บทปฏิบัติการที่ 7 การเคลื่อนที่แบบคาบ

51 7Periodic Motion การเคล่อื นทีแ่ บบคาบ ตอนท่ี 1 เพนดูลมั อยา งงาย (Simple Pendulum) วตั ถปุ ระสงค 1. เพ่อื หาความสัมพนั ธร ะหวางคาบกบั ความยาวของแขนเพนดลู มั 2. เพ่ือหาความสัมพนั ธร ะหวางมมุ เริม่ ตนกบั คาบ 3. เพอื่ หาคาความเรงเนือ่ งจากแรงโนมถวงของโลก ณ ตำแหนง ทีท่ ำการทดลอง อุปกรณการทดลอง 1. ตมุ นำ้ หนกั 2. เครื่องจบั เวลาโฟโตเกจ 3. Smartphone สำหรบั บันทึกภาพวีดโี อ 4. โปรแกรม Tracker ทฤษฎี เพนดลู มั อยางงา ยหรอื ลกู ตุม นาิกาอยางงา ย คอื วตั ถุทแี่ ขวนจากจุดตรึงดวยแขนของเพนดูลัม ซึง่ อาจจะเปนดายเชือกหรอื แทงวตั ถุเลก็ ๆก็ได เมื่อดงึ วตั ถุไปจากตำแหนง สมดลุ แลวปลอ ยวัตถุเคลื่อน ท่ี ผานตำแหนงนี้ โดยระนาบการแกวงจะอยูในแนวดิง่ และแขนของเพนดูลัมจะทำมุม θ กับแนวดิ่ง ดัง ภาพที่ 7.1 เนอ่ื งจากแรงดึงเพนดูลมั จะมีทศิ พุง เขาหาตำแหนง สมดุลเสมอ

52 ภาพท่ี 7.1 เพนดูลมั อยา งงาย [Radi & Rasmussen, 2017, p. 492] ดังนน้ั F = − mg sinθ (7.1) เมอ่ื m = มวลเพนดลู มั (7.2) g = ความเรง เนอื่ งจากแรงโนมถวงของโลก (7.3) (7.4) ถา θ เปนมมุ เลก็ มาก ไมเ กนิ 5 องศา (7.5) sinθ ≅ θ (radian) ≈ tanθ (7.6) (7.7) F = − mgθ (7.8) F = − mg x (7.9) L (7.10) (7.11) แตใ นการเคลอ่ื นท่ีแบบฮารม อนกิ อยา งงายของสปริง F = − kx หรือ ω2 = k ดังนัน้ m สมการ (7.4) เทากบั สมการ (7.8) k = ω2m F = − ω2mx ดังน้นั ω2 = g L 2π = T g หรอื T = 2π L g จากสมการ (7.10) จะได L g = 4π 2 L T2

