หน่วยที่2-วงกลม

เอกสารประกอบการเรยี น รายวชิ า คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ ค 20206 หนว ยที่ 2 เร่ือง วงกลม ช่อื -สกุล.......................................................................... ชน้ั ........ม.3/...........เลขท่ี........................... โรงเรยี นเบญจมราชูทิศ จังหวัดจนั ทบุรี สํานกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษาเขต 17

1 บทที่ 2 วงกลม 1.สวนตา งๆของวงกลม วงกลม วงกลม เปน รูปเรขาคณิตบนระนาบซ่งึ แตละจดุ บนรูปเรขาคณิตน้ี อยูหางจากจุดคงท่ีจุดหนง่ึ บน ระนาบเดียวกนั เปนระยะเทา กนั สวนตางๆเกีย่ วกบั วงกลมท่ีนกั เรียนเคยรจู ักมาแลว มดี ังน้ี คอรด ถาลากสวนของเสนตรง โดยใหจดุ ปลายท้งั สองอยูบนเสนรอบวง เดียวกัน จะเรียกสวนของเสนตรงน้นั วา คอรด จากรูป คอรดของวงกลม คอื DE เมื่อลากคอรด 1 เสน บนวงกลม วงกลมนั้นจะถูกแบงออกเปน 2 สว น ทําใหเกิดสว นโคง 2 สว นโคง ไดแก  สวนโคง DFE เขยี นแทนดวยสญั ลักษณ DFE ซ่งึ เปน สวนโคงท่ยี าว กวา เรยี กวา สวนโคงใหญ ความยาวของสวนโคง DFE เขียนแทนดวย m(DFE)  สว นโคง DGE เขยี นดวยสัญลกั ษณ DGE ซ่ึงสวนโคงนี้เปน สวนท่สี ้นั กวา เรยี กวา สวนโคงนอ ย ความยาวของสวนโคง DGE เขียนแทนดว ย m(DGE)

2 คอรด ทีย่ าวที่สุดของวงกลม คือ เสนผานศนู ยก ลาง ซง่ึ จะแบง เสนรอบวงออกเปน 2 สว นโคง ท่ี มีความยาวเทากนั ทุกประการ จะเรยี กสว นโคง ทีม่ ีขนาดเทากนั น้วี า คร่ึงวงกลม เสนตัดวงกลมและเสนสัมผัสวงกลม ถา ลากเสน ตรงผานวงกลม โดยที่  เสนตรงนนั้ ตัดกับเสนรอบวงเพียงจดุ เดยี ว เรียกเสนตรงน้ันวา เสน สมั ผสั วงกลมและเรียกจุดตัดวา จุดสมั ผสั  เสนตรงนั้นตดั กับเสนรอบวง 2 จดุ เรยี กเสน ตรงนนั้ วา เสน ตดั วงกลม มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม มุมท่ีจดุ ศนู ยกลางของวงกลม คอื มมุ ทม่ี ีจดุ ยอดอยูทจ่ี ุดศูนยกลางของวงกลม โดยทแี่ ขนของมุมท้งั 2 ขาง ตัดกับเสน รอบวง จากรูป มมุ ที่จดุ ศูนยก ลางของวงกลม O ไดแ ก  IOJ ซงึ่ รองรับดวย IKJ  มุมกลับ IOJ ซ่งึ รองรบั ดว ย ILJ มุมในสวนโคง ของวงกลม มุมในสวนโคงของวงกลม คือ มุมท่ีมีจดุ ยอดอยูที่เสนรอบวง โดยท่ีแขนของมมุ ทงั้ 2 ขาง ตัดกบั เสนรอบวง จากรูป มุมในสวนโคงของวงกลม O ไดแก MQN ซ่งึ รองรบั ดวย MPN

