บทปฏิบัติการที่ 4 กฎการอนุรักษ์พลังงานกล

29 O A T L Conservation of 4h Fr Mechanical Energy B W กฎการอนุรักษพ ลังงานกล ตอนที่ 1 การอนรุ กั ษพ ลังงานกลของการเคลื่อนทบ่ี นระนาบเอียง คาคงทโ่ี มเมนตความเฉือ่ ยของวตั ถุแข็งเกร็งดวยหลักการอนุรักษพ ลังงานของการกล้ิงบนระนาบ เอียง วตั ถุประสงคข องการวจิ ยั เพ่อื หาคา คงท่โี มเมนตความเฉอื่ ยของลูกบอลเหล็กและแทง ไมทรงกระบอกตัน ดวยหลกั การ อนรุ ักษพ ลงั งานของการกลิง้ บนระนาบเอยี ง คาคงท่โี มเมนตค วามเฉื่อยของวตั ถุแข็งเกรง็ เปน คาคงทเ่ี ฉพาะสำหรับวัตถแุ ข็งเกรง็ รปู ทรงใด ๆ (Serway & Jewett, 2014) ที่ใชในการคำนวณหาคาโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุ ในการเรียนการ สอนในรายวชิ าฟส ิกสพ ื้นฐานจะแสดงวธิ กี ารหาที่มาของสมการโมเมนตความเฉ่อื ยและคา คงทโี่ มเมนต ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกดวยวิธีการอินทิเกรตรอบแกนหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งเปนวิธีการที่ ซบั ซอ นทำใหผ ูเรยี นเกดิ ความสบั สนใจการเรยี นรจู งึ ทำใหผ เู รียนเกดิ ความเบอ่ื หนายในการเรียนเรื่อง โมเมนตค วามเฉื่อย มีนักฟสิกสหลายทานพยายามหาทีม่ าของสมการโมเมนตความเฉ่ือยอยางงาย ดว ยวธิ กี ารตา ง ๆ อาทเิ ชน S.-C. Hong และ S.-I. Hong (2013; 2014) ไดศ กึ ษาวิธีการหาคา โมเมนต ความเฉอ่ื ยของแผน จาน วงแหวน ทรงกลมตัน และทรงกลมกลวงดว ยวธิ ีการแกสมการอยางงายโดย ไมใชวิธีการอนิ ทิเกรต ในขณะที่ Cao (2012) ใชว ธิ กี ารทดลองอยา งงายเพ่ือหาคาคงท่ีโมเมนตความ เฉ่ือยของลกู ปง ปอง นอกจากนี้ Andersen (2007) ยังไดแสดงวธิ ีการหาคา คงท่โี มเมนตความเฉ่ือย โดยไมใ ชก ารอินทิเกรต จากงานวิจัยท่ีไดก ลาวมาจะเห็นไดวามีวิธีการหาคาคงทีโ่ มเมนตความเฉ่ือย อยา งงา ยโดยไมใ ชก ารอินทเิ กรต ดงั น้นั ในบทความนี้จงึ เปน การออกแบบชุดทดลองอยางงา ยสำหรบั หาคาคงท่ีโมเมนตค วามเฉื่อยของวัตถแุ ข็งเกรง็ ดวยหลกั การอนุรักษพลังงานของการกลิ้งบนระนาบ เอียง

30 การเคลอ่ื นท่ขี องวัตถบุ นเสนตรงท่ีมีความเรงคงที่ วัตถุเคลื่อนที่บนระนาบเอียงเปนตัวอยางของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวเสนตรงดวยความเร็ว เปลีย่ นไปอยางสมำ่ เสมอหรอื การเคลอ่ื นทีด่ วยความเรง คงท่ี สมการการเคล่ือนท่ีดวยความเรง คงทท่ี ี่ กำหนดใหระยะทางเปนฟง กช นั ของเวลาและกำหนดใหตำแหนงเร่ิมตนวัตถหุ ยุดนิ่งอยูกับที่ ( v0 = 0) สามารถเขียนสมการแสดงความสัมพนั ธไ ดเปน =s v0t + 1 at 2 (4.1) 2 