mot-so-chuyen-de-boi-duong-hoc-sinh-gioi-toan-8

52 a. Đặt m = a + b + c suy ra: A = m 3−a3 − (b3 + c3) = (m − a)(m2 + ma + a 2 ) − (b + c)(b2 − bc + c2 ) = (b + c)(m2 + ma + a2 − b2 + bc − a2 ) = (b + c) (m2 − b2 ) + (a2 − c2 ) + (ma + bc) = (b + c)[(m − b)(m + b) + (a − c)(a + c) + (a + b)(a + c)] = (b + c)(a + c)(m + b + a − c + a + b) =3(b + c)(c + a)(a + b) b. Đặt m= x + y B = x(m + y)3 − y(m + x)3 = x m3 + 3my(m + y) + y3  − y m3 + 3mx(m + x) + x3  = m3(x − y) − xy(x2 − y2 ) − 3mxy(m + x − m − y) = (x − y)(m3 − xy(x + y) − 3mxy) = m(x − y)(m2 − 4xy) = m(x − y) (x + y)2 − 4xy = m(x − y)3 = (x + y)(x − y)3 c. Đặt m= x + y C = (m − y) 4 +m4 + y4 = m4 − 4m3 y + 6m2 y2 − 4my3 + y4 + m4 + y4 = 2(m4 + 2m2 y2 + y4 ) − 4my(m2 + y2 ) + 2m2 y2 = 2(m2 + y2 − my)2= 2 (x + y)2 + y2 − (x + y) y2= 2(x2 + xy + y2 )2 d. Đặt m = a2 + b2 + c2 D = (a2 + b2 + c2 )2 − 4(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = m2 − 4 b2 (a2 + c2 ) + c2a2  = m2 − 4 b2 (m − b2 ) + c2a2  =(m − 2b2 )2 − (2ca)2 =(m − 2b2 − 2ca)(m − 2b2 + 2ca) =(a2 + b2 + c2 − 2b2 − 2ca)(a2 + b2 + c2 − 2b2 + 2ca) = (a − c)2 − b2  (a + c)2 − b2  = (a − c − b)(a − c + b)(a + c − b)(a + b + c) Bài 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. A= a(b + c − a)2 + b(c + a − b)2 + c(a + b − c)2 + (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) b. B = (a + b + c)3 − (a + b − c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 c. C= ab(a + b) + b(b + c) + ca(c + a) − a3 − b3 − c3 − 2abc Lời giải a. Đặt m = x + y + z; a + b − c = x;b + c − a = y;c + a − b = z ⇒ 2a = y + z; 2b = z + x; 2c = x + y 2A = ( y + z)x2 + (x + z) y2 + ( y + x)z2 + 2xyz = xy(x + y) + yz( y + z) + zx(z + x) + 2xyz = xy(m − z) + yz(m − x) + zx(m − y) + 2xy=z m(xy + yz + zx) − xy=z (x + y)( y + z)(z + x=) 8abc ⇒ A= 4abc b. Đặt a + b − c= z;b + c − a= x;c + a − b= y → x + y + z= a + b + c B = (x + y + z)3 − x3 − y3 − z3 = 3(x + y)( y + z)(z + x) = 3.2c.2a.2b = 24abc c. Đặt a + b − c = z;b + c − a = x;c + a − b = y ⇒ 2a = y + z; 2b = x + z; 2c = x + y Ta có: 4=C 4a2 (b + c − a) + 4b2 (c + a − b) + 4c2 (a + b − c) − 8abc = ( y + z)2 x + (z + x)2 y + (x + y)2 z − (x + y)( y + z)(z + x) Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

53 = xy(x + y) + yz( y + z) + zx(z + x) − (x + y)( y + z)(z + x) + 6xyz = xy(x + y) + yz(x + y) + zx(x + y) + z2 (x + y) − (x + y)( y + z)(z + x) + 4xyz = (x + y)(xy + yz + zx + z2 ) − (x + y)( y + z)(z + x) + 4xyz = (x + y)( y + z)(z + x) − (x + y)( y + z)(z + x) + 4xyz = 4xyz ⇒ C = xyz = (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức Bài 1: Cho a + b + c = 0 , Rút gọn A = a3 + b3 + c(a2 + b2 ) − abc Lời giải Ta có: A = a3 + b3 + c(a2 + b2 ) − abc = a3 + b3 + a2c + b2c − abc = (a3 + a2c) + (b3 + b2c) − abc = a2 (a + c) + b2 (b + c) − abc Vì a+b+c =0 ⇒ a + c =−b ⇒ A =a2 (−b) + b2 (−a) − abc =−ab(a + b + c) =0. b + c =−a B. Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh Bài 2: Cho a2 + b2 = 1;c2 + d 2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng: ab + cd =0 Lời giải Ta có: ab + cd = ab.1+ cd.1 = ab(c2 + d 2 ) + cd (a2 + b2 ) = abc2 + abd 2 + a2cd + b2cd = (abc2 + a2cd ) + (abd 2 + b2cd ) = ac(bc + ad ) + bd (ad + bc) = (ad + bc)(ac + bd ) = 0(ac + bd = 0) Bài 3: Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là 1 số chính phương. Lời giải Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3 ( n thuộc N* ) Theo bài ra ta có: n(n +1)(n + 2)(n + 3) +1= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1= (k −1)(k +1) +1= k 2= (n2 + 3n +1)2 (dpcm) Bài 4: Chứng minh rằng số A = (n +1)4 + n4 +1 chia hết cho 1 SCP khác 1 với mọi n nguyên dương. Lời giải Ta có: A = [(n+1)2 ]2 + n4 +1 = (n2 + 2n +1)2 − n2 + (n4 + n2 +1) = (n2 + 3n +1)(n2 + n +1) + (n4 + n2 +1) = (n2 + 3n +1)(n2 + n +1) + (n2 + n +1)(n2 − n +1)= (n2 + n +1)(2n2 + 2n +1)= 2(n2 + n +1)2 (dpcm) Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15(x+6) Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

54 Lời giải Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15(x+6)=(x2 + 8x +10)(x + 2)(x + 6) Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, biểu thức: A =n + n2 + n3 là số nguyên 33 6 Lời giải Ta có: A = n + n2 + n3 = n3 + 3n2 + 2n = n(n +1)(n + 2) ∀n ∈ Z 33 6 6 6 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. a2b2 (a − b) − c2b2 (c − b) + a2c2 (c − a) b. 2bc(b + 2c) + 2ac(c − 2a) − 2ab(a + 2b) − 7abc c. ab(b − a) − bc(b − c) − ac(c − a) d. 3bc(3b − c) − 3ac(3c − a) − 3ab(3a + b) + 28abc e*. a(b2 + c2 ) + b(c2 + a2 ) + c(a2 + b2 ) − 2abc − a3 − b3 − c3 Lời giải a. Ta nhận thấy nếu b = c thì A = 0. Vậy đa thức có 1 nhân tử là b – c a2b2 (a − b) − c2b2 (c − b) + a2c2 (c −=a) a2b2 (a − c + c − b) − c2b2 (c − b) + a2c2 (c − a) = a2b2 (a − c) + a2b2 (c − b) − c2b2 (c − b) + a2c2 (c − a) = (c − b)b2 (a − c)(a + c) + a2 (a − c)(b2 − c2 ) = (a − c)(c − b) b2 (a + c) − a2 (b + c) = (a − c)(c − b) (ab2 − a2b + b2c − a2c) = (a − b)(c − b)(a − c)(a − b)(−ab − bc − ca) b. Nhận thấy nếu c = 2a thì B = 0. Vậy đa thức có nhân tử là c – 2a 2bc(b + 2c) + 2ac(c − 2a) − 2ab(a + 2b) − 7abc = 2ac (c − 2a) + 2b2c + 4bc2 − 2a2b − 4ab2 − 7abc = 2ac (c − 2a) + 2b2 (c − 2a) + 4bc (c − 2a) + 8abc − 2a2b − 7abc = 2ac (c − 2a) + 2b2 (c − 2a) + 4bc (c − 2a) + 8abc − 2a2b − 7abc = 2ac (c − 2a) + 2b2 (c − 2a) + 4bc (c − 2a) + ab(c − 2a) =(c − 2a)(2ac + 2b2 + 4bc + ab) =(c − 2a) 2a (a + 2b) + b (a + 2b) (c − 2a)(a + 2b)(b + 2c) c. Nhận thấy a = b nên có nhân tử a – b ab(b − a) − bc(b − c) − ac(c − a)= ab(b − a) − b2c + bc2 − ac2 + a2c= ab(b − a) − c(b2 − a2 ) + c2 (b − a) = (b − a)(ab − cb − ca + c2 ) = (b − a)(a − c)(b − c) d. Dự đoán c = 3b, vậy đa thức có nhân tử là 3b – c 3bc(3b − c) − 3ac(3c − a) − 3ab(3a + b) + 28abc Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

55 = 3bc (3b − c) − 9ac2 + 3a2c − 9a2b − 3ab2 + 28abc = 3bc (3b − c) + 9ac (3b − c) − 27abc − 3a2 (3b − c) − 3ab2 + 28abc = 3bc (3b − c) + 9ac (3b − c) − 3a2 (3b − c) − abc (3b − c) = (3b − c)(3bc + 9ac − 3a2 − ab) =(3b − c)(3a + b)(3c − a) e. Ta không nhẩm được nghiệm của đa thức a(b2 + c2 ) + b(c2 + a2 ) + c(a2 + b2 ) − 2abc − a3 − b3 − c3 = a(b2 + c2 − 2bc − a2 ) + b(c2 + a2 − b2 ) + c(a2 + b2 − c2 ) = a (b − c)2 − a2  +b(c2 + a2 − 2ac − b2 ) + c(a2 + b2 − c2 + 2ab) = a (b − c)2 − a2  +b (c − a)2 − b2  +c ( a + b)2 − c2    = a (b − c − a)(b − c + a) +b (c − a − b)(c − a + b) + c (a + b − c)(a + b + c) =(a + b − c) a (b − c − a)(c − a + b) + c (a + b + c) = (a + b + c) −a (c + a − b) − bc + ab − b2 + ac + bc + c2  = (a + b − c) −a (a + c − b) + b (a + c − b) + c (a + c − b) = (a + b − c)(a + c − b)(b + c − a) Bài 2: [ HSG – BG – 30/03/2013 ] A = 2a3 + 7a2b + 7ab2 + 2b3 = 2(a3 + b3) + 7ab(a + b) = (a + b)(2a + b)(a + 2b) Bài 3: [ HSG – Long Biên – Hà Nội – 2015 ] a. Phân tích: x3(x2 − 7)2 − 36x b. Dựa vào kết quả hãy chứng minh:=A n3(n2 − 7)2 − 36n210∀n ∈ N Lời giải a. x3(x2 − 7)2 − 36x = x(x3 − 7x + 6)(x3 − 7x − 6) = x(x +1)(x + 2)(x − 3)(x −1)(x − 2)(x + 3) b. A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp ⇒ A2,3,5, 7 ⇒ A210 Bài 4: [ Bắc Giang 2013 ] b. (x + y)( y + z)(z + x) + xyz a. x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 Lời giải a. x4 + 2013x2 + 2012x + 2013= (x4 − x) + 2013(x2 + x +1)= (x2 + x +1)(x2 − x + 2013) b. =(xy + xz + y2 + yz)(x + z) + xyz =(xyz + x2 y + x2z) + (xyz + xz2 + yz2 ) + (xyz + xy2 + zy2 ) = x(xy + yz + zx) + z(xy + yz + zx) + y(xy + yz + zx) = (x + y + z)(xy + yz + zx) Bài 5: [ Bắc Giang – 2014 ] b. x2 − 2xy + y2 + 4x − 4 y − 5 a. x(x + 2)(x2 + 2x + 2) +1 c. 6x3 +13x2 + 4x − 3 Lời giải a. x(x + 2)(x2 + 2x + 2) +1= (x2 + 2x)[(x2 + 2x) + 2] +1= (x2 + 2x +1)2= (x +1)4 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

56 b. x2 − 2xy + y2 + 4x − 4 y − 5 = (x − y)2 + 4(x − y) + 4 − 9 = (x − y + 2)2 − 9 = (x − y + 5)(x − y −1) c. 6x3 +13x2 + 4x − 3 = 6x3 + 6x2 + 7x2 + 7x − 3x − 3 = 6x2 (x +1) + 7x(x +1) − 3(x +1) = (x +1)(6x2 + 7x − 3) = (x +1)(3x −1)(2x + 3) CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON A. Công thức (a + b=)n Cn0an + Cn1an−1b + Cn2an−2b2 + ... + Cnn−1abn−1 + Cnnbn Trong đó: C=nk n! =(k 0,1,...n ⇔=k 0, n)=; n! 1.2.3...n k !(n − k)! +) Quy ước: 0!=1 +) Cn=0 n! = n=! 1; Cn=n n! = 1; Cn=1 n! = n; Cnn−=1 n! = n 0!(n − 0)! n! n!(n − n)! 1!(n −1)! (n −1)!(n − n +1)! +) Bảng tam giác Pascal n=2 12 1 n=3 13 31 n=4 14 64 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 n = ..... B. Bài tập áp dụng Bài 1: Phân tích thành nhân tử: A = (a + b)5 − a5 − b5 Lời giải A =a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 − a5 − b5 =5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 =5ab(a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 ) = 5ab[(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) − (a2b + ab2 )]=5ab[(a+b)3 − ab(a + b)] =5ab(a+b)[(a+b)2 − ab=] 5ab(a + b)(a2 + ab + b2 ) Bài 2: Cho a + b + c =0. Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 =−5abc(ab + bc + ca) Lời giải Từ: a + b + c =0 ⇒ c =−(a + b) VP =a5 + b5 − (a + b)5 =−5ab(a + b)[(a+b)2 − ab] =−5ab(−c)[(a+b)c-ab] =−5abc(ab + bc + ca) =VP(dpcm) Bài 3: Cho a + b + c =0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 a3 + b3 + c3 = a5 + b5 + c5 . 23 5 Lời giải Ta có: Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

57 VP =−5abc(ab + bc + ca) =−abc(ab + bc + ca) (1); 5 a3 + b3 =+ c3 3=abc abc 33 Lại có: (a + b + c)2 =0 ⇔ a2 + b2 + c2 =−2(ab + bc + ca) ⇒ a2 + b2 + c2 =−(ab + bc + ca) 2 VT =−abc(ab + bc + ca)(2).(1)(2) ⇒ VT =VP Bài 4: CMR : (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 = (a − b)5 + (b − c)5 + (c − a)5 . 23 5 Lời giải Ta có: (a − b) + (b − c) + (c − a) =0 Đặt x = a − b; y = b − c; z = c − a ⇒ x + y + z = 0 Ta cần chứng minh: x2 + y2 + z2 x3 + y3 + z3 = x5 + y5 + z5 . 5 23 Bài 5: Cho a,b là các số nguyên. CMR số sau là số chính phương A = (a + b)4 + a4 + b4 Lời giải A = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 + a4 + b4 = a4 + b4 + 3a2b2 + 2ab(a2 + b2 ) = (a2 + b2 )2 + (ab)2 + 2ab(a2 + b2 ) = (a2 + b2 + ab)2 (dpcm) Bài 6: Giải phương trình: (x + 2)6 + (x − 2)6 = 2x6 +128(*) Lời giải Ta có: (x + 2)6 =x6 + 6x5.2 +15x4.22 + 20x3.23 +15x2 24 + 6x.25 + 26 =x6 +12x5 + 60x4 +160x3 + 240x2 +192x + 64 (x − 2)6 =[x+(-2)]6 =x6 −12x5 + 60x4 −160x3 + 240x2 −192x + 64 VT = 2x6 +120x4 + 480x 2 +128 ⇒ (*) ⇔ 120x4 + 480x2 = 0 ⇔ x = 0 Bài 7: Cho a, b, c là các số nguyên, CMR: (a + b)7 − a7 − b7 7 Lời giải (a + b)7 =a7 + 7a6b + 21a5b5 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7 ⇒ (a + b)7 − a7 − b7 = 7(a6b + 3a5b2 + 5a4b3 + 5a3b4 + 3a2b5 + ab6 )7 (dpcm) Bài 8: Chứng minh rằng: A= 16n −15n −1225 ∀n ∈ N Lời giải +) n = 0 ⇒ 160 −15.0 −1 = 0225 = 152 +) n =1 ⇒ A =0225 =152 +) n =2 ⇒ A =225225 =152 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

