mot-so-chuyen-de-boi-duong-hoc-sinh-gioi-toan-8

102 Bài 21: Tìm min hoặc max của: I = 2x2 −16x + 71 x2 − 8x + 22 Lời giải 27 x−4 2+6≥6 x2 − 8x + 22 ( )Hạ phép chia ta được : I= 2+ , mà x2 − 8x + 22 = Bài 22: Tìm min hoặc max của: P = x2 x4 +1 Lời giải Nháp : Đặt x2 =t => a =t 2 t 1 => at2 − t + a =0 => a =± 1 + 2 x2 + 1 2 − 1 ≥ −1 , Không xảy ra dấu bằng 2 x4 +1 2 2 ( ) ( ( ) )Khi đó=: Px2  x4 + 1 + 1  =− 1 x4 + 2x2 + 1 =− 1  2  2 2 x4 +1 2   − x2 −1 2 + 1 ≤ 1 2 x4 +1 2 2 ( ) (( ))Mặt khác=: P x2  x4 + 1 − 1  =+ 1 −x4 + 2x2 − 1 =+ 1  2  2 2 x4 +1 2   x4 +1 x2 +1 2 ( )Bài 23: Tìm min hoặc max của: G = Lời giải Đặt x2 + 1 =t => x2 =t − 1 => x4 =t2 − 2t + 1 Khi đó : G =t2 − 2t +2 =1 − 2 + 2 , đặt 1 =a => G =2a2 − 2a + 1 t2 t t2 t 2(2x +1) Bài 24: Tìm min P = x2 + 2 Lời giải ( )Nháp =4xx2 + 2 : a + 2 => a.x2 − 4x + 2a − 2 =0 , có ∆' =4 − a 2a − 2 =0 => a =2;a =−1 −2 x − 1 2 x2 + 2 + 2 ≤ 2 ( )Khi đó=: P  x2  4x + 2 − 2= + 2 −2 x + 4x − 2=+ 2  x2 + 2  2 +2 Mặt kh=ác : P  4x + 2 +=1 −1 x2 + 4x + 4 − 1 ≥ −1  x2 + 2  x2 + 2  Bài 25: Tìm min hoặc max của: K = x2 + 2 x2 + x + 2 Lời giải Ta có : K= 1− x2 x + 2 +x Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

103 −x 2 =1 ± 2 2 +x+2 7 ( )Nháp : a =x 2 => a.x2 + a.x + x + 2a =0 , có : ∆ = a +1 − 4a.2a =0 => a Bài 26: Tìm min hoặc max của: M = 4x +1 x2 + 3 Lời giải ( )Nháp =4 x + 1 =0 => a =−1;a =4 : a x + 3 => a.x2 − 4x + 3a −1 =0 , có ∆ ' =4 − a 3a −1 3 2 Bài 27: Tìm min hoặc max của: P= 12x +13 x2 + 2x + 3 Lời giải Nháp : a =x122+x2+x1+33 => a.x2 + 2a.x + 3a − 12x − 13 =0 , Có ∆ ' =(a − 6)2 − a (3a −13) =0 => a =−4;a =9 2 x2 Bài 28: Tìm GTLN của biểu thức: x4 + x2 +1 , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x Lời giải Ta có : P(x) = x4 x2 +1 = 1 = x2 + 1 +1≥ 3 + x2 P(x) x2 Bài 29: Tìm GTNN của b=iểu thức: M x2 + x +1 (x ≠ −1) x2 + 2x +1 Lời giải Ta có : M x2 + 2x +1−( x + 1) + 1 =1 − 1 + 1 = + 1 + x2 + 2x x 1 ( + 1)2 x Đặt 1 = t , ta có: M = t2 − t +1=  t − 1 2 + 3 ≥ 3 x +1  2  4 4 3(x +1) Bài 30: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x3 + x2 + x + 1 Lời giải 3( x +1) 3( x +1) 3( x +1) 3 =x2 + 1 ( x + 1) x2 +1 ( )( )=Ta có: B = = x3 + x2 + x +1 x2 x +1 + x +1 Do x2 + 1 > 0 => B = 3 1 ≤ 3 , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0 x 2+ 2. Bậc của tử bằng bậc của mẫu Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

104 =a. A x2 − 2x + 3 (x ≠ 0) =b. B x2 − x +1 (x ≠ 1) x2 (x −1)2 c. C = x2 + 2x + 3 d. D = x2 − 2x + 2016 x2 + 2 x2 Lời giải a. A = x2 − 2x + 3 (x ≠ 0) = 3(x2 − 2x + 3) = (x − 3)2 +2≥ 2 ⇔ x =3⇒ Amin =2 ⇔ x =3 x2 3x2 3x2 3 3 3 b. B =x2 − x + 1 ( x ≠ 1) =4 x2 − 4x + 4 =x2 + 2x +1 + 3x2 − 6x + 3 =(x +1)2 + 3 ≥ 3 ⇔ x =−1 (x −1)2 4( x −1)2 4(x −1)2 4(x −1)2 4(x −1)2 4 4 c. C =2(x2 + 2x + 3) =x2 + 4x + 4 + x2 + 2 =1 + (x + 2)2 ≥ 1 ⇔ x =−2 2(x2 + 2) 2(x2 + 2) 2(x2 + 2) 2 2(x2 + 2) 2 =d. D x2 − 2x=+ 2016 2016x2 − 2x.2016=+ 2016 (x − 2016)2 + 2015 ≥ 20=15 ⇔ x 2016 x2 2016x2 x2 2016 2016 Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau a. A= 6x2 + 2x +19 b. B = x2 + 2x + 3 3x2 + x + 7 x2 + 2 Lời giải a. A= 6x2 + 2x +19= 2(3x2 + x + 7) + 5= 2 + 3x2 5 + 7 3x2 + x + 7 3x2 + x + 7 +x M = 3x2 + x+7 = 3 x + 1 2 + 83 ≥ 83 ⇔ x = −1 ⇒ Amax = M min ⇒ Amax =2+ 5 = 2 60 ⇔ x = −1 6  12 12 6 83 83 6 12 b. B = x2 + 2x + 3 = 2x2 − x2 + 2x + 3 = 2(x2 + 2) − 4 − x2 + 2x + 3 = 2 − (x −1)2 ≤ 2 ⇔ x =1 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau a. A = 3x2 + 2x + 3 b. B = x2 − 2x − 2 x2 +1 x2 + x +1 Lời giải a. A =3x2 + 2x + 3 =2(x2 +1) + (x +1)2 =2 + ( x +1)2 ≥ 2 ⇔ x =−1 x2 +1 x2 +1 x2 +1 x2 +1 +) A = 3x2 + 2x + 3 = 4x2 +4 − (x2 − 2x +1) = 4 − ( x −1)2 ≤ 4 ⇔ x =1 x2 +1 x2 +1 x2 +1 x 2 +1 =b. B x2 −=2x − 2 3x2 − (2x2 +=2x + 2) 3x2 − 2 ≤ =−2 ⇔ x 0 x2 + x +1 x2 + x +1 x2 + x +1 +) Với x ≠ 0=⇒ A x2 3x2 =− 2 3 −2 +x +1 1 1 1+ x + x2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

105 Ta lại có: 1+ 1 + 1 =3 +  1 + 1 2 ≥ 3 ⇒ A≥ 3 −2 =2 ⇒ 1 =−1 ⇔ x =−2 x x2 4  2 x  4 3 2 x 4 Bài 4: Tìm GTLN của A = 3x2 + 6x +10 x2 + 2x + 3 Lời giải A =3 + x2 + 1 + 3 =3 + (x 1 + 2 ⇒ Amax ⇔  1 +  ⇔ [(x + 1)2 + 2]min ⇔ (x + 1)2 + 2 =2 ⇔ x =−1 2x + 1)2  (x + 1)2 2 max ⇒ (x 1 +2 ≤ 1 ⇔ x =−1 ⇒ Amax =7 ⇔ x =−1 + 1)2 2 2 Bài 5: Tìm GTLN của b=iểu thức sau A 3x2 + 6x +10 ( x ∈ R) x2 + 2x + 3 Lời giải Ta có: A =3x2 + 6x + 10 =3 + ( 1 + ≤ 3 + 1 =7 ⇔ x =−1 x2 + 2x +3 2 2 x + 1)2 2 2( x2 + x +1) Bài 6: Tìm min hoặc max của: C = x2 +1 Lời giải C= 2+ x 2x 1 , Nháp : a =x 22 x 1 => a.x2 + a − 2x =0 , có ∆ =4 − 4a2 =0 => a =±1 2+ +  2x 1 x 2 + 2x + 1  x2 +  x2 +1 Khi đó=: C  1 + − 1=+ 2 + 1 ≥ 1 − x −1 2 x2 +1 + 3 ≤ 3 ( )Mặt khác=: C  2x 1 2+ 2  2+ −  + 1=+ 2 − x x2 + x − 1=+ 3  1 x 1 Bài 7: Tìm min hoặc max của: N = x2 + x +1 x2 +1 Lời giải N= 1+ x , Nháp : a= x= a.x2 − x + a= 0 , có : ∆ =1 − 4a2 =0 => a =± 1 x2 +1 x2 +1 2  x 1  1=− 1 x2 + 2x +1 + 1 ≥ 1  x2 + 2  2 2 x2 +1 2 2 ( )Khi đó ta có=: N 1 + + − x −1 2 + 3 ≤ 3 2 x2 +1 2 2 ( ) ( )( )Mặt khác :=N  x 1 − 1  + 1 =+ 1 −x2 + 2x − 1 =+ 3  x2 + 2  2 2 x2 +1 2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

106 Bài 8: Tìm min hoặc max của: Q = 3x2 − 6x +17 x2 −2x +5 Lời giải ( )Ta có : Q= 2 x2 2 ≥ 4 2≤ 2 =1 3 + 2x , mà − 2x + 5 =x −1 + 4 => − 2x + 5 4 2 x2 − + 5 x 2 Bài 9: Tìm min hoặc max của: R = 2x2 −16x + 41 x2 − 8x + 22 Lời giải Ta có : R= 2 x 2− 16x + 44 − 3= 2− 3 , x2 − 8x + 22 x2 − 8x + 22 Mà x2 − 8x + 22 =( x − 4)2 + 6 ≥ 6 => ( x − 43)2 + 6 ≤ 3 =12 => ( x − −43)2 + 6 ≥ −1 6 2 Bài 10: Tìm min hoặc max của: P = x2 x2 − 2x + 2010 Lời giải Hạ phép chia ta được : P= 1+ 2x − 2010 , x2 − 2x + 2010 Nháp : a =x22−x2−x2+0210010 => a.x2 − 2a.x + 2010a − 2x + 2010 =0 Có ∆ ' =(a + 1)2 − a (2010a + 2010) =0 => a =−1;a = 1 2009 Làm tương tự như các bài trên . Bài 11: Tìm min hoặc max của: Q = 2x2 − 6x + 5 x2 − 2x +1 Lời giải Hạ phép chia ta được : Q= 2+ −2x + 3 , Đặt x −1 =t , khi đó ta có : x2 − 2x +1 ( )3 − 2 t +1 2t 2 − 2t + 1 2 1 , Đặt 1 = a => Q =a2 − 2a + 2 t t t2 t Q =2+ t2 = 2 = 2 − + Bài 12: Tìm min hoặc max của: A= 2x2 + 4x + 4 x2 Lời giải A =2 + 4 + 4 , Đặt 1 =t => A =4t2 + 4t + 2 x x2 x Bài 13: Tìm min hoặc max của: H = 3x2 − 6x +17 x2 − 3x + 5 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

107 Lời giải Hạ phép chia ta được : H= 3 + 3x + 2 5 x2 − 3x + Nháp : a =x 2 3x + 2 5 => a.x2 − 3a.x − 3x + 5a − 2 =0 , có : − 3x + ∆ =9( x + 1)2 − 4a (5a − 2) =−11a2 + 26a + 9 =0 => a =13 ± 2 67 , 11 Bài 14: Tìm min hoặc max của: K = x2 − 4x +1 x2 Lời giải 4 1 1 =t => K =t2 − 4t + 1 = t − 2 2 − 3 ≥ −3 x x2 x ( )K + =1 − , đặt Bài 15: Tìm min hoặc max của: N = 2x2 + 4x + 9 x2 + 2x + 4 Lời giải 1 x +1 2 +3≥ 3 x2 + 2x + 4 ( )Hạ phép chia ta được : N= 2+ , mà x2 + 2x + 4 = Bài 16: Tìm min hoặc max của: Q = x2 − 2x +1999 : x2 x3 + 2x x2 − 3x + 2 − 3x2 Lời giải Thực hiện phép tính ta được : Q =x2 − 2x + 1999 =1 − 2 + 1999 , x2 x x2 Đặt 1 =t => Q =1999t2 − 2t + 1 x Bài 17: Tìm min hoặc max của: D = 2x2 + 4x + 9 x2 + 2x + 4 Lời giải 1 x +1 2 +3≥ 3 + 2x + 4 ( )D= 2+ x2 , mà x2 + 2x + 4 = Bài 18: Tìm min hoặc max của: F = x2 − 2x + 2 x2 + 2x + 2 Lời giải F= 1+ x2 −4x + 2 + 2x = −4x 2 x2 + 2x + 2 ( )Nháp : a => a.x2 + 2a.x + 4a + 2a =0 , có ∆' =a + 2 − a.2a =0 => a =2 ± 2 2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

