cara-jitu-menguasai-olimpiade-matematika-smp

CARA JITU MENGUASAI OLIMPIADE MATEMATIKA UNTUK SMP z 0 x y Bimmo Dwi Baskoro, S.Si. Jakarta, 26 Maret 2012

KATA PENGANTAR Buku ini dirancang untuk melengkapi siswa-siswi SMP dengan penalaran konsep dasar serta kemahiran dalam menyelesaikan soal-soal olimpiade matematika yang sifatnya tidak rutin. Perlu disadari bahwa tidak semua materi soal yang muncul pada kompetisi sekelas Olimpiade Matematika tercakup dalam kurikulum regular SMP. Oleh karena itu diperlukan upaya lebih besar dalam mengenalkan soal Olimpiade Matematika dengan berbagai solusi yang sifatnya dapat merangsang siswa untuk berfikir secara kreatif. Buku ini diharapkan dapat dipelajari untuk digunakan sebagai alat bantu dalam menghadapi kompetisi matematika khususnya olimpiade matematika. Rincian pembahasan dalam buku ini terdiri atas soal olimpiade tingkat Kabupaten / Kota, Provinsi dan Nasional, serta lampiran Canadian Mathematics Olympiad. Penulis sengaja memisahkannya supaya siswa dapat dengan mudah mempelajari buku ini secara bertahap. Kemudian setelah siswa dibekali taktik dan strategi pemecahan masalah, penulis sertakan pula latihan soal tanpa pembahasan di akhir bab untuk mengevaluasi pemahaman siswa. Sasaran yang ingin dicapai setelah siswa mempelajari buku ini dengan baik adalah,  Memperoleh pengetahuan dasar dan pola pikir bermatematika;  Memperoleh daya nalar dan kreatifitas yang tinggi setelah diberikan taktik dan strategi dalam pemecahan soal olimpiade matematika;  Dapat dengan mudah menerjemahkan suatu kasus ke dalam bahasa matematika;  Siswa mendapatkan prestasi yang tinggi dalam kompetisi matematika khusususnya dalam olimpiade matematika. Penulis menyadari bahwa dengan segala keterbatasan dan kompleksitas dalam pengerjaan buku ini, tentu saja masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu masukan dari pembaca sangat penulis hargai dan penulis tunggu di [email protected]. Dengan segala kelebihan dan kekurangannya, penulis berharap semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca. Jakarta, April 2015 Penulis .

DAFTAR ISI Kata Pengantar ………………………………............................................................................................. i Daftar Isi ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ii BAGIAN I TINGKAT KABUPATEN / KOTA ……….……………………………………………………………………........... 1 Petunjuk ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 1 Soal Pembahasan I …………………………………………………………………………………………………..……………………. 2 Soal Pembahasan II ………………………………………………………………………..……………………………………………… 22 Latihan I ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 37 Latihan II ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 43 BAGIAN II OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI/NASIONAL ……………………………………………………………………. 48 Petunjuk tahap I …………………………………………………………………………………………………………………………….. 48 Soal Pembahasan Tahap I ………………………………………………………………………………………………………………. 49 Petunjuk tahap II …………………………………………………………………………………………………………………………… 73 Soal Pembahasan Tahap II ……………………………………………………………………………………………………………… 74 Latihan Tahap I ………………………………………………………………………………………………………………………………. 86 Latihan Tahap II …………………………………………………………………………………………………………………………….. 90 BAGIAN III TINGKAT NASIONAL.. ……………..……………. ..…………………………………………………………………… 93 Soal Pembahasan …………………………………………………………………………………………………………………………. 93 Latihan …………………………………………………………………………………………………………………………………………. 105 BAGIAN IV LAMPIRAN CANADIAN MATHEMATICAL OLIMPIADE ……………………………………………………. 106 Fryer Contest ……………………………………………………………………………………………………………………………….. 106 Pascal Contest ………………………………………………………………………………………………………………………………. ? Daftar pustaka ………………………………………………………………………………………………………………………………. ?

BAGIAN I TINGKAT KABUPATEN / KOTA OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN / KOTA DIREKTORAT PENDIDIKAN LANJUTAN PERTAMA DIREKTORAT JENDRAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL BIDANG STUDI: MATEMATIKA PETUNJUK 1. Ada 2 jenis soal yang perlu anda jawab di dalam lomba ini, yaitu soal pilihan ganda dan soal isian singkat 2. Untuk soal pilihan ganda (bobot 1) a. Pilihlah jawaban yang paling benar dari pilihan yang tersedia. b. Berdasarkan pilihan tersebut, silanglah huruf yang bersesuaian padan lembar jawaban. c. Jika anda mengubah jawaban yang sudah terlanjur anda lakukan, lingkari tanda silang yang salah dan silanglah jawaban yang seharusnya. 3. Untuk soal isian singkat (bobot 2) a. Isilah pada lembar yang disediakan jawabannya saja (tidak perlu prosesnya). b. Kalau memerlukan satuan ukuran, berikan pula satuan ukurannya. 4. Waktu yang disediakan untuk menjawab semua soal ini adalah 2 jam (2 × 60 menit) tanpa istirahat.

SOAL PEMBAHASAN I DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL OLIMPIADE MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN / KOTA SOAL PILIHAN GANDA 1. Berapa digit terakhir dari (2002)2002? a. 4 b. 2 c. 8 d. 0 e. 1 2. Suatu pentagon mempunyai sudut-sudut yang sama. Pentagon seperti pada gambar dikelilingi oleh lima persegi dan lima segitiga. Berapakah besar sudut x pada pentagon seperti yang diperlihatkan pada gambar? x a. 75o b. 108o c. 90o d. 720 e. 750 3. Jika a, b, dan c adalah tiga biilangan bulat positif berbeda yang memenuhi abc = 16, berapakah nilai terbesar yang mungkin dari ab – bc + ca? a. 253 b. 63 c. 249 d. 263 e. 200

4. Seseorang pengendara mobil dalam suatu perjalanan, mempunyai catatan jarak (km) dan waktu (jam) yang ditempuh sebagai berikut. Waktu 07.30 08.00 08.30 09.00 09.30 10.00 Jarak 0 60 100 100 150 200 Berapakah kecepatan rata-rata mobil tersebut? a. 40 km/jam b. 60 km/jam c. 80 km/jam d. 35 km/jam e. 30 km/jam 5. Jika diberikan suatu barisan bilangan 3, 5, 9, 15, 23, …, berapakah suku ke-16? a. 212 b. 243 c. 214 d. 178 e. 170 6. Dua puluh empat anak dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 90 jam. Setelah mereka bekerja selama 46 jam, mereka istirahat selama 12 jam. Jika pekerjaan tersebut harus selesai pada waktunya, berapa banyak anak harus ditambah? a. 6 b. 9 c. 11 d. 5 e. 7 7. Jika X = {a, b, c} dan Y = {1,2} maka himpunan pasangan berurutan dari X × Y adalah … a. {(2, a), (2, b), (2, c), (a, 1), (b, 1), (c, 1)} b. {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (1, a), (1, b), (1, c)} c. {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} d. {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} e. {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 1), (c, 2), (c, 3)}