58 +) n ≥ 3 ⇒ 16n = (15 +1)n = Cn0.1n + Cn1.1n−1...Cnn +15n = (1+15n + BS (225) ⇒ (16n −15n −1) = BS (225)225∀n Bài 9: Chứng minh rằng: A= (n2 +1)2 − (n +1)n2 n3 ∀n ∈ N * Lời giải +) n = 1 ; n = 2 thì thỏa mãn +) n ≥ 3 ⇒ (n2 +1)n =(1+ n2 )n =Cn0.1n + Cn1.n2 + Cn2.n4 + ... + Cnn.n2n =1+ n3 + BS (n3 ) (1) Lại có: (1+ n)n2 =Cn02 + C1 .n + C2 .n 2 + ...C n2 =1 + n3 + n2 (n2 −1) .n2 + BS(n3) n2 n2 n2 2 =1 + n3 + n3 .  n(n2 −1)  + BS (n3 ) =1 + BS (n3 ) (2)  2    Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh. CHUYÊN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên Xét biểu thức A(x) +) Ta nói A(x) có giá trị lớn nhất là M, nếu A(x) ≤ M ∀x và có giá trị x0 sao cho A(x0 ) = M (Chỉ ra 1 giá trị là được) +) Ta nói A(x) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu A(x) ≥ m∀x và có giá trị x0 sao cho A(x0 ) = m (Chỉ ra 1 giá trị là được) Như vậy : a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần : - Chứng minh A ≥ k với k là hằng số - Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần : - Chứng minh A ≤ k với k là hằng số - Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

59 Ví dụ: Sai lầm A(x) = 2x2 − 2x + 3 = x2 + (x −1)2 + 2 ≥ 2 ⇒ GTNN = 2 ( Không chỉ ra được dấu = ) Đáp án đúng là : A(x) = 2  x − 1 2 + 5 ≥ 5 ⇒ GTNN = 5⇔x= 1  2  2 2 2 2 B. Các dạng toán Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai ax2 + bx + c Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2 Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A(x) = x2 − 4x + 24 b. B(x) = 2x2 − 8x +1 c. C(x)= 3x2 + x −1 Lời giải a. A(x) = x2 − 4x + 24 = (x − 2)2 + 20 ≥ 20∀x ⇒ min A(x) = 20 ⇔ x = 2 b. B(x) = 2x2 − 8x +1 = 2(x2 − 4x + 4) − 7 = 2(x − 2)2 − 7 ≥ −7 ⇒ minB = −7 ⇔ x = 2 c. C(x)= 3x2 + x −1= 3 x + 1 2 − 13 ≥ −13 ⇔ x= −1 6  12 12 6 Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau b. B(x) =−3x2 + x +1 a. A(x) =−5x2 − 4x +1 Lời giải a. A( x) =−5x2 − 4x +1 =−5  x2 + 4 x − 1  =−5  x + 2 2 + 9 ≤ 9 ⇔ x =−2  5 5   5  5 5 5 b. B(x) =−3x2 + x + 1 =−3  x − 1 2 + 13 ≤ 13 ⇔ x =1  6  12 12 6 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2 Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau b. B(x) =x4 −10x3 + 26x2 −10x + 30 a. A(x) = x4 − 6x3 +10x2 − 6x + 9 c. C(x) = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x + 2017 d. D(x) = x4 − x2 + 2x + 7 e. E(x) =x4 − 4x3 + 9x2 − 20x + 22 f. F (x) =x(x − 3)(x − 4)(x − 7) g. G(x) = (x −1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) − 2006 Lời giải a. A(x) = x4 − 6x3 +10x2 − 6x + 9 = (x4 − 6x3 + 9x2 ) + (x2 − 6x + 9) = (x2 − 3x)2 + (x − 3)2 ≥ 0∀x ⇒ min A( x) = 0 ⇔  x2 − 3x =0 ⇔ x = 3  x − 3 =0  Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

60 b. B(x) = x4 −10x3 + 26x2 −10x + 30 = (x2 − 5x)2 + (x − 5)2 + 5 ≥ 5 ⇔  x 2 − 5x =0 ⇔ x = 5  x − 5 =0  c. C(x) = x2 (x2 + 2) − 2x(x2 + 2) + (x2 + 2) + 2015 = (x2 + 2)(x −1)2 + 2015 ≥ 2015 ⇔ x = 1 d. D(x) =x4 − 2x2 +1+ x2 + 2x +1+ 5 =(x2 −1)2 + (x +1)2 + 5 ≥ 5 ⇔ x =−1 e. Ta có : E(x) = x4 − 4x3 + 9x2 − 20x + 22 = (x4 − 4x3 + 4x2 ) + 5(x2 − 4x + 4) + 2 = (x2 − 2x)2 + 5(x − 2)2 + 2 ≥ 2 ⇔ x = 2 f. F (x)= x(x − 3)(x − 4)(x − 7)= (x2 − 7x)(x2 − 7x +12)= y2 − 36 ≥ −36 ⇔ y = 0 ↔ x = 1  x = 6 g. G(x) = (x2 + 5x − 6)(x2 + 5x + 6) − 2006 = (x2 + 5x)2 − 2042 ≥ −2042 ⇔ x = 0  x = −5 Dạng 3 : Đa thức có từ 2 biến trở lên Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng F ( x; y) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + h (a.b.c ≠ 0)(1) ( )- Ta đưa dần các biến vào trong hằng đẳng thức a2 ± 2ab + b2 =(a ± b)2 như sau F ( x; y=) mK [x; y]2 + nG[ y]2 + r (2) hoặc F ( x; y=) mK [x; y]2 + nH [x]2 + r (3) Trong đó G [ y], H [x] là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K [x; y] = px + qy + k cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y Cụ thể: Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với a ≠ 0; 4ac − b2 ≠ 0 Ta có 4a.F ( x; y) = 4a2x2 + 4abxy + 4acy2 + 4adx + 4aey + 4ah = 4a2x2 + b2 y2 + d 2 + 4abxy + 4adx + 2bdy ( )4ac − b2 y2 + 2 y (2ae − bd ) + 4ah − d 2 ( )=  2ae − bd   2ae − bd 2 (2ax + by + d )2 + 4ac − b2  y + 4ac − b2  + 4ah − d 2 −  4ac − b2  Vậy có (2) với =1 ( x; y ) =2ax + + =− b2 − 4ac =y + 2ae − bd =h− d2 − (2ae − bd )2 4a 4a 4ac − b2 4a 4a 4ac − b2 ( )m .F by d; n ; G( y) ; r +) Nếu a > 0; 4ac − b2 > 0 ⇒ m > 0, n > 0 ⇒ (2) : F ( x; y) ≥ r (*) +) Nếu a < 0; 4ac − b2 > 0 ⇒ m < 0, n < 0 ⇒ (2) : F ( x; y) ≤ r (**) +) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất +) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

61 Trong cả hai trường hợp trên: - Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm - Nếu F ( x; y) ≥ r > 0 hoặc F ( x; y) ≤ r < 0 thì không có ( x; y) nào thảo mãn F(x; y) = 0 +) Nếu a > 0; 4ac − b2 < 0; r =0 ⇒ (2) : F ( x; y) phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải được các bài toán khác Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của a. A = x2 + 2 y2 − 2xy − 4 y + 5 b. B = 2x2 − 2 y2 + 5y2 + 5 Lời giải ( ) ( )a) Ta có A(x) = x2 + 2 y2 − 2xy − 4 y + 5 = x2 − 2xy + y2 + y2 − 4 y + 4 +1 =( x − y)2 + ( y − 2)2 +1 ⇒ A≥1 ∀x, y∈R⇒\"=\"⇔ x − y =0 ⇔ x= y =2  − 2 =0  y Vậy min A =1 ⇔ x = y =2 ( ) ( )b) B = 2x2 − 2 y2 + 5y2 + 5 = x2 − 4xy + 4 y2 + x2 + 2xy + y2 + y2 + 5 = ( x − 2 y)2 + ( x + y)2 + 5 ≥ 5 x − 2 y =0 x = y = 0  + ⇒  x y =0 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của a. A(x) = 2x2 + y2 − 2xy − 2x + 3 b. B(x) = x2 + xy + y2 − 3x − 3y c. C(x) = 2x2 + 3y2 + 4xy − 8x − 2 y +18 d. D(x)= 2x2 + 3y2 + 4z2 − 2(x + y + z) + 2 e. E(x) = 2x2 + 8xy +11y2 − 4x − 2 y + 6 f. F (x) = 2x2 + 6 y2 + 5z2 − 6xy + 8yz − 2xz + 2 y + 4z + 2 g. G(x) = 2x2 + 2 y2 + z2 + 2xy − 2xz − 2 yz − 2x − 4 y h. H (x) = x2 + y2 − xy − x + y +1 Lời giải a. Ta có : A(x) =2x2 + y2 − 2xy − 2x + 3 =(x2 − 2xy + y2 ) + (x2 − 2x +1) + 2 =(x − y)2 + (x −1)2 + 2 ≥ 2 ⇔ x =y =1 b. B(x) = (x2 − 2x +1) + ( y2 − 2 y +1) + x( y −1) − ( y −1) − 3 = (x −1)2 + ( y −1)2 + (x −1)( y −1) − 3 =(x −1)2 + 2(x −1). 1 .( y − 1) +  y −12 −  y −12 + ( y −1)2 − 3 =x −1+ y −12 − y2 −2y +1 + y2 −2y +1−3 2  2   2  2  4 =  x −1+ y −12 + 3( y −1)2 −3 ≥ −3 ⇔ x −1+ y −1 =0 ⇔ x =1 2  4 2  =1  y −1 =0  y c. C(x) = 2x2 + 4xy + 2 y2 + y2 − 8x − 2 y +18 = 2 (x + y)2 − 2(x + y)2 + 4 + ( y2 + 6 y + 9) +1 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

62 =2(x + y − 2)2 + ( y + 3)2 +1 ≥ 1 ⇒ min A =1 ⇔ y =−3; x =5 d. D(x)= 2x2 + 3y2 + 4z2 − 2(x + y + z) + 2= 2(x2 − x) + (3y2 − 2 y) + (4z2 − 2z) + 2 = 2  x2 − x + 1  + 3  y2 − 2 y + 1  + (2z)2 − 2z + 1  + 2 − 1 − 1 − 1  4   3 9  4  2 3 4 = 2  x − 1 2 + 3 y − 1 2 +  2z − 1 2 + 11 ≥ 11 ⇒ (x, y, z) =  1;1; 1   2  3   2  2 2  23 4  e. E(x)= 2(x2 + 4xy + 4 y2 ) + 3y2 − 4x − 2 y + 6= 2(x + 2 y)2 − 4(x + 2 y) + 2 + 3y2 + 6 y + 4 = 2( x + 2 y −1)2 + 3( y + 1)2 + 1 ≥ 1 ⇔ x + 2=y −1 0 ⇔=xy =3−1  +1 =0  y f. F (x) = 2x2 + 6 y2 + 5z2 − 6xy + 8yz − 2xz + 2 y + 4z + 2(kho) F ( x) = 2x2 − 2 x(3 y + z) + 2  3y + z 2 + 6 y2 + 5z2 + 8 yz −  3y + z 2 + 2 y + 4z + 2  2   2  = 2  x − 3y + z 2 + 3  y2 + 10 yz + 25 z2  + 1 z2 + 2y + 4z + 2  2  2  3 9  3 = 2  x − 3 y+ z 2 +  3  y + 5 z 2 + 2  y + 5 z  + 2  +  1 z 2 + 2 z + 1  +1  2   2  3   3  3   3 3 3     x − 3y + z =0  2 x  =1  3 y+ z  3  5 2 2 1  +5z+ 2  =1 =2  x− 2  + 2  y + 3 z + 3  + 3 (x + 1)2 +1 ≥ 1 ⇔  y 3 3 =0 ⇔  y = −1 ⇒ min A =1  +1 =0  z z  g. Ta có : G(x)= 2x2 + 2 y2 + z2 + 2xy − 2xz − 2 yz − 2x − 4 y= (x −1)2 + ( y − 2)2 + (x + y − z)2 − 5 ≥ −5 ⇔ x= 1; y= 2; z= 3 h.Ta có : H (x) = x2 + y2 − xy − x + y +1 ⇒ 4H (x) = (2x)2 − 2.2x.y + y2 + 3y2 − 4x + 4 y + 4 = (2x − y)2 − 2(2x − y) + 3y2 + 2 y + 3 +1= (2x − y −1) + 3( y2 + 2 y +1)= (2x − y −1) + 3( y + 1)2 + 8 ≥ 8 3 2 33 ⇒ min 4A = 8 ⇔ x = 2 ; y = −1 ⇒ min A = 2 3 33 3 Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau a. A =−4x2 − 5y 2 +8xy +10 y +12 b. −x2 − y 2 +xy + 2x + 2 y Lời giải Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

63 a. Ta có: A =−4x2 − 5y 2 +8xy +10 y +12 =−4x2 + 8xy − 4 y2 − y2 +10 y − 25 + 37 =−4(x − y)2 − ( y − 5)2 + 37 ≤ 37 ⇔  x = 5  y = 5  b. A =−x2 − y 2 +xy + 2x + 2 y ⇒ 4A =−4x2 − 4 y2 + 4xy + 8x + 8y A =−4x2 + 4x( y + 2) − ( y + 2)2 + ( y + 2)2 − 4 y2 + 8y =−(2x − y − 2)2 − 3( y2 − 4 y) + 4 =−(2x − y − 2)2 − 3( y − 2)2 +16 ≤ 16 ⇒ A ≤ 4 =⇔ 2yx−−2y=−02 =0 ⇔=xy 2 2 Bài 4: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A = 5x2 + 9 y 2 −12xy + 24x − 48y + 82 b. B = 3x2 + 3y 2 +z2 + 5xy − 3yz − 3xz − 2x − 2 y + 3 Lời giải a. A = 5x2 + 9 y 2 −12xy + 24x − 48y + 82 = 9 y2 −12 y(x + 4) + 4(x + 4)2 − 4(x + 4)2 + 5x2 + 24x + 82 = [3y − 2(x + 4)]2 + (x − 4)2 + 2 ≥ 2∀x, y ∈ R ⇔ x= 4; y= 16 3  3  2 3  y 4 2 2  2  4  3 3  3 b. B = z − (x + y) + x + − + ( y − 2)2 +1 ≥ 1 Bài 5: Tìm GTLN của A = x + y + z − (x2 + 2 y2 + 4z2 ) Lời giải −A = x − 1 2 + 2  y − 1 2 +  2z − 1 2 − −7 ≥ −7 ⇒ A ≤ 7 ⇔ x =1 ; y =1 ; z =1 2   4   4  16 16 16 2 4 8 Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ] . Tìm GTNN của A = x 2 +2 y2 + 2xy + 2x − 4 y + 2013 Lời giải A =x 2 +2 y2 + 2xy + 2x − 4 y + 2013 =x2 + 2x( y +1) + ( y +1)2 + ( y − 3)2 + 2003 ≥ 2003 ⇔ x =−4; y =3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm GTNN của: A =x2 − 2xy + 2 y2 + 2x −10 y +17 Hướng dẫn ( )A = 2x(y − 1) (y − 1)2  2 y 2 (y 1) 2  x2 − 2x y −1 + 2y2 − 10 y + 17 = x2 − + + − 10 y + 17 − −  ( )( )= x − y + 1 2 + y2 − 8y + 16 Bài 2: Tìm min của: B = x2 − xy + y2 − 2x − 2 y Hướng dẫn Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