53 สมการ (7.10) และ (7.11) แสดงใหเหน็ วา คาบการแกวง (T) ของเพนดลู ัมขนึ้ อยกู บั ความยาว ของแขนเพนดูลมั (L) และความเรง เนอ่ื งจากแรงโนมถว งของโลก (g) ณ ตำแหนงทท่ี ดลองโดยไมไดขนึ้ กับ มวลของเพนดูลมั แตอ ยางใด วธิ ีการทดลอง (อยาลมื บนั ทกึ ภาพวีดโี อการทดลอง) ตอนท่ี 1 ความสัมพนั ธร ะหวางคาบ กับ ความยาวของแขนเพนดลู มั ใหจับลูกตุมเบนไปทางดานขางใหเชือกเอยี งไปจากแนวดิง่ หรอื แนวตำแหนง สมดุลเปนมมุ เล็กๆ แลวปลอยใหลูกตุมแกวง บันทึกคาความยาวของแขนเพนดูลัมและคาบ ตอไปใหเปลี่ยนความยาวของ แขนเพนดูลัมหลายๆคา แลว ปฏิบตั ิเชน เดิม โดยใหมุมที่เบนไปของเสนเชอื กเทา กนั ทกุ ครั้ง นำคาท่ีไดไป หาความสัมพันธตอ กัน ตอนท่ี 2 ความสมั พันธร ะหวางมมุ เรมิ่ ตนกบั คาบ ใหความยาวของแขนเพนดูลัมคงที่ เมื่อทำใหเสนเชือกหรือแขนของเพนดูลัมเบนไป เปนมมุ ตา งๆกันแตล ะมุม ปลอยใหลกู ตุมแกวง หาคาคาบของการแกวง บันทึกคามุมและคาบของการแกวงแต ละครัง้ แลวนำคามมุ และคาบไปหาความสมั พนั ธตอ กัน เม่ือความยาวของแขนเพนดลู ัมคงท่ี ตอนที่ 3 ความสมั พันธร ะหวางมวลกบั คาบ ใหความยาวของแขนเพนดลู ัมคงที่ เมอ่ื ทำใหเสนเชือกหรอื แขนของเพนดลู ัมเบนไป โดยการเพิม่ คาตางๆ ปลอ ยใหลูกตุม แกวง หาคาคาบของการแกวง บันทกึ คา มวลและคาบของการแกวงแตละครั้ง แลวนำคา มวลและคาบไปหาความสัมพันธตอกนั เม่อื ความยาวของแขนเพนดลู ัมคงที่ นำผลท่ไี ดจ ากการทดลองตอนที่ 1 2 และ 3 ไปเขยี นกราฟความสัมพันธร ะหวาง L และ T2 θ และ T และ m และ T แลว หาคา ความเรง เนื่องจากแรงโนม ถว งของโลก ณ สถานที่ทีท่ ดลอง g จากความชันของกราฟซ่ึงจะสอดคลองกบั สมการ (7.11)

54 ตอนท่ี 2 การเคลอ่ื นท่แี บบฮารม อนิกอยางงา ย วตั ถปุ ระสงค 1. เพอ่ื หาคาคงตวั ของสปริง 2. เพอื่ หาความสมั พนั ธระหวางคาบกบั มวล ทฤษฎี การเคล่อื นทแ่ี บบฮารม อนิกอยางงา ย (Simple Harmonic Motion: SHM) เปน การเคลื่อนทขี่ องที่ วัตถุเคลื่อนที่กลับไปกลับมารอบ ๆ ตำแหนงสมดุล (equilibrium position) โดยที่แอมพลิจูด (amplitude) ของการสั่นคงที่ ซึ่งการการเคลื่อนที่เชนนี้จะเกิดขึ้นไดก็ตอเมื่อมีแรงคืนตัว (restoring force) ซึ่งมีขนาดแปรผันโดยตรงกับการกระจัดของวัตถุ โดยที่แรงคืนตัวจะมีทิศทางตรงกันขามกบั การ กระจดั ของวตั ถุเสมอ พจิ ารณาวตั ถมุ วล m ติดกบั สปรงิ ทมี่ ีคาคงตวั สปรงิ (spring constant) k (สมมติให สปริงไมม มี วล) วางอยูบนพืน้ ท่ีไมมแี รงเสียดทานดังแสดงในรปู 7.2 กำหนดใหต ำแหนง ของตำแหนงสมดลุ ของวตั ถุ (ไมม กี ารยืดและหด) เปนตำแหนง x = 0 ภาพท่ี 7.2 ระบบของมวลตดิ สปรงิ แรงสปริงทาหนาที่เปนแรงคนื ตัว ขณะวตั ถเุ กิดการเคลอื่ นทเ่ี ปน ระยะทาง จากตำแหนง สมดลุ แรงลัพธท กี่ ระทำตอวตั ถุคอื แรงคนื ตวั ของ สปรงิ ( Fr ) จากกฎของฮคุ (Hooke’s law) แรงคนื ตวั ของสปรงิ เขยี นไดวา Fr = − kx (7.12) เคร่ืองหมายลบดา นหนาแสดงใหเห็นวา แรงคนื ตัวมที ิศทางตรงกนั ขามกบั การกระจดั เสมอ จากกฎการ เคลือ่ นท่ี ขอที่ 2 ของนิวตัน สามารถเขียนไดวา

