y ordinat. 2 # 3 Y P(2, 3) 32XPada gambar di atas, Gambar 3.2tampak bahwa koordinat Pada Gambar 3.2 hubungan nilai x dan nilai y yang terletaktitik P(2, 3) dengan absis pada garis lurus adalah y = –2x + 5. Coba kamu buat garis yang= 2 dan ordinat = 3. lain dan tentukan hubungan nilai x dan nilai y. Secara umum, hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus dapat ditulis px + qy = r dengan p, q, r , bilangan real dan p, q z 0. Persamaan y = –2x + 5 disebut persamaan garis lurus atau sering58 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

disebut persamaan garis, karena persamaan garis tersebut dapatdisajikan sebagai suatu garis lurus dengan x, y variabel padahimpunan bilangan tertentu. Persamaan dalam bentuk px + qy = r dengan p, q z 0 dapat (Berpikir kritis)ditulis menjadi y  p x r . Jika p dinyatakan dengan m dan Perhatikan kembali q q q persamaan y = –2 x + 5 pada Gambar 3.2.r dinyatakan dengan c maka persamaan garis tersebut dapat a. Bandingkanq dengan bentukdituliskan dalam bentuk sebagai berikut. y = mx + c. Dapat- kah k alian m enen- y = mx + c; dengan m, c adalah suatu konstanta tukan nilai m dan c?1. Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurus b. Kemudian, y = mx + c pada Bidang Cartesius bandingkan kembali dengan Telah kalian ketahui bahwa melalui dua buah titik dapat ditarik bentuktepat sebuah garis lurus. Dengan demikian, untuk menggambargrafik garis lurus pada bidang Cartesius dapat dilakukan dengan y  p x  r .syarat minimal terdapat dua titik yang memenuhi garis tersebut, q qkemudian menarik garis lurus yang melalui kedua titik itu. Berapakah nilai p, q, dan r? c. Apa yang dapat kalian sim pulkan dari jawaban a dan b?Gambarlah grafik persa- Penyelesaian:maan garis lurus Langkah-langkah menggambar grafik persamaan garis lurus y = mx + c, c z 0 sebagai berikut.2x + 3y = 6 pada bidang – Tentukan dua pasangan titik yang memenuhi persamaanCartesius, jika x, y variabelpada himpunan bilangan garis tersebut dengan membuat tabel untuk mencarireal. koordinatnya. – Gambar dua titik tersebut pada bidang Cartesius. – Hubungkan dua titik tersebut, sehingga membentuk garis lurus yang merupakan grafik persamaan yang dicari. x03 y20 (x, y) (0, 2) (0, 3) untuk x = 0 maka 2 u 0 + 3y = 6 0 + 3y = 6 3y = 6 y = 6 =2 o (x, y) = (0, 2). 3 Persamaan Garis Lurus 59

untuk y = 0 maka 2x + 3 u 0 = 6 2x + 0 = 6 2x = 6 x = 6 =3 o (x, y) = (3, 0). 2 2x + 3y = 6 Y 3 (3, 0) 2 (0, 2) 34 5 1 _3 _2 _1_01 12 X _2 _3 Gambar 3.3Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Di antara gambar-gambar berikut, mana- Y kah yang menunjukkan garis dengan 3 02persamaan y 3 x ? 2 (ii) Y X2 X03(i)60 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Y b. y 1 x 1 3 3_2 0 x 0 .... y .... 0 X (x, y) (..., ...) (..., ...) 3. Gambarlah grafik persamaan garis lurus berikut pada bidang Cartesius.(iii) a. y = 4x – 1 d. y = 4 Y3 b. 2x – 3y = 12 e. x = –103 c. x = 2y – 2 f. y = x X 4. a. Gambarlah grafik dari (iv) y = 2x, y = 2x + 3, dan y = 2x – 2 pada satu bidang koordinat.2. Salin dan lengkapilah tabel berikut sesuai dengan persamaan garis yang diberikan. b. Adakah hubungan antara ketiga ga- Kemudian, gambarlah grafik persamaan ris tersebut? garis lurus tersebut pada bidang Cartesius. c. Bagaimanakah koefisien x pada keti- a. y = 5x ga garis tersebut? x 0 .... d. Apa yang dapat kalian simpulkan? y .... 5 5. Gambarlah grafik dari y  1 x dan 2 (x, y) (..., ...) (..., ...) y = 2x + 1 pada satu bidang koordinat. a. Adakah hubungan antara ketiga garis tersebut? b. Bagaimanakah koefisien x pada ketiga garis tersebut? c. Apa yang dapat kalian simpulkan?2. Menyatakan Persamaan Garis Jika Grafiknya Diketahui a. Persamaan garis y = mx Untuk menyatakan persamaan garis dari gambar yang diketahui maka kita harus mencari hubungan absis (x) dan ordinat (y) yang dilalui garis tersebut. Persamaan Garis Lurus 61

Y 4 3 2 1 21 12 34 56 X 1 2 Gambar 3.4 Perhatikan Gambar 3.4. Misalkan bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c dengan m dan c konstanta. Karena titik (0, 0) dan (4, 2) terletak pada garis tersebut maka diperoleh y = mx + c 0 = m(0) + c atau c = 0, sehingga 2 = m(4) + 0 atau m = 1 . 2 Jadi, persamaan garis tersebut adalah y = mx + c atau y 1 x . 2 Persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik P(x1, y1) adalah y y1 x . Jika y1 m maka persamaan x1 x1 garisnya adalah y = mx.Tentukan persamaan garis Penyelesaian:lurus pada gambar berikut. Garis l1 melalui titik (0, 0) dan (4, 1), sehingga persamaan Y y1 l2 3 garisnya adalah y x1 x 1 x . Adapun garis l2 melalui( 2, 2) 2 4 1 (4, 1) 12 34 l1 titik (0, 0) dan (–2, 2), sehingga persamaan garisnya adalah X21 y y1 x 2 x atau y = –x. 1 x1 2 2 Gambar 3.562 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