64 ( )B = x2 − x y2  2 y + 2 + y2 + 4y + 4 y2 − − y2 −1 y+2 + − 2y =  x − 2.x. 2 4  + 2y 4 − y   ( )4B = x − y − 2 2 + 4y2 − 8y − y2 − 4y − 4 Bài 3: Tìm min của: C = x2 + xy + y2 − 3x − 3y Hướng dẫn ( )C = x2 + x y2 3y  x 2 y − 3 + y2 − 6y + 9 + y2 − 3y − y2 − 6y + 9 y−3 + − =  + 2.x. 2 4  4   ( )4C = x + y − 3 2 + 4y2 −12y − y2 + 6y − 9 Bài 4: Tìm min của: D = x2 − 2xy + 6 y2 −12x + 2 y + 45 Hướng dẫn ( )( ) ( ) ( )D = x2 − 2x y + 6 + 6y2 + 2y + 45 = x2 − 2x. y + 6 + y + 6 2 + 6y2 + 2y + 45 − y2 + 12y + 36 ( )= x − y − 6 2 + 5y2 − 10y + 9 Bài 5: Tìm min của: E = x2 − xy + 3y2 − 2x −10 y + 20 Hướng dẫn ( )E =x2 − x y − 2 + 3y2 −10y + 20 =x2 − 2x. y − 2 + y2 − 4y + 4 + 3y2 −10y + 20 − y2 − 4y + 4 24 4 ( ) ( ) ( )( ) ( )4E = x − y + 2 2 + 12y2 − 40y + 80 − y2 − 4y + 4 = x − y + 2 2 + 11y2 − 36y + 76 Bài 6: Tìm max của: F =−x2 + 2xy − 4 y2 + 2x +10 y − 3 Hướng dẫn ( )−F =x2 − 2xy + 4y2 − 2x −10y + 3 =x2 − 2x y + 1 + 4y2 −10y + 3 −F = x2 − 2x ( y + 1) + ( y + 1)2 + 4y2 −10y + 3 − ( y + 1)2 Bài 7: Tìm min của: G = ( x − ay)2 + 6( x − ay) + x2 +16 y2 − 8ay + 2x − 8y +10 Hướng dẫn ( )G = ( x − ay)2 + 6( x − ay) + 9 + x2 + 2x + 1 + 16y2 − 8ay − 8y G =( x − ay + 3)2 + ( x + 1)2 + 16y2 − 8y (a + 1) + (a + 1)2 − (a + 1)2 G= ( x − ay + 3)2 + ( x + 1)2 + (4y − a −1)2 − (a + 1)2 ≥ − (a + 1)2 Bài 8: Tìm max của: H =−x2 + xy − y2 − 2x + 4 y +11 Hướng dẫn Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

65 ( )−H = x2 − xy + y2 + 2x − 4y −11 = x2 − x y − 2 + y2 − 4y −11 ( )−H = x2 − 2x. y − 2 + y2 − 4y + 4 + y2 − 4y − 11 − y − 2 2 24 4 ( ) ( )⇒ −4H = x − y + 2 2 + 4y2 −16y − 44 − y2 − 4y + 4 Bài 9: Tìm min của: I = x2 + 4xy + 5y2 − 6 y +11 Hướng dẫn ( )I = x2 + 4xy + 4y2 + y2 − 6y + 11 Bài 10: Tìm min của: K = x2 + y2 − xy + 3x + 3y + 20 Hướng dẫn ( ) ( ) ( )4K 4y2  2 2  y2 2 = 4x2 + − 4xy + 12x + 12y + 80 =  4 x − 4x y−3 + y − 3  +  4 + 12y + 80 − y − 3  ( )4K= 2x − y + 3 2 + 3y2 + 18y + 71 Bài 11: Tìm min của: M = x2 − 2xy + 2 y2 − 2 y +1 Hướng dẫn ( ) ( )M = x2 − 2xy + y2 + y2 − 2y +1 Bài 12: Tìm min của: N =x2 − 2xy + 2 y2 − x Hướng dẫn ( ) ( ) ( )N = x2 − x 2y + 1 + 2y2 = x2 − 2x. 2y + 1 + 2y + 1 2 + 2y2 − 2y + 1 2 24 4 ( )( )4N = x − 2y −1 2 + 8y2 − 4y2 + 4y + 1 Bài 13: Tìm min của: A = x2 − 2xy + 3y2 − 2x + 1997 Hướng dẫn ( )( ) ( ) ( )A =x2 − 2x y + 1 + 3y2 + 1997 =x2 − 2x y −1 + y −1 2 + 3y2 + 1997 − y2 + 2y + 1 Bài 14: Tìm min của: Q = x2 + 2 y2 − 2xy + 2x −10 y Hướng dẫn ( )( ) ( ) ( )Q = x2 − 2x y −1 + 2y2 −10y = x2 − 2x y −1 + y −1 2 + 2y2 −10y − y2 − 2y + 1 Bài 15: Tìm min của: R =x2 + 2 y2 + 2xy − 2 y Hướng dẫn ( ) ( )R = x2 + 2y2 + 2xy − 2y = x2 + 2xy + y2 + y2 − 2y + 1 − 1= x + y 2 + y − 1 2 − 1 ≥ −1 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

66 Bài 16: Tìm min của: A = 4x2 + 5y2 − 4xy −16 y + 32 Hướng dẫn ( ) ( )A = 4x2 + 5y2 − 4xy −16y + 32 = 4x2 − 4xy + y2 + 4y2 −16y + 32 Bài 17: Tìm min của: B =x2 + 5y2 + 5z2 − 4xy − 4 yz − 4z +12 Hướng dẫn ( ) ( ) ( )B = x2 − 4xy + 4y2 + y2 − 4yz + 4z2 + z2 − 4z + 4 + 8 = (x − 2y)2 + (y − 2z)2 + (z − 2)2 + 8 ≥ 8 Bài 18: Tìm min của: C = 5x2 −12xy + 9 y2 − 4x + 4 Hướng dẫn ( ) ( ) ( ) ( )C = 4x2 − 2.2x.3y + 9y2 + x2 − 4x + 4 = 2x − 3y 2 + x − 2 2 ≥ 0 Bài 19: Tìm max của: D =−x2 − y2 + xy + 2x + 2 y Hướng dẫn ( )−D = x2 + y2 − xy − 2x − 2y = x2 − x y + 2 + y2 − 2y ( )−D = x2 − 2x. y + 2 + y + 2 2 + y2 − 2y − y2 + 4y + 4 24 4 Bài 20: Tìm min của: E = x2 + 5y2 − 4xy + 2 y − 3 Hướng dẫn ( ) ( )E= x2 − 4xy + 4y2 + y2 + 2y + 1 − 4= x − 2y 2 + y + 1 2 − 4 ≥ −4 Bài 21: Tìm GTNN của A = a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3 Hướng dẫn ( )Ta có: 4P = a2 − 2ab + b2 + 3 a2 + b2 + 4 + 2ab − 4a − 4b = (a − b)2 + 3(a + b − 2)2 ≥ 0 Bài 22: Tìm min của: G = x2 + xy + y2 − 3( x + y) + 3 Hướng dẫn 4G = 4x2 + 4xy + 4y2 − 12x − 12y + 12 ( ) ( )( ) ( )4G = 4x2 + 4x y − 3 + y − 3 2 + 4y2 −12y + 12 − y2 − 6y + 9 4G= ( )2x + y − 3 2 + 3y2 − 6y + 3= (2x + y − 3)2 + 3( y −1)2 ≥ 0 Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 + 4 y2 + z2 − 2x + 8y − 6z +15 =0 Hướng dẫn Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

67 ( ) ( ) ( )x2 − 2x +1 + 4y2 + 8y + 4 + z2 − 6z + 9 +1 ≥ 1 Bài 24: Tìm min của: A = 2x2 + y2 − 2xy − 2x + 3 Hướng dẫn ( ) ( )A = x2 − 2xy + y2 + x2 − 2x + 1 + 2 = x − y 2 + x − 1 2 + 2 ≥ 2 Bài 25: Tìm min của: B =x2 − 2xy + 2 y2 + 2x −10 y +17 Hướng dẫn ( ) ( )( ) ( ) ( )B = x2 − 2x y −1 + y −1 2 + 2y2 −10y + 17 − y2 − 2y + 1 = x − y + 1 2 + y2 − 8y + 16 Bài 26: Tìm min của: D = 2x2 + 2xy + 5y2 − 8x − 22 y Hướng dẫn ( )2D =4x2 + 4xy + 10y2 −16x − 44y =4x2 + 4x y − 4 + 10y2 − 44y ( ) ( )2D = 4x2 + 2.2x y − 4 + y − 4 2 + 10y2 − 44y − y2 + 8y −16 Bài 27: Tìm min của: E = 2x2 + 9 y2 − 6xy − 6x −12 y + 2004 Hướng dẫn 2E = 4x2 + 18y2 − 12xy − 12x − 24y + 4008 ( )( ) ( )2E= 4x2 −12x y + 1 + 9 y + 1 2 + 18y2 − 24y + 4008 − 9 y2 + 2y + 1 ( )2E= 2x − y − 1 2 + 9y2 − 42y + 3999 Bài 28: Tìm min của: F =x2 − 2xy + 6 y2 −12x +12 y + 45 Hướng dẫn ( )( ) ( ) ( )F =x2 − 2x y + 6 + y + 6 2 + 6y2 + 12y + 45 − y2 + 12y + 36 = x − y − 6 2 + 5y2 + 9 ≥ 9 Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3 Hướng dẫn P =a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3 => 4P =(a − b)2 + 3(a + b − 2)2 ≥ 0 Bài 30: Tìm min của: A =x2 + 6 y2 +14z2 − 8yz + 6zx − 4xy Hướng dẫn ( )A =x2 − 2x 2y + 3z + 6y2 −14z2 ( ) ( ) ( )⇒ A = x2 − 2x 2y + 3z + 2y + 3z 2 + 6y2 −14z2 − 4y2 +12yz + 9z2 ( )⇒ A = x − 2y − 3z 2 + 2y2 −12yz − 23z2 Bài 31: Tìm min của: B = x2 + 2 y2 + 3z2 − 2xy + 2xz − 2x − 2 y − 8z + 2000 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

68 Hướng dẫn ( )B = x2 − 2x y − z + 1 + 2y2 + 3z2 − 2y − 8z + 2000 ( )( ) ( )= x2 − 2x y − z + 1 + y − z + 1 2 + 2y2 + 3z2 − 2y − 2z + 2000 − y2 + z2 + 1 − 2yz − 2z + 2y ( )( )= x − y + z −1 2 + y2 + 2z2 − 4y + 2yz + 1999 ( )=( 1)2  y2 ( 2) ( 2)2  2z2 x − y + z − +  − 2y z + + z +  + − z2 + 4z + 4 + 1999 ( )= ( x − y + z −1)2 + ( y − z − 2)2 + z2 − 4z + 1995 Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến Phương pháp : - Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức. - Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế. - Sử dụng thêm một số bất đẳng thức phụ : + a + b ≥ 2 ab ( Dấu = khi a = b, với a, b không âm) + a2 + b2 ≥ 2ab ( Dấu “=” khi a = b) + a + 1 ≥ 2 ( Dấu “=” khi a = 1) a Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A = x3 + y3 + xy; x + y = 1 b. B= 5x2 + y2; x + y= 1 c. C = x2 + 2 y2; x + 2 y =1 d. D = 2x 2 +5y2; 4x − 3y = 7 Lời giải a. A = (x + y)(x2 − xy + y2 ) + xy = x2 + y2 Có : x + y =1⇒ x =1− y ⇒ A = (1 − y)2 + y2 = 2y2 − 2y +1 = 2  y2 − 1 y.2 + 1 − 1  +1 = 2  y − 1 2 + 1 ≥ 1  2 4 4   2  2 2 Dấu bằng xảy ra=x 1=; y 1 22 b. Có x + y =1 ⇒ y =1 − x ⇒ B =5x2 + (1 − x)2 =6x2 − 2x +1 =6  x2 − 1 x + 1  =6  x − 1 2 + 5 ≥ 5 ⇔ x =1 ; y =5  3 6   6  6 6 6 6 c. C = x2 + 2 y2 = 6 y2 − 4 y +1 ⇒ min C = 1 ⇔ y = x = 1 33 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

69 d. Ta có : 4x − 3y = 7 ⇒ y = 4x − 7 ⇒ D = 2x2 + 5( 4x − 7)2 ⇒ 9D =98x2 − 280x + 245 = 2(7x −10)2 + 45 ≥ 45 33 ⇒ min D = 5 ⇔ x = 10 ; y = −3 77 Bài 2: [ HSG – BG – 2011 ] Cho a + b = 1. Tìm GTNN của A = a(a2 + 2b) + b(b2 − a) Lời giải Có a + b = 1 ⇒ b = 1− a ⇒ A = a(a2 + 2b) + b(b2 − a) = a3 + 2ab + b3 − ab = a3 + b3 + ab = a3 + (1− a)3 + a(1− a) = 2a2 − 2a +1 = 2  a2 − a + 1  = 2  a − 1 2 + 1 ≥ 1 ∀a ⇔ a = b= 1  2   2  2 2 2 Bài 3: [ HSG – HN – 2006 - 2007 ] Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + y = 2. Tìm GTNN của A = x3 + y3 + 2xy Lời giải A = x3 + y3 + 2xy = (x + y)3 − 3xy(x + y) + 2xy Theo giả thiết x + y= 2 ⇒ y= 2 − x ⇒ A= 23 − 6x(2 − x) + 2x(2 − x)= 4x2 − 8x + 8= 4(x −1)2 + 4 ≥ 4∀∈ R ⇔ x= y= 1 Bài 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn : x + y + 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = 2(x3 + y3) + 3(x2 + y2 ) +10xy Lời giải Ta có : A = 2(x3 + y3) + 3(x2 + y2 ) +10xy = 2(x + y)3 − 6xy(x + y) + 3(x + y)2 − 6xy +10xy =28xy − 80 =28x(−4 − x) − 80 =−28(x2 + 4x + 4) + 32 ⇒ A =−28(x + 2)2 + 32 ≤ 32 ⇔ x =−2 ⇒ y =−2 Bài 5: [ HSG – HN – 1996 - 1997 ] Cho các số thực x, y thỏa mãn: x2 + y2 − xy =4 . Tìm GTLN, GTNN của P= x2 + y2 Lời giải Ta có: x2 + y2 − xy = 4 ⇒ 8 = x2 + y2 + x2 + y2 − 2xy = x2 + y2 + (x − y)2 ≥ x2 + y2 ⇒ P ≤ 8 ⇔ x − y =0   x2 + y2 − xy =4 ⇔ x =y =±2 Vậy GTLN của P = -2 ⇔  x= y= 2 x = y= −2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

