البرمجة الخطية

‫أسئلة وتمارين‬ ‫إعداد‬ ‫د‪ .‬داليا سامى عجلان‬ ‫‪1‬‬

‫البرمجة الخطية‬ ‫أسئلة وتمارين‬ ‫سؤال رقم (‪)1‬‬ ‫ما المقصود بالبرمجة الخطية وما هى الفروض التى تقوم عليها؟‬ ‫الحـــل‬ ‫يعتبررس وبرربرم ة بسخطررم ة لأسيررم خررض ة برر يم ة سي رريم ة ترر تبرر برر ة بررتلأ ة‬ ‫ة كفء بخرةس ة قتتا يم ة خت ةم رل بد ف تعيي ة سب رتلأيي ة تك يف رة يرسر ة تر‬ ‫تقر بيد ة بسخطم ة لأسيم ه‬ ‫‪ -1‬الخطية ‪Linearity‬‬ ‫رة خقارر بر ةفتر ةس رطرر قتر ة لأسيرم بريض ختشير ةسة ة خ ركبم ة خر ةس ةبدر ب بسخطرم‬ ‫ة لأسيم وى وض تكرض هله ة ختشي ةسة خض ة سطم ة ر ‪.‬‬ ‫‪ -2‬التناسب ‪Proportionality‬‬ ‫رتعنر هرله ة لأ اريم وض ة أير ق ور ة رنق فر قتري ختشير ةسة ة رم ة در ف تتن برم سس ير‬ ‫خع ة أي ق ور ة نق ف قتيخم وى خض ة ختشي ةسة ة خيس ق‪.‬‬ ‫‪Additivity‬‬ ‫‪ -3‬القابلية للإضافة (الجمع)‬ ‫رتعن هله ة لأ ايم ة تخ ة نتيطم ة ند ئيم ب ة تشيس ف خطخرع قتي ة ختشي ةسة‪.‬‬ ‫‪Divisibility‬‬ ‫‪ -4‬قابلية التجزئة‬ ‫رسرسق قتيخرر‬ ‫ة ختشير ةسة ور كبدر يخكرض وض تملأررل قتيخر (كبرسيم) ر يبرة ب‬ ‫وى وض بعر‬ ‫‪Certainty‬‬ ‫اةيةم‪.‬‬ ‫‪ -5‬التأكد‬ ‫وى ةفت ةس خعبرخيم طخيع ة ختشي ةسة ر ه رقتي خع خ تد ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫سؤال رقم (‪)2‬‬ ‫مم يتكون النموذج الرياضى للبرمجة الخطية؟‬ ‫الحـــل‬ ‫يتكرض نخرلج ة بسخطم ة لأسيم خض ة عن اس ة ب بيم ة ت يم ‪:‬‬ ‫‪ -1‬دالة الهدف ‪Objective Function‬‬ ‫ريم تخاره ة در ف ة رلى نسير ة رارره ي ير رتةقيقر رقتر تكررض ة ر ة در ف‬ ‫رهر ة رم سي‬ ‫ة تك يف‪.‬‬ ‫تعيي ة سبح ور تلأيي‬ ‫‪Constrains‬‬ ‫‪ -2‬القيود‬ ‫رتتخاره فر خررةس خةر ر ق تتنر فا بر ةبرتش د رةبرتلأ ةخد خطر ة خلأتبيرم ريرمت‬ ‫ة تعبيس ند ف خ كبم ة بسخطم ة لأسيم خض لأ ه ة خت خض ة خرةس ‪.‬‬ ‫بخعنر وننر نعير ور نلأير ة ختشير ةسة ة ةلأبر فر ة رم ة در ف فر يره قتيرر تتخاره فر‬ ‫خرةس خة ر ق‪.‬‬ ‫‪ -3‬شرط عدم السلبية ‪Non-negative Condition‬‬ ‫ي رتسس بر ة ختشير ةسة وض تكررض سيرس بر بم وى وض ‪ Xj > o‬ندر تعبرس رض كخير ة‬ ‫ينت ج رة كخي ة يخكض وض تكرض ب بم‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 3‬‬ ‫ما المقصود بكلاً من ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬الحل الممكن‪.‬‬ ‫ب‪ -‬الحل الأمثل‪.‬‬ ‫حـ‪ -‬المتغي ارت الأساسية‪.‬‬ ‫د‪ -‬متغي ارت الق ارر‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫و‪ -‬الحل الممكن‬ ‫رهر ل ة ةه ة لى يةقق طخيع ة قير ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫م‪ -‬الحل الأمثل‬ ‫رهر ةه خخكض ريةقق ة م ة د ف برةء ك نة تعيي ور تلأيي ‪.‬‬ ‫جـ‪ -‬المتغي ارت الأساسية‬ ‫ره ة ختشي ةسة ة ت يت ي فتد ي ة بسن خج ة لأس تةريب ي ة ايشم ة قي بيم‪.‬‬ ‫د‪ -‬متغي ارت الق ارر‬ ‫ة ررم ة درر ف فرر ة بسنرر خج ة لأسرر ريكرررض ة خسبرررم‬ ‫هرر ة ختشيرر ةسة ة ترر تيدررس فرر‬ ‫تعييخد ور تلأيي د ‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 4‬‬ ‫وضح كيف يمكن تحويل الصيغة العامـة للبرمجـة الخطيـة لـى الصـيغة القياسـية ‪Standard‬‬ ‫‪form‬؟‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬ي رر فم ة ختشيرر ةسة ة خبرر ق )‪ (Si‬ي رر قتيررر ة ارريشم ة ع خررم بتعبيررس ررض ة س قتررم سيررس‬ ‫ة خبتشبم ف ة م خ يلة ك ض ة د ف تعيي ة سب رسسةد ف ة م خ يلة ك ض ة د ف‬ ‫تلأيي ة تك يف رل ف ة سسف ة يبس بختب ينم‪.‬‬ ‫‪ -2‬ي فم ة ختشي ةسة ة خب ق ي ة م ة د ف خببرقتم بماي س ف ة م خ يلة ك ض ة در ف‬ ‫تعيي رسسةد خض ة م ة د ف خببرقتم بماي س ف ة م خ يلة ك ض ة د ف تلأيي ‪.‬‬ ‫‪ -3‬فر ة رم ة رم ة در ف تلأيري يرت ي ر فم ة ختشيرر ةسة ة ان يررم ‪(Ai) Artificial‬‬ ‫‪ Variable‬رل بع تةريه ة قير ي خع ة‪.‬‬ ‫‪ -4‬وض يت خض سس ة بببيم ة ختشير ةسة ة خبر ق )‪ (Si‬بط نرم ختشير ةسة ة ةسبرم )‪.(Xj‬‬ ‫ركرل يت رخض ة ختشير ةسة ة ارن يم )‪ (Ai‬فر ة رم خر يلة ك نرة ة رم ة در ف تلأيري‬ ‫تك يف‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 5‬‬ ‫‪4‬‬

‫وضـح كيـف يمكـن تحويـل الصـيغة العامـة للبرمجـة الخطيـة ‪ General Form‬لـى الصـيغة‬ ‫القانونية ‪Canonical Form‬‬ ‫الحـــل‬ ‫دالة الهدف‬ ‫ة رم تعيري فرر‬ ‫فيرت تةريبدر ي ر‬ ‫يلة ك نرة ة رم ة در ف فر ة اريشم ة ع خرم تلأيرري‬ ‫ة ايشم ة ق نرنيم خع تشييس سخأ ة ة م رة ةسة ة ختشي ةسة‪.‬‬ ‫القيود‬ ‫‪ -1‬يلة ك ض ة قي وكبس ف ة ايشم ة ع خرم فيرت تةريبر ي ر قتير وارشس فر ة اريشم ة ق نرنيرم‬ ‫خع تشييس ة ةسة ة طبسيم سسف ة ختب ينم‪.‬‬ ‫‪ -2‬يلة ك ض ة قي واشس خض ف ة ايشم ة ع خم ف يت تةريب رييه كخ هر‪.‬‬ ‫‪ -3‬يلة ك ض ة قي يب رى ف ة اريشم ة ع خرم فعنر ة تةريره ي ر ة اريشم ة ق نرنيرم يرت ة تعبيرس‬ ‫ن بقي يض ك هخ واشس خض خع تشييس ة ةسة ة طبسيم سسف ة ختب ينم ة هخ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ف ة م ة ختشي ةسة ة شيس خقي ق ة سق وى وند يخكض وض تملأل قتيخ خرطب ور ب بم فيرت‬ ‫ةبتب ة د ب يسق بيض ختشيسيض ف ة م ة د ف رة قير ‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 6‬‬ ‫وضح المقصود بالقيود )‪ (Constrains‬فى مشكلة البرمجة الخطية مع ذكـر أهـم أشـكال هـذ‬ ‫القيود؟‬ ‫الحـــل‬ ‫تتخاه ة قير ف خرةس خة ر ق تتن فا ب ةبتش د رةبتلأ ةخد خط ة خلأتبيم ريمت‬ ‫ة تعبيس ند ف خ كبم ة بسخطم ة لأسيم خض لأ ه ة خت خض ة خرةس ‪.‬‬ ‫رخض وه و ك ه ة قير خ يب ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ندرة عناصر الانتاج‬ ‫رهرلة يتخاره فر خة ر يرم ة كخيرم ة خت ةرم خرض ن ارس ة نتر ج كر خرةس ة ر يرم رة ة‬ ‫رة عخه ر وسا ة خ ه‪.‬‬ ‫‪ -2‬محدودية الطاقة للموارد المتاحة‬ ‫‪5‬‬

