دليل عاشر رياضيات فصل ثاني

‫دﻟﯾل اﻟﻣﻌﻠم‬ ‫اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر‬ ‫اﻟﻔﺻل‬ ‫اﻟدراﺳﻲ اﻟﺛﺎﻧﻲ‬

‫الوحد ُة‬ ‫‪5‬‬ ‫عدد‬ ‫المصادر والأدوات‬ ‫مخطط الوحدة‬ ‫النتاجات‬ ‫اسم الدرس‬ ‫الحصص‬ ‫ •كتاب التمارين والأنشطة العملية‪.‬‬ ‫أستعد لدراسة الوحدة‬ ‫المصطلحات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وحيد الحد‪ ،‬كثير الحدود‪• ،‬جهاز حاسوب‪.‬‬ ‫الدرس‪ :1‬اقترانات •يتعرف الاقتران كثير الحدود‪ ،‬ودرجته‪ ،‬ومعاملاته‪.‬‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫الدرجة‪ ،‬الصورة القياسية‬ ‫ •يمثل الاقتران كثير الحدود بيان ًّيا‪ ،‬ويجد مجاله ومداه‪.‬‬ ‫كثيرات الحدود‪.‬‬ ‫ •آلة حاسبة‪.‬‬ ‫لكثير الحدود‪ ،‬كثير الحدود‬ ‫ •يطبق عمليات الجمع والطرح والضرب على الاقترانات‬ ‫الصفري‪ ،‬المعامل الرئيس‪،‬‬ ‫ •ورق رسم بياني‪.‬‬ ‫كثيرات الحدود‪.‬‬ ‫المجال‪ ،‬المدى‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية عن الاقترانات كثيرات الحدود‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫خوارزمية القسمة‪ ،‬اقتران •جهاز حاسوب‪.‬‬ ‫ •يجد ناتج قسمة كثير حدود على كثير حدود آخر‪.‬‬ ‫الدرس‪:2‬‬ ‫المقلوب‪ ،‬الاقتران النسبي‪• ،‬برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫قسمة كثيرات الحدود •يتعرف الاقترانات النسبية‪ ،‬ويجد مجالها ومداها‪.‬‬ ‫خط التقارب الأفقي‪ ،‬خط •آلة حاسبة‪.‬‬ ‫ •يمثل الاقترانات النسبية بيان ًّيا‪ ،‬ويجد خطوط التقارب‪.‬‬ ‫والاقترانات النسبية‪.‬‬ ‫التقارب الرأسي‪• .‬ورق رسم بياني‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية عن القسمة والاقترانات النسبية‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تركيب الاقترانات‪• ،‬جهاز حاسوب‪.‬‬ ‫ •يتعرف مفهوم الاقتران ال ُمر َّكب‪ ،‬وشرط تركيب‬ ‫الدرس‪:3‬‬ ‫الاقتران ال ُمر َّكب‪• ،‬آلة حاسبة‪.‬‬ ‫اقترانين‪.‬‬ ‫تركيب الاقترانات‪.‬‬ ‫ال ُمر َّكبتان‪.‬‬ ‫ •يحسب قيمة الاقتران ال ُمر َّكب لعدد معطى‪.‬‬ ‫ •يجد قاعدة اقتران ُمر َّكب ُع ِلمت قاعدتا ُمر َّكبتيه‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية عن تركيب الاقترانات‪.‬‬ ‫العلاقة العكسية‪• ،‬جهاز حاسوب‪2 .‬‬ ‫ •يتع َّرف الاقتران العكسي‪.‬‬ ‫الدرس‪:4‬‬ ‫الاقتران العكسي‪• ،‬برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫ •يجد الاقتران العكسي لاقتران واحد لواحد‪ ،‬ويحدد‬ ‫الاقتران العكسي‪.‬‬ ‫ •آلة حاسبة‪.‬‬ ‫اقتران واحد لواحد‪،‬‬ ‫مجاله ومداه‪.‬‬ ‫ •ورق رسم بياني‪.‬‬ ‫اختبار الخط الأفقي‪،‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية عن الاقتران العكسي‪.‬‬ ‫الاقتران المحايد‪،‬‬ ‫الاقتران الجذري‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ •جهاز حاسوب‪.‬‬ ‫المتتالية‪،‬‬ ‫ •يكتب الحد التالي في متتالية معطاة باستعمال العلاقة‬ ‫الدرس‪:5‬‬ ‫ •آلة حاسبة‪.‬‬ ‫الحد‪،‬‬ ‫بين حدودها‪.‬‬ ‫المتتاليات‪.‬‬ ‫الحد العام‪.‬‬ ‫ •يكتب حدود متتالية ُع ِلم حدها العام‪.‬‬ ‫ •يستنتج قاعدة الحد العام لمتتاليات خطية‪ ،‬وتربيعية‪،‬‬ ‫وتكعيبية‪ ،‬وأسية‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية عن المتتاليات‪.‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪1 .‬‬ ‫عرض نتائج المشروع‬ ‫اختبار الوحدة ‪2‬‬ ‫مجموع الحصص ‪18‬‬ ‫‪6A‬‬

‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ُت‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Functions‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺳ َﺄﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ ﻓﻲ ﻫﺬ ِه اﻟﻮﺣﺪ ِة‪:‬‬ ‫ﻣﺎ أﻫﻤﻴ ُﺔ ﻫﺬ ِه‬ ‫نظرة عامة على الوحدة‪:‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت ﻛﺜﻴــﺮا ﹺت اﻟﺤﺪو ﹺد‪ ،‬وﺧﺼﺎﺋ ﹶﺼﻬــﺎ‪ ،‬وﺗﻤﺜﻴ ﹶﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة؟‬ ‫تعرف الطلبة فيما سبق مفهوم الاقتران‪ ،‬والاقترانات الثابتة‪،‬‬ ‫والخطية‪ ،‬والتربيعية‪ ،‬وكيفية تمثيلها بيان ًّيا‪ ،‬وإيجاد مجالها‬ ‫ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﹸﺗﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹸت ﻟﻨﻤﺬﺟ ﹺﺔ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎ ﹺت اﻟﺤﻴﺎﺗﻴ ﹺﺔ‬ ‫ومداها وأصفارها‪ .‬وكذلك تعلموا جمع المقادير الجبرية‪،‬‬ ‫ﺟﻤ ﹶﻊ ﻛﺜﻴﺮا ﹺت اﻟﺤﺪو ﹺد‪ ،‬وﻃﺮ ﹶﺣﻬﺎ‪ ،‬وﺿﺮ ﹶﺑﻬﺎ‪ ،‬وﻗﺴﻤ ﹶﺘﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺑﺼﻮر ﹴة رﻳﺎﺿﻴ ﹴﺔ ﹸﺗﺴــ ﱢﻬ ﹸﻞ ﻓﻬ ﹶﻤﻬﺎ‪ .‬ﻓﻤﺜ ﹰﻼ‪ ،‬ﹸﺗﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ‬ ‫وطرحها‪ ،‬وضربها‪ ،‬وتحليل العبــارة الثلاثية‪ ،‬والفرق بين‬ ‫ﺑﻌ ﹸﺾ أﻧﻮا ﹺع اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت ﻟﻮﺻ ﹺﻒ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ أﺳﻌﺎ ﹺر‬ ‫مربعين‪ ،‬ومجموع مكعبين‪ ،‬والفرق بينهما‪ .‬وتعلموا أي ًضا‬ ‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻟﻨﺴﺒﻴ ﹶﺔ‪ ،‬وﻣﺠﺎ ﹶﻟﻬﺎ‪ ،‬وﻣﺪاﻫﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺴــﻠ ﹺﻊ واﻟﻜﻤﻴﺎ ﹺت اﻟﻤﺒﻴﻌ ﹺﺔ ﻣﻨﹾﻬﺎ‪ .‬ﺳــﺄﺗﻌ ﱠﺮ ﹸف ﻓﻲ‬ ‫المتتاليــات الخطية‪ ،‬والتربيعية‪ ،‬والتكعيبية‪ ،‬ووصف الحد‬ ‫ﺗﺮﻛﻴــ ﹶﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت‪ ،‬واﻻﻗﺘــﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴــ ﱠﻲ‪ ،‬واﻻﻗﺘﺮا ﹶن‬ ‫العام لك ٍّل منها‪ .‬وسيتعلمون في هذه الوحدة الاقتران كثير‬ ‫ﻫﺬ ﹺه اﻟﻮﺣــﺪ ﹺة أﻧﻮا ﹰﻋﺎ ﻋﺪﻳﺪ ﹰة ﻣــ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت‬ ‫الحدود‪ ،‬ودرجته‪ ،‬ومعاملاته‪ ،‬وصورته القياســية والعامة‪،‬‬ ‫اﻟﺠﺬر ﱠي‪.‬‬ ‫واﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴــﺎ ﹺت ذا ﹺت اﻻﺳــﺘﻌﻤﺎﻻ ﹺت‬ ‫وتمثيله بيان ًّيا‪ ،‬وإيجاد مجاله ومداه وأصفاره بالتحليل إلى‬ ‫اﺳــﺘﻨﺘﺎ ﹶج ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹴت ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﺗﻜﻌﻴﺒﻴ ﹴﺔ‪،‬‬ ‫اﻟﺤﻴﺎﺗﻴ ﹺﺔ اﻟﻜﺜﻴﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫العوامل‪ ،‬وتطبيق عمليات الجمع والطرح والقســمة على‬ ‫كثيرات الحــدود‪ ،‬ويتعرفون الاقتران النســبي‪ ،‬ويجدون‬ ‫و ﹸأ ﱢﺳﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ْﻤ ُﺖ ﺳﺎﺑ ًﻘﺎ‪:‬‬ ‫مجاله ومــداه‪ ،‬و ُيم ِّثلونه بيان ًّيا‪ ،‬ويجــدون خطوط تقارب‬ ‫ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹶﺔ‪ ،‬واﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹶﺔ‪ ،‬وﺗﻤﺜﻴ ﹶﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ‪.‬‬ ‫منحناه‪ .‬ســيتعلمون أي ًضا تركيب الاقترانــات‪ ،‬والاقتران‬ ‫ إﻳﺠﺎ ﹶد اﻟﻘﻴﻤــ ﹺﺔ اﻟﻌﻈﻤــﻰ أ ﹺو اﻟﻘﻴﻤ ﹺﺔ اﻟﺼﻐﺮ￯‬ ‫العكســي‪ ،‬وإيجاد المجــال والمدى للاقتــران ال ُمر َّكب‬ ‫والاقتران العكســي‪ ،‬والعلاقة بين الاقتران ومعكوســه‪.‬‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫وكذلك ســيتعلمون المتتاليات الأســية بوصفهــا اقترا ًنا‪،‬‬ ‫ ﺗﻜﻮﻳ ﹶﻦ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﺣ ﱠﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫ ﺟﻤ ﹶﻊ ﻣﻘﺎدﻳ ﹶﺮ ﺟﺒﺮﻳ ﹴﺔ‪ ،‬وﻃﺮ ﹶﺣﻬﺎ‪ ،‬وﺿﺮ ﹶﺑﻬﺎ‪.‬‬ ‫ويجدون حدها العام‪.‬‬ ‫ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴــﺎ ﹺت اﻟﺨ ﱢﻄﻴــ ﹶﺔ‪ ،‬واﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴــ ﹶﺔ‪ ،‬وﻛﺘﺎﺑ ﹶﺔ‬ ‫الترابط الرأسي بين الصفوف‬ ‫ﺣﺪو ﹺدﻫﺎ‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫لاح ًقا‬ ‫الصف العاشر‬ ‫ساب ًقا‬ ‫ •تعرف كثيرات الحدود‪ ،‬وتمثيلها بيان ًّيا‪ ،‬وإيجاد مجالها‬ ‫الصف الحادي عشر العلمي‬ ‫الصف التاسع‬ ‫ومداها وأصفارها‪.‬‬ ‫ •تمثيـل الاقترانـات الأسـية واللوغاريتميـة‬ ‫ •تطبيق عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة‬ ‫ •تعـرف المقاديـر الجبريـة‪ ،‬وتحليلهـا إلـى‬ ‫والمتفرعــة‪ ،‬واســتنتاج خواصهــا‬ ‫عواملهـا الأوليـة‪.‬‬ ‫على كثيرات الحدود‪.‬‬ ‫الأساســية‪.‬‬ ‫ •تعرف الاقترانات النسبية‪ ،‬وإيجاد مجالها ومداها‬ ‫ •وصــف الاقترانــات التربيعيــة‪ ،‬وتمثيلهــا‬ ‫بيان ًّيــا‪ ،‬وإيجــاد مجالهــا ومداهــا‬ ‫ •اكتشــاف المتتاليــات والمتسلســات‬ ‫وخطوط تقارب منحنياتها‪ ،‬وتمثيلها بيان ًّيا‪.‬‬ ‫الحســابية والهندســية‪ ،‬وإيجــاد حدهــا‬ ‫ •إيجاد نتيجة تركيب اقترانين‪ ،‬ومجال الاقتران ال ُمر َّكب‬ ‫و أ صفا ر هــا ‪.‬‬ ‫العــام ومجمــوع (‪ )n‬مــن حدودهــا‪.‬‬ ‫ومداه‪.‬‬ ‫ •وصــف الحــد العــام لمتتاليــات خطيــة‬ ‫ •إيجــاد مجمــوع متسلســات هندســية‬ ‫ •إيجاد معكوس الاقتران‪ ،‬وتحديد المجال والمدى‬ ‫وتربيعيـة وتكعيبيـة‪ ،‬والتعبيـر عنـه بمقـدار‬ ‫لانهائيــة تقاربيــة‪.‬‬ ‫لك ٍّل من الاقتران ومعكوسه‪.‬‬ ‫جبــري‪.‬‬ ‫ •إدخـال أوسـاط حسـابية وهندسـية بيـن‬ ‫ •تعرف الاقترانات الجذرية‪ ،‬وإيجاد مجالها ومداها‪.‬‬ ‫عدديــن‪.‬‬ ‫ •وصف الحد العام لمتتاليات أسية‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫مشروع الوحدة‪ :‬نمذجة علاقات حياتية‬ ‫ﻣﺸﺮو ُع‬ ‫ﻧﻤﺬﺟ ُﺔ ﻋﻼﻗﺎ ٍت ﺣﻴﺎﺗﻴ ٍﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ِل ﻛﺜﻴﺮا ِت اﻟﺤﺪو ِد‬ ‫باستعمال كثيرات الحدود‪.‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫هدف المشــروع‪ :‬نمذجة العلاقة بين متغيرين من الحياة‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﻤﺸﺮو ِع ﺟﻤ ﹸﻊ ﺑﻴﺎﻧــﺎ ﹴت ﻋ ﹺﻦ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻓﻲ أﺣ ﹺﺪ اﻟﻤﺠﺎﻻ ﹺت اﻟﺤﻴﺎﺗﻴ ﹺﺔ‪ ،‬وﻧﻤﺬﺟ ﹸﺘﻬﺎ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻗﺘﺮا ﹴن‬ ‫اليومية باقتران كثير حدود‪ ،‬واســتعمال النمــوذج للتنبؤ بقيمة‬ ‫ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد‪.‬‬ ‫أحد المتغيرين بافتراض معلومية الآخر‪ ،‬وتعرف خصائص هذا‬ ‫اﻟﻤﻮا ﱡد واﻷدوا ُت ﺟﻬﺎ ﹸز ﺣﺎﺳﻮ ﹴب‪ ،‬ﺷﺒﻜ ﹸﺔ إﻧﺘﺮﻧ ﹾﺖ‪ ،‬ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹸﺔ إﻛﺴﻞ )‪.(Microsoft Excel‬‬ ‫النموذج‪ ،‬وتعيين مجاله ومداه‪ ،‬وإيجاد معكوسه إن أمكن‪.‬‬ ‫ﺧﻄﻮا ﹸت ﺗﻨﻔﻴ ﹺﺬ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪:‬‬ ‫خطوات تنفيذ المشروع‬ ‫‪ 1‬أﺧﺘــﺎ ﹸر أﻧﺎ وأﻓﺮا ﹸد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻟﺠﻤ ﹺﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎ ﹴت ﺣﻮ ﹶﻟ ﹸﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ‪ :‬ﺗﻜﻠﻔ ﹺﺔ إﻧﺘﺎ ﹺج ﺳــﻠﻌ ﹴﺔ ﹸﻣﻌ ﱠﻴﻨ ﹴﺔ‪ ،‬وﻋﺪ ﹺد اﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟ ﹸﻤﻨ ﹶﺘﺠ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹾو‬ ‫ •عــ ِّرف الطلبة بالمشــروع وأهميته في تعلــم موضوعات‬ ‫ﻋﺪ ﹺد ﺳﺎﻋﺎ ﹺت اﻟﻨﻬﺎ ﹺر ﻓﻲ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﺪ ﹺن ﻓﻲ أﻳﺎ ﹴم ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹴﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻌﺎ ﹺم‪ ،‬أ ﹾو أ ﱢي ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ آﺧﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫الوحدة‪.‬‬ ‫‪ 2‬أﺟﻤ ﹸﻊ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎ ﹺت‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأد ﱢو ﹸﻧﻬﺎ ﻓﻲ ﺟﺪو ﹴل ﻣ ﹾﻦ ﻋﻤﻮد ﹾﻳ ﹺﻦ‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻳﺤﻮي اﻟﻌﻤﻮ ﹸد اﻷو ﹸل ﻗﻴ ﹶﻢ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪ ،x‬وﻳﺤﻮي اﻟﻌﻤﻮ ﹸد اﻟﺜﺎﻧﻲ اﻟﻘﻴ ﹶﻢ‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات (ثلاثية‪ ،‬أو رباعية)‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫إلى أفراد كل مجموعة أن يوزعوا الأدوار بينهم‪ ،‬ويختاروا‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻨﺎﻇﹺﺮ ﹶة ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪) y‬ﻳﺠ ﹸﺐ ﺟﻤ ﹸﻊ ﻣﺎ ﻻ ﻳﻘ ﱡﻞ ﻋ ﹾﻦ ‪ 15‬زو ﹰﺟﺎ(‪.‬‬ ‫‪ 3‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹶﺔ إﻛﺴــﻞ ﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻷزوا ﹺج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒ ﹺﺔ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹺد اﻗﺘﺮا ﹴن ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻷﻓﻀ ﹺﻞ ﺗﻤﺜﻴ ﹰﻼ‬ ‫ُمق ِّر ًرا لهم‪.‬‬ ‫ •اطلــب إلى أفراد كل مجموعة إعداد المشــروع‪ ،‬ثم كتابة‬ ‫ﻟﻬﺎ ﺑﺎﺗﺒﺎ ﹺع اﻟﺨﻄﻮا ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫تقرير مفصل عنه‪ ،‬ودور كل منهم في إنجازه‪.‬‬ ‫ﹸأد ﹺﺧ ﹸﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧــﺎ ﹺت ﻓﻲ ﻋﻤﻮد ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺘﺠﺎور ﹾﻳ ﹺﻦ ﺿﻤ ﹶﻦ ﺻﻔﺤ ﹺﺔ إﻛﺴــﻞ‪ ،‬و ﹸأﻇ ﱢﻠــ ﹸﻞ اﻟﻌﻤﻮد ﹾﻳ ﹺﻦ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺧﺘﺎ ﹸر‬ ‫ •وجــه أفراد المجموعــات إلى اختيار متغيريــن من واقع‬ ‫) ﹸﻣﺨ ﱠﻄﻄﺎ ﹲت( ﻣ ﹾﻦ ﺗﺒﻮﻳﺒ ﹺﺔ )إدرا ﹲج(‪ ،‬وأﻧﻘ ﹸﺮ ) ﹸﻣﺒﻌ ﹶﺜ ﹲﺮ( ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺧﺘﺎ ﹸر اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄﻂ اﻟﺬي ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹶﺔ‬ ‫الحياة‪ ،‬مثل‪ :‬العمر بالســنوات‪ ،‬والطول بالســنتيمترات‬ ‫لأفراد تتراوح أعمارهم بين ســنة و‪ 15‬سنة؛ وطول عظمة‬ ‫ﻧﻘﺎ ﹴط ﻣﻨﻔﺼﻠ ﹴﺔ‪ ،‬ﻓﻴﻈﻬ ﹸﺮ ﹸﻣﺨ ﱠﻄ ﹲﻂ ﺑﻴﺎﻧ ﱞﻲ‪.‬‬ ‫العضد‪ ،‬وطول الجسم لمجموعة متنوعة من الأشخاص‪.‬‬ ‫أﻧﻘ ﹸﺮ ﺑﺰ ﱢر اﻟﻔﺄر ﹺة اﻷﻳﻤ ﹺﻦ إﺣﺪ￯ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺧﺘﺎ ﹸر أﻳﻘﻮﻧ ﹶﺔ )إﺿﺎﻓ ﹸﺔ ﺧ ﱢﻂ اﺗﺠﺎ ﹴه( ﻣ ﹶﻦ اﻟﻘﺎﺋﻤ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﻨﺴ ﹺﺪﻟ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫ •ب ِّين لأفراد المجموعات معايير تقييم المشــروع‪ ،‬واعرض‬ ‫ﻓﻴﻈﻬ ﹸﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴ ﹲﻢ ﻳﺘﻮ ﱠﺳ ﹸﻂ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط‪ ،‬وﺗﻈﻬ ﹸﺮ ﺧﻴﺎرا ﹸت اﻟﺘﻨﺴﻴ ﹺﻖ ﺟﺎﻧ ﹰﺒﺎ‪ ،‬ﻓﺄﻧﻘ ﹸﺮ اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺑ ﹶﻊ أﻣﺎ ﹶم أﻳﻘﻮﻧ ﹺﺔ )ﻋﺮ ﹸض اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄ ﹺﻂ(‪،‬‬ ‫عليهم أداة التقييم‪ُ ،‬من ِّو ًها بأ َّنه يمكنهم طرح أي استفسارات‬ ‫ﻟﺘﻈﻬ ﹶﺮ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹺﻢ اﻟﺘﻲ ﻫ ﹶﻲ ﻗﺎﻋﺪ ﹸة اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﻄﻠﻮ ﹺب‪.‬‬ ‫عن المشروع في أثناء دراستهم هذه الوحدة‪.‬‬ ‫إذا ﻻﺣ ﹾﻈ ﹸﺖ أ ﱠن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹶﻢ أ ﹺو اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻈﺎﻫ ﹶﺮ ﻻ ﹸﻳﻨﺎ ﹺﺳ ﹸﺐ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧﻨﻲ أﺳﺘﻄﻴ ﹸﻊ ﺗﻐﻴﻴ ﹶﺮ ﻧﻮ ﹺﻋ ﹺﻪ؛ إ ﹾذ ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ ﻣﺜ ﹰﻼ اﺧﺘﻴﺎ ﹸر ﹸﻣﺘﻌ ﱢﺪ ﹺد‬ ‫ •ذ ِّكر أفراد المجموعات بأهمية إنجاز المشــروع مع نهاية‬ ‫اﻟﺤﺪو ﹺد )أ ﹾي ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد(‪ ،‬واﺧﺘﻴﺎ ﹸر اﻟﺘﺮﺗﻴ ﹺﺐ )أ ﹾي درﺟ ﹺﺔ ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد( اﻟﻤﻨﺎﺳ ﹺﺐ‪.‬‬ ‫دراسة هذه الوحدة‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ أﺣﺼ ﹸﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹺﻢ أ ﹺو اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻷﻧﺴ ﹺﺐ ﻟﻠﻨﻘﺎ ﹺط أﻛﺘ ﹸﺐ ﻗﺎﻋﺪ ﹶة اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪.‬‬ ‫عرض النتائج‬ ‫‪ 4‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶل اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪ ،‬وﻣﺪا ﹸه‪ ،‬وأﺻﻔﺎ ﹶر ﹸه‪ ،‬وﻧﻘﺎ ﹶط اﻟﻘﻴ ﹺﻢ اﻟﻘﺼﻮ￯ اﻟﻤﺤﻠﻴ ﹺﺔ ﻟ ﹸﻪ‪.‬‬ ‫ •اطلــب إلى أفراد كل مجموعة المشــاركة في عرض جزء‬ ‫‪ 5‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ )إ ﹾن ﹸو ﹺﺟ ﹶﺪ(‪ ،‬و ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ‪ ،‬وﻣﺪا ﹸه‪ ،‬و ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد ﻓﺎﺋﺪ ﹶﺗ ﹸﻪ‪ ،‬ودﻻﻻﺗﹺ ﹺﻪ ﻓﻲ ﺳﻴﺎ ﹺق ﻣﻮﺿﻮ ﹺع اﻟﺒﺤ ﹺﺚ‪.‬‬ ‫من نتائج المشــروع (تكمن أهمية هذه الخطوة في تعزيز‬ ‫مهــارات الطلبة التكنولوجية‪ ،‬ومهاراتهــم الحياتية‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫ﻋﺮ ﹸض اﻟﻨﺘﺎﺋ ﹺﺞ‪:‬‬ ‫ﹸأ ﹺﻋ ﱡﺪ ﻣ ﹶﻊ أﻓﺮا ﹺد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﻋﺮ ﹰﺿﺎ ﺗﻘﺪﻳﻤ ﹰﹼﻴﺎ )ﺑﻮرﺑﻮﻳﻨﺖ( ﹸﻧﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺧﻄﻮا ﹺت اﻟﻌﻤ ﹺﻞ ﻓﻲ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع واﻟﻨﺘﺎﺋ ﹶﺞ اﻟﺘﻲ ﺗﻮ ﱠﺻ ﹾﻠﻨﺎ إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﹸﻣﻮ ﱠﺿﺤ ﹰﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮ ﹺر‬ ‫التواصل‪ ،‬والتعاون)‪.‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أهمية اشــتمال التقرير على الصعوبات التي‬ ‫واﻟﺮﺳﻮ ﹺم‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﻧﻌﺮ ﹸﺿ ﹸﻪ أﻣﺎ ﹶم اﻟﺰﻣﻼ ﹺء ﻓﻲ ﻣﺨﺘﺒ ﹺﺮ اﻟﺤﺎﺳﻮ ﹺب‪.‬‬ ‫واجهتهم‪ ،‬وكيفية التغلب عليهــا‪ ،‬والمعلومات الجديدة‬ ‫التــي تع َّرفوها‪ ،‬ومقترحاتهم عن كيفية تطوير المشــروع؛‬ ‫‪7‬‬ ‫تعزي ًزا لمهارات حل المشكلات لديهم‪.‬‬ ‫أداة تقييم المشروع‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تدوين تقييمهم الذاتي للمشروع‪ ،‬ون ِّبههم‬ ‫‪321‬‬ ‫المعيار‬ ‫الرقم‬ ‫إلى إمكانية الاستعانة بأداة التقييم المجاورة‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى طلبة الصف التصويت على المشروع الأفضل‪.‬‬ ‫اختيار متغيرين مناسبين من واقع الحياة يدلان على سعة الأفق‬ ‫‪ 1‬والابتكار‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 2‬جمع البيانات بطريقة علمية موثوقة‪.‬‬ ‫‪ 3‬المشاركة الفاعلة لجميع أفراد المجموعة‪.‬‬ ‫‪ 4‬دقة الحسابات المتوقعة باستعمال النموذج‪.‬‬ ‫‪ 5‬مراعــاة أن يكون التقريــر المكتوب كامــ ًا‪ ،‬ومنظ ًما‪،‬‬ ‫ويحوي رسو ًما توضيحية‪.‬‬ ‫‪ 6‬اتصاف العرض التقديمي بالوضوح والشمول‪.‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود أكثر من خطأ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود خطأ بسيط‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إنجاز المهمة بصورة صحيحة من دون خطأ‪.‬‬

‫أﺳﺘﻌ ﱡﺪ ﻟﺪراﺳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪ :5‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ُت‬ ‫التقويم القبلي (التشخيصي)‪:‬‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ ﻗﺒ ﹶﻞ اﻟﺒﺪ ﹺء ﺑﺪراﺳ ﹺﺔ اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪ ،‬وﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻋﺪ ﹺم ﺗﺄ ﱡﻛﺪي ﻣ ﹶﻦ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ أﺳﺘﻌﻴ ﹸﻦ ﺑﺎﻟﻤﺮاﺟﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ •استعمل صفحة (أســتعد لدراســة الوحدة) في كتاب التمارين‬ ‫والأنشطة العملية؛ لمســاعدة الطلبة على تذ ُّكر المعرفة السابقة‬ ‫إﻳﺠﺎ ُد ﺻﻮر ِة ﻋﺪ ٍد ﻓﻲ اﻻﻗﺘﺮا ِن‪.‬‬ ‫اللازمة لدراسة هذه الوحدة‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 3x-2‬ﹶو‪ ،g(x) = x2 -2x -3‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪1 g(0) -3‬‬ ‫‪2 f(2) 4‬‬ ‫‪3 f(-3) -11‬‬ ‫‪4 g(-4) 21‬‬ ‫‪g(x) =2x2 + 5x + 4‬‬ ‫ﻣﺜﺎ ٌل‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،g(x) =2x2 +5x + 4‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪g(-2‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل الأسئلة‪ ،‬ثم تج َّول بينهم‪ ،‬وحث الطلبة الذين‬ ‫‪g(-2) = 2(-2)2 + 5(-2) + 4‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪ ﹸة اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫يواجهون صعوبة في حل أي سؤال على قراءة المثال المقابل له‪.‬‬ ‫‪= 8 - 10 + 4 = 2‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪x = -2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪1 -3( 2x - 2y - 4) -6x +6y + 12‬‬ ‫ﺗﺒﺴﻴ ُﻂ اﻟﻤﻘﺎدﻳ ِﺮ اﻟﺠﺒﺮﻳ ِﺔ‪.‬‬ ‫ •إذا واجه بعض الطلبة صعوبة في حل الأسئلة‪ ،‬فاستعن بالمسائل‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫الإضافية الآتية‪:‬‬ ‫‪2 (4a + b) + 2(a -3b) 6a -5b‬‬ ‫‪3 5x2(2x - 5) 10x3 -25 x2‬‬ ‫‪4 (x - 3)2 + 11x x2 + 5x + 9‬‬ ‫ »إذا كان ‪ ،f(x)= 2x + 5‬فجد قيمة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎ ٌل‪ :‬أﻛﺘ ﹸﺐ ‪ -2a(3a - 2b - 5) + 5a2‬ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪.‬‬ ‫‪-2a(3a -2b -5) +5a 2‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺪا ﹸر اﻷﺻﻠ ﱡﻲ‬ ‫ )‪1   f(0) 2   f(3‬‬ ‫)‪3   f(-1‬‬ ‫‪= -2a(3a)-2a(-2b) -2a(-5) +5a2‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴ ﹸﺔ اﻟﺘﻮزﻳ ﹺﻊ‬ ‫‪= -6a 2 + 4ab + 10a + 5a 2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪ 5 11 3‬‬ ‫‪= -a 2 + 4ab + 10a‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﺘﻌﺒﻴ ُﺮ ﻋ ْﻦ ُﻣﺘﻐ ﱢﻴ ٍﺮ ﺑﺪﻻﻟ ِﺔ اﻵﺧ ِﺮ‪.‬‬ ‫ »اكتب ك ًّل م ّما يأتي في أبسط صورة‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪ y‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪4   3(2x -5) + 4x 10x - 15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = 4x - 7‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪y+7‬‬ ‫‪2 y = 3 - 5x‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪3-y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5   4a(2a2+ 5ab3 +2)  8a3+20a2b3+8a‬‬ ‫‪3 y = x2 - 5 √y+5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪+1‬‬ ‫‪1+y‬‬ ‫‪2x - 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6   (3x2 – 4x) + (7x + 5)  3x2+3x+5‬‬ ‫ »جد ‪ x‬بدلالة ‪ y‬في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫أﺳﺘﻌ ﱡﺪ ﻟﺪراﺳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪ :5‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ُت‬ ‫ ‪7   y = x + 4‬‬ ‫‪x = y -4‬‬ ‫= ‪ F‬ﻟﺘﺤﻮﻳ ﹺﻞ درﺟ ﹺﺔ اﻟﺤﺮار ﹺة ﻣ ﹾﻦ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس ﺳﻴﻠﺴﻴﻮس ‪ C‬إﻟﻰ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس ﻓﻬﺮﻧﻬﺎﻳﺖ ‪.F‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﹸﺗﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ اﻟﺼﻴﻐ ﹸﺔ‪C + 32 :‬‬ ‫ ‪8   y = 5x‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪9   y = 4x + 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 5‬ﹸأﺣ ﱢﻮ ﹸل ‪ 40° C‬إﻟﻰ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس ﻓﻬﺮﻧﻬﺎﻳﺖ ‪ 6 104°F .F‬ﹸأﺣ ﱢﻮ ﹸل ‪ 86° F‬إﻟﻰ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس ﺳﻴﻠﺴﻴﻮس ‪30°C .C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫)‪(y-3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﺜﺎ ٌل‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪ y‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪a) y = 3x - 8‬‬ ‫ »أجد الحدين التاليين في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷﺻﻠﻴ ﹸﺔ‬ ‫‪y = 3x - 8‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 8‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪10   2, 4, 6, 8,…. 10, 12‬‬ ‫‪y + 8 = 3x‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪3‬‬ ‫= ‪b) y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y+8 =x‬‬ ‫‪2-x‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷﺻﻠﻴ ﹸﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ )‪(2-x‬‬ ‫‪11   40, 35, 30, 25,…. 20,15‬‬ ‫‪y= 3‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 2y‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﺿﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ‪-1‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪y‬‬ ‫‪2-x‬‬ ‫‪y (2-x) = 3‬‬ ‫‪2y – yx = 3‬‬ ‫‪yx = 2y - 3‬‬ ‫‪x = 2y - 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫إجابات المسائل (أختبر معلوماتي)‪:‬‬ ‫إﻳﺠﺎ ُد ﺣﺪو ِد ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ٍﺔ‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪1 4, 7, 10, 13, ….‬‬ ‫‪2 100, 94, 88,82, ….‬‬ ‫‪3 3, 6, 11, 18, ….‬‬ ‫ ‪13)  104°F‬‬ ‫ ‪14) 30°C‬‬ ‫‪15)  16, 19‬‬ ‫‪16, 19‬‬ ‫‪76, 70‬‬ ‫‪27, 38‬‬ ‫ ‪16)  76, 70‬‬ ‫‪17)  27, 38‬‬ ‫ﻣﺜﺎ ٌل‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪2, 7, 12, 17, … :‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ﻛ ﱠﻞ ﺣ ﱟﺪ ﻳﺰﻳ ﹸﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺬي ﻳﺴﺒ ﹸﻘ ﹸﻪ ﺑﻤﻘﺪا ﹴر ﺛﺎﺑ ﹴﺖ ﻫ ﹶﻮ ‪:5‬‬ ‫‪7-2 = 12 - 7 = 17 - 12 = 5‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﺤ ﹼﺪا ﹺن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎ ﹺن ﻫﻤﺎ‪17 + 5 = 22 , 22+ 5 = 27 :‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7A‬‬