70 Mặt khác: 8= 2(x2 + y2 ) − 2xy = 3( x 2 + y2 ) − (x − y)2 ≤ 3( x 2 + y2 ) ⇒ P ≥ 8 ⇔ x + y =0 ⇔  x =− y =2 3  =4  =− y 3  x 2 + y 2 − xy x =−2  3 Vậy GTNN của P = 8 = x =2 ; y −2 ⇔ 3 3 3 =x −=2 ; y 2 3 3 Bài 6: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: 2x + 2 y + z =4 . Tìm GTLN của biểu thức A = 2xy + yz + zx Lời giải Từ giả thiết: 2x + 2 y + z =4 ⇒ z =4 − 2x − 2 y ⇒ A =2xy + y(4 − 2x − 2 y) + x(4 − 2x − 2 y) =−2x2 − 2 y2 − 2xy + 4x + 4 y ⇒ 2A =−4x2 − 4 y2 − 4xy + 8x + 8y =−4x2 − 4x( y + 2) − ( y − 2)2 + ( y − 2)2 − 4 y2 + 8y =−(2x + y − 2) − 3 y2 − 4 y  + 4 =−(2x + y − 2) − 3  y − 2 2 + 16 ≤ 16 ⇒ A ≤ 16 ⇔  x = 2 ⇒ z =4 3   3  3 3 3  = 3 3  2  y 3 Bài 7: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 6. Tìm GTLN của A =xy + 2 yz + 3xz Lời giải Từ giả thiết ⇒ z = 6 − x − y ⇒ A = xy + z(2 y + 3x) = xy + (6 − x − y)(2 y + 3x) = −3x2 − 2 y2 − 4xy +18x +12 y ⇒ 3A =−9x2 − 6 y 2 −12xy + 54x + 36 y =−9x2 − 6x(2 y − 9) − 6 y 2 +36 y =−(3x + 2 y − 9)2 − 2 y2 + 81 ≤ 81 ⇒=A ≤ 27 ⇔ 3yx +02==y − 9 0 ⇔=xy 3 ⇒ z =3 0 Bài 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2 y2 +10 =0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x + y + 3 Lời giải Từ giả thiết x2 + 2xy + 7(x + y) + 2 y2 +10 =0 ⇒ 4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 =0 ⇔ (2x + 2 y + 7)2 + 4 y2 =9 ⇒ (2x + 2 y + 7)2 ≤ 9 ⇒ 2x + 2 y + 7 ≤ 3 ⇒ −3 ≤ 2x + 2 y + 7 ≤ 3 ⇔ −5 ≤ x + y ≤ −2 ⇔ −2 ≤ A ≤ 1 +) A =1 ⇔ x =−2; y =0 +) A =−2 ⇔ x =−5; y =0 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

71 Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của =S ab + 2009 , với a, b, là hai số thực khác 0 và 2a2 + b2 + 1 =4 4 a2 Lời giải Ta có: 4= a2 + 1 − 2+ a2 + b2 − ab + ab −2 =  a − 1 2 +  a − b 2 + ab + a ≥ ab + 2 ⇒ ab ≤ 2 ⇒ S ≤ 2011 ⇔ a − 1 =0 a2 4  a   2   − a =0 a b 2 ⇔ a =−1;b =−2 =a 1;=b 2 Ta lại có: 4=  a − 1 2 +  a + b 2 − ab + 2 ≥ −ab + 2 ⇒ ab ≥ −2 ⇒ S ≥ 2007 ⇔ a − 1 =0 a = 1;b = −2  a   2   + a ⇔ a =−1; b =2 a b 2 =0 Vậy GTNN của S = 2007 ⇔ (a,b) =(±1; ±2) Bài 10: [ Tuyển sinh vào 10 – TH – 2009 – 2010 ] Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: n2 + np + p2 =1− 3m2 . Tìm GTNN, GTLN của 2 A= m+n+ p Lời giải Theo giả thiết có: n2 + np + p2 =1− 3m2 2 ⇔ 2n2 + 2np + 2 p2 + 3m2 =2 ⇔ m2 + n2 + p2 + 2mn + 2np + 2mp + m2 − 2mn + n2 + m2 − 2np + p2 =2 ⇔ (m + n + p)2 + (m − n)2 + (m − p)2 =2 ⇒ (m + n + p)2 ≤ 2 ⇒ − 2 ≤ m + n + p ≤ 2 ⇒ − 2 ≤ m + n + p ≤ 2 m − n =0  ⇔ m =n =p =− 2 +) A =− 2 ⇔ m − p =0 3 m + n + p =− 2 m − n =0  2 +) A = 2 ⇔ m − p = 0 ⇔m=n= p= 3 m + n + p =2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

72 Bài 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : x2 + y2 + z2 =3 . Tìm GTLN, GTNN A = x + y + 2z Lời giải Từ x2 + y2 + z2 = 3 ⇔ 6x2 + 6 y2 + 6z2 =18 ⇔ (x + y + 2z)2 + (x − y)2 + (2x − z)2 + (2 y − z)2 =18 ⇒ x + y + 2z ≤ 18 ⇒ −3 2 ≤ A ≤ 3 2 x − y =0  −2 2x − z =0  2 +) A =−3 2 ⇔ 2 y − z =0 ⇔  x= y=  z= − 2 x + y + 2z =0 +) A = 3 2 ⇔ x = y = 2 ; z = 2 (1) 2 Bài 12: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn : 2m2 + 2n 2 +4 p2 + 3mn + mp + 2np =3 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = m + n + p Lời giải (1) ⇔ 4m2 + 4n2 + 8 p2 + 6mn + 2mp + 4np =3 ⇔ 3(m2 + n2 + p2 + 2mn + 2np + 2 pm) + (m2 − 4mp + 4 p2 ) + (n2 − 2np + p2 ) =3 ⇔ 3(m + n + p)2 + (m − 2 p)2 + (n − p)2 =3 ⇒ 3(m + n + p)2 ≤ 3 ⇒ −1 ≤ m + n + p ≤ 1 m − 2 p =0 =−1; n =p =−1 n − p =0 2 4 +) A =−1 ⇔ m + n + p ⇔ m =−1 m − 2 p =0 n − p =0 m =1 ;n =p =1 +) A =1 ⇔ m + n + p ⇔ 2 4 =1 Bài 13: Cho x + y = z = 3 ; A = x2 + y2 + z2; B = xy + yz + zx a. Chứng minh A ≥ B b. Tìm GTNN của A c. Tìm GTLN của B d. Tìm GTNN của A + B Lời giải a. Xét A−B = 1 ( x − y)2 + (x − z)2 + ( y − z)2  ≥ 0 ⇒ A≥ B ⇔ x= y= z 2 b. Ta có : (x + y + z)2 =9 ⇔  x 2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) =0 9 =x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx) ≤ 3( x 2 + y2 + z2)  + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx ⇒  x2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

73 ⇔ 9 ≤ 3A ⇒ A ≥ 3 ⇔ x = y = z = 1 c. 9 =(x2 + y 2 + z2 ) + 2(xy + yz + zx) ≥ 3(xy + yz + zx) =3B ⇒ B ≤ 3 ⇔ x =y =z =1 d. Có: A+ 2B =9 A+ B =9−B ≥6 ⇔ x = y =z =1 B ≤ 3 ⇒ Bài 14: Cho a,b, c ∈[−1; 2] thỏa mãn: a + b + c =0 . Tìm GTLN của P = a2 + b2 + c2 Lời giải Với x ∈[−1, 2] , ta có: x ≥ −1; x ≤ 2 ⇒ (x +1)(x − 2) ≤ 0 ⇒ x2 − x − 2 ≤ 0 ⇔ x2 ≤ x + 2 Áp dụng : P =a2 + b2 + c2 ≤ a + 2 + b + 2 + c + 2 =a + b + c + 6 =6 ⇒ (a,b, c) =(−1, −1, 2) ⇒ GTLN =6 Bài 15: Cho a,b, c ∈[−1; 2] thỏa mãn a + b + c =1. Tìm GTLN của P = a2 + b2 + c2 Lời giải Ta có : (a +1)(b +1)(c +1) ≥ 0 ⇒ abc + ab + bc + ca + a + b + c +1 ≥ 0 (2 − a)(2 − b)(2 − c) ≥ 0 ⇒ 8 − 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) − abc ≥ 0 ⇒ 3(ab + bc + ca) + 9 − 3(a + b + c) ≥ 0 ⇔ 3(ab + bc + ca) ≥ −6 ⇔ ab + bc + ca ≥ −2 ⇒ P =(a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) =1− 2(ab + bc + ca) ≤ 5 Dấu ‘ = ’’ xảy ra ⇔ (a,b, c) =(−1, 0, 2) ⇒ maxP=5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm min của:=A 3x2 + y2 biết 3x + y =1 Hướng dẫn Từ 3x + y =1 => y =1− 3x ⇒ A =3x2 + (1− 3x)2 = 12x2 − 6x2 +1 Bài 2: Tìm min của: A = xy biết 3x + y =1 Hướng dẫn Ta có 3x + y =1 ⇒ y =1− 3x => A =x (1− 3x) =−3x2 + x Bài 3: Tìm min của: A = a3 − b3 − ab biết: a – b =1 Hướng dẫn Ta có: a =b +1 => A =(b +1)3 − b3 − (b +1)b = 2b2 + 2b +1 Bài 4: Tìm max của: B = a.b biết: 3a + 5b =12 Hướng dẫn Từ giả thiết ta có: a = 12 − 5b , thay và=o B b  12 −3=5b  −5 b2 + 12 b 3  33 Bài 5: Tìm min của: C = x3 + y3 + xy biết: x + y =1 Hướng dẫn Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

74 Từ giả thiết => y = 1− x thay vào C ta được: C = x3 + (1− x)3 + xy = 2x2 − 2x +1 Bài 6: Tìm min của: D= x2 + 2 y2 biết: x + 2 y =1 Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra x= 1− 2 y thay vào D =(1− 2 y)2 + 2 y2 Bài 7: Tìm min của:=E 2x2 + 5y2 biết: 4x − 3y =7 Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra y = 4x − 7 thay vào E và làm tiếp 3 Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P =1 − 1  1 − 1 a  b  Hướng dẫn Ta có: P =1 −  1 + 1  + 1 =1 − a+b + 1 =1 − 4 + 1 =1 − 3  a b  ab ab ab ab ab ab Do a,b > 0 => a + b =4 ≥ 2 ab => ab ≤ 4 =2 => ab ≤ 4 2 Khi đó: 3 ≥ 3 => 1 − 3 ≤1− 3 =1 , dấu = xày ra khi a + b =4 <=> a = b = 2 ab 4 ab 4 4 a = b Bài 9: Tìm min của: F = 1 + 1 2 + 1 + 1 2 , biết: a + b = 1 và a,b > 0 a  b  Hướng dẫn Cách 1: Ta có: 1 + a + b 2 + 1+ a + b 2 =  2 + b 2 +  2 + a 2 = 8 + 4  a + b  +  a2 + b2  a  b   a   b   b a   b2 a2    ≥ 8 + 4.2 + 2 =18 Cách 2: Ta có: F =1 + 2 + 1  + 1 + 2 + 1  =2 + 2  1 + 1  +  1 + 1  =2 + 2  a+b  +  a2 + b2  a a2  b b2   a b   a2 b2   ab   a2b2    F =2 + 2 + a2 + b2 (1) ab a2b2 Mà a + b =1 => a2 + b2 =1 − 2ab thay vào (1) ta được: F =2 + 2 + 1 − 2ab =2 + 1 ab a2b2 a2b2 Lại có: a + b =1 ≥ 2 ab => ab ≤ 1 => ab ≤ 1 => a2b2 ≤ 1 24 16 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

75 => a21b2 ≥ 16 => F =2 + 1 ≥ 2 + 16 =18 a2b2 Dấu = khi và chỉ khi a + b =1 <=> a = b = 1 a = b 2 Bài 10: Cho x, y thỏa mãn: 2x2 + 1 + y2 =4 , tìm Max của: A= x.y x2 4 Hướng dẫn Từ giả thiết ta có : 4 =  x2 + 1 − 2  +  x2 + y2 − xy  + xy + 2 => 4 =  x − 1 2 +  x − y 2 + xy +2  x2   4   x   2    => xy + 2 ≤ 4 => xy ≤ 2 Bài 11: Cho hai số thực a,b ≠ 0, thỏa mãn: 2a2 + b2 + 1 =4 , Tìm min, max của: 4 a2 =S ab + 2017 Hướng dẫn Từ giả thiết ta có : 4 =  a 2 + 1 − 2  +  a2 + b2 − ab  + ab + 2 =  a − 1 2 +  a − b 2 + ab + 2  a2   4   a   2    => ab + 2 ≤ 4 => ab + 2017 ≤ 2019 => S ≤ 2019 Mặt khác : 4 =  a 2 + 1 − 2  +  a 2 + b2 + ab  − ab + 2 =  a − 1 2 +  a − b 2 − ab + 2  a2   4   a   2    => −ab + 2 ≤ 4 => ab ≥ −2 => ab + 2017 ≥ 2015 => S ≥ 2015 Bài 12: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: x2 + 8 + y2 =8 , Tìm min, max của: A= xy + 2024 x2 8 Hướng dẫn Từ gt ta có : 8 =x2 + 8 + y2 => 16 =2x2 + 16 + y2 = x2 + 16 − 8  +  x2 + y2 + xy  − xy + 8 x2 8 x2 4 x2   4    => 8 = x − 4 2 +  x + y 2 − xy +8 => − xy + 8 ≤ 16 => xy ≥ −8 => A =xy + 2024 ≥ 2016 x   2  Mặt khác : 16 =  x2 + 16 − 8  +  x 2 + y2 − xy  + xy + 8 =  x − 4 2 +  x − y 2 + xy −8  x2   4   x   2    => xy − 8 ≤ 16 => xy ≤ 8 => S =xy + 2024 ≤ 2032 Bài 13: Cho x, y ∈R khác 0 biết: 8x2 + y2 +1 =4 , Tìm x, y để B= x.y đạt min và đạt max 4x2 Hướng dẫn Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

