การคิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ เฉลยแบบฝึกหดั เรือ่ ง การคูณสามจ�ำ นวนทีม่ ีคา่ เบี่ยงฐานใกลเ้ คียง ฐานเดียวกัน จงหาผลคูณต่อไปน้ี 1) 101 x 102 x 103 =  วธิ คี ิด + 0 1 + 0 2 + 0 3 1 0 1 x 1 0 2 x 1 0 3 = 1 0 6 / 1 1 / 0 6 = 1 0 6 1 1 0 6 ตอบ 1,061,106 2) 107 x 109 x 111 =  วิธคี ดิ + 0 7 + 0 9 + 1 1 1 0 7 x 1 0 9 x 1 1 1 = 1 2 7 / 23 9 / 69 3 = 1 2 7 23 9 69 3 = 1 2 9 4 5 9 3 ตอบ 1,294,593 141

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 3) 104 x 103 x 108 =  วิธีคิด + 0 4 + 0 3 + 0 8 1 0 4 x 1 0 3 x 1 0 8 = 1 1 5 / 6 8 / 9 6 = 1 1 5 6 8 9 6 ตอบ 1,156,896 4) 93 x 91 x 94 =  วิธีคิด − 0 7 − 0 9 −0 6 9 3 x 9 1 x 9 4 = 7 8 / 15 9 / 37 8 = 7 8 15 9 37 8 = 7 9 5 6 7 8 = 7 9 5 5 2 2 ตอบ 795,522 142

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 5) 95 x 99 x 93 =  วธิ ีคิด − 0 5 − 0 1 − 0 7 9 5 x 9 9 x 9 3 = 8 7 / 4 7 / 3 5 = 8 7 4 7 3 5 = 8 7 4 6 6 5 ตอบ 874,665 6) 97 x 92 x 98 =  วิธีคิด − 0 3 − 0 8 − 0 2 9 7 x 9 2 x 9 8 = 8 7 / 4 6 / 4 8 = 8 7 4 6 4 8 = 8 7 4 5 5 2 ตอบ 874,552 143

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู 7) 103 x 98 x 95 =  วิธคี ิด + 0 3 −0 2 − 0 5 1 0 3 x 9 8 x 9 5 = 9 6 / 1 1 / 3 0 = 9 6 1 1 3 0 = 9 5 8 9 3 0 ตอบ 958,930 8) 105 x 92 x 103 =  วิธคี ิด + 0 5 − 0 8 + 0 3 1 0 5 x 9 2 x 1 0 3 = 1 0 0 / 4 9 / 12 0 = 1 0 0 4 9 12 0 = 1 0 0 4 10 2 0 = 1 0 0 5 0 2 0 = 9 9 4 9 8 0 ตอบ 994,980 144

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ 9) 1,014 x 1,009 x 1,011 =  วธิ คี ิด + 0 1 4 + 0 0 9 + 0 1 1 1 0 1 4 x 1 0 0 9 x 1 0 1 1 = 1 0 3 4 /3 7 9/13 8 6 = 1 0 3 4 3 7 9 13 8 6 = 1 0 3 4 3 8 0 3 8 6 ตอบ 1,034,380,386 10) 994 x 992 x 995 =  วธิ คี ิด − 0 0 6 −0 0 8 −0 0 5 9 9 4 x 9 9 2 x 9 9 5 = 9 8 1 / 1 1 8 / 2 4 0 = 9 8 1 1 1 8 2 4 0 = 9 8 1 1 1 7 7 6 0 ตอบ 981,117,760 145

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคณู 5. การยกก�ำ ลังสองโดยใช้ Dvandva Yoga หรือ Duplex ยกกำ�ลงั สอง (Squares) ยกก�ำ ลังสอง (squares) คือ การคณู จ�ำ นวนเดยี วกันสองจ�ำ นวน เชน่ 42 คอื 4 คณู กนั สองตวั หรอื 4 x 4 ดงั นน้ั ยกก�ำ ลงั สองของ 4 เทา่ กบั 16 ขัน้ ตอนการยกกำ�ลงั สอง (Squares) ขน้ั ท่ี 1 พจิ ารณาจำ�นวน แล้วเขียน “ / ” เพ่ือแบง่ คำ�ตอบเปน็ สว่ น โดยการแบง่ ส่วนมหี ลกั ดังน้ี ถ้าจ�ำ นวนมี 3 หลัก จะแบง่ คำ�ตอบเป็น 5 สว่ น ถ้าจ�ำ นวนมี 4 หลกั จะแบง่ ค�ำ ตอบเป็น 7 ส่วน ถ้าจำ�นวนมี n หลกั จะแบง่ คำ�ตอบเป็น 2n−1 ส่วน โดย n คือ จำ�นวนนบั 146

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู ขั้นที่ 2 พจิ ารณาการยกก�ำ ลงั ของจ�ำ นวน จากการเลอ่ื นต�ำ แหนง่ ตวั คณู A B C2 เล่อื นตำ�แหน่ง เขยี น อ่านวา่ ตัวคูณ แทนด้วย A B C x A B C =Cx C D(C) Duplex ของ C = C2 A B C x A B C = (B x C) + (C x B) D(BC) Duplex ของ BC = 2(B x C) = (A x C) + (B x B) A B C x A B C + (C x A) D(ABC) Duplex ของ ABC = 2(A x C) + B2 A B C x A B C = (A x B) + (B x A) D(AB) Duplex ของ AB = 2(A x B) D(A) Duplex ของ A A B C x A B C =AxA = A2 147

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู ข้ันท่ี 3 หาค่า Duplex D(C) = C2 D(BC) = 2(B x C) D(ABC) = 2(A x C) + B2 D(AB) = 2(A x B) D(A) = A2 (A B C)2 = D(A) D(AB) D(ABC) D(BC) D(C) = A2 / 2(A x B) / 2(A x C) + B2 / 2(B x C) / C2 ขน้ั ท่ี 4 สรปุ ค�ำ ตอบโดยการน�ำ เครอ่ื งหมาย“/”ออกแลว้ น�ำ แตล่ ะสว่ น มาเขยี นตอ่ กันเป็นคำ�ตอบ 148