8. Perhatikan gambar roda seperti pada gambar. Panjang jari-jari roda 22 cm dan tebal roda 6 cm. Apabila roda tersebut menggelinding lurus 7 kali putaran dan π = 22 , berapakah panjang lintasan roda tersebut? 7 22 cm a. 968 cm b. 1.137 cm c. 1.232 cm d. 924 cm e. 824 cm 9. Berapakah luas daerah yang diarsir pada gambar? 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm a. 15  3  cm2 22 b. 17  3  cm2 24 c. 9  3  cm2 24 d. 7  3  cm2 24 e. 7 cm2 2 10. Empat bilangan pertama dari barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, … Berapakah bilangan segitiga ke-10? a. 55

b. 45 c. 66 d. 78 e. 70 ISIAN SINGKAT 1. Misalkan titik A terletak pada garis L yaitu y = 5x + 3. Koordinat titik B adalah (3,-2). Jika T adalah titik tengah dari AB sehingga AB tegak lurus dengan garis L, tentukan persamaan garis yang sejajar L dan melalui titik T! 2. Suatu angkutan kota mempunyai aturan pembayaran sebagai berikut. Pada saat naik setiap penumpang harus membayar Rp. 600, setelah 4 km pertama harus membayar Rp. 1.400, dan setiap menempuh 2 km berikutnya harus membayar Rp. 150 dan membayar Rp 100 setelah 1 km. Budi menaiki angkutan kota tersebut sejauh 21 km, berapakah Budi minimal harus membayar jasa angkutan kota tersebut? 3. Lingkaran dengan pusat A berjari-jari 3 dan lingkaran dengan pusat B berjari-jari 1 seperti pada gambar. Berapakah jarak dari O ke D? y D L A B O x C 4. Perhatikan gambar di bawah ini! Segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC dan BC = 30 cm. Persegi EFGH mempunyai panjang sisi 12 cm. Berapakah luas segitiga AEF?

A EF BG HC 5. Jika gambar di bawah ini menunjukan lipatan untuk membuat kubus, huruf apakah yang berhadapan dengan huruf G? K I JS GH 6. Dalam bujur sangkar ajaib seperti pada gambar, jumlah angka pada setiap baris, kolom dan diagonal adalah sama. Berapakah jumlah tiga angka dari sembarang barisnya? 2x 3 2 -3 0x 7. Jika panjang sisi persegi ABCD 1 cm, berapakah luas bangun yang diarsir? DC AB

8. Jika x dan y dua bilangan positif dan rata-rata dari 4, 20, dan x adalah sama dengan rata-rata dari y dan 16. Berapakah rasio dari x dan y? 9. Jika -2 ≤ x ≤ 5, -3 ≤ y ≤ 5, 4 ≤ z ≤ 8 dan w = xy – z, berpakah nilai terkecil dari w yang memenuhi? 10. Suatu daerah dibatasi oleh persamaan y = 2x + 2, y = 1 x + 1 dan y =  3 x + 7. 24 Berapakah nilai maksimum y pada daerah tersebut? PEMBAHASAN PILIHAN GANDA 1. Perhatikan bahwa digit terakhir dari 20022002 sama dengan digit terakhir dari 22002 . Kemudian perhatikan bilangan 2n di mana n adalah bilangan asli. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 Ternyata sifat dari digit terakhir pada bilangan 2n berulang dengan periode 4. Artinya digit terakhir pada 25 sama dengan digit terakhir pada 21 , digit terakhir pada 26 sama dengan digit terakhir pada 22 , begitulah seterusnya. Dengan demikian kita dapat merumuskan bahwa Digit terakhir dari 2( 4k + 1 ) adalah 2, Digit terakhir dari 2( 4k + 2 ) adalah 4, Digit terakhir dari 2( 4k + 3 ) adalah 8 dan Digit terakhir dari 2( 4k + 4 ) adalah 6. Dimana 4k adalah kelipatan 4 untuk k = 0, 1, 2, 3, … Kemudian karena digit terakhir dari 2002n sama dengan digit teraklhir dari 2n maka dapat disimpulkan bahwa Digit terakhir dari 2002( 4k + 1 ) adalah 2 Digit terakhir dari 2002( 4k + 2 ) adalah 4 Digit terakhir dari 2002( 4k + 3 ) adalah 8 dan Digit terakhir dari 2002( 4k + 4 ) adalah 6 Akan dicari digit terakhir dari 20022002. 20022002 = 2002( 4 × 500 + 2 )

= 2002( 4k + 2 ). Jadi, digit terakhir dari 20022002 adalah 4 Jawaban (a) 2. Pandang segi 5 beraturan pada bangun di bawah ini! DE X B C AO Kita bagi bangun segi 5 di atas menjadi, 5 buah segitiga yang sama, masing- masing seperti segitiga AOB. Karena kelima segitiga tersebut sama, maka  AOB =  BOC  3600 5  720 Perhatikan bahwa segitiga AOB adalah segitiga sama kaki dimana AO = BO. Akibatnya  ABO =  BAO 1800  720 = 2 1080 = 2 = 540 Oleh karena itu  OBC = 540.  ABO +  OBC +  ABD +  CBE +  X = 3600  540 + 540 + 900 + 900 +  X = 3600  2880 +  X = 3600   X = 3600 - 2880 = 720 Jawaban (d) 3. Jika abc = 16 dan a, b dan c adalah bilangan bulat positif (bilangan asli) yang berbeda, maka a, b dan c masing-masing haruslah merupakan faktor positif yang berbeda dari 16. Jadi, bilangan-bilangan yang dipebolehkan untuk a, b dan c adalah faktor positif dari 16 yaitu 1, 2, 4, 8 dan 16. Tabel berikut adalah daftar semua kemungkinan a, b dan c yang berbeda sehingga abc = 16.

(a) (b) (c) ( ab ) ( bc ) ( ca ) ( ab - bc + ca ) 128 1 256 8 -247 182 1 2 -61 218 2 64 64 65 281 256 1 1 249 812 8 8 256 263 821 64 1 1 63 2 Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari ab - bc + ca adalah 263 Jawaban (d) 4. Kecepatan rata- rata = Jarak tempuh total Waktu total = 200 km 2,5 jam = 80 km/jam Jawaban (c) 5. Sebelum membahas soal, akan dipelajari terlebih dahulu Barisan Aritmatika. Barisan Aritmatika adalah suatu barisan yang mempunyai sifat (Suku ke-2) – (Suku ke-1) = (Suku ke-3) – (Suku ke2) = … = (Suku ke-n) – (Suku ke-(n-1)). (Suku ke-n) – (Suku ke-(n-1)) biasa disebut dengan b (beda). Jika banyaknya suku ada n buah, maka Barisan Aritmatika dapat disajikan sebagai U1 , (U1 + b) , (U1 + 2b) , … , (U1 + (n - 1)b). Jika setiap suku pada barisan aritmatika dijumlahkan, maka akan membentuk deret aritmatika dan jumlah n suku pertamanya disebut Sn. Misalkan Sn adalah jumlah n suku pertama dan Un adalah suku ke-n. Secara umum, bentuk deret aritmatika adalah Sn = U1 + U2 + … + U(n - 1) + Un Karena selisih setiap 2 suku yang berurutan sama dan kita nyatakan selisihnya itu sebagai b atau beda, maka U2 = U1 + b U3 = U2 + b = (U1 + b) + b = U1 + 2b U4 = U3 + b = (U1 + 2b) + b = U1 + 3b Dengan melihat keteraturan di atas, kita bisa merumuskan nilai Un. Un = U1` + (n - 1)b Perhatikan kembali deret Sn = U1 + U2 + … + U( n – 1 ) + Un = U1 + (U1 + b) + … + (U1 + (n-2)b) + (U1 + (n-1)b)