108 Bài 19: Tìm min hoặc max của: H = 2x2 − 2xy + 9 y2 x2 + 2xy + 5 y2 Lời giải Với y = 0 ta được H = 2 Với y ≠ 0. Chia cá tử và mẫu cho y2 ta được: 2. x2 − 2. x + 9 x =2tt22+−22tt++59 6t + 1 y2 y y + 2t + H = , đặt =t => H =2 − x2 x t2 5 y2 + 2. y + 5 Nháp : a =− t2 6t + 1 => at2 + 2at + 5a + 6t + 1 =0 , + 2t + 5 Có : ∆ ' =(a + 3)2 − a (5a + 1) =0 => a =−1;a =9 , làm giống các bài trên 4 Bài 20: Tìm min hoặc max của: J = x2 +1 x2 − x +1 Lời giải Ta có : J= 1+ x2 x +1 −x ( )Nháp x 2 = −1 : a =x 2 −x => a.x2 − a.x − x +a =0 , có ∆ = a +1 − 4a.a =0 => a =1; a 3 +1 x −1 2 x2 − x +1 ≤ 2 ( )Khi đó :  1  −x2  J = 1 +  x2 x + 1 −  + 1 = 2 +  x2 + 2x −1  = 2−  −x  − x +1  khác J =1 +  x + 1  − 1 =2 + x2 + 2x +1 ≥2  −x +1 3  3 3 3 x2 − x +1 3 ( )Mặt : x2 Bài 21: Tìm min hoặc max của: Q = 5y2 − 3xy x2 − 3xy + 4 y2 Lời giải 5 − 3. x x =t => Q =5 − 3t y , đặt y t2 − 3t + 4 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: Q= x2 − 3. x + 4 y2 y Nháp : a =t 2 5 − 3t 4 => at2 − 3at + 4a + 3t − 5 =0 , có : =∆ 9(a −1)2 − 4a(4a − =5) 0 − 3t + => a =−1; a =9 7 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

109 Bài 22: Tìm min hoặc max của: R= x2 − 4y2 3x2 − 4xy + 5 y2 Lời giải x2 −4 x =3t 2t−2 −4 y2 y 4t + Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: R= , Đặt =t => R x2 x 5 3. y2 − 4. y +5 Nháp : a = t2 −4 5 => 3at2 − 4at + 5a − t2 + 4 =0 , 3t 2− 4t + Có ∆ ' =4a2 − (3a −1) (5a + 4) =0 => a =−1;a =4 11 Bài 23: Tìm min hoặc max của: A= x2 − 6x + 23 x2 − 6x +10 Lời giải A= 1+ x2 − 13 + 10 6x Bài 24: Tìm min hoặc max của: B= 9x2 y2 −12xy + 5y2 Lời giải Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: B= x2 1 x , Đặt x =t => B = 2 1 + 5 y2 − 12 y +5 y 9t − 12t 9 Bài 25: Tìm min hoặc max của: D= −25x2 3y2 + 20xy − 5y2 Lời giải Chia cả tử và mấu cho y2 ta được: D = x2 3 x , Đặt x =t => D = 3 y2 + 20 y t −25t2 + 20t − 5 −25 −5 Bài 26: Tìm min hoặc max của: E = 4x2 − 6x +1 ( x − 2)2 Lời giải =4t 2 + 10t + 5 10 5 t2 t t2 Đặt x − 2 =t => x2 =t2 + 4t + 4 , khi đó : E =4 + + , Đặt 1 =a => E =5a2 + 10a + 4 t Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

110 Bài 27: Tìm min hoặc max của: F = x2 + 4x −14 x2 − 2x +1 Lời giải Đặt x − 1 =t => x2 =t 2 + 2t + 1 , Khi đó : F =t2 + 6t − 9 =1 + 6 −9 t2 t t2 Đặt 1 =a => F =−9a2 + 6a + 1 t Bài 28: Tìm min hoặc max của: G = 4x2 −6x +3 2x2 − 3x + 2 Lời giải Hạ phép chia ta được : G= 2 + 2x2 −1 + 2 − 3x Bài 29: Tìm min hoặc max của: H = 3x2 − 2xy + y2 9x2 − 6xy + 2 y2 Lời giải 3 x 2 − 2. x + 1 x =93tt22 − 2t + 1 y 2 y, y − 6t + 2 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: H = x2 −6x +2 Đặt =t => H y2 y 9 Nháp: a =93tt22 − 2t +1 => 9at2 − 6at + 2a − 3t2 + 2t −1 =0 , − 6t + 2 có : ∆ ' =(3a −1)2 − (9a − 3) (2a −1) =0 => a =1 ;a =2 33 Bài 30: Tìm min hoặc max của: I = 4x2 + 22x +19 x2 + 4x + 4 Lời giải ( ) ( )I= 4+ 6x + 3 , Đặt 6 t−2 + 3 = 4 + 6 − 9 x+2 2 x + 2 = t => I = 4 + t2 t t2 Đặt 1 =a => I =−9a2 + 6a + 4 t Bài 31: Tìm min hoặc max của: K = 9x2 + 30x − 7 9x2 + 6x +1 Lời giải 24x − 8 3t −3−8 3 − 11 3x +1 2 t2 t t2 ( )K=1+ , đặt 3x + 1 =t => 3x =t −1 => K =1 + =1 + Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

111 Đặt 1 =a => K =−11a2 + 3a + 1 t Bài 32: Tìm min hoặc max của: M = x2 − 5xy + 2 y2 2x2 −10xy + 7 y2 Lời giải Với y = 0 thì M = x2 = 1 2x2 2 x2 −5x +2 y Với y ≠ 0 chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: M = y2 , −10 x + 7 2 x2 y y2 Đặt x =t => M =2tt22 − 5t + 2 y −10t + 7 Nháp a =t 2 − 5t + 2 => 2at2 − 10at + 7a − t2 + 5t −2 , có=: ∆ 25(2a −1)2 − 4(2a −1) (7a − 2) 2t 2 −10t + 7 ∆ =0 => a =1 ; a =17 2 22 Bài 33: Tìm min hoặc max của: N = 22x2 − 58xy + 73y2 x2 − 4xy + 4 y2 Lời giải 22 x2 − 58 x + 73 x =22tt22 − 58t + 73 y2 y, y − 4t + 4 Chia cả tử và mấu cho y2 ta được: N = Đặt =t => N x2 −4x +4 y y2 ( ) ( )N= 22 + 30t −15 Đặt t −2 = a= >N= 30 a + 2 − 15 22 + 30a + 45 = 22 + 30 + 45 t−2 2 , 22 + a2 = a2 a a2 Đặt 1 =b => N =22 + 30b + 45b2 a Bài 34: Tìm min hoặc max của: P= 8x2 + 6xy x2 + y2 Lời giải 8 x2 + 6 x x =8tt 22 + 6t 6t − 8 y2 y y +1 t2 + 1 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: P = , Đặt =t => P =8 + x2 y2 +1 ( )Nháp: =6t −8 a t2 +1 => at2 + a− 6t +8 =0 , có ∆ ' =9 − a a+8 =0 => a =1;a =−9 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

112 Bài 35: Tìm min hoặc max của: Q = x2 −3x + 3 x2 − 2x +1 Lời giải −x + 2 −t + 1 1 1 x −1 2 t t t2 ( )Q=1+ , Đặt x − 1 =t => x =t + 1 Khi đó : Q =1+ 2 =1 − + Đặt 1 =a => Q =a2 − a + 1 t Bài 36: Tìm min hoặc max của: R= x2 + xy + y2 x2 − xy + y2 Lời giải Với y = 0 thì R = 1 Với y ≠ 0. Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: R= x2 + x +1 y2 − y , x2 x y2 y +1 Đặt x =t => R =t2 + t +1 =1 + t2 2t +1 y t2 − t +1 −t 2t 2 = −2 −t +1 3 ( )Nháp : a =t 2 => at2 − at + a − 2t =0 , có ∆ = a+2 − 4a.a =0 => a =2; a Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

113 CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ - Là phương trình có dạng: ax = b phụ thuộc vào tham số m +) Nếu a ≠ 0 ⇒ x =b a b =0 ⇔ 0x =0 (Vô số nghiệm) +) Nếu a =0 ⇔ 0x =b →    b ≠ 0 ( PTVN ) Bài 1: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình sau a. (m2 − 4)x =3m − 6 b. (2m +1)x − 2m =3x − 2 c. m(x − 2) = 3x +1 d. (m2 + 2)x − 2m =x − 3 Lời giải a. (m2 − 4)x =3m − 6 +) Nếu (m2 − 4) ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2=⇒ x 3m=− 6 3 m2 − 4 m+2 m = 2  0x = 0 (Vô số nghiệm) m = −2  +) Nếu (m2 − 4) =0 ⇔ ⇒  0x = −12 (Vô nghiệm) b. (2m +1)x − 2m = 3x − 2 ⇔ (2m − 2)x = 2m − 2 +) Nếu 2m − 2 ≠ 0 ⇒=x 2m=− 2 1 2m − 2 +) Nếu 2m − 2 =0 ⇔ m =−1 ⇒ 0x =0 (vô số nghiệm) Vậy nếu: +) Nếu m ≠ 1 phương trình có vô số nghiệm +) Nếu m = 1 phương trình vô nghiệm c. m(x − 2) = 3x +1 ⇔ (m − 3)x = 2m +1 +) m − 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ x =2m +1 m−3 +) m − 3 = 0 ⇔ m = 3 ⇒ 0x = 7 (vô nghiệm) d. (m2 + 2)x − 2m = x − 3 ⇒ (m2 +1)x = 2m − 3 Ta có: m2 +1) > 0 ∀m suy ra phương trình luôn có nghiệm x= 2m − 3 m2 +1 Bài 2: Cho phương trình (m2 −1)(x + 2) +1 =m Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

114 a. Tìm m để x = 3 là nghiệm của phương trình b. Tìm m để phương trình có nghiệm c. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 Lời giải a. Thay x = 3 vào phương trình, ta được: 5(m2 −1) +1 = m ⇔ 5m2 −m−4= 0⇔ m ∈ 1; −4    5 b. (m2 −1)(x + 2) +1 =m ⇔ (m2 −1)x =−2m2 + m +1 Để phương trình có nghiệm thì xảy ra 2 trường hợp +) Phương trình có nghiệm duy nhất khi m 2 −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 +) Phương trình có vô số nghiệm m2 −1 =0 + 1 =0 ⇔ m =1 −2m2 + m Vậy m ≠ −1 thì phương trình luôn có nghiệm m ≠ ±1 m ≠ ±1  mm c. Để phương trình có nghiệm duy nhất thì  −2m2 + m +1 ⇔ =1 ⇔ m =−4  m2 −1 =3 = −4 5 5 Vậy m = −4 5 Bài 3: Cho phương trình m(x +1) − 2x = m2 + m − 4. Tìm m sao cho a. Phương trình nhận 1 là nghiệm b. Phương trình có nghiệm c. Phương trình vô nghiệm Lời giải a. Thay x = 1 vào phương trình ta được m ∈{−1; 2} b. Phương trình có nghiệm xảy ra 2 trường hợp là có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm m(x +1) − 2x = m2 + m − 4 ⇔ (m − 2)x = m2 − 4 +) Phương trình có nghiệm duy nhất khi m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 m − 2 =0 +) Phương trình có vô số nghiệm ⇔ m2 ⇔ m =2 − 4 =0 Vậy phương trình có nghiệm với mọi m c. Phương trình vô nghiệm ⇔ m − 2 =0 ⇔ m ∈ ∅  m 2 − 4 ≠ 0 Bài 4: Tìm a ∈ Z để phương trình 3(x + 2) = ax + 4 có nghiệm nguyên Lời giải Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

115 3(x + 2) =ax + 4 ⇔ (3 − a)x =−2 +) Nếu 3 − a = 0 ⇔ a = 3 thì phương trình vô nghiệm. +) Nếu 3 − a ≠ 0 ⇒ x = −2 ∈ Z ⇔ 3 − a ∈U (−2) ={±1; ±2} ⇔ a ∈{1; 2; 4;5} 3−a Bài 5: Giải và biện luận các phương trình sau a. (m − 2)x +=3 2m −1 b. 2a −1= a − 2 x +1 x−2 c. mx +1 = 1 d. (m +1)x + m − 2 = m x −1 x+3 Lời giải a. Điều kiện: x ≠ −1 ⇒ (m − 2)x +=3 (2m −1)(x +1) ⇔ (−m −1)=x 2m − 4 +) −m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 ⇒ x =2m − 4 nghiệm này phải khác -1 −m −1 ⇔ 2m − 4 ≠ −1 ⇔ 2m − 4 +1 ≠ 0 ⇔ 2m − 4 − m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 5 −m −1 −m −1 Vậy với m ≠ −1; m ≠ 5 ⇒ x =2m − 4 −m −1 Với m = 5 phương trình vô nghiệm +) −m −1 =0 ⇔ m =−1 khi đó phương trình trở thành 0x = -5 (vô nghiệm) b. Điều kiện xác định: x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 2a −1 = a − 2 ⇔ (a − 2)x = 4a − 5 x−2 +) a − 2 ≠ 0 ⇔ a ≠ 2 ⇒ x =4a − 5 . Xét 4a − 5 ≠ 2 ⇔ 4a − 5 ≠ 2(a − 2) ⇔ a ≠ 3 a−2 a−2 2 +) a − 200 ⇔ a = 2 ⇔ 0x = 3 (vô nghiệm). Xét 4a − 5 ≠ 2 ↔ 4a − 5 ≠ 2(a − 2) ↔ a ≠ 3 a−2 2 Vậy=a 2=; a 3 thì phương trình vô nghiệm 2 a ≠ 2; a ≠ 3 suy ra phương trình có nghiệm x = 4a − 5 2 a−2 c. Điều kiện x ≠ 1 mx +1 =1 ⇔ mx +1 =x −1 ⇔ (m −1)x =−2 x −1 +) m −1 = 0 ⇔ m = 1 phương trình vô nghiệm +) m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ⇒=x −2 ≠ 1 ⇔ −2 −1 ≠ 0 ⇔ −2 − m +1 ≠ 0 ⇔ −m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy m ≠ −1; m  1 thì phương trình có nghiệm x = −2 m −1 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