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู ขอ้ สังเกต ถา้ Duplex จำ�นวนหลกั เดยี ว คอื ก�ำ ลงั สองของจำ�นวนน้ัน เช่น D(5) = 52 D(9) = 92 ถ้า Duplex เลขโดดที่จับคู่กันได้ คือ การหาสองเท่าของผลคูณเลขที่ จบั คู่ แลว้ นำ�บวกกนั เช่น D(53) = 2(5 x 3) D(27) = 2(2 x 7) D(2147) = 2[(2 x 7)+(1 x 4)] D(321475) = 2[(3 × 5)+(2 x 7)+(1 x 4)] ถ้า Duplex เลขโดดทจี่ ับคู่แลว้ เหลอื เลขโดดหนึง่ ตวั คอื การหาสองเท่า ของผลคูณเลขที่จับคู่ทุกคู่ และหากำ�ลังสองของเลขท่ีเหลือหน่ึงตัว แล้วนำ�ทัง้ หมดมาบวกกัน เช่น D(234) = 2(2 x 4) + 32 D(21346) = 2[(2 x 6)+(1 x 4)] + 32 เราเขยี นผลการหา Duplex เปน็ เลขหลกั เดยี ว ถา้ เกนิ หนงึ่ หลกั จะเขียน ในรูปจ�ำ นวนท่ีมตี ัวหอ้ ย 149

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคา่ ของ 1562 วธิ คี ดิ 1562 = / / / / ขน้ั ที่ 1 พจิ ารณา 156 มี 3 หลกั ดงั นน้ั จึงแบ่งคำ�ตอบออกเป็น 5 ส่วน ค่นั แต่ละส่วนดว้ ยเครื่องหมาย “ / ” 1 5 6 x 1 5 6 1 5 6 x 1 5 6 1 5 6 x 1 5 6 1 5 6 x 1 5 6 1 5 6 x 1 5 6 ขน้ั ท่ี 2 พจิ ารณายกก�ำ ลงั สองของจ�ำ นวน จากการเลอื่ นต�ำ แหนง่ ตวั คณู เขียนแทนด้วย D(6) เขยี นแทนดว้ ย D(56) เขียนแทนด้วย D(156) เขียนแทนดว้ ย D(15) เขียนแทนด้วย D(1) 1562 = D(1)/D(15)/D(156)/D(56)/D(6) 150

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ 1562 = D(1)/D(15)/D(156)/D(56)/D(6) = 1/10/37/60/36 ขัน้ ที่ 3 หาคา่ Duplex D(6) = 62 = 36 เขยี น 36 D(56) = 2(5 x 6) = 60 เขียน 60 D(156) = 2(1 x 6) + 52 = 37 เขียน 37 D(15) = 2(1 x 5) = 10 เขยี น 10 D(1) = 12 = 1 1562 = 110376036 = 24336 ขน้ั ที่ 4 สรปุ ค�ำ ตอบ โดยการน�ำ เครอ่ื งหมาย “ / ” ออก แลว้ น�ำ แตล่ ะสว่ น มาเขียนต่อกันเป็นคำ�ตอบ ดงั นัน้ 1562 = 24,336 ตอบ 24,336 151

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ ตัวอยา่ งที่ 2 จงหา 3,6722 วธิ คี ดิ 36722 = / / / / / / ข้ันท่ี 1 พิจารณา 3672 มี 4 หลกั ดังนน้ั จึงแบ่งคำ�ตอบออกเปน็ 7 ส่วน คนั่ แตล่ ะส่วนด้วยเครอื่ งหมาย “ / ” 3 6 7 2 x 3 6 7 2 3 6 7 2 x 3 6 7 2 3 6 7 2 x 3 6 7 2 3 6 7 2 x 3 6 7 2 3 6 7 2 x 3 6 7 2 3 6 7 2 x 3 6 7 2 3 6 7 2 x 3 6 7 2 ขน้ั ท่ี 2 พจิ ารณายกก�ำ ลงั สองของจ�ำ นวน จากการเลอ่ื นต�ำ แหนง่ ตวั คณู เขียนแทนด้วย D(2) เขียนแทนดว้ ย D(72) เขยี นแทนดว้ ย D(672) เขียนแทนดว้ ย D(3672) เขียนแทนดว้ ย D(367) เขียนแทนด้วย D(36) เขียนแทนดว้ ย D(3) 36722 = D(3)/D(36)/D(367)/D(3672)/D(672)/D(72)/D(2) 152

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 36722 = D(3)/D(36)/D(367)/D(3672)/D(672)/D(72)/D(2) = 9/36/78/96/73/28/4 ขั้นที่ 3 หาคา่ Duplex D(2) = 22 = 4 เขียน 4 D(72) = 2(7 x 2) = 28 เขยี น 28 D(672) = 2(6 x 2) + 72 = 73 เขยี น 73 D(3672) = 2[(3 x 2) + (6 x 7)] = 96 เขยี น 96 D(367) = 2(3 x 7) + 62 = 78 เขียน 78 D(36) = 2(3 x 6) = 36 เขียน 36 D(3) = 32 = 9 เขียน 9 36722 = 936789673284 = 13483584 ขน้ั ที่ 4 สรปุ ค�ำ ตอบ โดยการน�ำ เครอ่ื งหมาย “ / ” ออก แลว้ น�ำ แตล่ ะสว่ น มาเขียนต่อกันเปน็ คำ�ตอบ ดังนั้น 3,6722 = 13,483,584 ตอบ 13,483,584 153

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคณู ตวั อย่างที่ 3 จงหาคา่ ของ 2,8392 วธิ ีคิด 28392 = D(2)/D(28)/D(283)/D(2839)/D(839)/D(39)/D(9) = 4/32/76/84/153/54/81 = 43276841535481 = 8059921 ดังนั้น 2,8392 = 8,059,921 ตอบ 8,059,921 154

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคณู แบบฝึกหัด เรอ่ื ง การยกก�ำ ลงั สองโดยใช้ Dvandva Yoga หรอื Duplex 1) 1662 =  2) 1782 =  วธิ ีคดิ วธิ คี ดิ ตอบ ตอบ 3) 2152 =  4) 3562 =  วิธคี ดิ วธิ คี ิด ตอบ ตอบ 5) 7942 =  6) 1,0202 =  วธิ ีคิด วิธีคดิ ตอบ ตอบ 7) 1,8972 =  8) 4,3662 =  วิธคี ิด วิธคี ิด ตอบ ตอบ 155

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต 10) 9,6122 =  วิธคี ิด การคณู ตอบ 9) 6,2482 =  วิธีคิด ตอบ 156

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู เฉลยแบบฝึกหัด เรอ่ื ง การยกก�ำ ลงั สองโดยใช้ Dvandva Yoga หรอื Duplex 1) 1662 =  วธิ ีคดิ 1662 = D(1)/D(16)/D(166)/D(66)/D(6) = 1/12/48/72/36 = 112487236 = 27556 ตอบ 27,556 2) 1782 =  วธิ คี ิด 1782 = D(1)/D(17)/D(178)/D(78)/D(8) = 1/14/65/112/64 = 1146511264 = 31684 ตอบ 31,684 157