‫بخعن وض رطر خرس خعيض يعن ب سرسق قت ست ب تببي ك خه ة ةتي ط ة‪.‬‬ ‫‪ -3‬النواحى الفنية والتقنية‬ ‫بخعن وض ة نرةة ة ينيم تيس بين قت ةس خعني خض ةبتش ه بع ة خرةس ‪.‬‬ ‫‪ -4‬استيعاب السوق‬ ‫يض س قترم ة بررق بر ةبرتيع م ة خنتطر ة تكررض خةر ر ق فر بعر ة ةير ض رب تر‬ ‫تبتسيع ة خن مق بيع خنتط تد ب ك خه يلة خ ةبتشبة ك خه س قتتد ةلإنت طيم‪.‬‬ ‫‪ -5‬جودة المنتجات والعناصر الداخلة فى الإنتاج‬ ‫يتسبم ل أي ق ةبتش ه بع ة خرةس رض ة لأسى رتيدس هله ة خ كبم ف ة خنتط ة‬ ‫ة شلةئيم ةير وض ة خنتطر ة ة ةلأبرم فر تسكيبر خعينرم تلأتبرف خكرن تدر ة شلةئيرم رب تر كبخر قتره‬ ‫ة عناس ة خسبرم ف ة خ ق ة لأ كبخ ةأ ة ة كخيم ة خسبربم خن ‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 7‬‬ ‫ما المقصود بتحليل الحساسية ولماذا يستخدم؟‬ ‫الحـــل‬ ‫يقارر بتةبيرره ة ةب برريم يلأتبرر س خرر ى تررماس ة ةرره ة خارره خ رركبم ة بسخطررم ة لأسيررم‬ ‫ب تشي ةسة ة ت خض ة خخكض وض تة خاه ة تشيس ف خع خ ة ة م ة د ف ور ي فم ختشيس ط ي‬ ‫ور ة تشيس ف ة س قتم ة خت ةم‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 8‬‬ ‫اذكـر الأسـباب التـى تجعـل أسـلوب السـمبلكأ أفضـل مـن الحـل البيـانى فـى مشـكلة البرمجـة‬ ‫الخطية‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫يعتبس وببرم ة بخببكا وف ه خض ة ةه ة بي ن ببسخطم ة لأسيم لأبب م ةلآتيم ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ةه ة خ كه ة ت بد وكاس خض ختشيسيض‪.‬‬ ‫‪ -2‬ة تع خه بسسيقم وبده خع خ كه تةبيه ة ةب بيم‪.‬‬ ‫‪ -3‬ييط قتي ة س قتم ة ي ئ م ور سيس ة خبتشبم يض رط ة‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 9‬‬ ‫‪6‬‬

‫ما المقصود بنموذج البرمجة بالأعداد الصحيحة؟ وما الفرق بينه وبين نموذج البرمجة الخطية‬ ‫العادية؟‬ ‫الحـــل‬ ‫ة خقاررر بنخرررلج بسخطررم ة رر ة ة اررةيةم ‪ Integer Programming‬هررر وةرر ة نخرر لج‬ ‫ة سي يم ة خ تقم خض ة نخرلج ة سي ر ة عر ببسخطرم ة لأسيرم ةير يتكررض خرض ة رم هر ف رخرض‬ ‫قتيرر ر رسرس ر ة برببيم ر كنر يلأتبرف رض ة بسخطرم ة لأسيرم ة ع يرم بمنر يطرم وض يكررض قتري‬ ‫ة ختشي ةسة ف ط ره ة ةه ة ند ئ (ة خاه) و قست اةيةم لأ يم خض ة كبرس‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 11‬‬ ‫وضح المقصود بنماذج النقل؟ ما هى الهدف منها؟‬ ‫الحـــل‬ ‫تعتبس نخ لج ة نقه خض ة ب يم ة سي يم لةة ة هخيم ف خبيم ةتلأ ل ة ق ةس ةسة ة ختعبقم‬ ‫بنقه ةط خعيض خض ة ببع ور ة خرة خض خا س ختع ق ي خ ةسكأ ختع ق رل بد ف ‪:‬‬ ‫‪ -1‬تلأيي تك يف ة نقه‪.‬‬ ‫‪ -2‬تعيي ا ف ة سب رة ت تخاه ة يسق بيض بعس ة بيع رتك يف ة تانيع رة نقه‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 11‬‬ ‫أذكـــر أســـباب تفضـــيل طريقـــة أقـــل تكلفـــة )‪ (LCM‬علـــى طريقـــة الـــركن الشـــمالى الغربـــى‬ ‫)‪ (NWCM‬فى نماذج النقل؟‬ ‫الحـــل‬ ‫نر خرض يررم سسيقرم ة رسكض ة رخ ة شسبر وندر ت ةس ر تكبيرم نقره ة رةر ق ة خنقر رم‬ ‫ر كرض تعتخر بر خرقترع ة خسبرع ة رةقترع فر ة رسكض ة رخ ة شسبر فر طر ره ة نقره خرع وض ة رم‬ ‫ة در ف هر تلأيري ة تكر يف ة كبيرم ي ر وقتره قتيخرم خخكنر كخر وض ة ةره ة رلى يرت ة رارره ي ير‬ ‫س ب خ يكرض بعي ة ض ة ةه ة خاه رب ت يت ةبتلأ ة سسيقم وقته تكبيم ‪ LCM‬خع طم خاه‬ ‫هله ة عيرم ةي يت ة تسكيأ فر هرله ة سسيقرم بر وقتره تكبيرم خرطرر ق فر طر ره ة نقره رب تر‬ ‫تة ي ك خض طدم ة سبم رة عس ‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 12‬‬ ‫‪7‬‬