มุมในคร่งึ วงกลม 3 มมุ ในคร่งึ วงกลม คอื มมุ ท่ีมีจุดยอดอยทู เี่ สนรอบวง โดยท่ี แขนของมุมทั้ง 2 ขาง ลากผา นจดุ ปลายท้งั สองของเสนผานศนู ยกลาง เสน หน่งึ จากรูป มมุ ในครึง่ วงกลมของวงกลม O ไดแก RŜT ซง่ึ รองรบั ดวย RUT โดยแขนของมมุ ลากผานเสน ผานศูนยกลาง RT ตวั อยางที่ 1 จากรปู ให O เปนจดุ ศูนยก ลางของวงกลม จุด A, B, C,D และ E อยูบน วงกลม จงตอบคาํ ถามตอ ไปน้ี 1) เรียก DE , OC และ AB วาอยางไร ........................................................................................................................ 2) คอรด ท่ียาวท่ีสดุ ของวงกลมวงหน่ึงมีชอ่ื เรยี กเฉพาะวาอยางไร .................................................................................................................................................................................... 3) คอรด ท่แี บงสวนโคงของวงกลมออกเปนสองสว นเทาๆกันคอื เสน ใด .................................................................................................................................................................................... 4) เรยี กสว นโคง ของวงกลมที่ถกู แบงดว ยคอรด ท่ีไมใชเสนผานศูนยก ลางวา อยางไร .................................................................................................................................................................................... ตัวอยา งที่ 2 ในรปู ตอไปนี้ให O เปนจดุ ศนู ยกลางของวงกลม จดุ A, B, C,D และ E อยูบนวงกลม ใหบอกช่ือของ มุมตามลักษณะของมมุ ในสวนตางๆของวงกลม โดยเขียนคาํ ตอบในชองวา ง 1) เรียก AB̂C วา ............................................ 2) เรยี ก AĈB วา ............................................ เรยี ก ADB วา ............................................

4 3) เรียก AOB วา ............................................ เรียก AĈB วา ............................................ เอกสารฝก หัดเพิ่มเตมิ 1 1. จากรูป จงบอกชอื่ สวนตา ง ๆ ที่ปรากฏบนวงกลมท่ีกําหนดใหต อไปน้ี ขอ วงกลม จุด รัศมี คอรด เสนตัด เสนสมั ผัส ศนู ยกลาง 1 .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. 2 .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. 3 .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. 4 .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. ..................

5 2. ใหน ักเรียนตอบคําถามตอไปน้ี 1) ในวงกลมหน่งึ มีคอรด ไดก ่ีเสน ตอบ................................................................................................................................................................. 2) รัศมขี องวงกลมเปนเสนตดั วงกลมหรือไม เพราะเหตุใด ตอบ................................................................................................................................................................. 3) ในวงกลมวงหนง่ึ มเี สน ตัดวงกลมไดก่ีเสน ตอบ................................................................................................................................................................. 4) เสน ตัดวงกลมผา นจุดศูนยกลางไดห รือไม ตอบ................................................................................................................................................................. 5) ในวงกลมวงหน่ึงมีเสนสัมผสั ไดก่ีเสน ตอบ................................................................................................................................................................. 6) เสน สมั ผสั วงกลมผา นจุดศูนยก ลางไดห รือไม ตอบ................................................................................................................................................................. 3. จากรูป จงบอกชอ่ื สวนตา งๆที่เก่ียวของกับวงกลม O ดังนี้ 1) เสนผานศนู ยกลาง คอื ................................................ 2) รัศมี คอื ................................................ 3) คอรด คอื ................................................ 4) คอรด ท่ียาวท่สี ุด คือ ................................................ 5) เสน สมั ผสั วงกลม คอื ................................................ 6) เสน ตัดวงวกลม คอื ................................................ 7) สวนโคง ที่เปนคร่ึงวงกลม คือ ................................................ 3. จากรูป จงบอกช่ือมุมแตละมมุ และสวนโคงแตละสวนโคง ที่เก่ยี วของกับวงกลม O ดงั นี้ (1) 1) มมุ ท่ีจุดศนู ยกลาง คือ ..................................................................................... 2) มมุ ในครงึ่ วงกลม คอื ..................................................................................... 3) มมุ ในสวนโคง ของวงกลม คอื ..................................................................................... 4) สวนโคงท่ีรองรับมมุ ที่จุดศูนยกลาง คือ ..................................................................................... 5) สวนโคงท่ีรองรบั มมุ ในคร่งึ วงกลม คอื ..................................................................................... 6) สวนโคงท่ีรองรบั มุมในสวนโคงของวงกลม คอื .....................................................................................

