ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ Trigonometric Functions ชื่อ-สกุล.................................................... ม.5/...... เลขท.ี่ ..... รายวชิ าคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

สารบัญ อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ………………………………………………………………………………………………………………..….…..1 แบบฝกึ หัดท่ี 1 ……………………………..……………………………………………………………………………………..….……3 มมุ 30 ,45 ,60 ………………………………………………………………………………………………………..……….…….5 แบบฝกึ หดั ท่ี 2 ………………………………………………………………………………………………………………..……………6 สตู รอตั รสว่ นตรโี กณมติ ิ………………………………………………………………………………………………..…………….……7 แบบฝกึ หัดท่ี 3 …………………………………………………………………………………………………………..…………………9 การวดั มุมในหนว่ ยเรเดยี น……………………………………………………………………………………………..……………..…11 แบบฝกึ หดั ที่ 4 …………………………………………………………………………………………………………….………..…....15 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ…………………………………………………………………………………………………………….……….......16 แบบฝกึ หัดท่ี 5 ……………………………………………………………………………………………………………………..….…..17 การหาค่าของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ……………………………………………………………………………………….….…..…...…18 แบบฝกึ หดั ที่ 6 ……………………………………………………………………………………………………………………..…..….20 กราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิต…ิ ……………………………………………………………………………………………………….....24 แบบฝกึ หดั ท่ี 6.1 …………………………………………………………………………………………………………………….….…26 ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิของผลบวกและผลตา่ ง……………………………………………………………………..………………...…28 แบบฝกึ หดั ท่ี 7 ………………………………………………………………………………………………………………………...…..31 แบบฝกึ หดั ที่ 7.1 ……………………………………………………………………………………………………………………...…..37 โคฟังกช์ ัน(Co - function)……………………………………………………………………………………………………..…..……40 แบบฝกึ หัดที่ 8 ……………………………………………………………………………………………………………………..….…..42 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิสองเท่า…………………………………………………………………………………………………………….....44 แบบฝกึ หดั ที่ 9 ……………………………………………………………………………………………………………………..……...46 ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิสามเท่า……………………………………………………………………………………………………………..…49 แบบฝกึ หัดท่ี 10 ……………………………………………………………………………………………………………..……..….….51 ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ คิ รึ่งเทา่ ……………………………………………………………………………………………………………..….52 ผลคณู ของฟังก์ชันตรโี กณมิติ………………………………………………………………………………………………………….…53 แบบฝกึ หัดที่ 11 ……………………………………………………………………………………………………………………..…..55 ผลบวกและผลตา่ งของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ……………………………………..………………………………………………..….57 แบบฝกึ หัดท่ี 12 ……………………………………………………………………………………………………………………....…59 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ…………………………………………………………………………………………………..……60 แบบฝกึ หัดที่ 13 …………………………………………………………………………………………………………………..…..…67 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นมัธยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 1 อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ก่อนอ่นื เราต้องทบทวนการเรียกชอ่ื ดา้ นทั้งสามของสามเหลี่ยมมมุ ฉาก “โดยอิงกับมุมทีเ่ ราสนใจ” เราจะเรียกด้านตรงขา้ มมุมฉากวา่ “ฉาก” ที่เหลอื อกี สองด้านเราจะเรยี ก โดย “อิงกบั มุมทีเ่ ราสนใจ” ฉาก เชน่ สนใจมมุ A จะเรยี กด้านตรงขา้ มมุม A วา่ “ข้าม” ขา้ ม และเรียกด้านประชดิ มุม A วา่ “ชดิ ” A ดังนน้ั ดา้ น“ชิด”และ“ข้าม”จะเปลย่ี นไปตามมมุ ทเี่ ราอ้างอิง ชิด B A C ฉาก ขา้ ม ชิด ฉาก A ชดิ B C ข้าม A ขา้ ม ชดิ C ฉาก B อ้างอิงมุม B อา้ งอิงมุม C