หน่วยที่ 2 ระบบเซต
บทที่ 2 ระบบเซต
สอนโดย นายสุวทิ ย์ ทองนอก
ความหมายของเซต ในทางคณติ ศาสตร์ คาวา่ “ ฝงู หรอื ชดุ และเมื่อกลา่ วถงึ เซตข นั้นมอี ะไรบ้าง เช่น เซตของประเท ประเทศท่ีเขา้ ร่วมประชาคมอาเซยี กจ็ ะหมายถงึ กลุ่มของนักเรยี นหญ เรียกส่ิงทอ่ี ยใู่ นเซตว่า “สมาชกิ ”
“เซต” หมายถึงกลุม่ หมู่ เหล่า กอง ของส่ิงใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าเซต ทศกล่มุ อาเซยี น ก็หมายถงึ กลุ่มของ ยน เซตของนกั เรยี นหญิงในช้ันเรยี น ญงิ ทอี่ ยใู่ นชัน้ เรียนนน้ั ๆ ซ่ึงสามารถ
สญั ลกั ษณ์ที่ใชแ้ ทนเซต ช่อื และ 1. สามารถใชว้ งกลม, วงรี แ 2. ชื่อเซตนิยมใช้พยญั ชนะภ 3. สัญลักษณ์ ∈ แทนคาวา่ ∈ แทนคาว่า
ะสมาชกิ ของเซต แทนเซตตา่ งๆ ได้ ภาษาอังกฤษพมิ พใ์ หญ่ า “เป็นสมาชิกของ” า “ไม่เปน็ สมาชกิ ของ”
วิธเี ขียนเซต 1. การเขยี นเซตแบบแจกแจ เป็นการเขยี นสมาชิกทุกๆ ต ปกี กา “{ … }” และคน่ั ระหวา่ งสม จลุ ภาค “ , ” สาหรับสมาชกิ ท่ซี ้า กรณที ีจ่ านวนสมาชิกมากๆ และไม นอ้ ย 3 ตวั แรก แล้วใชจ้ ดุ 3 จดุ ส สุดทา้ ยของเซต เราต้องเขยี นสมา
จงสมาชกิ ของเซต ตวั ของเซตลงในเครื่องหมายวงเลบ็ มาชิกแต่ละตัวดว้ ยเคร่อื งหมาย ากันให้เขยี นเพียงตวั เดียว และใน มม่ ที ่ีส้ินสุด ใหเ้ ขียนสมาชิกอยา่ ง สาหรบั กรณที ท่ี ราบสมาชิกตวั าชกิ ตัวสุดทา้ ยไวใ้ นเซตดว้ ย
วธิ เี ขยี นเซต ตวั อยา่ งการเขยี นเซตแบบ A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6…} C = {1, 3, 5, 7, 9, …, 21}
บแจกแจงสมาชิกของเซต }
วธิ ีเขยี นเซต 2. การเขยี นเซตแบบกาหนด จะใช้วธิ บี อกเป็นเงือ่ นไข หร หลังตัวอกั ษรภาษาอังกฤษตวั พมิ พ เครื่องหมาย “ ” (อ่านวา่ โดยท่ี) เชน่ A = {x x เป็นวนั ต่างๆ ในห B = {x x เปน็ เลขคูท่ ี่อย่รู ะห C = {x x เปน็ จานวนที่หาร
ดเงือ่ นไขของสมาชกิ รอื จะบรรยายลักษณะของสมาชกิ พ์เล็กแทนสมาชิกของเซตด้วย ไวภ้ ายในเครอ่ื งหมายวงเล็บปกี กา หน่งึ สัปดาห์} หว่าง 1 ถึง 100} รสองลงตัว}
ประเภทของเซต 1. เซตจากดั คือเซตทีเ่ ราสามารถ บอกสมาชกิ ตัวสดุ ทา้ ยของเซตนน้ั A = {x x เป็นจานวนเตม็ บวกทหี่ ∴ A = {2, 4, 6, 8, 10, …, 100} B = {x x เปน็ พยัญชนะในภาษาไ ∴ B = {ก, ข, ฃ, ค, ฅ, …, ฮ}
ถนบั จานวนสมาชิกของเซตได้ หรือสามารถ หาร 2 ได้ลงตวั แต่ไม่เกนิ 100} ไทย}
ประเภทของเซต 2. เซตอนนั ต์ คอื เซตท่ีเราไมส่ ามา สามารถบอกสมาชิกตัวสุดท้ายของเซตนั้น มากมายจนนับไม่ได้ A = {x x เป็นจานวนเต็มบวก} ∴ A = {1, 2, 3, 4, 5, …} B = {x x เป็นจานวนเตม็ บวกที่หา ∴ B = {2, 4, 6, 8, 10, …}