6 (2) 1) จุดศูนยก ลาง………………………………………………………… 2) เสน ผานศูนยก ลาง ………………………………………………… 3) รัศมี ……………………………………………………………………… 4) คอรด …………………………………………………………………… 5) คอรด ท่ยี าวทสี่ ุด……………………………………………………… 6) เสน สัมผสั วงกลม…………………………………………………….. 7) เสนตัดวงกลม…………………………………………………………. 8) มุมที่จดุ ศนู ยกลาง……………………………………………………. 9) มุมในสวนโคง ของวงกลม……………………………………………………………………………………………………………………….. 10) มุมในครงึ่ วงกลม…………………………………………………………………………………………………………………………………. 11) สวนโคง ที่รองรบั มมุ ท่ีจุดศนู ยกลาง………………………………………………………………………………………………………… 12) สว นโคง ท่ีรองรับมมุ ในสวนโคง ของวงกลม........................................................................................................... 13) สว นโคงที่รองรับมมุ ในครึ่งวงกลม........................................................................................................................ 2. มุมท่ีจุดศูนยกลางและมมุ ในสว นโคงของวงกลม ในวงกลมท่ีมีจุด O เปน จุดศูนยกลาง AOC ซ่ึงเปน มมุ ท่ี จดุ ศูนยกลางจะมีขนาดเปน 2 เทา ของ AB̂C ซง่ึ เปน มมุ ในสวนโคง ของวงกลมที่รองรับดว ย AC เหมือนกนั เสมอ ซ่งึ เปนไปตามทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎีบทที่ 1 ในวงกลมเดียวกัน มมุ ทจี่ ดุ ศูนยกลางจะมขี นาดเปน 2 เทา ของขนาดของมุมในสว นโคงของ วงกลมที่รองรบั ดวยสว นโคงเดยี วกัน

7 ตวั อยา งท่ี 3 จากรปู จงหาขนาดของ AB̂C บนวงกลมทม่ี ีจุด O เปนจดุ ศูนยกลาง วิธีทํา เนื่องจาก 2(AB̂C) = AOC (มุมที่จุดศูนยกลางจะมขี นาดเปน 2 เทาของขนาดของมุมในสวนโคงของ วงกลมท่ีรองรับดวยสวนโคงเดยี วกัน) และ AOC = 140° (โจทยกาํ หนด) จะได ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………… ดงั น้นั …………………………………………………………………………… ถา รูปสามเหล่ยี ม ABC เปนรปู สามเหลี่ยมในคร่งึ วงกลม มดี าน AC เปน เสน ผานศูนยกลางของวงกลม O จะทําให AB̂C เปนมุมในคร่ึง วงกลมทมี่ ขี นาด 90 องศาเสมอ ซึง่ เปน ไปตามทฤษฎีบทตอไปน้ี ทฤษฎีบทท่ี 2 มมุ ในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา ตัวอยา งที่ 4 จากรปู จงหาขนาดของ OĈB บนวงกลมท่มี ีจุด O เปน จุดศนู ยกลาง วิธีทํา เนื่องจาก AB̂C = 90° (มมุ ในครงึ่ วงกลม) และ AB̂O = 60° (โจทยกําหนด) จะได AB̂O + OB̂C = 90° จะได ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ดงั นน้ั ……………………………………………………………………………

