fonksiyonlar

yayıncılık FONKSİYONLAR

FONKSİYONLAR Matematikte, iki değişkenden birinin olması diğerine bağlı ise biz buna bağıntı deriz. Bir çemberde çevre yarıçapa bağ- lıdır. Yarıçap değiştikçe çevre de değişir. Bir küpte hacim küpün bir kenarına bağlıdır. Kenar değiştikçe hacim de değişir. Fonksiyon da özel bir bağıntı şeklidir. y ve x iki değişken olmak üzere y’nin gerçekleşmesi x’e bağlı ise y ile x arasında bir bağıntı vardır. Fonksiyonu aslında basitçe bir hesap makinesi olarak düşünebiliriz. Hesap makinesinde “ “ tuşunu fonksiyon (f diye- lim), x sayısını girdi, y sayısını çıktı olarak düşünürsek x yerine 4 yazdığımızda 4 ifadesini çıktısı 2 olur. Bunu, f(4) = 2 olarak gösterebiliriz. O zaman makine benzetmesi yaparsak x f f(x) = y Girdi makine Çıktı (tanım) (görüntü) biçiminde ifade edebiliriz. “y = f(x) ifadesi, f makinesi her x girdisini sadece bir tane y çıktısına götürür şeklinde ifade edilebilir.” Burada girdilerin oluşturduğu kümeye (x’lerine kümesine) tanım kümesi, çıktıların oluşturduğu kümeye (y veya f(x)’lerin kümesine) görüntü kümesi deriz. Değer kümesi ise görüntü kümesini kapsayan bir kümedir. Mesela “A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} , B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olmak üzere f fonksiyonu A’dan B’ye tanımlı bir fonksiyon ve f(x) = x2 olsun” ifadesinin çevirisi şudur: A → tanım kümesi (girdiler) B → değer kümesi (çıktıların içinde olduğu küme) f(A) → görüntü kümesi (sadece çıktıların oluşturduğu küme) Girdi Makine Çıktı f(x) = x2 (veya y = x2) x f –2 f f(–2) = 4 –1 f f(–1) = 1 0 f f(0) = 0 1 f f(1) = 1 2 f f(2) = 4 3 f f(3) = 9 Tanım Kümesi: A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} Değer Kümesi: B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Görüntü Kümesi: f(A) = {0, 1, 4, 9} Burada aslında fonksiyonları gösterirken farklı tarzlar vardır. Yine A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} kümesinden B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesine tanımlı f(x) = x2 bağıntısıyla verilen f fonk- siyonunu düşünürsek; 2

FONKSİYONLAR 1) DENKLEM GÖSTERİMİ f: A → B f(x) = x2 2) LİSTE YÖNTEMİ GÖSTERİMİ f: A → B x y biçiminde tanımlarsak f: {(x, y) | x ‰ A , y ‰ B} ifadesine liste yöntemi deriz. A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} ve B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} f(x) = x2 fonksiyonunu tekrar ele alırsak (x, y) ikilisindeki x girdileri (tanım kümesinin elemanları), y çıktıları (görüntü kü- mesinin elemanları) göstermektedir. f: {(0, 0) , (–1, 1) , (1, 1) , (–2, 4) , (2, 4) , (3, 9)} şeklinde yazılır. 3) ŞEMATİK GÖSTERİM f AB 0 –2 1 2 –1 3 Burada tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde sadece bir ele- mana gittiğine dikkat edelim. Değer kümesinde açıkta eleman kalmasında 04 sıkıntı yok. Ama tanım kümesinde asla açıkta eleman kalamaz. 15 6 2 7 38 9 4) GRAFİK GÖSTERİMİ y (Değer) Bu gösterimde x ekseni tanım kümesini; y ekseni değer kümesi- ni ifade eder. x ile y’nin birleştiği noktalar ise görüntü kümesinin 9 elemanlarıdır. 8 7 Yine A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} kümesinden B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 6 8, 9} kümesine tanımlı y = x2 (veya f(x) = x2) fonksiyonunu düşü- 5 nürsek yandaki grafik oluşur. 4 3 x (Tanım) 2 1 –2–1 1 2 3 3

FONKSİYONLAR Haydi şimdi sıkıcı bir tanım yapalım: “A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, A’daki her elamanı B’de sadece bir elemana eşleyen bağın- tıya A’dan B’ye fonksiyon denir.” Yani 99 Tanım kümesine açıkta eleman kalamaz, değer kümesinde kalabilir 99 Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde sadece bir elemanla eşleyebilirsiniz. Örnek f: R → R f(x) = 3 ifadesi bir fonksiyon değildir. Çünkü tanım kümesinde bulunan x = 2 elemanı, f(2) = 2 3 2 = 3 !R R oldu- x–2 – 0 ğundan açıkta kalır ve fonksiyon şartını sağlamaz. Bu ifadeyi f: R – {2} → R f(x) = 3 biçiminde ifade etseydi tanım kümesinden 2 sayısını çıkarttığı için açıkta eleman kalmayacak ve f fonksiyon x–2 olacaktı. Örnek f: R → R f(x) = x+7 ifadesi bir fonksiyondur. x2 + 4 Çünkü x2 + 4 ifadesini sıfır yapacak tanım kümesinde hiçbir reel sayı yoktur. Örnek f: R → R f(x) = 3x + 7 fonksiyonu için m’nin tanım aralığı nedir? x2 – 6x + m sorusunda dikkat ederseniz tanım kümesi tüm reel sayılar. Yani paydayı sıfır yapan reel sayı yok. O zaman paydanın kökü yok. x2 – 6x + m = 0 ifadesinde kök yoksa 9 < 0 olmalıydı. (–6)2 – 4 . 1 . m < 0 , 36 < 4m , m > 9 olmalı. 4

FONKSİYONLAR Örnek f: Z+ → Z |f(x)| = x bağıntısına dikkat. Burada tanım kümesi Z+ , değer kümesi Z. Z+ = {1, 2, 3, …}, Z = {… , –2, –1, 0, 1, 2, …} düşünürsek tanım kümesindeki her elamanın değer kümesinde mutlaka görüntüsü var. Ama bu bir tane değil. x = 2 için |f(2)| = 2 , f(2) = 2 veya f(2) = –2 olur. Yani, 2 sayısının –2 ve 2 isimli iki görüntüsü oldu. Bu da fonksiyon şartını bozar. Örnek Aşağıdakilerden hangileri fonksiyondur? I) f: R → R y 2 Grafik f bağıntısına ait olup soruda tanım kümesi R olarak verilmiştir. 1 Oysaki f(4) yoktur. Yani 4 ‰ R olmasına karşın 4 açıkta kaldığından f fonksiyon değildir. 0 x 4 f II) g: R → R y 2 Grafikte tanım kümesi R’dir. Tüm reel sayıların görüntüsü var ama sıkıntı 1 5 sayısında. 0 g Çünkü x g(5) = 1 , g(5) = 2 olduğundan 5’in iki görüntüsü vardır. Yani g fonksiyon 5 değildir. 5

FONKSİYONLAR III) h: R → R y h 3 Tanım kümesi R olmasına rağmen (1, 4] aralığındaki reel sayıların görüntü- sü olmadığından h fonksiyon değildir. 01 4 x IV) t: R → R y 2 t Tanım kümesindeki tüm elemanların sadece bir görüntüsü olduğundan t 1 x fonksiyondur. 0 “Grafik sorularında tanım aralığında x eksenine çizilen dikmeler grafiği mutlaka bir noktada keserse verilen grafik fonksiyon grafiğidir.” FONKSİYON SAYISI s(A) = m , s(B) = n olmak üzere I) A’dan B’ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı: nm II) B’den A’ya tanımlanabilecek fonksiyon sayısı: mn olur. Yukarıdaki formüller her kaynakta karşınıza çıkabilen ifadelerdir. Ama olayın nereden geldiğini bilmeniz önemlidir. A f B A = {x1, x2, … , xm} ve B = {y1, y2, … , yn} ise x1 y1 A’daki x1 elemanı B’deki n tane elemana x2 y2 A’dak i x2 elemanı B’daki n tane elemana . . . . . . . . . xm yn A’daki xm elemanı B’deki n tane elemana gidebilir. Yani A kümesindeki m tane eleman B kümesindeki n tane elemana gidebilir. Bu nedenle n14. n44. n2. 4n .4.4. n3 : nm adet eşleşmeden kaynaklanan fonksiyon sa- m tane yısı ortaya çıkar. 6

FONKSİYONLAR Örnek A = {–2, –1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümeleri verilsin. A’dan B’ye tanımlanan f fonksiyonu her x ‰ A için f(x) > x2 koşulunu sağladığına göre, bu şarta uyan kaç f fonksiyonu yazılabilir? A) 100 B) 80 C) 64 D) 32 E) 20 Bu soruda A’daki elemanların B’de kaç elemana gidebileceği tespit edilip bu sayılar çarpılır. 0 ‰ A için f(0) > 02 olduğundan 0 için {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere 5 ihtimal vardır. Aynı şekilde 1 ‰ A için f(1) > 12 olmak üzere 4, –1 ‰ A için f(–1) > (–1)2 olmak üzere 4, –2 ve 2 sayıları için f(–2) > (–2)2 , f(2) > 22 olmak üzere 1’er ihtimal vardır. Yani sonuç 5 . 4 . 4 . 1 . 1 = 80 olarak bulunur. SIRA SENDE – 1 1. Aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyondur? 3. A’dan B’ye tanımlı f fonksiyonu A) f: R → R, f(x) = x4 f: {(1, 2) , (2, 1) , (3, 1)} x2 – 7 biçiminde verilmiştir. B) f: Z → R, f(x) = x + x Buna göre, 2 I) s(A) = 3 II) s(B) = 2 C) f: R → Z, f(x) = 3x2 III) f(A) = B D) f: R+ → R, f2(x) = x + 4 ifadelerinden hangileri daima doğrudur? E) f: N → R, f(x) = x + x2 unschool.com.tr A) Yalnız I B) I ve II C) II ve III D) I ve III E) I, II ve III 2. A = {0, 2, 4, 6, 8} 4. A = {1, 2, 3, 4} ve A’nın boş kümeden farklı K ve L alt kümeleri veriliyor. B = {0, 1, 2, 3} KÆL=Ø kümeleri verilsin. K£L=A x ‰ A olmak üzere A kümesinden B kümesine olduğuna göre, f(x) ≥ x koşuluna uyan kaç farklı f fonksiyonu ta- f: K → L olacak biçimde kaç farklı f fonksiyonu ya- nımlanabilir? zılabilir? A) 10 B) 16 C) 64 D) 8 E) 20 A) 40 B) 52 C) 64 D) 72 E) 96 1.E 2.B 3.A 4.A 7