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู 3) 2152 =  วิธคี ดิ 2152 = D(2)/D(21)/D(215)/D(15)/D(5) = 4/4/21/10/25 = 44211025 = 46225 ตอบ 46,225 4) 3562 =  วิธคี ดิ 3562 = D(3)/D(35)/D(356)/D(56)/D(6) = 9/30/61/60/36 = 930616036 = 126736 ตอบ 126,736 5) 7942 =  วธิ คี ิด 7942 = D(7)/D(79)/D(794)/D(94)/D(4) = 49/126/137/72/16 = 491261377216 = 630436 ตอบ 630,436 158

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 6) 1,0202 =  วธิ คี ิด 10202 = D(1)/D(10)/D(102)/D(1020)/D(020)/D(20)/D(0) = 1/0/4/0/4/0/0 = 1040400 ตอบ 1,040,400 7) 1,8972 =  วิธคี ิด 18972 = D(1)/D(18)/D(189)/D(1897)/D(897)/D(97)/D(7) = 1/16/82/158/193/126/49 = 1168215819312649 = 3598609 ตอบ 3,598,609 8) 4,3662 =  วธิ ีคดิ 43662 = D(4)/D(43)/D(436)/D(4366)/D(366)/D(66)/D(6) = 16/24/57/84/72/72/36 = 16245784727236 = 19061956 ตอบ 19,061,956 159

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคณู 9) 6,2482 =  วิธีคดิ 62482 = D(6)/D(62)/D(624)/D(6248)/D(248)/D(48)/D(8) = 36/24/52/112/48/64/64 = 362452112486464 = 39037504 ตอบ 39,037,504 10) 9,6122 =  วธิ คี ดิ 96122 = D(9)/D(96)/D(961)/D(9612)/D(612)/D(12)/D(2) = 81/108/54/48/25/4/4 = 8110854482544 = 92390544 ตอบ 92,390,544 160

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 6. การคณู พหุนามกบั พหนุ าม (Algebraic Multiplication using Urdhva Tiryagbhyam) การคูณของพหุนามสองพหุนาม สามารถทำ�การคูณตามดีกรี ของผลคณู เอกนามได้ดงั นี้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณ (5x + 3) x (2x + 7) วธิ คี ิด (5x + 3) x (2x + 7) ผลคูณดีกรี 2 (5x + 3) x (2x + 7) คือ 10x2 = 10x2 + ___ + ___ (5x + 3) x (2x + 7) ผลคณู ดกี รี 1 (5x + 3) x (2x + 7) = 10x2 + 41x + ___ คอื 35x + 6x = 41x (5x + 3) x (2x + 7) ผลคูณดีกรี 0 (5x + 3) x (2x + 7) คือ 21 = 10x2 + 41x + 21 ดงั นั้น (5x + 3) x (2x + 7) = 10x2 + 41x + 21 ตอบ 10x2 + 41x + 21 161

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคณู (2x – 3) x (x + 9) วธิ ีคดิ (2x – 3) x (x + 9 ) = 2x2 + ___ + ___ ผลคณู ดกี รี 2 (2x – 3) x (x + 9) คือ 2x2 (2x – 3) x (x + 9) ผลคูณดกี รี 1 (2x – 3) x (x + 9) = 2x2 + 15x + ___ คอื 18x – 3x = 15x (2x – 3) x (x + 9) = 2x2 + 15x + (– 27) ผลคูณดีกรี 0 (2x – 3) x (x + 9) คอื – 27 ดังน้ัน (2x – 3) x (x + 9) = 2x2 + 15x – 27 ตอบ 2x2 + 15x – 27 162

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลคูณ (5x2 + 2x + 3) x (x − 1) วธิ ีคิด (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) ผลคณู ดกี รี 3 (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) = 5x3 + __ + __ + __ คือ 5x3 (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) ผลคูณดกี รี 2 (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) = 5x3+ (–3x2) +__+__ คอื – 5x2 + 2x2 = –3x2 (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) ผลคณู ดกี รี 1 (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) = 5x3 – 3x2 + x +__ คือ – 2x + 3x = x (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) ผลคณู ดีกรี 0 (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) = 5x3 – 3x2 + x +(– 3) คอื – 3 ดงั นน้ั (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) = 5x3 – 3x2 + x – 3 ตอบ 5x3 – 3x2 + x – 3 163

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคณู ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลคณู (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) วิธีคิด (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) ผลคณู ดกี รี 4 (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) = 2x4 +__+__+__+__ คอื 2x4 (2x2– x + 3) × (x2 + 5x – 1) = 2x4 + 9x3 +__+__ ผลคณู ดีกรี 3 (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) +__ คอื 10x3 – x3 = 9x3 (2x2– x+3) × (x2+5x – 1) = 2x4 + 9x3 + (-4x2) ผลคูณดกี รี 2 (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) +__+__ คอื –2x2 – 5x2 + 3x2 = -4x2 (2x2– x + 3) × (x2+ 5x – 1) = 2x4 + 9x3 – 4x2 + 16x ผลคูณดกี รี 1 (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) +__ คอื x + 15x = 16x (2x2– x + 3) × (x2+5x–1) = 2x4+9x3– 4x2 + 16x ผลคณู ดีกรี 0 (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) + (-3) คือ -3 ดงั นนั้ (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) = 2x4 + 9x3 – 4x2 + 16x – 3 ตอบ 2x4 + 9x3 – 4x2 + 16x – 3 164

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ แบบฝึกหดั เรื่อง การคูณพหนุ ามกบั พหนุ าม 1) (x + 3) x (7x + 6) =  2) (3x – 6) x (4x – 1) =  วธิ ีคิด วธิ คี ิด ตอบ ตอบ 3) (4x2 – 2x – 1) x (6x – 8) =  4) (5x2 + x – 3) x (7x + 8) =  วิธคี ิด วิธีคดิ ตอบ ตอบ 5) (2x2 – 3x + 11) x (3x – 7) =  6) (2x2+5x–9)x(x2–8x–10)= วิธคี ดิ วธิ คี ิด ตอบ ตอบ 165

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 7) (x2 – 2x + 9) x (x2 + 3x + 7) =  8) (11x2+x+3)x(2x2–3x–1)= วิธีคิด วิธคี ิด ตอบ ตอบ 9) (3x2–x+13)x(5x2+2x–1)= 10) (3x2+2x+1)x(4x2–x–7)= วิธคี ดิ วิธีคดิ ตอบ ตอบ 166

