كتاب الرياضيات ثالث متوسط ج2

‫)‬ ‫‪،‬‬ ‫‪%‬‬ ‫الآتية‪:‬‬ ‫الاقواس‬ ‫قياس‬ ‫جد‬ ‫متطابقة‪،‬‬ ‫اجزاء‬ ‫ثلاثة‬ ‫الى‬ ‫مقسمة‬ ‫المقابلة‬ ‫الدائرة‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪. ABC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫هناك ثلاث زوايا مركزية متطابقة مجموعها ‪360c‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪%‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫‪AB:‬‬ ‫= ‪m+ AOB‬‬ ‫‪360c‬‬ ‫=‬ ‫‪120c‬‬ ‫(‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪120‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪CO‬‬ ‫)‬ ‫‪m+ ABC‬‬ ‫‪= 120c‬‬ ‫= ‪+120c‬‬ ‫‪240c‬‬ ‫&‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪240‬‬ ‫‪ii) ABC:‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫اخرى‪:‬‬ ‫بطريقة‬ ‫او‬ ‫‪B‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪= 240‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫=‬ ‫‪360c‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪120c‬‬ ‫=‬ ‫‪240c‬‬ ‫&‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪%%‬‬ ‫لاحظ المثلثين والزاويتين المركزيتين ‪ 1,2‬والقوسين ‪ AB, CA‬والوترين ‪ AB, CA‬اذا‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تطابقت الزاويتان تطابق القوسان وتطابق المثلثان فيتطابق الوتران‪ AB, CA‬ويمكنك ان‬ ‫‪O1‬‬ ‫تستعمل مثل هذه الطريقة للتوصل الى المبرهنة التالية (بدون برهان)‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مبرهنة الاقواس والاوتار والزاوية المركزية‪ ،‬في كل دائرة او في دائرتين متطابقتين‬ ‫‪+1 , +2 + AB , AC‬‬ ‫• اذا تطابقت زاويتان مركزيتان تطابق وتراها وبالعكس‪.‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪%‬‬ ‫• اذا تطابقت زاويتان مركزيتان تطابق قوساهما وبالعكس‪.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪%‬‬ ‫• اذا تطابق قوسان تطابق وتراهما وبالعكس‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫متسا ٍو‬ ‫ال‪CC‬مثل‪%%AA‬ث‪A%%AA.BBBC,,‬‬ ‫ان‬ ‫اااللساتسعؤضامللالعمبفريهانلةداائلارقةواالمقسابلواةلاعولتاماًرالتنبر‪BB‬هن‪%%CC‬‬ ‫في‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪,‬‬ ‫معطى‬ ‫‪,‬‬ ‫‪` AB , AC , CB‬‬ ‫مبرهنة الاقواس والاوتار‬ ‫لذا فان المثلث ‪ ABC‬متساوي الاضلاع‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مبرهنة القطر العمودي‪ ،‬في كل دائرة‬ ‫مبرهنة‪ :‬القطر العمودي على وتر في دائرة ينصف الوتر وينصف‬ ‫‪DO‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪%‬‬ ‫كلا قوسيه‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫&‬ ‫‪DB,‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫&‬ ‫‪AO‬‬ ‫=‬ ‫‪BO,‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫مثال (‪ )5‬استعمل مبرهنة القطر العمودي وجد طول الوتر ‪ AB‬اذا علمت ان نصف القطر‪ OD‬يساوي ‪.5cm‬‬ ‫وان ‪DE=2cm‬‬ ‫الخطوة (‪:)1‬ارسم نصف القطر ‪D OC‬‬ ‫‪OC = OD = 5cm, DE = 2cm‬‬‫‪3cm 2cm‬‬ ‫‪A E B OE = 5 - 2 = 3cm‬‬ ‫معطى‬ ‫‪^EBh2 + ^EOh2 = ^OBh2‬‬ ‫الخطوة (‪ :)2‬مبرهنة فيثاغورس‬ ‫‪O 25 - 9 = ^EBh2‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪^EBh2 = 16 & EB = 4cm‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪ E‬منتصف ‪ AB‬مبرهنة القطر العمودي ‪` AB = 2 # EB = 2 # 4 = 8cm‬‬ ‫القطر ‪ DC‬عمودي على الوتر‪ AB‬وينصفه ‪C‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪Trangent‬‬ ‫[‪ ]5-4-2‬المماس‬ ‫مماس الدائرة‪ :‬هو المستقيم الذي يلاقي الدائرة في نقطة المماس المشترك لدائرتين‪ :‬هو مستقيم مماس لكل من‬ ‫واحدة تعرف بنقطة التماس ويكون عمودياً على نصف الدائرتين‪.‬‬ ‫القطر في نقطة التماس‪A .‬‬ ‫‪ C O‬نقطة التماس‬ ‫مبرهنة المماس‬ ‫مماس مشترك مماس مشترك داخلي مماس مشترك خارجي‬ ‫‪B‬‬ ‫مبرهنة المماسين‬ ‫مبرهنة‪ :‬القطعتان المماستان المرسومتان لدائرة من نقطة خارجة عنها متطابقتان‪A .‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ CB, CA‬مماسان للدائرة من نقطة ‪.C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪` CB , CA‬‬ ‫مثال (‪ )6‬دائرة مركزها ‪ O‬في الشكل المجاور‪ AB ،‬هو مماس للدائرة في ‪ A‬وقياس الزاوية ‪ ABO‬يساوي‪35c‬‬ ‫جد قياس الزاوية ‪ ،AOB‬ثم جد طول القطعة المستقيمة ‪.BC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪AB = AO, m +OAB = 90c‬‬ ‫‪ BA‬مماس الدائرة في النقطة ‪A‬‬ ‫‪12cm‬‬ ‫مبرهنة المماس‬ ‫‪O 35c B a m+OBA = 35c‬‬ ‫معطى‬ ‫مجموع زوايا المثلث ‪` m+AOB = 180c - (90c + 35c) = 55c 180c‬‬ ‫مبرهنة المماسين‬ ‫‪C BC=12cm‬‬ ‫في الدائرة ادناه‪ ،‬جد قياس الزوايا والاقواس فيما يأتي‪:‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪1 +AOD‬‬ ‫‪2 +COB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫الاسئلة ‪ 1-4‬مشابهة‬ ‫‪C‬‬ ‫للامثلة ‪1,2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪DBE‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪DAB‬‬ ‫‪O 43c D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫دائرة مقسمة الى ‪ 6‬اجزاء متطابقة جد قياس كل قوس مما يأتي‪:‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‬ ‫‪7‬‬ ‫)‬ ‫الاسئلة ‪ 5-7‬مشابهة ‪F‬‬ ‫‪5 AB‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪ABD‬‬ ‫‪EA‬‬ ‫للمثال ‪3‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A DB‬‬ ‫السؤال ‪ 8‬مشابه‬ ‫‪OC‬‬ ‫للمثال ‪4‬‬ ‫‪ 8‬الدائرة المجاورة مقسمة الى ‪ 4‬اجزاء متطابقة‪ ،‬برهن ان‬ ‫‪CB‬‬ ‫الشكل ‪ ABCD‬مربع‪.‬‬ ‫‪O 2.3cm‬‬ ‫‪ 9‬في الشكل المجاور استعمل مبرهنة القطر العمودي وجد طول القطعة المستقيمة‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ AB‬في الدائرة المجاورة مقرباً الناتج الى اقرب ُعشر‪.‬‬ ‫‪C 1.7cm‬‬ ‫السؤال ‪ 9‬مشابه‬ ‫السؤال ‪ 10‬مشابه‬ ‫للمثال ‪5‬‬ ‫للمثال ‪6‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 10‬استعمل مبرهنة المماس لتجد طول القطع المستقيمة ‪O 6cm‬‬ ‫‪C4cm A‬‬ ‫‪ AB,AD‬في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪52‬‬

‫جد قياس الزوايا والاقواس فيما يأتي‪:‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫(‬ ‫‪11 +COA‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‬ ‫‪12 DBE‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‬ ‫‪13 BAC‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪74c 40c‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪14 DCA‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫الدائرة مقسمة الى ‪ 8‬اجزاء متطابقة جد قياس كل قوس مما يأتي‪:‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)‬ ‫‪17‬‬ ‫)‬ ‫‪G‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪GDB‬‬ ‫‪F OB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪EC‬‬ ‫‪FB‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 18‬الدائرة المجاورة مقسمة الى ‪ 6‬اجزاء متطابقة‪ ،‬برهن ان الشكل ‪ABCDEF‬‬ ‫‪EC‬‬ ‫سداسي منتظم‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 19‬استعمل مبرهنة المماس لتجد طول القطع المستقيمة ‪ AB,AC‬في الدائرة‬ ‫‪O‬‬ ‫المجاورة‪.‬‬ ‫‪5m 13m‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪ 20‬جغرافية (براكين)‪ :‬ترتفع فوهة بركان (هولالاي) عن مستوى سطح البحر‬ ‫‪ ،2.52km‬احسب المسافة بين قمة البركان ومستوى الافق اذا علمت ان‬ ‫نصف قطر الارض ‪ 6437km‬تقريباً مقرباً الناتج لاقرب كيلومتر‪.‬‬ ‫‪ 21‬محطة فضائية‪ :‬تبعد محطة مير الروسية عن مستوى سطح البحر مسافة‬ ‫‪ 390km‬تقريباً‪ ،‬ما المسافة بين هذه المحطة والافق‪ ،‬مقرباً الناتج الى اقرب‬ ‫كيلومتر‪.‬علماً ان نصف قطر الارض ‪ 6437km‬تقريباً‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪4x - 1‬‬ ‫‪ 22‬تح ِد‪ :‬استعمل مبرهنة المماسين وجد طول ‪ AB‬في الدائرة المجاورة‪O B .‬‬ ‫‪ 23‬حس عددي‪ :‬اذا كانت الزاويتان ‪ COB,AOB‬متطابقين‪ ،‬جد طول ‪C 2x + 11‬‬ ‫‪C 8y - 8 B‬‬ ‫‪O‬‬‫‪6y‬‬ ‫‪ CB‬في الدائرة المجاورة‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫الخطوات اللازمة لتجد قياس زاوية ‪ ABC‬في الرسم‬ ‫أكتب‬ ‫?‪B‬‬ ‫‪140c O‬‬ ‫المجاور اذا علمت ان‪ BO‬ينصف الزاوية ‪ AOC‬والتي‬ ‫قياسها يساوي‪. 140c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪53‬‬

‫الدر ُس المثلث والدائرة‪ ،‬القطع المستقيمة والدائرة‬ ‫[‪]5-5‬‬ ‫‪Triangle and Circle and Line Segments and Circle‬‬ ‫‪C‬‬ ‫فكرةُ الدرس تعلم‬ ‫• استعمال خصائص المحاور ومنصفات‬ ‫‪O‬‬ ‫في ‪3ABC‬المجاور يتقاطع محور‪ BC‬ومحور‬ ‫الزوايا لارسم الدائرة المحيطة والدائرة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬في ‪.O‬‬ ‫المحاطة في مثلث‪.‬‬ ‫‪ OB = OC‬لان ‪ O‬تقع على محور ‪BC‬‬ ‫‪` OA = OC‬‬ ‫• اجد اطوال القطع المستقيمة يحددها قاطعان‬ ‫وبالتالي ‪ O‬تقع على محور ‪ AC‬اي ان محور‬ ‫على دائرة‪.‬‬ ‫‪ AC‬يمر في ‪O‬‬ ‫المفردات‬ ‫‪B a OA = OB = OC‬‬ ‫• الدائرة المحيطة‪.‬‬ ‫نستطيع ان نرسم دائرة مركزها ‪ O‬وتمر في‬ ‫• الدائرة المحاطة‪.‬‬ ‫رؤوس المثلث ‪.ABC‬‬ ‫‪Triangle and Circle‬‬ ‫[‪ ]5-5-1‬المثلث والدائرة‬ ‫تعرفنا سابقاً في الدرس (‪ )2‬الى مبرهنة (القطعة المستقيمة المتوسطة للمثلث)‪:‬‬ ‫[تتقاطع محاور الاضلاع الثلاثة للمثلث في نقطة واحدة]‪ .‬ومنها نستطيع ان نرسم الدائرة‬ ‫المحيطة بالمثلث‪ .‬الدائرة المحيطة (الدائرة الخارجية للمثلث)‪ :‬لكل مثلث دائرة واحدة تحيط‬ ‫به مركزها نقطة تقاطع المحاور الثلاثة‪.‬‬ ‫المحاور‪ :‬هي الاعمدة المقامة على اضلاع مثلث من منتصفاتها تلتقي بنقطة واحدة (‪)O‬‬ ‫تكون متساوية البعد عن رؤوسه وهذه النقطة هي مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مثال (‪ )1‬جد نقطة تقاطع محاور المثلث ‪ ABC‬كما في الشكل المجاور وارسم الدائرة المحيطة به‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫محور‪ AB‬يمر في منتصف‪ AB‬ويوازي ‪BC‬‬ ‫محور‪ BC‬يمر في منتصف‪ BC‬ويوازي ‪AB‬‬ ‫` المحاور الثلاثة تلتقي في منتصف ‪ AC‬والتي تمثل مركز الدائرة المحيطة بالمثلث‪B A .‬‬ ‫بالامكان الاستفادة من مبرهنة منصفات زوايا المثلث لرسم الدائرة المحاطة بمثلث (الدائرة الداخلية للمثلث) ‪B‬‬ ‫‪ -‬تتقاطع منصفات زوايا المثلث في نقطة واحدة‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ -‬نقطة تقاطع منصفات الزوايا تقع على المسافة نفسها من الاضلاع الثلاثة‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫في كل مثلث توجد دائرة داخل المثلث مماسة لاضلاعه الثلاثة وتسمى الدائرة المحاطة‪.‬‬ ‫‪KC‬‬ ‫‪OL = OK = OM‬‬ ‫مثال (‪ )2‬الدائرة التي مركزها ‪ O‬محاطة بالمثلث ‪ ABC‬برهن ان ‪ BO‬منصف ‪C‬‬ ‫‪ +LOK‬والمحور ‪. KL‬‬ ‫‪BK=BL‬‬ ‫مبرهنة المماسين‬ ‫‪OK=OL‬‬ ‫نصفا قطري الدائرة‬ ‫‪ a‬المثلثان ‪ BOK,BOL‬متطابقان (مبرهنة التطابق ض‪.‬ض‪.‬ض)‬ ‫‪m+1 = m+2‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ BO‬ينصف الزاوية ‪LOK‬‬ ‫من التطابق‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫المثلثان ‪ KDB,LDB‬متطابقان (ض‪.‬ز‪.‬ض)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪KL = BO‬‬ ‫‪ BO‬محور ‪` KL‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪54‬‬

‫‪Line Segments and Circle‬‬ ‫[‪ ]5-5-2‬القطع المستقيمة والدائرة‬ ‫تعلمت في الدرس (‪ )5-4‬كيف اجد اطوال اجزاء وتر يتقاطع مع قطر عمودي عليه‪ ،‬ولكن كيف اجد اطوال اوتار متقاطعة اخرى؟‬ ‫مبرهنة القاطعين للدائرة‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪MB‬‬ ‫المبرهنة‬ ‫‪H‬‬ ‫‪HK‬‬ ‫اذا قطع مستقيمان متقاطعان دائرة‬ ‫‪M‬‬ ‫تشكل على كل منهما قطعتان مستقيمتان‪،‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ناتجا ضرب طوليهما متساويان‪.‬‬ ‫‪HB # HA = HM # HK‬‬ ‫‪HM # HK = HB # HA‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫مثال (‪ )3‬جد قيمة ‪ x‬وطول كل وتر‪.‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪HM # HK = HB # HA‬‬ ‫مبرهنة القاطعين في الدائرة‬ ‫‪H2A‬‬ ‫‪8#x=3#2‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫طول الوتر ‪AB‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪AB = AH + HB = 2 + 3 = 5‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪MK‬‬ ‫‪= MH + HK = 8 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫طول الوتر ‪MK‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مثال (‪ )4‬جد قيمة ‪ x‬وطول كل من ‪.AM, BM‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪MD # MB = MC # MA‬‬ ‫مبرهنة القاطعين في الدائرة‬ ‫‪3C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪2 # 9 = 3 # (3 + x‬‬ ‫‪M‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪2‬‬ ‫‪18 = 9 + 3x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3x = 18 - 9 = 9‬‬ ‫‪،‬‬ ‫طول ‪6 = AM‬‬ ‫‪،‬‬ ‫طول ‪9 = BM‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫يمكن استعمال حاصل ضرب جزئي القاطع مع مبرهنة القاطع والمماس وفي هذه الحالة يكون المماس هو الجزء‬ ‫الخارجي والكلي للقطعة نفسها‪.‬‬ ‫مبرهنة المماس والقاطع في الدائرة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫المبرهنة‬ ‫من نقطة خارج الدائرة اذا رسم مماساً ومستقيماً قاطعاً‬ ‫لها‪ .‬فأن ناتج ضرب طولي قطعتي القاطع‪ ،‬يساوي مربع ‪C‬‬ ‫طول قطعة المماس‪.‬‬ ‫‪M AC # AM = (AB) 2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال (‪ )5‬جد طول قطعة المماس ‪A . AB‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪AC # AM = (AB) 2‬‬ ‫مبرهنة المماس والقاطع في الدائرة‬ ‫‪C‬‬ ‫‪4 # 8 = 32‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪4‬‬ ‫‪` AB = 4 2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫طول قطعة المماس ‪AB‬‬ ‫‪55‬‬

‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك ‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ 1‬المثلث ‪ ABC‬متساوي الساقين ‪ N ، AB = AC‬منتصف ‪ KA , KC, BC‬برهن‬ ‫ان ‪ K‬هي نقطة تقاطع محاور المثلث ‪ . ABC‬ثم ارسم الدائرة المحيطة به‪.‬‬ ‫‪BN‬‬ ‫‪C‬‬ ‫الاسئلة ‪ 1-2‬مشابهة‬ ‫‪ ABC 2‬مثلث منتظم‪ ،‬طول ضلعه ‪ 12cm‬حدد نقطة تقاطع محاوره ثم ارسم الدائرة‬ ‫المحيطة به وجد طول قطرها‪.‬‬ ‫للمثال ‪1‬‬ ‫جد قيمة ‪ x‬وطول كل قطعة مجهولة لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫الاسئلة ‪ 3-5‬مشابهة‬ ‫للمثالين ‪3,4‬‬‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x4 B‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪A‬‬‫‪4x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫الاسئلة ‪ 6,7‬مشابهة‬ ‫‪Bx‬‬ ‫‪A‬‬ ‫جد قيمة ‪ x‬وطول ‪. AB‬‬ ‫للمثال ‪5‬‬ ‫‪6 12‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x+1 B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫‪ ABC 8‬مثلث قائم متسا ِو الساقين وطول كل من ساقيه ‪ ، 6cm‬ارسم الدائرة التي يحيط بها المثلث ‪ ABC‬وجد‬ ‫مساحة الدائرة‪.‬‬ ‫‪ ABC 9‬مثلث قائم متسا ِو الساقين وتره ‪ BC‬حدد نقطة تقاطع محاور هذا المثلث وارسم الدائرة المحيطة به‪.‬‬ ‫جد قيمة ‪ x‬وطول القطع المستقيمة المجهولة لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪10 A 4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪12 A 6‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪13 3 x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪A‬‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪DBC‬‬ ‫‪ 14‬بناء‪ :‬يرتكز جسر على قوس دائرة كما مبين في الشكل المقابل‪،‬‬ ‫‪ ABA‬محور‪ DC=150m , AB=60m DC‬ما قطر الدائرة؟‬ ‫‪12800km 8200km‬‬ ‫‪ 15‬فضاء‪ :‬قمر صناعي يدور حول الارض على ارتفاع ‪ 8200km‬اذا كان قطر الارض ‪B‬‬ ‫‪ 12800km‬تقريباً‪ ،‬ما المسافة التي تفصل القمر الصناعي عن النقطة ‪ B‬في الشكل‬ ‫المجاور‪.‬‬ ‫‪A 3cm‬‬ ‫‪ 16‬هندسة‪ O :‬نقطة تقاطع محاور المثلث ‪ ،ABC‬جد محيط المثلث ‪ ABC‬مستعملاً‬ ‫الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪B 7cm C‬‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 17‬اكتشف الخطأ‪ :‬فيما يلي حلان لايجاد قيمة ‪ x‬في الشكل المقابل‪ ،‬ايهما الحل الخطأ؟‬ ‫‪x‬‬ ‫برر اجابتك‪.‬‬ ‫‪i) 4 # 6 = x2‬‬ ‫مبرهنة المماس والقاطع‬ ‫‪24 = x2 & x = 2 6‬‬ ‫‪B ii) x2 = 40 & x = 2 10‬‬ ‫‪10 x‬‬ ‫‪ 18‬تح ٍد‪ :‬في الشكل المقابل ‪ AB = 10‬وهو مماس للدائرة‪ ،‬جد قيمة ‪.x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪15 C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 19‬مسألة مفتوحة‪ :‬في الشكل المجاور دائرة مركزها ‪AC, BC, BD O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪13‬‬ ‫مماسات للدائرة‪ ،‬جد طول القطعة ‪.BC‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫مسألة تستعمل فيها المحاور ومنصفات الزوايا لمثلث في رسم دائرة محيطة به‪.‬‬ ‫أكتب‬ ‫‪57‬‬

‫‪Angles and Circle‬‬ ‫الدر ُس الزوايا والدائرة‬ ‫[‪]5-6‬‬ ‫يستعمل المفك كأداة لتثبيت البراغي او فتحها‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫والفجوة في هذه الاداة تأخذ شكلاً سداسياً داخل‬ ‫• اجد قياس الزوايا المحيطية‬ ‫اسطوانة معدنية‪.‬‬ ‫والمماسية‪.‬‬ ‫وكل زاوية في الشكل السداسي تكون زاوية‬ ‫• ايجاد قياسات زوايا تتقاطع‬ ‫محيطية داخل الدائرة‪.‬‬ ‫اضلاعها مع دائرة‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫• الزاوية المحيطية‪.‬‬ ‫• الزاوية المماسية‪.‬‬ ‫‪Inscribed Angle‬‬ ‫[‪ ]5-6-1‬الزاوية المحيطية‬ ‫درست سابقاً تعريف القوس بدلالة الزاوية المركزية وكيفية قياس القوس وفي هذا الدرس سنتعرف الى‪:‬‬ ‫الزاوية المحيطية‪ :‬وهي الزاوية التي رأسها نقطة من نقاط الدائرة وضلعاها وتران في الدائرة ‪.‬‬ ‫وكذلك سنتعرف الى كيفية قياسها باستعمال القوس المواجه لها بواسطة المبرهنات الاتية وهي بدون برهان‪.‬‬ ‫مبرهنة الزوايا المحيطية‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المواجه لها‪.‬‬ ‫‪m+B‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪i) +D‬‬ ‫مثال (‪ )1‬جد قياس الزوايا المحيطية التالية في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪m+D‬‬ ‫‪ii) +BAD‬‬ ‫‪30c‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪%‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ECA‬‬ ‫‪m+BAD‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫مبرهنة الزوايا المحيطية‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪140‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪70‬‬ ‫‪m+BED‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m+D = 70c‬‬ ‫‪` m+BED = m+BAD = 30c‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪A‬‬ ‫مبرهنة الزوايا المحيطية المواجهة للقوس نفسه‬ ‫‪B‬‬ ‫كل الزوايا المحيطية التي تواجه قوساً مشتركاً على الدائرة ‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫تتطابق‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪$‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪m+A‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪m+B‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪m+C‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪m+D‬‬ ‫=‬ ‫‪m‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪A‬‬ ‫هناك حالة خاصة للزاوية المحيطية عندما تكون زاوية قائمة‪:‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫ •كل زاوية محيطية تواجه نصف دائرة تكون قائمة‪.‬‬ ‫ •كل زاوية محيطية تواجه قطراً تكون قائمة‪.‬‬ ‫ •كل زاوية‪0‬م‪9‬حي=طية‪ C‬قا‪%B‬ئمة‪m‬توا&ج‪c‬ه‪0‬ق‪9‬طراً=‪m+A .‬‬ ‫‪58‬‬

‫مثال (‪ )2‬دائرة قطرها ‪ KH‬تقطع‪ HL‬في ‪ N‬وتقطع ‪ KL‬في ‪ ،M‬كما في الشكل ‪H‬‬ ‫المجاور‪ ،‬برهن ان ‪ KN‬و‪ HM‬ارتفاعات في المثلث ‪N .HKL‬‬ ‫‪a m+HNK‬‬ ‫زاوية محيطية تواجه القطر ‪KH‬‬ ‫‪K M L ` m+HNK = 90c‬‬ ‫قائمة‬ ‫‪ KN‬ارتفاع في المثلث ‪HKL‬‬ ‫‪a m+HMK‬‬ ‫زاوية محيطية تواجه القطر ‪KH‬‬ ‫‪` m+HMK = 90c‬‬ ‫قائمة‬ ‫‪ HM‬ارتفاع في المثلث ‪HKL‬‬ ‫‪Tangential Angle‬‬ ‫[‪ ]5-6-2‬الزاوية المماسية‬ ‫الزاوية المماسية‪ :‬هي الزواية التي يشكلها مماس الدائرة مع مستقيم اخر يمر في نقطة التماس (وتر للدائرة)‪.‬‬ ‫‪D. C‬‬ ‫مبرهنة الزوايا المماسية‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اذا تقاطع مماس الدائرة مع مستقيم يمر في نقطة التماس يكون قياس‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.D‬‬ ‫الزاوية بينهما نصف قياس القوس المقتطع‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪m+A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ADC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪144‬‬ ‫يأتي‪:‬‬ ‫مما‬ ‫جد قياس كل‬ ‫المجاور‬ ‫والشكل‬ ‫المماسية‪%‬‬ ‫الزوايا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستعمال‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪i) +BAC‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫‪NC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪m+BAC‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪m+CNM‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪%‬‬ ‫المماسية‬ ‫الزوايا‬ ‫مبرهنة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪CN‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪82c‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪144‬‬ ‫‪= 72‬‬ ‫‪82c‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪%‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪2‬‬ ‫‪%‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪CN‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪CN‬‬ ‫‪` m+BAC = 72c‬‬ ‫`‬ ‫‪m‬‬ ‫‪164‬‬ ‫[‪ ]5-6-3‬الزوايا الداخلية والخارجية في الدائرة ‪Internal and External Angels in the Circle‬‬ ‫مبرهنة الزاوية الخارجية في دائرة‬ ‫‪A‬‬ ‫اذا تقاطع مستقيمان خارج دائرة فقياس الزاوية بينهما يساوي نصف‬ ‫‪K‬‬ ‫‪D‬‬ ‫الفرق بين قياس القوسين المقتطعين‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪%‬‬ ‫&‬ ‫‪m+D‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‪AB -‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‪KN‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال (‪ )4‬جد قياس الزاوية الخارجية ‪ x‬في كل مما ياتي‪:‬‬ ‫باستعمال مبرهنة الزاوية الخارجية في الدائرة وبالتعويض )‪i‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫وبالتعويض‬ ‫مب‪N0‬ر‪3‬ه‪1A‬نة‪)K‬ا‪-‬لبـز‪c0‬ا‪6‬و‪0‬ي‪63‬ة ا‪3‬ل=خانر‪N‬جدج‪A‬يقةيا‪)K‬فيسا‪m‬لزداائويرةة‬ ‫باستعمال‬ ‫عن قيمة الاقواس في الرسم نجد قياس زاوية ‪.x‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫عن قيمة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m+x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪%‬‬ ‫&‬ ‫)‬ ‫‪= 230‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(m AB - m‬‬ ‫)‪KN‬‬ ‫‪KAN -‬‬ ‫&‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪m+x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‪KN‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 90c‬‬ ‫‪172c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(172 - 90‬‬ ‫‪130c x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(230‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪130‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪` m+x‬‬ ‫‪82c‬‬ ‫=‬ ‫‪41c‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪` m+x‬‬ ‫‪100c‬‬ ‫=‬ ‫‪50c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪59‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مبرهنة الزاوية الداخلية في دائرة‬ ‫‪K‬‬ ‫‪M‬‬ ‫اذا تقاطع مستقيمان داخل دائرة فقياس الزاوية بينهما يساوي نصف‬ ‫‪B‬‬ ‫مجموع قياس القوسين المقتطعين‪.‬‬ ‫‪%%‬‬ ‫‪m+CMK‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(m CK + m AB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B 44c A‬‬ ‫مثال (‪ )5‬جد قياس ‪ +ADB‬مستعملاً مبرهنة الزاوية الداخلية في الدائرة‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪m+ADB‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪&%‬‬ ‫مبرهنة الزاوية الداخلية في دائرة‬ ‫‪KN‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(m KN + m AB‬‬ ‫‪102c‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(102‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪44‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪` m+ADB‬‬ ‫‪146c‬‬ ‫=‬ ‫‪73c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يمكن ايجاد دائرة تمر في الرؤوس الاربعة لرباعي ويسمى هذا الرباعي بالرباعي الدائري‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫مبرهنة الرباعي الدائري‬ ‫‪DC‬‬ ‫في كل رباعي دائري مجموع قياس كل زاويتين متقابلتين يساوي ‪180c‬‬ ‫‪m+A + m+C = 180c‬‬ ‫‪m+B + m+D = 180c‬‬ ‫مثال (‪ )6‬جد قيمة ‪ x, a‬في الشكل المجاور‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪a a + 81c = 180c‬‬ ‫مبرهنة الرباعي الدائري‬ ‫‪81c‬‬ ‫‪` a = 180c - 81c = 99c‬‬ ‫مبرهنة الرباعي الدائري‬ ‫‪a x + 2x = 180c & 3x = 180c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪` x = 60c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪%‬‬ ‫جد قياس ك ّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪1 m BE‬‬ ‫‪3 m+CAB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2 m+ABC A‬‬ ‫الاسئلة ‪ 1-5‬مشابهة ‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫للمثال ‪1‬‬ ‫‪6 m +CKA‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4 m+ACB‬‬ ‫‪80c‬‬ ‫‪55c‬‬‫‪60c‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪25c‬‬‫‪5‬‬‫‪%‬‬‫‪C 40c‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪m BN‬‬ ‫الاسئلة ‪10,7,6‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مشابهة للمثال ‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪7 m+MNB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫الاسئلة ‪ 8,9‬مشابهة ‪256c‬‬ ‫‪8 m+CBA K‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪52c‬‬ ‫للمثال ‪3‬‬ ‫‪m BN‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪A NM‬‬ ‫‪ 10‬اذا علمت ان ‪ M‬مركز الدائرة ‪ 1‬و ‪ MK‬هو قطر الدائرة ‪ ،2‬برهن ان ‪ KB‬و ‪A KA‬‬ ‫‪MK‬‬ ‫مماسان للدائرة ‪.1‬‬ ‫‪1 B2‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪11 m+KNA‬‬ ‫\"‬ ‫جد قياس كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪12 m X‬‬ ‫‪K‬‬ ‫الاسئلة ‪11,12‬‬ ‫‪25c‬‬ ‫مشابهة للامثلة ‪4,5,6‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪N 20c‬‬ ‫على الترتيب‬ ‫‪X‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪204c‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت جد قياس كل مما يأتي‪:‬‬ ‫)‪(2x + 20‬‬ ‫‪13 m+HBC‬‬ ‫‪14 m+x‬‬ ‫‪15 m+x, m+y‬‬ ‫‪A 35 K‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x 116c x‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪180 92c‬‬ ‫‪C 102‬‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 16‬زجاج‪ :‬رسم احد الفنانين الرسم المجاور على زجاج‪ ،‬جد قياس‪+ADE‬اذا علمت‬ ‫‪CB‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪42‬‬ ‫وقياس‬ ‫‪+BCE‬‬ ‫=‬ ‫‪30c‬‬ ‫ان‬ ‫‪DE‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 17‬فضاء‪ :‬قمر صناعي يدور حول الارض عندما يصل النقطة ‪ M‬يكون على ارتفاع‬ ‫‪ 14000km‬فوق الارض‪ ،‬ما قياس القوس الذي يمكن رؤيته من كاميرا القمر ‪Xc 32c M‬‬ ‫‪DB‬‬ ‫الصناعي على الارض؟‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 19‬حس عددي‪ :‬جد قيمة الزوايا المجهولة‪:‬‬ ‫‪m+CAB‬‬ ‫=‬ ‫‪160c‬‬ ‫اكتشف الخطأ‪ :‬كتب سعيد‪= 80c‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫بين الخطا وجد الجواب الصحيح‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫؟‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ C‬؟‪A‬‬ ‫‪C 130‬‬ ‫‪D‬‬ ‫مبرهنات الزوايا الداخلية والخارجية لتقارن بين الزاويتين‪B . x ,y‬‬ ‫أكتب‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x yA‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪61‬‬

‫(‪Problem Solving Plan (Drawing‬‬ ‫الدر ُس خطة حل المسألة (الرسم)‬ ‫]‪[5-7‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• استعمال استراتيجية الرسم‬ ‫لكل شعبة من شعب الصف الثالث المتوسط‬ ‫مقاعد دراسية متساوية وكان في الشعبة (أ)‬ ‫الطالب ياسر يجلس في المقعد الرابع من الامام وفي‬ ‫المقعد الثاني من الخلف والمقعد الخامس من اليسار‬ ‫والثاني من اليمين‪ ،‬ارسم شكلا لايجاد عدد المقاعد‬ ‫في الشعبة (أ) التي يجلس فيها ياسر‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫اِفهم‬ ‫ما المعطيات في المسألة؟ مقعد ياسر هو الرابع من الامام والثاني من الخلف والخامس من اليسار والثاني من‬ ‫اليمين‪.‬‬ ‫ما المطلوب من المسألة؟ ايجادعدد المقاعد في الشعبة (أ)‪.‬‬ ‫خطّط‬ ‫كيف تح ّل المسألة؟ ارسم شكلاً يبين الصفوف والاعمدة اعتماداً على موقع جلوس ياسر‪.‬‬ ‫ح ّل الامام‬ ‫هناك ‪ 6‬اعمدة من المقاعد في الشعبة (أ) و‪ 5‬مقاعد‬ ‫اليسار‬ ‫في كل عمود‪.‬‬ ‫اليمين‬ ‫=‪6#5‬‬ ‫عدد المقاعد في الشعبة (أ)‬ ‫‪` 6 # 5 = 30‬‬ ‫الخلف‬ ‫تحقّق‬ ‫عدد المقاعد في الشكل المرسوم اعلاه تساوي ‪ 30‬مقعداً‪،‬‬ ‫اذن الح ّل صحيح‪.‬‬ ‫‪62‬‬