SIRA SENDE - 1 FONKSİYONLAR 5. Aşağıda reel sayılarda tanımlı f, g, h bağıntıları veril- 6. A kümesi doğal sayıların bir alt kümesi olmak üzere, miştir. A’dan tam sayılara tanımlı I) y f: Her A elemanını kendisinin karesine götürüyor f g: Her A elemanını kendisinin yarısına götürüyor 2 h: Her A elemanını kendisinin toplama işlemine göre 1 tersine götürüyor 02 bağıntılarından hangileri her A kümesi için daima fonksiyondur? x A) f B) f ve g C) f, g ve h D) g ve h E) f ve h y II) 2 0 12 g x y unschool.com.tr III) 2 h 1 x 02 Buna göre, hangileri fonksiyondur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 5.B 6.D 8

FONKSİYONLAR FONKSİYON MODELLEMESİ Bu konunun kullanılacağı en önemli yer, “Türev” konusu içindeki “Maksimum – minimum problemleri” kısmıdır. Gerçek dünya verisini önce basitleştirerek bir matematiksel model haline getirip sonuçları analiz etmeye matematiksel modelleme denir. Mesela, “bir gömleğin satış fiyatı alış fiyatının %20 fazlasıdır” ifadesini bir matematik modelleme haline getirelim: Alış fiyatı: x olsun Satış fiyatı: x + x: 20 = x+ x = 6x olur. 100 5 5 Burada aslında x girdi, 6x ise çıktıdır. Bunu fonksiyon haline getirirsek, x alış fiyatı, f(x) satış fiyatı biçiminde düşünüp 5 f(x) = 6x yazabiliriz. 5 Modellemede aşağıdaki yol takip edilir: Modellemek istenen şeyi İfadede birden fazla matematiksel bağıntı olarak yaz. bilinmeyen varsa bire düşür. Örnek 14 cm xx Boyutları 22 cm ve 14 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir 22 cm xx kartonun köşelerinden bir kenarı x cm olan eşit kareler ke- silip atılıyor. Kalan kısmı katlanarak aşağıdaki gibi üstü açık Şekil I xx dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutuya dönüştürülüyor. x Şekil II x Şekil III Buna göre, f: x → kutunun hacminin x’e bağlı ifadesi biçiminde tanımlandığına göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x(x2 – 25x) B) 4x (x2 – 18x + 77) C) x3 – 18x2 + 66x D) 4x2 – 18x + 77 E) x3 – 77x + 5 Bu soruda kutunun hacmi x’e bağlı olarak modellenmek isteniyor. x cm’lik kısımlar atılınca kutunun eni 14 – 2x, boyu 22 – 2x ve yüksekliği x cm olur. V = En x Boy x Yükseklik olduğundan f(x) = (14 – 2x) (22 – 2x) x yani f(x) = 4 (7 – x) (11 – x) , f(x) = 4 (x2 – 18x + 77) olarak bulunur. 9

FONKSİYONLAR Örnek y x d2 d1 C B –1 P(x, y) A 01 Koordinat düzleminde d1 ve d2 doğrularının eksenleri kestiği A, B, C noktaları verilmiştir. A(1, 0) , C(–1, 0) , P(x, y) ve d1 = d2 olduğuna göre, taralı dikdörtgenin alanının x’e bağlı ifadesi olan f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x – 2x2 B) x – x2 C) x2 –1 D) 4x2 – 4 E) 4x – 4x2 Bu soruda modellenmesi istenen kavram taralı dikdörtgenin alanıdır. Alan = En × Boy B diklik soruda verilmiş |OB|2 = 1 . 1 (Öklit teoremi) |OB| = 1 olur. 11 COA 2 birim (–1 ile 1 arası) B 1–y Alan = 2x . y (y’yi x’e bağlamalıyız) 1– y = 2x (Benzerlik) 1 2 x = 1 – y ve y = 1 – x olur. f(x) = 2x (1 – x) yani f(x) = 2x – 2x2 bulunur. CA 2x 2 10

FONKSİYONLAR SIRA SENDE - 2 1. O 3. A O B 6 cm 50 metre 6 cm 2x A Şekil - II B x metre C D Şekil - I 60 metre Yukarıda,%Şekil – I’de yarıçapı 6 cm olan dairesel bir Kıyıdaki B noktasında 50 metre uzaklıkta, denizin için- kağıdın |AB| = 2x cm olacak biçimde taralı kısmının de bulunan bir yüzücünün denizdeki hızı dakikada 20 atılıp, A ve B noktalarının birleştirilerek Şekil – II’deki metre, karadaki hızı dakikada 60 metredir. Yüzücü en gibi bir dik koni haline getirilmesi anlatılmıştır. kısa zamanda D noktasına varmayı planlıyor. Bu du- rumda C noktasından kıyıya çıkıp D’ye kadar yürüye- h(x) koninin yükseklik fonksiyonunun x’e bağlı değe- rek gitmesi gerektiğini hesaplıyor. ridir. |BC| = x metre, |BD| = 60 metre olmak üzere, t(x) fonk- Buna göre, h(x) aşağıdakilerden hangisidir? siyonu A ile D arasında geçen süreyi ifade ettiğine göre, A) 12rx – x2 B) 6rx – x2 r t(x) aşağıdakilerden hangisidir? C) 12rx – x2 D) x2 + rx r r A) 2500 + x + 60 E) rx + x2 unschool.com.tr 2500 + x2 + 60 – x 60 B) 3 C) 2500 + x2 – x 20 D) x2 + 250 – x 60 E) 2500 + x2 + 60 – x 2. Bir ayrıtı x birim uzunluğunda olan küp şeklindeki bir 1.C 2.C 3.B kristalin üretim maliyeti hacim üzerinden birimküp ba- şına 6 TL, satış fiyatı ise yüzey alanı üzerinden birimka- re başına 24 TL olarak hesaplanmaktadır. Buna göre, kâr fonksiyonunun x’e bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 144x2 – x3 B) 6x2 – 6x3 C) 144x2 – 6x3 D) 24x2 – x3 E) 6x3 – 144x2 11

SIRA SENDE - 2 FONKSİYONLAR 4. Bir enerji şirketinde çalışan endüstri mühendisi, şirke- 5. Bir işyeri güvenlik alarmı şirketi en fazla 2000 işyeri- tinin bir bölgeye döşeyeceği elektrik kablosu ile ilgili ne hizmet verebilmekte ve aylık abonelik ücretini ₺250 maliyet çıkarmak istiyor. Elektrik kablosunun döşene- yaptığında bu sayıya ulaşabilmektedir. Bu şirket aylık ceği arazinin krokisi aşağıdaki gibidir. internet ücretine yaptığı her ₺5’lik zam sonrasında müşteri sayısında 40 azalma olduğunu tespit etmiştir. 1 km A DB Bu şirket x defa ₺5’lik zam yaptığına göre bir ayda elde edeceği toplam gelirin x’e bağlı fonksiyonu 40 metre aşağıdakilerden hangisidir? C A) 200 (2500 – x2) A noktasından karadan kıyı boyunca döşenmeye baş- layan kablo, B noktasından nehir içinden döşenmeye B) 20 (x2 – 50) devam ederek C noktasında son buluyor. C noktası nehrin karşı kıyısından olup diğer kıyıya uzaklığı 40 C) 400 (250 – x2) metredir. |AD| = 1 km , |BD| = x m D) 2000x – 50x2 olarak verilmiştir. Kablonun karadaki döşeme maliyeti metre başına E) 2500x – 250x2 ₺100, sudaki döşeme maliyeti metre başına ₺150’dir. Buna göre, M(x) maliyet fonksiyonunun x’e bağlı unschool.com.tr eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 50a3 1600 + x2 + 2000 – 2xk B) 100a 1600 + x2 + 1000 – xk C) 1600 + x2 + 1000 – x D) 160 + x2 + 2000 – x E) 150 1600 + x2 + 1000 – 10x 4.A 5.A 12

FONKSİYONLAR TANIM KÜMESİ – GÖRÜNTÜ KÜMESİ Fonksiyonlarda girdilerin oluşturduğu kümeye tanım kümesi (x’ler kümesi), çıktıların oluşturduğu kümeye görüntü küme- si (y’ler veya f(x)’ler kümesi) denildiğini en başta belirtmiştim. Şimdi size bunları fonksiyon çeşitlerine bağlı olarak detaylandırayım: 1) POLİNOM FONKSİYONLAR n doğal sayı olmak üzere f(x) = anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 biçimindeki fonksiyonlardır ve tanım kümesi R’dir. Bu fonksiyon tiplerinde genellikle görüntü kümesi sorulur veya R’nin bir alt kümesinde işlem yapılır. Örnek A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} kümesi verilsin. f fonksiyonu, A kümesindeki her elemanı karesine götürüyor. Buna göre, f(A) kümesindeki elemanların toplamı kaçtır? A) 32 B) 28 C) 16 D) 14 E) 36 Bu soruda f(x) = x2 olarak yazıldığında f(–2) = f(2) = 4 , f(–1) = f(1) = 1 , f(0) = 0 , f(3) = 9 ve f(A) = {0, 1, 4, 9} , toplamları 0 + 1 + 4 + 9 = 14 olur. Örnek f(x) = –2x + 7 fonksiyonu ile ilgili I) Tanım kümesi (–3, 7] olduğunda görüntü kümesi [–7, 13) oluyor II) Görüntü kümesi [–1, 5] olduğunda tanım kümesi [1, 4] oluyor III) Tanım kümesi Z– ise görüntü kümesi Z+ oluyor ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III Bu soruda f(x) = –2x + 7 fonksiyonu için I) –3 < x ≤ 7 , –14 ≤ –2x < 6 ve –7 ≤ –2x + 7 < 13 olduğundan doğrudur. II) –1 ≤ –2x + 7 ≤ 5 , –8 ≤ –2x ≤ –2 , 1 ≤ x ≤ 4 olduğundan doğrudur. III) Bu şıkka özellikle dikkat edelim. “Tanım kümesi Z – olduğunda görüntü kümesi Z + oluyor” demek, “tüm negatif tam sayıları fonksiyonda yerine yazınca tüm pozitif tam sayıları elde ederiz demektir. Bakalım o zaman; Z– = {… , –3, –2, –1} , f(x) = –2x + 7 f(Z– ) = {9, 11, 13, …} oluyor. Yani bu doğru değil. Cevap I ve II yani C şıkkı. 13