116 Vậy m = 1; m = −1 phương trình vô nghiệm d. Điều kiện x ≠ −3 (m +1)x + m − 2 = m ⇔ (m +1)x + m − 2 = m(x + 3) ⇔ x = 2m + 2 x+3 Xét 2m + 2 ≠ −3 ⇔ m ≠ −5 2 Vậy m = −5 phương trình có nghiệm=x 2m + 2 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình sau a. m(x − m) =x + (m − 2) b. m2 (x +1) −1 = (2 − m)x c. m2x + 6 = 4x + 3m d. m2 (x −1) + m= x(3m − 2) Bài 2: Tìm m để mỗi phương trình sau có 1 nghiệm a. (x − m)(x −1) =0 b. m(m −1)x = m2 −1 Hướng dẫn a. (x − m)(x −1) =0 ⇔ x =1 =1  x ⇒m =m b. m(m −1)x= m2 −1 ⇔ m(m −1) ≠ 0 ⇔ m ≠0 . m ≠1 Vậy m ≠ 0; m ≠ 1 thì phương trình có 1 nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm : (m +1)x − (x + 2) =0 Hướng dẫn (m +1)x − (x + 2) = 0 ⇔ mx − 2 = 0 Để phương trình vô nghiệm thì m = 0 ⇔ m =0 −2 ≠ 0 Bài 4: Tìm m để phương trình sau có vô số nghiệm : m2x − m = 4x − 2 (1) Lời giải (1) ⇔ (m2 − 4)x =m − 2 có vô số nghiệm ⇔ m2 − 4 =0 ⇔ m =2  m − 2 =0 Bài 5: Với giá trị nào của m thì: a. 2x −1= 5a + 4 có nghiệm dương b. 3(x + 2) = ax + 4 có nghiệm lớn hơn -1 c. (a2 − 3a + 2)x + 3 =3a có nghiệm duy nhất Lời giải Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

117 a. 2x −1= 5a + 4 ⇔ 2x= 5a + 5 ⇔ x= 5(a +1) > 0 ⇔ a > −1 2 b. 3(x + 2) =ax + 4 ⇔ (3 − a)x =−2 +) 3 − a = 0 ⇔ a = 3 thay vào phương trình vô nghiệm +) 3 − a ≠ 0 ⇔ a ≠ 3 ⇒=x −2= 2 > −1 ⇔ 2 +1> 0 ⇔ a −1 > 0 ⇔ a >3 3−a a−3 a−3 a−3 a <1 c. (a2 − 3a + 2)x + 3 = 3a ⇔ (a2 − 3a + 2)x = 3a − 3 có nghiệm duy nhất ⇔ a2 − 3a + 2 ≠ 0 ⇔ a ≠ 1 a ≠ 2 Bài 6: Tìm a để phương trình có nghiệm nguyên: 2x + a − 3 = (x + 2)a Lời giải 2x + a − 3 =(x + 2)a ⇔ x =a + 3 =a − 2 + 5 =−1+ 5 2−a 2−a 2−a Để x ∈ Z ⇒ 5 ∈ Z ⇒ 5 =k ∈ z(k ≠ 0) ⇒ 2 − a = 5 ⇒ a = 2 − 5 (k ∈ Z; k ≠ 0) 2−a 2−a kk ( Vì a có thể không nguyên ) +) Nếu a nguyên ⇒ 5 ∈ Z ⇒ 5k ⇒ k =±1; k =±5 k Bài 7: Cho phương trình: 2 − 3m= m +1 (1) . Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 2−x Lời giải Điều kiện: x ≠ 2 2 − 3m = m +1 ⇔ 2 − 3m = (m +1)(2 − x) ⇔ (m +1)x = 5m 2−x +) m +1 ≠ 0⇔ m ≠ −1 ⇒ x = 5m . Vì x ≠ 2 ⇒ m ≠ −1 ⇒ m ≠ −1 m +1  5m 2 m ≠ 2  m +1 ≠ 3 Bài 8: Cho phương trình: 2x +1 = x + 3 . Tìm m để phương trình vô nghiệm 2x − m x −1 Lời giải Điều kiện: x ≠ 1; x ≠ m 2 2x +1 =x + 3 ⇔ (2x +1)(x −1) =(x + 3)(2x − m) ⇔ (m − 7)x =1− 3m (1) 2x − m x −1 +) TH1: m ≠ -7 thì (1) ⇔ x =1− 3m . Vì x ≠ m ; x ≠ 1 nên ta có các trường hợp sau: m−7 2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

118 Với x = m ⇔ 1− 3m = m ⇔ 2 − 6m = m2 − 7 ⇔ m = −1 2 m−7 2 m = 2 Với x = 1 ⇔ 1− 3m = 1 ⇔ 1− 3m = m − 7 ⇔ m = 2 m−7 Vậy phương trình vô nghiệm khi m ∈{−1; 2;7} Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: m + 3m2 − 4m + 3 =1 x − m m2 − x 2 x+m Lời giải Điều kiện xác định: x ≠ ±m m + 3m2 − 4m + 3 =1 x−m m2 − x 2 x+m ⇔ m − 3m2 − 4m + 3 =1 x − m (x − m)(x + m) x + m ⇔ m(x + m) − 3m2 + 4m + 3 = x − m ⇔ (m −1)x = (m −1)(2m − 3) +) m −1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ 0.x = 0 Vì x ≠ ±m ⇒ x ≠ ±1 ⇒ m =1 phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ ±1 Hay S= {x ∈ R / x ≠ ±1} +) m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ⇒ x= 2m − 3 vì điều kiện x ≠ ±m +) x ≠ m ⇔ 2m − 3 ≠ m ⇔ m ≠ 3 +) x ≠ −m ⇔ 2m − 3 ≠ −m ⇔ m ≠ 1 Vậy m ≠ 1; m ≠ 3 phương trình đã cho có nghiệm=x 2m − 3 B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN a >0 ⇔ x ≥ −b  a Dạng tổng quát: ax + b ≥ 0⇔ ax ≥ −b ⇔ −b a < 0 ⇔ x ≤ a Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau b. 10x + 3 < 1+ 6 − 5x a. 4x −1 + x ≥ 3x − 2 48 23 c. ax + b ≥ 0 Lời giải a. 4x −1 + x ≥ 3x − 2 ⇔ 2x − 1 + x ≥ x − 2 ⇔ 2x ≥ 1 − 2 ⇔ x ≥ − 1 2 3 2 3 23 8 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

119 b. 10x + 3 < 1+ 6 − 5x ⇔ 5x + 5x < 1+ 3 − 3 ⇔ 25x < 1 ⇔ x < 8 4 8 2 8 44 8 25 c. ax + b ≥ 0 ⇔ ax ≥ −b (1) +) Nếu a ≠ 0 +) a > 0 ⇒ (1) ⇔ x ≥ −b a +) a < 0 ⇒ (1) ⇔ x ≤ −b a +) Nếu a= 0 ⇔ 0x ≥ −b +) −b ≤ 0 thì bất phương trình vô số nghiệm +) −b > 0 thì bất phương trìn vô nghiệm Ví dụ 2: Giải các hệ bất phương trình sau a. −x2−x12+<535>(32xx23−−17) b. 33x−2+21x5−+ 3 − x ≤ x +1− 2x −1 1 3 x + 4 3 > 4 3 c. 15x − 2 > 3x + 1 d. 2x −1 > x − 5  − 3  2( x (1 + 2 x) 2 ≤ (2x − 3)2 4) < 3x −14 2 Hướng dẫn a. −x2−x12+<535>(32xx23−−17) ⇔  x < 11 ⇔4 < x < 11  10 13 10  x >4 13 b. 33x−2+21x5−+ 3 − x ≤ x +1− 2x −1 ⇔  x ≤ 13 ⇔ x≤ 13 1 3 x + 43  < 27 27  x 22 > 4 21 3 *) Giải và biện luận bất phương trình ax + b ≥ 0 ⇔ ax ≥ −b (1) +) Nếu a ≠ 0 +) a > 0 ⇒ (1) ⇔ x ≥ −b a +) a < 0 ⇒ (1) ⇔ x ≤ −b a +) Nếu a= 0 ⇔ 0x ≥ −b +) −b ≤ 0 thì bất phương trình vô số nghiệm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Sưu tầm và tổng hợp

120 +) −b > 0 thì bất phương trìn vô nghiệm Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau a. m(x − m) ≥ 3x − 9 b. mx + 6 < 2x + 3m c. (x + m)m + x > 3x + 4 d. 3(x + m) − (m +1)3 ≥ −1− mx Lời giải a. m(x − m) ≥ 3x − 9 ⇔ (m − 3)x ≥ m2 − 9 (1) +) m − 3 > 0 ⇔ m > 3 thì (1) ⇔ x ≥ m2 − 9 = m + 3 m−3 +) m − 3 < 0 ⇔ m < 3 ⇒ (1) ⇔ x ≤ m + 3 +) m − 3 = 0 ⇔ m = 3 ⇒ (1) ⇔ 0x ≥ 0 ( vô số nghiệm ) b. mx + 6 < 2x + 3m ⇔ (m − 2)x < 3m − 6 (1) +) m − 2 > 0 ⇔ m > 2 ⇒ (1) ⇔ x < 3m − 6 =3 m−2 +) m − 2 < 0 ⇔ m < 2 ⇒ (1) ⇔ x > 3 +) m − 2 = 0 ⇔ m = 2 ⇒ (1) ⇔ 0x < 0 vô nghiệm c. (x + m)m + x > 3x + 4 ↔ (m − 2)x > −m2 + 4 (1) +) m − 2 > 0 ⇔ m > 2 ⇒ (1) ⇔ x > −m2 + 4 =−m − 2 m−2 +) m − 2 < 0 ⇔ m < 2 ⇒ (1) ⇔ x < −m − 2 +) m − 2 = 0 ⇔ m = 2 ⇒ (1) ⇔ 0x > 0 suy ra phương trình vô nghiệm d. 3(x + m) − (m +1)3 ≥ −1− mx ⇔ (m + 3)x ≥ m3 + 3m2 (1) +) m + 3 > 0 ⇔ m > −3 ⇒ (1) ⇔ x ≥ m2 +) m + 3 < 0 ⇔ m < −3 ⇒ (1) ⇔ x ≤ m2 +) m + 3 =0 ⇔ m =−3 ⇒ (1) ⇔ 0x ≥ 0 vô số nghiệm. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO A. Phương trình bậc cao đưa về dạng tích 1. Phương trình bậc cao đưa về phương trình tích - Dùng phương pháp nhẩm nghiệm - Dùng định lý Bezut: Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = a thì f (x=) (x − a).h(x) - f (x=) an xn + an−1xn−1 + ... + a=0 0 Nếu f(x) có nghiệm hữu tỷ x= p ⇒ qp∈∈UU((aan0)) q - Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 1 thì có nghiệm x = 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Sưu tầm và tổng hợp

121 - Nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì ó nghiệm x = 1 - Có thể sử dụng lược đồ Hoocne x = 2  VD: 2x4 − 3x3 − 3x2 + 5x − 6 = 0⇔ (x − 2)(2x + 3)(x2 − x +1) = 0⇔ x = −3 2 Bài 1: Giải các phương trình sau a. x 2 −4x + 3 =0 b. x2 − 4x +1 =0 c. x 3 +2x2 − 9x −18 =0 d. 2x 3−3x2 + x + 6 =0 e. 2x3 − 3x2 + 3x −1 =0 f. x4 − 2x 2 −3x − 2 =0 Lời giải a. x 2 −4x + 3 = 0 ⇔ (x −1)(x − 3) = 0⇔ x =1 x = 3 ( )b. x2 − 4x +1 =0 ⇔ (x − 2)2 − 3 =0 ⇔ (x − 2)2 − 2 x= 2 + 3 3 =0 ⇔  x= 2 − 3 c. Ta có: x 3+2x2 − 9x −18 =0 ⇔ (x3 − 3x2 ) + (5x2 −15x) + (6x −18) =0 ⇔ (x − 3)(x2 + 5x + 6) =0 ⇔ x ∈{±3; −2} d. 2x 3 −3x2 + x + 6 =0 ⇔ (x +1)(2x2 − 5x + 6) =0 ⇔ (x +1)  x − 5 2 + 23  =0 ⇔ x =−1 4   16  e. 2x3 − 3x2 + 3x −1 = 0 ⇔ (2x −1)(x2 − x +1) ⇔ x = 1 2 f. x4 − 2x 2 −3x − 2 =0 ⇔ (x +1)(x3 − x2 − x − 2) =0 ⇔ (x +1)(x − 2)(x2 + x +1) =0 ⇔ x ∈{−1; 2} Bài 2: (HSG – Đông Anh – 2003) Giải các phương trình sau a. x 2 −4x + 3 =0 b. x 3 −2x2 − 3x +10 =0 Lời giải a. x 2 −4x − 3 = 0 ⇔ (2x +1)2 − 22 = 0⇔ x = −3 / 2  =1/ 2  x b. x 3−2x2 − 3x +10 =0 ⇔ (x + 2)(x2 + 4x − 5) =0 ⇔ x =−2 Bài 3: Giải các phương trình sau a. x4 + x2 + 6x − 8 =0 b. (x −1)3 + (3x + 3)3= 27x3 + 8 c. (x +1)2 (x + 2) + (x −1) 2(x − 2) =12 d. (x 2 +5x) 2 −2(x2 + 5x) =24 e. (x2 + x +1)=2 3(x 4 +x2 +1) f. x 5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 Lời giải a. Ta có tổng các hệ số = 0 nên có nhân tử là x – 1 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