Tugas kita sekarang adalah menjumlahkan setiap 2 suku dengan aturan sebagai berikut Suku ke-1 dijumlahkan dengan suku ke-n, suku ke-2 dijumlahkan dengan suku ke-(n -1), suku ke-3 dijumlahkan dengan suku ke-(n -2) dan seterusnya. Sn = (U1 + Un) + (U2 + U( n – 1 )) + … Perhatikan bahwa banyaknya suku sekarang menjadi, setengah dari banyaknya suku sebelumnya. Selain itu, nilai dari setiap suku sekarang menjadi, sama yaitu sama dengan U1 + Un. Sehingga Sn = n (U1 + Un) 2 Sekarang kita bahas soal no. 4. Perhatikan barisan berikut ini! 3 5 9 15 23 ... 2468 22 2 Barisan di atas bukan barisan aritmatika karena bedanya tidak konstan (tetap). Namun coba perhatikan bahwa jarak antar bedanya konstan yaitu 2. U1 = 3 U2 = U1 + 2 = U1 + 1.2 U3 = U2 + 4 = U1 + 2 + 4 =U1 + 1.2 + 2.2 U4 = U3 + 6 = U1 + 1.2 + 2.2 + 3.2 Un = U1 + 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n - 1).2 = 3 + [ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n - 1).2 ] [ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n - 1).2 ] merupakan deret aritmatika dengan beda 2 dan banyak sukunya (n - 1) buah. [ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n - 1).2 ] = [2 + 4 + 6 + … + (n - 1). 2] = n -1 2 + n -1 2 2 = n -1 2n 2 = n (n - 1) Jadi, Un = 3 + n(n - 1) = n2 – n + 3 Sehingga U16 = 162 – 16 + 3 = 243

Solusi alternatif Jika beda pertamanya tidak konstan sedangkan beda ke-2 nya konstan, dengan menggunakan formula di atas, sudah bisa dipastikan bahwa rumus ke-n nya (Un) merupakan polinom (suku banyak ) berderajat 2. Jadi, kita bisa mencari solusi alternatif sebagai berikut Un = an2 + bn + c U1 = a + b + c = 3 … (1) U2 = 4a + 2b + c = 5 … (2) U3 = 9a + 3b + c = 9 … (3) Dari (1) dan (2) diperoleh 4a + 2b + c = 5 a+ b+ c=3 ------------------- -- 3a + b = 2 … (4) Dari (1) dan (3) diperoleh 9a + 3b + c = 9 a+ b+ c=3 ------------------- -- 8a + 2b = 6 atau 4a + b = 3 … (5) Dari (4) dan (5) diperoleh 4a + b = 3 3a + b = 2 ------------ -- a =1 Dari persamaan (4) diperoleh b = 2 – 3a =2–3 =-1 Dari persamaan (1) diproleh 3=3–a–b =3–1+1 =3 Jadi, Un = n2 – n + 3 Catatan :

Dengan cara yang sama kita bisa mencari formula Un pada barisan yang mempunyai beda konstannya pada beda ke-3 (beda pertama dan keduanya tidak konstan). Barisan yang seperti itu mempunyai formula Un = an3 + bn2 + cn + d Jadi, untuk mengetahui nilai a, b ,c dan d setidaknya perlu diketahui 4 persamaan berbeda. Jawaban (b) 6. Perhatikan tabel di bawah ini! (No) (Jumlah Anak) (Waktu (Jam)) 1 24 90 2 48 45 3 12 180 Apabila kita cermati, ternyata semakin banyak jumlah anak akan semakin sedikit waktu yang diperlukan begitupun sebaliknya. Hal ini biasa disebut sebagai perbandingan berbalik nilai. Sehingga kita bisa menuliskan hubungan tabel No. 1 dan 2 sebagai berikut 48 : 1  24 : 1  48  24 45 90 1 1 45 90  48  24 11 45 90  48  24 90 45 Bentuk terakhir adalah suatu pernyataan yang benar. Kembali ke permasalahan pada soal, ke 24 anak menginginkan pekerjaan selesai tepat waktu yaitu 90 jam (termasuk waktu istirahat selama 12 jam). Karena mereka telah bekerja selama 46 jam, maka sisa waktu menyelesaikan tepat waktu adalah (90 - 46) jam = 44 jam, dengan catatan mereka tidak beristirahat. Karena mereka beristirahat selama 12 jam, akibatnya sisa waktu menjadi, (44 - 12) jam = 32 jam, oleh karena itu harus ditambah jumlah anak. Misalkan x adalah banyaknya anak yang ditambahkan, maka tabelnya sebagai berikut. (Jumlah anak) (Waktu (jam)) 24 44 (24 + x) 32

Menurut aturan perbandingan berbalik nilai, diperoleh 24 = 24 + x  24 = 24 + x 1 1 32 44 44 32  3 = 24 + x 4 44  24 + x = 33 x=9 Jadi, jumlah anak yang harus ditambahkan adalah 9 orang. Jawaban (b) 7. Himpunan pasangan terurut dari X × Y adalah himpunan semua (x, y) di mana x  X dan y  Y. Jadi, jika X = { a, b, c} dan Y = {1, 2} maka himpunan pasangan terurut dari X × Y adalah {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} Jawaban (d) 8. Karena mempunyai ketebalan 6 cm, maka jari-jari total roda adalah (22 + 6) cm = 28 cm. Jika roda menggelinding 7 kali putaran artinya roda tersebut menempuh jarak sejauh 7 kali keliling roda. Misalkan K adalah keliling total roda, maka 7K = 7( 2  r ) = 7 (2)( 22 )(28) 7 = 1.232 Jawaban (c) 9. Perhatikan gambar berikut ini! C D 1 cm I 1 cm 1 cm II 1 cm A 1 cm 1 cm B 1 cm Luas daerah yang diarsir = (Luas persegi ABCD) – (3 × Luas bangun I ) – (Luas