FONKSİYONLAR 2) RASYONEL FONKSİYONLAR Rasyonel fonksiyonlarda payda sıfır olmamalı. Yani, f(x) = P (x) ifadesinde Q(x) ≠ 0 olmalı. Q (x) Burada özellikle fonksiyonun size sunulduğu hali önemli. f(x) = x2 fonksiyonunda x’leri sadeleştirip x “f(x) = x kaldı. O yüzden payda gitti, x yerine önüme ne gelirse yazarım” diyemeyiz. Fonksiyonun ilk halinde x = 0 paydayı tanımsız yaptığı için tanım kümesi R – {0} yazılır. Örnek f(x) = x3 – 8x fonksiyonun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x2 – 2x A) R B) R – {2} C) R – {0, 2} D) R – {0} E) R – [0, 2] Bu soruda da yine aynı şekilde sadeleştirme peşinde koşmayalım. İlk sunulduğu halde payda ne ise onun köklerine yoğunlaşalım: x2 – 2x = 0 , x = 0 , x = 2 paydayı tanımsız yapacağından tanım kümesi R – {0, 2} Yani C şıkkı doğrudur. Örnek Bir öğretmen öğrencisine yazmasını istediği f(x) fonksiyonunun kurallarını aşağıdaki şekilde veriyor. • Rasyonel bir fonksiyon olsun • Payı x2 + 7x olsun • Paydası |x| + 3a – 15 olsun • Tanım kümesi R olsun Daha sonra öğrencisine “a yerine öyle bir tam sayı söyle ki bu koşullar sağlansın” diyor. Buna göre, öğrencinin söylediği en küçük a tam sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Bu soruda f(x) = x2 + 7x olduğundan ve tanım kümesi R olduğundan paydayı sıfır yapan x değeri yok demektir. |x| + 3a – 15 Yani |x|+ 3a – 15 ≠ 0 olmalı. Bunun için 3a – 15 > 0, a > 5 olmalı Buradan a’nın en küçük tam sayı değeri 6 olarak bulunur. Yani cevap D şıkkıdır. 14

FONKSİYONLAR 3) KÖKLÜ FONKSİYONLAR f(x) = n P (x) ifadesinde n çift ise P(x) ≥ 0 n tek ise –3 < P(x) < 3 olur. Yani, kök derecesi çift ise tanım kümesinde öyle x değerleri yazılmalı ki kök içi negatif olmasın. Örnek Bir bilgisayar programında fonksiyonların tanım kümesi ve görüntü kümesi sayı doğrusu üzerinde yanan ışıklar saye- sinde belirtiliyor. Tanım kümesi mavi, görüntü kümesi kırmızı ışıkla belirtiliyor. Tanım ve görüntü kümesinin kesiştikleri bölgeler varsa, bu bölgelerde ışık rengi mora dönüyor. Örneğin tanım kümesi [–5, 3] , görüntü kümesi [1, 4] olan bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini gösteren ışıklı sayı doğrusu ekranda aşağıdaki gibi görünüyor. –5 3 –3 1 43 Buna göre, f(x) = –x2 + 4x + 5 fonksiyonunda sayı doğrusundaki mor ışıklı bölüm aşağıdaki aralıkların hangisidir? A) [0, 3] B) [0, 5] C) [–2, 3] D) [–1, 5] E) [0, 7] Yukarıdaki soruda aslında tanım kümesi ile görüntü kümesinin kesiştiği aralık isteniyor. Tanım kümesi x yerine yazılacak değerler, görüntü kümesi ise bu x’ler yazıldıktan sonra oluşan çıktılar yani sonuçlardır. Köklü fonksiyonda kök derecesi çift ise kök içi negatif olamaz. –x2 + 4x + 5 ≥ 0 eşitsizliğinde kökleri bulup tablo yapalım. –x2 + 4x + 5 = 0, x2 – 4x – 5 = 0 x1 = 5 x2 = –1 –1 5 –+– Tanım kümesi = [–1, 5] olur. Görüntü kümesi ise oluşan sonuçtur. f(x) = – (x – 2)2 + 9 yazılırsa x ‰ [–1, 5] iken f(x) en küçük x = 5 için 0 = 0 olur. En büyük ise x = 2 için 9 = 3 olur. Yani Görüntü kümesi [0, 3] ve buradan da [–1, 5] Æ [0, 3] kesişimleri [0, 3] bulunur. Cevap A’dır. 15

FONKSİYONLAR 4) GRAFİK ŞEKLİNDE FONKSİYONLAR Bu fonksiyonlarda apsislerin aktif olduğu aralıklar tanım kümesini, ordinatların aktif olduğu aralıklar görüntü kümesini ifade eder. Örnek y 2 3 x 5 1 0 –1 –3 Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. Bu soruda x’ler yatay, y’ler düşey eksenin aktörleridir. x’ler için solda herhangi bir sınır olmadığından –3’dan başlar. Sağda 5’te biter ama 3 apsisli noktada aktif değildir. Tanım kümesi (–3 , 5] – {3} olur. y’ler için aşağıda başlangıç –3, yukarıda ilk bitiş –1’dir. 1’den sonra tekrar başlamış ve bitişi yoktur. Yani görüntü kümesi [–3, –1) £ (1, +3) olur. 16

FONKSİYONLAR SIRA SENDE - 3 1. A = {x: –4 < x < 3, x ‰ R} 3. y olmak üzere A kümesinden R’ye tanımlı 3 f(x) = x2 – 2x , g(x) = 4 – x 2 fonksiyonları için I) –1 ≤ f(A) < 24 x II) 1 < g(A) < 8 –3 0 2 3 5 III) g(A) 3 f(A) –1 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) II ve III –3 D) Yalnız II E) I, II ve III Yukarıda y = (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, I) Tanım kümesinin en büyük elemanı 4’tür II) Görüntü kümesi [–1, 3] £ {–3} tür III) (3, 5) aralığındaki görüntü kümesi {–3} tür ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) Yalnız II D) I ve III E) I, II ve III unschool.com.tr 2. f: R – {a} → R 4. f(x) = 16 – x – 5 fonksiyonunun tanım kümesi A, gö- rüntü kümesi B ise, 1– x3 f(x) = x2 – bx + 9 A Æ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? fonksiyonu veriliyor. A) [5, 3) B) (–3 , 16] C) (5, 16) Buna göre, a + b toplamının alabileceği değerler D) [5, 16] E) (5, +3) çarpımı kaçtır? A) –81 B) 81 C) 9 D) –9 E) 36 1.E 2.A 3.B 4.D 17

FONKSİYONLAR FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM “Tanım kümelerindeki ortak elemanlar için dört işlem gerçekleştirebiliriz.” A Æ B ≠ Ø olmak üzere f: A → R , g: B → R biçiminde tanımlı f ve g fonksiyonları için 99 f ± g: A Æ B → R, (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) 99 f . g: A Æ B → R, (f . g)(x) = f(x) . g(x) 99 f : A Æ B → R, d f n(x) = f (fl) , g(x) ≠ 0 g g g (x) Ayrıca 99 fn(x) = [f(x)]n 99 (k . f)(x) = k . f(x) biçiminde yazılır. Örnek f(x) = 4 16 – x + x + 2 ve g(x) = x – 4 + |x| fonksiyonları veriliyor. Buna göre, f + g fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [5, +3) B) [4, 16] C) R D) (–3 , 16) E) [5, 15] Bu soruda f + g fonksiyonu f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin ortak elemanlarında tanımlıdır. f(x) = 4 16 – x + x + x fonksiyonunun tanım kümesi 16 – x ≥ 0 ifadesinden (–3 , 16] ve g(x) = x – 4 + |x| fonksiyonunun tanım kümesi x – 4 ≥ 0 ifadesinden [4, +3) olacağından, bu iki aralığın kesişimi [4, 16] kümesidir. Yani cevap B’dir. Örnek A = {x: –3 < x < 15 , x = 3k , k ‰ Z} B = {x: 0 < x < 20 , x = 2k , k ‰ Z} kümeleri veriliyor. f: A → R ve f(x) = |x| g: B → R ve g(x) = “f(x)’in pozitif tam sayı bölen sayısı” olmak üzere f . g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) {(6, 24) , (12, 72)} B) {(6, 36) , (12, 72)} C) {(6, 12) , (12, 72) , (18, 144)} D) {(4, 15)} E) {(8, 24) , (16, 4)} Öncelikle tanım kümelerini bulalım: A = {0, 3, 6, 9, 12} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} Ortak elemanlar A Æ B = {6, 12} f . g fonksiyonunda f(6) . g(6) = |6| . g(6) olur. 18

FONKSİYONLAR g(6) = “f(6) = 6'nın pozitif bölen sayısı” = 4 f(6) . g(6) = 6 . 4 = 24 olur. f(12) . g(12) = |12| . g(12) g(12) = “f(12) nin pozitif bölen sayısı” = 6 f(12) . g(12) = 12 . 6 = 72 ve f . g = {(6, 24), (12, 72)} olur. Yani cevap A şıkkıdır. Örnek y y 3 3 y = f(x) y = g(x) –2 0 x xı –3 –2 0 2 4 –1 Yukarıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, 3f – 2g fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (2, –2) B) [–2, 2] C) (–3, 4) D) (–1, 3) E) {3} Bu soruda ise grafik üzerinden yorum yapılması istenmiş. Aslında soru kuru kalabalık. Biz 3f – 2g işlemi için tanım kü- mesinin ortak aralığını bulmalıyız. f için tanım kümesi (–2, 4] g için tanım kümesi [–3, 2) olduğundan 3f – 2g fonksiyonu için tanım kümesi (–2, 2) olur. Cevap A’dır. Fonksiyonların bir diğer soru tipi ise yerine koyma sorularıdır. Bunun için aslında biraz matematiksel işlemlerle boğuşma sabrımızın olması gerekir. 99 f(x) = 4x – x2 ise f(5) kaçtır? sorusunda x = 5 yazdığımızda sonuca ulaşıyoruz. Eşitliğin bir tarafında değişken yerine ne yazıyorsak diğer tarafta da onu yazmalıyız. f(5) = 4 . 5 – 52 = 20 – 25 = –5 “ A slında tüm olay, y = f(x) ifadesinde parantez içinde bize ne vermiş, bizden ne istiyor?” sorusunun cevabını bulmakta gizli (parantez içi) Şöyle basitten zora doğru biraz egzersiz yapalım: 19