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคณู เฉลยแบบฝึกหดั เรือ่ ง การคูณพหนุ ามกบั พหุนาม 1) (x + 3) x (7x + 6) 2) (3x – 6) x (4x – 1) วธิ ีคิด วธิ ีคดิ (x + 3) x (7x + 6) (3x – 6) x (4x – 1) = 7x2 + 27x + 18 = 12x2 – 27x + 6 ตอบ x2 + 27x + 18 ตอบ 12x2 – 27x + 6 3) (4x2 – 2x – 1) x (6x – 8) 4) (5x2 + x – 3) x (7x + 8) วธิ ีคิด วธิ คี ดิ (4x2 – 2x – 1) x (6x – 8) (5x2 + x – 3) x (7x + 8) = 24x3 – 44x2 + 10x + 8 = 35x3 + 47x2 – 13x – 24 ตอบ 24x3 – 44x2 + 10x + 8 ตอบ 35x3 + 47x2 – 13x – 24 5) (2x2 – 3x + 11) x (3x – 7) 6) (2x2 + 5x – 9) x (x2 – 8x – 10) วิธีคิด วธิ คี ดิ (2x2 – 3x + 11) x (3x – 7) (2x2+5x–9)x(x2 –8x–10) = 6x3 – 23x2 + 54x – 77 = 2x4–11x3–69x2+22x+90 ตอบ 6x3 – 23x2 + 54x – 77 ตอบ 2x4–11x3–69x2+22x+90 167

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู 7) (x2 – 2x + 9) x (x2 + 3x + 7) 8) (11x2 + x + 3 ) x (2x2 – 3x – 1) วธิ ีคดิ วธิ ีคดิ (x2 – 2x + 9) x (x2 + 3x + 7) (11x2+ x + 3) x (2x2– 3x – 1) = x4 + x3 + 10x2 + 13x + 63 = 22x4 – 31x3– 8x2 – 10x – 3 ตอบ x4 + x3 + 10x2 + 13x + 63 ตอบ 22x4 – 31x3 – 8x2 – 10x – 3 9) (3x2 – x + 13) x (5x2 + 2x – 1) 10) (3x2 + 2x + 1) x (4x2 – x – 7) วิธีคิด วิธคี ดิ (3x2– x + 13) x (5x2+ 2x – 1) (3x2 + 2x + 1) x (4x2 – x – 7) = 15x4+ x3+ 60x2+ 27x – 13 = 12x4+ 5x3– 19x2– 15x – 7 ตอบ 15x4 +x3 +60x2 +27x–13 ตอบ 12x4 + 5x3 – 19x2 – 15x – 7 168

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู 7. การตรวจค�ำ ตอบของการด�ำ เนนิ การคณู มวี ิธีการตรวจคำ�ตอบได้ 3 วิธี ดงั นี้ 1. การหาผลบวกเลขโดดของจำ�นวนเต็ม 2. เทคนิคการหาผลบวกเลขโดดของจำ�นวนนับด้วย การตดั เลข 9 ออก 2.1 วงกลมเกา้ จุด (The nine-point circle) 2.2 การหาผลบวกเลขโดดของจ�ำ นวนนบั ดว้ ยการตดั เลข9ออก 3. การนำ�ผลบวกเลขโดดของจำ�นวนเต็มไปใช้ตรวจคำ�ตอบ ของการด�ำ เนินการคณู 1. การหาผลบวกเลขโดดของจ�ำ นวนเตม็ เลขโดด คอื 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ 0 และ จ�ำ นวน 10, 11, 12, 13, …, 99 เปน็ จำ�นวนทมี่ ีเลขโดด 2 ตัว เป็นตน้ ผลบวกเลขโดด (digit sum) ของจำ�นวนใด ๆ คอื การน�ำ ตวั เลขโดด ในจำ�นวนน้ัน ๆ มาบวกกนั เชน่ - ผลบวกเลขโดดของ 25 คอื 7 เพราะว่า 2 + 5 = 7 - ผลบวกเลขโดดของ 53 คือ 8 เพราะวา่ 5 + 3 = 8 - ผลบวกเลขโดดของ 231 คอื 6 เพราะวา่ 2 + 3 + 1 = 6 169

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู ผลบวกเลขโดดของจ�ำ นวนใด ๆ ตอ้ งลดรูปใหเ้ ปน็ ตวั เลขตวั เดียวเสมอ โดยการบวกเลขโดดทกุ ตวั ถา้ ไดผ้ ลบวกเปน็ จ�ำ นวนทม่ี ตี วั เลขโดด 2 ตวั ต้องหาผลบวกเลขโดดอกี ครง้ั จนได้ตัวเลขตัวเดยี ว เช่น ผลบวกเลขโดดของ 19 คือ 1 เพราะวา่ 1 + 9 = 10 แล้วหา ผลบวกเลขโดดของ 10 คอื 1 + 0 = 1 ผลบวกเลขโดดของ 58 คอื 4 เพราะว่า 5 + 8 = 13 แล้วหา ผลบวกเลขโดดของ 13 ได้ 1 + 3 = 4 ผลบวกเลขโดดของ 875 คอื 2 เพราะวา่ 8 + 7 + 5 = 20 แลว้ หา ผลบวกเลขโดดของ 20 ได้ 2 + 0 = 2 170

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู 2. เทคนิคการหาผลบวกเลขโดดของจำ�นวนนับ ดว้ ยการตดั เลข 9 ออก 2.1 วงกลมเก้าจุด (The nine - point circle) จำ�นวนที่มากกว่าอยู่หน่ึงของตัวที่มาก่อน หรือจำ�นวน ที่มากกว่าอยู่หน่ึงของตัวท่ีอยู่ถัดไป (By One more than the One Before : Ekadhikena Purvena) คือ จ�ำ นวนนับ เร่ิมต้นที่ 1 และเพิม่ ขึ้น ทีละ 1 ไปเรือ่ ย ๆ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, … ดังนั้น เม่ือพิจารณาการนับไปเรื่อย ๆ พบว่า เกิดระบบการครบรอบของสิบ คือ 10, 20, 30, 40, … เปน็ ต้น นำ�ไปสรา้ ง บนวงกลมไดเ้ กา้ จดุ โดยใชผ้ ลบวกเลขโดดของจ�ำ นวนนบั ทเี่ รยี งอนั ดบั กนั อยู่ ดังนี้ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, … จากสมบัติข้างต้นนี้ นำ�ไปสร้างวงกลมเก้าจุด โดยใช้ผลบวก เลขโดดของจ�ำ นวนนับท่เี รียงอันดับกนั ดงั ตอ่ ไปน้ี 171