76 ( )Ta có : 4 = 1  2 1 2 + 8x2 + y2 + 4x2 =  4 x + 4x2 − 4x2 + y2 − 4xy + 4xy + 2 4 =  2x − 1 2 + (2x − y )2 + 4xy + 2 => 4xy + 2 ≤ 4 => B =xy ≤ 1  2x  2 Mặt khác : 4 = 2x − 1 2 +(2x + y )2 − 4xy + 2 => −4xy + 2 ≤ 4 => B =xy ≥ −1 2x  2 ( )( )Bài 14: Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1, Tìm min của: A = 4x2 + 3y 4 y2 + 3x + 25xy Hướng dẫn ( )Ta có : A= 16(xy)2 +12x3 +12 y3 + 9xy + 25xy= 6x2 y2 +12 x3 + y3 + 34xy ( )Vì x + y = 1 nên x3 + y3 = ( x + y) x2 − xy + y2 = ( x + y)2 − 3xy = 1− 3xy , thay vào A A= 6x2 y2 +12(1− 3xy) + 34xy , Đặt xy = t khi đó: A = 6t2 − 2t +12 Bài 15: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y =1Tìm min của biểu thức: ( )( )C = x2 + 4y y2 + 4x + 8xy Hướng dẫn ( )( ) ( )Ta có : C = x2 + 4y y2 + 4x + 8xy = x2y2 + 4x3 + 4y3 + 16xy + 8xy = x2y2 + 4 x3 + y3 + 24xy Do x + y =1 => x3 + y3 =( x + y)3 − 3xy ( x + y) =1 − 3xy Thay vào C ta được : ( ) ( ) ( )=C x2y2 + 4 1 − 3xy + 24=xy x2y2 + 12xy +=4 x2y2 + 2xy.6 + 36 −=32 xy + 6 2 − 32 ≥ −32 MinC = −32 , Dấu = xảy ra khi và chỉ khi  xx=y+=y−61 =>=yx =−32 hoặc x = −2     y = 3 Bài 16: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x + 2y = 3 tìm min của: A= x2 + 2 y2 Hướng dẫn Từ gt ta có: x= 3 − 2 y thay vào A =(3 − 2 y)2 + 2 y2 =6 y2 −12 y + 9 Bài 17: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x2 + y2 − xy =4 , Tìm min và max của: A= x2 + y2 Hướng dẫn Ta có : x2 + y2 − xy =4 => 2x2 + 2 y2 − 2xy =8 => ( x − y)2 + x2 + y2 =8 ⇒ x2 + y2 ≤ 8 hay A ≤ 8 Mặt khác : 8 =2x2 + 2 y2 − 2xy => 2x2 + 2 y2 =8 + 2xy => 3x2 + 3y2 =8 + ( x + y)2 ≥ 8 => x2 + y2 ≥ 8 3 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

77 Hay A ≥ 8 3 Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: A = x3 + y3 + 2xy Hướng dẫn Từ gt ta có : y= 2 − x thay vào A ta được : A = x3 + (2 − x)3 + 2x (2 − x) Bài 19: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + y + 4 =0 , Tìm max của: ( ) ( )A = 2 x3 + y3 + 3 x2 + y2 +10xy Hướng dẫn Ta có: x + y =−4 , nên x3 + y3 =( x + y)3 − 3xy ( x + y) =−64 +12xy , x2 + y2 =( x + y)2 − 2xy =16 − 2xy thay vào A = 2(−64 +12xy) + 3(16 − 2xy) +10xy Bài 20: Cho x, y, z ∈ R, thỏa mãn: 2x + 2 y + z =4 , tìm max của: A = 2xy + yz + zx Hướng dẫn Từ giả thiết ⇒ z = 4 − 2x − 2 y thay vào A ta được : A =2xy + y (4 − 2x − 2 y) + x (4 − 2x − 2 y) =−2x2 − 2 y2 − 2xy + 4x + 4 y Bài 21: Cho x, y, z ∈ R thỏa mãn: x + y + z =6 . Tìm max của: A =xy + 2 yz + 3zx Hướng dẫn Từ gt => z = 6 − x − y thay vào A = xy + 2 y (6 − x − y) + 3x (6 − x − y) Bài 22: Cho x,y ∈ R thỏa mãn: x2 + 2xy + 7 ( x + y) + 2 y2 +10 =0 . Tìm min và max của: S = x+ y+3 Hướng dẫn Từ gt ta có: x2 + 2xy + 7x + 7 y + 2 y2 +10 =0 ⇒ x2 + 2x  2 y+ 7  + (2y + 7)2 + 2y2 + 7 y +10 − (2 y + 7)2 =0 ⇒  x + y+ 7 2 + y2 − 9 =0  2  4  2  4 4 ⇒ − 3 ≤ x + y + 7 ≤ 3 => −5 ≤ x + y ≤ −2 ⇒ −2 ≤ x + y + 3 ≤ 1 2 22 Bài 23: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: n2 + np + p2 =1− 3m2 . Tìm min, max của: 2 A= m+n+ p Hướng dẫn Từ gt ta có : 2n2 + 2np + 2 p2 =2 − 3m2 => 3m2 + 2n2 + 2 p2 + 2np =2 ( )=> (m2 + n2 + p2 + 2mn + 2np + 2mp) + 2m2 + n2 + p2 − 2mn − 2mp =2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

78 => (m + n + p)2 + (m − p)2 + (m − n)2 ≤ 2 => − 2 ≤ m + n + p ≤ 2 Bài 24: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 + z2 =3 , Tìm min, max của: P = x + y + 2z Hướng dẫn Ta có : P2 =( x + y + 2z )2 =x2 + y2 + 4z2 + 2xy + 4 yz + 4xz , nên ta nhân 6 vào gt : ( ) ( )18 = 6x2 + 6 y2 + 6z2 = x2 + y2 + 4z2 + 2xy + 4 yz + 4zx + 5x2 + 5y2 + 2z2 − 2xy − 4 yz − 4zx 18 = ( x + y + 2z )2 + ( x − y)2 + (2x − z)2 + (2 y − z)2 => ( x + y + 2z)2 ≤ 18 − 18 ≤ x + y + 2z ≤ 18 Bài 25: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2m2 + 2n2 + 4 p2 + 3mn + mp + 2np =3 , 2 Tìm min max của: B = m + n + p Hướng dẫn Từ gt ta có : 4m2 + 4n2 + 8 p2 + 6mn + 2mp + 4np =3 ( ) ( )=> 3 m2 + n2 + p2 + 2mn + 2mp + 2np + m2 + n2 + 5 p2 − 4mp − 2np =3 => 3(m + n + p)2 + (2 p − m)2 + (n − p)2 =3 => 3(m + n + p)2 ≤ 3 => −1 ≤ m + n + p ≤ 1 Bài 26: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z =3, Tìm min max của: A = xy + yz + zx Hướng dẫn Từ gt => z = 3 − x − y thay vào A = xy + y (3 − x − y) + x (3 − x − y) = x2 − y2 − xy + 3x + 3y Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3, Tìm min max của: B =−xy + 3yz + 4zx Hướng dẫn Từ gt ta có: z = 3 − x − y => B =−xy + 3y (3 − x − y) + 4x (3 − x − y) ⇒ B =−4x2 − 3y2 −16xy + 9 y +12x Bài 28: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x + 3y − z =4 , Tìm min max của A =−xy + yz + zx Hướng dẫn Từ gt => z = 2x + 3y − 4 thay vào A =−xy + y (2x + 3y − 4) + x (2x + 3y − 4) Bài 29: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x + 3y − z =4 , Tìm min max của: B = 12xy − 3yz − 4zx Hướng dẫn Từ gt ta có : z = 2x + 3y − 4 thay vào B= 12xy − 3y (2x + 3y − 4) − 4x (2x + 3y − 4) ( )Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y =−2 , tìm min của: A = 2 x3 + y3 −15xy + 7 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

79 Hướng dẫn Từ x + y = -2, ta có: x3 + y3 =( x + y)3 − 3xy ( x + y) =−8 + 6xy thay vào A =2(−8 + 6xy) −15xy + 7 =−3xy − 9 và y = - 2 - x thay vào A =−3x (−2 − x) − 9 Bài 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x + y =−2 , Tìm min của ( )B = x4 + y4 − x3 − y3 + 2x2 y2 + 2xy x2 + y2 +13xy Hướng dẫn ( )B = x4 + y4 − x3 − y3 + 2x2 y2 + 2xy x2 + y2 +13xy Từ x + y = - 2, ta có: x4 + y4 = ( x + y )2 − 2xy 2 − 2x2 y2 =(4 − 2xy)2 − 2x2 y2  x3 + y3 = 6xy − 8 , x2 + y2 =4 − 2xy , Thay vào b ta được : B = (4 − 2xy)2 − 2x2 y2 − (6xy − 8) + 2x2 y2 + 2xy (4 − 2xy) +13xy B =−xy + 24 , thay y =−2 − x => B =x2 + 2x Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x + y =5 , Tìm max của: ( )A = x3 + y3 − 8 x2 + y2 + xy + 2 Hướng dẫn Vì x + y =5 nên x3 + y3 = 125 −15xy và x2 + y2 = 25 − 2xy thay vào A = 125 −15xy − 8(25 − 2xy) + xy + 2 Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x + y = 5, Tìm max của: ( ) ( )B = x4 + y4 − 4 x3 + y3 − 20 x2 + y2 − 2x2 y2 + xy Hướng dẫn ( ) ( )B = x4 + y4 − 4 x3 + y3 − 20 x2 + y2 − 2x2 y2 + xy Vì x + y = 5 nên x4 + y4 = (25 − 2xy)2 − 2x2 y2 , x3 + y3 = 125 −15xy , x2 + y2 = 25 − 2xy B =(25 − 2xy)2 − 2x2 y2 − 4(125 −15xy) − 20(25 − 2xy) − 2x2 y2 + xy Bài 34: Cho hai số x, y thỏa mãn: x4 + y4 −=7 xy (3 − 2xy) , Tìm min max của: P = xy Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra: x4 + y4 − 3xy + 2x2 y2 =7 ( ) ( )=> 2  3 2 =121  3 2 121 x4 − 2x2 y2 + y4 + 4x2 y2 − 3xy =7 => x2 − y2 +  2xy − 4  16 =>  2xy − 4  ≤ 16 Bài 35: Cho các số thực x, y thỏa mãn: 7x2 + 9 y2 +12xy − 4x − 6 y −15 =0 , Tìm min max của: A = 2x + 3y + 5 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

80 Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra: (2x)2 + (3y)2 + 2.2x.3y − 2.2x − 2.3y +1+ 3x2 =16 => (2x + 3y +1)2 + 3x2 =16 Bài 36: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 3x2 + 2 y2 + 5z2 + 4xy − 2xz + 2 yz =5 , Tìm min max của: P= x + y Hướng dẫn ( ) ( )Từ gt ta có: x2 + y2 + 2xy + 2x2 + y2 + 5z2 + 2xy − 2xz + 2 yz =5 ( ) ( )=> ( x + y)2 + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2 yz + 2zx + 4z2 − 4xz + x2 =5 => ( x + y)2 ≤ 5 => − 5 ≤ x + y ≤ 5 Bài 37: Cho các số x, y, z thỏa mãn: 3x + y + 2z =1. Tìm min max của: p = x2 + y2 + z2 Hướng dẫn Từ gt ta có: y =1− 3x − 2z => y2 =1+ 9x2 + 4z2 − 6x +12xz − 4z khi đó : P= 10x2 + 5z2 +12xz − 6x − 4z +1 Bài 38: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1, Tìm max của: A = 2xy + 3yz + 4zx Hướng dẫn Từ gt => z =1− x − y thay vào A= 2xy + 3y (1− x − y) + 4x (1− x − y) Bài 39: Cho x, y ∈R, thỏa mãn: x + 2y = 1, Tìm max của: P = x. y Hướng dẫn Từ gt => x= 1− 2 y thay vào=P y (1− 2 y) Bài 40: Cho x, y ≥ 0, x + y = 1, Tìm min, max của: A= x2 + y2 Hướng dẫn Từ gt => y = 1− x thay vào A = x2 + (1− x)2 Bài 41: Tìm min max của: P = x + y + z , biết: y2 + z2 + yz =1− 3 x2 2 Hướng dẫn Từ gt => 2 y2 + 2z2 + 2 yz =2 − 3x2 => 3x2 + 2 y2 + 2z2 + 2 yz =2 ( ) ( )=> x2 + y2 + z2 + 2xy + 2 yz + 2zx + 2x2 + y2 + z2 − 2xy − 2zx =2 => ( x + y + z)2 + ( x − y)2 + ( x − z)2 =2 => ( x + y + z)2 ≤ 2 Bài 42: Cho x2 + 3y2 + 2xy −10x −14 y +18 =0 , Tìm min, max của: S= x + y Hướng dẫn Từ gt => x2 + 2x ( y − 5) + ( y − 5)2 + 3y2 −14 y +18 − y2 +10 y − 25 =0 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

81 ( )=> ( x + y − 5)2 + 2 y2 − 2 y +1 =9 => ( x + y − 5)2 ≤ 9 => −3 ≤ x + y − 5 ≤ 3 Bài 43: Cho a, b, c không âm thỏa mãn: 3a + 2c = 51 và c + 5b = 21. Tìm max của A = a + b + c Hướng dẫn Cộng theo vế giả thiết ta được : 3a + 3c + 5b =72 => 3(a + b + c) =72 − 2b ≤ 72 Do b ≥ 0 => a + b + c ≤ 72 =24 3 Bài 44: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: 2a + b = 6 - 3c và 3a + 4b = 3c + 4. Tìm min E = 2a + 3b − 4c Hướng dẫn Cộng theo vế ta được : a + b =2 => =ba= 4 − 3c => c ≤ 4 do a ≥0 3c − 2 c ≥ 3 b ≥0 2 3 Khi đó: E =2(4 − 3c) + 3(3c − 2) − 4c =2 − c Bài 45: Cho x, y, z ≥ 0, 2x +=7 y 2014,3x +=5z 3031, Tìm GTLN của biểu thức A = x + y + z Hướng dẫn Cộng theo vế của gt ta có: 5x + 5y + 5z= 5045 − 2 y ≤ 5045 do y ≥ 0 nên 5( x + y + z) ≤ 5045 => x + y + z ≤ 1009 ( )Bài 46: Cho a + b =2 ,Tìm max củ=a: A ab a2 + b2 Hướng dẫn Ta có: a + b =2 => a2 + b2 =4 − 2ab => A =ab (4 − 2ab) =−2a2b2 + 4ab ( )A =− a2b2 − 2ab +1 + 2 ≤ 2 , Max A = 2 Bài 47: Cho x, y thỏa mãn: (11x + 6 y + 2015)( x − y + 3) =0 , Tìm min của: P = xy − 5x + 2016 Hướng dẫn Từ gt ta có : 11x + 6 y + 2015 =0 hoặc x − y + 3 =0 TH1: Ta có : 11x + 6 y + 2015 =0 => y =11x + 2015 thay vào P 6 TH2: ta có: x − y + 3 =0 => y =x + 3 thay vào P Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x + y + z =3 , Tìm GTLN của : B = xy + yz + zx Hướng dẫn Ta có : B = xy + z ( x + y) = xy + 3 − ( x + y) ( x + y) Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