‫‪Problems‬‬ ‫م�ســائل‬ ‫حل المسائل التالية باستراتيجية (تحديد معقولية الإجابة)‪:‬‬ ‫مسرح ق ّسم على عدة أقسام‪ ،‬جلس انمار في الصف الرابع‬ ‫‪1‬‬ ‫من الامام وفي الصف السادس من الخلف وكان مقعده الثاني‬ ‫من جهة اليسار والسادس من جهة اليمين‪ ،‬فما عدد المقاعد‬ ‫في هذا القسم من المسرح؟‬ ‫‪ 2‬خزان ماء سعته ‪ 500‬لتراً يُصب فيه ماء بمقدار ‪ 80‬لتراً كل‬ ‫‪ 6‬دقائق‪ ،‬ما عدد الدقائق اللازمة لملء الخزان؟‬ ‫تم تشكيل هرم رباعي القاعدة باستعمال كرات صغيرة كما‬ ‫‪3‬‬ ‫في الشكل المجاور‪ ،‬اذا كان الهرم مكوناً من اربع طبقات‪،‬‬ ‫ماعدد كرات الهرم؟‬ ‫يستغرق قص قطعة من الخشب الى ‪ 5‬قطع متساوية ‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫دقيقة‪ ،‬ما الزمن اللازم لقص قطعة اخرى مشابهة الى ‪ 3‬قطع‬ ‫متساوية؟‬ ‫‪63‬‬

‫مراجع ُة الف�ص ِل‬ ‫المفردات ‪Chapter Review‬‬ ‫‪English‬‬ ‫عربي‬ ‫‪English‬‬ ‫عربي‬ ‫‪Perimeter‬‬ ‫‪ Central Angel‬محيط‬ ‫الزاوية المركزية‬ ‫‪Cone‬‬ ‫‪ Surface Area‬مخروط‬ ‫المساحة السطحية‬ ‫‪Area‬‬ ‫‪ Total Area‬مساحة‬ ‫المساحة الكلية‬ ‫‪Perpendicular lines‬‬ ‫‪ Proportion‬مستقيمان متعامدان‬ ‫التناسب‬ ‫‪Intersect Lines‬‬ ‫‪ Similarity‬مستقيمان متقاطعان‬ ‫التشابه‬ ‫‪Polygon‬‬ ‫‪ Volume‬مضلع‬ ‫حجم‬ ‫‪Tangent‬‬ ‫‪ Axial‬مماس‬ ‫المحاور‬ ‫‪Pyramid‬‬ ‫‪ Bisects‬الهرم‬ ‫المنصفات‬ ‫‪Circumscribed Circle‬‬ ‫‪ Circle‬الدائرة المحيطة‬ ‫دائرة‬ ‫‪Tangency Point‬‬ ‫‪ Vertix of Triangle‬نقطة التماس‬ ‫رأس المثلث‬ ‫‪Inscribed Circle‬‬ ‫‪ Tangential Angle‬الدائرة المحاطة‬ ‫الزاوية المماسية‬ ‫‪Cord‬‬ ‫‪ Side‬وتر‬ ‫ضلع‬ ‫‪Arch‬‬ ‫‪ Perpendicular‬القوس‬ ‫عمود‬ ‫‪Dilation‬‬ ‫‪ Diameter‬التناسب الهندسي‬ ‫قطر‬ ‫‪Inscribed Angle‬‬ ‫‪ Theorem‬الزاوية المحيطية‬ ‫مبرهنة‬ ‫المضلعات والمجسمات (الهرم والمخروط)‬ ‫الدر ُس [‪]5-1‬‬ ‫تدريب ‪ :‬جد حجم المجسم المركب في الشكل ادناه‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬جد حجم هرم ارتفاعه ‪ 8cm‬وقاعدته خماسي‬ ‫منتظم مساحته ‪.24m2‬‬ ‫‪2m 4m‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#b#h‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8m‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪# (24) # 8‬‬ ‫=‬ ‫‪64m3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10m‬‬ ‫‪64‬‬

‫المثلثات‬ ‫الدر ُس [‪]5-2‬‬ ‫مثال‪ :1‬المثلث ‪ CE, AD ,ABC‬قطعتان متوسطتان تدريب‪:1‬المثلث ‪ CE, AD,ABC‬قطعتان متوسطتان‬ ‫تلتقيان في نقطة ‪ CE = 12cm, AD = 9cm ،O‬تلتقيان في نقطة ‪CE = 24cm, AD = 12cm،O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫جد طول ‪. AO, OE‬‬ ‫جد طول ‪. AO, OE‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪OE‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫`‬ ‫‪OE‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪# 12‬‬ ‫‪= 4cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a OA‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫`‬ ‫= ‪OA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪#9‬‬ ‫‪6cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال‪ :2‬بين اذا كان المثلثلين في الشكل ادناه متشابهان تدريب‪ :2‬بين اذا كان المثلثلين في الشكل ادناه متشابهان‬ ‫‪A8B‬‬ ‫واكتب نسبة التشابه‪.‬‬ ‫واكتب نسبة التشابه‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪A 12 B‬‬ ‫‪DE‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪D 12‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪D 16‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪FD‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪` 3ABC + 3DEF‬‬ ‫التناسب والقياس في المثلثات‬ ‫الدر ُس [‪]5-3‬‬ ‫تدريب‪ :‬جد طول القطعة ‪ AK‬في الشكل ادناه اذا علمت‬ ‫مثال‪ :‬استعمل الشكل ادناه وبين ما اذا كان‪:‬‬ ‫ان‪E DE ' AB ' KL :‬‬ ‫‪BD ' AE‬‬ ‫‪D6‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫?=‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪DE‬‬ ‫‪12 B2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪AL‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E 1D‬‬ ‫‪K‬‬ ‫حسب عكس مبرهنة التناسب‬ ‫المثلثي فأن‪B :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪` BD ' AE‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪65‬‬

‫الدائرة‬ ‫الدر ُس [‪]5-4‬‬ ‫تدريب ‪ :‬دائرة مركزها ‪ O‬في الشكل ادناه‪ AB ،‬هو‬ ‫مثال‪ :‬استعمل مبرهنة القطر العمودي وجد طول‬ ‫مماس للدائرة في ‪ A‬وقياس الزاوية ‪ ABO‬يساوي‪،30c‬‬ ‫جد قياس الزاوية ‪ ،AOB‬ثم جد طول القطعة المستقيمة‬ ‫الوتر ‪ AB‬اذا علمت ان نصف القطر ‪6cmD‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪DE = OD - OE .OE=5cm‬‬ ‫‪ .BC‬علماً ان طول المماس ‪A AB‬‬ ‫‪5‬‬ ‫يساوي ‪.4cm‬‬ ‫‪O DE = 6 - 5 = 1cm‬‬ ‫‪O B30c‬‬ ‫‪6 (EB) 2 = (OB) 2 - (OE) 2‬‬ ‫‪C = 36 - 25 = 11‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪EB = 11‬‬ ‫القطر ‪DC‬عمودي على الوتر وينصفه (مبرهنة القطر العمودي)‪.‬‬ ‫‪` AB = 2 # EB = 2 11 cm‬‬ ‫المثلث والدائرة‪ ،‬القطع المستقيمة والدائرة‬ ‫الدر ُس [‪]5-5‬‬ ‫تدريب‪ :‬جد قيمة ‪ x‬وطول القاطع ‪ AB,DE‬في الشكل‬ ‫مثال‪ :‬جد قيمة ‪ x‬وطول القاطع ‪ AB‬في الشكل ادناه‪.‬‬ ‫ادناه‪A .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x-2 E‬‬ ‫‪6 xB‬‬ ‫‪6 # 6 = 3x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪36 = 3x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪36‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫&‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AB = x + 3x‬‬ ‫‪` AB = 2 3 + 3 (2 3) = 8 3‬‬ ‫الزوايا والدائرة‬ ‫الدر ُس [‪]5-6‬‬ ‫تدريب‪ :‬جد قيمة الزوايا المجهولة (‪ )x,y,z‬في الشكل‬ ‫مثال‪ :‬جد قيمة الزوايا المجهولة في الشكل ادناه‪.‬‬ ‫‪Cx‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ادناه‪.‬‬ ‫‪$‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪m$SR = 80‬‬ ‫‪mPS = 64‬‬ ‫‪50c‬‬ ‫‪m+n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪m (216c - 144c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪P‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(72c‬‬ ‫‪= 36c‬‬ ‫‪xS‬‬ ‫‪R 3420cc‬‬ ‫‪m+x‬‬ ‫=‬ ‫‪216c‬‬ ‫‪= 108c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪nQ‬‬ ‫‪66‬‬

‫‪Chapter Test‬‬ ‫اختبار الف�صل‬ ‫‪5.11cm 3cm‬‬ ‫‪ 1‬جد مساحة ومحيط مضلع منتظم اذا اعطيت المعلومات في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪ 2‬جد المساحة السطحية والحجم للمخروط اذا علمت ان مساحة قاعدته ‪ 9rcm2‬وارتفاعه ‪.‬‬ ‫الجانبي ‪A .5cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.10m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 3‬المثلثان ‪ ABC,KLM‬متشابهان‪ ،‬مساحة المثلث ‪ ABC‬تساوي ‪24m2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬ ‫ما مساحة المثلث ‪KLM‬؟‬ ‫‪15m M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ 4‬بين ان المثلثين ‪ ABC, FBD‬في الشكل المجاور متشابهان‪ ،‬حيث ان‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ ، AC ' FD‬وجد قيمة ‪.x‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C 12 D 6 B‬‬ ‫‪20c‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪ 5‬جد قياس الزوايا المجهولة في الاشكال الآتية‪:‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫‪96c 101c‬‬ ‫‪d 2c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c 3d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ 6‬جد قيمة ‪ x‬في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪i) 35c‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪152‬‬ ‫‪iii) 108‬‬ ‫)‪iv‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫جد قياس الزوايا والاقواس المجهولة في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪35c‬‬ ‫‪i) m+%AOC‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪iii) m DB‬‬ ‫‪ii) m DC‬‬ ‫‪35c‬‬‫‪20c‬‬ ‫‪iv) m+DOA‬‬ ‫‪EBD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪67‬‬

‫‪Statistics and Probabilities‬‬ ‫الفص ُل ‪6‬‬ ‫الاحصاء والاحتمالات‬ ‫تصميم دراسة مسحية وتحليل نتائجها‬ ‫الدرس ‪6-1‬‬ ‫البيانات والاحصاءات الم ّضللة‬ ‫الدرس ‪6-2‬‬ ‫التباديل و التوافيق‬ ‫الدرس ‪6-3‬‬ ‫الدرس ‪6-4‬‬ ‫الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري‬ ‫الدرس ‪6-5‬‬ ‫الاحداث المركبة‬ ‫الدرس ‪6-6‬‬ ‫خطة حل المسألة (انشىء أنموذجاً)‬ ‫مصانع السيارات عادة قبل طرح انتاجها في الاسواق تتحقق من عدة أمور لضمان الجودة‪ ،‬منها متانة محرك السيارة‪،‬‬ ‫جودة كهربائيات السيارة‪ ،‬الالوان والامور التصميمية كمصابيح السيارة وغير ذلك‪.‬‬ ‫‪68‬‬

‫‪Pretest‬‬ ‫الاختبا ُر القبل ّي‬ ‫جد الوسط الحسابي و الوسيط و المنوال والمدى لكل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪1 9,6,8,5,5,8,7,6,9,7‬‬ ‫‪2 20,17,42,26,27,12,13‬‬ ‫‪3 8,7,5,8,2,8,9,1,4,3,3,5‬‬ ‫‪ 4‬مثل البيانات التالية بالنقاط ثم جد الوسط الحسابي والوسيط و المنوال والمدى‪:‬‬ ‫‪0,2,5,3,1,4,5,3,4,3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪27‬‬ ‫اكتب كل كسر كنسبة مئوية‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ 9‬صندوق فيه ‪ 5‬كرات حمر‪ 3 ،‬كرات بيض‪ ،‬جد احتمال سحب‪.‬‬ ‫‪ )i‬كرة حمراء واحدة‪.‬‬ ‫‪ )ii‬كرة بيضاء بعد اعادة الكرة الحمراء الى الصندوق‪.‬‬ ‫‪ )iii‬كرة بيضاء في حالة عدم اعادة الكرة الحمراء الى الصندوق‪.‬‬ ‫‪ a, b‬حدثان متتامان‪ ،‬جد‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= )‪P (b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ P (a‬اذا كان‬ ‫‪)i‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ P (a), P (b) )ii‬اذا كان )‪ P (a‬ثلاثة امثال )‪. P (b‬‬ ‫حدد ان كان الحدثان مستقلين او مترابطين ‪.‬‬ ‫‪ 11‬ظهور كتابة بعد رمي قطعة نقود و ظهور الصورة بعد الرمية الثانية‪.‬‬ ‫‪ 12‬سحب كرة صفراء‪ ،‬ثم كرة الحمراء من دون اعادة‪ ،‬من كيس فيه ‪ 3‬كرات صفر‪ 5 ،‬كرات حمر‪.‬‬ ‫‪ 13‬ظهور العدد ‪ 5‬بعد رمي حجر النرد وظهور العدد ‪ 6‬بعد رمية النرد الثانية‪.‬‬ ‫‪ 14‬سحب بطاقة عليها اسم جمانة من كيس دون اعادتها‪ ،‬ثم سحب بطاقة عليها اسم سالي من الكيس نفسه‪.‬‬ ‫‪ 15‬وقوف مؤشر القرص على العدد ‪ ،3‬وظهور العدد ‪ 3‬عند رمي حجر النرد مرة واحدة‪.‬‬ ‫‪ 16‬ثلاث بطاقات تحمل الاحرف ‪ C B A‬بكم طريقة يمكن ترتيب البطاقات على خط مستقيم‪.‬‬ ‫‪69‬‬

‫الدر ُس تصميم دراسة مسحية وتحليل نتائجها‬ ‫[‪]6-1‬‬ ‫‪Design a Survey Study and Analysis its Results‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• تصميم دراسة مسحية‬ ‫يعد معمل النجف لصناعة البدلات الرجالية‬ ‫من الصروح المهمة في الصناعة الوطنية‬ ‫• تحليل النتائج‬ ‫حيث يحرص المعنيون على تحقيق امور‬ ‫المفردات‬ ‫لضمان جودة المنتج‪ .‬وذلك من خلال فحص‬ ‫نوع القماش‪ ،‬والالوان والتصاميم الحديثة و‬ ‫• دراسة مسحية‬ ‫غيرها‪ .‬ان فحص كل المنتج ستكون عملية‬ ‫• المجتمع‬ ‫غير منطقية لذا يفحص عدد محدود من تلك‬ ‫• العينة‬ ‫البدلات بدلاً من ذلك‪ .‬ليستنتج ان المنتج قد‬ ‫يحتاج الى تطوير‪.‬‬ ‫‪Design a Survey Study‬‬ ‫[‪ ]6-1-1‬تصميم دراسة مسحية‬ ‫العينة‪ :‬هي مجموعة جزئية من المجتمع ‪ .‬ومن خلال تحليل نتائج العينة يمكن التوصل الى استنتاجات حول المجتمع‬ ‫كاملاً ‪ .‬تكون الاستنتاجات اكثر تمثيلا للمجتمع في اي من الحالتين‪:‬‬ ‫• حجم العينة اكبر‪.‬‬ ‫• استعمال عينات اكثر‪.‬‬ ‫ولنوع العينة تاثير في الاستنتاجات التي يتوصل اليها وهي على نوعين‪:‬‬ ‫العينة المتحيزة‪ :‬اذا كان لكل فرد منها الاحتمال نفسه في الاختيار‪.‬‬ ‫العينة غير المتحيزة‪ :‬اذا كان لافرادها احتمالات مختلفة في الاختيار‪.‬‬ ‫مثال (‪ )1‬وزع مدير مدرسة ‪ 100‬ورقة استبانة على طلاب مدرسته للتعرف الى جودة المواد الغذائية في‬ ‫حانوت المدرسة‪.‬‬ ‫‪ (i‬حدد العينة والمجتمع الذي اختير منه‪.‬‬ ‫‪ (ii‬صف اسلوب جمع البيانات الذي استعمله المدير‪ .‬‬ ‫‪ (iii‬حدد ما اذا كانت العينة متحيزة ام غير متحيزة‪ .‬‬ ‫‪ (i‬العينة‪ :‬الطلاب الذين تسلموا الاستبيانات وعددهم ‪ 100‬طالب ‬ ‫المجتمع ‪ :‬جميع طلاب المدرسة‬ ‫‪ (ii‬اسلوب جمع البيانات هو دراسة مسحية‪ ،‬اذ تؤخذ البيانات من اجابات افراد العينة نحو الاستبانة ‬ ‫‪ (iii‬العينة غير متحيزة‪ :‬لان هذه العينة تتكون من طلاب اختيروا عشوائياً ‬ ‫‪70‬‬