8 ในวงกลมที่มีจุด O เปนจดุ ศนู ยกลาง AB̂C ซง่ึ เปน มมุ ในสว นโคง ของ วงกลมท่ีรองรับดว ย AC จะมีขนาดของมมุ เทา กบั มมุ ในสว นโคงของวงกลมท่ี รองรับดวยสว นโคง เดียวกนั เสมอ ซ่ึงเปน ไปตามทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎบี ทที่ 3 ในวงกลมเดียวกัน มุมในสวนโคง ของวงกลมที่รองรับดวยสว นโคงเดียวกนั จะมีขนาดเทากัน ขนาดเทา กัน ตัวอยางที่ 5 จากรปู จงหาขนาดของ CB̂D บนวงกลมทมี่ จี ดุ O เปนจดุ ศนู ยกลาง วิธีทาํ เนอื่ งจาก CB̂D = CÂD (มุมในสวนโคงของวงกลมท่ีรองรบั ดว ยสว นโคง เดียวกันจะมีขนาด เทากนั ) และ CÂD = 40° (โจทยกําหนด) จะได …………………………………………………………………………… ดังน้นั …………………………………………………………………………… ในวงกลมท่มี ีจุด O เปน จุดศนู ยกลาง AOB ซง่ึ เปนมมุ ทจี่ ุดศูนยกลาง ของวงกลมที่รองรับดว ย AB และ COD ซง่ึ เปนมมุ ท่จี ดุ ศนู ยกลางของวงกลมท่ี รองรบั ดวย CD จะเหน็ วา  ถา m(AB) = m(CD) แลว AOB = COD  ถา AOB = COD แลว m(AB) = m(CD) ซึ่งเปนไปตามทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎีบทที่ 4 1. ในวงกลมทีเ่ ทากันทกุ ประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถามุมท่ีจุดศนู ยกลางมขี นาดเทา กัน แลวสว นโคงที่รองรับมุมท่จี ุดศูนยก ลางนั้นจะยาวเทากนั 2. ในวงกลมที่เทากันทกุ ประการหรือในวงกลมเดยี วกัน ถา สวนโคงยาวเทากัน แลว มมุ ท่จี ดุ ศูนยกลางที่รองรับดว ยสวนโคงนน้ั จะมขี นาดเทากัน

9 ในวงกลมที่มีจุด O เปน จุดศูนยก ลาง AB̂C ซึ่งเปนมุมในสว นโคงของวงกลม ที่รองรบั ดวย AC และ CB̂D ซง่ึ เปนมมุ ในสวนโคงของวงกลมท่ีรองรบั ดว ย CD จะเห็นวา  ถา m(AC) = m(CD) แลว AB̂C = CB̂D  ถา AB̂C = CB̂D แลว m(AC) = m(CD) ซงึ่ เปน ไปตามทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎีบทท่ี 5 1. ในวงกลมทีเ่ ทากันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถามุมในสว นโคง ของวงกลมมี ขนาดเทากัน แลว สวนโคง ที่รองรบั มุมในสวนโคง ของวงกลมน้นั จะยาวเทากัน 2. ในวงกลมที่เทากันทกุ ประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมมุ ใน สวนโคง ของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงนัน้ จะมขี นาดเทากัน ตวั อยา งท่ี 6 จากรปู จงหาขนาดของ CB̂D บนวงกลมท่ีมจี ุด O เปนจดุ ศนู ยกลาง วธิ ีทํา เนื่องจาก m(AC) = m(CD) (โจทยกําหนด) และ AB̂C = CB̂D (ในวงกลมเดยี วกัน ถา สว นโคงยาวเทากัน แลวมมุ ในสวนโคง ของวงกลมที่รองรบั ดวยสวนโคงน้นั จะมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก CÂB = 90° (มมุ ในครึ่งวงกลม) และ ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ดังนัน้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

10 เอกสารฝกหัดเพม่ิ เตมิ 2 1. จากรปู จงหาขนาดของ AB̂C บนวงกลมท่ีมจี ดุ O เปนจดุ ศูนยกลาง 1) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 4) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