FONKSİYONLAR Örnek x > 0 olmak üzere f(x2 – 2x) = 3x – x3 fonksiyonu için f(8) değeri kaçtır? A) –2 B) –14 C) 2 D) –52 E) 60 Burada girdinin x, çıktının 3x – x3 olduğunu unutmayalım. x2 – 2x ifadesini 8 yapan x > 0 değerini 3x – x3 ifadesinde de yerine yazarız. x2 – 2x = 8, x2 – 2x – 8 = 0 x = 4 veya x = –2 olur. x > 0 koşuluna göre x = 4 f(x2 – 2x) = 3x – x3 ifadesinde yerine yazılırsa f(42 – 2 . 4) = 3 . 4 – 43 f(8) = – 52 yani D şıkkı bulunur. Örnek n bir doğal sayı olmak üzere, x’in tüm reel sayı değerleri için f(x) fonksiyonu n ≤ x < n + 1, f(x) = 3x – n biçiminde tanımlanıyor. fc 1 m – fc 7 m 2 2 Buna göre, 3 işleminin sonucu kaçtır? 2 fc m A) – 12 B) 3 C) – 5 7 7 12 D) 12 E) – 3 5 5 Adam diyor ki: n = {0, 1, 2, 3, …} değerlerine göre f(x) şekilleniyor. n = 0 için 0 ≤ x < 1, f(x) = 3x ... 1 n = 1 için 1 ≤ x < 2, f(x) = 3x – 1 ... 2 n = 2 için 2 ≤ x < 3, f(x) = 3x – 2 ... 3 n = 3 için 3 ≤ x < 4, f(x) = 3x – 3 ... 4 olur. fc 1 m için 1 nolu, fc 7 m için 4 nolu, fc 3 m için 2 nolu eşitlikler kullanılır. 2 2 2 fc 1 m = 3 : 1 = 3 , fc 7 m = 3 : 7 –3= 15 2 2 2 2 2 2 fc 3 m = 3 : 3 – 1= 7 olur. 2 2 2 Buradan 3 – 15 = – 12 bulunur. 2 2 7 7 2 Cevap A olur. 20

FONKSİYONLAR SIRA SENDE - 4 1. Reel sayılarda f ve g fonksiyonları 4. n bir doğal sayı olmak üzere, reel sayılarda f fonksi- yonu f(x) = 3x (x + 1) f(x) = x2 + n, n ≤ x < n + 1 4 biçiminde tanımlanıyor. g(x) = (x – 6) (x – 4) 18 Buna göre, f(2) + f(5) toplamı kaçtır? şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, A) 25 B) 7 C) 16 D) 30 E) 32 f(x – 3) = g(2x) eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır? A) 3 B) 0 C) 5 D) 2 E) 1 2. y 5. Bir hayvan barınağına her gün, artan miktarlarda kö- pek kabul edilecektir. 1. gün kabul edilen köpek adedi –4 0 5x f(1) , 2. gün kabul edilen köpek adedi f(2) , n.gün kabul –1 edilen köpek adedi f(n) ile gösteriliyor. n yerine yazıla- unschool.com.tr bilecek tüm gün numaraları için –2 • (n + 2). gün, n. günden 4 adet fazla köpek kabul Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. edilmiştir Tanım kümesinde olan a ve b reel sayıları için, • (n + 3). gün, n. günden 6 adet fazla köpek kabul I) f(a + b) > 0 ise a + b < – 4 edilmiştir 4. gün 18 adet köpek kabul edildiğine göre, 15. gün kaç adet köpek kabul edilmiştir? A) 40 B) 25 C) 27 D) 45 E) 57 II) f(a . b) < 0 ise a . b > –4 III) fb a l = –1 ise a = 5b b ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) II ve III D) I ve III E) I, II ve III 3. a ve b reel sayı olmak üzere, uygun koşullarda tanımlı 6. Pozitif tamsayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları f(x) fonksiyonu için f(a, b) = ekok (a, b) • f(ax + b) = 4x2 g(a, b) = ebob (a, b) 2b • f(3a) = a biçiminde veriliyor. eşitlikleri sağlandığına göre, Buna göre, f(105, g(210, 140)) ifadesinin değeri kaç- tır? b oranının alabileceği değerler çarpımı kaçtır? a A) 105 B) 140 C) 210 E) 700 A) 13 B) 8 C) 7 D) 9 E) 5 D) 1050 1.C 2.B 3.D 4.E 5.A 6.C 21

FONKSİYONLAR FONKSİYON TÜRLERİ 1) BİREBİR FONKSİYON Tanım kümesindeki farklı elemanların farklı görüntüleri olmalıdır. f: A → B olmak üzere x1 ≠ x2 ise f(x1) ≠ f(x2) olduğunda f birebir fonksiyondur. f g AB AB 1a a 2b 1b 3c 2c 3d Yukarıda A’dan B’ye tanımlı f ve g kümeleri verilmiştir. Burada f fonksiyonunda 1 ile 2 aynı yere gittiğinden bu fonksiyon birebir değildir. g’de ise aynı yere giden eleman yoktur. g birebirdir. Şimdi biraz fonksiyon inceleyelim: 99 f: R → R f(x) = x3 + 1 fonksiyonunda x yerine hangi reel sayıları yazarsak yazalım hepsi farklı yerlere gider. f birebirdir. 99 f: R → R f(x) = |x| + 6 fonksiyonunda f(–2) = 8 , f(2) = 8 olduğundan farklı elemanlar aynı görüntüye sahiptir. f birebir değildir. 99 f: N → R f(x) = |x| + 6 fonksiyonunda ise x yerine sadece doğal sayıları yazabileceğimizden farklı elemanlar aynı yere gidemez. f birebirdir. 99 f: R → R y y=f(x) 0 ab x Yukarıdaki f(x) fonksiyonunda ise a ile b sayılarının görüntüleri aynıdır. f birebir değildir. “Grafik sorularında, x eksenine paraleller çizdiğinizde fonksiyon grafiğini birden fazla noktada keserse o fonksiyon birebir değildir.” 22

FONKSİYONLAR Örnek f: A → R+ biçiminde f(x) = |x| – 4 + |x| fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, I) Tanım kümesi R – (–4, 4) tür II) A kümesi R – (–6, 6) olduğunda f birebirdir III) A kümesi (5, +3) olduğunda f birebirdir ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III Yukarıdaki soruda hem fonksiyon olma koşulu, hem de birebirlik koşulu sorulmuş. Fonksiyon olma koşulunda kök dere- cesi çift ise kök içindeki sayı negatif olamayacağından |x| – 4 ≥ 0 |x| ≥ 4, x ≥ 4 veya x ≤ –4 olmalı. Yani tanım kümesi (–3, –4] £ [4, +3) veya R – (–4, 4) biçiminde ifade edilebilir. Yani I doğrudur. Birebirlikte farklı elemanların görüntüleri farklı olacağından bu fonksiyonda kilit kısım “|x|” ifadesidir. Aralık negatif ve pozitif yerleri kaparsa fonksiyon birebir olmaz. R – (–6, 6) aralığında f(7) = f(–7) olacağından f birebir olamaz. Oysaki III’teki (5, +3) aralığında sadece tanım kümesindeki pozitif sayıla olduğundan f birebirdir. Yani cevap I ve III olup D şıkkıdır. Örnek A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı f fonksiyonu için • Birebirdir • f(1) = 1'dir. ifadeleri verildiğine göre, kaç farklı f fonksiyonu yazılabilir? A) 24 B) 120 C) 96 D) 36 E) 45 Fonksiyon sayısında her elemanın gidebileceği kaç yer olduğunu bulup, bu ihtimalleri çarparız demiştik. Hadi başlayalım: f f(1) = 1 olduğundan ve f birebir ise 2 için 4 yer; 3 için 3 yer; 4 için 2 yer AB ve 5 için 1 yer olur. 11 Bu mantıkla 4 . 3 . 2 . 1 = 24 bulunur. 22 33 Cevap A 44 55 23

FONKSİYONLAR 2) ÖRTEN FONKSİYON f: A → B ise f(A) = B olduğunda f fonksiyonu örtendir. Yani değer kümesinde açıkta eleman kalmamalı. f g AB AB 1a 1a 2b 2 b f örten değil fakat g örtendir. 3c 3c 3) İÇİNE FONKSİYON f: A → B ise f(A) ≠ B olduğunda f fonksiyonu içine olur. Yani değer kümesinde açıkta eleman kalırsa “fonksiyon içinedir” denir. Biraz fonksiyon inceleyelim o zaman: 99 f: R → R f(x) = x3 + 5 fonksiyonunda değer kümesi tüm reel sayılardır. Biz x yerine değerler yazarak tüm R’yi elde edebiliriz. O zaman f örtendir. “Burada önemli olan şey, f: A → B ifadesinde tüm B kümesini elde edebiliyorsak f örten, aksi halde içinedir.” 99 f: R → R f(x) = x2 + 1 fonksiyonunda değer kümesi R’dir. x2 + 1 ifadesiyle negatif sayılar elde edilemediğinden ikinci kümede açıkta eleman kalır. R örten olmaz içine olur. 99 f: Z → Z f(x) = 2x + 1 ifadesinde x’in katsayısı olan ‘den dolayı x ‰ Z için 2x + 1 ifadesindeki sayı dizisi 2 şer 2 şer gideceğinden görüntü kümesinde açıkta eleman kalır ve f içine olur. x’in katsayısı –1 veya 1 olsaydı ne güzel olurdu değil mi ama? Örnek A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3} olmak üzere, A’dan B’ye kaç örten fonksiyon tanımlanabilir? A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 48 Burada önce kendimize örnek model olarak bir örten fonksiyon hazırlayalım: f s(A) = 4 , s(B) = 3 olduğundan örten olabilecek her fonksiyonda A’nın herhangi B iki elemanı B’nin bir elemanına girmek zorunda kalacak. A 1 Örneğin 2 1 Yukarıdaki modelde (1, 2) 3 yere, 3 2 yere ve 4 1 yere gidebileceğinden ikili grup 3 2 olarak (1, 2) ’yi aldığımızda 3 . 2 . 1 = 6 durum oluşur. 3 c42m = 4! 4 A kümesindeki ikili grup sayısı 2! . 2! =6 olduğundan sonuç c42m . 3 . 2 . 1 = 36 olarak bulunur. Cevap D şıkkıdır. 24