b. Persamaan garis y = mx + c Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempe-lajari bahwa persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) danP(x1, y1) adalah y y1 x . x1 Sekarang, perhatikan Gambar 3.6. Pada gambartersebut garis k melalui titik O(0, 0) dan titik A(4, 3), sehinggapersamaan garis k adalah y = mx atau y 3 x . Sekarang, 4coba geserlah garis k sampai berimpit dengan garis l sehingga(0, 0) o (0, 3) dan (4, 3) o (4, 6). Garis l melalui titik B(0, 3)dan C(4, 6) sejajar garis k. Y l C(4, 6) 6 5 k A(4, 3) 4 3 B(0, 3) 2 1 4321 12 34 5 X 1 2 3 Gambar 3.6Misalkan persamaan garis l adalah y = mx + c.Karena garis l melalui titik (0,3) maka berlaku 3 = m (0) + c 3 = c atau c = 3Karena garis l melalui titik (4, 6) maka berlaku 6 = m(4) + c 6 = 4m + 3 4m = 3m= 3 4Jadi, persamaan garis l yang sejajar dengan garis k adalahy = mx + c atau y 3 x  3 . 4 Persamaan Garis Lurus 63

Dengan demikian, kita dapat menentukan persamaan suatu garis l dengan memerhatikan berikut ini. 1. Titik potong garis l dengan sumbu Y. 2. Persamaan garis yang sejajar dengan garis l dan melalui titik (0, 0). Persamaan garis yang melalui titik (0, c) dan sejajar garis y = mx adalah y = mx + c.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan persamaan garis pada gambar 2. Gambarlah garis yang melalui titik berikut. pangkal koordinat O(0, 0) dan titik-titik berikut, kemudian tentukan persamaan l2 Y garisnya. 5 l1 a. (3, 4) c. (–3, –5) 4 X 3 b. (–2, 5) d. (4, –3) 2 12345 1 3. a. Diketahui titik A(–8, a) terletak pada garis yang persamaannya_2 _1 0 y  1 x  15 . 4 (i) Tentukan nilai a. Y b. Diketahui titik B(b, 5) terletak pada 4 X garis yang persamaannya 4x – 3y + 3 l4 7 = 0. Tentukan nilai b. 2 1 4. Gambarlah garis yang melalui titik-titik berikut, kemudian tentukan persamaan_2 _1_10 dari masing-masing garis tersebut. _2 a. P(0, 2) dan Q(2, 0) 12 345 6 b. R(0, 3) dan S(-4, 0) l3 c. K(0, 4) dan L(-1, 0) (ii)64 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

B. GRADIEN Coba kalian perhatikan orang yang sedang naik tangga. Sumber: Dok. PenerbitDapatkah kalian menentukan nilai kemiringannya? Jika tangga Gambar 3.7dianggap sebagai garis lurus maka nilai kemiringan tangga dapatditentukan dengan cara membandingkan tinggi tembok yang dapatdicapai ujung tangga dengan jarak kaki tangga dari tembok. Nilaikemiringan tangga tersebut disebut gradien. Pada pembahasanini kita akan membahas cara menentukan gradien dari suatu garislurus.1. Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O(0, 0) dan Titik ( x, y) Agar kalian memahami pengertian dan cara menentukangradien suatu garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik (x, y),perhatikan Gambar 3.8. Pada Gambar 3.8 tersebut tampak garis y = 1 x dengan titik 2O(0, 0), A(2, 1), dan B(6, 3) terletak pada garis tersebut.Bagaimanakah perbandingan antara komponen y dan komponen xdari masing-masing ruas garis pada garis y = 1 x tersebut? 2 Y4 B(6, 3)3 y= 1 x2 21 A(2, 1) yA C yBO xA A’ X B’ xB Gambar 3.8Perhatikan ruas garis OA pada segitiga OAAc. yA AAc 1xA OAc 2Perhatikan ruas garis OB pada segitiga OBBc. yB BBc 3 1xB OBc 6 2 Persamaan Garis Lurus 65

Perhatikan juga ruas garis AB pada segitiga ABC.yAB BC 3 1 2 1xAB AC 6  2 4 2 Dari uraian di atas ternyata perbandingan antara komponeny dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkanbilangan yang sama. Bilangan yang sama tersebut disebut gradien.Jadi, gradien dari garis y 1 x adalah 1 . Bandingkan dengan 2 2koefisien x pada persamaan garis y = 1 x. Apakah kalian 2menyimpulkan berikut ini? Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakankecondongan suatu garis yang merupakan perbandinganantara komponen y dan komponen x. Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalahbesarnya koefisien x, sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m. Bagaimana cara menentukan gradien garis yangpersamaannya y = mx + c? Agar kalian mudah memahaminya,perhatikan Gambar 3.9. Y y = 2x + 3 7 S(2, 7) X 6 R(1, 5) 5 Q' 4 12 3 4 5 3 2 P'' Q( 1, 1) 1 3 2 10P( 2, 1) P' Gambar 3.9 Pada gambar tersebut tampak bahwa garis yang memiliki persamaan y = 2x + 3 melalui titik-titik P(–2, –1), Q(–1, 1), R(1, 5), dan S(2, 7). Sekarang perhatikan perbandingan antara komponen y dan komponen x dari beberapa ruas garis y = 2x + 3.66 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Perhatikan ruas garis PQ pada segitiga PPcQ .yp QPc 2 2xp PPc 1Perhatikan ruas garis QR pada segitiga QQcR .yQ RQc 4 2xQ QQc 2Perhatikan ruas garis PS pada segitiga PPccS .yS SPcc 8 2xS PPcc 4Berdasarkan uraian di atas ternyata perbandingan antarakomponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garismenunjukkan bilangan yang selalu sama. Bilangan yang selalu samatersebut disebut gradien. Jadi, garis dengan persamaan y = 2x + 3memiliki gradien 2.Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m. Selanjutnya, bagaimana menentukan gradien garis yang (Berpikir kritis)berbentuk ax + by = c? Kalian telahSebelumnya ubahlah bentuk ax + by = c ke bentuk y = mx + c mempelajari bahwadengan cara seperti berikut. gradien garis dengan persamaan ax + by = cœ ax + by = cœ b y = –ax + c y =  a x  c adalah  a . b b b p a. Bagaimana jika a = 0? Berapakah koefisien x menunjukkan gradien gradiennya?Gradien garis ax + by = c adalah  a . b. Bagaimana pula jika b b = 0? Berapakah gradiennya?Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah  a . b Diskusikan d engan temanmu. Ujilah jawab- anmu dengan uraian materi selanjutnya. Persamaan Garis Lurus 67