เน่อื งจากตำแหนง เร่มิ ตน วัตถหุ ยุดนง่ิ อยกู ับท่ี ( v0 = 0) และความเรง ของวตั ถุ a = v t เขยี นสมการท่ี (4.1) ใหมไ ดเปน s = 1 vt (4.2) 2 หรือเขียนใหมไดเ ปน v = 2s (4.3) t โมเมนตค วามเฉ่อื ย พิจารณาการกลิ้งของวัตถุลงบนระนาบเอียงดังแสดงในภาพที่ 4.1 และจากกฎการอนุรัก พลงั งาน (Mungan, 2005; Hecht, 2007; 2008) เราสามารถพจิ ารณาการกลงิ้ ของวตั ถุลงบนระนาบ เอียงไดวา 1 2 ภาพที่ 4.1 การกล้ิงของวัตถุบนระนาบเอียง ผลรวมของพลังงานกลกอ น = ผลรวมของพลังงานกลหลัง ∑ Em1 = ∑ Em2 (4.4) Ep1 + Ek1 = Ep2 + Ek2 เม่อื พิจารณาจากภาพท่ี 1 วัตถวุ างทตี่ ำแหนงปลายสดุ ของระนาบเอียง วตั ถุจะมเี ฉพาะพลงั งาน ศักยเนื่องจากความสงู (h) ของระนาบเอยี งเทาน้ัน แตเมอ่ื วตั ถุกลิ้งลงมาตามระนาบเอียง (ตำแหนงที่ 2) วตั ถุจะมที งั้ พลังงานจลนของการเคลอื่ นทีแ่ ละพลงั งานจลนของการกล้งิ (Mungan, 2005) ดังนั้น จะไดวา mgh + 0 = 0 + 1 mv2 + 1 Iω2 (4.5) 22 เนื่องจากอตั ราเร็วเชงิ มมุ ของการกล้งิ v = ωR เขยี นสมการท่ี (4.5) ใหมไดเ ปน

31 =mgh 1 mv2 + 1 I v2 (4.6) 2 2 R2 เมือ่ พิจาณาโมเมนตค วามเฉ่อื ยของวัตถทุ ีเ่ ปน ทรงกลมตันและทรงกระบอกตัน I = mkR2 และ ความเร็วของการเคลอ่ื นท่ีจากสมการท่ี (4.3) จะไดวา 1 = 1 gh (4.7) t2 (1+ k ) 2s2 จากสมการที่ (4.7) เมื่อเปรียบเทียบกับสมการเสนตรง =y mx + c จะพบวา ,y = 1 t2 m = 1 k ) และ x = gh นั่นคือ สามารถคำนวณหาคาคงที่โมเมนตความเฉื่อยของวัตถุไดจาก 2s2 (1 + กราฟความสมั พนั ธร ะหวา ง 1 t2 บนแกน y และ gh 2s2 บนแกน x ตามลำดับ วิธีการดำเนนิ การวิจัย 1. วธิ ีการสรา งชุดทดลองอยา งงา ยสำหรบั หาคา คงทีโ่ มเมนตความเฉอ่ื ย วัสด/ุ อปุ กรณ 1. พ้ืนเอยี ง 2. แทง ไมท รงกระบอกตนั และลกู เหล็กทรงกลมตนั 3. นาิกาจับเวลาและไมเ มตร (ก) t5 h4 h5 t1 t2 t3 t4 h1 s5 h2 h3 s1 s2 s3 s4 (ข) t2 t3 t4 t5 h5 h1 h2 h3 h4 t1 s1 s2 s3 s4 s5 ภาพท่ี 4.2 การตดิ ตั้งชดุ อปุ กรณการทดลองเพ่ือหาคา คงที่โมเมนตค วามเฉ่ือยของ (ก) แทงไมทรงกระบอกตัน และ (ข) ลูกเหล็กทรงกลมตัน ดว ยวธิ กี ารปลอ ยใหกลิง้ ลงบนระนาบเอียง

32 วิธกี ารทดลอง 1. ปรับพน้ื เอยี งท่มี ุมคา ใดคา หน่งึ ดงั แสดงในภาพท่ี 4.2 และกำหนดระยะการปลอยวตั ถุ (s) ที่ ระยะตาง ๆ เมื่อเทียบกบั ระดับความสงู ของพ้นื เอยี งทต่ี ำแหนง นั้น 2. ปลอยวตั ถุใหก ลง้ิ ลงมาบนพื้นเอยี งที่ตำแหนงตา ง ๆ บนั ทึกเวลาการกลิ้งของวัตถุ 3. เขียนกราฟแสดงความสัมพนั ธร ะหวา ง  gh  (บนแกน x) และ 1 (บนแกน