E-Book เรื่องระบบเลขฐาน

รหสั วิชา 2204-2004 รายวชิ าคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ เร่อื ง ระบบเลขฐาน วิทยาลัยสารพัดช่างสกลนคร อาชีวศึกษาจังหวัดสกลนคร สานักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา

ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 2 ระบบเลขฐาน 1. ระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานประกอบดว้ ยเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 เลขฐาน 10 เลขฐาน 16 ระบบเลขฐาน 2 (Binary Number System) เป็นเลขฐานท่ีประกอบด้วยเลข 2 ตัว ได้แก่เลข 0 กับ เลข 1 ซง่ึ เปน็ เลขฐานที่คอมพิวเตอร์สามารถเข้าใจได้ง่าย เพราะว่าอปุ กรณ์ทางไฟฟ้าก็มีสถานะเพียง 2 สถานะ คือ เปิด กับ ปิด ซ่ึงก็เทียบได้กับ 0 กับ 1 แต่ถ้าใช้เลขฐาน 10 ในคอมพิวเตอร์อาจจะเกิดปัญหาอย่างอื่นตามมา หรือแม้แต่อุปกรณ์ทาง ไฟฟ้า ก็ต้องแบ่งสถานะออกเป็น 10 สถานะ ซึ่งไม่เป็นท่ีนิยมนัก การเก็บข้อมูลในระบบของคอมพิวเตอร์ก็จะจัดเก็บเป็น กลุ่มตวั เลขฐานสองหลายบิต ขน้ึ อย่กู บั ขนาดของสง่ิ ท่ีต้องการเก็บ และหนว่ ยความจาท่ีใช้ ระบบเลขฐาน 8 (Octal Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยเลข 8 ตัว ซ่ึงประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ซึง่ เป็นเลขฐานท่ีเพ่ิมเนือ้ ทห่ี นว่ ยความจาในการเก็บให้มากข้ึน การเกบ็ ขอ้ มลู เป็นเลขฐาน 8 จะทาให้เก็บ ขอ้ มูลไดม้ ากขนึ้ ระบบเลขฐาน 10 (Decimal Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว ซ่ึงประกอบด้วย เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ซึ่งระบบเลขฐาน 10 เป็นระบบเลขฐานท่ีคนท่ัวไปสามารถเข้าใจได้เป็นอย่างดี เพราะ เป็นตัวเลขทเ่ี ก่ียวข้องกบั ชีวติ ประจาวนั ซ่งึ ใช้มาตลอด สามารถจาได้และคานวณได้ง่ายกว่าเลขฐานอื่น ๆ ระบบเลขฐาน 16 (Hexadecimal Number System) เป็นเลขฐานท่ีประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัวและตัวอกั ษร แทนตวั เลขอีก 6 ตวั ซ่งึ ประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และตวั อักษรภาษาอังกฤษแทน 10 ถงึ 15 ได้แก่ A, B, C, D, E, F ซึ่งกจ็ ะเกบ็ ขอ้ มลู ไดม้ ากกวา่ ระบบเลขฐาน 2 ฐาน 8

2. ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานสอง ประกอบด้วย 2 ตัว คือ 0, 1 ระบบเลขฐานสอง หรือการแทนข้อมูลด้วยสภาวะ เนื่องจาก ภาษาเครื่องคอมพิวเตอรใ์ ชไ้ ม่เหมือนกับภาษามนุษย์ด้วยสาเหตุนขี้ ้อมูลทใี่ ช้กับคอมพิวเตอร์จะต้องเปล่ียนรูปหรือเข้ารหัส เป็นภาษาเครื่องก่อน เพราะ คอมพิวเตอร์ได้สร้างขึ้นด้วยอุปกรณ์ทางอิเล็กทรอนิกส์ เช่น ทรานซิสเตอร์ วัตถุแม่เหล็ก บวก และลบ ดังน้ันเคร่ืองคอมพิวเตอร์จึงได้นาระบบเลขฐานสอง คือ เลข 0 กับ เลข 1 มาใช้ในการแทนลักษณะข้อมูล เพราะเป็นระบบตัวเลขท่ีเหมาะสมในการสร้างวงจร และแสดงคุณลักษณะทางฟิสิกส์ของอุปกรณ์ภายในเคร่ือง คอมพิวเตอร์แบบดิจิตอล (Digital computer) เลขฐานใดๆ จะมีค่าต่ากว่าฐานอยู่ 1 เสมอ ดังนั้น เลขฐานสองมี สญั ลักษณ์ท่เี ป็นเลขใดๆ อยู่ 2 ตวั คือ 0 และ 1 ค่าประจาหลักจะเพิ่มจากทางขวามือมาทางซ้ายมือ เช่นเดียวกัน แต่การ เพิ่มข้ึนน้ัน จะเป็นเลขยกกาลังของ 2 โดยเริ่มจากเลขโดดตัวขวาสุดที่มีค่าประจาหลัก 2 0 หรือเท่ากับ 1 ในเลขฐานสิบ และเลขโดด ในตาแหนง่ ถัดไปจะมคี ่าประจาหลักเป็น 21 = 2 ในเลขฐานสบิ และ 22 = 4 ในเลขฐานสิบสาหรับ เลขตวั ถดั ไปจะเพิม่ ขนึ้ ในลกั ษณน์ ไี้ ปเร่ือยๆ ตวั อยา่ ง 1102 อ่านว่า หนง่ึ หนึ่ง ศนู ย์ ฐานสอง 101012 อา่ นวา่ หน่ึง ศนู ย์ หนง่ึ ศนู ย์ หนึง่ ฐานสอง 1101 = (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) 3. ระบบเลขฐานแปด เลขฐานแปด ประกอบด้วยเลข 8 ตวั คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 เลขฐานแปดเป็นเลขอีกระบบหนึ่งท่มี ีความสาคญั ในการศึกษาวงจรดิจิตอลเป็นระบบตัวเลขฐาน เท่ากับ 8 ท่ีมี ค่าตา่ งกันหน่งึ หนว่ ยเรยี งตามกัน ตามลาดบั ดังนี้ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ตัวเลขโดดที่มีค่าสูงสุดในระบบน้ีคือ 7 และตวั เลข โดดที่มีค่าต่าสุด คือ 0 หลังจาก 7 และจะต้องแสดงสัญลักษณ์ 2 หลัก ดังนั้นค่า 8 ในฐานสิบ จะมีค่าเท่ากับ 10 ในฐาน แปดอา่ นว่า หนงึ่ ศูนยไ์ ม่อ่านว่า สบิ ตามทอี่ า่ นในเลขฐานสบิ ตัวอย่าง 1328 อ่านวา่ หน่งึ สาม สอง ฐานแปด 60.018 อ่านวา่ หก ศูนย์ จุด ศนู ย์ หน่ึง ฐานแปด 4. ระบบเลขฐานสบิ หก เลขฐานสบิ หก ประกอบดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 16 ตวั คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F โดยที่ A แทน 10, B แทน 11, C แทน 12, D แทน 13, E แทน 14, F แทน 15 44 เลขฐานสิบหกมีประโยชน์มาก เพราะในระบบ ดิจิตอลมักมีการประมวลผลข่าวสารเลขฐานสอง ใน ขนาด 8 บิต 16 บิต 32 บติ 128 บิต เป็นต้น ซ่ึงข่าวสารเหล่าน้ีหาก นาเลขฐานสิบหกมาเขยี นแทนจะทาให้สะดวกมากข้ึน

5. การเปลีย่ นระหวา่ งเลขฐาน 5.1 การเปล่ียนเลขฐานสิบเปน็ เลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก การเปลยี่ นเลขฐานสิบเปน็ เลขฐานสอง หลกั การ 1. ให้นาเลขฐานสบิ เป็นตวั ตง้ั และนา 2 มาหาร ได้เศษเท่าไรจะเป็นค่าบิตทมี่ นี ัยสาคัญน้อยที่สดุ (LSB) 2. นาผลลัพธท์ ีไ่ ดจ้ ากข้อท่ี 1 มาตั้งหารดว้ ย 2 อีกเศษทจ่ี ัดจะเป็นบติ ถัดไปของเลขฐานสอง 3. ทาเหมือนข้อ 2 ไปเร่ือยๆ จนได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ เศษที่ได้จะเป็นบิตเลขฐานสองที่มีนัยสาคัญ มากที่สดุ (MSB) ตวั อยา่ ง : จงเปล่ยี น (221)10 เป็นเลขฐานสอง 2 221 เศษ 1 (LSB) 2 110 เศษ 0 2 55 เศษ 1 2 27 เศษ 1 2 13 เศษ 1 2 6 เศษ 0 2 3 เศษ 1 2 1 เศษ 1 (MSB) 0 ดงั นั้น (221)10 = (11011101)2 การเปลีย่ นเลขฐานสบิ เปน็ เลขฐานแปด หลักเกณฑ์ : นาเลขฐานสิบเป็นตัวตั้งแล้วหารด้วย 8 เศษท่ีได้จากการหารจะเป็นค่าของเลขฐานแปด ทา เช่นเดยี วกบั การเปลี่ยน เลขฐานสบิ เปน็ ฐานสอง ตัวอย่าง : (92)10 เป็นเลขฐานแปด 8 92 เศษ 4 8 11 เศษ 3 8 1 เศษ 1 0 ดงั น้ัน (92)10 = (134)8 การเปลี่ยนเลขฐานสบิ เปน็ เลขฐานสบิ หก หลักการ : นาเลขฐานสิบมาเป็นตัวตั้งแล้วนา 16 มาหาร เศษที่ได้จากการหาร จะเป็นค่า เลขฐานสิบหก ทาเช่นเดยี วกบั การเปลย่ี นเลขฐานสิบเปน็ เลขฐานสอง ตวั อย่าง : (92)10 เป็นเลขฐานสิบหก วิธที า : 16 92 เศษ 12 =C 16 5 เศษ 5 5C ดังนัน้ (92)10 = (5C)16