‫الدرس‬ ‫اﻗﺘﺮاﻧﺎ ُت ﻛﺜﻴﺮا ِت اﻟﺤﺪو ِد‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Polynomial Functions‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﺗﻌ ﱡﺮ ﹸف اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت ﻛﺜﻴﺮا ﹺت اﻟﺤﺪو ﹺد‪ ،‬وﺗﻤﺜﻴ ﹸﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ‪ ،‬وإﺟﺮا ﹸء ﻋﻤﻠﻴﺎ ﹺت اﻟﺠﻤ ﹺﻊ واﻟﻄﺮ ﹺح واﻟﻀﺮ ﹺب ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ‪،‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫ •يتعرف كثير الحدود وصورته القياسية‪ ،‬ويعين درجته‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫وﺣ ﱡﻞ ﻣﺴﺎﺋ ﹶﻞ ﻋﻨﹾﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ومعاملاته وأصفاره‪.‬‬ ‫وﺣﻴ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱢﺪ‪ ،‬ﻛﺜﻴ ﹸﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد‪ ،‬اﻟﻤﻌﺎﻣ ﹸﻞ اﻟﺮﺋﻴ ﹸﺲ‪ ،‬اﻟﺪرﺟ ﹸﺔ‪ ،‬اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴ ﹸﺔ ﻟﻜﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد‪ ،‬ﻛﺜﻴ ﹸﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد‬ ‫ •يمثل كثيرات الحدود بيان ًّيا‪ ،‬ويعين مجالها ومداها‪.‬‬ ‫ •يطبق عمليات الجمع والطرح والضرب على كثيرات‬ ‫اﻟﺼﻔﺮ ﱡي‪ ،‬اﻟﻤﺠﺎ ﹸل‪ ،‬اﻟﻤﺪ￯‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻨﺘﹺــ ﹸﺞ ﻣﺼﻨ ﹲﻊ ﹸﺛ ﹶﺮ ﹼﻳﺎ ﹴت ﻋﺪ ﹸدﻫﺎ ‪ x‬ﹸﺛ ﹶﺮ ﹼﻳﺎ أﺳــﺒﻮﻋ ﹰﹼﻴﺎ‪ ،‬ﺣﻴــ ﹸﺚ ‪ ،0 ≤ x ≤ 350‬وﻳﺒﻴ ﹸﻊ اﻟﻮاﺣﺪ ﹶة‬ ‫الحدود‪.‬‬ ‫ﻣﻨﹾﻬــﺎ ﺑﺴــﻌ ﹺﺮ )‪ (150 – 0.3x‬دﻳﻨــﺎ ﹰرا‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﺗﻜﻠﻔ ﹸﺔ إﻧﺘــﺎ ﹺج ‪ x‬ﹺﻣــ ﹶﻦ اﻟ ﱡﺜ ﹶﺮ ﹼﻳﺎ ﹺت ﻫ ﹶﻲ‬ ‫ •يحل مسائل حياتية تتع َّلق بكثيرات الحدود‪.‬‬ ‫)‪ (6300 + 60x – 0.1x2‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪ ،‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ رﺑ ﹶﺢ اﻟﻤﺼﻨ ﹺﻊ ﻣ ﹾﻦ إﻧﺘﺎ ﹺج ‪ x‬ﹸﺛ ﹶﺮ ﹼﻳﺎ أﺳﺒﻮﻋ ﹰﹼﻴﺎ وﺑﻴ ﹺﻌﻬﺎ‪.‬‬ ‫المواد والأدوات‪:‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹸن وﺣﻴ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱢﺪ )‪ (monomial‬ﺑ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹴﺮ واﺣ ﹴﺪ ﻫ ﹶﻮ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻗﺎﻋﺪ ﹸﺗ ﹸﻪ ﻧﺎﺗ ﹸﺞ ﺿﺮ ﹺب ﻋﺪ ﹴد ﺣﻘﻴﻘ ﱟﻲ‪،‬‬ ‫برمجية جيوجبرا‪ ،‬ورق رسم بياني‪ ،‬آلة حاسبة‪.‬‬ ‫ﹸﻳﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎﻣ ﹶﻞ‪ ،‬ﻓﻲ ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴ ﹴﺮ ﹸأ ﱡﺳ ﹸﻪ ﻋﺪ ﹲد ﺻﺤﻴ ﹲﺢ ﻏﻴ ﹸﺮ ﺳﺎﻟ ﹴﺐ‪ .‬واﻟﺠﺪو ﹸل اﻵﺗﻲ ﻳﻌﺮ ﹸض ﺑﻌ ﹶﺾ اﻷﻣﺜﻠ ﹺﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ وﺣﻴ ﹺﺪ اﻟﺤ ﱢﺪ‪ ،‬و ﹸأ ﱢﺳ ﹺﻪ‪ ،‬وﻣﻌﺎﻣ ﹺﻠ ﹺﻪ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪√7 x3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪3x2‬‬ ‫وﺣﻴ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱢﺪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪01352‬‬ ‫اﻷﹸ ﱡس‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√7‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎﻣ ﹸﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹸن ﻛﺜﻴ ﹸﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد )‪ (polynomial‬ﺑ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹴﺮ واﺣ ﹴﺪ ﻫ ﹶﻮ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻳﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣ ﹾﻦ وﺣﻴ ﹺﺪ ﺣ ﱟﺪ واﺣ ﹴﺪ‪ ،‬أ ﹾو‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹺع ﹺﻋ ﱠﺪ ﹺة اﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹴت وﺣﻴﺪ ﹺة اﻟﺤ ﱢﺪ ﺑ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹴﺮ واﺣ ﹴﺪ‪ .‬وﻣ ﹾﻦ أﻣﺜﻠﺘﹺ ﹺﻪ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹸت اﻵﺗﻴ ﹸﺔ‪:‬‬ ‫‪f(x)= 2 f(x)= 3x – 4 f(x)= x2 + 4x-5 g(x) = -3x2 +1.5x4 -3‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ﱞﻲ‬ ‫ •حساب قيمة الاقتران لقيم معلومة للمتغير المستقل‪.‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻌﺎﻣ ﹸﺔ ﻟﻜﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد‪:‬‬ ‫ •تمثيل المعادلات بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ •ضرب حد جبــري في آخر‪ ،‬وكتابة الناتج في أبســط‬ ‫‪f(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1x1 + a0‬‬ ‫صورة‪.‬‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ‪ :n :‬ﻋﺪ ﹲد ﺻﺤﻴ ﹲﺢ ﻏﻴ ﹸﺮ ﺳﺎﻟ ﹴﺐ‪ :x .‬ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴ ﹲﺮ‪.‬‬ ‫‪ : an , an-1 , an-2 , ..., a1 , a0‬أﻋﺪا ﹲد ﺣﻘﻴﻘﻴ ﹲﺔ ﹸﺗﺴ ﹼﻤﻰ ﻣﻌﺎﻣﻼ ﹺت ﺣﺪو ﹺد ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبــة بالعلاقــة‪ ،‬والاقتران‪ ،‬والفــرق بينهما‪،‬‬ ‫والرمــز المســتخدم للاقتــران‪ :‬اكتــب الاقتــران‬ ‫‪ ،f(x) = 3x + 5‬ثم اطلب إليهم إيجاد ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫)‪f(0), f(2), f(-3‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تمثيل المعادلة‪y = f(x) = 2x -3 :‬‬ ‫بيان ًّيا‪،‬ثمنا ِقشهمفيمقطعيالخطالبيانيمنالمحورين‬ ‫وما ُيم ِّثلانه في هذه المعادلة‪.‬‬ ‫ •اطلــب إلــى الطلبــة تبســيط ك ٍّل م ّمــا يأتــي‪:‬‬ ‫)‪(2x2y3)(3xy2), (2xy3)(-2.5y4‬‬ ‫‪8‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »إذا أنتج المصنع ‪ 100‬ثريا‪ ،‬فبكم دينا ًرا يبيع الواحدة؟ ‪ 120‬دينا ًرا‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما تكلفة إنتاج ‪ 100‬ثريا؟ ‪ 11300‬دينار‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »كيف تجد ربح المصنع مــن إنتاج عدد من الثريات وبيعها؟ طرح تكلفة الإنتاج من ثمن بيع‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫الثريات‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما ربح المصنع من إنتاج ‪ 100‬ثريا وبيعها؟ ‪ 700‬دينار‪.‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة مفهوم وحيد الحد‪ ،‬وكثير الحدود‪ ،‬ورمز الاقتران وقراءته‪ ،‬واذكر أمثلة على ذلك‪.‬‬ ‫ •ناقش الطلبة في الصورة العامة للاقتران كثير الحدود‪ ،‬والتسميات المتعلقة بكثيرات الحدود‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ذكر أمثلة على كثيرات الحدود‪ ،‬وأمثلة على غير كثيرات الحدود‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •شارك الطلبة في حل المثال ‪ 1‬الذي ُيب ِّين طريقة تحديد إذا كان الاقتران المعطى ُيم ِّثل كثير حدود‬ ‫أم لا‪ ،‬وتحديد الدرجة وبعض المعاملات إن كان كثير حدود‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫مثال إضافي‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ح ِّدد إذا كان ك ٌّل م ّما يأتي كثير حدود أم لا‪ .‬وإذا كان كثير حدود‪ ،‬فاكتبه بالصورة القياسية‪ ،‬ثم ح ِّدد‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫المعامل الرئيس‪ ،‬والدرجة‪ ،‬والحد الثابت‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫لا ‪a)  f(x) = x4 -3x3 + ∛x +6‬‬ ‫‪b)  h(x) = 5x2 -3x5 +4x + 7‬‬ ‫نعم‪ ،‬كثير حدود‪ ،‬صورته القياسية‪:‬‬ ‫‪ ،h(x) = -3x5 +5x2 +4x +7‬ومعامله الرئيس‪ ،-3 :‬ودرجته ‪ ،5‬وحده الثابت ‪7‬‬ ‫ )‪c‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3 - 2x2‬‬ ‫لا‬ ‫‪x-3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪8A‬‬

‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، an ≠ 0‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎﻣ ﹶﻞ اﻟﺮﺋﻴ ﹶﺲ )‪ ،(leading coefficient‬ودرﺟ ﹸﺔ )‪(degree‬‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد ﻫ ﹶﻲ أﻛﺒ ﹸﺮ ﹸأ ﱟس ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ﻓﻲ ﺟﻤﻴ ﹺﻊ ﺣﺪو ﹺد ﹺه‪ ،‬و ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ ‪ a0‬اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﺜﺎﺑ ﹶﺖ‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫ﻳﻜــﻮ ﹸن ﻛﺜﻴ ﹸﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد ﻣﻜﺘﻮ ﹰﺑﺎ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴ ﹺﺔ )‪ (standard form‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﺣﺪو ﹸد ﹸه ﻣﻜﺘﻮﺑ ﹰﺔ‬ ‫ﺑﺘﺮﺗﻴ ﹴﺐ ﺗﻨﺎزﻟ ﱟﻲ ﻣ ﹾﻦ أﻛﺒ ﹺﺮﻫﺎ درﺟ ﹰﺔ إﻟﻰ أﺻﻐ ﹺﺮﻫﺎ درﺟ ﹰﺔ‪.‬‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫ﻛﺜﻴ ﹸﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﺬي ﺟﻤﻴ ﹸﻊﻣﻌﺎﻣﻼﺗﹺ ﹺﻪأﺻﻔﺎ ﹲر ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ ﻛﺜﻴ ﹶﺮاﻟﺤﺪو ﹺداﻟﺼﻔﺮ ﱠي)‪،(zero polynomial‬‬ ‫! أخطــاء مفاهيميــة‪ :‬قــد يخطئ بعض‬ ‫وﻫ ﹶﻮ ‪ ،f(x) = 0‬وﻟﻴ ﹶﺲ ﻟ ﹸﻪ درﺟ ﹲﺔ‪ ،‬و ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ اﻟﻤﺤﻮ ﹸر ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫الطلبة فــي تحديد المعامل الرئيــس‪ ،‬فيكتبون أكبر‬ ‫معاملات كثير الحدود أو معامل أول حد؛ لذا ذ ِّكرهم‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫أن المعامل الرئيس هو معامل الحد الأكبر درجة بعد‬ ‫ﹸأﺣـ ﱢﺪ ﹸد إذا ﻛﺎ ﹶن ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹼﻤـﺎ ﻳﺄﺗـﻲ ﻛﺜﻴـ ﹶﺮ ﺣـﺪو ﹴد أ ﹾم ﻻ‪ .‬وﻓـﻲ ﺣـﺎ ﹺل ﻛﺎ ﹶن ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣـﺪو ﹴد أﻛﺘ ﹸﺒـ ﹸﻪ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة‬ ‫تبسيط الاقتران‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳـﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛـ ﱠﻢ ﹸأﺣـ ﱢﺪ ﹸد اﻟﻤﻌﺎﻣـ ﹶﻞ اﻟﺮﺋﻴـ ﹶﺲ‪ ،‬واﻟﺪرﺟ ﹶﺔ‪ ،‬واﻟﺤـ ﱠﺪ اﻟﺜﺎﺑ ﹶﺖ‪:‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪1 f(x) = -4 + 6x - 2x3 + x2‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في خطوات تمثيل كثيــر الحدود بيان ًّيا‪،‬‬ ‫ﻛﺜﻴ ﹸﺮ ﺣﺪو ﹴد‪ ،‬درﺟ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ ،3‬وﺻﻮر ﹸﺗ ﹸﻪ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫وشاركهم في حل المثال ‪ 2‬الذي ُيب ِّين كيفية تمثيل كثير‬ ‫الحــدود بيان ًّيا‪ ،‬وإيجاد مجاله ومــداه وأصفاره‪ُ ،‬مب ِّينًا‬ ‫‪f(x) = -2x3 + x2 + 6x - 4‬‬ ‫لهم أن أصفار الاقتران هي الإحداثيات ‪ x‬لنقاط تقاطع‬ ‫المنحنى مع المحــور ‪ ،x‬وأن الناتج في هذه الطريقة‬ ‫‪g(x) = 2x2 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻠ ﹸﻪ اﻟﺮﺋﻴ ﹸﺲ ‪ ،-2‬وﺣ ﱠﺪ ﹸه اﻟﺜﺎﺑ ﹸﺖ ‪-4‬‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫يكون أحيا ًنا قيمة تقريبية لعدم دقة الرسم‪ ،‬وأنه يمكن‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﻴ ﹶﺲ ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد؛ ﻷ ﱠن ﹸأ ﱠس اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻫ ﹶﻮ ‪-1‬‬ ‫إيجاد الأصفار جبر ًّيا بحل المعادلة ‪ f(x) = 0‬بالطرق‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻷ ﱢي ﻋﺪ ﹴد ﺣﻘﻴﻘ ﱟﻲ‬ ‫التي تعلموها‪ ،‬وبخاصة التحليل إلى العوامل‪.‬‬ ‫‪ ، a ≠ 0‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫‪3 h(x) = √x + 7‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a –n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫ﻟﻴ ﹶﺲ ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد؛ ﻷ ﱠن ﹸأ ﱠس اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻷو ﹺل ﻫ ﹶﻮ‬ ‫‪1‬‬ ‫وإذا ﻛﺎ ﹶن ‪ a‬ﻣﺮﻓﻮ ﹰﻋﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻠﻘ ﱠﻮ ﹺة اﻟﺴﺎﻟﺒ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎ ﹺم‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪k(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x2 -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a –n‬‬ ‫ﻓﺈ ﱠن‪= an :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻛﺜﻴ ﹸﺮ ﺣﺪو ﹴد‪ ،‬درﺟ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ ،2‬وﺻﻮر ﹸﺗ ﹸﻪ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫= )‪k(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x2 +2x -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬وﺣ ﱠﺪ ﹸه اﻟﺜﺎﺑ ﹸﺖ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻠ ﹸﻪ اﻟﺮﺋﻴ ﹸﺲ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد إذا ﻛﺎ ﹶن ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد أ ﹾم ﻻ‪ .‬وﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻛﺎ ﹶن ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد أﻛﺘ ﹸﺒ ﹸﻪ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻟﻤﻌﺎﻣ ﹶﻞ اﻟﺮﺋﻴ ﹶﺲ‪ ،‬واﻟﺪرﺟ ﹶﺔ‪ ،‬واﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﺜﺎﺑ ﹶﺖ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪a) h(x) = 9 - 5x + √2 x5‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪c) g(x)= 2x(3-x)3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d) r(x) = x3 -7x5 +2π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:1‬‬ ‫‪  )a‬كثير حــدود‪ ،‬صورته القياســية‪ ، h(x) = √2x5 -5x +9 :‬ودرجته ‪،5‬‬ ‫والمعامل الرئيس ‪ ،√2‬والحد الثابت ‪9‬‬ ‫‪  )b‬ليس كثير حدود‪.‬‬ ‫‪  )c‬كثيــر حدود‪ ،‬صورته القياســية‪، f(x) = -2x4+18x3 -54x2 +54x:‬‬ ‫ودرجته ‪ ،4‬والمعامل الرئيس ‪ ،-2‬والحد الثابت ‪0‬‬ ‫‪r(x) = 7x5 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ كثير حدود‪ ،‬صورته القياسية‪x3 + 2π :‬‬ ‫‪)d‬‬ ‫‪6‬‬ ‫درجته ‪ ،5‬المعامل الرئيس ‪ ،7‬وحده الثابت ‪2π‬‬ ‫‪9‬‬

‫ﻣﺠﺎ ﹸل )‪ (domain‬أ ﱢي اﻗﺘــﺮا ﹴن ﻫ ﹶﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ اﻟﻘﻴ ﹺﻢ اﻟﺘﻲ ﻳﺄﺧ ﹸﺬﻫﺎ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹸﺮ ‪ ،x‬وﻣﺪا ﹸه )‪ (range‬ﻫ ﹶﻮ‬ ‫أﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ اﻟﻘﻴ ﹺﻢ اﻟﺘﻲ ﻳﺄﺧ ﹸﺬﻫﺎ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹸﺮ ‪.y‬‬ ‫ﻣﺠــﺎ ﹸل ﻛﺜﻴــ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد‬ ‫ﻫــ ﹶﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋــ ﹸﺔ اﻷﻋﺪا ﹺد‬ ‫ •م ِّثل بيان ًّيا ك ًّل م ّما يأتي‪ُ ،‬مح ِّد ًدا مجاله ومداه وأصفاره‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد )‪ f(x‬ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ‪ ،‬ﹸأﻛ ﱢﻮ ﹸن ﺟﺪو ﹶل ﻗﻴ ﹴﻢ ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد ﻓﻴ ﹺﻪ ﻗﻴ ﹶﻢ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ‪ ، x‬وأﺣﺴــ ﹸﺐ‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻴــ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹲﺔ‬ ‫‪a)  f(x) = -x3 +3x2 + 9x ,-2 ≤ x ≤ 5‬‬ ‫ﻗﻴ ﹶﻢ )‪ ،f(x‬و ﹸأﻋ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط ))‪ (x, f(x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ ،‬و ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ ﺑﻴﻨﹶﻬﺎ ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﺘﺼ ﹴﻞ‪.‬‬ ‫ﺟﺰﺋﻴــ ﹲﺔ ﻣﻨﹾﻬﺎ ﹸﺗﺤــ ﱠﺪ ﹸد ﻓﻲ‬ ‫مجاله‪  -2 ≤ x ≤ 5 :‬مداه‪-5 ≤ y ≤ 27 :‬‬ ‫ﻧــ ﱢﺺ اﻟﺴــﺆا ﹺل‪ ،‬وﻣﺪا ﹸه‬ ‫ﻫــ ﹶﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋــ ﹸﺔ اﻷﻋﺪا ﹺد‬ ‫أصفاره‪ -1.9, 0, 4.9 :‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻴــ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹲﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺟﺰﺋﻴــ ﹲﺔ ﻣﻨﹾﻬﺎ ﹸﺗﺤــ ﱠﺪ ﹸد ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ ﻛ ﱠﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ وﻣﺪا ﹸه‪:‬‬ ‫ﺟﺪو ﹺل ﻗﻴ ﹺﻢ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪ ،‬أ ﹾو‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1 f(x) = x3 – 3x - 2, -3 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﻴــ ﹺﻞ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‪.‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻧ ﹺﺸ ﹸﺊ ﺟﺪو ﹶل ﻗﻴ ﹴﻢ‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3 -2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪y = f(x‬‬ ‫‪-20 -4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)‪(-3, -20) (-2, -4‬‬ ‫)‪(-1,0‬‬ ‫)‪(0, -2‬‬ ‫)‪(1, -4‬‬ ‫)‪(2, 0‬‬ ‫)‪(3, 16‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪12345‬‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹸأﻋ ﱢﻴــ ﹸﻦ اﻟﻨﻘــﺎ ﹶط اﻟﺘــﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻷزوا ﹶج )‪ (x, y‬ﻓﻲ‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ ،‬و ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ ﺑﻴﻨﹶﻬﺎ ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﺘﺼ ﹴﻞ‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪-4-3-2--105 1 2 3 4‬‬ ‫‪b)  f(x) = 3(x + 1)2 -12‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫مجاله‪ :‬مجموعة الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫مداه‪y ≥ -12 :‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل ﻫــﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻫ ﹶﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋــ ﹸﺔ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ x‬اﻟﺤﻘﻴﻘﻴــ ﹺﺔ‪ ،‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪:‬‬ ‫أصفاره‪-3, 1:‬‬ ‫‪ ، -3 ≤ x ≤ 3‬أ ﹺو اﻟﻔﺘﺮ ﹸة ]‪ ،[-3, 3‬وﻣﺪا ﹸه‪ ،-20 ≤ y ≤ 16 :‬أ ﹺو اﻟﻔﺘﺮ ﹸة ]‪.[-20, 16‬‬ ‫أﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫‪30 y‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟـ ﹸﺪ أﺻﻔـﺎ ﹶر اﻻﻗﺘـﺮا ﹺن‬ ‫ﹸﻳﻈ ﹺﻬ ﹸﺮ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ أ ﱠن أﺻﻔﺎ ﹶر ﻫﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻫﻲ‪-1, 2 :‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻣـ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴـ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧـ ﱢﻲ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2 f(x) = x2 – 4x‬‬ ‫ﺑﺈﻳﺠـﺎ ﹺد ﻧﻘـﺎ ﹺط ﺗﻘﺎﻃ ﹺﻌـ ﹺﻪ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻫﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹸن ﺗﺮﺑﻴﻌ ﱞﻲ‪ ،‬وﻣﻨﺤﻨﺎ ﹸه ﻗﻄ ﹲﻊ ﹸﻣﻜﺎﻓﹺ ﹲﺊ ﻣﻔﺘﻮ ﹲح إﻟﻰ اﻷﻋﻠﻰ؛ ﻷ ﱠن ﻣﻌﺎﻣ ﹶﻞ ‪ x2‬ﻋﺪ ﹲد ﻣﻮﺟ ﹲﺐ‪.‬‬ ‫ﻣـ ﹶﻊ ﻣﺤـﻮ ﹺر ‪.x‬‬ ‫ﻟﺮﺳ ﹺﻢ ﻣﻨﺤﻨﺎ ﹸه‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹾﻲ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ رأ ﹺﺳ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫المجــال العاطفي لا يقل أهميــة عن المجال المعرفــي؛ فلا تقل لأحد‬ ‫الطلبة‪( :‬إجابتك خطأ)‪ ،‬بل قل لــه‪( :‬لقد اقتربت من الإجابة الصحيحة‪،‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫فمن يســتطيع إعطاء إجابة ُأخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه إجابة صحيحة لغير‬ ‫ك ِّرر المصطلحــات الرياضية المســتخدمة فــي الدرس‬ ‫هذا السؤال)‪.‬‬ ‫باللغتيــن العربيــة والإنجليزيــة‪ ،‬وشــ ِّجع الطلبــة على‬ ‫اســتعمالها‪ ،‬مثل‪ :‬اقتــران ‪ ، function‬وكثيــر الحدود‬ ‫‪ ، polynomial‬والدرجــة ‪ ،degree‬والمعامــل الرئيس‬ ‫‪ ،leading coefficient‬والمجــال ‪ ،domain‬والمدى‬ ‫‪.range‬‬ ‫‪10‬‬

‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫اطلب إلى الطلبة من ذوي المســتوى فوق المتوسط كتابة‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-b‬‬ ‫اﻹﺣﺪاﺛ ﱡﻲ ‪ x‬ﻟﺮأ ﹺس اﻟﻘﻄ ﹺﻊ اﻟ ﹸﻤﻜﺎﻓﹺ ﹺﺊ‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫كثيري حدود )‪ ،f(x), g(x‬بحيث إن‪:‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪b = -4, a=1‬‬ ‫‪  (a‬درجة ))‪ (f(x) + g(x‬أصغر من درجة )‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫)‪-(-4‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ رأ ﹺس اﻟﻘﻄ ﹺﻊ‬ ‫)‪2(1‬‬ ‫‪  (b‬درجة ))‪ (f(x) +g(x‬تساوي درجة )‪f(x‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x =2‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ )‪ ،f(x‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻜﺎﻓﹺ ﹺﺊ ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫ثم اطلــب إليهم كتابــة ملاحظاتهم علــى درجة مجموع‬ ‫(‬ ‫‪-b‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫))‪(-2ab‬‬ ‫اقترانين كثيري حدود‪.‬‬ ‫‪y = 22 - 4(2) = -4‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻳﻜــﻮ ﹸن ﻣﻨﺤﻨــﻰ اﻟﻘﻄ ﹺﻊ‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻧ ﹺﺸ ﹸﺊ ﺟﺪو ﹶل ﻗﻴ ﹴﻢ )اﻟﺮأ ﹸس وﻧﻘﻄﺘﺎ ﹺن إﻟﻰ ﻳﺴﺎ ﹺر ﹺه‪ ،‬وﻧﻘﻄﺘﺎ ﹺن إﻟﻰ ﻳﻤﻴﻨﹺ ﹺﻪ(‪.‬‬ ‫ﻣﻔﺘﻮ ﹰﺣﺎ إﻟــﻰ اﻷﻋﻠﻰ إذا‬ ‫ﻛﺎ ﹶن ﻣﻌﺎﻣــ ﹸﻞ ‪ x2‬ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وﻣﻔﺘﻮ ﹰﺣﺎ إﻟﻰ اﻷﺳﻔ ﹺﻞ إذا‬ ‫)‪y = f(x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(-1, 5‬‬ ‫)‪(0, 0‬‬ ‫)‪(2, -4‬‬ ‫)‪(4, 0‬‬ ‫)‪(5, 5‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن ﻣﻌﺎﻣ ﹸﻞ ‪ x2‬ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹸأﻋ ﱢﻴــ ﹸﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط اﻟﺘــﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻷزوا ﹶج )‪ (x, y‬ﻓﻲ‬ ‫‪8‬‬ ‫اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ ،‬و ﹶأ ﹺﺻــ ﹸﻞ ﺑ ﹾﻴﻨﹶﻬــﺎ ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻣﺘﺼ ﹴﻞ‪ ،‬وأﺿ ﹸﻊ ﺳــﻬ ﹰﻤﺎ ﻋﻠــﻰ ﻃﺮ ﹶﻓــ ﹺﻲ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻟﻠﺪﻻﻟــ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ أ ﱠﻧــ ﹸﻪ ﻳﻤﺘ ﱡﺪ إﻟﻰ ﻣــﺎ ﻻ ﻧﻬﺎﻳ ﹶﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪-4 --202‬‬ ‫‪2 4 6x‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﻣﺠــﺎ ﹸل ﻫﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻫ ﹶﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ )ﻟ ﹾﻢ ﹸﻳﺤ ﱠﺪ ﹾد ﻓﻲ ﻧ ﱢﺺ اﻟﺴــﺆا ﹺل ﺧﻼ ﹸف ذﻟ ﹶﻚ(‪،‬‬ ‫ُأﻓ ﱢﻜ ُﺮ‬ ‫وﻣﺪا ﹸه ﻫ ﹶﻮ اﻷﻋﺪا ﹸد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﻻ ﺗﻘ ﱡﻞ ﻋ ﹾﻦ ‪-4‬؛ أ ﹺي اﻟﻔﺘﺮ ﹸة )∞ ‪.[-4,‬‬ ‫ﻣــﺎ اﻟﻔــﺮ ﹸق ﺑﻴــ ﹶﻦ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة‬ ‫)∞ ‪ [-4,‬واﻟﻔﺘــﺮ ﹺة‬ ‫ﻟﻬﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﺻﻔﺮا ﹺن‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪0, 4 :‬‬ ‫)∞ ‪(-4,‬؟‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ ﻛ ﱠﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ وﻣﺪا ﹸه‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪a) f(x) = 2x3 -16 , -3 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫‪b) f(x) = -0.5x2 +3x + 3.5‬‬ ‫ﺟﻤ ُﻊ ﻛﺜﻴﺮا ِت اﻟﺤﺪو ِد‬ ‫ﻟﺠﻤ ﹺﻊ ﻛﺜﻴﺮا ﹺت اﻟﺤﺪو ﹺد‪ ،‬ﹸأﺟ ﱢﻤ ﹸﻊ اﻟﺤﺪو ﹶد اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹶﺔ اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ اﻟﺪرﺟ ﹸﺔ ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ‪ ،‬وأﺟﻤ ﹸﻊ ﻣﻌﺎﻣﻼﺗﹺﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0 1 2‬‬ ‫‪)a‬‬ ‫‪80‬‬ ‫)‪y = f(x‬‬ ‫‪-70 -32 -18 -16 -14 0‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-3 -2 -1‬‬ ‫‪1 2 3x‬‬ ‫المجال‪-3 ≤ x ≤ 3 :‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫المدى‪-70 ≤ y ≤ 38 :‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫له صفر واحد هو ‪2‬‬ ‫‪-80‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪)b‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2 -1 1 3 7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪y = f(x) -4.5 0‬‬ ‫‪6 8 0 -4.5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‪ ،‬والمدى‪ :‬الأعداد الحقيقية التي لا تزيد على‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬؛ أي ‪ ، y ≤ 8‬أو الفترة ]‪.(-∞, 8‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫له صفران‪ ،‬هما‪ ،1- :‬و ‪7‬‬ ‫‪-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪11‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫المثالان ‪ 3‬و ‪4‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 2x2 – 5x3 + 4x -9, g(x) = 7x3 + 6x +4‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪. f(x) + g(x‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في ح ِّل المثاليــن ‪ 3‬و ‪ُ ،4‬مو ِّض ًحا جمع‬ ‫كثيــري حــدود بالطريقــة الأفقية بتجميــع الحدود‬ ‫)‪f(x)+g(x)=(2x2–5x3+4x-9)+(7x3+6x +4‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ)‪ ، f(x‬ﹶو )‪g(x‬‬ ‫المتشابهة التي لها الدرجة نفسها ثم جمع معاملاتها‪،‬‬ ‫والطريقة العمودية بترتيب الحدود المتشــابهة تحت‬ ‫)‪= 2x2 +(–5x3+7x3)+(4x+6x)+(-9 +4‬‬ ‫ﺑﺘﺠﻤﻴ ﹺﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹺﺔ‬ ‫بعضها‪ ،‬ثم جمع معاملاتها‪ .‬بعــد ذلك ن ِّبههم إلى أن‬ ‫‪= 2x2 + 2x3 + 10x -5‬‬ ‫المتغير يبقى كما هو بدرجته نفســها في الجمع وفي‬ ‫‪= 2x3 + 2x2 + 10x -5‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼ ﹺت‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗ ﹺﺞ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ‬ ‫الطرح‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 3x2 + 8x3 + 2x +13, g(x) = -4x3 + 6x2 -5‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪. f(x) + g(x‬‬ ‫ •إذا كان ‪،f(x)=12x+1-2x2, h(x) = 6x2 +4x +12‬‬ ‫فجد ك ًّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ﻃﺮ ُح ﻛﺜﻴﺮا ِت اﻟﺤﺪو ِد‬ ‫أﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫اﻟﻨﻈﻴ ﹸﺮ اﻟﺠﻤﻌ ﱡﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫‪a)  f(x) + h(x)  4x2 +16x +13‬‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻧﺎﺗ ﹺﺞ ﻃﺮ ﹺح اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﹸأﺣ ﱢﻮ ﹸل ﻋﻤﻠﻴ ﹶﺔ اﻟﻄﺮ ﹺح إﻟﻰ ﺟﻤ ﹺﻊ اﻟﻨﻈﻴ ﹺﺮ اﻟﺠﻤﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻤﻄﺮو ﹺح‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺟﻤ ﹸﻊ‬ ‫)‪ f(x‬ﻫ ﹶﻮ )‪ ، – f(x‬وﻳﻨﺘ ﹸﺞ‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ‪.‬‬ ‫ﻣــ ﹾﻦ ﻋﻜــ ﹺﺲ إﺷــﺎرا ﹺت‬ ‫‪b)  h(x) – f(x)  8x2 – 8x +11‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼ ﹺت ﺣﺪو ﹺد )‪.f(x‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨــﻲ أ ﹾن ﹶأ ﹺﺟ ﹶﺪ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ ﺟﻤــ ﹺﻊ اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻄﺮﻳﻘ ﹺﺔ اﻟﻌﻤﻮدﻳ ﹺﺔ‪ ،‬وذﻟــ ﹶﻚ ﺑﺘﺮﺗﻴ ﹺﺐ اﻟﺤﺪو ﹺد‬ ‫اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹺﺔ ﺑﻌ ﹺﻀﻬﺎ ﺗﺤ ﹶﺖ ﺑﻌ ﹴﺾ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﺟﻤ ﹺﻊ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼ ﹺت‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 2x2 –5x -3 , g(x) = 6x -7x2 -8‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪.f(x) - g(x‬‬ ‫)‪f(x) - g(x) = 2x2 –5x -3 -(+6x -7x2 -8‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ)‪ ، f(x‬ﹶو )‪g(x‬‬ ‫)‪= 2x2 –5x -3 + (-6x +7x2 +8‬‬ ‫ﺑﺘﻐﻴﻴــ ﹺﺮ اﻟﻄﺮ ﹺح إﻟﻰ ﺟﻤــ ﹴﻊ‪ ،‬وﺗﻐﻴﻴ ﹺﺮ‬ ‫إﺷﺎرا ﹺت اﻟﻤﻄﺮو ﹺح‬ ‫‪2x2 –5x -3‬‬ ‫ﺑﺘﺮﺗﻴ ﹺﺐ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺸــﺎﺑﻬ ﹺﺔ ﺑﻌ ﹺﻀﻬﺎ‬ ‫‪+ 7x2 -6x +8‬‬ ‫ﺗﺤ ﹶﺖ ﺑﻌ ﹴﺾ‬ ‫‪9x2 -11x +5‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼ ﹺت‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 5x3 -12x2 + 3x +20, g(x) = x3 + 6x2 -14‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪. g(x) - f(x‬‬ ‫‪f(x) + g(x) = 4x3 +9x2 +2x +8‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:3‬‬ ‫‪f(x) - g(x) = 4x3- 18x2 +3x + 34‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:4‬‬ ‫‪12‬‬