55 ∑ F = ma = − kx (7.13) เม่อื a คือความเรง ของวัตถุท่ีตำแหนง x เน่ืองจากความเรง เปน อนพุ ันธเ ชิงเวลา (time derivative)ของการกระจดั ดงั นัน้ สมการท่ี 7.13 สามารถเขียนในรปู สมการเชงิ อนพุ นั ธ (differential equation) ของการกระจัดไดเ ปน d2x = − kx (7.14) m dt2 ซง่ึ จัดรูปใหมไดเ ปน d2x = − kx m dt2 d2x + k x =0 dt 2 m กำหนดให ω2 =k ดังนั้น จะได m d2x + ω2 x =0 (7.15) dt 2 สำหรับผทู ่มี ีพืน้ ฐานการแกส มการเชงิ อนพุ นั ธจะสามารถหาคำตอบของสมการอนุพันธไ ดสำหรับนักศึกษา ทม่ี ี พืน้ ฐานในสว นนีส้ ามารถดผู ลเฉลยของสมการเชิงอนุพนั ธไ ดในตำราสมการเชงิ อนพุ นั ธท วั่ ไป ผลเฉลย ของ สามารถที่ 4 สามารถเขียนอยูใ นรปู ดังน้ี =x Asin (ωt + θ) (7.16) โดยท่ี x แทนการกระจดั (displacement) x A แทนแอมพลจิ ดู (amplitude) ซง่ึ เปน การกระจดั ท่มี ีคา มากท่สี ดุ A ω แทนความถ่เี ชงิ มมุ (angular frequency) θ แทนมมุ เฟสเริ่มตน เมอ่ื เวลา t = 0 ωt + θ เปน มมุ เฟส (Phase angle) ปรมิ าณทอี่ ยูในวงเล็บ คอื มุมเฟส (phase angle) หรอื เฟส (phase) ของการเคลื่อนที่ ซง่ึ ทเี่ วลาเร่มิ ตน (t = 0) เฟสมคี า เทา กับ θ ดงั นนั้ เราอาจเรียก θ วา เฟสเรม่ิ ตน (initial phase) สวนปรมิ าณ k m บอกถึงความถ่ีเชิงมมุ ของการเคล่อื นที่ ซึง่ มักใชสญั ลกั ษณ ω นน่ั คอื ω=k (7.17) m

56 โดยความถี่เชิงมุมสัมพันธกับความถ่ี (frequency) ซึ่งบอกจำนวนของการเคลื่อนที่ตอวินาที และคาบ (Period) T ซ่ึงบอกเวลาทใี่ ชใ นการเคล่อื นท่ีครบหน่งึ รอบ ผา นความสมั พันธ ω = 2πf = 2π ∴ f= 1 T T  ดังนน้ั ความถ่ีและคาบของการเคลื่อนท่ีของมวลตดิ สปริง อธิบายไดโ ดย f= 1 k (7.18) 2π m T = 2π m (7.19) k k= 4π2 m (7.20) T2 เมื่อ k คือ คาคงตัวของการยดื หยนุ (Elastic constant) T คือ เวลาของการเคล่อื นทคี่ รบรอบ หรือ คาบ ฟงกชันของไซน (Sine Function) ในสมการท่ี (7.16) จะซำ้ คาเดมิ ในทกุ ๆ คร้ังทมี่ มุ เฟส ωt เพม่ิ ขึ้นอีก 2π ดังน้ัน การกระจดั ของอนภุ าคจะซ้ำเดมิ อกี ครั้ง หลังจากชวงเวลา 2π ไดผา นไป ω จา=ก x Asin(ωt + θ) แตถาเวลาผา นไป t + 2π ไดค วามสัมพนั ธว า ω =x A sin ω 2π + t  + θ ω  =x Asin(ωt + θ) (7.21) จะเห็นวาสมการท่ี (7.21) จะกลับมามรี ปู ซ้ำเดิมดังสมการท่ี (7.16) อีก ดังนั้นเราสามารถที่หาอัตราเร็ว และอตั ราเรง โดยหาคาอนพุ ันธข องสมการ (7.16) เทียบกับเวลา t จะได v= dx = Aωcos(ωt + θ) dt a= d 2x = Aω2 sin(ωt + θ) dt 2 = − ω2 x (7.22) สมการ (7.22) เปน สมการแสดงถงึ อัตราเรง ของการเคลอื่ นท่ีแบบฮารม อนกิ อยางงา ยของอนุภาค ดังแสดง ในภาพที่ 7.3

