ลำดับและอนุกรม

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั ม.5 ลำดบั (Sequence) บทนิยาม ลาดับ คือ ฟังก์ชันท่มี โี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก ทเี่ รยี งจาก นอ้ ยไปมาก โดยเรมิ่ ต้ังแต่ 1 ลาดับจากดั เป็น ฟังก์ชัน ที่มีโดเมน เป็น เซตของจ า น วน เต็มบวก n ตัวแร ก คือ มีโดเมน เป็น ลาดบั อนันต์ 1, 2, 3, 4,, n ดังน้นั ลาดับจากัด คอื f(1), f(2), f(3),, f(n) เป็นฟังก์ชันทมี่ ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก คือ มีโดเมนเป็น 1, 2, 3, 4, ดงั นัน้ ลาดบั อนนั ต์ คอื f(1), f(2), f(3),, f(n), จากบทนิยามจะได้ f(1), f(2), f(3),, f(n) เป็นลาดบั จากดั f(1), f(2), f(3),, f(n), เป็นลาดับอนันต์ f(1) คอื พจนแ์ รกของลาดบั เขยี นแทนด้วย a1 f(2) คอื พจน์ท่ี 2 ของลาดับ เขียนแทนด้วย a2 f(3) คือ พจนท์ ี 3 ของลาดับ เขยี นแทนด้วย a3  f(n) คือ พจน์ที่ n ของลาดบั เขียนแทนด้วย an นัน่ คือ a1, a2, a3,,an เปน็ ลาดับจากดั และ a1, a2, a3,,an , เป็นลาดบั อนันต์ จากตัวอย่างทีก่ ล่าวมา (1) 10,20,30,40, เปน็ ลาดับอนันต์ที่มี a1 10,a2  20,a3  30,a4  40 และ an 10n (2 ) 1, 3, 5, 7 , K เป็ น ลา ดั บ อนั น ต์ ท่ี มี a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 5, a 4 = 7 , a 5 = 9 และ a n = 2 n - 1 (3) 1, 1 , 1 , 1 , 1 เป็นลาดับจากัดท่ีมี a 1 = 1, a 2 = 1 , a3 = 1 , a4 = 1 , a5 = 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 และ a n = n (4) 2, 4, 8, 1 6, ... เปน็ ลาดับอนนั ต์ท่ีมี a 1 = 2, a 2 = 4 , a 3 = 8 , a 4 = 1 6 และ a n = 2 n 1

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง “ลาดับและอนกุ รม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5  รปู แบบการกาหนดลาดับ ตัวอย่างท่ี 1 จงหาสพ่ี จน์แรกของลาดบั a n = 5 n - 2 วิธที า จาก a n = 5 n - 2 a 1 = 5(1) - 2 = 3 a 2 = 5(2) - 2 = 8 a 3 = 5(3) - 2 = 13 a 4 = 5(4) - 2 = 18 ดงั นน้ั ส่พี จนแ์ รกของลาดบั น้ี คอื 3, 8, 1 3, 1 8 ตัวอย่างท่ี 2 จงหาสีพ่ จน์แรกของลาดับ a n = 2 n + 5 วิธีทา จาก a n = 2 n + 5 a 1 = 2(1) + 5 = 7 a 2 = 2(2) + 5 = 9 a 3 = 2(3) + 5 = 11 a 4 = 2(4) + 5 = 13 ดงั นัน้ สี่พจน์แรกของลาดบั น้ี คือ 7 , 9, 1 1, 1 3 ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาสพ่ี จน์แรกของลาดบั เมอ่ื กาหนดพจนท์ ัว่ ไป คือ วิธีทา (1) a n = (- 2 )n (2) a n = 4 + (- 1)n (3) a n = 2n (4) a n = (- 1)n 1+ n 2n - 1 (1) จาก a n = (- 2 )n a 1 = (- 2 )1 = - 2 a 2 = (- 2)2 = (- 2)( - 2) = 4 a 3 = (- 2)3 = (- 2) ( - 2)( - 2) = - 8 a 4 = (- 2 )4 = ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2) = 1 6 ดังนัน้ ส่ีพจนแ์ รกของลาดบั น้ี คอื - 2, 4 , - 8 , 1 6 2

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ลาดับและอนกุ รม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ชั้น ม.5 (2) จาก a n = 4 + (- 1 )n a 1 = 4 + (- 1)1 = 4 + ( - 1 ) = 3 a 2 = 4 + (- 1)2 = 4 + 1 =5 a 3 = 4 + (- 1)3 = 4 + (- 1) = 3 a 4 = 4 + (- 1)4 = 4 + 1 =5 ดงั น้ัน ส่พี จน์แรกของลาดับนี้ คือ 3, 5, 3, 5 (3) จาก an = 2n 1+ n a1 = 2(1) = 2 1+ 1 a2 = 2(2) = 4 1+ 2 3 a3 = 2(3) = 3 1+ 3 2 a4 = 2(4) = 8 1+ 4 5 ดังนั้น ส่พี จนแ์ รกของลาดบั น้ี คอื 2, 4 , 3 , 8 3 2 5 (- 1)n (4) จาก an = 2n - 1 a1 = (- 1 )1 = (- 1) = -1 2(1) - 1 1 a2 = (- 1)2 = 1 = 1 2(2) - 1 4- 1 3 a3 = (- 1)3 = (- 1) = - 1 2(3) - 1 6- 1 5 a4 = (- 1)4 = 1 = 1 2(4) - 1 8- 1 7 ดังนั้น สีพ่ จน์แรกของลาดบั นี้ คือ - 1, 1 , - 1 , 1 3 5 7 3

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชัน้ ม.5 ตัวอยา่ งที่ 4 จงหาพจนถ์ ัดไปสองพจน์ของลาดับท่ีกาหนดให้ตอ่ ไปน้ี (1) 2, 6, 1 0, 1 4 , . . . (2) 2 0 0, 1 9 5, 1 9 0, 1 8 5, . . . (3) 1, 4 , 1 6, 6 4 , . . . (4) 7 2 9, 2 4 3, 8 1, 2 7 , . . . (5) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 5 10 15 20 วิธที า (1) 2 , 6 , 1 0 , 1 4 , 1 8 , 2 2 +4 +4 +4 +4 +4 ดงั น้ัน พจนถ์ ดั ไปสองพจนข์ องลาดบั น้ี คอื 18 และ 23 ตามลาดับ , 175 (2) 2 0 0 , 1 9 5 , 1 9 0 , 1 8 5 , 1 8 0 -5 -5 -5 -5 -5 ดงั นนั้ พจนถ์ ัดไปสองพจน์ของลาดับนี้ คือ 180 และ 175 ตามลาดับ (3) 1 , 4 , 1 6 , 6 4 , 2 5 6 , 1 0 2 4 x4 x4 x4 x4 x4 ดงั นนั้ พจน์ถดั ไปสองพจน์ของลาดับนี้ คอื 256 และ 1024 ตามลาดบั (4) 7 2 9 , 2 4 3 , 8 1 , 2 7 , 9 , 3 3 3 3 3 3 ดงั นน้ั พจน์ถดั ไปสองพจนข์ องลาดบั นี้ คือ 9 และ 3 ตามลาดับ (5) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 5 10 15 20 25 30 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 5 5 5 5 5 1 1 ดงั น้ัน พจนถ์ ัดไปสองพจนข์ องลาดับน้ี คอื 2 5 และ 3 0 ตามลาดบั 4

เอกสารประกอบการเรยี น เรือ่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณิตศาสตร์ ชน้ั ม.5  การหาพจน์ทว่ั ไปของลาดับ การหาพจนท์ ่ัวไปของลาดบั คือ การเขียนพจนท์ ัว่ ไปแสดงเปน็ a n ในรูปทีม่ ี n เปน็ ตวั แปร แเมอื่ แทน n ด้วยสมาชิกในเซต {1, 2, 3, ..., m } แลว้ ได้พจน์ 1, 2, 3, . . . , m ของลาดับตรงตามท่ีกาหนด ตัวอย่างที่ 5 จงหาพจนท์ ่วั ไปของลาดบั จากัดตอ่ ไปน้ี วธิ ีทา (1) 5, 8 , 1 1, 1 4 , 1 7 , 2 0 (2) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 (3) 1, 3, 9, 2 7 2 3 4 5 6 , 20 (1) จาก 5, 8, 1 1, 1 4, 1 7 , 2 0 จะได้ 5 , 8 , 1 1 , 1 4 , 1 7 +3 +3 +3 +3 +3 พิจารณาพจนท์ ่ีกาหนดใหด้ งั น้ี a 1 = 5 = 3(1) + 2 a 2 = 8 = 3(2) + 2 a 3 = 11 = 3(3) + 2 a 4 = 14 = 3(4) + 2 a 5 = 17 = 3(5) + 2 a 6 = 20 = 3(6) + 2 จะได้ a n = 3 n + 2 เมื่อ n 1,2,3,4, 5, 6  (2) จาก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 พจิ ารณาพจน์ท่ีกาหนดใหด้ งั นี้ 2 3 4 5 6 1 1 a1 = 2 = 1+ 1 a2 = 2 = 2 3 2+ 1 a3 = 3 = 3 4 3+ 1 a4 = 4 = 4 5 4+ 1 a5 = 5 = 5 6 5+ 1 n จะได้ a n = n+ 1 เมื่อ n 1,2,3,4, 5  5

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง “ลาดับและอนุกรม” วชิ าคณิตศาสตร์ ชนั้ ม.5 (3) ) จาก 1, 3, 9, 2 7 พิจารณาพจน์ท่ีกาหนดให้ดังนี้ a 1 = 1 = 3 0 = 31- 1 a 2 = 3 = 31 = 32- 1 a 3 = 9 = 32 = 3 3- 1 a 4 = 27 = 33 = 34- 1 จะได้ a n = 3 n - 1 เมอ่ื n 1,2,3,4  ข้อสังเกต 1. การหาพจนท์ ่ัวไปของลาดับท่กี าหนดจานวนพจนน์ ้อยเกินไป อาจทาให้เราหาพจน์ท่ัวไปได้ ต่างกนั เนอ่ื งจากลาดับท่ตี า่ งกนั อาจจะมีพจนแ์ รกๆ เหมอื นกนั 2. เม่อื หาพจนท์ ่ัวไปของลาดับท่ีกาหนดให้ได้แล้ว คว รจะแทน n ใน a n ด้วยสมาชิก 1, 2, 3, ... เพื่อตรวจสอบว่า a n ทห่ี าไดเ้ ป็นพจน์ทว่ั ไปของลาดบั ท่กี าหนดมาให้จริงหรือไม่ โดยดูว่าพจน์ท่ีได้ จากการแทนค่าดังกล่าวเปน็ ไปตามท่ีกาหนดให้หรอื ไม่ 3. การกาหนดลาดับอนันตจ์ ะเขียนพจน์ทวั่ ไปกากบั ไว้กับการเขียนลาดับเสมอเพื่อสื่อสารให้ ทราบวา่ จะกลา่ วถงึ ลาดบั ใด เชน่ 1 , 2 , 3 , ..., n n 1, ... ยกเว้นในกรณีท่ีระบุได้ว่าลาดับอนันต์น้ันมี 2 3 4 + ความสมั พนั ธ์ที่เห็นชดั เจนวา่ จะหาพจน์ถัดจากพจนแ์ รกๆ ไดอ้ ย่างไร เชน่ 1, 2, 3, 4, ... ตัวอย่างท่ี 6 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับอนันตต์ อ่ ไปน้ี (1) 7 , 1 2, 1 7 , 2 2, 2 7 , . . . (3) 1, - 1, - 3, - 5, - 7 , . . . (2) 4 , 8 , 1 2, 1 6, 2 0, . . . (4) 3, 0, - 3, - 6, - 9, . . . วธิ ที า (1) พจิ ารณาความสมั พันธ์ของพจนใ์ นลาดับ 7, 1 2, 1 7, 2 2, 2 7, ... 7 12 17 22 27 +5 +5 +5 +5 พบวา่ พจนแ์ ต่ละพจนจ์ ะมากกวา่ พจน์ท่มี าอยกู่ ่อนอยู่ 5 พิจารณาหาความสัมพันธข์ องลาดับท่ขี องพจน์กับพจนท์ ่ีกาหนดให้ 6

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณติ ศาสตร์ ชั้น ม.5 พจนท์ ่ี (1) (2) (3) (4) (5) 7 12 17 22 27 5+ 2 10 + 2 15 + 2 20 + 2 25 + 2 5(3) + 2 5(4) + 2 5(5) + 2 หรอื 5(1) + 2 5(2) + 2 จะได้พจนท์ ว่ั ไป หรอื a n = 5 ( n ) + 2 (2) พิจารณาความสมั พันธข์ องพจนใ์ นลาดบั 4, 8, 1 2, 1 6, 2 0, ... 4 8 12 16 20 +4 +4 +4 +4 พบว่า พจน์แตล่ ะพจน์จะมากกว่าพจนท์ ี่มาอยกู่ อ่ นอยู่ 4 พจิ ารณาหาความสัมพนั ธ์ของลาดบั ท่ีของพจนก์ ับพจนท์ ่ีกาหนดให้ พจนท์ ี่ (1) (2) (3) (4) (5) 4 8 12 16 20 4x1 4x2 4x3 4x4 4x5 จะได้พจนท์ ัว่ ไป หรือ a n = 4 n (3) พจิ ารณาความสมั พันธ์ของพจน์ในลาดับ 1, - 1, - 3, - 5, - 7 , ... 1 -1 -3 -5 -7 -2 -2 -2 -2 พบวา่ พจน์แตล่ ะพจน์จะนอ้ ยกวา่ พจน์ทีม่ าอยกู่ ่อนอยู่ 2 7

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง “ลาดบั และอนกุ รม” วชิ าคณิตศาสตร์ ช้นั ม.5 พิจารณาหาความสมั พันธข์ องลาดับท่ีของพจน์กับพจน์ท่ีกาหนดให้ พจน์ที่ (1) (2) (3) (4) (5) 1 -1 -3 -5 -7 (- 2) + 3 (- 4) + 3 (- 6) + 3 (- 8) + 3 (- 10) + 3 หรอื (- 2 ) (1) + 3 (- 2)(2)+ 3 (- 2)(3)+ 3 (- 2)(4)+ 3 (- 2)(5)+ 3 จะไดพ้ จน์ท่ัวไป หรอื a n = ( - 2 ) ( n ) + 3 (4) พิจารณาความสมั พนั ธ์ของพจนใ์ นลาดับ 3, 0, - 3, - 6, - 9, . . . 3 0 -3 -6 -9 -3 -3 -3 -3 พบวา่ พจนแ์ ต่ละพจน์จะนอ้ ยกว่าพจนท์ ีม่ าอยกู่ ่อนอยู่ 3 พจิ ารณาหาความสมั พันธข์ องลาดบั ที่ของพจนก์ ับพจนท์ ี่กาหนดให้ พจน์ท่ี (1) (2) (3) (4) (5) -9 3 0 -3 -6 (- 3) + 6 (- 6) + 6 (- 9) + 6 (- 12) + 6 (- 15) + 6 หรือ (- 3) (1) + 6 (- 3)(2)+ 6 (- 3)(3)+ 6 (- 3)(4)+ 6 (- 3)(5)+ 6 จะได้พจน์ทัว่ ไป หรอื a n = ( - 3 ) ( n ) + 6 8

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ชนั้ ม.5 การหาพจนท์ ่วั ไปของลาดบั ในตัวอย่างข้างตน้ เป็นการหาโดยสงั เกตจากความสมั พันธข์ องลาดบั ทข่ี อง พจนก์ ับพจน์ของลาดับ ซึ่งในบางครั้งทาไดย้ าก เราอาจใช้ฟังกช์ นั พหนุ ามชว่ ยในการหาพจนท์ ว่ั ไปได้ มผี ลต่างแคช่ น้ั เดยี วใช้ a n = a n + b มผี ลตา่ ง สองชั้นใช้ a n = a n 2 + b n + c ตวั อยา่ งที่ 7 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 1, - 1, - 3, - 5, - 7, ... วธิ ที า จากลาดบั ท่ีกาหนดให้ พจิ ารณาผลตา่ งของพจน์สองพจนท์ กี่ าหนดใหท้ ี่อยู่ตดิ กัน 1 -1 -3 -5 -7 -2 -2 -2 -2 จะเห็นว่าผลต่างของพจน์สองพจนท์ ี่อยู่ตดิ กนั มีค่าคงตัวเท่ากบั -2 ให้พจน์ทัว่ ไปของลาดับนีอ้ ยู่ในรูป a n = a n + b a1 = 1 = a + b ..........(1) a 2 = - 1 = 2a + b ..........(2) จาก (1) จะได้ a = 1 - b แทนค่า a = 1 - b ใน (2) จะได้ - 1 = 2(1- b )+ b 0 = 2 - 2b + b + 1 0 = 3- b b =3 จาก a = 1 - b จะได้ a = 1- 3 = -2 จะได้ a n = - 2 n + 3 ตรวจสอบว่า a n ทีห่ าไดเ้ ป็นพจนท์ ัว่ ไปของลาดบั ทก่ี าหนดให้ จาก a n = - 2 n + 3 a 1 = - 2(1) + 3 = 1 a 2 = - 2(2) + 3 = - 1 a 3 = - 2(3) + 3 = - 3 a 4 = - 2(4) + 3 = - 5 a 5 = - 2(5) + 3 = - 7 จะเห็นว่า a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 เทา่ กบั ค่าท่กี าหนดให้ ดังนน้ั a n = - 2 n + 3 9

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง “ลาดับและอนกุ รม” วิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั ม.5 ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาพจนท์ ั่วไปของลาดับ 0, 5, 1 2, 2 1, 3 2, . . . วิธีทา จากลาดับทีก่ าหนดให้ พจิ ารณาผลตา่ งของพจน์สองพจนท์ ก่ี าหนดให้ทอ่ี ยู่ตดิ กนั 0 5 12 21 32 ผลต่างครั้งท่ี 1 5 7 9 11 ผลต่างครั้งท่ี 2 2 22 จะเห็นวา่ ผลต่างคร้ังท่สี องมีค่าคงทเ่ี ท่ากับ 2 ใหพ้ จน์ทวั่ ไปของลาดบั น้อี ยู่ในรูป a n = a n 2 + b n + c ..........(1) แทน n = 1 จะได้ a 1 = a + b + c = 0 ..........(2) แทน n = 2 จะได้ a 2 = 4 a + 2 b + c = 5 ..........(3) แทน n = 3 จะได้ a 3 = 9 a + 3 b + c = 1 2 ..........(4) แก้ระบบสมการเชงิ เสน้ เพ่อื หา a , b และ c ไดด้ ังนี้ ..........(5) (2) - (1) จะได้ 3 a + b = 5 an = n2 + 2n - 3 (3) - (2) จะได้ 5 a + b = 7 (5) - (4) จะได้ 3 a 2 a = 2 a= 1 แทน a = 1 ใน ( 4 ) จะได้ 3(1) + b = 5 3(1) + b = 2 แทน a = 1 , b = 2 ใน (1) จะได้ 1+ 2+ c = 0 1+ 2+ c = - 3 จะได้ a n = n 2 + 2 n - 3 ตรวจสอบวา่ a n ท่ีหาได้เปน็ พจนท์ ่วั ไปของลาดบั ทกี่ าหนดให้ จาก a n = n 2 + 2 n - 3 a 1 = 12 + 2(1) - 3 = 0 a 2 = 22 + 2(2)- 3 = 5 a 3 = 32 + 2(3)- 3 = 12 a 4 = 42 + 2(4)- 3 = 21 a 5 = 52 + 2(5)- 3 = 32 จะเห็นวา่ a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 เทา่ กับคา่ ที่กาหนดให้ ดงั น้ัน 10

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง “ลาดบั และอนกุ รม” วิชาคณติ ศาสตร์ ช้นั ม.5 แบบฝึกหัด 1. จงเขยี น 5 พจน์แรกของลาดับที่กาหนดให้ตอ่ ไปนี้ (1) an = 1 (2) a n = 2 n + 3 (3) a n = 5 n - 1 n (4) an = 1 (5) an = n (6) an = 1 - 1 n n- 2 5n- 1 3n 4n (7) an = n2 + 1 (8) an = (- 1)n+ 1 (9) an = sin np 3n n(n + 1) 2 2. จงหาพจนท์ ่ัวไปของลาดบั จากดั ตอ่ ไปน้ี (2) 0 . 4 , 0 . 0 4 , 0 . 0 0 4 , 0 . 0 0 0 4 (1) 1, 8 , 2 7 , 6 4 , 1 2 5 วธิ ที า วิธที า ตอบ พจนท์ ่ัวไป คอื ตอบ พจนท์ ั่วไป คอื 11

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง “ลาดบั และอนุกรม” วิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั ม.5 (3) 1, 1 , 1 , 1 (4) - 1 , 1 , - 1 , 1 2 4 8 2 3 4 5 วิธที า วธิ ที า ตอบ พจนท์ ั่วไป คือ ตอบ พจน์ท่วั ไป คือ (6) lo g 1, lo g 1 0, lo g 1 0 0, lo g 1 0 0 0 (5) 2, 2 1 , 3 1 , 4 1 ,5 1 วธิ ีทา 2 3 4 5 วิธีทา ตอบ พจนท์ ว่ั ไป คอื ตอบ พจน์ทว่ั ไป คือ 2. จงหาพจนท์ ่ัวไปของลาดบั อนนั ตต์ อ่ ไปน้ี (2) 5, 1 1, 1 7 , 2 3, . . . (1) 1, 5, 9, 1 3, . . . วิธีทา วธิ ีทา ตอบ พจน์ทวั่ ไป คอื ตอบ พจน์ทัว่ ไป คอื 12

(3) 2, 5, 1 0, 1 7 , . . . เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง “ลาดบั และอนกุ รม” วชิ าคณิตศาสตร์ ชน้ั ม.5 วิธีทา (4) 2, 6, 1 2, 2 0, . . . วธิ ที า ตอบ พจน์ทั่วไป คอื ตอบ พจนท์ ่วั ไป คือ (6) 3 , 3, 3 3 , 9, 9 3 , ... (5) 2 , 4 , 6 , 8 , ... วธิ ที า 3 3 3 3 วิธีทา ตอบ พจนท์ ว่ั ไป คอื ตอบ พจนท์ ่ัวไป คือ 3. จงหาพจนท์ ั่วไปของลาดับ - 1, - 4, - 7, - 1 0, ... 4. จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดับ 2, 9, 2 2, 4 1, 6 6, ... 13

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ชั้น ม.5  ลาดบั เลขคณิต พิจารณาลาดับ 3, 7, 11, 15, 19, … จะเห็นว่าผลต่างของพจนห์ ลังลบด้วยพจน์หนา้ ที่อยตู่ ิดกนั มี ค่าคงที่เทา่ กบั 4 เชน่ 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4, 15 – 11 = 4, 19 – 15 = 4 ลาดับเลขคณิต เป็นลาดบั ทีม่ ผี ลตา่ งท่ีได้จากการนาพจน์ท่ี n+1 ลบด้วยพจน์ท่ี n มีค่าคงท่เี รยี กค่าคงที่ นว้ี ่า ผลตา่ งรว่ ม แทนดว้ ยสัญลักษณ์ “d” ให้ a1, a2, a3, a4, a5, … เป็นลาดบั ถา้ an+1 – an = d แล้ว a1, a2, a3, a4, a5, … เปน็ ลาดับเลขคณติ บทนยิ าม ลาดบั เลขคณติ คอื ลาดบั ที่ผลตา่ งซง่ึ ได้จากพจนท์ ี่ n + 1 และพจน์ท่ี n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวน้ีเรียกวา่ ผลต่างร่วม แทนดว้ ย d ตัวอยา่ งที่ 1 จงพจิ ารณาว่าลาดบั ต่อไปนี้เป็นลาดบั เลขคณติ หรอื ไม่ ถา้ เป็นลาดบั เลขคณิตจงหาผลตา่ งร่วม (1) ลาดับ 1, 8, 1 5, 2 2, ... มี 8 - 1 = 1 5 - 8 = 2 2 - 1 5 = 7 ดงั นั้น เป็นลาดบั เลขคณิต , d = 7 (2) ลาดบั 4, 7 , 1 1, 1 6, ... มี 7 - 4 น 1 1 - 7 ดงั น้ัน ไม่เปน็ ลาดบั เลขคณติ (3) ลาดับ - 1 2, - 8, - 4, 0, ... มี - 8 - (- 1 2 ) = - 4 - (- 8 ) = 0 - (- 4 ) = 4 ดงั น้นั เป็นลาดบั เลขคณิต , d = 4 (4) ลาดบั 5, 7 , 9, 1 1, ... มี 7 - 5 = 9 - 7 = 1 1 - 9 = 2 ดงั นั้น เป็นลาดบั เลขคณิต , d = 2 (5) ลาดบั 7 , 3, - 2, - 5, ... มี 3 - 7 น ( - 2 ) - 3 ดังน้ัน ไมเ่ ปน็ ลาดบั เลขคณิต ลองตรวจสอบว่าลาดบั ทกี่ าหนดให้เป็นลาดับเลขคณิตหรือไม่ ข้อ ลาดับ ผลตา่ งรว่ ม เป็นลาดบั เลขคณิต 1 2, 4, 6, 8, 10, 12, … 2/ 2 3, 9, 27, 81, 243, … ไม่คงท่ี  3 5, 8, 11, 14, 15, 18, … 3/ 4 -7, -3, 1, 5, 9, 13, … 4/ 5 1, 3 , 2, 5 ,3, 7 ,... 1/ 222 2 6 1, 2, 4, 7, 11, 16, … ไมค่ งที่  -5 / 7 90, 85, 80, 75, 70, … 8 -1, -3, -5, -7, -9, … -2 / 9 1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, … 0.5 / 14

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ช้ัน ม.5 การหาพจนท์ ่วั ไปของลาดบั เลขคณิต ใหน้ กั เรียนศึกษาการหาพจนท์ ่วั ไปของลาดับเลขคณติ 1, 5, 9, 13, 17, … วิธที า ให้ a1 = 1 a2 = 5 = 1 + 4 = 1 + 1(4) = 1 + 2(4) a3 = 9 = 1+4+4 = 1 + 3(4) a4 = 13 = 1+4+4+4 = 1 + 4(4) a5 = 17 = 1+4+4+4+4    an = 1 + (n-1)4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3 ในกรณที วั่ ไปถ้า a1, a2, a3, a4, a5, … เปน็ ลาดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจนอ์ นื่ ๆ ของลาดบั เลขคณิตในรปู ของ a1 และ d ดังนี้ a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d   an = an-1 + d = (a1 + (n-2)d) + d = a1 + (n-1)d จะไดพ้ จน์ที่ n หรอื พจนท์ ่ัวไปของลาดับเลขคณิตเป็น an = a1 + (n-1)d ตวั อยา่ งท่ี 2 จงเขียนสพ่ี จนถ์ ดั ไปของลาดบั เลขคณิต 2, 5, 8, 11, 14, … วิธที า เป็นลาดับเลขคณติ ที่มี a1 = 2 , d = 3 a6 = a5 + d = 14 + 3 = 17 a7 = a6 + d = 17 + 3 = 20 a8 = a7 + d = 20 + 3 = 23 a9 = a8 + d = 23 + 3 = 26 ดงั น้นั สีพ่ จน์ถัดไปของลาดับเลขคณิตทกี่ าหนดให้คือ 17, 20, 23, 26 ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาพจนท์ ี่ 30 ของลาดบั เลขคณิต 1, 8, 15, 22, … วิธที า 1, 8, 15, 22, … เปน็ ลาดับเลขคณติ ท่มี ี a1 = 1 , d = 7 จาก an = a1 + (n-1)d จะได้ an = 1 + (30-1)(7) an = 1 + (29)(7) an = 1 + 203 an = 204 15

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง “ลาดบั และอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั ม.5 ตัวอย่างท่ี 4 จงหาพจนท์ ่ัวไปของลาดับเลขคณติ 8, 3, -2, -7, … วธิ ที า เป็นลาดบั เลขคณิตที่มี a1 = 8 , d = -5 จาก an = a1 + (n-1)d an = 8 + (n-1)(-5) an = 8 -5n + 5 an = -5n + 13 ตัวอยา่ งท่ี 5 ถ้า 3, a, b, c, d, e, f, g, 35 เป็นเก้าพจนเ์ รียงกันในลาดบั เลขคณติ จงหา f วธิ ที า เปน็ ลาดับเลขคณติ ที่มี a1 = 3 , a9 = 35 จาก an = a1 + (n-1)d a9 = a1 + 8d 35 = 3 + 8d 32 = 8d d =4 หา f ซงึ่ เปน็ พจน์ท่ี 7 ของลาดบั เลขคณติ จาก an = a1 + (n-1)d a7 = a1 + 6d a7 = 3 + 6(4) a7 = 3 + 24 a7 = 27 ดังนนั้ f มีค่าเท่ากบั 27 ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาพจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิตทมี่ ี a5 = 19 และ a20 = 64 วธิ ที า จาก an = a1 + (n-1)d a5 = a1 + 4d และ a20 = a1 + 19d จะได้ 19 = a1 + 4d ……….(1) 64 = a1 + 19d ……….(2) (2) - (1) 45 = 15d d=3 แทนค่า d = 3 ในสมการ (1) a1 + 4d = 19 a1 + 4(3) = 19 a1 = 19 - 12 a1 = 7 ดังนนั้ พจนแ์ รกของลาดบั เลขคณติ หรือ a1 = 7 16