อ้างอิงมุม A ในเรื่องอตั ราสว่ นตรโี กณมิติจะมี “อัตราส่วน” อยู่ 6 แบบ ดังน้ี sin = ขา้ ม cos = ชิด tan = ขา้ ม ฉาก ฉาก ชิด cosec = ฉาก sec = ฉาก cot = ชดิ ขา้ ม ชดิ ข้าม หมายเหตุ 1. อัตราสว่ นดงั กล่าวจะไมส่ ามารถเขียนลอยๆได้ ต้องเขยี นตามดว้ ย “มุม” เสมอ 2. สญั ลกั ษณ์  มักจะใช้แทน “มุมใดๆ” ในท่ีน้คี อื มุมท่ีเราใชอ้ ้างอิง 3. tan = sin cos รายวิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 2 ตัวอย่าง จงหาอตั รส่วนตรีโกณมติ ิทั้งหมดของ ABC เม่ือ B เป็นมมุ ฉากและ AB = a , BC = b , AC = c ดงั รูป C sin A = b cos A = a tan A = b c c a cosec A = c sec A = c cot A = a a b c b Aa cos C = b tan C = a b sin C = a c b c sec C = c cot C = b b a B cosec C = c a ฝึกทา สามเหล่ยี มABC มมี ุม B เปน็ มมุ ฉากดงั รปู ถ้า AB = 5 และ AC = 13 จงหาอัตรสว่ นตรโี กณมติ ิทัง้ หมด C วิธีทา 13 A 5B ฝกึ ทา กาหนดให้ cosec A = 5 จงหา sin A และ cos A 4 ฝึกทา สามเหลีย่ ม ABC มมี ุม C เปน็ มุมฉาก ถา้ cosec A = 2 จงหา sin B + cos A รายวิชาคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 3 แบบฝกึ หัดที่ 1 1. สามเหลย่ี ม ABC มีมมุ B เป็นมุมฉาก ถ้า AB = 8 , AC = 10 , จงหา cot A 2. สามเหลีย่ ม ABC มีมมุ A เปน็ มมุ ฉาก ถ้า AB = 4 , AC = 5 จงหา sec B 3. ถา้ sin A = 5 จงหา cos A 4. ถ้า tan A = 2 จงหา sec A 13 5. ถ้า cot A = 2 จงค่า sin A 6. ถา้ 13cos A = 5 จงหาค่าของ cosec A 7. สามเหลีย่ ม ABC มีมุม A เป็นมุมฉาก ถา้ sec C = 3 จงหา cot B รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 4 8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีมุม B เปน็ มุมฉาก ถา้ cot A = 12 จงหา 10cosec A + 12sec A 5 9. ถา้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มทีม่ ีมุม C เปน็ มมุ ฉาก และ cos B = 3 จงหา cos (C - B) 5 10. ให้ ABCD เป็นรูปสีเ่ หล่ยี มผืนผ้าซึง่ มี E เปน็ จดุ กง่ึ กลางของด้าน CD ถ้า AEˆB = 90 แล้ว sinBAˆ C มีค่าเท่ากบั เท่าใด รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 5 อัตราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมุม 30 ,45 ,60 2 60 45 1 2 3 45 sin 30 = ………. 1 sin 45 = ………. 1 sin60 = ………. cos 30 = ………. cos 45 = ………. cos 60 = ………. tan 30 = ………. tan 45 = ………. tan60 = ………. cosec 30 = ………. cosec 45 = ………. cosec 60 = ………. sec 30 = ………. sec 45 = ………. sec60 = ………. cot 30 = ………. cot 45 = ………. cot 60 = ………. หากจาสามเหลย่ี ม 30 ,45 ,60 ไม่ได้ จะใชเ้ ทคนิค “มือขวา” เข้ามาชว่ ยในการจา √������ ������ ถ้าอยากได้ cosec , sec , cot ก็ใหห้ าสว่ นกลับของ sin , cos , tan และถ้าเห็นเลขชี้กาลงั อยู่ที่อัตราสว่ นตรีโกณมิติ เชน่ sin2 30 หมายถึง (sin 30 )2 ดังนนั้ sin2 30 = (sin 30 )2 =  1 2 = 1 2 4 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 6 ตัวอย่าง จงหาคาตอบตอ่ ไปน้ี 1. sin45 cos 45 = 2  2 = 2 = 1 2 2 4 2 2. cosec 30 + sec 60 = 2 + 2 = 4 3. cot2 30 - sin2 45 = ( 3 )2 −  2 2 = 3 − 1 = 5  2  2 2  4. sin2 60 + cos2 60 =  3 2 +  1 2 = 3 + 1 =1  2  2 4 4 แบบฝึกหดั ที่ 2 จงหาค่าของ 1. cos2 60 6. sec 60 - cosec2 60 2. cos2 30 7. cosec 30 + sec2 45 + cot3 60 3. sin2 45 8. sin2 45 - tan2 60 + cos 60 4. cosec 30 - cot 45 9. 