เอกสารประกอบการสอนแจกนักเรียน 2564.1

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school เอกสารประกอบการเรยี น แคลคูลัสเบื้องตน้ ลำดบั และอนุกรม ลำดับ(Sequence or Progression) นิยาม ลำดับคือฟังก์ชันทีม่ โี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก n ตัวแรกหรือโดเมนเปน็ เซตของ จำนวนเต็มบวก ลำดับทม่ี ีโดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก n ตวั แรกเรียกว่าลำดับจำกดั (Finite sequence) ลำดับท่มี ีโดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวกเรียกว่าลำดบั อนันต์(Infinite sequence) กำหนด f1 = {(x, y) I +  R y = 2x −1} x +1 f2 = {(x, y) I +  R y = 3 − 2x} f3 = {(x, y) I +  R y = x + 1} พิจารณาเซตของ f1, f2, f3 จะพบวา่ f1 = {(1, 1), (2,1), (3, 5), (4, 7 )....} 2 4 5 f2 = {(1,1), (2,−1), (3,−3), (4,−5),....} f3 = {(1,2), (2,3), (3,4), (4.5),....} จะพบว่า f1, f2, f3 ตา่ งเป็นลำดับทง้ั สนิ้ และนยิ มเขียนเฉพาะเรนจ์ นัน่ คอื ลำดบั ของ f1 คือ 1 ,1, 5 , 7 ,... 2 45 f2 คอื 1,-1,-3,-5,… f3 คอื 2,3,4,5,.. ให้ a เป็นลำดับ แทน พจนท์ ่ี 1 ของลำดับคือ a1 พจน์ที่ 2 ของลำดับคือ a2 พจน์ที่ 3 ของลำดบั คอื a3 . . . พจน์ท่ี n ของลำดับคือ an และเรยี กวา่ พจนท์ วั่ ไปของลำดับ(General Term) ข้อสงั เกตของลำดบั 1. ลำดบั เกดิ จากฟังกช์ นั ทม่ี โี ดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก 2. นยิ มเขียนเฉพาะเรนจข์ องฟงั ก์ชันจากการแทนโดเมนของฟังกช์ นั ด้วยเซตจำนวนเต็มบวกตามลำดับ 3. ลำดับจึงเป็นจำนวนจริงใดๆตามลักษณะของความสมั พันธข์ องฟงั กช์ นั นั้นๆ

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 2 ตวั อย่าง กำหนดพจนท์ ัว่ ไปของลำดบั ตอ่ ไปนี้ จงหา 4 พจนแ์ รกของลำดบั 1. an = (−1)n−1 2. an = 2n −1 3. an = (− 1)n −1 n −1 4. an = sin( n −  n +1 ) 3 วิธที ำ 1. an = (−1)n−1 a1 = 1 a2 = −1 a3 = 1 a4 = −1 ลำดบั 4 พจน์แรกคอื 1,-1,1,-1 2. an = 2n −1 a1 = 1 a2 = 3 a3 = 5 a4 = 7 ลำดับ 4 พจน์แรกคอื 1,3,5,7 3. an = (− 1)n −1 n −1 n +1 a1 = 0 a2 = −1 3 a3 = 1 2 a4 = −2 5 ลำดบั 4 พจน์แรกคือ 0, −1, 1 , − 2 32 5 4. an = sin( n − ) 3 a1 = 3 2 a2 = − 3 2 a3 = 3 2 a4 = − 2 3 ลำดบั 4 พจนแ์ รกคือ 3 ,− 3 , 3 ,− 3 2 22 2

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 3 ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจนท์ วั่ ไปของลำดบั ตอ่ ไปนี้ 1. 1,10,100,1000,… 2. 2,4,6,8,10,… 3. 2,4,8,16,… 4. 1,4,9,16,25,… 5. 2, 6,3 2,3 6,... 6. 9,99,999,9999,… วิธที ำ 1. 1,10,100,1000,… 2. 2,4,6,8,10,… a1 = 1 a1 = 2 = 2 1 a2 = 4 = 2 2 a2 = 10 = 101 a3 = 6 = 2  3 a3 = 100 = 102 a4 = 8 = 2 4 a4 = 1000 = 103 an = 2n an = 10n−1 4. 1,4,9,16,25,… 3. 2,4,8,16,… a1 = 2 a1 = 1 a2 = 4 = 22 a2 = 4 = 22 a3 = 8 = 23 a3 = 9 = 32 a4 = 16 = 24 a4 = 16 = 42 an = 2n an = n2 5. 2, 6,3 2,3 6,... 6. 9,99,999,9999,… a1 = 2 a1 = 9 = 10 −1 a2 = 6 = 23 a2 = 99 = 102 −1 a3 = 3 2 = 32  2 a3 = 999 = 103 −1 a4 = 9999 = 104 −1 a4 = 3 6 = 33 2  an = 3n−1  2  an = 10n −1 แบบฝกึ หดั 1. จงเขยี น 5 พจนแ์ รกของลำดบั เมื่อกำหนดพจน์ทั่วไป an ได้ดงั นี้ ตวั อยา่ ง an = 5n − 1 เขยี นในรูปการแจกแจงได้ดงั นี้ 4 , 9 ,14 ,19 , 24 1. an = 3 − 2n 2. an = 3n −1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 4. an = (− 2)n 3. an =  − 1 n ……………………………………………………………………  2 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 4 5. an = (− 1)n +1 6. an = (2n 1 + 1) − 1)(2n …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7. an =1 8. an = sin (2n − 1) n2 2 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 9. an = ln n  10. an =1 n +1 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ตัวอย่าง จงหาพจน์ท่ัวไปของลำดบั ต่อไปน้ี กำหนดลำดับ 5 , 8 ,11 ,14 a1 = 3(1) + 2 , a2 = 3(2) + 2 , a3 = 3(3) + 2 , a 4 = 3(4) + 2 ดังนัน้ an = 3n + 2 2. 1 , 3 , 7 ,15 1. 5 ,1 , − 3 , − 7 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3. 6 ,12 , 24 , 48 4. 3, 3 , 3 , 3 ,... 248 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5. 1 , − 1 , 1 , − 1 ,... 6. 3 ,12 , 27 , 48 3 6 9 12

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 5 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7. 3  4  5 , 4  5  6 , 5  6  7 , 6  7  8 8. 1 , − 3 4 , 3 9 , − 3 16 ,... x x3 x5 x7 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 9. กำหนด a =(− 1)n +1  1  จงหาผลบวกของสามพจน์แรก   n 2n  …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 10. กำหนดลำดับ f = an = 1 + 2n  และ g = bn = 1 − 2n  จงหาค่าต่อไปน้ี ก. พจน์ท่ี 3 ของลำดับ f + g ………………………………………………………….. ข. พจนท์ ี่ 4 ของลำดับ f − g ………………………………………………………….. ค. พจนท์ ี่ 5 ของลำดับ f  g ……………………………………………………………. ง. พจนท์ ี่หก ของลำดบั gof ……………………………………………………………. 11. กำหนดลำดับจำกดั 1 , 5 ,13 , 29 , 61 พจนท์ วั่ ไปคือข้อใด ก. an = 1 ;n =1 1 ข. an = 1 ;n =1 1  2n ;n 3n −1 ;n 1 + ค. an = 1 ; n = 1 ง. an = 1 ; n = 1   an−1 + 2n ;n 1 an−1 + 2n+1 ; n 1 6. กำหนดลำดับ an  โดยท่ี a1 = 3 และ an +1 = 2an เม่ือ n = 1 , 2 , 3 , 4 ,... จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับ 7. จงเขียน 4 พจนแ์ รกของลำดับจากรูปท่วั ไปต่อไปนี้ 1.1 an = 2 − (−1)n+1 n 1.2 an = (−1)n−1.(n +1)n−1 1.3 an = 1 เม่อื n เป็นเลขคู่ และ an = n เมื่อ n เป็นเลขค่ี n

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 6 1.4 an = n 2 + n −1 1.5 an =  sin( 2n − 1)  n −1  3 8. จงหา 5 พจน์แรกของลำดับตอ่ ไปน้ี 2.1 , ,a1 = 1 a 2 = 1 a n +1 = (a n ) 2 ; n  2 2.2 , ,a1 = 1 a 2 = 2 a n +1 = a n + a n −1 ; n  2 2.3 ,a1 = 5 a n +1 = 3a n 9. จงหาพจน์ถัดไปและพจนท์ วั่ ไปของลำดบั ตอ่ ไปนี้ 3.1 1,5,13,29,… 3.2 2,22,222,2222,… 3.3 1,5,10,15,20,25,… 3.4 5,15,45,135,… 3.5 1,5,13,25,41 ลำดบั เลขคณติ (Arithematic Progression:AP) นยิ าม ลำดบั เลขคณติ คือลำดบั ท่ผี ลต่างซงึ่ ได้จากพจนท์ ีท่ ่ี n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีคา่ คงตัว ซ่งึ คา่ คง ตัวน้ีเรยี กว่าผลต่างร่วม(Common Difference:d) จากนยิ ามจะไดว้ า่ an+1 − an = d เมื่อกำหนดให้ d คอื คา่ คงตวั ดงั น้นั an+1 = an + d ถา้ ให้ a1 เป็นพจน์แรกจะไดว้ า่ a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = a1 + 4d . . . an = a1 + (n −1)d ข้อสรปุ ถา้ a1,a2,a3,...,an เป็นลำดับเลขคณติ แล้ว 1. an+1 = an + d 2. an = a1 + (n −1)d 3. d = an − a1 4. n = an − a1 +1 n −1 d จงพจิ ารณาลำดบั ใดต่อไปน้เี ป็นลำดับเลขคณิต ถ้าเปน็ จงหาผลตา่ งรว่ ม 1,2,3,4,5,… เป็นลำดับเลขคณิต a2 − a1 = a3 − a2 = 1 มผี ลตา่ งรว่ มเท่ากบั 1 2,4,8,16,32,… ไม่เปน็ ลำดบั เลขคณติ a2 − a1  a3 − a2 5,5,5,5,…เป็นลำดับเลขคณติ a2 − a1 = a3 − a2 = 0 มผี ลตา่ งร่วมเท่ากับ 0 1, 3 ,2, 5 ,3,... เปน็ ลำดบั เลขคณิต  a2 − a1 = a3 − a2 = 1 มีผลต่างรว่ มเท่ากบั 1 22 2 2 15,10,5,0,… เปน็ ลำดับเลขคณติ a2 − a1 = a3 − a2 = −5 มผี ลตา่ งรว่ มเทา่ กบั -5

