ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 49 1. ถา้ A เป็นจานวนจริงหรอื มมุ ใด ๆ แลว้ sin 3A = 3sin A - 4sin3 A พสิ จู น์ 2. ถา้ A เป็นจานวนจริงหรอื มมุ ใด ๆ แล้ว cos 3A = 4cos3A - 3cos A พิสูจน์ 3. ถ้า A เปน็ จานวนจรงิ หรอื มมุ ซง่ึ ทาให้ทั้งสองขา้ งต่อไปนี้หาค่าได้แล้ว tan3A = 3tanA − tan3 A 1 − 3tan2 A พิสูจน์ 4. ถา้ A เปน็ จานวนจรงิ หรือมุม ซึ่งทาให้ท้ังสองข้างต่อไปนหี้ าค่าได้แลว้ cot3A = cot3 A − cot A 3cot2 A − 1 พสิ ูจน์ ตัวอย่าง จงหาคา่ ของ 2. cos18 1. sin18 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนมัธยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 50 2. tan18 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ sin A = 3 เมอื่    จงหาคา่ ของ 5 2 1. sin 3A 2. cos 3A 3. tan 3A ตวั อยา่ ง ถา้ sin  0 และ cos  0 แล้วจงหาคา่ ของ cos3  − cos3 + sin3  + sin3 cos sin ตัวอยา่ ง จงหาเซตคาตอบของสมการ sin 3x + 2 cos 2x – 2 = 0 เมอ่ื x [0,2 ] รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนมัธยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 51 แบบฝกึ หดั ที่ 10 1. จงใชส้ ตู ร คานวณหาค่าของ sin 3A , cos 3A และ tan 3A เมื่อกาหนดเง่อื นไขดังต่อไปน้ี 1.1 sin A = − 3 เมื่อ 180  A  270 5 1.2 cos A = 3 เมือ่ −  A0 5 2 1.3 cot A = 3 เม่ือ 0  A  90 4 1.4 sec A = 13 เมือ่ 3  A  2 12 2 1.5 sin A = − 1 เม่อื −  A  −  2 2 2. จงหาเซตคาตอบของสมการในข้อต่อไปน้ี เมอ่ื กาหนดให้ x [0 , 2 ] 2.1 sin 3x + sin 2x – sin x = 0 รายวิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 52 2.2 cos 3x + 2 cos 2x + 2 = 0 2.3 cos 3x + sin 2x + cos x = 0 2.4 cos 3x + 2 cos2 x −1 = 0 2 ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิครง่ึ เท่าของจานวนจรงิ หรอื มุม หมายเหตุ ผลลัพธ์จะเป็น บวก หรือ ลบ อย่างใดอย่างหนง่ึ ตามจตภุ าคของ A 2 ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ tan 22.5 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 53 ฝึกทา จงใชส้ ตู รมมุ ครึง่ เท่า เพื่อหาค่าของ sin15 ผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ถ้า A และ B เปน็ จานวนจริงหรือมมุ ใด ๆ แลว้ ตัวอย่าง จงหาค่าของ 2. 2cos45 sin15 1. 2sin45 cos15 3. cos45 cos15 4. sin45 sin15 6. 2sin15 cos75 7. cos 5  cos  12 12 รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 54 ตัวอย่าง จงหาค่าของ 4sin75 sin15 + 6cos15 cos165 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin40 sin80 sin160 ตวั อย่าง จงหาคา่ ของ sin20 sin40 sin80 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ cos15 (ใช้สูตรผลคณู ) รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 55 ตัวอยา่ ง จงหาค่าของ sin( + 30 )  sin( − 30 ) แบบฝึกหดั ที่ 11 2. 