FONKSİYONLAR 4) SABİT FONKSİYON Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesinde sadece bir elemana gitmesiyle oluşur. 99 f 99 A = {1, 2, 3} , B = {0, –1, 2, 4} A B f: A → B f = {(1, 0) , (2, 0) , (3, 0)} 1 d 2 e 3 f 99 f: R → R 99 f: R – {2} → R f(x) = 4 f(x) = 2x – 4 x–2 99 y 4 y = 1(x) x 0 f(x) = anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 biçiminde polinom fonksiyon ise tüm x’li terimlerin katsayıları sıfır olmalı Sabit terim de sıfırsa yani f(x) = 0 şeklindeyse bu sabit fonksiyona özel olarak SIFIR FONKSİYON denir. Örnek f(x) = ax(x – 3) + 4x2 + bx fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre a . b çarpımı kaçtır? A) 48 B) 24 C) –24 D) –48 E) –36 f(x) fonksiyonunu önce düzenlemeliyiz. f(x) = ax2 – 3ax + 4x2 + bx, f(x) = x2(a + 4) + x(b – 3a) ifadesinde a + 4 = 0 , b – 3a = 0 olması gerektiğinden a = –4 , b = 12 ve a . b = –48 olur. Cevap D şıkkıdır. 25

FONKSİYONLAR f (x) = an xn + an–1 xn–1+ ... a1x + a0 formatındaki bir fonksiyon sabit fonksiyon ise an = an–1 = ...... = a0 olmalıdır. bn xn + bn–1 xn–1+ ... b1 x + b0 bn bn–1 b0 Örnek f(x) = x2 – ax2 + 6x + b x+c fonksiyonu için, • Sabit fonksiyondur • Tanım kümesi R – {4} kümesidir ifadeleri bilindiğine göre, f(2) + a + b + c toplamı kaçtır? A) –21 B) –12 C) –6 D) 14 E) 18 Tanım kümesi R – {4} ise “4” paydanın kökü olacağından c = –4 olmalıdır. f(x) = x2(1– a) + 6x + b ifadesinde payın ve paydanın derecesi aynı olmalı yani a = 1 olmalıdır. x–4 f(x) = 6x + b , 6 = b ifadesinde de b = –24 bulunur. x–4 1 –4 Son durumda f(x) = 6x – 24 , f(x) = 6 (x – 4) , f(x) = 6 olur. x – 4 x–4 O zaman f(2) de 6 olmalıdır. f(2) + a + b + c ifadesi de 6 + 1 – 24 – 4 = –21 olur. Cevap A şıkkıdır. 5) BİRİM (ÖZDEŞLİK) FONKSİYON Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyonlardır. “Birim fonksiyonda girdi ne ise çıktı odur.” 99 f(x) = x , 99 f(3x2 + 1) = 3x2 + 1 Birim fonksiyon I ile gösterilir. I(2) = 2 , I(–r) = –r , I(100) = 100 26

FONKSİYONLAR 99 f 99 A = {1, 2, 3} olmak üzere A B f: A → A f: {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3)} a a b b c c 99 y 99 f(x) = x y=x 0 x E) 11 Örnek f(x) fonksiyonu birim fonksiyon, f(x2 + ax + 4) = (b – 1)x3 + cx2 + 6x + 4 olduğuna göre, f(a + b – c) ifadesinin değeri kaçtır? A) 4 B) 6 C) –2 D) 7 Birim fonksiyonda girdilerle çıktılar aynı olmalıdır. f(x2 + ax + 4) = (b – 1)x3 + cx2 + 6x + 4 Girdi Çıktı = x2 +ax + 4 olmalı (b – 1)x3 + cx2 + 6x + 4 ifadesinin x2 + ax + 4 ile aynı olması için, b = 1, c = 1, a = 6 olmalı f(a + b – c) ifadesi f(6 + 1 – 1) = 6 olur. Cevap B şıkkıdır. 6) EŞİT FONKSİYONLAR Tanım ve görüntü kümeleri aynı, her eleman için görüntüleri de aynı ise bu fonksiyonlar eşittir. 99 f: A → B , g: A → C 99 f 6 x ‰ R için f(x) = g(x) A B 99 A = {1, 2, 3} 1 3 g: A → R 2 g(x) = x + 2 3 4 5 6 fonksiyonlarında tanım kümeleri aynı ve f(1) = g(1) , f(2) = g(2) , f(3) = g(3) olduğundan f ile g eşit fonksiyonlardır. 27

FONKSİYONLAR 7) DOĞRUSAL (LİNEER) FONKSİYON a, b ‰ R olmak üzere f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlardır. 99 y 99 y a>0 x x 0 0 a<0 Doğrusal artan Doğrusal azalan Örnek f fonksiyonu için, • Tanım kümesi [–5, 7] kapalı aralığıdır • Görüntü kümesi [–1, 23] kapalı aralığıdır • Doğrusal azalandır ifadeleri verildiğine göre, f(3) kaçtır? A) 19 B) –5 C) 7 D) 13 E) –6 f doğrusal azalan ise f(x) = ax + b ve a < 0 olmalıdır. O zaman f(–5) = 23 , f(7) = –1 olur. f(x) = ax + b , –5a + b = 23 a = –2 b = 13 olur. 7a + b = –1 f(x) = –2x + 13 , f(3) = 7 bulunur. Cevap C şıkkıdır. Örnek y = f(x) doğrusal fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y Buna göre, f(x) ile ilgili I) f(x) = 2 – x 2 2 II) f(6) = –2 x III) f(–2) = 4 04 y = f(x) ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 28

FONKSİYONLAR Bu soruyu çözerken, doğrusal fonksiyonun da detayına girelim. Doğrusal fonksiyon ile ilgili iki soru tipi karşınıza çıkar. I) Grafik verilir denklem istenir II) Denklem verilir grafik istenir I) Grafik verilir denklem istenirse y y y B b 0 ax A x x 0 0 Eksenleri kestiği noktalar Herhangi iki nokta verilmişse y=ax+b y = ax + b ifadesinde bu verilmişse x + y =1 kullanılabilir. noktalar yerine yazılarak eğim y’yi kestiği a b a ve b bulunur. nokta Bunların dışında analitik geometride kullandığımız “iki noktası verilen doğru denklemi” veya “eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi” bilgilerinden de bunları bulabiliriz. Peki eğim nasıl bulunur? 99A(x1, y1) , B(x2, y2) noktaları için eğim m = y2 – y1 x2 – x1 99 y Doğrusu için eğim, x ekseniyle yaptığı pozitif açı α ise eğim = m = tanα olur. α 0 x Mesela; y Doğrusunda iki seçeneğimiz var 4 A(0, 4) , B(–3, 0) dersek 0 eğim = m = 0–4 = 4 olur. y –3 –3 – 0 3 tanα = 4 olur. 4 3 x Hangisi size kolay geliyorsa onu kullanın. α x –3 0 29

FONKSİYONLAR Şimdi soruya dönelim: y α geniş açı olduğundan tanα < 0 olur. Eğim = – 2 = – 1 4 2 2 y = ax + b, a eğim, b y’yi kestiği nokta olarak alırsak α x f(x) = – x + 2 olur. 4 2 0 Buna göre soruda verilen f(6) = –1, f(–2) = 3 olur. Yalnız I doğrudur. Cevap A şıkkı. II) Denklem verilip grafik istenirse x = 0 için y’yi, y = 0 için x’i kestiği noktalar bulunur. Örnek 20 litre 30 litre A havuzu B havuzu Şekilde dolu olan A ve B havuzları ve içindeki su miktarları verilmiştir. A havuzu 80, B havuzu 60 dakikada tamamen boşalmaktadır. A ve B havuzlarının boşalma hızları doğrusal olarak gerçekleşmektedir. Buna göre, havuzdaki suların değişiminin zamana bağlı grafiği aağıdakilerden hangisidir? A) Su miktarı (litre) Zaman B) Su miktarı (litre) C) Su miktarı (litre) 80 (dakika) 30 30 30 20 20 0 20 60 10 Zaman 0 40 60 80 (dakika) Zaman 0 20 60 80 (dakika) D) Su miktarı (litre) E) Su miktarı (litre) 30 80 20 60 Zaman Zaman 0 60 80 (dakika) 0 20 30 (dakika) 30

FONKSİYONLAR Bu soruda önce ayrı ayrı iki grafik düşünebiliriz. 20 20 0 80 eğim α α geniş açı A havuzu 80 tan α = – 20 =– 1 80 4 f(x) = a x + b, f(x) = – x + 20 4 eğim y’yi kestiği nokta 30 30 eğim α geniş açı α 0 60 60 A havuzu tan α = – 30 =– 1 60 2 g(x) = ax + b, g(x) = – x + 30 2 Bunların kesiştikleri noktalar, – x + 30 = – x + 20 denkleminin çözümünden x = 40 bulunur. 2 4 Yani cevap C şıkkıdır. 31

SIRA SENDE - 5 FONKSİYONLAR 1. x ‰ (–3, 3) açık aralığında f birim fonksiyon olmaktadır. 4. x ‰ [m, m + 1) ve m bir doğal sayı olmak üzere, Reel sayılarda tanımlı f fonksiyonu için f(x) = mx + m + 2 fonksiyonu için, f(x) = f(x + 6) I) x basit kesir ise f sabit fonksiyondur. olduğuna göre f(20) kaçtır? II) x ‰ [1, 2) ise f(x) ‰ [4, 5) olur. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 III) 2 . fc 3 m + f(m) = 23 denkleminde m = 3’tür. 2 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 2. f: R – {2} → R 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi veriliyor. • f: A → A f(x) = x2 – 5x + 6 • f birebirdir x–2 • f(2) < f(6) fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, unschool.com.tr koşuluna uygun kaç f fonksiyonu yazılabilir? f fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden A) 360 B) 240 C) 180 D) 160 E) 120 hangisidir? A) R B) R – {2} C) R – {–1} D) R – {3} E) R+ 6. A ve B boş kümeden farklı iki küme ve A’dan B’ye ta- nımlı birebir ve örten f fonksiyonu verilsin. 3. f: R – {a} → B Buna göre, I) s(A) = s(B) f(x) = 2x + 4 II) A = B x+b III) Her x ‰ A için f(x) = x olur. fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, ifadelerinden hangileri daima doğrudur? a . b çarpımı kaçtır? A) Yalnız I B) I ve II C) II ve III A) 4 B) –4 C) 2 D) –2 E) 0 D) I ve III E) I, II ve III 1.A 2.C 3.B 4.E 5.A 6.A 32