82 = xy + 3( x + y) − (x + y)2 =− x 2 − y2 − xy + 3x + 3y = −  x + y − 3 2 + −3 ( y −1)2 +3≤3  2  4 Bài 49: Cho x2 + xy + 3y2 =5 , tìm Min hoặc max của biểu thức : P =x2 − 2xy + 2 y2 Hướng dẫn Ta có : P = x2 − 2xy + 2 y2 5 x2 + xy + 3y2 Dạng 5: Phương pháp đổi biến số Phương pháp: - Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ. - Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ. - Sử dụng các hằng đẳng thức (a ± b)2 ,(a + b + c)2 . Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A = (x −1)2 + (x − 3)2 Lời giải Đặt y = x − 2 ⇒ A = ( y +1)2 + ( y −1)2 = 2 y2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y = 0 ⇒ x = 2 Bài 2: Tìm GTNN của A =(x −1)(x − 4)(x − 5)(x − 8) Lời giải A = (x −1)(x − 4)(x − 5)(x − 8) = (x2 − 9x + 8)(x2 − 9x + 20) Đặt t =x2 − 9x + 8 ⇒ A =t(t + 12) =t 2 + 12t =(t + 6)2 − 36 ≥ −36 ⇔ t =6 ⇔ x2 − 9x + 14 =0 ⇔ x = 2  = 7  x Bài 3: Tìm GTNN của=biểu thức A x2 − 4x +1 (x ≠ 0) x2 Lời giải A= 1− 4 + 1 = 1− 4y + y2(y = 1)⇒ A= ( y − 2)2 − 3 ≥ −3 ⇔ y = 2⇔ x= 1 x x2 x 2 Bài 4: Tìm GTNN của: A =x ( x − 3)( x − 4)( x − 7) Lời giải ( )( )A = x ( x − 7) ( x − 3) ( x − 4) = x2 − 7x x2 − 7x +12 , đặt x2 − 7x + 6 =t , khi đó: ( )( )A= t2 − 36 ≥ −36 ,  x = 1 t−6 t+6 = dấu “ = ” khi t2 = 0 <=> x2 − 7x + 6 = 0 <=>  x = 6  Vậy Min A = - 36 khi x = 1 hoặc x = 6 ( )Bài 5: Tìm GTNN của: B = ( x −1)( x − 3) x2 − 4x + 5 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

83 Lời giải ( )( )B = x2 − 4x + 5 x2 − 4x + 5 , Đặt x2 − 4x + 4 =0 . Khi đó: ( ) ( )B= t −1 t + 1 = t2 −1 ≥ −1 , Dấu “ = “ khi t2 = 0 <=> x2 − 4x + 4 = 0 <=> t = 2 Bài 6: Tìm min của: A =x ( x + 2)( x + 4)( x + 6) + 8 Lời giải ( )( )A= x ( x + 6) ( x + 2) ( x + 4) + 8= x2 + 6x x2 + 6x + 8 + 8 , Đặt x2 + 6x + 4 =t . Khi đó: ( ) ( )A = t − 4 t + 4 + 8 = t2 −16 + 8 = t2 − 8 ≥ −8 , Dấu “ = ” Khi đó: t2 = 0 <=> x2 + 6x + 4 = 0 <=> x =−3 + 5  x =−3 − 5 Bài 7: Tìm GTNN của: B =( x +1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) Lời giải ( )( )B = ( x +1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6 , Đặt x2 + 5x + 5 =t , Khi đó: ( ) ( )B= t −1 t + 1 = t2 −1 ≥ −1 , Dấu “ = “ khi t2 = 0 <=> x2 + 5x + 5 = 0 <=> x = −5 ± 5 2 ( )( )Bài 8: Tìm GTNN của: A= x2 + x − 6 x2 + x + 2 Lời giải ( ) ( )Đặt x2 + x − 2 =t . Khi đó: A= t − 4 t + 4 = t2 −16 ≥ −16 Dấu “ = “ xảy ra khi: t = 0 <=> x2 + x −2 = 0 <=> x =1  x = −2 Bài 9: Tìm GTNN của : C =( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) Lời giải ( )( )C = ( x −1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x − 6 x2 + 5x + 6 , Đặt x2 + 5x =t . Khi đó: ( )( )C= t2 x = 0 t−6 t+6 = − 36 ≥ −36 , Dấu “ = ” khi t = 0 <=> x2 + 5x = 0 <=>  = −5  x Bài 10: Tìm GTNN của: D =(2x −1)( x + 2)( x + 3)(2x +1) Lời giải ( )( )D = (2x −1) ( x + 3) ( x + 2) (2x +1) = 2x2 + 5x − 3 2x2 + 5x + 2 , Đặt 2x2 + 5x =t , Khi đó: D= (t − 3)(t + 2) = t2 − t − 6 =  t − 1 2 − 25 ≥ −25 , Dấu “ = “ khi:  2  4 4 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

84 t = 1 <=> 2x2 + 5x = 1 <=> x = −5 ± 29 2 24 Bài 11: Tìm min của: C = ( x +1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + 2011 Lời giải ( )( )C = ( x +1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) + 2011 = x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6 + 2011, Đặt x2 + 5x + 5 =t Khi đó: C = (t −1) (t + 1) + 2011 <=> x2 + 5x + 5 = 0 <=> x = −5 ± 5 2 Bài 12: Tìm max của: E =5 + (1− x)( x + 2)( x + 3)( x + 6) Lời giải ( )( )E =5 − ( x −1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) =− x2 + 5x − 6 x2 + 5x + 6 + 5 , đặt x2 + 5x =t . ( )Khi đó: E =− (t − 6) (t + 6) + 5 =− t2 − 36 + 5 =−t2 + 41 ≤ 41 Dấu “ = “ Khi t2 = 0 <=> x2 + 5x = 0 <=> x = 0  = −5  x Bài 13: Tìm GTNN của: M =( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) Lời giải ( )( )M = ( x −1) ( x + 6) ( x + 2) ( x = 3) = x2 + 5x − 6 x2 + 5x + 6 , Đặt x2 + 5x =t . ( )( )Khi đó: M= t2 − 36 ≥ −36 x =0 t−6 t+6 = , Dấu “ = ” khi t = 0 <=> x2 + 5x = 0 <=>  = −5  x ( )Bài 14: Tìm min của: D = ( x +1) x2 − 4 ( x + 5) + 2014 Lời giải ( )( )D = ( x +1) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 5) + 2014 = x2 + 3x −10 x2 + 3x + 2 + 2014 , Đặt x2 + 3x − 4 =t ( ) ( )Khi đó: D = t − 6 t + 6 + 2014 =t2 + 1978 , Dấu “= “ xảy ra khi: t2 = 0 <=> x2 + 3x − 4 = 0 <=> x = 1  = −4  x Bài 15: Tìm GTNN của: C = x4 − 6x3 +10x2 − 6x + 9 Lời giải ( ) ( ) ( )C = x4 − 2.3x2.x + 9x2 + x2 − 6x + 9 = x2 − 3x 2 + ( x − 3)2 ≥ 0 Bài 16: Tìm GTNN của: D = ( x + 8)4 + ( x + 6)4 Lời giải TÀI LIỆU TOÁN HỌC Đặt: x + 7 =y => D =( y +1)4 + ( y −1)4 =2 y4 +12 y2 + 2 ≥ 2 Sưu tầm và tổng hợp

85 Bài 17: Tìm max của: F =2 − 3( x +1)4 − 3( x − 5)4 Lời giải Đặt x − 2 =t => F =2 − 3(t + 3)4 − 3(t − 3)4 ( ) ( ) ( )−F = 3 t2 + 6t + 9 2 + 3 t2 − 6t + 9 2 − 2 = 6t4 + 324t2 + 484 = 6 t4 + 54t2 + 484 ( )F =−6 t2 + 27 2 + 3890 ≤ 3890 Bài 18: Tìm min của: G = ( x + 3)4 + ( x − 7)4 Lời giải ( ) ( )( ) ( )Đặt x − 2 =t => G =t + 5 4 + t − 5 4 =t2 + 10t + 25 2 + t2 −10t + 25 2 ( ) ( )G= 2t4 + 300t2 + 125=0 2 t4 + 2.75t2 + 5625 −10=4 2 t2 + 75 2 −104 ≥ −104 Bài 19: Tìm min của: I =x4 − 6x3 +11x2 +12x + 20 Lời giải ( )I =x4 − 6x3 + 11x2 −12x + 20 =x2 x2 − 6x + 9 + 2x2 −12x + 20 ( )I= ( )x2 x − 3 2 + 2 x2 − 6x + 9 + 2= x2 ( x − 3)2 + 2 ( x − 3)2 + 2 ≥ 2 Bài 20: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: ( x +1)( x + 2)2 ( x + 3) ≥ m Lời giải ( )( )VT = ( x + 1) ( x + 3) ( x + 2)2 = x2 + 4x + 3 x2 + 4x + 4 , Đặt x2 + 4x =t , Khi đó: ( )( )VT = t2 t2 2.t. 7 49 49 =  7 2 1 −1 t+3 t+4 = + 7t + 12 = + 2 + 4 + 12 − 4  t + 2  − 4 ≥ 4 Dạng 6 : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối a. Định nghĩa:  A = A⇔ A≥0  A =− A ⇔ A ≤ 0  b. Tính chất +) ∀A∈ R ⇒ A ≥ 0; A ≥ A +) ∀x, y ∈ R ⇒ x + y ≤ x + y ⇔ xy ≥ 0 +) ∀x, y ∈ R ⇒ x − y ≥ x − y ⇔ (x − y).y ≥ 0 Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

86 a. A = x − 3 + x − 7 b. B = x −1 + x − 2 + x − 3 c. C = x −1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 d. D = x + 5 + x + 2 + x − 7 + x − 8 e. E = x +1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 Lời giải a. A = x − 3 + x − 7 = x − 3 + 7 − x ≥ x − 3 + 7 − x = 4 = 4 ⇒ A ≥ 4 ⇔ (x − 3)(7 − x) ≥ 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 7 b. B = x −1 + x − 2 + x − 3 Ta có : B = x −1 + x − 3 = x −1 + 3 − x ≥ 2(1) ⇔ (x −1)(3 − x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 Mà : x − 2 ≥ 0 ⇔ x= 2(2) ⇒ C ≥ 2 ⇔ x= 2 c. C = x −1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 Ta có : x −1 + x − 3 = x −1 + 3 − x ≥ 2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3; x − 2 + x − 4 = x − 2 + 4 − x ≥ 2 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4 ⇒ C ≥ 4 ⇒ min C = 4 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4 d. D = x + 5 + x + 2 + x − 7 + x − 8 Áp dụng bất đẳng thức M ≥ M ∀M ∈ R Ta có : D = x + 5 + x + 2 + 7 − x + 8 − x ≥ x + 5 + x + 2 + 7 − x + 8 − x = 22∀x ∈ R x + 5 ≥ 0 x ≥ −5  x  x ⇒ min D= 22 ⇔ 7 + 2 ≥ 0 ⇔  x ≥ −2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 7 − x ≥ 0 ≤ 7 8 − x ≥ 0 x ≤ 8 e. Ta có : E =x +1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 =−x −1 + −x − 2 + −x − 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 ⇒ E ≥ −x −1− x − 2 − x − 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 =9∀x ∈ R ⇒ min E =9 ⇔ −4 ≤ x ≤ −3 Bài 2: Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A = x + 3 + x − 2 + x − 5 b. B = x − 2 + x − 3 + x − 4 + x − 5 + x − 6 Lời giải a. A = x + 3 + x − 2 + x − 5 = x + 3 + x − 2 + x − 5 ≥ x + 3 + 5 − x ≥ x + 3 + 5 − x = 8∀x ∈ R x + 3 ≥ 0 x ≥ −3   Dấu ‘ = ’ ⇔  x −2 = 0 ⇔  x = 2 ⇔x=2 5 − x ≥ 0 x ≤ 5 b. B = x − 2 + x − 3 + x − 4 + x − 5 + x − 6 = x − 2 + x − 3 + x − 4 + 5 − x + 6 − x ≥ x − 2 + x − 3 + 5 − x + 6 − x ≥ x − 2 + x − 3 + 5 − x + 6 − x =6∀x ∈ R ⇔ x = 4 Bài 3: Cho số thực x. Tìm GTLN của các biểu thức sau Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

87 a. A = x + 5 − x − 2 b. B = x − 2 − 3 x − 5 − x − 4 Lời giải a. A = x + 5 − x − 2 Áp dụng bất đẳng thức : x − y ≤ x − y ∀x, y ∈ R ⇔ y(x − y) ≥ 0 A = x + 5 − x − 2 ≤ x + 5 − (x − 2) = 7∀x ∈ R ⇒ max A = 7 ⇔ (x − 2)(x + 5 − x + 2) ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 b. B = x − 2 − 3 x − 5 − x − 4 Vì − x−5 ≤0⇒ B≤ x−2 − x−4 ≤ x − 2 −=x + 4 = 2 ⇔ (xx−−54)(0x −=2 − x + 4) ≥ 0 ⇔ xx ≥ 5 ⇔ x =5 4 Bài 4:[ Chuyên LHP – 2003 ] Cho số thực x. Tìm GTNN của A= x −1− 2 x − 2 + x + 7 − 6 x + 2 Lời giải Đặt t = x − 2(t ≥ 0) ⇒ t2 = x − 2 ⇒ x = t2 − 2 ⇒ A = t2 − 2t +1 + t2 − 6t + 9 = (t −1)2 + (t − 3)2 = t −1 + 3−t ≥ t −1+3−t = 2 ⇔ t −1 ≥0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 3 ⇔ 1≤ x − 2 ≤ 3 ⇔ 3 ≤ x ≤ 11 3 − t ≥0 Bài 5: Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A= x − 4 + 2 x − 5 + x −1− 4 x − 5 (x ≥ 5) b. B= x − 2 x −1 + 5 x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1(x ≥ 1) Lời giải a. Đặt t = x − 5(t ≥ 0) ⇒ x = t2 + 5 ⇒ A = (t +1)2 + (2 − t)2 = t +1 + 2 − t = t +1+ 2 − t ≥ t +1+ 2 − t = 3 A=3⇔ 2−t ≥0⇔t ≤2⇔ x−5 ≤2⇔5≤ x≤9 b. Đặt t = x −1(t ≥ 0) ⇒ x =t2 −1 ⇒ A =(t −1)2 + 5 (t − 2)2 + (t − 3)2 =t −1 + 5 t − 2 + 3 − t t −1 ≥ 0 x −1 = 2 ⇔ x = 5 ⇒ min A = 2 ⇔ x = 5 ≥ t −1 + 3 − t ≥ t −1+ 3 − t = 2 ⇔ t = 2 ⇔ t = 2 ⇔ t ≤ 3 Bài 6: (HSG Tỉnh Sóc Trăng năm 2014 – 2015) Tìm GTNN của A = x + 3 + x − 2 + 2012 Lời giải Ta có A = x + 3 + x − 2 + 2012 = x + 3 + 2 − x + 2012 Lại có : x + 3 ≥ x + 3 ⇔ x ≥ −3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Sưu tầm và tổng hợp