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ 10 จำ�นวนนับ : เรมิ่ ตน้ ท่ี 1 และเพิ่มข้นึ ท่ลี ะ 1 91 ไปเร่ือย ๆ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 82 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, … 73 ดังนน้ั เมื่อพิจารณาการนบั ไปเรอื่ ย ๆ 6 54 จะพบว่าเกดิ ระบบการครบรอบของสิบ คอื 10, 20, 30, 40 เปน็ ต้น 10 point circle จากสมบัตขิ า้ งตน้ นี้นำ�ไปสร้างวงกลมเก้าจุด โดยใช้ผลบวกเลขโดดของจ�ำ นวนนับที่เรยี ง 9 อนั ดบั กันกจ็ ะได้ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 81 72 63 54 9 point circle 09 1 วงกลมเก้าจดุ เป็นวงกลมท่แี บง่ เสน้ รอบวง 2 ออกเปน็ เกา้ สว่ นเทา่ ๆ กนั และท�ำ ใหเ้ กดิ จดุ 8 3 บนเสน้ รอบวงไดเ้ ก้าจดุ เมอื่ ใสจ่ ำ�นวนนับ ท่ีต่อเนื่องลงไป ใส่ 0 ตรง 9 จะเรียกวา่ 0 7 5 4 เป็นแขนงของ 9 6 172

18 คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต 0 19 9 10 การคูณ 17 1 8 วงกลมเก้าจุดเปน็ วงกลมทแ่ี บง่ เสน้ รอบวง ออกเป็นเก้าส่วนเท่า ๆ กัน และทำ�ให้เกดิ 16 7 2 11 จุดบนเส้นรอบวงได้เก้าจุดเม่อื ใส่จ�ำ นวนนับ ทีต่ อ่ เนอื่ งลงไป ใส่ 0 ตรง 9 จะเรยี กว่า 0 15 6 3 12 เปน็ แขนงของ 9, ใส่ 10 เป็นแขนงของ 1, 5 4 ใส่ 11 เปน็ แขนงของ 2, ใส่ 12 เป็นแขนง 14 13 ของ 3, ใส่ 13 เปน็ แขนงของ 4, ใส่ 14 เป็นแขนงของ 5, ใส่ 15 เปน็ แขนงของ 6, ใส่ 16 เปน็ แขนงของ 7, ใส่ 17 เปน็ แขนงของ 8, ใส่ 18 เป็นแขนงของ 9 หรอื 0, ใส่ 19 เป็นแขนงของ 1 ไปเรอื่ ย ๆ จากวงกลมเกา้ จดุ เมอ่ื ใสจ่ �ำ นวนนบั ทต่ี อ่ เนอ่ื ง ลงไปตามเข็มนาฬกิ า จะพบวา่ แต่ละแขนง มผี ลบวกเลขโดดเทา่ ๆ กนั เชน่ แขนงผลบวกเลขโดดเท่ากบั 3 ได้แก่ 3, 12, 21, … เปน็ ต้น แขนงผลบวกเลขโดดเทา่ กบั 1 ไดแ้ ก่ 1, 10, 19, 28, … เป็นตน้ แขนงผลบวกเลขโดดเทา่ กบั 7 ได้แก่ 7, 16, 25, … เปน็ ตน้ 173

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคณู 2.2 ก า ร ห า ผ ล บ ว ก เ ล ข โ ด ด ข อ ง จำ � น ว น นั บ ด้ ว ย การตัดเลข 9 ออก ถา้ น�ำ เลขโดด 9 ไปบวกกบั เลขโดดใด ๆ ไม่มีผลกบั ผลบวก เลขโดดของจำ�นวนน้ัน ๆ ดงั นน้ั ในการหาผลบวกเลขโดดของจำ�นวนใด ๆ มเี ทคนคิ ในการตัดเลขโดด 9 หรอื ผลบวกเลขโดดสองจ�ำ นวนเทา่ กบั 9 ออก เชน่ 6, 60, 69, 96, 969 ทุกจำ�นวนมผี ลบวกเลขโดดเท่ากับ 6 19, 28, 91, 109, 982 ทกุ จ�ำ นวนมผี ลบวกเลขโดดเทา่ กบั 1 21, 129, 309, 903 ทกุ จ�ำ นวนมีผลบวกเลขโดดเทา่ กบั 3 ข้อสังเกต พจิ ารณาเลข 0 บนวงกลมเก้าจดุ ควรจะอยู่ตำ�แหน่งใด บนวงกลมเก้าจุด 1. หากจะต้องนับทวนเข็มนาฬิกาถอยหลังจากเลข 1 ก็จะได้ เลข 0 ดงั นน้ั เลข 0 ควรอยตู่ รงต�ำ แหนง่ เดียว กับเลข 9 2. เลขโดด 9 และ 0 เมื่อนำ�ไปบวกกับเลขโดดใด ๆ ได้ผลบวกเป็นเลขโดดนั้น จึงสามารถตัด 9 และ 0 ออกจากการหาผลบวกเลขโดดของจ�ำ นวนนบั ใด ๆ ได้ 174

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาผลบวกเลขโดดของจำ�นวน 1,996 วธิ คี ิด วธิ ีบวกปกติ ผลบวกเลขโดด 1996 คอื 1 + 9 + 9 + 6 = 25 2+5=7 ตอบ 7 ขน้ั ที่ 1 น�ำ 1 บวก 9 บวก 9 บวก 6 เท่ากับ 25 1 + 9 + 9 + 6 = 25 ขั้นที่ 2 นำ� 2 บวก 5 เท่ากบั 7 2+5=7 วิธีตดั เลข 9 ออก ผลบวกเลขโดด 1996 คือ 1+9+9+6 1+6=7 ตอบ 7 ขั้นท่ี 1 ตดั เลข 9 ออก เหลือ 1 กับ 6 1+9+9+6 ขน้ั ท่ี 2 น�ำ 1 บวก 6 เท่ากบั 7 1+6=7 175