FONKSİYONLAR SIRA SENDE - 5 7. f: Z → Z 10. A ve B kümeleri için f(x) = (a2 – 3)x + 4 fonksiyonu örten olduğuna göre, A = {2n: n ve n2 rakam} a’nın alacağı değerler çarpımı kaçtır? B = {m: m ve m rakam} 3 ifadeleri veriliyor. A) 8 B) –4 C) –8 D) 6 E) 2 Buna göre, A kümesinden B kümesine I) f(x) > x olacak şekilde 18 farklı f fonksiyonu tanım- lanabilir II) f(2) = 3 olacak şekilde 12 birebir f fonksiyonu ta- nımlanabilir III) Örten 256 f fonksiyonu tanımlanabilir ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 8. A = {n: 1 < n2 < 10 , n ‰ Z} unschool.com.tr B = {n: |n| < 2 , n ‰ Z} kümeleri veriliyor. A kümesinden B kümesine örten kaç fonksiyon ta- nımlanır? A) 24 B) 36 C) 18 D) 12 E) 27 9. Reel sayılarda tanımlı f fonksiyonu, 11. 540 km • x negatif ise f(x) = x2 AB V1 V2 • x negatif değilse f(x) = x A şehrinde bulunan V1 ile A’ya 540 km uzaklıktaki B biçiminde tanımlanıyor. şehrinde bulunan V2 aracı aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyor. Aşağıdaki grafikte bu iki hareketlinin A şehrine olan uzaklığının zamana bağlı değişimi göste- rilmiştir. A şehrine uzaklık (km) 540 Buna göre, I) f, birebirdir 0 6 9 Zaman (saat) II) f, örtendir Saat 19:00’da harekete başladıklarına göre, saat III) Her x ‰ R+ için f(x) ≤ f(–x) kaçta karşılaşırlar? ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) II ve III A) 20:06 B) 21:06 C) 21:16 D) I, II ve III E) Yalnız III D) 22:36 E) 22:16 7.A 8.B 9.E 10.A 11.D 33

FONKSİYONLAR PARÇALI FONKSİYON Değişen koşullara göre kuralı değişen fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Örneğin, f(x) = g(x) , a < x ≤ b h(x) , b ≤ x < c fonksiyonunda a < x ≤ b koşuluna göre kural g(x) , b ≤ x < c koşuluna göre kural h(x) olmuştur. Burada a, b, c değerlerine “kritik nokta” denir. Örnek Silindir hacmi 1600 cm3’e kadar olan araçlar için, vergisiz satış tutarı 92.000 TL’ye kadar olan araçların ÖTV oranı %45, ₺92.000 – ₺150.000 arasında ÖTV oranı %50, ₺150.000 ve üzeri ÖTV oranı ise %80 olarak hesaplanmaktadır. Bir aracın KDV’siz satış tutarı, vergisiz satış tutarına ÖTV eklenerek belirlenir. Buna göre, vergisiz satış tutarı x olan 1300 cm3 hacmindeki bir aracın KDV’siz satış fiyatının x’e bağlı fonksiyonu olan s(x)’i bulunuz. Bu soruda koşullar x ≤ 92.000, 92.000 < x < 150.000 ve x ≥ 150.000 olarak belirlenmiştir. s(x) ise x + x: 45 , x+ x: 50 ve x + x: 80 olarak yazıldığında 100 100 100 29x , x ≤ 92.000 s(x) = 20 3x , 92.000 < x < 150.000 2 9x , x ≥ 150.000 5 olarak yazılır. Örnek Reel sayılarda tanımlı f fonksiyonu f(x + 3) = 3x + 2 , x <2 5x – 2 , x ≥ 2 olduğuna göre, f(–5) + f(7) değeri kaçtır? A) 20 B) –4 C) 40 D) –12 E) 40 Burada f(–5) için x yerine –8 yazmalıyız. –8 < 2 olduğundan f(x + 3) = 3x + 2 f(–5) = –22 olur. f(7) için x yerine 4 yazmalıyız. f(x + 3) = 5x – 2, f(7) = 18 ve 18 + (–22) = –4 olur. Cevap B şıkkıdır. 34

FONKSİYONLAR Örnek x2 , x < 0 f(x) = 5 , 0≤x<4 –x + 9 , x > 4 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Burada koşullar x < 0, 0 ≤ x < 4 ve x > 4 aralıklar; kurallar ise y = x2, y = 5, y = –x + 9 grafikleridir. x < 0 için y = x2 için Bunun yanına 0 ≤ x < 4 için y = 5 yy y = x2 y = x2 5 0 x 4 x 0 ve en son parça olarak x > 4 için y = –x + 9 y y = x2 5 04 x 9 parçalarından y = f(x) oluşur. “Grafiği çizerseniz fonksiyonun birebir, örten, sabit, artan, azalan, pozitif tanımlı, negatif tanımlı olduğu tüm aralık- ları görürsünüz. Yani grafik bir fonksiyonun röntgenidir.” 35

FONKSİYONLAR Örnek f: R → R olmak üzere, 4 , –1 ≤ x < 4 f(x) = –x + 3 , x < –1 2x – 4 , x ≥ 4 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, I) f(x) fonksiyonu örtendir II) f(x) fonksiyonu birebirdir III) f(2) – f(–3) = –2 dir ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III Bu soruyu çözmek için grafik yöntemi en iyi yöntemdir. y y = 2x – 4 4 3 –1 0 34 x y = –x + 3 x eksenine paraleller çizdiğinizde grafiği birden fazla noktada kestiğinden f birebir değil; bazı yerlerde kesmediğinden f: R → R koşuluna göre f örten değil içinedir. f(2) için, –1 ≤ x < 4 koşulunu sağladığından sonucu 4, f(–3) için x < –1 koşulunu sağladığından –x + 3 ifadesinde –(–3) + 3 = 6 bulunur. 4 – 6 = –2 olur. Yani sadece III doğru olduğundan cevap C şıkkıdır. 36

FONKSİYONLAR SIRA SENDE - 6 1. f: R → A ve A 3 R olmak üzere, 4. Reel sayılarda tanımlı f fonksiyonu için f(x) = –x + 5 , x < 2 • x ‰ (–3 ,3] ise f(x) = f(x + 2) olur x+1 , x≥2 • x ‰ [3, 5] ise f(x) = |x| + 2 fonksiyonu örten olduğuna göre, • x ‰ (5, +3) ise f(x) = f(2 – x) A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ifadeleri verilmiştir. A) [3, +3) B) [2, 3] C) [2, +3) Buna göre, f(–100) + f(97) toplamı kaçtır? D) (–3, 3) E) (3, +3) A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 13 2. Z tamsayılar kümesi olmak üzere, f: Z+ x Z+ → R f(x, y) = x + y , x tam sayı unschool.com.tr x . y , x tam sayı değil biçiminde f fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, 2 < m < 7 koşulunu sağlayan m tam 5. y sayıları için, f(m, 3) + f(m, 5) ifadesinin alabileceği y = (f + g)(x) değerler toplamı kaçtır? A) 128 B) 144 C) 96 D) 80 E) 49 a0 bc x y = (f – g)(x) 3. Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları Yukarıda f + g ve f – g fonksiyonlarının grafikleri veril- g(x) = x3 + 1 miştir. f(x) = 2x + 1 , g(x) ≤ 0 Buna göre, 3x + 2 , g(x) > 0 I) (f . g)(a) > 0 II) f(b) . f(a) > 0 III) g(c) . g(a) < 0 olarak tanımlanıyor. ifadelerinden hangileri doğrudur? f(–1) + f(2) toplamı kaçtır? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III A) 6 B) 7 C) –3 D) –2 E) 5 D) II ve III E) I, II ve III 1.A 2.A 3.B 4.D 5.D 37

FONKSİYONLAR BİLEŞKE FONKSİYON f: A → B örten fonksiyon ve g: B → C fonksiyonu verilsin. A’nın tüm elemanlarını önce f yardımıyla B’ye sonra da g yardımıyla C’ye eşleyen fonksiyonlara “bileşke fonksiyon”denir. (gof): A → C olarak gösterilir. x f(x) g(f(x)) (gof)(x) fg (gof)(x): “önce x’i f’te, sonra bulunan değeri g’de yerine yaz” (fog)(x): “önce x’i g’de, sonra bulunan değeri f’te yerine yaz” 99 f(x) = x2 + 1 , g(x) = x + 3 fonksiyonları verilsin. (fog)(x) = f(g(x)) = f( x + 3) = ( x + 3)2 + 1 = x + 6 x + 10 (gof)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 1) = x2 + 1 + 3 (fog)(4) = f(g(4)) = f(5) = 26 (gof)(0) = g(f(0)) = g(1) = 1 + 3 = 4 Özellikler 1. fo(goh) = (fog)oh 2. Özel durumlar hariç fog ≠ gof Örnek f ve g doğrusal fonksiyonlar olmak üzere, (fog)(x) = –2g(x) + 3 (gof)(x) = 3f(x) + 1 olduğuna göre (f . g)(2) kaçtır? A) 5 B) –3 C) –7 D) 2 E) 0 (fog)(x) = f(g(x)) = –2g(x) + 3 ifadesinde g(x) yerine 2 yazarsak f(2) = –2 . 2 + 3 = –1 (gof)(x) = g(f(x)) = 3f(x) + 1 ifadesinde f(x) yerine 2 yazarsak g(2) = 3 . 2 + 1 = 7 (f . g)(2) = f(2) . g(2) = –1 . 7 = –7 bulunur. Cevap C şıkkıdır. 38