88 Mà 2 − x ≥ 2 − x ⇔ x ≤ 2 ⇒ A = x + 3 + 2 − x + 2012 ≥ x + 3 + 2 − x + 2012 = 2017 Vậy M=inA 2017 ⇔ −3 ≤ x ≤ 2 Bài 7: (HSG Tỉnh Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của A = x + 3 + x −1 + x − 4 − 3 Lời giải Ta có A = x + 3 + x −1 + x − 4 − 3 = x + 3 + x −1 + 4 − x − 3 Lại có x −1 ≥ 0 ⇔ x= 1; x + 3 ≥ x + 3 ⇔ x ≥ −3; 4 − x ≥ 4 − x ⇔ x ≤ 4 ⇒ A ≥ x + 3 + 0 + 4 − x − 3= 4 Vậy MinA = 4 ⇔ x =1 Bài 8: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN của A = x − a1 + x − a2 + .... + x − an + 2017 (a1 < a2 < ... < an ) Lời giải - Trường hợp n = 2k ⇒ A = x − a1 + x − a2 + ... + x − ak + ak+1 − x + ak+2 − x + ... + a2k − x + 2017 Ta có x − ai ≥ x − ai ⇔ x ≥=ai∀i 1, k; ak+1 − x ≥ ak+ j − x ⇔ x ≤ ak=+ j∀j 1, k ⇒ A ≥ x − a1 + x − a2 + ... + x − ak + ak+1 − x + ak+2 − x + ... + a2k − x + 201=7 ( )ak+1 + ak+2 + ... + a2k − (a1 + a2 + ... + ak ) + 2017 ⇔ ak ≤ x ≤ ak+1 - Trường hợp n = 2k +1 ⇒ A = x − a1 + x − a2 + .. + x − ak + x − ak+1 + ak+2 − x + ak+3 − x + ... + a2k − x + 2017 Ta có: x − ak+1 ≥=0 ⇔ x ak+1; ak+ j − x ≥ ak+1 − x ⇔ x ≤=ak+ j∀j 1, k Lại có x − ai ≥ x − ai ⇔ x ≥=a∀i 1, k; ak+ j − x ≥ ak+ j − x ⇔ x ≤ a=k+ j∀j 1, k ⇒ A = x − a1 + x − (a1 + a2 + ...ak ) + 2017 ⇒ MinB= (ak+2 + ak+3 + ... + a2k+1 ) − (a1 + a2 + ...ak ) + 2017 ⇔ x= ak+1 Bài 9: (HSG Tỉnh Yên Bái năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của A= 5x + 3 + 2x − 3 − x +1 Lời giải Ta có A= 5x + 3 + 2x − 3 − x +1= 2 x + 3 + 3 x + 3 + 2x − 3 − x +1 55 Mặt khác 2 x + 3 ≥ 0 ⇔=x −3 ;3 x+3 ≥ 3 x + 3  ⇔ x≥ −3 5 5 5 5  5 Lại có 3− 2x ≥ 3− 2x ⇔ x ≤ 3 ⇒ B ≥ 0 + 3 x + 3  + 3− 2x + 1= 29 ⇒ MinB= 29 ⇔ x= −3 2 5  5 5 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

89 Bài 1: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2014 – 2015) Tìm GTNN của A = 4x + 3 + 5x − 7 + 2x − 9 −15 Lời giải Ta có MinA = −1 ⇔ x = 7 55 Bài 2: Tìm GTNN của A = x −1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 Lời giải Ta có MinA = 4 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3 Bài 3: Tìm GTNN của A= (2x −1)2 − 3 2x −1 + 2 Lời giải Ta có Min.A = −1 ⇔ x = 5 hay x = −1 44 4 Bài 4: Tìm GTNN của A = x −1 + x − 2 + x − 3 + ... + x −1998 Lời giải Ta có Min.=A 9992 ⇔ 999 ≤ x ≤ 1000 hay x = −1 4 Bài 5: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của A= x 3 + 2 + x 5 − 7 + x 11 − 9 Lời giải ( )Ta có M=in.A 9 11 − 5 + 3=⇔ x 9 hay x = −1 11 11 4 Bài 6: (Chuyên Toán Quảng Trị năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của =A x 5 − 6 + x 2 +1 + 2x + 2017 Lời giải =Ta có Min.A 2018 2=+ 5 − 2 ⇔ x −1 hay x = −1 2 24 Dạng 7: Dạng phân thức A. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai Phương pháp: Biểu thức dạng này đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị lớn nhất =A ax2 m + c ⇒ Amin ⇔ (ax2 + bc + c)max + bc Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau a) A = 9x2 1 + 10 b) B= 2 −12x x2 + x + 4 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

90 c) C y2 (x ≠ 0) 9x2 −12xy + 5y2 Lời giải a. A= 1 = 1 ≤1⇒ Amax = 1⇔ x= 2 9x2 −12x +10 (3x − 2)2 + 6 6 6 3 b. B = 2= 2 ≤2= 8 ⇒ Bmax = 8 ⇔x= −1 x2 + x + 4 (x + 1)2 15 15 15 2 24 c. C 9x2 y2 + 5y2 (x ≠ 0) −12xy +) y =0 ⇒ A =0 +) y ≠ 0 ⇒ A = x2 1= 1 (t = x) = 1 ≤1⇔t = 2⇔x= 2y y2 x 9t2 −12t + 5 y (3t − 2)2 +1 3 3 9 −12 y + 5 Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức sau a) y= 1 b) y = 6=x − 52− 9x2 c) A 3y2 (x ≠ 0) x2 + x +1 −25x2 + 20xy − 5y2 Lời giải a) Ta có thể=viết: y =1 1 x2 + x +1  x + 1 2 + 3  2  4 Vì  x + 1 2 + 3 ≥ 3 ⇒ y ≤ 4 ⇔ x =−1  2  4 4 3 2 Vậy GTLN của y = 4 tại x = −1 32 b) Ta có: y =2 =−2 + 4 ; (3x − 1)2 + 4 ≥ 4∀x ⇒ 1 +4 ≤ 1 ⇒ −2 +4 ≥ −2 =−1 ⇔ x =1 6x −5−9x2 (3x −1)2 (3x −1)2 4 (3x −1)2 4 23 c) y =0 ⇒ A =0 +)=y ≠ 0 ⇒ A −25 xy=22 +320 xy − 5 =3 −3 −25t2 + 20t − 5 (5t − 2)2 +1 Vì (5t − 2)2 ≥ 0⇒ (5t 1 ≤1⇒ A≥ −3 ⇔ t= 2 ⇔ x= 2y − 2)2 +1 5 5 Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức sau Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

91 a) A= 5 b) B= x2 1 x2 − 2x −5 − 4x +11 Lời giải a) A = 5= ( 5 − ⇒ maxA = −5 ⇔ x = 1 x2 − 2x −5 6 x −1)2 6 =b) B x2 − 1 + 11 ≤=1 ⇔ x 2 4x 7 Bài 4: Tìm min của: B = x2 1 − 4x +9 Lời giải ( )( )Ta có : x2 − 4x + 9 = x−2 2 + 5 ≥ 5 => B =x 2 1 = 1 ≤ 1 , Dấu “ = “ khi x=2 4x x 2 5 − + 9 − 2 + 5 Bài 5: Tìm max của: C = x2 −3 −5x +1 Lời giải Ta có : x2 − 5x + 1 = x − 5 2 − 21 ≥ −21 => C = 2 −3 + 1 ≤ 12 =4 , dấu “ = ’’ khi x= 5 2  4 4 x − 5x 21 7 2 Bài 6: Tìm min hoặc max của: D= −x2 6 + 2x −3 Lời giải ( ) ( )Ta có : 2 6 6 −x2 + 2x − 3 = − x2 − 2x + 3 =− x −1 − 2 ≤ −2 => + 2x ≥ −2 =−3 −x2 − 3 Bài 7: Tìm min hoặc max của: K = 2 x2 + 8 Lời giải Ta có : x2 + 8 ≥ 8 => x 2 8 ≤ 2 =1 2+ 8 4 Bài 8: Tìm min hoặc max của: M = x2 4 + x +1 Lời giải Ta có : x2 + x + 1 = x + 1 2 + 3 ≥ 3 => x2 4 + 1 ≤ 16 2  4 4 +x 3 B. Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

92 ⇒ Ta đưa về dạng: A =m + C  C ≥ 0  D  D  Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau =a. A 3x2 −8x + 6 (x ≠ 1) =b. B x2 − x +1 (x ≠ 1) x2 − 2x +1 (x −1)2 =c. C 4x2 − 6x +1 (x ≠ 2) =d. D 2x2 −16x + 41 (x ∈ R) (x − 2)2 x2 − 8x + 22 e. E = 4x4 − x2 −1 f. F = 3x2 −12x +10 (x2 +1)2 x2 − 4x + 5 Lời giải a. A = 3x2 − 8x +6 (x ≠ 1) = 2(x2 − 2x +1) + (x2 − 4x + 4) =2+ (x − 2)2 ≥ 2 ⇔ x =2 x2 − 2x +1 (x −1)2 (x −1)2 (x −1)2 Cách khác=: A 3x2 − 8x +=6 3(x2 − 2x +1) − 2( x −1)=+1 2+ 1 x2 − 2x +1 (x −1)2 x −1 ( x −1)2 Đặt y = 1 ⇒ A =3 − 2 y + y2 =( y −1)2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y =1 ⇔ 1 =1 ⇔ x = 2 x −1 x −1 b. B =x2 − x + 1 ( x ≠ 1) =4 x2 − 4x + 4 =x2 + 2x +1 + 3x2 − 6x + 3 =(x +1)2 + 3 ≥ 3 ⇔ x =−1 (x −1)2 4( x −1)2 4(x −1)2 4(x −1)2 4(x −1)2 4 4 c. Đặt t = 1 ⇒ x = 2 + 1 khi đó: x−2 t A = t2   2 + 1 2 − 6  2 + 1  = 4(2t + 1)2 − 6t(2t + 1) + t2 = 5(t + 1)2 −1≥ −1 ⇔ t =−1 ⇔ x =1 4  t   t  + 1   d. D =2x2 −16x + 41 (x ∈ R) =2(x2 − 8x + 22) − 3 =2 − 3 x2 − 8x + 22 x2 − 8x + 22 (x − 4)2 +6 Vì (x − 4)2 ≥0⇒ (x − 4)2 +6≥ 6⇒ 3 +6 ≤ 3 =1 (x − 4)2 6 2 D = 2 − (x − 3 + 6 ≥ 2− 1 = 3 ⇒ Amin = 3 ⇔ (x − 4)2 = 0 ⇔ x = 4 4)2 2 2 2 e. E =4x4 − x2 −1 =4(x4 + 2x2 +1) − 9(x2 +1) + 4 =4 − 9+ 4 =4t 2 − 9t + 4  t = 1  (x2 +1)2 (x2 +1)2 x2 +1 (x2 +1)2  x2 +1  E=  2t − 9 2 − 81 + 4  4  16 Ta có: t ≤1⇒ 2t − 9 ≤ 2− 9 =−1 ⇒  2t − 9 2 ≥ 1 ⇒ A≥ 1 − 17 =−1 ⇔ t =1 ⇔ x =0 4 4 4  4  16 16 16 Lời giải ngắn gọn hơn Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

93 =E +1 5x4 + x2 ≥ 0 ⇒ A ≥ −=1 ⇔ x 0 (x2 +1)2 Cách khác: E = 4x4 − x2 +1 ≥ 0 −1 =−1 ⇔ x =0 (x2 +1)2 (x2 +1)2 f. F =3x2 −12x +10 =3 − x2 − 45x + 5 =3 − (x − 25)2 ≥ 3 − 5 =−2 x2 − 4x + 5 +1 Do (x − 2)2 +1 ≥ 1 ⇒ −5 ≥ −5 ⇔ x =2 (x − 2)2 +1 Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau =a. A 3x2 + 6x + 10 (x ≠ 1) =b. B −x2 + x −11 ( x ≠ 1) x2 + 2x + 3 x2 − 2x +1 =c. C x2 + x + 25 (x ≠ −5) =d. D x2 + 4x −14 (x ≠ 1) 10x x2 − 2x +1 Lời giải a. A =3x2 + 6x +10 =3(x2 + 2x + 3) + (x 1 + 2 =3 + (x +11)2 + 2 x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 3 + 1)2 Có: (x + 1)2 ≥ 0⇒ (x + 1)2 + 2 ≥ 2 ⇒ (x 1 + 2 ≤ 1 ⇒ A =3 + 1 =7 ⇒ Amax =7 ⇔ x =−1 + 1)2 2 2 2 2 b. B =−x2 + x −11 =− x2 + 2 x −1− x + 1 − 11 =−( x − 1)2 − (x − 1) − 11 =−1 − 1 − 11 x2 − 2x +1 (x −1)2 (x −1) x −1 (x −1)2 2 Đặt 1 =y ⇒ A =−1 − y − 11 y 2 =−(11y2 + y + 1) =− 11 y2 + 2.y. 1 + 1  − 1 + 1 x −1 22 222  222 11 =− 11 y + 1 2 + 43  =−43 −11 y + 1 2 ≤ −43 ⇔ y =−1 ⇔ x =−21 22   44 22  44 22 44  c. C = x (x ≠ −5) = x= (x + 5) − 5 = 1− 5 = t − 5t2  t = 1 x2 +10x + 25 (x + 5)2 (x + 5)2 x + 5 (x + 5)2  x + 5  ⇒ − A= 5t2 −=t 5 t − 1 2 − 1 ≥ −1 ⇒ A ≤ 1 ⇔=t 1 ⇔ 1= 1 ⇔ =x 5 10  20 20 20 10 x + 5 10 =d. D x2 + 4x −14 (x ≠ 1) . Đặt t =1 ⇒ x =1+ 1 x2 − 2x +1 x −1 t A =t 2 1 + 1 2 + 4 1 + 1  −  =(t + 1)2 + 4t(t + 1) − 14t 2 =−(3t −1)2 + 2 ≤ 2 t  t  14  D= 2⇔t= 1⇔x= 4 3 Bài 3: Tìm GTNN, GTLN của A= 7 y2 − 4xy x2 − 2xy + 2 y2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

94 Lời giải Điều kiện (x, y) ≠ (0, 0) +) A +=1 x2 − 6xy + 9 y 2 (x − 3y)2 ≥ 0 ⇒ A≥ −1 ⇔ =x 3y ≠ 0 (x − y)2 + y 2 (x − y)2 + y2 = +) A − 4= −( y2 + 4xy − 4x2 )= −(2x − y)2 ≤ 0⇒ A≤ 4⇔ x= 1; y= 2 (x − y)2 + y2 (x − y)2 + y2 Bài 4: Tìm GTNN của bi=ểu thức A x2 + x +1 ( x ≠=−1); B x2 − 3x + 3 ( x ≠ 1) (x +1)2 (x −1)2 Lời giải A = x2 + x +1 =(x2 + 2x +1) − x −1+1 =1− 1 + 1 =1− y + y2  y = 1  (x +1)2 (x +1)2 x +1 (x +1)2  x +1  A=  y − 1 2 + 3 ≥ 3 ⇒ Amin = 3 ⇔ y = 1 ⇔ x=1  2  4 4 4 2 +) B = x2 − 3x + 3 =(x2 − 2 x +1) − x + 1 + 1 =1 − 1+ 1 =y2 − y +1  y = 1  (x −1)2 ( x −1)2 x −1 (x −1)2  −1  x B =  y− 1 2+ 3 ≥ 3 ⇔ y = 1 ⇔ x = 3  2  4 4 2 Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức A= x2 + y2 x2 + 2xy + y2 Lời giải x2 + y2 1 ( x + y )2 + ( x − y )2  1 1 ( x − y )2 1 ⇒ minA = 1 x2 + 2xy + y2 2  2 2 ( x + y )2 2 2 Ta có: A= = = + . ≥ ⇔x= y ( x + y)2 Bài 6: Tìm GTNN c=ủa biểu thức A 2x2 −10x −1 ( x ≠ 1) x2 − 2x +1 Lời giải ( )Ta có: x2 − ( −1) − + 12 A =2x2 − 10x −1 2 2x +1 −6 x 9 =2 + 6 − 9 =−  3 + 3 ≤ 3 x2 − 2x +1 = −1  −1 ( x −1)2 x ( −1)2 x x Vì −  x 3 1 + 12 ≤0 ∀x ≠ 1 ⇒ maxA =3 ⇔ 3 +1 =0 ⇔ x =−2  − x −1 Bài 7: Tìm min hoặc max của: G = x2 − 4x +1 x2 Lời giải ( )G =1− 4 + 1 1 2 − 3 ≥ −3 x x2 x , đặt =t => G =t2 − 4t + 1 = t−2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