‫ما المقصود بطريقة حجر الوطء )‪ (SSM‬فى نماذج النقل وكيف تستخدم؟‬ ‫الحـــل‬ ‫ه سسيقم يت ةبتلأ ةخد لأتب س هه ة ةه ة ب بر ة رلى تر ة رارره ي ير خرض تسبيرق‬ ‫وى سسيقم نخ لج ة نقره هرر ة ةره ة خاره ور ة ةره ة رةير ة رلى يخكرض ييطر وف ره خنر ور وض‬ ‫هنر ةبرر وخاره ولأرسى ررفقر درله ة سسيقرم يرت تقيري طخيرع ة لأ ير ة شيرس خ رشر (ة ي سسرم) فر‬ ‫طر ره ة ةره ة ر ر خعسفرم ترمايس ةبرتلأ ة كره لأبيرم ف سسرم بر خطخررع تكر يف ة نقره ريرت ل ر‬ ‫خض لأ ه خه خب س خشبق كه لأبيم ف سسرم رةلة رطر ن وض رشه لأبيرم ف سسرم خعينرم بري ى ي ر‬ ‫تقبيه تك يف ة نقه فيت تع يه ط ره ة نقه ةتر يرت ة برتي ق خرض ل ر رتبرتخس خبيرم تقيري كره‬ ‫ط ره نقه ةت يتبيض وض شه وى لأبيم ف سسم ض ي ى ي تقبيه ة تك يف‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 13‬‬ ‫ما هى الشروط الواجب م ارعاتها عنـد تكـوين المسـار المغلـق للخلايـا الفاربـة باسـتخدام طريقـة‬ ‫حجر الوطء )‪ (SSM‬فى نموذج النقل؟‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬وض ة خب س ة خشبق يب و رينتد ن ة لأبيم ة ي سسم ة خ ةس تقييخد ‪.‬‬ ‫‪ -2‬يتكرض ة خب س ة خشبق خض خطخر رم خرض ة لأسررس ة فقيرم رة وسبريم بةير تقرع ة لأ ير‬ ‫ة خ شر ن ة أرةي ة ق ئخم بخب س ة خشبق‪.‬‬ ‫‪ -3‬رطر خب س خشبق رةة كه لأبيم ف سسم‪.‬‬ ‫‪ -4‬يت ةب م ة تكبيم كه لأبيم ف سسم‪.‬‬ ‫‪ -5‬يتخض ر ع ي ةسة (‪ ).... + - +‬تكبيرم ة لأ ير ة تر يخرس بدر ة خبر س ري رتسس وض‬ ‫تكرض ي سق ة تكبيم بلأبيم ة ي سسم (‪ )+‬ا طخع هله ة تكبيم‪.‬‬ ‫‪ -6‬يطرم وض تكررض ة تكبيرم كره لأبيرم ف سسرم قتيخرم خرطبرم ور خبر ريم باريس ةتر يكررض‬ ‫ة ةه وخاه‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 14‬‬ ‫ما المقصود بمشكلة التخصيص فى نماذج النقل وما هو أفضل تخصيص؟‬ ‫الحـــل‬ ‫‪8‬‬

‫تعتبرس خ ركبم ة تلأاري ة رم لأ ارم خرض خ ر كه ة نقره رتتعبرق بتلأاري ر خعريض‬ ‫خرض ةلآ ة ور ة فر ةس لإنطر أ ر خرض ة خر ه رل ر رض سسيرق تلأاري آ رم رةةر ق ور خره‬ ‫رةة عخه رةة رهلة يتسبم وض يتب رى ة خ ه خرع ر ةلآ ة ور ة فر ةس ة خرأ رم بريد‬ ‫هله ة خ ه روف ه تلأاي هر ة لى ي ى ي تلأيي ة تك يف ور تعيي ة سب ‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 15‬‬ ‫ضع صح أمحام الابحارل الصح ي ة وعلامحة خطحأ أمحام الابحارل الخاطئحة فيمحا يلحى محع‬ ‫تص ي الخطأ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬يض ة درر ف ة ب برر خررض ة بسخطررم ة لأسيررم هررر ييطرر ة ند يررم ة عيخرر فقررس‬ ‫بنخرلج ة سي (×)‬ ‫ة د ف هر ييط ة ند يم ة عيخ رة اشسى نخرلج سي‬ ‫‪ -2‬ة ع قت ة ف نخرلج ة بسخطم ة لأسيم ه قت ة سيس لأسيم‪)×( .‬‬ ‫خض فسر ة بسخطم ة لأسيم وض تكرض طخيع ة ع قت ة لأسيم برةء ة م ة در ف ور‬ ‫ة قير ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ريا هنرر خر نع خررض وض تكرررض قتري بعرر ة ختشيرر ةسة ور طخيعدر قترري سيرس (√)‬ ‫اةيةم‪.‬‬ ‫‪ -4‬خررض ة خي رره ةبررتلأ ة ة ةرره ة بيرر ن يلة كرر ض رر ة ختشيرر ةسة يأيرر ررض (√)‬ ‫ختشيسيض‪.‬‬ ‫‪ -5‬يض خنسقم ة ةبره ة خخكنم ه ة خنسقم ة ت تةقق طخيع ة قير خع ‪)√( .‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 16‬‬ ‫ضع صح أمحام الابحارل الصح ي ة وعلامحة خطحأ أمحام الابحارل الخاطئحة فيمحا يلحى محع‬ ‫تص ي الخطأ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬فر ة رم أير ق ر ة ختشير ةسة رض ةانريض فرخض خرض ة خي ره ةبرتلأ ة ة ةره‬ ‫ة بي ن (×)‬ ‫يي رره ةبررتلأ ة وبرربرم ة بررخببكا رل رر تطنبرر اررعربم ة تع خرره خررع ة دن بررم‬ ‫ة ي ةسسيم‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪ -2‬فر خ ركبم تعيري فرخض ة ةره ة خاره خ ركبم بسخطرم لأسيرم تكررض نقسرم فر (√)‬ ‫خنسقم ة ةبره ة خخكنم لةة وكبس قتيخم ة م ة د ف‪.‬‬ ‫‪ -3‬ف خ ركبم تلأيري فرخض ة ةره ة خاره خ ركبم بسخطرم لأسيرم تكررض نقسرم فر (√)‬ ‫خنسقم ة ةبره ة خخكنم لةة وقته قتيخم ة م ة د ف‪.‬‬ ‫‪ -4‬يض خنسقم ة ةبرره ة خخكنرم خ ركبم ة بسخطرم ة لأسيرم هر خطخر رم خرض ة نقر س (√)‬ ‫ة ت تةقق قتير ة بسخطم ة لأسيم ركل قتير ةلإ سق ببسخطم ة لأسيم‪.‬‬ ‫‪ -5‬يض نخرلج ة بسخطم ة لأسيم يت خض ا ام ن اس ره ة ختشير ةسة ة تر تر اس (√)‬ ‫ف ة ق ةسس رة د ف ة خ ةس تعييخ ور تلأيي ركل ة قير ة خ ةس تةقيقد ‪.‬‬ ‫سؤال رقم (‪)17‬‬ ‫مصنع ينتج سلعتين تحتاج كلاً منها لى ثلاثة أقسام نتاجية لغرض تصـنيعها والجـدول التـالى‬ ‫يوضح الوقت المتاح لكل قسم انتاجى وكذلك ربح الوحدة‪.‬‬ ‫سبح ة رة ق‬ ‫ة قتب ة نت طيم‬ ‫نرع ة ببعم‬ ‫‪40 3 8 10‬‬ ‫ة ببعم ‪1‬‬ ‫‪35 14 8 7‬‬ ‫ة ببعم ‪2‬‬ ‫‪45 18 39‬‬ ‫ة ب ة ة خت ةم ف كه قتب ةنت ط‬ ‫والمطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تعيي وسب ة خانع‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫بيس وض ‪ X1‬تخاه ة رة ةة خض ة ببعم )‪(1‬‬ ‫‪ X2‬تخاه ة رة ةة خض ة ببعم )‪(2‬‬ ‫رة خسبرررم تعيرري وسبرر ة خاررنع روطخرر وسبرر ة خاررنع خررض ة برربعتيض هرر خطخرررع‬ ‫ة اه سم سبح ة رة ق ف ة رة ةة ة خنتطم خض ة ببعتيض‪.‬‬ ‫رب ت فخض ة بسن خج ة لأس ة لى يعبس ض هله ة خ كبم يخكض اي ست كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 40 X1 + 35 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪10 X1 + 7 X2 < 30‬‬ ‫‪8 X1 + 8 X2 < 18‬‬ ‫‪3 X1 + 14 X2 < 45‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫سؤال رقم (‪)18‬‬ ‫مصنع ينتج نوعين من المنتجات ولديه قسمين نتاجين والطاقة المتاحة لكل قسم فـى الأسـبو‬ ‫هى ‪ 26‬ساعة للقسم الأول‪ 30 ،‬ساعة للقسم الثانى ويحتـاج المنـتج الأول لـى ‪ 2‬سـاعة مـن‬ ‫القسم الأول ‪ 5 ،‬ساعات من القسم الثانى وربح الوحدة منه ‪ 40‬جنيه‪.‬‬ ‫كمـا يحتـاج المنـتج الثـانى لـى ‪ 4‬سـاعة مـن القسـم الأول‪ 3 ،‬سـاعة مـن القسـم الثـانى وربـح‬ ‫الوحدة منه هى ‪ 60‬جنيه‪.‬‬ ‫والمطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تعيي وسب ة خانع‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫بيس وض ‪ X1‬تخاه ة رة ةة خض ة خنتج ة ره‪.‬‬ ‫‪ X2‬تخاه ة رة ةة خض ة خنتج ة ا ن ‪.‬‬ ‫رب ت فخض ة بسن خج ة لأس ة لى يعبس ض هله ة خ كبم يت اي ست كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 40 X1 + 60 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪2 X1 + 4 X2 < 26‬‬ ‫‪5 X1 + 3 X2 < 30‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 19‬‬ ‫‪11‬‬