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกเลขโดดของจำ�นวน 396 วิธีคดิ วธิ บี วกปกติ ผลบวกเลขโดด 396 คอื 3 + 9 + 6 = 18 1 + 8 = 9 หรอื 0 ตอบ 9 หรอื 0 ขน้ั ที่ 1 นำ� 3 บวก 9 บวก 6 เทา่ กับ 18 3 + 9 + 6 = 18 ขั้นที่ 2 น�ำ 1 บวก 8 เทา่ กับ 9 1 + 8 = 9 หรอื 0 วธิ ีตัดเลข 9 ออก ผลบวกเลขโดด 396 คอื 3+9+6 3+6=9 ตอบ 9 หรือ 0 ข้นั ที่ 1 ตัดเลข 9 ออก เหลอื 3 กับ 6 3+9+6 ขั้นท่ี 2 น�ำ 3 บวก 6 เทา่ กับ 9 3 + 6 = 9 หรือ 0 176

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกเลขโดดของจำ�นวน 9,999 วธิ คี ดิ วธิ บี วกปกติ ผลบวกเลขโดด 9999 คอื 9 + 9 + 9 + 9 = 36 3 + 6 = 9 หรอื 0 ตอบ 9 หรือ 0 ข้ันที่ 1 น�ำ 9 บวก 9 บวก 9 บวก 9 เท่ากับ 36 9 + 9 + 9 + 9 = 36 ขั้นท่ี 2 นำ� 3 บวก 6 เทา่ กบั 9 3 + 6 = 9 หรือ 0 วธิ ีตดั เลข 9 ออก ผลบวกเลขโดด 9999 คอื 9+9+9+9 0=9 ตอบ 9 หรอื 0 ขั้นที่ 1 ตดั เลข 9 ออก 9+9+9+9 ข้นั ท่ี 2 ตัดเลข 9 ออกหมดทุกตัว เหลือ 0 177

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 3. การน�ำ ผลบวกเลขโดดของจ�ำ นวนเตม็ ไปใชต้ รวจค�ำ ตอบ ของการดำ�เนินการคูณ วิธีการตรวจคำ�ตอบของการดำ�เนินการคูณโดยใช้เลขโดด ของจ�ำ นวนเต็ม มขี ้นั ตอนดงั น้ี ขั้นที่ 1 หาผลบวกเลขโดดของตัวตัง้ และตวั คูณ ขน้ั ท่ี 2 นำ�ผลบวกเลขโดดของตัวตั้งและตัวคูณมาคูณกัน แลว้ นำ�ผลคูณไปหาผลบวกของเลขโดด ขัน้ ที่ 3 หาผลบวกเลขโดดของคำ�ตอบ (ผลคณู ทไ่ี ด้) ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบว่าผลบวกเลขโดดจากข้ันท่ี 2 และขั้นท่ี 3 เท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่ากันแสดงว่าคำ�ตอบท่คี ดิ ไวถ้ ูกต้อง 178

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณ 43 x 32 และตรวจสอบคำ�ตอบที่ได้ โดยใชผ้ ลบวกเลขโดด วิธคี ดิ ข้นั ตอนการหาผลคณู ขัน้ ตอนการตรวจสอบค�ำ ตอบ 4 3 ขน้ั ท่ี 1 x ผลบวกของเลขโดดของตวั ตง้ั = 4 + 3 = 7 ผลบวกของเลขโดดของตวั คณู = 3 + 2 = 5 3 2 ขนั้ ท่ี 2 12 17 6 7 x 5 = 35 หาผลบวกเลขโดด = 3 + 5 = 8 ขั้นที่ 3 ผลบวกเลขโดดของค�ำ ตอบ =1+3+7+6= 8 ขน้ั ท่ี 4 พบวา่ ผลบวกเลขโดดจากข้ันท่ี 2 และข้ันท่ี 3 เทา่ กนั (ต่างเท่ากบั 8) ดังน้ัน ค�ำ ตอบท่ไี ด้ถกู ตอ้ ง ดงั น้ัน 43 x 32 = 12176 = 1,376 ตอบ 1,376 179

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณ 72 x 46 และตรวจสอบคำ�ตอบท่ีได้ โดยใช้ผลบวกเลขโดด วิธีคิด ขนั้ ตอนการหาผลคูณ ขั้นตอนการตรวจสอบคำ�ตอบ ขนั้ ที่ 1 หลักหนว่ ย ขั้นท่ี 1 7 2 x 4 6 = 12 หาผลบวกของเลขโดดของตวั ตง้ั = 7 + 2 = 9 หรอื 0 ขั้นท่ี 2 หลกั สบิ หาผลบวกของเลขโดดของตัวคูณ 7 2 x 4 6 = 5012 = 4 + 6 = 10 = 1 + 0 = 1 ขั้นที่ 3 หลักร้อย ขนั้ ที่ 2 7 2 x 4 6 = 285012 9 x 1 = 9 หรอื 0 x 1 = 0 หาผลบวกเลขโดด = 9 หรือ 0 ขัน้ ท่ี 3 หาผลบวกเลขโดดของค�ำ ตอบ = 3 + 3 + 1 + 2 = 9 หรอื 0 ขั้นที่ 4 พบวา่ ผลบวกเลขโดดจากขน้ั ที่2และขนั้ ท่ี3เทา่ กนั (ต่างเทา่ กับ 9 หรือ 0) ดังนน้ั คำ�ตอบทไ่ี ดถ้ ูกตอ้ ง ดังน้นั 72 x 46 = 285012 = 3,312 ตอบ 3,312 180

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลคูณ 112 x 97 และตรวจสอบคำ�ตอบที่ได้ โดยใช้ผลบวกเลขโดด วิธคี ดิ ข้ันตอนการหาผลคูณ ขน้ั ตอนการตรวจสอบคำ�ตอบ 1 1 2 + 1 2 x ขั้นท่ี 1 9 7 − 0 3 หาผลบวกเลขโดดของตวั ตง้ั = 1 + 1 + 2 = 4 หาผลบวกเลขโดดของตวั คณู = 9 + 7 = 7 1 0 9 / 3 6 ขั้นที่ 2 4 x 7 = 28 หาผลบวกเลขโดด = 2 + 8 = 10 = 1 + 0 = 1 ขน้ั ท่ี 3 หาผลบวกเลขโดดของค�ำ ตอบ = 1 + 0 + 8 + 6 + 4 = 10 = 1 + 0 = 1 ขนั้ ท่ี 4 พบวา่ ผลบวกเลขโดดจากข้นั ที่ 2 และขัน้ ที่ 3 เทา่ กัน (ตา่ งเทา่ กับ 1) ดังนน้ั คำ�ตอบทีไ่ ด้ถูกต้อง ดังนัน้ 112 x 97 = 10936 = 10,864 ตอบ 10,864 181