122 x4 + x2 + 6x − 8 = 0 ⇔ (x4 − x 3) + (x 3 −x2 ) + (2x2 − 2x) + (8x − 8) = 0 ⇔ (x −1)(x3 + x2 + 2x + 8) =0 ⇔ (x −1)(x + 2)(x2 − x + 4) =0 ⇔ x ∈{1; −2} b. Ta có: (x −1)3 + (3x + 3)3 = 27x3 + 8 ⇔ 6x 3−11x 2 −19x − 6 = 0 ⇔ (6x 3−18x2 ) + (7x2 − 21x) + (2x − 6) = 0 ⇔ (x − 3)(6x2 + 7x + 2) =0 ⇔ (x − 3)(2x +1)(3x + 2) =0 ⇔ x ∈ 3; −1; −2   2 3 c. (x +1)2 (x + 2) + (x −1) 2(x − 2) =12 ⇔ 2x 3+10x −12 =0 ⇔ (x −1)(x2 + x + 6) =0 ⇔ x =1 d. Ta có: (x 2 +5x) 2 −2(x2 + 5x) =24 ⇔ (x2 + 5x)2 − 2(x2 + 5x) +1 − 25 =0 ⇔ (x2 + 5x −1)2 − 52 =0 ⇔ (x +1)(x + 4) ⇔ (x −1)(x + 6) =0 ⇔ x ∈{−1; −4;1; −6} e. Ta có: (x2 + x +1)2 = 3(x 4 +x2 +1) ⇔ (x2 + x +1) 2 −3(x4 + x2 +1) = 0 ⇔ (x2 + x +1)2 − 3(x2 + x +1)(x2 − x +1) = 0 ⇔ (x2 + x +1) x2 + x +1− 3(x 2 −x +1) = 0 ⇔ (x2 + x +1)(x −1)2 = 0 ⇔ x = 1 f. Ta có: x 5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 ⇔ x 5 −x4 − x 3 −x2 − x − 2 = 0 ⇔ (x 5 −1) − (x4 + x 3 + x2 + x +1) = 0 ⇔ (x −1)(x4 + x3 + x2 + x +1) − (x4 + x3 + x2 + x +1) = 0 ⇔ (x − 2)(x 4 + x3 + x2 + x +1) = 0 ⇔ x = 2   x 4 + x3 + x2 + x +1 =0(*) (*) ⇔ (x 4 +x3) + (x +1) + x 2 = 0 ⇔ (x +1)(x 3+1) + x 2 = 0 ⇔ (x +1)2 (x2 − x +1) + x2 = 0 (VN ) Bài 4: Dùng cách đặt ẩn phụ giải các phương trình sau a. (x 2 +1) 3+(1− 3x)2= (x2 − 3x + 2)2 (1) b. (x 2 +3x − 4) 3+(2x2 − 5x + 3)3= (3x2 − 2x −1)3 c. −x4 + 2x 2 +3 =0 d. x 4 +8x3 +15x2 − 4x − 2 =0 e. x2 + 2x + 2 x +1 − 2 =0 f. (x − 2)(x + 2)(x2 −10) =72 g. (2x − 5)3 − (x − 2)3 = (x − 3)3 Lời giải Đặt a =x 2 +1;b =1− 3x khi đó: a3 + b3 = (a + b)3 ⇔ a3 + b3 = a 3 +3a2b + 3ab2 + b3 ⇔ 3ab(a + b) = 0 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

123  a = 0 x2 +1 =0 (VN ) a  ⇔ =−b ⇔  x2 +1 =3x −1 (*) b = 0  x = 1  3 (*) ⇔ x 2 −3x + 2 = 0 ⇔ x ∈{1; 2} ⇒ x∈ 1; 2; 1   3 b. (x 2 +3x − 4) 3+(2x2 − 5x + 3)3= (3x2 − 2x −1)3 Đặt a = x 2 +3x − 4;b = 2x2 − 5x + 3 khi đó: a + b = 3x2 − 2x −1 ⇒ a3 + b3 = (a + b)3 ⇔ ab(a + b) = 0 a = 0 x ∈{1; −4} =⇔ b  −4;1; −1 ; 3  0 1;3 / 2 ⇒ x ∈  3 2   a =−b 1; −1/ 3 c. Đặt t = x 2 (t ≥ 0) ⇒ −t 2 + 2t +3 = 0 ⇔ t = −1 (loai) ⇒ x2 = 3⇔ x = ± 3 t = 3 (tm) d. x 4 +8x3 +15x2 − 4x − 2 = 0 ⇔ x 4 +8x3 +16x 2 −x 2 −4x − 2 = 0 ⇔ (x2 + 4x)2 − (x2 + 4x) − 2 = 0 Đặt t = x 2 +4x ⇒ t 2 −t − 2 = 0 ⇔ t =−1 ⇔ x2 + 4x +1 =0 ⇔ (x + 2)2 =3 ⇔ x =−2 ± 3 t =2  + 4=x − 2 0  =+ 2)2 6  =−2 ± 6  x 2 (x  x e. x2 + 2x + 2 x +1 − 2 = 0 ⇔ x2 + 2x +1+ 2 x +1 − 3 = 0 ⇔ y2 + 2 y − 3 = 0 ( y = x +1 ; y ≥ 0) ⇔  y =1−=3 ⇒ x +1 =1 ⇒ xx =0−2  y f. Ta có: ( )(x − 2)(x + 2)(x2 −10) =72 ⇒ ( y − 4)( y −10) =72 y2 y = 16 y =x2 , y ≥ 0 ⇔ −14 y − 32 =0 ⇔  = −2 ⇒ x =±4  y g. Đặt 2x − 5= a; x − 2= b khi đó: a = b 3; 5  a = 0 ⇔ 2  a −b = x − 3 ⇒ a3 − b 3= (a − b)3 ⇔ 3ab(a − b) = 0⇔ b = 0 x ∈ 2; B. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d ) =m (1) (a + d =b + c) (1) ⇔ (x + a)(x + d )(x + b)(x + c) = m ⇔ x2 + (a + d )x + ad  x2 + (b + c)x + bc = m Đặt t = x 2 +(a + d )x ⇒ (t + ad )(t + bc) = 0 ⇒ t = ... ⇒ x = ... Bài 1: Giải các phương trình sau a. x(x +1)(x −1)(x + 2) =24 (1) b. (x + 2)(x + 3)(x − 5)(x − 6) =180 c. (x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7) =1680 d. (4x + 3) 2(2x +1)(x +1) =75 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

124 e. 2x(8x −1) 2(4x −1) =9 f. (12x + 7) 2(3x + 2)(2x +1) =3 Lời giải a. Ta có: x(x +1)(x −1)(x + 2) = 24 ⇔ (x2 + x)(x2 + x − 2) = 24 ⇔ t(t − 2) = 24 ⇔ t2 − 2t − 24 = 0 ⇔ t = 6 t = −4 ⇔ x2 + x − 6 =0 x ∈{2; −3}  + x + 4 ⇔  x 2 =0 b. (x + 2)(x + 3)(x − 5)(x − 6) =180 ⇔ x 2 −3x −14 =±14 ⇔ x ∈{7;3;0; −4} c. Ta có: (x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7) = 1680 ⇔ (x2 −11x + 28)(x2 −11x + 30) = 1680 ⇔ ( y +1)( y −1) = 1680 ⇔ y = ±41 +) y = 41 ⇒ x2 −11x −12 = 0 ⇔ x ∈{1; −12} +) y =−41 ⇒ x2 −11x + 70 =0 (vô nghiệm) d. (4x + 3) 2(2x +1)(x +1) =75 ⇔ (4x + 3)(4x + 3)(4x + 2)(4x + 4) =8.75 =24.25 Đặt=t (4x + 3)2 ta được: (4x + 2)(4x + 4) = (4x + 3)2 −1 = t −1 ⇒ t(t −1) = 24.25 ⇔ t2 − t = 252 − 25 ⇔ (t − 25)(t + 24) = 0 ⇔t= 25(t ≥ 0) ⇔ (4x + 3)2 = 25 ⇔ 4=x + 3 5 =⇔ xx =−22 4x + 3 =−5 e. Nhân với 8 ta được: 8x(8x −1)(8x −1)(8x − 2) =72 Đặt 8x −1 =y ta được:  x = 1  2 (y + 1). y 2.( y − 1) = 72 ⇔ y 2 ( y 2 −1) = 72 ⇔ y4 − y2 − 72 =0 ⇔ (y2 − 9)( y2 + 8) =0 ⇔ y2 =9 ⇔ −1  x = 4 f. (12x + 7) 2(3x + 2)(2x +1) =3 Nhân hai vế với 24 ta được: (12x + 7)2 (2x + 8)(12x + 6) =72 Đặt 12x + 7 =y ta được:  y2 = 9  x = −1 = −8  = 3 (y −1).y.y( y + 1) = 72 ⇔ y4 − y 2 −72 =0 ⇔ ⇔  −5  y 2 6    x Bài 2: Giải các phương trình sau a. (x 2 −3x)(x 2 +7x +10) =216 b. (2x2 − 7x + 3)(2x2 + x − 3) + 9 =0 Lời giải a. Ta có: Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

125 (x 2 −3x)(x 2 +7x +10)= 216 ⇔ x(x − 3)(x + 2)(x + 5)= 216 ⇔ (x2 + 2x)(x2 + 2x −15)= 216 ⇔ y( y −15) − 216 =0 ⇔ y2 −15y − 216 =0 ⇔ ( y − 24)( y + 9) =0 ⇔  y ==2−49 ⇔ xx22 ++ 22xx −+ 924==00 (vo nghiem) ⇔  x =−6  y x =4  b. Ta có: (2x2 − 7x + 3)(2x2 + x − 3) + 9 = 0 ⇔ (x − 3)(2x −1)(2x + 3)(x −1) + 9 = 0 ⇔ (2x2 − 3x +1)(2x2 − 3x − 9) + 9 = 0 ⇔ t(t + 10) + 9 = 0 ⇔ t =−1 ⇔ 2x2 − 3x − 8 =0 ⇔ .... t = −9  − 3x =0 ..... 2 x2 Bài 3: HSG Bắc Giang 30/03/2013. Giải phương trình sau: x − 2 (x −1)(x +1)(x + 2) =4 Lời giải +) Nếu x ≥ 2 thì: x = 0 (loai)  (x − 2)( x − 1)( x + 1)( x + 2) =4 ⇔ (x2 − 1)( x 2 − 4) =4 ⇒ x4 − 5x2 =0 ⇔ x = 5 (tm) x = − 5 (loai) +) Nếu x < 2 thì: (2 − x)(x −1)(x +1)(x + 2) =4 ⇔ (x − 2)(x −1)(x +1)(x + 2) =−4 ⇔ (x2 −1)(x2 − 4) =−4 ⇔ x4 − 5x2 + 8 = 0 ⇔  x2 − 5  2+ 7 = 0 (vo nghiem)  2  4 Vậy phương trình có nghiệm x = 5 C. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x=+ d ) mx2 =(ad bc) Cách 1: Đặt t =(x + a)(x + b) b. (x + 2)(x + 3)(x + 6)(x + 9) =80x2 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a. (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 6) =30x2 Lời giải a. Đặt t =x 2 +7x +12 ⇒ x 2 +8x +12 =t + x ta được: (1) ⇔ (t + x)t =30x2 ⇔ t2 + tx − 30x2 =0 ⇔ (t2 − 5tx) + (6tx − 30x2 ) =0 ⇔ (t − 5x)(t + 6x) =0 ⇔ t ==5−x6x ⇔ xx22 ++123xx++1122==00 (vo nghiem) ⇔  x =−1 t x =−12 b. (x + 2)(x + 3)(x + 6)(x +=9) 80x2 ⇔ (x2 +11x +18)(x2 + 9x +1=8) 80x2 ⇔ x ∈{−1; −8} Cách 2: +) Kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm hay không? Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

126 +) Xét x ≠ 0 ⇒ pt ⇔ x2 + (a + d )x + ad  x2 + (b + c)x + bc =mx2 Chia cả hai vế cho x2 ta được: x2 + (a + d )x + ad . x2 + (b + c)x + bc = m ⇔ (x + ad + a + d )(x + bc + b + c) = m xx xx ⇔ (t + d + a)(t + b + c) = m ⇒ t = ... ⇒ x = ... Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 4(x + 5)(x + 6)(x +10)(x +12) =3x2 Lời giải 4(x + 5)(x + 6)(x +10)(x +12) =3x2 ⇔ 4(x + 5)(x +12)(x + 6)(x +10) =3x2 ⇔ 4(x2 +17x + 60)(x2 +10x + 60) =3x2 Do x = 0 không thỏa mãn phương trình nên ta chia cả hai vế cho x2, được: 4(x +17 + 60)(x +16 + 60) =3 xx Đặt t= x + 60 ta được: x t = −31  x + 60 =−31  2  x 2 4(t + 17)(t + 16) =3 ⇔ 4t 2 + 132t + 1085 =0 ⇔ ⇔ −35 x=+ 6x0 −35 =t 2 2 ⇔ 2x2 + 31x + 120 =0  x ∈ −8; −15   + 35x + 120 ↔  x  2   x2   2 =0  ∈{....} D. Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 =m Cách giải: Đặt t= x + a + b ta được: 2 x + a =t + a − a + b =t + a − b =t + α; 22 x +b =t +b− a +b =t − a −b =t −α 22 (x + a)4 + (x + b)4 = m ⇔ (t + α )4 + (t −α )4 = m ⇒ t = ..... ⇒ x = ..... Bài 1: Giải các phương trình sau b. (x +1)4 + (x + 3)4 =16 a. (x − 2)4 + (x − 4) 4 =16 c. (4 − x)5 + (x − 2)5 =32 d. (x − 7)4 + (x − 8)4 = (15 − 2x) 4 e. (x + 6)4 + (x + 8)4 =272 Lời giải Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

127 a. Đặt t = x – 3 ta được: (t + 1)4 + (t −1)4 = 16 ⇔ t 4 +6t=2 − 7 = 0 ⇔ tt22 = 1−=7 (loai) ⇔ xx = 4 2 b. Đặt t = x + 2 ta được: (t −1)4 + (t +1)4 = 16 ⇔ t ==1−1 ⇔  x = −1 t x =−3 c. (4 − x)5 + (x − 2)5 =32 ⇔ (x − 2)5 − (x − 4)5 =32 Đặt y = x – 3 suy ra: x − 2 = y +1; x − 4 = y −1ta được: ( y +1)5 − ( y −1)5 = 32 ⇔ y5 + 5 y4 +10 y3 +10 y2 + 5 y +1 −( y5 − 5 y4 +10 y3 −10 y2 + 5 y −1) − 32 = 0 ⇔ y4 + 2y2 −3 = 0⇔ y= ±1 ⇒  x = 4  x = 2  x − 7 =a  d. Đặt  x −8 = b ⇒ −c = 2x −15 ⇒ a + b = −c ta được: 15 − 2x =c (x − 7)4 + (x − 8)4 =(15 − 2x)4 ⇔ a4 + b4 =c4 ⇔ a4 + b4 − c4 =0 ⇔ a4 + b4 − (a + b)4 =0 ⇔ 4ab  a2 + 3ab + b2  =0 ⇔ 4ab  a + 3 b 2 + 7 b2  =0 ⇔ ab =0  2  4  16   ( do  a + 3 b  2+ 7 b 2≥ 0 nhưng không xảy ra dấu “ = “)  4  16 (x − 7)(x − 8) = 0 ⇔ x ∈{7;8} e. x ∈{−4; −10} E. Phương trình dạng: ax4 + bx3 + cx + a = 0 ( phương trình đối xứng ) Cách giải: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 ↔ a(x4 +1) + bx(x2 +1) + cx2 = 0 Đặt =t x2 +1 hoặc t= x + 1 x Ví dụ: Giải phương trình sau 2x4 − 3x3 − x2 − 3x + 2 =0 Lời giải 2x4 − 3x3 − x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 2(x4 +1) − 3x(x2 +1) − x2 = 0 ↔ 2(x2 +1)2 − 3x(x2 +1) − 5x2 = 0 Đặt =t x2 +1 ta được: 2t 2 − 3tx − 5x2 = 0⇔ (t − x)(2t − 5x) = 0 ⇔ t2+t −x5=x0=0 ⇔ x2 + x +1 =0 (vo nghiem) ⇔ x ∈ 2; 1  2t − 5x =0  2   F. Phương trình dạng: ax5 + bx4 + cx3 + bx + a = 0 ( phương trình đối xứng ) - Nhận thấy x = -1 là nghiệm của phương trình vậy vế trái của phương trình có 1 nhân tử là x + 1 Sau đó phương trình quay trở về dạng E TÀI LIỆU TOÁN HỌC Sưu tầm và tổng hợp