57 x ปฏิบพั A 2π 0 บพั บัพ 2π 2π time -A ปฏบิ ัพ ภาพที่ 7.3 ความสัมพันธระหวางการกระจัดกับเวลา จากสมการ (7.19) เราสามารถคำนวณหาคาคงตัวสปริงไดจากการวัดคาบการสั่นของมวลติดสปริง สำหรับมวลขนาดตาง ๆ กนั ไดอยา งไรกต็ าม สมการน้ไี ดมาจากการสมมติวาสปริงไมมมี วล ซึง่ ในความเปน จรงิ แลว เราตองรวบรวมมวลทัง้ ระบบซึง่ มผี ลตอการเคลอื่ นท่ีแบบฮารม อนกิ โดยไมไดมีเฉพาะมวลของ ตุมน้ำหนัก ดังนั้น เราสามารถอธิบายผลอันเนื่องมาจากมวลของสปริงไดโดยเพิม่ มวลยังผล (effective mass) Meff เขาไปซ่ึงเกิดจากผลมวลของสปริงนัน่ เอง จึงสามารถเขยี นสมการท่ี 7.20 ใหมไ ดว า M= m + M eff (7.23) โดยที่ M คอื มวลรวมทั้งระบบ m คือ ผลรวมของมวลของตมุ นำ้ หนกั และฐานรอง Meff คือ มวลยงั ผลของสปรงิ ดงั น้ัน สมการท่ี (7.19) อาจจะเขยี นไดเ ปน T = 2π m + M eff (7.24) k ( )=T 2 4π2 (7.25) k m + M eff เมือ่ เขียนกราฟแสดงความสมั พันธระหวาง T 2 กับ m โดยให T 2 เปน แกนต้งั และ m เปนแกนนอน จะไดก ราฟเสนตรงมคี วามชนั เทา กบั 4π2 และตัดแกน T2 ท่ี 4π2 ดงั ภาพที่ 7.4 k k M eff

58 T2  4π2    M eff  k  ความชัน = 4π2 k m −M eff ภาพท่ี 7.4 แสดงกราฟความสมั พันธระหวาง T 2 กับ m จากคาความชนั และคา ทีต่ ดั แกน T 2 ทำใหสามารถหาคาคงตัวนจิ ของสปรงิ (k) และคามวลยังผลของ สปรงิ ( Meff ) ได อปุ กรณท ดลอง 1. ชุดทดลองการเคลอ่ื นท่ีแบบฮารม อนกิ อยา งงา ย ซง่ึ ประกอบดว ย - สปรงิ - ฐานรองใสตมุ น้ำหนัก - ขาตั้ง 2. นากิ าจบั เวลา 3. ชุดตมุ น้ำหนัก 4. ไมเมตร 5. Smartphone สำหรับบันทึกภาพวดี โี อ 6. โปรแกรม Tracker