‫مصنع يقوم بإنتاج نوعين مـن الأجهـ ة الكهرباةيـة ولديـه ثلاثـة أقسـام نتاجيـة والطاقـة‬ ‫الإنتاجية لكل قسم هى ‪ 60 , 60 , 36‬على الترتيب ويحتاج المنتج الأول لى ‪ 0.3‬ساعــة ‪1 ،‬‬ ‫ساعة ‪ 1.2 ،‬ساعة من الأقسام الإنتاجية على الترتيب‪.‬‬ ‫أمــا المنــتج الثــانى فيحتــاج لــى ‪ 0.6‬ســاعة‪ 0.8 ،‬ســاعة ‪ 0.4 ،‬ســاعة مــن الأقســام‬ ‫الإنتاجيـة علـى الترتيـب مواذا علمـت أن ربـح الوحـدة مـن المنـتج الأول ‪ 20‬جنيـه‪ ،‬ومـن المنـتج‬ ‫الثانى هى ‪.50‬‬ ‫المطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تعيي وسب ة خانع‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫بيس وض ‪ X1‬تخاه ة رة ةة خض ة خنتج ة ره‪.‬‬ ‫‪ X2‬تخاه ة رة ةة خض ة خنتج ة ا ن ‪.‬‬ ‫رب ت فخض ة بسن خج ة لأس ة لى يعبس ض هله ة خ كبم يت اي ست كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 20 X1 + 50 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪0.3 X1 + 0.6 X2 < 36‬‬ ‫‪X1 + 0.8 X2 < 60‬‬ ‫‪1.2X1 + 0.4X2 < 60‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 21‬‬ ‫يقوم مصنع للعب الأطفال بإنتاج نوعين من اللعب ويوجد لديه خطـين للأنتـاج والطاقـة‬ ‫القصـو لكـلاً منهمـا هـى ‪ 100‬سـاعة‪ 200 ،‬سـاعة علـى الترتيـب ويحتـاج النـو الأول لـى ‪5‬‬ ‫ساعة من الخط الإنتاجى الأول‪ ،‬لى ‪ 10‬ساعة من الخط الثانى ويحتـاج النـو الثـانى لـى ‪20‬‬ ‫سـاعة مـن الخـط الإنتـاجى الأول‪ 10 ،‬سـاعة مـن الخـط الإنتـاجى الثـانى مواذا علمـت أن ربـح‬ ‫الوحدة من النو الأول هى ‪ 5‬جنيه ومن النو الثانى هى ‪ 12‬جنيه‪.‬‬ ‫المطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تعيي وسب ة خانع‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪12‬‬

‫بيس وض ‪ X1‬تخاه ة نرع ة ره خض ة بعم‪.‬‬ ‫رب ت‬ ‫‪ X2‬تخاه ة نرع ة ا ن خض ة بعم‪.‬‬ ‫فخض ة بسن خج ة لأس ة لى يعبس ض هله ة خ كبم يت اي ست كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 5 X1 + 12 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪5 X1 + 10 X2 < 100‬‬ ‫‪20 X1 + 10 X2 < 200‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 21‬‬ ‫ينتج مصـنع نـوعين مـن المنتجـات باسـتخدام نـوعين مـن المـواد الخـام والجـدول التـالى‬ ‫يوضح بيانات المشكلة‪.‬‬ ‫ة كخيم ة خت ةم يرخي ب سض‬ ‫ة خنتج ة ره ة خنتج ة ا ن‬ ‫ة خ ق ة لأ‬ ‫ة خ ق ة لأ (‪16 3 5 )1‬‬ ‫ة خ ق ة لأ (‪6 1 2 )2‬‬ ‫فإذا علمت أن ربح الطن الواحد من المنـتج الأول (بـالألف جنيـه) هـو ‪ ،3‬ومـن المنـتج‬ ‫الثانى هو ‪.4‬‬ ‫المطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تعيي وسب ة خانع‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫بيس وض ‪ X1‬تخاه ة كخيم ة خنتطم خض ة خنتج ة ره‪.‬‬ ‫‪ X2‬ة كخيم ة خنتطم خض ة خنتج ة ا ن ‪.‬‬ ‫رب ت فخض ة بسن خج ة لأس ة لى يعبس ض هله ة خ كبم يت اي ست كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 3 X1 + 4 X2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪Subject to :‬‬ ‫‪5 X1 + 3 X2 < 16‬‬ ‫‪2 X1 + X2 < 6‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 22‬‬ ‫شركة لإنتاج الأدوات المن لية تقوم بإنتاج منتجـين يـتم تصـنيعهما مـن الأخشـاب وتمـر‬ ‫العمليات الصناعية لإنتاج كلا المنتجين بقسمين انتـاجيين هـى قسـم تقطيـع وتجميـع الأخشـاب‬ ‫وقسم الطلاء والطاقة المتاحة للقسم الأول ‪ 60‬ساعة يومياً بينما الطاقة المتاحة للقسـم الثـانى‬ ‫هى ‪ 48‬ساعة يومياً‪.‬‬ ‫وتحتاج الوحدة الواحدة من المنتج الأول لى ‪ 4‬ساعة من القسـم الأول‪ 2 ،‬سـاعة مـن‬ ‫القسم الثانى بينما تحتاج الوحدة الواحدة من المنتج الثـانى لـى ‪ 2‬سـاعة مـن القسـم الأول‪4 ،‬‬ ‫ساعة من القسم الثانى‪.‬‬ ‫فـإذا علمـت أن التكلفـة المتغيـرة للوحـدة مـن المنـتج الأول هـى ‪ 40‬جنيـه ومـن المنـتج‬ ‫الثانى هى ‪ 30‬جنيه ويبلغ سعر الوحدة من المنتج الأول ‪ 48‬جنيه بينما سعر بيع الوحـدة مـن‬ ‫المنتج الثانى هى ‪ 36‬جنيه‪.‬‬ ‫المطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تعيي وسب ة سكم‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫بيس وض ‪ : X1‬تخاه ة رة ةة ة خسبرم ينت طد خض ة خنتج ة ره‪.‬‬ ‫‪ : X2‬تخاه ة رة ةة ة خسبرم ينت طد خض ة خنتج ة ا ن ‪.‬‬ ‫ولإيجاد رب الو دل من كل منتج ‪:‬‬ ‫سبح ة رة ق = بعس ة بيع – ة تكبيم ة ختشيسق‪.‬‬ ‫سبح ة رة ق خض ة خنتج ة ره = ‪ 8 = 40 – 48‬طني‬ ‫سبح ة رة ق خض ة خنتج ة ا ن = ‪ 6 = 30 – 36‬طني‬ ‫رب ت فخض ة بسن خج ة لأس ة لى يعبس ض هله ة خ كبم يت اي ست كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 8 X1 + 6 X2‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪Subject to :‬‬ ‫‪4 X1 + 2 X2 < 60‬‬ ‫‪2 X1 + 4 X2 < 48‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 23‬‬ ‫تفكر حد الشركات الصناعية الكيمياةية فـى تسـويق منتجهـا الجديـد الـذ يتمثـل فـى‬ ‫خلطـة و نهـا ‪ 500‬كيلـو جـ ارم تتكـون مـن عنصـرين أساسـيين وتقتضـى شـروط الجـودة أن لا‬ ‫تتضمن الخلطة ما ي يد عن ‪ 400‬كيلو ج ارم من العنصر الأول وأن تتضـمن هـذ الخلطـة علـى‬ ‫الأقل ‪ 200‬كيلو ج ارم من العنصـر الثـانى فـإذا علمـت أن تكلفـة الكيلـو جـ ارم مـن العنصـر الأول‬ ‫هى ‪ 5‬جنيه ومن العنصر الثانى ‪ 8‬جنيه‪.‬‬ ‫المطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تلأيي ة تك يف‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫بيس وض ‪ X1‬تخاه ة كيبر ط ةسخ ة ة ةلأبم ف ة لأبسم خض ة عناس ة ره‪.‬‬ ‫‪ X2‬تخاه ة كيبر ط ةسخ ة ة ةلأبم ف ة لأبسم خض ة عناس ة ا ن ‪.‬‬ ‫رب ت فخض ة بسن خج ة لأس ة لى يعبس ض هله ة خ كبم يت اي ست كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 5 X1 + 8 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 < 400‬‬ ‫(‪ )1‬قتي ة ة ة قتا كخيم ة عناس ة ره‬ ‫‪X2 > 200‬‬ ‫(‪ )2‬قتي ة ة ة ن كخيم ة عناس ة ا ن‬ ‫‪X1 + X2 = 50‬‬ ‫(‪ )3‬قتي رأض ة لأبسم‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫(‪ )4‬قتي ة بببيم‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 24‬‬ ‫‪15‬‬

‫تحتـاج حـد المتسسـات لإنتـاج مـادة معينـة يـدخل فـى تركيبهـا المـادة )‪ (X1‬والمـادة‬ ‫)‪ (X2‬وأن المتسسـة تحتـاج لـى ‪ 50‬سـاعة عمـل أو أقـل مـن المـادة الأولـى وعلـى الأقـل ‪100‬‬ ‫ساعة من المادة الثانية كما تحتاج لى ما مجموعة ‪ 200‬ساعة للمادتين‪.‬‬ ‫فإذا علمت أن تكلفة المـادة الأولـى هـى ‪ 2‬جنيـه للوحـدة الواحـدة وتكلفـة المـادة الثانيـة‬ ‫هى ‪ 4‬جنيه للوحدة‪.‬‬ ‫المطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تلأيي ة تك يف‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 2 X1 + 4 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 < 50‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪X2 > 100‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪X1 , X2 = 200‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 25‬‬ ‫تنتج شركة ما ‪ 3‬مواد بحيث تمر هـذ المـواد فـى ثلاثـة م ارحـل نتاجيـة وتحتـاج المـادة‬ ‫الأولـى لـى ‪ 1‬سـاعة‪ 3 ،‬سـاعة‪ 1 ،‬سـاعة مـن الم ارحـل الإنتاجيـة الثلاثـة علـى الترتيـب‪ .‬بينمـا‬ ‫تحتاج المادة الثانية لـى ‪ 2‬سـاعة مـن المرحلـة الأولـى‪ 4 ،‬سـاعة مـن المرحلـة الثانيـة والمـادة‬ ‫الثالثــة تحتــاج لــى ‪ 1‬ســاعة مــن المرحلــة الأولــى‪ 2 ،‬ســاعة مــن المرحلــة الثانيــة وقــد كــان‬ ‫الساعات المتاحة لكل مرحلة هى ‪ 420 ،460 ،430‬على الترتيب‪ .‬فإذا علمـت أن ربـح الوحـدة‬ ‫الواحدة من المواد الثلاثة هو ‪ 5 ، 2 ،3‬جنيه على التوالى‪.‬‬ ‫المطلوب ‪ :‬اي سم هله ة خ كبم ف ارسق بسن خج لأس تعيي ة سب ‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫بيس وض ة رة ةة خض ة خ ق ة ر ‪X1‬‬ ‫ر ة رة ةة خض ة خ ق ة ا نيم ‪X2‬‬ ‫ر ة رة ةة خض ة خ ق ة ا ام ه ‪X3‬‬ ‫‪16‬‬

‫رب ت فخض ة نخرلج ة لأس ببسخطم يكرض كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 3 X1 + 2 X2 + 5 X3‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 + X3 < 430‬‬ ‫‪3 X1 + 2 X3 < 460‬‬ ‫‪X1 + 4 X2 < 40‬‬ ‫‪X1 , X2 , X3 > 0‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 26‬‬ ‫مصـنع يقـوم بإنتـاج نـوعين مـن المنتجـات مـن خـلال مـرحلتين نتـاجيتين فـإذا كانـت‬ ‫الوحدة من النو الأول تحتاج لى ‪ 6‬ساعة فـى المرحلـة الأولـى‪ 8 ،‬سـاعة فـى المرحلـة الثانيـة‬ ‫والوحدة من النو الثانى تحتاج لى ‪ 6‬ساعة فى المرحلة الأولى‪ 4 ،‬ساعة فى المرحلـة الثانيـة‬ ‫وكان عدد سـاعات العمـل المتاحـة فـى المرحلـة الأولـى ‪ 300‬سـاعة وفـى المرحلـة الثانيـة ‪320‬‬ ‫ساعة‪ .‬فهما هو حجم الإنتاج الواجب نتاجه مـن كـل نـو لتحقيـق أكبـر ربـح ممكـن ذا علمـت‬ ‫أن ربح الوحدة من النو الأول ‪ 12‬جنيه ومن النو الثانى ‪ 10‬جنيه‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫بن ء ة نخرلج ة سي ة لى يخاه هله ة خ كبم بيس وض‬ ‫‪ X1‬تخاه ة رة ةة خض ة نرع ة ره‪.‬‬ ‫‪ X2‬تخاه ة رة ةة خض ة نرع ة ا ن ‪.‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 12 X1 + 10 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪6 X1 + 6 X2 < 300‬‬ ‫‪8X1 + 4 X2 < 320‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحــل‬ ‫‪17‬‬

‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪6 X1 + 6 X2 = 300‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪300‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8 X1 + 4 X2 = 320‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪ X1‬‬ ‫=‬ ‫‪300‬‬ ‫‪= 50‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪320‬‬ ‫=‬ ‫‪80‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى ‪:‬‬ ‫‪ X1‬‬ ‫=‬ ‫‪320‬‬ ‫‪= 40‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة كه ة ب بق نط وض نق س ة ةه ة ب بيم ه ‪:‬‬ ‫‪(0 , 50) D , (30 , 30) C , (40 , 0) B , (0 , 0) A‬‬ ‫رة نقسم ‪ C‬ت ييط ه ض سسيق ةه ة خع تيض ة تيتيض ‪:‬‬ ‫‪6 X1 + 6 X2 = 300‬‬ ‫‪8 X1 + 4 X2 = 320‬‬ ‫م ة ا نيم‬ ‫خض ة خع‬ ‫رة سس‬ ‫‪8‬‬ ‫×‬ ‫سم ة خع م ة ر‬ ‫ب‬ ‫‪6‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪ 8 X1 + 8 X2 = 400‬‬ ‫بالطرح‬ ‫‪8 X1 + 4 X2 = 30‬‬ ‫‪4X2 = 80‬‬ ‫‪ X2‬‬ ‫=‬ ‫‪80‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ب تعري ض قتيخم ‪ X2‬ف ة خع م ة ر‬ ‫‪6 X1 + 6 X2 = 300‬‬ ‫‪6 X1 + 6 × 20 = 300‬‬ ‫‪ 6 X1 = 300 – 120‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪= 30‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ -3‬ولإيجاد الحل الأمثل يتم التعويض بهذ النقاط فى معادلة دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪0 (0 , 0) A‬‬ ‫)‪480 (40 , 0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪560 (30 , 20‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪500 (0 , 50‬‬ ‫‪D‬‬ ‫الحل الأمثل هو النقطة )‪ (C‬حيث تعطى أكبر قيمة لدالة الهدف وبالتالى يجب انتاج ‪ 30‬وحدة من‬ ‫النوع الأول‪ 20 ،‬وحدة م النوع الثانى‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 27‬‬ ‫أوجد القيمة العظمى لدالة الهدف الآتية ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 20 X1 + 40 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪4 X1 + 2 X2 < 160‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪X1 + 4 X2 < 120‬‬ ‫‪4X1 + 6 X2 < 240‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪4 X1 + 2 X2 = 160‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫= ‪ X2‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪= 80‬‬ ‫‪X1 + 4 X2 = 120‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪= 40‬‬ ‫‪4 X1 + 6X2 = 240‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫= ‪ X2‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪= 30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪= 120‬‬ ‫‪1‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫= ‪ X2‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪= 40‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪= 60‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪21‬‬

‫‪X2‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق يت ح وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(30 , 20) C , (40 , 0) B , (0 , 0 ) A‬‬ ‫‪(0 , 30) E , (24 , 24) D‬‬ ‫رت تة ي ة نقسم )‪ (C‬بةه ة خع تيض ةلآتيتيض‬ ‫‪4 X1 + 2 X2 = 160‬‬ ‫‪4 X1 + 6 X2 = 240‬‬ ‫‪- 4X2 = - 80‬‬ ‫ب سس‬ ‫ب تعري ف ة خع م ة ر ض قتيخم ‪X2‬‬ ‫‪ X2‬‬ ‫=‬ ‫‪80‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ريخكض ييط ة نقسم ‪ D‬بةه ة خع تيض ةلآتيتيض ‪:‬‬ ‫‪4 X1 + 2 (20) = 160‬‬ ‫‪ 4 X1 + 40 = 160‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪= 30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X1 + 4 X2 = 120‬‬ ‫‪4 X1 + 6 X2 = 240‬‬ ‫ب سم ة خع م ة ر × ‪ 4‬رسسةد خض ة خع م ة ا نيم‬ ‫‪21‬‬

‫ض قتيخم ‪X2‬‬ ‫ف ة خع م ة ر‬ ‫رب تعري‬ ‫‪24‬‬ ‫‪240‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪X2‬‬ ‫قتيخم‬ ‫ةيط‬ ‫يت‬ ‫‪10‬‬ ‫‪X1 + 4 X2 = 120‬‬ ‫‪X1 + 4 (24) = 120‬‬ ‫‪ X1 = 120 – 96 = 24‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪0 (0 , 0) A‬‬ ‫)‪800 (40 , 0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1400‬‬ ‫)‪(30 , 20‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1440‬‬ ‫)‪(24 , 24‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫)‪(0 , 30‬‬ ‫‪E‬‬ ‫م الجدول السابق يتضح أن الحل الأمثل هو النقطة ‪ D‬حيث تكون دالة الهدف أكبر قيمة‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 28‬‬ ‫المطلوب تعظيم دالة الهدف الآتية‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 5 X1 + 8 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪2 X1 + 4 X2 < 20‬‬ ‫‪3X1 < 12‬‬ ‫‪4X2 < 16‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪22‬‬

‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪2 X1 + 4 X2 = 20‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪ X2‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ X1‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪3 X1 = 12‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫‪4X2 = 16‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق يت ح وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(4 , 3) C , (0 , 4) B , (0 , 0) A‬‬ ‫‪(4 , 0) E , (2 , 4) D‬‬ ‫رت ييط ية ةاي ة ة نقسم ‪ C‬بةه ة خع تيض ةلآتيتيض‬ ‫‪23‬‬

‫‪2X1 + 4 X2 = 20‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 X1 = 12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫رب تعري ض ‪ X1 = 4‬ف ة خع م ة ر يت ييط قتيخم ‪X2 = 3‬‬ ‫ا ييط ة نقسم ‪ D‬رل بةه ة خع تيض ةلآتيتيض ‪:‬‬ ‫‪2 X1 + 4 X2‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 X2 = 16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫رب تعري ف ة خع م ة ر ض قتيخم ‪ 4 = X2‬يت ةيط ‪2 = X1‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى معادلة دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪0 (0 , 0) A‬‬ ‫‪20 (4 , 0) B‬‬ ‫‪44 (4 , 3) C‬‬ ‫‪42 (2 , 4) D‬‬ ‫)‪32 (0 , 4‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ ‬ة ةه ة خاه هر ة نقسم ‪ C‬ند تعس وكبس سبح خخكض‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 29‬‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫المطلوب تخفيض دالة الهدف الآتية‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪Z = 20 X1 + 10 X2‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 > 20‬‬ ‫‪3X1 + 2 X2 > 42‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪24‬‬

‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬تة ي ة نق س ة لأ ام بكه قتي‬ ‫‪X1 + 2 X2 = 20‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X0 = 0‬‬ ‫‪ X2‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3X1 + 2 X2 = 42‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪ X1 = 20‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪ X2‬‬ ‫=‬ ‫‪42‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ X1‬‬ ‫=‬ ‫‪42‬‬ ‫=‬ ‫‪14‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق يت ح وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(0 , 21) C , (11 , 4.5) B , (20 , 0) A‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪X1 + 2X2 = 20‬‬ ‫رت تة ي ة نقسم ‪ B‬بةه ة خع تيض‬ ‫‪3 X1 + 2 X2 = 42‬‬ ‫ب سم ة خع م ة ر × ‪ 3‬رة سس خض ة ا نيم‬ ‫‪ 4 X2 = 18‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪18‬‬ ‫=‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب تعري ض قتيخم ‪ X2‬ف ة خع م ة ر ينتج قتيخم ‪11 = X1‬‬ ‫‪ ‬ة نقسم ‪(11 , 4.5) B‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى معادلة دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫)‪400 (20 , 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪265 (11 , 4.5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪210 (0 , 21‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ة ةه ة خاه هر ة نقسم )‪ (C‬ند تعس وقته قتيخم ة م ة د ف‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 31‬‬ ‫تخفيض دالة الهدف التالية‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Z = 5 X1 + 6 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪4X1 + 6 X2 > 36‬‬ ‫‪4X1 + 3 X2 > 24‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪26‬‬

‫الحـــل‬ ‫‪4X1 + 6 X2 = 36‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X0 = 0‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪4X1 + 3 X2 = 24‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق نط وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(0 , 8) C , (3 , 4) B , (0 , 9) A‬‬ ‫ريت ييط ة نقسم ‪ B‬ض سسيق ةه ة خع تيض ةلآتيتيض‬ ‫‪4 X1 + 6 X2 = 36‬‬ ‫‪4 X1 + 3X2 = 24‬‬ ‫ب سس‬ ‫‪ 3 X2 = 12‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬

‫رب تعري خض قتيخم ‪ X2‬ف ة خع م ة ر نط وض قتيخم ‪3 = X1‬‬ ‫‪ ‬ة نقسم ‪(3 , 4) = B‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بنقاط الحلول الأساسية فى معادلة دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪45 (0 , 9) A‬‬ ‫‪39 (3 , 4) B‬‬ ‫‪48 (0 , 8) C‬‬ ‫‪ ‬ة ةه ة خاه هر ة نقسم ‪ B‬ند تعس وقته تكبيم‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 31‬‬ ‫المطلوب تخفيض دالة الهدف الآتية‪.‬‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Z = 30 X1 + 40 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪20 X1 + 10 X2 > 240‬‬ ‫‪10X1 + 20 X2 > 200‬‬ ‫‪10X1 + 10X2 > 160‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪20 X1 + 10 X2 = 240‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪= 24‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪= 12‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪28‬‬

‫‪10 X1 + 20X2 = 200‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى ‪:‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪10 X1 + 20X2 = 160‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪= 16‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪= 16‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق نط وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(0 , 24) D , (8 , 8) C , (12 , 4) B , (20 , 0) A‬‬ ‫رت تة ي ة نقسم ‪ B‬ةه ة خع تيض ةلآتيتيض‬ ‫‪10 X1 + 20 X2 = 200‬‬ ‫‪10 X1 + 10 X2 = 160‬‬ ‫ب سس‬ ‫‪ 10 X2 = 40‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪29‬‬

‫رب تعري ف ة خع م ة ر ض قتيخم ‪ 4 = X2‬نةاه ب قتيخم ‪12 = X1‬‬ ‫‪ ،‬ا تة ي ة نقسم )‪ (C‬رل بةه ة خع تيض ةلآتيتيض ‪:‬‬ ‫‪20 X1 + 10 X2 = 240‬‬ ‫‪10 X1 + 10X2 = 160‬‬ ‫ب سس‬ ‫‪ 10 X1 = 80‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪80‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫رب تعري ف ة خع م ة ر نةاه ب قتيخم ‪8 = X1‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى معادلة دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫)‪600 (20 , 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪520 (12 , 4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪560 (8 , 8‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪960 (0 , 24‬‬ ‫‪D‬‬ ‫خخ ببق يت ح وض ة ةه ة خاه هر ة نقسم ‪ B‬ند تعس وقته تكبيم‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 32‬‬ ‫المطلوب تعظيم دالة الهدف الآتية‪.‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 2 X1 + X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 + X2 < 10‬‬ ‫‪X1 < 4‬‬ ‫‪X2 < 2‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪31‬‬