128 Ví dụ: Giải các phương trình sau a. 2x5 − x 4 −4x3 − 4x2 − x + 2 =0 b. 6x5 −11x4 −15x3 −15x 2 −11x + 6 =0 c. x5 − x4 + 3x3 + 3x2 − x +1 =0 Lời giải a. 2x5 − x 4 −4x3 − 4x2 − x + 2 = 0 ⇔ (x + 1) (2x4 − 3x3− x2 − 3x +2) =0 ⇔ x ∈ −1; 2; 1  2  dang E b. Ta có: 6x5 −11x4 −15x3 −15x 2 −11x + 6 = 0 ⇔ (6x 5 +6x4 ) − (17x 4 +17x3 ) + (2x3 + 2x2 ) − (17x2 +17x) + 6x + 6 = 0 ⇔ (x + 1)(6 x 4 − 17 x3 + 2x2 − 17 x + 6) =0 ⇔ x = −1 + 2x2 − 17 x + 6 =0 (*) 6x4 − 17 x3 (*) ⇔ 6(x2 +1) 2 −17(x2 +1) −10x2 =0 Đặt =t x2 +1 ta được: 6t 2 −17tx −10x 2 =0 ⇔ 6t 2 + 3tx − 20tx −10x2 =0 ⇔ (2t + x)(3t −10x) =0 ⇔ 2x2 + x + 2 =0  −10x + 3 =0 3x 2 x = 3 −1; 3; 1   ⇔ 3x2 − 9x − x + 3 = 0 ⇔ 3x(x − 3) − (x + 3) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ S = 3   3 c. Ta có: x5 − x4 + 3x3 + 3x2 − x +1= 0⇔ (x +1)(x 4 −2x3 + 5x2 − 2x +1) = 0⇔ x = −1   x 4 − 2x3 + 5x2 − 2x +1 =0 (*) Giải (*): Với x = 0 phương trình vô nghiệm. Với x ≠ 0 ta có: (*) ⇔  x 2 + 1  − 2  x + 1  + 5 =0 ⇔  x + 1 2 − 2  x + 1  + 3 =0 ⇔  x + 1 −12 + 2 =0 (VN )  x2   x   y   x   x   Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−1} G. Phương trình dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx +=e 0 =e  d 2   a  b    - Phương trình ở trường hợp 4 là trường hợp đặc biệt của phương trình này - Cách giải: +) Đặt =t x 2 +1 +) Xét x ≠ 0 , chia cả hai vế cho x2 ⇒ ax2 + bx + c + d + e = 0 ⇔  ax2 + e  +  bx + d  + c = 0 x x2  x2   x  Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

129 Đặt t =x + m ⇒t 2 =x 2 + m2 + 2m ⇒ phương trình bậc hai ⇒t ⇒ x x x2 Ví dụ: Giải các phương trình sau a. x4 − 8x 3+21x2 − 24x + 9 =0 b. 2x 4 −21x 3+74x2 −105x + 50 =0 c. 2x 4 +3x3 − 27x2 + 6x + 8 =0 d. [ HSG Nam Trực – 2015 ] x 4 +3x3 + 4x 2 +3x +1 =0 e. 6x 4 +25x3 +12x2 − 25x + 6 =0 Lời giải a. Do x = 0 không thỏa mãn phương trình nên ta chia cả hai vế cho x2, được: x4 − 8x 3 +21x2 − 24x + 9 = 0 ⇔ x2 − 8x + 21− 24 + 9 = 0 x x2 ⇔  x2 + 9  − 8  x + 3  + 21 =0 ⇔  x + 3 2 − 8  x + 3  + 15 =0  x2   x   x   x   x + 3 =3 x2 − 3x + 3 =0 (vo nghiem) =5 ± 13  + x ⇔ − 5x + 3 =0 2 ⇔  3 ⇔ x x =5  x 2    x b. Ta có: 4 −21x 3 +74x2 −105x + 2t 2 + t = 6 ⇔ x2 − 6x + 5 =0 ∈ 1; 5  2x 50 =0 ⇔ − 21t 54 =0 ⇔  = 9  ⇔ x  2; 5; 2  t 2 2 x2 − 9x + 10 =0   c. Ta có:  2 2 3 2   x + 2 =7  x  x   + x 2 2x 4 +3x3 − 27 x 2 + 6x + 8 = 0 ⇔ 2 x + + x + − 35 = 0 ⇔  2 x =−5  x  ⇔ x2 − 7x + 4 =0 ∈  7 ± 33 −5 ± 17   ⇔ x  ; 2   x2 + 5x + 2 =0  2  d. Ta có: x 4 +3x3 + 4x 2 +3x +1= 0 ⇔  x2 + 1  + 3 x + 1  + 4 = 0 ⇔ y2 + 3y + 2 = 0  x2  x   y = −1  x + 1 =−1 (vo nghiem)  y =  x =−2 ⇔ ⇔  ⇔  1 x =−1 −2  x  x + Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−1} Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

130 e. +) Với x = 0 không là nghiệm của phương trình +) Với x ≠ 0 chia cả hai vế cho x2 ta được: 6  x2 + 1  + 25 x − 1  + 12 =0  x2  x  Đặt y = x − 1 ⇒ x2 + 1 = y2 + 2 ta được: x x2  x − 1 =−3  x 2 6y2 + 25 y + 24 =0 ⇔ 6y 2 +9 y +16 y + 24 =0 ⇔ (2 y + 3)(3 y + 8) =0 ⇔  1 =−8  x − x 3  2x2 − 2 =−3x  x =−2; x =1 =−2; 1 1 − 3 =−8x  =−3; x 2⇒  2 3  ⇔ ⇔  S ; −3;  2 =1 3x  3  x BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI Bài 1: Giải các phương trình sau a. 1 +1 =13 b. x 6 −3x5 + 6x4 − 7x3 + 6x2 − 3x +1 =0 (x + 29)2 (x + 30)2 36 Lời giải a. Điều kiện: x ≠ -29, x ≠ -30 1 + 1 =13 ⇔ 1 + 1 − 2 + 2 =13 (x + 29)2 (x + 30)2 36 (x + 29)2 (x + 30)2 (x + 29)(x + 30) (x + 29)(x + 30) 36 ⇔ ( 1 − 1 )2 + 2= 13 ⇔  1 2 + 2 + 1= 13 +1 36  29)( x  29)( x 36 x + 29 x + 30 (x + 29)(x + 30)  (x + + 30)  (x + + 30)  1  2 = 76 2  (x 29)( x 1 ⇔ + + 30) +  +) 1 =7 −1 =1 ⇔ (x + 29)(x + 30) − 6 =0 ⇔ x2 + 59x − 864 =0 ⇔ x ∈{−27; −32} (x + 29)(x + 30) 6 6 +) 1 =−13 ⇔ x2 + 59x + 870 + 6 =0 ⇔  x + 59 2 + 870 + 6 −  59 2 =0 (vo nghiem) (x + 29)(x + 30) 6 13  2  13  2  Vậy phương trình có tập nghiệm S ={−27; −32} b. x 6 −3x5 + 6x4 − 7x3 + 6x2 − 3x +1 =0 +) x = 0 không là nghiệm của phương trình +) Chia cả hai vế cuả phương trình cho x3 ta được: x3 − 3x2 + 6x − 7 + 6 − 3 + 1 =0 ⇔ (x3 + 1 ) − 3(x2 + 1 ) + 6(x + 1 ) − 7 =0 x x2 x3 x3 x2 x Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

131 Đặt t =x+ 1 ⇒ x2 + 1 =t 2 −2; x3 + 1 =  x + 1  3 −3x. 1  x + 1 =t3 − 3t x x2 x3  x  x  x  Thay vào phương trình ta được: t3 − 3t − 3(t2 − 2) + 6t − 7 = 0 ⇔ (t −1)3 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ x+ 1 =1⇔ x2 − x +1= 0 ⇔  x − 1 2 + 3 = 0 (VN ) x  2  4 CHUYÊN ĐỀ 5: ĐỒNG NHẤT THỨC A. Các bài toán về biểu thức nguyên 1. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 2. an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + a bn−3 2 + ... + bn−1) 3. a2n − b2n = (a + b)(a2n−1 − a2n−2b + a2 bn−3 2 − ... − b2n−1) 4. an + bn = (a + b)(an−1 − an−2b + a bn−3 2 − ... + bn−1) 5. Nhị thức Newton: (a + b)n = an + n.an−1.b + n(n −1) an−2b2 + ... + bn 2 Bài 1: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính A = a4 + b4 + c4 Lời giải: Ta có: a + b + c = 0 ⇒ (a + b + c)2 = 0 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 0 ⇔ 14 =−2(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca =−7 (1) Lại có: a2 + b2 + c2 = 14 ⇒ a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 = 142 = 169 (2) Từ (1) suy ra: a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2ab2c + 2a2bc + 2abc2 =49 ⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) =49 ⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49 ⇒ (2) : a4 + b4 + c4 = 142 − 2.49 = 98 Bài 2: Cho x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Tính A = (x −1)2019 + y2020 + (z + 1)2021 Lời giải Từ : x + y + z =0 ⇒ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) =0 ⇒ x2 + y2 + z2 =0 ⇒ x =y =z =0 ⇒ A =−12019 + 02020 + 12021 =0 Bài 3 : Cho x + y + z = 0 , chứng minh rằng a. (x2 + y2 + z2 )2= 2(x4 + y4 + z4 ) b. 5(x3 + y3 + z3 )(x2 + y2 + z2 )= 6(x5 + y5 + z5 ) c. 2(x5 + y5 +=z5 ) 5xyz(x2 + y2 + z2 ) Lời giải: a. (x2 + y2 + z2 )2 = x4 + y4 + z4 + 2(x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 ) (1) Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

132 x + y + z =0 ⇒ x2 + y2 + z2 =−2(xy + yz + zx) ⇒ (x2 + y2 + z2 )2 =4(xy + yz + zx)2 (2) Từ (1), (2) suy ra : x4 + y4 + z4 + 2(x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 )= 4(x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 + 2xy2 z + 2x2 yz + 2xyz2 ) = 4[x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 + 2(x+y+z) ]=4(x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 ) ⇒ x4 + y4 + z4 = 2(x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 ) =0 Thay vào (1), ta được : (x2 + y2 + z2 )2= 2(x4 + y4 + z4 ) b. 1 VT = x5 + y5 + z5 + x2 y2 (x + y) + x2z2 (x + z) + y2z2 ( y + z) 5 Từ x + y + z = 0 suy ra : x + y =−z; x + z =− y; y + z =−x ⇒ 1VT =x5 + y5 + z5 − xyz(xy + yz + zx) (1) 5 x + y + z = 0 ⇒ (x + y + z)2 = 0 ⇒ x2 + y2 + z2 = −2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = x2 + y2 + z2 −2 Theo câu a, ta có : x3 + y3 + z3 =3xyz khi x + y + z = 0 ⇒ −(xy + yz + zx).xyz = x2 + y2 + z2 . x3 + y3 + z3 (2) (*) 23 Thay vào (1), ta được : 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2 )= 6(x5 + y5 + z5 ) c. Ta có : x3 + y3 + z3 =3xyz , thay vào (*), ta được : 5.3xyz(x2 + y2 + z2 )= 6(x5 + y5 + z5 ) ⇒ 5xyz(x2 + y2 + z2 )= 2(x5 + y5 + z5 ) (dpcm) Bài 4 : Chứng minh rằng a. 2(a3 + b3 + c3 − 3abc) = (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  b. (a + b)(b + c)(c + a) + 4abc = c(a + b)2 + a(b + c)2 + b(c + a)2 Lời giải a. VP = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) 1 VT = a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b) − 3abc = (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c) 2 = (a + b + c)[(a+b)2 − (a + b)c + c2 − 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ⇒ VT = VP b. VT = 6abc + ca2 + ac2 + ab2 + a2b + bc2 + b2c VP = 6abc + ca2 + ac2 + ab2 + a2b + bc2 + b2c = VT Bài 5 : Cho a + b + c = 4m. Chứng minh rằng a. 2ab + b2 + a2 − c=2 16m2 − 8mc b.  a +b − c 2 +  a +c − b 2 +  −a +b + c 2 = a2 + b2 + c2 − 4m2  2   2   2  Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