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั ม.5 ตัวอยา่ ง 7 จงหาจานวนท่อี ยูร่ ะหว่าง 6 และ 20 ท่ที าให้จานวนทง้ั สามเปน็ พจนเ์ รยี งกนั ในลาดบั เลขคณิต วิธีทา ให้ a เปน็ จานวนทตี่ อ้ งการ จะได้ลาดบั เลขคณิตเปน็ 6, a, 20 จากสมบตั ขิ องลาดบั เลขคณิตจะไดว้ ่า a - 6 = 20 - a a + a = 20 + 6 2a = 26 a = 13 ตวั อย่างท่ี 8 ถา้ 8, a, b, c, 44 เปน็ 5 พจนท์ ่ีเรยี งกันในลาดบั เลขคณิต จงหา a, b, c วิธที า จาก an +1 = an + d จะได้ a = 8 + d b = a + d = (8 + d) + d = 8 + 2d c = b + d = (8 + 2d) + d = 8 + 3d 44 = c + d = (8 + 3d) + d = 8 + 4d แลว้ 8 + 4d = 44 4d = 44 - 8 4d = 36 d=9 ดังน้ัน a = 8 + 9 = 17 b = 17 + 9 = 26 c = 26 + 9 = 35 ตวั อยา่ งท่ี 9 จงหาวา่ ระหว่าง 1000 กับ 2000 มจี านวนท่ีหารดว้ ย 7 ลงตัวทง้ั หมดกจี่ านวน วธิ ีทา จานวนแรกที่มากกว่า 1000 และ 7 หารลงตวั คอื 1001 จานวนสุดท้ายที่น้อยกวา่ 2000 และ 7 หารลงตัวคอื 1995 ลาดับเลขคณิตท่เี กดิ ข้ึนคือ 1001, 1008, 1015, …, 1995 มี a1 = 1001 , d = 7 , an = 1995 จาก an = a1 + (n-1)d 1995 = 1001 + (n-1)7 1995 - 1001 = (n-1)7 994 = (n-1)7 142 = n-1 n = 142 + 1 n = 143 ดังนั้นระหว่าง 1000 กบั 2000 มจี านวนทหี่ ารดว้ ย 7 ลงตวั ท้งั หมด 143 จานวน 17

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณติ ศาสตร์ ช้ัน ม.5 แบบฝกึ หดั “ลาดับเลขคณติ ” 1.จงตรวจว่าลาดบั ทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปนเ้ี ปน็ ลาดบั เลขคณติ หรือไม่ ผลต่างรว่ ม เปน็ ลาดับเลขคณิต ขอ้ ลาดบั 1 2, 6, 10, 14, … 2 3, 9, 12, 15, 18, … 3 5, 11, 17, 23, 29, … 4 10, 20, 40, 80, 5 -7, -5, -3, -1, 2, 4, … 6 5, 10, 15, 20, … 7 1, 2, 4, 8, 16, … 8 90, 80, 70, 60, 50, … 9 -10, -13, -16, -19, -21, … 10 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, … 2. จงเขยี นสีพ่ จนถ์ ดั ไปของลาดับเลขคณิต 5, 8, 11, 14, … วธิ ีทา เป็นลาดับเลขคณิตทีม่ ี a1 = …….. , d = ………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ดังนั้นส่ีพจน์ถดั ไปของลาดับเลขคณิตทกี่ าหนดให้คอื ........................................................................... 3. จงหาพจนท์ ี่ 50 ของลาดับเลขคณติ -5, -1, 3, 7, 11, … วธิ ีทา เป็นลาดบั เลขคณติ ท่ีมี a1 = ……... , d = ………… ………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4. จงหาพจน์ทว่ั ไปของลาดับเลขคณติ 8, 12, 16, 20, … วิธที า …………………………………………………………………………………………………………………………….………….… ……………………………………………………..…………………………………………………………………………………….………..……… ……………………………………………………………………………………..…………………………………….………………..……………… …………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………..…… 18

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง “ลาดับและอนกุ รม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ชนั้ ม.5 5. ถา้ 5, a, b, c, 29 เป็นหา้ พจนท์ เ่ี รยี งกนั ในลาดบั เลขคณติ จงหา a, b, c วธิ ที า ………………………………………………………………………………………………………………………………………..………. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..………………………………………………………………….…………………………..……………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..……..………………………………………… …………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………… 6. ถา้ 3, a, b, c, d, e, f, g, h, i, 52 เปน็ สบิ เอ็ดพจนเ์ รยี งกันในลาดบั เลขคณติ จงหา f วิธที า………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..………………………………………………………………………………………………..…………………………… ………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………… ..……………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………..…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………… 7.จงหาพจน์ท่ีสิบ ของลาดบั เลขคณิตทมี่ ี a6 = 15 และ a20 = 43 วิธที า .................................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..…..………………………………………………………… …………………………..………………………………………………………………………..……………………………….. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………… ………… …………… ………… …………… ………… ….…… ………… …………… ……. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………….……………………….....................................…… ………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………… 19

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง “ลาดับและอนกุ รม” วิชาคณติ ศาสตร์ ช้ัน ม.5 8. จงหาจานวนที่อยรู่ ะหวา่ ง 16 และ 36 ที่ทาใหจ้ านวนท้งั สามนั้นเป็นพจนเ์ รยี งกนั ในลาดบั เลขคณิต วิธที า………………………………………………………………………………….……………………..………………………………………. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………........................................................................ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….............9. ถ้า 7, a, b, c, 39 เปน็ ห้าพจนท์ ีเ่ รยี งกันในลาดับเลขคณติ จงหา a, b, c วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………….……………………………….. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………... ......……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………… …………………………………..…………………………………………………………………………………………………... 10.จงหาว่าระหว่าง 2000 กับ 3000 มีจานวนท่ีหารด้วย 9 ลงตวั ทง้ั หมดกจ่ี านวน วิธที า..................................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………..... 20

เอกสารประกอบการเรยี น เร่อื ง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ช้ัน ม.5  ต วั กลางเลขคณติ ให้ x เป็นตัวกลางเลขคณติ 1 พจนร์ ะหวา่ ง a และ b ดังนน้ั a , x , b เรียงกันเป็นลาดบั เลขคณติ ซึง่ ได้ผลตา่ งร่วมเท่ากัน จะได้ x - a = b - x 2x = a + b นน่ั คอื x= a+ b 2 ให้ x 1, x 2, x 3, x 4, ..., x k เปน็ ตวั กลางเลขคณติ k พจน์ระหวา่ ง a และ b ดงั น้นั a , x 1, x 2 , ..., x k , b เรียงกันเปน็ ลาดบั เลขคณติ ทมี่ ี a 1 = a และ a k + 2 = b หาค่า d จาก a 1 + ( n - 1)d = a n a + (k + 2 - 1)d = b a + (k + 1)d = b ดังน้ัน d= b- a k+ 1 จะได้ x 1 = a + d, x 2 = a + 2 d, x 3 = a + 3 d, ..., x n = a + k d, ตวั อยา่ งที่ 61 จงหาตัวกลางเลขคณติ จากขอ้ กาหนดตอ่ ไปนี้ (1) 1 จานวนระหว่าง 2 และ -10 (2) 4 จานวนระหวา่ ง 10 และ 27 วิธีทา (1) ใหล้ าดับเลขคณิตคอื 2, x , - 1 0 จะได้ ตัวกลางเลขคณติ ที่ต้องการ คือ x= a+ b 2 x= 2 + (- 10) 2 x= -4 21

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง “ลาดบั และอนกุ รม” วิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั ม.5 (2) จากลาดบั เลขคณิต คอื 1 0, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 2 7 ให้ a = 1 0 , b = 2 7 , k = 4 จาก d= b- a k+ 1 27 - 10 จะได้ d= 4+ 1 d= 17 = 3 2 5 5 2 4 1 3 จะได้ลาดับเลขคณิต คอื 1 0, 13 5 , 16 5 , 20 5 , 23 5 , 27 ดงั นั้นตวั กลางเลขคณติ 4 จานวนที่ตอ้ งการ คอื 13 2 , 16 4 , 20 1 , 23 3 5 5 5 5 ตัวอย่างที่ 62 จงหาจานวนทอ่ี ยู่ระหวา่ ง 9 และ 15 ทท่ี าใหจ้ านวนทง้ั สามน้นั เป็นพจน์สามพจน์เรยี งกันใน ลาดับเลขคณิต วธิ ที า ให้ x เป็นจานวนที่ต้องการ จะได้ 9, x , 1 5 เปน็ ลาดับเลขคณิต ตวั กลางเลขคณติ คอื x= a+ b 2 x= 9 + 15 2 x = 12 ดงั นนั้ ตัวกลางเลขคณติ ทีต่ ้องการ คือ 12 ตัวอยา่ งท่ี 63 จงหาผลบวกของจานวน 6 จานวนทอ่ี ยูร่ ะหว่าง 1 กับ 36 แลว้ ทาใหท้ ัง้ 8 จานวนเรียงกัน เปน็ ลาดับเลขคณิต วธิ ที า ให้ลาดับเลขคณิต คอื 1, x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , 3 6 ให้ a = 1 , b = 3 6 , k = 6 จาก d= b- a k+ 1 จะได้ d= 36 - 1 6+ 1 d= 35 = 5 7 จะไดล้ าดบั เลขคณติ คอื 1, 6, 1 1, 1 6, 2 1, 2 6, 3 1, 3 6 ดงั นน้ั ผลบวกของจานวน 6 จานวนท่ีอยูร่ ะหวา่ ง 1 กับ 36 เท่ากับ 6 + 1 1 + 1 6 + 2 1 + 2 6 + 3 1 = 1 1 1 22