‫مثال (‪ )2‬يريد صاحب متجر ان يقدم هدية لكل زبون يتسوق من متجره‪ .‬فوقف عند باب المتجر وسأل ‪20‬‬ ‫متسوقاً عن نوع الهدية التي يود ان تُقدم له‪.‬‬ ‫‪ )i‬حدد العينة و المجتمع الذي اختاره صاحب المتجر ‪.‬‬ ‫‪ )ii‬صف اسلوب جمع البيانات الذي استعمله صاحب المتجر‪.‬‬ ‫‪ )iii‬حدد ما اذا كانت العينة متحيزة ام غير متحيزة‪.‬‬ ‫‪ )i‬العينة‪ :‬المتسوقون الذين سألوا وعددهم ‪ 20‬متسوقاً‪.‬‬ ‫المجتمع‪ :‬المتسوقون الذين دخلوا المتجر‪.‬‬ ‫‪ )ii‬اسلوب جمع البيانات هو دراسة مسحية‪ ،‬اذ تؤخذ الاجابات من افراد العينة المختارة ‪.‬‬ ‫‪ )iii‬العينة غير متحيزة‪ ،‬لان الاشخاص الذين دخلوا المتجر اختيروا عشوائياً‪.‬‬ ‫مثال (‪ُ )3‬سئل ‪ 10‬اشخاص دخلوا مطعم كباب عن الاكلات التي يفضلونها‪.‬‬ ‫‪ )i‬حدد العينة والمجتمع الذي اختاره صاحب المطعم‪.‬‬ ‫‪ )ii‬صف اسلوب جمع البيانات الذي استعمله صاحب المطعم‪.‬‬ ‫‪ )iii‬حدد اذا كانت العينة متحيزة ام غير متحيزة‪.‬‬ ‫‪ )i‬العينة ‪ :‬الاشخاص العشرة الذين دخلوا المطعم‪.‬‬ ‫المجتمع‪ :‬جميع الاشخاص الذين دخلوا المطعم‪.‬‬ ‫‪ )ii‬اسلوب جمع البيانات هو دراسة مسحية اذ تؤخذ الاجابات من افراد العينة المختارة‪.‬‬ ‫‪ )iii‬العينة متحيزة‪ ،‬لان الاكلة المفضلة للاشخاص الموجودين في مطعم الكباب هي الكباب‪.‬‬ ‫‪Analysis Results‬‬ ‫[‪ ]6-1-2‬تحليل النتائج‬ ‫بعد جمع البيانات من خلال الدراسة المسحية تلخص البيانات كي تكون ذات معنى وذلك عن طريق استعمال مقاييس‬ ‫النزعة المركزية (الوسط الحسابي‪ ،‬الوسيط‪ ،‬المنوال) والتي ُدرست سابقاً‪ ،‬بطرائق مختلفة واختيار المقياس الأنسب‬ ‫لتمثيل البيانات‪.‬‬ ‫متى يفضل استعماله‬ ‫النوع‬ ‫عندما لاتوجد قيم متطرفة في مجموعة البيانات‪.‬‬ ‫الوسط الحسابي‬ ‫عندما توجد قيم متطرفة في مجموعة البيانات‪ ،‬ولكن لاتوجد فجوات كبيرة‬ ‫الوسيط‬ ‫في وسط البيانات‪.‬‬ ‫عندما يوجد اعداد متكررة في مجموعة البيانات‪.‬‬ ‫المنوال‬ ‫‪71‬‬

‫مثال (‪ )4‬اي مقاييس النزعة المركزية (ان وجدت) هو الأنسب لوصف البيانات في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ )i‬البيانات المجاورة تبين اوزان ‪ 10‬صناديق بالكيلو غرام ‪3, 2,3,6,5,5,21,4,3,5 :‬‬ ‫الوسط الحسابي‪ :‬غير مناسب لتمثل البيانات لوجود قيمة كبيرة متطرفة هي‪ 21 :‬تؤثر في قيمة الوسط الحسابي‪.‬‬ ‫المنوال‪ :‬غير مناسب لتمثيل البيانات لوجود اكثر من منوال هما ‪3,5 :‬‬ ‫الوسيط‪ :‬هو المقياس الأنسب لتمثيل هذه البيانات لعدم وجود فجوة كبيرة في وسط البيانات ‪2,3,3,3,4,5,5,5,6,21‬‬ ‫‪ )ii‬حصل محمد على الدرجات التالية في خمسة اختيارات في مادة الرياضيات ‪90,93,85,86,91 :‬‬ ‫‪90+93+85+86+91 = 445‬‬ ‫‪= 89‬‬ ‫الوسط الحسابي‬ ‫‪55‬‬ ‫الوسط الحسابي‪ 89 :‬هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لعدم وجود قيمة متطرفة‪.‬‬ ‫الوسيط‪ 90 :‬هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لانه يتوسط البيانات ولا يوجد فجوة كبيرة في وسط البيانات‬ ‫لذا كلاهما مقياس مناسب لتمثيل البيانات‪ .‬المنوال‪ :‬لا يوجد لعدم وجود تكرار في البيانات‪.‬‬ ‫حدد العينة و المجتمع ثم صف اسلوب جمع البيانات وميز العينة المتحيزة عن‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫العينة غير متحيزة في كل مما يلي فسر اجابتك‪:‬‬ ‫‪ 1‬دخل ‪ 30‬شخص مكتبة عامة وسئل كل سادس شخص يدخل المكتبة عن هوايته المفضلة‪.‬‬ ‫‪ 2‬وزعت ‪ 100‬استبانة على مجموعة من عمال احد المصانع تتضمن سؤالاً حول ظروف العمل في المعمل‪.‬‬ ‫‪ 3‬وزعت الحيوانات في احدى حدائق الحيوانات‪ ،‬ثم اختير حيوان من كل مجموعة بصورة عشوائية لاجراء‬ ‫فحوصات علية‪.‬‬ ‫اي مقاييس النزعة المركزية (ان وجدت ) هو الأنسب لوصف البيانات التالية ؟ فسر اجابتك ‪.‬‬ ‫‪ 4 8 , 10 , 14 , 8 , 13 ,6‬‬ ‫‪ 5 8 , 10 , 8, 9, 11, 4, 6, 54‬‬ ‫‪ 6 8, 9, 8, 6, 10, 9 ,11, 13, 14, 8, 6, 7, 19‬‬ ‫حدد العينة والمجتمع ثم صف اسلوب جمع البيانات وميز العينة المتحيزة من‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫العينة غير متحيزة في كل مما يلي‪ ،‬فسر اجابتك‪.‬‬ ‫‪ 7‬يريد صاحب معمل التحقق من ان العمال يعملون بشكل جيد‪ ،‬فراقب احد العمال مدة ساعتين‪.‬‬ ‫‪ 8‬يقف عدد من الطالبات عند مدخل المدرسة ويسألن كل عاشر طالبة تدخل المدرسة عن هوايتها المفضلة‪.‬‬ ‫اي مقياس النزعة المركزية (ان وجدت ) هو الأنسب لتمثيل البيانات التالية ؟ فسر اجابتك‪.‬‬ ‫‪9 34,47,41,49,39,26,40‬‬ ‫‪10 6,2,4,4,3,2,6,2,4,4,20‬‬ ‫‪11 5,3,5,8,5,3,6,7,4,5‬‬ ‫‪72‬‬

‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫مستشفى‪ :‬يعد مستشفى مدينة الطب مجمعاً طبياً متكاملاً‪ ،‬يقدم خدمات للمواطنين‬ ‫في بغداد و المحافظات‪ ،‬في ندوة تعريفية يتم اختيار طبيب من كل قسم عشوائياً‬ ‫ليقدم نبذة عن خدمات قسمه في المستشفى‪.‬‬ ‫‪ 12‬صف العينة و المجتمع‪.‬‬ ‫‪ 13‬هل العينة متحيزة ام لا ؟ فسر ذلك‪.‬‬ ‫‪ 14‬تسوق‪ :‬يبين الجدول في ادناه عدد الزبائن الذين يرتادون محل لبيع الاجهزة الكهربائية في كل ساعة في احد‬ ‫الايام ‪ .‬أي مقاييس النزعة المركزية هو الأنسب لوصف البيانات‪.‬‬ ‫عدد الزبائن‬ ‫‪79 71 86 86‬‬ ‫‪88 32 79 86‬‬ ‫‪71 69 82 70‬‬ ‫‪85 81 86 86‬‬ ‫‪ 15‬تغذية‪ :‬يبين الجدول في ادناه السعرات الحرارية لبعض الخضروات في طبق لكل نوع‪ ،‬اي مقاييس النزعة‬ ‫المركزية هو الأنسب لوصف البيانات‪.‬‬ ‫السعرات‬ ‫الخضروات‬ ‫السعرات‬ ‫الخضروات‬ ‫‪13‬‬ ‫خيار‬ ‫‪16‬‬ ‫بصل‬ ‫‪66‬‬ ‫ذره‬ ‫‪20‬‬ ‫فلفل‬ ‫‪9‬‬ ‫سبانخ‬ ‫‪17‬‬ ‫ملفوف‬ ‫‪17‬‬ ‫كوسا‬ ‫‪28‬‬ ‫جزر‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 16‬تح ًّد‪ :‬اوجد مجموعة من الاعداد يكون وسيطها اصغر من وسطها الحسابي‪.‬‬ ‫‪ 17‬أُص ِّح ُح الخطأ‪ :‬تقول سناريا ان الوسط الحسابي هو انسب مقاييس النزعة المركزية لتمثيل البيانات‬ ‫‪ 20,8,4,5,3‬حدد خطأ سناريا وصححه ‪.‬‬ ‫‪ 18‬حس عددي‪ :‬في دراسة مسحية حول الدوام في مدرسة ثانوية‪ ،‬وزعت استبانة على ‪ 50‬طالباً‪ ،‬فكانت‬ ‫نسبة ‪ 74٪‬من الطلاب يفضلون الدوام الصباحي‪ .‬هل هذه الدراسة موثوق بها؟ بين ذلك‪.‬‬ ‫سؤالاً عن معنى تريد اجابته من خلال دراسة مسحية‪.‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫‪73‬‬

‫‪Data and Misleading Statistic‬‬ ‫الدر ُس البيانات والإحصاءات الم ّضللة‬ ‫[‪]6-2‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• تميز البيانات الم ّضللة‬ ‫غالباً ما نلاحظ على واجهات المحال‬ ‫• تميز الإحصاءات الم ّضللة‬ ‫التجارية اعلانات تنزيلات نهاية‬ ‫الموسم لسلع معينة تُرغب الناظر من‬ ‫المفردات‬ ‫دخول المحل والتبضع منه‪.‬‬ ‫• البيانات الم ّضللة‬ ‫• الإحصاءات الم ّضللة‬ ‫‪Discrimination Misleading Data‬‬ ‫[‪ ]6-2-1‬تمييز البيانات المضلّلة‬ ‫البيانات الم ّضللة‪ :‬هي البيانات التي تبرز صفة معينة لسلعة على نحو مبالغ فيه وعرض الحقائق بشكل‬ ‫يولد لدى الناظر انطباعاً يروق لصاحب الاعلان وتضلل المستهلك‪.‬‬ ‫مثال (‪ )1‬يفكر صاحب مصنع تطبيق نظام جديد‬ ‫في العمل‪ ،‬فوزع استبانة على العمال يسألهم عن رأيهم‬ ‫في النظام الجديد‪.‬‬ ‫هل التمثيل بالاعمدة المجاور يعطي الصورة الصحيحة‬ ‫حول نتائج الاستبانة؟‬ ‫يبدو للوهلة الاولى ان معظم العمال موافقون على‬ ‫تطبيق النظام الجديد‪ ،‬مع العلم ان اطوال المدة الزمنية‬ ‫للتدريج غير متساوية‪.‬‬ ‫لاحظ ان‪ 450 :‬عامل غير موافقين و غير موافقين جداً على هذا النظام الجديد‪ ،‬في حين ان عدد الموافقين‬ ‫والموافقين جداً يزيد قليلاً على ‪ 400‬عامل فقط‪ ،‬وعليه فأن التمثيل البياني المعروض مضلّل‪ ،‬والاستنتاج‬ ‫غير صادق‪.‬‬ ‫ملاحظة‪( :‬الرسم البياني قد يكون مضلّلاً‪ ،‬بإطالة او تقصير الفترات بين قيم البيانات‪ ،‬وذلك لاعطاء‬ ‫انطباع معين)‪.‬‬ ‫‪74‬‬

‫مثال (‪ )2‬الرسم البياني المجاور يوضح العلاقة بين طولي القرش البيضاء الكبيرة وطول سمكة القرش ماكو‪.‬‬ ‫بين هل الرسم البياني مضلّل؟ وضح ذلك‪.‬‬ ‫نوع الاسماك‬ ‫من الشكل المجاور‪ ،‬نلاحظ ان طول العمود العلوي ضعف طول‬ ‫العمود السفلي‪.‬‬ ‫ولكن القيمة المناظرة لطول العمود العلوي هي ‪ 4.9‬والقيمة‬ ‫المناظرة لطول العمود السفلي هي ‪ 4‬وبالتأكيد قيمة ‪ 4.9‬ليست‬ ‫ضعف ‪ ،4‬وعليه الرسم البياني المجاور مضلّل‪.‬‬ ‫ملاحظة‪( :‬عندما يبدأ الرسم البياني من الصفر‪ ،‬يصبح الرسم غير مضلّل‪).‬‬ ‫‪Discrimination Misleading Statistics‬‬ ‫[‪ ]6-2-2‬تمييز الإحصاءات المضلّلة‬ ‫الإحصاءات المضلّلة‪ :‬بالاضافة الى الرسوم المضلّلة تستعمل الإحصاءات المضلّلة بهدف الترويج لشركة او‬ ‫بضاعة معينة‪ ،‬بانعام النظر جيداً في معطيات الاعلان يمكن تمييز الإحصاءات المضلّلة‪.‬‬ ‫مثال (‪ )3‬وضع صاحب محل للملابس الرجالية الاعلان الآتي‪:‬‬ ‫(بدلات رجالية جديدة متوسط السعر ‪ 45‬الف دينار)‬ ‫في المحل ‪ 5‬نماذج من البدلات اسعارها بالالاف‪:‬‬ ‫‪54, 50, 20, 48, 53‬‬ ‫‪54 + 50 + 20 + 48 + 53‬‬ ‫‪= 45‬‬ ‫‪5‬‬ ‫لاحظ ان متوسط اسعار البدلات الخمس ‪ 45‬الف دينار‪ ،‬الا ان بدلة واحدة فقط سعرها ‪ 20‬الف دينار‪.‬‬ ‫حيث يقل سعرها عن هذا المتوسط‪ .‬وهذا يجعل الزبون سوف يدفع اكثر من هذا السعر ثمناً للبدلة‪.‬‬ ‫مثال (‪ )4‬في استطلاع على ‪ 800‬طالب اعدادية‪ ،‬افاد ‪ 70‬منهم انهم‬ ‫يرغبون دخول كلية الهندسة فيما قال ‪ 50‬منهم‪ ،‬بانهم يرغبون في دخول كلية‬ ‫الطب‪ ،‬جاء في نتائج الاستطلاع ان الطلاب يفضلون الهندسة على الطب‪.‬‬ ‫ان مجموع الطلاب الذين شملهم الاستطلاع فعلاً هو ‪ )50+70(=120‬طالباً‬ ‫من اصل ‪ 800‬طالب‪ ،‬اي ان العينة العشوائية كانت صغيرة جداً‬ ‫‪120‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪100‬‬ ‫تساوي‬ ‫الاستطلاع‬ ‫شملهم‬ ‫الذين‬ ‫للطلاب‬ ‫المئوية‬ ‫النسبة‬ ‫‪800‬‬ ‫وتساوي ‪.15٪‬‬ ‫‪75‬‬

‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫وضح كيف يمكن ان يُولّد كل من الرسمين البيانيين التاليين انطباعاً مضلّلاً ‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫فسر لماذا الإحصاءات التالية مضلّلة‪:‬‬ ‫‪ُ 3‬عرض مقال على ‪ 20‬شخصاً لتقويمه‪ ،‬أبدى ‪ 13‬منهم اعجابهم بالمقال‪ ،‬بنا ًء على ذل َك صرح صاحب المقال‪:‬‬ ‫بأن المقال صالح للنشر لان نسبة الذين فضلوه كانت ‪ 13‬الى ‪.7‬‬ ‫باع مخزن ملابس رياضية لمدة زمنية معينة ‪ 320‬بدلة رياضية‪ ،‬في حين باع مخزن لبيع الالعاب والملابس‬ ‫‪4‬‬ ‫الرياضية وللمدة نفسها ‪ 90‬بدلة رياضية‪.‬‬ ‫وضح كيف يمكن ان يولد كل من الرسمين البيانيين التاليين انطباعاً مضلّلاً‪.‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫= ‪100‬‬ ‫‪56‬‬ ‫= ‪50‬‬ ‫= ‪20‬‬ ‫‪ 7‬في استطلاع شمل ‪ 6‬اشخاص حول مطالعة جريدة يومية‪ ،‬افاد ‪ 4‬منهم انهم يفضلون الجريدة ( ‪ ) X‬في نهاية‬ ‫الاستطلاع وردت الجملة الآتية‪:‬‬ ‫يفضل ‪ 2‬من كل ‪ 3‬اشخاص مطالعة الجريدة ( ‪ ) X‬لماذا يُعد هذا الاعلان مضلّلاً؟‬ ‫‪ 8‬سئل ‪ 100‬طالب عن الطريقة التي يفضلونها في القدوم الى المدرسة‪ ،‬فكانت إجابات ‪ 60‬طالباً منهم على النحو‬ ‫الآتي‪ 32 :‬منهم يفضلون القدوم بواسطة سيارة الاجرة و ‪ 18‬يفضلون المشي و ‪ 10‬طلاب يفضلون القدوم‬ ‫بسياراتهم الخاصة‪ .‬أستنتج ان نصف الطلاب يفضلون سيارة الأجرة‪ .‬فسر لماذا الإحصاءات م ّضللة؟‬ ‫‪76‬‬

‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫الاحياء ‪ :‬الرسم البياني المجاور يمثل القدرة على كتم النفس لفرس‬ ‫‪9‬‬ ‫النهر وثعلب المياه‪.‬‬ ‫لماذا البيانات في الرسم مضلّلة؟ وضح ذلك‪.‬‬ ‫‪06‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 10‬مطالعة ‪ :‬الرسم المجاور يمثل اشخاص يفضلون مطالعة الكتب‬ ‫الادبية‪ ،‬العلمية‪ ،‬الفنية‪.‬‬ ‫فسر لماذا البيانات في الرسم م ّضللة؟‬ ‫عدد الاشخاص‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 11‬مواصلات ‪ :‬بلغت ارباح شركة الطيران ‪ A‬في شهري تموز وآب‬ ‫‪ 5500‬مليون دينار‪ ،‬في حين كانت ارباح شركة الطيران ‪ B‬في‬ ‫شهري نيسان ومايس ‪ 7500‬مليون دينار‪.‬‬ ‫فسر لماذا الإحصاءات مضلّلة؟‬ ‫‪ 12‬تغذية ‪ :‬تحتوي قصبة البروكلي على ‪ 477mg‬من البوتاسيوم والجزرة‬ ‫الكبيرة ‪ 230mg‬من البوتاسيوم في حين يحتوي رأس القرنبيط على‬ ‫‪ 803mg‬من البوتاسيوم‪ .‬فسر لماذا الإحصاءات هذه مضلّلة؟‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 13‬اكتشف الخطأ‪ :‬يقول محمد ان الرسم يكون غير مضلّل اذا بدأ رسم الاعمدة من الصفر بصرف النظر عن‬ ‫ثبوت طول الفترات‪ .‬اكتشف خطأ محمد‪.‬‬ ‫‪ 14‬حس عددي‪ :‬حصل احد الباعة على العمولات التالية بالالاف الدنانير‪:‬‬ ‫شباط ‪ ،965‬اذار ‪ ،170‬نيسان ‪ ،120‬تموز ‪ ،125‬مايس ‪.100‬‬ ‫اخبر اصدقاؤه ان متوسط عمولته الشهرية ‪ 265‬الف دينار‪ .‬فسر لماذا هذا الاحصاء مضلّل؟‬ ‫‪ 15‬ما الذي يجب ان تتأكد منه لتقرر ما اذا كان الرسم البياني مضلّلاً ام لا؟‬ ‫سؤال من الحياة اليومية تحتاج اليه لعمل رسوم مضلّلة‪.‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫‪77‬‬

‫‪Permutations and Combinations‬‬ ‫الدر ُس التباديل والتوافيق‬ ‫]‪[6-3‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• تعرف مضروب العدد‬ ‫دخل ‪ 4‬اشخاص الى غرفة تحتوي على‬ ‫‪ 4‬كراسي في صف واحد وطلب منهم‬ ‫الصحيح غير السالب‪.‬‬ ‫• تعرف مفهوم التباديل‪.‬‬ ‫الجلوس على تلك الكراسي‪.‬‬ ‫• تعرف مفهوم التوافيق‪.‬‬ ‫فكم طريقة يمكن ان يجلسون؟‬ ‫المفردات‬ ‫• مضروب العدد‪.‬‬ ‫• التباديل‪.‬‬ ‫• التوافيق‪.‬‬ ‫• فضاء العينة ‪.‬‬ ‫‪Factorial‬‬ ‫[‪ ]6-3-1‬المضروب‬ ‫اذا كان ‪ n‬عدداً صحيحاً غير سالب فأن‪ :‬مضروب العدد ‪ n‬يرمز له !‪ n‬ويعرف بالعلاقة الآتية‪:‬‬ ‫‪n! = n(n-1)(n-2)... (3)(2)(1), n ! Z+‬‬ ‫وان‪1! = 1, 0! = 1 :‬‬ ‫مثال (‪ )1‬دخل ‪ 4‬اشخاص الى غرفة تحتوي صفاً من ‪ 4‬كراسي وطلب اليهم الجلوس على تلك الكراسي‪ .‬كم‬ ‫طريقة يمكن ان يجلسون؟‬ ‫* الشخص الاول الذي دخل الى الغرفة يمكن ان يجلس على اي كرسي‪ ،‬اي له‪ 4 :‬اختيارات‪.‬‬ ‫* الشخص الثاني يحق له ان يجلس على اي كرسي من الثلاثة الباقية‪ ،‬اي له‪ 3 :‬اختيارات‪.‬‬ ‫* الشخص الثالث يحق له ان يجلس على اي كرسي من الكرسيين الباقيين‪ ،‬اي له‪ 2 :‬اختيار‪.‬‬ ‫* اما الشخص الرابع فانه حتماً سيجلس على الكرسي الاخير‪ ،‬اي له‪ 1 :‬اختيار‪.‬‬ ‫اذن عدد طرق الجلوس الممكنة تساوي‪4 # 3 # 2 # 1= 24 :‬‬ ‫لاحظ انك حصلت على النتيجة السابقة بضرب اعداد متتالية تبدأ من العدد (‪ )4‬وتتناقص حتى تصل الى العدد (‪.)1‬‬ ‫تسمى مثل هذه الصورة مضروب العدد (‪ )4‬ويرمز لها بالرمز !‪4‬‬ ‫جد قيمة كل مما يأتي‪:‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫!‪i) 5‬‬ ‫!‪ii) 4! - 2‬‬ ‫)‪iii‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫!‪iv) 3! # 2‬‬ ‫)‪v‬‬ ‫!‪^6 - 2h‬‬ ‫)‪vi‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫!‪0‬‬ ‫‪3#6‬‬ ‫)‪i) 5! = (5)(4)(3)(2)(1) ii) 4! - 2! = (4)(3)(2)(1) - (2)(1‬‬ ‫ ‪= 120‬‬ ‫‪= 24 - 2 = 22‬‬ ‫)‪iii) 75!! = (7) (( 65)) ((45)) ((43)) ((23 )) ((21)) (1‬‬ ‫))‪iv) 3! # 2! = ((3) (2) (1)) ((2) (1‬‬ ‫‪= (7) (6) = 42‬‬ ‫‪= (6) (2) =12‬‬ ‫)‪v‬‬ ‫)‪^ 6 0- !2h! = ^04 !!h = ^4h^3 h1^2h^ 1h = 24 vi‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‪(6) (5) (4) (3) (2) (1‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫‪3#6‬‬ ‫‪3#6‬‬ ‫‪78‬‬

‫‪Permutations‬‬ ‫[‪ ]6-3-2‬التباديل‬ ‫الشجرة‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخ‪a‬دام‬ ‫؟‬ ‫‪a,‬‬ ‫يمكن تكوينه من الاحرف ‪b, c‬‬ ‫كم زوج مرتب‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪(a, b), (a, c), (b, a), (b, c),‬‬ ‫)‪(c, a), (c, b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪&b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫هناك ستة ازواج مرتبة وهذا يعطي فكرة مبسطة عن التباديل التي سندرسها لاحقاً‪.‬‬ ‫عدد التباديل لعناصر عددها ‪ n‬مأخوذة ‪ r‬في كل مرة هو ناتج قسمة !‪ n‬على !(‪ ،)n-r‬يرمز للتباديل بالرمز‪ Prn‬او‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ P^n, rh‬حيث‬ ‫! )‪(n - r‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫;‬ ‫‪0#r#n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪n,‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪= n‬‬ ‫لاحظ ان‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪iii‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪iv‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪10‬‬ ‫مثال (‪ )3‬جد قيمة كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪i) P72‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫=‬ ‫!‪7‬‬ ‫=‬ ‫)‪(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1‬‬ ‫‪= 42‬‬ ‫= ‪P72‬‬ ‫!)‪(7- 2‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫)‪(5)(4)(3)(2)(1‬‬ ‫او بطريقة ابسط بجعل )!‪7! = (7) (6) (5‬‬ ‫!‪7! 7‬‬ ‫=‬ ‫)!‪(7) (6) (5‬‬ ‫= )‪= (7) (6‬‬ ‫‪42‬‬ ‫!‪(7- 2)! = 5‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫‪ii) P33 = 3! = (3)(2)(1) = 6 iii) P19 = 9‬‬ ‫)‪iv‬‬ ‫‪P10‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫الفرع ‪ iv,iii,ii‬من تطبيق الملاحظة مباشرة‬ ‫‪0‬‬ ‫مثال (‪ )4‬لوحة ارقام‪ :‬لعمل لوحات ارقام مكونة من خمسة ارقام من بين الارقام ‪ 1‬الى ‪ .9‬ماعدد الترتيبات‬ ‫المختلفة الممكنة؟‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫بما ان ترتيب الارقام مهم فهذه الحالة تمثل تباديل‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪r‬‬ ‫! )‪(n - r‬‬ ‫‪P‬‬ ‫=‬ ‫كتابة قانون التباديل‬ ‫‪P‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫!‪9‬‬ ‫بالتعويض من ‪r = 5, n = 9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫! )‪(9 - 5‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫!‪9‬‬ ‫نبسط‬ ‫‪5‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫قسمة العوامل المشتركة‬ ‫=‬ ‫)!‪(9) (8) (7) (6) (5) (4‬‬ ‫اذن هناك ‪ 15120‬ترتيباً بسط‬ ‫!‪4‬‬ ‫‪= 15120‬‬ ‫‪Combinations‬‬ ‫ ‬ ‫[‪ ]6-3-3‬التوافيق ‬ ‫كم مجموعة مكونة من عنصرين يمكن تكوينها من الاحرف ‪ a, b, c‬؟‬ ‫بما ان المجموعات غير خاضعة للترتيب اذن هناك ثلاث مجموعات هي‪:‬‬ ‫‪\"a, b ,,\" b, c ,,\"a, c ,‬‬ ‫وهذا يعطي فكرة مبسطة على التوافيق والتي سندرسها لاحقاً‪.‬‬ ‫عدد التوافيق لعناصر عددها ‪ n‬مأخوذة ‪ r‬في كل مرة يساوي ناتج قسمة !‪ n‬على !‪ ، (n-r)!r‬يرمز للتوافيق بالرمز‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫=)‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪, o#r#n‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫او‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪(n-r)!r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C1n‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ملاحظة‪ :‬لاحظ ان‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫في التوافيق لايهم الترتيب‬ ‫‪79‬‬

‫)‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫‪C 12‬‬ ‫)‪iii‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪iv‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪50‬‬ ‫مثال (‪ )5‬جد قيمة كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪(n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫كتابة قانون التوافيق‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪- r) !r‬‬ ‫التعويض من ‪r = 2 , n =8‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫!‪8‬‬ ‫=‬ ‫!‪8‬‬ ‫فك المضروب والتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪(8 - 2) ! 2‬‬ ‫!‪6! 2‬‬ ‫=‬ ‫)!‪(8) (7) (6‬‬ ‫‪= 28‬‬ ‫)‪6!(2) (1‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫‪C 17‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫)‪iii‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪iv‬‬ ‫‪C 50‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫حسب الملاحظة‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫مثال (‪ )6‬وظائف‪ :‬أعلنت شركة عن ‪ 4‬وظائف شاغرة‪ ،‬فتقدم ‪ 10‬اشخاص‪ ،‬بكم طريقة يمكن شغل الوظائف الأربع؟‬ ‫بما ان ترتيب الوظائف غير مهم فهذه الحالة تمثل توافيق‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪(n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫كتابة قانون التوافيق‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪- r) ! r‬‬ ‫التعويض من ‪r = 4 , n =10‬‬ ‫‪C 10‬‬ ‫=‬ ‫!‪10‬‬ ‫فك المضروب والتبسيط‬ ‫‪4‬‬ ‫!‪(10 - 4) !4‬‬ ‫‪C 10‬‬ ‫=‬ ‫!‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫!‪6! 4‬‬ ‫=‬ ‫)!‪(10) (9) (8) (7) (6‬‬ ‫)‪(6!) (4) (3) (2) (1‬‬ ‫‪= 210‬‬ ‫اذن هناك ‪ 210‬طريقة لشغل الوظائف الأربع‪.‬‬ ‫!‪1 4!# 2‬‬ ‫!‪2 ^3 + 2h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫!‪9‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫!‪6‬‬ ‫جد قيمة كل مما يأتي‪:‬‬ ‫! )‪4 (7 - 5‬‬ ‫!‪5 3! + 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P 10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫!‪10 2! # 6‬‬ ‫!‪11 4! # 3‬‬ ‫!‪12 0! # 1‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫جد قيمة كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪P 10‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪P 15‬‬ ‫‪C18‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬

‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪ 19‬لجان‪ :‬بكم طريقة يمكن اختيار لجنة ثلاثية من بين هيئة مكونة من ‪ 5‬شخصاً؟‬ ‫‪ 20‬لجان‪ :‬بكم طريقة يمكن اختيار لجنة ثلاثية مكونة من رئيس ونائب الرئيس‬ ‫وامين الصندوق من بين هيئة مكونة من ‪ 5‬شخصاً؟‬ ‫‪ 21‬شطرنج‪ :‬في التصفية النهائية لبطولة الشطرنج في احدى المدارس بين اربعة‬ ‫طلاب‪ .‬كم عدد المباريات التي يمكن اجراؤها للتصفية؟‪.‬‬ ‫‪ 22‬لوحات‪ :‬رسم فنان ‪ 7‬لوحات فنية‪ ،‬فبكم طريقة يمكنه اختيار ‪ 5‬لوحات منها‬ ‫لعرضها في معرض فني؟‬ ‫‪ 23‬اختبار‪ :‬ورقة اسئلة تحتوي على ‪ 12‬سؤالاً والمطلوب الاجابة عن ‪ 10‬اسئلة‪.‬‬ ‫بكم طريقة يمكن اختيار الاسئلة؟‬ ‫‪ 24‬رياضة‪ :‬أراد مدرس الرياضة اختيار فريق لكرة السلة من أصل ‪ 9‬لاعباً‪ ،‬بكم‬ ‫طريقة يمكنه تشكيل الفريق؟‬ ‫‪ 25‬عصائر‪ :‬كم خيار لدى تمارة لاختيار ‪ 3‬اقداح من أقداح تحتوي على عصير‬ ‫الفواكه الآتية‪ :‬ليمون‪ ،‬تفاح‪ ،‬عنب‪ ،‬موز؟‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 26‬تحد‪ :‬جد قيمة‪:‬‬ ‫!‪i) 15! 9‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫‪#‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫!‪14! 10‬‬ ‫!‪3! # 1‬‬ ‫!‪5! # 4‬‬ ‫اجابتك‪.‬‬ ‫فسر‬ ‫‪C‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ام‬ ‫‪P‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اما‬ ‫الاختيارات‬ ‫عدد‬ ‫فان‬ ‫طلاب‪،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫طلاب‬ ‫‪4‬‬ ‫من‬ ‫لجنة‬ ‫اختيار‬ ‫‪:‬‬ ‫صحيح؟‬ ‫أيهما‬ ‫‪27‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪P‬‬ ‫‪m‬‬ ‫العبارة‬ ‫تكون‬ ‫متى‬ ‫تبرير‪:‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ 29‬تفكير ناقد‪ :‬ما العلاقة بين تراتيب ‪ 3‬من اصل ‪ ،5‬وتوافيق ‪ 3‬من اصل ‪5‬؟ اكتب هذه العلاقة‪.‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫من خلال حسابك لكل منهما‪.‬‬ ‫! )‪(n - 1‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫مسألة عددية‪ :‬جد قيمة ‪ n‬التي تجعل‬ ‫‪30‬‬ ‫مسألة لاختيار ‪ 2‬من بين ‪ 5‬اشياء على ان يكون الترتيب فيها مهماً‪.‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫‪81‬‬

‫الدر ُس الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري‬ ‫]‪[6-4‬‬ ‫‪Experimental Probability and Theoretical Probability‬‬ ‫فكرةُ الدرس تعلم‬ ‫التكرار النتائج‬ ‫رمى مهند قطعتي نقود ‪ 13‬مرة وسجل النتائج كما مبين ‪H,H 7‬‬ ‫• حساب الاحتمال‬ ‫التجريبي‪.‬‬ ‫‪H,T 3‬‬ ‫في الجدول المجاور‪:‬‬ ‫عدد ظهور (‪)H,T‬‬ ‫• حساب الاحتمال النظري‪.‬‬ ‫‪T,H 1‬‬ ‫‪ .1‬اوجد النسبة‬ ‫المفردات‬ ‫‪T,T 2‬‬ ‫عدد عناصر فضاء العينة‬ ‫ ‬ ‫عدد ظهور (‪)H,T‬‬ ‫• الاحتمال التجريبي‪.‬‬ ‫‪ .2‬اوجد النسبة‬ ‫عدد مرات التجربة‬ ‫• الاحتمال النظري‪.‬‬ ‫هل النسبة في السؤال الاول تساوي النسبة في السؤال الثاني ؟ وضح ذلك‪.‬‬ ‫• فضاء العينة ‪.‬‬ ‫[‪ ]6-4-1‬الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري‬ ‫‪Experimental Probability and Theoretical Probability‬‬ ‫سبق ان درست حساب الاحتمال التجريبي والنظري حيث تحديد الاحتمال في الفقرة (تعلم) عن طريق اجراء التجربة والنواتج‬ ‫بهذه الطريقة تسمى الاحتمالات التجريبية ‪.‬‬ ‫اما الاحتمالات المبنية على حقائق وخصائص معروفة فتسمى الاحتمالات النظرية‬ ‫مثال (‪ )1‬فضاء العينة لتجربة رمي قطعتي نقود هي ‪:‬‬ ‫{( ‪XR={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T‬‬ ‫النسبة في السؤال الاول‪:‬‬ ‫اذن عدد عناصر فضاء العينة يساوي ‪4‬‬ ‫عدد ظهور (‪)H,T‬‬ ‫‪3‬‬ ‫من الجدول عدد مرات ظهور الحدث ‪ H,T‬يساوي ‪3‬‬ ‫عدد عناصر فضاء العينة‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪P (H, T‬‬ ‫&‬ ‫= )‪` P (H, T‬‬ ‫الاحتمال نظري‬ ‫= )‪P (H, T‬‬ ‫عدد ظهور (‪)H,T‬‬ ‫عدد مرات التجربة‬ ‫النسبة في السؤال الثاني‪:‬‬ ‫من الجدول عدد مرات ظهور الحدث ‪ H,T‬يساوي ‪3‬‬ ‫&‬ ‫= )‪` P (H, T‬‬ ‫‪3‬‬ ‫عدد مرات التجربة يساوي ‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫الاحتمال تجريبي‬ ‫الاحتمالات النظرية تزودنا بنتائج التجربة دون الحاجة الى إجرائها (تعتمد على فضاء العينة للتجربة)‪.‬‬ ‫الاحتمالات التجريبية تزودنا بنتائج التجربة بتكرارها عدة مرات (تعتمد على تكرار التجربة)‪.‬‬ ‫هذا‬ ‫انظري‬ ‫‪3‬‬ ‫هو‬ ‫صالحة‬ ‫غير‬ ‫البطارية‬ ‫كون‬ ‫احتمال‬ ‫ان‬ ‫السيارات‬ ‫بطاريات‬ ‫مصنع‬ ‫في‬ ‫باحث‬ ‫وجد‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫الاحتمال ام تجريبي؟ واذا اراد المصنع الحصول على ‪ 240‬بطارية غير صالحة‪ .‬فكم بطارية كان على المصنع انتاجه ؟‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪240‬‬ ‫هذا الاحتمال تجريبي‪ ،‬لانه يعتمد على ما حدث فعلاً‪ .‬استعمل التناسب لحل الجزء الثاني من المثال‬ ‫‪20‬‬ ‫‪X‬‬ ‫كل ‪ 3‬بطاريات من اصل ‪ 20‬غير صالحة‬ ‫‪3X = 4800‬‬ ‫اذن ‪ 240‬بطارية غير صالحة من اصل ‪ X‬بطارية ينتجها المصنع‪ .‬اكتب التناسب‬ ‫الضرب التبادلي‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪4800‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اقسم المعادلة على ‪3‬‬ ‫‪X = 1600‬‬ ‫` يجب ان ينتج المصنع ‪ 1600‬بطارية‬ ‫‪82‬‬

‫مثال (‪ )3‬عند رمي حجري النرد مرة واحدة جد احتمال ‪:‬‬ ‫‪ )i‬الحدث‪ :‬الحصول على المجموع ‪ 5‬على وجهي الحجرين‪.‬‬ ‫‪ )ii‬الحدث ‪ :‬الرقم على وجه الحجر الاول ضعف الرقم على وجه الحجر الثاني‪.‬‬ ‫هذا الاحتمال نظري ‪ :‬لان الحجرين رميا مرة واحدة‪.‬‬ ‫عدد ارقام الحجر الاول = ‪ ، 6‬عدد ارقام الحجر الثاني = ‪6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪ 6‬وتساوي‬ ‫‪#‬‬ ‫‪6‬‬ ‫تساوي‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫‪:‬‬ ‫الاساسي‬ ‫العد‬ ‫قانون‬ ‫حسب‬ ‫اذن‬ ‫ []]]\\]]]]]‪]]Z‬‬ ‫‪bbbbbba`_bbbb‬‬ ‫‪n = 36‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪(1,‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪.......‬‬ ‫‪(1,‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪(2,‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪.......‬‬ ‫‪(2,‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪(6,‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪(6,‬‬ ‫‪.......‬‬ ‫‪i) E1 = \"(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) ,, m = 4, n = 36‬‬ ‫الحدث‪ :‬مجموع ‪ 5‬على وجهي الحجرين‬ ‫)‪P (E1‬‬ ‫=‬ ‫‪m‬‬ ‫قانون الاحتمال‬ ‫‪n‬‬ ‫= )‪P (E1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫التعويض والتبسيط‬ ‫‪36‬‬ ‫‪9‬‬ ‫الحدث‪ :‬رقم الحجر الاول ضعف رقم الحجر الثاني‬ ‫‪ii) E2 = \"(2, 1), (4, 2), (6, 3) , , m = 3, n = 36‬‬ ‫التعويض والتبسيط‬ ‫= )‪` P (E2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪Disjoint Events‬‬ ‫[‪ ]6-4-2‬الاحداث المتنافية‬ ‫الحدثان المتنافيان‪ :‬هما حدثان لايمكن ان يتحققا معا ً في تجربة واحدة‪.‬‬ ‫مثلاً‪ :‬عند رمي حجر النرد مرة واحدة‪ ،‬فان الحصول على عدد فردي و عدد زوجي معاً مستحيل‬ ‫اذن هما حدثان متنافيان‪.‬‬ ‫حساب احتمال الحدثين المتنافيين‪:‬‬ ‫اذا كان ‪ E1 , E2‬حدثين متنافيين فان احتمال وقوع ‪ E1‬او وقوع ‪ E2‬يساوي مجموع احتمالي الحدثين‬ ‫(‪P (E1 or E2) = P (E1) +P (E2‬‬ ‫اي ‪:‬‬ ‫مثال (‪ )4‬عند رمي حجر النرد مرة واحدة‪ ،‬جد احتمال الحصول على العدد ‪ 3‬او على عدد زوجي‪.‬‬ ‫بما انه لايمكن ان يظهر على وجه الحجر العدد ‪ 3‬في الوقت نفسه مع عدد زوجي فان هذين الحدثين متنافيان‬ ‫{‪X=}1,2,3,4,5,6‬‬ ‫فضاء العينة‬ ‫احتمال الحصول على العدد ‪ 3‬هو‬ ‫= )‪P (E1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪1, n‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫&‬ ‫= )‪P (E1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= )‪P (E2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪3, n‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫&‬ ‫= )‪P (E2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫احتمال الحصول على العدد زوجي‬ ‫‪n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪P(E1 or E2) = P(E1) + P(E2‬‬ ‫احتمال الحوادث المتنافية‬ ‫)‪P (E1 or E2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫يساوي‬ ‫النرد‬ ‫حجر‬ ‫رمي‬ ‫في‬ ‫زوجي‬ ‫عدد‬ ‫او‬ ‫‪3‬‬ ‫العدد‬ ‫ظهور‬ ‫احتمال‬ ‫اذن‬ ‫‪83‬‬

‫عند رمي حجري النرد مرة واحدة‪ ،‬جد احتمال الحصول على عددين متساويين او مجموع‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫عدد عناصر فضاء العينة عند رمي حجري النرد يساوي ‪36‬‬ ‫عددين يساوي ‪.3‬‬ ‫{( ‪E1 = {(1,1), (2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6‬‬ ‫= (‪P(E1‬‬ ‫عدد عناصر ‪E1‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫فضاء العينة‬ ‫‪36‬‬ ‫{( ‪E2 = {(1,2), (2,1‬‬ ‫= (‪P(E2‬‬ ‫عدد عناصر ‪E2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ E1 , E2‬حدثان متنافيان لاتوجد عناصر مشتركة بينهما‪.‬‬ ‫فضاء العينة‬ ‫‪36‬‬ ‫احتمال الاحداث المتنافية‬ ‫(‪P(E1 or E2) = P(E1)+P(E2‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪9‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫في تجربة رمي حجري النرد مرة واحدة‪ ،‬جد احتمال حدوث الاحداث الاتية ‪:‬‬ ‫‪ 1‬العددان على وجهي الحجرين متساويان‪.‬‬ ‫‪ 2‬العدد على وجه الحجر الاول نصف العدد على وجه الحجر الثاني‪.‬‬ ‫‪ 3‬مجموع العددين على وجهي الحجرين يساوي ‪.10‬‬ ‫‪ 4‬مجموع العددين على وجهي الحجرين اقل من ‪.5‬‬ ‫‪ 5‬أتجريبية الاحتمالات السابقة ام نظرية؟‬ ‫كيس فيه ‪ 4‬كرات حمر‪ ،‬كرة خضراء‪ ،‬كم كرة زرقاء يجب ان تضاف الى الكيس كي يكون احتمال سحب كرة‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫؟ انظري الاحتمال ام تجريبي ؟‬ ‫‪3‬‬ ‫حمراء‬ ‫‪ 7‬وقف شخص في احدى تقاطعات مدينة بغداد فأحصى ‪ 25‬سيارة شاهدها‪ ،‬منها ‪ 13‬سيارة صفر اللون‪7 ،‬‬ ‫سيارات بيض اللون‪ 5 ،‬سيارات رصاصية اللون ‪ .‬قدر احتمال ان تكون السيارة التالية التي تجتاز التقاطع‬ ‫صفراء اللون ‪ .‬وما نوع الاحتمال انظري ام تجريبي ؟ اكتب النسبة بشكل كسر عشري ونسبة مئوية ‪.‬‬ ‫‪ 8‬عند رمي حجري نرد‪ ،‬جد احتمال حصول على عددين مجموعهما ‪ 5‬او مجموعهما ‪ .11‬هل الحدثان متنافيان‬ ‫بين ذلك‪.‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت في تجربة رمي حجري النرد مرة واحدة‪ ،‬جد احتمال حدوث الاحداث الاتية‬ ‫‪ 9‬مجموع العددين على وجهي الحجرين اكبر من ‪.8‬‬ ‫‪ 10‬مجموع العددين على وجهي الحجرين يساوي ‪.12‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪ 11‬اجريت دراسة على ‪ 100‬شخص‪ ،‬فاجاب ‪ 15‬منهم انهم يستعملون اليد اليسرى فاذا اجريت الدراسة على ‪400‬‬ ‫شخص‪ ،‬فكم تتوقع عدد الاشخاص الذين يستعملون اليد اليسرى ؟‬ ‫‪ 12‬جد احتمال سحب بطاقة تحمل عدداً فردياً او تحمل عدداً من مضاعفات العدد ‪ 2‬من بطاقات مرقمة من ‪ 1‬الى ‪9‬‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫؟‬ ‫‪1‬‬ ‫تسلية ‪ :‬بأي لون يجب تلوين الفراغ بحيث يكون احتمال ان يأتي المؤشر عند هذا اللون‬ ‫‪13‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 14‬طوابع ‪ :‬يهوى مهند جمع الطوابع البريدية‪ ،‬فمن بين ‪ 60‬طابعاً جمع ‪ 25‬طابعاً للدول العربية‪ 15 ،‬طابعاً لدول‬ ‫افريقية و ‪ 20‬طابعاً لدول اوربية‪ .‬قدر احتمال ان يكون الطابع الذي سيجمعه أوربياً‪.‬‬ ‫‪ 15‬رياضية‪ :‬في التدريب على كرة السلة‪ ،‬اصاب لاعب السلة ‪ 15‬كرة من ‪ 25‬رمية‪ ،‬ما الاحتمال التجريبي لان‬ ‫يصيب لاعب السلة في الرمية التالية ؟ اكتب الجواب على صورة كسر و عدد عشري و نسبة مئوية ‪.‬‬ ‫‪ 16‬دراسة ‪ :‬احصى رجل في عائلته ‪ 3‬افراد عيونهم زرق من كل ‪ 22‬فرداً‪ ،‬اذا رزق الرجل بمولود جديد‪ ،‬ما احتمال‬ ‫ان تكون عيناه ليست زرقاء ؟‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 17‬تح ًّد‪ :‬قرص ذو مؤشر‪ ،‬مقسم الى ثلاثة اجزاء على الشكل المجاور ‪ :‬نصف القرص‬ ‫اخضر ثلثه احمر و سدسه ازرق ‪ .‬ما احتمال ان يدل مؤشر القرص على الأخضر او‬ ‫الأحمر بعد اطلاقه؟‬ ‫‪ 18‬أكتشف الخطأ‪ :‬يريد كل من سارة و مهند تحديد احتمال اختيار كرة زرقاء او حمراء‬ ‫عشوائياً من كيس يحتوي على ‪ 5‬كرات زرق‪ 4 ،‬كرات حمر‪ 6 ،‬كرات صفر ايهما‬ ‫كانت اجابته صحيحة ؟ فسر اجابتك‪.‬‬ ‫مهند‬ ‫سارة‬ ‫= (‪P(R or B) = P(R)# P(B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫= (‪P(R or B) = P(R)+P(B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫الذي يمثل احتمال وقوع حدث نظري او تجريبي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫توضيحاً لما يمثله كل عدد في الكسر‬ ‫‪9‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪Compound Events‬‬ ‫الدر ُس الاحداث المركبة‬ ‫]‪[6-5‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• حساب احتمال الاحداث‬ ‫تشير تقارير شركة الخطوط الجوية العراقية‬ ‫المستقلة‪.‬‬ ‫الى وصول طائراتها في موعدها المحدد بنسبة‬ ‫• حساب احتمال الاحداث‬ ‫‪19‬‬ ‫من‬ ‫الامتعة‬ ‫فقدان‬ ‫الى‬ ‫‪2٪‬‬ ‫تشيرالنسبة‬ ‫كما‬ ‫‪،‬‬ ‫‪20‬‬ ‫المترابطة‪.‬‬ ‫الحالات‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫• الاحداث المستقلة‪.‬‬ ‫فما احتمال وصول طائرة في موعدها مع فقدان‬ ‫• الاحداث المترابطة‪.‬‬ ‫الامتعة؟‬ ‫‪ Independent Events‬‬ ‫[‪ ]6-5-1‬الاحداث المستقلة ‬ ‫ سبق وان تعلمت مفهوم الاحداث المستقلة (نتيجة احدهما لا تؤثر في نتيجة الآخر) في هذا الدرس سوف نتعلم حساب‬ ‫احتمال الحوادث المستقلة‪ ،‬اذا كان‪ E2,E1 :‬حدثين مستقلين فان احتمال وقوعهما معاً يساوي حاصل ضرب احتمال‬ ‫‪ E1‬في احتمال الحدث ‪، E2‬‬ ‫)‪P (E1 and E2) = P (E1) # P (E2‬‬ ‫اي‪:‬‬ ‫= )‪P (E1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫مثال (‪ )1‬في فقرة تعلم‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ان احتمال وصول الطائرة في موعدها هو‬ ‫= )‪P (E2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ان احتمال فقدان الامتعة هو‬ ‫‪50‬‬ ‫ان وصول الطائرة في موعدها لايؤثر في فقدان الامتعة‪ ،‬هذا يعني ان الحدثين مستقلان‪.‬‬ ‫)‪P (E1 and E2) = P (E1) # P (E2‬‬ ‫احتمال الاحداث المستقلة‬ ‫بالتعويض‬ ‫=‬ ‫‪19‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪50‬‬ ‫=‬ ‫‪19‬‬ ‫‪= 0.019 =1.9%‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫مثال (‪ )2‬كيس يحتوي على ‪ 3‬كرات حمر‪ 4 ،‬كرات خضر‪ 5 ،‬كرات زرق‪ ،‬سحبت منه كرة عشوائياً ثم اعيدت‬ ‫وسحبت كرة ثانية‪ .‬جد احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة خضراء‪.‬‬ ‫= )‪P (R‬‬ ‫عدد الكرات الحمراء‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫سحب الكرة الحمراء‬ ‫العدد الكلي للكرات‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫سحب الكرة الخضراء‬ ‫عدد الكرات الخضراء= )‪P (G‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫الحدثان مستقلان‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫العدد الكلي للكرات‬ ‫)‪P (R and G) = P (R) # P (G‬‬ ‫احتمال الاحداث المستقلة (لان الكرة الاولى اعيدت الى الكيس)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫اذن احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة خضراء مع اعادة الكرة الحمراء يساوي‬ ‫‪86‬‬