133 Lời giải: a. VT = (a + b)2 − c2 = (4m − c)2 − c2 = 16m2 − 8mc = VP b. Từ a + b + c= 4m ⇒ a + b − c= 4m − 2c ⇒ a + b − c= 2m − c 2 Tương tự: VT = (2m − c)2 + (2m − b)2 + (2m − a)2 = a2 + b2 + c2 +12m2 − 4m(a + b + c) = a2 + b2 + c2 − 4m2 = VP Bài 6: a. Cho (x + y + z)(xy + yz + zx) =xyz (*) Chứng minh rằng: x2019 + y2019 + z2019 = (x + y + z)2019 b. Nếu x + y + z6 . Chứng minh rằng: A = (x + y)( y + z)(z + x) − 2xyz6 Lời giải a. Theo (*) ⇔ (x + y + z)(xy + yz + zx) − xyz =0 ⇔ xy2 + x2 y + xyz + xyz + y2z + z2 y + x2z + xz2 + xyz − xyz =0 ⇔ xy(x + y) + yz(x + y) + z2 (x + y) + xz(x + y) =0 ⇔ (x + y)(xy + yz + z2 + xz) =0 x + y =0 x =− y   ⇔ (x + y)( y + z )( z + x) =0 ⇔  y + z =0 ⇔  y =− z z + x =0 z =−x Giả sử: x =− y ⇒ x2013 =− y2013 ⇒ x2013 + y2013 + z2013 =z2013; (x + y + z)2013 =z2013 ⇒ dpcm b. Theo câu a, ta có: (x + y)( y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) − xyz ⇒ A = (x + y + z)(xy + yz + zx) − xyz 3 Vì x + y + z6 ⇒ x + y + z là số chẵn ⇒ 1 trong 3 số x, y, z là số chẵn ⇒ 3xyz6 ⇒ A6 Bài 7 : Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b5 + c7 = 1 . Tính A = a2 + b9 + c1945 Lời giải Ta có : a2 + b2 + c2 = 1 ⇒ 0 ≤ a2 ≤ 1 ⇔ a ≤ 1 ⇔ −1 ≤ a ≤ 1; −1 ≤ b, c ≤ 1 −1 ≤ a ≤1⇒ a2 (1 − a) ≥ 0 ⇒ a2 ≥ a3, '' = '' ⇔ a =0 a =1 −1 ≤ b ≤ 1 ⇒ b3 ≤ 1 ⇒ (1 − b3).b2 ≥ 0 ⇒ b2 ≥ b5 Dấu « = » xảy ra khi b = 0 hoặc b = 1. Tương tự : c2 ≥ c7 . Dấu « = » xảy ra khi c = 0 và c = 1. Mặt khác ta lại có : a2 + b2 + c2 =a3 + b5 + c7 =1 ⇒ a2 =a3;b2 =b5;c2 =c7 ⇒ a,b, c có 1 số bằng 1 và 2 số bằng 0 ⇒ A =1 Bài 8 : Tìm các số a, b, c sao cho : x3 − ax2 + bx − c = (x − a)(x − b)(x − c)∀x ∈ R Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

134 Lời giải: Ta có: (x − a)(x − b)(x − c) = (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac)x − abc + x3 = x3 − ax2 + bx − c a=+ b + c a =b + c 0 b ⇒ bc = b⇒ b= c= 0,∀a ⇒ ab + bc + ca = b ⇒ ⇒ a(b + c) + bc = a =b =−1;c =1 =abc c =c(1− ab) 0 Bài 9: Cho a, b thỏa mãn: a3 − 3a2 + 5a −17= 0;b3 − 3b2 + 5b +11= 0. Tính A = a + b Lời giải: (a3 + b3) − 3(a2 + b2 ) + 5(a + b) − 6 =0 ⇔ (a + b)3 − 3ab(a + b) − 3[(a + b)2 − 2ab] + 5(a + b) − 6 =0 ⇔ (a + b)3 − 3(a + b)2 + 5(a + b) − 6 − 3ab(a + b) + 6ab =0 ⇔ (a + b)3 − 3(a + b)2 + 5(a + b) − 6 − 3ab(a + b − 2) =0 ⇔ (a + b)3 − 2(a + b)2 − (a + b)2 + 2(a + b) + 3(a + b) − 6 − 3ab(a + b − 2) =0 ⇔ (a + b)2 (a + b − 2) − (a + b)(a + b − 2) + 3(a + b − 2) − 3ab(a + b − 2) =0 ⇔ (a +b − 2)[(a+b)2 − (a + b) + 3 − 3ab] = 0 ⇔ a + b − 2 =0 + 3 − 3ab =0 (a + b)2 − (a + b) ⇔  − ab + A a2==− b + 3 0 ⇔ 2a2 − 2ab + 2bA2 − 2 −=2b + 6 0 a2 b2 − 2a  A=2 ⇔ (a − b)2 + (a −1)2 + (b −1)2 + 4 =0 (VN ) ⇔ A =2 Vậy A = 2. Bài 10: Chứng minh rằng A = x8 − x7 + x5 − x3 +1 > 0 Lời giải +) Xét x ≥ 1 ⇒ x7 (x −1) ≥ 0 ⇒ x8 ≥ x7; x3(x2 −1) ≥ 0 ⇒ x5 ≥ x3 ⇒ A ≥ 1 > 0 +) 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1− x3 ≥ 0; x5 (1− x2 ) ≥ 0 ⇒ 1 ≥ x3; x5 ≥ x7 ⇒ A = x8 +1− x3 + x5 − x7 ≥ 0 ⇒ A > 0 Với x < 0 ⇒ − x 7 > 0  > 0 − x3 Với x ≤ −1 ⇒ x5 (x3 +1) ≥ 0 ⇒ x8 + x5 ≥ 0 ⇒ A ≥ 1 Với −1 ≤ x < 0 ⇒ 1+ x5 > 0 ⇒ A > 0 Vậy A > 0 với mọi x. BÀI TẬP VỀ NHÀ Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

135 Bài 1: Tìm các số a, b, c, d sao cho: A(x) = x4 + ax3 + bx2 − 8x + 4 là bình phương của đa thức B(x) = x2 + cx + d Lời giải: 2c = a c2 + 2d =b [B( x)]2 = (x2 + cx + d )2 = x4 + 2cx3 + (c2 + 2d )x2 + 2cdx + d2 ⇒ A( x) = B2 ( x) ⇔ 2cd = −8 d 2 = 4 +) d =2 ⇒ c =−2; a =−4; d =8 +) d =−2 ⇒ c =2, a =4,b =0 Bài 2: Cho a3 − 3ab2 = 19;b3 − 3a2b = 98. Tính E= a2 + b2 Lời giải: Ta có: (a3 − 3ab2 )2 =192 =a6 − 6a4b2 + 9a2b4;982 =(b3 − 3a2b) =b6 − 6b4a2 + 9a4b2 192 + 982 = a6 + b6 + 3a4b2 + 3a2b4 = (a2 + b2 )3 ⇒ a2 + b2 = 3 9965 Bài 3: Chứng minh rằng: A= x12 − x9 + x4 − x +1 > 0 ∀x ∈ R Lời giải +) Với x ≥1⇒  x9 (x3 −1) ≥ 0 ⇒ A ≥1> 0 ∀x ∈ R  x( x3 −1) ≥ 0  −x > 0 +) Với x < 0 ⇒ −x9 ⇒ A>0 >0 +) Với 0 ≤ x ≤1⇒ 1− x ≥ 0 ⇒ A>0  x4 (1 − x5 ) ≥ 0  x 4 − x9 = Bài toán được chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng a. Nếu a + b + c ≥ 0 thì a3 + b3 + c3 − 3abc ≥ 0 (a,b, c ∈ R) b. a4 + b4 + c4 + d 4 − 4abcd ≥ 0 ∀a,b, c, d ∈ R Lời giải a. Có: a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) mà a + b + c ≥ 0 (gt); (a − b)2 ≥ 0 nên: a2 − 2ab + b2 ≥ 0 ⇒ a2 + b2 ≥ 2ab. Tương tự: a2 + c2 ≥ 2ac; b2 + c2 ≥ 2bc ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇒ a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ≥ 0 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

136 b. a4 + b4 + c4 + d 4 − 4abcd = a4 + b4 − 2a2b2 + c4 + d 4 − 2c2d 2 + 2a2b2 + 2c2d 2 − 4abcd = (a2 − b2 )2 + (c2 − d 2 )2 + 2(ab − cd )2 ∀a,b, c, d ∈ R CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: a. Cho a – 2b = 5. Tính giá trị biểu t=hức A 3a − 2b + 3b − a 2a + 5 b − 5 b. Biết 2a – b = 7. Tí=nh B 5a − b + 3b − 2a 3a + 7 2b − 7 c. Biết 10a2 − 3b2 + 5a=b 0;9a2 − b2 ≠ 0 . Tí=nh C 2a − b + 5b − a 3a − b 3a + b d. Cho 3a2 + 3b2 =10ab và b > a > 0. Tính D = a − b a+b e. Biết x2 + 9 y 2 −4xy= 2xy − x−3 . Tính E = x3 x2 − 25 : y−2 −10x2 + 25x y2 − y − 2 Lời giải a) Ta có: a − 2b = 5 ⇒ a = 2b + 5 ⇒ A = 3(2b + 5) − 2b + 3b − (2b + 5) = 4b +15 + b − 5 = 2 2(2b + 5) + 5 b−5 4b +15 b − 5 b) Ta có : 2a – b = 7 thì b = 2a – 7 do đó : B =5a − b + 3b − 2a =5a − (2a − 7 ) + 3(2a − 7) − 2a =3a + 7 + 4a − 21 =2 3a + 7 2b − 7 2(2a − 7) − 7 3a + 7 4a − 21 3a + 7 c) Ta có: C (=2a − b)(3a + b) + (5b − a)(3a − b) 3a2 +15ab − 6b2 (1) (3a − b)(3a + b) 9a2 − b2 Từ giải thiết: 10a2 − 3b2 + 5ab =0 ⇒ 5ab =3b2 − 10a 2 ⇒ A =3a2 + 3(3b2 −10a2 ) − 6b2 =−27a2 + 3b2 =−3 9a2 − b2 9a2 − b2 d) Ta có: Cách 1: Ta có: 3a2 + 3b2 =10ab ⇒ 3a2 + 3b2 − 10ab =0 ⇔ (3a − b)(a − 3b) =0 ⇔ b = 3a (loai) a = 3b ⇒ D= a − b= a − 3a= −1 a + b a + 3a 2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

137 Cách 2: D2 = (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 = 3a2 + 3b2 − 6ab = 1 ⇒ A= ±1 (a + b)2 a2 + 2ab + b2 3a2 + 3b2 + 6ab 4 2 Do b > a ⇒ a −b < 0 ⇒ D < 0 ⇒ D =−1 a +b > 0 2 e) Ta có: x2 + 9 y 2 −4xy = 2xy − x−3 ⇔ (x − 3y)2 + x−3 =0 ⇔=xx −−=33y 0 =⇔= xy 3 ⇒ A = −8 0 13 Bài 2: Cho x + 1 =3 . Tính giá trị của các biểu thức sau: x a. A= x2 + 1 b. B= x3 + 1 c. C= x4 + 1 d. D= x5 + 1 x2 x3 x4 x5 Lời giải a. A = x2 + 1 + 2.x. 1 − 2 =  x + 1 2 − 2 = 7 x2 x  x  b. B = x3 +  1 3 =  x + 1  x2 −1+ 1  = 3.6 = 18  x   x   x2  c. C = x4 + 1 = x4 + 1 + 2.x2. 1 − 2=  x2 + 1  2 −2 = 47 x4 x4 x2  x2  d. D =x5 +  1 5 = x + 1   x 4 − x3. 1 + x 2 . 1 − 1 + 1  = x + 1   x4 + 1 − x2 +1− 1   x  x   x x2 x. x3 x4  x   x4 x2  = 3.(47 − 7 +=1) 123 Cách 2: (x2 + 1 )( x3 + 1 = x5 + x+ 1 + 1 = 123 x2 x3 ) x x5 Bài 3: Cho x2 − 4x +1 =0 . Tính A= x5 + 1 và B= x7 + 1 x5 x7 Lời giải Có: x2 − 4x +1 = 0 ⇔ x2 +1 = 4x ⇒ x ≠ 0 Chia cả hai vế cho x ta được: x + 1 =4 x Ta có:  x + 1 2 =x2 +2+ 1 =16 ⇒ x2 + 1 =14  x  x2 x2  x + 1 3 = x3 + 1 + 3.x. 1 . x + 1  = x3 + 1 + 3.4 = 43 ⇒ x3 + 1 = 52  x  x3 x x  x3 x3 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

138 ⇒  x2 + 1   x3 + 1  = x5 + 1 + x+ 1 = 4+ x5 + 1  x2   x3  x x5 x5 ⇒ x5 + 1=  x2 + 1  x3 + 1  − 4= 14.52 − 4= 724 x5  x2   x3  Bài 4: Cho x2 x +1 = 2008 . Tính M = x4 x2 +1 và N = x4 x2 +1 −x + x2 − x2 Lời giải Có: x4 + x2 +1= (x2 − x +1)(x2 + x +1); x= 2008(x2 − x +1) (1) Ta có: x2 x = 2008 ⇒=x 2008(x2 +1) − 2008x −x +1 ⇒ 2=009x 2008(x2 +1) ⇒ 2009x + 2=008x 2008(x2 + x +1) ⇔ 40=17x 2008(x2 + x +1) (2) Lấy (1).(2) được: 4017 x=2 20082 (x4 + x2 +1) (*) ⇔ 4017 x 2 20082 ⇔ 4017.M= 20082 ⇒ M= 20082 4017 = x4 + x2 +1 (*) ⇒ x=2 20082 (x4 + x2 +1=) M (x4 + x2 +1) 4017 ⇔ x=2 M (x4 − x2 +1 + 2x2 ) ⇒ x=2 M (x4 − x2 +1) + 2Mx2 ⇒ (1− 2M )x2 = M (x4 − x2 +1) ⇒ (1− 2M )x2 = M ⇒ (1− 2M ).N = M ⇒N = M x4 − x2 +1 1− 2M Bài 5: Cho x +=y + z 0 (1); a +=b + c 2 (2) . Tính A =  a 2 +  b 2 +  c 2 abc xyz  x   y   z    Lời giải Ta có: x + y + z =0 ⇒ bcx + acy + abz =0 ⇒ bcz + acy + abx =0 (3) abc abc Từ (2) ta có: a + b + c =2 ⇒  a + b + c 2 =4 ⇔  a 2 +  b 2 +  c 2 +  ab + ac + bc  =4 x y z  x y z   x   y   z  2 xy xz yz        ⇔  a 2 +  b 2 +  c 2 + 2  abz + acy + bcx  =4 (4)  x   y   z   xyz      a 2  b 2  c  2  x   y   z  Thay (3) vào (4), ta được: A = +   + =4 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