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 7 ตัวอย่าง จงเขยี น 4 พจน์ถัดไปของลำดบั เลขคณิตตอ่ ไปน้ี 1. พจน์แรกเป็น 5 ผลต่างรว่ มเป็น –3 2. 1,4,7,10,… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ตวั อยา่ ง 1. กำหนดให้ลำดับเลขคณิตชดุ หนึ่งมพี จนก์ ลางคอื a ผลต่างรว่ มคอื d จงหาลำดับเลขคณิตชดุ นี้ …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 2. กำหนดลำดับเลขคณติ …,a-k,a+k,…จงหาผลตา่ งรว่ มและแสดงพจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตชุดน้ี …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ตวั อย่าง ลำดบั เลขคณิตมีผลบวก 3 พจน์แรกเปน็ 15 ผลคณู พจนท์ ี่ 1 และพจน์ท่ี 3 เปน็ 21 จงหาพจน์ท่ี 10 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ตัวอย่าง ลำดบั เลขคณติ มพี จนท์ ี่ 4 และพจนท์ ่ี 16 มคี ่าเท่ากับ 17 และ 53 ตามลำดับจงหาพจนท์ ่ี 20 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 8 ตวั อย่าง จงหาจำนวนเตม็ บวกจาก 100-599 ซึ่ง 2. 6 หารลงตวั แต่ 8 หารไมล่ งตัว 1. 6 หารลงตัว …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… แบบฝึกที่ 1 ลำดับเลขคณิต ลำดับต่อไปนเี้ ปน็ ลำดับเลขคณิตหรือไม่ ถ้าเปน็ ลำดบั เลขคณติ แล้วจงหาพจนท์ ่ี n 1. 1, 8, 15, 22, 29, 2. – 1, 6, 13, … …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3. 2a + b, a + 3b, 5b, - a + 7b, -2a + 9b 4. – 10, - 7, - 4, - 1, 2, 5, … …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5. ลำดับเลขคณิตมพี จน์ท่ี 4 เป็น 28 พจนท์ ่ี 8 เป็น 48 ดังน้ันพจน์ที่ 20 เท่ากบั เท่าใด …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 9 6.ถ้าสามพจน์แรกของลำดับเลขคณติ คือ 20, 16 และ 12ตามลำดับแลว้ – 96 เปน็ พจนท์ ่เี ท่าไรของลำดบั น้ี …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7. ค่า x ที่ทำให้ลำดับ x, 5x, 6x + 9เป็นสามพจนเ์ รียงกันในลำดับเลขคณิตเท่ากบั เทา่ ใด …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 8. พจน์แรกท่ีเป็นจำนวนเตม็ ลบของลำดับเลขคณิต 200, 182, 164, 146, … มคี ่าตา่ งจากพจนท์ ่ี 10 เทา่ ใด …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 9.กำหนดลำดับเลขคณิต a,b,c ถ้า a + b + c =12 และ a3 + b3 + c3 = 408 โดยท่ี a  b จงหาพจนท์ ่ี 20 เม่อื พจน์แรกคอื a …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 10.กำหนดลำดับเลขคณติ 2,a,b,c,26 จงหา a,b,c …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 10 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 11. กำหนดให้ 4 พจนแ์ รกของลำดับเลขคณิตคอื 2a +1 , 2b −1 , 3b − a และ a + 3b เมอ่ื a,b  จงหาพจนท์ ี่ 1000 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 12. พิจารณาการจัดเรียงลำดบั ของจำนวน 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , ... ในตารางตอ่ ไปน้ี หลักที่ 1 หลักท่ี 2 หลกั ที่ 3 หลักที่ 4 หลกั ท่ี 5 จำนวน 2561 อยใู่ นหลกั ทเี่ ทา่ ใด 258 23 20 17 14 11 26 29 32 47 44 41 38 35 : : : :: …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 11 แบบฝกึ หดั 1. ให้ an เป็นพจน์ที่ n เปน็ ลำดับเลขคณิตมี a2 − a6 + a4 = −7 และ a8 − a7 = 2a4 จงหา a5 + a10 2. กำหนดลำดบั เลขคณิตซงึ่ มี 3 พจนแ์ รกคอื 2a+3,a2-1,2a-5 จงหาค่า a 3. จะมจี ำนวนเตม็ บวกกจ่ี ำนวนท่ีอยูใ่ นช่วง (1510,2530) ซง่ึ 3.1 8 หารลงตัว 3.2 8 และ 12 หารลงตวั 3.3 8 หารลงตัวแต่ 12 หารไม่ลงตวั 4. ไม้กระดานกองหน่ึงวางเรียงซ้อนกนั เปน็ ชน้ั ๆโดยทชี่ ้นั ล่างสุดมไี ม้ 175 แผน่ ชั้นบนสุดมี 70 แผ่นแตล่ ะชน้ั จะมไี ม้วางเรียงลดหลน่ั กนั ไปช้นั ละ 3 แผน่ ตลอด จงหาว่าจะมไี มก้ องท้งั ส้นิ ก่ีชัน้ 5. จำนวนเต็มบวก 3 จำนวนเรียงกันเปน็ ลำดับเลขคณติ มีผลบวกของทัง้ สามจำนวนเป็น 72 และผลบวก กำลังสองของจำนวนท้ัง 3 เปน็ 1778 จงหาเลขทั้งสามจำนวนน้ี 6. กำหนดลำดบั เลขคณิต 11 , 7 , 3 , − 1 ,... จงหา a10 − a12 7. กำหนดลำดบั เลขคณิต มีพจน์ท่ี 1 เป็น 3 และผลต่างร่วมเป็น − 3 ถา้ an = −15 จงหาค่า n 8. กำหนดลำดบั เลขคณติ มีพจนท์ ี่ 1 เปน็ 21 และพจน์ที่ 6 เป็น 6 จงหาผลต่างร่วม 9. กำหนดลำดบั เลขคณิตมพี จนท์ ่ี 10 เปน็ 28 ผลต่างร่วมเป็น 7 จงหาพจน์ท่ี 1 3 10. กำหนดลำดบั เลขคณติ มพี จนท์ ่ี 4 เปน็ 21 และพจนท์ ี่ 51 เป็น – 355 จงหาลำดับนี้ 11. ลำดบั เลขคณิตมพี จน์ที่ 3 เปน็ – 4 และพจนท์ ี่ 7 เปน็ 8 จงหาพจนร์ ะหว่างพจน์ท่ี 3 และพจน์ที่ 7 ทกุ พจน์ 12. จงหา p ที่ทำให้ลำดับ p + 11 , 3p , 4 เปน็ ลำดับเลขคณิต 13. กำหนด 30, x , y , z , p , q ,42 เปน็ ลำดบั เลขคณติ จงหา x , y , z , p , q 14. ให้ a , x , b เปน็ ลำดบั เลขคณิต จงหาค่าของ x ในรูปของ a , b 15. ในระหว่าง 10 และ 500 มีจำนวนเต็มซึง่ หารดว้ ย 9 ลงตัวกี่จำนวน 16. ทอ่ นไมก้ องหน่ึง ชนั้ ล่างแตล่ ะชัน้ มีทอ่ นไม้เรยี งกนั อยู่มากกว่าซน้ั บนถดั ข้ันไป 3 ทอ่ น ถ้าช้นั บนสดุ มีท่อน ไม้ 70 ท่อน และชน้ั ล่างสุดมีทอ่ นไม้ 376 ทอ่ น จงหาว่าจะตอ้ งเรียงทอ่ นไม้ทั้งหมดกชี่ ัน้ ข้อสอบ 1. กำหนดให้ {an} เปน็ ลำดบั เลขคณิต โดยมีสมบัติ ดังน้ี (ก) a15 − a13 = 3 (ข) ผลบวก m พจน์แรกของลำดบั เลขคณติ นี้ เท่ากบั 325 (ค) ผลบวก 4m พจน์แรกของลำดับเลขคณติ น้ี เทา่ กับ 4900 แลว้ พจน์ท่ี a2m เทา่ กบั เท่าใด 2. กำหนดใหเ้ อกภพสัมพทั ธ์คือ { x | x เป็นจำนวนเต็มท่ีไมใ่ ช่ 0 และ −100  x 100 } ให้ A = { x | ห.ร.ม. ของ x กับ 21 เป็น 3} จำนวนสมาชิกของ A เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 29 2. 34 3. 68 4. 58 4. จำนวนเตม็ ตั้งแต่ 1 ถงึ 500 และ หารด้วย 3 หรอื 5 ลงตวั มจี ำนวนเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 167 2.200 3.233 4.266 5.พจนแ์ รกทเี่ ปน็ จำนวนเต็มลบของลำดับเลขคณิต200, 182, 164, 146,…มีค่าตา่ งจากพจน์ที่10เท่ากบั ข้อใด

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 12 1. 54 2). 38 3).22 4). 20 6. จำนวนสมาชิกในเซต { 100, 101, 102, …, 600 } ซ่ึงหารดว้ ย 8 หรอื 12 ลงตัวเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 84 2. 92 3. 100 4. 125 7. สำหรับจำนวนเต็ม a, b ใด ๆ ให(้ a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให้ A = { 1, 2, 3, … , 400 } จำนวนสมาชกิ ของเซตx  A /(x,40) = 5มีค่าเท่ากับข้อใด 1. 30 2. 40 3.60 4. 80 ลำดับเรขาคณิต (Geometric Progression:GP) นิยาม ลำดับเรขาคณติ คือลำดบั ท่อี ัตราสว่ นของพจนท์ ่ี n+1 ตอ่ พจน์ที่ n มีค่าคงตัวซึ่งค่าคงตัวนเี้ รียกว่า อัตราสว่ นรว่ ม(Common Ratio :r) จากนิยาม เมื่อกำหนดอัตราส่วนร่วมคือ r ดงั น้นั an+1 = r an หรอื an+1 = anr พจิ ารณาเมื่อ n = 1; a2 = a1r n = 2;a3 = a2r = a1r 2  a3 = a1r 2 n = 3;a4 = a3r = a1r3  a4 = a1r3 n = 4;a4 = a3r = a1r3  a4 = a1r3 . . . an = a1r n−1 ดงั นนั้ สามารถสรา้ งลำดับเรขาคณิตไดเ้ มอ่ื ทราบ a1,r เชน่ กำหนด a1 = 3;r = 2 ลำดับน้คี อื 3,6,12,24,48,… a1 = 9; r = 2 ลำดับนี้คอื 9,6,4, 8 ,... 3 3 สรุป ถ้า ถา้ a1,a2,a3,...,an เป็นลำดับเรขาคณติ แล้ว 1. an+1 = r an 2. an = a1r n−1 3. r = n−1 an เมือ่ n-1 เปน็ เลขค่ี และ r = (n−1 an ) เม่อื n-1 เป็นเลขคู่ a1 a1 พิจารณาลำดับใดต่อไปน้เี ป็นลำดบั เรขาคณติ ถ้าเปน็ จงหาอัตราสว่ นรว่ ม 3,9,27,81,… เป็นลำดบั เรขาคณิต มีอตั ราส่วนร่วมเทา่ กับ 3 2,-2,2,-2,2,… เปน็ ลำดับเรขาคณติ มีอัตราส่วนร่วมเท่ากบั –1 1,11,111,1111,…ไมเ่ ปน็ ลำดบั เรขาคณติ 2, 4, 6, 8,...ไมเ่ ป็นลำดับเรขาคณิต

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 13 ตัวอยา่ ง 1. ลำดบั ต่อไปนเ้ี ปน็ ลำดับเรขาคณติ หรือไม่ ถา้ เป็นลำดบั เรขาคณิต แล้วจงหาพจน์ท่ี n 1. 1, 3, 9, 27, 81, … 2. 16, 8, 4, 2, 1, … …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3. – 1, 4, - 16, 64, - 256, …………………………………………………………………… 4. 23 , 24 , 25 , 26 ,... x4 x6 x8 x2 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5. กำหนดลำดับเรขาคณิต 16,8,4,.. จงหาพจน์ท่ี 8 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 6. จงหาผลบวกของลำดับเรขาคณติ 4 พจนซ์ ่ึงอยู่ระหวา่ ง 160 กบั 5 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7. จำนวนจรงิ บวก 3 จำนวนเรยี งกนั เป็นลำดบั เรขาคณิต มีผลคูณทัง้ สามพจนเ์ ป็น 8 ผลบวกเปน็ 26 จงหาจำนวนจริงท้งั สามจำนวนน้ี 3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 8. จงหาอัตราส่วนรว่ มของลำดบั เรขาคณติ ที่มี a3 =12 และ a6 = 96 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 14 แบบฝึกที่ 2 ลำดบั เรขาคณิต 1. 162 เป็นพจน์ท่ีเท่าใดของลำดับเรขาคณติ 2, - 6, 18, … …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 2.จงหาจำนวนท่ีอย่รู ะหว่าง 8 และ 12 ที่ทำให้จำนวนท้ังสามเป็นพจน์ที่เรียงกนั ในลำดบั เรขาคณติ …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3.ถา้ 5และ 3645 เป็นลำดับเรขาคณติ ที่มีพจนอ์ ีกหา้ พจน์เรยี งอยรู่ ะหวา่ งพจน์ทงั้ สองนี้ จงหาพจนห์ า้ พจน์น้ี …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 4. จงหาลำดับเรขาคณิตทีม่ ีผลบวกและผลคณู ของสามพจน์แรกเป็น –3 และ 8 ตามลำดบั …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5. เมือ่ นำจำนวนจำนวนหนึง่ ไปบวกกบั 3, 20 และ 105 ตามลำดับ ผลบวกทไี่ ดข้ องแต่ละจำนวนจะเปน็ พจน์สามพจน์ทีเ่ รียงกันในลำดับเรขาคณิต จงหาจำนวนที่นำไปบวก …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 15 6. ลำดับเรขาคณิตชดุ หนงึ่ มผี ลบวก 3 พจนท์ ้ายเปน็ 12 เท่าของผลบวก 3 พจน์แรก ถา้ พจนท์ ี่ 2 มีคา่ เทา่ กบั 8 จงหาพจนร์ องสดุ ท้าย …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7. ในปี พ.ศ. 2540 ประชากรในอำเภอหนึง่ มี 60,000 คน ถ้าประชากรในอำเภอนเ้ี พ่มิ ข้ึนปลี ะ2% จงหา สตู รทว่ั ไปของจำนวนประชากรในแต่ละปแี ละจำนวนประชากรในปี 2555 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 8. กำหนดให้เรมิ่ ฝากเงินด้วยเงนิ ตน้ 10,000 บาท และอตั ราดอกเบี้ยทบต้น 5% ตอ่ ปี จงหาสตู รการคดิ จำนวนเงนิ ในบญั ชีหลังจากคดิ ดอกเบ้ียแล้วเมอื่ สิ้นปีที่ n …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 16 9. ถา้ ผลคูณของลำดับเรขาคณิต 3 จำนวน ทีเ่ รยี งติดกันเท่ากบั 343 และผลบวกของท้ังสามจำนวนนี้ เท่ากบั 57 แล้วค่าท่มี ากทีส่ ดุ ในบรรดาสามจำนวนนีม้ ีคา่ เท่าใด …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 10. กำหนดให้ f (x) = x3 − 26x2 + bx − 216 เม่ือ b  ถ้า a1,a2,a3 เป็นจำนวนจริงสาม จำนวนทีเ่ รยี งกันแบบลำดบั เรขาคณิตและเปน็ คำตอบของสมการ f (x) = 0 แลว้ b มคี า่ เทา่ ใด …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 17 แบบฝกึ หดั 1. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 4 พจน์ระหวา่ ง 1 และ 128 8 2. กำหนดลำดับ 1 , 1 , 1 ,...,229 มีท้งั ส้ินกพ่ี จน์ 16 8 4 3. ลำดับเรขาคณิตชุดหนงึ่ มผี ลบวก 3 พจน์ทา้ ยเปน็ 12 เท่าของผลบวก 3 พจน์แรก ถ้าพจน์ที่ 2 มคี า่ เทา่ กับ 8 จงหาพจน์รองสดุ ท้าย 4. ผลบวกของลำดบั เรขาคณิต 3 พจนท์ ี่อยู่ตดิ กันมีค่าเท่ากบั 38 และผลคูณของทัง้ สามพจน์เทา่ กับ 1728 จงหาลำดับเรขาคณติ น้ี 5. ลำดับเลขคณติ ชุดหน่ึงเมอ่ื นำพจนท์ ่ี 2 พจนท์ ่ี 4 และพจนท์ ่ี 8 มาเรียงกันจะเปน็ ลำดบั เรขาคณติ จงหา ลำดับเลขคณิตดังกลา่ ว 6. จงเขียนพจน์ท่ี 5 ของลำดับเรขาคณติ ที่มพี จนแ์ รก a1 = 8 และอตั ราส่วนรว่ มคือ r = 3 2 7. ถ้า log 3 เปน็ พจนแ์ รกของลำดับเรขาคณิต ซ่ึงมี log 9 เปน็ พจน์ที่สอง จงหาพจนท์ ี่ 3 และพจน์ที่ 4 8. กำหนดลำดบั เรขาคณิตพจน์ที่ 1 เป็น 2 และอตั ราส่วนรว่ มเป็น 1 ถ้า an = 1 จงหาค่า n 48 32 9. กำหนดลำดบั เรขาคณิตมอี ตั ราสว่ นร่วมเท่ากับ − 1 และพจน์ท่ี 10 เทา่ กบั − 2 จงหาพจนท์ ี่ 1 3 39 10. กำหนดลำดบั เรขาคณิต มพี จน์ที่ 3 เท่ากับ 4 และพจน์ท่ี 6 เท่ากับ 32 จงหาพจน์ที่ 8 9 243 11. จงหาค่า k จากลำดบั เรขาคณิต k − 2 , k − 6 , 2k + 3 12. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 4 พจน์ ระหว่าง 3 และ – 96 13. จงหาลำดบั เรขาคณิต เมือ่ กำหนด a5 − a1 = 160 และ a 4 − a 2 = 48 14. ให้ a , x , b เปน็ ลำดบั เรขาคณิต จงหาคา่ x ในรปู ของ a , b 15. ลูกบอลกลงิ้ ตกลงมาจากโต๊ะซ่งึ สงู 64 ฟุต และทกุ ครัง้ ทีล่ กู บอลตกกระทบพ้ืนจะกระดอน ขึ้นไปสูง 3 ใน 4 ของระยะท่ีตกลงมา ในขณะที่ลูกบอลตกกระทบพ้นื เป็นครง้ั ที่ 5 ลกู บอลกระดอนข้นึ สูง เท่าใดและมีระยะทางท้งั หมดเท่าใด 16. ต้นปี พ.ศ. 2525 ประชากรของจังหวดั หนึง่ มี 2,000,000 คน ถ้าประชากรของจังหวดั นีม้ อี ัตราการ ลดลง 10% ของจำนวนที่เหลืออยู่ในแตล่ ะปี จงหาจำนวนประชากรของจังหวัดนีเ้ มอื่ สนิ้ ปี พ.ศ. 2530 17. จงหาจำนวนสองจำนวนซึง่ ตวั กลางเลขคณิตเท่ากับ 34 และตวั กลางเรขาคณิตเท่ากบั 16 18. ถา้ ผลบวกของลำดบั เรขาคณิตสามจำนวนเท่ากบั 38 ผลคูณมคี ่าเท่ากับ 1728 แล้ว จงหาลำดับเรขาคณติ ดงั กล่าว 19. กำหนดลำดบั เลขคณิต an  โดยท่ี a12 = −21 และ a25 = 18 และกำหนดลำดับเรขาคณิต bn  โดยที่ b1 = 5 และ b3 = 20 จงหาคา่ ของ a20 + b9 ข้อสอบ 1 x, y, z เป็นลำดบั เรขาคณิต มอี ตั ราส่วนร่วม เทา่ กับ r และ x  y ถ้า x,2y,3z ป็นลำดับเลข คณิต แล้ว คา่ r มีคา่ เทา่ ใด

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 18 2. ให้ an เปน็ พจน์ที่ n ของบลำดับเรขาคณติ โดยมี r เป็นอตั ราส่วนร่วม ถา้ a1 + a 2 + … + a n = 2n แล้ว ค่า r มคี ่าเทา่ ใด a1 + a2 a2 + a 3 a n + a n+1 3. ให้ x, y, z, w เปน็ พจน์ 4 พจน์เรียงกันในลำดับเรขาคณติ โดยที่ x เปน็ พจนแ์ รก ถ้า y + z = 6 และ z + w = −12 จงหาค่าสมั บูรณข์ องพจนท์ ี่ 5 ของลำดบั น้ี 5. ให้ 5, x , 20,… เป็นลำดับเลขคณติ ทีม่ ีผลบวกของ 12 พจนแ์ รกเป็น a และ 5, y , 20, … เปน็ ลำดบั เรขาคณิตท่ีมีพจน์ที่ 6 เปน็ b โดยท่ี y  0 แลว้ a + b มคี ่าเทา่ ใด 6. กำหนดให้ a,b,c เปน็ 3 พจนเ์ รยี งตดิ กนั ในลำดับเรขาคณิต และมผี ลคณู เปน็ 27 ถ้า a , b + 3 , c + 2 เปน็ 3 พจนเ์ รียงตดิ ต่อกนั ในลำดับเลขคณิตแล้ว a + b + c มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด 7. ให้ {bn} เปน็ ลำดับของจำนวนจริง โดยที่ b1 = −3 และ bn+1 = 1 + bn สำหรบั n = 1, 2,3,... 1 − bn จงหาคา่ b1000 8. กำหนดให้ a1,a2,a3,... เป็นลำดบั จำนวนจริงโดยมสี มบัติดังนี้ ak + ak+1 + ak+2 = 2576 − k เมื่อ k = 1,2,3,... ถ้า a1 =12,a2 = 2556 และ a3 = 7 จงหาค่า a2558 9. กำหนดให้ an เป็นลำดับซึง่ สอดคลอ้ งกบั เงือ่ นไข 1 + 1 =1 สำหรบั ทกุ จำนวนนับ n an an−1 ถ้า a1 + a2 + a3 + ... + a100 = 250 แลว้ a2552 − 2.5 มคี ่าเทา่ ใด ลำดบั ฮารโ์ มนคิ (Harmonic Progression) นยิ าม ลำดับฮารโ์ มนิคเป็นลำดับซึง่ เกดิ จากสว่ นกลบั ของลำดับเลขคณิต กลา่ วคอื ถ้านำลำดบั เลขคณติ มากลับเศษเป็นส่วนแลว้ ลำดับทีไ่ ด้จเรยี กวา่ ลำดับฮาร์โมนิค เช่น ลำดบั เลขคณติ 2,7,12,17,… แล้ว 1 , 1 , 1 , 1 ,... เรยี กวา่ ลำดับฮารโ์ มนคิ 2 7 12 17 ดังนัน้ วธิ กี ารหาพจนต์ ่างๆสามารถหาได้โดยกลบั ลำดับฮาร์โมนคิ ให้เปน็ ลำดับเลขคณิตแล้วจึงใช้นิยามหรกื ฎ ตา่ งๆของลำดบั เลขคณิตจากนัน้ จงึ กลบั ใหเ้ ปน็ ลำดบั ฮาร์โมนคิ

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 19 ลมิ ิตของลำดบั (Limit of a sequence) เมื่อกำหนดให้ an เป็นพจน์ทัว่ ไปของลำดับอนันตใ์ ดๆ เมื่อพิจารณาให้ n มคี ่ามากข้นึ อย่างไมม่ ีท่ี สน้ิ สดุ แล้วทำให้ an มีคา่ เขา้ ใกล้(หรอื เท่ากับ) คา่ คงท่ี L  R เพยี งคา่ เดียว จะเรียก L วา่ ลมิ ิตของลำดับ แทนด้วย lim an = L n→ ถ้าลำดับอนันตใ์ ดมคี ่าลิมิต เรยี กลำดบั อนนั ตน์ ัน้ วา่ ลำดบั คอนเวอรเ์ จนต(์ Convergent Sequence) ถา้ ลำดับอนนั ตใ์ ดไม่มคี ่าลิมิต เรียกลำดบั อนนั ต์นน้ั วา่ ลำดบั ไดเวอร์เจนต(์ Divergent Sequence) การหาลมิ ติ ของลำดบั อนนั ต์ 1. โดยวิธีการใช้กราฟ วธิ ีการ เขยี นกราฟของลำดบั แล้วสงั เกตแนวโนม้ ของจดุ ว่าอย่ใู นแนวขนานกับคา่ คงตวั (บนแกน y : an )ในระดับใดเม่ือ n มคี ่ามากขน้ึ เร่ือยๆ เช่น an = 2n +1 n 7 6 5 4 3 an=2 2 1 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 -1 -2 -3 -4 -5 จากกราฟ จะพบวา่ เม่ือกำหนดให้ n มีค่ามากข้ึนตามลำดับแนวโนม้ ของกราฟจะล่เู ข้าหาค่า 2 พิจารณากราฟของ an = 2n − 3 16 14 12 10 8 6 4 2 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 -2 -4 -6 -8 -10 -12

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 20 จากกราฟ จะพบว่า เม่ือกำหนดให้ n มคี ่ามากข้ึนตามลำดบั แนวโน้มของกราฟจะลูเ่ ขา้ หาค่า 2 คา่ ทก่ี ราฟลู่เขา้ หา(เพียงค่าเดยี ว)น้ีเรยี กวา่ ลมิ ิตของลำดับอนนั ต์420 0 5 y1n0 15 20 ya(n) an = 2n +1 n และเรยี กลำดับนีว้ า่ ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ นั่นคอื lim an = 2 n→ จากกราฟท่สี อง จะพบวา่ เม่อื n มคี ่าเพมิ่ ขึน้ แนวโนม้ ของกราฟจะมากขึน้ ตามอย่างไมม่ ีที่สน้ิ สุดลกั ษณะ กราฟเชน่ นี้เรยี กว่าการลอู่ อก (Diverge) และเรียกลกั ษณะของลำดับเช่นนี้วา่ ลำดบั ไดเวอร์เจนต์ (Divergent Sequence) ตัวอยา่ ง พิจารณาลำดบั an = 1 2n n 12 3 4 5 6 7 8 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 an 0.5 0.25 0.125 0.0625 จากตาราง จะเห็นวา่ “ถ้า n → แลว้ an = 1 →0” 2n ซ่งึ ข้อความนี้ เขียนแทนไดด้ ว้ ย lim an = lim 1 = 0 และอ่านวา่ n→ 2n n→ “ลมิ ติ ของ 1 เมือ่ n → เทา่ กบั 0” 2n 4 3 2 1 -6 -4 -2 24 6 -1 -2 -3 ตัวอยา่ ง พิจารณาลำดบั an = 5 n 12345678 an 5 5 5 5 5 5 5 5 จากตาราง จะเหน็ วา่ “ถ้า n → แล้ว an = 5 → 5 ” ซ่ึงข้อความน้ี เขียนแทนไดด้ ้วย lim an = lim 5 = 5 และอ่านวา่ n→ n→ “ลมิ ิตของ 5เมอ่ื n →เท่ากับ 5”

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 21 ตัวอยา่ ง พิจารณาลำดบั an =1+ ( −1)n n n 1 3 5 7 9 11 13 15 an 0 0.666 0.8 0.857 0.888 0.909 0.923 0.933 n 2 4 6 8 10 12 14 16 an 0.5 0.75 0.833 0.875 0.9 0.916 0.928 0.937 จากตาราง จะเหน็ ว่า “ถา้ n → แล้ว an ( −1)n →1” =1+ n ซึง่ ข้อความนี้ เขียนแทนได้ด้วย lim an = lim 1+ ( −1)n = 1และอ่านวา่ n→ n→ n “ลิมิตของ 1+ (−1)n เมอื่ n → เท่ากับ 1” n สรุปการหาลิมติ ของลำดับอนันตโ์ ดยใช้กราฟ 1. plot จุดในกราฟจากลำดบั 2. พิจารณาแนวโน้มของกราฟ(ปลายของเส้นกราฟ) ว่าขนานไปทค่ี า่ ใดหรอื ไม่(เพียงคา่ เดียว)ลกั ษณะเช่นน้ี จะเป็นคอนเวอร์เจต์ ถ้ากราฟลู่ออกหรอื ลูเ่ ข้าหาค่าจำนวนจรงิ มากกว่า 1 ค่า จะเป็นลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์ 2. โดยใช้ทฤษฎีของลิมติ กำหนด an;bn เปน็ ลำดับอนนั ต์โดยที่ lim an = L; lim bn = M n→ n→ 1. lim c = c เม่อื c คือคา่ คงตวั n→ 2.. lim can = c lim an = c.L n→ n→ 3. lim (an + bn ) = lim an + lim bn = L + M n→ n→ n→ 4. lim (an − bn ) = lim an − lim bn = L − M n→ n→ n→ 5. lim (an  bn ) = lim an  lim bn = L  M n→ n→ n→ 6. lim ( an ) = lim an = L :M 0 n→ n→ bn lim bn M n→ 7. lim 1 = 0; k 0 n→ n k 8. lim k n = 0; k  1 n →

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 22 นยิ าม กำหนด ลำดบั an ถ้า lim an = A เมอ่ื A เป็นจำนวนจรงิ แล้ว ลำดับ an เปน็ ลำดบั ลกู เข้า n→ ถ้า ถ้า lim an =  หรือ lim an หาค่าไม่ได้ แล้ว ลำดบั an เป็นลำดับลูกออก n→ n→ การหาลมิ ิตของลำดับ เมอ่ื แทนค่าแล้วผลลัพธข์ องลำดับ (an ) อยใู่ นรปู ;    ต้องจัดรูปลำดบั ใหมโ่ ดยใชค้ วามรทู้ างพีชคณิต ตัวอย่าง จงพจิ ารณาลำดับตอ่ ไปนีว้ ่าเปน็ ลำดับลูเ่ ข้าหรอื ลูอ่ อกถา้ เปน็ ลำดับลเู่ ข้าจงหาลิมิตของลำดับ ตอ่ ไปนี้ 1 an = 7n 2 an = (0.1)n …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3 an = (−0.1)n 4 an = (−1)n …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5 an = (−5)n 6. an = n …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7. an = 2 + 2n2 − 3n 8. an = 3n3 + 2n2 − 3n + 5 n2 − 2n +1− 2n3 2n3 − 3n2 + 4n −1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 23 แบบฝึกท่ี 3 เรือ่ งลิมิตของลำดับ จงพจิ ารณาลำดบั ต่อไปน้ีวา่ เป็นลำดบั ลเู่ ข้าหรือล่อู อกถ้าเป็นลำดับลเู่ ขา้ จงหาลิมติ ของลำดับตอ่ ไปนี้ (1) lim 3n3 − 2n 2 +6 (2) lim 3n5 − 2n2 + 6 7− n3 + 5n5 7− n3 + 5n5 n→ n→ …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… (3) lim 3n5 − 2n 2 +6 (4) lim  n2 +6 − n3 3  7− n3 + 3n4  n +1 n2 −  n→ n→   …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… (5) lim  1 − n 1 1  (6) lim 4n −1  n +  n→ n→ n +1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… (7) lim 5 n2 − 4n (8) lim n −1 n→ 343n2 − 5n n→ n +1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 24 (9) lim n2 −1 (10) lim 4n2 −1 n→ 4n n→ 2n + 3 n3 + 2 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ( )11) lim x +1 − x −1 12. an = 2n +1 x→ n …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 13. an = (3n −1)(2n − 5)(4n − 3) 14. an = 3n2 − 5n +1 3n3 + 2n −1 2n2 − 2n + 3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 15. an = 3n − 5 16. an = n2 −11 n2 −1 3n − 5 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 25 17. an = n +1 − n +1 18. an = n2 − n2 n +1 n −1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 19. an = 3 + 2n − 5n2 20. an = 2n +1 2 − n + 3n2 n2 +1 − 4n2 −1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 21. an = 2−4 n −3 n −1 22. an = 2n+1 − 2n+2 2n + 2 3n + 1 2n+3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 23. an = 3n+2 − 5n+1 24. an =  1 − 2 n2 −3  2n−3 + 5n−1  n 4n2   …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 26 สรุปการหาลิมติ ของลำดับ 1. ลำดับคา่ คงทีม่ ีค่าเท่ากับคา่ คงที่นัน้ 2. ลิมติ ของลำดบั ทอี่ ยู่ในรปู  ;   ต้องจัดรูปลำดบั ใหม่โดยใช้ความร้ทู างพชี คณิต  3. ถา้ an อยใู่ นรูปเศษสว่ น lim an สัมประสทิ ธก์ิ ำลงั สูงสุดของเศษหารด้วย n→ สัมประสทิ ธก์ิ ำลงั สูงสุดของส่วน 4. ถ้า an อยใู่ นรปู เครอ่ื งหมายรากใหใ้ ช้คอนจเู กตของคา่ รากคณู ทัง้ เศษและส่วน ********************************************************** ขอ้ สอบ 1.กำหนดให้ {an} เป็นลำดับของจำนวนจรงิ โดยท่ี a1 = 2 และ ( )( )an = n +1 a1 + a2 + ... + an−1 สำหรบั n = 2,3,4,... n −1 แล้วค่าของ lim a1 + a2 n ... + an เท่ากับเท่าใด + n→ 2. กำหนดให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ สำหรบั n = 1,2, 3, … แลว้ ค่าของ เทา่ ใด 3.กำหนดให้ เปน็ จำนวนจริง และให้ เป็นลำดบั ของจำนวนจรงิ โดยที่ สำหรับ n เป็นจำนวนเทา่ กับ = 1,2, 3, … ถ้าผลบวก 9 พจน์แรกมคี า่ มากกว่าผลบวก 7 พจนแ์ รกของลำดบั แล้ว lim an มคี า่ เท่าใด n→ 4. กำหนดให้ สำหรบั n = 1,2, 3, … ค่า ของ เท่ากับเทา่ ใด 5. ให้ k เป็นค่าคงท่ีและถ้า แล้ว k มีค่าเทา่ ใด 6. ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจรงิ ที่ สำหรับทกุ จำนวนเต็มบวกn แลว้ lim an มเี ทา่ กบั เท่าใด n→ 7. กำหนดให้ สำหรับn =1,2,3,... ค่าของ lim sn เท่ากบั เทา่ ใด n→

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 27 8. ถ้า เป็นลำดับเลขคณิตซง่ึ lim  an2+1 − an2  แล้ว มคี า่ เทา่ ใด  =8   n→  n  9.  6n + 24n + 54n + ... + 6n3  มีค่าเท่าใด lim  2 +16 + 54 + ... + 2n3  n→   10.กำหนดให้ เปน็ ลำดบั ลู่เขา้ และ เปน็ ลำดับเลขคณติ ที่มีผลตา่ งร่วม   anbn − bn+1  2  bn   2an +1 ( )ไม่เทา่ กบั ถ้า 1 0 lim  an + bn + = 0 แล้ว lim n→ n→ มีคา่ เทา่ ใด 11. กำหนดให้ an = 1 1+ (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + ... + ( n + n + ... + n) nk โดยที่ k เปน็ ค่าคงตวั ทท่ี ำให้ lim an = L , L0 แล้ว 6( L + k ) มคี ่าเทา่ ใด n→ 12. พจิ ารณา ลำดบั an และ bn ซง่ึ และan = 22nn2+1,,nn110000 2 , n100 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูก  bn =  n2   2n+1 , n100 1. an และ bn เปน็ ลำดับลเู่ ข้า 2. an และ bn เป็นลำดับลู่ออก 3. an เป็นลำดับลเู่ ข้าและ bn เปน็ ลำดับลูอ่ อก 4. an เป็นลำดับลอู่ อกและ bn เปน็ ดับลู่เข้า 13. จงหาคา่ ของ lim 5n +1 + 3n −1 → 2n +1 + 5n −1 n 14. ใหb้ และ c เป็นจำนวนจริงคงทสี่ องจำนวน นยิ ามลำดับ anโดยให้ an = 1 และสำหรบั จำนวนเต็มบวก n ใด ๆ an + 1 = an + cbn ถ้าลำดับ anมลี ิมิตเท่ากบั 2 และ a3 = 3 แลว้ c − 2b มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด ( ตอบ 1 ) 2 15. สำหรบั จำนวนเต็มบวก n > 1 ใด ๆ ให้ anเป็นสัมประสิทธิ์ของxn + 2 ในการกระจาย (1 + 2x )2n และให้ bnเปน็ สัมประสิทธขิ์ อง xnในการกระจาย (2 + 3x )2n ลำดับ 3n an bn เป็นจรงิ ตามขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. มีลิมิตเปน็ 0 2. มีลมิ ิตเปน็ 4 3. มีลิมิตเป็นเ 4 4. เปน็ ลำดับไดเวอรเ์ จนต์ 3 16.ถา้ สำหรบั แต่ละจำนวนเตม็ บวก n ให้ znเปน็ จำนวนเชิงซอ้ น กำหนดโดย z =1− 1 − 3i แลว้ ลำดบั 2n an = zn  zn เปน็ จรงิ ตามขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. มีลิมติ เป็น 4 2. มลี ิมติ เป็น 8 3. มีลมิ ิตเปน็ 10 4. ป็นลำดับไดเวอร์เจนต์

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 28 1  สำหรับจำนวนเตม็ บวก n ใดๆ ให้ Mn = −n1 n  17.  และ n n + 1 an = det(Mn) แลว้ nl→im an เป็นจริงตามขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. มคี ่าเปน็ 0 2. มีคา่ เป็น 1 3.มคี ่าเป็น 2 4. หาค่าไม่ได้ 18. สำหรับแต่ละจำนวนเตม็ n  4กำหนดให้ an = 13 + n4 +1 ลำดบั an เปน็ จรงิ ตามข้อใดตอ่ ไปนี้ 23 + 33 ++n 3 1. มีลมิ ติ เปน็ 1 2. มีลมิ ิตเปน็ 2 3. มีลิมิตเปน็ 4 4. เปน็ ลำดับไดเวอร์เจนต์ 19.ถา้ an = n2 + n + a และ bn = 2n − 5n แลว้ ลิมติ ของลำดับท่มี พี จน์ท่ี nเป็น an − bn + anbn 3n2 + 1 5n +9 มีคา่ เท่าใด 20. ให้ f (x) = x8 − x6 และ f 'คืออนุพนั ธ์ของ f ถา้ {an} เป็นลำดับซ่ึงมี lim an = 1 แลว้ lim ( fof ')(a n ) n→ n→ มคี ่าเท่าใด 21.กำหนด พจนท์ ี่ nของลำดับสองลำดบั ดังน้ี a = n(1+ 2 + 3+...+ n) b = 3n + 2 − 3n +1 3(12 + 22 + 32 +...+ n2 n n + 2 − n+1 n ) ( )lim มคี ่าเท่าใด n→ an + bn 22. ถา้ เปน็ ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มูล 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, … , n, n, n. … , n แล้ว lim an มีคา่ เท่าใด n→ n อนุกรม(Series) นยิ าม เมอื่ a1 ,a 2 ,a3 ,...,a n เป็นลำดบั จำกดั และ a1 ,a 2 ,a3 ,...,a n ,... เปน็ ลำดับอนันต์ ผลบวกทกุ พจนข์ องลำดบั ในรปู a1 + a 2 + a3 +,...,+a n หรอื a1 + a 2 + a3 +,...,+a n + ... จะเรยี กว่าอนกุ รม(Series) อนุกรมที่ได้จากลำดบั จำกัดเรียกวา่ อนุกรมจำกัด และ อนุกรมท่ีไดจ้ ากลำดบั อนนั ต์เรยี กวา่ อนุกรมอนนั ต์ สำหรบั อนุกรม a1 + a 2 + a 3 +,...,+a n หรอื a1 + a 2 + a 3 +,...,+a n + ... เรียก a1 ว่าพจนท์ ่ี 1 ของอนกุ รม a 2 วา่ พจนท์ ี่ 2 ของอนุกรม a 3 ว่าพจนท์ ่ี 3 ของอนุกรม

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 29 . . . a n วา่ พจนท์ ่ี n ของอนุกรม เช่น 1+3+5+7+9+.. เป็นอนกุ รมทไี่ ด้จากลำดับ 1,3,5,7,9,… 2+4+6+…+288 เป็นอนุกรมทีไ่ ดจ้ ากลำดับ 2,4,6,…,288 การบวกและสัญลกั ษณก์ ารบวก แทนการบวก n 1+ 2 + 3 + ...+ n =  i i =1 และ a1 + a 2 + a3 + ...+ a n = n ai i =1 สมบัตทิ ี่สำคญั 1. n  c = c+c+c +... +c = n  c i=1 n 2. nn  ka i = k  ai i=1 i=1 3. n nn  (ai + bi ) =  ai +  bi i=1 i=1 i=1 ผลบวกอนุกรม นิยาม อนุกรมจำกัดทุกอนกุ รมสามารถหาผลบวกได้เสมอ ใชส้ ัญลักษณ์ Sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an แทนผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม ดังน้ัน n และเรยี ก Sn ว่าเป็นผลบวกยอ่ ย n พจน์  ai = Sn = a1 + a 2 + a3 + ...+ a n i =1 แรกของอนุกรม และ S1,S2,S3,...,Sn เรียกวา่ ลำดับผลบวกยอ่ ย ขอ้ สังเกต S1 = a1 S2 = a1 + a 2 S3 = a1 + a 2 + a3 . . . Sn−1 = a1 + a 2 + a3 + ...+ a n−1 Sn = a1 + a 2 + a3 + ...+ a n−1 + a n โดยท่ี Sn − Sn−1 = a n กำหนด Sn = n2 + 3n − 2 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกและพจน์ที่ 10 ของอนกุ รมนี้ วิธที ำ จาก Sn = n2 + 3n − 2 เปน็ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 30 ดังผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนกุ รมนคี้ อื S10 S10 = 102 + 3(10) − 2 = 128 หา พจนท์ ี่ 10 ซ่งึ S9 = 92 + 3(9) − 2 = 106 จาก Sn − Sn −1 = a n a10 = 128 −106 = 22 การหาผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม สามารถหาผลบวกได้ 4 รูปแบบดงั น้ี 1. รปู ทวั่ ไปของอนุกรมอย่ใู นรูป Polynomial ของ n ที่มดี ีกรีไม่เกิน 3 ใช้สูตร 3 สตู รตอ่ ไปน้ี 1. n = n(n + 1) i i=1 2 2. n i 2 = n(n + 1)(2n + 1)  i=1 6 3. n i3 = n(n +1) 2  2   i =1 การหาคา่ 1. n = n(n + 1) i i=1 2 ให้ Sn = n i i =1 Sn = 1+ 2 + 3 + ...+ (n − 3) + (n − 2) + (n −1) + n ……….(1) Sn = n(n −1) + (n − 2) + (n − 3) + .....+ 3 + 2 +1 ………..(2) **(1)+(2) ดังน้นั 2 Sn = (n +1) +(n+1)+(n+1) +...+(n+1) n Sn = n(n + 1) 2 นน่ั คือ n = n(n + 1) i i=1 2 2. ให้ Sn = n i 2  i =1 จาก x3 − (x −1)3 = 3x2 − 3x +1 แทนค่า x = 1 ;13 − 03 = 3(12 ) − 3(1) + 1 x = 2 ;23 −13 = 3(22 ) − 3(2) +1

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 31 x = 3 ;33 − 23 = 3(32 ) − 3(3) +1 . . . x = n ; n3 − (n −1)3 = 3(n 2 ) − 3(n) +1 บวกสมการจากการแทนค่า x ทกุ คา่ ตัง้ แต่ 1 จนถงึ n ดังนั้น n3 = 3(12 + 22 + 32 + ...+ n 2 ) − 3(1 + 2 + 3 + ... + n) +1+1+1 +...+1 n n3 = 3Sn −3 n n i + i =1 3Sn = n3 + 3 n(n + 1)  −n 2  Sn = 2n3 + 3n2 + 3n − 2n 6 Sn = n(n + 1)(2n + 1) 6 น่นั คอื Sn = n i 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6  i =1 3. n i3 = n(n + 1) 2  2   i =1 ให้ Sn = n i3  i =1 เนอื่ งจาก x4 − (x −1)3 = 4x3 − 6x2 + 4x −1 ให้ x = 1;14 − (0)3 = 4(1)3 − 6(1)2 + 4(1) −1 x = 2;24 − (1)3 = 4(2)3 − 6(2)2 + 4(2) −1 x = 3;34 − (2)3 = 4(3)3 − 6(3)2 + 4(3) −1 . . . x = n; n 4 − (n −1)3 = 4(n)3 − 6(n)2 + 4(n) −1 บวกสมการจากการแทนค่า x ทุกค่าตงั้ แต่ 1 จนถึง n ดงั น้ัน n4 = − n i3 + n − (1 +1+1 +...+1) 4Sn 6 4 i n  i =1 i =1 4Sn = n4 + 6 n(n + 1)(2n + 1) − 4 n(n + 1) +n 62

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 32 4Sn = n 4 + 2n3 + 3n 2 + n − 2n 2 − 2n + n Sn = n4 + 2n3 + n2 = n 2 (n 2 + 2n +1) 4 4 ดงั นนั้ Sn = n i3 = n(n +1)2   2  i =1 ตัวอยา่ ง จงหาคา่ 10(i3 − 3i2 + 5i + 4) i =1 วิธีทำ 10(i3 − 3i 2 + 5i + 4) = 10i3 − 10 2 + 10 + 10 3 i 5 i 4 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 = 10 11 2 − 3 10 11 21  + 5 10 11  + 40  2   6   2  = 3,025 −1155 + 275 + 40 = 2185 ตัวอยา่ ง จงหาค่าผลบวกต่อไปนี้ 1. 12+32+52+…+192 2. (3)(5) + (5)(8) + (7)(11) + ...+ (41)(62) 3. (1)(2)(4) + (3)(4)(7) + (5)(6)(10) + ...+ (19)(20)(31) วิธีทำ เนอื่ งจากไมอ่ ยใู่ นรูปแบบของสูตรที่ 1-3 จงึ ใช้วธิ พี จิ ารณาดังน้ี a1 = 12 a2 = 32,a3 = 52,...ดงั นั้น a n = (2n −1)2 โดยที่ Sn = n Sn = n (2i − 1) 2 ai  i =1 i =1 = i1=01 4i2 − 4i + 1 = 4 10 2 − 10 + 10 i 4 i 1 i=1 i=1 i=1 = 410 11 21 − 410 11 +10  6  2 = 1,540 − 220 +10 10 S10 =  ai = 1350 i =1 2. เนือ่ งจาก an = (2n +1)(3n + 2) และ n = 20 ให้ S20 = 20 = (3)(5) + (5)(8) + (7)(11) + ...+ (41)(62) ai i =1 = 20(2i +1)(3i + 2) i =1

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 33 = 6 20 2 + 7 20 + 20 = 6 20  21 41  + 7 20  21  + 40 i i 2 i=1 i=1 i=1  6   2  = 8610 +1470 + 40 = 10.120 3. (1)(2)(4) + (3)(4)(7) + (5)(6)(10) + ...+ (19)(20)(31) จากโจทย์ ai = (2i −1)(2i)(3i + 2) และ มจี ำนวนพจนเ์ ทา่ กับ 10 พจน์ ดังนั้น 10 = 10(12i3 − 3i2 + 1) ai i=1 i=1 = 12 10i3 − 2 10 2 − 10 i 2 i i=1 i=1 i=1 = 1210 112 − 210 11 21 − 210 11 2  6  2 = 36,300 − 770 −110 = 35,420 ตัวอย่าง จงหาผลบวก (1)+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n) วธิ ที ำ ขอ้ สงั เกต Sn  1+ 2 + 3 + ...+ n S1 = 1 S2 = (1) + (1 + 2 + 3) แต่ a 2 = 1 + 2 + 3 จากโจทย์ a n = 1+ 2 + 3 + ...+ n nn   ai =  (1 + 2 + 3 + ... + i) i=1 i n = Sn = n  i(i + 1)   ai  i =1 i 2  =1 n (i 2 + i)  2 i=1 = 1  n i 2 + n 2   i  i =1 i =1 = 1  n(n + 1)(2n + 1)  +  n(n +1)  2 6   2 = 1  2n 3 + 3n 2 + n + n2 + n   2  6 2  = n3 + 3n2 + 2n 6 ดังนน้ั 1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n) = n3 + 3n2 + 2n 6 2. อนุกรมทีส่ ามารถจัดรูปโดยการเปลี่ยนรปู พจนเ์ ดิมใหเ้ ปน็ ผลตา่ งของพจนท์ ีต่ ่อเนื่อง ในลำดบั ใหม่ ตัวอยา่ ง จงหาผลบวกของอนกุ รมตอ่ ไปนี้

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 34 1. 1 + 1 + 1 + ... 1 1 2 2  3 3 4 19  20 2. 1 + 1 + 1 + ... 1 3 5 5  7 7  9 39  41 3. 1 + 1 + 1 + ... 1 1 3 5 3 5  7 5  7  9 37  39  41 วิธีทำ 1. เนอื่ งจาก 1 = 1 − 1 1 2 1 2 1 =1−1 23 2 3 1 =1−1 34 3 4 . . . 1 =1−1 19  20 19 20 ให้ Sn = 1 + 1 + 1 + ... 1 1 2 23 3 4 19  20 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...+ 1 − 1 + 1 − 1 12 2 334 18 19 19 20 =1− 1 1 20 = 19 20 ดงั นน้ั 1 + 1 + 1 + ... 1 = 19 1 2 2  3 3 4 19  20 20 2. 1 + 1 + 1 + ... 1 3 5 5  7 7  9 39  41 เน่อื งจาก 1  1 − 1 แต่ 1 − 1 = 5 − 3 = 2 35 3 5 3 5 35 35 ดังนนั้ 1 = 1  1 − 1  35 23 5 1 = 1 (1 − 1) 57 2 2 3 1 = 1 (1 − 1) 79 2 7 9 . . . 1 = 1( 1 − 1 ) 39  41 2 39 41

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 35 ให้ Sn = 1 + 1 + 1 + ... 1 41 35 57 79 39  = 1 (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...+ 1 − 1 + 1 − 1 23 5 5 7 7 9 37 39 39 41 = 1 (1 − 1 ) 2 3 41 = 19 123 ดังน้นั 1 + 1 + 1 + ... 1 = 19 3 5 5  7 7  9 39  41 123 ให้ Sn = 1 + 1 + 1 + ... 1 41 1 3  5 357 579 37  39  เน่ืองจาก 1  1 − 1 แต่ 1 − 1 = 5 −1 = 4 135 13 35 13 35 135 135 และ 1 = 1 − 1 = 4 357 35 57 357 ดังนนั้ 1 1 5 = 1  1 − 3 1 5  3 4  1 3   1 = 1( 1 − 1 ) 357 4 35 57 1 = 1( 1 − 1 ) 579 4 57 79 . . . 1 = 1( 1 − 1 ) 37  39  41 4 37  39 39  41 ให้ Sn = 1 + 1 + 1 + ... 1 1 3  5 357 579 37  39  41 = 1 ( 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...+ 1 − 1 + 1 − 1 4 13 35 35 5 7 5 7 79 35  37 37  39 37  39 39  41 = 1( 1 − 1 ) 4 1 3 39  41 = 133 1599 ดังนั้น 1 + 1 + 1 + ... 1 = 133 1 3 5 3 5  7 5  7  9 37  39  41 1599

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 36 3. อนกุ รมเฉพาะแบบ 3.1 อนกุ รมเลขคณติ (Arithematic Series) จาก Sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an และกำหนดให้ a1 + a2 + a3 + ...+ an เป็นอนุกรมเลขคณติ ซึง่ มี an = a1 + (n −1)d เป็นพจนท์ ี่ n ของอนกุ รมเลขคณิต ดังน้นั Sn = a1 + [a1 + d] + [a1 + 2d] + ... + a1 + (n − 2)d] + [a1 + (n −1)d] Sn = a1+ a1+a1+...+ a1 + d + 2d + 3d + ...+ (n − 2)d + (n −1)d n Sn = na1 + d(1 + 2 + 3 + ... + (n −1)) Sn = na1 + d (n −1)n  2 Sn = 2na1 + nd(n − 1) 2 Sn = n (2a1 + (n − 1)d ) 2 หรือ Sn = n(a1 + a1 + (n − 1)d) 2 Sn = n (a1 + a n ) 2 ดังนนั้ อนกุ รมเลขคณิต ผลบวก n พจนแ์ รกคือ Sn = n (2a1 + (n − 1)d ) 2 หรอื Sn = n (a1 + a n ) ตัวอย่าง จงหาผลบวกของอนกุ รมต่อไปนี้ 2 1. 2+5+8+11+…+59 2. 30+27+24+…จำนวน 10 พจน์ 3. ผลบวกของเลขคี่ตั้งแต่ 29 ถึง 229 วธิ ีทำ จากสูตรผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ Sn = n (2a1 + (n − 1)d ) 2 1. 2+5+8+11+…+59 มี a1 = 2;d = 3;a n = 59 หาจำนวนพจน์ จาก n = a n − a1 +1 d  n = 59 − 2 + 1; n = 20 3 แทนค่า S20 = 20 2(2) + 19(3)  S20 = 610 2 หรือ S20 = 20 2 + 59  S20 = 610 2 ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รม 2+5+8+11+…+59 = 610 2. 30+27+24+…จำนวน 10 พจน์ จากโจทย์ a1 = 30;d = −3; n = 10 จากสูตร Sn = n (2a1 + (n − 1)d ) 2

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 37 แทนคา่ S10 = 10 (2(30) + (10 − 1)(−3)) 2 S10 = 10(60 − 27) 2 = 165 ดงั นั้นผลบวก 10 พจนข์ องอนุกรม 30+27+24+…มคี ่า = 165 3. ผลบวกจำนวนคต่ี ั้งแต่ 29 ถึง 229 a1 = 29;a n = 229;d = 2 หา n จาก จาก n = an − a1 +1 d  n = 229 − 29 + 1 = 101 2 จาก จาก Sn = n (a1 + a n ) 2 แทนคา่ S101 = 101 (29 + 229) 2 S101 = 101 258 = = 13,029 2 ดังน้นั ผลบวกจำนวนคต่ี ั้งแต่ 29 ถงึ 229 มีคา่ = 13,029 ตัวอย่าง กำหนดอนุกรมเลขคณติ 7+10+13+…จงหาว่าอนุกรมน้ีจะบวกกนั ทง้ั สน้ิ กพ่ี จน์ จึงจะมคี ่าผลบวกเทา่ กับ1075 วิธที ำ จาก Sn = n (2a1 + (n − 1)d ) ซึ่ง a1 = 7;d = 3;Sn = 1075 โจทย์ต้องการหาจำนวน พจน์ (n) 2 แทนคา่ 1075 = n [14 + (n −1)3] 2 2150 = n(14 + 3n − 3) 3n 2 +11n − 2150 = 0 (3n + 86)(n − 25) = 0 n = 25, − 86 3 เนื่องจาก n เป็นจำนวนเต็มบวกเท่าน้นั ดังนั้น n = 25 7 +10 +13 +.... ท่มี ผี ลบวกเท่ากบั 1075 จะบวกกนั ทง้ั สนิ้ 25 พจน์ 3.2 อนกุ รมเรขาคณิต จากลำดบั เรขาคณิต a1 , a1r , a1r 2 ,...a1r n −1 n s n = ai i =1 s n = a1 + a1r + a1r 2 + ... + a1r n −1 ……….(1) ……….(2) r .s n = a1r + a1r 2 + ... + a1r n −1 + a1r n (1) - (2) (1 − r )s n = a1 − a1r n = a1 − a n r

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 38 sn = a1 − anr ...r 1 1−r หรอื sn = a1 (1 − r n ) ...r 1 1−r ตัวอย่าง จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปน้ี 1. 2+4+8+16+… จำนวน 30 พจน์ 2. 1 + 1 + 1 + ... จำนวน 30 พจน์ 248 วธิ ที ำ จากสูตร sn = a1 (1 − r n ) ...r  1 1−r sn = 2(1 − 2 30 ) ...r 1 1−2 s n = 231 − 2 ตอบ 1 (1 − 1 ) 2. 2 2 30 sn = 1−1 ...r  1 2 sn =1− 1 2 30 ตวั อยา่ ง อนุกรมเรขาคณิตมีพจนแ์ รกคือ 81 และพจน์ท่ี n คือ 16 และ s n = 55 จงหาจำนวนพจนแ์ ละอตั ราสว่ นร่วม วธิ ที ำ จากสตู ร sn = a1 − anr ...r 1 แทนคา่ 1−r 55 = 81 − 16r 1−r 55 − 55r = 81 − 16r จากสูตร − 26 = 39r แทนคา่ r = −2 3 a n = a1r n−1 16 = 81 − 2 n−1 3  − 2 n−1 = 16 =  − 2 4  3  81  3  ดงั นน้ั n-1 = 4 n = 5 ตอบ

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 39 3.3 อนกุ รมเลขคณิต-เรขาคณิต เป็นอนกุ รมทเี่ กิดจากการนำอนุกรมเลขคณิตและอนกุ รมเรขาคณติ คูณกนั พจน์ต่อพจน์ เน่อื งจากเปน็ อนุกรมผสมการหาคา่ ผลบวกจึงหาจากวิธีการคล้ายกบั สูตรการหาผลบวก n พจน์ของอนุกรม เรขาคณิต เช่น ตัวอย่าง จงหาผลบวก n พจนข์ องอนุกรมต่อไปน้ี 1. 1.2 + 3.22 + 5.23 + ... 2. 2 + 5 + 8 + ... 5 52 53 วิธีทำ จาก s n = a1 + a1r + a1r 2 + ... + a1r n −1 ดงั น้ัน s n = 1.2 + 3.22 + 5.23 + ... + (2n − 3). 2n−1 + (2n − 1). 2n ……….(1) เมอื่ r = 2  2s n = 1.22 + 3.23 + 5.2 4 + ... + (2n − 3). 2n + (2n − 1). 2n+1 ….(2) (1)-(2) - s n = 1.2 + 2.22 + 2.23 + 2.2 4 + ... + 2.2n − (2n − 1). 2n+1 เปน็ อนุกรมเรขาคณติ s n = 2.2n.2 − 2.22 = 2n+2 − 8 ดังน้ัน - s n = 2 + 2n+2 − 8 − (2n − 1). 2n+1 s n = − 2n+2 + 6 + (2n − 1). 2n+1 ตอบ 2. จาก s n = a1 + a1r + a1r 2 + ... + a1r n −1 ดงั นัน้ sn = 2. 1 + 5. 1 + 8. 1 + ... + (3n − 4). 1 + (3n − 1). 1 …….(1) 5 52 53 5 n−1 5n เม่อื r = 1  1 sn = 2. 1 + 5. 1 + 8. 1 + ... + (3n − 4). 1 + (3n − 1). 1 .(2) 5 5 52 53 54 5 n 5 n+1 (1)-(2) 4 sn = 2. 1 + 3. 1 + 3. 1 + ... + 3. 1 − (3n − 1). 1 5 5 52 53 5 n−1 5 n+1 3( 1 . 1 − 1 ) เปน็ อนุกรมเรขาคณติ s n = 5n 5 52 1−1 5 = 15  1 − 1  4  5 n+1 52  ดังนั้น sn = 5  2 + 15  5 1 − 1  − (3n − 1) 1  4 5 4  52  5 n+1 n +1 sn = 5 + 75 − 5.(3n − 1). 1 ตอบ 16 16 .5n+1 4. 5 n +1

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 40 แบบฝกึ หดั 1. จงหาค่า lim 1 + 2 + 3 + ...n   2n + 5n − 3  n→ 2 2. จงหาคา่ lim 12 + 2 2 + 32 + ...n 2    n→  3n 3 − 5n − 3  3. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึงมี a3 − a5 + a7 = 8 จงหาค่า a1 + a 2 + a 3 + ... + a 9 4. จงหา s 20 ของอนกุ รม 1 − 2 + 4 − 4 + 16 − 8 + 64 − ... 5. ถา้ นำ30 พจน์ทต่ี ่อเนอ่ื งกันในลำดบั 100,99,98,…มาบวกกันจะได้ผลลพั ธ์ 1155 จะต้องเร่มิ บวกจากคา่ ใดถึงค่าใด 4. อนุกรมอนันต(์ Infinite Series) ผลบวกอนกุ รมอนนั ตห์ มายถงึ ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์พจน์ แทนด้วย s  = a1 + a 2 + a 3 + ... ซงึ่ หมายถงึ s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 . . . s n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n เรยี ก s1 , s 2 , s 3 ,... แตล่ ะจำนวนเรยี กว่า ผลบวกย่อย(Partial sum)ขออนกุ รมอนันต์และ s1 , s 2 , s 3 ,..., s n ,... เรียกวา่ ลำดับผลบวกยอ่ ย จากอนุกรม 1 + 1 + 1 + ... จากอนุกรมจะไดว้ า่ 248 s1 = 1 2 s2 = 1 + 1 = 3 2 4 4 s3 = 1 + 1 + 1 = 7 2 4 8 8 . . . sn =1+1 +1 + ... + 1 = 1 − 1 .1 =1− 1 = 2n −1 24 8 2n 2 2n 2 2n 2n 1−1 2 จะพบวา่ ถา้ n มีค่ามากๆ แลว้ s n จะมีค่าเข้าใกล้ค่า 1 น่ันคอื lim s n =1 n→

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 41 นิยาม ผลบวก ของอนกุ รมอนันตใ์ ดคือลิมติ ของลำดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รมนัน้ เม่ือลำดบั นน้ั มลี ิมิต สรปุ  s = an = lim s n n =1 n→ อนุกรมอนันตท์ ่ีมีลิมติ ของลำดบั ผลบวกย่อยเรยี กว่าอนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์ และค่าลิมติ น้นั เรียกวา่ ผลบวกอนกุ รม อนกุ รมอนนั ต์ท่ไี ม่มลี มิ ติ ของลำดบั ผลบวกย่อยเรียกว่าอนุกรมไดเวอรเ์ จนต์ ตวั อย่าง จงหาผลบวกของอนกุ รมอนันตต์ ่อไปนเ้ี มือ่ กำหนด 1. s n = 3n2 − 2n + 5 2. sn = 5 + 3n − 2n 2 2 − n − n2 ( )4. 3. a n = a1 + (n − 1)d an = a1 1 − rn 1−r 5. an = 5. 2 n−1 3 วธิ ีทำ 1. s n = 3n2 − 2n + 5 จาก  s = an = lim sn n =1 n→ ( ) lim s n n→ = lim 3n 2 − 2n + 5 n→ ไม่มีคา่ ลิมิต 2. sn = 5 + 3n − 2n 2 2 − n − n2 จาก  s = an = lim sn n =1 n→  lim s n = nli→m 5 + 3n − 2n2  2 −n − n2 n→ = −2 =2 −1 ดังนั้นผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์คือ 2 3. จาก  s = an = lim sn n =1 n→ แต่เนอื่ งจากโจทยก์ ำหนดใหอ้ ยู่ในรูป an = a1 + (n − 1)d ดังนัน้ ต้องหา s n จาก sn = n จะพบวา่ a n = a1 + (n − 1)d เปน็ ลำดับเลขคณิต  an i=1 ดังน้นั sn = n = n + (n − 1)d) = na 1 + n(n − 1)d 2 (2a1 2  an i=1 s  = an = lim sn n =1 n→ s =  = lim s n = lim na 1 + n(n − 1)d  ไม่มีค่าลมิ ิต n→ 2  an n→ n =1 ดังน้นั อนุกรมอนนั ตเ์ ลขคณติ ทกุ อนกุ รมหาคา่ ผลบวกไม่ได้(เปน็ อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์) ยกเว้นอนุกรม 0+0+0+0+….

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 42 4. an = a1rn−1 เชน่ เดียวกันกับข้อ 3 จากโจทยอ์ นกุ รมน้ีเปน็ อนุกรมเรขาคณิต ( )ซ่ึง sn = a1 1 − rn ...r  1 1−r ( )s n = a1 1 − rn = a1 − r n ...r  1 1−r 1−r 1−r lim s n = nli→m a1 r − 1 rn r  1− − n→ = lim a1 − lim r n n→ 1 − r n→ 1 − r = a1 − lim r n จาก a1 , r เปน็ คา่ คงที่ 1 − r n→ 1 − r = a1 − 1 lim r n 1 − r 1 − r n→ พิจารณาค่า lim rn n→ กรณที ่ี 1 ถ้า r  1 ดังนน้ั lim rn = 0 n→ lim s n = a1 −1 0 1−r 1−r n→ lim sn = a1 r เมอื่ r 1 1− n→ กรณที ่ี 2 r  1 ดงั น้นั lim rn หาค่าไมไ่ ด้ n→ ดังนั้น lim s n หาคา่ ไม่ได้ n→ อนุกรมอนันต์เรขาคณิตมคี า่ ผลบวกเมอื่ r  1 และค่าผลบวก = a1 1−r อนุกรมอนันต์เรขาคณติ ไม่มีคา่ ผลบวกเมื่อ r  1 5. an = 5. 2 n−1 จากโจทย์ เป็นพจนท์ ่ัวไปของลำดับเรขาคณติ 3 ดังน้นั อนกุ รมอนนั ตค์ ือ 5 + 5. 2  + 5. 2 2 + 5 2 3 + ... 3 3 3 ซงึ่ มี a1 = 5; r = 2 ซง่ึ เป็นอนกุ รมอนนั ตเ์ รขาคณติ มีคา่ ผลบวกเม่อื r 1 3 และคา่ ผลบวก = a1 1−r แทนค่า s = 5 = 15 1−2 3  5 + 5. 2  + 5. 2 2 + 5 2 3 + ... = 15 ตอบ 3 3 3 สรุป 1. ถ้าเปน็ อนกุ รมเลขคณิต(ยกเว้น 0+0+0+…)จะเป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ 2. ถา้ เปน็ อนุกรมเรขาคณติ ต้องตรวจสอบอัตราส่วนรว่ ม จากข้อกำหนดดังน้ี

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 43 อนุกรมอนนั ต์เรขาคณิตมีค่าผลบวกเมอื่ r  1 และค่าผลบวก = a1 1−r อนุกรมอนันตเ์ รขาคณิตไมม่ ีคา่ ผลบวกเม่ือ r  1 3. ถา้ ไม่เป็นอนกุ รมเลขคณิตหรอื อนุกรมเรขาคณิต มีวธิ กี ารดังน้ี 3.1 หา s n 3.2 หา lim s n n→ 3.2.1 ถา้ ลิมิตหาคา่ ได้ แลว้ คา่ ทีไ่ ด้คือผลบวกของอนกุ รมอนนั ตน์ ้นั 3.2.2 ถ้าไม่มคี า่ ลมิ ติ แสดงวา่ หาค่าผลบวกของอนกุ รมอนนั ตไ์ มไ่ ด้ ตวั อยา่ ง จงหาผลบวกของอนุกรมอนนั ตต์ ่อไปนเี้ มื่อกำหนด 1. a n = 3n2 − n + 1 2. an =  3 n−1 4 3. 1 + 2 + 4 + 8 + ... 4. 1 + 1 + 1 + ... 5 25 125 12 23 34 5. 1 + 1 + 1 + ... 6. 1 + 1 + 1 + ... 35 57 79 135 357 579 วิธที ำ จาก an = 3n2 − n + 1 และ s n n n − i + 1) = ai =  (3i2 i=1 i=1 n nn  a i = 3 i2 −  i + n i=1 i=1 i=1 = 3 n(n + 1)(2n + 1) − 1 n(n + 1) − n 62 sn = 1 n(n + 1)( 2n + 1) − 1 n(n + 1) − n 22 และ lim s n หาค่าไม่ได้ ข้อสังเกต lim a n หาค่าไมไ่ ดเ้ ช่นกัน(ใหพ้ ิจารณาวา่ เปน็ เช่นน้ที ุกอนกุ รม n→ n→ หรือไม่) 2. an =  3 n−1 เน่ืองจากเป็นอนกุ รมเรขาคณิต ซง่ึ a1 = 1; r = 3 4 4 โดยทอ่ี นกุ รมอนันตเ์ รขาคณติ มีค่าผลบวกเม่ือ r  1 และค่าผลบวก = a1 1−r s =1 =4 1− 3 4 ข้อสงั เกต อนุกรมอนนั ตห์ าคา่ ได้ และ lim a n =0 (ใหพ้ จิ ารณาวา่ เปน็ เชน่ นที้ ุกอนุกรมหรอื ไม่) n→ 3. 1 + 2 + 4 + 8 + ... 5 25 125 เน่อื งจากเป็นอนุกรมเรขาคณิต ซ่งึ a1 = 1; r = 2 5 โดยท่ีอนกุ รมอนันตเ์ รขาคณติ มคี ่าผลบวกเมอื่ r  1 และคา่ ผลบวก = a1 1−r

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู สั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 44 s =1 = 5 1−2 3 5 4. 1 + 1 + 1 + ... 35 57 79 เนอ่ื งจากเป็นลำดบั ผสมฮารโ์ มนิคซ่ึง an = 1  1 − 1  2  2n + 1 2n + 3 ดงั นนั้ sn = 1  1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... 1 − 1  2 3 5 5 7 7 9 2n + 1 2n + 3  sn = 1 (1 − 1) 23 2n + 3 และ s = nli→m 1 − 1 3)  6 2(2n + =1 6 5. ในทำนองเดยี วกัน 1 + 1 + 1 + ... 12 23 34 s = 1  lim 1 − 1  1  n→ 1 n +1 s =1 6. 1 + 1 + 1 + ... 135 357 579 ในทำนองเดียวกนั s = 1  lim 1 − (2n 1 + 3)  4 3 + 1)( 2n n→ s  = 1 12 ตวั อย่าง จงหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ต่อไปนี้ 1. 1.2 + 3.22 + 5.23 + ... 2. 2 + 5 + 8 + ... วิธีทำ 1. 1.2 + 3.22 + 5.23 + ... 5 52 53 เน่อื งจากเป็นอนกุ รมผสม เลขคณิต-เรขาคณติ ซึง่ s n = − 2n+2 + 6 + (2n − 1). 2n+1 และ lim s n = lim (−2n+2 +6 + (2n − 1). 2n+1 ) n→ n→ หาคา่ ผลบวกของอนุกรมไมไ่ ด้ จะพบว่า r = 2 และอนุกรมอนนั ตน์ ี้หาค่าไม่ได้ 2. 2 + 5 + 8 + ... 5 52 53 sn = 5 + 75 − 5.(3n )− 1 . 1 16 16 .5n+1 4. 5 n +1

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 45 (5 + 75 1 16 16 .5n+1 4. 5 n +1 ( )และ = − − lim s n lim 5. 3n 1 . ) n→ n→ =5 16 จะพบว่า r = 1 และอนกุ รมอนันตน์ ีห้ าค่าได้ 5 ดงั นั้น อนุกรมอนนั ต์ เลขคณติ -เรขาคณิตหาค่าผลบวกของอนกุ รมได้เมือ่ r  1 ตัวอยา่ ง 1. 2 , 2 2 , 2 2 2 + ...¨§ËÒ¤èÒlim an n→ 2. จงหาค่า log 2 1 + 2 log 2 1 + log 2 1 + log 2 1 + ... 2 2 4 2 8 2 16 3. ถ้า x + x2 + x3 + ... = 3 จงหาคา่ x 4 วธิ ีทำ 1. an = 1 + 1 + 1 + 1 +... 2 2 2... + ... = 2 2 4 8 16 1 + 1 + 1 + 1 +... lim an = lim (2 2 4 8 16 ) n→ n→ 1 2 1−1 =2 2 = 2 ตอบ 2. log 2 1 log 2 1 log 2 1 log 2 1 + ... = 1 + 1 + 1 + 1 2 4 8 16 2 + 2 + 2 + 2 + ... 2 4 8 16 3. x + x2 + x3 + ... = 3 1 =2 4 1−1 เน่อื งจาก เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ และมคี า่ ผลบวก 2 =1 ดังนนั้ x = 3 1−x 4 4x = 3 − 3x x=3 ตอบ 7 ตัวอยา่ ง จงหาค่า   5 − 3  2n    n(n + 1)  n =1

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 46 วธิ ที ำ   5 − 3 1)  =  1 −  1 1)  2n n(n +  2n n(n +    5 3 n =1 n =1 n =1  1    1 1  5 2  +1 =  1  − 3  −  − 2  n =1  n n 1 = 5 − 3. lim 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + ... − 1  n→1 2 2 3 3 n +1 = 5 − 3(1) = 2 ตอบ ตวั อย่าง จงเขยี นจำนวนตอ่ ไปนใี้ หอ้ ย่ใู นรปู เศษส่วน 1.  2. 1.9  8  3. 0.5+0.55+0.555+0.5555+… 0. 3 4 2 5 วธิ ีทำ  + 0.00000034 + ... เป็นอนุกรมเรขาคณติ 0. 3 4 = 0.34 + 0.0034 + 0.000034 34 = 100 = 34  100 1 − 1 100 99 100 = 34 ตอบ + 0.0000000285 + ... 99  1.9 2 8 5 = 1.9 + 0.0285 + 0.0000285 285 = 19 + 10000 10 1 − 1 1000 = 19 + 285  1000 10 10000 999 = 1 + 9 + 285 10 9990 = 1 + 9276 9990 = 1 1546 ตอบ 1665 3. 0.5+0.055+0.00555+0.0005555+… วิธที ำ 0.5+0.055+0.00555+0.0005555+… = 5( 1 + 11 + 111 + 1111 + ...) 10 1000 10000 100000 = 5 1 (10 − 1) + 1 100 − 1  + 1 1000 − 1  + ...  9 10 9  1000  9  10000 

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 47 = 5 1 − 1  +  1 − 1  +  1 −1  +  9  10  10 10 3 10 2 10 5 ...  = 5 1 + 1 +1 + ...  −  1 +1 +1 + ...  9 10 10 2 10 10 3 10 5 = 5  1   1    −  10  9  1 1   1  − 10   1 − 100 = 5 10 − 10  9  9 99  = 5  100 = 500 9 99 891 = 500 ตอบ 891 แบบฝึกหดั เร่อื งลำดบั และอนุกรม 1. กำหนดลำดับ 5,7,11,19,35,67,…จงหาพจนถ์ ัดไปและพจนท์ ั่วไปของลำดบั น้ี 1 ; n = 2i +1: i = 1, 2,3,...   (n + 1)2 2. กำหนดลำดบั  จงหาลำดบั 5 พจนแ์ รก  1 ; n = 2i : i = 1, 2,3,..è   n 3. กำหนดลำดับ -1,3,-5,… จงหาพจนท์ วั่ ไป  1 ; 3  n 4.กำหนดลำดบั  จงเขยี นลำดบั 5 พจน์แรก  n; n  3  5. กำหนดลำดับ 5,14,23,.. จงหาพจน์ที่ 19 และจงหาว่าพจน์ท่เี ทา่ ใดมคี ่าเท่ากบั 239 6. กำหนดลำดับเลขคณิตมพี จนท์ ่ี 4 และพจนท์ ี่ 27คือ -1 และ 68 ตามลำดับจงหาผลต่างรว่ ม 7. กำหนดลำดับ −81 , 27 , −9 ,... พจนใ์ ดท่มี คี า่ เทา่ กบั 8 32 16 8 81 8. กำหนดลำดับเรขาคณิต มี a9 = 1 .a 7 =1 จงหาอตั ราส่วนรว่ ม 8 128 9. จำนวนเตม็ ระหวา่ ง 200-699 ซ่ึง 8 หารลงตวั แต่ 12 หารไม่ลงตวั มกี ่จี ำนวน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู ัสเบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 48 10. ลำดับชดุ หนง่ึ มี an = (− 1)n −1 (n − 3) จงหาผลบวก 3 พจน์แรก 2P 11. ถ้า n  2; A = 1 − 1 1 − 1 1 − 1 ...1 − 1  เมื่อ n มีคา่ เพม่ิ ข้ึนอยา่ งไม่มที ่ีส้นิ สดุ แล้ว  4  9  16   n 2  An มคี ่าเท่าใด 12. ไมก้ ระดานกองหนึง่ วางเรียงซอ้ นกนั เปน็ ชนั้ ๆ ถ้าช้ันล่างสดุ มไี ม้ 175 แผน่ ชนั้ บนสดุ มไี ม้ 70 แผน่ แตล่ ะ ช้นั จะมีไม้วางเรยี งลดหล่ันกันไปชั้นละ 3 แผ่นตลอด จงหาวา่ ไม้กองนม้ี ีทัง้ ส้นิ กีช่ ัน้ และมีไม้ทัง้ ส้นิ กแ่ี ผ่น 13. จงหา S 2n (ถา้ หาค่าได้) ของอนุกรม 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + … 14. ถ้า 2 x +x 2 +x 3 +x 4 +... = 2 2 จงหาค่า x 15. ถ้า x =  จงหาคา่ 1 − tan 2 x + tan 4 x − tan 6 x + ... 4 16. ถ้า n เป็นจำนวนเตม็ บวก ทีท่ ำให้ 1 + log 2 2 + log 3 2 2 + log 4 2 2 + ... + log n 2 2 = n 2 − 21 จงหาค่า 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n 17. จงหาค่า lim  1 + 2 + 3 + ... + n  1 + 4 + 9 + ... + n 2  n →  n    n   2    sin − + (− 1)n +1   18. จงหาคา่ ( ) − 1 n +3 .5   n =1   19. ค่า x ที่สอดคลอ้ งกบั อสมการ  log 3 x + log 32 x + log 33 x + ...  1 20. อนกุ รมเรขาคณติ ชุดหนึ่งมี a1 = 81,an = 16; S n = 55 จงหาจำนวนพจน์และอตั ราสว่ นรว่ ม 21. กำหนดอนุกรม 1 + 1 + 1 + ... + (3n + 1 + 5) จงหา lim S n 58 8 11 11 14 2)(3n n → 22. จงหาคา่ 1 + 5 + 12 + 22 + 25 + ... 3 32 33 34 23. จงหาคา่ 0.1+0.011+0.00111+0.0001111+… ในรูปของเศษส่วน 24. กำหนดลำดบั เลขคณิต ถา้ ผลบวกพจนท์ ่ี 3 และพจนท์ ่ี 7 ทา่ กับ 13 และผลบวก 13 พจนเ์ ท่ากับ 104 แล้ว พจนท์ ี่ 4 มีคา่ ท่าใด 25. และlog + + 2 − log 2 2 + 2 − log 2 4 + 2 − log 2 8 + ... = b  1 2 2 log  1 4 2 log  1 8 2 + ... = a 2 2 2 a + b มีค่าเท่าใด 26. กำหนด a1 = 2 , a2 = 2 , a3 = 2 , a 4 = 2 ,...áÅéÇ lim a n =? ( ) ( ) ( )27. 3 3 − 3 + 3 − 3 + 3 − 1 + ....ÁÕ¤èÒà·´èÒã n → 28. a , b , c เปน็ ลำดบั เรขาคณติ มผี ลคูณเท่ากับ 216 และ a + 2 ,b+8 , c+6 เปน็ ลำดบั เลขคณิตจงหาคา่ a+ b + c 29. 1 + 1 + 1 + 1 + ...ÁÕ¤èÒà·´èÒã 2 2+4 2+4+6 2+4+6+8 30. ให้ an= 3n +1 + 3n−1 จงหาค่า lim an 3n−2 n→

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 49 31. กำหนดลำดับ 3,24,75,168,… จงหาพจน์ทวั่ ไป 32. กำหนด an = n +1 จงหาลมิ ติ ของลำดับ n +1 − n −1 33. กำหนดลำดับ 3 ,1, 5 , 3 ,... จงหาพจน์ทวั่ ไป 2 64 34. กำหนดลำดับ  1; n = 1,2 จงหาค่า 10 a n −2 + 2; n = 3,5,7,...  ai  2a n −2 ; n = 4,6,8,... i =1 35. จงหาคา่ ผลบวก 18 พจนแ์ รกของอนกุ รม 1+9+25+… 36. จงหาลมิ ิตของลำดับตอ่ ไปนี้(ถา้ มี)เม่ือกำหนด 36.1 an = sin 2 1 + cos2 1 36.2 1,− 1 . − 1 ,− 1 ,... n2 n2 3 57 36.3 an = (−1)n+1.(n −1) 36.4 an =  − 1 n−1 n  2 37. จงหาค่า log 3 3 + log 3 3 + log 3 3 3 + log 4 3 3 + ... 38. an = n +3 n+1 จงหาลิมิตของลำดับอนันต์น้ี 5 − 4 n −1 + 2 3n −1 39. จงหาค่า 0.7+0.077+0.00777+0.00077777+… 40. จงหาค่าผลบวกของอนกุ รม 0.2+0.067+0.00067+0.0000067+… 41. จงหาคา่  (−1) n +1  5 2n −1 n =1 42. จงหาค่าผลบวก 1+ 3 + 7 + 15 + ... 4 16 64 43. จงหาคา่  n +1 − n) ( n=1 n(n + 1) 44. จงหาคา่ 1 + 1 + 1 + 1 + ...+ 1 1 + 4 4 + 7 7 + 10 10 + 13 61 + 64 45. กำหนด an =  sin 2 −1 n−1 จงหาคา่ 1000   an  cos2   n =1 46. ถา้ 1 + 2 x x + 22x 2 + 23x 3 + ... = 9 แล้ว x x. x. x ... มีค่าเท่าใด + 2 1 + 2 x 1 + 2 x 1 47.  1  มีคา่ เทา่ ใด  + 12n  lim n =1 4n2 + 5 n→ 48. กำหนด sn = 13 + 23 + 33 + ...+ n3 จงหาค่า 1 + 1 + 1 + ... s1 s2 s3

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องตน้ (Fundamentals Calculus I) by prateep permsup M.sc(maths Ed) Mathematics department of sikhoraphumpisai school 50 49. กำหนด x + x + x + x + x + x = −6 จงหาค่า x 2 6 12 20 30 42 50. จงหาคา่ lim  n2 + 3n +1 − n2 − n + 2  n→   51. . จงหาค่า lim  3n2 − 2n + 5 + 5 n→  6n2   52. จงหาผลบวกอนุกรม 1 ln 2 + 1 ln 4 + 1 ln 8 + 1 ln16 + ... 4 8 16 32 53. จงหาค่า n7=1 n2 − 4n +1 54. กำหนด 10 และอนกุ รมนเี้ ปน็ อนกุ รมเลขคณิต จงหาค่า 3  an = 430; a10 = 79  ai n=1 i=1 55. กำหนด  3 − k = 5 จงหาค่า k  2n  n =1  n(n + 1)  56. กำหนด an = n4 +1 จงหาลิมติ ของลำดับอนันตน์ ้ี 13 + 23 + 33 + ... + n 3 57. กำหนด  และ พจนท์ ี่สองของลำดับนี้มีคา่ เทา่ กับ 6 และลำดับนเี้ ป็นลำดับเรขาคณิตจง  an = 24 n =1 หาอนกุ รมน้ี 58. กำหนด a1 = 1 a2 =1+ 1 3 a3 =1+ 1 + 1 3 32 a4 =1+ 1 + 1 + 1 3 32 33 จงหาพจนท์ ี่ n และผลบวก n พจนแ์ รก 59. กำหนดอตั ราสว่ นของผลบวกของอนุกรมเลขคณติ 2 อนกุ รมเป็น 3n − 1 จงหาอัตราสว่ นของพจน์ 3n + 2 ท่ี 11 ของสองอนุกรมน้ี