5(cot2 60 ) + 2(sec3 30 ) 5. tan2 30 + sin2 60 10. จงหา ที่ทาให้ 4sin2 - 3 = 0 เม่ือ 0    90 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 7 สูตรอตั ราสว่ นตรีโกณมิติ 1. ส่วนกลบั cosec 1 sec = 1 cot  = 1 = sin  cos  tan  2. เอกลกั ษณ์ 2.1 ถา้  เป็นจานวนจริง และ sin  0 แลว้ sin cosec = 1 พสิ ูจน์ sin cosec = sin  1 =1 sin  sincosec = 1 2.2 ถา้  เปน็ จานวนจริง และ cos  0 แลว้ cos sec = 1 พิสจู น์ cos sec = cos  1 =1 cos  cossec = 1 2.3 ถ้า  เป็นจานวนจริง และ sin  0 , cos  0 แล้ว tan cot = 1 พิสจู น์ tan cot = tan  1 =1 tan  tan cot = 1 3. สตู รกาลังสอง 3.1 ถ้า  เปน็ จานวนจริงใด ๆ แล้ว sin2 + cos2 = 1 พสิ จู น์ 3.2 ถา้  เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ แลว้ tan2 + 1 = sec2 พสิ จู น์ รายวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 8 3.3 ถ้า  เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ แล้ว 1 + cot2 = cosec2 พสิ ูจน์ ฝกึ ทา 1. จงหาคา่ ของ sin 52 cosec52 2. จงหาค่าของ cot215 - sec75 cosec15 3. ถ้า tan - cot = 2 จงหา tan2 +cot2 4. จงพิสูจนว์ า่ sec = sec + 1 1 − cos 1 − cos2  รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

แบบฝกึ หดั ที่ 3 ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 9 จงแสดงวา่ 2. cot sec = cosec 1. cos tan = sin 3. (1 – cos 2A)  cosec2A = 1 4. tan2A (1 – sin2A) = sin2A 5. (1 + cot2 ) sin2 = 1 6. (sec2A – 1)  cot2A = 1 7. (1 – sin2A)(1 + cot2A) = cot2A 8. cos2A  cosec2A (sec2A – 1) = 1 รายวิชาคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรียนมัธยมประชานิเวศน์

9. 1 + 1 = 1 ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 10 sec2  cos ec2  10. sec4A – 1 = 2tan2A + tan4A จงหาคา่ ของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ติ ่อไปนี้ cot10  sin10 11. cos 89  sec 89 12. cos10 13. sec40  sin40  cot40 14. sin42  tan60  sec48 15. sin18  cos72 + sin2 72 16. 2sec219 - 2tan219 - 2 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

17. sec A – cos A – sec A sin2A ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 11 18. cosec2 33 - tan2 57 19. sin21 + sin2 2 + sin2 3 + sin2 4 + … + sin2 89 20. cosec30  sin34 sin35  tan55  cos35 cos 56  การวัดมุมในหนว่ ยเรเดยี น นอกจากมุม  จะมหี น่วยเป็น“องศา”แล้วยังสามารถมีหน่วยเปน็ “เรเดียน” ไดด้ ้วย ก่อนทเ่ี ราจะวดั มมุ ในหนว่ ยเรเดียนได้ ต้องรู้จัก“วงกลมหน่ึงหนว่ ย”ก่อน วงกลมหน่งึ หน่วย คอื วงกลมที่มรี ัศมี 1 หนว่ ย ที่มจี ุดศูนย์กลางอยทู่ จี่ ดุ กาเนิด (0,0) ในระนาบ X , Y ดังรูป Y (,) (,) (,) X 1 (,) รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 12 การวัดมมุ ในหนว่ ยเรเดียนจะเรม่ิ นับท่พี ิกัด (1,0) เป็น “จุดเริ่มตน้ ” ถ้าวัดทวนเข็มนาฬิกา มุมจะมีค่าเปน็ “บวก” Y แตถ่ ้าวดั ตามเข็มนาฬกิ า มมุ จะมคี ่าเปน็ “ลบ” (0,1)  “มุมที่กาง เรเดียน” จะหมายถงึ มุมที่เร่ิมเดินจาก (1,0) (-1,0) (1,0) X ในทศิ ทวนเข็มนาฬิกาไปตามเส้นรอบวงกลมเปน็ “ระยะทาง หนว่ ย” เนอื่ งจากความยาวเสน้ รอบวงกลม เท่ากับ 2r และวงกลมหน่ึงหนว่ ย 2 (0,-1) (1,0) นนั้ มีรัศมเี ท่ากบั 1 ดังนนั้ ความยาวรอบวงกลม คือ 2  และ ความยาวครง่ึ วงกลม คือ  (1,0) จากนีไ้ ปถา้ หากจะเปลย่ี นมุมในหน่วย “เรเดยี น” ใหเ้ ป็น “องศา” มักจะนิยมแทนคา่  = 180 เมอ่ื ก่อนเราหาคา่ sin cos tan จากสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่มขี ้อจากดั หลายอยา่ ง เช่น ไม่สามารถหาคา่ มมุ ทม่ี ากกว่า 90 ได้ หรอื จะหามุมที่ติดลบก็ไม่ได้ จึงทาให้เราต้องเรียนเรื่องวงกลมหนึ่งหน่วย เพือ่ หามุมที่ มากกวา่ 90 และหามมุ ท่ีติดลบ ดังทเ่ี ราเรียนมาแลว้ ขา้ งตน้ คาถามตอ่ มาคือ และเราจะหาคา่ sin cos จากไหนละ ? คาตอบคอื คา่ sin จะหาจาก “คา่ Y ของ พกิ ัด ” ค่า cos จะหาจาก “ค่า X ของ พิกัด ” เราจะนยิ มใชส้ ัญลักษณ์ P( ) แทน พกิ ัดปลายมมุ  เชน่ P(60 ) หมายถึง พิกดั ปลายมมุ ทีก่ าง 60 P( ) หมายถึง พิกดั ปลายมมุ ทก่ี าง เรเดยี น เช่น ณ 0 พกิ ัด คือ (1,0) ดงั น้ัน cos 0 = 1 sin 0 = 0 ณ 90 พกิ ัด คือ (0,-1) ดงั นั้น cos 90 = sin 90 = ณ  เรเดียน พกิ ัด คือ (…. , ….) ดังนน้ั cos = sin = ณ 3 เรเดียน พิกัด คือ (…. , ….) ดังนัน้ cos 3 = sin 3 = 2 2 2 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 