11 5) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 6) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2. จากรูป จงหาคาของ x บนวงกลมที่มจี ุด o เปนจุดศนู ยก ลาง 1) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

4) 12 5) …………………………………………………………………………………………… 6) …………………………………………………………………………………………… 3. คอรด …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ในวงกลมท่ีมีจดุ O เปน จดุ ศูนยก ลาง มี AB และ CD เปน สวนโคง นอยท่ีเกดิ จากคอรด AB และคอรด CD ตดั กับวงกลม O ตามลาํ ดับ จะเห็นวา  ถา AB = CD แลว m(AB) = m(CD)  ถา m(AB) = m(CD) แลว AB = CD  ถาสว นโคง นอยท่ีเกิดจากคอรด AB และคอรด CD ยาวเทา กัน แลวสว นโคง ใหญท่ีเกิดจากคอรด AB และคอรด CD จะยาวเทากันดวย ซงึ่ เปนไปตามทฤษฎบี ทตอไปนี้

13 ทฤษฎบี ทท่ี 6 1. ในวงกลมที่เทากันทกุ ประการหรือในวงกลมเดียวกนั ถาคอรด 2 เสนยาวเทากัน แลว คอรด ทั้งสองจะตดั วงกลมทําใหส ว นโคง นอ ยยาวเทากันและสว นโคง ใหญยาวเทากัน 2. ในวงกลมท่เี ทากนั ทุกประการหรือในวงกลมเดยี วกัน ถา คอรด 2 เสนตัดวงกลมจะทาํ ให สว นโคง นอยยาวเทากันและสว นโคง ใหญยาวเทากัน แลวคอรด 2 เสนน้ันจะยาวเทากัน ตัวอยางท่ี 7 จงพิสจู นวา ABC เปน รปู สามเหลย่ี มดานเทา วิธีทาํ เนื่องจาก m(AB) = m(BC) = m(AC) (โจทยก ําหนด) จะได .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. ดงั น้นั .............................................................................................................. ในวงกลมที่มีจุด O เปน จุดศนู ยกลาง มีคอรด AB ตัดกับเสนรอบวงท่จี ุด A และ B ตามลําดับ ไมว าคอรด AB จะอยตู ําแหนง ใดในวงกลมก็ตาม เสนตรงท่แี บง ครึ่งและตั้งฉากของคอรด AB จะผานจุดศูนยกลางของวงกลมเสมอ ซ่ึงเปนไปตามทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎีบทท่ี 7 เสนตรงทต่ี ั้งฉากและแบง ครึ่งคอรดของวงกลม จะผา นจุดศูนยกลางของวงกลมน้นั

14 ทฤษฎีบทที่ 8 สว นของเสน ตรงซึ่งผานจดุ ศูนยก ลางของวงกลมและตัดคอรด ท่ไี มใชเสน ผานศูนยก ลาง จะ มีสมบตั ิ ดงั นี้ 1. ถา สว นของเสนตรงต้งั ฉากกบั คอรด แลวสวนของเสนตรงน้นั จะแบงคร่ึงคอรด 2. ถา สวนของเสนตรงแบงคร่ึงคอรด แลวสว นของเสน ตรงนนั้ จะตั้งฉากกับคอรด ตัวอยางที่ 8 จงหารัศมีของวงกลม O เมอ่ื กาํ หนดให AB = 24 เซนติเมตร วิธีทาํ เน่ืองจาก OC ⊥ AB (โจทยกาํ หนด) และ AC = BC = 24 ÷ 2 = 12 ซม. (ถาสว นของเสนตรงซง่ึ ผา นจดุ ศนู ยก ลางของวงกลมตั้งฉากกับคอรด แลวสว นของเสน ตรงน้นั จะแบงครึ่งคอรด) ลาก AO จะได AO เปน รัศมขี องวงกลม O และทาํ ให AOC เปน รปู สามเหลยี่ มมุม ฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได AO2 = AC2 + OC2 ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ดงั น้ัน ................................................................ ในวงกลมทีม่ ีจุด O เปน จุดศนู ยก ลาง รปู ส่ีเหลย่ี ม ABCD จะมีจุดยอด มมุ อยบู นเสน รอบวงหรือเปน รปู ส่เี หลย่ี มแนบในวงกลม เมื่อ AB̂C + CDA = BĈD + DÂB = 180° น่นั คือ ผลรวมของขนาดของมุมคทู ี่อยู ตรงขา มกันเทากบั 180° ซึง่ เปนไปตามทฤษฎบี ทตอไปนี้ a + c = 180° ทฤษฎีบทที่ 9 b + d = 180° ผลรวมของขนาดของมุมตรงขา มของรปู สี่เหล่ียมที่แนบ ในวงกลมเทา กับ 180°

