Computer Mathematics

41 4. จงแปลงเลขฐาน 10 ต่อไปนใ้ี ห้เปน็ เลขฐาน 2 1) 79 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2) 23.687 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4) 78.1034 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) 560.235 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ….………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 5. จงแปลงเลขฐาน 10 ตอ่ ไปนีใ้ ห้เปน็ เลขฐาน 8 1) 3565.731 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …..………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

42 2) 48796.555 …………………………………………………………… …………………………………………………………… ….………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 6. จงแปลงเลขฐาน 10 ต่อไปนใี้ ห้เปน็ เลขฐาน 16 1) 7897.25 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………..…………………………………………………… 2) 64781.275 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………..…………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………..………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………..…………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

43 บทท่ี 3 การค้านวณเลขฐาน ***************************************************************************************** สาระการเรยี นรู้ 1. การบวกเลขฐาน 2. การลบเลขฐาน 3. การคณู เลขฐาน 4. การหารเลขฐาน ผลการเรยี นรู้ทีค่ าดหวัง เม่อื ศกึ ษาเรือ่ งววิ ัฒนาการของตัวเลขจบแล้ว นกั ศกึ ษาสามารถ 1. บวกเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ได้ 2. ลบเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ได้ 3. คณู เลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ได้ 4. หารเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ได้ 5. นาความรแู้ ละทกั ษะทไ่ี ด้จากการเรยี นรู้ เร่ืองการคานวณเลขฐานไปประยกุ ต์ใชใ้ นการ เรียนร้งู านอาชพี และในชีวิตประจาวันได้ ***************************************************************************************** 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

44 3.1 การบวกเลขฐาน หลกั การในการบวกเลขฐาน 1. ถ้าบวกแล้วได้นอ้ ยกว่าเลขฐานของเลขนนั้ ให้ใสผ่ ลลัพธไ์ ดเ้ ลย 2. ถ้าบวกแล้วได้เท่ากับหรือมากกว่าเลขฐานน้ัน ให้เอาค่าฐานมาลบออก ได้เป็นตัวทด ของหลักตอ่ ไป และผลต่างท่หี ักออกจากฐานนั้น จะต้องมีคา่ นอ้ ยกวา่ ฐานน้ัน 3.1.1 การบวกเลขฐาน 2 การบวกเลขฐาน 2 มหี ลกั การบวกเช่นเดียวกับเลขฐาน 10 ถ้าผลการบวกมคี ่ามากกว่า หลกั จะต้องทด 1 ไปยงั หลกั ต่อไป ตารางที่ 3-1 การบวกเลขฐาน 2 +0 1 00 1 1 1 10 ตวั อยา่ งท่ี 3-1 จงหาผลบวกของ 110112 + 10012 11011 + 1001 100100  110112 + 10012 = 1001002 ตัวอยา่ งที่ 3-2 จงหาผลบวกของ 11012 + 11002 + 10012 1101 1100 + 1001 100010  11012 + 11002 + 10012 = 1000102 ตัวอยา่ งที่ 3-3 จงหาผลบวกของ 111.0102 + 101.1102 + 100.0012 111.010 101.110 + 100.001 10001.001  111.0102 + 101.1102 + 100.0012 = 10001.0012 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

45 3.1.2 การบวกเลขฐาน 8 การบวกเลขฐาน 8 ถ้าผลบวกเกิน 7 เม่ือไดผ้ ลบวกแล้วให้ลบออกเสีย 8 ซึง่ เป็นค่าฐาน ได้เทา่ ไหร่คอื ผลของการลบแลว้ ทด 1 ไปยงั ตาแหนง่ ทส่ี ูงกวา่ ตารางที่ 3-2 การบวกเลขฐาน 8 + 0123 4 5 6 7 00123 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 2 4 5 6 7 10 11 3 6 7 10 11 12 4 10 11 12 13 5 12 13 14 6 14 15 7 16 ตัวอยา่ งท่ี 3-4 จงหาผลบวกของ 2548 + 3468 254 + 346 622  2548 + 3468 = 6228 ตัวอยา่ งที่ 3-5 จงหาผลบวกของ 412.538 + 537.268 412.53 + 537.26 1152.01 412.538 + 537.268 = 1152.018 ตัวอยา่ งที่ 3-6 จงหาผลบวกของ 2135.348 + 526.6428 2135.340 + 526.642 2664.202  2135.348 + 526.6428 = 2664.2028 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

46 3.1.3 การบวกเลขฐาน 16 การบวกเลขฐาน 16 ถา้ ผลบวกเกิน 15 เมอ่ื ไดผ้ ลบวกแลว้ ให้ลบออกเสีย 16 ซง่ึ เปน็ ค่า ฐาน ได้เทา่ ไหรค่ ือผลของการลบแล้วทด 1 ไปยังตาแหนง่ ท่สี งู กว่า ตารางที่ 3-3 การบวกเลขฐาน 16 + 01234567 8 9 A B C D E F 001234567 8 9 A B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 2 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 3 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 4 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 5 A B C D E F 10 11 12 13 14 6 C D E F 10 11 12 13 14 15 7 E F 10 11 12 13 14 15 16 8 10 11 12 13 14 15 16 17 9 12 13 14 15 16 17 18 A 14 15 16 17 18 19 B 16 17 18 19 20 C 18 19 20 21 D 1A 1B 1C E 1C 1D F 1E ตัวอยา่ งท่ี 3-7 จงหาผลบวกของ 8C3E16 + 7A5F16 8C3E + 7A5F 1069D  8C3E16 + 7A5F16 = 1069D16 ตวั อยา่ งที่ 3-8 จงหาผลบวกของ 9AF.B516 + CBD.EF16 9AF.B5 + CBD.EF 166D.A4  9AF.B516 + CBD.EF16 = 166D.A416 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

47 แบบฝกึ หัดที่ 3.1 จงหาผลบวกของเลขฐานตอ่ ไปน้ี 5. 674.638+345.348 1. 100101.102+ 10110.112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 6. 2341.458+3454.568 2. 1110102+1110112+ 110112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 7. 940FA16+45B616 3. 101110.102+101101.12 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 8. 3DF76.4516+ 94AB.9516 4. 4563.458+3452.68 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………..………….. …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

48 3.2 การลบเลขฐาน 3.2.1 การลบเลขฐาน 2 กรณีตัวตงั้ น้อยกว่าตัวลบ จะต้องยืมหลักที่มีค่ามากกว่ามา 1 เพ่ือให้เป็น 2 แล้วนาไป ลบ 1 จะได้ผลลพั ธเ์ ทา่ กับ 1 ตวั อยา่ งท่ี 3-9 จงหาผลลบของ 101012 – 10102 10101 – 1010 1011  101012 – 10102 = 10112 ตัวอยา่ งท่ี 3-10 จงหาผลลบของ 1100.1012 – 101.1102 1100.101 – 101.110 110.111  1100.1012 – 101.1102 = 110.1112 ตวั อยา่ งที่ 3-11 จงหาผลลบของ 10011012 - 1111012 1001101 - 111101 10000  10011012 - 1111012 = 100002 3.2.2 การลบเลขฐาน 8 การลบเลขฐาน 8 ถา้ ตัวต้ังมีคา่ นอ้ ยกว่าตัวลบ ตอ้ งมกี ารยืมหลกั ท่มี ีคา่ มากกว่า ซงึ่ มีค่า เทา่ กับ 8 แล้วจงึ ลบกนั ได้ ตัวอยา่ งที่ 3-12 จงหาผลลบของ 25148 – 13678 2514 – 1367 1125  25148 – 13678 = 11258 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