‫مثال (‪ )3‬اذا اختيرت احدى البطاقات المرقمة وتدوير مؤشر القرص الدواركما مبين في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫ما احتمال ان يكون الناتج عدداً زوجياً واللون ازرق؟‬ ‫نفرض ان )‪ P (E1‬احتمال العدد الزوجي‪.‬‬ ‫= )‪P (E1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نفرض ان )‪ P (E2‬احتمال وقوف المؤشر على اللون الازرق‪.‬‬ ‫= )‪P (E2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪P (E1 and E2) = P (E1) # P (E2‬‬ ‫احتمال الحوادث المستقلة‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪12.5%‬‬ ‫اذن احتمال (عدد زوجي ولون ازرق) هو‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Dependent Events‬‬ ‫[‪ ]6-5-2‬الاحداث المترابطة‬ ‫الاحداث المترابطة (نتيجة احدهما تؤثر في نتيجة الآخر)‬ ‫اذا كان ‪ E1‬و ‪ E2‬حدثين مترابطين فان احتمال وقوعهما معاً هو حاصل ضرب احتمال الحدث الاول ‪ E1‬في ضرب‬ ‫(احتمال الحدث ‪ E2‬بعد حصول الحدث ‪ ، )E1‬اي‪:‬‬ ‫)‪P (E1 and E2) = P (E1) # P (E2 after E1‬‬ ‫مثال (‪ )4‬في مثال (‪ ،)2‬لو لم نعيد الكرة الحمراء الى الكيس‪ .‬ما احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة خضراء؟‬ ‫= )‪P (R‬‬ ‫عدد الكرات الحمراء‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫سحب الكرة الحمراء‬ ‫العدد الكلي للكرات‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫عدم اعادة الكرة الحمراء للكيس يعني ان عدد الكرات الحمر اصبح ‪ 2‬كرة‪ ،‬والعدد الكلي لكرات في هذه الحالة‬ ‫هو ‪ 11‬كرة بدل ‪.12‬‬ ‫‪P (G after‬‬ ‫= )‪R‬‬ ‫عدد الكرات الخضراء‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫سحب الكرة الخضراء‬ ‫العدد الكلي الجديد للكرات‬ ‫‪11‬‬ ‫الحدثان مترابطان‬ ‫)‪P (R and G) = P (R) # P (G after R‬‬ ‫احتمال الحوادث المترابطة‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اذن احتمال سحب كرة حمراء ثم خضراء دون اعادة الكرة الحمراء يساوي‬ ‫‪11‬‬ ‫‪87‬‬

‫مثال (‪ )5‬صندوق فيه ‪ 5‬كرات حمر‪ 3 ،‬زرق‪ 8 ،‬صفر‪ ،‬سحبت كرة من الصندوق دون اعادتها ثم سحبت‬ ‫ثانيةً‪ ،‬جد (صفراء ثم حمراء)‪P‬‬ ‫)‪P (Y‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫افرض )‪ P (Y‬سحب صفراء‪،‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫عدم اعادة الكرة الصفراء‪ ،‬اصبح في الصندوق ‪ 5‬كرات حمراء‪ 3 ،‬زرقاء‪ 7 ،‬صفراء‪،‬اي مجموعهما ‪ 15‬كرة‪.‬‬ ‫)‪P (R after Y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫سحبت كرة حمراء من الصندوق‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحدثان مترابطان‬ ‫)‪P (Y and R) = P (Y) # P (R after Y‬‬ ‫احتمال الحوادث المترابطة‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتعويض والتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اذن احتمال سحب كرة صفراء ثم كرة حمراء دون اعادة الكرة الصفراء هو‬ ‫‪6‬‬ ‫الخلاصة‪:‬‬ ‫‪ .1‬نجد )‪P (E2), P (E1‬‬ ‫‪ .2‬اذا كان ‪ E2 ، E1‬مستقلين فان‪P (E1 and E2) = P (E1) # P (E2) :‬‬ ‫‪ .3‬اذا ‪ E2 ، E1‬مترابطين فان‪P (E1 and E2) = P (E1) # P (E2 after E1) :‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪ 1‬صندوق فيه ‪ 3‬كرات حمراء‪ 3 ،‬كرات خضر‪ ،‬ما احتمال سحب كرتين خضر من دون اعادة الكرة الاولى؟‬ ‫‪ 2‬اطلق مؤشر في القرصين المقابلين مرة واحدة‪ ،‬ما احتمال ان يأتي‬ ‫مؤشر الاول على اللون الأحمر ومؤشر الثاني على العدد ‪ 5‬؟‬ ‫‪ 3‬رمي قطعتي نقود مرة واحدة‪ ،‬ما احتمال ظهور صورة على القطعة الاولى‪ ،‬وكتابة على القطعة الثانية‪.‬‬ ‫تدر ْب وح ّل التمرينا ِت‬ ‫‪ 4‬صندوق فيه ‪ 5‬بطاقات حمر‪ 4 ،‬بطاقات سود‪ 6 ،‬بطاقات خضر‪.‬‬ ‫سحبت بطاقة دون اعادتها للصندوق وسحبت بطاقة ثانية‪ ،‬ما احتمال ان تكون البطاقة الاولى حمراء والثانية‬ ‫سوداء؟‬ ‫‪88‬‬

‫‪ 5‬اطلق مؤشر في القرصين المجاورين مرة واحدة‪ ،‬ما احتمال ان يأتي‬ ‫مؤشر الاول على اللون الأخضر ومؤشر الثاني على العدد ‪3‬؟‬ ‫‪ 6‬رمي حجري النرد مرة واحدة‪ ،‬ما احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على ‪ 3‬على الحجر الاول‪ ،‬وعدد يقبل القسمة‬ ‫على ‪ 5‬على الحجر الثاني؟‬ ‫تدر ْب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫‪ 7‬حلوى‪ :‬تحتوي علبة على ‪ 10‬قطع حلوى بطعم الفراولة‪ 15 ،‬قطعة بطعم الشكولاته‪ 5 ،‬قطع بطعم الليمون‪ .‬ما‬ ‫احتمال اختيار قطعتين عشوائياً الواحدة تلو الاخرى دون ارجاع على ان تكون الاولى بطعم الشوكلاته والثانية‬ ‫بطعم الليمون؟‬ ‫‪ 8‬كتب‪ :‬اختارت سها كتاباً من رف في غرفتها واعادته ثم اختارت كتاباً آخر‪ ،‬ما احتمال ان يكون اختيار الكتاب‬ ‫من كتب الرياضيات؟ علماً ان الرف يحتوي على ‪ 5‬كتب رياضيات‪ 2 ،‬كتاب لغة انكليزية‪ 3 ،‬كتب علوم‪.‬‬ ‫فَ ِّكـ ْر‬ ‫‪ 9‬أكتشف الخطأ‪ :‬يريد كل من جمانة واختها سالي تحديد احتمال اختيار كرة حمراء واخرى صفراء عشوائياً من‬ ‫كيس يحتوي ‪ 4‬كرات حمراء‪ 5 ،‬كرات صفراء دون ارجاع الكرة بعد السحب‪.‬‬ ‫جمانة سالي‬ ‫ ‬ ‫) حمراء وصفراء ( ‪P‬‬ ‫) حمراء وصفراء ( ‪P‬‬ ‫) صفراء ( ‪ ) # P‬حمراء ( ‪P‬‬ ‫) صفراء ( ‪ ) # P‬حمراء ( ‪P‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ايهما كان حلها صحيحاً؟‬ ‫‪10‬‬ ‫تح ًّد‪ :‬عند رمي حجر النرد وقطعة نقود‪ ،‬ما احتمال ظهور رقم اكبر من ‪ 2‬واصغر من ‪ 6‬على حجر النرد‬ ‫والكتابة على قطعة النقود؟‬ ‫‪ 11‬مسألة مفتوحة‪ 10 :‬بطاقات بثلاثة اشكال مختلفة‪ ،‬اكتب مسألة تتعلق بسحب بطاقتين عشوائياً دون ارجاعهما‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫على ان يكون الاحتمال‬ ‫‪15‬‬ ‫مثالاً على حدثين مستقلين ومثالاً آخر على حدثين مترابطين‪.‬‬ ‫اُكت ْب‬ ‫‪89‬‬

‫الدر ُس خطة حل المسألة (أنشىء نموذجاً)‬ ‫]‪[6-6‬‬ ‫(‪Problem Solving Plan (Make a Model‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫• أحل مسألة باستعمال خطة‬ ‫حاول محمد ترتيب ‪ 5‬قطع ملونة مربعة‬ ‫الشكل (أسود‪ ،‬أحمر‪ ،‬أزرق‪ ،‬أصفر‪،‬‬ ‫(انشاء نموذج)‪.‬‬ ‫أخضر) بطرائق مختلفة‪ ،‬كم طريقة يمكن‬ ‫ان يرتبها بشرط ان اول مربع اسود اللون‬ ‫واخر مربع أصفر اللون؟‬ ‫اِفهم‬ ‫ما المعطيات في المسألة؟ ‪ 5‬مربعات ملونة‪.‬‬ ‫ما المطلوب من المسألة؟ إيجاد عدد بطرائق الممكنة لترتيبها‪.‬‬ ‫خطّط‬ ‫كيف تح ّل المسألة؟ أنشئ نموذجاً لتوضيح تلك الطرائق المختلفة‪.‬‬ ‫ح ّل‬ ‫‪12‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪56‬‬ ‫اذن هناك ستة طرائق لترتيبها‪.‬‬ ‫الرسم في اعلاه يتضمن جميع طرق الترتيب بعمل النماذج (بطريقة التباديل)‬ ‫تحقّق‬ ‫ويمكن ان نجد عدد الطرائق باستعمال مضروب العدد‪.‬‬ ‫)‪3! = (3) # (2) # (1‬‬ ‫طرق ‪= 6‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪Problems‬‬ ‫م�ســائل‬ ‫‪ 1‬لديك الارقام ‪ ،4،3،2،1‬كم عدد يمكن تكوينه من ‪ 4‬ارقام‬ ‫شرط عدم تكرار الرقم في العدد والعدد اكبر من ‪4000‬؟‬ ‫‪ 2‬في بستان فلاح ‪ 28‬شتلة برتقال وتفاح‪ ،‬فاذا كان مقابل كل‬ ‫‪ 4‬شتلات برتقال ‪ 3‬شتلات تفاح‪ .‬ما عدد شتلات البرتقال؟‬ ‫‪ 3‬مزارع يسقي بستانه مرة في كل اسبوعين‪ ،‬كم مرة يسقي‬ ‫البستان في ‪ 6‬اشهر؟‬ ‫قسمت ‪ 24‬قطعة على شكل مثلثات ومربعات ودوائر الى‬ ‫‪4‬‬ ‫اربع مجموعات‪ ،‬فاذا كان عدد المربعات يزيد بمقدار ‪1‬‬ ‫على عدد الدوائر ويقل بمقدار ‪ 1‬عن عدد المثلثات‪ ،‬فما عدد‬ ‫القطع لكل نوع؟‬ ‫‪91‬‬

‫مراجع ُة الف�ص ِل‬ ‫المفردات ‪Chapter Review‬‬ ‫‪English‬‬ ‫عربي‬ ‫‪English‬‬ ‫عربي‬ ‫‪Survey Study‬‬ ‫الاحتمال التجريبي ‪ Experimental Probability‬دراسة مسحية‬ ‫‪Society‬‬ ‫‪ Theoretical Probability‬المجتمع‬ ‫الاحتمال النظري‬ ‫‪Sample‬‬ ‫‪ Disjoint Events‬العينة‬ ‫الاحداث المتنافية‬ ‫‪Permutation‬‬ ‫‪ Independent Events‬التباديل‬ ‫الاحداث المستقلة‬ ‫‪Compilation‬‬ ‫‪ Dependent Events‬التوافيق‬ ‫الاحداث المترابطة‬ ‫‪Sample Space‬‬ ‫‪ Compound Events‬فضاء العينة‬ ‫الاحداث المركبة‬ ‫‪Factorial‬‬ ‫‪ Misleading Statistics‬المضروب‬ ‫الاحصاءات الم ّضللة‬ ‫‪Misleading Data‬‬ ‫‪ Sample Space‬البيانات الم ّضللة‬ ‫فضاء العينة‬ ‫تصميم دراسة مسحية وتحليل نتائجها‬ ‫الدر ُس [‪]6-1‬‬ ‫تدريب‪ :1‬في سباقات العدو التي تنظمها وزارة الشباب‬ ‫مثال‪ :‬طلب من كل عاشر زائر من بين ‪ 3000‬زائر‬ ‫والرياضة حقق احد المتسابقين خلال عشر سنوات‬ ‫لحديقة الزوراء في احد الايام ان يجيب عن سؤال معين‪.‬‬ ‫المراكز الآتية‪:‬‬ ‫‪ )i‬حدد العينة‪.‬‬ ‫‪2,1,1,1,2,1,1,3,4,2,10‬‬ ‫‪ )ii‬حدد المجتمع الذي اختير منه‪.‬‬ ‫اي مقاييس النزعة المركزية (الوسط الحسابي‪ ،‬الوسيط‪،‬‬ ‫‪ )iii‬حدد ما اذا كانت العينة متحيزة ام لا‪.‬‬ ‫المنوال) هو الأنسب لتمثيل هذه البيانات‪.‬‬ ‫‪ )i‬العينة‪ :‬الزوار الذين وجه لهم السؤال وعددهم ‪300‬‬ ‫تدريب‪ :2‬اختار مدير مدرسة ‪ 20‬طالباً لتمثيل‬ ‫زائر‪.‬‬ ‫المدرسة في مسابقة علمية‪.‬‬ ‫‪ )ii‬المجتمع‪ :‬جميع زوار الحديقة وعدهم ‪.3000‬‬ ‫‪ )i‬حدد العينة‪.‬‬ ‫‪ )iii‬العينة غير متحيزة‪ ،‬لانهم اختيروا عشوائياً‪.‬‬ ‫‪ )ii‬حدد المجتمع الذي اختير منه‪.‬‬ ‫‪ )iii‬حدد ما اذا كانت العينة متحيزة ام لا‪.‬‬ ‫‪92‬‬

‫البيانات والاحصاءات الم ّضللة‬ ‫الدر ُس [‪]6-2‬‬ ‫تدريب‪ :1‬يكون الرسم البياني م ّضللاً اذا تحققت على‬ ‫مثال‪ :‬سئل ‪ 200‬زائر حول اسعار بطاقات الدخول‬ ‫الأقل احدى الحالات الآتية‪:‬‬ ‫للمسرح‪ .‬ومثلت الاجابات بالاعمدة‪ ،‬هل التمثيل يعطي‬ ‫* عندما لا يبدأ الرسم البياني بالاعمدة من ‪...............‬‬ ‫الصورة الصحيحة للاجابات‪.‬‬ ‫* عندما تكون اطوال الفترات ‪.......................‬‬ ‫* عدم الاشارة الى بعض الاعداد التي تم ‪...............‬‬ ‫تدريب‪ :2‬كيف تميز بين الرسم البياني الم ّضلل وغير‬ ‫الم ّضلل؟‬ ‫تدريب‪ :3‬لأي هدف تستعمل الإحصاءات الم ّضللة؟‬ ‫يبدو للوهلة الاولى ان معظم الزوار غير راضين عن‬ ‫اسعار البطاقات‪ ،‬ومع ذلك فان اطوال المدة الزمنية‬ ‫للتدريج غير ثابتة‪.‬‬ ‫فنجد ان ‪ 150‬زائراً غير راضين عن الاسعار‪ ،‬في حين‬ ‫أن عدد الراضين على الاسعار ‪ 160‬زائراً‪ ،‬وعليه فان‬ ‫التمثيل البياني يعد م ّضللاً‪.‬‬ ‫التباديل والتوافيق‬ ‫الدر ُس [‪]6-3‬‬ ‫تدريب‪ :1‬تريد سالي ترتيب ‪ 4‬كتب في خزانتها التي‬ ‫مثال‪ :1‬تريد جمانة اختيار ‪ 3‬اقداح من ‪ 5‬اقداح‬ ‫تحتوي على ‪ 6‬رفوف‪ ،‬شرط الا تضع اكثر من كتاب‬ ‫تحتوي على عصير الفواكه‪ :‬تفاح‪ ،‬ليمون‪ ،‬عنب‪،‬‬ ‫واحد على كل رف‪ .‬كم خياراً لديها؟‬ ‫موز‪ ،‬اناناس‪ .‬بكم طريقة يمكنها الاختيار؟‬ ‫تدريب‪ :2‬بكم طريقة يمكن تكوين لجنة من ‪ 4‬طالبات‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪(n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫من مجموع ‪ 8‬طالبات؟‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪- r) ! r‬‬ ‫تدريب‪ :3‬أعلنت شركة عن ‪ 5‬وظائف شاغرة فيها‪،‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫!‪5‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫فتقدم للاعلان ‪ 10‬اشخاص‪ .‬بكم طريقة يمكن شغل‬ ‫‪3‬‬ ‫! )‪(5 - 3‬‬ ‫الوظائف الخمس؟‬ ‫=‬ ‫!‪(5) (4) 3‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫!‪(2) (1) 3‬‬ ‫يمكنها اختيار ‪ 10‬طرائق‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬يراد تكوين عدد من اربع مراتب من مجموعة‬ ‫الارقام ‪ 1,2,3,4,5‬دون تكرار الرقم في العدد؟‬ ‫‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫! )‪(n - r‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫!‪5‬‬ ‫=‬ ‫!‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫! )‪(5 - 3‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫‪= (5) (4) (3) (2) (1) =120‬‬ ‫‪93‬‬