1 sin165 sin15 จงหาคาตอบของข้อต่อไปน้ี 2 1. cos165 sin75 3. −2cos15 cos75 4. 3sin255 cos435 5. 2sin20 cos70 + sin50 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรยี นมัธยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 56 6. 2sin75 cos15 − cos75 sin15 7. 4cos20 cos40 cos80 8. sin 5  sin  9. cos   sin 3 12 12 2 2 10. sin25 sin85 sin35 sin75 ผลบวกและผลตา่ งของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ ถ้า A และ B เป็นจานวนจริงหรือมุมใด ๆ แลว้ รายวิชาคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 57 หมายเหตุ จะเห็นวา่ ไม่มีสตู ร sin A  cos B กบั cos A  sin B ถา้ เจอลกั ษณะนี้ ตอ้ งใชโ้ คฟังกช์ ันแปลง ให้เป็น sin ท้ังคู่ หรอื cos ท้งั คู่ ก่อน ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ 1. sin15 + cos75 2. cos 5 − sin 5 12 12 2. sin2A + sin4A 3. cos(2x + 10) − cos(2x − 10) 4. sin50 + sin20 5. sin75 − sin35 6. cos65 + cos15 7. cos70 − cos80 8. sin105 + sin195 9. cos105 − cos195 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 58 10. cos20 − sin50 + cos100 ตวั อย่าง จงหาคา่ ของ cos20 + cos100 + cos140 ตวั อย่าง จงหาคา่ ของ cos10 + cos20 + cos40 + cos50 sin10 + sin20 + sin40 + sin50 ตัวอยา่ ง จงหาค่าของ sin(60 + )cos(30 + ) − cos(60 + )sin(30 − ) ตัวอย่าง จงหาเซตคาตอบของสมการ cos x – sin 2x – cos 3x = 0 เมอ่ื x [0,2 ] รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 59 แบบฝึกหดั ท่ี 12 1.2 sin70 + sin50 1. จงหาคาตอบของข้อต่อไปน้ี cos70 + cos50 1.1 sin105 + sin15 1.3 cos130 + cos110 + cos10 2. จงหาเซตคาตอบในชว่ ง [0,2 ] ของสมการในข้อต่อไปน้ี 2.1 cos x – sin x – cos 3x = 0 2.2 sin 5x + sin 3x = 0 2.3 cos 3x − cos x = 0 2 2 รายวิชาคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 60 2.4 cos(2 x +  ) + cos(2 x −  ) = 0 4 4 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ อินเวอรส์ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ หรือ ฟงั ก์ชันอาร์ค หมายถงึ ฟังกช์ ันทใ่ี ห้ผลลัพธก์ ลบั กนั กบั ฟงั กช์ ันปกติ เน่ืองจาก sin cos tan จะเปลีย่ น“มุม”ให้เป็น“ค่า” เช่น sin 30 = 1 ดงั นัน้ อนิ เวอร์สของ 1 กค็ ือ 30 2 2 1 เขยี นเป็นสัญลกั ษณ์คือ arcsin 2 = 30 ฟังกช์ ันทีจ่ ะมีอนิ เวอร์สเป็นฟังก์ชนั ไดน้ น้ั ต้องเปน็ ฟังก์ชนั 1-1 (One to one) แตฟ่ ังก์ชันตรโี กณนนั้ ไม่ใช่ ฟังกช์ นั 1-1 (Many to one) (เช่น sin30 และ sin 150 จะได้ 1 เท่ากนั ) ดังน้นั อนิ เวอร์สของฟงั กช์ นั 2 ตรโี กณจะไม่เปน็ ฟงั ก์ชัน (เชน่ sin-1 1 = 30 ,150 ,390 ,510 , … ) นอกเสยี จากจะกาหนดโดเมนของฟังก์ชนั 2 ตรโี กณมติ ใิ ห้เหมาะสม ซึ่งจะทาใหอ้ นิ เวอร์สของฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิเปน็ ฟังก์ชันได้ อย่างไรกต็ ามนักคณิตศาสตร์ตอ้ งการอนิ เวอรส์ ทีไ่ ม่กากวมจึงกาหนด “ฟังกช์ ัน arc” ขึ้นมา โดยถ้าอยาก ได้อินเวอร์สของฟังก์ชันไหนก็ใหเ้ ติม arc เขา้ ไปขา้ งหน้า เช่น arcsin , arccos , arctan เป็นตน้ หลักท่ัวๆไปของการหาอินเวอร์สด้วยฟังกช์ ัน arc คือให้ตอบมุมที่ “เลขนอ้ ยสุด” แคม่ มุ เดียว ฟงั ก์ชนั อินเวอรส์ ไซน์ หรอื ฟงั ก์ชนั อาร์กไซน์ (arcsine) พิจารณากราฟของฟงั กช์ ัน y = sin x , −   x   , − 1  y  1 จะเห็นวา่ กราฟ x = siny ซ่งึ เปน็ กราฟผกผันของ y = sin x นัน้ ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชัน รายวชิ าคณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมัธยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 61 แตถ่ า้ เรากาหนดโดเมนของ y = sinx เสยี ใหม่เปน็ −   x  2 2 จะไดว้ า่ {(x, y) y = sin x , −   x   } เป็นฟังก์ชัน 1-1 ซึ่งมีฟังกช์ นั ผกผันเป็น 2 2 {(x, y) x = sin y , −   y   } และจะเรยี กฟังก์ชนั ผกผันนว้ี า่ arcsine เรียกส้นั ๆว่า arcsin ดงั รปู 2 2 ฟังกช์ นั อนิ เวอรส์ ไซน์ หรอื ฟังกช์ นั อารก์ ไซน์ (arcsine) ซง่ึ จะได้นยิ ามดังน้ี ฟงั ก์ชัน arcsin คอื {(x, y) x = sin y , −   y   } 2 2 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 62 เม่อื (x,y) arcsin จะได้ว่า y = arcsin x ซงึ่ มีความหมายเช่นเดยี วกบั x = siny , −   y   2 2 ตวั อย่าง จงหาค่า y = arcsin x เมื่อกาหนดค่า x ดังต่อไปน้ี 1. x= − 2 2. x = 0 3. x=-1 2 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ 1. arcsin(cos  ) 2. cos[arcsin(− 1 )] 3 2 ฟงั กช์ ันอนิ เวอรส์ โคไซน์ หรือ ฟงั กช์ นั อารก์ โคไซน์ (arccos) พิจารณากราฟของฟงั ก์ชัน y = cos x , −   x   , − 1  y  1 จะเหน็ ว่ากราฟ x = cosy ซ่งึ เป็นกราฟผกผนั ของ y = cos x นน้ั ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั แตถ่ า้ เรากาหนดโดเมนของ y = cos x เสยี ใหม่เป็น 0  x   จะได้ว่า {(x, y) y = cos x , 0  x   } เปน็ ฟงั ก์ชนั 1-1 ซ่ึงมฟี ังกช์ ันผกผันเป็น รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 63 {(x, y) x = cos y , − 1  x  1 , 0  y   } และจะเรยี กฟังกช์ นั ผกผนั นว้ี ่า arccosine เรียกสัน้ ๆว่า arccos ดังรปู ฟงั กช์ ันอินเวอรส์ โคไซน์ หรือ ฟังกช์ นั อาร์กโคไซน์ (arccos) ซ่ึงนยิ ามดงั นี้ ฟังกช์ นั arccos คอื {(x, y) x = cos y , 0  y   } เมือ่ (x, y)  arccos จะไดว้ า่ y = arccos x ซง่ึ มคี วามหมายเช่นเดยี วกับ x = cos y , 0  y   ตวั อยา่ ง จงหาค่า y = arccos x เม่ือกาหนดคา่ x ดงั ตอ่ ไปน้ี 1. x= − 2 2. x = 0 3. x=-1 2 ตัวอย่าง จงหาคา่ ของ cos(arcsin(− 3 )) + sin(arccos 2 ) 5 3 รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 64 ฟังก์ชันอนิ เวอรส์ แทนเจนต์ หรอื ฟังกช์ ันอาร์กแทนเจนต์ (arctan) พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = tan x จะเหน็ วา่ กราฟ x = tany ซงึ่ เป็นกราฟผกผันของ y = tan x น้นั ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชนั แตถ่ ้าเรากาหนดโดเมนของ y = tan x เสยี ใหมเ่ ป็น −   x   2 2 จะไดว้ า่ {(x, y) y = tan x , −   x   } เปน็ ฟงั กช์ นั 1-1 ซึง่ มีฟังกช์ ันผกผันเป็น 2 2 {(x, y) x = tan y , −   x   , −   y   } และจะเรยี กฟังกช์ ันผกผันนีว้ า่ arctangent เรยี ก 2 2 สนั้ ๆวา่ arctan ดงั รูป ฟังกช์ นั อนิ เวอรส์ แทนเจนต์ หรอื ฟังก์ชนั อาร์กแทนเจนต์ (arctan) ซงึ่ นิยามดังนี้ ฟงั กช์ ัน arctan คือ {(x, y) x = tan y , −   y   } 2 2 รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 65 เมื่อ (x,y) arctan จะไดว้ า่ y = arctan x ซ่ึงมคี วามหมายเช่นเดยี วกบั x = tan y , −   y   2 2 ตัวอยา่ ง จงหาคา่ y = arctan x เมอ่ื กาหนดค่า x ดงั ต่อไปน้ี 1. x= − 2 2. x = 0 3. x = - 1 2 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin[arctan(− 24 ) + arccos 15 ] 7 17 ฟังก์ชันอินเวอร์สโคแทนเจนต์ หรอื ฟังก์ชันอารก์ โคแทนเจนต์ (arccot) พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = cot x จะเหน็ ว่ากราฟ x = cot y ซ่ึงเป็นกราฟผกผันของ y = cot x นั้นไมเ่ ปน็ ฟังก์ชัน แต่ถา้ เรากาหนดโดเมนของ y = cot x เสยี ใหมเ่ ป็น 0  x   จะได้วา่ {(x, y) y = cot x , 0  x   } เป็นฟงั ก์ชนั 1-1 ซงึ่ มฟี ังก์ชนั ผกผนั เป็น {(x, y) x = cot y , x R , 0  y   } และจะเรียกฟงั ก์ชนั ผกผันน้วี า่ arccotangent เรยี กสั้นๆว่า arccot ฟังก์ชนั อนิ เวอร์สโคแทนเจนต์ หรอื ฟังกช์ นั อาร์กโคแทนเจนต์ (arccot) ซึง่ นยิ ามดงั น้ี ฟงั กช์ ัน arccot คือ {(x, y) x = cot y , 0  y   , x R เม่ือ (x, y)  arccot จะได้ว่า y = arccot x ซึ่งมีความหมายเช่นเดียวกับ x = cot y , 0  y   ฟงั กช์ ันอินเวอร์สเซแคนต์ หรอื ฟังกช์ นั อาร์กเซแคนต์ (arcsec) พจิ ารณากราฟของฟงั กช์ นั y = sec x จะเหน็ วา่ กราฟ x = sec y ซึ่งเป็นกราฟผกผันของ y = sec x นัน้ ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชัน รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 66 แตถ่ ้าเรากาหนดโดเมนของ y = sec x เสียใหม่เป็น x  [0,  )  (2 , ] 2 จะไดว้ า่ {(x, y) y = sec x , x [0,  )  (  , ]} เป็นฟังก์ชัน 1-1 ซึ่งมฟี งั กช์ ันผกผนั เปน็ 2 2 {( x, y) x = sec y , x (−, −1] [1, ) , y  [0,  )  (  , ]} และจะเรียกฟงั ก์ชนั ผกผนั นี้ว่า 2 2 arcsecant เรียกสน้ั ๆวา่ arcsec ฟงั ก์ชนั อนิ เวอร์สเซแคนต์ หรือ ฟงั ก์ชนั อารก์ เซแคนต์ (arcsec) ซง่ึ นิยามดงั น้ี ฟังก์ชัน arcsec คอื {( x , y) x = sec y , x (−,−1] [1,  ) , y [0,  )  (  , ]} 2 2 เมอ่ื (x, y)  arcsec จะได้ว่า y = arcsec x