95 Bài 8: Tìm min hoặc max của: E = 3x2 −8x + 6 x2 − 2x +1 Lời giải Đặt x − 1 =t => x =t + 1 => x2 =t2 + 2t + 1 ( ) ( )3 E= t2 + 2t + 1 − 8 t +1 + 6 = 3t2 − 2t +1 =3 − 2 + 1 , t2 t2 t t2 ( )Đặt : 1 =a => E =a2 − 2a + 3 =a −1 2 + 2 ≥ 2 t Bài 9: Tìm min hoặc max của: F = 4x2 − 6x +1 (2x +1)2 Lời giải Đặt 2x + 1 =t => x =t −1 => x2 =t 2 − 2t +1 khi đó: 2 4 , ( )t2 − 2t + 1 − 3 t −1 + 1 =t2 − 5t + 5 =1 − 5 + 5 , đặt 1 =a => F =1 − 5a + 5a2 t2 t t2 t F = t2 Bài 10: Tìm min hoặc max của: H = x ( x +10)2 Lời giải Đặt x + 10 =t => x =t − 10 => H =t −t210 =1 − 10 , đặt 1 =a => H =−10a2 + a t t2 t Bài 11: Tìm min hoặc max của: I = x ( x + 2016)2 Lời giải Đặt x + 2016 =t => x =t − 2016 => I =t − 2016 =1 − 2016 , Đặt 1 =a => I =a − 2016a2 t2 t t2 t Bài 12: Tìm min hoặc max của: D = x2 − 2x + 2000 x2 Lời giải Ta có : D =1 − 2 + 2000 , Đặt 1 =a => D =1 − 2a + 2000a2 x x2 x Bài 13: Tìm min hoặc max của: E = x2 − 2x + 2015 2015x2 Lời giải Ta có : 2015E = x2 − 2x + 2015 =1 − 2 + 2015 , đặt 1 =a => 2015E =1 − 2a + 2015a2 x2 x x2 x Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

96 => E =a2 − 2 .a + 1 2015 2015 Bài 14: Tìm min hoặc max của: F = x ( x + 2000)2 Lời giải Đặt x + 2000 =t => F =t − 2000 =1 − 2000 , Đặt 1 =a => F =a − 2000a2 t2 t t2 t Bài 15: Tìm min hoặc max của: B = x2 − x +1 ( )x2 + 2x +1 Lời giải x2 − x +1 x + 1 =t => x =t − 1 => x2 x +1 2 ( )B = ,Đặt − 2t + 1 => B =t 2 − 3t + 3 =1 − 3 + 3 , Đặt 1 =a => B =3a2 − 3a + 1 t2 t t2 t Bài 16: Tìm min hoặc max của: A= 2x2 + 4x + 4 x2 Lời giải A =2 + 4 + 4 , Đặt 1 =a => A =4a2 + 4a + 2 x x2 x Bài 17: Tìm min hoặc max của: B = x2 − 2x + 2012 x2 Lời giải B =1 − 2 + 2012 , Đặt 1 =a => B =2012a2 − 2a + 1 x x2 x C. Tìm GTLN, GTNN của phân thức có dạng khác Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm 1. Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A = 8x + 12 b. B= 4x + 2 x2 +4 x2 + 2 c. C (x + 2)(x + 8) (x > 0) x Lời giải Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

97 a. A = 8x +12 = x2 + 8x +16 − x2 − 4 = −1 + ( x + 4)2 ≥ −1 ⇔ x = −4 x2 + 4 x2 + 4 x 2 +4 b. B = 4x + 2 = (x2 + 4x + 4) − (x2 + 2) = (x + 2)2 −1 ≥ −1 ⇔ x = −2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 c=. C (x + 2)(x + 8) (x=> 0) (x − 4)2 +18 ≥ 18 ⇔=x 4 xx Bài 2: Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau a. [ HSG – Thanh Chương – 2011] A = 3− 4x b. B = 2x +1 x2 +1 x2 + 2 c. C = 4x +3 d. D= 8x + 3 x2 +1 4x2 +1 e. E = 4x 4x2 +1 Lời giải a. [ HSG – Thanh Chương – 2011] A= 3− 4x = x2 − 4x + 4 − x2 −1= (x − 2) 2 −1≥ −1 ⇔ x − 2= 0 ⇔ x= 2 x2 +1 x2 +1 x2 +1 +) A = 3− 4x = 4x2 + 4 − 4x2 − 4x −1 = 4 − (2x +1)2 ≤4⇒ Amax = 4 ⇔ x = −1 x2 +1 x2 +1 x2 +1 2 Cách khác: Nháp để nhẩm GTLN và GTNN nếu có : a =3x−2 4x =ax 2 + a =3 − 4x => a.x2 + 4x + a − 3 =0 , +1 Xét ∆ =16 − 4a2 + 12a =0 => a = −1 a = 4  3− 4x +=1 −1 x 2 + 4x + 4  x2 +1 x2 +1 Khi đó ta c=ó : K − 1 ≥ −1 , Dấu = khi x= −2 Mặt khác=: K  3− 4x − 4 =+ 4 −4 x2 − 4x − 1 + 4 ≤ 4 , Dấu = khí x = −1  x2 +1 x 2 +1 2 =b. B 2=x +1 4x + 2 x2 + 2 2(x2 + 2) +) B =2x +1 =4x + 2 =( x 2 + 4x + 4) − (x2 + 2) =(x + 2)2 − 1 ≥ −1 ⇒ Amin =−1 ⇔ x =−2 x2 + 2 2(x2 + 2) 2(x2 + 2) 2(x2 + 2) 2 2 2 +) B= 2x +1 = 4x + 2 = −x2 + 2x −1 + x2 +2 = −(x −1)2 +1≤1⇒ Amax =1⇔ x=1 x2 + 2 2(x2 + 2) x2 + 2 x2 +2 x2 + 2 c. C = 4x + 3 = x2 + 4x + 4 − x2 −1 = (x + 2)2 −1 ≥ −1 ⇔ x = −2 x2 +1 x2 +1 x2 +1 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

98 +)=C 4x =+ 3 −4x2 + 4x −1+ 4x2 +=4 −(2x −1)2 + 4 ≤ 4 ⇔=x 1 x2 +1 x2 +1 x2 +1 2 d. D = 8x + 3 = (4x2 + 8x + 4) − (4x2 +1) = −1+ (2x + 2)2 ≥ −1 ⇔ x = −1 4x2 +1 4x2 +1 4x2 +1 +) D = 8x + 3 = 16x2 + 4 − (16x2 − 8x +1) =4− (4x −1)2 ≤4⇔ x =1 4x2 +1 4x2 +1 4x2 +1 4 e. E = 4x = 4x2 +1− 4x2 −1+ 4x =1− (2x −1)2 ≤ 1 ⇔ x = 1 4x2 +1 4x2 +1 4x2 +1 2 +) E = 4x = −(4x2 +1) + (4x2 + 4x +1) = −1+ (2x +1)2 ≥ −1 ⇔ x = −1 4x2 +1 4x2 +1 4x2 +1 2 Bài 3: [ HSG – Yên Phong – 14/04/2014 ] Tìm GTLN của biểu thức A= 3(x +1) x3 + x2 + x +1 Lời giải A = x3 3(x +1) +1 = 3 ≤ 3 ⇔ x =0 ⇒ Amax =3 ⇔ x =0 + x2 + x x2 +1 Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ] Tìm GTNN của các b=iểu thức sau D 2010x + 2680 (x ∈ R) x2 +1 Lời giải D = 2010x + 2680 (x∈ R) = 335(6x + 8) = 335( x 2 + 6x +9− x2 −1) = 335(x + 3) 2 − 335 ≥ −335 ⇔ x = −3 x2 +1 x2 +1 x2 +1 x2 +1 ( )Bài 5: Tìm GTNN của b=iểu thức sau A x2 +15x +16 x ∈ R+ 3x Lời giải ( )Ta có: A = x2 +15x +16 x ∈ R+ = ( x − 4)2 + 23 ≥ 23 ⇒ minA = 23 ⇔ x = 4 3x 3x 3 3 3 ( )xy2 + y2 y2 − x +1 ( x, y ∈ R) Bài 6: Tìm GT=LN của biểu thức sau A x2 y4 + 2y4 + x2 + 2 Lời giải ( )xy2 + 2 ( )( )x2 y4 Ta có: A y 2 y=y42+−xx2 ++21 ( x, y ∈ R) y4 +1 + y4 +1 x2 + 2 Vì y4 +1 ≠ 0 ∀x nên chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta được: A= 1 x2 + 2 Vì x2 ≥ 0 ∀x ⇒ x2 + 2 ≥ 2 ∀x ⇒ A= 1 ≤ 1 ⇔ x= 0; y ∈ R x2 + 2 2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

99 Bài 7: Tìm GTLN của biểu thức sau A= x2 x4 + x2 +1 Lời giải +) Xét x =0 ⇒ A =0 giá trị này không phải giá trị lớn nhất của A vì với x ≠ 0 ⇒ A > 0 +) Xét x≠0 đặt P =1 ⇒ Amax ⇔ Pmin A Ta có P =x4 + x2 +1 =x2 + 1 +1; x2 + 1 ≥ 2(Cosi) ⇒ P ≥ 2 +1 =3 ⇒ Pmin =3 ⇔ x =±1 x2 x2 x2 Bài 8: Tìm min hoặc max của: M = 27 −12x x2 + 9 Lời giải Nháp : a =27x2−+129x => a.x2 + 9a =27 − 12x => a.x2 + 12x + 9a − 27 =0 Có ∆ ' =36 − a (9a − 27) =0 => a = 4 a = −1 − 2x − 3 2 x2 + 9 + 4 ≤ 4 ( )Khi đó ta c=ó : M 2−  27 −12x −=4 + 4 −4 x x2 12x −=9 + 4  x2 + 9 +9 ( )Mặt khác=: M  x2 x−6 2  27 −12x + 1= −1 −12x + 3=6 −1 x2 + 9 − 1 ≥ −1 x2 + 9 x2 + 9 Bài 9: Tìm min hoặc max của: P = 8x + 3 4x2 +1 Lời giải Nháp : a =48xx2++31 => 4a.x2 + a =8x + 3 => 4a.x2 − 8x + a − 3 =0 Có ∆ ' =16 − 4a(a − 3) => a =4;a =−1 − 4x −1 2 4x2 +1 + 4 ≤ 4 ( )Khi đ=ó : P  8x + 3 − 4= + 4 −16x2 + 8x −=1 + 4  4x2 +1  4x 2 +1  4 x +1 2 4x2 + 1 − 1 ≥ −1 ( )Mặt khá=c : P x2  8x + 3 +=1 −1 4 4 x+28+x1+=4 − 1  4x2 +1   Bài 10: Tìm min hoặc max của: D= 2x +1 x2 + 2 Lời giải ( )Nháp : =2x 2x + 1 =0 => a =1; a =−1 a + 2 => a.x2 − 2x + 2a −1 =0 , có ∆ ' =1 − a 2a −1 2 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

100 − x −1 2 x2 + 2 +1≤1 ( )Khi đó=: D 2+  2x + 1 − 1= + 1 − x x2 2 x −=1 + 1  x2 + 1 + 2  2x + 1 1 =− 12 x2 + 4x + 4 − 1 ≥ −1  x2 + 2 2 2 x2 + 2 2 2 ( )Mặt khác=: D + Bài 11: Tìm min hoặc max của: E = 2x +1 x2 Lời giải E= 2 + 1 , Đặt 1 =a => E =a2 + 2a x x2 x Bài 12: Tìm min hoặc max của: F = 2x −1 x2 + 2 Lời giải ( )Nháp : =2x 2x − 1 1;a = a + 2 => a.x2 − 2x + 2a + 1 =0 , có ∆' = 1− a 2a +1 = 1− 2a2 − a = > a = 2 −1 ( ) ( )( )Khi đó=: F − x−2 2  2x −1 − 1 =+ 12 −x2 + 4x − 4 =+ 1  x2 +2 2 2 x2 + 2 2 +1≤1 2 x2 + 2 2 2 ( )Mặt khác=: F 2 x +1 2  2x − 1 1= − 1 x + 2x +=1 − 1 x2 + 2 − 1 ≥ −1  x2 + 2 +  x2 +2  Bài 13: Tìm min hoặc max của: G = 6x −8 x2 +1 Lời giải Nháp : a =6xx2 − 8 => a.x2 − 6x + a + 8 =0 , có : + 1 ∆ ' =9 − a(a + 8) =−a2 − 8a + 9 =0 => a =1;a =−9 − x−3 2 x2 +1 +1≤1 ( )Khi đó=: G 2+  6x − 8 − 1= + 1 − x x2 6x − =9 + 1  x2 + 1  +1  ( )Mặt khác=: G 2+ 3x +1 2  6x − 8 + 9 = − 9 9 x x2 6x + 1=− 9 x2 + 1 − 9 ≥ −9  x2 + 1  +1  Bài 14: Tìm min hoặc max của: A= x6 + 27 x4 − 3x3 + 6x2 − 9x + 9 Lời giải Hạ phép chia ta được : A = x2 + 3x + 3 Bài 15: Tìm min hoặc max của: B = x6 + 512 x2 +8 Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

101 Lời giải ( )Hạ phép chia ta được : B = x4 − 8x2 + 64 = x2 − 4 2 + 48 ≥ 48 Bài 16: Tìm min hoặc max của: G = 4x4 +16x3 + 56x2 + 80x + 356 x2 + 2x + 5 Lời giải ( )Hạ phép chia ta được: G= 256 x2 + 2x + 5 =t => G =4t + 256 4 x2 + 2x + 5 + x2 + 2x + 5 , Đặt t Sau đó sử dụng co si là ra. Bài 17: Tìm min hoặc max của: I = −8 3x2 + 2 Lời giải Ta có : 3x2 + 2 ≥ 2 => 8 ≤ 8 =4 3x2 + 2 2 Bài 18: Tìm min hoặc max của: B= 2x +1 x2 + 2 Lời giải ( )Nháp : =2x 2x + 1 =0 => a =1; a =−1 a + 2 => a.x2 − 2x + 2a −1 =0 , có ∆ ' =1 − a 2a −1 2 ( )Khi đó ; x −1 2 B =  2x +1 − 1 +1 = −x2 + 2x −1 +1 = 1− x2 + 2 ≤1  x2 + 2 x2 + 2 x + 2 2 − 1 ≥ −1 2 x2 + 2 2 2 ( ) ( )( )Mặt khác=: B  2x + 1 + 1 =− 12 x2 + 4x + 4=− 1  x2 + 2 2 2 x2 + 2 2 ( )x2 y + x2 x2 − y +1 Bài 19: Tìm min hoặc max của: G = 2x4 + x4 y2 + y2 + 2 Lời giải 2=xx24y++xx44y−2 +x2yy2 ++12 =x4 + 1 1 2 x4 +1 + y2 x4 +1 y2 + 2 ( ) ( )=Ta có : G x4 +1 x2 +1 2 ( )Bài 20: Tìm min hoặc max của: H = Lời giải Đặt x2 + 1 =t => x2 =t − 1 => x4 =t2 − 2t + 1 , khi đó H =t2 − 2t + 1 + 1 =1 − 2 + 2 t2 t t2 Đặt 1 =a => H =2a2 − 2a + 1 t Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC