4 คณิตศาสตร์ พค31001 บทที่ 4

53 บทท่ี 4 การใหเ หตผุ ล สาระสําคญั 1. การใหเหตุผลแบบอปุ นัยเปนการสรุปผลภายหลังจากคน พบความจริงทไ่ี ดจ ากการสงั เกต หรอื การทดลองหลาย ๆ ครัง้ จากทกุ ๆ กรณยี อ ยแลว นําบทสรุปมาเปน ความรูแบบทั่วไปเรา เรียกขอ สรุปแบบนี้วา “ ขอ ความคาดการณ” 2. การใหเหตุผลแบบนิรนยั ไมไ ดค าํ นึงถึงความจริงหรอื ความเท็จแตจะคํานงึ เฉพาะขอ สรปุ ที่ ตองสรปุ ออกมาไดเทานั้น ผลการเรียนรูทคี่ าดหวัง 1. อธบิ ายและใชก ารใหเหตุผลแบบอปุ นยั และนิรนยั ได 2. บอกไดวา การอางเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 การใหเหตผุ ล เร่ืองท่ี 2 การอา งเหตุผลโดยใชแ ผนภาพเวนน – ออยเลอร

54 เร่ืองที่ 1 การใหเ หตุผล การใหเหตผุ ลมีความสาํ คัญ เพราะการดําเนนิ ชวี ติ ของคนเราตองขึ้นอยกู บั เหตุผลไมวา จะเปน ความเช่อื การโตแ ยง และการตดั สนิ ใจ เราจาํ เปนตองใชเหตผุ ลประกอบทั้งส้นิ อีกทัง้ ยงั เปน พน้ื ฐานท่ี สําคัญในการหาความรขู องศาสตรตาง ๆ อีกดว ย การใหเหตผุ ล แบง เปน 2 ประเภท ไดแ ก การให เหตุผลแบบอุปนยั และการใหเ หตุผลแบบนิรนยั 1.1 การใหเหตผุ ลแบบอปุ นยั ( Inductive Reasoning ) การใหเ หตุผลแบบอปุ นยั หมายถึง การสรปุ ผลภายหลงั จากการคน พบความจริงท่ไี ดจ าก การใชส ังเกต หรือการทดลองมาแลว หลาย ๆ ครัง้ จากทกุ ๆ กรณียอ ย ๆ แลวนาํ บทสรปุ มาเปน ความรแู บบทวั่ ไป หรอื อีกนยั หน่งึ การใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัย หมายถึง การใหเหตผุ ลโดยยดึ ความ จรงิ สว นยอยที่พบเหน็ ไปสูค วามจริงสวนใหญ ตวั อยางการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัย 1. มนุษยส งั เกตพบวา : ทุก ๆวนั ดวงอาทติ ยข้ึนทางทิศตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตก จงึ สรุปวา : ดวงอาทิตยข ึ้นทางทิศตะวนั ออก และตกทางทศิ ตะวันตกเสมอ 2. สุนทรี พบวา ทกุ ครั้งท่คี ณุ แมไปซือ้ กว ยเตย๋ี วผดั ไทยจะมตี น กยุ ชา ยมาดวยทกุ ครัง้ จงึ สรุปวา กว ยเตีย๋ วผดั ไทยตองมตี น กุยชาย 3. ชาวสวนมะมวงสงั เกตมาหลายปพบวา ถา ปใดมีหมอกมาก ปน้นั จะไดผ ลผลติ นอย เขาจึงสรปุ วา หมอกเปน สาเหตุที่ทําใหผ ลผลติ นอย ตอ มามีชาวสวนหลายคนทดลอง ฉีดน้ําลา งชอมะมว ง เมอื่ มีหมอกมาก ๆ พบวา จะไดผลผลิตมากขน้ึ จึงสรปุ วา การลา งชอมะมว งตอนมีหมอกมาก ๆ จะทาํ ใหไ ดผลผลติ มากขึ้น

55 4. นายสมบตั ิ พบวา ทกุ ครงั้ ทท่ี ําความดจี ะมีความสบายใจ จึงสรุปผลวา การทาํ ความดจี ะทําใหเกิดความสบายใจ ตวั อยา งการใหเ หตผุ ลแบบอุปนัยทางคณติ ศาสตร 1. จงใชก ารใหเหตุผลแบบอปุ นยั สรุปผลเก่ียวกบั ผลบวกของจาํ นวนคูสองจํานวน 0+2 = 2 (จํานวนคู) 2+4 = 6 (จํานวนคู) 4+6 = 10 (จาํ นวนคู) 6+8 = 14 (จาํ นวนคู) 8+10 = 18 (จาํ นวนคู) สรปุ ผลวา ผลบวกของจํานวนคสู องจํานวนเปน จาํ นวนคู 2. 1111 = 121 11111 = 12321 11111111 = 1234321 1111111111 = 123454321 3. (1  9) + 2 = 11 (12  9) + 3 = 111 (123  9) + 4 = 1111 (1234  9) + 5 = 11111 ขอ สงั เกต 1) ขอ สรุปของการใหเหตุผลแบบอปุ นยั อาจจะไมจ ริงเสมอไป 2) การสรปุ ผลของการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัยอาจขนึ้ อยกู บั ประสบการณข องผสู รปุ 3) ขอสรุปที่ไดจากการใหเ หตุผลแบบอุปนัยไมจ ําเปนตอ งเหมอื นกัน ตัวอยาง 1. กาํ หนด จํานวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a จะได a = 8 2. กําหนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 10 3. กําหนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a จะได a = 22 เพราะวา 6 = (2  4)-2 และ 22 = (4  6)-2

56 4) ขอสรปุ ของการใหเ หตุผลแบบอปุ นยั อาจ ผิดพลาดได ตวั อยา ง ให F(n) = n2 - 79n + 1601 ทดลองแทนคาจาํ นวนนับ n ใน F(n) n = 1 ได F(1) = 1523 เปน จาํ นวนเฉพาะ n = 2 ได F(2) = 1447 เปน จํานวนเฉพาะ n = 3 ได F(3) = 1373 เปน จํานวนเฉพาะ  F(n) = n2 - 79n + 1601 แทนคา n ไปเร่อื ยๆ จนกระทงั่ แทน n = 79 ได F(79) เปน จาํ นวนเฉพาะ จากการทดลองดงั กลา ว อาจสรปุ ไดวา n2 - 79n + 1601 เปน จาํ นวนเฉพาะ สาํ หรับทกุ จาํ นวนนบั แต F(n) = n2 - 79n + 1601 F(80) = 802 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41)  F(80) ไมเปน จํานวนเฉพาะ

57 แบบฝก หัดที่ 1 จงเติมคําตอบลงในชองวา งตอไปนี้ 1) 1,4,9,16,  ,  ,49, 64,  ,  2) 2,7,17,  ,52 ,  ,  3) 5,10,30,120,  ,  4) ถา 12345679  9 = 111111111 12345679  18 = 222222222 12345679  27 = 333333333 12345679   = 12345679   = 999999999 5) ถา 2=2 2+4 = 6 2+4+6 = 12 2+4+6+8 = 20 2+4+6+8+ = 30 2+4+ +8+ + 12 =  2+ + +8+ 12+14 =  2+ + +8+ +12+14+ = 