FONKSİYONLAR Örnek Uygun koşullarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x) = (fog) (x) + 4x + 10 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, (fog)(5) değeri kaçtır? A) 36 B) –6 C) 25 D) –5 E) 10 E) 0 Bu soruda x yerine 5 yazdığımızda (fog)(5) = (fog) (5) + 30 olur. (fog) (5) = a dersek a2 – a – 30 = 0, a = 6 ve a = – 5 olur. (fog) (5) = 6 (fog) (5) = –5 (Bu olamayacağından) (fog) (5) = 6 ve (fog)(5) = 36 olur. Cevap A şıkkıdır. Örnek y 4 y = f(x) x 0 24 [0, 4] kapalı aralığında tanımlı y = f(x) fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir. Buna göre, (fof)(a) = 0 denklemini sağlayan a değerleri toplamı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 2 D) 3 (fof)(a) = 0 , f(f(a)) = 0 anlamındadır. Grafiğe baktığımızda f(0) = 0 , f(4) = 0 olduğundan f(a) = 0 , f(a) = 4 olmalıdır. a = 0 , a = 4 , a = 2 sonucuna ulaşırız. a’nın alacağı değerler toplamı 6 bulunur. Cevap B şıkkıdır. 39

FONKSİYONLAR BİR FONKSİYONUN TERSİ f: A birebir B , f–1: B → A örten x → f(x) = y f–1(y) = x Eğer f birebir ve örten olmazsa tersi fonksiyon olmaz. Çünkü fonksiyonun tersini aldığımızda tanım ve değer kümeleri yer değiştirir. Dolayısıyla birebir olmayan fonksiyonlarda bir elemanın iki görüntüsü olur. İçine olan fonksiyonlarda ise tanım kümesinde açıkta eleman kalır. 99 f(x) = y ise f–1(y) = x 99 f(3) = 5 ise f–1(5) = 3 99 f–1(x2 + 1) = x3 ise f(x3) = x2 + 1 99 fc 2x + 1 m = x +1 ise f –1 c x + 1 m = 2x + 1 x–3 x+3 x + 3 x–3 yazılabilir. Örnek Uygun koşullarda tanımlı birebir ve örten f fonksiyonu, fb x x 4 l = 3x – 1 + olarak veriliyor. Buna göre, f–1(26) aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 2 C) 7 D) 3 E) 1 4 5 4 7 2 Burada y = f(x) ise x = f–1(y) eşitliğini kullanırsak, x = f–1(3x – 1) yazabiliriz. x+4 3x – 1 = 26 için x = 3 olmalıdır. 3 = f–1(33 – 1) , f–1(26) = 3 olur. 3+4 7 Cevap D şıkkıdır. “Bir fonksiyonun tersini bulmak için verilen bağıntıda x yalnız bırakılır. Sonra x yerine f –1(x) , y = f(x) yerine ise x yazılarak şıklara uygun hale getirilir. Örnek Uygun koşullarda tanımlı f fonksiyonu f(x) = x + 4 olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 6x B) x2 – 8x + 16 C) x2 + 16 D) x2 + x E) (x – 8)2 40

FONKSİYONLAR y = x + 4 ve y – 4 = x olur. x’i yalnız bırakmak için her iki tarafın karesini alırsak y2 – 8y + 16 = x bulunur. x → f–1(x) , y → x olursa f–1(x) = x2 – 8x + 16 yani B şıkkı bulunur. Pratik kurallar: Uygun koşullarda tanımlı f, g ve h fonksiyonları için 99 (f–1)–1 = f 99 f(x) = ax + b ise f–1(x) = x–b 99 (fog)–1 = g–1of–1 a 99 (fogoh)–1 = h–1og–1of–1 99 fof–1 = f–1of = I olur. 99 f(x) = ax + b , f :R – '– d 1 → R – & a 0 cx + d c c İse f–1(x) = –dx + b olur. cx – a (fog)(x) = h(x) ifadesinde f(x)’e ulaşmak istiyorsak g(x)’i yok etmek için (gog–1)(x) = x özelliğini kullanmalıyız. (fogog–1)(x) = (hog–1)(x) f(x) = (hog–1)(x) Dikkat ederseniz eşitliğin soluna tersi hangi tarafa yazıyorsak eşitliğin sağında da aynı tarafa yazarız. 99 (fog)(x) = h(x) ifadesinde g(x)’e ulaşmak için f(x)’i yok etmeliyiz. f–1o(fog)(x) = (f–1oh)(x) , g(x) = (f–1oh)(x) olur. Örnek f ve g reel sayılarda tanımlı fonksiyonlardır. (fog)(x) = 12x – 3 g(x) = 2x + 1 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x – 9 B) 6x – 1 C) 2x + 5 D) 6x – 8 E) 8 – 4x Hadi çözelim: (fog)(x) = 12x – 3 , (fogog–1)(x) = (12x – 3)og–1(x) f(x) = (12x – 3)o x– 1 2 f(x) = 12 : c x – 1m – 3 , f(x) = 6x – 9 olur. 2 Cevap A şıkkıdır. 41

SIRA SENDE - 7 FONKSİYONLAR 1. y 3. f: R – {2} → R – {2} d olmak üzere f(x) = 2x + 1 fonksiyonu veriliyor. x–2 ax f1(x) = f(x) 0b f2(x) = (fof)(x) c f3(x) = (fofof)(x) ... fn(x) = (fofo…of)(x) Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. n tane f olduğuna göre, Tersi alınabilen f fonksiyonu için, f21(3) değeri aşağıdakilerden hangisidir? I) Tanım kümesi (a, b] aralığıdır A) 8 B) 6 C) 4 D) –6 E) 7 II) Birebir ve örtendir III) f–1 fonksiyonunun tanım kümesi [c, d] aralığıdır ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III unschool.com.tr 4. f: R → R f(x) = 3x + 4 , x rasyonel ise x2 + 1 , x rasyonel değilse fonksiyonu veriliyor. 2. y Buna göre, (fof)( 3 ) ifadesinin eşiti aşağıdakiler- den hangisidir? 4 A) 12 B) 16 C) 15 D) 17 E) 8 3 y = g(x) 2 1 y = f(x) x –2 –1 0 1 2 3 4 Şekilde mavi renkli f, kırmızı renkli g fonksiyonlarının 5. Gerçel sayılar üzerinde tanımlı birebir ve örten f ve g grafikleri verilmiştir. x = a değeri için (fog)(x) fonksiyonu fonksiyonları her x gerçel sayısı için en büyük değerini aldığına göre, (fog)(x) = f(x) – g(x) eşitliğini sağlamaktadır. a aşağıdaki aralıkların hangisindedir? f(6) = 8 olduğuna göre, A) (–1, 0) £ (1, 2) B) (–1, 0) £ (2, 3) (fog–1)(6) değeri kaçtır? C) (2, 4) D) (–1, 3) E) (–1, 2) £ (3, 4) A) 14 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 1.B 2.B 3.E 4.B 5.A 42

FONKSİYONLAR GRAFİK UYGULAMALARI MUTLAK DEĞER FONKSİYON Mutlak değer fonksiyon aslında bir parçalı fonksiyondur. y = |f(x)| ifadesinde f(x) = 0 denkleminin kökleri kritik noktalardır. |f(x)| = f(x) , f(x) ≥ 0 –f(x) , f(x) < 0 Örnek f(x) = |x – 2| + 3x fonksiyonunu parçalı biçimde yazınız. Bu soruda, x – 2 = 0 , x = 2 kritik noktadır. x ≥ 2 için f(x) = x – 2 + 3x = 4x – 2 x < 2 için f(x) = –x + 2 + 3x = 2x + 2 olur. f(x) = 4x – 2 , x ≥ 2 2x + 2 , x < 2 olarak yazılır. Mutlak değer fonksiyonun en önemli soruları grafik sorularıdır. Şimdi bunları gruplandırarak inceleyelim: fx = |ax ± b| ± |cx ±| BİÇİMİNDEKİ GRAFİKLER Burada kastettiğim şey, bir veya birden fazla doğrusal fonksiyonların mutlak değerlerinin çizimidir. y = |x| + |x – 5| , y = |x| + 3x – 4 , y = |x – 2| – |x + 4| vb. ifadeler bunlara örnektir. Peki bu grafikleri en kısa yoldan nasıl çizeriz? 99 Kritik noktalar bulunarak, bu noktaların görüntüleri işaretlenir. 99 Bu görüntüler doğrusal olarak birleştirilir. 99 Kritik noktalar dışında kalan bölgelerden değerler verilerek fonksiyonun yönü tespit edilir. Örnek f(x) = |x – 2| + |2x + 6| fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 99 Kritik noktalar x = 2 ve x = –3 olduğundan f(2) = 0 + 10 = 10 , f(–3) = 5 + 0 = 5 olur. y 10 99 Şimdi burada [–3, 2] aralığını çizmiş olduk. x > 2 ve x < –3 5 kısmını çizmek için de bu bölgelerden uygun değerler vererek doğrusal fonksiyonun yönünü tespit ederiz. –3 0 2 x 43

FONKSİYONLAR Mesela x > 2 bölgesinde herhangi bir değer verdiğimizde çıkan sonuç f(2) = 10 ifadesinden büyükse grafik yukarı, eşitse grafik düz, küçükse aşağı hareket eder. Aynı şekilde x < –3 bölgesi için de f(–3) = 5 değeri baz alınarak bu işlem yapılır. Hadi başlayalım: x > 2 için x = 4 seçelim f(4) = |4 – 2| + |2 . 4 + 6| = 2 + 14 = 16 (f(2)’den büyük) x < – 3 için x = –4 seçelim f(–4) = |–4 – 2| + |2 . (–4) + 6| = 6 + 2 = 8 (f(–3)’ten büyük) olduğundan grafiğin son hali y y = f(x) 16 şeklinde olur. 10 Şimdi burada mutlak değer fonksiyona bir ara verelim ama farklı soru tip- 8 leriyle tekrar döneceğiz. 5 –4 –3 0 24 x ÖTELEME, DÖNDÜRME, SİMETRİ 1) y = f(x) + a grafiğini çizmek için 99 y = f(x) çizilir 99 Grafik y ekseninde a birim ötelenir Yani; 99 y = f(x) + 3 için önce y = f(x) çizilir; sonra grafik y ekseninde 3 birim yukarı ötelenir (x’lere dokunma, y’lere 3 ekle) 99 y = f(x) – 5 için önce y = f(x) çizilir; sonra grafik y ekseninde 5 birim aşağı ötelenir (x’lere dokunma, y’lerden 5 çıkar) Örnek y y 4 y = f(x) y = f(x) – 4 fonksiyonunun x grafiğini çizinir –3 x Bunun anlamı “x’lere do- 0 kunma y’lerden 4 çıkar” –3 0 ifadesidir. (–3, 0) noktası (–3, –4) ve (0, 4) noktası (0, 0) olacağından grafik 4 bi- –4 rim aşağı ötelenir. y = f(x) – 4 44