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ บรรณานกุ รม ศกั ดา บุญโต. (2543). เวทคณติ (Vedic Mathematics) : คณิตคดิ ลัด จากสูตรพนื้ ฐาน 16 สูตร. กรงุ เทพฯ : ศลิ ปการพิมพ.์ ส�ำ นกั วชิ าการและมาตรฐานการศกึ ษา. (2554). แบบฝกึ เสรมิ สรา้ งทกั ษะ กระบวนการคิดสำ�หรับนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษ ทางคณติ ศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา เลม่ ท่ี6 : เวทคณติ มหศั จรรย.์ กรุงเทพฯ : องคก์ ารคา้ ของ สกสค. ลาดพรา้ ว. Puri, N. (1992). Ancient Vedic Mathematics (2nd ed.). Maths of Smiles. India : Jugnu Printers, Naveen Shahadara, Delhi. . (1988). Ancient Vedic Mathematics. Mathematics with Smile. India : Jugnu Printers, Naveen Shahadara, Delhi. Williams, R. K. (2009). Vedic Mathematics Teacher’s Manual. Advanced Level (2nd ed.). United of Kingdom : Inspiration Books. .(2009). Vedic Mathematics Teacher’s Manual. Elementary Level (2nd ed.). United of Kingdom : Inspiration Books. 182

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ คณะทำ�งาน ทีป่ รึกษา 1. นายบุญรักษ์ ยอดเพชร เลขาธกิ ารคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน 2. นายสนทิ แย้มเกษร รองเลขาธกิ ารคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน 3. นายพรี ะ รัตนวิจิตร รองเลขาธกิ ารคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พนื้ ฐาน 4. นายอัมพร พนิ ะสา รองเลขาธกิ ารคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน 5. นางสาวนจิ สดุ า อภินนั ทาภรณ ์ ผอู้ �ำ นวยการส�ำ นกั วชิ าการและมาตรฐานการศกึ ษา ผทู้ รงคณุ วฒุ ิ ข้าราชการบ�ำ นาญ 1. นางสาวลัดดาวัลย์ ดา่ นศิรวิ โิ รจน ์ สำ�นักงานเขตพื้นทกี่ ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 1 2. นายประเสรฐิ สุภริ กั ษ์ ขา้ ราชการบำ�นาญ สำ�นักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศึกษานครสวรรค์ เขต 1 3. นายกระจาย คงสง ขา้ ราชการบำ�นาญ ส�ำ นักงานเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษาประถมศกึ ษาพระนครศรอี ยธุ ยา เขต 1 4. นายปรีชา อรณุ สวสั ด ิ์ ข้าราชการบำ�นาญ สำ�นักงานเขตพน้ื ท่กี ารศกึ ษาประถมศึกษากรงุ เทพมหานคร 5. นางสาวพนั วนา พฒั นาอดุ มสนิ คา้ ศึกษานิเทศก ์ สำ�นกั งานเขตพื้นที่การศกึ ษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 2 ผู้รับผิดชอบโครงการ กล่มุ พฒั นากระบวนการเรยี นรู้ ส�ำ นกั วิชาการและมาตรฐานการศึกษา 1. นางผาณติ ทวีศกั ดิ ์ รองผอู้ ำ�นวยการสำ�นักวชิ าการ และมาตรฐานการศึกษา 2. นางเกศกัญญา อนุกูล นักวชิ าการศึกษา 3. นางสาวภัทรา ดา่ นววิ ัฒน์ นกั วชิ าการศกึ ษา 183

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 4. นางสาวอธิฐาน คงช่วยสถติ ย์ นักวชิ าการศกึ ษา 5. นายอภิศกั ด์ิ สิทธิเวช นกั วชิ าการศึกษา 6. นางสาววศนิ ี เขยี วเขิน นกั วชิ าการศึกษา 7. นางสาวปรมาพร เรืองเจริญ พนักงานธรุ การ คณะทำ�งานพัฒนาและปรบั ปรงุ เอกสาร 1. นางสาวลัดดาวลั ย์ ด่านศริ วิ โิ รจน์ ขา้ ราชการบ�ำ นาญ สำ�นกั งานเขตพน้ื ท่กี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 1 2. นายปรชี า อรณุ สวสั ด ์ิ ขา้ ราชการบำ�นาญ สำ�นักงานเขตพนื้ ที่การศึกษาประถมศึกษากรงุ เทพมหานคร 3. นายกระจาย คงสง ขา้ ราชการบำ�นาญ ส�ำ นักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาพระนครศรอี ยุธยา เขต 1 4. นายประเสริฐ สุภริ ักษ์ ขา้ ราชการบำ�นาญ สำ�นักงานเขตพ้ืนที่การศึกษาประถมศกึ ษานครสวรรค์ เขต 1 5. นางสาวณภัทร ใจกล้า ศกึ ษานิเทศก ์ ส�ำ นักงานเขตพน้ื ทก่ี ารศึกษาประถมศึกษากรงุ เทพมหานคร 6. นางสาวพนั วนา พัฒนาอดุ มสินค้า ศกึ ษานิเทศก ์ ส�ำ นกั งานเขตพื้นทีก่ ารศกึ ษาประถมศกึ ษากาญจนบรุ ี เขต 2 7. นางสาวเยาวภา ศานติธรรม ศกึ ษานเิ ทศก์ ส�ำ นกั งานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 4 8. นางสาวดรุณวรรณ พิศุฟทธภ์ิ มู ิเลิศ ศึกษานิเทศก ์ สำ�นักงานเขตพน้ื ทก่ี ารศึกษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 4 9. นายภัทรวตั ฐ์ ซื่อตรง ศกึ ษานิเทศก ์ สำ�นักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศกึ ษาสุพรรณบุรี เขต 1 1 0. นางสาวประทมุ วนั ดอมไธสง ศึกษานเิ ทศก์ ส�ำ นักงานเขตพนื้ ทกี่ ารศึกษาประถมศกึ ษานครราชสมี า เขต 6 11. นางสาวสาลินี จงใจสรุ ธรรม ศึกษานเิ ทศก ์ ส�ำ นกั งานเขตพน้ื ที่การศกึ ษาประถมศกึ ษาพัทลงุ เขต 1 184