58 1.2. การใหเ หตผุ ลแบบนิรนยั (Deductive reasoning) เปน การนาํ ความรูพ นื้ ฐานท่อี าจเปนความเชือ่ ขอตกลง กฏ หรือบทนยิ าม ซง่ึ เปนส่ิงทีร่ ู มากอนและยอมรบั วาเปน จรงิ เพอ่ื หาเหตุผลนําไปสขู อ สรปุ การใหเหตผุ ลแบบนิรนยั ไมไดค าํ นงึ ถงึ ความจริงหรอื ความเท็จ แตจ ะคํานงึ ถึง เฉพาะ ขอสรปุ ที่ตองออกมาไดเทานัน้ พจิ ารณากระบวนการการใหเหตุผลแบบนิรนยั จากแผนภาพดังนี้ ตัวอยางการใหเ หตผุ ลแบบนริ นัย 1. เหตุ 1) จาํ นวนคูหมายถงึ จาํ นวนทห่ี ารดว ย 2 ลงตัว 2) 10 หารดวย2 ลงตวั ผล 10 เปนจํานวนคู 2. เหตุ 1) คนท่ีไมมีหนส้ี นิ และมเี งินฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปน เศรษฐี 2) คณุ มานะไมม ีหนี้สนิ และมเี งินฝากในธนาคาร 11 ลา นบาท ผล คุณมานะเปน เศรษฐี

59 3. เหตุ 1) นกั กีฬาการแจงทกุ คนจะตอ งมีสขุ ภาพดี 2) เกยี รตศิ กั ดเ์ิ ปน นกั ฟตุ บอลทมี ชาตไิ ทย ผล เกยี รตศิ ักดิ์มีสุขภาพดี จากตวั อยางจะเห็นวาการยอมรบั ความรูพ นื้ ฐานหรอื ความจรงิ บางอยางกอ น แลวจงึ หาขอสรปุ จากสงิ่ ทีย่ อมรับแลว น้ัน ซ่ึงเรียกวา ผล การสรปุ ผลจะถกู ตอ งก็ตอ เมอ่ื เปน การสรุปผลไดอ ยาง สมเหตุสมผล(valid) เชน เหตุ 1) เรอื ทุกลาํ ลอยนํา้ 2) ถงั นํา้ พลาสติกลอยน้าํ ได ผล ถังนา้ํ พลาสตกิ เปน เรือ การสรปุ ผลจากขางตน ไมส มเหตสุ มผล แมวาขออา งหรอื เหตุทง้ั สองขอ จะเปน จริง แตก ารที่เรา ทราบ วา เรือทกุ ลําลอยนํ้าไดก ็ไมไ ดหมายความวาสิ่งอนื่ ๆ ท่ลี อยนา้ํ ไดจะตอ งเปน เรือเสมอไป ขอ สรปุ ใน ตวั อยางขา งตน จึงเปน การสรปุ ทไ่ี มส มเหตุสมผล ขอสงั เกต 1. เหตุเปนจรงิ และ ผลเปนจริง เหตุ แมงมมุ ทุกตวั มี 6 ขา และสัตวท ี่มี 6 ขา ทกุ ตวั มีปก ผล ดงั นน้ั แมงมมุ ทุกตวั มีปก 2. เหตเุ ปนเทจ็ และ ผลเปน เท็จ เหตุ ถานายดาํ ถกู ลอ ตเตอร่รี างวลั ทีห่ น่ึง นายดําจะมเี งนิ มากมาย แตนายดาํ ไมถ ูกลอ ตเตอรรี่ างวัลท่หี นึ่ง ผล ดังนั้นนายดาํ มเี งนิ ไมมาก 3. เหตุอาจเปนจริงและผลอาจเปน เทจ็ 4. ผลสรุปสมเหตสุ มผลไมไ ดป ระกนั วา ขอสรุปจะตอ งเปนจริงเสมอไป