y) เพ่อื หา  2s2   t2  คาความชันของกราฟ (slope) โดยท่ี  = 1 แลว คำนวณหาคาคงทโี่ มเมนตความเฉอื่ ย (k)  slope (1+ k )  ตอนท่ี 2 การอนุรักษพ ลังงานกลของการเคลื่อนทีแ่ บบแกวง กวัด วัตถุประสงค 1. เพ่ือศึกษาการประยุกตใชเ ซนเซอรบนสมารตโฟน 2. เพื่อศกึ ษากฎการอนรุ ักษพ ลงั งานกลจากชดุ ทดลองเพนดลู ัมอยา งงา ย 3. เพ่อื คำนวณหาคา (g) เปรยี บเทยี บกันทง้ั สองการทดลอง เน้อื หาวชิ า ฟส ิกส คณติ ศาสตร สำหรับ ระดบั ชัน้ มัธยมปลาย อุปกรณ 1. ทส่ี ำหรบั แขวนเชอื ก 2. เชือก 3. Smart phone 4. ไมเมตรหรอื ตลบั เมตร สมารต โฟนเซนเซอร (แอปพลเิ คชัน) Android : SPARKvue, Androsensor, Physics Toolbox sensor suite iOS : SPARKvue, Kinetic Sensor กฎการอนุรักษพลังงานกล ในการทดลองนเ้ี ราจะสรา งชดุ ทดลองเพนดูลัมอยา งงา ยโดยใชส มารตโฟนแทนมวลและใชเปน เครื่องมือวดั ดวย โดยการแขวนสมารต โฟนดวยเชอื ก ดังแสดงในภาพที่ 4.3 เริ่มตนการทดลองดว ย การดงึ สมารตโฟนออกมาจากตำแหนง สมดุลในแนวดงิ่ แลว ปลอยใหเ คลื่อนท่ีแบบแกวงกวัดซ่งึ เปนการ เคลื่อนที่แบบคาบนั่นเอง ณ ตำแหนง B ซึ่งเปนจุดต่ำสุดสมารตโฟนมีอัตราเร็วเปน vB และแรง เนอ่ื งจากน้ำหนัก W และความตึงของเสน เชือก T โดยแรงทงั้ หมดน้กี ระทำตอสมารตโฟนท่ีจุดศูนย

33 มวลและจดุ หมนุ O แรงเขา สจู ดุ ศูนยกลาง Fr เกดิ ข้นึ ตลอดเสน โคงของการเคล่อื นที่แบบคาบ (ทีจ่ ุด ต่ำสดุ ของการแกวง กวัด Fr= T −W ) L h ภาพที่ 4.3 การศึกษากฎการอนรุ กั ษพ ลังงานกลของการเคล่อื นทีแ่ บบเพนดลู มั โดยใชส มารตโฟน Physics Education, 53 (2018) 015021 พิจารณากรณีท่ีแรงกระทำตอสมา∑รตโFฟนท=จ่ี ดุ B จะไดวา Fr ma = mvB2 L vB2 = La (4.8) เม่ือ m คอื มวลของสมารตโฟน L คือ ความยาวของแขนเพนดลู มั และ a คือ ความเรง เขา สจู ุดศูนยก ลาง ณ จุดต่ำสดุ ของการแกวงกวัด ดงั น้นั ถา วดั คาความเรง เขา สูจดุ ศนู ยกลาง ( a ) ไดแ ลวกจ็ ะสามารถคำนวณหาความเรว็ ของมวล ทจี่ ุดตำ่ สุด (จุด B ในภาพที่ 4.3) ของการเคล่อื นท่ีได พิจารณาจากกฎการอนุรักษพลังงานกลระหวางจุด A และ B โดยที่จุด A เปนจุดเริ่มตน การ ปลอ ยเพนดลู ัม จะไดวา พลังงานกลรวมทจี่ ุด A = พลงั งานกลรวมทจี่ ดุ B ∑ EA = ∑ EB mgh = 1 mvB2 2 vB2 = 2gh (4.9) จากสมการ (4.8) และ (4.9) จะไดว า La = 2gh