Tentukan gradien dari per- Penyelesaian:samaan garis berikut. a. Ubah persamaan garis 2y = 5x – 1 ke bentuka. 2y = 5x – 1 y = mx + c.b. 3x – 4y = 10 y= 5 x– 1 2 2 m= 5 2 Atau dengan cara lain, ubah persamaan garis 2y = 5x – 1 ke bentuk ax + by = c. 2y = 5x – 1 œ 5x – 1 = 2y œ 5x – 2y = 1 Gradien garis 5x – 2y = 1 adalah m  a  ©§¨ 5 ·¹¸ 5 . b 2 2 b. 3x – 4y = 10 m  a b =  ©¨§ 3 ¹·¸ = 3 4 4 Jadi, gradien garis 3x – 4y = 10 adalah m 3 . 42. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik ( x1, y 1) dan (x2, y 2) Kalian telah mempelajari bahwa gradien suatu garis adalahperbandingan antara komponen y dan komponen x ruas garis yangterletak pada garis tersebut.68 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Perhatikan ruas garis AB pada Gambar 3.10. (Berpikir kritis) Y B (x2, y2) Apakah gradien garis yAB y2y2 _ y1 yang melalui titik A xAB (x1, y1) dan (x2, y2) dapat dirumuskan sebagai (x1, y1) y1 m 'y y1  y2 ? 'x x1  x2 0 x1 x2 _ x1 X x2 Apakah ada syarat Gambar 3.10 tertentu agar hal tersebut berlaku? Berdasarkan gambar tersebut tampak bahwa ruas garis AB Eksplorasilah hal inimelalui titik A (x1, y 1) dan B(x2, y 2), sehingga perbandingan dengan mendiskusi-komponen y dan komponen x ruas garis tersebut adalah kan bersama tema n sebangkumu.yAB mAB y2  y1 'y . Hasilnya, kemukakanxAB x2  x1 'x secara singkat di depan kelas.Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalahm 'y y2  y1 . 'x x2  x1Catatan:Selisih antara dua bilangan x1 dan x2 dinotasikan dengan'x = x2 – x1 (' dibaca: delta).Tentukan gradien garis Penyelesaian:yang melalui titika. A(1, 2) dan B(3, 0); a. Gradien garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 0)b. C(–3, 1) dan adalah D(–2, –5). mAB 'y 'x yB  yA xB  xA 02 31 2 1 2 Persamaan Garis Lurus 69

b. Gradien garis yang melalui titik C(–3, 1) dan D(–2, –5) adalah mCD 'y 'x yD  yC xD  xC 5 1 2  (3) 6 1 6Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Gambarlah garis yang melalui titik 3. Tentukan gradien garis berikut. pangkal koordinat O(0, 0) dan titik berikut pada bidang koordinat Cartesius. a. y = x d. y = 1 x Kemudian, tentukan gradien dari masing- 2 masing garis tersebut. b. y = –2x – 3 e. x + 2y – 1 = 0a. A(1, 7) d. D(3, –5) c. y = 3x – 1 f. –3x + 5y = 0b. B(5, 3) e. E(5, 0) 4. Gambarlah garis yang melalui kedua titik berikut pada bidang koordinat Cartesius.c. C(–2, 4) f. F(0, 3) a. A(1, 2) dan B(–2, 3)2. Perhatikan gambar berikut. Pada gambar tersebut garis k melalui titik (0, 0) dan b. C(7, 0) dan D(–1, 5) (–5, –3), garis l melalui titik (0, 0) dan (7, –6), serta garis m melalui titik (0, 0) c. E(1, 1) dan F(–3, –4) dan (3, 4). Tentukan gradien dari masing- masing garis tersebut. d. G(5, 0) dan H(0, 4) e. I(2, 0) dan J(0, –4) 5m Kemudian, tentukan gradien dari masing-l 4 (3, 4) masing garis tersebut. 3 5. Diketahui persamaan garis y = mx + c. 2 Tentukan nilai m dan c jika garis tersebut k melalui titik 1-6 -4 -3 -2 -1-1 12 3 4 56 7 8 a. (2, 1) dan (–3, –1); -2 b. (2, 0) dan (0, –4);(-5, -3) -3 c. (–4, 2) dan (3, –3); -4 -6 (7, -6) d. (0, 2) dan (5, 0).70 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

3. Mengenal Gradien Garis T ertentua. Gradien garis yang sejajar sumbu X d an g radien g aris yang sejajar sumbu Y Perhatikan Gambar 3.11. Jika garis OA kita putar searah (Berpikir kritis)jarum jam sehingga berimpit dengan sumbu X maka diperoleh garisOA2. Titik-titik yang terletak pada garis OA2 memiliki ordinat 0, Diskusikan d engan temanmu.sehingga gradien garis OA2 komponen y Segitiga PQR sama- kaki dengan PQ = PR OA 2 = 3. Sisi PR terletak pada sumbu X dan 0 0 PQ pada sumbu Y de- OA 2 ngan P terletak pada titik pusat koordinat.Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah nol. Tentukan a. koordinat Q dan R; Y b. gradien garis PQ, dan PR; c. persamaan garis PQ dan PR. A A1 X O A2 Gambar 3.11Selanjutnya, kita akan menentukan gradien dari garis yangsejajar sumbu Y. Perhatikan Gambar 3.12. Jika garis OB kita putarberlawanan arah jarum jam sehingga berimpit dengan sumbu Ymaka diperoleh garis OB2. Titik-titik yang terletak pada garis OB2memiliki absis 0, sehinggaYB2 B' OB OB2 B komponen xO B2 (tidak didefinisikan) 0 X Gambar 3.12 71Gradien garis yang sejajar sumbu Y tidak didefinisikan. Persamaan Garis Lurus