Bangun II) = [32 – 3( 1 12 ) - 1 (1)(3) ] cm2 42 = [9 - 3  - 3 ] cm2 42 = [ 15  3  ] cm2 24 Jawaban (a) 10. Pandang barisan segitiga pada soal sebagai barisan bilangan yang setiap sukunya merupakan jumlah titik pada bilangan segitiga tersebut. Seperti pada soal No. 5, barisan 1, 3, 6, 10, … mempunyai beda yang tidak konstan, masing-masing yaitu 2, 3, 4, …, tetapi jarak antar bedanya tetap yaitu 1. U1 = 1 U2 = U1 + 2 = 1 + 2 U3 = U2 + 3 = 1 + 2 + 3 U4 = U3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 Un = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n Bentuk terakhir di atas merupakan deret aritmatika dengan beda b = 1 Un = n 1+ n 2 Jadi, U10 = 10 110 2 = 5(11) = 55 Soal ini bisa juga diselesaikan dengan solusi alternatif seperti pada soal No. 4 pilihan ganda. Jawaban (a) ISIAN SINGKAT 1. Perhatikan gambar di bawah ini!

y Garis L 3 y = 5x + 3 -1 Garis M x 0 13 A T DB C -2 Misalkan garis yang sejajar dengan garis L dan melalui titik T itu disebut sebagai garis M. Dari gambar di atas, kita mempunyai segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku- siku di A. Karena T tepat terletak di tegah garis AB dan garis M memotong garis AB di T, maka garis M juga akan memotong garis BC di D dengan BD = CD. Sekarang akan dicari panjang BC. Karena nilai y di B dan di C sama (yaitu y = -2) dan garis y = 5x + 3 (garis L) melalui titik C, Maka -2 = 5x + 3  5x = -5  x = -1 Jadi, BC = 3 – (-1) =4 Akibatnya CD = 1 BC 2 = 1 (4) 2 =2 Jadi, garis M adalah garis L yang digeser sebesar 2 satuan ke kanan yaitu y = 5(x - 2) + 3  y = 5x – 7 2. Berikut adalah rincian pembayaran Budi jika jarak yang ditempuh adalah 21 km.  Pembayaran saat naik = Rp. 600  Pembayaran 4 km pertama = Rp. 1.400  Pembayaran 16 km berikutnya = Rp. 1.200 (yaitu 16 × Rp. 150) 2  Pembayaran 1 km berikutnya = Rp. 100

----------------------------------------------------------- +  Pembayaran 21 km (total) = Rp. 3.300 3. Perhatikan gambar di bawah ini! D I H J A B E OF G C AB = (Jari-jari lingkaran besar) + (Jari-jari lingkaran kecil) =3+1 =4 AE = AF – EF = AF – BG =3–1 =2 BE = AB2 - AE2 = 42  22 = 16  4 = 12 =2 3 Perhatikan bahwa segitiga ABE dan ABH kongruen (semua sudut dan sisi yang bersesuaian sama). Misalkan  ABE =  ABH = Maka sin = AE AB =2 4 =1 2 = sin 300 Jadi,  = 300

Akibatnya  EBH = 2 = 600 Karena CI dan BH sejajar, begitu juga CF dan BA sejajar, maka  GCJ =  EBH = 600 Akibatnya  GCB = 300. Perhatikan juga bahwa segitiga ACF dan ABE sebangun, sehingga berlaku CF = AF  CF = 3 BE AE 2 3 2  CF = 3 3 CO = CF + FO = 3 3 +3 tan 600 = DO  3 = DO CO 3 3 + 3  DO = 3 3  9 . 4. Perhatikan gambar di bawah ini! A EF I B H 12 cm G C 30 cm BH = CG = 30 12 2 = 9 cm Perhatikan bahwa segitiga AFI dan FCG sebangun dimana FI = 1 GH 2 = 6 cm Akibatnya AI = FI  AI = 6cm FG CG 12cm 9cm  AI = 8 cm

Luas segitiga AEF = 1 (EF)(AI) 2 = 1 (12 cm)(8 cm) 2 = 48 cm2 5. Jika J ditetapkan sebagai sisi alas, maka H, I, K dan S adalah sisi-sisi samping sedangkan G adalah sisi atas. Jadi, J adalah sisi yang berhadapan dengan sisi G. 6. Perhatikan gambar di bawah ini! 2x 3 2 -3 0x y Jika baris ke-3 kolom ke-3 diisi dengan y, maka 0+x+y=2–3+y  x=-1 Substitusikan x = -1 pada baris pertama 2x + 3 +2 = - 2 + 3 + 2 =3 Jadi, jumlah angka pada setiap baris, kolom maupun diagonalnya sama dengan 3. Jika kita lengkapi semua kotak pada bujur sangkar ajaib tersebut, akan diperoleh -2 3 2 5 1 -3 0 -1 4 7. Perhatikan gambar berikut ini! D 1 cm C E 1 cm AF B

Bangun ABD = BAC merupakan bangun 1 lingkaran. Misalkan E adalah titik 4 perpotongan busur lingkaran AC dan AC . Karena AB, AE dan BE semuanya jari-jari lingkaran yang sama, maka segitiga ABE sama sisi. Oleh karena itu  BAE =  ABE = 600 Akibatnya  DAE =  CBE = 900 – 600 = 300 Luas bangun yang diarsir = (Luas persegi ABCD) - (Luas 2 × juring ADE ) – (Luas segitiga ABE)  Luas persegi ABCD = 1 cm2  Luas 2 × juring ADE = 2( 30 π(1cm2 ) ) 360 = 1  cm2 6  Luas segitiga ABE = 1 (AB)(EF) 2 = 1 (AB) AE2 - AF2 2 = 1 (1 cm)( 1 1 cm) 24 = 1 3 cm2 4 Luas bangun yang diarsir = (1   3 ) cm2 64 8. 4 + 20 + x = y +16  8 + 40 + 2x = 3y + 48 32  2x + 48 = 3y + 48  2x = 3y x=3 y2  x:y = 3:2 9. Diketahui -2 ≤ x ≤ 5

-3 ≤ y ≤ 5 4≤z≤8 w = xy - z Perhatikan bahwa w bernilai minimum jika xy bernilai minimum dan z bernilai maksimum. Karena x dan y keduanya memiliki nilai positif dan negatif, maka agar xy mencapai nilai paling minimum syaratnya x dan y harus berbeda tanda. Pada saat x = 5 dan y = -3 terJadi, xy paling minimum, yaitu xy = -15. Kemudian karena z harus maksimum maka haruslah z = 8. Jadi, nilai w minimum adalah w = xy – z = 5(-3) – 8 = -23 10. Pertama-tama akan digambar daerah yang dibatasi ketiga persamaan tersebut. y C y = -¾ x + 7 y = 2x +2 B y=½x+1 A O x Untuk mencari nilai maksimum dari daerah ABC, cukup dengan melihat titik dari daerah ABC yang tertinggi. Dari persamaan y = - 3 x + 7 dan persamaan y = 2x + 2 diperoleh 4 - 3 x + 7 = 2x + 2  11 x = 5 44  x = 20 11 Jadi, y = 2x +2  y = 2  20  + 2  11   y = 62 11

Jadi, nilai maksimum dari daerah yang dibatasi oleh ketiga persamaan tersebut adalah 62 . 11