34 a = 2g h (4.10) L ดังนั้น ความเรงเขา สูจุดศูนยกลาง ณ จุดต่ำสุดของการเคลื่อนที่แบบแกวงกวดั จะแปรผันตรง กบั ความสงู ( h ) ณ ตำแหนงเริ่มตนทจ่ี ุด A เพอื่ เปน การยนื ยันการทดลองวาเปนการอนุรักษพลังงาน กลสีระหวางจดุ A และ B เราจึงปลอยสมารตโฟนทจ่ี ุด A ทร่ี ะดับความสงู ( h ) ตา ง ๆ กัน แลววัดคา ความเรง ( a ) เพื่อยืนยันวา h แปรผันตรงกบั a นอกจากนีแ้ ลวยงั สามารถคำนวณหาคา ไดจาก สมการที่ (4.10) หรือจากกราฟแสดงความสมั พันธร ะหวา ง h (แกน x) กับ a (แกน y) ตอนท่ี 3 กฎของฮคุ วตั ถุประสงค เพ่ือ 1. เขียนและวิเคราะหกราฟแสดงความสัมพนั ธร ะหวางแรงทีใ่ ชด งึ สปรงิ กบั ระยะท่ีสปรงิ ยืดออก จากตำแหนง สมดุล 2. อภปิ รายเพือ่ สรปุ เกย่ี วกับความสัมพนั ธระหวางแรงท่ีใชดงึ สปรงิ กับระยะท่สี ปรงิ ยดื ออกจาก ตำแหนง สมดุล 3. อภิปรายเพื่อสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางงานของแรงที่ใชดงึ สปริงกับพลังงานศักย ยืดหยนุ ของสปรงิ การเคลือ่ นที่ของวัตถุมวล m ที่ผูกตดิ กับสปริง ซึ่งวางอยูบ นพ้ืนลื่น (ภาพที่ 4.4) เมื่อสปริงไม ยืดออกหรือหดเขา และ วัตถุวางอยูนิ่งไมเคลื่อนท่ี เราเรียกตำแหนงนี้วา จุดสมดุลของระบบ (equilibrium position) โดยกำหนดใหเ ปนตำแหนง ท่ี x = 0 (ภาพท่ี 4.4(ข)) เม่ือดงึ วตั ถอุ อกหา ง จากจุดสมดุลเปน ระยะ x จะเกิดแรงกระทำเน่ืองจากสปรงิ กระทำตอวัตถุ ซึ่งแรงดงั กลา วเปนไปตาม กฎของฮคุ (Hooke’s Law) ดงั สมการ Fs = − kx (4.11) เราเรยี กแรง Fs วาแรงดงึ กลบั (restoring force) เพราะวา ทศิ ของแรงนี้จะพุงเขาหาจุดสมดุล เสมอและมีทศิ ตรงขามกบั การกระจัดของวัตถุเมื่อวัดเทยี บกบั จุดสมดุล นัน้ คอื เมือ่ เราดึงวัตถุใหสปริง ยืดออกจากจดุ สมดุล x = 0 ไปทางขวาเปน ระยะ x ดังภาพที่ 4.4(ก) การกระจดั มีทิศไปทางขวาและมี เครื่องหมายบวกสวนแรงดึงกลับ Fs มีทิศไปทางซา ยพงุ เขา หาจุดสมดุลและมเี ครอื่ งหมายลบ เมื่อกด วตั ถุเขา สปรงิ จะหดตัวหาจุดสมดลุ x = 0 ไปทางซายเปนระยะ x ดงั ภาพที่ 4.4(ค) การกระจัดมีทิศไป ทางซายและมีเครื่องหมายลบ สวนแรงดึงกลับ Fs มีทิศไปทางขวาพุงเขาหาจุดสมดุลและมี เครอ่ื งหมายบวก

35 ภาพท่ี 4.4 กลองออกแรงผลักสปรงิ ใหเ คล่ือนทีบ่ นผิวท่ีไมมีแรงเสียดทาน ที่มา (Serway & Jewett, 2014; p. 451) การเอาสปริงสองอันซ่งึ มคี านจิ ของสปริง k1 และ k2 ตามลำดับ มาตอกนั อาจจะตอกันไดใน 2 ลกั ษณะคอื ตอแบบขนาน และตอ แบบอนุกรม คา นิจของสปรงิ รวมกันท้งั สองเปนดังนี้ การตอแบบขนาน k= k1 + k2 (4.12) การตอแบบอนุกรม 1= 1 + 1 หรือ k = k1k2 (4.13) k k1 k2 k1 + k2 ขณะที่เราดึงสปริงใหยืดออกหรือกดใหหดจากตำแหนงสมดุลเปน ระยะ x จะทำใหสปริงมี พลังงานสะสมอยูปริมาณหนึ่ง พลังงานที่สะสมอยูในสปริงขณะยืดออกหรือหดเขาจากตำแหนง