b. Gradien garis-garis yang saling sejajar Perhatikan Gambar 3.13. Pada gambar tersebut tampak pasangan ruas garis sejajarAB//CD//EF dan ruas garis GH//IJ//KL. Bagaimanakah gradienruas garis yang saling sejajar tersebut? Y 7 J 6H 5 F D L4 G B 3I C 56 7 2 A 1 E 2 34 X K _4 _3 _2 _1 0 1 Gambar 3.13Perhatikan uraian berikut ini.x) Ruas garis AB melalui titik A(4, 0) dan B(6, 2), sehingga gradien ruas garis AB adalahmAB yB  yA xB  xA 20 64 2 2 1.x) Ruas garis CD melalui titik C(3, 2) dan D(5, 4), sehingga gradienruas garis CD adalahmCD yD  yC xD  xC 42 2 1. 53 2x) Ruas garis EF melalui titik E(1, 1) dan F(3, 3), sehingga gradienruas garis EF adalahmEF yF  yE xF  xE 31 2 1. 31 272 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa mAB = mCD = mEF= 1, dengan garis AB//CD//EF. Sekarang kita akan mencari gradien dari garis GH, garis IJ,dan garis KL.x) Ruas garis GH melalui titik G(2, 3) dan H(0, 6), sehingga berlaku mGH yH  yG xH  xG 63  3 . 02 2x) Ruas garis IJ melalui titik I(0, 3) dan J(–2, 6), sehingga berlaku mIJ yJ  yI xJ  xI 63  3 . 2  0 2x) Ruas garis KL melalui titik K(–1, 1) dan L(–3, 4), sehingga berlaku mKL yL  yK xL  xK 4 1  3 . 3  (1) 2 Berdasarkan uraian tersebut, tampak bahwa mGH = mIJ =mKL =  3 , dengan garis GH//IJ//KL. 2 Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa garis-garis yangsejajar memiliki gradien yang sama. Jika garis y1 = m1x + c sejajar dengan garis y2 = m2x + c maka gradien kedua garis tersebut sama, atau m1 = m2.Tentukan kedudukan garis Penyelesaian:y = –2x + 5 dengan garisberikut. Garis y = –2x + 5 berbentuk y = mx + c, sehingga gradien garis tersebut adalah m1 = –2.(i) x  1 y 2 (i) Ubahlah bentuk x 1 y 2 menjadi bentuk 2 2(ii) 4x + 2y = 5 y mx  c . Persamaan Garis Lurus 73

x  1 y 2 œ 1 y 2x 2 2 œ y 4  2xGradien dari persamaan garis y = 4 – 2x adalahm2 = –2.Karena m2 = m1 = –2, maka garis y = 2x + 5 dan garisx  1 y 2 saling sejajar. 2(ii) Bentuk 4x + 2y = 5 jika diubah ke bentuk y = mx + c sebagai berikut.4x  2y 5 œ 2y 5 4x œy 5  2x 2Gradien dari garis y 5  2x adalah m2 = –2. Karena 2m2 = m1, maka garis y = 2x + 5 dan garis 4x + 2y = 5saling sejajar.c. Gradien g aris y ang s aling t egak l urus Untuk menentukan gradien garis yang saling tegak lurusperhatikan Gambar 3.14. Dengan menggunakan busur derajat ataupenggaris siku-siku, dapatkah kalian menunjukkan hubungan antararuas garis AB dengan ruas garis CD? Bagaimana pula hubunganantara ruas garis EF dengan ruas garis GH? Apakah kedua pasangruas garis tersebut saling tegak lurus? Jika kalian menggunakanpenggaris siku-siku dengan cermat, kalian akan memperoleh bahwaruas garis AB A CD dan ruas garis EF A GH. Y 5 4 3H D E 2 1A B G C X _4 _3 _2 _1_01 12 34 5 6 _2 F _3 Gambar 3.1474 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Sekarang akan kita selidiki gradien dari masing-masing ruas garis (Menumbuhkantersebut. inovasi)x) Ruas garis AB melalui titik A(1, 1) dan B(4, 2), sehingga Bentuklah kelompok yang terdiri atas 4mAB 2 1 1 . orang, 2 pria dan 2 4 1 3 wanita. D iskusikan h al berikut.x) Ruas garis CD melalui titik C(3, 0) dan D(2, 3), sehingga a. Diketahui persa-mCD 30 3 3. maan garis ax + 23 1 by = c dan px + qy = r saling sejajar .Perhatikan bahwa mAB u mCD 1 u 3 1 . Bagaimana hu- 3 bungan a ntara a dan b dengan pDari Gambar 3.15 tampak bahwa garis AB A CD dengan dan q?mAB u mCD = –1 ........................................................... (i) b. Diketahui persa- maan garis ax +Selanjutnya akan kita cari gradien dari ruas garis EF dan GH. by = c dan px + qyx) Ruas garis EF melalui titik E(–3, 3) dan F(2, –2), sehingga = r saling tegak lurus. BagaimanamEF 2  3 5 1. hubungan antara a 2  (3) 5 dan b dengan p dan q?x) Ruas garis GH melalui titik G(–3, 0) dan H(0, 3), sehingga Dari jawaban a dan b, buatlah kesimpulan-mGH 30 3 1. nya. 0  (3) 3 Perhatikan bahwa mEF u mGH 1u1 1. Dari Gambar 3.14 tampak bahwa garis EF A GH dengan mEF u mGH = –1 ........................................................... (ii) Berdasarkan (i) dan (ii) dapat dikatakan bahwa jika dua buahgaris saling tegak lurus maka hasil kali gradien kedua garis tersebutadalah –1.Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah–1.Selidikilah apakah garis Penyelesaian:yang melalui titik P(3, 1) Gradien garis yang melalui titik P(3, 1) dan Q(9, 5) adalahdan Q(9, 5) tegak lurusdengan garis yang melalui mPQ 5 1 4 2 .titik R(8, 0) dan S(4, 6). 93 6 3 Persamaan Garis Lurus 75