ซงึ่ มีความหมายเช่นเดยี วกบั x = sec y , y  [0,  )  (  , ] 2 2 ฟังก์ชนั อนิ เวอรส์ โคเซแคนต์ หรือ ฟงั ก์ชันอาร์กโคเซแคนต์ (arccosec) พิจารณากราฟของฟงั ก์ชนั y = cosec x จะเหน็ วา่ กราฟ x = cosec y ซ่ึงเป็นกราฟผกผันของ y = cosec x นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน แต่ถ้าเรากาหนดโดเมนของ y = cosec x เสยี ใหม่เปน็ x  [−  ,0)  (0,  ] 2 2 จะไดว้ า่ {(x, y) y = cosec x , x  [−  , 0)  (0,  ]} เป็นฟงั ก์ชนั 1-1 ซ่ึงมฟี งั ก์ชนั ผกผนั เปน็ 2 2 {( x, y) x = cosec y , y  [−  ,0)  (0,  ], x  (−, −1]  [1, )} และจะเรียกฟงั ก์ชันผกผนั นี้ 2 2 ว่า arccosecant เรียกสัน้ ๆว่า arccosec รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 67 ฟงั ก์ชันอนิ เวอรส์ โคเซแคนต์ หรือ ฟังก์ชนั อาร์กโคเซแคนต์ (arccosec) ซ่งึ นิยามดงั นี้ ฟงั ก์ชัน arccosec คือ {( x, y) x = cosec y , y  [−  ,0)  (0,  ], x ( −, −1]  [1, )} 2 2 เมือ่ (x, y)  arccosec จะไดว้ ่า y = arccosec x ซ่งึ มีความหมายเช่นเดยี วกับ x = cosec y , y  [−  ,0)  (0,  ] 2 2 จากฟงั กช์ นั อนิ เวอร์สตรีโกณมติ ิท้งั หมด สรุปได้วา่ arcsin , arctan , arccosec จะได้มมุ ออกมาในช่วง −90 ถงึ 90 arccos , arccot , arcsec จะได้มุมออกมาในช่วง 0 ถึง 180 ถ้าพิจารณาในหน่วยของเรเดียน จะสรปุ โดเมนกับเรนจข์ องฟังกช์ ันอินเวอรส์ ตรโี กณมิติได้ดังน้ี แบบกึ หัดที่ 13 1. จงหาคา่ ของฟงั ก์ชันต่อไปน้ี 1.1 arccos(− 2 ) 1.2 arcsin 0 2 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

1.3 arctan(− 3 ) ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 68 1.4 arccos 1 1.5 arctan (- 1) 1.6 arcsin(− 1 ) 2 1.7 arcsec(− 2 ) 1.8 arccosec(-1) 3 2. จงหาคา่ ของฟังก์ชนั ต่อไปนี้ 2.1 sin[arcsin(− 1 )] 2.2 cos[arcsin(− 2 )] 2 2 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนมัธยมประชานิเวศน์

2.3 sin[ar cos( − 3 )] ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 69 2 2.4 cos[arctan 3] 2.5 arccos[tan(− 5 )] 2.6 arctan[tan( 5 )] 4 6 2.7 cosec(arcsec 2) 2.8 sec(arctan 3) 4 3. จงหาคาตอบของขอ้ ต่อไปนี้ 3.1 sin(arcsin 5 + arcsin 4 ) 3.2 sin(arcsin 1 − arccos 1 ) 13 5 2 3 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 70 3.3 tan(arcsin(− 3 ) − arccos 5 ) 3.4 tan(arctan 3 + arccot 15 ) 5 13 4 8 3.5 sin(2 arcsin 4 − arccos 12 ) 3.6 cos(arctan(− 4 ) + arcsin 12 ) 5 13 3 13 รายวิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

วัน/เดอื น/ปี การบ้าน ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 71 รายการ ตรวจแลว้ รวม ……………คร้ัง ……………คะแนน รายวิชาคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 72 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์