SOAL PEMBAHASAN II DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL OLIMPIADE MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN / KOTA SOAL PILIHAN GANDA 1. 50502  49502  ... a. 10 b. 100 c. 1.000 d. 10.000 e. 100.000 2. Diketahui persegi panjang ABCD berukuran 9 cm × 5 cm. Hanya DGHJ yang bukan merupakan persegi pada persegi panjang ABCD tersebut. Berapa luas daerah DGHJ? D GF C J HI A E B a. 1,5 cm2 b. 2 cm2 c. 3 cm2 d. 3,5 cm2 e. 4 cm2 3. Jika a = b maka b dinyatakan dalam a adalah ... 1- b a. b = 1+ a2 1 + a 2 a b. b = 2 a2 c. b = 1+ a2

1 -a 2 a2 d. b = e. b = 1 a2 2 -a 4. Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk n(n +1) , dengan n adalah 2 bilangan asli. Berapakah banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100? a. 8 b. 9 c. 10 d. 13 e. 15 5. Joko mengalikan tiga bilangan prima berbeda sekaligus. Ada berapa faktor berbeda dari bilangan yang dihasilkan? a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 8 6. Persegi ABCD pada gambar di bawah ini memiliki luas 1 satuan luas. AE = BE dan BE = BF. Pecahan yang menyatakan luas dari daerah DEF adalah ... satuan luas. DC F A EB a. 1 3 b. 2 5 c. 3 5 d. 3 7

e. 3 8 7. Pecahan s adalah pecahan sejati, jika s < t dan faktor persekutuan terbesar dari s t dan t adalah 1. Jika t memiliki nilai mulai dari dari 2 sampai dengan 9, dan s bilangan bulat positif, maka banyaknya pecahan sejati berbeda yang dapat dibuat adalah ... a. 26 b. 27 c. 28 d. 30 e. 36 8. 3 % dari 81 sama dengan 9 % dari ... a. 27 b. 54 c. 72 d. 90 e. 243 9. Jumlah 101 bilangan bulat berurutan adalah 101. Berapakah bilangan bulat terbesar di dalam barisan bilangan tersebut? a. 51 b. 56 c. 100 d. 101 e. 150 10. Dengan menggunakan uang koin Rp. 50, Rp. 100 dan Rp. 200, ada berapa carakah kita menyatakan uang sebesar Rp. 2.000? a. 20 b. 65 c. 95 d. 106 e. 121

ISIAN SINGKAT 1. Perhatikan gambar di bawah ini! PQ X SR T Diketahui  SPT = 830 dan  PQT = 410. Garis PQ dan RS sejajar, demikian juga garis PS dan QT sejajar. Berapakah besar  X? 2. Alex selalu berbohong pada hari-hari Kamis, Jumat dan Sabtu. Pada hari-hari lain Alex selalu jujur. Di lain pihak, Frans selalu berbohong pada hari-hari Minggu, Senin dan Selasa, dan selalu jujur pada hari-hari lain. Pada suatu hari, keduanya berkata : \"Kemarin saya berbohong\". Hari mereka mengucapkan perkataan tersebut adalah hari … 3. Semua n sehingga n dan n + 3 keduanya merupakan bilangan bulat adalah … n -1 4. Misalkan N = 1 2 3 +... + 11 . Dalam bentuk desimal, nilai dari N 10 + 102 + 103 1011 adalah ... 5. Diberikan tempat air berbentuk kerucut (lihat gambar di bawah). Untuk mengisi air sampai pada ketinggian 1 t diperlukan air sebanyak 38,5 liter. Berapa liter lagi 2 air yang diperlukan untuk memenuhi tempat tersebut? t t/2 6. 213 jika dibagi dengan 13 akan memberikan sisa sama dengan ... 7. Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepakbola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepakbola adalah ... hari

8. Rata-rata sembilan bilangan adalah 6. Satu di antara kesembilan bilangan dibuang. Rata-rata delapan bilangan yang tinggal adalah 6 1 . Bilangan yang 2 dibuang adalah ... 9. Banyaknya angka (digit) pada bilangan 22004 × 52003 adalah ... 10. Perhatikan gambar berikut! C B D 3 P 5 A Jika panjang BP = 160 , maka panjang CP = … PEMBAHASAN PILIHAN GANDA 1. Ingat bahwa a2 – b2 = (a + b)(a - b) Maka 50502  49502  (5050  4950)(5050  4950)  (10.000)(100)  (104 )(102 )  106 1  (106 )2  103  1000 Jawaban (c) 2. Perhatikan gambar di bawah ini!

D GF C J 5 cm HI 4 cm 4 cm 5 cm AE B Luas DGHJ = (Luas ABCD) – (Luas BCFE) – (Luas AEIJ) – (Luas FGHI) = (9 cm × 5 cm) – (5 cm)2 – (4 cm)2 – (1 cm)2 = 45 cm2 – 25 cm2 – 16 cm2 – 1 cm2 = 3 cm2 Jawaban (c) 3. a = b  a2 = b 1-b 1-b  a2 1- b = b  a2 -a2b = b  a2b + b = a2   b a2 +1 = a2  b = a2 a2 +1 Jawaban (c) 4. Misalkan n adalah bilangan asli. Akan dicari banyaknya bilangan segitiga yang nilainya kurang dari 100. n(n +1) < 100  n n +1 < 200 2 Nilai n terbesar yang memenuhi ketaksamaan di atas adalah n = 13. Jawaban (d) 5. Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat 2 faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Misalkan ketiga bilangan prima yang dikalikan Joko masing-masing adalah X, Y dan Z. Karena ketiganya merupakan bilangan prima, maka X mempunyai faktor 1 dan X, Y mempunyai faktor 1 dan Y serta Z mempunyai faktor 1 dan Z.

Akibatnya bilangan baru yang dihasilkan mempunyai faktor 1, X, Y, Z, XY, XZ, YZ dan XYZ. Jadi, terdapat tepat 8 faktor baru yang dihasilkan dari perkalian 3 bilangan prima X, Y, dan Z. Jawaban (e) 6. Perhatikan gambar di bawah ini! DC F A EB Luas ABCD = 1 Satuan Luas AB × BC = 1 Satuan Luas Karena AB = BC, maka (AB)2 = 1 Satuan Luas AB = BC = 1 Satuan Panjang AE = BE = BF = CF = 1 Satuan Panjang 2 Luas DEF = (Luas ABCD) – (Luas ADE) – (Luas DCF) – (Luas BEF) = [1 - ( 1 × AE × AD) – ( 1 × CF × CD) – ( 1 × BE × BF)] Satuan Luas 2 22 = [1 – ( 1 × 1 × 1) – ( 1 × 1 × 1 ) – ( 1 × 1 × 1 )] Satuan Luas 22 22 222 = [1 - 1 - 1 - 1 ] Satuan luas 448 = 3 Satuan Luas. 8 Jawaban (e) 7. Kita kelompokkan untuk s = 1 sampai s = 9  Untuk s = 1 Nilai yang mungkin dari s adalah 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 dan 1 t 23 45 6 78 9 Terdapat 8 pecahan sejati.  Untuk s = 2 Nilai yang mungkin dari s adalah 2 , 2 , 2 dan 2 t 357 9