Gradien garis yang melalui titik R(8, 0) dan S(4, 6) adalah mRS 60 6  3 . 48 4 2 mPQ u mRS 2 u ¨©§  3 ·¸¹ 1 3 2 Karena hasil kali gradien kedua garis adalah –1, sehingga kedua garis tegak lurus.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan gradien dari garis-garis berikut. 4. Tentukan gradien garis yang melalui kedua titik berikut. Adakah hubungana. x = 0 d. y = -4 sejajar atau tegak lurus di antaranya?b. x = 3 e. y = 0 a. A(-1, 0) dan B(0, 2)c. x = -5 f. y = 6 b. C(0, 3) dan D(2, 2)2. Di antara persamaan garis berikut, c. E(1, -2) dan F(3, 2) manakah yang sejajar dengan garis yang melalui titik (0, 0) dan (–2, 1)? d. G(2, 3) dan H(6, 1)a. y = 2x – 5 d. 2x – y = 3 5. Diketahui sebuah garis melalui titik A(3, 0) dan B(0, 2). Suatu garis lainb. y  1 x e. 4x + y – 1 = 0 melalui titik O(0, 0) dan C(3, 3). 2 a. Dengan menentukan gradienc. x + 2y = 1 masing-masing garis, bagaimanakah kedudukan dua garis tersebut?3. Tentukan gradien garis y = mx + c, agar b. Tentukan persamaan garis yang a. sejajar dengan garis 2x – 3y = 10; melalui titik O dan C? b. tegak lurus dengan garis 3x + 4y = 5. C. PERSAMAAN GARIS (2) Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari cara menentukan persamaan garis y = mx dan y = mx + c jika grafiknya diketahui. Pada bagian ini kalian akan mempelajari secara lebih mendalam mengenai cara menentukan persamaan garis jika grafiknya tidak diketahui. Pelajari uraian berikut ini.76 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik ( x1, y 1) Tentukan persamaan dengan Gradien m garis yang melalui titik (–3, 2) dan tegak lurus Misalkan suatu garis mempunyai gradien m dan melalui sebuah dengan garis yangtitik (x1, y1). Bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c. melalui titik (1, 3) danUntuk menentukan persamaan garis tersebut perhatikan langkah- (–1, 4). Gambarlahlangkah berikut. kedua garis tersebut pada sa tu bidang ko-(a) Substitusi titik (x1, y1) ke persamaan y = mx + c. ordinat da n tentukan y = mx + c koordinat titik potong- nya. œ y1 = mx1 + c œ c = y1 – mx1(b) Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c. y = mx + c œ y = mx + y1 – mx1 œ y – y1 = mx – mx1 y – y1 = m(x – x1) Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah y – y1 = m(x – x1).Tentukan persamaan garis Penyelesaian:yang melalui titik (3, 5) dan Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradienbergradien 1 . m adalah y – y1 = m(x – x1). Oleh karena itu persamaan 2 garis yang melalui titik (3, 5) dan bergradien 1 sebagai 2 berikut. y  y1 m x  x1  y5 1  x  3 2 y 1 x  3  5 2 2 y 1 x  7 atau 2 2 2y x7 Persamaan Garis Lurus 77

2. Persamaan Garis yang Melalui titik (x1, y1) dan Sejajar dengan Garis y = mx + c Perhatikan Gambar 3.15. Gambar tersebut menunjukkan garisl dengan persamaan y = mx + c bergradien m dan garis g sejajardengan l. Karena garis g // l maka mg = ml = m. g Yl y = mx + c (x1, y1) X 0 Gambar 3.15 Garis g melalui titik (x1, y 1) dan bergradien m, sehinggapersamaan garisnya adalah y – y1 = m(x – x1). Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan sejajar garis y = mx + c adalah y – y1 = m(x – x1).Tentukan persamaan garis Penyelesaian:yang melalui titik (2, –3)dan sejajar dengan garis Gradien garis 3x + 4y = 5 adalah m1  3 . Karena garis3x + 4y = 5. 4 yang melalui titik (2, –3) sejajar dengan garis 3x + 4y = 5, maka gradiennya = m2  3 . 4 Persamaan garis yang melalui titik (2, –3) dan bergradien  3 adalah 4 y  y1 mx  x1  œ y  3  3 x  2 4 œ y3  3 x  2 478 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

œ y  3 x  3  3 4 2 y  3 x  3 atau 4 2 4 y 3x  63. Persamaan Garis yang Melalui ( x1, y1) dan Tegak Lurus dengan Garis y = mx + c Untuk menentukan persamaan garis g yang tegak lurus garisl, perhatikan Gambar 3.16. Pada gambar tersebut tampak bahwagaris l memiliki persamaan garis y = mx + c dan bergradien m.Garis g A l, sehingga mg u ml = –1 atau mg  1  1 . ml m Y g l y = mx + c (x1, y1) X 0 Gambar 3.16Karena garis g melalui titik (x1, y1) dan bergradien  1 , maka mpersamaan garisnya adalah y  y1  1  x  x1  . mPersamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan tegak lurusdengan garis y = mx + c adalah y  y1  1  x  x1  . m Persamaan Garis Lurus 79

Tentukan persamaan garis Penyelesaian:yang melalui titik (–1, 3)dan tegak lurus garis Gradien garis 2x – 3y = 6 adalah m = 2 2 .2x – 3y = 6, kemudian 3 3gambar grafiknya padabidang koordinat. Persamaan garis yang melalui (–1, 3) dan tegak lurus garis 2x – 3y = 6 adalah y  y1  1  x  x1  m y3  1  x  1 2 3 y3  3 x  1 2 y  3 x  3  3 2 2 y  3 x  3 atau 2y 3x  3 2 2 Gambar grafiknya sebagai berikut. y 3 x 3 Y 22 (_1, 3) 6 2x _ 3y = 6 5 X 4 1 2 345 6 3 2 1 _4 _3 _2 _1__201 _3 _4 Gambar 3.1780 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

4. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sebarang (x1, y 1) d an ( x2, y 2) Perhatikan Gambar 3.18. Y l 3 A(1, 2) 2 1 _01 1 234 5678 X _2 B (5, _1) Gambar 3.18 Misalkan kalian akan menentukan persamaan garis yangmelalui titik A(1, 2) dan titik B(5, –1) seperti pada Gambar 3.18. Coba kalian ingat kembali bentuk fungsi linear y = ax + b.Misalkan persamaan garis l adalah y = ax + b. Untuk menentukanpersamaan garis l, perhatikan uraian berikut.x) Substitusikan titik (1, 2) ke persamaan y = ax + b. 2 = a(1) + b œ 2 = a + b ............................................ (i) Selanjutnya, substitusikan titik (5, –1) ke persamaan y = ax + b. –1 = a(5) + b œ –1 = 5a + b ..................................... (ii) Kemudian, eliminasi persamaan (i) dan (ii), sehingga diperoleh 2 =a+b –1 = 5a + b2 – (–1) = a – (5a) 3 = –4a a  3 4Untuk memperoleh nilai b substitusikan nilai a  3 ke 4persamaan (i). 2 =a+b2 §©¨  3 ¸¹·  b 4b 2  ¨§©  3 ¹·¸ 11 4 4 Persamaan Garis Lurus 81

y ax  b(Menumbuhkan y  3 x  11inovasi) 4 4Bentuklah kelompok 4 y 3x 11yang terdiri atas 2orang, 1 pria dan 1 Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(5, –1)wanita. Coba diskusi-kan, bagaimanakah adalah y  3 x  11 atau 4y = –3x + 11.persamaan garis yang 4 4memotong sumbu Y dititik (0, a) dan memo- Dari contoh di atas tampak bahwa persamaan garis yangtong sumbu X di melalui dua titik dapat diselesaikan dengan substitusi ke fungsi li-(b, 0)? near y = ax + b.Kalian dapat menggu-nakan b erbagai cara. Persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikanBandingkan hasilnya. dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b.Eksplorasilah, apakahdapat dikatakan Selain dengan cara substitusi ke fungsi linear, untuk menentu-bahwa persamaan kan persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikangaris yang melalui titik dengan cara seperti berikut.(0, a) dan ( b, 0) adalahax + by = ab? Dari Gambar 3.18 diketahui garis l melalui titik A(1, 2) danUjilah jawabanmu B(5, –1). Gradien garis yang melalui titik A dan B adalahdengan persamaantersebut. mAB y2  y1 x2  x1 1 2 5 1  3 4 Persamaan garis l yang bergradien m  3 dan melalui titik 4 A(1, 2) adalah y  y1 mx  x1  y2  3  x  1 4 y2  3 x  3 4 4 y  3 x  11 atau 4y 3x 11 4 4 Dengan memerhatikan bahwa gradien yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah mAB y2  y1 x2  x1 maka persamaan garis yang melalui titik A dan B adalah y  y1 y2  y1 x  x1 . x2  x182 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)adalahy  y1 y2  y1 x  x1  (Menumbuhkan x2  x1 kreativitas)atau dapat dituliskan y  y1 x  x1 . Menurutmu, manakah y2  y1 x2  x1 yang lebih mudah cara menentukan persa- maan garis y ang me- lalui dua titik sebarang dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b, ataukah dengan rumus seperti di samping? Jelaskan pendapatmu.Tentukan persamaan garis Penyelesaian:yang melalui titik (3, –5) Persamaan garis yang melalui titik (3, –5) dan (–2, –3)dan (–2, –3). sebagai berikut. Cara 1 Dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b. y = ax + b –5 = a(3) + b œ –5 = 3a + b –3 = a(–2) + b œ –3 = –2a + b –5 – (–3) = 3a – (–2a) –5 + 3 = 3a + 2a –2 = 5a  2 =a 5 Substitusi nilai a ke persamaan 5 3a  b 5 3¨©§  2 ¹¸·  b 5 5  6  b 5 b  19 5 Persamaan garis yang memenuhi y = ax + b adalah y  2 x  19 atau –5y = 2x + 19. 5 5 Persamaan Garis Lurus 83

Cara 2 Dengan menggunakan rumus. Substitusi titik (3, –5) dan (–2, –3) ke persamaan y  y1 x  x1 y2  y1 x2  x1 y  (5) x3 3  (5) 2  3 y5 x3 2 5 5 y  5 2x  3 5y  25 2x  6 5y 2x  6  25 5y 2x 19 y  2 x  19 atau 5 5 5y 2x 19 Jadi, persamaan garis yang melalui titik (3, –5) dan (–2, –3) adalah y  2 x  19 atau –5y = 2x + 19. 5 5 5. Menggambar G aris yang Melalui Titik ( x1, y 1) dengan Gradien m Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari cara menggambar grafik persamaan garis y = mx + c. Coba kalian ingat kembali bagaimana cara menggambarnya. Sekarang, kalian akan mempelajari cara menggambar garis yang belum diketahui persamaannya. Dalam hal ini, garis yang melalui titik (x1, y1) dengan gradien m. Agar kalian lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut.Gambarlah garis yang me- Penyelesaian:lalui titik P(2, 0) dengan Untuk menggambar garis yang melalui titik P(2, 0) dangradien  1 . bergradien  1 langkah-langkahnya sebagai berikut. 2 2 – Gambar titik P(2, 0) pada bidang koordinat Cartesius.84 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