13 แล้ว ณ มมุ 30 45 60 ละ ถา้ แปลงเปน็ มุมเรเดยี นไดเ้ ทา่ ไร และ พิกัดคืออะไร Y มุม 30 และ มุม 60 (1,0) X Y มมุ 45 (1,0) X หมายเหตุ ควรจาขนาดของมุม 2 , ,  ,  ,  ,  ให้ได้โดยไม่ตอ้ งแทน = 180 2 3 4 6 ถา้ หากโจทย์ไม่บอกหนว่ ยของมมุ มาให้ เราจะถือวา่ โจทยข้อน้ันมีหน่วยเปน็ เรเดยี น ตัวอยา่ งเม่ือมุมติดลบ จงหาพกิ ัด มมุ -  (1,0) 2 (-1,0) รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 14 เมือ่ นกั เรยี นเขา้ ใจและสามารถหาพิกัดท้งั 16 ของมมุ พืน้ ฐานด้แลว้ จะได้คา่ พิกัดดังน้ี หมายเหตุ ในกรณีทีม่ ุมเกิน 2 เรเดียน (เกนิ 1 รอบ) มันกจ็ ะวนกลบั มาทบั รอบเดิม เช่น มุม 3 กค็ ือ มมุ ที่หมุนไป 1 รอบ กบั อีกคร่ึงรอบ พิกดั มุม 3 กจ็ ะเท่ากับ พิกัดมุม  คือ (-1,0) มมุ 6 ก็คอื มุมทห่ี มุนไป 3 รอบ พกิ ดั มุม 6 ก็จะเท่ากบั พิกดั มุม 2 คอื (1,0) ในกรณที ่ี  มขี นาดใหญ่มากๆ การแทน  = 180 อาจจะทาใหเ้ ราคิดเลขเยอะ เรายังสามารถ ทาได้อกี วิธี นน่ั คือ วธิ แี บง่ มุม ตวั อยา่ ง จงหา P( 3 ) 2 วธิ ีทา ถ้าใชว้ ิธีแทน  = 180 กจ็ ะได้ 3 = 3(180 ) = 270 2 2 หรือจะมองว่า 3 =  + = 180 + 90 2 2 หรือจะมองว่า 3 = 2 -  = 360 - 90 2 2 หรอื จะมองว่า 3 =  +  +  ไมว่ ่าจะมองแบบไหน P( 3 ) = (0,-1) 2 2 2 2 2 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 15 กระบวนการดังกล่าวควรหัดทาใหค้ ล่องโดยไมต่ ้องวาดรูป เพราะเราจะต้องใชค้ วามรู้ในการหาพกิ ัดนี้ ไปใชใ้ นเรอื่ งอืน่ ด้วย ฝกึ ทา 1. P  4  3 2. P  17  6 3. P  − 2019  4 แบบฝึกหดั ที่ 4 จงหาพกิ ัดตอ่ ไปน้ี 1. P    2. P  5  3 6 3. P    4. P  − 4  3 3 5. P  − 11  6. P  103  6 2 7. P  − 55  8. P  7  3 6 9. P  − 5  10. P  500  4 3 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 16 ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ คิ ือฟังกช์ ันทมี่ ี sin , cos , tan , cosec , sec , cot อยใู่ นสมการฟังก์ชนั ในเนอ้ื หาอัตราสว่ นตรโี กณมิติ เราไดเ้ รยี นวิธีหาคา่ sin และ cos จากสามเหล่ียมมมุ ฉาก แตป่ ัญหาที่พบคือ มขี อ้ จากดั เรื่องมุม เนอ่ื งจากมุมในสามเหล่ยี มมุมฉากจะเกิน 90 ไมไ่ ด้ เปน็ มุมตดิ ลบก็ไม่ได้ เราจงึ ต้องใช้ความรู้ในเร่ืองพิกัดของวงกลมหนึง่ หนว่ ยทเ่ี รยี นมาแล้ว มาชว่ ยในการหา sin และ cos sin จะหาจาก “ค่า Y ของ P( )” cos จะหาจาก “คา่ X ของ P( )” เชน่ P 2  =  − 1 , 3 ดังนัน้ sin  2  = 3 และ cos  2  = − 1 3  2 2  3 2 3 2 P( − ) = (−1,0) ดงั นั้น sin( − ) = 0 และ cos( − ) = −1 P 7  =  − 3 , − 1  ดงั นน้ั sin  7  = − 1 และ cos  7  = − 3 6  2 2  6 2 6 2 เน่ืองจาก P( ) เปน็ พกิ ัดบนวงกลมหนึง่ หน่วย ดงั น้ัน −1  sin  1 และ −1  cos  1 เมื่อเราสามารถหาค่า sin และ cos ได้แล้ว กจ็ ะสามารถหาอตั ราสว่ นตรีโกณมิติท่เี หลือได้ ตวั อย่าง P 2  =  − 1 , 3 3  2 2  cosec  2  = sec  2  = tan  2  = cot  2  = 3 3 3 3 หมายเหตุ cot กับ cosec จะหาคา่ ไม่ได้ เมอื่ sin = 0 tan กับ sec จะหาค่าไมไ่ ด้ เมอื่ cos = 0 รายวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 17 แบบฝึกหดั ที่ 5 1. จงหาคา่ ของ 1.1 sin 0 = 1.2 cos180 = 1.3 tan 270 = 1.4 sin270 = 1.5 cos 90 = 1.6 tan 0 = 1.7 sin  = 1.8 cos = 2 1.10 cos 2 = 3 1.12 tan 2 = 1.9 sin 2 = 1.11 tan 3 = 2 2. จงหาค่าของ 2.1 sin  + cos 2 − cos 3 2 2 2.2 cos  + sin2 − sin 2 2.3 cos 3 + sin2 − sin 3 2 2 2.4 sin2 3 + sin2 0 + sin2 2 2 2.5 2 sin   cos   sin  4 6 3 รายวิชาคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 18 2.6 2cosec2   ( −3)sec2  46 2.7 cot   tan  + sec2  3 6 4 2.8 tan2  + 4 cos2  + 3sec2  3 4 6 2.9 1 sin2  − 1 sec   tan2  2 32 3 6 การหาคา่ ของฟังก์ชันตรีโกณมิตเิ ม่ือมมุ เปน็    , 2  ในเรื่องนเ้ี ราจะเรียนการแปลงมมุ ทีย่ งุ่ ๆ ให้อยใู่ นรปู อย่างงา่ ย ก่อนอนื่ ต้องรู้จัก “เคร่ืองหมาย” ของฟงั ก็ชันตรีโกณมติ ิในจตภุ าคต่าง ๆ เรามักใชแ้ ผนภาพ เพ่ือจาว่าฟังกช์ ันไหนทีม่ คี ่าเป็นบวกในจตภุ าคไหน โอ้ ซานต้าคอส ฝกึ ทา ถ้า sin < 0 และ cos > 0 จงหาวา่  อยูใ่ นจตุภาคใด รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 19 ฝกึ ทา ถ้า tan2 = 1 และ  เป็นมมุ ในจตภุ าคที่ 2 แล้วจงหา cot 5 การแปลงมุม   , 2  เม่อื 0   2 พดู งา่ ยๆกค็ ือมุมทอี่ ยู่ในรูป n  มุมเหลา่ นีจ้ ะสามารถแปลงเปน็ “ฟงั ก์ชนั เดิมของมุม  ” แตต่ อ้ งใส่เคร่อื งหมายจริงตามจตภุ าคท่ีมมุ นั้นตกอยู่ เช่น sin( 3 + ) = sin Q3 = -sin( ) cos( 2 +  ) = cos Q1 = cos( ) tan( 5 − ) = tan Q2 = -tan( ) cot( −  ) = cot Q3 = cot( ) sec( −2 − ) = sec Q4 = sec( ) cosec(10 − ) = cosec Q4 = cosec( ) ฝึกทา cot( 9 ) = 5 cos( 8 ) = 3 cosec( − 13 ) = 6 การแปลงมุม   , 3  เมือ่ 0   2 2 2 n พดู ง่ายๆกค็ ือมุมท่อี ยู่ในรปู 2  มุมเหล่านี้จะสามารถแปลงเปน็ “โคฟงั ก์ชันของมุม  ” แต่ตอ้ งใสเ่ คร่ืองหมายจริงตามจตภุ าคทมี่ ุมนนั้ ตกอยู่ เชน่ sin( 3 + ) = sin Q4 = -cos( ) cot( − 7 − ) = cot Q1 = tan( ) 2 2 3 sec( −  − ) = sec Q3 = -cosec( ) cos( − 2 ) = cos Q2 = -sin( ) 2 รายวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 20 ฝกึ ทา sin( 5 − ) = 2 cos( 9 − ) = 2 ในบางกรณีเราสามารถเลือกไดว้ ่าจะใชส้ ตู รใดก็ได้ สว่ นใหญ่มกั จะนยิ มใช้สูตร “ n  ” มากกว่า เพราะคดิ งา่ ยกว่า เราจะใช้สูตร “ n  ” ก็ตอ่ เมอื่ ต้องการจะเปล่ียนให้เปน็ “โคฟังกช์ ัน” 2 ตัวอยา่ ง จงแปลง sin190 ให้เปน็ มุมใจจตภุ าคที่ 1 วธิ ีทา sin190 ตกอยู่ใน Q3 ถา้ ใช้ สตู ร “ แกน X   ” จะได้ sin( + 10 ) = - sin10 ถ้าใช้ สูตร “ แกน Y   ” จะได้ sin  3 + 80  = - cos80 2 แบบฝกึ หัดท่ี 6 1. จงหาค่าของ 1.1 sin 2 1.2 cos 2 3 3 1.3 tan 2 1.4 sin 5 3 6 1.5 cos 5 1.6 tan 5 6 6 1.7 cos ec( − 4 ) 1.8 cos(− 7 ) 3 6 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรียนมัธยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 21 1.9 cot(− 7 ) 1.10 tan 7 6 6 1.11 sec(− 5 ) 1.12 cot(− 3 ) 6 4 1.13 cos 11 1.14 cos ec( − 7 ) 6 6 2. จงหาคา่ ของ 2.1 sin 5 + cos 2 − tan 5 6 3 4 2.2 sec 4 + cos ec 7 − 3 cot 4 3 6 3 2.3 sin 13  cos 25  cot 37 6 3 4 2.4 sin(− 4 ) + cos(− 5 ) + tan(− 7 ) 3 6 4 2.5 cos2 55 + sin2 64 − cot2 37 63 4 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 22 3. กาหนดให้ cos = − 3 และ    3 จงหาค่าของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติอนื่ ๆ ของ  5 2 4. กาหนดให้ tan = − 15 จงหาค่าของ sin − cos 8 5. กาหนดให้ cos = − 1 และ    จงหาค่าของ sin  tan 4 2 6. กาหนดให้ cot = − 4 และ 3   2 จงหาคา่ ของ cosec + cos 3 2 รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 23 7. กาหนดให้ 0     และ 0   โดยที่ sin = 0.1045 และ cos = 0.8090 2 2 จงหาคา่ ของข้อต่อไปน้ี 7.1 sin( − ) 7.2 sin( −  ) 7.3 cos( −  ) 7.4 sin(2 + ) 7.5 cos(3 +  ) 7.6 sin(3 − ) 7.7 sin(5 + ) 7.8 cos(5 +  ) 7.9 sin(5 − ) 7.10 cos(5 −) 8. จงหาผลลัพธใ์ นแตล่ ะข้อต่อไปน้ี 8.2 cos80 + cos100 8.1 sin40 − sin140 8.3 cos3 20 + cos3 40 + cos3 60 + ... + cos3 160 รายวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 24 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 25 อยา่ งไรก็ตามโจทย์มักจะนากราฟมาดดั แปลง โดยอาจมีตัวเลขอ่ืน บวกเพ่มิ หรือคณู เข้าไป วธิ วี าดกราฟ แบบดัดแปลงนั้น ให้เราแทนคา่ หาจดุ ท่กี ราฟผ่านหลายๆจุด เม่ือได้แนวโนม้ ของกราฟแลว้ จึงวาดกราฟโดยอิงกับ กราฟพืน้ ฐานทง้ั 6 แบบ จะเหน็ วา่ กราฟ y = sin x และ y = cos x จะมคี า่ y ถูกจากัดในชว่ งแคบๆ ต่างจากกราฟอื่นท่ีคา่ y จะ มากหรือน้อยขนาดไหนกไ็ ด้ ดังนน้ั โจทย์ของกราฟ y = sin x และ y = cos x มักจะให้เราหา y ทีม่ ากสดุ หรือ นอ้ ยสดุ ซง่ึ จะมีหลกั ดงั น้ี sin จะมากท่สี