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ลาดับและอนกุ รม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ชัน้ ม.5 ลาดบั เรขาคณติ พจิ ารณาลาดบั 3, 6, 12, 24, 48, … จะเห็นว่าอัตราสว่ นของพจนห์ ลงั หารดว้ ยพจน์หนา้ ทอี่ ยูต่ ดิ กันมี คา่ คงท่ีเทา่ กับ 2 เช่น 6  2 , 12  2 , 24  2 , 48  2 3 6 12 24 ลาดบั เรขาคณติ เปน็ ลาดับทม่ี อี ัตราสว่ นทไี่ ด้จากการนาพจน์ที่ n+1 หารดว้ ยพจน์ท่ี n มีค่าคงท่เี รยี ก ค่าคงทนี่ ว้ี า่ อตั ราส่วนรว่ ม แทนดว้ ยสญั ลักษณ์ “r” ให้ a1, a2, a3, a4, a5, … เป็นลาดบั ถา้ a n1  r an แล้ว a1, a2, a3, a4, a5, … เปน็ ลาดบั เรขาคณิต บทนยิ าม ลาดบั เรขาคณติ คือ ลาดบั ท่ีมอี ัตราสว่ นของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจนท์ ี่ n มคี า่ คงตัว ค่าคงตัวนเ้ี รียกวา่ อัตราส่วนรว่ ม แทนดว้ ย r การตรวจสอบว่าลาดับทกี่ าหนดใหเ้ ปน็ ลาดบั เรขาคณิตหรือไม่ ข้อ ลาดบั อตั ราส่วนร่วม เป็นลาดับแรขาคณติ / 1 2, 4, 8, 16, 32, … 4  2, 8  2,16  2 คงที่ / 2 3, 9, 27, 81, 243, … 24 8 / 3 5, 20, 80, 320, … 4 10, 20, 30, 40, 9  3, 27  3, 81  3 คงที่  5 -1, -4, -16, -64, -256, … 3 9 27 / 20  4, 80  4, 320  4 คงท่ี 5 20 80 20  2, 30  3 , 40  4 ไม่คงท่ี 10 20 2 30 3  4  4, 16  4,  64  4 คงท่ี 1  4 16 การหาพจนท์ วั่ ไปของลาดับเรขาคณิต ให้ a1, a2, a3, a4, a5, …,an, … เป็นลาดบั เรขาคณิตท่มี ี a1 เป็นพจน์แรก และ r เปน็ อัตราส่วนร่วมจะเขียนพจน์ อ่ืน ๆ ของลาดบั เรขาคณติ ในรูป a1 และ r ไดด้ งั น้ี a2 = a1r a3 = a2r = (a1r)r = a1r2 a4 = a3r = (a1r2)r = a1r3    an = a1rn-1 ดังนั้นเมอ่ื กาหนดให้ a1 เป็นพจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิตท่มี ี a n1 เท่ากบั r เป็นอัตราส่วนรว่ มจะไดพ้ จน์ท่ี n an an = a1rn-1 หรือพจนท์ ่วั ไปของลาดับเรขาคณิตน้ีคือ 23

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง “ลาดับและอนุกรม” วชิ าคณิตศาสตร์ ช้นั ม.5 ตวั อยา่ ง 1 จงเขยี นสามพจน์ถดั ไปของลาดบั เรขาคณติ 5, 20, 80, 320, … วธิ ีทา เป็นลาดบั เรขาคณิตท่ีมี a1 = 5 , r = 4 a5 = a4r = 320(4) = 1280 a6 = a6r = 1280(4) = 5120 a7 = a6r = 5120(4) = 20480 ดังนั้นสามพจน์ถัดไปของลาดบั เรขาคณิตทกี่ าหนดให้คอื 1280, 5120, 20480 ตัวอย่าง 2 จงเขยี นส่ีพจนแ์ รกของลาดับเรขาคณติ ทีม่ ี a1= 2 และ r= 3 2 วธิ ีทา a1 = 2 a2 = a1r = 2( 3 ) = 3 2 a3 = a2r = 3( 3 ) = 9 22 a4 = a3r = 9(3) = 27 4 22 ดงั น้นั ส่พี จนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตทก่ี าหนดให้คือ 2, 3, 9 , 27 24 ตวั อยา่ ง 3 จงเขยี นพจนท์ ี่ 8 ของลาดบั เรขาคณติ 2, 6, 18, 54, … วธิ ที า เปน็ ลาดับเรขาคณติ ทีม่ ี a1 = 2 , r = 3 จาก an = a1rn-1 a8 = a1r8-1 a8 = 2(37) a8 = 2(2187) a8 = 4374 ดงั นน้ั พจนท์ ี่ 8 ของลาดับเรขาคณติ นค้ี อื 4374 ตัวอย่าง 4 จงหาพจน์ท่ัวไปของลาดบั เรขาคณติ 8, 16, 32, 64, … วธิ ีทา เปน็ ลาดบั เลขคณติ ทมี่ ี a1 = 8 , r = 2 จาก an = a1rn-1 an = 8(2n-1) an = 23(2n-1) an = 23+n-1 an = 2n+2 ดงั นนั้ พจนท์ วั่ ไปของลาดบั คอื an = 2n+2 24

เอกสารประกอบการเรยี น เร่อื ง “ลาดับและอนกุ รม” วิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั ม.5 ตวั อย่าง 5 ในเมืองแห่งหน่ึงมปี ระชากร 100000 คน ถา้ จานวนประชากรในเมอื งนี้เพม่ิ ข้ึน 2 % ทุกปี จงหา จานวนประชากรในเมืองนีใ้ นอกี 10 ปีข้างหน้า วธิ ีทา พิจารณาจานวนประชากรใน 2 ปแี รกดงั น้ี เริม่ ต้น ครบ 1 ปี ครบ 2 ปี 100,000 ประชากรเดิม+ประชากรทเี่ พม่ิ 100,000 + 100,000( 2 ) (ถอดตวั ประกอบรว่ ม 100,000) 100 100,000 + 100,000(0.02) 100,000(1 + 0.02) 100,000(1.02) ประชากรเดิม + ประชากรท่เี พมิ่ 100,000(1.02) + {100,000(1.02)( 2 )} 100 100,000(1.02) + 100,000(1.02)(0.02) (ถอดตัวประกอบร่วม 100,000(1.02)) 100,000(1.02)(1+0.02) 100,000(1.02)(1.02) 100,000(1.02)2 จะเห็นวา่ จานวนประชากรในแตล่ ะปีเม่อื เขียนเรยี งตามลาดับจะเป็นลาดับเรขาคณติ ท่ีม1ี .02 เปน็ อัตราส่วนร่วมดงั น้ี ครบ1ปี ครบ 2 ปี ครบ 10 ปี 100,000, 100,000(1.02), 100,000(1.02)2 , … a1 a2 a3 a11 จาก an = a1rn-1 a11 = a1r10 a11 = 100,000(1.02)10 a11  100,000(1.218994) a11  121,899 ดังน้นั ในอกี 10 ปขี ้างหนา้ เมืองน้จี ะมีประชากรประมาณ 121,899 คน 25

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ชน้ั ม.5 ต วั กลางเรขาคณติ ให้ x เป็นตวั กลางเรขาคณติ ระหว่าง a และ b ดงั น้ัน a , x , b เรยี งกันเป็นลาดับเรขาคณิต จากบทนิยามต้องมีอัตราสว่ นร่วมเทา่ กนั จึงไดส้ มการ x = b จะได้ x2 = ab a x นั่นคือ x = ฑ a b ให้ x 1, x 2, x 3, x 4 , ..., x k เป็นตัวกลางเรขาคณิต k พจน์ระหว่าง a และ b ดงั น้ัน a , x 1, x 2 , ..., x k , b เรยี งกันเป็นลาดบั เลขคณติ โดยท่ี a 1 = a และ a n = b และ n = k + 2 จาก a n = a 1r n - 1 จะได้ b = a ด r (k + 2)- 1 ดงั นั้น r = b k+ 1 a ซ่ึงจะได้ x1 = ar , x2 = ar2 x3 = ar3 ,..., xk = ark ตัวกลางเรขาคณิตของ a และ c เทา่ กบั ac หรือ - ac หรอื ± ac ตัวอยา่ งที่ 6 ถา้ 3, x , 7 5 เปน็ จานวนจริง 3 จานวนซ่งึ เรียงกันเปน็ ลาดบั เรขาคณิตแล้ว จงหา x วธิ ีทา ตวั กลางเรขาคณิตทต่ี อ้ งการ คอื x = ฑ ab x = ฑ 3ด 75 x = ฑ 225 4  9 หรอื - 4  9 x = ฑ 15 36 หรือ - 36 ตัวอย่างที่ 7 จงหาตัวกลางเรขาคณติ ของ 4 และ 9 6 หรอื - 6 วธิ ที า จากสูตรขา้ งต้น จะได้วา่ ตวั กลางเรขาคณิตของ 4 และ 9 = = = 26