– Karena gradien adalah perbandingan antara komponen y dan komponen x, maka m = 'y 21. 'x ' y = –1, artinya ke bawah 1 satuan dari titik P(2, 0) diteruskan dengan 'x = 2, artinya ke kanan 2 satuan, sehingga diperoleh titik Q(4, –1). – Hubungkan titik P dan titik Q. Garis yang melalui titik P(2, 0) dan Q(4, –1) adalah garis yang dimaksud. Y 3 2 1 1 2 P(23,0) 4 5 6 7 X _01 _2 y = _1 Q x=2 _3 Gambar 3.19Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan persamaan garis yang melalui b. B(–4, 0) dan sejajar garis titik 2x + 3y = 1;a. A(1, 3) dan bergradien 2; c. D(–3, 1) dan sejajar garis x + 4y + 5 = 0;b. C(7, 1) dan bergradien 1 ; 5 d. E(2, 4) dan sejajar garis x = 3y + 3.c. D(3, 0) dan bergradien  1 ; 3. Tentukan persamaan garis yang melalui 2 titik-titik berikut.d. E(–2, –3) dan bergradien –1. a. A(3, –2) dan B(–1, 3)Kemudian, gambarlah garis tersebut b. Q(–5, 0) dan R(3, 4)pada bidang koordinat Cartesius. Berilahnama untuk masing-masing garis c. K(7, 3) dan L(–2, –1)tersebut. d. M(1, 1) dan N(–6, 4)2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik 4. Diketahui suatu garis bergradien 5 melalui titik P(1, 0) dan Q(x, 5). Tentukan nilai x.a. A(–2, 3) dan sejajar garis y = –x – 5; Persamaan Garis Lurus 85

5. Tentukan persamaan garis yang melalui b. y  1 x  6 titik (2, 5) dan tegak lurus dengan garis 2 berikut. c. 3x = –4y + 5 a. 2x + y + 5 = 0 3 d. 2 y  x 4 D. MENENTUKAN TI TIK POTONG DUA GARIS(Menumbuhkan Kalian telah mempelajari cara menentukan persamaan ga-kreativitas) ris yang saling sejajar maupun tegak lurus. Dua garis yang sejajar tidak akan pernah berpotongan di satu titik. Sebaliknya, dua garisMisalkan t erdapat t iga yang saling tegak lurus pasti berpotongan di satu titik. Denganbuah garis g, h, dan k, tanpa menggambarnya terlebih dahulu, kalian dapat menentukanserta dua titik A dan B. titik potong dua garis yang tidak sejajar. Pelajari uraian berikut.Garis g dengan persa-maan (a + 1) x – 2y = 1. Kedudukan Dua Garis pada Bidang3 dan garis h denganpersamaan x – ay = 0. Ada dua macam kedudukan dua garis pada bidang, yaituTitik A adalah titik sejajar dan berpotongan.potong garis g dan h,sedangkan garis k Dua garis sejajar Dua garis berpotonganadalah garis yangmelalui titik B(1, 5) Gambar 3.20dan s ejajar g aris g.Tentukan Dua garis sejajar tidak akan berpotongan di satu titik tertentua. gradien garis g, h, meski diperpanjang sampai tak berhingga. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa tidak ada titik potong antara dua garis yang sejajar. dan k; 2. Menentukan Koordinat T itik P otong D ua G arisb. nilai a, jika g A h;c. koordinat titik A; Perhatikan Gambar 3.21.d. persamaan garis Y k k; le. titik potong garis k dan h.Gambarlah ketigagaris tersebut padabidang koordinatCartesius.Hasilnya, kumpulkankepada g urumu. 0X Gambar 3.2186 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Pada Gambar 3.21 tampak bahwa garis k dan garis l tidaksaling sejajar. Telah kalian pelajari bahwa dua garis yang tidaksaling sejajar akan berpotongan di satu titik tertentu. Untukmenentukan titik potong garis k dan l, perhatikan uraian berikut.Misalkan garis k memiliki persamaan y1 = m1x + c1; garis l memiliki persamaan y2 = m2x + c2;Jika kedua garis ini berpotongan di titik P(xo, yo) maka berlakuyo = m1xo + c1yo = m2xo + c2Dari kedua persamaan ini, diperolehm1xo  c1 m2 xo  c2m1xo  m2 xo c2  c1xo m1  m2  c2  c1xo c2  c1 , m1  m2 z 0 m1  m2Selanjutnya, untuk memperoleh nilai yo, substitusikan nilai xo padasalah satu persamaan garisnya.Jika y1 = m1x + c1 dan y2 = m2x + c2 adalah persamaan duagaris yang tidak saling sejajar maka titik potongnya dapatdicari dengan menyelesaikan persamaan m1x + c1 =m2x + c2, kemudian menyubstitusikan nilai x ke salah satupersamaan garis tersebut.Tentukan koordinat titik Penyelesaian:potong garis x + y = 3 dan x + y = 3 dan y = 2x – 1y = 2x – 1. Ubah terlebih dahulu persamaan garis x + y = 3 ke bentuk y = mx + c. x+y=3 o y=3–x y = 3 – x ................................................ (i) y = 2x – 1 .............................................. (ii) Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh 3 x 2x 1 x  2x 1  3 4 3x 4 4 3 3 x Persamaan Garis Lurus 87