ุด เท่ากับ 1 เม่อื  = 2n +  2 จะน้อยที่สุด เท่ากับ -1 เม่อื  = 2n + 3 2 cos จะมากท่ีสุด เทา่ กบั 1 เมื่อ  = 2n จะน้อยทส่ี ุด เทา่ กับ -1 เม่ือ  = (2n + 1) หมายเหตุ คลื่นในวิชาฟิสิกส์จะมลี กั ษณะเปน็ กราฟ y = sin x และ y = cos x มกั นิยมใช้ t เป็นตัวแปรแทน x ตวั อยา่ ง กาหนดให้ 0  t  2 และ y = 2 sin(2t +  ) จงหาค่าตา่ สดุ ของ y พร้อมทง้ั หาค่า t ที่ทาให้ y 2 มคี ่าต่าสุด คาทีม่ ักจะเจอในกราฟ sin และ cos อีกคาคือคาวา่ “แอมพลจิ ูด” ซ่ึงหาได้จาก ymax− ymin 2 หรือสามารถหาไดจ้ ากสมการพนื้ ฐาน ดงั น้ี รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 26 “คาบ” คอื ระยะทางแกน X ที่กราฟเรม่ิ ซ้ารปู เดิม เช่น y = −5sin( − 2x) แอมพลจิ ูด = −5 = 5 คาบ = 2 = −2 y = 0.08 cos(30 x +  ) แอมพลิจดู = 0.08 = 0.08 4 2 1 คาบ = 30 = 15 y = − tan(−x +  ) คาบ =  = −1 y = − sec( − x ) คาบ = 2 = 4 2 − 1 2 แบบกึ หัด 6.1 1. จงหาแอมพลจิ ดู ของกราฟต่อไปน้ี 1.2 y = − cos(  − x) 1.1 y = sin(x +  ) 2 1.3 2y = 0.1sin(2x) 1.4 4y = −3cos(2 x + 30 ) รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานิเวศน์

2. จงหาคาบของกราฟต่อไปนี้ ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 27 2.2 y = −2cos(−x) 2.1 y = sin( x +  ) 2 2.3 y = 3tan(2x) 2.4 y = 0.008sec(2 t − 20 ) 2.5 4y = 5cosec(3 − 3x) 2.6 2y = −cot(600 x + 60 ) 3. กาหนดให้ 0  x  2 และ y = 5 sin(2 x +  ) จงหาค่าต่าสุดของ y พร้อมทงั้ หาคา่ x ท่ีทาให้ y 2 มีคา่ ต่าสุด รายวิชาคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 28 ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ขิ องผลบวกหรือผลตา่ งของจานวนจริงหรอื มุม ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาคา่ ของ cos 15 ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาค่าของ cos  12  cos(   cos 15 = cos(45 − 30) cos 12 = 3 − 4 ) = cos45 cos30 + sin45 sin30 = cos  cos  + sin  sin  3 4 3 4 = 2  3 + 2  1 = 1  2 + 3  2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 6+ 2 = 2+ 6 4 4 หมายเหตุ ให้นกั เรยี นสังเกตโจทย์และวธิ ีการแกป้ ัญหาของตัวอย่างที่ 1 และ 2 ว่ามอี ะไรเหมือนหรือแตกตา่ งกัน อยา่ งไร ฝึกทา จงหาคา่ ของ sin 75 ฝึกทา จงหาคา่ ของ cos( +  ) รายวิชาคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 29 ฝกึ ทา จงหาคา่ ของ sin15 ฝกึ ทา จงหาคา่ ของ cos 75 ฝึกทา จงหาค่าของ cos 7 12 ฝกึ ทา จงหาค่าของ tan15 ฝกึ ทา จงหาค่าของ cot 7 12 ฝึกทา กาหนดให้   A   และ   B   ถา้ sin A = 3 และ cos B = − 5 2 2 5 13 แล้วจงหา cos(A + B) รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรียนมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 30 ฝกึ ทา จงหาค่าของ cos15 + 3 sin15 ฝึกทา ถ้า  เป็นจานวนจริงใด ๆ จงพสิ จู นว์ ่า 1. cos(  − ) = sin 2. sin(2 − ) = cos 2 จงพิสจู น์ sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B (เสนอแนะ ให้ใช้ cos( − ) = sin และ sin( − ) = cos ชว่ ยในการพสิ จู น)์ 2 2 จงพสิ ูจน์ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 31 จงพสิ ูจน์ tan(A − B) = tanA − tanB 1 + tanA  tanB จงพสิ ูจน์ tan(A + B) = tanA + tanB 1 − tanA  tanB แบบฝึกหัดท่ี 7 1.2 cos (−75 ) 1. จงคานวณหาค่าของข้อต่อไปน้ี 1.1 sin (−75 ) 1.3 tan(−75 ) 1.4 sin 195 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานิเวศน์