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคณู 12. นางสาวกจิ ตมิ า สงิ ห์นา ครูโรงเรียนวดั พลบั พลาชัย สำ�นกั งานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษาประถมศึกษากรงุ เทพมหานคร 13. นางสาวปวรศิ า ออ่ นขำ� ครูโรงเรียนวัดพลับพลาชัย สำ�นกั งานเขตพนื้ ทก่ี ารศกึ ษาประถมศึกษากรุงเทพมหานคร 1 4. นางสาวพรรณกิ า อนิ แปลง ครูโรงเรียนวดั พลบั พลาชยั ส�ำ นกั งานเขตพน้ื ทก่ี ารศกึ ษาประถมศกึ ษากรงุ เทพมหานคร 15. นางสาวอรทัย ไพสาร ครโู รงเรียนวัดพลบั พลาชัย สำ�นักงานเขตพน้ื ทก่ี ารศึกษาประถมศกึ ษากรุงเทพมหานคร 1 6. นางสาวธนั ยนันท์ อัครชุณหะวงศ์ ครูโรงเรยี นวัดพลับพลาชยั สำ�นักงานเขตพ้ืนทก่ี ารศึกษาประถมศึกษากรงุ เทพมหานคร 17. นายกติ ิคณุ ศิลยานันท ์ ครูโรงเรียนอนุบาลกาญจนบรุ ี ส�ำ นักงานเขตพื้นที่การศกึ ษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 1 18. นางประนอม ทมิ พิทักษ ์ ครโู รงเรยี นอนบุ าลวดั ลกู แกประชาชนทู ศิ ส�ำ นักงานเขตพืน้ ทก่ี ารศกึ ษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 2 1 9. นายชาตรี อนิ ต๊ะ ครโู รงเรยี นวัดเขาสะพายแรง้ สำ�นักงานเขตพื้นทีก่ ารศกึ ษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 2 20. นางสาวอรทยั ธุมา ครโู รงเรยี นวัดทงุ่ สมอ สำ�นกั งานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 2 21. นางสาววรัญญา เมตตาพล ครโู รงเรยี นวัดดอนแสลบ ส�ำ นักงานเขตพื้นที่การศกึ ษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 2 2 2. นางสาวสุจติ รา นาคนารี ครโู รงเรยี นวัดเบญพาด สำ�นกั งานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 2 23. นายนัฐกาญจน์ เฑยี มเทวญั ญ ์ ครูโรงเรยี นวัดสระลงเรอื ส�ำ นกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 2 2 4. นางสริ ลิ ักษณ์ สารกิ า ครโู รงเรยี นวดั ดอนชะเอม สำ�นกั งานเขตพ้ืนทก่ี ารศกึ ษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 2 2 5. นายกรวัฒน์ ภูฆงั ครูโรงเรยี นบา้ นหนองปลงิ สำ�นักงานเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 4 185

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ 26 . นายวรวฒุ ิ สมบูรณด์ ี ครโู รงเรยี นบา้ นหนองแกประชาสรรค ์ ส�ำ นักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 4 2 7. นายภัทร เจรญิ กุล ครูโรงเรียนอนุบาลนครปฐม สำ�นักงานเขตพน้ื ทีก่ ารศกึ ษาประถมศึกษานครปฐม เขต 1 2 8. นางสาวเพญ็ พร ทิพยอ์ โนทัย ครูโรงเรยี นวดั บ้านไร่ สำ�นักงานเขตพ้นื ท่กี ารศึกษาประถมศึกษานครราชสีมา เขต 6 29. นายธรวิทย์ จติ ตส์ ุวรรณ ครโู รงเรยี นอนุบาลสมุทรสาคร สำ�นักงานเขตพน้ื ทก่ี ารศึกษาประถมศกึ ษาสมุทรสาคร 3 0. นายมานะ มาเสมอ ครูโรงเรยี นอนบุ าลด่านชา้ ง สำ�นักงานเขตพน้ื ท่ีการศกึ ษาประถมศกึ ษาสพุ รรณบุรี เขต 3 3 1. นายวิชยั พรสิริโชคชัย ครูโรงเรียนเทพศริ นิ ทร์ สำ�นกั งานเขตพืน้ ทก่ี ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 1 32. นางศริ วิ รรณ เนตรสว่าง ครูโรงเรียนเทพศริ ินทร์ สำ�นักงานเขตพ้นื ทกี่ ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 1 3 3. นางสาวฐารวณี ์ กิตติโชตธิ นารตั น ์ ครูโรงเรยี นเทพศริ นิ ทร์ สำ�นักงานเขตพ้ืนที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 1 34. นายศริ สิษฐ์ เชื้อทอง ครโู รงเรยี นวิสทุ ธรังษี สำ�นกั งานเขตพ้ืนที่การศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 8 3 5. นางสาวศรัญญา จนิ ดา ครูโรงเรยี นท่าม่วงราษฎร์บำ�รุง ส�ำ นกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 8 36. นายปยิ วิทย์ เหลอื งระลกึ ครโู รงเรียนเฉลิมพระเกยี รติ ส�ำ นกั งานเขตพน้ื ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 8 สมเดจ็ พระศรนี ครินทร์ กาญจนบรุ ี 37. นางสาวกมลวรรณ สิงหาศร ครโู รงเรยี นบางสะพานวิทยา ส�ำ นกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 10 3 8. นางปรุง อนิ ทมาตร ์ ครูโรงเรียนสมทุ รสาครบูรณะ ส�ำ นกั งานเขตพน้ื ที่การศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 10 186

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การคูณ 3 9. นางสาวศรารตั น์ อนิ ทรประเสริฐ ครูโรงเรียนศรทั ธาสมุทร ส�ำ นักงานเขตพ้ืนทก่ี ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 10 4 0. นายเชาวฤทธ์ิ ภบู ัวเพชร ครูโรงเรยี นสีดาวิทยา ส�ำ นกั งานเขตพ้นื ทกี่ ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 31 คณะบรรณาธิการกิจ และจัดท�ำ ตน้ ฉบบั สมบูรณ์ 1. นางสาวลดั ดาวลั ย์ ดา่ นศริ ิวโิ รจน ์ ขา้ ราชการบำ�นาญ ส�ำ นกั งานเขตพื้นท่ีการศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 1 2. นางผาณิต ทวศี กั ดิ์ รองผ้อู �ำ นวยการสำ�นกั วชิ าการ และมาตรฐานการศึกษา 3. นางเกศกญั ญา อนุกูล นักวชิ าการศกึ ษา 4. นางสาวภัทรา ดา่ นวิวัฒน ์ นักวชิ าการศกึ ษา 5. นางสาวอธิฐาน คงชว่ ยสถิตย ์ นักวิชาการศกึ ษา 6. นายอภศิ ักดิ์ สทิ ธเิ วช นกั วชิ าการศึกษา 7. นางสาววศนิ ี เขียวเขนิ นกั วชิ าการศึกษา 8. นางสาวปรมาพร เรืองเจริญ พนักงานธรุ การ 187

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต การคูณ 188