Selanjutnya, untuk menentukan nilai y substitusikan nilai x ke persamaan (i). y 3x 3  4 3 y 5 3 Jadi, titik potong garis x + y = 3 dan y = 2x – 1 adalah §¨© 4 , 5 ¸·¹. 3 3Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan titik potong kedua garis beri- d. 5x + 2y = 1 dan 1 x  1 y 0 kut. 5 2 a. y = 3x – 1 dan y = x + 5 6. Diketahui ketiga garis 2x – y – 1 = 0, 4x – y – 5 = 0, dan ax – y – 7 = 0 b. y = x + 1 dan y = –5x + 3 berpotongan di satu titik. Tentukan c. 2x – y – 5 = 0 dan x + 2y – 1 = 0 a. nilai a; d. 3x + 5y = 2 dan 2x – 7y = 3 b. koordinat titik potong ketiga garis;2. Tentukan persamaan garis yang melalui c. persamaan garis yang melalui titik O titik (1, –3) dan titik potong garis y = 2x dan titik potong tersebut. dengan y = 5x – 4. 7. Garis 2x – y = a dan x + by = 4 berpo-3. Tentukan persamaan garis yang melalui tongan di titik (2, 1). Tentukan titik potong garis 2x + 3y = 5 dan x – 4y = 1 dengan gradien 2. a. nilai a dan b;4. Tentukan persamaan garis yang tegak b. kedudukan kedua garis. lurus garis 2x + y = 1 dan melalui titik potong garis x = 4y + 4 dengan y = 7. 8. Diketahui garis 3x – ay = 4 tegak lurus dengan garis 4x – (a – 1)y = 5. Tentukan5. Selidiki kedudukan kedua garis berikut tanpa menggambar terlebih dahulu. a. nilai a; a. x + 2y = 7 dan y – 2x = –1 b. titik potong kedua garis; b. y = 2x – 5 dan y = 2x + 3 c. persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik potong kedua garisc. y = –3x dan x 1 y  1 tersebut. 388 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

E. MEMECAHKAN MASALAH Y ANG BER- KAITAN DENGAN KONSEP PERSAMAAN GARIS LURUS Kalian telah mempelajari mengenai persamaan garis lurus.Dengan konsep-konsep yang telah kalian peroleh, hal itu dapatdigunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan denganpersamaan garis lurus.Diketahui garis 6x + py + Penyelesaian:4 = 0 dan 3x – 2py – 5 = 0saling tegak lurus. Tentu- a. Gradien garis 6x + py + 4 = 0 adalah m1  6 .kan pa. nilai p; Gradien garis 3x – 2py – 5 = 0 adalah m2 3 . 2pb. persamaan garis yang memenuhi. Karena kedua garis saling tegak lurus, maka berlaku m1 u m2 = –1. m1 u m2 1 §  6 · u § 3 · 1 ©¨ p ¹¸ ¨© 2p ¸¹ 18 2 p2 p2 9 p r3 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 3 atau p = –3. b. Persamaan garis yang memenuhi sebagai berikut. Untuk p = 3, maka persamaan garisnya adalah 6x + 3y + 4 = 0 dan 3x – 6y – 5 = 0. Untuk p = –3, maka persamaan garisnya adalah 6x – 3y + 4 = 0 dan 3x + 6y – 5 = 0.(Berpikir kritis) 89Bacalah buku-buku referensi yang berkaitan dengan konseppersamaan garis lurus. Cobalah memecahkan masalah-masalahyang berkaitan dengan persamaan garis lurus yang terdapat di bukutersebut. Jika mengalami kesulitan, tanyakan pada gurumu agarkalian lebih paham materi tersebut. Diskusikan hal ini dengantemanmu. S usunlah ha silnya dalam b entuk laporan dan kumpulka nkepada g urumu. Persamaan Garis Lurus

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Diketahui garis ax + 3y + 6 = 0 tegak 4. Diketahui suatu persegi panjang ABCD lurus dengan garis 3x – 2y – 2a = 0. sisi-sisinya sejajar dengan sumbu koor- Tentukan dinat. Titik A(–2, –1) dan C(2, 1) adalah titik sudut yang saling berhadapan. a. nilai a; Tentukan b. titik potong kedua garis. a. koordinat titik B dan D;2. Tentukan nilai p agar persamaan garis b. gradien garis yang dilalui diagonal AC 2x + py – 3 = 0 sejajar dengan garis dan BD; x – 3y + 2 = 0. c. persamaan garis yang dilalui diago-3. Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 6), nal AC dan BD. B(3, 1), dan C(6, 1). Dengan mencari gradien masing-masing garis yang 5. Diketahui sebuah persegi PQRS dengan melalui sisi-sisi segitiga ABC, tunjukkan R(2, 6) dan S(–4, 6). Titik P dan Q terle- bahwa segitiga ABC siku-siku di titik B. tak pada sumbu X. Dengan mencari per- samaan garis yang melalui diagonal PR dan QS, tunjukkan bahwa diagonal-dia- gonal sebuah persegi saling tegak lurus.1. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam bentuk y = mx + c dengan m dan c suatu konstanta.2. Langkah-langkah menggambar grafik persamaan y = mx atau y = mx + c, c z 0 sebagai berikut. – Tentukan dua titik yang memenuhi persamaan garis tersebut dengan membuat tabel untuk mencari koordinatnya.– Gambar dua titik tersebut pada bidang koordinat Cartesius.– Hubungkan dua titik tersebut, sehingga membentuk garis lurus yang merupakan grafik persamaan yang dicari.3. Persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik P(x1, y1)adalah y y1 x . x14. Persamaan garis yang melalui titik (0, c) dan sejajar garis y = mx adalah y = mx + c.5. Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x.90 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

6. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m dan melalui titik (0, 0).7. Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m dan melalui titik (0, c).8. Garis dengan persamaan ax + by + c = 0 memiliki gradien a . b9. Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalahm 'y y2  y1 y1  y2 . 'x x2  x1 x1  x210. Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah nol.11. Gradien garis yang sejajar sumbu Y tidak didefinisikan.12. Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.13. Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah –1 atau m1 u m2 = –1.14. Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah y – y1 = m(x – x1).15. Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan sejajar garis y = mx + c adalah y – y1 = m(x – x1).16. Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan tegak lurusgaris y = mx + c adalah y  y1  1  x  x1  . m17. Persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikan dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b.18. Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)adalah y  y1 y2  y1 x  x1  atau dapat dituliskan x2  x1y  y1 x  x1 .y2  y1 x2  x119. Dua garis yang tidak saling sejajar akan berpotongan di satu titik tertentu.20. Jika y1 dan y2 adalah dua buah garis yang tidak saling sejajar maka untuk menentukan titik potong dari dua garis tersebut harus memenuhi y1 = y2. Persamaan Garis Lurus 91