59 วิธีการทดลอง ตอนท่ี 1 การหาคา คงตวั ของสปรงิ (k) 1.1 นำสปริงไปแขวนทขี่ าต้ังพรอมใสฐ านรองลกู ตุมเขากับสปรงิ วัดตำแหนง ปลายลางของฐานรองลูกตุม จนถึงดา นบนสดุ ของแทน ยดึ สปริง บันทึกเปนตำแหนง x0 เพอื่ เปน ตำแหนงอางอิง ดังภาพที่ 7.5 ภาพท่ี 7.5 การยดื ตวั ของสปรงิ 1.2 เพม่ิ มวล 50 กรมั ลงบนฐานรับลูกตมุ บันทึกระยะทส่ี ปริงยดื ออกจากตาแหนง x0 1.3 ทำซำ้ ในขอ 1.2 โดยเพ่มิ มวลอกี 4 คา ครง้ั ละ 50 กรมั (โดยแตล ะครงั้ วัดระยะยดื จำนวนสามครง้ั เพอ่ื หาคา เฉลยี่ ) 1.4 คำนวณหาระยะยืดของสปรงิ เฉลยี่ ซึง่ ไดจากคา เฉล่ยี ของระยะยดื ออกไปลบดวยคา ตำแหนง เรม่ิ ตน ( x0 ) 1.5 เขยี นกราฟระหวางน้ำหนักท่ดี งึ สปรงิ ใหยดื ออกกับระยะยืดของสปริง แลว คำนวณหาคาคงทส่ี ปรงิ (k) จากกราฟ (g = 9.87 เมตร/วนิ าท2ี ) ตอนท่ี 2 การหาคา มวลยังผลของสปริง ( Meff ) ท่มี ผี ลตอ การเคล่ือนที่ 1. นำสปรงิ ไปแขวนติดกบั ขาตงั้ พรอมใสฐานรองพรอ มตุมมวล 50 กรัม 2. ใสต ุมน้ำหนักแลวออกแรงดึงหรอื ผลักฐานรองตมุ นำ้ หนักเพียงเลก็ นอ ย ใหสปรงิ สน่ั ขึ้น -ลงในแนวดง่ิ (ตอ งไมส ายไป-มา) 3. จบั เวลาของการเคลอื่ นทขี่ น้ึ ลง 10 รอบ 3 ครง้ั แลวนำไปคำนวณหาคาเฉลย่ี 4. เพม่ิ มวลอีกครงั้ ละ 50 กรัมอกี 4 คร้งั โดยแตละครั้ง ทำการซ้ำขอท่ี 2 และ 3 5. คำนวณหาคาบในการเคลื่อนที่ T (เทา กบั เวลาเฉลย่ี ในการเคลอื่ น 10 รอบ หารดว ยจำนวนรอบ) และ คำนวณหา T 2

60 6. เขยี นกราฟระหวางคาบการสน่ั กำลงั สอง T 2 กบั มวลทีห่ อย m (มวลฐานรอง + มวลตุมน้ำหนกั ) คำนวณหาคาความชันของกราฟ และหาจดุ ตดั บนแกน y 8. โดยสมการท่ี (7.21) และ (7.22) คำนวณหาคา คงทส่ี ปรงิ และคา มวลของสปรงิ ทมี่ ผี ลในการเคลอ่ื นที่ เอกสารอา งองิ Baker, G. and Blackburn, J. A. (2005). The Pendulum: A case study in physics. United States: Oxford University Press. Matthews, M. R., Gauld, C. F. and Stinner, A. (2005). The Pendulum: Scientific, Historical, Philosophical and educational perspectives. Netherlands: Springer. Pook, L.P. (2011). Understanding pendulums: A brief introduction. New York: Springer. Vogt, P. and Khun, J. (2012). Analyzing simple pendulum phenomena with a smartphone acceleration sensor. The Physics Teacher, 50, 439 – 440. Khun, J. and Vogt, P. (2012). Analyzing spring pendulum phenomena with a smartphone acceleration sensor. The Physics Teacher, 50, 504 – 505. Pestka, K. A. and Warren, C. (2012). Hooke's Law and the Stiffness of a Plastic Spoon. The Physics Teacher, 50, 470–471. Matthews, M. R., Gauld, C. F. and Stinner, A. (2005). The Pendulum: Scientific, Historical, Philosophical and educational perspectives. Netherlands: Springer. Baker, G. and Blackburn, J. A. (2005). The Pendulum: A case study in physics. United States: Oxford University Press.