139 Bài 6: Biết a3 + b3 + c3 =3abc và a + b + c ≠ 0 . Tính A= a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 Lời giải Ta có: a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ⇒ a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0 ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 =0 ⇒ a =b =c ⇒ A = 3a2 =1 (3a)2 3 Bài 7: Tính A= bc( y − z)2 + ac(z − x)2 + ab(x − y)2 , biết ax + by + cz =0 ax2 + by2 + cz2 a + b + c =25 Lời giải Ta có: M= bc( y − z)2 + ac(z − x)2 + ab(x − y)2= by2 (a + c) + cz2 (a + b) + ax2 (b + c) − 2(bcyz + acxz + abxy) Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c =M by2 (a + b + c) + cz2 (a + b + c) + ax2 (a + b + c) − 2(bcyz + acxz + abxy) − b2 y2 − c2z2 − a2x2 = (a + b + c)(by2 + cz2 + ax2 ) − 2(bcyz + acxz + abxy) − (b2 y2 + c2z2 + a2x2 ) Lại có : (ax + by + cz) 2 = 0 ⇒ a2x2 + b2 y2 + c2z2 + 2(abxy + acxz + bcyz) = 0 ⇒ M = (a + b + c)(by2 + cz2 + ax2 ) ⇒ A = a + b + c = 25 Bài 8: Cho a.b.c = 2, rút gọn : A = a + b + 2c ab + a + 2 bc + b +1 ac + 2c + 2 Lời giải A = a + b + 2c ab + a + 2 bc + b +1 ac + 2c + 2 = a + ab + 2c ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + abc = a + ab + 2 ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab = a + ab + 2 a + ab + 2 =1 Bài 9: Cho a + b + c = 0, rút gọn : A= a2 a2 − c2 + b2 + c2 c2 − a2 − b2 b2 − c2 − a2 − b2 Lời giải Từ: a + b + c =0 ⇒ a =−(b + c) ⇒ a2 =b2 + c2 + 2bc ⇒ a2 − b2 − c2 =2bc Tương tự: b2 − a2 − c2 = 2ac;c2 − a2 − b2 = 2ab ⇒ B = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 (*) 2bc 2ac 2ab 2abc Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

140 Ta có: a + b + c =0 ⇒ b + c =−a ⇒ (b + c)3 =−a3 ⇒ −a3 =b3 + c3 + 3bc(b + c) =b3 + c3 − 3abc ⇒ a3 + b3 + c2 =3abc Do đ=ó: B a3 + b3=+ c3 3=abc 3 2abc 2abc 2 Bài 10: Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a=+ b + c 2019 ; 1=+ 1 + 1 0 . abc Tính A = a2 + b2 + c2 Lời giải Từ: a + b +=c 2019 ⇒ (a + b + c=)2 2019 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca=) 2019 Mặt khác: 1 + 1 + 1 = 0 ⇔ bc + ca + ab = 0 ⇒ bc + ca + ab = 0 (abc ≠ 0) ⇒ A = 2019 abc abc Bài 11: [ HSG Yên Phong – 2015 ] Cho a, b, c thỏa mãn: a(b + c) 2 +b(c + a)2 + c=(a + b)2 4abc; a2013 + b 20=13 +c2013 1. Tính A= 1 +1 +1 a 2015 b2015 c 2015 Lời giải Ta có: a(b + c) 2 +b(c + a)2 + c(a + b)2 − 4abc =0 ⇔ ab2 + 2abc + ac2 + bc2 + 2abc + ba2 + ca2 + 2abc + cb2 − 4abc =0 ⇔ ab2 + 2abc + ac2 + ba2 + bc2 + ca2 + cb2 =0 ⇔ a(b2 + c2 ) + (b + c)(a2 + bc) + 2abc =0 ⇔ a(b 2 +c2 + 2bc) + (b + c)(a2 + bc) =0 ⇔ (b + c)(ab + ac + bc + a2 ) =0 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) =0 a + b =0 a =−b ⇒ a2013 =−b2013; a2015 =−b2015 ⇒ M =1 ⇔ b + c =0 ⇔ b =−c ⇒ M =1 c + a =0 c =−a ⇒ M =1 Vậy M = 1 với a = b = c = 1. Bài 12: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. Tính A= a2 1 − c2 +1 +1 − b2 + b2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 Lời giải Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

141 a2 + b2 − c2 =−2ab  Từ: a +b +c =0 ⇒ a =−(b + c) ⇒ a +b =−c ⇒ (a + b)2 =c2 ⇒ b 2 + c2 − a2 =−2bc c2 + a2 − b2 =−2ac Do đó: =A 1 + 1 + 1 ⇒ =A −(a + b + c=) 0 −2ab −2bc −2ac 2abc Bài 13: Cho x, y, z đôi một khác nhau và Từ: 1 + 1 + 1 =0 . xyz Tính A= yz + y2 xz + z2 xy x2 + 2 yz + 2xz + 2xy Lời giải Từ : 1 + 1 + 1 =0 ⇒ xy + yz + zx =0 ⇒ xy + yz + zx =0 ⇒ yz =−xy − xz xyz xyz Có : x 2 +2 yz = x2 + yz + (−xy − xz)= (x − y)(x − z); Tương tự: y2 + 2xz =( y − x)( y − z); z2 + 2xy =(z − x)(z − y) =⇒ A yz + xz + =xy − yz( y − z) − xz(z − x) − xy(x − y) (x − y)(x − z) ( y − x)( y − z) (z − x)(z − y) (x − y)( y − z)(z − x) Tử số của A yz2 − y2 z − xz2 − xz2 + xy2 − x2 y = z2 ( y − x) + z(x2 − y2 ) + xy( y − x) =( y − x)(z2 + xy) + z(x − y)(x + y) = (x − y) z(x + y) − z2 − xy = (x − y)( y − z)(z − x) ⇒ A = 1 Bài 14: Tính A =1+ x  1 + y  1 + z ; x, y, z ≠ 0 ; x3 + y3 + z3 =3xyz  y z x  Lời giải x3 + y3 + z3 =3xyz ⇔ ( x + y)3 + z3 − 3xy ( x + y) − 3xyz =0 ⇔ ( x + y + z)3 − 3z ( x + y)( x + y + z) − 3xy ( x + y + z) =0 ⇔ ( x + y + z)3 − 3( x + y + z)( xy + yz + zx) =0 ⇔ ( x + y + z) ( x + y + z)2 − 3( xy + yz + zx) =0 ⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) =0 ⇔ x + y + z =0   x 2 + y2 + z2 − xy − yz − zx =0 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

142 +) Trường hợp: x + y + z =0 ⇒ x + y =−z; x + z =− y; y + z =−x Do đó: A = x + y . y + z . x + z = −xyz = −1 y y x xyz +) Trường hợp x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx =0 ta có: x − y =0  (x − y)2 + (x − z)2 +(y − z)2 = 0 ⇔  y − z = 0 ⇔ x = y = z ⇒ A = 8 z − x =0 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. Tính A= a2 + bc + b2 + ac + c2 + ab a2 − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2 Lời giải Từ : a + b + c =0 ⇒ b + c =−a ⇒ b2 + 2bc + c2 =a2 ⇒ a2 − b2 − c2 =2bc Tương tự : 2ac;c2 − a2 − b2= 2ab ⇒ S= a2 + bc + b2 + ca + c2 + ab= a2 + b2 + c2 + 3 b2 − c2 − a2= 2bc 2ac 2ab 2bc 2ac 2ab 2 = a3 + b3 + c3 + =3 3abc + =3 3 2abc 2 2abc 2 Bài 2*: Biết a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức sau, A=  a − b + b − c + c − a  c + a + b   c a b   − − −  a b b c a c Lời giải Đặt M = a − b + b − c + c − a cab Ta có: M . c =1+ c (b2 − bc + ac − a2 ) =1+ c . (a − b)(c − a − b) =1+ c(c − a − b) a−b a−b ab a − b ab ab =1+ c[c − (a − b)] =1+ c.2c =1+ 2c2 ab ab ab Tương tự: M. a =1 + 2a2 ;M. b =1 + 2b2 ⇒ A =3 +  c2 + a2 + b2  =3 + 2 a3 + b3 + c3 b −c bc a−c bc 2 ab bc ac  abc   Ta có: Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

143 a3 + b3 + c3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) + c3 = (a + b)3 + c3  − 3ab(−c) = (a + b + c) (a + b)2 − (a + b)c + c2  + 3abc =3abc ⇒ A =3 + 3.2 =9 B. Chứng minh đẳng thức thỏa mãn điều kiện của biến Bài 1: Cho =1 + 1 + 1 2 (1); 1 +=1 + 1 2 (2) . Chứng minh rằng: a + b + c =abc abc a2 b2 c2 Lời giải Từ (1) suy ra:  1 + 1 + 1 2 = 4 ⇔ 1 + 1 + 1 + 2  1 + 1 + 1  = 4  a b c  a2 b2 c2 ab bc ca  ⇒ 1 + 1 + 1 =1 ⇔ a + b + c =1 ⇔ a + b + c = abc ab bc ca abc Bài 2: Cho a,b,c ≠ 0; a + b + c ≠ 0 , thỏa mãn 1 + 1 + 1 = 1 a b c a+b+c Chứng minh rằng: 1 +1 +1 =1 a 2019 b2019 c 2019 a2019 + b2019 + c2019 Lời giải Ta có: 1 + 1=+ 1 1 ⇒ 1 + 1 + 1 − =1 0 a b c a+b+c a b c a+b+c ⇔ a+b + a+b+c−c =0 ⇔ (a +  1 + c(a 1 +  =0 ab c(a + b + c) b)  ab +b c)  ⇔ (a + b)  ca + cb + c2 + ab  =0 ⇔ (a + b)(a + c)(c + b) =0   abc(a + b + c)  abc(a + b + c)  ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) =0 +) a + b =0 ⇒ a =−b ⇒ a2019 =(−b)2019 ⇒ VT =VP Chứng minh tương tự, ta có điều phải chứng minh. Bài 3: Cho a + b + c =1 . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 =0 b+c a+c a+b b+c a+c a+b Lời giải Để xuất hiện a2, b2, c2 ta nhân với a + b + c ta có: b a c + a b c + a c b =1 ⇒  b a c + a b c + a c b  (a + b + c) = a + b + c + + +  + + +  Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

144 ⇔ a2 + a + b2 + b + c2 + c = a + b + c ⇒ a2 + b2 + c2 = 0 (dpcm) b+c a+c a+b b+c a+c a+b Bài 4: Cho a + b + c = x + y + z = 0 và a + b + c =0 . Chứng minh rằng : ax2 + by2 + cz2 =0 xyz Lời giải Cách 1: Ta có : a + b + c =0 ⇒ a =−b − c ⇒ −b − c + b + c =0 x yz ⇒  1 − 1  + c  1 − 1  =0 ⇒  x− y  + c  x−z  =0 b y x   z x  b xy   xz      ⇒ b(x − y).z + c(z − x).y =0 xyz ⇒ b(x − y)z + c(z − x) y =0 (1) Ta có : ax2 + by2 + cz2 =(−b − c)x2 + by2 + cz2 = b( y2 − x2 ) + c(z2 − x2 ) = b( y − z)( y + x) + c(z − x)(z + x) = b( y − x)(−z) + c(z − x)(− y) = b(x − y)z + c(x − z) y = 0 (theo (1)) ⇒ ax2 + by2 + cz2 =0 Cách 2 : Ta có x + y + z = 0 ⇒ x2 = ( y + z)2; y 2 = (x + z)2; z2 = (x + y)2 Do đó : ax2 + by2 + cz2 = a( y + z)2 + b(x + z)2 + c(x + y) 2 = a( y2 + 2 yz + z2 ) + b(x2 + 2xz + z2 ) + c(x2 + 2 yx + y2 ) = x2 (b + c) + y2 (a + c) + z2 (a + b) + 2(ayz + bxz + cxy) (*) Từ a + b + c =0 ⇒ b + c =−a; Tương tự: a + c =−b; a + b =−c Có: a + b + c =0 ⇒ ayz + bxz + cxy =0 ⇒ ayz + bxz + cxy =0 xyz xyz ⇒ (*) : ax2 + by2 + cz2 = x2 (−a) + y2 (−b) + z2 (−c) ⇒ 2(ax2 + by2 + cz2 ) =0 ⇒ ax2 + by2 + cz2 =0 Bài 5: [ GVG- Yên Phong – 2014] TÀI LIỆU TOÁN HỌC Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn : 1 + 1 + 1 =1 và a + b + c = 1. abc Sưu tầm và tổng hợp

145 Chứng minh rằng : (a −1)(b −1)(c −1) =0 Lời giải Ta có : 1 + 1 + 1 =1 ⇒ bc + ac + ab =1 ⇒ bc + ac + ab =abc abc abc Có : (a −1)(b −1)(c −1=) abc − ab − ac + a − bc + b + c −1= abc − (ab + ac + bc) + (a + b + c) −1= 0 Bài 6: Cho x=y +1 y=z +1 xz +1 . Chứng minh rằng : x= y= z hoặc x2 y2z2 = 1 yzx Lời giải Từ : xy +1 = yz +1 = xz +1 ⇒ x + 1 = y + 1 = z + 1 ⇒ x − y = 1 − 1 = y − z ; y − z = 1 − 1 = z − x yzx y zx z y yz x z zx z − x = 1 − 1 = x− y ⇒ (x − y)( y − z )( z − x) = (x − y)( y − z)(z − x) ⇒ (x − y)( y − z )( z − x)( x 2 y2z2 − 1) = y x xy x2 y2z2 x = y  ⇔ (x − y)( y − z )( z − x) =0  y = z ⇒ x = y = z y2z2 =1 ⇔ = x  x 2   z   x2 y2 z2 = 1 Bài 7: Cho a + b + c =0 . Chứng minh rằng: a + b + c =0 b−c c−a a−b (b − c)2 (c − a)2 (a − b)2 Lời giải Từ : a + b + c =0 ⇒ a =b + c =b2 − ab + ac − c2 =b2 − ab + ac − c2 b−c c−a a−b b − c a − c b − a (a − c)(b − a) (a − b)(c − a) ⇒ a =b2 − ab + ac − c2 (1) nhân với 1 (b − c)2 (a − b)(b − c)(c − a) b−c Tương tự : b (=bc−2 −c)b(ca +− acb)(−a −a2b) (2); (a −cb) 2 a2 − ac + bc − b2 (3) (c − a) 2 (a − b)(b − c)(c − a) (1) + (2) + (3) : (b a + b + c =0(dpcm) − c)2 (c − a)2 (a − b)2 Bài 8: Cho x, y, a, b là những số thực thỏa mãn : x4 + y4 =x2 + y2 và x2 + y2 =1 a b a+b Chứng minh rằng : x 2006 + y 2006 =2 a1003 b1003 (a + b)1003 Lời giải Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