49 ตัวอยา่ งที่ 3-13 จงหาผลลบของ 423.6528 – 254.2718 423.652 – 254.271 147.361  423.6528 – 254.2718 = 147.3618 ตัวอยา่ งท่ี 3-14 จงหาผลลบของ 765348 – 357268 76534 – 35726 40606  765348 – 357268 = 406068 3.2.3 การลบเลขฐาน 16 การลบเลขฐาน 16 ถ้าตัวต้ังมีค่าน้อยกว่าตัวลบ ต้องมีการยืมหลักทมี่ ีค่ามากกวา่ ซ่ึงมี คา่ เท่ากบั 16 แลว้ จึงลบกันได้ ตัวอยา่ งท่ี 3-15 จงหาผลลบของ BECF16 – AFDE16 BECF – AFDE EF1  BECF16 – AFDE16 = EF116 ตวั อยา่ งท่ี 3-16 จงหาผลลบของ A3516 – 47B16 A35 – 47B 5BA  A3516 – 47B16 = 5BA16 ตวั อยา่ งที่ 3-17 จงหาผลลบของ 15DAF8.B4B16 – 9D4B7.2AC16 15DAF8.B4B – 9D4B7.2AC C0641.89F  15DAF8.B4B16 – 9D4B7.2AC16 = C0641.89F16 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

50 แบบฝึกหดั ที่ 3.2 จงหาผลลบของเลขฐานต่อไปนี้ 5. 4553.458 - 635.3538 1. 1011012 - 110102 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 6. 3456.458 - 2345.568 2. 11111.012 - 1010.1012 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… 7. 895A16 – 4D4516 3. 10101.0012 - 111.112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 8. 9504.AF16 – 4563.2316 4. 64548 - 34568 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

51 3.3 การคูณเลขฐาน 3.3.1 การคณู เลขฐาน 2 สามารถกระทาไดใ้ นลักษณะเช่นเดยี วกบั การคณู เลขฐาน 10 ซง่ึ ก็คือทาการต้ังหลกั ของ การคูณใหต้ รงกัน โดยเรมิ่ จากบิต หรอื หลักตัวเลขทางขวามือสุดก่อน เมื่อได้ทาการคูณ ตัวต้ัง ด้วยตวั คูณทกุ ตาแหน่งแลว้ กใ็ ห้ทาการบวกโดยใช้กฎการบวกเลขฐาน 2 ตามปกติ ตารางที่ 3-4 การคูณเลขฐาน 2 x01 00 0 10 1 ตัวอยา่ งท่ี 3-18 จงหาผลคูณของ 101102 x 1012 10110 x 101 10110 00000 + 10110 1101110  101102 x 1012 = 11011102 ตัวอยา่ งที่ 3-19 จงหาผลคณู ของ 110.1012 x 11.112 110.101 x 11.11 110101 110101 + 110101 110101 11000.11011  110.1012 x 11.112 = 11000.110112 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

52 3.3.2 การคณู เลขฐาน 8 ตง้ั หลักของการคูณให้ตรงกัน โดยเร่มิ จากบติ ทางขวามือสดุ ก่อน การคูณเลขฐาน 8 มี หลักเกณฑ์ คือ ถ้าผลลัพธ์ของการคูณเลขแต่ละบิตมีค่าเกิน 7 ให้นา 8 ไปหารค่านั้น โดยนา ผลลัพธ์ของการหารไปเป็นตวั ทดในบิตถดั ไป และเศษของการหารใส่เป็นผลลัพธใ์ นหลกั ท่ีทาการ คูณกัน เม่ือทาการคูณตัวตั้งด้วยตัวคณู ทุกตาแหน่งแล้วให้ทาการบวกโดยใช้กฎการบวกเลขฐาน 8 ตามปกติ ตารางท่ี 3-5 การคูณเลขฐาน 8 X0123 4 5 6 7 00000 0 0 0 0 1 123 4 5 6 7 2 4 6 10 12 14 16 3 11 14 17 22 25 4 20 24 30 34 5 31 36 43 6 44 52 7 61 ตวั อยา่ งท่ี 3-20 จงหาผลคณู ของ 72658 x 2438 7265 x 243 26037 35324 + 16552 2256477  72658 x 2438 = 22564778 ตัวอยา่ งท่ี 3-21 จงหาผลคูณของ 34.278 x 15.68 34.27 x 15.6 25212 21563 3427 605.742  34.278 x 15.68 = 605.7428 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

53 ตวั อยา่ งที่ 22 จงหาผลคูณของ 716.58 x 5.28 716.5 x 5.2 16352 + 44111 4574.62  716.58 x 5.28 = 4574.628 3.3.3 การคณู เลขฐาน 16 ทาการตงั้ หลกั ของการคูณให้ตรงกัน โดยเรม่ิ จากบิตทางขวามือสุดก่อน แต่การคูณเลข ฐาน 16 น้ันมีหลักเกณฑส์ าคัญ คือ ถ้าผลลัพธ์ของการคณู เลขแต่ละบติ เมื่อคูณกันแลว้ มีคา่ เกิน 15 หรือค่า F ให้นา 16 ไปหารค่าน้ัน โดยนาผลลัพธ์ของการหารไปเป็นตัวทดในบิตถัดไป และเศษของการหารใส่เป็นผลลัพธ์ในหลักท่ีทาการคูณกนั น้ัน เม่อื ได้ทาการคูณตัวตั้งด้วยตัวคูณ ทกุ ตาแหนง่ แลว้ กใ็ ห้ทาการบวกโดยใช้กฎการบวกเลขฐาน 16 ตามปกติ ตารางที่ 3-6 การคณู เลขฐาน 16 x 0123 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 00000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 123 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 3 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 4 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 5 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 6 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 7 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 8 40 48 50 58 60 68 70 78 9 51 5A 63 6C 75 7E 87 A 64 6E 78 82 8C 96 B 79 84 8F 9A A5 C 90 9C A8 B4 D A9 B6 C3 E C4 D2 F E1 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

54 ตัวอยา่ งท่ี 3-23 จงหาผลคูณของ 59B16 x 2A16 59B x 2A 380E + B36 EB6E  59B16 x 2A16 = EB6E16 ตัวอยา่ งที่ 3-24 จงหาผลคณู ของ 2C.5E16 x 9.3C16 2C.5E x 9.3C 21468 851A + 18FAE 199.B408  2C.5E16 x 9.3C16 = 199.B40816 ตัวอยา่ งที่ 3-25 จงหาผลคูณของ 3AB.1916 x 3.A216 3BA.19 x 3.A2 75632 4AEFA + B014B D53.90D2  3AB.1916 x 3.A216 = D53.90D216 ตวั อยา่ งที่ 3-26 จงหาผลคณู ของ 9BA16 x 4C16 9BA x 4C 74B8 + 26E8 2E338  9BA16 x 4C16 = 2E33816 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

55 แบบฝกึ หดั ที่ 3.3 จงหาผลคณู ของเลขฐานต่อไปน้ี 6. 89D416 x 3316 1. 11012 x 102 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 7. B75316 x BC16 2. 101.012 x 11.12 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 8. A54.F16 x 4.B16 3. จงหาผลคณู ของ 4568 x 348 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 9. 4572.68 x 348 4. 367.48 x 44.58 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 10. BCEF16 x 5A16 5. 765.48 x 4.478 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………….………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………. …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

56 3.4 การหารเลขฐาน 3.4.1 การหารเลขฐาน 2 การหารในระบบเลขฐาน 2 ก็จะทาเช่นเดียวกันกับการหารเลขฐาน 10 โดยใช้วิธีการ หารแบบต้งั หารยาว โดนเกณฑ์การหารเลขฐาน 2 คือ 01=0 และ 11=1 ตัวอยา่ งที่ 3-27 จงหาผลหารของ 11012  1002 11.01 100 1101 100 101 100 100 100 000  11012  1002 =11.01 ตวั อยา่ งที่ 3-28 จงหาผลหารของ 10110112  1102 1111.0001 110 1011011 110 1010 110 1001 110 111 110 1000 110 10  10110112  1102 = 1111.00012 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