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง “ลาดับและอนุกรม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ช้ัน ม.5 แบบฝึกหดั “ลาดบั เรขาคณติ ” 1.จงตรวจสอบวา่ ลาดับทก่ี าหนดให้เป็นลาดบั เรขาคณติ หรือไม่ ขอ้ ลาดับ อัตราสว่ นรว่ ม เปน็ ลาดับเรขาคณติ 1 2, -4, 8, -16, 32, … 2 3, 6, 18, 36, 108, … 3 5, 15, 45, 135, … 4 10, 20, 60, 120, 5 -1, 4, -16, 64, -256, … 6 3 , 3,12, 48, ... 4 7 125, -25, 5, -1, … 8 90, 30, 15, 5, … 9 2 , 4 , 8 ,16 ,... 3 9 27 81 10 9, 12, 16, 64 , … 3 ตัวอยา่ งยอ่ ย จงเขยี นสีพ่ จนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตทม่ี ี a1  3, r  2 a1  3 a2  a1r  (3)(2)  6 a3  a2r  (6)(2)  12 a4  a3r  (12)(2)  24 ดังนั้นสพ่ี จนแ์ รกของลาดบั เรขาคณติ ทม่ี ี a1  3, r  2 คอื 3 , 6 , 12 , 24 2. จงเขยี นสี่พจน์แรกของลาดบั เรขาคณิตท่ีมี a1= 3 และ r = 4 วธิ ีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ดังนั้นสพี่ จนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตท่ีกาหนดใหค้ ือ ……………………………………….…………………………. 3. จงหาส่พี จน์แรกของลาดบั เรขาคณิตที่มี a1  5,r  3 วิธที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 27

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง “ลาดับและอนกุ รม” วชิ าคณิตศาสตร์ ช้ัน ม.5 4. จงหาส่พี จน์แรกของลาดับเรขาคณติ ท่ีมี a1  100, r   1 2 วิธีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5. จงเขียนสามพจนถ์ ัดไปของลาดับเรขาคณติ 4, 12, 36, 108, … วิธีทา เป็นลาดับเรขาคณิตที่มี a1 = ……….. , r = ………….. a5 = a4r = ……………………………………………………………..……………………….…………….. a6 = a6r = …………………………………….…………………………………………….…..……………. a7 = a6r = …………………………………………………………………………………..………………… ดงั น้นั สามพจนถ์ ัดไปของลาดับเรขาคณติ ทกี่ าหนดให้คอื ……………….……….………………… 6. จงเขียนสามพจนถ์ ัดไปของลาดบั เรขาคณิต 1, -2, 4, -8, … วิธที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. ……………………………………………………………………….………………………………………………………………………………. 7. จงหาพจน์ท่ี 10 ของลาดบั เรขาคณติ ท่ี a1  5, r  2 พจนท์ ่ัวไปของลาดบั เรขาคณติ an  a1r n1 a10  a1r 9 a10  (5)(2)9 a10  (5)(512) a10  2560 พจน์ที่ 10 ของลาดับเรขาคณิตท่ี a1  5, r  2 คือ 2560 8. จงเขยี นพจนท์ ี่ 7 ของลาดับเรขาคณิต 2, 10, 50, … วธิ ที า เปน็ ลาดับเรขาคณิตทม่ี ี a1 = ………. , r = …………… จาก an = a1rn-1 a7 = a1r7-1 …………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………. 28

เอกสารประกอบการเรยี น เรือ่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ช้ัน ม.5 9. จงเขียนพจนท์ ่ี 8 ของลาดบั เรขาคณิต 9, 18, 36, … วิธีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………. 10. จงหาพจน์ท่ี 8 ของลาดบั เรขาคณติ ท่ี a1  5,r  3 วิธที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 11. จงหาพจนท์ ี่ 9 ของลาดบั เรขาคณิตท่ี a1  12,r  3 วิธที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 12. จงหาพจนท์ ่ี 10 ของลาดับเรขาคณิตที่ a1  12,r  3 วธิ ีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 13. จงหาพจน์ที่ 9 ของลาดับเรขาคณติ ที่ a1  4, r  1 2 วิธีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 29

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง “ลาดบั และอนกุ รม” วิชาคณติ ศาสตร์ ช้ัน ม.5 14. จงหาพจนท์ ั่วไปของลาดับ 1 , 1 , 1 ,1,2,... 842 1 เป็นลาดับเรขาคณิตท่ีมี a1 1 และ r  an1  4  1  8  2 8 an 1 4 1 8 พจน์ท่ัวไปของลาดบั เรขาคณิต an  a1r n1 แทนคา่ a1  1 ,r=2 8 วิธีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 15. จงหาว่า 512 เป็นพจน์ท่เี ทา่ ใดของลาดบั …1 , 1 , 1 , 64 32 16 วธิ ีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 16. ลาดับเรขาคณิตมีพจนแ์ รกเป็น 8 และอตั ราส่วนรว่ มเปน็ 3 แลว้ 729 เป็นพจน์ท่ีเท่าใด 28 วิธที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 17.จงหาพจน์แรกของลาดับเรขาคณติ ทีม่ ีพจน์ที่ 6 เป็น -486 และมี 3 เปน็ อัตราส่วนรว่ ม วิธที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 30

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง “ลาดับและอนกุ รม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ชน้ั ม.5 18. จงหาพจน์ทวั่ ไปของลาดับเรขาคณติ 9, 27, 81, … วธิ ีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 19.จงหาพจน์ทว่ั ไปของลาดับเรขาคณติ -4, 8, -16, 32, … วิธที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 20. จงหาจานวนที่อยู่ระหวา่ ง 5 และ 20 ทที่ าใหจ้ านวนทง้ั สามน้นั เป็นพจน์เรยี งกนั ในลาดับเรขาคณติ วธิ ีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ..........………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. 21.ในการคดิ ดอกเบยี้ เงินฝากแบบประจา 10 ปขี องบริษัทเงินทนุ หลกั ทรัพย์ ถา้ บริษทั คดิ อัตราดอกเบี้ยรอ้ ยละ5 ต่อปแี ละนาดอกเบี้ยของแต่ละปที บเปน็ เงนิ ต้นเชน่ นีเ้ ร่ือยไป นายขาวตกลงใจฝากประเภทนีด้ ้วยเงนิ จานวน 100,000 บาท จงหาว่าเม่อื ครบกาหนด 10 นายขาวไปถอนเงนิ เขาจะไดร้ ับเงนิ ทัง้ หมดก่บี าท วธิ ที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 31

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชนั้ ม.5 ………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. 22.จงหาจานวนทีอ่ ยู่ระหว่าง 5 และ 20 ทที่ าใหท้ ัง้ สามจานวนเรยี งกนั ในลาดบั เรขาคณติ วธิ ที า………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 23. จงหาจานวนท่ีอยรู่ ะหว่าง -8 และ -12 ที่ทาให้ท้งั สามจานวนเรยี งกนั ในลาดบั เรขาคณิต วธิ ีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 24.จานวนท่หี ารดว้ ย 8 และ 10 ท่อี ยรู่ ะหวา่ ง 100 ถงึ 1,000 มที ้งั หมดก่จี านวน วธิ ีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 25.จานวนท่ีหารด้วย 8 หรอื 10 ทอี่ ยรู่ ะหวา่ ง 100 ถึง 1,000 มที ้ังหมดกีจ่ านวน วิธีทา………………………………………………………………………………..………………………………………………………………. ………………………………………………………………….……………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 32

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณติ ศาสตร์ ชั้น ม.5 อนกุ รม ถา้ กาหนดลาดบั ชุดหนึ่งซึ่งประกอบดว้ ย a 1, a 2, a 3, … , a n เรียกลาดับชดุ น้วี ่าลาดับจากัด และผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องลาดับชุดน้ีคือ a 1 + a 2 + a 3 + … + a n เรยี กวา่ “อนกุ รมจากดั ” ขอ้ ลาดบั จากดั อนกุ รมจากดั 1 1, 3, 5, 7, 9 1+3+5+7+9 2 5, 10, 15, 20, 25, 30 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 3 2, 4, 8, 16, 32 2 + 4 + 8 + 16 + 32 4 3, 8, 13, 18, … , 103 3 + 8 + 13 + 18 + … + 103 5 -4 , -6, -8, -10 (-4) + (-6) + (-8) + (-10) กจิ กรรม อนุกรมจากดั (ขอ้ ละ 1 คะแนน) จงเขยี นอนุกรมจากลาดับทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปนี้ ข้อ ลาดบั จากดั 1 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 2 5, 12, 22, 29, 36, 45 3 10, 18, 26, 34, 42, 50, 58, 66 4 -1, -4, -7, -10 5 5, 10, 15, 20, … , 50  อนกุ รมเลขคณติ อนกุ รมเลขคณิต คอื อนุกรมที่ได้จากลาดับเลขคณิต และผลตา่ งรว่ มของลาดับเลขคณิตจะเปน็ ผลต่างรว่ มของอนกุ รมเลขคณิตด้วย กาหนดลาดบั เลขคณิต a1, a2, a3, a4, a5, a6, … , an ถา้ S n แทนสัญลักษณผ์ ลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต หมายความว่า S n = a1 + a2 + a3 + … + an เช่น S 5 = a1 + a2 + a3 + a4 +a5 S9 = a1 + a2 + a3 + a4 +a5 + a6 + a7 + a8 + a9 33

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ชน้ั ม.5 จงหาอนุกรมเลขคณติ จากลาดบั เลขคณติ ต่อไปนี้ ข้อ ลาดับเลขคณิต จานวน อนุกรมเลขคณติ ( S n ) พจน์ 1 1, 3, 5, 7 4 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 2 2, 9, 16, 23, 30, 37 6 S6 = 2 + 9 + 16 + 23 + 30 + 37 = 117 3 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 8 S8 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 180 กจิ กรรม จงหาอนกุ รมเลขคณิตจากลาดบั เลขคณติ ตอ่ ไปนี้ ข้อ ลาดบั เลขคณิต จานวน อนุกรมเลขคณิต ( S n ) (ข้อละ 1 คะแนน) พจน์ 1 100, 90, 80, 70, 60, 50, 40 2 -2, -4, -6, -8, -10 3 -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7 4 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50 5 75, 73, 71, 69 6 12, 15, 18, 21, 24, 27 การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ โดยใชส้ ตู ร Sn  n (a1  an ) 2 กาหนดลาดบั เลขคณิต a1, a2 , a3,..., an ถ้า Sn แทนสญั ลักษณ์ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ หมายความวา่ Sn  a1  a2  a3  ...  an นกั เรยี นจะเห็นว่าการหาอนุกรมเลขคณติ ด้วยการบวกสะสมตงั้ แตพ่ จนแ์ รกจนถึงพจนส์ ดุ ท้ายสามารถ ทาได้เมอ่ื จานวนพจน์ของอนุกรมมีไมม่ าก แตถ่ ้าจานวนพจนข์ องอนกุ รมมจี านวนมาก เช่นเมอื่ ตอ้ งการหาค่าS359 จะตอ้ งทาการหาผลบวกโดยการ บวกสะสมต้งั แตพ่ จนท์ ี่ 1 ถงึ พจน์ท่ี 359 จะทาใหเ้ สยี เวลาในการคานวณ นกั คณิตศาสตร์จึงทาการศกึ ษาแบบ รูปของอนกุ รมเลขคณติ เพอื่ หาสูตรในการคานวณ ดงั น้ี เชน่ ต้องการหาผลบวกพจน์ทุกพจน์ของ 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 42เม่ือทาการวเิ คราะหค์ วามสมั พันธข์ องอนกุ รมจะพบว่า พจน์ท่ี 1 พจนท์ ี่ 14 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 +27 + 30 + 33 + 36 + 39 + 42 12 + 33 =45 9 + 36 = 45 6 + 39 = 45 3 + 42 = 45 34

เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง “ลาดบั และอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชัน้ ม.5 จะพบว่าผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องอนกุ รมเลขคณิต 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 42 เม่ือทาการจบั คู่ พจน์ที่ 1 กบั พจนท์ ี่ 14 พจน์ที่ 2 กับพจนท์ ี่ 13 ... หาผลบวกแต่ละคไู่ ด้คา่ 45 ทั้งหมด 7 คู่ทาใหไ้ ด้ผลรวมของ พจน์ทกุ พจน์เปน็ 7  45 = 315 ดังนั้น 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 42 = 315 จากความร้ขู า้ งตน้ นาแบบรปู ท่ไี ดไ้ ปหาพจน์ท่ัวไปของการหาผลบวก n พจนแ์ รกของ อนกุ รมเลขคณติ ไดด้ งั น้ี Sn  a1  a2  a3  ...  an2  an1  an …(1) Sn  a1  (a1  d )  (a1  2d )  ...  {a1  (n 1)d} …(2) และจาก (1) อาจเขยี นใหมเ่ ป็น (2) + (3) : Sn  an  an1  an2  ...  a3  a2  a1 Sn  an  (an  d )  (an  2d )  ...  {an  (n 1)d} …(3) 2Sn  (a1  an )  (a1  an )  (a1  an )  ...  (a1  an ) n พจน์ 2Sn  n(a1  an ) Sn  n  an ) เป็นสตู รในการหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 2 (a1 เม่ือ n เป็นจานวนพจนท์ ตี่ อ้ งการหาผลบวก a1 = พจน์แรกของลาดบั an = พจน์สุดทา้ ยของลาดับ ขอ้ สังเกต จากสูตรการหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ จะเห็นว่านกั เรยี นต้องทราบ 3 คา่ เพ่อื นามา แทนค่าในสูตร ซึ่งได้แก่ 1..................................................... 2..................................................... 3..................................................... 35

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง “ลาดับและอนกุ รม” วิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั ม.5 จงศกึ ษาการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตโดยการใชส้ ตู ร Sn  n  an ) 2 (a1 ข้อ อนุกรมเลขคณิต หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ โดยใชส้ ูตร Sn  n  an ) 2 (a1 1 1+3+5+7 วิธีทา Sn  n (a1  an ) เปน็ อนกุ รมเลขคณิต n = 4 2 a1 = 1 a4 = 7 S4  4 (a1  a4 ) 2 S 4 = 4 (1 7) 2 = (2)(8) = 16 ดงั นั้น 1 + 3 + 5 + 7 = 16 2 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 Sn  n (a1  an ) วธิ ีทา 2 เป็นอนกุ รมเลขคณติ n = 7 S7  7  a7 ) 2 (a1 a1 = 4 S7  7 (4  22) a7 = 22 2 S7  7 (26) 2 S7  7(13) S7  91 ดงั น้ัน 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 = 91 3 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 Sn  n  an ) + 40 + 45 + 50 2 (a1 วธิ ีทา S10  10 (a1  a10 ) 2 เปน็ อนกุ รมเลขคณติ n = 10 S10  10 (5  50) a1 = 5 2 a10  50 S10  5(55) S10  275 ดงั นั้น 5 + 10 + 15 + … + 40 + 45 + 50 = 275 4 (-14) + (-9) + (-4) + 1 + 6 + 11 + Sn  n  an ) 16 + 21 2 (a1 วธิ ที า S8  8 (a1  a8 ) 2 เป็นอนุกรมเลขคณิต n = 8 S8  4{(14)  21} a1 = -14 S8  4(7) a8  21 S8  28 ดงั นั้น (-14) + (-9) + (-4) + 1 + … + 16 + 21 = 28 36

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ช้นั ม.5 กิจกรรม จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ โดยการใชส้ ตู ร Sn  n  an ) 2 (a1 หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ ข้อ อนุกรมเลขคณิต โดยใชส้ ตู ร Sn  n  an ) 2 (a1 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 n= 1 a1 = a9 = (-2) +( -4) + ( -6) +( -8) + ( -10) 2 (-10) + ( -7) + (-4) +(-1) + 2 + 5 + 8 + 11 3 3 + 10 + 17 + 24 + 31 + 38 + 45 +52 + 59 + 66 + 73 + 80 + 87 + 94 + 101 4 37

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ลาดบั และอนกุ รม” วิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั ม.5 การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ โดยใช้สูตร Sn  n {2a1  (n 1)d} 2 การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต sn  n (a1  an ) …สูตรที่1 ใชเ้ มือ่ ทราบคา่ n, a1, an 2 และ จากความสมั พันธข์ องลาดับเลขคณติ an  a1  (n 1)d นาแทนคา่ ในสูตรท่ี 1 sn  n  {a1  (n  1)d}] 2 [a1 Sn  n {2a1  (n 1)d} …สตู รท่ี 2 ใช้เมอ่ื ทราบค่า n, a1, d 2 ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ 7 + 15 + 23 + … วธิ ีท1่ี ใช้สูตรท่ี 1 sn  n (a1  an ) วธิ ที ี่ 2 ใชส้ ูตรท่ี 2 2 อนุกรมเลขคณติ มี n = 20 , a1 = 7 n Sn  2 {2a1  (n 1)d} แตไ่ ม่ทราบ a20 ว่ามคี า่ เท่าใดนาความร้เู ร่อื ง อนกุ รมเลขคณิตมี n = 20 , a1  7 , d ลาดบั เลขคณติ มาช่วยในการคานวณหาคา่ a20 =8 an  a1  (n 1)d แทนค่า a20  7  (20 1)8 Sn  n {2a1  (n  1)d} 2 a20  7  (19)(8) 20 {2(7) a20  7  152 S 20  2  (20  1)8} a20  159 S20  10{14  (19)8} หาอนุกรมเลขคณิตจาก Sn  n (a1  an ) S20  10(14  152) 2 S 20  20 (7  159) S 20  10(166) 2 S 20  1,660 S20  (10)(166) S20  1,660 ดังนัน้ ผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ 7 + 15 + 23 + … = 1,660 ขอ้ สังเกต นกั เรียนพิจารณาวา่ ควรเลอื กใช้สตู รท่ี 1 หรือสูตรท่ี 2 และเพราะเหตุใดจึงเลอื กใช้ ............................................................................................................................................................. 38

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ช้ัน ม.5 ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาผลบวก พจนท์ กุ พจนข์ อง อนกุ รมเลขคณิต 10 + 13 + … + 157 วิธที า จาก sn  n (a1  an ) 2 ข้นั ตอนที่ 1 อนุกรมเลขคณิตมี a1 = 10 , an = 157 แตไ่ มท่ ราบคา่ n ว่าอนกุ รมชดุ นม้ี ีทัง้ หมดกพ่ี จน์ นาความรเู้ รื่องลาดับเลขคณิตมาคานวณหาคา่ n an  a1  (n  1)d 157  10  (n  1)3 157  10  (n  1)3 147  (n  1)3 147  n 1 3 49  n 1 49  1  n ขัน้ ตอนท่ี 2 50  n นาคา่ n มาใช้ในการหาอนกุ รม ซงึ่ อาจเลือกใช้สูตรในการคานวณ 2 วธิ ีเชน่ วิธที ่ี 1 วธิ ที ่ี 2 Sn  n (a1  an ) Sn  n  (n 1)d} 2 2 {2a1 S 50  50 (10  157) S 50  50 {2(10)  (50 1)3} 2 2 S50  25(167) S50  25{20  (49)3} S50  4,175 S50  25{20 147} S 20  25(167) S50  4,175 ดังนั้น 7 + 10 + 13 + …..+ 157 = 4,175 ขอ้ สงั เกต นกั เรยี นคิดว่าการหาค่า Sn ในขนั้ ตอนที่ 2ใช้วิธีท่ี 1 กบั วธิ ที ี่ 2 อยา่ งไหนงา่ ยกวา่ เพราะเหตุใด ............................................................................................................................. .................................................... ..................................................................................................................................................... ............................ ........................................................................................................................................................................ 39

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง “ลาดบั และอนกุ รม” วิชาคณิตศาสตร์ ช้นั ม.5 กิจกรรม ใหน้ ักเรียนนาความรูเ้ รอ่ื งอนกุ รมเลขคณิตคานวณหาค่าต่อไปนี้ 1. จงหาผลบวกของ 30 พจน์แรกของ อนุกรมเลขคณิต 3 + 5 + 7 + 9 + … …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องอนุกรมเลขคณิต 8 + 15 + 22 + 29 + ... + 876 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… …………… ………… …………… ………… ………… …………… ………… ………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………… 40