Terdapat 4 pecahan sejati.  Untuk s = 3 Nilai yang mungkin dari s adalah 3 , 3 , 3 dan 3 t 457 8 Terdapat 4 pecahan sejati.  Untuk s = 4 Nilai yang mungkin dari s adalah 4 , 4 dan 4 t 57 9 Terdapat 3 pecahan sejati  Untuk s = 5 Nilai yang mungkin dari s adalah 5 , 5 , 5 dan 5 t 678 9 Terdapat 4 pecahan sejati.  Untuk s = 6 Nilai yang mungkin dari s adalah 6 t7 Terdapat 1 pecahan sejati.  Untuk s = 7 Nilai yang mungkin dari s adalah 7 dan 7 t 89 Terdapat 2 pecahan sejati.  Untuk s = 8 Nilai yang mungkin dari s adalah 8 t9 Terdapat 1 pecahan sejati. Jadi, seluruhnya terdapat 27 pecahan sejati. Jawaban (b) 8. 3 % × 81 = 9 % × Y (kedua ruas dibagi dengan 3 %) 81 = 3Y Y = 27 Jawaban (a) 9. Misalkan suku pertama dari bilangan yang berurutan itu adalah X. X + (X + 1) + (X + 2) + … + (X + 100) = 101 Ruas kiri dari persamaan terakhir merupakan deret aritmatika dengan b=1

n = 101 U1 = X Un = U101 = X + 100 Jadi, X + (X + 1) + (X + 2) + … + (X + 100) = Sn Sn = n (U1 + Un)  S101 = 101 (X + X + 100) 2 2  101 = 101 (2X + 100) 2  101 = 101 (X + 50) (Kedua ruas dibagi 101)  1 = X + 50  X = - 49 Jadi, barisan itu adalah -49, -48, …, 50, 51 Oleh karena itu, bilangan terbesar pada barisan itu adalah 51. Jawaban (a) 10. Banyak cara untuk menyatakan uang Rp. 2.000 dengan menggunakan koin Rp. 50, Rp. 100 dan Rp. 200.  Dengan uang Rp. 50 saja. Terdapat 1 cara.  Dengan uang Rp. 100 saja Terdapat 1 cara.  Dengan uang Rp. 200 saja. Terdapat 1 cara.  Dengan uang Rp. 50 dan Rp. 100 Yaitu dengan memakai sebuah uang Rp. 100 , 2 buah uang Rp. 100 sampai memakai 19 buah uang Rp. 100. Jadi, terdapat 19 cara berbeda.  Dengan uang Rp. 50 dan Rp. 200 Yaitu dengan memakai sebuah uang Rp. 200, 2 buah uang Rp. 200 sampai 9 buah uang Rp. 200. Jadi, terdapat 9 cara berbeda.  Dengan uang Rp. 100 dan Rp. 200 Yaitu dengan memakai sebuah uang Rp. 200, 2 buah uang Rp. 200 sampai 9 buah uang Rp. 200. Jadi, terdapat 9 cara berbeda.  Dengan uang Rp 50, Rp. 100 dan Rp. 200  Mengandung sebuah uang Rp. 200 Sehingga uang bersisa Rp 1.800

Uang Rp. 1.800 dapat dinyatakan dengan cara memakai sebuah uang Rp. 100, 2 buah uang Rp. 100 sampai 17 buah uang Rp. 100  Mengandung 2 buah uang Rp. 200 Sehingga uang bersisa Rp. 1.600 Uang Rp. 1.600 dapat dinyatakan dengan cara memakai sebuah uang Rp. 100, 2 buah uang Rp. 100 sampai 15 uang Rp. 100 Dengan cara yang sama proses tersebut dilakukan sampai mengandung 9 uang Rp. 200, Jadi, dengan uang Rp. 50, Rp. 100 dan Rp. 200 diperoleh (17 + 15 + 13 + … + 1) cara. 1 + 3 + … + 15 + 17 adalah deret aritmatika dengan b=2 U1 = 1 Un = 17 Un = U1 + (n - 1)b = 17  1 + (n - 1)2 = 17  1 + 2n – 2 = 17  2n = 18  n=9 Sn = n (U1 + Un) 2 = 9 (1 + 17) 2 = 81 Jadi, terdapat 81 cara yang berbeda. Total cara menyatakan uang Rp. 2.000 oleh Rp. 50, Rp. 100 dan Rp. 200 adalah 1 + 1 + 1 + 19 + 9 + 9 + 81 = 121 cara berbeda. Catatan : Lihat pembahasan barisan aritmatika pada pembahasan soal pilihan ganda Versi I tingkat Kabupaten / Kota. Jawaban (e) ISIAN SINGKAT 1. Perhatikan gambar berikut ini!

PQ X S UR T Diketahui  SPT = 830 dan  PQT = 410. Karena PQ dan RS sejajar begitu juga PS dan QR sejajar maka  PSR =  PQT = 410 Pada segitiga PSU,  SPU +  PSU +  PUS = 1800  830 + 410 +  PUS = 1800   PUS = 560  PUS +  X = 1800  560 +  X = 1800   X = 1240 2. Dengan cara inspeksi (memeriksa), hari yang tepat keduanya berkata: “Kemarin saya berbohong” adalah hari Minggu. 3. Akan dicari setiap bilagan bulat n sehingga n + 3 merupakan bilangan bulat. n -1 n + 3 = (n -1) + 4 n -1 (n -1) =1+ 4 n 1 Akibatnya 4 harus bilangan bulat. n -1 Supaya 4 merupakan bilangan bulat, maka (n - 1) haruslah merupakan faktor n -1 dari 4 yaitu -1, -2, -4, 1, 2 dan 4.  Jika n- 1 = -1 Maka n = 0  Jika n – 1 = -2 Maka n = -1  Jika n – 1 = -4 Maka n = -3  Jika n – 1 = 1 Maka n = 2  Jika n – 1 = 2 Maka n = 3

 Jiaka n – 1 = 4 Maka n = 5 Jadi, semua bialangan bulat n yang mengakibatkan n + 3 bilangan bulat adalah n -1 -3, -1, 0, 2, 3 dan 5. 4. 12 3 10 11 N = 10 + 102 + 103 + ... + 1010 + 1011 = 0,123456789 + 10  11 1010 1011 = 0,123456789 + 1  1,1 109 1010 Jadi, 0,123456789 0,000000001 0,00000000011 ---------------------- + N = 0,12345679011 5. Soal ini dapat diselesaikan dengan 2 cara. Cara I Misalkan V1 adalah volume kerucut yang tingginya 1 t dan jari-jari alasnya 1 r, 2 2 sedangkan V2 adalah volume kerucut yang tingginya t dan jari-jar alasnya t. V1 = 1 π  1 r 2  1 t   38,5 liter = 1 πr2t 3  2   2  24  πr2t = 924liter V2 = 1 πr2t 3 = 1 × 924 liter 3 = 308 liter Jadi, banyaknya air yang harus ditambahkan adalah V2 – V1 = (308 – 38,5) liter = 269,5 liter.