ารถนบั จานวนสมาชกิ ของเซตได้หรอื ไม่ นได้ ซึ่งสมาชิกในเซตน้นั อาจจะมจี านวน าร 2 ได้ลงตัว}
ประเภทของเซต 3. เซตว่าง คอื เซตที่ไมม่ ีสมาชกิ เล ∅ และเราถอื ว่าเปน็ เซตจากัด เพราะนบั ส A = {x x เป็นจานวนเตม็ ระหวา่ ง ∴ A = { } หรอื ∅ B = {x x เปน็ ช่อื ของเดือนที่ลงท้า ∴ B = { } หรือ ∅ C = {x x เป็นชื่อของภูเขาไฟในป ∴ C = { } หรือ ∅
ลย เราจะเขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ { } หรอื สมาชกิ ได้ 0 ตัว เชน่ ง 1 กับ 2} ายด้วย ยน และมี 31 วัน} ประเทศไทย}
ประเภทของเซต 4. เซตทีเ่ ท่ากัน หมายถึงเซตต้งั แต และการเขยี นสมาชิกของเซตซา้ กันหลาย เพียงครัง้ เดียว นั่นคือ ถา้ สมาชิกทกุ ตวั ขอ ทกุ ตัวของเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A เ แทนด้วย A = B A = {1, 2, 3} B = {1, 1, 1, 2, 2, 3} ∴ A=B
ต่ 2 เซตขน้ึ ไป มสี มาชกิ เหมือนกันทกุ ตวั ยๆ คร้ัง ไมไ่ ด้มคี วามแตกต่างกันกบั การเขยี น องเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิก เรากลา่ วไดว้ า่ เซต A เทา่ กับ เซต B เขียน
ประเภทของเซต A = {1, 2,} B = {1, 1, 2, 3} ∴ A≠B A = {2, 4, 6} B = {x x เปน็ จานวนค่เู ต็มบวกแล ∴ A≠B
ละมคี า่ น้อยกวา่ 10}
ประเภทของเซต 5. เซตทีเ่ ทยี บเทา่ กนั คอื เซตตั้งแต เปน็ การจบั คู่หนงึ่ ต่อหนึง่ เขยี นแทนสญั ลกั A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {A, B, C, D, E} ∴ A↔B A = {x x เป็นจานวนเตม็ ลบ} B = {x x เป็นจานวนเต็มท่นี ้อยกว ∴ A↔B
ต่ 2 เซตท่มี จี านวนสมาชิกเทา่ กนั พอดี และ กษณด์ ้วยเครื่องหมาย ↔ เชน่ วา่ ศนู ย์}
สับเซต (Subset) สบั เซต คือเซตย่อยหรอื เซตที่เล็กก ด้วยสญั ลักษณ์ ∁ กลา่ วคอื เซต A เป็นส เซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B ดว้ ย โดยท เท่ากับเซต A เขียนแทนดว้ ย A ∁ B และ A = {x x เป็นจานวนเตม็ บวก} B = {1, 2, 3, 4} ∴ B∁A
กว่าหรือเทา่ กบั เซตทก่ี าหนด จะเขียนแทน สบั เซตของเซต B ก็ตอ่ เมอ่ื สมาชกิ ทกุ ตวั ของ ท่ีสมาชิกในเซต B มจี านวนมากกว่าหรือ ะจะใช้สัญลกั ษณ์ ∁ แทน ไมเ่ ป็นสบั เซต
สบั เซต (Subset) A = {5, 10, 15, 20, 25, …} B = {10, 15, 20} ∴ B∁A A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 B = {3, 6, 9, 12, 15} ∴ B∁A
6}
เพาเวอรเ์ ซต (Power set) เพาเวอรเ์ ซต คือเซตซ่งึ ประกอบด และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ เซตทงั้ หมดใหไ้ ดก้ ่อน จากน้นั จงึ ใส่เซตคร A = {2, 4, 6, 8} P(A) = {∅, {2}, {4}, {6}, {8}, {2,4 {2, 4, 6}, {2, 6, 8}, {2, 4, 8