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณิตศาสตร์ ช้นั ม.5 การนาความรู้เร่ืองอนุกรมเลขคณติ ไปใช้ ใหน้ ักเรยี นศึกษาการนาความรู้เรื่องอนุกรมเลขคณิตแก้โจทย์ปัญหาตอ่ ไปน้ี 1. จงหาผลบวกของจานวนคู่ ตง้ั แต่ 12 ถึง 600 วธิ ีทา อนกุ รมทเี่ กดิ ขึ้น คือ 12 + 14 + 16 + ... + 600 มี a1  12, d  2, an  600 แต่ไม่ทราบค่า n วา่ อนกุ รมชุดนีม้ ีท้งั หมดกพ่ี จน์ นาความรเู้ รอ่ื งลาดับเลขคณิตมาคานวณหาคา่ n an  a1  (n  1)d Sn  n (a1  an ) 600  12  (n  1)2 2 600  12  (n  1)2 588  (n  1)2 S 295  295 (12  600) 2 588  n 1 2 S 295  295 (612) 2 294  n 1 294  1  n S295  295(306) 295  n S295  90,270 อนกุ รมชุดน้ีมีท้งั หมด 295 พจน์ ผลบวกของจานวนคู่ ตงั้ แต่ 12 ถึง 600 = 90,270 2. จงหาผลบวกของจานวนที่ เปน็ พหคุ ูณของ 7 ทีอ่ ยู่ระหวา่ ง 100 ถงึ 1,000 วิธที า พหคุ ูณของ 7 หมายถงึ จานวนทหี่ ารด้วย 7 ได้ลงตัว ไดล้ งตัว ท่อี ยู่ระหวา่ ง 100 ถึง 1,000 จานวนแรกคือ 105 จานวนสุดท้ายคอื 994 อนุกรมทเ่ี กดิ ขึ้นคือ 105 + 112 + 119 + ... + 994 มี a1  105, d  7, an  994,n  ? an  a1  (n  1)d 994  105  (n  1)7 994  105  (n  1)7 889  (n  1)7 889  n 1 7 127  n 1 127  1  n 128  n Sn  n  an ) 2 (a1 S128  128 (105  994) 2 S128  64(1,099) S128  70,336 ผลบวกของจานวนท่ี เปน็ พหุคณู ของ 7 ท่ีอย่รู ะหวา่ ง 100 ถงึ 1,000 = 70,336 41

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง “ลาดบั และอนกุ รม” วชิ าคณิตศาสตร์ ช้ัน ม.5 กจิ กรรม 1.จงหาผลบวกของจานวนคี่ ตั้งแต่ 121 ถงึ 999 ……………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………..……………………………………………..…………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… …………… ………… …………… ………… ………… …………… ………… ………… ……………………………………………………………… …………… ………… …………… ………… ………… …………… ………… ………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………… …………… ………… …………… ………… ………… …………… ………… ………… 2. จงหาผลบวกของจานวนที่ เป็นพหคุ ณู ของ 11 ที่อยูร่ ะหวา่ ง 200 ถึง 500 ……………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………..……………………………………………..…………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… …………… ………… …………… ………… ………… …………… ………… ………… ……………………………………………………………… …………… ………… …………… ………… ………… …………… ………… ………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………… …………… ………… …………… ………… ………… …………… ………… ………… 42

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง “ลาดบั และอนุกรม” วชิ าคณติ ศาสตร์ ช้นั ม.5 อนกุ รมเรขาคณติ คือ ผลบวกของลาดบั เรขาคณิตตั้งแต่พจนท์ ี่ 1 ถงึ พจน์ท่ี n อัตราสว่ นร่วมของลาดบั เรขาคณิตเป็นอตั ราสว่ นรว่ มของอนุกรมเรขาคณิตดว้ ย ตวั อยา่ ง 1 พจิ ารณา ลาดบั 1 , 3 , 9 , 27 , ………, 6561 พบวา่ เป็นลาดับเรขาคณิตทม่ี ี อตั ราส่วนร่วมเปน็ 3 การหาผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องลาดบั เรขาคณติ ข้างตน้ ทาได้ดังน้ี ให้ S n = 1 + 3 + 9 + 27 + …………+ 6,561 …………..(1) 3 Sn = 3 (1 + 3 + 9 + 27 + …………+ 6,561 ) 3 Sn = 3 + 9 + 27 + …………+ 6,561 + 19,683 ………..(2) จาก (2) - ( 1) 2 S n = 19,683 - 1 2 S n = 19,682 S n = 9,841 ดงั นั้น 1 + 3 + 9 + 27 + …………+ 6,561 = 9,841 การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ โดยใชส้ ตู ร จาก a 1 + a1r + a1r2 + a1r 3 + …………….+ a1r n –1 ไดด้ ังนี้ Sn = a 1 + a1r + a1r2 + a1r 3 + …………….+ a1r n –1 ………. (3) r Sn = a1r + a1r2 + a1r 3 + …………….+ a1r n –1 + a1rn ………..(4) rSn - Sn = a1rn - a1 (4) – (3) Sn ( r – 1 ) = a1rn - a1 a1rn a1 สูตรที่1 Sn = r 1 a1 (rn 1) = r 1 = a1 (1  r n ) (1  r) = a1 (1)(1  r n ) (1)(1  r) a1 (1  r n ) Sn = 1  r เมอ่ื r  1 สตู รท่ี 2 43

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ลาดบั และอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชนั้ ม.5 และอาจเขยี นผลบวก n พจนแ์ รกไดอ้ กี แบบหนง่ึ ดงั นี้ a1 (1 r n ) 1r Sn = = a1 a1rn 1r  a1r n1r1 = a1 1r แต่ an = a1 r n - 1 Sn = a1 anr เม่ือ r  1 สูตรที่3 1r สรปุ ได้ว่า การหาอนุกรมเรขาคณิตหาไดจ้ ากสูตร 3 สตู รคอื 1. Sn = a1 (rn 1) เม่อื r  1 2. Sn r 1 เมื่อ r  1 3. Sn n เม่ือ r  1 a1 (1 r ) = 1r = a1 anr 1r นักเรยี นร่วมกนั สังเกตว่าทั้ง 3 สตู รมีความเหมาะสมในการใช้ในสถานการณ์ใด ตวั อย่าง 1 จงหาผลบวกแปดพจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต 1 + 2 + 4 + 8 +……. วธิ ีทา อนกุ รมที่กาหนดใหม้ ี a 1 = 1 , r = 2 , n = 8 จาก Sn = a 1 rn a 1 r 1 1(2)8 1 8 = 2 1 = 2  1 256 1 25 5 s8 1  1  ดังน้ันผลบวกแปดพจน์แรกของลาดบั เรขาคณิตคอื 255 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาผลบวกสิบพจนแ์ รกของลาดับเรขาคณติ 1 , 1 , 1 , 1 ,......... .. 2 6 18 54 1 1 วิธที า อนุกรมทก่ี าหนดใหม้ ี a1 = 2 , r  3 Sn = a1 (1  r n ) = 1 (1  ( 1 )10 = 1 (1  ( 1 )10 ( 1 )( 3 ){1  ( 1 )10 } 1r 2 3 2 3 2 2 3 1 2  1 3  3 Sn = 3 {1  ( 1 )10 } = 3 (1 1 )  ( 3)(59048)  14762 4 3 4 59049 4 59049 19683 44

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง “ลาดับและอนุกรม” วชิ าคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกของพจนท์ กุ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 1+ 1  1  1  .......... .......... .......  1 2 4 8 256 1 วิธที า จากอนุกรมเรขาคณติ ที่กาหนดให้ มี a1 = 1 , r = 2 เน่ืองจากไม่ทราบว่าลาดับชุดน้มี ที ้งั หมดกี่จานวน นาความร้เู ร่ืองลาดับเรขาคณิตหาคา่ n จาก an = a1r n-1 จะได้ 1  (1)( 1 ) n 1 256 2 1 1 ( 2 )8  ( 2 ) n1 8 = n–1 , n = 9 จาก Sn = a1 (1  r n ) 1r S9  1[1  (1)9 ]  1 1  511  511  2  1022  1 255 2 512 512 1 512 256 1 512 1 1 1 2 22 ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาผลบวกของพจนท์ กุ พจน์ของอนกุ รมเรขาคณิต 2 + 4 + 8 + .... + 2048 …………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… …………… ………… …………… ………… ………… …………… ………… ……… ตวั อย่างท5ี่ จงหาผลบวกพจนท์ กุ พจนข์ องอนุกรมเรขาคณติ 243 + 81 + 27 + ....+ 1 27 …………………………………………………………………………………………….…………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..……………………………………………….…………… ……………………………………………………………………………………….…….…………………………………………….…………… ………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………… ตวั อยา่ งท่6ี จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ 2 + (-6) +(18) + (-54) + … ……………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 45

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง “ลาดับและอนุกรม” วิชาคณติ ศาสตร์ ช้ัน ม.5 ตวั อยา่ งท7ี่ จงหาผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 2 + (-6) +(18) + (-54) + … ……………………………………………………………………..…………………….……………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยา่ งที่8 จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต (-10) +(20) + (-40) + … ……………………………………………………………………..…………………….……………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่9 จงหาผลบวก 9 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต (-10) +(20) + (-40) + … ……………………………………………………………………..…………………….……………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อย่างที่10 จงหาผลบวก ทกุ พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 16 + 4 + 1 + … + 1 1024 ……………………………………………………………………..…………………….……………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………… ตัวอย่างท1่ี 1 จงหาผลบวกของอนุกรม 4  4  31  4  32  ...  4  36 (ตอบ 4372) ……………………………………………………………………..…………………….……………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่12 ถ้า 3 และ 1 เป็นพจนท์ ่ี 1 และ พจนท์ ี5่ ของลาดบั เรขาคณติ จงหาผลบวกของทั้ง 5 พจน์ 27 ……………………………………………………………………..…………………….……………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 46