15 ตวั อยา งที่ 9 จงหาขนาดของ ADB วธิ ีทํา เนอ่ื งจาก ABCD เปน รูปสี่เหล่ยี มแนบในวงกลม และ BĈD = 75° (โจทยกาํ หนด) จะได BÂD + BĈD = 180° (ผลรวมของขนาดของมุมตรงขาม ของรูปสเ่ี หล่ยี มทีแ่ นบในวงกลม เทากับ 180°) …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. ในวงกลมท่มี ีจดุ O เปน จดุ ศนู ยกลาง มคี อรด AB ยาวเทากับคอรด CD แลวระยะหา งระหวางจุดศนู ยกลาง กบั คอรดทง้ั สองจะเทากัน และถาระยะหา งระหวา งจดุ ศนู ยกลางกบั คอรด ทัง้ สองเทา กนั กจ็ ะทาํ ใหค อรดทง้ั สอง ยาวเทา กันดวย ซ่งึ เปน ไปตามทฤษฎบี ทตอไปน้ี ทฤษฎีบทท่ี 10 1. ในวงกลมเดยี วกัน ถาคอรด 2 เสนยาวเทากัน แลวคอรด ทั้งสองนั้นจะอยหู างจากจุด ศูนยก ลางของวงกลมเปนระยะเทากัน 2. ในวงกลมเดียวกัน ถาคอรด 2 เสนอยูหางจากจุดศนู ยก ลางของวงกลมเปน ระยะเทากนั แลวคอรด 2 เสนน้ันจะยาวเทากัน

16 ตวั อยางท่ี 10 จากรูป จงหาความยาวของ OF บนวงกลมท่ีมีจดุ O เปนจดุ ศนู ยก ลาง เมื่อ AB = CD วิธีทํา เน่ืองจาก AB = CD (โจทยกาํ หนด) และ OE ⊥ AB และ OF ⊥ CD (โจทยกําหนด) จะได ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ดงั นั้น ………………………………………………………………………………… เอกสารฝกหัดเพิ่มเติม 3 1. จากรูป จงหาความยาวของคอรด AB บนวงกลมทีม่ จี ุด O เปนจุดศูนยกลาง 1) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

17 4) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 5) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 6) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2. จากรูป จงหาความยาวของรัศมีวงกลมท่ีมีจดุ O เปนจุดศูนยก ลาง 1) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

18 2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 4) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3. จากรูป จงหาขนาดของ AB̂C บนวงกลมที่มจี ุด O เปนจดุ ศูนยกลาง 1) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

19 2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 4) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 4. จากรูป จงหาระยะหางระหวางคอรด AB กบั จดุ O ท่ีเปน จดุ ศูนยก ลางของวงกลม 1) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

20 2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 5. จากรูป จงหาผลตางของระยะหางระหวางคอรด ท้งั สองกบั จดุ O 1) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