ด้วยสมาชกิ ทเี่ ปน็ ซบั เซตทงั้ หมดของเซตน้นั P (ช่ือเซต) วธิ หี าเพาเวอร์เซตจะตอ้ งหาสบั รอบลงไป เช่น 4}, {2,6}, {2,8}, {4,6}, {4,8}, {6,8}, 8}, {4, 6, 8}, {2, 4, 6, 8}}
เอกภพสมั พทั ธ์ เอกภพสัมพทั ธ์ เป็นเซตทีก่ าหนดข ทกุ เซตทเี่ ราสนใจและจะไม่กลา่ วถงึ สง่ิ อ่นื ถอื ว่าเป็นเซตที่ใหญท่ ี่สดุ โดยจะนยิ มใช้ส เซตจากดั หรอื เซตอนันต์กไ็ ด้ข้ึนอยู่กับโจท
ขน้ึ มาเพือ่ จะจากดั ขอบเขตและครอบคลุม นใดทน่ี อกเหนอื จากเซตทเ่ี รากาหนดข้นึ ซ่ึง สัญลกั ษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ โดยจะเป็น ทยก์ าหนดมาให้
แผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ การเขียนแผนภาพแทนเซตจะช่วย ชัดเจนมากยง่ิ ขึน้ เราเรียกแผนภาพแทนเ หลกั การเขยี น Diagram ดังนี้ 1. ใชร้ ปู สเ่ี หลี่ยมผืนผ้าหรอื สีเ่ หลี่ย 2. ใชว้ งกลมหรือวงรหี รอื รูปปดิ ใด เขยี นภายในรูปส่เี หลย่ี มผืนผ้า
ยใหเ้ ขา้ ใจเกีย่ วกบั ความสัมพนั ธร์ ะหว่างเซต เซตวา่ แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ โดยมี ยมมมุ ฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ดๆ แทนเซตตา่ งๆ ที่เปน็ สมาชิกของ U และ
แผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ A ตัวอย่างแผนภาพข
U B ของเวนน์-ออยเลอร์
แผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ A ตัวอย่างแผนภาพข
U B ของเวนน์-ออยเลอร์
การปฏิบตั ิการของเซต ยเู น่ียน (Union) คือสองเซตท่ปี ระ เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ A ∪ B (อา่ นว ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของเซตนน้ั
ะกอบด้วยสมาชิกทงั้ หมดของสองเซตน้นั จะ วา่ เซต A ยูเนยี น เซต B) ซงึ่ หมายถงึ เซตที่
การปฏบิ ัตกิ ารของเซต 1. เซตมสี ่วนร่วม กาหนดให้ A = {1, 2, 4, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} ∴ A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
U A B
การปฏบิ ตั ิการของเซต 1. เซตไมม่ สี ว่ นร่วม กาหนดให้ A = {a, b, c} B = {w, x, y, z} ∴ A ∪ B = {a, b, c, w, x, y, z}
U A B
การปฏบิ ตั ิการของเซต 1. เซตไมม่ สี ว่ นร่วม กาหนดให้ A = {a, b, c} B = {w, x, y, z} ∴ A ∪ B = {a, b, c, w, x, y, z}
U A B
การปฏบิ ตั ิการของเซต 3. ซับเซต กาหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {x x เปน็ จานวนเตม็ บวก ∴ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, …}
U A ก} B
การปฏิบตั กิ ารของเซต อนิ เตอร์เซคชน่ั (Intersection) ค สญั ลักษณ์แทนอินเตอร์เซคช่นั ด้วยเครื่อง A ∩ B (อ่านว่า เซต A อนิ เตอร์เซคชนั่
Search