1.5 cos 195 ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 32 1.7 sin165 1.6 tan195 1.8 cos165 1.9 tan165 1.10 sin (−  ) 12 1.11 cos ( − 5 ) 1.12 tan ( − 7 ) 12 12 2. กาหนดให้ tan A = 3 และ cot B = 3 จงหาคา่ ของ 4 2 2.1 tan(A + B) 2.2 tan(A - B) 2.3 cot(A + B) 2.4 cot(A - B) รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนมัธยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 33 3. ในโจทย์ข้อต่อไปน้ี จงหาคา่ โดยไมต่ ้องใช้ตารางค่าฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ 3.1 sin35 cos10 + cos35 sin10 3.2 sin110 cos20 − cos110 sin20 3.3 cos160 cos20 − sin160 sin20 3.4 cos40 cos10 + sin40 sin10 3.5 tan20 + tan25 1 − tan20 tan25 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 34 3.6 tan220 − tan40 1 + tan220 tan40 3.7 sin(60 +  )cos(30 +  ) − cos(60 +  )sin(30 − ) 3.8 cos(  +  )cos(6 −) − sin(6 +  ) sin(  −) 6 6 3.9 2 cos15 − 2 sin15 2 2 3.10 sin15 + cos15 รายวิชาคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 35 3.11 3 cos75 + sin75 3.12 sin36 tan18 + cos36 3.13 tan10 + tan35 + tan10 tan35 3.14 (1 + tan95 )(1 + tan130 ) 3.15 (tan32 − 1)(tan77 + 1) 3.16 (1 − cot22 )(1 − cot23 ) รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 36 4. กาหนด A และ B เป็นมุมในควอดรนั ต์ท่ี 1 ซง่ึ sin A = 4 และ cos B = 5 จงหาคา่ ของ 5 13 4.1 sin(A + B) 4.2 sin(A - B) 4.3 cos(A + B) 4.4 cos(A - B) 4.5 tan(A + B) 4.6 tan(A - B) 5. กาหนดให้ A และ B เป็นมุมในควอดรันต์ท่ี 1 และ 2 ตามลาดับ ซงึ่ tan A = 4 , cos B = − 12 3 13 จงหาค่าของ 5.1 sin (A + B) 5.2 tan(A + B) 5.3 มมุ A + B เป็นมุมในควอดรนั ต์ท่เี ท่าใด 6. ถ้า cos(A + B) = 4 และ sin B = 1 เม่ือ 0 < B <  และ 0 < A <  แลว้ จงหาค่าของ sin A 3 4 2 2 รายวิชาคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 37 7. จงหาค่าของ tan15 + tan 30 + tan15 tan30 8. จงหาค่าของ cos10 + sin40 sin70 9. จงพสิ จู น์ว่า sin(6 +  ) + cos(3 +  ) = cos แบบฝึกหัด 7.1 1. ถา้ A และ B เป็นมุมแหลม และ cos A = 4 และ tan B = 8 จงหาค่าของ cos(A+B) และ sin(A+B) 5 15 พร้อมทัง้ บอกด้วยวา่ A+B เปน็ มมุ ในควอดรันตใ์ ด รายวชิ าคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 38 2. ถ้า A และ B เปน็ มุมในควอดรนั ตท์ ่ี 2 และที่ 3 ตามลาดบั โดยที่ tan A = − 7 และ cot B = 3 24 4 จงหาคา่ ของ sin (A+B) , cos(A+B) , tan(A+B) , sin(A-B) , cos(A-B) , tan(A-B) 3. ถา้  และ  เป็นมมุ ในควอดรันต์ที่ 2 โดยที่ tan = − 4 และ cos ec = 13 3 12 จงหาคา่ ของ cos( +  ) , sin ( +  ) และ tan ( -  ) 4. จงหาค่าของ tan75 − tan30 − tan75  tan30 5. จงหาคา่ ของ sin(3 −  )cos(6 +  ) + cos(3 −  )sin(  +) 6 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรียนมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 39 6. จงหาคา่ ของ cos( A + B)cosB + sin(A + B) sinB cos A cos A 7. ถา้ cos(A + B) = 3 , cos(A − B) = 5 จงหาคา่ ของ cos A cos B 4 6 8. จงพสิ ูจน์ cos( 3 + A) = sin A 8.1 2 8.2 sin( A +  ) − cos( A −  ) =0 3 6 8.3 cos (A + B) cos(A - B) = cos2A – sin2B 8.4 sin(A + B) + sin(A – B) = 2sinA cos B รายวิชาคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 40 9. กาหนดให้ A , B และ C เป็นมมุ ของรปู สามเหลีย่ มรปู หนงึ่ จงพสิ จู น์วา่ tan A + tan B + tan C = tan A  tan B  tan C โคฟังก์ชัน (Co-Function) เอกลักษณ์ของโคฟงั ก์ชนั ฟงั ก์ชันตรโี กณมิตทิ ้ังหกฟังกช์ ัน จะมีการจับคู่กันเป็นคู่ ๆ ไดแ้ ก่ ฟังก์ชันไซน์ คู่กบั ฟังกช์ นั โคไซน์ (sin คู่กบั cos) ฟังก์ชันแทนเจน์ ค่กู บั ฟังกช์ ัน โคแทนเจนต์ (tan คูก่ ับ cot) ฟังก์ชันเซแคนต์ คู่กบั ฟังกช์ นั โคเซแคนต์ (sec คู่กบั cosec) ฟงั ก์ชันในแตล่ ะคู่เรียกว่า โคฟงั ก์ชัน ของกนั และกนั ถา้ มมุ สองมุมรวมกนั ได้ 90 แล้ว “Co – Function” จะเท่ากัน cos เป็นโคฟงั ก์ชนั ของ sin คอื cos (A) = sin (90 - A) cot เปน็ โคฟังก์ชันของ tan คือ cot (A) = tan (90 - A) cosec เปน็ โคฟังก์ชนั ของ sec คอื cosec (A) = sec (90 - A) เช่น sin18 = cos72 cos30 = sin60 tan45 = cot45 cot 65 = tan25 sec20 = cosec70 