21 4. เสนสัมผสั วงกลม ในวงกลมทม่ี ีจดุ O เปน จดุ ศนู ยกลาง เม่ือเลอื่ นจุด A หรอื จุด B ทีอ่ ยูบ นเสนตดั วงกลมจน CÂO และ DB̂O มีขนาด 90° จุดทุกจดุ บนเสนตัดวงกลมจะรวมกันเปน จุดเดยี วและเสนตัดวงกลมนัน้ จะสมั ผัสวงกลมเพยี ง 1 จุด ซึ่งเปนไปตามทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎบี ทท่ี 11 เสนตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหน่งึ บนเสนรอบวงของวงกลมจะเปนเสนสัมผสั วงกลมทีจ่ ุดนั้น ตัวอยางที่ 11 จากรูป จงหาขนาดของ AOB วธิ ีทาํ เนอื่ งจาก OÂD = 90° (เสนสัมผัสต้งั ฉากกับรัศมีของ วงกลม) จะได OÂB = OÂD - 50° ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ดงั นั้น …………………………………………………………………………………

22 ในวงกลมทีม่ ีจดุ O เปน จุดศนู ยกลาง โดย PA⃗ และ PB⃗ เปนเสน สัมผัสวงกลม O ทีล่ ากมาจากจุด P ซง่ึ เปน จดุ ภายนอกวงกลมจุดเดยี วกนั มีจุด A และ B เปน จดุ สัมผัสวงกลม จะไดวา AP มีความยาวเทากับ BP ซงึ่ เปนไปตามทฤษฎบี ทตอไปนี้ ทฤษฎบี ทที่ 12 สว นของเสน ตรงที่ลากจากจุดจดุ หน่ึงภายนอกวงกลมมาสมั ผัสวงกลมวงเดียวกันจะยาว เทากันและมีได 2 เสน ตวั อยา งท่ี 12 จากรูป จงหาขนาดของ AP̂B วิธีทํา เนือ่ งจาก AP = BP (………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………….) จะได APB เปน รปู สามเหลีย่ มหนาจ่ัว และ ……………………………………………………………………………………………… ................................................................................................................... เนื่องจาก AP̂B + PÂB + PB̂A = 180° จะได. ......................................................................................................... ................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................

23 ในวงกลมทม่ี ีจุด O เปน จุดศนู ยกลาง โดย D⃖⃗E เปน เสน สัมผัสของวงกลม และมีจดุ สมั ผสั วงกลมทีจ่ ุด A ดงั รูป เม่ือเปล่ยี นตาํ แหนงจุด A ไปเร่ือย ๆ จะพบวา ขนาดของ BÂD = BĈA และ CÂE = CB̂A เสมอ ซง่ึ เปน ไปตามทฤษฎบี ทตอไปน้ี ทฤษฎบี ทท่ี 13 มมุ ที่เกดิ จากคอรด และเสนสัมผสั ของวงกลมทจี่ ดุ สมั ผัสจะมีขนาดเทากับขนาดของมุมใน สวนโคง ของวงกลมท่อี ยูตรงขา มกับคอรดน้ัน ตัวอยางท่ี 13 จากรปู จงหาขนาดของ AB̂C และ ACB วธิ ีทาํ เน่ืองจาก AB̂C = CÂE .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ..................................................................................................................

24 เอกสารฝก หัดเพิ่มเตมิ 4 1. จากรปู จงหาขนาดของ AB̂C บนวงกลมทมี่ ีจุด O เปน จุดศูนยกลาง 1) 2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... 3) 4) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...

25 5) 6) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... 2. พจิ ารณาขอ มูลท่กี ําหนดใหตอไปน้ี แลวหาความยาวรศั มขี องวงกลม O 1) กําหนดให AB = 30 เซนตเิ มตร และ AC = 18 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...

26 2) กําหนดให AB = 9 เซนติเมตร และ AC = 5 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... 3. จากรปู วงกลม O แนบในรปู สามเหลี่ยม ABC เม่อื AB = 21 เซนติเมตร BC = 16 เซนติเมตร และ AC = 25 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของ AM และ CL ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...

27 4. จากรปู ED เปนเสนผา นศนู ยกลางของวงกลม O โดยมี BA และ BC เปนเสนสมั ผัสของวงกลมท่ีจุด A และ C ตามลําดับ พสิ ูจนว า AD = CD ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...