‫مثال ‪5‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في ضرب كثيــرات الحدود بالطريقتين‬ ‫ﺿﺮ ُب ﻛﺜﻴﺮا ِت اﻟﺤﺪو ِد‬ ‫الأفقية والعمودية‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم بجمع الأســس عند‬ ‫ضرب قوى لها الأســاس نفسه‪ ،‬وشــاركهم في حل‬ ‫ﻟﻀﺮ ﹺب ﻛﺜﻴﺮا ﹺت اﻟﺤﺪو ﹺد‪ ،‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﺧﺎﺻﻴ ﹶﺔ ﺗﻮزﻳ ﹺﻊ اﻟﻀﺮ ﹺب ﻋﻠﻰ اﻟﺠﻤ ﹺﻊ‪ .‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ أﻳ ﹰﻀﺎ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل‬ ‫اﻟﻄﺮﻳﻘ ﹺﺔ اﻟﻌﻤﻮدﻳ ﹺﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫المثال‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ ﺿﺮ ﹺب )‪ f(x) . g(x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •جد ناتج ضرب )‪ f(y) ∙ g(y‬إذا كان‬ ‫‪1 f(x) = 3x3 , g(x) = 2x2 - 5x -4‬‬ ‫‪f(y) = y2 - 7y + 5 , f(y) = y2 - y - 3‬‬ ‫‪f(y) ∙ g(y)= y4 -8y3 + 9y2 +16y- 15‬‬ ‫)‪f(x).g(x) = 3x3 (2x2 -5x -4‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ )‪ ، f(x‬ﹶو )‪g(x‬‬ ‫)‪= 3x3(2x2)+3x3 (-5x)+3x3(-4‬‬ ‫ﺑﺘﻮزﻳ ﹺﻊ اﻟﻀﺮ ﹺب ﻋﻠﻰ‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫اﻟﺠﻤ ﹺﻊ‬ ‫ﹸأﻃ ﱢﺒــ ﹸﻖ ﻗﺎﻋــﺪ ﹶة ﺿــﺮ ﹺب‬ ‫اﻟﻘــﻮ￯ ﻣــ ﹾﻦ ﻗﻮاﻧﻴــ ﹺﻦ‬ ‫‪=(3×2)(x3.x2)+(3×-5)(x3.x)+(3×-4)x3‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴ ﹸﺔ اﻟﺘﺠﻤﻴ ﹺﻊ‬ ‫اﻷﺳــ ﹺﺲ ﻋﻨــ ﹶﺪ ﺿﺮ ﹺب‬ ‫‪= 6x5 – 15x4 - 12x3‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﺠﺒﺮﻳ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪2 f(x) = 3x4 - 5x2 + x-5, g(x) = 4x2 - 7‬‬ ‫‪3x4 - 5x2 + x - 5‬‬ ‫‪am × an = am+n‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫‪(×) 4x2- 7‬‬ ‫ﺑﺘﺮﺗﻴ ﹺﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻤﻮد ﹰﹼﻳﺎ‬ ‫اعرض طريقة ضــرب كثيري حدود باســتعمال جدول‪،‬‬ ‫‪12x6 - 20x4 + 4x3 - 20x2‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب ‪ 4x2‬ﻓﻲ ﺣﺪو ﹺد ‪f‬‬ ‫وذلك بكتابة أحد الاقترانيــن فوق الجدول‪ ،‬وكتابة الآخر‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب ‪ -7‬ﻓﻲ ﺣﺪو ﹺد ‪f‬‬ ‫إلى يســاره‪ ،‬ووضــع نواتج ضرب الحــدود داخل خلايا‬ ‫‪(+) -21x4‬‬ ‫‪+ 35x2 - 7x + 35‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹺﺔ‬ ‫الجدول‪ ،‬ثم جمع النواتج داخل الجدول قطر ًّيا‪.‬‬ ‫‪12x6 - 41x4 + 4x3 +15x2 -7x + 35‬‬ ‫ُيو ِّضح الجدول المجاور طريقة ضرب‪:‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫)‪.(2x2-3x -2)(x2 +4x +3‬‬ ‫‪a) f(x) = 5x2 + 4, g(x) = 7x + 6‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ ﺿﺮ ﹺب )‪ f(x) . g(x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪b) f(x) = 2x3 + x -8, g(x) = 5x2 + 4x‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+4x‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫ﹸﺗﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻛﺜﻴﺮا ﹸت اﻟﺤﺪو ﹺد ﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ وﺣ ﱢﻞ ﻣﺴﺎﺋ ﹶﻞ ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹴﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﹴة ﻓﻲ اﻟﺼﻨﺎﻋ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﺘﺠﺎر ﹺة‪ ،‬واﻻﻗﺘﺼﺎ ﹺد‪،‬‬ ‫‪-3x‬‬ ‫‪2x4‬‬ ‫‪+8x3‬‬ ‫‪+6x2‬‬ ‫واﻟﺰراﻋ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﺘﻌﻠﻴ ﹺﻢ‪ ،‬وﻣﻌﻈ ﹺﻢ ﻣﻨﺎﺣﻲ اﻟﺤﻴﺎ ﹺة‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪- 3x3‬‬ ‫‪-12x2‬‬ ‫‪-9x‬‬ ‫‪-2x2‬‬ ‫‪-8x‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫)‪(2x2 - 3x -2)(x2 + 4x + 3‬‬ ‫‪= 2x4 + (+8x3 - 3x3) +‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:5‬‬ ‫)‪ (+6x2 -12x2 -2x2) + (-9x -8x) +(-6‬‬ ‫‪= 2x4 + 5x3 -8x2 -17x – 6‬‬ ‫‪a) 35x3 + 30x+ 28x + 24‬‬ ‫‪b)  10x5 + 8x4+ 5x3- 36x2 -32x‬‬ ‫‪13‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ :6‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ مثال ‪ :6‬من الحياة‬ ‫ﻟﻴﺎﻗ ﹲﺔ‪ :‬ﺑﻠ ﹶﻎ ﻋﺪ ﹸد اﻟ ﹸﻤﺸﺘ ﹺﺮﻛﻴ ﹶﻦ ﻓﻲ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ ﻟﻴﺎﻗ ﹴﺔ ﺑﺪﻧﻴ ﹴﺔ ‪ 840‬ﺷﺨ ﹰﺼﺎ‪ ،‬ﻳﺪﻓ ﹸﻊ ﻛ ﱞﻞ ﻣﻨﹾ ﹸﻬ ﹾﻢ اﺷﺘﺮا ﹰﻛﺎ ﺷﻬﺮ ﹰﹼﻳﺎ ﻣﻘﺪا ﹸر ﹸه‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في كيفية كتابة كثير حدود لنمذجة مسألة‬ ‫‪ 30‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪ .‬ﻓﻲ دراﺳ ﹴﺔ ﻟﻠﺴﻮ ﹺق‪ ،‬وﺟ ﹶﺪ اﻟﺒﺎﺣﺜﻮ ﹶن أ ﱠن اﻟﻤﺮﻛ ﹶﺰ ﺳﻴﻔﻘ ﹸﺪ ‪ 25‬ﹸﻣﺸﺘ ﹺﺮ ﹰﻛﺎ ﹸﻣﻘﺎﺑﹺ ﹶﻞ ﻛ ﱢﻞ دﻳﻨﺎ ﹴر ﻳﺰﻳ ﹸﺪ ﹸه‬ ‫حياتية بطريقة مشــابهة لترجمة المســألة إلى معادلة‪.‬‬ ‫و ِّضــح خطوات حل هذا المثال‪ ،‬ثم اطلب إلى الطلبة‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ اﻻﺷﺘﺮا ﹺك‪ .‬ﻣﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ اﻻﺷﺘﺮا ﹺك اﻟﺘﻲ ﹸﺗﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ ﻟﻠﻤﺮﻛ ﹺﺰ أﻋﻠﻰ دﺧ ﹴﻞ؟ ﻣﺎ ﻣﻘﺪا ﹸر ﻫﺬا اﻟﺪﺧ ﹺﻞ؟‬ ‫حله بطريقة بديلة بافتراض أن الزيادة هي ‪x‬‬ ‫أﻓﺘﺮ ﹸض أ ﱠن اﻟﻤﺮﻛ ﹶﺰ ﺟﻌ ﹶﻞ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ اﻻﺷﺘﺮا ﹺك ‪ x‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪ ،‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪.x > 30 :‬‬ ‫‪x - 30‬‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹸﺔ زﻳﺎد ﹺة اﻻﺷﺘﺮا ﹺك‬ ‫ﹸﺗ ﹶﻌــ ﱡﺪ اﻟﺮﻳﺎﺿ ﹸﺔ اﻟﺼﺒﺎﺣﻴ ﹸﺔ‬ ‫أﻓﻀــ ﹶﻞ وﺳــﻴﻠ ﹴﺔ ﻟﺤﺮ ﹺق‬ ‫)‪25(x-30‬‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻟ ﹸﻤﺸﺘ ﹺﺮﻛﻴ ﹶﻦ اﻟﺬﻳ ﹶﻦ ﺳﻴﻔﻘ ﹸﺪ ﹸﻫ ﹸﻢ اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ‬ ‫اﻟﺪﻫﻮ ﹺن وﻓﻘﺪا ﹺن اﻟﻮز ﹺن؛‬ ‫مثال إضافي‬ ‫)‪840 – 25(x-30‬‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻟ ﹸﻤﺸﺘ ﹺﺮﻛﻴ ﹶﻦ اﻟﺒﺎﻗﻴ ﹶﻦ‬ ‫إ ﹾذ ﺗﻌﻤــ ﹸﻞ ﻋﻠــﻰ ﺗﺰوﻳ ﹺﺪ‬ ‫))‪R(x) = x(840-25(x-30‬‬ ‫اﻟﺠﺴــ ﹺﻢ ﺑﺎﻟﻄﺎﻗــ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ‬ ‫إعلان‪ :‬يريد ســعد أن يطبــع إعلا ًنا على ورقة مســتطيلة‬ ‫اﻟﺪﺧ ﹸﻞ )‪ R(x‬ﻳﺴﺎوي ﻋﺪ ﹶد اﻟ ﹸﻤﺸﺘ ﹺﺮﻛﻴ ﹶﻦ اﻟﺒﺎﻗﻴ ﹶﻦ‬ ‫ﺗﻠﺰ ﹸﻣــ ﹸﻪ ﻣــ ﹶﻦ اﻟﺤﻤﻮ ﹺض‬ ‫محيطها ‪ ،80 cm‬بحيث يترك هام ًشــا من الأعلى عرضه ‪3‬‬ ‫‪= 840x – 25x2 +750x‬‬ ‫ﻣﻀﺮو ﹰﺑﺎ ﻓﻲ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ اﻻﺷﺘﺮا ﹺك‬ ‫اﻟﺪﻫﻨﻴ ﹺﺔ اﻟ ﹸﺤــ ﱠﺮ ﹺة اﻟﺰاﺋﺪ ﹺة‬ ‫‪ ،cm‬وهام ًشا من الأسفل عرضه ‪ ،2 cm‬وهام ًشا من يمين‬ ‫‪= -25x2 + 1590x‬‬ ‫ﺑﺘﻮزﻳ ﹺﻊ اﻟﻀﺮ ﹺب‬ ‫اﻟﻤﻔﻴﺪ ﹺة ﻟﺤﺮ ﹺق اﻟﺪﻫﻮ ﹺن‪.‬‬ ‫الورقة ويسارها عرضه ‪1.5 cm‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹺﺔ‬ ‫ﺳــﺘﺎ ﹸد ﻋ ﹼﻤــﺎ ﹶن اﻟﺪوﻟ ﱡﻲ‬ ‫أﻛﺒ ﹸﺮ ﻣﻼﻋ ﹺﺐ ﻛﺮ ﹺة اﻟﻘﺪ ﹺم‬ ‫ﻫﺬا اﻗﺘﺮا ﹲن ﺗﺮﺑﻴﻌ ﱞﻲ‪ ،‬ﻣﻌﺎﻣ ﹸﻠ ﹸﻪ اﻟﺮﺋﻴ ﹸﺲ ﺳــﺎﻟ ﹲﺐ؛ ﻓﻤﻨﺤﻨﺎ ﹸه ﻗﻄ ﹲﻊ ﹸﻣﻜﺎﻓﹺ ﹲﺊ ﻣﻔﺘﻮ ﹲح إﻟﻰ اﻷﺳﻔ ﹺﻞ‪ ،‬وﻟ ﹸﻪ ﻗﻴﻤ ﹲﺔ‬ ‫ﻓــﻲ اﻷرد ﱢن‪ ،‬اﻓ ﹸﺘﺘﹺ ﹶﺢ ﻋﺎم‬ ‫ﻋﻈﻤﻰ ﻋﻨ ﹶﺪ رأ ﹺﺳ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫‪1968‬م ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-b‬‬ ‫=‬ ‫‪-1590‬‬ ‫=‬ ‫‪1590‬‬ ‫‪= 31.8‬‬ ‫اﻹﺣﺪاﺛ ﱡﻲ ‪ x‬ﻟﻠﺮأ ﹺس ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪3 cm‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪2(-25‬‬ ‫‪50‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻗﻴﻤ ﹸﺔ اﻻﺷﺘﺮا ﹺك اﻟﺘﻲ ﹸﺗﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ ﻟﻠﻤﺮﻛ ﹺﺰ أﻋﻠﻰ دﺧ ﹴﻞ ﻫ ﹶﻲ ‪ 31.8‬دﻳﻨﺎ ﹰرا ﻣ ﹾﻦ ﻛ ﱢﻞ ﹸﻣﺸﺘ ﹺﺮ ﹴك‪ ،‬وﻣﻘﺪا ﹸر ﻫﺬا‬ ‫‪1.5 cm‬‬ ‫)‪R(31.8) = -25(31.8)2 +1590 (31.8‬‬ ‫اﻟﺪﺧ ﹺﻞ ﻫ ﹶﻮ )‪.R(31.8‬‬ ‫‪1.5 cm‬‬ ‫‪= 25281‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ 31.8‬ﺑﺪ ﹰﻻ ﻣ ﹾﻦ ‪ x‬ﻓﻲ اﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﺪﺧ ﹺﻞ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬أﻋﻠﻰ دﺧ ﹴﻞ ﹸﻳﺤ ﱢﻘ ﹸﻘ ﹸﻪ اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻫ ﹶﻮ ‪ 25281‬دﻳﻨﺎ ﹰرا ﻛ ﱠﻞ ﺷﻬ ﹴﺮ‪.‬‬ ‫‪2 cm‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ اﻟﺘﺤ ﱡﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟﺤ ﱢﻞ ﺑﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪.‬‬ ‫‪x cm‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •اكتــب اقترا ًنا ُيم ِّثل مســاحة الإعــان بدلالة عرض‬ ‫الورقــة ‪ ،x‬ثم جد أبعــاد الورقة التي تجعل مســاحة‬ ‫رﻳﺎﺿ ﹲﺔ‪ :‬ﻳ ﱠﺘ ﹺﺴــ ﹸﻊ ﻣﻠﻌ ﹲﺐ )ﺳــﺘﺎ ﹲد( رﻳﺎﺿ ﱞﻲ ﻟﻨﺤ ﹺﻮ ‪ 62000‬ﹸﻣﺸــ ﱢﺠ ﹴﻊ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﺛﻤــ ﹸﻦ ﺑﻄﺎﻗ ﹺﺔ اﻟﺪﺧﻮ ﹺل‬ ‫‪ 11‬دﻳﻨــﺎ ﹰرا‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن ﹸﻣﻌــ ﱠﺪ ﹶل ﻋﺪ ﹺد اﻟﺤﻀﻮ ﹺر ﻫ ﹶﻮ ‪ 28000‬ﹸﻣﺸــ ﱢﺠ ﹴﻊ‪ .‬وﺟ ﹶﺪ ﹾت دراﺳــ ﹲﺔ أ ﱠن ﻋﺪ ﹶد ﺑﻄﺎﻗﺎ ﹺت‬ ‫الإعلان أكبر ما يمكن‪.‬‬ ‫اﻟﺪﺧﻮ ﹺل اﻟﻤﺒﻴﻌ ﹺﺔ ﻳﺰﻳ ﹸﺪ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر ‪ 4000‬ﺑﻄﺎﻗ ﹴﺔ ﹸﻣﻘﺎﺑﹺ ﹶﻞ ﻛ ﱢﻞ دﻳﻨﺎ ﹴر ﹸﻳﺨ ﹶﺼ ﹸﻢ ﻣ ﹾﻦ ﺛﻤ ﹺﻦ اﻟﺒﻄﺎﻗ ﹺﺔ‪ .‬ﻣﺎ ﺛﻤ ﹸﻦ ﺑﻄﺎﻗ ﹺﺔ‬ ‫‪A(x)= -x2 + 38x -105, 19 cm, 21 cm‬‬ ‫اﻟﺪﺧﻮ ﹺل اﻟﺬي ﹸﻳﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ أﻋﻠﻰ دﺧ ﹴﻞ؟ ﻣﺎ ﻣﻘﺪا ﹸر ﻫﺬا اﻟﺪﺧ ﹺﻞ؟ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬

‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ‪ 1‬إﻟﻰ ‪ 20‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد إذا ﻛﺎ ﹶن ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد أ ﹾم ﻻ‪ .‬وﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻛﺎ ﹶن ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد أﻛﺘ ﹸﺒ ﹸﻪ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻟﻤﻌﺎﻣ ﹶﻞ اﻟﺮﺋﻴ ﹶﺲ‪،‬‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها (يمكن الطلب إليهم‬ ‫حل الأســئلة ذوات الأرقام الزوجية(‪ )2-18‬ضمن‬ ‫واﻟﺪرﺟ ﹶﺔ‪ ،‬واﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﺜﺎﺑ ﹶﺖ‪:‬‬ ‫مجموعات)‪.‬‬ ‫‪1 f(x) = 4- x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫فاطلب إليهم مراجعة أمثلة الدرس‪.‬‬ ‫‪3 h(x) = 3x(4x-7) +2x -12‬‬ ‫‪4 L(x) = 3x2 + 5.3x3 -2x‬‬ ‫‪5 j(t) = √7 t -16t2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6 k(x) = 5x 2 + 2x - 1‬‬ ‫‪7 f(x) = 13(2)x + 6‬‬ ‫‪8 f(y) = y3(4 –y2)2‬‬ ‫‪9 f(x) = x2 -3x -4‬‬ ‫ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻛ ﱠﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ وﻣﺪا ﹸه‪:‬‬ ‫‪11 y = 2x3 - 6x + 4, -2 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫‪10 f(x) = -4x2 + 8x + 3‬‬ ‫‪12 y = 3x2 - x3 + 9x -4, -3 ≤ x ≤ 4‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، f(x) = 2x+1, g(x) =5x2 -2x3 +4, h(x) = x4 – 5x2 +3x-6‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫قد يظن بعض الطلبة أن الاقتران في الســؤال ‪ 2‬كثير‬ ‫)‪13 h(x) + g(x‬‬ ‫)‪14 g(x) – h(x‬‬ ‫حدود بســبب إمكانية اختصار العامل ‪ x‬من البســط‬ ‫والمقام‪ ،‬فيتحــول إلــى ‪f(x) = 5x+2‬؛ لذا ن ِّبههم‬ ‫)‪15 f(x) h(x‬‬ ‫)‪16 x(f(x)) + h(x‬‬ ‫إلى أن القســمة لا تصح إلا إذا كان المقسوم عليه لا‬ ‫يساوي صف ًرا‪ .‬وإذا أرادوا كتابة هذا الاقتران بالصورة‬ ‫)‪17 (f(x))2 – g(x‬‬ ‫))‪18 h(x) – x(g(x‬‬ ‫المختصرة‪ ،f(x) = 5x + 2 :‬فيجب عليهم الإشارة‬ ‫‪ 19‬ﺻــﺎرو ﹲخ‪ :‬ﹸأﻃ ﹺﻠــ ﹶﻖ ﺻــﺎرو ﹲخ إﻟــﻰ أﻋﻠــﻰ‪ ،‬وﻛﺎ ﹶن ارﺗﻔﺎ ﹸﻋــ ﹸﻪ ﺑﺎﻷﻣﺘــﺎ ﹺر ﻓﻮ ﹶق ﺳــﻄ ﹺﺢ اﻟﺒﺤــ ﹺﺮ ﺑﻌــ ﹶﺪ ‪ t‬ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ ﻣــ ﹾﻦ إﻃﻼ ﹺﻗ ﹺﻪ‬ ‫عنده إلى أن ‪x ≠ 0‬‬ ‫‪ . h(t)= -4.9t2 + 229t + 234‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎ ﹴع ﻳﺒﻠ ﹸﻐ ﹸﻪ اﻟﺼﺎرو ﹸخ‪.‬‬ ‫‪ 20‬زراﻋــ ﹲﺔ‪ :‬وﺟ ﹶﺪ ﹸﻣﺰا ﹺر ﹲع أ ﱠﻧ ﹸﻪ إذا زر ﹶع ‪ 75‬ﺷــﺠﺮ ﹶة ﻓﺎﻛﻬ ﹴﺔ ﻓﻲ ﹸﺑﺴــﺘﺎﻧﹺ ﹺﻪ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن ﹸﻣﻌ ﱠﺪ ﹶل‬ ‫ﻣــﺎ ﻳﺠﻨﻴ ﹺﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻛ ﱢﻞ ﺷــﺠﺮ ﹴة ﻫــ ﹶﻮ ‪ 21‬ﺻﻨﺪو ﹰﻗﺎ ﻓــﻲ اﻟﻤﻮﺳــ ﹺﻢ‪ .‬وﻛ ﱠﻠﻤﺎ ﻧﻘ ﹶﺺ‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻷﺷــﺠﺎ ﹺر ﺷــﺠﺮ ﹰة واﺣﺪ ﹰة زا ﹶد ﹸﻣﻌ ﱠﺪ ﹸل ﻣﺎ ﻳﺠﻨﻴ ﹺﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻛ ﱢﻞ ﺷــﺠﺮ ﹴة ﺑﻤﻘﺪا ﹺر‬ ‫‪ 3‬ﺻﻨﺎدﻳ ﹶﻖ؛ ﻓﺘﺒﺎﻋ ﹸﺪ اﻷﺷــﺠﺎ ﹺر ﺑﻌ ﹺﻀﻬﺎ ﻋ ﹾﻦ ﺑﻌ ﹴﺾ ﹸﻳﻌ ﱢﺰ ﹸز ﻓﺮ ﹶﺻﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺤﺼﻮ ﹺل‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺟﺎﺗﹺﻬﺎ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﺮﺑ ﹺﺔ‪ .‬ﻣﺎ ﻋﺪ ﹸد اﻷﺷــﺠﺎ ﹺر اﻟﺘﻲ ﻳﺘﻌ ﱠﻴ ﹸﻦ ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ زراﻋ ﹸﺘﻬﺎ ﻹﻧﺘﺎ ﹺج‬ ‫أﻛﺒ ﹺﺮ ﻗﺪ ﹴر ﻣ ﹶﻦ اﻟﺜﻤ ﹺﺮ؟ ﻣﺎ ﻣﻘﺪا ﹸر ﻫﺬا اﻟﺜﻤ ﹺﺮ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪15‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫الواردة في الصفحة ‪ 8‬من كتاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا لهم‬ ‫المسائل التي يمكنهم حلها في نهاية كل حصة بحسب‬ ‫ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪ 21‬ﺳــﻴﺎ ﹲج‪ :‬ﻟﺪ￯ ﺳﻌﻴ ﹴﺪ ‪ 120 m‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﻴﺎ ﹺج‪ ،‬أرا ﹶد أ ﹾن ﻳﺴﺘﻌﻤ ﹶﻠﻬﺎ ﻟﺘﺴﻴﻴ ﹺﺞ ‪ 3‬ﺣﻈﺎﺋ ﹶﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠ ﹴﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳ ﹴﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄ ﹺﻂ اﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫ﻣﺎ أﻛﺒ ﹸﺮ ﹺﻣﺴﺎﺣ ﹴﺔ ﻣﻤﻜﻨ ﹴﺔ ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﺤﻈﺎﺋ ﹺﺮ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأسئلة في بند (مهارات التفكير‬ ‫‪ 22‬ﻫﻨﺪﺳــ ﹲﺔ‪ :‬ﻣﻜﻌ ﹲﺐ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺨﺸ ﹺﺐ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹺﻌ ﹺﻪ ‪ ،(2x +1) cm‬ﹸﺣ ﹺﻔ ﹶﺮ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺗﺠﻮﻳ ﹲﻒ‬ ‫العليا)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها ضمن مجموعات ثنائية‪،‬‬ ‫وكتابة ُمب ِّرر للإجابة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات‬ ‫‪x 2x+ 1‬‬ ‫ﻣﻘﻄ ﹸﻌــ ﹸﻪ ﹸﻣﺮ ﱠﺑ ﹲﻊ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹺﻌــ ﹺﻪ ‪ ،x cm‬وﻫ ﹶﻮ ﻳﻤﺘ ﱡﺪ ﻣ ﹾﻦ أﺣــ ﹺﺪ اﻷوﺟ ﹺﻪ إﻟﻰ اﻟﻮﺟ ﹺﻪ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑ ﹺﻞ‪ .‬أﻛﺘ ﹸﺐ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴ ﹺﺔ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﺬي ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺣﺠ ﹶﻢ اﻟﺠﺰ ﹺء اﻟ ﹸﻤﺘﺒ ﹼﻘﻲ‬ ‫بعضهم‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ •و ِّجه أفراد المجموعات في أثناء حل الســؤال ‪ 25‬إلى‬ ‫‪2x+ 1‬‬ ‫ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻜﻌ ﹺﺐ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫كتابة أي مقدار ذي حدين‪ ،‬ثم البحث عن مقدار ثلاثي‬ ‫الحدود؛ شــرط أن تكون ‪ 4‬من نواتج الضرب متناظرة‬ ‫‪2x+ 1‬‬ ‫بالنســبة إلى عملية الجمع‪ ،‬فيكــون مجموعها صف ًرا‪،‬‬ ‫‪ 23‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪P(x)= -0.2x2 +90x - 6300 .‬‬ ‫ويبقى حدان من ناتج ضرب المقدارين‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫ •و ِّجه أفراد المجموعات في أثناء حل الســؤال ‪ 26‬إلى‬ ‫البحث عن طريقة لتحليل مقدار ذي ‪ 4‬حدود‪.‬‬ ‫‪ 24‬أﻛﺘﺸ ﹸﻒ اﻟﺨﻄ ﹶﺄ‪ :‬وﺟ ﹶﺪ ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹾﻦ ﻃﻪ وﻗﺎﺳ ﹴﻢ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ )‪:3x(x2 -2x -3) - (5x3 + 7x2 -3‬‬ ‫ﻃﻪ‬ ‫ﻗﺎﺳ ﹸﻢ‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3x3 – 6x2 -9x +5x3+7x2-3‬‬ ‫)‪3x3 – 6x2 -9x +(-5x3-7x2 + 3‬‬ ‫‪= 8 x3 + x2 -9x -3‬‬ ‫‪= -2x3 + 6x2 -6x‬‬ ‫ •اطرح على الطلبة المسألة الآتية‪:‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ إﺟﺎﺑ ﹸﺔ أ ﱟي ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺔ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ 24 .‬إﻟﻰ ‪ 27‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫نظرية الأعداد‪:‬‬ ‫‪ 25‬ﻣﺴــﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬أﻛﺘ ﹸﺐ ﻛﺜﻴﺮ ﹾي ﺣﺪو ﹴد‪ ،‬أﺣ ﹸﺪ ﹸﻫﻤﺎ ذو ﺣ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ‪ ،‬واﻵﺧ ﹸﺮ ﺛﻼﺛ ﱡﻲ اﻟﺤﺪو ﹺد‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻧﺎﺗ ﹸﺞ ﺿﺮﺑﹺ ﹺﻬﻤﺎ اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ ذا‬ ‫يعطــى مجموع مربعــات أول ‪ n‬مــن الأعــداد الطبيعية‬ ‫ﺣ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫بالاقتران‪:‬‬ ‫‪ 26‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أﺻﻔﺎ ﹶر اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪.f(x) = x3- x2 - 4x + 4 :‬‬ ‫= )‪F(n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n3 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 27‬ﺗﺒﺮﻳــ ﹲﺮ‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ f, g‬ﻛﺜﻴﺮ ﹾي ﺣــﺪو ﹴد‪ ،‬ﻓﺄﻛﺘ ﹸﺐ اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ درﺟ ﹺﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ ودرﺟ ﹺﺔ ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤــﺪو ﹺد ‪ h‬اﻟﻨﺎﺗ ﹺﺞ ﻣ ﹾﻦ ﺟﻤ ﹺﻌ ﹺﻬﻤﺎ‪،‬‬ ‫وﻃﺮ ﹺﺣ ﹺﻬﻤﺎ‪ ،‬وﺿﺮﺑﹺ ﹺﻬﻤﺎ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫‪  (a‬جد قيمة )‪F(5), F(10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪  (b‬صف ما ُتم ِّثله ك ٌّل من القيمتين في الفقرة ‪.a‬‬ ‫‪  (c‬جد مجموع‪1 + 4 + 9 + 16 + …. + 400 :‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫ •اطلــب إلى الطلبــة وصف طرائــق مختلفة لتصنيف‬ ‫كثيرات الحــدود‪ ،‬ثم إعداد قائمــة تتضمن ما يجب‬ ‫مراعاته عند جمع كثيرات الحدود وطرحها وضربها‪.‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة اختيــار متغيرين من الحياة اليومية‪،‬‬ ‫والبدء بجمع البيانات حولهما‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بضــرورة تدويــن قيمــة المتغير الأول‬ ‫(المســتقل) مع قيمة المتغير الثاني (التابع) المناظرة‬ ‫لها‪ ،‬وذلك في العمود المقابل لها في الجدول‪.‬‬ ‫‪16‬‬

‫الدرس‬ ‫ﻗﺴﻤ ُﺔ ﻛﺜﻴﺮا ِت اﻟﺤﺪو ِد واﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ُت اﻟﻨﺴﺒﻴ ُﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Dividing Polynomials and Rational Functions‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹸد ﻧﺎﺗ ﹺﺞ ﻗﺴﻤ ﹺﺔ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد ﻋﻠﻰ آﺧ ﹶﺮ‪ ،‬وﺗﻌ ﱡﺮ ﹸف اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻟﻨﺴﺒﻴ ﹺﺔ‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹸد ﻣﺠﺎﻟﹺﻬﺎ‪ ،‬وﻣﺪاﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫ •يقسم اقتران كثير حدود على كثير حدود آخر‪.‬‬ ‫وﺗﻤﺜﻴ ﹸﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫ •يبين إن كان كثير حدود أحد عوامل كثير حدود آخر‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟﻤﻘﻠﻮ ﹸب‪ ،‬اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟﻨﺴﺒ ﱡﻲ‪ ،‬ﺧ ﱡﻂ اﻟﺘﻘﺎر ﹺب اﻷﻓﻘ ﱢﻲ‪ ،‬ﺧ ﱡﻂ اﻟﺘﻘﺎر ﹺب اﻟﺮأﺳ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫ •يتعرف الاقترانات النسبية‪ ،‬ويجد مجالها ومداها‪.‬‬ ‫ﺑﺮﻛ ﹸﺔ ﺳﺒﺎﺣ ﹴﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜ ﹺﻞ ﻣﺘﻮازي ﻣﺴﺘﻄﻴﻼ ﹴت‪ ،‬ﺣﺠ ﹸﻤﻬﺎ ‪3x4-3x3-33x2 + 54x‬‬ ‫ •يجد خطوط التقــارب (إن وجدت) لمنحنى الاقتران‬ ‫وﺣﺪ ﹰة ﻣﻜﻌﺒ ﹰﺔ‪ ،‬و ﹺﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﹺﻬــﺎ ‪ 3x2 - 6x‬وﺣﺪ ﹰة ﻣﺮﺑﻌ ﹰﺔ‪ .‬ﻛﻴــ ﹶﻒ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد‬ ‫النسبي‪.‬‬ ‫ارﺗﻔﺎ ﹺع اﻟﺒﺮﻛ ﹺﺔ؟ ﻣﺎ ﻣﻘﺪا ﹸر ﻫﺬا اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع؟‬ ‫ •يمثل اقترانات نسبية بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية عن قسمة الاقترانات والاقترانات‬ ‫إ ﱠن ﻗﺴﻤ ﹶﺔ ﻛﺜﻴ ﹺﺮ ﺣﺪو ﹴد ﻋﻠﻰ آﺧ ﹶﺮ ﹸﺗﺸــﺒﹺ ﹸﻪ ﻛﺜﻴ ﹰﺮا ﻋﻤﻠﻴ ﹶﺔ ﻗﺴﻤ ﹺﺔ ﻋﺪ ﹴد ﻛﻠ ﱟﻲ ﻋﻠﻰ آﺧ ﹶﺮ؛ إ ﹾذ ﹸﺗ ﱠﺘ ﹶﺒ ﹸﻊ اﻟﺨﻄﻮا ﹸت‬ ‫ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ ﻓﻲ ﻛﻠﺘﺎ اﻟﺤﺎﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ .‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻗﺴﻤ ﹸﺔ ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد )‪ f(x‬ﻋﻠﻰ ﻛﺜﻴ ﹺﺮ اﻟﺤﺪو ﹺد ‪ h(x) ≠ 0‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ‬ ‫النسبية‪.‬‬ ‫درﺟ ﹸﺔ )‪ f(x‬أﻛﺒ ﹶﺮ ﻣ ﹾﻦ أ ﹾو ﺗﺴــﺎوي درﺟ ﹶﺔ )‪ .h(x‬ﻟﻘﺴــﻤ ﹺﺔ ﻛﺜﻴ ﹺﺮ ﺣﺪو ﹴد ﻋﻠﻰ آﺧ ﹶﺮ‪ ،‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻟﻤﻘﺴــﻮ ﹶم‬ ‫واﻟﻤﻘﺴﻮ ﹶم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴ ﹺﺔ‪ .‬وإذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ إﺣﺪ￯ ﻗﻮ￯ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻣﻔﻘﻮد ﹰة‪ ،‬ﻓﺈ ﹼﻧﻲ‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ •قسمة القوى وتبسيط مقادير جبرية كسرية‪.‬‬ ‫ﹸأﺿﻴ ﹸﻔﻬﺎ ﻓﻲ ﻣﻮﻗ ﹺﻌﻬﺎ‪ ،‬وأﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎﻣ ﹶﻠﻬﺎ ‪ ،0‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻧ ﱢﻔ ﹸﺬ ﺧﻄﻮا ﹺت اﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫ •تحليل مقادير جبرية إلى عواملها‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫ •حل معادلات خطية وتربيعية‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ ﻗﺴﻤ ﹺﺔ ‪ f(x) = 2x3 + 24x -15‬ﻋﻠﻰ ‪ ، g(x) = x + 5‬وﺑﺎﻗ ﹶﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪2x2 -10x + 74‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ‪ 2x3‬ﻋﻠﻰ ‪ ،x‬وﻛﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹺﺔ ‪ 2x2‬ﻓﻮ ﹶق اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻤﺸﺎﺑ ﹺﻪ‬ ‫‪x + 5 ) 2x3 + 0x2 + 24x -15‬‬ ‫‪(-) 2x3 +10x2‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ )‪ (x + 5‬ﻓﻲ ‪2x2‬‬ ‫‪-10x2 +24x‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻄﺮ ﹺح‪ ،‬وﺗﻨﺰﻳ ﹺﻞ ‪24x‬‬ ‫‪(-) -10x2 -50x‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ‪ -10x2‬ﻋﻠﻰ ‪ ،x‬وﻛﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹺﺔ ‪ -10x‬ﻓﻮ ﹶق اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻤﺸﺎﺑ ﹺﻪ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ‬ ‫ﺿﺮ ﹺب اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ )‪ (x + 5‬ﻓﻲ ‪-10x‬‬ ‫‪74x - 15‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻄﺮ ﹺح‪ ،‬وﺗﻨﺰﻳ ﹺﻞ ‪-15‬‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫‪(-) 74x + 370‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ‪ 74x‬ﻋﻠﻰ ‪ ،x‬وﻛﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹺﺔ ‪ 74‬ﻓﻮ ﹶق اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺜﺎﺑ ﹺﺖ‪ ،‬وﺿﺮ ﹺب‬ ‫ﺗﺘﻮﻗــ ﹸﻒ ﻋﻤﻠﻴ ﹸﺔ ﻗﺴــﻤ ﹺﺔ‬ ‫ﻛﺜﻴــﺮا ﹺت اﻟﺤﺪو ﹺد ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫‪-385‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ )‪ (x + 5‬ﻓﻲ ‪74‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻄﺮ ﹺح‬ ‫ﺗﺼﺒــ ﹸﺢ درﺟــ ﹸﺔ ﺑﺎﻗــﻲ‬ ‫اﻟﻘﺴــﻤ ﹺﺔ أﻗ ﱠﻞ ﻣ ﹾﻦ درﺟ ﹺﺔ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻧﺎﺗ ﹸﺞ اﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ‪ ،2x2 -10x +74 :‬واﻟﺒﺎﻗﻲ ‪ ،-385‬و ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻛﺘﺎﺑ ﹸﺔ ذﻟ ﹶﻚ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻋﻠﻴ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫‪2x3 + 24x - 15‬‬ ‫=‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪10x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-385‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x ≠ -5‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ •را ِجــع الطلبة في قوانين الأســس‪ ،‬ثــم اطلب إليهم‬ ‫تبسيط ما يأتي‪:‬‬ ‫‪x5 ÷ x2  62xx3  142xx24  6x32+x28x2‬‬ ‫ »اطلب إلى الطلبة حل المعادلات الآتية‪:‬‬ ‫‪a) 3x -2 = 10‬‬ ‫‪b)  2- 4x = 0‬‬ ‫‪c)  x2 -6x + 9 = 0‬‬ ‫‪d) 3x2 -5x +2 = 0‬‬ ‫‪17‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما متوازي المستطيلات؟ مجسم ثلاثي الأبعاد ذو ‪ 6‬أوجه مستطيلة الشكل‪ ،‬وأوجهه المتقابلة‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫متوازية ومتطابقة‪ ،‬وأوجهه المتجاورة متعامدة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »كيف نجد حجمه؟ بضرب طوله في عرضه في ارتفاعه‪ ،‬أو بضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »إذا علم حجم متوازي مســتطيلات وطول اثنين من أبعاده‪ ،‬فكيف نجد بعده الثالث؟ بقسمة‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫الحجم على ناتج ضرب البعدين المعلومين‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة استعمال القسمة الطويلة لإيجاد ناتج‪695 ÷ 21 :‬‬ ‫ •و ِّضح لهم أنه يتع َّين اتباع الخطوات نفسها عند قسمة ‪ 6x2 +9x +5‬على ‪2x + 1‬‬ ‫ •اسألهم‪:‬‬ ‫ »كيف يمكن قسمة ‪ 9x2 + 9x + 2‬على ‪ 3x + 2‬باستعمال قسمة الأعداد الكلية؟‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في خطوات قســمة كثير حدود على كثير حدود آخر باســتعمال القســمة الطويلة‬ ‫المعروضة في المثال‪ ،‬ون ِّبههم إلى أنه يجب كتابة المقســوم والمقســوم عليه بالصورة القياسية‬ ‫وإضافة ‪ 0‬في موقع أي قوة مفقودة في أي منهما‪.‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ •جد ناتج قسمة ‪ f(x) = 6x3 – 3x2 +23‬على ‪ h(x) = 2x + 3‬وباقيها‪.‬‬ ‫  الناتج‪ ،3x2 -6x +9 :‬والباقي ‪-4‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫الذي أخطأ في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫قد يغفل بعض الطلبة عن كتابة المقســوم والمقسوم عليه بالصورة القياسية‪ ،‬أو وضع ‪ 0‬في موقع‬ ‫أي قوة مفقودة؛ لذا أ ِّكد هذين الأمرين لتجنب الوقوع في الخطأ‪.‬‬ ‫‪17A‬‬

‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫أﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫إذا واجه الطلبة من ذوي المســتوى دون المتوسط صعوبة‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﻟﺘﺤ ﱡﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ‬ ‫في الحفاظ على تركيزهم في أثناء تنفيذ الخطوات المتتابعة‬ ‫‪(x+5)(2x2-10x+74)-385 = 2x3-10x2 + 74x +10x2 -50x +370 -385‬‬ ‫اﻟﻘﺴــﻤ ﹺﺔ ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻨﺎﺗ ﹺﺞ‬ ‫للقسمة الطويلة‪ ،‬فش ِّجعهم على مقارنة نتيجة كل خطوة مع‬ ‫‪= 2x3 +(-10 +10)x2 +(74 -50)x -15‬‬ ‫ﻓــﻲ اﻟﻤﻘﺴــﻮ ﹺم ﻋﻠ ﹾﻴــ ﹺﻪ‪،‬‬ ‫زملائهم‪ ،‬وبذلك يمكنهم طرح الأسئلة واكتشاف الأخطاء‬ ‫ ‪= 2x3 + 24x -15‬‬ ‫وإﺿﺎﻓــ ﹺﺔ اﻟﺒﺎﻗــﻲ‪ .‬ﻓﺈذا‬ ‫ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ ﻣﺴــﺎوﻳ ﹰﺔ‬ ‫قبل الانتهاء من حل المسألة‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺴــﻮ ﹺم ﻛﺎ ﹶن اﻟﺤــ ﱡﻞ‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ ﻗﺴﻤ ﹺﺔ ‪ f(x) = 4x4 -7x3 +12x-25‬ﻋﻠﻰ ‪ h(x) = x- 4‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫ﺻﺤﻴ ﹰﺤﺎ‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في الشرط الذي يجعل عد ًدا عام ًل لعدد‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن )‪ f(x‬ﹶو )‪ h(x‬ﻛﺜﻴــﺮ ﹾي ﺣــﺪو ﹴد‪ ،‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ درﺟ ﹸﺔ )‪ f(x‬أﻛﺒ ﹶﺮ ﻣ ﹾﻦ أ ﹾو ﺗﺴــﺎوي درﺟ ﹶﺔ )‪،h(x‬‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣ ٌﺔ‬ ‫آخر‪ .‬وبطريقــة مماثلة‪ ،‬و ِّضح الشــرط الذي يجعل‬ ‫ﹶو ‪ ،h(x) ≠ 0‬ﻓﺈ ﱠﻧــ ﹸﻪ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻛﺜﻴﺮا ﺣــﺪو ﹴد وﺣﻴﺪا ﹺن‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪) q(x) :‬ﻧﺎﺗ ﹸﺞ اﻟﻘﺴــﻤ ﹺﺔ(‪ ،‬ﹶو )‪) r(x‬ﺑﺎﻗﻲ‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﺧﻮارزﻣﻴ ﹺﺔ‬ ‫اقتران كثير حــدود عام ًل لاقتران كثيــر حدود آخر‪،‬‬ ‫اﻟﻘﺴــﻤ ﹺﺔ ﻟﻠﺘﺄ ﱡﻛــ ﹺﺪ أ ﱠن ﻛﺜﻴ ﹶﺮ‬ ‫ثم شــارك الطلبة في حل المثال‪ ،‬والتحقق من صحة‬ ‫اﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ(‪ ،‬ودرﺟ ﹸﺘ ﹸﻪ أﺻﻐ ﹸﺮ ﻣ ﹾﻦ درﺟ ﹺﺔ )‪ ،h(x‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪:‬‬ ‫اﻟﺤــﺪو ﹺد )‪ h(x‬ﻫ ﹶﻮ أﺣ ﹸﺪ‬ ‫ﻋﻮاﻣ ﹺﻞ ﻛﺜﻴ ﹺﺮ ﺣﺪو ﹴد آﺧ ﹶﺮ‬ ‫الحل‪.‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫)‪= q(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪r(x‬‬ ‫أ ﹾو‬ ‫)‪f(x) = h(x) . q(x) + r(x‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫)‪ f(x‬أ ﹾم ﻻ‪.‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،r(x) = 0‬ﻓﺈ ﱠن )‪ f(x‬ﻳﻘﺒ ﹸﻞ اﻟﻘﺴﻤ ﹶﺔ ﻋﻠﻰ )‪ ،h(x‬وﻳﻜﻮ ﹸن )‪ h(x‬أﺣ ﹶﺪ ﻋﻮاﻣ ﹺﻞ )‪.f(x‬‬ ‫ •ب ِّيــن إذا كان ‪ h(x)= x + 1‬أحد عوامــل الاقتران‪:‬‬ ‫‪ f(x) = 2x3 + 5x2 + 2x – 12‬أم لا‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫لا‪ h(x) ،‬ليس أحد عوامل )‪f(x‬؛ لأن باقي القسمة ‪،-11‬‬ ‫ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن )‪ (2x2 + x + 7‬ﻫ ﹶﻮ أﺣ ﹸﺪ ﻋﻮاﻣ ﹺﻞ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪. f(x) = 6x4-7x3+10x2 –38x-21‬‬ ‫وليس ‪0‬‬ ‫ﻳﻜﻮ ﹸن )‪ (2x2+x+7‬أﺣ ﹶﺪ ﻋﻮاﻣ ﹺﻞ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن )‪ f(x‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤ ﹺﺔ )‪ f(x‬ﻋﻠﻰ )‪(2x2+x + 7‬‬ ‫ﻳﺴﺎوي ‪ ، 0‬ﹶأ ﹾﻗ ﹺﺴ ﹸﻢ )‪ f(x‬ﻋﻠﻰ )‪:(2x2 +x + 7‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ‪ 6x4‬ﻋﻠﻰ ‪ ،2x2‬وﻛﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹺﺔ ‪ 3x2‬ﻓﻮ ﹶق ‪3x2 -5x - 3‬‬ ‫‪2x2+x+7 ) 6x4-7x3 +10x2 -38x -21‬‬ ‫اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻤﺸﺎﺑ ﹺﻪ‬ ‫‪(-) 6x4 +3x3+ 21x2‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ )‪ (2x2+x + 7‬ﻓﻲ ‪3x2‬‬ ‫‪-10x3 -11x2 -38x‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻄﺮ ﹺح‪ ،‬وﺗﻨﺰﻳ ﹺﻞ ‪-38x‬‬ ‫‪(-) -10x3 -5x2 -35x‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ‪ -10x3‬ﻋﻠﻰ ‪ ،2x2‬وﻛﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹺﺔ ‪-5x‬‬ ‫‪-6x2 -3x -21‬‬ ‫ﻓﻮ ﹶق اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻤﺸﺎﺑ ﹺﻪ‪ ،‬وﺿﺮﺑﹺﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ‬ ‫‪(-) -6x2 -3x -21‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻄﺮ ﹺح‪ ،‬وﺗﻨﺰﻳ ﹺﻞ ‪-21‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ‪ -6x2‬ﻋﻠﻰ ‪ ،2x2‬وﻛﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹺﺔ ‪-3‬‬ ‫ﻓﻮ ﹶق اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺜﺎﺑ ﹺﺖ‪ ،‬وﺿﺮ ﹺب ‪ -3‬ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ‬ ‫ﺑﺎﻟﻄﺮ ﹺح ‪0‬‬ ‫‪18‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫الناتج‪:‬‬ ‫‪ ، 4x3 + 9x2 +36x +156‬والباقي‪599 :‬‬ ‫‪18‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ﱠن ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻘﺴــﻤ ﹺﺔ )‪ r(x‬ﻳﺴــﺎوي ‪ ،0‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹶم ﻳﺴﺎوي اﻟﻤﻘﺴــﻮ ﹶم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ ﻣﻀﺮو ﹰﺑﺎ ﻓﻲ ﻧﺎﺗ ﹺﺞ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في مفهوم الاقتران النســبي‪ ،‬واذكر أمثلة‬ ‫اﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ؛ أ ﹾي إ ﱠن‪:‬‬ ‫عليه‪ُ ،‬مو ِّض ًحا أنه لا يوجد للاقتران النسبي قيمة عندما‬ ‫يكون مقامه صف ًرا؛ لأن القسمة على الصفر غير معرفة‪،‬‬ ‫)‪6x4-7x3 +10x2 –38x -21 = (2x2+x+7)(3x2 -5x-3‬‬ ‫ولذلك يكون مجاله جميع الأعداد الحقيقية باستثناء‬ ‫أصفار مقامه‪ .‬بعد ذلك شارك الطلبة في حل المثال ‪3‬‬ ‫وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ أ ﱠن )‪ (2x2+x+7‬ﻋﺎﻣ ﹲﻞ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪.f(x‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﻟﺘﺤ ﱡﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ذﻟ ﹶﻚ ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻌﺎﻣﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹺﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫الذي ُيب ِّين كيفية تعيين مجال الاقتران النسبي‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن )‪ h(x‬ﻫ ﹶﻮ أﺣ ﹸﺪ ﻋﻮاﻣ ﹺﻞ )‪ f(x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪a) f(x) = 2x3 + 9x2 - 12x- 55, h(x) = 2x + 5‬‬ ‫‪b) f(x) = 5x3 + 12x2 -14x + 3, h(x) = x2 + 3x - 1‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹸت اﻟﻨﺴﺒﻴ ﹸﺔ )‪ (rational functions‬ﻫﻲ اﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹲت ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻛﺘﺎﺑ ﹸﺘﻬﺎ ﺑﺼﻮر ﹺة ﻧﺴﺒ ﹴﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻛﺜﻴﺮ ﹾي‬ ‫)‪ . g(x‬وﻣ ﹶﻦ اﻷﻣﺜﻠ ﹺﺔ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ‪:‬‬ ‫≠‬ ‫؛ ﺷﺮ ﹶط أ ﹾن‪0 :‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫ﺣﺪو ﹴد‪ ،‬ﻣﺜ ﹸﻞ‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪y= x+4‬‬ ‫‪, h(x) = x + 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪q(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x3 - 5x2 -3x‬‬ ‫‪x2 -9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ﱞﻲ‬ ‫ •جد مجال ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫= )‪ ، q(x‬ﺣﻴ ﹸﺚ إ ﱠن‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟﻨﺴــﺒ ﱡﻲ‪ :‬اﻗﺘــﺮا ﹲن ﺗﻜﻮ ﹸن ﻗﺎﻋﺪ ﹸﺗــ ﹸﻪ )ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘ ﹸﻪ( ﺑﺼــﻮر ﹺة‬ ‫ )‪a‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ ‪24‬‬ ‫}‪{x|x ≠ 2‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ ، g(x) ≠ 0‬ﹶو )‪ ،g(x‬ﹶو )‪ f(x‬ﻛﺜﻴﺮا ﺣﺪو ﹴد‪.‬‬ ‫ )‪b‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪16‬‬ ‫}‪{x|x ≠ -4, x ≠ 4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻨﺴــﺒ ﱢﻲ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳــﺘﺜﻨﺎ ﹺء اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ اﻟﻤﻘﺎ ﹶم‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻳﺴﺎوي ﺻﻔ ﹰﺮا‪.‬‬ ‫كل الأعداد الحقيقية  ‪c)  h(x) = x22x+-265‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶل ﻛ ﱢﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻧﺴﺒ ﱟﻲ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﺎﻋﺪ ﹺة‬ ‫‪1 q(x) = x + 2‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴ ﹺﻞ اﻟﻔﺮ ﹺق ﺑﻴ ﹶﻦ ﹸﻣﺮ ﱠﺑﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪x2 -9‬‬ ‫ﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ ‪x2-9 = 0‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل ﻫﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻫ ﹶﻮ ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﺜﻨﺎ ﹺء ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ x‬اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ ‪: x2 - 9 = 0‬‬ ‫‪x2 = 9‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 9‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪x=±3‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻣﺠﺎ ﹸل ﻫﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻫ ﹶﻮ ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﺜﻨﺎ ﹺء ‪ ،-3, 3‬و ﹸﻳﻜ ﹶﺘ ﹸﺐ ﺑﺮﻣ ﹺﺰ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋ ﹺﺔ‬ ‫}‪{x | x ≠ ±3‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪19‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫‪ (a‬ناتج القسمة هو ‪ ، x2 +2x -11‬والباقي ‪0‬‬ ‫‪ (b‬ناتج القسمة هو ‪ ، 5x-3‬والباقي ‪0‬‬ ‫‪19‬‬

‫اقتران المقلوب‬ ‫‪2 y= x+4‬‬ ‫ُأﻓ ﱢﻜ ُﺮ‬ ‫نا ِقش الطلبة في تمثيل الاقترانات النســبية بيان ًّيا‪ُ ،‬مو ِّض ًحا‬ ‫ﻫ ﹾﻞ ﻣﺠﺎ ﹸل اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫لهم مفهــوم خطوط التقارب الرأســية والأفقيــة‪ ،‬وكيفية‬ ‫‪2x3 -5x2 -3x‬‬ ‫إيجادها‪ ،‬ثم ناِقشهم في خصائص اقتران المقلوب‪.‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل ﻫﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻫ ﹶﻮ ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﺜﻨﺎ ﹺء ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ x‬اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ ‪:2x3-5x2-3x = 0‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫‪x(2x2 -5x -3) = 0‬‬ ‫ﺑﺈﺧﺮا ﹺج ‪ x‬ﻋﺎﻣ ﹴﻞ ﻣﺸﺘﺮ ﹴك‬ ‫‪f(x) =x2-9‬‬ ‫ك ِّرر المصطلحــات الرياضية المســتخدمة فــي الدرس‬ ‫‪x+3‬‬ ‫باللغتيــن العربيــة والإنجليزيــة‪ ،‬وشــ ِّجع الطلبــة على‬ ‫‪x(2x + 1)(x -3) = 0‬‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ اﻟﻌﺒﺎر ﹺة اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ ‪2x2 -5x -3‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹶل‬ ‫اســتعمالها‪ ،‬مثل‪ :‬الاقتران النسبي ‪،rational function‬‬ ‫ﻳﺴﺎوي‬ ‫واقتــران المقلــوب ‪ ،reciprocal function‬وخــط‬ ‫التقارب الرأسي ‪ ،vertical asymptote‬وخط التقارب‬ ‫‪ x-3 = 0‬أو ‪ 2x+1= 0‬أو ‪x = 0‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴ ﹸﺔ اﻟﻀﺮ ﹺب اﻟﺼﻔﺮ ﱢي‬ ‫‪g(x) = x-3‬؟‬ ‫الأفقي ‪. horizontal asymptote‬‬ ‫‪x = 0, x = -1 , x = 3‬‬ ‫ﺑﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‬ ‫‪2‬‬ ‫أ ﹾو‬ ‫‪،‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﺑﺎﺳــﺘﺜﻨﺎ ﹺء‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻴــ ﹺﺔ‬ ‫اﻷﻋــﺪا ﹺد‬ ‫ﺟﻤﻴــ ﹸﻊ‬ ‫ﻫــ ﹶﻮ‬ ‫اﻻﻗﺘــﺮا ﹺن‬ ‫ﻫــﺬا‬ ‫ﻣﺠــﺎ ﹸل‬ ‫إذ ﹾن‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫}‪{x | x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ -1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a) h(x) = x3 + 8‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪x2 - 5x + 6‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶل ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪b) y = x2 - 4‬‬ ‫‪6x - 3x2‬‬ ‫اﻟﻤﻘﻠـﻮ ﹺب‬ ‫= )‪ f(x‬اﻟـﺬي ﹸﻳﺴـ ﹼﻤﻰ اﻗﺘـﺮا ﹶن‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣـ ﹾﻦ أﺑﺴـ ﹺﻂ اﻻﻗﺘﺮاﻧـﺎ ﹺت اﻟﻨﺴـﺒﻴ ﹺﺔ اﻻﻗﺘـﺮا ﹸن‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ ،(reciprocal function‬وﻣﻨﹾـ ﹸﻪ ﺗﺘﻮ ﱠﻟـ ﹸﺪ اﻗﺘﺮاﻧـﺎ ﹲت ﻧﺴـﺒﻴ ﹲﺔ ﻛﺜﻴـﺮ ﹲة‪ .‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﻤﺜﻴ ﹸﻞ ﻫـﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴـﺎ ﻓـﻲ اﻟﻔﺘـﺮ ﹺة ]‪ [-4, 4‬ﻣﺜـ ﹰﻼ ﺑﺈﻧﺸـﺎ ﹺء ﺟـﺪو ﹺل ﻗﻴـ ﹴﻢ ﻣـ ﹶﻊ اﺳـﺘﺜﻨﺎ ﹺء ‪0‬؛ ﻷ ﱠﻧـ ﹸﻪ ﻟﻴـ ﹶﺲ ﻣـ ﹾﻦ ﻣﺠﺎﻟﹺـ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫ﹸأ ﹺﺧ ﹶﺬ ﹾت ﻗﻴ ﹲﻢ ﺻﻐﻴﺮ ﹲة ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪ x‬ﻗﺮﻳﺒ ﹲﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺼﻔ ﹺﺮ ﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﺑﺪﻗ ﹴﺔ؛ ﻓﺎﻟﻘﻴ ﹸﻢ اﻟﺼﺤﻴﺤ ﹸﺔ وﺣ ﹶﺪﻫﺎ ﻻ‬ ‫ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺼﻮر ﹶة ﻛﺎﻣﻠ ﹰﺔ‪ ،‬وإ ﱠﻧﻤﺎ ﺗﻜﻮ ﹸن اﻟﺼﻮر ﹸة ﹸﻣﺠﺘ ﹶﺰأ ﹰة ﻧﺎﻗﺼ ﹰﺔ‪.‬‬ ‫‪x -4 -2‬‬ ‫‪-1 -0.8 -0.5 -0.2 0.2 0.5 0.8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1 -1.25 -2 -5 5 2 1.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻴــ ﹸﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط ))‪ (x, f(x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ ،‬و ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘــﺎ ﹺط ﻳﻤﻴ ﹶﻦ ‪ x = 0‬ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ‪،‬‬ ‫و ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط ﻳﺴــﺎ ﹶر ‪ x = 0‬ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ آﺧــ ﹶﺮ؛ ﻷ ﱠن اﻻﻗﺘﺮا ﹶن ﻏﻴ ﹸﺮ ﹸﻣﻌــ ﱠﺮ ﹴف ﻋﻨ ﹶﺪ ‪ ،x = 0‬ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:3‬‬ ‫‪ (a‬مجال )‪ H(x‬هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪ 2‬و‪ ،3‬أي }‪{x| x≠ 2, x≠ 3‬‬ ‫‪ (b‬مجــال هــذا الاقتــران هــو جميــع الأعــداد الحقيقيــة باســتثناء ‪ 0‬و‪ 2‬؛‬ ‫أي }‪{x| x≠ 0, x≠ 2‬‬ ‫‪20‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺨﺼﺎﺋ ﹶﺺ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ ﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻤﻘﻠﻮ ﹺب‪:‬‬ ‫ •شــا ِرك الطلبة في حل المثال ‪ 4‬الذي ُيو ِّضح خطوات‬ ‫‪5‬‬ ‫تمثيل اقتران نسبي بسيط بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻛ ﱠﻠﻤــﺎ اﻗﺘﺮ ﹶﺑ ﹾﺖ ‪ x‬ﻣــ ﹶﻦ اﻟﺼﻔ ﹺﺮ اﻗﺘــﺮ ﹶب اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫‪3‬‬ ‫•‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﻤﺤــﻮ ﹺر ‪ .y‬وﻟﺬﻟ ﹶﻚ ﻳﻜﻮ ﹸن اﻟﻤﺤﻮ ﹸر ‪ y‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘ ﹸﻪ‬ ‫‪12 3 4 5‬‬ ‫‪-5-4-3-2--101‬‬ ‫‪x = 0‬ﺧ ﱠﻂﺗﻘﺎر ﹴبرأﺳ ﱟﻲ)‪(vertical asymptote‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫= )‪. f(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ﻛ ﱠﻠﻤــﺎ زا ﹶد ﹾت ﻗﻴﻤ ﹸﺔ |‪ |x‬اﻗﺘــﺮ ﹶب اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ أﻛﺜ ﹶﺮ وأﻛﺜ ﹶﺮ‬ ‫•‬ ‫ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻤﺤــﻮ ﹺر ‪ .x‬وﻟﺬﻟ ﹶﻚ ﻳﻜﻮ ﹸن اﻟﻤﺤــﻮ ﹸر ‪ x‬اﻟﺬي‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ y = 0‬ﺧ ﱠﻂ ﺗﻘــﺎر ﹴب أﻓﻘ ﱟﻲ )‪horizontal‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪y =-x‬‬ ‫‪ (asymptote‬ﻟﻬﺬا اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+4‬‬ ‫للاقتران‪:‬‬ ‫التقارب‬ ‫خطوط‬ ‫ •جد‬ ‫‪2x -‬‬ ‫وم ِّثله بيان ًّيا‪ ،‬ثم جد مجاله ومداه‪.‬‬ ‫‪0x‬‬ ‫= )‪ f(x‬ﻻ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨــﻰ اﻗﺘــﺮا ﹺن اﻟﻤﻘﻠــﻮ ﹺب‬ ‫‪x‬‬ ‫•‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر ﹾﻳ ﹺﻦ أﺑ ﹰﺪا‪ ،‬وﻟﻜﻨﱠ ﹸﻪ ﻳﻘﺘﺮ ﹸب ﻛﺜﻴ ﹰﺮا ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫له خط تقارب رأسي هو المستقيم ‪ ،x = 0.5‬وخط تقارب‬ ‫أفقي هو المستقيم ‪y = 4‬‬ ‫• ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﺤﻮرا ﺗﻤﺎﺛ ﹴﻞ‪ ،‬ﻫﻤﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﹺن‪:‬‬ ‫‪y = x, y = -x‬‬ ‫‪x -2 -1 0 0.25 0.75 1 2 3‬‬ ‫‪y = (x) 4.6 5 7 10 -2 1 3 3.4‬‬ ‫= )‪ f(x‬ﻫ ﹶﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﺜﻨﺎ ﹺء اﻟﺼﻔ ﹺﺮ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹸﻳﻼ ﹶﺣ ﹸﻆ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺮﺳ ﹺﻢ أ ﱠن ﻣﺪ￯ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫‪x‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل رﻣ ﹺﺰ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎ ﹺت‪ ،‬ﹸﻳﻜ ﹶﺘ ﹸﺐ ﻣﺪا ﹸه ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫}‪{y | y ≠ 0‬‬ ‫المجال‪{x|x ≠ 0.5} :‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬ ‫المدى‪{y|y ≠ 4} :‬‬ ‫وﻣﺪا ﹸه‪.‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ‪،‬‬ ‫و ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ‪،‬‬ ‫و ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺘﻘﺎر ﹺب ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫ﺧﻄﻮ ﹶط‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫أﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫‪x-3‬‬ ‫إذا ﻟــ ﹾﻢ ﺗﻮﺟــ ﹾﺪ ﻋﻮاﻣ ﹸﻞ‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺧﻄﻮ ﹶط اﻟﺘﻘﺎر ﹺب ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪.‬‬ ‫ﻣﺸــﺘﺮﻛ ﹲﺔ ﺑﻴــ ﹶﻦ ﺑﺴــ ﹺﻂ‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻨﺴﺒ ﱢﻲ وﻣﻘﺎ ﹺﻣ ﹺﻪ‪،‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻟﻬــﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﺧ ﱡﻂ ﺗﻘﺎر ﹴب رأﺳــ ﱟﻲ ﻋﻨ ﹶﺪ ﺻﻔ ﹺﺮ اﻟﻤﻘــﺎ ﹺم؛ أ ﹾي ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ x-3 = 0‬ﻳﻜﻮ ﹸن‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺧ ﱡﻂ اﻟﺘﻘﺎر ﹺب اﻟﺮأﺳ ﱢﻲ ﻫ ﹶﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹶﻢ ‪x = 3‬‬ ‫ﻓﺈ ﱠﻧــ ﹸﻪ ﺗﻮﺟــ ﹸﺪ ﺧﻄــﻮ ﹸط‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺗﻘﺎر ﹴب رأﺳﻴ ﹲﺔ ﻋﻨ ﹶﺪ أﺻﻔﺎ ﹺر‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣ ﹶﻦ اﻟﺼﻔــ ﹺﺮ‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x-3‬‬ ‫ﻣﻘﺎ ﹺﻣ ﹺﻪ ﺟﻤﻴ ﹺﻌﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ ﹾي إ ﱠن‬ ‫ﻣــ ﹾﻦ ‪2‬؛‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹸﺔ )‪f(x‬‬ ‫واﻗﺘﺮ ﹶﺑــ ﹾﺖ‬ ‫اﻗﺘــﺮ ﹶب‬ ‫|‪|x‬‬ ‫زا ﹶد ﹾت‬ ‫ﻛ ﱠﻠﻤــﺎ‬ ‫‪-4 -2 0‬‬ ‫ﺧ ﱠﻂ اﻟﺘﻘﺎر ﹺب اﻷﻓﻘ ﱢﻲ ﻫ ﹶﻮ ‪y = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪21‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫إرشــاد‪ :‬و ِّجــه الطلبــة إلــى اســتعمال ورق‬ ‫الرسـم البيانـي لتمثيـل الاقترانـات بصـورة دقيقـة‬ ‫= )‪ f(x‬خط تقارب أفقي واحد‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫ب ِّين للطلبة أنه يوجد للاقتران النسبي‬ ‫ومرتبـة‪ُ ،‬من ِّب ًهـا إ ّياهـم إلـى اختيـار قيـم للمتغيـر ‪x‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫علـى جانبـي كل خـط تقـارب رأسـي‪.‬‬ ‫على الأكثر‪ .‬فإذا كانت درجة البســط أكبر من درجــة المقام فلا يوجد خط‬ ‫‪21‬‬ ‫تقارب أفقي‪ ،‬وإذا تساوت درجتا البســط والمقام فإن خط التقارب الأفقي‬ ‫‪ bn‬المعامل‬ ‫و‬ ‫للبسط‪،‬‬ ‫الرئيس‬ ‫المعامل‬ ‫‪an‬‬ ‫حيث‬ ‫‪،‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪an‬‬ ‫المســتقيم‬ ‫يكون‬ ‫‪bn‬‬ ‫الرئيس للمقام‪ .‬وإذا كانت درجة البســط أصغر مــن درجة المقام كان خط‬ ‫التقارب الأفقي هو المستقيم ‪.y = 0‬‬ ‫ب ِّين لهم أي ًضا أنه قد يوجد للاقتران النســبي الذي ليس لبسطه ومقامه عوامل‬ ‫مشــتركة ِع َّدة خطوط تقارب رأســية تب ًعا لأصفار مقامه‪ ،‬وأنه قد لا يوجد له‬ ‫خطوط تقارب رأســية إذا لم يكــن لمقامه أصفار‪ ،‬وأنــه لا يمكن أن يقطع‬ ‫منحناه خط التقارب الرأسي‪.‬‬

‫ مثال ‪ :5‬من الحياة‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹸأﻧ ﹺﺸ ﹸﺊ ﺟﺪو ﹶل اﻟﻘﻴ ﹺﻢ اﻵﺗ ﹶﻲ ﺑﺎﺳﺘﺜﻨﺎ ﹺء اﻟﻌﺪ ﹺد ‪ 3‬؛ ﻷ ﱠن اﻻﻗﺘﺮا ﹶن ﻏﻴ ﹸﺮ ﹸﻣﻌ ﱠﺮ ﹴف ﻋﻨ ﹶﺪ ‪:3‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في ح ِّل المثال ‪ 5‬الذي ُيم ِّثل موق ًفا حيات ًّيا‬ ‫‪x -1 0 1 2 2.5 3.5 4 5 6 7‬‬ ‫تستعمل فيه الاقترانات النسبية‪ ،‬ثم اسألهم عن مجال‬ ‫هذا الاقتران ومداه‪ .‬بعــد ذلك و ِّضح لهم أن المجال‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.75 0.33 -0.5 -3‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4.5 3.67 3.25‬‬ ‫في هذه الحالة هو الأعداد الحقيقية غير الســالبة فلا‬ ‫‪x-3‬‬ ‫يكون الزمن ســال ًبا‪ ،‬وأن المدى هو الأعداد الحقيقية‬ ‫من ‪ 0.05‬إلــى أقل من ‪0.1‬؛ لأن خط التقارب الأفقي‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬أرﺳ ﹸﻢ ﺧ ﱠﻄ ﹺﻲ اﻟﺘﻘﺎر ﹺب‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻋ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط‬ ‫)‪ (x, y‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ ،‬و ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ‬ ‫هو ‪y = 0.1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط إﻟﻰ ﻳﻤﻴ ﹺﻦ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴ ﹺﻢ ‪x = 3‬‬ ‫ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ أﻣ ﱡﺪ ﹸه ﺑﻤﺤﺎذا ﹺة ﺧ ﱠﻄ ﹺﻲ اﻟﺘﻘﺎر ﹺب‪،‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط إﻟﻰ ﻳﺴﺎ ﹺر اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹺﻢ‬ ‫‪ x= 3‬ﺑﻤﻨﺤﻨــﻰ أﻣ ﱡﺪ ﹸه ﺑﻤﺤــﺎذا ﹺة ﺧ ﱠﻄ ﹺﻲ‬ ‫‪8‬‬ ‫اﻟﺘﻘﺎر ﹺب‪ ،‬ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫أﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎ ﹸل ﻫ ﹶﻮ ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﻣﺎ‬ ‫‪y=2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻳﺸــﻴ ﹸﺮ ﺧــ ﱡﻂ اﻟﺘﻘــﺎر ﹺب‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻷﻓﻘــ ﱢﻲ إﻟــﻰ ﺳــﻠﻮ ﹺك‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻨﺴــﺒ ﱢﻲ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫‪-4 -2 0‬‬ ‫‪2 4 6 8 10 x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﺗﺼﺒ ﹸﺢ اﻟﻘﻴﻤــ ﹸﺔ اﻟﻤﻄﻠﻘ ﹸﺔ‬ ‫‪x=3‬‬ ‫ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪ x‬ﻛﺒﻴﺮ ﹰة ﺟ ﹼﹰﺪا‪ .‬ﻓﺈذا‬ ‫‪-4‬‬ ‫اﻗﺘﺮ ﹶﺑ ﹾﺖ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ﻋﺪ ﹴد ﺣﻘﻴﻘــ ﱟﻲ ﺛﺎﺑ ﹴﺖ ﻫ ﹶﻮ‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪ ، c‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹶﻢ ‪y = c‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫ﻳﻜــﻮ ﹸن ﺧــ ﱠﻂ ﺗﻘــﺎر ﹴب‬ ‫أﻓﻘ ﱟﻲ ﻟﻤﻨﺤﻨــﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﻋﺪا ‪ ،3‬أ ﹾو }‪.{x | x ≠ 3‬‬ ‫اﻟﻤﺪ￯ ﻫ ﹶﻮ ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﻣﺎ ﻋﺪا ‪ ،2‬أ ﹾو}‪.{y | y ≠ 2‬‬ ‫اﻟﻨﺴﺒ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫ •يبيع خالد اشــتراكات إحدى الصحف لمؤسســات‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫فإذا باع ‪ 5‬اشتراكات لكل واحدة من أول ‪ 12‬مؤسسة‬ ‫زارهــا‪ ،‬ثــم زار ‪ x‬مؤسســة ُأخرى‪ ،‬وباع لــك ٍّل منها‬ ‫وﻣﺪا ﹸه‪.‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ‪،‬‬ ‫و ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ‪،‬‬ ‫و ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫اﻟﺘﻘﺎر ﹺب‬ ‫ﺧﻄﻮ ﹶط‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫اشتراكين‪ .‬جد متوسط عدد الاشــتراكات التي باعها‬ ‫‪+2‬‬ ‫خالد لكل مؤسســة زارها‪ ،‬ثم جد قيمة ‪ x‬إذا كان هذا‬ ‫ﺗﻮﺟ ﹸﺪ ﻣﻮاﻗ ﹸﻒ ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹲﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﹲة ﹸﺗﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻓﻴﻬﺎ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹸت اﻟﻨﺴﺒﻴ ﹸﺔ‪ ،‬ﻣﺜ ﹸﻞ ﺣﺴﺎ ﹺب ﹸﻣﻌ ﱠﺪﻻ ﹴت ﺗﺘﻀ ﱠﻤ ﹸﻦ ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹴت‪.‬‬ ‫المتوسط ‪ 3‬اشتراكات‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :5‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫)‪M(x‬‬ ‫=‬ ‫‪60 + 2x‬‬ ‫‪, x = 24‬‬ ‫ﻣﺤﺎﻟﻴــ ﹸﻞ‪ :‬ﻳﺤﺘﻮي ﺧ ﹼﺰا ﹲن ﻛﺒﻴ ﹲﺮ ﻋﻠــﻰ ‪ 100‬ﻟﺘ ﹴﺮ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺎ ﹺء‪ ،‬ﹸأذﻳ ﹶﺐ ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ 5 kg‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴــ ﱠﻜ ﹺﺮ‪ .‬وﻋﻨ ﹶﺪ ﻓﺘ ﹺﺢ‬ ‫‪12 + x‬‬ ‫اﻟﺼﻨﺒﻮ ﹺر‪ ،‬ﺑﺪ ﹶأ اﻟﻤﺎ ﹸء ﻳﺼ ﱡﺐ ﻓﻲ اﻟﺨ ﹼﺰا ﹺن ﺑ ﹸﻤﻌ ﱠﺪ ﹺل ‪ 10‬ﻟﺘﺮا ﹴت ﻓﻲ اﻟﺪﻗﻴﻘ ﹺﺔ‪ ،‬وﻓﻲ اﻟﻮﻗ ﹺﺖ ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ ﹸأﺿﻴ ﹶﻒ‬ ‫إﻟﻰ اﻟﺨ ﹼﺰا ﹺن ‪ 1 kg‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴــ ﱠﻜ ﹺﺮ ﻛ ﱠﻞ دﻗﻴﻘ ﹴﺔ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺗﺮﻛﻴ ﹶﺰ اﻟﺴــ ﱠﻜ ﹺﺮ ﻓﻲ اﻟﺨ ﹼﺰا ﹺن )أ ﹾي ﻧﺴــﺒ ﹶﺔ اﻟﺴ ﱠﻜ ﹺﺮ إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﺎ ﹺء( ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 12‬دﻗﻴﻘ ﹰﺔ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا إذا ﻛﺎ ﹶن ﻫﺬا اﻟﺘﺮﻛﻴ ﹸﺰ أﻛﺒ ﹶﺮ ﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﻓﻲ اﻟﺒﺪاﻳ ﹺﺔ أ ﹾم ﻻ‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:4‬‬ ‫له خط تقارب رأسي هو ‪ ،x = -2‬وخط تقارب أفقي هو ‪y = 4‬‬ ‫‪x -8 -6 -4 -3 -2.5 -1.5 -1 0 1 4‬‬ ‫‪y=f(x) 3.5 3.25 2.5 1 -2 10 7 5.5 5 4.5‬‬ ‫‪x = -2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪y=4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪-8 -6 -4 -2 0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪-2‬؛ أي }‪{x|x ≠ -2‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪4‬؛ أي }‪{y|y ≠ 4‬‬ ‫‪22‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ t‬ﻫ ﹶﻮ ﻋﺪ ﹶد اﻟﺪﻗﺎﺋ ﹺﻖ اﻟﺘﻲ ﺗﻠﻲ ﻓﺘ ﹶﺢ اﻟ ﱡﺼﻨﺒﻮ ﹺر‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫‪W(t) = 100 + 10t‬‬ ‫ﻛﻤﻴ ﹶﺔ اﻟﻤﺎ ﹺء ﻫ ﹶﻲ اﻟﻜﻤﻴ ﹸﺔ اﻷﺻﻠﻴ ﹸﺔ ﻣﻀﺎ ﹰﻓﺎ إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﹸﻣﻌ ﱠﺪ ﹸل اﻟ ﱠﺼ ﱢﺐ ﻣﻀﺮو ﹰﺑﺎ ﻓﻲ ‪t‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫‪S(t) = 5 + 1t‬‬ ‫ﻛﻤﻴ ﹶﺔ اﻟﺴ ﱠﻜ ﹺﺮ ﻫ ﹶﻲ اﻟﻜﻤﻴ ﹸﺔ اﻷﺻﻠﻴ ﹸﺔ ﻣﻀﺎ ﹰﻓﺎ إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﹸﻣﻌ ﱠﺪ ﹸل اﻹﺿﺎﻓ ﹺﺔ‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها (يمكن الطلب إليهم‬ ‫ﻣﻀﺮو ﹰﺑﺎ ﻓﻲ ‪t‬‬ ‫حل الأســئلة ذوات الأرقام الزوجية (‪ )2-12‬ضمن‬ ‫‪C(t) = 5 + t‬‬ ‫ﺗﺮﻛﻴ ﹶﺰ اﻟﺴ ﱠﻜ ﹺﺮ ﻫ ﹶﻮ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ اﻟﺴ ﱠﻜ ﹺﺮ إﻟﻰ اﻟﻤﺎ ﹺء ﻓﻲ اﻟﺨ ﹼﺰا ﹺن‬ ‫مجموعات‪.‬‬ ‫‪100 + 10t‬‬ ‫ﺗﺮﻛﻴ ﹶﺰ اﻟﺴ ﱠﻜ ﹺﺮ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 12‬دﻗﻴﻘ ﹰﺔ ﻫ ﹶﻮ ﻧﺘﻴﺠ ﹸﺔ ﺗﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪t = 12‬‬ ‫ﻓﻲ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪C(t) :‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫‪C(12) = 5 + 12‬‬ ‫فاطلب إليهم مراجعة أمثلة الدرس‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‪ ،‬واﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫)‪100 + 10(12‬‬ ‫‪C(12) = 17 ≈ 0.08‬‬ ‫‪220‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺰ اﻟﺴــ ﱠﻜ ﹺﺮ ﻓﻲ اﻟﺨــ ﹼﺰا ﹺن ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 12‬دﻗﻴﻘ ﹰﺔ ﻫــ ﹶﻮ ‪ 0.08 kg/L‬وﻗ ﹾﺪ ﻛﺎ ﹶن ﺗﺮﻛﻴــ ﹸﺰ ﹸه ﻓﻲ اﻟﺒﺪاﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪0.08‬‬ ‫>‬ ‫‪0.05‬‬ ‫ﻷ ﱠن‬ ‫اﻟﺒﺪاﻳ ﹺﺔ؛‬ ‫أﻛﺒ ﹸﺮ ﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﻓﻲ‬ ‫دﻗﻴﻘ ﹰﺔ‬ ‫‪12‬‬ ‫اﻟﺴ ﱠﻜ ﹺﺮ ﺑﻌ ﹶﺪ‬ ‫ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺰ‬ ‫إذ ﹾن‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪kg/L‬‬ ‫‪100‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﺗﺴــﻤ ﹸﺢ اﻟﺮواﺑــ ﹸﻂ اﻟﻘﻄﺒﻴ ﹸﺔ‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ﻟﻠﻤــﺎ ﹺء ﺑﺈذاﺑــ ﹺﺔ اﻟﻌﺪﻳ ﹺﺪ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫ﻣﺤﺎﻟﻴــ ﹸﻞ‪ :‬ﻳﺤﺘﻮي ﺧ ﹼﺰا ﹲن ﻛﺒﻴــ ﹲﺮ ﻋﻠﻰ ‪ 300‬ﻟﺘ ﹴﺮ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺎ ﹺء‪ ،‬ﹸأذﻳ ﹶﺐ ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ 8 kg‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴــ ﱠﻜ ﹺﺮ‪ .‬وﻋﻨ ﹶﺪ ﻓﺘ ﹺﺢ‬ ‫اﻟﻤﻮا ﱢد؛ ﻣﺎ ﻳﺠﻌ ﹶﻠــ ﹸﻪ ﻣﺬﻳ ﹰﺒﺎ‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫اﻟﺼﻨﺒﻮ ﹺر‪ ،‬ﺑﺪ ﹶأ اﻟﻤﺎ ﹸء ﻳﺼ ﱡﺐ ﻓﻲ اﻟﺨ ﹼﺰا ﹺن ﺑ ﹸﻤﻌ ﱠﺪ ﹺل ‪ 20‬ﻟﺘ ﹰﺮا ﻓﻲ اﻟﺪﻗﻴﻘ ﹺﺔ‪ ،‬وﻓﻲ اﻟﻮﻗ ﹺﺖ ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ ﹸأﺿﻴ ﹶﻒ إﻟﻰ‬ ‫الــواردة في الصفحة التاســعة من كتــاب التمارين‪،‬‬ ‫اﻟﺨ ﹼﺰا ﹺن ‪ 2 kg‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴــ ﱠﻜ ﹺﺮ ﻛ ﱠﻞ دﻗﻴﻘ ﹴﺔ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺗﺮﻛﻴ ﹶﺰ اﻟﺴــ ﱠﻜ ﹺﺮ ﻓﻲ اﻟﺨ ﹼﺰا ﹺن ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ t‬دﻗﻴﻘ ﹰﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪t‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻟ ﹼﹰﻴﺎ‪.‬‬ ‫ُمح ِّد ًدا لهم المســائل التي يمكنهم حلها في نهاية كل‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻋﻨﺪﻫﺎ ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺰ اﻟﺴ ﱠﻜ ﹺﺮ ﻓﻲ اﻟﺨ ﹼﺰا ﹺن ‪ 0.04 kg/L‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫حصة بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ اﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ واﻟﺒﺎﻗ ﹶﻲ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(x2+ 5x -1) ÷ (x-1‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‪ ، 3x + 2 :‬واﻟﺒﺎﻗﻲ‪2 (3x2 +23x + 14) ÷ (x + 7) 0 :‬‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪.‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‪ ، x + 6 :‬واﻟﺒﺎﻗﻲ‪5 :‬‬ ‫)‪3 (x3 - 3x2 + 5x -6) ÷ (x -2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(9x3 - 9x2 + 17x + 6) ÷ (3x -1‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‪ ، x2 - x + 3 :‬واﻟﺒﺎﻗﻲ‪0 :‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‪ ، 3x2 - 2x +5:‬واﻟﺒﺎﻗﻲ‪11 :‬‬ ‫)‪6 (8x4 + 2x3 - 14x2 +2) ÷ (4 x2 + x -1‬‬ ‫)‪5 (-6x3 + x2 + 4) ÷ (2x -3‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‪ ، 2x2 - 3 :‬واﻟﺒﺎﻗﻲ‪3x + 5 :‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‪ ، -3x2 - 4x - 6 :‬واﻟﺒﺎﻗﻲ‪-14 :‬‬ ‫ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن )‪ h(x‬ﻫ ﹶﻮ أﺣ ﹸﺪ ﻋﻮاﻣ ﹺﻞ )‪ f(x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪7 h(x) = x -2 , f(x) = 3x4 - 6x3 + 4x2 - 5x - 6‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‪ ، 3x3 +4x +3:‬واﻟﺒﺎﻗﻲ‪0 :‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‪ ، 3x2 + 2x -1 :‬واﻟﺒﺎﻗﻲ‪8 h(x) = 2x2 -7x -4 , f(x) = 6x4 - 17x3- 28x2 - x + 4 0 :‬‬ ‫‪23‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:5‬‬ ‫)‪C(t‬‬ ‫=‬ ‫‪8 + 2t‬‬ ‫‪300 + 20t‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫=‬ ‫‪8 + 2t‬‬ ‫‪300 + 20t‬‬ ‫)‪8+ 2t = 0.04(300 + 20t‬‬ ‫‪8+ 2t = 12 + 0.8t‬‬ ‫‪1.2t = 4 ⇒ t = 3.33 min‬‬ ‫‪23‬‬