cosec50 = sec30 ฝึกทา จงพิสจู น์เอกลกั ษณ์ของ   −  2 1. sin(2 − ) = cos  2. cos( 2 − ) = sin 3. tan(2 − ) = cot 4. cot(  −) = tan 2 รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรียนมัธยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 41 5. sec(2 − ) = cosec 6. cos ec(  − ) = sec 2 ฝกึ ทา จงหาค่าของ cot10 tan50 − cot10 tan40 ฝึกทา กาหนดให้ sin35 = 0.5736 , cos35 = 0.8192 จงหาค่าของข้อต่อไปน้ี 1. sin235 2. cos(−235 ) 3. tan595 4. cot(−595 ) ฝึกทา จงหาค่าของ cot230 + tan20 1 + cot130  cot70 รายวิชาคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 42 ฝึกทา จงหาค่าของ sin280  cosec80 + cos320  sec140 + tan290  cot250 แบบฝกึ หัดท่ี 8 1. จงหาคา่ ของข้อต่อไปนี้ 1.1 tan1  tan2  tan3  ...  tan89 1.2 cos68 cos38 + cos22 cos52 1.3 sin35 sin100 + sin10 sin125 1.4 tan220 + cot130 1 + cot50  tan40 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 43 2. จงหาคา่ ของข้อตอ่ ไปน้ี 2.1 3 cos255 − cos15 2.2 2sin105 − 2sin15 2.3 −5cos105 + 5cos165 2.4 sin  − 3 sin 5 12 12 รายวิชาคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 44 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ขิ องสองเทา่ ของจานวนจริงหรอื มุม 1. ถา้ A เป็นจานวนจริงหรอื มุมใด ๆ แลว้ sin 2A = 2 sin A cos A พสิ ูจน์ 2. ถา้ A เปน็ จานวนจริงหรอื มุมใด ๆ แล้ว 2.1 cos 2A = cos2A – sin2A 2.2 cos 2A = 1 – 2sin2A 2.3 cos 2A = 2cos2A – 1 พสิ จู น์ 3. ถ้า A เป็นจานวนจรงิ หรอื มมุ ใด ๆ แล้ว ซึ่งหาค่า tan A และ tan 2A ได้ แล้ว tan 2 A = 1 2 tanA A − tan2 พสิ ูจน์ รายวิชาคณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 45 4. ถา้ A เปน็ จานวนจรงิ หรอื มุมใด ๆ แล้ว ซึ่งหาค่า cot A และ cot 2A ได้ แล้ว cot 2A = cot2 A − 1 2cot A พิสูจน์ ตวั อย่าง จงหาค่าของ sin 2A , cos 2A และ tan 2A เมือ่ กาหนดให้ A เป็นมมุ ในควอดรันต์ท่ี 1 และ sin A = 4 5 ตัวอย่าง จงหาค่าของ sin 2A , cos 2A และ tan 2A เมอ่ื กาหนดให้ tan A = − 3 4 และ −   0 2 ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ 2. cos105 1. sin15 3. tan75 4. tan105 ตัวอย่าง กาหนดให้ tan10 = a จงหาค่าของ tan178 − tan108 1 + tan178  tan108 รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมัธยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 46 ตวั อยา่ ง ถ้า A + B + C = 180 แลว้ จงพสิ จู น์ว่า sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A sin B sin C ตัวอย่าง กาหนด tanA = 3 จงหา sin2A 4 แบบฝึกหดั ที่ 9 1. จงหาคา่ ของ sin2 , cos2 , tan2 เม่อื มีเง่ือนไขดังตอ่ ไปนี้ 1.1 cos ec = 5 เมื่อ  เป็นมุมในควอดรนั ตท์ ี่ 1 4 1.2 sin = − 3 เมอื่     3 5 2 รายวชิ าคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 47 1.3 sec = −3 เม่อื 180    270 1.4 tan  = 1 เมอ่ื −180    −90 1.5 cos = − 1 เมอ่ื     3 2 2 2. กาหนด 3   2 และ cos A = 3 จงหาค่าของ 2 5 2.1 sinA 2.2 sin2A 2.3 cos2A 2.4 sin 4A รายวชิ าคณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานเิ วศน์

ฟั ง ก์ ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ | 48 3. จงใชส้ ตู รมมุ สองเทา่ เพ่ือหาค่าในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 3.1 2sin15 cos15 3.2 cos22.5 sin22.5 3.3 sin15 sin 75 3.4 sin1  sin88 sin89 sin4 3.5 (sin15 + cos15 )2 3.6 cosec10 − 3 sec10 3.7 cos 22.5 − sin22.5 3.8 2sin18 cos36 sin22.5 cos 22.5 4. กาหนดให้ tan A = 2 จงใช้มุมสองเท่าเพ่ือหาคา่ ของ 4.1 sin 2A 4.2 cos 2A 4.3 tan 2A 4.4 cot 2A ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติของสามเท่าของจานวนจรงิ หรอื มุม รายวิชาคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 5 โรงเรยี นมธั ยมประชานิเวศน์