5.2 การเปลี่ยนเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสบิ หกเปน็ เลขฐานสิบ การเปลีย่ นเลขฐานสองเปน็ เลขฐานสิบ หลกั การ : คอื การเอาคา่ Weight ของทุกบติ ท่มี ีคา่ เป็น 1 มาบวกกนั ดังตัวอย่าง ตัวอย่าง : จงแปลง (11011101)2 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ (11011101)2 = (1X27) + (1X26) + (0X25) + (1X24) + (1X23)+ (1X22) +(0X21) + (1X20) = 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 ผลลพั ธ์ = (221)10 การเปลย่ี นเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ หลักเกณฑ์ : นาค่าน้าหนัก (Weight)และเลขฐานแปดคูณด้วยเลขประจาหลักแล้วนาผลที่ได้ทุกหลักมา รวมกนั นา้ หนัก : Weight ได้แก่ … 84 83 82 81 80 8-1 8-2 8-3… ตวั อยา่ ง : (134)8 = (…)10 (134)8 = (1X82) + (3X81) + (4X80) = 64 + 24 + 4 = (92) 10 ดังนั้น (134)8 = (92)10 การเปลย่ี นเลขฐานสบิ หกเปน็ เลขฐานสบิ หลักการ : นาค่าน้าหนัก (Weight) ของเลขฐานสิบหกคูณด้วยเลขประจาหลัก และนาผลที่ได้ทุกหลักมา รวมกัน นา้ หนัก (Weight) : … 164 163 162 161 160 16-1 16-2 16-3… ตัวอย่าง (6C)16 = (…)10 (6C)16 = (5X161) + (12X160) = 80 + 12 = (92)10 ดงั นัน้ (6C)16 = (92)10

6. การเปรยี บเทยี บเลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบ และฐานสบิ หก การแปลงเลขฐานแปดให้เปน็ เลขฐานสอง โดยการแปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบ แล้วนาเลขฐานสิบท่ีได้แปลงเป็นเลขฐานสองต่อไป แต่วิธีการ ดงั กลา่ วดเู หมอื นจะ เปน็ วิธีท่ีย่งุ ยาก และเสียเวลาในการทามาก ยงั มีวิธที ่ีงา่ ยกวา่ น้ี ลองศึกษาดตู อ่ ไป ความสมั พันธร์ ะหว่างเลขฐานแปดกบั เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสอง (Octal) (Binary) 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 จากตารางจะเห็นว่า เลขฐานแปด 1 ตวั สามารถแทนไดด้ ว้ ยเลข binary 3 bit ดังน้ัน การแปลงเลขฐานสองเป็น เลขฐานแปด หรือการแปลงเลขฐานแปดเปน็ เลขฐานสอง ก็ทาได้โดยการแทนคา่ ต่าง ๆ ตามตาราง ตัวอย่าง จงแปลง (110111010)2 ใหเ้ ปน็ เลขฐานแปด วิธีทา เราตอ้ งแบง่ เลข Binary ออกเป็นชุด ๆ ละ 3 bits โดยนบั จากขวามาทางซา้ ย ถ้าชุดสุดท้ายมีไม่ถึง 3 bits ก็ให้เตมิ 0 ลงไป แต่ถา้ เปน็ ทศนยิ ม การแบง่ เป็นชุดให้นับจากซ้ายไปขวา เม่อื เป็นชดุ แล้วก็ให้แทนค่าเปน็ เลขฐานแปดตามตาราง จาก 110 = 6 111 = 7 010 = 2 นัน่ คอื (110111010)2 = (110 111 010)2 = (672)8

การเปล่ยี นเลขฐานสิบหกเป็นฐานสองและเลขฐานสองเปน็ ฐานสบิ หกวธิ ลี ดั เลขฐานแปด เลขฐานสอง 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 ตารางเปรียบเทยี บเลขฐานสิบหกกับเลขฐานสอง จากตารางจะเห็นว่า เลขฐานสิบหกหนึง่ หลกั สามารถจะแทนด้วยเลขฐานสองจานวน 4 บิต ตวั อย่าง จงเปลี่ยน (1011100)2 เปน็ เลขฐานสบิ หก วิธีทา 0101 1100 5 12 5C ดังนน้ั (1011100)2 = (5C)16 เอกสารอ้างองิ สมควร สากา คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์. สานกั พมิ พ์ บริษทั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ(พว.) จากดั