57 3.4.2 การหารเลขฐาน 8 การหารเลขฐาน 8 ก็มีวิธีเช่นเดียวกับการหารเลขฐาน 10 คือมีหลกั การคูณด้วย และ ทาโดยใช้วิธตี งั้ หารยาว ตัวอยา่ งท่ี 3-29 จงหาผลหารของ 3658  148 24.325 14 365 30 สตู รคณู 14 ในฐาน 8 65 1x14=14 60 2x14=30 50 3x14=44 44 4x14=60 40 5x14=74 30 6x14 =110 100 7x14 =124 74 4  3658  148 = 24.3258 ตวั อยา่ งท่ี 3-30 จงหาผลหารของ 745678  458 1510.317 45 74567 สตู รคูณ 45 ในฐาน 8 45 1x45=45 275 2x45=112 271 3x45=157 46 4x45=224 45 5x45=271 170 6x45 =336 157 7x45 =403 110 45 430 403 25  745678  458 = 1510.3178 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

58 3.4.3 การหารเลขฐาน 16 การหารเลขฐาน 16 ก็มีวธิ ีเชน่ เดียวกับการหารเลขฐาน 10 คอื มหี ลกั การคูณดว้ ย และ ทาโดยใช้วธิ ีตัง้ หารยาว ตัวอยา่ งที่ 3-31 จงหาผลหารของ C56E16 2516 สตู รคณู 25 ในฐาน 16 556 1x25 = 25 2x25 = 4A 25 C56E 3x25 = 6F B9 4x25 = 94 C6 5x25 = B9 B9 6x25 = DE DE DE 00  C56E16  2516 = 556 ตวั อยา่ งที่ 3-32 จงหาผลหารของ 90DAB16  8616 114B.C89 86 90DAB 86 สูตรคูณ 86 ในฐาน 16 AD 1x86 = 86 86 2x86 = 10C 27A 3x86 = 192 218 4x86 = 218 62B 5x86 = 29E 5C2 6x86 = 324 690 7x86 = 3AA 648 8x86 = 430 9x86 = 4B6 480 Ax86 = 53C 430 Bx86 = 5C2 500 Cx86 = 648 4B6 Dx86 = 6CE 4A  90DAB16  8616 = 114B.C8916 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

59 แบบฝกึ หัดที่ 3.4 จงหาผลหารของเลขฐานตอ่ ไปนี้ …………………………………………………………… …………………………………………………………… 1. 101102  102 …………………………………………………………… 3. 57428  478 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2. 1101112  1012 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4. 736448  568 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

…………………………………………………………… 60 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 5. 75C516  2916 …………………………………………………………… 6. 9BD1E16  4B16 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………..……………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ….………………………………..………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

61 แบบทดสอบทา้ ยบทท่ี 3 คา้ ช้ีแจง 1. ขอ้ สอบมีจานวน 20 ข้อ เวลา 50 นาที 2. จงแสดงวิธีทาโดยละเอยี ด 1. จงหาผลบวกเลขฐานตอ่ ไปนี้ 4) 753.48 + 6B.E816 (ตอบฐาน 8) 1) 110111.102 + 100101.112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2) 7453.458 + 4325.348 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 5) 4D516 + 6738 (ตอบฐาน 16) …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) AE4.9516 + 45B.1D16 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

62 6) 89C16 + 564.728 (ตอบฐาน 8) …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2. จงหาผลลบเลขฐานต่อไปนี้ .....………………………………………………………… 1) 110100112 - 10110112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………….……………………… …………………………………………………………… 2) 543.778 – 376.358 5) 498.A216–455.548 …………………………………………………………… (ตอบฐาน 16) …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………….…………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) 9F.B116 – 6A.2416 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………............................................................................ ……………………………………….…………………… ................................................................................................ …………………………………………………………… ................................................................................................ ......................................................................... ....................... 4) E38.F16 – 453.458 ................................................................................................ (ตอบฐาน 8) ...................................……………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………….……………………… ……………............................................................................ ................................................................................................ ................................................................................. ............... ................................................................................................ 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

63 3. จงหาผลคณู เลขฐานตอ่ ไปนี้ …………………………………………………………… 1) 111012 x 10112 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……….…………………………………………………… …………………………………………………………… ……….…………………………………………………… …………………………………………………………… ……….…………………………………………………… …………………………………………………………… ……….………………………………………………….… …………………………………….……………………… 2) 75268 x 2348 …………………………………….……………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………… 5) 45B.216 x 764.38 (ตอบฐาน 8) …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) D41916 x 3416 …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………..…………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………….…………………………………… ….…………………………………..……………………… ……………………….…………………………………… …………………………………………………………… ……………………….…………………………………… ……………………….…………………………………… 4) 62A16 x 768 (ตอบเลขฐาน 16) …………………………………………………………… ……….…………………………………………………… …………………………………………………………… 4. จงหาผลหารเลขฐานต่อไปน้ี …………………………………………………………… 1) 1111002  1102 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………….………………… …………………………………………………………… ………………………………………….………………… …………………………………………………………… ………………………………………….………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

2) 134768  178 64 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………….…………… …………………………………………………………… ……………………………………………….…………… …………………………………………………………… ……………………………………………….…………… …………………………………………………………… ……………………………………………….…………… …………………………………………………………… ……………………………………………….…………… …………………………………………………………… …………………………………….……………………… …………………………………………………………… …………………………………….……………………… …………………………………………………………… …………………………………….……………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 4) 9FB2D16  318 (ตอบฐาน 16) …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) C56E16  258 (ตอบเลขฐาน 8) …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………….…………… …………………………………………………………… ……………………………………………….…………… ……………………………………………….…………… ……………………………………………….…………… 13-132-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

65 บทท่ี 4 พีชคณติ บลู ีนและลอจกิ เกต (Boolean Algebra and Logic Gate) ***************************************************************************************** สาระการเรยี นรู้ 1. ลอจิกเกต (Logic Gate) 2. พีชคณิตบลู นี (Boolean Algebra) 3. ตารางคา่ ความจริง (Truth Table) 4. การลดรปู สมการตรรกะ ผลการเรียนรทู้ ่ีคาดหวงั เมื่อศกึ ษาเร่อื งวิวฒั นาการของตวั เลขจบแล้ว นักศึกษาสามารถ 1. เขา้ ใจและสามารถเลือกใชต้ วั กระทาทางลอจกิ ได้ 2. เขา้ ใจและสามารถพสิ จู นส์ มการโดยใชก้ ฎของพีชคณิตบลู ีนได้ 3. เข้าใจและสามารถสรา้ งตารางค่าความจรงิ จากสมการได้ 4. เข้าใจและสามารถลดรูปสมการตรรกะได้ 5. นาความรู้และทักษะทไ่ี ด้จากการเรียนรู้ เรอ่ื งพีชคณติ บลู นี และลอจกิ เกตไปประยกุ ตใ์ ชใ้ น การเรียนรงู้ านอาชีพและในชวี ติ ประจาวันได้ ***************************************************************************************** 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

66 4.1 ลอจิกเกต (Logic Gate) การทางานของระบบดิจิตอล สามารถอธิบายได้โดยใช้สมการพีชคณิตลอจิก (logic equation) ซ่ึงประกอบด้วย ตัวแปรลอจิก (logic variable) เป็นตัวแปรท่ีรับค่าเพียงสองค่า หรือเรยี กอีกอยา่ งหน่ึงวา่ ตัวแปรสองสถานะ (Bi-State variable) โดยมีข้อกาหนดคือ สามารถ มสี ถานะได้เพียงสองสถานะเท่านั้น และจะอยใู่ นสถานะใดสถานะหนึง่ เทา่ น้นั จะอยพู่ รอ้ มกันท้ัง สองสถานะในเวลาเดยี วกันไม่ได้ สถานะดังกล่าวอาจแทนความหมายต่าง ๆ เชน่ เปิด-ปิด, สูง- ต่า, หนง่ึ (1) –ศนู ย์ (0) เปน็ ตน้ 4.1.1 ตัวกระทา้ ทางลอจกิ (logic operators) เปน็ ตัวรับเอาตัวแปรลอจิกมาดาเนนิ การเพอื่ ให้ได้ผลลัพธ์ โดยผลลัพธ์ที่ได้ข้ึนอยู่กับชนิด ของตวั กระทาและสถานะของตัวแปรลอจกิ ที่ถูกกระทา เขียนแทนดว้ ยไดอะแกรมไดด้ ังภาพ ภาพท่ี 4-1 บล็อกไดอะแกรมของตวั กระทาทางลอจกิ Input(1) Logic Output(1) Inpu.. t(2) Operator Outp..ut(2) Input(n) Output(n) ตัวแปรอินพทุ 1 ตัว สามารถทาใหเ้ กดิ สถานะที่แตกต่างกันได้ 2 กรณี เช่น ตัวแปร A มีสถานะทีแ่ ตกต่างกันได้ 2 กรณี คอื A=0 หรือ A=1 เมื่อเพ่มิ จานวนตัวแปรอินพุทเป็น 2 ตัว เช่น A และ B สถานะที่แตกต่างกันจะเพ่มิ เป็น 4 กรณี หรือ 22 กรณี คือ A=0, B=0 หรือ A=0, B=1 หรือ A=1, B=0 และ A=1, B=1 ดงั นั้นถ้ามีตวั แปรอินพทุ จานวน n ตัว จะสถานะ ทีแ่ ตกตา่ งกนั ทั้งหมด 2n กรณี ตัวกระทาทางลอจกิ พนื้ ฐานไดแ้ ก่ AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR และ XNOR แบ่งออกตา่ งคณุ สมบตั กิ ารทางานไดด้ งั น้ี (1) เกตแอนด์ (AND gate) คือ เกตท่ีให้สัญญาณขาออกเป็น 1 เม่ือสัญญาณ ขาเขา้ ทกุ ตัวเปน็ 1 และจะให้สัญญาณขาออกเปน็ 0 เม่ือสัญญาณขาเขา้ ตัวใดตวั หน่งึ เปน็ 0 ตารางที่ 4-1 สัญลักษณเ์ กตแอนด์ สญั ลกั ษณ์ สมการลอจกิ ตารางความจรงิ Y=f(A,B)=A.B =AB Input Output A B f(A,B)=A.B 00 0 01 0 10 0 11 1 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

67 (2) เกตออร์ (OR gate) คือ เกตที่ให้สัญญาณขาออกเป็น 0 เมือ่ สัญญาณขา เข้าทกุ ตวั เปน็ 0 และจะใหส้ ญั ญาณขาออกเปน็ 1 เม่ือสัญญาณขาเขา้ ตัวใดตัวหนง่ึ เปน็ 1 ตารางที่ 4-2 สัญลกั ษณ์เกตออร์ สญั ลกั ษณ์ สมการลอจกิ ตารางความจรงิ Y=f(A,B)=A+B Input Output A B f(A,B) = A+B 00 0 01 1 10 1 11 1 (3)เกตนอต (NOT gate) คือ เกตที่ให้สัญญาณขาออกเป็นส่วนเติมเต็มของ สัญญาณขาเขา้ หรอื เป็นการสลับค่าของสัญญาณขาเขา้ เป็นความหมายเดียวกับตรรกะ \"นเิ สธ\" เกตนจ้ี ะรบั สญั ญาณขาเข้าเพยี งข้างเดียว ตารางที่ 4-3 สญั ลักษณ์เกตนอต สมการลอจกิ ตารางความจริง สญั ลักษณ์ Y=f(A,B) =A Input Output A f(A,B)=A 01 10 (4) เกตแนนด์ (NAND gate) คือ เกตท่ีให้สัญญาณขาออกเป็น 0 เมื่อ สัญญาณขาเขา้ ทุกตัวเป็น 1 และจะให้สัญญาณขาออกเป็น 1 เมื่อสัญญาณขาเข้าตัวใดตวั หน่ึง เปน็ 0 ตารางที่ 4-4 สญั ลักษณ์เกตแนนด์ สญั ลกั ษณ์ สมการลอจิก ตารางความจริง Y=f(A,B)=A.B Input Output A B f(A,B)=A.B 00 1 01 1 10 1 11 0 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

68 (5) เกตนอร์ (NOR gate) คือ เกตท่ีให้สัญญาณขาออกเป็น 1 เมื่อสัญญาณ ขาเขา้ ทกุ ตวั เป็น 0 และจะให้สญั ญาณขาออกเป็น 0 เม่ือสัญญาณขาเขา้ ตวั ใดตวั หน่งึ เปน็ 1 ตารางท่ี 4-5 สญั ลักษณเ์ กตนอร์ สญั ลักษณ์ สมการลอจกิ ตารางความจริง Y=f(A) = A+B Input Output AB f(A,B)= A+B 00 01 1 10 0 11 0 0 (6) เกตเอกซ์คลูซีฟออร์ (Exclusive-OR gate) คือ เกตท่ีให้สัญญาณขา ออกเป็น 0 เมื่อสัญญาณขาเข้าต่างกัน และจะให้สัญญาณขาออกเป็น 1 เม่ือสัญญาณขาเข้า เหมอื นกัน ซ่งึ A ⊕ B = (A + B) · (A + B) = A · B + A · B ตารางที่ 4-6 สญั ลักษณเ์ กตเอกซค์ ลซู ฟี ออร์ สัญลกั ษณ์ สมการลอจกิ ตารางความจรงิ Y=f(A,B) =AB Input Output =A.B+A.B A B f(A,B)=AB 00 0 01 1 10 1 11 0 (7) เกตเอกซ์คลูซีฟนอร์ (Exclusive-NOR gate) คือเกตท่ีให้สัญญาณขา ออกเป็น 1 เมื่อสัญญาณขาเข้าต่างกัน และจะให้สัญญาณขาออกเป็น 0 เม่ือสัญญาณขาเข้า เหมอื นกัน มีตัวดาเนนิ การคือ ⊕ ซง่ึ A ⊕ B = (A + B)· (A + B) = A·B + A·B 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

69 ตารางท่ี 4-7 สัญลกั ษณเ์ กตเอกซค์ ลซู ีฟนอร์ สัญลักษณ์ สมการลอจิก ตารางความจริง Y=f(A,B) =(AB) Input Output =A.B+A.B A B f(A,B)= AB 00 1 01 0 10 0 11 1 เกตทก่ี ล่าวมาน้ีไมไ่ ดเ้ ป็นอสิ ระต่อกนั กลา่ วคอื เกตบางตัวสามารถสร้างโดยเกตตัว อน่ื ๆ ได้ เช่น NOR สามารถสร้างจาก OR ตามด้วย NOT เป็นต้น ในจานวนเกตพื้นฐานน้ี มี เพียง NAND หรอื NOR ตวั ใดตัวหน่งึ กส็ ามารถสร้างเกตทเ่ี หลือท้งั 7 ตัวได้ 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

70 แบบฝกึ หดั ที่ 4.1 1. ข้อกาหนดของตวั แปรสองสถานะ (Bi-State variable) คอื ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. มีอนิ พุต 2 ตวั จะมีสถานะที่แตกต่างกนั ได้กี่กรณี ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. คุณสมบตั ิการทางานของเกตออร์ (OR gate) คอื และมีคุณสมบัติการทางานตรงกนั ข้ามกับ เกตใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. คณุ สมบัติการทางานของเกตแอนด์ (AND gate) คอื และมคี ุณสมบัติการทางานตรงกันขา้ ม กบั เกตใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. คุณสมบตั ิการทางานของเกตเอกซ์คลูซีฟออร์ (Exclusive-OR gate) คือ และมีคุณสมบัติการ ทางานตรงกันขา้ มกบั เกตใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. สัญลกั ษณเ์ กตใดบา้ งท่ีมคี ่าตรงกนั ขา้ มกนั พร้อมวาดสญั ลักษณ์ประกอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

71 4.2 พีชคณิตบูลนี (Boolean Algebra) 4.2.1 พ้นื ฐานของพีชคณิตบลู นี ทฤษฎีของบูลีน (Boolean Theory) เป็นทฤษฎีท่ีใช้ในการคานวณทางลอจิก ซึ่งใช้กับ เลขฐาน 2 ท่ีมีตัวแปร 0 และ 1 ร่วมกับการใช้งานของ AND Gate, OR Gate และ NOT Gate หรอื คอมพลีเมนท์ เนื่องจากเลขฐาน 2 มีความสาคัญมากในทางวงจรลอจกิ เกท กล่าวคือ สญั ลักษณ์ 0 และ 1 จะใช้แสดงสภาวะสองสภาวะของวงจร หรอื อุปกรณ์ดิจิตอลคอมพิวเตอร์ โดยสภาวะ 0 และ 1 นี้อาจจะมีลักษณะเป็น ON และ OFF สวิทช์ปิดและสวิทช์เปิด แรงดันไฟฟา้ สงู และตา่ แรงดันไฟฟา้ บวกและลบ เปน็ ตน้ หลักเกณฑ์ที่สาคัญของทฤษฎีบูลีน จะถูกนามาเขียนเป็นรูปสมการของตัวแปรแทน วงจรลอจกิ สามารถเปล่ียนรูปสมการบูลีนให้มรี ูปใหม่ที่มจี านวนเทอม และตัวแปรน้อยลงได้ ใน ทานองเดียวกัน สามารถเปลีย่ นแปลงวงจรลอจิกทีม่ ีจานวนเกทหลายตัว มคี วามซบั ซัอนมากให้มี ขนาดน้อยลง ขณะท่ฟี งั กช์ ่ันการทางานเหมอื นเดมิ ทฤษฎีของบูลีนซ่ึงมีกฎต่าง ๆ จึงมีประโยชน์และนาไปใช้งานในการเขียนสมการแทน วงจรลอจิกได้ และสามารถเขียนวงจรลอจกิ จากสมการบูลนี ได้ อีกทัง้ สามารถลดรูปวงจรลอจิกท่ี มีจานวนเกทมาก ๆ ซับซ้อนใหม้ ีขนาดเล็กลงได้ เพื่อความประหยดั ในการออกแบบลดเวลาหนว่ ง ในการทางานของวงจรลอจิก 4.2.2 ทฤษฎพี ชี คณติ บูลนี (Boolean Algebra Theorem) กฎของเอกลักษณ์ (Identity Law) (1) A + 0 = A (2) A . 1 = A (3) A + 1 = 1 (4) A + A = 1 (5) A . 0 = 0 (6) A . A = 0 (7) A + A = A (8) A . A = A กฎการสลบั ท่ี (Commutative Law) (9) A+B = B+A (10) A.B = B.A กฎการจัดหมู่ (Associative Law) (11) A + (B+C) = (A+B) + C (12) A. (B.C) = (A.B).C กฎการกระจาย (Distributive Law) (13) A + (B.C) = (A + B) . (A + C) (14) A. (B+C) = (A.B) + (A.C) 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

72 กฎการนิเสธ (Negation Law) (15) A = A (16) A = A กฎการลดทอน (Redundance Law) (17) A+ (A.B) = A (18) A. (A + B) = A (19) A + A.B = A + B (20) A. (A+B) = A.B ทฤษฎีของเดอรม์ อรแ์ กน (De Morgan’s Theorem) (21) (A + B) = A . B (22) (A.B) = A + B ตัวอยา่ งที่ 4-1 จงพสิ จู น์ว่า A.B + A.B + A.B = A+B กฎท่ี 11 = A.B + A.B + A.B กฎท่ี 14 = A.B + (A.B + A.B) กฎที่ 4 = A.B + B.(A + A) กฎท่ี 2 = A.B + B(1) กฎท่ี 19 = A.B + B =A+B  A.B + A.B + A.B = A+Bเป็นจริง ตวั อยา่ งที่ 4-2 จงพิสจู นว์ า่ A.B + A.C + A.B.C = A กฎท่ี 14 = A.B + A.C + A.B.C กฎที่ 21 = A. (B + C+ B.C) กฎที่ 4 = A. (B + C+ B.C) กฎที่ 2 = A.1 =A  A.B + A.C + A.B.C = A เปน็ จริง ตวั อยา่ งที่ 4-3 จงพิสูจน์ว่า A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = A + B.C = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = A.B.C + A.B.(C+ C) + A.B.(C + C) กฎท่ี 14 = A.B.C + A.B.(1) + A.B.(1) กฎท่ี 4 = A.B.C + A.B + A.B กฎท่ี 2 = A.B.C + A.(B +B) กฎท่ี 14 = A.B.C + A.(1) กฎที่ 4 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

73 = A.B.C + A กฎท่ี 2 = B.C + A กฎที่ 18  A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = A + B.C เป็นจริง ตัวอยา่ งที่ 4-4 จงพิสูจน์ว่า (A+B).(A+B).(A+C) = A.C = (A+B).(A+B).(A+C) = (A.A + A.B + B.A + B.B).(A + C) กฎที่ 14 = (A + A.B + A.B).(A + C) กฎท่ี 4,8 = ((A.(1+B)) + A.B).(A+C) กฎที่ 14 = A.1 + A.B . A+C กฎท่ี 3 = A.(1+B).(A+C) กฎท่ี 14 = A.1(A+C) กฎท่ี 3 = A. (A+C) กฎที่ 2 = A.A + AC กฎที่ 14 = A.C กฎที่ 6  (A+B)(A+B)(A+C) = A.C เปน็ จริง ตัวอยา่ งท่ี 4-5 จงพิสจู น์ A.B.(C+A.B) + BC =A.B.C กฎท่ี 14 = A.B.(C + A.B) + B.C กฎท่ี 12 = A.B.C + ABAB + B.C กฎที่ 6 = A.B.C + (A.A).(B.B) + B.C กฎที่ 14 = A.B.C + B.C กฎท่ี 18 = C.(A.B + B) กฎท่ี 21 = C.(A + B) กฎท่ี 10 = C.A.B = A.B.C  A.B.(C+A.B) + B.C =A.B.C เป็นจริง 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

74 แบบฝกึ หัดท่ี 4.2 1. จงพิสูจน์วา่ AB + AB + AB + AB = 1 พรอ้ มเขยี นกฎทใี่ ช้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..…………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงพิสูจน์วา่ A + BC + ABC = A + B พรอ้ มเขยี นกฎท่ใี ช้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. จงพิสูจน์ว่า AB + AB + AC + ABC = B + AC พรอ้ มเขยี นกฎท่ใี ช้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

75 4.3 ตารางคา่ ความจริง (Truth Table) ตารางคา่ ความจริง เป็นตารางท่ีใช้แสดงสถานะตรรกะทางเอาต์พุตท่ีเกิดข้ึนจากวิธีการ จดั หมขู่ องสถานะตรรกะทไ่ี ดจ้ ากตัวแปรทางอินพุต โดยท่ัวไปมักจะพบว่าวงจรตรรกะส่วนใหญ่มี จานวนอนิ พตุ มากกวา่ 1 อินพุต และทางอินพุตจะมีเพียงเอาตพ์ ุตเดยี วเทา่ น้นั เป็นตารางที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรลอจิกอินพุทและเอาท์พุทท่ีเป็นไปได้ ทง้ั หมดท่ีเกิดจากสมการลอจกิ ตารางค่าความจริงจะประกอบดว้ ย ค่าสถานะของตัวแปรลอจิก ทางดา้ นอนิ พทุ ที่เปน็ ไปไดท้ ง้ั หมด ซง่ึ มคี ่าเทา่ กับ 2n กรณี เมอ่ื n คือ จานวนตัวแปรลอจกิ ด้าน อินพุท และสถานะของตัวแปรลอจิกด้านเอาท์พุทท่ีเกดิ จากการกระทาทางลอจิกระหวา่ งตัวแปร ทางดา้ นอินพุทคา่ ตา่ งๆ Truth table สาหรับตัวแปรอินพุท 2 ตัว ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอินพุท A, B และเอาทพ์ ุท Y ดังแสดงในตวั อย่างที่ 1 ตารางที่ 4-8 ตารางคา่ ความจรงิ ของสมการลอจกิ ทมี่ ตี วั แปรอินพุต 1, 2 และ 3 ตวั แปร ตามลาดับ Input Output AB Y = f(A,B) 00 Y = f(A,B) =f(0,0) 01 Y = f(A,B) =f(0,1) 10 Y = f(A,B) =f(1,0) 11 Y = f(A,B) =f(1,1) ตัวอยา่ งที่ 4-6 จงเขียนตารางค่าความจรงิ ของสมการ Y=A+(B+C)+(A+B)+ABC จากสมการ Y=A+(B+C)+(A+B)+ABC โดยที่มีตัวแปรอินพุต 3 ตวั ดังนั้น จงึ มี เอาตพ์ ุตทง้ั หมด 23 = 8 กรณี A B C B C (B+C) (B+C) A+(B+C) (A+B) (A+B) A+(B+C)+(A+B) ABC Y=A+(B+C)+(A+B)+ABC 00011 1 0 0 10 00 0 00110 0 1 1 10 10 1 01001 1 0 0 01 10 1 01100 1 0 0 01 10 1 10011 1 0 1 10 10 1 10110 0 1 1 10 10 1 11001 1 0 1 10 10 1 11100 1 0 1 10 11 1 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

76 ตัวอยา่ งที่ 4-7 จงเขียนตารางค่าความจริงของสมการ Y = A.B + A.B จากสมการ Y = A.B + A.B โดยท่มี ีตัวแปรอนิ พุต 2 ตวั ดงั นน้ั จงึ มีเอาตพ์ ุตทัง้ หมด 22 = 4 กรณี A B A B AB AB Y = AB + AB 0011 0 0 0 0110 1 0 1 1001 0 1 1 1100 0 0 0 ตัวอย่างที่ 4-8 จงเขียนตารางค่าความจริงของสมการ (A+B)=A.B เพ่ือพิสูจน์ว่าท้ังสองค่า สมมลู กนั จากสมการ (A+B)=A.B โดยที่มีตัวแปรอินพุต 2 ตัว ดังน้ัน จึงมีเอาต์พุต ท้ังหมด 22 = 4 กรณี A B A B A+B A+B AB 0011 0 1 1 0110 1 0 0 1001 1 0 0 1100 1 0 0  (A+B)=A.B สมมลู กนั ตัวอย่างที่ 4-9 จงเขียนตารางค่าความจริงของสมการ B. (A+B).(A+C) = A.B เพ่ือพิสูจน์ว่า ทงั้ สอง ค่าสมมูลกนั จากสมการ B. (A+B).(A+C) = A.B โดยทม่ี ตี วั แปรอินพตุ 3 ตัว ดงั นัน้ จงึ มีเอาตพ์ ุตท้ังหมด 23 = 8 กรณี A B C A B C A+B A+C B. (A+B).(A+C) A.B 000111 1 1 1 1 001110 1 1 1 1 010101 1 1 0 0 011100 1 1 0 0 100011 0 1 0 0 101010 0 0 0 0 110001 1 1 0 0 111000 1 0 0 0  B. (A+B).(A+C) = A.B สมมลู กนั 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

77 แบบฝกึ หดั ท่ี 4.3 1. จงเขยี นตารางคา่ ความจรงิ ของสมการ (A+B).(A+B).(A+B).A ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงเขยี นตารางคา่ ความจริงของสมการ A.B.C + A.B.C + A.B + A.B.C + C ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. จงเขียนตารางค่าความจรงิ ของสมการ A + B.C + A.B.C = A + B ท้ังสองค่าสมมลู กนั ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

78 4.4 การลดรปู สมการตรรกะ 4.4.1 การใชพ้ ชี คณติ บลู นี ลดรปู สมการ โดยอาศัยความรู้จากกฎพีชคณิตบูลีนมาประยุกต์ใช้เพ่ือลดรูปสมการ ลดทอนตัวแปร ตา่ งๆ ให้เหลือนอ้ ยลง แต่ยังคงคา่ และความหมายเดมิ ตวั อยา่ งที่ 4-10 จงลดรปู สมการ Y = A.B+A.B+A.B กฎที่ 14 A (B+C)=(AB)+(AC) = A.(B+B)+ A.B กฎท่ี 4 A+ A = 1 = A.(1) + A.B กฎที่ 2 A.1 = A = A+A.B กฎที่ 4 A+ A = 1 = (1).B =B ตัวอยา่ งที่ 4-11 จงลดรูปสมการ Y = A.B.C+A.B.C+A.C และเขียนวงจรลอจกิ = A.B.(C+C)+ A.C กฎที่ 14 A (B+C)=(AB)+(AC) = A.B(1) + A.C กฎที่ 4 A+ A = 1 = A.B+A.C กฎท่ี 2 A.1 = A ABC A A.B.C CB CAB A.B.C+A.B.C+A.C A.B.C A A.C C A A.B A.B+A.C B A A.C C 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

79 ตวั อยา่ งที่ 4-12 จงลดรปู สมการ Y= A.B.C + A.B.C + A.B.C + B.C และเขียนวงจรลอจกิ = A.C.(B+B)+A.B.C+B.C กฎท่ี 14 A (B+C)= (AB) + (AC) = A.C.(1) + A.B.C + B.C กฎท่ี 4 A+ A = 1 = A.C+A.B.C+B.C กฎที่ 2 A.1 = A = C.(A+A.B)+B.C กฎที่ 14 A (B+C)= (AB) + (AC) = C.(A+B)+B.C กฎท่ี 18 A+AB=A+B = A.C+B.C+B.C กฎที่ 14 A (B+C)= (AB) + (AC) = A.C+B.(C+C) กฎท่ี 14 A (B+C)= (AB) + (AC) = A.C +B.(1) กฎท่ี 4 A+A = 1 =A.C+B กฎที่ 2 A.1 = A ABC CAB A.B.C+A.B.C+A.B.C+B.C A A.C A.C+B BC B A CB B C A C 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

80 4.4.2 การเขยี นวงจรลอจกิ จากสมการพีชคณติ การเขยี นวงจรลอจกิ จากสมการพีชคณิตน้ันต้องพิจารณาถึงสมการเป็นส่วน ๆ โดย เขียนจากส่วนย่อยไปหาสว่ นใหญ่ ตัวอยา่ งที่ 4-13 จงเขยี นวงจรลอจิกจากสมการ Y= (A.B).(A.C).(B.C).(A.C) ABC A A.B B YA C A.C (A.B).(A.C).(B.C).(A.C) B B.C C A A.C C ตัวอยา่ งท่ี 4-14 จงเขยี นวงจรลอจกิ จากสมการ Y= A.B.C.D + B.C.D + (B+D).(A.C) ABCD A B A.B.C.D C C.D B.C.D A.B.C.D+B.C.D+(B+D).(A+C) D YB B D DC A (B+D) C A+C (B+D).(A+C) 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

81 ตวั อยา่ งท่ี 4-15 จงเขียนวงจรลอจกิ จากสมการ Y = (A.B.C) + (A+C).(A+B+C) ABC A CB A.B.C (A.B.C)+(A+C).(A+B+C) A A+C C Y A+B+C A (A+C).(A+B+C) CB 4.4.3 การเขยี นสมการพชี คณติ จากวงจรลอจกิ การเขียนสมการพีชคณิตจากวงจรลอจิกจะใช้หลักการพิจารณารูปวงจรลอจิกที ละส่วน โดยเรมิ่ จากด้านอินพุต แล้วพิจารณาไปทางเอาต์พุตตามลาดับ แล้วนาสมการในแต่ละ เกตมารวมกนั ตามคณุ สมบัติของเกตนนั้ ๆ ตวั อยา่ งที่ 4-16 จงเขียนสมการจากวงจรลอจิกต่อไปนี้ ABCD Y  จากวงจรลอจกิ ข้างตน้ เขียนเป็นสมการไดค้ อื Y= (A+B+D).(A+B+C+D)+(B+C+D)+(A+B+C+D) 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

ตัวอยา่ งท่ี 4-17 จงเขียนสมการของวงจรลอจกิ ต่อไปนี้ 82 AB C Y  จากวงจรลอจิกข้างตน้ เขียนเป็นสมการได้คอื Y= (A+B).(A+A.B).C+A.(B+C)+A.B+A.B.C ตัวอยา่ งที่ 4-18 จงเขียนสมการของวงจรลอจิกตอ่ ไปน้ี A B CD Y  จากวงจรลอจกิ ข้างต้นเขียนเปน็ สมการได้คือ Y= A+B+C+D+ A+B+C+D+ A+B+C+D+C+D 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

83 แบบฝกึ หดั ที่ 4.4 1. จงลดรูปสมการ Y= ABC+ABC+AC+ABC และเขยี นวงจรลอจิก 2. จงเขียนวงจรลอจกิ จากสมการ Y = ABCD+ABCD+ABCD+ABD+AC+CD 3. จงเขียนสมการของวงจรลอจกิ ตอ่ ไปนี้ A BC Y ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

84 แบบทดสอบท้ายบทที่ 4 คา้ ช้แี จง 1. ข้อสอบมจี านวน 5 ขอ้ เวลา 50 นาที 2. จงแสดงวธิ ที าโดยละเอยี ด 1. จงพิสจู น์ว่า A.B+A.C+A.B.C = A+B.C พรอ้ มเขยี นกฎที่ใช้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………..……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………..……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงเขยี นตารางคา่ ความจริงของสมการ Y= A.B.C.D+A.B.C+A+B+C+D+A+B+C+D ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………..……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………..……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………..…………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………..………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………..………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

85 3. จงเขียนตารางค่าความจรงิ ของสมการ Y=(A+B).(A+B.C)+A.B+A.C+B.C และเขยี น วงจรลอจิก 4. จงเขยี นตารางคา่ ความจรงิ ของสมการ Y = (A+B+C+D).(A+B+C).A.B.C.D.B+C+D 13-133-101 คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

86 5. จงเขยี นสมการของวงจรลอจิกตอ่ ไปนี้ A B CD ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

87 บทที่ 5 การบนั ทึกขอ้ มูลในคอมพวิ เตอร์ (Data Representation) ***************************************************************************************** สาระการเรยี นรู้ 1. การแทนข้อมลู ในคอมพวิ เตอร์ (Data Representation) 2. การแทนข้อมูลด้วยวธิ ีที่เป็นตัวอักษร (Alphanumeric Data Representation) 3. การแทนข้อมูลทีเ่ ปน็ ตวั เลข (Numeric Data Representation) 4. การ Complement ผลการเรียนรทู้ คี่ าดหวัง เมื่อศกึ ษาเร่ืองวิวฒั นาการของตวั เลขจบแลว้ นักศกึ ษาสามารถ 1. เข้าใจการแทนขอ้ มลู ดว้ ยวธิ ที ี่เปน็ ตวั อักษร 2. เขา้ ใจการแทนขอ้ มูลท่เี ปน็ ตัวเลข 3. เขา้ ใจและสามารถหาการ Complement ได้ 4. นาความรู้และทกั ษะทไ่ี ดจ้ ากการเรยี นรู้ เร่ืองการบันทกึ ข้อมลู ในคอมพวิ เตอร์ไป ประยกุ ตใ์ ช้ในการเรียนรงู้ านอาชพี และในชีวิตประจาวนั ได้ ***************************************************************************************** 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)