60 แบบฝกหดั ที่ 2 จงตรวจสอบผลทไ่ี ดว า สมเหตุสมผลหรอื ไม 1) เหตุ 1. คนทุกคนท่เี ปน ไขห วดั ตองไอ 2. คนช่อื มุนีไอ ผล มนุ เี ปนไขห วดั 2) เหตุ 1. ชาวนาทกุ คนเปน คนอดทน 2. นายมเี ปนชาวนา ผล นายมีเปนคนอดทน 3) เหตุ 1. สตั วมีปกจะบนิ ได 2. นกกระจอกเทศเปนสตั วม ีปก ผล นกกระจอกเทศบนิ ได 4) เหตุ 1. จํานวนเต็มทห่ี ารดวย 9 ลงตวั จะหารดว ย 3 ลงตวั 2. 15 หารดว ย 3 ลงตัว ผล 15 หารดว ย 9 ลงตัว 5) เหตุ 1. สตั วเล้ยี งลกู ดวยนมบางชนดิ ไมม ขี า 2. งไู มมีขา ผล งูเปน สตั วเลีย้ งลูกดว ยนม

61 เรอ่ื งที่ 2 การอางเหตผุ ลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร ออยเลอร เปน นกั คณิตศาสตรชาวสวสิ เซอรแลนด มชี วี ติ อยูร ะหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาได คนพบวิธกี ารตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชร ูปปด เชน วงกลม ซงึ่ เปน วธิ กี ารทีง่ า ย และรวดเรว็ โดย มหี ลักการดงั นี้ 1. เขยี นวงกลมแตล ะวงแทนเซตแตละเซต 2. ถา มี 2 เซตสมั พนั ธก นั กเ็ ขยี นวงกลมใหคาบเกย่ี วกัน 3. ถา เซต 2 เซตไมส มั พนั ธก ันก็เขยี นวงกลมใหแ ยกหางจากกนั แผนผงั แสดงการตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใชแ ผนภาพเวนน- ออยเลอร

62 ขอ ความ หรอื เหตแุ ละผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทใี่ ชใ นการใหเหตุผลมี 6 แบบ ดงั นี้

63 ตัวอยาง การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการใหเหตผุ ลโดยใชแ ผนภาพ 1. เหตุ 1 : คนทุกคนเปนสงิ่ ทีม่ สี องขา 2 : ตํารวจทกุ คนเปน คน ผลสรุป ตาํ รวจทกุ คนเปนสง่ิ ทีม่ ีสองขา จากเหตุ 1 จากเหตุ 2 แผนภาพรวม จากแผนภาพจะเหน็ วา วงของ \" ตาํ รวจ \" อยใู นวงของ \" สง่ิ มี 2 ขา \" แสดงวา \" ตาํ รวจทกุ คนเปน คนมีสองขา \" ซึ่งสอดคลองกับผลสรุปทกี่ าํ หนดให ดังนน้ั การใหเ หตุผลนสี้ มเหตสุ มผล 2. เหตุ 1 : สนุ ัขบางตวั มขี นยาว 2 : มอมเปนสุนัขของฉัน ผลสรุป มอมเปนสนุ ัขที่มขี นยาว ดงั นน้ั ผลสรปุ ทีว่ า มอมเปน สุนขั ท่มี ขี นยาว ไมส มเหตุสมผล

64 แบบฝก หดั ที่ 3 จงตรวจสอบผลที่ไดวา สมเหตสุ มผลหรอื ไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร 1) เหตุ 1. ถาฝนตก แคทลยี ากไ็ มออกนอกบา น ผล 2. ฝนตก 2) เหตุ แคทลียาไมออกนอกบาน 1. ถา สมชายขยันเรียนแลวเขาสอบเขา เกษตรได ผล 2. สมชายสอบเขา เกษตรไมได 3) เหตุ สมชายไมข ยนั เรียน 1. ถา อากาศชน้ื แลว อณุ หภมู จิ ะลด ผล 2. ถาอณุ หภมู ลิ ด แลวเกิดหมอก 4) เหตุ 3. อากาศชนื้ จะเกดิ หมอก ผล 1. a เปน จาํ นวนบวก หรือเปน จาํ นวนลบ 5) เหตุ 2. a ไมเ ปน จํานวนบวก a เปน จาํ นวนลบ ผล 1. แมวบางตัวมีสองขา 2. นกยงู ทกุ ตวั มสี องขา นกบางตวั เปนแมว