Cara II Dengan cara yang praktis, kita bisa langsung membandingkan volum kerucut besar dan kecil, karena keduanya sebangun. V1 1 π  1 r 2  1 t  38,5 liter 1 πr2t V2 3    2  V2 8 = 2  = πr 2 t 1 πr2t 3  38,5 liter = 1 V2 8  V2 = 838,5 liter  V2 = 308 liter Jadi, banyaknya air yang harus ditambahkan adalah V2 – V1 = (308 – 38,5) liter = 269,5 liter 6. Sebelum membahas soal, akan dipelajari terlebih dahulu materi tentang Kongruen Modulo. Bilangan bulat P kongruen dengan Q modulo n atau ditulis P  Q (mod n) apabila P dan Q menghasilkan sisa yang sama jika keduanya dibagi oleh bilangan bulat n. Contoh 5 dan 3 adalah kongruen modulo 2 atau ditulis 5  3 (mod 2) , karena 5 dan 3 keduanya bersisa 1 jika dibagi oleh 2. Sifat bilangan kongruen modulo. Misalkan a = (bn + c)m dengan n, m bilangan asli dan c bilangan bulat (perhatikan bahwa c boleh merupakan bilangan negatif) maka berlaku a  cm (mod n) Contoh 5 = (1 × 2 + 3)1 = (2 × 2 + 1)1 maka 5  31 (mod 2)  11 (mod 2) atau 5  3 (mod 2)  1 (mod 2) Metode di atas berlaku juga untuk m > 1. Sekarang akan dibahas soal No. 6 213 = 2( 4 × 3 + 1 ) = 2 × 2( 4 × 3 ) Perhatikan, mengapa 13 diuraikan menjadai (4 × 3 + 1)? Karena pembaginya 13, Jadi, diusahakan harus mengandung suku yang mendekati 13 yaitu 24 = 16. 213 = 2 × (24)3 = 2 × (16)3 = 2 × (1 × 13 + 3)3 Karena (1 × 13 + 3)3  33 (mod 13) = 27 (mod 13) maka

213  2 × 27 (mod 13) = 2(2 × 13 + 1) (mod 13)  2 × 1 (mod 13) Jadi, 213  2 (mod 13). Artinya, 213 dan 2 jika dibagi 13 akan menghasilkan sisa yang sama. Karena 2 dibagi 13 sisanya 2, maka jika 213 dibagi 13 akan bersisa 2 juga. Catatan : Perhatikan waktu penggunaan pemakaian lambing ‘ = ’ dan ‘  ‘ , karena keduanya memiliki makna yang berbeda. 7. Misalkan kesembilan bilangan itu adalah x1, x2,..., x9 Maka x1 + x2 + ... + x9 = 6  x1 + x2 + ... + x9 = 54 9 Kemudian misalkan bilangan yang dibuang adalah x9 Maka x1 + x2 + ... + x8 = 6,5  x1 + x2 +... + x8 = 52 8 Akibatnya x1 + x2 +... + x8 + x9 = 54 x1 + x2 +... + x8  52 ------------------------------------ -- x9 = 2 Jadi, bilangan yang dibuang adalah 2. 8. 7 ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepakbola dalam 7 hari. Artinya 1 ekor kambing menghabiskan rumput seluas 1 kali ukuran lapangan sepakbola dalam 7 hari. Jadi, 3 ekor kambing menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepakbola dalam 7 hari. 9. 22004× 52003 = 2 × 22003× 52003 = 2(2 × 5)2003 = 2(10)2003 Bentuk terakhir adalah suatu bilangan yang berdigit 2004 buah terdiri atas digit 2 di awal (sebanyak 1 buah) dan digit 0 untuk seterusnya (sebanyak 2003 buah). Jadi, banyaknya digit pada bilangan 22004. 52003 adalah sebanyak 2004 buah. Catatan: Perhatikan bahwa kata ‘ banyaknya ’ dan ‘ jumlah ’ adalah berbeda. Sebagai ilustrasi, banyaknya digit pada bilangan 2007 adalah 4 buah sedangkan jumlah digit pada bilangan 2007 adalah (2 + 0 + 0 +7) = 9.

10. Perhatikan gambar di bawah ini! DG C F 3 P H 5 160 AE B HP2 + AH2 = HP2 + EP2 = 25 HP2 + DH2 = HP2 + GP2 = 9 ------------------ -- EP2 – GP2 = 16 … (1) Kemudian EP2 + BE2 = EP2 + CG2 = 160 … (2) Dari persamaan (2) dan persamaan (1) diperoleh EP2 + CG2 = 160 EP2 – GP2 = 16 --------------------- -- CG2 + GP2 = 144 Karena CG2 + GP2 = CP2 maka CP2 = 144 CP = 12 Jadi, panjang CP = 12.

LATIHAN I DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL OLIMPIADE MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN / KOTA SOAL PILIHAN GANDA 1. Titik E terletak di dalam persegi ABCD, dan segitiga ABE merupakan segitiga sama sisi. Tentukan  BEC! a. 30° b. 60° c. 70° d. 75° e. 80° 2. Dalam suatu segitiga ABC diketahui  A = 550,  C = 750, D terletak pada sisi AB dan E pada sisi BC. Jika DB = BE, maka  BED = ... a. 50° b. 55° c. 60° d. 65° e. 75° 3. Suatu keluarga mempunyai 4 orang anak, anak termuda berumur 1 dari anak 2 tertua, anak kedua 3 tahun lebih tua dari anak yang termuda dan anak ketiga 5 tahun lebih muda dari anak yang tertua. Bila rata-rata umur mereka 16 tahun, maka umur anak tertua adalah … tahun. a. 16 b. 18 c. 20 d. 22 e. 24

4. Jika pembilang suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 3, maka hasilnya 3 . Jika pembilang dikurangi 1 dan penyebutnya ditambah 4, maka 4 hasilnya 1 . Pecahan itu adalah … 3 a. 2 3 b. 3 5 c. 3 4 d. 4 5 e. 5 6 5. Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 10 cm. Akan tetapi yang tersedia hanyalah pipi-pipa kecil yang berdiameter 3 cm. Supaya kapasitas saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapa banyaknya pipa berdiameter 3 cm yang perlu dipakai sebagai pengganti 1 pipa berdiameter 10 cm? a. 3 b. 5 c. 7 d. 11 e. 12 6. Diketahui a + b = 1 dan a2 + b2 = 2. Nilai a4 + b4 = … a. 3 1 2 b. - 3 c.  1 2 d. 1 2 e. 3 1 2

7. Misalkan m dan n adalah bilangan positif yang memenuhi 1 + 1 = 4 . mn 7 Nilai m2 + n2 adalah … a. 121 b. 200 c. 212 d. 232 e. 256 8. Banyaknya diagonal yang dapat dibuat pada sebuah segi banyak dengan 100 sisi adalah … a. 4.650 b. 4.750 c. 4.850 d. 4.950 e. 5.150 9. Jika perbandingan 2X – Y terhadap X + Y adalah 2 , maka perbandingan X 3 terhadap Y adalah … a. 1 : 5 b. 4 : 5 c. 1 : 1 d. 5 : 1 e. 5 : 4 10. Diketahui salah satu akar persamaan x2 – 5x + p = 0 adalah 2. Nilai p adalah … a. -6 b. -3 c. -2 d. 2 e. 6 ISIAN SINGKAT 1. Panjang rusuk sebuah kubus 9 cm. Luas bola yang menyinggung sisi-sisi dalam kubus adalah … 2. Jumlah 10 bilangan adalah 36 lebih besar dari rata-rata kesepuluh bilangan- bilangan tersebut. Jumlah kesepuluh bilangan tersebut adalah …

3. Perhatikan gambar di bawah ini! D AB C Jika panjang BC = 10 cm, besar  CBD = 450,  CAD = 300. Maka panjang AB = … cm 4. Himpunan 20 buah bilangan mempunyai rata-rata 20. Sembilan di antara bilangan tersebut rata-ratanya 9. Rata-rata dari 11 bilangan yang tersisa adalah … 5. Selisih 2 bilangan positif adalah 5, sedangkan jumlah kuadratnya 2.100 kurangnya dari kuadrat jumlah kedua bilangan itu. Jumlah kedua bilangan tersebut adalah … 6. Selisih panjang rusuk dari 2 kubus adalah 2 cm. Selisih volumenya 218 cm3. Panjang rusuk kubus yang besar adalah … 7. Diketahui keliling persegi ABCD = 112 cm. (  22 ) 7 DC AB Luas daerah yang diarsir adalah … 8. Anton mengendarai motor dari Kota X ke Kota Y pada pukul 09:30 dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam, sedangkan Tony mengendarai mobil dari Kota Y ke Kota X pada pukul 10:15 dengan kecepatan 40 km/jam. Jika jarak Kota X dan Y 345 km, pada pukul berapa kedua pengendara berpapasan? 9. Sebuah bak air di bawahnya terdapat 2 kran yang berukuran sama, sebut kran 1 dan kran 2. Jika kran 1 dan 2 dibuka, maka air akan habis dalam waktu 2 jam. Berapa lama air akan habis jika kran 2 saja yang dibuka?

10. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dan AB = BC = 4 cm C AB Luas daerah yang diarsir adalah …

KUNCI JAWABAN PILIHAN GANDA 1. d 2. d 3. d 4. d 5. e 6. e 7. b 8. c 9. e 10. e ISIAN SINGKAT 1. 81  cm2 2. 40  3. 10 3 1 4. 29 5. 65 6. 7 cm 7. 448 cm2 8. 13:15 9. 6 jam 10. 4  2 cm 2

LATIHAN II DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL OLIMPIADE MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN / KOTA SOAL PILIHAN GANDA 1. Besar pelurus sudut A adalah 4 kali penyikunya, maka besar sudut A adalah … a. 72° b. 84° c. 104° d. 108° e. 60° 2. Panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah 15 cm dan kelilingnya 36 cm. Luas segitiga tersebut adalah … cm2 a. 24 b. 48 c. 54 d. 90 e. 108 3. Seorang anak merahasiakan 3 buah bilangan, kemudian ia menjumlahkan setiap 2 bilangan itu dan hasilnya sama dengan 15, 17, dan 20. Jumlah ketiga bilangan itu adalah … a. 25 b. 26 c. 27 d. 30 e. 35 4. X dan Y bersama-sama menyelesaikansuatu pekerjaan memerlukan waktu 4 jam 48 menit. Jika X menyelesaikan pekerjaan sendiri, memerlukan waktu 8 jam. Waktu yang diperlukan Y untuk menyelesaikan pekerjaan dengan sendiri adalah … jam. a. 8 b. 10 c. 12

d. 14 e. 16 5. Matematikawan August Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1.800- an. Pada tahun terakhir dalam masa hidupnya dia mengatakan bahwa: “Dulu aku berusia P tahun pada tahun P2”. Pada tahun berapa ia dilahirkan? a. 1806 b. 1822 c. 1849 d. 1851 e. 1853 6. Pada suatu segitiga ABC, sudut C adalah 3 kali lebih besar dari sudut A dan sudut B adalah 2 kali leih besar dari sudut A. Berapa perbandingan antara panjang sisi AB dan BC? a. 1 : 1 b. 1 : 2 c. 2 : 3 d. 2 : 1 e. 3 : 2 7. Misalkan: A = Segitiga sama kaki B = Segitiga sama sisi C = Persegi panjang D = Persegi E = Lingkaran Jika keliling kelima bangun di atas sama, maka bangun yang terluas adalah … a. A b. B c. C d. D e. E 8. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 13x + 36 = 0 adalah P2 dan Q2. Nilai dari P + Q=… a. 2 b. 3 c. 5 d. 6

e. 13 9. Dari 25 orang yang melamar suatu pekerjaan diketahui bahwa 7 orang berumur lebih dari 30 tahun dan 15 orang bergelar sarjana. Di antara pelamar yang bergelar sarjana 5 orang berumur lebih dari 30 tahun. Banyaknya pelamar yang bukan sarjana dan umurnya kurang dari 30 tahun adalah … orang. a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 10. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Ia akan menjual 5 ekor dari ayamnya. Berapa peluang yang terjual 3 diantaranya ayam betina? a. 5 21 b. 10 21 c. 1 70 d. 1 40 e. 3 40 ISIAN SINGKAT 1. Dalam trapesium ABCD, sisi AB dan CD sejajar. Diagonal BD dan sisi AB sama panjang. Jika  BCD = 110° dan  CBD = 30°, maka  BAD = … DC AB 2. 1 1  1 1  1  1  1 1  1 1  1  1   ... 3  4  5  6  7 8 

3. Luas sisi sebuah balok berturut turut 9 cm2, 6 cm2, dan 3 cm2. Panjang diagonal ruang balok tersebut adalah … cm. 4. X dan Y merupakan bilangan asli yang memenuhi sistem persamaan: X2 + 2XY = 40 Y2 + 1 XY = 15 2 Niali X2 – Y2 = … 5. Selisih uang A dan B adalah Rp. 60.000. Jika A memberikan 1 uangnya kepada 5 B, maka uang mereka menjadi sama. Berapa jumlah uang mereka mula-mula? 6. Lima ekor kambing memakan rumput sebanyak 5 keranjang dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput sebanyak 3 keranjang? 7. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 7,5 m dan selalu mematul kembali dengan ketinggian 4 kali tinggi semula. Pantulan terJadi, terus menerus sampai 5 bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan yang ditempuh oleh bola adalah … 8. Diketahui keliling lngkaran 176 cm2 dimana  = 22 dan sudut BAC = 450. 7 C A B Luas daerah yang diarsir adalah … 9. Sebuah limas T. ABCD alasnya berbentuk persegi dengan keliling alas 64 cm. Jika panjang setiap rusuk yang lainnya adalah 17 cm, maka luas permukaan limas adalah … 10. Suatu kerucut diameter alasnya 20 cm dan volumnya 2.512 cm3. Berapa luas permukaan kerucut bila  = 22 ? 7

KUNCI JAWABAN PILIHAN GANDA 1. e 2. c 3. b 4. c 5. a 6. d 7. e 8. c 9. d 10. a ISIAN SINGKAT 1. 700 2. 1 4 3. 7 2 2 4. 7 5. Rp. 240.000 6. 5 hari 7. 67,5 m 8. 224 cm2 9. 544 cm2 10. 1.069 cm2