‫مهارات التفكير العليا‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶل ﻛ ﱢﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأسئلة في بند (مهارات التفكير‬ ‫‪9‬‬ ‫‪f(x) = 3x - 6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪h(x) = 2x - 8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪g(x) = 2x2 - 8‬‬ ‫العليا)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها ضمن مجموعات ثنائية‪،‬‬ ‫وكتابة ُمب ِّرر للإجابة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x2 - 3x + 1‬‬ ‫‪x2 + 9‬‬ ‫بعضهم‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺧﻄﻮ ﹶط اﻟﺘﻘﺎر ﹺب ﻟﻜ ﱢﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬و ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ‪ ،‬و ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ‪ ،‬وﻣﺪا ﹸه‪ :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ •و ِّجه أفراد المجموعات في أثناء حل الســؤال ‪ 22‬إلى‬ ‫كتابة العامــل ‪ (x-1)2‬بصــورة )‪ ،(x2 -2x +1‬ثم‬ ‫‪12‬‬ ‫‪f(x) = 2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪h(x) = -2‬‬ ‫اسألهم‪:‬‬ ‫‪x-3‬‬ ‫‪(x - 1)2‬‬ ‫ »ماذا يكــون العامل الآخر الــذي ناتج ضربه في‬ ‫‪14‬‬ ‫‪w(x) = 4x - 3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪5x2‬‬ ‫)‪ (x2 -2x +1‬اقتران من الدرجة الثالثة؟‬ ‫‪x2 + 4‬‬ ‫‪x2 - 3x‬‬ ‫‪ 16‬أدر ﹸس إﺣﺪ￯ ﻣﺴﺎﺋ ﹺﻞ اﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﺪر ﹺس‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﻛﺘ ﹸﺐ اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ درﺟ ﹺﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم واﻟﻤﻘﺴﻮ ﹺم ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ واﻟﺒﺎﻗﻲ‪.‬‬ ‫درﺟﺔ ﻧﺎﺗﺞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﺗﺴﺎوي درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺴﻮم ﻧﺎﻗﺺ درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ‪ ،‬ودرﺟﺔ ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻘﺴﻤﺔ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫‪ 17‬ﹺﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺔ ورﻗــ ﹴﺔ ﻣﺴــﺘﻄﻴﻠ ﹴﺔ ﺗﺴــﺎوي )‪ (3x3+14x2+ax +8‬وﺣــﺪا ﹴت ﹸﻣﺮ ﱠﺑﻌــ ﹰﺔ‪ ،‬وﻃﻮ ﹸﻟﻬــﺎ ﻳﺴــﺎوي ‪ (x +2)2‬وﺣــﺪ ﹰة‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟـ ﹸﺪ ﻗﻴﻤـ ﹶﺔ ‪ .a‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 18‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ ‪ (19-21‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 19‬أ ﱡﻳﻬﺎ ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ‪ :‬ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻤﺨﺘﻠ ﹶﻒ ﻋ ﹺﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻟﺜﻼﺛ ﹺﺔ اﻷﹸﺧﺮ￯‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ‪:‬‬ ‫الإثراء‬ ‫ •اطرح على الطلبة المسألة الآتية‪:‬‬ ‫‪h(x) = 9‬‬ ‫‪l(x) = 7‬‬ ‫ »إذا كان )‪ (x-1‬أحــد عوامــل الاقتــران‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪x2 - 9‬‬ ‫‪ ،f(x) = x3-2x2 -19x +20‬فمــا مجمــوع‬ ‫‪f(x) = 3‬‬ ‫‪g(x) = 5‬‬ ‫مربعــات أصفــار )‪f(x‬؟ ‪42‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪ 20‬ﻣﺴــﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬أﻛﺘ ﹸﺐ ﻗﺎﻋﺪ ﹶة اﻗﺘﺮا ﹴن ﻧﺴــﺒ ﱟﻲ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻠ ﹺﻪ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ ﺧ ﱡﻂ ﺗﻘﺎر ﹴب أﻓﻘ ﱟﻲ ﻫ ﹶﻮ‪ ،y = 3 :‬وﺧ ﹼﻄﺎ ﺗﻘﺎر ﹴب رأﺳﻴﺎ ﹺن‬ ‫ﻫﻤﺎ‪.x = -2, x = 7 :‬‬ ‫‪ 21‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻗﺘــﺮا ﹶن ﻛﺜﻴ ﹺﺮ ﺣﺪو ﹴد ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪرﺟ ﹺﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜ ﹺﺔ‪ ،‬ﻳﻜﻮ ﹸن أﺣ ﹸﺪ ﻋﻮاﻣ ﹺﻠ ﹺﻪ ‪ ،(x - 1)2‬وﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴــﻤﺘﹺ ﹺﻪ ﻋﻠﻰ )‪ (x + 2‬ﻫ ﹶﻮ ‪،9‬‬ ‫وﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺘﹺ ﹺﻪ ﻋﻠﻰ )‪ (x - 3‬ﻫ ﹶﻮ ‪44‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ •اطلــب إلــى الطلبــة إعــداد قائمــة تتضمــن‬ ‫الخطــوات التــي يتبعونهــا فــي قســمة كثيــر‬ ‫حــدود علــى كثيــر حــدود آخــر‪ ،‬و ُيط ِّبقوهــا فــي‬ ‫قســمة ‪ f(x) = 3x2 + 6x4 -28x -10‬علــى‬ ‫‪h(x) = 2x2 + 5‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة الانتهــاء من جمــع البيانات عن‬ ‫المتغيرين اللذين اختاروهما‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بضرورة توثيق مصدر معلوماتهم‪.‬‬ ‫‪24‬‬

‫ﺗﺮﻛﻴ ُﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ِت‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Composition of Functions‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺗﻌ ﱡﺮ ﹸف ﻣﻔﻬﻮ ﹺم اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ‪ ،‬وﺷــﺮ ﹺط ﺗﺮﻛﻴ ﹺﺐ اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﻤﺘﹺ ﹺﻪ ﻟﻌﺪ ﹴد ﹸﻣﻌﻄﻰ‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﺎﻋﺪ ﹺة‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫اﻗﺘﺮا ﹴن ﹸﻣﺮ ﱠﻛ ﹴﺐ إذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹾﺖ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎ ﹸﻣﺮ ﱠﻛﺒﺘ ﹾﻴ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫ •يتعرف مفهوم تركيب الاقترانات وشــرطه‪ ،‬والاقتران‬ ‫ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت‪ ،‬اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹸﺐ‪ ،‬اﻟ ﹸﻤﺮ ﱢﻛﺒﺘﺎ ﹺن‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ال ُمر َّكب‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺴﻘ ﹸﻂ ﻗﻄﺮ ﹸة ﻣﺎ ﹺء اﻟﻤﻄ ﹺﺮ ﻋﻠﻰ ﺑﺤﻴﺮ ﹴة ﺗﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣﻮﺟ ﹲﺔ داﺋﺮﻳ ﹲﺔ‬ ‫ﻳﺘﺰاﻳ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴــﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ اﻟﺰﻣ ﹺﻦ ﹶوﻓ ﹶﻖ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪:‬‬ ‫ •يحســب قيم اقتران ُمر َّكب عند قيــم معلومة للمتغير‬ ‫‪ ، r(t) = 25 √t + 2‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ r‬ﻧﺼ ﹸﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﺑﺎﻟﺴــﻨﺘﻴﻤﺘﺮا ﹺت‪،‬‬ ‫المستقل‪.‬‬ ‫ﹶو ‪ t‬اﻟﺰﻣ ﹸﻦ ﺑﺎﻟﺪﻗﺎﺋ ﹺﻖ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹺﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﻮﺟ ﹺﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪.t = 2‬‬ ‫ •يجد قاعدة الاقتران ال ُمر َّكب‪.‬‬ ‫ •يجد ُمر َّكبتي اقتران ُمر َّكب‪.‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ ﺳــﺎﺑ ﹰﻘﺎ أ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل أ ﱢي اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻣﺜــ ﹺﻞ ‪ ،f(x) = x2, g(x) = 2x -1‬ﻟﺘﻜﻮﻳ ﹺﻦ‬ ‫اﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹴت ﺟﺪﻳﺪ ﹴة‪ ،‬وذﻟ ﹶﻚ ﺑﺈﺟﺮا ﹺء ﻋﻤﻠﻴﺎ ﹺت ﺟﻤ ﹴﻊ‪ ،‬أ ﹾو ﻃﺮ ﹴح‪ ،‬أ ﹾو ﺿﺮ ﹴب‪ ،‬أ ﹾو ﻗﺴــﻤ ﹴﺔ ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫ •يحل مسائل حياتية عن تركيب الاقترانات‪.‬‬ ‫اﻷﻣﺜﻠ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪(f + g)(x)= x2 + 2x - 1‬‬ ‫‪(f-g)(x) = x2 - 2x + 1‬‬ ‫)‪(f . g)(x) = x2(2x - 1‬‬ ‫(‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪)(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪2x - 1‬‬ ‫واﻟﻴﻮ ﹶم ﺳﺄﺗﻌ ﱠﻠ ﹸﻢ ﻃﺮﻳﻘ ﹰﺔ ﺟﺪﻳﺪ ﹰة ﻟﺘﻜﻮﻳ ﹺﻦ اﻗﺘﺮا ﹴن ﺟﺪﻳ ﹴﺪ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،f‬ﹶو ‪ g‬ﻋ ﹾﻦ ﻃﺮﻳ ﹺﻖ‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ •حســاب قيمة اقتران معطى عند قيــم معلومة للمتغير‬ ‫دﻣ ﹺﺠ ﹺﻬﻤﺎ‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﺗﻜﻮ ﹸن ﻣﺨﺮﺟ ﹸﺔ أﺣﺪ ﹺﻫﻤﺎ ﻣﺪﺧﻠ ﹰﺔ ﻟﻶﺧ ﹺﺮ‪ .‬و ﹸﺗﺴ ﹼﻤﻰ ﻋﻤﻠﻴ ﹸﺔ اﻟﺪﻣ ﹺﺞ ﻫﺬ ﹺه ﺗﺮﻛﻴ ﹶﺐ‬ ‫المستقل‪.‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت )‪ ،(function composition‬و ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟﻨﺎﺗ ﹸﺞ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹶﺐ‬ ‫ •ضرب مقادير جبرية وتبسيطها‪.‬‬ ‫ •تحديد مجال الاقتران كثير الحدود والاقتران النسبي‪.‬‬ ‫)‪.(composite function‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻄﺮﻳﻘﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪ :‬ﺗﻄﺒﻴ ﹸﻖ ‪ f‬أو ﹰﻻ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ﻧﺘﻴﺠ ﹺﺔ ‪ ،f‬و ﹸﻳﺮ ﹶﻣ ﹸﺰ إﻟﻰ ذﻟ ﹶﻚ ﺑﺎﻟﺮﻣ ﹺﺰ‬ ‫)‪ ،(g◦f‬و ﹸﻳﻘ ﹶﺮ ﹸأ‪ g :‬ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ .f‬وﺗﻄﺒﻴ ﹸﻖ ‪ g‬أو ﹰﻻ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻧﺘﻴﺠ ﹺﺔ ‪ ،g‬و ﹸﻳﺮ ﹶﻣ ﹸﺰ إﻟﻰ ذﻟ ﹶﻚ ﺑﺎﻟﺮﻣ ﹺﺰ )‪.(f◦g‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ﱞﻲ‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت‬ ‫ •اكتب على اللوح ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن )‪ ،f(x‬ﹶو )‪ g(x‬اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴــ ﹺﻦ‪ ،‬ﻓــﺈ ﱠن اﻻﻗﺘــﺮا ﹶن اﻟﻨﺎﺗــ ﹶﺞ ﻣــ ﹾﻦ ﺗﺮﻛﻴــ ﹺﺐ ‪ f, g‬ﻫــ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫))‪ .(f◦g)(x) = f(g(x‬و ﹸﻳﻘــ ﹶﺮ ﹸأ‪ f :‬ﺑﻌــ ﹶﺪ ‪ ، g‬وﻳﻜﻮ ﹸن ﻣﺠﺎ ﹸل اﻻﻗﺘــﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ )‪ (f◦g‬ﻫ ﹶﻮ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ x‬ﻣ ﹾﻦ ﻣﺠﺎ ﹺل ‪ g‬اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮ ﹸن ﻣﺨﺮﺟﺎ ﹸﺗﻬﺎ )‪ g(x‬ﻓﻲ ﻣﺠﺎ ﹺل ‪.f‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪f(x) = 3x2 -2x+1, g(x) = 4 -3x,‬‬ ‫مجال‬ ‫تحديد‬ ‫الطلبة‬ ‫إلى‬ ‫اطلب‬ ‫ثم‬ ‫)‪،h(x‬‬ ‫‪= 2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ك ٍّل من هذه الاقترانات‪ ،‬وإيجاد ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪1)  f(1) 2 2)  f(-2) 17‬‬ ‫‪3)  g(3) -5 4)  h(2) -1‬‬ ‫مجال ‪ f, g‬هو مجموعــة الأعداد الحقيقية‪ ،‬ومجال ‪ h‬هو‬ ‫مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء ‪3‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تبسيط المقدارين الآتيين‪:‬‬ ‫‪a) 3(2x+1)2 -5(2x+1) + 4‬‬ ‫‪ 12x2+2x+2‬‬ ‫)‪b) 2x(x2 + 5x) -3(x3- 5x2 +4‬‬ ‫‪ -x3 +25x2 -12‬‬ ‫‪25‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما طول نصف قطر الموجة بعد ‪ 7‬دقائق من سقوط قطرة المطر على البحيرة؟ ‪75 cm‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »كيف تحسب مساحة الموجة؟ باستعمال صيغة مساحة الدائرة‪A = πr2 :‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »كيف تحسب مساحة الموجة بعد ِع َّدة دقائق من سقوط قطرة الماء على البحيرة؟ إيجاد طول‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫نصف قطرها ‪ r‬أو ًل‪ ،‬ثم تعويضه في صيغة المساحة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اكتــب الاقترانين‪ ،f(x) = x-2 , g(x) = 4 + 2x :‬ثم اطلب إلى الطلبة إيجاد قيمة ‪ f‬للأعداد‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪ ،2, 3, 5, 9‬ثم كتابة النتائج في عمودين كما يأتي‪:‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2→0‬‬ ‫قد يجد بعــض الطلبة قيمــة )‪(g◦f)(x‬‬ ‫‪3→1‬‬ ‫ببدء التعويض في )‪ g(x‬أو ًل‪ ،‬ثم تعويض‬ ‫‪5→3‬‬ ‫النتيجة فــي )‪f(x‬؛ لذا ن ِّبههــم إلى البدء‬ ‫‪9→7‬‬ ‫من أقصــى اليمين‪ ،‬بتعويض ‪ x‬في معادلة‬ ‫)‪ ،f(x‬ثم تعويض الناتج في معادلة )‪.g(x‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة إيجاد قيمة ‪ g‬للأعداد الناتجة من ‪ ،f‬ثم كتابة النتائج كما في المخطط الآتي‪:‬‬ ‫‪25A‬‬ ‫‪fg‬‬ ‫‪2→0→4‬‬ ‫‪3→1→6‬‬ ‫‪5 → 3 → 10‬‬ ‫‪9 → 7 → 18‬‬ ‫‪g◦f‬‬ ‫ •ب ِّين للطلبة أن النتيجة النهائية الأولى ‪ُ 4‬تم ِّثل قيمة ‪ g‬لِـ )‪ ، f(2‬وأنها تكتب بصورة ‪، g(f(2)) = 4‬‬ ‫أو ‪ ، (g◦f )(2) = 4‬وهكذا الحال لبقية النتائج‪.‬‬ ‫ •و ِّضــح للطلبة أن عملية تعويض قيمة اقتران في اقتران آخر تســمى تركيب الاقترانات‪ ،‬وأنه عند‬ ‫تعويــض )‪ f(x‬مكان ‪ x‬في معادلة )‪ g(x‬ينتج الاقتران ال ُمر َّكــب )‪ (g◦f )(x‬الذي هو ))‪، g(f(x‬‬ ‫وأنــه عند تعويض قيمة )‪ g(x‬في معادلة )‪ f(x‬ينتــج )‪ ، (f◦g )(x‬وأن هذين الاقترانين ال ُمر َّكبين‬ ‫يكونان غال ًبا مختلفين‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبــة في تعريف تركيــب اقترانين‪ ،‬وطريقتي التركيب‪ ،‬وشــروطه‪ُ ،‬مب ِّينًــا أنه إذا كانت‬ ‫الاقترانــات كثيرات حدود فإن مجالها ومداها الأعداد الحقيقية؛ فيمكن تركيبها بالطريقتين‪ .‬بعد‬ ‫ذلك شا ِرك الطلبة في حل المثال‪ُ ،‬مو ِّض ًحا خطوتي الحل في كل فقرة‪.‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب‬ ‫الذي أخطأ في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬

‫مثال إضافي‬ ‫ﹸﻳﻮ ﱢﺿــ ﹸﺢ اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄ ﹸﻂ اﻵﺗﻲ أ ﱠن ﻣﺠﺎ ﹶل )‪ (f◦g‬ﻫ ﹶﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹲﺔ ﺟﺰﺋﻴ ﹲﺔ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺠﺎ ﹺل ‪ ،g‬وأ ﱠن ﻣﺪ￯ )‪ (f◦g‬ﻫ ﹶﻮ‬ ‫= )‪ ،f(x) = 3x2 +1, g(x‬فجــد ما‬ ‫‪2x‬‬ ‫ •إذا كان‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋــ ﹲﺔ ﺟﺰﺋﻴ ﹲﺔ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺪ￯ ‪ .f‬وإذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ إﺣﺪ￯ اﻟﻘﻴ ﹺﻢ ﻣﺜ ﹸﻞ )‪) g(z‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ z‬أﺣ ﹸﺪ ﻋﻨﺎﺻ ﹺﺮ ﻣﺠﺎ ﹺل ‪(g‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫ﻏﻴ ﹶﺮ ﻣﻮﺟﻮد ﹴة ﻓﻲ ﻣﺠﺎ ﹺل ‪ ،f‬ﻓﻼ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد )‪ (f◦g)(z‬ﻓﻲ ﻫﺬ ﹺه اﻟﺤﺎﻟ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫يأتي‪:‬‬ ‫ﳎﺎ ﹸل ‪g‬‬ ‫ﳎﺎ ﹸل ‪ f‬ﻣﺪ￯ ‪g g‬‬ ‫ﻣﺪ￯ ‪f‬‬ ‫‪a) (f◦g)(2)  49‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)‪g(z‬‬ ‫‪f‬‬ ‫))‪f(g(x‬‬ ‫ )‪b) (g◦f)(2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪g g(x‬‬ ‫ﳎﺎ ﹸل )‪(f◦g‬‬ ‫)‪(f◦g‬‬ ‫ﻣﺪ￯ )‪(f◦g‬‬ ‫‪c) (f◦g)(5)  19.75‬‬ ‫)‪1 (g◦f)(3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫))‪(g◦f )(3) = g(f(3‬‬ ‫)‪= g(32‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = x2, g(x) = x + 4‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫)‪= g(9‬‬ ‫‪= 9 + 4 = 13‬‬ ‫)‪ (g◦f )(3‬ﺗﻌﻨﻲ ‪ g‬ﻟﹺـ )‪f(3‬؛ أ ﹾي ‪ ،f‬ﺛ ﱠﻢ ‪g‬‬ ‫ك ِّررالمصطلحاتالرياضيةالمستخدمةفيالدرسباللغتين‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = 3‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪f‬‬ ‫العربية والإنجليزية‪ ،‬وشــ ِّجع الطلبة على استعمالها‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫تركيــب الاقترانــات ‪،composition of functions‬‬ ‫والاقتران ال ُمر َّكــب ‪ ،composite function‬وال ُمر ِّكبة‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = 9‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪ ،g‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪component‬‬ ‫)‪2 (g◦f)(-2‬‬ ‫)‪ (g◦f )(-2‬ﺗﻌﻨﻲ ‪ g‬ﻟﹺـ )‪f(-2‬؛ أ ﹾي ‪ ،f‬ﺛ ﱠﻢ ‪g‬‬ ‫))‪(g◦f )(-2) = g(f(-2‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = -2‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪f‬‬ ‫)‪= g((-2)2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫)‪= g(4‬‬ ‫‪=4+4=8‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = 4‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪ ،g‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫)‪3 (f◦g)(5‬‬ ‫)‪ (f◦g)(5‬ﺗﻌﻨﻲ ‪ f‬ﻟﹺـ )‪g(5‬؛ أ ﹾي ‪ ،g‬ﺛ ﱠﻢ ‪f‬‬ ‫ُأﻓ ﱢﻜ ُﺮ‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫))‪(f◦g)(5) = f(g(5‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = 5‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪g‬‬ ‫ﻫــ ﹾﻞ ﺗﻮﺟــ ﹸﺪ أ ﱡي ﻗﻴــ ﹴﻢ‬ ‫)‪= f(5+4‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴــ ﹺﺮ ‪ x‬ﻻ ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ‬ ‫المجال العاطفي لا يقل أهمية عن المجال المعرفي؛‬ ‫)‪= f(9‬‬ ‫ﺣﺴــﺎ ﹸب )‪(h◦j )(x‬‬ ‫فلا تقل لأحد الطلبة‪( :‬إجابتك خطأ)‪ ،‬بل قل له‪( :‬لقد‬ ‫‪= 92 = 81‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = 9‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪ ،f‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫اقتربت من الإجابة الصحيحة‪ ،‬فمن يســتطيع إعطاء‬ ‫ﻋﻨﺪﻫــﺎ؟‬ ‫إجابة ُأخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه إجابة صحيحة لغير‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪26‬‬ ‫هذا السؤال)‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، h(x) = √x , j(x) = 2x +1‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫)‪a) (h◦j)(4‬‬ ‫)‪b) ( j◦h)(4‬‬ ‫)‪c) (h◦h)(16‬‬ ‫)‪d) ( j◦j )(-8‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫ ‪a) 3‬‬ ‫ ‪b) 5‬‬ ‫ ‪c) 2‬‬ ‫‪d) -29‬‬ ‫‪26‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في كيفيــة تعويض مقــدار جبري من‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ‪ ،x‬ﺛ ﱠﻢ ﺣﺴــﺎ ﹺب ﻗﻴﻤ ﹺﺔ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ ﻋﻨ ﹶﺪ‬ ‫اقتران في معادلــة اقتران آخر للتعبير عــن تركيبهما‬ ‫أ ﱢي ﻗﻴﻤ ﹴﺔ ﻋﺪدﻳ ﹴﺔ ﻣﻌﻄﺎ ﹴة‪.‬‬ ‫جبر ًّيا‪ُ ،‬مو ِّض ًحا الخطوات المتبعة في المثال‪ ،‬وتبسيط‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫المقدار الناتج لأبسط صورة‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 3x +5, g(x) = 2x2 – 6‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﺎﻋﺪ ﹶة ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ‪ ،(f◦g)(x) :‬ﹶو )‪،(g◦f )(x‬‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪ ،(f◦g)(-2‬ﹶو )‪.(g◦f )(0‬‬ ‫ﹸﻳﻘ ﹶﺮ ﹸأ اﻟﺮﻣــ ﹸﺰ )‪،(f◦g)(x‬‬ ‫‪ f‬ﺑﻌ ﹶﺪ )‪ ،g(x‬و ﹸﻳﻘ ﹶﺮ ﹸأ اﻟﺮﻣ ﹸﺰ‬ ‫ •إذا كان ‪ ،f(x) = √2x + 10 , g(x) = 4x +1‬فجد‬ ‫))‪(f◦g)(x) = f(g(x‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ‬ ‫)‪ ،(f◦g)(x‬ثم جد )‪ (f◦g)(3‬بطريقتين‪.‬‬ ‫))‪ f ، f(g(x‬ﻟﹺـ )‪g(x‬‬ ‫)‪= f(2x2- 6‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪g(x) = 2x2 – 6‬‬ ‫‪(f◦g)(x) = √8x + 12 , (f◦g)(3) = √8(3) + 12‬‬ ‫ُأﻓ ﱢﻜ ُﺮ‬ ‫‪= √36 = 6‬‬ ‫‪=3(2x2-6) +5‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ )‪ (2x2 – 6‬ﻣﻜﺎ ﹶن ‪ x‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪f‬‬ ‫ﻫ ﹾﻞ ﹸﺗﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ ﻋﻤﻠﻴ ﹸﺔ ﺗﺮﻛﻴ ﹺﺐ‬ ‫‪(f◦g)(3) = f(g(3)) = f(13) = √2(13) + 10‬‬ ‫‪(f◦g)(x) = 6x2 - 13‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫اﻻﻗﺘﺮاﻧــﺎ ﹺت اﻟﺨﺎﺻﻴــ ﹶﺔ‬ ‫‪= √36 = 6‬‬ ‫‪(f◦g)(-2) = 6(-2)2 – 13 =11‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ ،x = -2‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫اﻟﺘﺒﺪﻳﻠﻴ ﹶﺔ؟‬ ‫إرشــاد‪ :‬و ِّجــه الطلبــة إلــى التح ُّقــق مــن‬ ‫صحــة الإجابــة عنــد إيجــاد قاعــدة الاقتــران‬ ‫))‪(g◦f )(x) = g(f(x‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ‬ ‫ال ُمر َّكـب‪ ،‬بحسـاب قيمـة الاقتـران ال ُمر َّكـب لعـدد‬ ‫)‪= g(3x+5‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪f(x) = 3x + 5‬‬ ‫مــا بالتعويــض فــي القاعــدة‪ ،‬واســتعمال تعريــف‬ ‫‪= 2(3x+5)2 - 6‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ )‪ (3x + 5‬ﻣﻜﺎ ﹶن ‪ x‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪g‬‬ ‫الاقتــران ال ُمر َّكــب‪ ،‬ومقارنــة النتيجتيــن‪ ،‬فــإذا‬ ‫‪= 2(9x2 + 30x + 25)-6‬‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﻴ ﹺﻊ )‪(3x + 5‬‬ ‫تســاوتا كانــت القاعــدة صحيحــة‪.‬‬ ‫‪(g◦f )(x) =18x2 + 60x + 44‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪(g◦f )(0) = 18(0)2 +60(0) +44= 44‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ ،x = 0‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = x2+ 4x, g(x)= 2- 3x‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﺎﻋﺪ ﹶة ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ‪ ،(f◦g)(x) :‬ﹶو )‪،(g◦f )(x‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪ ،(f◦g)(3‬ﹶو )‪ .(g◦f )(-1‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﻟﻨﻈ ﹸﺮ إﻟﻰ ﻛﺜﻴ ﹴﺮ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت ﺑﻮﺻ ﹺﻔﻬﺎ اﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹴت ﹸﻣﺮ ﱠﻛﺒ ﹰﺔ‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹸد اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺴــﻴﻄ ﹾﻴ ﹺﻦ ﹸﻳﻜﺎﻓﹺ ﹸﺊ‬ ‫ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺒ ﹸﻬﻤــﺎ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛــ ﹶﺐ‪ ،‬ﻋﻨﺪﺋ ﹴﺬ ﻳﻜﻮ ﹸن اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺن اﻟﺒﺴــﻴﻄﺎ ﹺن ﹸﻣﺮ ﱠﻛﺒ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻻﻗﺘــﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ‬ ‫)‪.(components of the composite function‬‬ ‫ﻓﻤﺜــ ﹰﻼ‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ اﻋﺘﺒــﺎ ﹸر اﻻﻗﺘــﺮا ﹺن ‪ f(x) = √4x2 + 9‬اﻗﺘﺮا ﹰﻧــﺎ ﹸﻣﺮ ﱠﻛ ﹰﺒــﺎ‪ ،‬و ﹸﻣﺮ ﱠﻛﺒﺘــﺎ ﹸه ﻫﻤــﺎ‪:‬‬ ‫‪ ،h(x) = √x , g(x) = 4x2 + 9‬وﻳﻜﻮ ﹸن )‪. f(x) = (h◦g)(x‬‬ ‫‪27‬‬ ‫تنويع التعليم‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعــات ثنائية‪ ،‬ثم اطلب إلى كل‬ ‫‪(f◦g)(x) = (2-3x)2 + 4(2- 3x) = 9x2 - 24x +12‬‬ ‫ثنائي أن يكتبا اقترانيــن؛ كل على حدة‪ ،‬ثم العمل م ًعا‬ ‫‪(f◦g)(3) = 21‬‬ ‫‪(g◦f)(x) = 2 -3(x2 + 4x) = -3x2 -12x + 2‬‬ ‫لإيجاد ناتج تركيبهما‪ ،‬والتحقق من صحته‪.‬‬ ‫‪(g◦f)(-1) = 11‬‬ ‫‪27‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟــ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪ ، f(x‬ﹶو )‪ ،g(x‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﹸﻳﻤﻜﹺ ﹸﻦ اﻟﺘﻌﺒﻴ ﹸﺮ ﻋــ ﹾﻦ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة‬ ‫ﻗــ ﹾﺪ ﻻ ﺗﻜــﻮ ﹸن اﻟﻘﻴــﻮ ﹸد‬ ‫ •و ِّضح للطلبة كيفية تفكيك اقتران معطى إلى اقترانين‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﺠــﺎ ﹺل اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت‬ ‫بســيطين ينتج من تركيبهمــا الاقتــران المعطى‪ ،‬ثم‬ ‫))‪h(x) = f(g(x‬‬ ‫واﺿﺤــ ﹰﺔ ﺑﻌــ ﹶﺪ إﺟــﺮا ﹺء‬ ‫أخبرهم أنه يوجــد في حالات ِع َّدة أكثــر من طريقة‬ ‫ﻋﻤﻠﻴ ﹺﺔ ﺗﺮﻛﻴ ﹺﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت‬ ‫لكتابة اقترانين ينتج من تركيبهمــا الاقتران المعطى‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪h(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﺗﺒﺴــﻴ ﹺﻄﻬﺎ؛ ﻟــﺬا ﻣــ ﹶﻦ‬ ‫بعد ذلك نا ِقش الطلبة في ح ِّل المثال‪ ،‬ثم اطلب إليهم‬ ‫‪x+3‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤ ﹺﻬ ﱢﻢ اﻻﻧﺘﺒﺎ ﹸه إﻟﻰ ﻣﺠﺎ ﹺل‬ ‫اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻗﺒ ﹶﻞ ﺗﺮﻛﻴﺒﹺ ﹺﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫البحث عن إجابة ُأخرى‪.‬‬ ‫= )‪ . g(x) = x + 3, f(x‬وﺑﺬﻟ ﹶﻚ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أﻓﺘﺮ ﹸض أ ﱠن‬ ‫‪x‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫)‪f(g(x)) = f(x + 3‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪g(x)= x + 3‬‬ ‫ •جد الاقترانيــن )‪ f(x), g(x‬بحيث يمكن التعبير عن‬ ‫‪ h(x) = 2 + √x2 + 9‬بصورة ))‪. h(x) = f(g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x+3‬ﻣﻜﺎ ﹶن ‪ x‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪f‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫إجابة محتملة‪:‬‬ ‫‪g(x) = x2 + 9, f(x) = 2 + √x‬‬ ‫‪2 h(x) = (2 + x2)10‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫أﻓﺘﺮ ﹸض أ ﱠن ‪ . g(x) = 2 + x2, f(x) = x10‬وﺑﺬﻟ ﹶﻚ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حــ ِّل المثال ‪ 4‬الــذي ُيب ِّين توظيف‬ ‫تركيب الاقترانات في موقف حياتي‪ ،‬ثم اطلب إليهم‬ ‫)‪f(g(x)) = f(2 + x2‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪g(x)= 2 + x2‬‬ ‫تفســير الاقترانيــن المعطيين في المســألة‪ ،‬ومدلول‬ ‫الاقتران الناتج من تركيبهما‪ .‬بعد ذلك اســألهما عن‬ ‫)‪= (2 + x2)10 = h(x‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ 2 + x2‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪f‬‬ ‫حساب التكلفة من دون كتابة اقتران ُمر َّكب‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟــ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪ ، f(x‬ﹶو )‪ ،g(x‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﹸﻳﻤﻜﹺ ﹸﻦ اﻟﺘﻌﺒﻴ ﹸﺮ ﻋــ ﹾﻦ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة‬ ‫))‪ h(x) = f(g(x‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪a) h(x) = 4x2 -1‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻓﻜﺮ ﹺة اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛﺒ ﹺﺔ ﻓﻲ ﻣﻮاﻗ ﹶﻒ ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹴﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﹴة‪ ،‬ﻣﺜ ﹺﻞ‪ :‬اﻟﺘﺠﺎر ﹺة‪ ،‬واﻟﺼﻨﺎﻋ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫وﻏﻴ ﹺﺮ ﹺﻫﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ﺻﻨﺎﻋــ ﹲﺔ‪ :‬وﺟ ﹶﺪ ﻣﺪﻳ ﹸﺮ ﻣﺼﻨ ﹴﻊ ﻟﻸﺛــﺎ ﹺث أ ﱠن ﺗﻜﻠﻔ ﹶﺔ إﻧﺘــﺎ ﹺج ‪ q‬ﻣ ﹾﻦ ﺧﺰاﻧﺎ ﹺت اﻟﻜﺘ ﹺﺐ ﻓــﻲ ﻓﺘﺮ ﹺة اﻟﻌﻤ ﹺﻞ‬ ‫اﻟﺼﺒﺎﺣﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﻟﺪﻳﻨــﺎ ﹺر ﻫ ﹶﻲ‪ . C(q) = q2 + 2q + 800 :‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻋﺪ ﹸد ﺧﺰاﻧﺎ ﹺت اﻟﻜﺘ ﹺﺐ اﻟﺘﻲ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ‬ ‫إﻧﺘﺎ ﹸﺟﻬﺎ ﻓﻲ ‪ t‬ﺳﺎﻋ ﹰﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة اﻟﺼﺒﺎﺣﻴ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻲ‪ ،q(t) = 20t, 0 ≤ t ≤ 5 :‬ﻓﻤﺎ ﺗﻜﻠﻔ ﹸﺔ اﻹﻧﺘﺎ ﹺج ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪t‬؟ ﻛ ﹾﻢ دﻳﻨﺎ ﹰرا ﺗﻜﻠﻔ ﹸﺔ اﻹﻧﺘﺎ ﹺج ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳ ﹺﺔ ﺳﺎﻋ ﹺﺔ اﻟﻌﻤ ﹺﻞ اﻟﺮاﺑﻌ ﹺﺔ؟‬ ‫‪28‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:3‬‬ ‫من الإجابات المحتملة‪:‬‬ ‫‪ f(x) = 4x -1, g(x) = x2‬أو ‪a)  f(x) = x2 -1 , g(x)= 2x ,‬‬ ‫من الإجابات المحتملة‪:‬‬ ‫= )‪b)  f(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪ f(x‬أو ‪+5 , g(x)=(x+2)2 ،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ 5 , g(x) = x+2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪28‬‬