สมดุลนี้เรียกวา พลังงานศักยยืดหยุน (elastic potential energy) โดยพลังงานศักยยืดหยุนใน สปรงิ หาไดจากงานของแรงทใ่ี ชดงึ สปริงใหยดื ออกหรือแรงกดสปริงใหห ดเขา EPs = 1 kx2 (4.14) 2 วัสดแุ ละอปุ กรณ 1 ชุด 1. ตมุ นำ้ หนกั 2 อนั 1 อัน 2. สปริง 3. ไมบ รรทัด/ตลบั เมตร วิธีทำการทดลอง 1. กรณีใชสปรงิ ตวั เดียว 1. ยึดปลายสปริงดานหน่ึงใหแนน แลวใชเครื่องชัง่ สปริงเกี่ยวทีป่ ลายอกี ดานหนึ่ง วางสปรงิ และเคร่อื งชงั่ ใหอ ยูใ นแนวขนานกับไมบ รรทัด ใหป ลายสุดของสปริงดานท่ีเกย่ี วกับเครื่องชั่งสปริงอยู ตรงขดี ศนู ยของไมบรรทัด

36 2. ใชเ คร่อื งชั่งสปริงออกแรงดงึ สปรงิ ใหย ืดออกจากตำแหนง สมดุลครั้งละ 1 cm บนั ทกึ ขนาด ของแรงดงึ กบั ระยะทสี่ ปรงิ ยดื ออกจากตำแหนง สมดลุ จนสปริงยดื ออกเปน 5 cm 3. เขียนกราฟระหวา งขนาดของแรงดงึ กบั ระยะทีส่ ปริงยืดออก โดยใหข นาดของแรงดงึ (F) อยูในแนวแกนตั้ง และระยะที่สปริงยืดออก (x) อยูในแนวแกนนอน แลวหาคาความชันของกราฟ (คา คงท่ีของสปรงิ k) 4. หาพลังงานศักยย ืดหยนุ ของสปรงิ ท่ตี ำแหนงตา ง ๆ 5. เขียนกราฟระหวางพลงั งานศักยย ดื หยนุ ของแรงดงึ ทีต่ ำแหนง ตา ง ๆ โดยใหพลงั งานศักย ยืดหยุน (Eps) อยใู นแนวแกนตง้ั และระยะทีส่ ปริงยดื ออกยกกำลงั สอง (x2) อยใู นแนวแกนนอน 6. หาคาความชันของกราฟ 2. กรณสี ปรงิ 2 ตัว ตอกันแบบอนุกรม ทำการทดลองเหมือนกรณสี ปริงตวั เดยี ว เพยี งแตนำสปรงิ 2 อนั มาตอเรยี งกัน 3. กรณสี ปรงิ 2 ตัว ตอกันแบบขนาน ทำการทดลองเหมอื นกรณสี ปริงตัวเดียว เพยี งแตน ำสปรงิ 2 อนั มาตอขนานกัน เอกสารอางอิง Andersen, W.L. (2007). Noncalculus treatment of steady–state rolling of a thin disk on a horizontal surface. The Physics Teacher. 45: 430 – 433. Cao, X.-S. (2012). Moment of inertia of a ping – pong ball. The Physics Teacher, 50, 292. Ma D, Liu C, Zhao Z, & Zhang H. (2014). Rolling friction and energy dissipation in a spinning disc. Proceeding of Royal Society A. 470: 20140191 (22pp). Hong, S.–C. & Hong, S.–I. (2013). Moments of inertia of disks and spheres without integration. The Physics Teacher. 51: 139 – 140. Hong, S.–I. & Hong, S.–C. (2014). Moments of inertia of spheres without integration in arbitrary dimensions. European Journal of Physics. 35: 025003. Mungan, C. E. (2005). A primer on work–energy relationships for introductory physics. The Physics Teacher. 43: 10 – 16.