88 5.1 การแทนขอ้ มูลในคอมพวิ เตอร์ (Data Representation) ขอ้ มูลมหี ลายรูปแบบ เช่น อักขระ สัญญาณเสียง ภาพ ฯลฯ คอมพิวเตอร์รับร้ไู ด้เพียง 2 สถานะเท่าน้ัน เปดิ /ปดิ หรือ 1/0 เราสามารถนาไปแทน เลขฐานสอง ได้คอื 1 กบั 0 การ จัดเก็บข้อมูลในลักษณะดังกล่าวคอมพิวเตอร์จะทาการแปลง ข้อมูลเหล่านั้นให้เป็นข้อมูล ใน ระบบเลขฐานสองเพื่อนาไปใช้งาน ในทานองเดียวกัน สาหรับการส่งข้อมูลจากคอมพิวเตอร์สู่ ภายนอกจะตอ้ งมีการแปลงข้อมูลกลับคนื 5.1.1 รหัส (Code) คือ สัญลักษณ์ในการแทนข่าวสารในรูปแบบที่เหมาะสม รหัสมีความจาเป็นอย่างมาก เกี่ยวกับการติดต่อระหว่างผู้ใช้กับเครื่องคอมพิวเตอร์ การประมวลผลข้อมูลโดยเขียนคาส่ัง ควบคุมให้เครอื่ งคอมพิวเตอร์ทางานทีเ่ ราตอ้ งการ หรือการสง่ ข้อมูลเข้าไปใหเ้ คร่ืองคอมพิวเตอร์ ประมวลผลโดยจะทางานกับข้อมูลนีใ้ นรูปแบบรหัสแทนขอ้ มลู 5.1.2 ขนาดของข้อมูล (Word Size) 5.1.2.1 บิต (Bit) คือ ข้อมู ลท่ี มีขน าดเล็กท่ี สุด ซ่ึงเป็น ข้อมูลที่ เครื่อง คอมพิวเตอร์สามารถเขา้ ใจและนาไปใช้งานได้ ซึง่ ได้แก่ เลข 0 หรอื เลข 1 เท่าน้ัน 5.1.2.2 ไบต์ (Byte) หรือ อักขระ (Character) ได้แก่ ตัวเลข หรือ ตัวอักษร หรือ สัญลักษณ์พเิ ศษ 1 ตวั เชน่ 0, 1, …, 9, A, B, …, Z และเคร่ืองหมายตา่ งๆ ซ่ึง 1 ไบต์ จะเท่ากบั 8 บิต หรอื ตวั อกั ขระ 1 ตัว เป็นต้น 5.1.2.3 ฟิลด์ (Field) ได้แก่ ไบต์ หรือ อักขระตั้งแต่ 1 ตัวข้ึนไปรวมกันเป็น ฟิลด์ เชน่ เลขประจาตวั ชื่อพนกั งาน เปน็ ต้น 5.1.2.4 เรคคอร์ด (Record) ไดแ้ ก่ ฟิลด์ตั้งแต่ 1 ฟลิ ด์ข้ึนไป ที่มคี วามสัมพนั ธ์ เกี่ยวขอ้ งรวมกันเปน็ เรคคอร์ด เชน่ ชื่อ นามสกลุ เลขประจาตัว ยอดขาย ข้อมูลของพนกั งาน 1 คน เปน็ 1 เรคคอรด์ 5.1.2.5 ไฟล์ (Files) หรือ แฟ้มข้อมูล ได้แก่ เรคคอร์ดหลาย ๆ เรคคอร์ด รวมกัน ซ่ึงเป็นเร่ืองเดียวกัน เช่น ข้อมูลของประวัติพนักงานแต่ละคนรวมกันทั้งหมดเป็นไฟล์ หรอื แฟ้มข้อมูลเกี่ยวกับประวตั พิ นกั งานของบรษิ ทั เปน็ ต้น 5.1.2.6 ฐานข้อมูล (Database) คือการเก็บรวบรวมไฟล์ข้อมูลหลายๆไฟล์ที่ เก่ียวข้องกันมารวมเข้าด้วยกัน เช่น ไฟล์ข้อมูลของแผนกต่างๆ มารวมกันเป็นฐานข้อมูลของ บรษิ ทั เปน็ ต้น 5.1.3 รหัสแทนขอ้ มูล คอื รหัสท่ีใช้แทนตัวเลข ตัวอักษร หรือสัญลักษณ์พิเศษตา่ ง ๆ ท่ีมใี ชใ้ นโปรแกรมคาสั่ง หรอื ขอ้ มูล เพ่อื ทาการประมวลผลด้วยคอมพิวเตอร์ ซงึ่ รหัสขอ้ มลู แบ่งออกเปน็ 2 ประเภท ดังน้ี คอื 5.1.3.1 รหัสภายนอกเคร่ือง (External Code) หมายถึง รหัสที่ใช้สาหรับการ บันทึกข้อมูลท่ีอยู่ภายนอกเคร่ืองคอมพิวเตอร์ เช่น การบันทึกข้อมูลบนบัตรเจาะรู โดยใช้ สญั ลกั ษณ์การเจาะรแู ต่ละแถวแทนข้อมลู 1 ตัวอกั ษร 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

89 5.1.3.2 รหัสภายในเครื่อง (Internal Code) หมายถึง รหสั ทีใ่ ช้แทนข้อมลู ทถ่ี ูก อา่ นและบันทึกอยู่ในหน่วยความจาของเคร่ืองคอมพิวเตอร์ ซึ่งรหัสท่ีใช้แทนข้อมูลภายในเคร่ือง คอมพิวเตอร์ มีหลายรูปแบบ 5.1.4 การเข้ารหสั เลขฐาน 2 (Binary Encoding) เป็นการแปลงขอ้ มูลท่ีเป็นตัวอักษร ตัวเลข และสัญลักษณ์พิเศษเปน็ ตัวเลขฐาน 2 เพื่อ ป้อนให้กับคอมพิวเตอร์ มีรหัสท่ีนิยมใช้อยู่ 2 รหัสข้อมูลได้แก่ EBCDIC และ ASCII โดยใช้ ข้อมลู ขนาด 1 ไบต์ ในการเข้ารหัส ปัจจุบันใช้รหัส UNICODE (เนื่องจากความต้องการรหัส สาหรับภาษา ท้องถิ่น) ใช้เลขฐาน 2 ขนาด 16 บิต สามารถแทนขอ้ มลู อักขระไดท้ กุ ภาษา 5.2 การแทนขอ้ มลู ดว้ ยวิธที ี่เปน็ ตวั อักษร (Alphanumeric Data Representation) การแทนข้อมูลที่เป็นตัวอักษรในคอมพิวเตอร์ ซ่ึงประกอบด้วยตัวพยัญชนะ ตัวเลขและ สัญลักษณ์อืน่ ๆ ซ่งึ รหสั ทีใ่ ชแ้ ทนข้อมลู เหล่าน้มี ีวธิ ีการลงรหสั ที่นิยมแพร่หลาย ดงั นี้ 5.2.1 รหัส BCD (Binary-Coded Decimal) เปน็ รหัสเลขฐาน 2 โดยใชท้ งั้ หมด 6 บติ เท่ากับ 1 ไบตแ์ ตล่ ะไบตจ์ ะแทนอักขระ 1 ตัว ดังน้ันสามารถสร้างรหัสท่ีแตกต่างกันได้ 64 รหัส (26=64) โดยแบ่งรหัส BCD ออกเป็น 2 สว่ น คือ 2 บิตแรก เป็นส่วนของ Zone bits และ 4 บิตหลัง เป็น Digit bits ซ่ึงเป็นค่าของ เลขฐาน 2 6 bit Zone bits Digit bits (1) ข้อมูลที่เป็นตัวเลข ส่วนที่เป็น Zone bits จะถูกกาหนดให้เป็น (00)2 และ ส่วน Digit bits จะเปน็ ค่าของเลขน้ัน ในระบบเลขฐาน 2 ตวั อยา่ งท่ี 5-1 จงแปลงคา่ 9 ให้เปน็ รหัส BCD 001001  คา่ 9 กาหนดให้เปน็ รหัส BCD คือ 001001 ตวั อยา่ งที่ 5-2 จงแปลงคา่ 524 ใหเ้ ป็นรหัส BCD 5= 0 0 0 1 0 1 2= 0 0 0 0 1 0 4= 0 0 0 1 0 0 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)

90 000100  ค่า 524 กาห น ดให้ เป็น รหั ส BCD คือ 000101 000010 กลุ่มดังนี้ (2) ข้อมูลท่ีเป็นตัวอักษร ส่วนที่เป็น Zone bits จะสามารถแบ่งออกเป็น 3 ตารางท่ี 5-1 การแบ่งโซนของอกั ขระท่ีเป็นตัวอกั ษรในรหสั BCD ความหมาย เร่ิม Zone bits Digit bits ตวั อยา่ ง รหัสทีไ่ ด้ A-I A 11 0001 A 110001 J-R J 10 0001 J 100001 S-Z S 01 0001 S 100001 ตวั อยา่ งที่ 5-3 จงแปลงค่า COM ใหเ้ ปน็ รหัส BCD C= 1 1 0 0 1 1 O= 1 0 0 1 1 0 M= 1 0 0 1 0 0  ค่า 524 กาหนดใหเ้ ป็นรหัส BCD คอื 110011 100110 100100 5.2.2 รหัส EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) เป็นรหัสขนาด 8 บิต สามารถแทนค่าข้อมูลหรือแทนอักขระและสัญลักษณ์ต่าง ๆ ได้ 256 ตัว (28=256) แบ่งออกเปน็ 2 ส่วน คือ 4 บิตแรกเปน็ Zone bits และ 4 บติ หลังเป็น Digit bits 6 bit Zone bits Digit bits (1) ข้อมูลที่เป็นตัวเลข ส่วนที่เป็น Zone bits จะถูกกาหนดค่าเป็น (1111)2 และส่วนทีเ่ ปน็ Digit bits จะเป็นคา่ ของเลขน้ันในระบบเลขฐาน 2 13-133-101 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ (Computer Mathematics)