‫الحـــل‬ ‫‪X1 + X2 = 10‬‬ ‫‪ X2 = 10‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪ X1 = 10‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X1 = 4‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X2 = 2‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة كه ة ب بق يت ح وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(0 , 10) D , (4 , 6) C , (4 , 2) B , (0 , 2) A‬‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫‪ -3‬التعويض فى معادلة دالة الهدف‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(0 , 2‬‬ ‫النقطة‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪(4 , 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪14‬‬ ‫)‪(4 , 6‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪(0 , 10‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق نط وض ة ةه ة خاه هر ة نقسم ‪ C‬ند تعس وكبس قتيخم ة م ة د ف‬ ‫‪31‬‬

‫سؤال رقم ( ‪) 33‬‬ ‫أوجد النهاية العظمى للدالة الآتية‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 4 X1 + 3 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪3 X1 + 3 X2 < 30‬‬ ‫‪5X1 + X2 > 20‬‬ ‫‪X1 + 4X2 > 16‬‬ ‫‪X1 , X2 = 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪3 X1 + 3 X2 = 30‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 X1 + X2 = 20‬‬ ‫= ‪ X1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X1 + 4X2 = 16‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪ X2 = 20‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪ X1‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ X1 = 16‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫ي ةي خض ة سب ة ب بق وض نق س ة ةه ة ب بيم ه ة نق س‬ ‫)‪A (3.5 , 3) , B (8 , 2) , C (2.5 , 7.5‬‬ ‫ت تة ي ة نقسم )‪ (A‬بةه ة خع تيض ةلآتيتيض‬ ‫‪5 X1 + X2 = 20‬‬ ‫‪X1 + 4X2 = 16‬‬ ‫ب سم ة خع م ة ا نيم × ‪ 5‬رة سس خض ة خع م ة ر ينتج قتيخم ‪3 = X2‬‬ ‫رب تعري ف ة خع م ة ر ض قتيخم ‪ X2‬ينتج قتيخم ‪3.5 = X1‬‬ ‫رب ت تابح ة نقسم ‪(3 , 5 , 3) = A‬‬ ‫تة ي ة نقسم )‪ (B‬بةه ة خع تيض ة ر رة ا ام‪ ،‬ب ت ة نقسم ‪(8 , 2) = B‬‬ ‫‪ ،‬تة ي ة نقسم )‪ (C‬بةه ة خع تيض ة ر رة ا نيم ‪ ،‬ب ت ة نقسم ‪(2.5 , 7.5) = C‬‬ ‫‪ -3‬ة تعري ب نق س ة ب بقم ف خع م ة د ف كخ يب ‪:‬‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪23 (3.5 , 3) A‬‬ ‫‪38 (8 , 2) B‬‬ ‫)‪32.5 (2.5 , 7.5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق نط وض ة ةه ة خاه هر ة نقسم )‪ (B‬ند تعس وكبس سبح رهر ‪38‬‬ ‫‪33‬‬

‫سؤال رقم ( ‪) 34‬‬ ‫المطلوب تعظيم دالة الهدف الآتية‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 40 X1 + 50 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 < 12‬‬ ‫‪5X1 + 4X2 < 30‬‬ ‫‪3X1 + X2 < 15‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪X1 + 2 X2 = 12‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5 X1 + 4X2 = 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 12‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪3X1 + X2 = 15‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪30‬‬ ‫=‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫‪X2 = 15‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪34‬‬

‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق يت ح وض نق س ة ةبره ة ب بيم‬ ‫‪(4 , 2) C , (5 , 0) B , (0 , 0) A‬‬ ‫‪(0 , 6) E , (2 , 5) D‬‬ ‫‪ -3‬التعويض فى دالة الهدف بالنقاط السابقة‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪0 (0 , 0) A‬‬ ‫)‪200 (5 , 0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪260 (4 , 2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪330 (2 , 5‬‬ ‫‪D‬‬ ‫)‪300 (0 , 6‬‬ ‫‪E‬‬ ‫رب ت فخض ة نقسم ‪ D‬تخاه ة ةه ة خاه ند تعس وكبس قتيخم ة م ة د ف‬ ‫‪35‬‬

‫سؤال رقم ( ‪) 35‬‬ ‫المطلوب تعظيم دالة الهدف الأتية‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 150 X1 + 85 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 < 160‬‬ ‫‪2X1 + 0.5X2 < 120‬‬ ‫‪2X1 + 1.6 X2 < 160‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪X1 + 2 X2 = 160‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪= 80‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 X1 + 0.5X2 = 120‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 160‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪2X1 + 1.6 X2 = 160‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪120‬‬ ‫=‬ ‫‪240‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪= 60‬‬ ‫‪2‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪= 100‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪160‬‬ ‫=‬ ‫‪80‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق يت ح وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(0 , 80) E , (20 , 70) D , (50 , 30) C , (60 , 0) B , (0 , 0) A‬‬ ‫‪ -3‬التعويض فى دالة الهدف بالنقاط السابقة‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪0 (0 , 0) A‬‬ ‫‪9000‬‬ ‫)‪(60 , 0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪10050‬‬ ‫)‪(30 , 50‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8950‬‬ ‫)‪(20 , 70‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪7225‬‬ ‫)‪(0 , 80‬‬ ‫‪E‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق نط وض ة نقسم ‪ C‬تخاه ة ةه ة خاه ند تعس وكبس قتيخم ة م ة د ف‪.‬‬ ‫‪37‬‬

‫سؤال رقم ( ‪) 36‬‬ ‫تخفيض دالة الهدف الآتية ‪:‬‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Z = 40 X1 + 32 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪20X1 + 8 X2 > 180‬‬ ‫‪16X1 + 14X2 > 224‬‬ ‫‪8X1 + 34 X2 > 272‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة بكل قيد‬ ‫‪20X1 + 8 X2 = 180‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪= 22.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16 X1 + 14X2 = 224‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪8X1 + 34 X2 = 272‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫=‬ ‫‪224‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪14‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪224‬‬ ‫‪= 14‬‬ ‫‪16‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫= ‪X2‬‬ ‫‪272‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪34‬‬ ‫= ‪X1‬‬ ‫‪272‬‬ ‫=‬ ‫‪34‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪38‬‬

‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق يت ح وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(0 , 20) D , (4 , 12) C , (10 , 6) B , (34 , 0) A‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى معادلة دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪1360‬‬ ‫)‪(34 , 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪610 (10 , 6‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪580 (4 , 12‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪700 (0 , 20‬‬ ‫‪D‬‬ ‫رة ط ره ة ب بق نط وض نقسم ة ةه ة خاه ه ة نقسم ‪ C‬ند تعس وقته قتيخم ة م ة د ف‪.‬‬ ‫‪39‬‬

‫سؤال رقم ( ‪) 37‬‬ ‫أوجد النهاية العظمى للبرنامج الخطى التالى‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 3 X1 + 5 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪2 X1 + 4 X2 < 20‬‬ ‫‪9 X1 + 6 X2 < 54‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪2 X1 + 4 X2 = 20‬‬ ‫‪X2 = 5‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 10‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X2 = 9‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪9 X1 + 6 X2 = 54‬‬ ‫‪X1 = 6‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪41‬‬

‫خض ة سب ة ب بق فخض خنسقم ة ةبره ة خخكنم ه ة نق س‬ ‫‪(0 , 5) D , (4 , 3) C , (6 , 0) B , (0 , 0) A‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪0 (0 , 0) A‬‬ ‫‪18 (6 , 0) B‬‬ ‫‪27 (4 , 3) C‬‬ ‫‪25 (5 , 0) D‬‬ ‫ي ةي وض هن ند يم يخ ن ة نقسم )‪ (C‬ند تةقق وكبس قتيخم ة م ة د ف ره ‪27‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 38‬‬ ‫أوجد النهاية الصغر للبرنامج الخطى التالى‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Z = 2 X1 + 5 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 > 10‬‬ ‫‪9 X1 + 6 X2 > 54‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪2 X1 + 4 X2 = 20‬‬ ‫‪X2 = 5‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 10‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X2 = 9‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪9 X1 + 6 X2 = 54‬‬ ‫‪X1 = 6‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫نق س ة ةبره ة ب بيم ه ة نق س‬ ‫‪(0 , 9) C , (4 , 3) B , (10 , 0) A‬‬ ‫‪ -3‬لإيجاد النهاية الصغر بالتعويض بالنقاط السابقة فى دالة الهدف‬ ‫‪Z = 2X1 + 5 X2‬‬ ‫‪2(10) + 5 (0) = 20‬‬ ‫‪(10 , 0) A‬‬ ‫‪2 (4) + 5 (3) = 23‬‬ ‫‪(4 , 3) B‬‬ ‫‪2 (0) + 5 (9) = 45‬‬ ‫‪(0 , 9) C‬‬ ‫نط وض هن ند يم اشسى ن ة نقسم ‪(10 , 0) A‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 39‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 40 X1 + 60 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪2X1 + 4 X2 < 26‬‬ ‫‪5 X1 + 3 X2 < 30‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪42‬‬