‫مثال إضافي‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫تجارة‪ :‬أعلن محل لبيع الأجهزة الكهربائية عن خصم قيمته‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﺗﻜﻠﻔ ﹺﺔ اﻹﻧﺘﺎ ﹺج ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪ ، t‬ﹸأﻋــ ﱢﻮ ﹸض ﻗﻴﻤ ﹶﺔ )‪ q(t‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﻜﻠﻔ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓ ﹸﺄﻛ ﱢﻮ ﹸن اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ ﹸﻣﺮ ﱠﻛ ﹰﺒﺎ ﻫ ﹶﻮ‬ ‫‪ 15%‬على جميع الأجهزة‪ .‬يريد خليل أن يشــتري ثلاجة‬ ‫من هذا المحل‪ ،‬ولديه قسيمة من المصنع ُتخ ِّوله الحصول‬ ‫)‪(C◦q)(t) = C(20t‬‬ ‫)‪:(C◦q)(t‬‬ ‫على خصم ‪ 25‬دينا ًرا من ثمن الثلاجة‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ‬ ‫‪  (a‬اكتــب اقترانين ‪ُ f, g‬يم ِّثل أحدهما ما ســيدفعه خليل‬ ‫لشــراء ثلاجة ثمنها ‪ x‬دينــا ًرا مســتفي ًدا من الخصم‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ 20t‬ﻣﻜﺎ ﹶن ‪ q‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﻜﻠﻔ ﹺﺔ ‪= (20t)2 + 2(20t) + 800‬‬ ‫المعلن‪ ،‬و ُيم ِّثل الآخر ما سيدفعه مستفي ًدا من القسيمة‪.‬‬ ‫‪(C◦q)(t) = 400t2 + 40t + 800‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪f(x) = x – 25 , g(x) = x- 0.15x = 0.85x‬‬ ‫ﺗﻜﻠﻔ ﹸﺔ اﻹﻧﺘﺎ ﹺج ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳ ﹺﺔ ﺳﺎﻋ ﹺﺔ اﻟﻌﻤ ﹺﻞ اﻟﺮاﺑﻌ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻲ ‪(C◦q)(4) :‬‬ ‫‪  (b‬اكتب قاعدة ك ٍّل من )‪ُ ،(g◦f )(x), (f◦g )(x‬مف ِّســ ًرا‬ ‫دلالاتهما‪ ،‬و ُمح ِّد ًدا أيهما أفضل لخليل‪.‬‬ ‫‪(C◦q)(4) = 400(16) + 40(4) + 800 = 7360‬‬ ‫ما ســيدفعه خليل مستفي ًدا من القســيمة أو ًل‪ ،‬ثم الخصم‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﺗﻜﻠﻔ ﹸﺔ اﻹﻧﺘﺎ ﹺج ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳ ﹺﺔ ﺳﺎﻋ ﹺﺔ اﻟﻌﻤ ﹺﻞ اﻟﺮاﺑﻌ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻲ‪ 7360 :‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪.‬‬ ‫المعلن‪(g◦f )(x) = 0.85x – 21.25 :‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣ ٌﺔ‬ ‫ما ســيدفعه خليل مســتفي ًدا من الخصم المعلن أو ًل‪ ،‬ثم‬ ‫القسيمة‪(f◦g )(x) = 0.85x -25 :‬‬ ‫= )‪ C(F‬درﺟﺎ ﹺت اﻟﺤﺮار ﹺة ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻘﻴﺎ ﹺس اﻟﻔﻬﺮﻧﻬﺎﻳﺘ ﱢﻲ ‪F‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(F -32‬‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹲس‪ :‬ﹸﻳﺤ ﱢﻮ ﹸل اﻻﻗﺘــﺮا ﹸن‬ ‫اﻟﻜﻠﻔﻦ وﺣــﺪ ﹲة ﻟﻘﻴﺎ ﹺس‬ ‫‪9‬‬ ‫درﺟ ﹺﺔ اﻟﺤﺮار ﹺة‪ ،‬اﻋ ﹸﺘ ﹺﻤ ﹶﺪ ﹾت‬ ‫الأفضل لخليل هو )‪ (f◦g )(x‬؛ لأنه ســيدفع أقل بمقدار‬ ‫إﻟﻰ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس ﺳﻴﻠﺴــﻴﻮس ‪ .C‬و ﹸﻳﺤ ﱢﻮ ﹸل اﻻﻗﺘﺮا ﹸن ‪ K(C) = C + 273‬درﺟﺎ ﹺت اﻟﺤﺮار ﹺة ﻣ ﹾﻦ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﺪوﻟ ﱢﻲ‪ ،‬و ﹸر ﹺﻣ ﹶﺰ‬ ‫‪ 3.75‬دنانير‪.‬‬ ‫إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣــ ﹺﺰ )‪ ،(K‬وﻗ ﹾﺪ‬ ‫ﺳﻴﻠﺴــﻴﻮس إﻟﻰ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس ﻛﻠﻔﻦ ‪ .K‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻻﻗﺘــﺮا ﹶن اﻟﺬي ﹸﻳﺤ ﱢﻮ ﹸل درﺟ ﹶﺔ اﻟﺤــﺮار ﹺة ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻘﻴﺎ ﹺس‬ ‫ﹸﺳ ﱢﻤ ﹶﻴ ﹾﺖ ﺑﻬﺬا اﻻﺳ ﹺﻢ ﻧﺴﺒ ﹰﺔ‬ ‫اﻟﻔﻬﺮﻧﻬﺎﻳﺘ ﱢﻲ إﻟــﻰ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس ﻛﻠﻔﻦ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ درﺟ ﹶﺔ اﻟﺤﺮار ﹺة ﻋﻠﻰ ﻣﻘﻴﺎ ﹺس ﻛﻠﻔﻦ اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻘﺎﺑﹺ ﹸﻞ ‪ 86‬درﺟ ﹰﺔ‬ ‫إﻟــﻰ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋــ ﱢﻲ اﻟﻠﻮرد‬ ‫ﻓﻬﺮﻧﻬﺎﻳﺘﻴ ﹰﺔ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫ﻛﻠﻔﻦ‪.‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫= )‪ ، f(x) = x + 7, g(x‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 (f◦g)(4) 9‬‬ ‫‪2 (g◦f)(4) 5.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(g◦g)(-2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4 (f◦f )(3) 17‬‬ ‫‪2‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،c(x) = x3, d(x) = 2x-3‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫‪5 (c◦d)(3) 27‬‬ ‫‪6 (d◦c)(5) 247‬‬ ‫المســائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حل الأســئلة (‪،)1-10‬‬ ‫‪7 (c◦d)(x) (c◦d)(x) = (2x - 3)3‬‬ ‫‪8 (d◦c)(x) (d◦c)(x) = 2x3 - 3‬‬ ‫وتابِعهم في هذه الأثناء‪.‬‬ ‫‪29‬‬ ‫ •اختر بعض الأخطاء التي وقع فيها الطلبة من دون ذكر‬ ‫أسمائهم؛ تجن ًبا لإحراجهم‪ ،‬ثم نا ِقشهم فيها‪.‬‬ ‫تعليمات المشروع‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:4‬‬ ‫و ِّجه الطلبة إلى البدء بتنفيذ الخطوة ‪ 3‬من المشروع‪ ،‬بتمثيل‬ ‫)‪(K◦C)(F‬‬ ‫=‬ ‫(‪K‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ))‪(F-32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(F-32) + 273‬‬ ‫البيانات التي جمعوها باســتعمال برمجية ‪ ، Excel‬وإيجاد‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫قاعدة الاقتران المناسب للبيانات‪.‬‬ ‫= )‪(K◦C)(86‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(86-32) + 273 =303K‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪ 9‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،a(x) = x + 4, b(x) = x-7‬ﻓ ﹸﺄﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن )‪ .(a◦b)(x) = (b◦a)(x‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫! تنبيه‪ :‬فــي الأســئلة (‪ ،)15-18‬و ِّجه الطلبة‬ ‫‪ 10‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 2x, g(x) = 3x + 4‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪ ،(f◦g)(x‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ )‪ .(f◦g)(-3‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫إلى اختيار التمثيل البياني للاقتران الأيمن في صيغة‬ ‫الاقتران ال ُمر َّكب‪ ،‬ورسم عمود من القيمة ‪ x‬المحددة‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ‪.‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻴ ﹸﻦ‬ ‫ﺛ ﱠﻢ‬ ‫واﺣ ﹴﺪ‪،‬‬ ‫ﻛﺴ ﹴﺮ‬ ‫ﺑﺼﻮر ﹺة‬ ‫‪(g◦f‬‬ ‫)‪)(x‬‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫)‪،f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x-10‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن‬ ‫إذا‬ ‫‪11‬‬ ‫في الســؤال بحيث يلاقي المنحنى‪ ،‬ثم رسم مستقيم‬ ‫‪-‬‬ ‫أفقي إلى المحــور ‪ ،y‬وتحديد قيمة ‪ ،y‬ثم تعيين تلك‬ ‫القيمة على المحور ‪ x‬في التمثيــل البياني الثاني‪ ،‬ثم‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = x +1, g(x) = x2 -7‬ﻓ ﹸﺄﻋ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﺼﻮر ﹺة اﻗﺘﺮا ﹴن ﹸﻣﺮ ﱠﻛ ﹴﺐ‪ ،‬ﹸﻣﻌﺘ ﹺﻤ ﹰﺪا اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪:f, g‬‬ ‫رســم عمود يلاقي المنحنى‪ ،‬ثم رسم خط أفقي إلى‬ ‫المحور ‪ ، y‬وتحديد قيمــة ‪ ،y‬فتكون تلك القيمة هي‬ ‫‪12 x2 – 6‬‬ ‫‪13 x + 2‬‬ ‫‪14 x2 + 2x - 6‬‬ ‫)‪(f◦g)(x‬‬ ‫)‪(f◦f )(x‬‬ ‫)‪(g◦f )(x‬‬ ‫قيمة الاقتران ال ُمر َّكب‪.‬‬ ‫أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﺘﻤﺜﻴﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺒﻴﺎﻧﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﻼﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪ f(x), g(x‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﻤ ﹺﺔ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ ﻓﻲ اﻷﺳﺌﻠ ﹺﺔ )‪:(15- 18‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت الأســئلة ذوات‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫الأرقام الزوجية من ‪ 12‬إلى ‪ ،22‬إضاف ًة إلى الأســئلة‬ ‫ذوات الأرقام الفردية في الصفحة العاشــرة من كتاب‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫التمارين‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪ .‬نا ِقشــهم أي ًضا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫في الأسئلة الباقية من الدرس‪.‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6 7x‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6 7x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪15 (f◦g)(2) (f◦g)(2) = f(g(2)) = f(0) = -3‬‬ ‫‪16 (g◦f )(4) (g◦f )(4) = g(f(4)) = g(5) = 3‬‬ ‫‪17 (g◦g)(5) (g◦g)(5) = g(g(5)) = g(3) = -1‬‬ ‫‪18 (f◦f )(3) (f◦f )(3) = f(f(3)) = f(6) = -3‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪ ، f(x‬ﹶو )‪ ،g(x‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﹸﻳﻤﻜﹺ ﹸﻦ اﻟﺘﻌﺒﻴ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة ))‪h(x) = f(g(x‬‬ ‫‪19 h(x) = 4‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪20‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪3 - √4 + x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫= )‪ ،f(x) = √x-2 , x ≥ 2, g(x‬ﻓﻬ ﹾﻞ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﻜﻮﻳ ﹸﻦ )‪(f◦g)(x‬؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪, x > 3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3-x‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 22‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬

‫مهارات التفكير العليا‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (مهارات التفكير‬ ‫ﹸﻳﻌﻄﻰ ﻋﺪ ﹸد ﺧﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳﺎ ﻓﻲ أﺣ ﹺﺪ اﻷﻃﻌﻤ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﺮد ﹺة ﻓﻲ اﻟﺜ ﹼﻼﺟ ﹺﺔ ﺑﺎﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪:‬‬ ‫العليا)‪ ،‬ثــم اطلب إليهم حلها ضمن مجموعات ثنائية‪،‬‬ ‫وكتابة ُمب ِّرر للإجابــة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات‬ ‫‪ ،N(T) = 23T 2 -56T + 1, 3 < T < 33‬ﺣﻴــ ﹸﺚ ‪ T‬درﺟ ﹸﺔ ﺣﺮار ﹺة اﻟﻄﻌﺎ ﹺم‪ .‬ﻋﻨ ﹶﺪ‬ ‫إﺧــﺮا ﹺج اﻟﻄﻌﺎ ﹺم ﻣ ﹶﻦ اﻟﺜ ﹼﻼﺟــ ﹺﺔ ﹸﺗﻌﻄﻰ درﺟ ﹸﺔ ﺣﺮارﺗﹺ ﹺﻪ ﺑﺎﻻﻗﺘــﺮا ﹺن‪،T(t) = 5t + 1.5 :‬‬ ‫بعضهم‪.‬‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ t‬اﻟﺰﻣ ﹸﻦ ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺎ ﹺت‪:‬‬ ‫ •أرشــد الطلبة إلى إكمال المربع في الاقتران الوارد في‬ ‫السؤال ‪28‬‬ ‫‪ 23‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن‪ (23-26 .(N◦T)(t) :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 24‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺰﻣ ﹶﻦ اﻟﺬي ﻳﺼ ﹸﻞ ﻋﻨﺪ ﹸه ﻋﺪ ﹸد ﺧﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳﺎ إﻟﻰ ‪ 6752‬ﺧﻠﻴ ﹰﺔ‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ ﻣﻨﺰﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﺸﺮﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫‪ 25‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = ax +b, a> 0‬وﻛﺎ ﹶن ‪ ،(f◦f )(x) = 16x -15‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ ،a‬ﹶو‪.b‬‬ ‫= )‪.f(x) = x2 +1, g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪ (f◦g◦h)(x‬ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن‪, h(x) = x + 3 :‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ (27-30‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫ •اطرح على الطلبة الأسئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪ 27‬أﻛﺘﺸــ ﹸﻒ اﻟﺨﻄ ﹶﺄ‪ :‬وﺟ ﹶﺪ ﹾت ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹾﻦ ﻫﺪ￯ ووﻓﺎ ﹶء ﻧﺎﺗ ﹶﺞ )‪ ، (f◦g)(x‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪ .f(x) = x2 -6x -5, g(x) = x2 +5 :‬ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ إﺟﺎﺑ ﹸﺔ أ ﱟي ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺔ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫ »إذا كان ‪ ،f(x) = 3x – 7‬وكان‬ ‫‪ ، (f◦g)(x) = 4x2 + 11‬فما قاعدة )‪g(x‬؟‬ ‫ﻫﺪ￯‬ ‫وﻓﺎ ﹸء‬ ‫‪4‬‬ ‫=)‪g(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2 + 6‬‬ ‫))‪(f◦g)(x) = f(g(x‬‬ ‫))‪(f◦g)(x) = f(g(x‬‬ ‫‪= (x2+5)2 -6(x2+5)-5‬‬ ‫‪=(x2+5)2 -6x2 - 5‬‬ ‫‪= x4+10x2+25-6x2-30-5‬‬ ‫‪= x4 +10x2 + 25 - 6x2 - 5‬‬ ‫‪= x4 + 4x2 - 10‬‬ ‫‪= x4 + 4x2 + 20‬‬ ‫ »إذا كان ‪ ، f(x) = √3x‬وكان‬ ‫‪ ، (g◦f )(x) = 18x + 7‬فما قاعدة )‪g(x‬؟‬ ‫‪ 28‬ﻣﺴﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،f‬ﹶو ‪ g‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻳﻜﻮ ﹸن ‪.(f◦g)(x) = x2 – 4x + 7‬‬ ‫‪g(x) = 6x2 + 7‬‬ ‫‪2 + 3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫= )‪ ، f(x‬ﻓﻤﺎ ﻗﺎﻋﺪ ﹸة )‪(f◦g)(x‬؟ ﻣﺎ ﻣﺠﺎ ﹸﻟ ﹸﻪ؟‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪; g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫‪29‬‬ ‫‪2x - 6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x-3‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪ ،‬فمــا‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫»إذا كان‬ ‫مجال كل من )‪ ،(f◦g)(x‬و )‪(g◦f )(x‬؟‬ ‫=)‪.(f◦g)(x‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹸﺣ ﱡﻞ‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﻛﺎ ﹶن‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x - 2‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن‬ ‫إذا‬ ‫ﺗﺤ ﱟﺪ‪:‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x-4‬‬ ‫ مجــال )‪ (f◦g)(x‬هو جميع الأعــداد الحقيقية‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪0‬‬ ‫باستثناء‬ ‫‪31‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ مجــال )‪ (g◦f )(x‬هو جميع الأعــداد الحقيقية‬ ‫‪-2‬‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫باستثناء‬ ‫‪3‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة البحث في مكتبة المدرسة أو شبكة‬ ‫الإنترنت عن أمثلة تطبيقية على تركيب الاقترانات‪ ،‬ثم‬ ‫كتابة مثال واقعي عن تركيب الاقترانات‪.‬‬ ‫‪31‬‬

‫اﻻﻗﺘﺮا ُن اﻟﻌﻜﺴ ﱡﻲ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Inverse Function‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺗﻌ ﱡﺮ ﹸف اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴ ﱢﻲ‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹸد ﹸه‪ ،‬وﺗﺤﺪﻳ ﹸﺪ ﻣﺠﺎﻟﹺ ﹺﻪ وﻣﺪا ﹸه‪.‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴ ﹸﺔ‪ ،‬اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟﻌﻜﺴــ ﱡﻲ‪ ،‬اﻗﺘﺮا ﹸن واﺣ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪ ،‬اﺧﺘﺒﺎ ﹸر اﻟﺨ ﱢﻂ اﻷﻓﻘ ﱢﻲ‪ ،‬اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟﻤﺤﺎﻳ ﹸﺪ‪،‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫ •يتعرف العلاقة العكسية‪ ،‬والاقتران العكسي‪.‬‬ ‫ •يجد الاقتران العكسي‪ ،‬ويحدد مجاله ومداه‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟﺠﺬر ﱡي‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ •يتعرف الاقتران الجذري‪ ،‬ويحدد مجاله ومداه‪.‬‬ ‫‪0.5w‬‬ ‫ •يمثــل الاقتران واحــد لواحد واقترانه العكســي في‬ ‫ﹸﻳﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ اﻻﻗﺘــﺮا ﹸن ‪ l = 0.5w + 3‬ﻹﻳﺠــﺎ ﹺد ﻃــﻮ ﹺل اﻟﺰﻧﺒــﺮ ﹺك ‪l‬‬ ‫المستوى الإحداثي نفسه‪ ،‬ويتعرف العلاقة بينهما‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺴــﻨﺘﻴﻤﺘﺮا ﹺت ﻓﻲ اﻟﻤﻴــﺰا ﹺن اﻟﺰﻧﺒﺮﻛــ ﱢﻲ ﻋﻨ ﹶﺪ ﻗﻴﺎ ﹺس ﻛﺘﻠ ﹺﺔ ﺟﺴــ ﹴﻢ ‪w‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻜﻴﻠﻮﻏــﺮا ﹺم‪ .‬ﻫ ﹾﻞ ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد اﻗﺘﺮا ﹴن آﺧ ﹶﺮ ﹸﻳﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻛﺘﻠ ﹺﺔ‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ •تمييز العلاقة والاقتران‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺴ ﹺﻢ إذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻃﻮ ﹸل اﻟﺰﻧﺒﺮ ﹺك؟‬ ‫ •تغيير موضوع القانون‪.‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ ﺳــﺎﺑ ﹰﻘﺎ أ ﱠن اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ ﺗﺮﺑ ﹸﻂ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻ ﹺﺮ‪A B ،‬‬ ‫وأ ﱠن إﺣﺪا ﹸﻫﻤﺎ ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﻤﺠــﺎ ﹶل‪ ،‬واﻷﹸﺧﺮ￯ ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﻤﺪ￯‪1 4 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وﺑﺎﻟﻨﻈ ﹺﺮ إﻟﻰ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﻤ ﱠﺜﻠ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄ ﹺﻂ اﻟﺴــﻬﻤ ﱢﻲ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن اﻟﻤﺠﺎ ﹶل ﻫ ﹶﻮ‪ ،A = {1, 4, 5, 8, 10} :‬واﻟﻤﺪ￯ ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫}‪.B = {4, 5, 6, 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ ﻋﻜ ﹺﺲ اﺗﺠﺎ ﹺه اﻷﺳــﻬ ﹺﻢ ﻟﺘﺮﺗﺒ ﹶﻂ ﻋﻨﺎﺻــ ﹸﺮ ‪ B‬ﺑﻌﻨﺎﺻ ﹺﺮ ‪ A‬ﺗﻨﺘ ﹸﺞ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻋﻼﻗ ﹲﺔ ﻋﻜﺴﻴ ﹲﺔ )‪ ،(inverse relation‬ﻣﺠﺎ ﹸﻟﻬﺎ ‪ ،B‬وﻣﺪاﻫﺎ ‪6 .A‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10 7‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻷزوا ﹸج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒ ﹸﺔ ﻟﻠﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪ {(-3, 3), (-2 ,1), (2, 3), (1, 5)} :‬إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت رؤو ﹺس‬ ‫‪y‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻄﻴ ﹺﻞ ‪ .ABCD‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴ ﹶﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ واﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴ ﹶﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪y=x‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Dx‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫التهيئة‬ ‫ﻹﻳﺠــﺎ ﹺد اﻟﻌﻼﻗــ ﹺﺔ اﻟﻌﻜﺴــﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﹸأﺑــ ﱢﺪ ﹸل إﺣﺪاﺛﻴــﺎ ﹺت اﻷزوا ﹺج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓﺘﻜــﻮ ﹸن اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ اﻟﻌﻜﺴــﻴ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪-4-3-2-10 1 2 3 4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫})‪.{(3, -3), (1, -2), (3, 2), (5, 1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ ﺗﻤﺜﻴ ﹺﻞ ﻫﺬ ﹺه اﻷزوا ﹺج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒ ﹺﺔ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ ﺗﻨﺘ ﹸﺞ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹸت رؤو ﹺس اﻟﻤﺴــﺘﻄﻴ ﹺﻞ '‪ A'B'C'D‬اﻟﺬي ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ‬ ‫‪-3 B‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫اﻧﻌﻜﺎ ﹰﺳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴ ﹺﻞ ‪ ABCD‬ﺣﻮ ﹶل اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹺﻢ ‪y = x‬‬ ‫ •اسأل الطلبة عن العلاقة والاقتران والفرق بينهما‪.‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ •اكتب العلاقتين الآتيتين‪ ،‬ثم اسأل الطلبة عن المجال‬ ‫والمدى لك ٍّل منهما‪ ،‬وأيهما اقتران‪:‬‬ ‫})‪1)  {(1, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 8‬‬ ‫})‪2)  {(-2, 4), (-1, 1), (0,0), (1,1), (2,4‬‬ ‫ •اطلــب إلى الطلبة إيجاد قيمــة ‪ x‬بدلالة ‪ y‬في ك ٍّل م ّما‬ ‫يأتي‪:‬‬ ‫ ‪1)  y = 2x -5‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪y+5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ )‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪32‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم) واسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »لماذا يســتطيل الزنبرك عندما ُتع َّلق به كتلة؟ لأن قوة الجاذبية تشد الكتلة إلى الأسفل‪ ،‬فيزداد‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫طول الزنبرك‪.‬‬ ‫ »إذا ُع ِّلق بالميزان مادة كتلتها ‪ ،4 k‬فما طول الزنبرك؟ ‪5 cm‬‬ ‫ »كيف ُتح َســب كتلة جســم ُع ِّلق بهذا الميــزان فأصبح طــول الزنبرك ‪7 cm‬؟ مــا كتلته؟‬ ‫بتعويض ‪ 7‬بدل ‪ l‬في المعادلة وحلها لإيجاد ‪ .w‬كتلته ‪8 kg‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّضح للطلبة مفهوم العلاقة العكســية التي تنتج بعكس اتجاه الأســهم في المخطط السهمي‪ ،‬أو‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫بتبديل الإحداثيين في الأزواج المرتبة التي ُتم ِّثل العلاقة‪ .‬فإذا كان )‪ (a, b‬موجو ًدا في العلاقة ‪،R‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫فإن )‪ (b, a‬يكون موجو ًدا في العلاقة العكسية للعلاقة ‪.R‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في ح ِّل المثال ‪ 1‬الذي ُيب ِّين كيفية إيجاد العلاقة العكسية لعلاقة مكتوبة بصورة أزواج‬ ‫مرتبة‪ ،‬وتمثيل العلاقة ومعكوسها في المســتوى البياني نفسه‪ ،‬ومقارنة التمثيلين البيانين‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا‬ ‫إ ّياهم بالانعكاس حول مستقيم‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫مثال إضافي‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ • ُتم ِّثل العلاقة })‪ {(2, 6), (3, 0), (4, 7), (7, -8), (8, 4‬رؤوس مضلع خماســي‪ .‬جد العلاقة‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫العكسية‪ ،‬وم ِّثل العلاقتين في المستوى الإحداثي نفسه‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪10 y‬‬ ‫العلاقة العكسية هي‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪8‬‬ ‫})‪ ،{(-8, 7), (0, 3), (4, 8), (6, 2), (7, 4‬وهي ُتم ِّثل‬ ‫انعكا ًسا لرؤوس المضلع حول المستقيم ‪y = x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-8 -6 -4 -2 0‬‬ ‫‪24 6 8‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪32A‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أنه يمكننا إيجاد معكوس للاقتران مثلما‬ ‫نجد معكو ًسا للعلاقة‪ .‬غير أن معكوس الاقتران )‪f(x‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫لا يكون اقترا ًنا إلا إذا كان كل عنصر في مدى الاقتران‬ ‫‪ f‬مرتب ًطا بعنصر واحد فقــط من مجاله؛ فلا يمكن أن‬ ‫ﹸﺗﻤ ﱢﺜـ ﹸﻞ اﻷزوا ﹸج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒـ ﹸﺔ ﻟﻠﻌﻼﻗـ ﹺﺔ‪ {(-3 ,1), (-4, 3), (4, 3)} :‬إﺣﺪاﺛﻴـﺎ ﹺت رؤو ﹺس اﻟﻤﺜﻠـ ﹺﺚ‬ ‫يرتبط عنصــران من المجال بعنصر واحد من المدى‪.‬‬ ‫ويســمى الاقتران الذي ُيح ِّقق هذه الخصيصة اقتران‬ ‫‪ .ABC‬ﹶأ ﹺﺟـ ﹸﺪ اﻟﻌﻼﻗـ ﹶﺔ اﻟﻌﻜﺴـﻴ ﹶﺔ‪ ،‬ﺛـ ﱠﻢ ﹸأﻣ ﱢﺜـ ﹸﻞ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴـﺎ اﻟﻌﻼﻗـ ﹶﺔ واﻟﻌﻼﻗـ ﹶﺔ اﻟﻌﻜﺴـﻴ ﹶﺔ ﻋﻠـﻰ اﻟﻤﺴـﺘﻮ￯‬ ‫واحد لواحد‪ ،‬ويكون معكوســه هو الاقتران العكسي‬ ‫اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴـ ﹺﻪ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫)‪.f-1(x‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹸت ﻫ ﹶﻲ ﻧﻮ ﹲع ﺧﺎ ﱞص ﻣ ﹶﻦ اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت؛ ﻷ ﱠن ﻟﻬﺎ ﺧﺎﺻﻴ ﹰﺔ ﻻ ﹸﺗﺤ ﱢﻘ ﹸﻘﻬﺎ ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت؛ ﻓﻬ ﹶﻲ ﺗﺮﺑ ﹸﻂ‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫ﻛ ﱠﻞ ﻋﻨﺼ ﹴﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎ ﹺل ﺑﻌﻨﺼ ﹴﺮ واﺣ ﹴﺪ ﻓﻘ ﹾﻂ ﻓﻲ اﻟﻤــﺪ￯‪ .‬وﺑﻤﺎ أ ﱠن ﻛ ﱠﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻫ ﹶﻮ ﻋﻼﻗ ﹲﺔ ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ‬ ‫ •و َّجــه الطلبــة إلى تأ ُّمــل المخططين الســهميين في‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹸد ﻋﻼﻗ ﹴﺔ ﻋﻜﺴﻴ ﹴﺔ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )ﻣﻌﻜﻮ ﹸس اﻻﻗﺘﺮا ﹺن(‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎ ﹶن اﻟﻤﻌﻜﻮ ﹸس اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ أﻳ ﹰﻀﺎ ﹸﺳ ﱢﻤ ﱠﻲ اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ‬ ‫ﹸﻳﻘــ ﹶﺮ ﹸأ اﻟﺮﻣــ ﹸﺰ )‪f-1 (x‬‬ ‫الصفحة ‪ ،33‬ثم رسم معكوس ك ٍّل منهما‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ﻋﻜﺴ ﹼﹰﻴﺎ )‪ .(inverse function‬و ﹸﻳﺮ ﹶﻣ ﹸﺰ إﻟﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪ f(x‬ﺑﺎﻟﺮﻣ ﹺﺰ )‪.f-1 (x‬‬ ‫اﻻﻗﺘــﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴــ ﱠﻲ‬ ‫ »أي المعكوسين هو اقتران؟‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ ﺗﺤﺪﻳ ﹸﺪ إذا ﻛﺎ ﹶن ﻣﻌﻜــﻮ ﹸس اﻻﻗﺘﺮا ﹺن )‪ f(x‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ أ ﹾم ﻻ ﺑﺎﻟﻨﻈ ﹺﺮ إﻟﻰ )‪ f(x‬ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ؛ ﻓﺈذا‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪.f(x‬‬ ‫ارﺗﺒ ﹶﻂ ﻛ ﱡﻞ ﻋﻨﺼ ﹴﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺪ￯ ﺑﻌﻨﺼ ﹴﺮ واﺣ ﹴﺪ ﻓﻘ ﹾﻂ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎ ﹺل ﻛﺎ ﹶن اﻟﻤﻌﻜﻮ ﹸس اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ‪ ،‬ﻋﻨﺪﺋ ﹴﺬ ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ‬ ‫ •و ِّضح للطلبة اختبــار الخط الأفقي؛ لكي يتم َّكنوا من‬ ‫تمييز اقتران واحد لواحد‪.‬‬ ‫)‪ f(x‬اﻗﺘﺮا ﹶن واﺣ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ )‪.(one to one function‬‬ ‫اﻟﻤﺠﺎ ﹸل‬ ‫اﻟﻤﺪ￯‬ ‫اﻟﻤﺠﺎ ﹸل‬ ‫اﻟﻤﺪ￯‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫اﻗﺘﺮا ﹸن واﺣ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪.‬‬ ‫اﻗﺘﺮا ﹲن ﻟﻴ ﹶﺲ واﺣ ﹰﺪا ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أﻳ ﹰﻀﺎ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻃﺮﻳﻘ ﹴﺔ ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﺧﺘﺒﺎ ﹶر اﻟﺨ ﱢﻂ اﻷﻓﻘ ﱢﻲ )‪(horizontal line test‬؛ ﻟﻠﺘﺤ ﱡﻘ ﹺﻖ‬ ‫ﻣ ﹾﻦ أ ﱠن اﻻﻗﺘﺮا ﹶن ﻫ ﹶﻮ واﺣ ﹲﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪ ،‬وذﻟ ﹶﻚ ﺑﺮﺳــ ﹺﻢ أ ﱢي ﺧ ﱟﻂ أﻓﻘ ﱟﻲ‪ ،‬واﻟﺘﺄ ﱡﻛ ﹺﺪ أ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻻ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ )‪f(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻓﻲ أﻛﺜ ﹶﺮ ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5 f(x) = √25 - x2‬‬ ‫‪0x‬‬ ‫‪-5 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪f(x) = x3 - 1‬‬ ‫اﻗﺘﺮا ﹲن ﻟﻴ ﹶﺲ واﺣ ﹰﺪا ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪.‬‬ ‫اﻗﺘﺮا ﹸن واﺣ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪.‬‬ ‫‪33‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫العلاقة العكسية هي‪ ،{(1, -3), (3, -4), (3, 4)} :‬وهي ُتم ِّثل انعكا ًسا لرؤوس‬ ‫المثلث حول المستقيم ‪y = x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫’‪4 A‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫’‪B‬‬ ‫’‪C‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪33‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة خطوات إيجاد الاقتران العكسي لاقتران‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ﱞﻲ‬ ‫ُع ِلمت معادلته كما في المثال‪.‬‬ ‫ﻷ ﱢي اﻗﺘــﺮا ﹺن )‪ ،f(x‬ﻳﻮﺟ ﹸﺪ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴــ ﱞﻲ )‪ f-1 (x‬إذا وﻓﻘــ ﹾﻂ إذا ﻛﺎ ﹶن )‪ f(x‬اﻗﺘﺮا ﹶن واﺣ ﹴﺪ‬ ‫ •اكتــب علــى اللوح بعــض الأعداد‪ ،‬ثــم اطلب إلى‬ ‫ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪ ،‬ﻋﻨﺪﺋ ﹴﺬ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻣﺠﺎ ﹸل )‪ f(x‬ﻫ ﹶﻮ ﻣﺪ￯ )‪ ،f-1 (x‬وﻣﺪ￯ )‪ f(x‬ﻫ ﹶﻮ ﻣﺠﺎ ﹶل )‪.f-1 (x‬‬ ‫الطلبة تعويضها فــي )‪ ،f(x‬وتعويض الأعداد الناتجة‬ ‫في الاقتران العكســي )‪ ،f-1(x‬وملاحظة العلاقة بين‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل ‪f‬‬ ‫ﻣﺪ￯ ‪f‬‬ ‫الاقتران ومعكوسه‪.‬‬ ‫‪xf‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻣﺪ￯ ‪f-1‬‬ ‫‪f-1‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل ‪f-1‬‬ ‫إذا كان ‪ ،f(a) = b‬فإن ‪f-1(b) = a‬‬ ‫ ‬ ‫ •و ِّضح لهم أي ًضا أنه لرسم الاقتران العكسي من التمثيل‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴــ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻤﻜﺘﻮ ﹺب ﺑﺼﻮر ﹺة ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﺑﺎﻟﺘﺒﺪﻳ ﹺﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ x‬ﹶو ‪ y‬ﻓﻲ ﻗﺎﻋﺪ ﹺة‬ ‫البياني للاقتران‪ ،‬يجــب اختيار بعض النقاط‪ ،‬وتبديل‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪.‬‬ ‫ترتيب إحداثي ك ٍّل منهــا‪ ،‬وتعيين النقاط الجديدة في‬ ‫المستوى الإحداثي‪ ،‬ورســم المنحنى (أو المستقيم)‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫المار بها‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ )‪ f-1(x‬ﻟﻜ ﱢﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪1 f(x) = 4(x-5‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن ﺑﺼﻮر ﹺة )‪y = f(x‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن ﺑﺼﻮر ﹺة )‪y = 4(x-5‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹸأﻋﻴ ﹸﺪ ﺗﺮﺗﻴ ﹶﺐ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺨﻄﻮ ﹺة ‪ 1‬ﺑﺠﻌ ﹺﻞ ‪ x‬ﻣﻮﺿﻮ ﹶع اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن‪:‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫)‪y = 4(x-5‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷﺻﻠﻴ ﹸﺔ‬ ‫ •جد الاقتران العكســي للاقتران ‪ ،f(x) = 7 - 5x‬ثم‬ ‫‪y = 4x-20‬‬ ‫ﺑﺘﻮزﻳ ﹺﻊ اﻟﻀﺮ ﹺب ﻓﻲ ‪ 4‬ﻋﻠﻰ اﻟﺤ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ‬ ‫م ِّثل )‪ f(x), f-1(x‬في المستوى الإحداثي نفسه‪.‬‬ ‫‪y + 20 = 4x‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 20‬إﻟﻰ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪f-1(x‬‬ ‫‪7-x‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹸأﺑــ ﱢﺪ ﹸل ‪ x‬ﺑﹺـ ‪ ،y‬و ﹸأﺑ ﱢﺪ ﹸل ‪ y‬ﺑــ ﹺـ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﺼﻴﻐ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻮ ﱠﺻ ﹾﻠ ﹸﺖ إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﻓــﻲ اﻟﺨﻄﻮ ﹺة ‪ ،2‬ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪f-1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-4 -2 0‬‬ ‫‪2 4x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ • اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪34‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :4‬أﻛﺘ ﹸﺐ )‪ f -1(x‬ﻣﻜﺎ ﹶن ‪ ،y‬ﻓﻴﻜﻮ ﹸن اﻟﻨﺎﺗ ﹸﺞ ﻗﺎﻋﺪ ﹶة اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴ ﱢﻲ )‪.f -1(x‬‬ ‫ك ِّرر المصطلحــات الرياضية المســتخدمة فــي الدرس‬ ‫باللغتيــن العربيــة والإنجليزيــة‪ ،‬وشــ ِّجع الطلبــة على‬ ‫‪y‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ )‪ f -1(x‬ﻣﻜﺎ ﹶن ‪ ،y‬ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ‪:‬‬ ‫اســتعمالها‪ ،‬مثل‪ :‬علاقة عكســية ‪،inverse relation‬‬ ‫واقتران عكسي ‪ ،invers function‬واقتران واحد لواحد‬ ‫)‪f(x) = 4(x -5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪-1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ ،one to one function‬واقتــران جــذري ‪radical‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ،function‬واقتران محايد ‪.identity function‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪f-1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ 20‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ ﺗﻤﺜﻴ ﹺﻞ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ )‪ f(x‬ﹶو )‪ f -1 (x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ‪ ،‬ﹸأﻻ ﹺﺣــ ﹸﻆ أ ﱠن اﻟﺘﻤﺜﻴــ ﹶﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱠﻲ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪ f -1 (x‬ﻫ ﹶﻮ اﻧﻌــﻜﺎ ﹲس ﻟﻠﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ‬ ‫‪-15 -10 -5 0‬‬ ‫‪5 10 15 20‬‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪ f(x‬ﺣﻮ ﹶل اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹺﻢ ‪y = x‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪h -15‬‬ ‫‪2 f(x) = 3x2 – 4, x ≥ 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺑﺎﺳـﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﺧﺘﺒـﺎ ﹺر اﻟﺨـ ﱢﻂ اﻷﻓﻘـ ﱢﻲ‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟـ ﹸﺪ أ ﱠن )‪ f(x‬ﻫـ ﹶﻮ‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣ ٌﺔ‬ ‫اﻗﺘـﺮا ﹸن واﺣـ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣـ ﹴﺪ ﻋﻨﺪﻣـﺎ ‪x ≥ 0‬؛ ﻟـﺬا ﻓﺈ ﱠن ﻟـ ﹸﻪ اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﻮﺟــ ﹴﻪ ﻋــﺎ ﱟم‪ ،‬ﻻ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﻋﻜﺴ ﹼﹰﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ اﻗﺘﺮا ﹲن‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن ﺑﺼﻮر ﹺة ‪y = 3x2 - 4‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹸأﻋﻴ ﹸﺪ ﺗﺮﺗﻴ ﹶﺐ اﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺨﻄﻮ ﹺة ‪1‬‬ ‫ﻋﻜﺴ ﱞﻲ؛ ﻷ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻟﻴ ﹶﺲ اﻗﺘﺮا ﹶن‬ ‫‪1‬‬ ‫واﺣ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ إذا‬ ‫ﺑﺠﻌ ﹺﻞ ‪ x‬ﻣﻮﺿﻮ ﹶع اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن‪:‬‬ ‫اﺧ ﹸﺘــ ﹺﺰ ﹶل ﻣﺠﺎ ﹸﻟــ ﹸﻪ ﺑﺎﻟﻔﺘﺮ ﹺة‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪234‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻓﻴﻬــﺎ اﻗﺘﺮا ﹶن‬ ‫واﺣــ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣــ ﹴﺪ‪ ،‬ﻛﺎ ﹶن ﻟ ﹸﻪ‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﻋﻨﺪﺋ ﹴﺬ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴ ﱞﻲ‪.‬‬ ‫‪-3 f‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪y = 3x2 -4‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷﺻﻠﻴ ﹸﺔ‬ ‫‪y + 4 = 3x2‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 4‬إﻟﻰ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪y+4‬‬ ‫‪= x2‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ اﻟﻤﻮﺟ ﹺﺐ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ؛ ﻷ ﱠن ﻣﺠﺎ ﹶل ‪f‬‬ ‫√‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫اﻟﺬي ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻣﺪ￯ ‪ f -1‬ﻫ ﹶﻮ اﻷﻋﺪا ﹸد ﻏﻴ ﹸﺮ اﻟﺴﺎﻟﺒ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫√‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹸأﺑ ﱢﺪ ﹸل ‪ x‬ﺑ ﹺـ ‪ ،y‬و ﹸأﺑ ﱢﺪ ﹸل ‪ y‬ﺑـﹺ ‪ ،x‬ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ‪y :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :4‬أﻛﺘ ﹸﺐ )‪ f -1(x‬ﻣﻜﺎ ﹶن ‪، y‬‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f -1(x‬‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ‪:‬‬ ‫ﻳﺪ ﱡل اﻟﺮﻣ ﹸﺰ )‪f-1(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 y=x‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴ ﱢﻲ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨــ ﹶﺪ ﺗﻤﺜﻴــ ﹺﻞ ﻛ ﱟﻞ ﻣــ ﹾﻦ )‪ f(x‬ﹶو )‪ f -1(x‬ﻓــﻲ‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ، f‬أ ﹼﻣﺎ اﻟﺮﻣ ﹸﺰ‬ ‫‪f -1 1‬‬ ‫‪12 3 4 5 6‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ‪ ،‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹶﻞ‬ ‫ﻣﻘﻠﻮ ﹺب‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﻴﺪ ﱡل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱠﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪ f -1(x‬ﻫ ﹶﻮ اﻧﻌﻜﺎ ﹲس ﻟﻠﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪ f(x‬ﺣﻮ ﹶل اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹺﻢ ‪y = x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪.f‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4 f‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫مثال ‪3‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في النتيجة الخاصــة بتركيب اقتران مع‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫الاقتران العكســي له‪ ،‬وكيفية توظيفها لتحديد إذا كان‬ ‫ك ٌّل من اقترانين معطيين ُيم ِّثل اقترا ًنا عكس ًّيا للآخر أم‬ ‫‪a) h(x) = 7x + 5‬‬ ‫‪b) g(x) = x2 + 2, x ≥ 0‬‬ ‫لا‪ ،‬بنا ًء على المثال ‪.3‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﺧﺼﺎﺋ ﹺﺺ أ ﱢي اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ﹸﻣﺘﻌﺎ ﹺﻛﺴــ ﹾﻴ ﹶﻦ أ ﱠن ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ ﹶﻳﻌﻜ ﹸﺲ أﺛ ﹶﺮ اﻵﺧــ ﹺﺮ؛ ﻟﺬا ﻳﻨﺘ ﹸﺞ ﻣ ﹾﻦ ﺗﺮﻛﻴﺒﹺ ﹺﻬﻤﺎ‬ ‫اﻻﻗﺘــﺮا ﹸن اﻟﺬي ﹸﻳ ﹾﺒﻘﻲ ﻛ ﱠﻞ ﻋﻨﺼ ﹴﺮ ﻓــﻲ ﻣﺠﺎﻟﹺ ﹺﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻟﹺ ﹺﻪ‪ ،‬وﻫ ﹶﻮ اﻻﻗﺘــﺮا ﹸن اﻟﻤﺤﺎﻳ ﹸﺪ )‪identity‬‬ ‫‪ (function‬اﻟﺬي ﻳﺮﺑ ﹸﻂ ﻛ ﱠﻞ ﻋﻨﺼ ﹴﺮ ﺑﻨﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪ ،‬وﻗﺎﻋﺪ ﹸﺗ ﹸﻪ ﻫ ﹶﻲ‪f(x) = x :‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﻧﺘﻴﺠ ٌﺔ‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫ﺗﻌﻨﻲ ﺟﻤﻠــ ﹸﺔ )إذا وﻓﻘ ﹾﻂ‬ ‫ •أثبت أن ك ًّل مــن الاقترانين ‪f(x)= 4x2 -1, x ≥ 0‬‬ ‫ﻳﻜﻮ ﹸن )‪ f -1(x‬اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪ ،f(x‬إذا وﻓﻘ ﹾﻂ إذا ﻛﺎ ﹶن‪:‬‬ ‫إذا( أ ﱠن اﻟﻌﺒﺎر ﹶة ﺻﺤﻴﺤ ﹲﺔ‬ ‫‪ (f◦f -1)(x) = x‬ﻟﺠﻤﻴــ ﹺﻊ ﻗﻴــ ﹺﻢ ‪ x‬ﻓــﻲ ﻣﺠــﺎ ﹺل )‪ f -1(x‬ﹶو ‪ (f -1◦f )(x) = x‬ﻟﺠﻤﻴــ ﹺﻊ‬ ‫ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎﻫ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ﻗﻴـ ﹺﻢ ‪ x‬ﻓـﻲ ﻣﺠـﺎ ﹺل )‪. f(x‬‬ ‫‪36‬‬ ‫هو اقتران عكسي‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√x +1‬‬ ‫و ‪, x ≥ -1‬‬ ‫ﹸﺗﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ اﻟﺴــﺎﺑﻘ ﹸﺔ ﻹﺛﺒﺎ ﹺت أ ﱠن ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻫ ﹶﻮ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴــ ﹲﻲ ﻟﻶﺧ ﹺﺮ‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻟﻠﺘﺤ ﱡﻘ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ ﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟﺤ ﱢﻞ ﻋﻨ ﹶﺪ إﻳﺠﺎ ﹺد اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫للآخر‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫)‪(f◦g)(x‬‬ ‫=‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√x +1‬‬ ‫‪)2 - 1‬‬ ‫ﹶو ‪ g(x) = 3x -5‬ﻫ ﹶﻮ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴ ﱞﻲ ﻟﻶﺧ ﹺﺮ‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺈﻳﺠﺎ ﹺد )‪ ،(f◦g)(x‬ﹶو )‪.(g◦f )(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)(x‬‬ ‫‪+1)-1 = x‬‬ ‫))‪(f◦g)(x) = f(g(x‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪= f(3x -5‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪g(x) = 3x -5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪(g◦f )(x‬‬ ‫= ‪√(4x2-1) +1‬‬ ‫‪√4x2‬‬ ‫=‬ ‫‪(3x‬‬ ‫)‪- 5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ 3x -5‬ﻣﻜﺎ ﹶن ‪ x‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ )‪f(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺠﻤﻴ ﹺﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3x+(- 5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪(2x) = x‬‬ ‫‪(f◦g)(x) = x‬‬ ‫إذن‪ ،‬كل مــن )‪ f(x), g(x‬اقتــران عكســي للآخــر؛ لأن‬ ‫))‪(g◦f )(x) = g(f(x‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ‬ ‫‪(g◦f )(x) = (f◦g)(x) = x‬‬ ‫=‬ ‫(‪g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫(‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪)-5‬‬ ‫ﻣﻜﺎ ﹶن ‪ x‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ )‪g(x‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= x + 5-5‬‬ ‫ﺑﺎﺧﺘﺼﺎ ﹺر اﻟﻌﺎﻣ ﹺﻞ ‪ 3‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺒﺴ ﹺﻂ واﻟﻤﻘﺎ ﹺم‬ ‫‪(g◦f )(x) = x‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪ f(x‬ﹶو )‪ g(x‬ﻫ ﹶﻮ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴ ﱞﻲ ﻟﻶﺧ ﹺﺮ؛ ﻷ ﱠن ‪.(f◦g)(x)=(g◦f )(x)=x‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫= )‪a)  f-1(x‬‬ ‫‪x-5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪b)  g-1(x) = √x -2 , x ≥ 2‬‬ ‫‪36‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫ •و ِّضح للطلبة مفهوم الاقتران الجذري ومجاله ومداه‪،‬‬ ‫ثم نا ِقشهم في المثال ‪ُ ،4‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم بخصائص علاقة‬ ‫= )‪ g(x‬ﻫ ﹶﻮ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴ ﱞﻲ ﻟﻶﺧ ﹺﺮ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ f(x)= 4x - 8‬ﹶو ‪+2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫التباين (≤ ‪.)>، <، ≥،‬‬ ‫ •و ِّضح لهم أي ًضا كيفية حل المعادلة التي تحوي جذو ًرا‬ ‫ﻟﻤﻘﺪا ﹴر‬ ‫ﺗﺮﺑﻴﻌ ﹼﹰﻴﺎ‬ ‫ﺟﺬ ﹰرا‬ ‫ﻳﺤﻮي‬ ‫اﻟﺬي‬ ‫)‪f -1(x‬‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻌﻜﺴ ﱡﻲ‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹸن‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﻤﺜﺎ ﹺل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻧﺘ ﹶﺞ‬ ‫‪3‬‬ ‫عند إيجاد الاقتران العكسي لاقتران جذري‪.‬‬ ‫ﺟﺒﺮ ﱟي‪ ،‬وﻫ ﹶﻮ ﻧﻮ ﹲع ﺧﺎ ﱞص ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﺠﺬر ﱠي )‪ ،(radical function‬ﻣﺜ ﹶﻞ‪:‬‬ ‫‪f (x) = √5 + x2‬‬ ‫‪√f(x) = 3‬‬ ‫‪x + 12‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪√4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√x - x3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f(x) = √3 1 -x‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن دﻟﻴ ﹸﻞ اﻟﺠﺬ ﹺر ﻓﺮد ﹰﹼﻳﺎ ﻣﺜ ﹶﻞ‪ √3 , √5 :‬ﻛﺎ ﹶن ﻣﺠﺎ ﹸل اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﺠﺬر ﱢي ﺟﻤﻴ ﹶﻊ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫وﻣــﺪا ﹸه ﺟﻤﻴ ﹶﻊ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ‪ .‬أ ﹼﻣﺎ إذا ﻛﺎ ﹶن دﻟﻴ ﹸﻠ ﹸﻪ زوﺟ ﹼﹰﻴﺎ ﻣﺜــ ﹶﻞ‪ ، √ , √4 :‬ﻓﺈ ﱠن ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ ﻳﻜﻮ ﹸن‬ ‫ •جد المجال والمــدى والاقتران العكســي لك ٍّل من‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹶﺔ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ اﻟﻤﻘﺪا ﹶر ﺗﺤ ﹶﺖ رﻣ ﹺﺰ اﻟﺠﺬ ﹺر ﻋﺪ ﹰدا ﻏﻴ ﹶﺮ ﺳﺎﻟ ﹴﺐ؛ ﻷ ﱠن اﻟﺠﺬو ﹶر اﻟﺰوﺟﻴ ﹶﺔ‬ ‫الاقترانين الآتيين‪:‬‬ ‫ﻟﻸﻋﺪا ﹺد اﻟﺴﺎﻟﺒ ﹺﺔ ﻟﻴ ﹶﺴ ﹾﺖ ﺣﻘﻴﻘﻴ ﹰﺔ‪ ،‬وﻳﻜﻮ ﹸن ﻣﺪا ﹸه ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹰﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﻏﻴ ﹺﺮ اﻟﺴﺎﻟﺒ ﹺﺔ‪ .‬ﻓﻤﺜ ﹰﻼ‪،‬‬ ‫‪a)  g(x) = 2 + √9 - 3x‬‬ ‫‪ f(x)= √x‬ﻣﺠﺎ ﹸﻟ ﹸﻪ ‪ ، x ≥ 0‬وﻣﺪا ﹸه ‪ ،y ≥ 0‬وﺗﻤﺜﻴ ﹸﻠ ﹸﻪ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱡﻲ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 y = √x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-6 -5-4-3-2--101‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬ ‫‪b)  h(x) = √3 4x - 15‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶل اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪ f(x) = √2x - 6‬وﻣﺪا ﹸه‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟ ﹸﻪ‪.‬‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫‪  (a‬المجــال‪ x ≤3 :‬أو الفترة ]‪ ،(-∞, 3‬والمدى ‪y ≥ 2‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل ﻫﺬا اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻫ ﹶﻮ ﻗﻴ ﹸﻢ ‪ x‬اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ ‪:2x-6 ≥ 0‬‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎ ﹸت اﻟﺠﻤ ﹺﻊ واﻟﻄﺮ ﹺح‬ ‫‪2x- 6 ≥ 0‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨ ﹶﺔ‬ ‫واﻟﻀــﺮ ﹺب ﻓــﻲ ﻋــﺪ ﹴد‬ ‫أو الفترة = ‪[2, ∞), x ≥ 2, g-1‬‬ ‫‪2x- 6 + 6 ≥ 0 + 6‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 6‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ﻣﻮﺟــ ﹴﺐ ﻻ ﹸﺗﻐ ﱢﻴــ ﹸﺮ رﻣ ﹶﺰ‬ ‫‪9-(x -‬‬ ‫‪2)2‬‬ ‫اﻟﺘﺒﺎﻳ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x ≥ 6‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫)‪g-1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪2‬‬ ‫أ ﹼﻣــﺎ اﻟﻀﺮ ﹸب ﻓــﻲ ﻋﺪ ﹴد‬ ‫‪x≥3‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫ﺳــﺎﻟ ﹴﺐ ﻓﻴﻌﻜــ ﹸﺲ رﻣ ﹶﺰ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻣﺠﺎ ﹸل )‪ f(x‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،x ≥ 3‬أ ﹺو اﻟﻔﺘﺮ ﹸة )∞ ‪ ،[3,‬وﻣﺪا ﹸه ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﻣ ﹾﻦ ﻗﻴﻤﺘﹺ ﹺﻪ ﻋﻨ ﹶﺪ ‪3‬‬ ‫اﻟﺘﺒﺎﻳ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫‪  (b‬المجــال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقيــة‪ ،‬والمدى‪ :‬جميع‬ ‫ﻓﺼﺎﻋ ﹰﺪا؛ ﻷ ﱠن اﻟﻤﻘﺼﻮ ﹶد ﺑﺎﻟﺠﺬ ﹺر ﻫﻨﺎ ﻫ ﹶﻮ اﻟﺠﺬ ﹸر اﻟﻤﻮﺟ ﹸﺐ‪ .‬ﻓﺎﻟﻤﺪ￯ ﻫ ﹶﻮ ‪ ،y ≥ 0‬أ ﹺو اﻟﻔﺘﺮ ﹸة )∞ ‪. [0,‬‬ ‫الأعداد الحقيقية‬ ‫‪37‬‬ ‫)‪h-1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫و ِّضح للطلبة كيــف ُيو َّظف الاقتران العكســي في‬ ‫مســائل عملية بحيث يصبح المتغير المستقل تاب ًعا‪،‬‬ ‫والمتغيــر التابــع مســتق ًّل‪ .‬فالاقتران الــذي يربط‬ ‫محيط مربع بطول ضلعه هو ‪ ،p(s) = 4s‬والاقتران‬ ‫= )‪ ،s(p‬فينتج طــول الضلع‬ ‫‪p‬‬ ‫العكســي له هــو‬ ‫‪4‬‬ ‫بدلالة المحيط‪.‬‬ ‫و ِّضح للطلبة أي ًضا اختلاف خطوات إيجاد الاقتران‬ ‫العكســي في المســائل العملية عنها فــي الطريقة‬ ‫السابقة؛ إذ لا ُيب َّدل المتغيران لأنهما مسميان لكميات‬ ‫معينة خاصة‪ ،‬ولا يستعمل رمز الاقتران العكسي‪.‬‬ ‫‪37‬‬

‫ مثال ‪ :5‬من الحياة‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴــ ﱢﻲ‪ ،‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن ﺑﺼﻮر ﹺة ‪ ، y = √2x-6‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ‪x‬‬ ‫ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪:y‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في خطوات حل المثال ‪ 5‬الذي يشير إلى‬ ‫اســتعمال مفهوم الاقتران العكسي في موقف عملي‬ ‫‪y = √2x-6‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷﺻﻠﻴ ﹸﺔ‬ ‫حياتي‪.‬‬ ‫‪y 2 = 2x - 6‬‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﻴ ﹺﻊ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪y 2 + 6 = 2x‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 6‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻳﻨﺘ ﹶﺞ‪:‬‬ ‫ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺑـﹺ‬ ‫ﹶو‪x‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑـﹺ‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺑﺈﺑﺪا ﹺل‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f -1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ‪:‬‬ ‫‪،y‬‬ ‫ﻣﻜﺎ ﹶن‬ ‫)‪f -1(x‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴ ﱢﻲ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﻳﻜـﻮ ﹸن ﻣﺠـﺎ ﹸل )‪ f -1(x‬ﻫـ ﹶﻮ ﻣـﺪ￯ )‪f(x‬؛ أ ﹾي ﻣﺠﺎ ﹸﻟ ﹸﻪ اﻟﻔﺘـﺮ ﹸة )∞ ‪ ،[0,‬وﻣﺪا ﹸه ﻫ ﹶﻮ ﻣﺠـﺎ ﹸل )‪f(x‬؛ أ ﹺي‬ ‫)‪ f -1(x‬ﻫــ ﹶﻮ ﻣــﺪ￯‬ ‫اﻟﻔﺘﺮ ﹸة )∞ ‪.[3,‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪. f‬‬ ‫ •دفــع مصطفى مبلــغ ‪ 1385‬دينــا ًرا تكلفــة لبضاعة‬ ‫اشتراها شاملة ضريبة مبيعات بنسبة ‪ ،12%‬ودفع مبلغ‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪ 13‬دينا ًرا أجرة شحن‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶل ‪ g(x) = √3x + 12 -2‬وﻣﺪا ﹸه‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟ ﹸﻪ‪.‬‬ ‫‪  (a‬اكتب اقترا ًنا ُيع ِّبر عــن التكلفة ‪ C‬بدلالة ثمن البضاعة‬ ‫ﺗﺘﻄ ﱠﻠ ﹸﺐ ﺑﻌ ﹸﺾ اﻟﻤﺴــﺎﺋ ﹺﻞ اﻟﺤﻴﺎﺗﻴ ﹺﺔ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹶل ﻣﻔﻬﻮ ﹺم اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴــ ﱢﻲ ﻟﺤ ﱢﻠﻬﺎ‪ .‬ﻓﺈذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻃﻮ ﹸل‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫الأصلي ‪C(p) = 1.12p + 13 .p‬‬ ‫ﻻ ﹸﻳﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ رﻣ ﹸﺰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫ﻧﺼــ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻛﺮ ﹴة أﻣﻜ ﹶﻦ إﻳﺠــﺎ ﹸد ﺣﺠ ﹺﻤﻬﺎ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ اﻟﻤﺒﺎﺷــ ﹺﺮ ﻓﻲ ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﺣﺴــﺎ ﹺب ﺣﺠ ﹺﻢ اﻟﻜﺮ ﹺة‪:‬‬ ‫اﻟﻌﻜﺴــ ﱢﻲ )‪ f -1(x‬ﻓــﻲ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺋ ﹺﻞ اﻟﻌﻤﻠﻴ ﹺﺔ‪ ،‬وإ ﱠﻧﻤﺎ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴ ﹸﺮ اﻟﺼﻴﻐ ﹺﺔ‬ ‫ﻃﻮ ﹺل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ‪ ،‬ﻓﻴﺠ ﹸﺐ‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹸد‬ ‫اﻟﺤﺠ ﹸﻢ‪ ،‬و ﹸﻃ ﹺﻠ ﹶﺐ‬ ‫ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ‬ ‫إذا‬ ‫وﻟﻜ ﹾﻦ‬ ‫)‪.V(r‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪r3π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹸﻳﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ رﻣــ ﹲﺰ ﻣﺜــ ﹸﻞ‬ ‫)‪ r = r(V‬اﻟــﺬي ﹸﻳﻌ ﱢﺒ ﹸﺮ‬ ‫‪  (b‬اكتب اقترا ًنا ُيع ِّبر عن الثمــن الأصلي بدلالة التكلفة‪.‬‬ ‫اﻟﺨﺎﺻ ﹺﺔ ﺑﺈﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﺤﺠ ﹺﻢ ‪ V‬إﻟﻰ ﺻﻴﻐ ﹴﺔ ﹸأﺧﺮ￯ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ‪ ،r‬وﻫﻨﺎ ﻳﺒﺮ ﹸز ﻣﻔﻬﻮ ﹸم اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫ﻋ ﹾﻦ ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ‬ ‫= )‪p(C‬‬ ‫‪C - 13‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :5‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫اﻟﺤﺠ ﹺﻢ‪.‬‬ ‫‪1.12‬‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﺎ ﹸء‪ :‬ﺳﻘ ﹶﻂ ﺟﺴ ﹲﻢ ﺳﺎﻛ ﹲﻦ ﻣ ﹶﻦ ارﺗﻔﺎ ﹺع ‪ 200 m‬ﻋ ﹾﻦ ﺳﻄ ﹺﺢ اﻷر ﹺض‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶن ارﺗﻔﺎ ﹸﻋ ﹸﻪ ‪ h‬ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض‬ ‫‪  (c‬ما الثمــن الأصلي للبضاعة التي اشــتراها مصطفى؟‬ ‫ﺑﺎﻷﻣﺘــﺎ ﹺر ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ t‬ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ ﻣــ ﹾﻦ ﺳــﻘﻮﻃﹺ ﹺﻪ ‪ .h(t) = 200 – 4.9t2‬ﹸأﻋ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ‪ t‬ﺑﺼــﻮر ﹺة اﻗﺘﺮا ﹴن ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪ 1225‬دينا ًرا‪.‬‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع ‪ ،h‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺰﻣ ﹶﻦ اﻟﺬي ﻳﻜﻮ ﹸن ﻓﻴ ﹺﻪ ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﺠﺴ ﹺﻢ ‪ 50 m‬ﻓﻘ ﹾﻂ‪.‬‬ ‫إ ﱠن اﻟﺘﻌﺒﻴ ﹶﺮ ﻋ ﹾﻦ ‪ t‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪ h‬ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎ ﹶد اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴــ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪ .h(t‬وﻷ ﱠن اﻟﺰﻣ ﹶﻦ ‪ t‬ﻻ ﻳﻜﻮ ﹸن‬ ‫ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ؛ ﻓﺈ ﱠن ﻣﺠﺎ ﹶل )‪ h(t‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،t ≥ 0‬وﻓﻴ ﹺﻪ ﻳﻜﻮ ﹸن )‪ h(t‬اﻗﺘﺮا ﹶن واﺣ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪ ،‬وﻟ ﹸﻪ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴ ﱞﻲ‪.‬‬ ‫‪38‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:4‬‬ ‫مجال )‪ g(x‬هو الأعداد الحقيقية التي لا تقل عن ‪-4‬؛ أي }‪ ، {x|x ≥ - 4‬أو‬ ‫الفترة )∞ ‪.[-4,‬‬ ‫ومداه الأعــداد الحقيقية التي لا تقل عــن ‪ -2‬؛ أي }‪ ،{y|y ≥ - 2‬أو الفترة‬ ‫)∞ ‪.[-2,‬‬ ‫)‪g-1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x+2)2‬‬ ‫‪-12‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪38‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن ﺑﺼﻮر ﹺة ‪h = 200 – 4.9t2‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬أﺟﻌ ﹸﻞ ‪ t‬ﻣﻮﺿﻮ ﹶع اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن‪.‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حل الأسئلة (‪،)1-12‬‬ ‫‪h = 200 – 4.9t2‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷﺻﻠﻴ ﹸﺔ‬ ‫ •وتابِعهم في هذه الأثناء‪.‬‬ ‫‪h- 200 = - 4.9t2‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 200‬ﻣ ﹾﻦ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫ •اختر بعض الأخطاء التي وقع فيها الطلبة من دون ذكر‬ ‫‪h‬‬ ‫‪- 200‬‬ ‫=‬ ‫‪t2‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪-4.9‬‬ ‫أسمائهم؛ تجن ًبا لإحراجهم‪ ،‬ثم نا ِقشهم فيها‪.‬‬ ‫‪-4.9‬‬ ‫‪200-h‬‬ ‫‪= t2‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﺒﺴ ﹺﻂ واﻟﻤﻘﺎ ﹺم ﻓﻲ ‪-1‬‬ ‫‪4.9‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ اﻟﻤﻮﺟ ﹺﺐ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪√ 200-h‬‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬ ‫‪4.9‬‬ ‫= )‪√t(h‬‬ ‫‪200-h‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻻﻗﺘﺮا ﹸن اﻟﺬي ﹸﻳﻌ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹺﻦ اﻟﺰﻣ ﹺﻦ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪4.9‬‬ ‫= )‪√t(50‬‬ ‫‪200-50‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪h = 50‬‬ ‫إرشاد‪ :‬تحقق من إجابة السؤالين ‪ 7‬و‪ 8‬من‬ ‫‪4.9‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫دون إيجاد قاعدة الاقتران العكسي؛ إذ يجب أن‬ ‫‪≈ 5.53‬‬ ‫يفهم الطلبة العلاقة بين الاقتران والاقتران العكسي‬ ‫له‪ ،‬فإذا كان ‪ f(a) = b‬فإن ‪ f-1(b) = a‬تلقائ ًّيا‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻳﻜﻮ ﹸن اﻟﺠﺴ ﹸﻢ ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎ ﹺع ‪ 50 m‬ﺑﻌ ﹶﺪ ﹸﻣ ﹺﻀ ﱢﻲ ‪ 5.53‬ﺛﻮا ﹴن ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻟﺤﻈ ﹺﺔ ﺳﻘﻮ ﹺﻃ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫ملحوظة‪ :‬هذان الســؤالان مرتبطان بالسؤالين ‪ 5‬و‪6‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫ﻛﺘﻠ ﹸﺔ رأ ﹺس اﻟﻄﻔ ﹺﻞ ﺣﺪﻳ ﹺﺚ‬ ‫على التوالي‪.‬‬ ‫ﻳﺮﺗﺒ ﹸﻂ ﻣﺤﻴ ﹸﻂ اﻟﺮأ ﹺس ‪ C‬ﻟﻠﻄﻔ ﹺﻞ ﺑﻄﻮﻟﹺ ﹺﻪ ‪)H‬ﻛﻼ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘ ﹺﺮ( ﻋ ﹾﻦ ﻃﺮﻳ ﹺﻖ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪:‬‬ ‫اﻟﻮﻻد ﹺة ﺗﺴﺎوي ﹸر ﹾﺑ ﹶﻊ ﻛﺘﻠ ﹺﺔ‬ ‫‪: H(C) = 2.15C - 26.75‬‬ ‫ﺟﺴ ﹺﻤ ﹺﻪ ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪ (a‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ ﹸﻳﻌ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ﻣﺤﻴ ﹺﻂ اﻟﺮأ ﹺس ‪ C‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ﻃﻮ ﹺل اﻟﻄﻔ ﹺﻞ ‪.H‬‬ ‫‪ (b‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺤﻴ ﹶﻂ رأ ﹺس ﻃﻔ ﹴﻞ ﻃﻮ ﹸﻟ ﹸﻪ ‪66 cm‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ‪ (1-4‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﺬي ﻟ ﹸﻪ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴ ﱞﻲ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﻛﺘ ﹸﺐ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ )إ ﹾن ﹸو ﹺﺟ ﹶﺪ(‪:‬‬ ‫})‪1 f = {(2, 6), (-3, 6), (4, 9), (1, 10‬‬ ‫})‪2 h = {(0, 0), (1, 1), (2, 16), (3, 81‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫‪3A f B‬‬ ‫‪4C g D‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫الواردة في الصفحة الحادية عشرة من كتاب التمارين‪،‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪-3 3‬‬ ‫ُمح ِّد ًدا لهم المســائل التي يمكنهم حلها في نهاية كل‬ ‫‪59‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 13‬‬ ‫حصة بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫‪8 15‬‬ ‫‪-7 7‬‬ ‫‪66‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫‪39‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪.‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:5‬‬ ‫= )‪a)  C(H‬‬ ‫‪H + 26.75‬‬ ‫‪2.15‬‬ ‫‪b)  C ≈ 43.1 cm‬‬ ‫‪39‬‬

‫تنويع التعليم‬ ‫بعد حل السؤال ‪ ،18‬اطلب إلى الطلبة البحث عن اقترانات‬ ‫(‪ ، f(x) = 3‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن )‪+ 4‬‬ ‫ُأخرى تكون عكسية لنفسها‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 f(-2) 9‬‬ ‫‪6 f(4) 18‬‬ ‫‪7 f -1(9) -2‬‬ ‫‪8 f -1(18) 4‬‬ ‫من الإجابات المحتملة‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪ ،‬حيث ‪ a‬عدد حقيقي‪.‬‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9 f(x) = x + 7 f-1(x) = x - 7‬‬ ‫‪10 f(x) = 8x‬‬ ‫= )‪f-1(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ ،f(x) = a – x‬حيث ‪ a‬عدد حقيقي‪ ،‬وغيره‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+6‬‬ ‫)‪f-1(x) = 2(x – 6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪f-1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪13 f(x) = 4x3‬‬ ‫‪√f-1(x) = 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪14‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪√6-3x ,‬‬ ‫‪x≤2‬‬ ‫)‪g-1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪6-(x-4)2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪8-3x‬‬ ‫‪,x‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16 j(x) = (x – 2)2 + 4 , x ≥ 2 j -1(x) = √x-4 , x ≥ 4‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪5x + 3‬‬ ‫= )‪g-1(x‬‬ ‫‪,x≠-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 17‬ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪ f(x), g(x‬ﻫ ﹶﻮ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴ ﱞﻲ ﻟﻶﺧ ﹺﺮ‪:‬‬ ‫‪ f(x) = (x+3)2 + 2, x ≥ -3, g(x) = -3 + √x - 2 , x ≥ 2‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﻟﻨﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫ﻋﻜﺴ ﱞﻲ‬ ‫اﻗﺘﺮا ﹲن‬ ‫ﻫ ﹶﻮ‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪1‬‬ ‫أ ﱠن‬ ‫ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ‬ ‫‪18‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ 19‬ﺻﻨﺎﻋ ﹲﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶن )‪ C(x‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻟﺘﻜﻠﻔ ﹶﺔ ‪ C‬ﺑﺎﻟﺪﻧﺎﻧﻴ ﹺﺮ ﻹﻧﺘﺎ ﹺج ‪ x‬وﺣﺪ ﹰة ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ﻣﺼﺎﺑﻴ ﹺﺢ اﻹﻧﺎر ﹺة‪ ،‬ﻓﻤﺎذا ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﻘﺪا ﹸر )‪C -1(23000‬؟‬ ‫ﻋﺪد اﻟﻤﺼﺎﺑﻴﺢ اﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ إﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﺑﻤﺒﻠﻎ ﻣﻘﺪاره ‪ 23000‬دﻳﻨﺎر‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 20‬أرﺳ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﻌﻜﺴــ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪ f‬اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪ ،‬ﹸﻣﻌ ﱢﻴﻨﹰﺎ اﻟﻤﺠﺎ ﹶل واﻟﻤﺪ￯‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ f‬ﹶو‪ .f -1‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2 -1-01‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫ •في معرض مناقشة الطلبة في السؤال ‪ ،20‬اسألهم‪:‬‬ ‫ »كيف يمكن رســم منحنى الاقتران العكســي من التمثيل‬ ‫البياني للاقتران؟‬ ‫ •اســتمع لإجابات الطلبة‪ .‬وفــي حال لم يتو َّصلــوا إلى إجابة‬ ‫صحيحة‪ ،‬فذ ِّكرهــم بالعلاقة بين منحنى الاقتــران والاقتران‬ ‫العكســي‪ ،‬وربط ذلك بالمثــال‪ ،1 ‬وتمثيــل العلاقة والعلاقة‬ ‫العكسية‪.‬‬ ‫‪40‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪ 21‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأسئلة في بند (مهارات التفكير‬ ‫‪ ،f(x) = x2-2x+5 , -3 ≤ x ≤ 1‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ )‪ f(x‬ﹶو )‪ f -1(x‬ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫العليا)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها ضمن مجموعات ثنائية‪،‬‬ ‫وكتابة ُمب ِّرر للإجابة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات‬ ‫)إرﺷﺎ ﹲد‪ :‬أﻛﺘ ﹸﺐ )‪ f(x‬ﺑﺼﻮر ﹺة ‪ (x + b)2 + c‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل إﻛﻤﺎ ﹺل اﻟﻤﺮﺑ ﹺﻊ(‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫بعضهم‪.‬‬ ‫‪ 22‬ﻛﻴﻤﻴـﺎ ﹸء‪ :‬ﻓـﻲ دور ﹴق ‪ 100 mL‬ﻣـ ﹾﻦ أﺣـ ﹺﺪ اﻟﻤﺤﺎﻟﻴـ ﹺﻞ‪ ،‬ﻣﻨﹾﻬـﺎ ‪25 mL‬‬ ‫ •في الســؤال ‪ ،28‬يتع َّيــن على الطلبة إيجــاد الاقتران‬ ‫ﻣـ ﹾﻦ ﺣﺎﻣـ ﹺﺾ اﻟﻬﻴﺪروﻛﻠﻮرﻳـ ﹺﻚ‪ .‬إذا ﹸأﺿﻴ ﹶﻒ إﻟﻰ اﻟـﺪور ﹺق ‪ n mL‬ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ال ُمر َّكب والاقتران العكسي للاقتران )‪ ،g(x‬ثم القيمة‬ ‫)‪ ،g-1(34‬ثم مســاواتهما‪ ،‬وحل المعادلــة التربيعية‬ ‫ﻣﺤﻠـﻮ ﹴل ﹸﻣﺸـﺎﺑﹺ ﹴﻪ‪ ،‬ﺗﺮﻛﻴـ ﹸﺰ اﻟﺤﺎﻣـ ﹺﺾ ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،60%‬ﻓـﺈ ﱠن ﺗﺮﻛﻴـ ﹶﺰ اﻟﺤﺎﻣ ﹺﺾ‬ ‫الناتجة‪ ،‬والانتباه أن ‪ x‬موجبة‪ .‬اسألهم‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋـ ﹾﻦ‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﺒـ ﹸﺮ‬ ‫)‪.C(n‬‬ ‫=‬ ‫‪25+0.6n‬‬ ‫ﺑﺎﻻﻗﺘـﺮا ﹺن‪:‬‬ ‫ﹸﻳﻌﻄـﻰ‬ ‫اﻟـﺪور ﹺق‬ ‫ﻓـﻲ‬ ‫‪100+n‬‬ ‫ »كيف يمكــن إيجــاد )‪ g-1(34‬مــن دون إيجاد‬ ‫ﺑﺼـﻮر ﹺة اﻗﺘـﺮا ﹴن ﺑﺪﻻﻟـ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﻛﻴـ ﹺﺰ ‪ ،C‬ﺛـ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟـ ﹸﺪ ﻋـﺪ ﹶد اﻟﻤ ﹼﻠﻴﻠﺘـﺮا ﹺت ‪n‬‬ ‫الاقتران العكسي؟‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫اﻟﺘـﻲ ﻳﺠـ ﹸﺐ إﺿﺎﻓ ﹸﺘﻬـﺎ ﻟﻴﺼﺒ ﹶﺢ ﺗﺮﻛﻴـ ﹸﺰ اﻟﺤﺎﻣـ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟـﺪور ﹺق ‪50%‬‬ ‫‪ 23‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 24‬ﹸﺗﻌﻄﻰ ﹺﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﺴﻄ ﹺﺢ اﻟﻜﻠﻴ ﹸﺔ ‪ A‬ﻟﻸﺳﻄﻮاﻧ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﹺﻬﺎ ‪ ،r‬وارﺗﻔﺎ ﹸﻋﻬﺎ ‪ 40 cm‬ﺑﺎﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪:‬‬ ‫‪ .A(r) = 2πr2 + 80 πr‬ﹸأﻋ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ r‬ﺑﺼﻮر ﹺة اﻗﺘﺮا ﹴن ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ اﻟ ﹺﻤﺴــﺎﺣ ﹺﺔ ‪ ،A‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻗﺎﻋﺪ ﹺة‬ ‫أﺳﻄﻮاﻧ ﹴﺔ ﹺﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ ﺳﻄ ﹺﺤﻬﺎ اﻟﻜﻠﻴ ﹸﺔ ‪ 2000 cm2‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 25‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ،f(x)= x‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ )‪ f(x) , f -1(x‬ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ •اطرح على الطلبة المسألة الآتية‪:‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫)‪،g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫»إذا كان ‪ ،f(x) = 5- 3x‬و‬ ‫ ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 26‬ﺗﺒﺮﻳــ ﹲﺮ‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن )‪ f(x‬اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴــ ﱞﻲ‪ ،‬وﻛﺎ ﹶن ﻟ ﹸﻪ ﺻﻔــ ﹲﺮ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ،x = 4‬ﻓﻤﺎ اﻟﺬي ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳــﺘﻨﺘﺎ ﹸﺟ ﹸﻪ ﻋ ﹾﻦ ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫)‪f -1(x‬؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫فجد ك ًّل م ّما يأتي‪ُ ،‬مد ِّو ًنا استنتاجك‪:‬‬ ‫‪ 27‬ﻣﺴﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬أﻛﺘ ﹸﺐ ﻗﺎﻋﺪ ﹶة اﻗﺘﺮا ﹺن واﺣ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ واﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟ ﹸﻪ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ اﻗﺘﺮا ﹲن ﻋﻜﺴ ﱞﻲ ﻟﻶﺧ ﹺﺮ‪.‬‬ ‫)‪(f◦g)(x), (f◦g)-1(x), (f-1◦g-1)(x), (g-1◦f-1)(x‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 28‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = x2 + 3‬ﹶو ‪ ،g(x) = 5x -1‬ﹶو ‪ ،x > 0‬ﻓ ﹶﺄ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‪.(f◦g)(x) = g-1(34) :‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫‪41‬‬ ‫! تنبيه‪:‬‬ ‫ •اطلب إلــى كل طالــب أن يكتب على ورقــة اقترا ًنا‬ ‫والاقتران العكسي له‪ ،‬واقترا ًنا ليس له اقتران عكسي‪،‬‬ ‫عند حل السؤال ‪ ،24‬و ِّجه الطلبة إلى إكمال المربع؛‬ ‫واقترا ًنا عكس ًّيا لنفسه‪ ،‬ثم ُيس ِّلمك الورقة عند الخروج‬ ‫لكتابة المساحة بصورة مشابهة لتلك التي وردت في‬ ‫من الصف‪.‬‬ ‫السؤال ‪21‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى متابعــة تنفيذ الخطوتيــن ‪ 4‬و‪ 5‬من‬ ‫المشروع‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن موعد عرض نتائج المشروع قريب؛ لذا‬ ‫يتع َّين عليهم وضع اللمســات النهائية على المشروع‪،‬‬ ‫والتأ ُّكد أن عناصر المشــروع جميعهــا موجودة يوم‬ ‫العرض‪.‬‬ ‫‪41‬‬