FONKSİYONLAR 2) y = f(x + a) grafiğini çizmek için 99 y = f(x) çizilir 99 Grafik x ekseninde –a birim ötelenir. 99 y = f(x + 2) için y = f(x) çizilir, x ekseninde –2 birim ötelenir. Yani 2 birim sola ötelenir (y’lere dokunma, x’lerden 2 çıkar) 99 y = f(x – 5) için y = f(x) çizilir, x ekseninde +5 birim ötelenir. Yani 5 birim sağa ötelenir (y’lere dokunma, x’lere 5 ekle) Örnek y y = f(x + 2) grafiğini çiziniz. y x y’lere dokunmayıp x’lerden 2 çı- 3 3 karmak demek, grafiği sola 2 bi- 02 4 rim kaydırmak demektir. –2 0 2 x y = f(x) y = f(x + 2) 3) y = k . f(x) grafiğini çizmek için 4) y = f(k . x) grafiğini çizmek için 99 y = f(x) çizilir 99 y = f(x) çizilir 99 y’lere dokunmayıp x’ler k’ya bölünür. (k ≠ 0) 99 x’lere dokunmayıp y’ler k ile çarpılır 99 y = 3 . f(x) için y = f(x)’in ordinatları 3 ile çarpılır 99 y = – 1 . f(x) için y = f(x)’in ordinatları – 1 ile çarpılır. 2 2 “Aslında burada şunu söyleyebiliriz. y = f(x)’de parantez dışında işlem yapıyorsak söyleneni, parantez içinde işlem yapıyorsak söylenenin fonksiyon olarak tersini yaparız” Hadi biraz egzersiz yapalım. 99 y = 3 . f b x l 99 y = f(3x) 2 y’lere dokunma, x’leri 3’e böl x’leri 2 ile çarp, y’leri 3 ile çarp 99 y = 1 f(x) 2 1 x’lere dokunma, y’leri 2 ile çarp Örnek y y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. 2 Buna göre, x y = 2 . f(x – 2) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. –2 0 3 y = f(x) 45

FONKSİYONLAR Hemen kastedilen şeyi yazalım: y “y’leri 2 ile çarp, x’lere 2 ekle” Bunu iki aşamada yapalım. Önce y = f(x – 2) için grafiği 2 birim sağa öteleyelim. y Şimdi de y’leri 2 ile çarpalım 2 (0, 0) → (0, 0) 4 02 (2, 2) → (2, 4) 02 (5, 0) → (5, 0) x 5x 5 y = 2f(x – 2) y = f(x – 2) Bunlar ışığında aşağıdaki simetri işlemlerini daha iyi kavramış oluruz. 99 y = f(–x) için y = f(x)’in y eksenine göre simetriği alınır (y’lere dokunma, x’leri – ile çarp) 99 y = –f(x) için y = f(x)’in x eksenine göre simetriği alınır (x’lere dokunma, y’leri – ile çarp) 99 y = –f(–x) için y = f(x)’in orijine göre simetriği alınır (Hem y’leri, hem x’leri – ile çarp) Örnek y 2 –1 0 34 x y = f(x) Grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir. Buna göre, y = –f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Burada y = f(x)’in orijine göre simetriği istenmiştir. Bunu direkt çizmektense önce eksenlerin birine, sonra diğerine göre simetriğini alarak orijine göre simetriğine ulaşmış oluruz. O zaman y = –f(–x) için önce y = f(–x) grafiğini çizelim: y y y = f(–x) Şimdi de y = f(–x)’in x ekse- 2 nine göre simetriğini alarak y = –f(–x) grafiğine ulaşalım: –3 1 x –4 0 –4 –3 01 x y = –f(–x) 46

FONKSİYONLAR Şimdi mutlak değer fonksiyonunun grafiklerine tekrar dönelim. y y = |f(x)| için 99 y = f(x) çizilir 99 x ekseninin üst kısmı aynen kalır, x ekseninin altındaki kısım üste katlanır Örnek y y = |f(x)| grafiği çizilirse elde edilir. x –3 0 4x –3 0 4 y = f(x) y = f(|x|) için 99 y = f(x) çizilir 99 y ekseninin sağ tarafı aynen kalır (sol taraf silinir). Sağ tarafın aynısı sola katlanır Örnek y 6 Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. 0 4x y = f(x) Buna göre, y = f(|x|) fonksiyonu ve x ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 12 B) 16 C) 24 D) 36 E) 48 y y = f(|x|) için grafiğin y ekseninin sağındaki 6 kısım aynen kalır; sağın aynısı sola katlanır. Buradan da taralı alan 8.6 = 24 = 24 olarak bulunur. 2 Cevap C şıkkıdır. –4 0 x 4 47

SIRA SENDE - 8 FONKSİYONLAR 1. k, pozitif reel sayı olmak üzere y = f(x) fonksiyonu ve- 4. f(x) = |x| – |x – 6| riliyor. fonksiyonu verilsin. Buna göre, k ‰ R olmak üzere, f(x) = k denklemi için, I) y = f(x) fonksiyonunun tanım kümesi ile y = k . f(x) I) k = 5 için, denklemin bir kökü vardır fonksiyonunun tanım kümesi aynıdır. II) k = 7 için denklemin çözüm kümesi boş kümedir III) k = –6 için denklemin bir kökü vardır II) y = f(x) fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar ile y = f(k . x) fonksiyonunun x eksenini kestiği nok- ifadelerinden hangileri doğrudur? talar aynıdır. III) y = f(x) fonksiyonunun y eksenini kestiği noktalar A) Yalnız I B) I ve II C) Yalnız II ile y = 1 : f (x) fonksiyonunun y eksenini kestiği D) II ve III E) I, II ve III k noktalar aynıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 5. |x| + |x – 5| ≤ y ≤ 9 ifadesinin sınırladığı bölgenin alanı kaç birimkare- dir? A) 14 B) 18 C) 24 D) 25 E) 28 2. f(x) = –x2 + 4x – 5 fonksiyonu veriliyor. unschool.com.tr • g(x) fonksiyonu, f(x) fonksiyonunun 2 birim sağa ötelenmesiyle oluşuyor. • h(x) fonksiyonu, g(x) fonksiyonunun 3 birim aşağı ötelenmesiyle oluşuyor. Buna göre, h(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangi- 6. y 2 sidir? A) –x2 + 8x – 12 B) –x2 + 8x – 20 C) –x2 – 8x – 16 D) –x2 – 4x – 12 E) –x2 + 4x – 20 02 x y = f(x) 3. f: [–4, 2) → [–5, 3] Grafik, y = f(x) fonksiyonuna aittir. biçiminde birebir örten y = f(x) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, I) y = f(|x|) birebirdir • y = 3fb x l fonksiyonunun tanım kümesi A, II) y = f(–x) örtendir 2 III) y = |f(x)| birebirdir • y = –2f(x – 1) fonksiyonunun görüntü kümesi B ol- ifadelerinden hangileri doğrudur? duğuna göre, A Æ B kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II A) –6 B) –8 C) –12 D) –15 E) –20 D) I ve III E) I, II ve III 1.A 2.B 3.D 4.B 5.E 6.B 48

FONKSİYONLAR FONKSİYONLARIN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR y c y = f(x) 0a bx 99 y = f(x) fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar A(a, 0) ve B(b, 0) noktalarıdır. Bu aynı zamanda f(x) = 0 denkleminin köklerinin x = a , x = b değerleri olduğu anlamına gelir. 99 y = f(x) fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta C(0, c) noktasıdır. Bu aynı zamanda f(x) = c denkleminin köklerinden biri x = 0 olduğu anlamına gelir. Örnek f(x) = x2 – 4x – 12 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaların apsisleri ile y eksenini kestiği noktanın ordinatı x–2 toplamı kaçtır? A) 10 B) 4 C) –6 D) 0 E) –4 Fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın ordinatı x = 0 için y = 6 bulunur. x eksenini kestiği noktaların apsisi, f(x) = x2 – 4x – 12 ifadesinde f(x) = 0 x–2 x2 – 4x – 12 =0 , x2 – 4x – 12 = 0 (x – 2 ≠ 0) x–2 x = 6 , x = –2 bulunur. 6 + (–2) + 6 = 10 olur. Cevap A şıkkıdır. 49

FONKSİYONLAR Örnek y Koordinat düzleminde y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. • (fof)(a) = 0 3 y = f(x) • (fof)(b) = 1 2 • (fof)(c) = 3 1 olduğuna göre, –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x –1 –2 –3 a, b, c sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a < c < b B) b < a < c C) b < c < a D) c < b < a E) a < b < c 99 f(f(a)) = 0 olması için f(a) = –2 olmalı. Bunun için de a = –3 olmalı. 99 f(f(b)) = 1 olması için f(b) = 0 olmalı. Bunun için b = –2 olmalı. 99 f(f(c)) = 3 olması için f(c) = 2 olmalı. Grafiğe bakıldığında, bunun için 1 < c < 2 aralığında olması gerekiyor. Bu nedenle, a < b < c olur. Cevap E şıkkıdır. FONKSİYONLARIN POZİTİF TANIMLI, NEGATİF TANIMLI OLDUĞU ARALIKLAR 99 f(x) > 0 koşulunu sağlayan x değerlerinde f(x) pozitif tanımlıdır. 99 f(x) < 0 koşulunu sağlayan x değerlerinde f(x) negatif tanımlıdır. y ++++ + + +++++++ +++ + +++ ++++ + ++ + x a–––– 0 – ––b– c – 99 f(x) > 0 koşulunu sağlayan (–3, a) £ (b, c) £ (c, +3 ) aralığına f(x) pozitif tanımlıdır. 99 f(x) < 0 koşulunu sağlayan (a, b) aralığında ise f(x) negatif tanımlıdır. 50