‫‪2 X1 + 4 X2 = 26‬‬ ‫‪X2 = 6.5‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 13‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X2 = 10‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪5 X1 + 3 X2 = 30‬‬ ‫‪X1 = 6‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫خض ة سب ة ب بق نق س ة ةبره ة خخكن ه ة نق س‬ ‫‪(0 , 6.5) D , (3 , 5) C , (6 , 0) B , (0 , 0) A‬‬ ‫رت ةيط ة نقسم ‪ C‬ض سسيق ةه ة خع تيض ةلآتيتيض‬ ‫‪2X1 + 4X2 = 26‬‬ ‫‪5X1 + 3X2 = 30‬‬ ‫‪43‬‬

‫ب سم ة خع م ة ر × ‪ ، 5‬ة ا نيم × ‪2‬‬ ‫‪10X1 + 20X2 = 130‬‬ ‫‪10X1 + 6X2 = 60‬‬ ‫ب سس‬ ‫‪14X2 = 70‬‬ ‫‪X2 = 5‬‬ ‫رب تعري ض ‪ X2‬ف ة خع م (‪ )1‬نةاه ب ‪3 = X1‬‬ ‫رب ت ة نقسم ‪ C‬ه )‪(3 , 5‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى دالة الهدف‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪0 (0 , 0) A‬‬ ‫)‪240 (6 , 0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪420 (3 , 5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪390 (5 , 6.5‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ة نقسم ‪ (3 , 5) C‬ه ة ت تةقق وكبس قتيخم خخكن ة م ة د ف رب ت تكرض ه ة ةه ة خاه‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 41‬‬ ‫ذا كان لديك البرنامج الخطى التالى فأوجد النهاية العظمى ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 200 X1 + 500 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪0.3 X1 + 0.6 X2 < 360‬‬ ‫‪X1 + 0.8 X2 < 600‬‬ ‫‪1.2X1 + 0.4 X2 < 600‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪0.3 X1 + 0.6 X2 = 360‬‬ ‫‪X2 = 600‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 1200‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X1 + 0.8 X2 = 600‬‬ ‫‪X2 = 750‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 600‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X2 = 7500‬‬ ‫‪1.2 X1 + 0.4X2 = 600‬‬ ‫‪X1 = 500‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫خض ة سب ة بي ن ة ب بق فخض نق س ة ةبره ة خخكن ه ‪:‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪(428.6 , 214.3) C , (500 , 0) B , (0 , 0) A‬‬ ‫‪(0 , 600) E , (0 , 600) D‬‬ ‫رت ييط ة نقسم )‪ (C‬ض سسيق ةه ة خع تيض ‪:‬‬ ‫‪X1 + 0.8 X2 = 600‬‬ ‫‪1.2X1 +0.4 X2 = 600‬‬ ‫ب سم ة خع م ة ر × ‪ 1.2‬رة سس‬ ‫‪- 0.56 X2 = - 120‬‬ ‫‪X2 = 214.3‬‬ ‫رب تعري ف ة خع م ة ا نيم ض قتيخم ‪ 214.3 = X2‬ينتج قتيخم ‪428.6 = X1‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى دالة الهدف ‪:‬‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫‪0 (0 , 0) A‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫)‪(500 , 0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪192870‬‬ ‫)‪(428.6 , 214.3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪290000‬‬ ‫)‪(200 , 500‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪300000‬‬ ‫)‪(0 , 600‬‬ ‫‪E‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 41‬‬ ‫المطلوب تعظيم دالة الهدف للبرنامج الخطى التالى ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 3 X1 + 7X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪2 X1 + 4X2 < 16‬‬ ‫‪3 X1 < 12‬‬ ‫‪5X2 < 15‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪2 X1 + 4 X2 = 16‬‬ ‫‪X2 = 4‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 8‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪3X1 = 12‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X1 = 4‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪5 X2 = 15‬‬ ‫‪X2 = 3‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫خض ة سب ة بي ن ة ب بق فخض نق س ة ةبره ة خخكن ه ‪:‬‬ ‫‪(0 , 3) E , (2 , 3) D , (4 , 2) C , (4 , 0) B , (0 , 0) A‬‬ ‫رب تعري ب نق س ة ب بقم ف ة م ة د ف نط وض ة نقسم ‪ D‬ه نقسم ة ةه ة خاه ند تعس‬ ‫وكبس قتيخم ره ‪27‬‬ ‫‪47‬‬

‫سؤال رقم ( ‪) 42‬‬ ‫أوجد النهاية الصغر للبرنامج الخطى التالى ‪:‬‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Z = 3 X1 + 4 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪5 X1 + 10 X2 > 40‬‬ ‫‪10X1 + 4 X2 > 30‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪5 X1 + 10 X2 = 40‬‬ ‫‪X2 = 4‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 8‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X2 = 7.5‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪10 X1 + 4 X2 = 30‬‬ ‫‪X1 = 3‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪48‬‬

‫خض ة سب ة بي ن ة ب بق فخض نق س ة ةبره ة ب بيم ه ‪:‬‬ ‫‪(0, 7.5) C , (1.75 , 3.125) B , (8 , 0) A‬‬ ‫رت ييط ة نقسم )‪ (B‬ض سسيق ةه ة خع تيض ةلآتيتيض ‪:‬‬ ‫‪5X1 + 10X2 = 40‬‬ ‫‪10 X1 + 4X2 = 30‬‬ ‫ب سم ة خع م ة ر × ‪ 2‬ا ة سس‬ ‫‪X2 = 3.125‬‬ ‫رب تعري ف ة خع م ة ر ض قتيخم ‪ X2‬نةاه ب قتيخم ‪1.75 = X1‬‬ ‫رب تعري ب نق س ة ب بقم ف ة م ة د ف نط وض ة نقسم )‪ (B‬ه نقسم ة ةه ة خاه ةي وند‬ ‫تعس وقته قتيخم ة م ة د ف ره ة قيخم ‪10.25‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 43‬‬ ‫أوجد النهاية الصغر للبرنامج الخطى التالى ‪:‬‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Z = 30 X1 + 20 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪10 X1 + 20 X2 > 3000‬‬ ‫‪30X1 + 20 X2 > 4800‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬يجاد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪10 X1 + 20 X2 = 3000‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X2 = 150‬‬ ‫‪X1 = 300‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪30 X1 + 20 X2 = 4800‬‬ ‫‪X2 = 240‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = 160‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫خض ة سب ة ب بق نط وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه‬ ‫‪(0 , 240) C , (90 , 105) B , (300 , 0) A‬‬ ‫رت ييط ة نقسم )‪ (B‬ض سسيق ةه ة خع تيض ‪:‬‬ ‫‪10 X1 + 20 X2 = 3000‬‬ ‫‪30 X1 + 20X2 = 4800‬‬ ‫ب سس‬ ‫‪X1 = 90‬‬ ‫رب تعري ف ة خع م ة ر ض قتيخم ‪ X1‬نةاه ب ‪105 = X2‬‬ ‫رلإيط ة ةه ة خاه يت ة تعري ب نق س ة ب بقم ف ة رم ة د ف فنطر وض ة نقسرم )‪(90 , 105‬‬ ‫‪ B‬ه ة ت تةقق ة ةه ة خاه ند تعس وقته قتيخم ة م ة د ف ره ة قيخم ‪5325‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 44‬‬ ‫‪51‬‬