‫الدرس‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ُت‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Sequences‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺎ ﹸج ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹴت ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﺗﻜﻌﻴﺒﻴ ﹴﺔ‪ ،‬و ﹸأ ﱢﺳﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫ •يكتـب الحـد التالـي فـي متتاليـة معطـاة باسـتعمال‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ‪ ،‬اﻟﺤ ﱡﺪ‪ ،‬اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫العلاقـة بيـن حدودهـا‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻨﻤ ﹸﻂ اﻵﺗﻲ ﻣﺮاﺣ ﹶﻞ ﺗﻄ ﱡﻮ ﹺر ورﻗ ﹺﺔ ﻧﺒﺎ ﹺت اﻟﺴﺮﺧ ﹺﺲ‪:‬‬ ‫ • يكتب حدود متتالية إذا ُع ِلم حدها العام‪.‬‬ ‫ •يســتنتج قاعــدة الحــد العــام لمتتاليــات خطيــة‪،‬‬ ‫اﻟﻤﺮﺣﻠ ﹸﺔ )‪.(1‬‬ ‫اﻟﻤﺮﺣﻠ ﹸﺔ )‪ .(4‬اﻟﻤﺮﺣﻠ ﹸﺔ )‪ .(3‬اﻟﻤﺮﺣﻠ ﹸﺔ )‪.(2‬‬ ‫وتربيعيــة‪ ،‬وتكعيبيــة‪ ،‬وأســية‪.‬‬ ‫أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﻨﻤ ﹶﻂ ﻷﹸﻛ ﹺﻤ ﹶﻞ اﻟﺠﺪو ﹶل اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية عن المتتاليات‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺮﺣﻠ ﹸﺔ‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪6‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻷﺿﻼ ﹺع‬ ‫‪3 12 48 192‬‬ ‫ •إكمال متتاليات خطية وتربيعية وتكعيبية معطاة بعض‬ ‫ﹸﺗ ﹶﻌ ﱡﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ )‪ (sequence‬اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ ﻣﺠﺎ ﹸﻟ ﹸﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﻄﺒﻴﻌﻴ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹲﺔ ﺟﺰﺋﻴ ﹲﺔ ﻣﻨﹾﻬﺎ‪،‬‬ ‫حدودها‪.‬‬ ‫وﻣﺪا ﹸه ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹲﺔ ﺟﺰﺋﻴ ﹲﺔ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹺﺔ اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ •التعبير عــن الحد العــام لمتتاليات خطيــة وتربيعية‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ُﺔ ﻣﻔﻬﻮ ٍم‬ ‫وتكعيبية بمقدار جبري‪.‬‬ ‫ •تصنيف المتتاليات إلى خطية‪ ،‬وتربيعية‪ ،‬وتكعيبية‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ‪ :‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹲﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻷﻋﺪا ﹺد ﹶﺗ ﹾﺘ ﹶﺒ ﹸﻊ ﺗﺮﺗﻴ ﹰﺒﺎ ﹸﻣﻌ ﱠﻴﻨﹰﺎ‪ ،‬و ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ ﻛ ﱡﻞ ﻋﺪ ﹴد ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺤ ﱠﺪ )‪.(term‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ﻗ ﹾﺪ ﺗﻨﺘــ ﹸﺞ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴــ ﹸﺔ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤﺪو ﹶد اﻟﺜﻼﺛ ﹶﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﺟﻤــ ﹺﻊ )أ ﹾو ﻃــﺮ ﹺح( ﻋﺪ ﹴد‬ ‫ﺛﺎﺑــ ﹴﺖ ﻟﺤﺪو ﹺدﻫﺎ‪ ،‬أ ﹾو ﻣ ﹾﻦ‬ ‫‪1 2 , 5 , 8 , 11 , ...‬‬ ‫ﺿــﺮ ﹺب ﺣﺪو ﹺدﻫــﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﻋﺪ ﹴد ﺛﺎﺑــ ﹴﺖ‪ ،‬أ ﹾو ﻣ ﹾﻦ ﻛﻠﺘﺎ‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح أ ﱢي ﺣ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أ ﱠن ﻛ ﱠﻞ ﺣ ﱟﺪ ﻳﺰﻳ ﹸﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر ‪ ،3‬إذ ﹾن ﺗﺘﺰاﻳ ﹸﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ‬ ‫ﺑﻤﻘﺪا ﹺر ‪ ،3‬واﻟﺤﺪو ﹸد اﻟﺜﻼﺛ ﹸﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹰﻌﺎ‪.‬‬ ‫‪2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 , ...‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪+3 +3 +3 +3 +3 +3‬‬ ‫ •اكتب على اللوح المتتاليات الآتية‪:‬‬ ‫‪1)  1, 5, 9, 13, ...‬‬ ‫‪2)  1, 4, 9, 16, ...‬‬ ‫‪3)  2, 9, 28, 65, ...‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة كتابة الحــدود الثلاثة التالية في كل‬ ‫متتالية‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة كتابة الحد العام لكل متتالية‪.‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة تصنيــف المتتاليــات إلى خطية‪،‬‬ ‫وتربيعية‪ ،‬وتكعيبية بحسب حدها العام‪.‬‬ ‫‪42‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم) ثم اسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »كيف يمكن رؤية تطور الأشكال الهندسية لورقة السرخس؟ باستخدام المجهر‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »هل ُيم ِّثل تطور ورقة السرخس متتالية؟ لماذا؟ نعم‪ ،‬لانها تتبع ترتيب ما‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »أيكم ُيك ِمل الجدول الذي ُيم ِّثل تطور ورقة السرخس؟ ‪768, 3072‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »أيكم يستطيع كتابة الحد العام؟ ‪3(4)n-1‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »هل هذه المتتالية خطية‪ ،‬أم تربيعية‪ ،‬أم تكعيبية أو غير ذلك؟ أسية‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •قد لا يتم َّكن الطلبة من إيجاد الحد العام؛ فهذه المتتالية أســية لم يســبق لهم أن تعلموها‪ ،‬ولكن‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫سؤالهم عنها سيثير فضولهم عن موضوع الدرس‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪ ،‬ثم اسألهم كل مرة‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »من يؤيد الإجابة؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »من لديه إجابة ُأخرى؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »اذكرها‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫وذلــك لتعزيز مهارات التواصل واحتــرام الرأي والرأي الآخر لديهم‪ .‬بعــد ذلك أخبرهم أنهم‬ ‫سيتعرفون هذا النوع من المتتاليات في الدرس‪ ،‬ثم اكتب العنوان على اللوح‪.‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أن المتتالية تتك َّون من حدود‪ ،‬لك ٍّل منها رتبة ُتم ِّثل ترتيب الحد في المتتالية‪.‬‬ ‫ •أخبر الطلبة أن المتتالية اقتــران مجاله مجموعة الأعداد الطبيعية‪ ،‬أو مجموعة جزئية منها‪ ،‬ومداه‬ ‫مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أنه يمكن وصف المتتالية‪ ،‬وكتابة الحدود التالية عن طريق الحدود الأولى للمتتالية‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن المتتاليات الثلاث الأولى قد درسوها ساب ًقا‪.‬‬ ‫ •اكتب حدود المتتالية في الفرع الرابع على اللوح‪ ،‬ثم ح ِّللها إلى عواملها الأولية‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)n‬‬ ‫بصورة‬ ‫المتتالية‬ ‫حدود‬ ‫من‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫يكتب‬ ‫أن‬ ‫الطلبة‬ ‫أحد‬ ‫إلى‬ ‫ •اطلب‬ ‫‪3‬‬ ‫ •اكتب صيغة الاقتران الأســي ‪ y =a(b)n‬الذي درسه الطلبة في الفصل الدراسي الأول‪ ،‬ثم قارنه‬ ‫=‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بحدود المتتالية؛ ليستنتجوا أن ‪ a = 1‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫ •ب ِّين للطلبة أن هذه المتتالية أسية لأن حدها العام بصورة اقتران أسي‪.‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫قد يؤدي تنظيم حــدود المتتالية في جدول إلى فهم الطلبــة الموضوع بصورة أفضل‪ ،‬وبخاصة‬ ‫الطلبة من ذوي المستوى دون المتوسط‪.‬‬ ‫‪42A‬‬

‫مثال إضافي‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫ •جد الحدود الثلاثة التالية لكل متتالية م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪2 3 , 6 , 12 , 24 , ...‬‬ ‫ )‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪...‬‬ ‫ﺑﻘﺴــﻤ ﹺﺔ أ ﱢي ﺣ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أ ﱠن اﻟﺤﺼﻮ ﹶل ﻋﻠﻰ أ ﱢي ﺣ ﱟﺪ ﻳﻜﻮ ﹸن ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ ﻟ ﹸﻪ ﻓﻲ ‪،2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫إذ ﹾن ﺗﺘﻀﺎﻋ ﹸﻒ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر ‪ ،2‬واﻟﺤﺪو ﹸد اﻟﺜﻼﺛ ﹸﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪2)  0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 ...‬‬ ‫‪3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192 , ...‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2‬‬ ‫ )‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪3 80 , 73 , 66 , 59 , ...‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪2)  0.00001 , 0.000001 , 0.0000001 , ...‬‬ ‫ﺑﻄــﺮ ﹺح أ ﱢي ﺣ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أ ﱠن ﻛ ﱠﻞ ﺣ ﱟﺪ ﻳﻨﻘ ﹸﺺ ﻋ ﹺﻦ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ ﺑﻤﻘــﺪا ﹺر ‪ ،7‬إذ ﹾن ﺗﺘﻨﺎﻗ ﹸﺺ‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر ‪ ،7‬واﻟﺤﺪو ﹸد اﻟﺜﻼﺛ ﹸﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ اﻟﺘﻌﺒﻴــ ﹸﺮ ﻋــ ﹺﻦ‬ ‫‪80 , 73 , 66 , 59 , 52 , 45 , 38 , ...‬‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫‪-7 -7 -7 -7 -7 -7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪81‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫ﻓﻲ ﺻﻮر ﹺة‪:‬‬ ‫فهمي) بعد كل مثال (فرد ًّيا‪ ،‬أو ضمن مجموعات)‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, ...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫ •تج َّول بين الطلبة ُمر ِشــ ًدا‪ ،‬و ُمسا ِع ًدا‪ ،‬و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫ﻣﻀﺮو ﹰﺑﺎ ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ ﻟ ﹸﻪ‪ ،‬إذ ﹾن ﺗﺘﻀﺎء ﹸل‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ أ ﱢي ﺣ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أ ﱠن ﻛ ﱠﻞ ﺣ ﱟﺪ ﻳﺴﺎوي‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬واﻟﺤﺪو ﹸد اﻟﺜﻼﺛ ﹸﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, ...‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪729‬‬ ‫‪2187‬‬ ‫‪×1 ×1 ×1 ×1 ×1 ×1‬‬ ‫‪3 3 33 3 3‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤﺪو ﹶد اﻟﺜﻼﺛ ﹶﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪, ...‬‬ ‫‪b) 5 , 10 , 20 , 40 , ...‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪c) 150 , 141 , 132 , 123 , ...‬‬ ‫‪d) 400, 200, 100, 50, ...‬‬ ‫قد يخطئ بعــض الطلبة في حل الفرع الأول من بند‬ ‫‪43‬‬ ‫(أتحقق من فهمي)‪ ،‬وذلك بإضافة العدد ‪ 2‬إلى البسط‬ ‫)‪T(n‬؛‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لمتتالية‬ ‫العام‬ ‫الحد‬ ‫اعتبار‬ ‫أي‬ ‫فقط؛‬ ‫‪2‬‬ ‫لذا ص ِّحح لهم ذلك بتعويض ‪ n = 1‬في الحد العام؛‬ ‫للتأ ُّكــد أن الناتج ليــس الحــد الأول‪ ،‬وذ ِّكرهم بأن‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫كل م َّرة؛ أي إن‬ ‫‪3‬‬ ‫المتتاليــة تنتج من إضافة العــدد‬ ‫ )‪a‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪, ...‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪T(n) = n +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحد العام هو‪:‬‬ ‫‪b)  80 , 160 , 320 , ...‬‬ ‫‪c)  114 , 105 , 96 , ...‬‬ ‫‪d)  25 , 12.5 , 6.25 , ...‬‬ ‫‪43‬‬

‫ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ ﻓﻲ ﺻﻔﻮ ﹴف ﺳــﺎﺑﻘ ﹴﺔ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم )‪ (nth term‬ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ‪ ،‬اﻟــﺬي ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ أ ﱢي ﺣ ﱟﺪ‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫و ﹸرﺗﺒﺘﹺ ﹺﻪ )‪ ،(n‬و ﹸﻳﺮ ﹶﻣ ﹸﺰ إﻟ ﹾﻴ ﹺﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣ ﹺﺰ )‪ .T(n‬ﹸﻳﺴــ ﱢﻬ ﹸﻞ اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم إﻳﺠﺎ ﹶد أ ﱢي ﺣ ﱟﺪ ﻓﻲ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل‬ ‫ﹸرﺗﺒﺘﹺ ﹺﻪ‪ ،‬ﻣﺜ ﹺﻞ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺬي ﹸرﺗﺒ ﹸﺘ ﹸﻪ ﺧﻤﺴــﻮ ﹶن ﻣﺜ ﹰﻼ‪ .‬و ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﺼﻨﻴ ﹸﻒ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ اﻋﺘﻤﺎ ﹰدا ﻋﻠﻰ ﺣ ﱢﺪﻫﺎ اﻟﻌﺎ ﱢم‬ ‫ •أخبر الطلبة أنه يمكن إكمال حــدود المتتالية إذا ُع ِلم‬ ‫حدها العام الذي يربط كل حد برتبته‪.‬‬ ‫إﻟﻰ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﺗﻜﻌﻴﺒﻴ ﹴﺔ‪ ،‬و ﹸأ ﱢﺳﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﻏﻴ ﹺﺮ ذﻟ ﹶﻚ‪.‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبــة كيف يمكن إيجاد الحد مــن رتبته إذا‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ُع ِلمت قاعدة الحد العام للمتتاليــة‪ُ ،‬مق ِّد ًما مزي ًدا من‬ ‫ﹸرﺗــ ﹸﺐ اﻟﺤــﺪو ﹺد ﻫــ ﹶﻲ‬ ‫الأمثلة؛ للتأ ُّكد أن الطلبة يمتلكون المهارة المطلوبة‪.‬‬ ‫ﹸأﺑ ﱢﻴ ﹸﻦ إذا ﻛﺎ ﹶن اﻟﻤﻘﺪا ﹸر اﻟﺠﺒﺮ ﱡي اﻟ ﹸﻤﻌﻄﻰ ﺑﺠﺎﻧ ﹺﺐ ﻛ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺣ ﹼﹰﺪا ﻋﺎ ﹰﹼﻣﺎ ﻟﻬﺎ أ ﹾم ﻻ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺻﻨﱢ ﹸﻒ‬ ‫أﻋﺪا ﹲد ﺻﺤﻴﺤــ ﹲﺔ ﻣﻮﺟﺒ ﹲﺔ‬ ‫ •أخبر الطلبــة بأهمية وجــود علاقة تربــط بين الحد‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹺت إﻟﻰ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺗﻜﻌﻴﺒﻴ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﹸأ ﱢﺳﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﺨﺎﻣ ﹶﺲ واﻟﺴﺒﻌﻴ ﹶﻦ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻨﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸﺿﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‬ ‫ورتبتــه؛ وذلك لإيجــاد أي حد مــن دون حاجة إلى‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﻟﺘﻨﺘ ﹶﺞ ﺣﺪو ﹸدﻫﺎ‪.‬‬ ‫إيجاد الحدود جميعها‪ ،‬وصو ًل إلى الحد المطلوب‪.‬‬ ‫‪1 4 , 7 , 10 , 13 , ... , 3n + 1‬‬ ‫‪44‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﹸرﺗ ﹶﺐ ﺑﻌ ﹺﺾ اﻟﺤﺪو ﹺد ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺪا ﹺر اﻟﺠﺒﺮ ﱢي اﻟ ﹸﻤﻌﻄﻰ ﻟﻠﺘﺄ ﱡﻛ ﹺﺪ أ ﱠﻧﻬﺎ ﺗﻨﺘ ﹸﺞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‪:‬‬ ‫ •قد يخطئ الطلبة ذوو المستوى دون المتوسط في‬ ‫ﹸرﺗﺒ ﹸﺔ اﻟﺤ ﱢﺪ‬ ‫اﻟﺤ ﱡﺪ‬ ‫التعويض بالحد العام للمتتالية بد ًءا بالصفر؛ لذا‬ ‫أخبرهم أن المتتالية هي اقتران مجاله مجموعة‬ ‫‪n=1 ×3‬‬ ‫‪3 +1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الأعداد الطبيعية‪ ،‬أو مجموعة جزئية منها‪.‬‬ ‫‪n=2 ×3‬‬ ‫‪6 +1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫‪n=3 ×3‬‬ ‫‪9 +1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بمجموعة الأعداد الطبيعية التي ُتم ِّثل‬ ‫‪n=4 ×3‬‬ ‫‪12 + 1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫الأعداد الصحيحة الموجبة‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﻘﺪا ﹸر اﻟﺠﺒﺮ ﱡي اﻟ ﹸﻤﻌﻄﻰ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ ،‬وﻫ ﹶﻲ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹲﺔ؛ ﻷ ﱠن اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﺧ ﱢﻄ ﱞﻲ‪.‬‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺨﺎﻣ ﹺﺲ واﻟﺴﺒﻌﻴ ﹶﻦ‪ ،‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ‪ n = 75‬ﻓﻲ ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‪:‬‬ ‫‪3(75) + 1 = 226‬‬ ‫‪2 4 , 7 , 12 , 19 , ... , n2 + 3‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﻟﻠﺘﺄ ﱡﻛ ﹺﺪ أ ﱠن اﻟﺤﺪو ﹶد ﺗﻨﺘ ﹸﺞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‪:‬‬ ‫اﻟﺤ ﱡﺪ‬ ‫ﹸرﺗﺒ ﹸﺔ اﻟﺤ ﱢﺪ‬ ‫‪n = 1 (1)2‬‬ ‫‪1 +3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪n = 2 (2)2‬‬ ‫‪4 +3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪n = 3 (3)2‬‬ ‫‪9 +3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪n = 4 (4)2‬‬ ‫‪16 + 3‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪44‬‬

‫ •ب ِّســط للطلبة الفرع الرابــع باســتعمال التحليل إلى‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫العوامل‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﻘﺪا ﹸر اﻟﺠﺒﺮ ﱡي اﻟ ﹸﻤﻌﻄﻰ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ ،‬وﻫ ﹶﻲ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹲﺔ؛ ﻷ ﱠن اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﺗﺮﺑﻴﻌ ﱞﻲ‪.‬‬ ‫ •عند التعويض ‪ n = 75‬في الحد العام للمتتالية الأسية‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ‪ n = 75‬ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺨﺎﻣ ﹺﺲ واﻟﺴﺒﻌﻴ ﹶﻦ‪:‬‬ ‫باستعمال الآلة الحاسبة‪ ،‬ينتج عدد بالصورة العلمية؛‬ ‫‪(75)2 + 3 = 5628‬‬ ‫لذا ذ ِّكر الطلبة أنهم درسوها ساب ًقا‪.‬‬ ‫‪3 2 , 9 , 28 , 65 , ... , n3 + 1‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﻟﻠﺘﺄ ﱡﻛ ﹺﺪ أ ﱠن ﺟﻤﻴ ﹶﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد ﺗﻨﺘ ﹸﺞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‪:‬‬ ‫أرشــد الطلبة إلى اســتخدام الآلة الحاسبة في حل‬ ‫الفرع الرابع من المثال ‪.2‬‬ ‫ﹸرﺗﺒ ﹸﺔ اﻟﺤ ﱢﺪ‬ ‫اﻟﺤ ﱡﺪ‬ ‫‪n = 1 (1)3‬‬ ‫‪1 +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n = 2 (2)3‬‬ ‫‪8 +1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪n = 3 (3)3‬‬ ‫‪27 + 1‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪n = 4 (4)3‬‬ ‫‪64 + 1‬‬ ‫‪65‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﻘــﺪا ﹸر اﻟﺠﺒــﺮ ﱡي اﻟ ﹸﻤﻌﻄﻰ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌــﺎ ﱠم ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ ،‬وﻫ ﹶﻲ ﺗﻜﻌﻴﺒﻴــ ﹲﺔ؛ ﻷ ﱠن اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم‬ ‫ﺗﻜﻌﻴﺒ ﱞﻲ‪ .‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ‪ n = 75‬ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺨﺎﻣ ﹺﺲ واﻟﺴﺒﻌﻴ ﹶﻦ‪:‬‬ ‫‪(75)3 + 1 = 421876‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪4 2 , 4 , 8 , 16 , ... , 2n‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﻟﻠﺘﺄ ﱡﻛ ﹺﺪ أ ﱠن ﺟﻤﻴ ﹶﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد ﺗﻨﺘ ﹸﺞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‪:‬‬ ‫ •ب ِّيــن إذا كان المقــدار الجبري المعطــى بجانب كل‬ ‫ﹸرﺗﺒ ﹸﺔ اﻟﺤ ﱢﺪ‬ ‫اﻟﺤ ﱡﺪ‬ ‫متتاليــة م ّما يأتي ُيم ِّثل ح ًّدا عا ًّمــا لها أم لا‪ ،‬ثم صنِّف‬ ‫المتتاليات إلى خطية‪ ،‬أو تربيعية‪ ،‬أو تكعيبية‪ ،‬أو أسية‪،‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪(2)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ثم جد الحد الخامس والأربعين في ك ٍّل منها‪:‬‬ ‫‪n=2‬‬ ‫‪(2)2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻌﻠﻤﻴ ﹸﺔ ﻟﻌﺪ ﹴد ﻣﺎ‬ ‫‪n=3‬‬ ‫‪(2)3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻫ ﹶﻲ ﻛﺘﺎﺑ ﹸﺘ ﹸﻪ ﻓﻲ ﺻﻮر ﹺة‪:‬‬ ‫‪1)  5 , 5 , 5 , 5 , ... T(n) = 5‬‬ ‫‪n=4‬‬ ‫‪(2)4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ ، A×10n‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪:‬‬ ‫‪2)  -1 , 1 , -1 , 1 ... T(n) = (-1)n‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﻘﺪا ﹸر اﻟﺠﺒﺮ ﱡي اﻟ ﹸﻤﻌﻄﻰ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ ،‬وﻫ ﹶﻲ ﹸأ ﱢﺳﻴ ﹲﺔ؛ ﻷ ﱠن اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﹸأ ﱢﺳ ﱞﻲ‪.‬‬ ‫‪، 1≤ A <10‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ‪ n = 75‬ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺨﺎﻣ ﹺﺲ واﻟﺴﺒﻌﻴ ﹶﻦ‪:‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ : n‬ﻋﺪ ﹲد ﺻﺤﻴ ﹲﺢ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ‬ ‫‪(2)75 = 3.777893186 × 1022‬‬ ‫ﺑﺄ ﱠن اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﺨﺎﻣ ﹶﺲ‬ ‫واﻟﺴﺒﻌﻴ ﹶﻦ ﹸﻛﺘﹺ ﹶﺐ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة‬ ‫اﻟﻌﻠﻤﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪ T(45) = 5  )1‬الحد العام ُيم ِّثل المتتالية‪ ،‬وهي خطية‪.‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪ T(45) = -1  )2‬الحد العام ُيم ِّثل المتتالية‪ ،‬وهي أسية‪.‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ •قد يخطئ بعض الطلبة من ذوي المســتوى دون‬ ‫المتوسط أحيا ًنا عند إيجاد الحد العاشر ‪ -‬مث ًل‪-‬‬ ‫بمضاعفة الحد الخامس؛ لذا ص ِّحح لهم ذلك‪.‬‬ ‫‪45‬‬

‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ﹸأﺑ ﱢﻴـ ﹸﻦ إذا ﻛﺎ ﹶن اﻟﻤﻘـﺪا ﹸر اﻟﺠﺒـﺮ ﱡي اﻟ ﹸﻤﻌﻄـﻰ ﺑﺠﺎﻧ ﹺﺐ ﻛ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴـ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺣـ ﹰﹼﺪا ﻋﺎ ﹰﹼﻣﺎ ﻟﻬﺎ أ ﹾم ﻻ‪،‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة أن قاعــدة الحد العام للمتتالية مذكورة في‬ ‫ﺛـ ﱠﻢ ﹸأﺻ ﱢﻨـ ﹸﻒ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴـﺎ ﹺت إﻟﻰ ﺧ ﱢﻄﻴـ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺗﺮﺑﻴﻌﻴـ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺗﻜﻌﻴﺒﻴ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﹸأ ﱢﺳـﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﺛـ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤـ ﱠﺪ اﻟﺨﺎﻣ ﹶﺲ‬ ‫المثــال ‪ ،2‬وأن هذا المثال يشــرح كيفية إيجاد قاعدة‬ ‫الحد العام لمتتاليــات خطية‪ ،‬وتربيعيــة‪ ،‬وتكعيبية‪،‬‬ ‫واﻟﺴـﺒﻌﻴ ﹶﻦ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻨﻬﺎ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫وأسية‪.‬‬ ‫‪a) 1 , 3 , 5 , 7, ... , 2n-1‬‬ ‫‪b) 0 , 3 , 8 , 15 , ... , n2 - 1‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة فــي ح ِّل المثــال ‪ُ ،3‬مو ِّض ًحا لهم كيفية‬ ‫إيجاد الحد العام باســتخدام المقادير الجبرية‪ ،‬وذلك‬ ‫‪c) 1.5 , 8.5 , 27.5 , 64.5 , ... , n3 + 0.5‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, ..., 2-n‬‬ ‫باســتخدام المتغير ‪ n‬للدلالة على رتبة الحد‪ ،‬والرمز‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)‪ T(n‬للدلالة على الحد نفسه‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹺت اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ واﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴ ﹺﺔ واﻷﹸ ﱢﺳﻴ ﹺﺔ ﺑﻤﻼﺣﻈ ﹺﺔ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺤﺪو ﹺد‬ ‫و ﹸرﺗﺒﹺﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫‪1 5 , 12 , 19 , 26 , 33 , ...‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ﺣﺪو ﹶد اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﺗﺘﺰاﻳ ﹸﺪ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر ‪:7‬‬ ‫‪5 , 12 , 19 , 26 , 33 , ...‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪+7 +7 +7 +7‬‬ ‫ •جد الحد العام لكل متتالية م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪1)  5 , 9 , 13 , 17 , ...‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻣﺒﺪﺋ ﹼﹰﻴــﺎ اﻟﺘﻌﺒﻴ ﹸﺮ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﻟﺤ ﱢﺪ ‪7n‬؛ ﻷ ﱠن ﺗﺰاﻳ ﹶﺪ ﺣــﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر ‪ 7‬ﻓﻲ ﻛ ﱢﻞ ﻣ ﹼﺮ ﹴة‬ ‫ﹸﻳﺬ ﱢﻛ ﹸﺮﻧــﻲ ﺑﺤﻘﺎﺋ ﹺﻖ ﺿﺮ ﹺب اﻟﻌﺪ ﹺد ‪ ،7‬وﻟﻜ ﹾﻦ ﻋﻨ ﹶﺪ ﺗﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ n = 1‬ﻳﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﻌﺪ ﹸد ‪ ،7‬وﻫ ﹶﻮ أﻛﺒ ﹸﺮ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤ ﱢﺪ‬ ‫اﻷو ﹺل ﺑـﹺ ‪2‬؛ ﻟﺬا أﻃﺮ ﹸح اﻟﻌﺪ ﹶد ‪ 2‬ﻣ ﹾﻦ ‪ ، 7n‬وﺑﺬﻟ ﹶﻚ ﻳﺼﺒ ﹸﺢ اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم‪.T(n) = 7n - 2 :‬‬ ‫‪2 5 , 8 , 13 , 20 , 29 , ...‬‬ ‫‪2)  3 , 8 , 15 , 24 ...‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن اﻟﻔﺮ ﹶق ﺑﻴ ﹶﻦ ﻛ ﱢﻞ ﺣ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻏﻴ ﹸﺮ ﺛﺎﺑ ﹴﺖ‪ .‬إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﻏﻴ ﹸﺮ ﻧﺎﺗﺠ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺟﻤ ﹺﻊ )أ ﹾو ﻃﺮ ﹺح(‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫‪3)  0 , 6 , 24 , 60 ...‬‬ ‫ﻋﺪ ﹴد ﺛﺎﺑ ﹴﺖ ﻟﺤﺪو ﹺدﻫﺎ‪ .‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أﻳ ﹰﻀﺎ أ ﱠن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ ﻏﻴ ﹸﺮ ﻧﺎﺗﺠ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺿﺮ ﹺب ﺣﺪو ﹺدﻫﺎ ﻓﻲ ﻋﺪ ﹴد ﺛﺎﺑ ﹴﺖ‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ ﻓﻬــ ﹸﻢ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﹸأﻓ ﱢﺴ ﹸﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ ﻋ ﹾﻦ ﻃﺮﻳ ﹺﻖ ﺗﺮﺑﻴ ﹺﻊ ﹸرﺗﺒ ﹺﺔ ﻛ ﱢﻞ ﺣ ﱟﺪ‪:‬‬ ‫ﺑﺼﻮر ﹴة أﻓﻀــ ﹶﻞ ﺑﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‬ ‫‪4)  0 , 42 , 336 , 2394 ...‬‬ ‫ﺣﺪو ﹺدﻫﺎ إﻟــﻰ اﻟﻌﻮاﻣ ﹺﻞ‬ ‫‪1 4 9 16 25 … n2‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫اﻷوﻟﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫? … ‪5 8 13 20 29‬‬ ‫‪1) 7n + 1‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪2)  n2 + 2n‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻈــ ﹺﺮ إﻟﻰ ﻧﺎﺗ ﹺﺞ ﺗﺮﺑﻴ ﹺﻊ ﹸرﺗﺒ ﹺﺔ ﻛ ﱢﻞ ﺣ ﱟﺪ‪ ،‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠﻧ ﹸﻪ إذا ﹸأﺿﻴ ﹶﻒ ‪ 4‬إﻟﻰ ﹸﻣﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ ﹸرﺗﺒ ﹺﺔ اﻟﺤ ﱢﺪ ﺗﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ‬ ‫‪3)  n3 - n‬‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮﺑ ﹸﺔ‪ .‬وﺑﺬﻟ ﹶﻚ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻫ ﹶﻮ‪T(n)= n2 + 4 :‬‬ ‫‪4) 7n - 7‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫ •قد يتم َّكن بعض الطلبة من التعبير عن الحد العام‬ ‫‪  )a‬الحد العام ُيم ِّثل المتتالية‪ ،‬وهي متتالية خطية‪.‬‬ ‫لفظ ًّيا‪ ،‬من دون القدرة على التعبير عنه بالرموز؛‬ ‫‪  )b‬الحد العام ُيم ِّثل المتتالية‪ ،‬وهي متتالية تربيعية‪.‬‬ ‫لذا ســاعد هؤلاء الطلبة على إتقان مهارة التعبير‬ ‫‪  )c‬الحد العام ُيم ِّثل المتتالية‪ ،‬وهي متتالية تكعيبية‪.‬‬ ‫عن المقادير الجبرية باســتعمال الرموز‪ .‬فمث ًل‪،‬‬ ‫‪  )d‬الحد العام ُيم ِّثل المتتالية‪ ،‬وهي متتالية أسية‪.‬‬ ‫ثلاثة أضعاف عدد مضاف إليه ‪ 5‬هي ‪3x+5‬‬ ‫‪46‬‬

‫ •اكتب على اللوح قاعدة الحد العام لكل فروع المثال‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫‪ ،3‬ثم اطلب إلى أحد الطلبــة إيجاد أول أربعة حدود‬ ‫للمتتاليــة الأولــى‪ ،‬بتعويض الأعــداد ‪ ،1,2,3,4‬ثم‬ ‫‪3 0 , 7 , 26 , 63 , 124 , ...‬‬ ‫اطلب إلى ثلاثة طلبــة آخرين إيجاد أول أربعة حدود‬ ‫للمتتاليــات الثانية‪ ،‬والثالثــة‪ ،‬والرابعة؛ للتأ ُّكد أن كل‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن اﻟﻔﺮ ﹶق ﺑﻴ ﹶﻦ ﻛ ﱢﻞ ﺣ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻏﻴ ﹸﺮ ﺛﺎﺑ ﹴﺖ‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﻏﻴ ﹸﺮ ﻧﺎﺗﺠ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺟﻤ ﹺﻊ )أ ﹾو ﻃﺮ ﹺح( ﻋﺪ ﹴد ﺛﺎﺑ ﹴﺖ ﻟﺤﺪو ﹺدﻫﺎ‪.‬‬ ‫حد عام ُيم ِّثل متتاليته‪.‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أﻳ ﹰﻀﺎ أ ﱠن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ ﻏﻴ ﹸﺮ ﻧﺎﺗﺠ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺿﺮ ﹺب ﺣﺪو ﹺدﻫﺎ ﻓﻲ ﻋﺪ ﹴد ﺛﺎﺑ ﹴﺖ‪ ،‬وأ ﱠﻧﻬﺎ ﻏﻴ ﹸﺮ ﻧﺎﺗﺠ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺗﺮﺑﻴ ﹺﻊ‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في مزيد من الأمثلــة؛ حتى يتقنوا كتابة‬ ‫الحــد العام للمتتالية باســتخدام المقاديــر الجبرية‪،‬‬ ‫ﻛ ﱢﻞ ﺣ ﱟﺪ‪.‬‬ ‫وإيجاد الحدود المطلوبة بالتعويض في القاعدة‪.‬‬ ‫ﹸأﻓ ﱢﺴ ﹸﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ ﻋ ﹾﻦ ﻃﺮﻳ ﹺﻖ ﺗﻜﻌﻴ ﹺﺐ ﹸرﺗﺒ ﹺﺔ ﻛ ﱢﻞ ﺣ ﱟﺪ ‪:n3‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة في هذه الأثناء‪ُ ،‬مق ِّد ًما لهم التغذية الراجعة‬ ‫‪1 8 27 64 125 … n3‬‬ ‫المناسبة‪.‬‬ ‫? … ‪0 7 26 63 124‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻋﻨ ﹶﺪ ﻃﺮ ﹺح ‪ 1‬ﻣ ﹾﻦ ﻣﻜﻌ ﹺﺐ ﹸرﺗﺒ ﹺﺔ ﻛ ﱢﻞ ﺣ ﱟﺪ ﺗﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫كــ ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة فــي الدرس‬ ‫باللغتيــن العربيــة والإنجليزيــة‪ ،‬وشــ ِّجع الطلبــة على‬ ‫وﺑﺬﻟ ﹶﻚ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻫ ﹶﻮ‪T(n) = n3 - 1 :‬‬ ‫اســتعمالها‪ ،‬مثل‪ :‬المتتاليــة ‪ ،Sequence‬والحد ‪،term‬‬ ‫‪4 11 , 12.1 , 13.31 , 14.641 , ...‬‬ ‫والحد العام ‪. nth term‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ﺣﺪو ﹶد اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﺗﺘﻀﺎﻋ ﹸﻒ ﺑﻨﺴﺒ ﹴﺔ ﺛﺎﺑﺘ ﹴﺔ؛ ﻷ ﱠن‪:‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫ • ُي َع ُّد إيجاد الحد العام من أصعب التحديات التي‬ ‫‪12.1‬‬ ‫=‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪13.31‬‬ ‫=‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪14.641‬‬ ‫=‬ ‫‪1.1‬‬ ‫يواجهها الطلبة؛ لــذا اكتب خطوات الحل على‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12.1‬‬ ‫‪13.31‬‬ ‫نح ٍو مرتب ومتسلسل ومفهوم‪.‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﻫﺬا اﻟﺘﻨﺎﺳ ﹺﺐ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ ،‬أﺳﺘﻨﺘ ﹸﺞ أ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻋﻨ ﹶﺪ ﺿﺮ ﹺب ﻛ ﱢﻞ ﺣ ﱟﺪ ﻓﻲ ‪ 1.1‬ﻳﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫ •اجعــل الطلبــة يعتــادون على تحليــل حدود‬ ‫المتتاليــات إلى العوامل الأوليــة بوصف ذلك‬ ‫وﺑﺬﻟ ﹶﻚ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻫ ﹶﻮ‪ ، a × (1.1)n :‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ a‬ﻋﺪ ﹲد ﺛﺎﺑ ﹲﺖ )ﻟﻤﺎذا؟(‪.‬‬ ‫أﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ﻟﺤﺴﺎ ﹺب ‪ ، a‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﺑﺎﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم ‪ ، n = 1‬وﺑﻤﺴﺎواﺗﹺ ﹺﻪ ﻣ ﹶﻊ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻷو ﹺل ﻓﻲ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﻳﻨﺘ ﹸﺞ‪:‬‬ ‫اﻟﺼﻴﻐ ﹸﺔ اﻟﻌﺎﻣ ﹸﺔ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫خطوة ُأولى لإيجاد الحد العام‪.‬‬ ‫اﻷﹸ ﱢﺳ ﱢﻲ‪، y = a(b)x :‬‬ ‫‪a(1.1)1 = 11‬‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ‪:‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪ : a, b‬ﻋﺪدا ﹺن ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﹺن‪.‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪a ≠ 0, b ≠ 1 , b>0‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم ﻫ ﹶﻮ‪T(n) = 10 × (1.1)n :‬‬ ‫‪a) 8 , 15 , 22 , 29 , 36 , ...‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪c) -1, 6, 25, 62, 123, ...‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪b) 4 , 7 , 12 , 19 , 28 , ...‬‬ ‫‪d) 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ...‬‬ ‫ﹸﺗﺴــﺘﺨ ﹶﺪ ﹸم اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹸت ﻓﻲ اﻟﻌﺪﻳ ﹺﺪ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎ ﹺت اﻟﺤﻴﺎﺗﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﻣﺜ ﹺﻞ‪ :‬اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎ ﹺت اﻟﻌﻠﻤﻴ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﻬﻨﺪﺳﻴ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫واﻟﺘﺠﺎرﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪47‬‬ ‫ ‪a) 7n + 1‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:3‬‬ ‫ ‪c)  n3 - 2‬‬ ‫‪b)  n2 + 3‬‬ ‫‪d)  2 × (0.1)n‬‬ ‫‪47‬‬