‫الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري‬ ‫الدر ُس [‪]6-4‬‬ ‫تدريب‪ :1‬سحبت كرة بشكل عشوائي من صندوق ثم‬ ‫مثال‪ :‬كيس يحتوي على ‪ 5‬كرات زرق‪ 8 ،‬كرات‬ ‫اعيدت اليه‪.‬‬ ‫خضر‪ 7 ،‬كرات صفر‪.‬‬ ‫جد‪:‬‬ ‫يبين الجدول التالي النتائج بعد ‪ 50‬سحبة‪.‬‬ ‫‪ )i‬ما نوع الاحتمال نظري ام تجريبي؟‬ ‫النتيجة أحمر ازرق أصفر أبيض أخضر‬ ‫‪ )ii‬جد احتمال سحب كرة زرقاء واحدة‪.‬‬ ‫السحوبات ‪6 11 15 10 8‬‬ ‫‪5 + 8 + 7 = 20‬‬ ‫‪ )i‬الاحتمال نظري‬ ‫‪ )i‬ما نوع الاحتمال‪ ،‬نظري ام تجريبي؟‬ ‫‪ )ii‬عدد الكرات‬ ‫‪ )ii‬جد احتمال سحب كرة صفراء‪.‬‬ ‫عدد الكرات الزرقاء = )‪P (E‬‬ ‫‪ )iii‬اكتب الاحتمال بصورة عدد عشري ونسبة مئوية‪.‬‬ ‫عدد الكرات الكلي‬ ‫تدريب‪ :2‬في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )i‬ما نوع الاحتمال‪ ،‬نظري ام تجريبي؟‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ )ii‬جد احتمال ظهور عدد زوجي‪.‬‬ ‫‪ )iii‬جد نسبة الاحتمال بالصورة العشرية والنسبة‬ ‫المئوية‪.‬‬ ‫الاحداث المركبة‬ ‫الدر ُس [‪]6-5‬‬ ‫تدريب‪ :1‬أعد حل المثال المجاور‪ ،‬شرط اعادة الكرة‬ ‫مثال‪ :‬صندوق فيه ‪ 4‬كرات حمر‪ 9 ،‬كرات صفر‪3 ،‬‬ ‫المسحوبة اولاً‪.‬‬ ‫كرات سود‪.‬‬ ‫تدريب‪ :2‬اختيرت احدى بطاقات الارقام وتدوير مؤشر‬ ‫سحبت كرتان عشوائياً الواحدة بعد الاخرى دون اعادة‬ ‫القرص الدوار‪ .‬في الشكل ادناه‪ ،‬جد احتمال ان يكون‬ ‫الكرة المسحوبة اولاً‪.‬‬ ‫الناتج على كل منها عدد زوجي‪.‬‬ ‫‪ )i‬ما نوع الحدثين؟‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪ )ii‬جد احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة سوداء‪.‬‬ ‫‪ )iii‬اكتب نسبة الاحتمال بالصورة المئوية‪.‬‬ ‫‪ )i‬الحدثان مترابطان‪.‬‬ ‫)‪P (R and B) = P (R) # P (B after R‬‬ ‫‪)ii‬‬ ‫)‪P (R‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪P (B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= )‪` P (R and B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1#5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 5%‬‬ ‫‪)iii‬‬ ‫‪20 # 5‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪94‬‬

‫‪Chapter Test‬‬ ‫اختبار الف�صل‬ ‫‪ 1‬وزع استبيان على ‪ 30‬طالب من بين ‪ 100‬طالب‪ ،‬اجب عما يأتي‪:‬‬ ‫‪ )i‬حدد العينة والمجتمع الذي اختير منه‪.‬‬ ‫‪ )ii‬صف اسلوب توزيع الاستبيان‪.‬‬ ‫‪ )iii‬حدد ما اذا كانت العينة متحيزة ام لا‪.‬‬ ‫‪ 2‬كيف تميز بين الرسوم البيانية المضللة والرسوم البيانية غير المضللة؟‬ ‫‪ 3‬جد ناتج ما يأتي‪:‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪iii‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪iv‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪v‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪vi‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 4‬بكم طريقة يمكن اختبار لجنة مكونة من ‪ 3‬طلاب من بين ‪ 8‬طلاب؟‬ ‫‪ 5‬رمي حجر النرد ‪ 25‬مرة وكانت النتائج كما موضح في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪65432 1‬‬ ‫النتيجة‬ ‫‪72536 2‬‬ ‫عدد المرات‬ ‫‪ )i‬ما نوع الاحتمال؟‬ ‫‪ )ii‬جد احتمال ظهور العدد ‪.4‬‬ ‫‪ 6‬في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة‪ ،‬جد‪:‬‬ ‫‪ )i‬نوع الاحتمال نظري ام تجريبي‪.‬‬ ‫‪ )ii‬احتمال الحصول على عدد يقبل القسمة على ‪.4‬‬ ‫وقف مهند في احدى تقاطعات مدينة بغداد‪ ،‬واحصى انواع السيارات عند التقاطع‪ ،‬من بين ‪ 20‬سيارة شاهدها‪،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫احصى ‪ 10‬سيارات صالون‪ 7 ،‬سيارات نقل صغيرة لنقل الركاب‪ 3 ،‬سيارات حمل‪.‬‬ ‫قدر احتمال ان تكون السيارة التالية التي تجتاز التقاطع سيارة صالون‪.‬‬ ‫‪95‬‬

‫تمرينات الفصول‬ ‫‪Multiple choice‬‬ ‫الاختيار من متعدد‬ ‫ الهندسة الاحداثية ‬ ‫الفصل الرابع‬ ‫‪ Coordinate Geometric‬‬ ‫ الهندسة والقياس‬ ‫الفصل الخامس‬ ‫‪ Geometric and Measurement‬‬ ‫ الاحصاء والاحتمالات‬ ‫الفصل السادس‬ ‫‪ Statistics and Probabilities‬‬ ‫‪96‬‬

‫‪Multiple Choice‬‬ ‫الاختيا ُر من متعدد‬ ‫‪Multiple Choice‬‬ ‫الاختيا ُر من متعدد‬ ‫الدرس [‪ ]4-1‬التمثيل البياني للمعادلات في المستوي الاحداثي‬ ‫‪Graphical Representation of the Equation in the Coordinate Plane‬‬ ‫اختر الإجابة الصحيحة لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫المستقيم الذي معادلته‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يقطع المحورين )‪a‬‬ ‫يوازي محور الصادات )‪b‬‬ ‫لايقطع اي من المحورين )‪ d‬يوازي محور السينات )‪c‬‬ ‫‪ 2‬اي المعادلات الآتية تعبر عن المعادلة المتمثلة بيانياً جانباً ؟‬ ‫‪a) y = -3x2 b) y = 2x2 + 4‬‬ ‫‪c) y = x2 - 4 d) y = 3x2 - 4‬‬ ‫‪ 3‬اي المعادلات الآتية تعبر عن المعادلة المتمثلة بيانياً جانباً ؟‬ ‫‪a) y = 3x + 4 b) y = 4x + 3‬‬ ‫‪c) y = -3 + 4 d) y = 3x - 4‬‬ ‫‪a) y = x2 + 1‬‬ ‫‪b) y2 = x + 1‬‬ ‫‪c) y2 = x2 + 1‬‬ ‫‪ 4‬اي المعادلات الآتية تعبر عن معادلة خطية ؟‬ ‫‪d) y = x + 1‬‬ ‫‪ 5‬اي التمثيلات البيانية تعبر عن المعادلة‪ y = -x2 + 4 :‬؟‬ ‫)‪a) b‬‬ ‫)‪c) d‬‬ ‫‪ 6‬لتمثيل المعادلة غير الخطية نحتاج الى ‪:‬‬ ‫نقطة واحدة على الاقل )‪a‬‬ ‫نقطتان على الاكثر )‪b‬‬ ‫نقطتان فقط )‪c‬‬ ‫ثلاث نقاط على الاقل )‪d‬‬ ‫‪ 7‬ما احداثيا رأس المنحني الممثل جانباً ؟‬ ‫)‪a) (2,-1‬‬ ‫)‪b) (1,2‬‬ ‫)‪c) (2,-2‬‬ ‫)‪d) (0,2‬‬ ‫‪97‬‬

‫‪Multiple Choice‬‬ ‫الاختيا ُر من متعدد‬ ‫‪Multiple Choice‬‬ ‫الاختيا ُر من متعدد‬ ‫‪Slop of a Line‬‬ ‫الدرس [‪ ]4-2‬ميل المستقيم‬ ‫اختر الإجابة الصحيحة لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ 1‬أي ميل يعبر عن ميل المستقيم المار بالنقطتين‪(-1, 3), (5, - 2) :‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 2‬المستقيم الموازي لمحور الصادات يكون ميله‪:‬‬ ‫صفراً )‪a‬‬ ‫غير معرف )‪b‬‬ ‫سالب )‪c‬‬ ‫موجب )‪d‬‬ ‫‪ 3‬المقطع الصادي للمستقيم الذي معادلته ‪ 3x-5y =15‬هو‪:‬‬ ‫‪a) -5‬‬ ‫‪b) 3‬‬ ‫‪c) 5‬‬ ‫‪d) -3‬‬ ‫)‪a) (0,6‬‬ ‫‪ 4‬نقطة تقاطع المستقيم الذي معادلته ‪ x+y = 6‬مع محور السينات هي‪:‬‬ ‫)‪b) (-6,0‬‬ ‫)‪c) (6,0‬‬ ‫)‪d) (0,0‬‬ ‫‪ 5‬اي المستقيمات الآتية تعبر عن المستقيم الممثل جانباً؟‬ ‫‪a) 2x - 3y = 0‬‬ ‫‪b) 3y + 2x = 0‬‬ ‫‪c) 3y - 2x = 0‬‬ ‫‪d) 2x + 3y = 0‬‬ ‫‪ 6‬المستقيم الموازي لمحور السينات يكون ميله‪:‬‬ ‫صفراً )‪a‬‬ ‫غير معرف )‪b‬‬ ‫سالب )‪c‬‬ ‫موجب )‪d‬‬ ‫‪ 7‬ما ميل المستقيم ‪ 3x - 2y = -6‬؟‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c) 3‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 8‬ميل المستقيم المار بالنقطتين )‪ (8, - 3), (5, - 3‬؟‬ ‫موجب )‪a‬‬ ‫سالب )‪b‬‬ ‫صفر )‪c‬‬ ‫غير معرف )‪d‬‬ ‫‪98‬‬

‫‪Multiple Choice‬‬ ‫الاختيا ُر من متعدد‬ ‫‪Multiple Choice‬‬ ‫الاختيا ُر من متعدد‬ ‫‪The Equation of the Line‬‬ ‫الدرس [‪ ]4-3‬معادلة المستقيم‬ ‫اختر الإجابة الصحيحة لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ 1‬معادلة المستقيم المار بالنقطتين )‪ (-2, - 3), (-1, - 7‬هي‪:‬‬ ‫‪a) y - 4x = - 11‬‬ ‫‪b) y - 4x = 11‬‬ ‫‪c) 4y + x = - 11‬‬ ‫‪d) y + 4x = - 11‬‬ ‫‪ 2‬المستقيم الذي معادلته ‪ ، y + x = 0‬ميله واحدى نقاطه هما‪:‬‬ ‫)‪a) m = -1, (4,4‬‬ ‫)‪b) m = 1, (4,4‬‬ ‫)‪c) m = -1, (4,-4) d) m = 1, (-4,-4‬‬ ‫‪ 3‬استعمل معادلة المستقيم ‪ y = mx + k‬وجد قيمة ‪ k, m‬للمستقيم ‪:7y -3x = 21‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪= -3‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 4‬اي النقط التالية تقع على المستقيم الذي معادلته‪y + 4x = 0 :‬‬ ‫)‪a) (1,4‬‬ ‫)‪b) (4,-1‬‬ ‫)‪c) (4,1‬‬ ‫)‪d) (1,-4‬‬ ‫‪ 5‬معادلة المستقيم الذي ميله (‪ )-1‬ومقطعه الصادي يساوي (‪ )-2‬هو‪:‬‬ ‫‪a) y + x - 2 = 0‬‬ ‫‪b) y + x + 2 = 0‬‬ ‫‪c) y + x - 2 = 0 d) y - x - 2 = 0‬‬ ‫‪ 6‬ما هي على صورة الميل ‪ -‬التقاطع معادلة المستقيم المار بالنقطتين )‪(-1, - 2), (1, 6‬‬ ‫‪a) y = -3 x + 6‬‬ ‫‪b) y = 4 x - 2‬‬ ‫‪c) y = 4 x + 2 d) y = 2 x + 4‬‬ ‫‪ 7‬ثمن وجبة طعام في احد المطاعم ‪ 25‬الف دينار‪ ،‬مضافاً اليها ‪ 3‬الاف دينار لكل نوع اضافي من المقبلات‪ ،‬اي‬ ‫المعادلات تمثيل ثمن وجبة طعام مع (‪ )x‬من المقبلات؟‬ ‫‪a) y = 25 x + 3‬‬ ‫‪b) y = 25 x - 3‬‬ ‫‪c) y = 3 x + 25 d) y = 3 x - 25‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪Multiple Choice‬‬ ‫الاختيا ُر من متعدد‬ ‫‪Multiple Choice‬‬ ‫الاختيا ُر من متعدد‬ ‫الدرس [‪ ]4-4‬المستقيمات المتوازية والمتعامدة‬ ‫‪Parallel and Perpendicular Lines‬‬ ‫اختر الإجابة الصحيحة لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ 1‬المستقيم المار بالنقطتين )‪ (1, 9), (7, 1‬يوازي المستقيم الذي ميله‪:‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a) m1 + m2 = -1‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪=-1‬‬ ‫‪ 2‬اذا كان ‪ m2, m1‬يمثلان ميلي مستقيمين متعامدين فأن‪:‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪c) m1 # m2 = - 1 d) m1 - m2 = - 1‬‬ ‫هي‪:‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫تساوي‬ ‫قيمة ‪ a‬التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين )‪(-1, 4), (a, - 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a) 4 b) -2‬‬ ‫‪c) -4 d) 2‬‬ ‫هي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪ )0,3‬والعمودي على المستقيم الذي ميله‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a) 3 y + 4 x = 12‬‬ ‫‪b) 3 y + 4 x = -12‬‬ ‫‪c) 4 y - 3x = 12 d) 4 y + 3x = 12‬‬ ‫‪a) L1 = L2‬‬ ‫‪b) L1 ' L2‬‬ ‫‪ 5‬اذا كان ‪ m1 = m2‬يمثلان ميلي المستقيمين ‪ L1, L2‬فأن‪:‬‬ ‫‪a) 6y + 5x = 30‬‬ ‫ليس بينهما اي علاقة )‪ L2, L1 d‬متقاطعان )‪c‬‬ ‫‪a) 3y + 2x = -6‬‬ ‫‪ 6‬اي المستقيمات الآتية توازي المستقيم الذي معادلته ‪6y-5x = 30‬‬ ‫‪b) 5y - 6x = 30‬‬ ‫‪c) 6y - 5x = 25 d) 6y + 5x = 25‬‬ ‫‪ 7‬اي المستقيمات الآتية عمودية على المستقيم الذي معادلته ‪3y+2x = 6‬‬ ‫‪b) 3y - 2x = -6‬‬ ‫‪c) 2y + 3x = 6 d) 2y - 3x = 6‬‬ ‫‪100‬‬