146 Nếu ( x2 )2013 ± ( y2 )2013= 1⇒ xong ab (a + b)2013 Ta có : x=4 + y4 x=2 + y2 (x2 + y2 )2 ⇔ bx4=+ ay4 (x2 + y2 )2 ⇔ (bx4 + ay4 )(=a + b) ab(x2 + y2 )2 a b a+b a+b ab a + b ⇔ abx4 + b2 x4 + a2 y4 + aby4 = abx4 + 2abx2 y2 + aby4 ⇔ b2 x4 − 2abx2 y2 + a2 y4 = 0 ⇔ (bx2 − ay2 )2 =0 ⇔ bx2 =ay2 ⇔ x2 =y2 =x2 + y2 = 1 a b a+b a+b ⇔  x2 2003 =  y2 2003 = (a 1 (dpcm)  a   b  + b)2003     Bài 9 : [ HSG Quảng Xương – 20/04/2015] Cho ba số a, b, c khác 0, thỏa mãn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 . Chứng minh rằng: a2 a2 + b2 + c2 =1 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Lời giải Từ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ta có : ab + bc + ca =0 ⇒ bc =−(ab + ac) ⇒ a2 + 2bc =a2 + bc − (ab + ac) =(a − b)(a − c) Tương tự: b2 + 2ac =(b − c)(b − a);c2 + 2ab =(c − a)(c − b) =⇒ A a2 + b2 + c2 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab A −a2 (b − c) + b=2 (c − a) + c2 (a − b) (=a − b)(b − c)(c − a) 1 (a − b)(b − c)(c − a) (a − b)9b − c)(c − a) Bài 10: Cho 1 + 1 + 1 =0 với a,b, c ≠ 0 và M = b2c2 + a2c2 + a2b2 . abc ab c Chứng minh rằng: M = 3abc Lời giải Đặt 1 = x; 1 = y; 1 = z ⇒ x + y + z = 0 abc M= b2c2 + a2c2 + a2b2= a 2b2c2 ( 1 + 1 + 1 )= a2b2c 2 (x3 + y3 + z3) ab c a3 b3 c3 Từ x + y + z = 0 suy ra: x + y =−z ⇒ (x + y)3 =−z3 ⇒ x3 + y3 + 3xy(x + y) =−z3 ⇒ x3 + y3 + z3 =3xyz =⇒ M a2b2c=2.3xyz a2b2c2.3.=1 . 1 . 1 3abc abc Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

147 Bài 11: Cho x + y + z =0 và a + b + c =2 abc xyz Chứng minh rằng: a + b + c =4 bcx2 acy 2 abz 2 abc Lời giải Có x + y + z =0 ⇔ bcx + acy + abz =0; a + b + c =2 ⇒ ( a + b + c )2 =4 abc xyz xyz ⇔ a2 + b2 + c2 +  ab + bc + ac  =4 ⇔ a2 + b2 + c2 +  abz + bcx + acy  =4 ⇒ a2 + b2 + c2 =4 x2 y2 z2 2 xy yz  x2 y2 z2 2  x2 y2 z2 xz   xyz   Chia cả hai vế cho abc ⇒ a + b + c =4 bcx2 acy 2 abz 2 abc Bài 12: Cho x + y =1 và xy ≠ 0 . Chứng minh rằng: x − y + 2(x − y) =0 y3 −1 x3 −1 x2 y2 + 3 Lời giải Ta có: x −=y x4 − x −=y4 + y (x4 − y4) − (x − y) y3 −1 x3 −1 ( y3 −1)(x3 −1) ( y −1)( y2 + y +1)(x −1)(x2 + x +1) Theo đầu bài: x + y =1 ⇒ x =1− y; y =1− x (=x − y)(x + y)(x2 + y2 ) − (x − y) (x − y)(x2 + y2 −1) xy(x2 + x +1)( y2 + y +1) xy(x2 y2 + x2 y + x2 + xy2 + xy + x + y2 + y +1) (x − y)=(x2 + y2 −1) =(x − y)(x2 + y2 −1) (x − y)[x(x −1) + y( y −1)] xy x2 y2 + xy(x + y) + x2 + y2 + xy + 2 xy x2 y2 + (x + y)2 + 2 −2(x − y) ⇒ dpcm xy(x2 y2 + 3) x2y2 + 3 = (x − y)[x(− y) =+ y(−x)] (x − y=)(−2xy) xy(x2 y2 + 3) xy(x2 y2 + 3) RÚT GỌN BIỂU THỨC Bài 1: Rút gọn A= (a2 + b2 + c2 )(a + b + c)2 + (ab + bc + ca) (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) Lời giải Ta có: (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) = a2 + b 2 +c2 + ab + bc + ca ⇒ MS = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca TS = (a2 + b2 + c2 )(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac) + (ab + bc + ca)2 = (a2 + b2 + c2 )(MS + ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)2 = (a2 + b2 + c2 ).MS + (a2 + b2 + c 2 )(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

148 = (a2 + b2 + c2 ).MS + (ab + ac + bc)(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca) = MS.(a2 + b2 + c 2 +ab + bc + ca) = MS 2 ⇒ A= TS = MS 2 MS MS MS = Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau a. A= x2 − yz + y2 − zx + z2 =xy 1+ y+z 1+ z+x 1+ x+ y xyz a(a + b) + a(a + c) b(b + c) + b(b + a) c(c + a) + c(c + b) a−b a−c b−c b−a c−a c−b b. B = 1+ (b − c)2 + 1+ (c − a)2 + 1+ (a − b)2 (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) Lời giải a) Ta có: A = x2 − yz + y2 z−+zxx=+ 1z+2 x xy = x(x2 − yz) + y( y2 − yz) + z(z2 − xy) = x3 + y3 + z3 − 3xyz 1+ y +z 1+ +y x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z xyz A = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) = x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx x+ y+ z b) Đặt B1 a(a + b) + a(a + c) b(b + c) + b(b + a) c(c + a) + c(c + b) 1=a+− b (b − ca)2− c ; B2 =1b+− c (c − ab)2− a ; B3 c−a c−b 1+ (a − b)2 (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) Tử số B1 a=(a + b)(a − c) + a(a + c)(a − b) a a2 + ab=− ac − bc + a2 − ab + ac − bc a(2a2 − 2bc) (a − b)(a − c) (a − b)(a − c) (a − b)(a − c) Mẫu số B1 =1+ (b − c)2 =(a − b)(a − c) + (b − c)2 =a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca (a − b)(a − c) (a − b)(a − c) (a − b)(a − c) ⇒ B1 = b2 2a3 − 2abc bc − ca a2 + + c2 − ab − =Tuơng tự: ⇒ B2 a2 +=b2 +2bc32−−2aabb−c bc − ca ; B3 2c3 − 2abc a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ⇒ B= 2(a3 + b3 + c3 − 3abc) = 2(a + b + c) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

149 Bài 3: Rút gọn A= (a + 2b)3 − (a − 2b)3 3a4 + 7a2b2 + 4b4 (2a + b)3 − (2a − b)3 : 4a4 + 7a2b2 + 3b4 Lời giải +) (a + 2b)3 − (a − 2b)3 = [(a + 2b) − (a − 2b)](a + 2b)2 + (a + 2b)(a − 2b) + (a − 2b)2  = 4b(a2 + 4ab + 4b2 + a2 − 4b2 + a2 − 4ab + 4b2=) 4b(3a2 + 4b2 ) +) (2a + b)3 − (2a − =b)3 2b(12a2 + b2 ) +) 3a4 + 7a2b2 + 4b4 =(a 2 +b2 )(3a2 + 4b2 ); 4a4 + 7a2b2 + 3b4 =(a2 + b 2 )(4a2 + 3b2 ) ⇒ A =2 Bài 4: Thực hiện phép tính sau A= a + b − 2c + b + c − 2a + c + a − 2b (a − b)3 + (c − a)(c − b) (b − c)3 + (a − b)(a − c) (c − a)3 + (b − a)(b − c) a3 − b3 a2 + ab + b2 b3 − c3 b2 + bc + c2 c3 − a3 c2 + ca + a2 Lời giải Đặt A1 = a + b − 2c (a − b)3 + (c − a)(c − b) a3 − b3 a2 + ab + b2 MS:=A1 (a − b)3 + (c − a)(c −=b) (a − b)2 + (c − a)(c − b) ⇒=A1 (a + b − 2c)(a2 + ab + b2 ) a3 − b3 a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca Tương tự: A2 a(=b2 ++bc2−+2ca2)(−ba2 b+−bcbc+−cc2 )a ; A3 (c + a − 2b)(c2 + ca + a2 ) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca Tử số của A = [(a − c) + (b − c)](a2 + ab + b2 ) + [(b − a) + (c − a)](b2 + bc + c2 ) + [(c − b) + (a − b)](c2 + ca + a2 ) ( ) ( )= (a − c)(a2 + ab + b2 ) + (b − c)(a2 + ab + b2 ) + (b − a) b2 + bc + c2 + (c − a) b2 + bc + c2 ( ) ( )+ (c − a) c2 + ca + a2 + (a − b) c2 + ca + a2 = (a − c)(a2 + ab + b2 − b2 − bc − c2 ) + (b − c)(a2 + ab + b2 − c2 − ca − a2 ) +(b − a)(b2 + bc + c2 − c2 − ca − a2 ) = (a − c)(a − c)(a + b + c) + (b − c)(b − c)(a + b + c) + (b − a)(b − a)(a + b + c) =(a + b + c) (a − c)2 + (b − c)2 + (c − a) 2  = (a + b + c).2.(a2+b2+c2 − ab− bc − ca) ⇒ A = TS = 2(a + b + c) MS MS Bài 5: Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

150 Sx = (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) Lời giải Sx = x2 − (a + b)x + ab + x2 − (b + c)x + bc + x2 − (a + c)x + ac (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) S=x x2  (c − 1 − b) + (a − 1 − c) + (b − 1 − a)   a)(c b)(a c)(b  +x  −(a + b) − (a (b + c) c) − (b (a + c) a)   (c − a)(c − b) − b)(a − − c)(b −  + (c − ab − b) + (a − bc − c) + (b − ac − a) ⇒ Sx = A.x2 + Bx + C a)(c b)(a c)(b +) A = 1 + 1 + 1 = a − b + b − c + c − a = 0 (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (a − b)(a − c)(b − c) +) B = −(a + b) − b + c − a + c = 0 (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) ⇒ Sx =C = − ab − b) + (a bc − c) + (b ac − a) (c a)(c − b)(a − c)(b Bài 6: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c a. S = a2 + 2a + 3 + b 2 +2b + 3 + c2 + 2c + 3 =S2 + 2S1 + 3S0 (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) +) S2 = a2 + b2 + c2 = a2 (c − b) + b2 (a − c) + c2 (b − a) =1 − b)(b − c) (b − c)(b − (c − a)(c (a − b)(b − c)(c − a) (a a) − b) +) S0 = 1 + 1 + 1 = c−b+a−c+b−a = 0 (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) (a − b)(b − c)(c − a) +) S1 = a + b + c = a(c − b) + b(a − c) + c(b − a) =0 ⇒ S =1 b)(b c)(b a)(c (a − b)(b − c)(c − a) (a − − c) (b − − a) (c − − b) =b. A a2 − bc + b2 − ca + c2 − ab=⇒ A 0 (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

151 C. Chứng minh phân số tối giản - Có hai cách cơ bản chứng minh tử số và mẫu số có ƯCLN bằng 1 +) Cách 1: Giả sử d = (a,b), sau đó chỉ ra d = 1 +) Giải sử d ± 1 ( d ≥2) - Gọi p là ước nguyên tố của d - Chỉ ra rằng p = 1 ( Vô lý) - Kết luận d = 1 Bài 1: Chứng minh rằng phân số 3n +1 là phân số tối giản ∀n ∈ N 5n + 2 Lời giải Giải sử (3n +1,5n + 2) = d (d ∈ N *) suy ra: 3n +1d ⇒ 5(3n +1)d ⇒ 15n + 5d ⇒ 1d ⇒ d =1 5n + 2d 3(5n + 2)d 15n + 6d Vậy phân số 3n +1 là phân số tối giản ∀n ∈ N 5n + 2 Bài 2: Chứng minh rằng phân số 12n +1 là phân số tối giản ∀n ∈ N 30n + 2 Lời giải Gọi (12n +1,30n + 2)= d (d ∈ N*) ⇒ 12n +1d ⇒ d : le ⇒ 5(12n +1)d ⇒ 1d ⇒ d= 1 30n + 2d 2(30n + 2)d Bài 3: Chứng minh rằng phân số 2n +1 là phân số tối giản ∀n ∈ N 2n2 −1 Lời giải Gọi (2n +1, 2n2 −1)= d (d ∈ N *) ta có: n(2n + 1) − (2n2 − 1) d ⇒ n + 1 d ⇒ 2n + 2d ⇒ 1d ⇒ d =1 2n + 1 d Bài 4: Chứng minh rằng phân số n3 + 2n là phân số tối giản ∀n ∈ N n4 + 3n2 +1 Lời giải Gọi (n3 + 2n, n4 + 3n2 +1)= d (d ∈ N *) ta có: n3 + 2nd ⇒ n(n3 + 2n)d ⇒ n(n3 + 2n) − (n4 + 3n2 + 1) d  + 3n2 +1d  3n2 +1d n 4 n 4 + ⇒ (−n2 −1)d ⇒ n2 +1d Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC