(Rotational Motion)

การเคล่ือนทแ่ี บบหมนุ (Rotational Motion)ตวั อยา่ ง เชน่ การหมุนของลูกขา่ ง การหมุนของพดั ลม เป็นตน้วตั ถุแขง็ เกรง็ (rigid body) คอื วตั ถุทไ่ี มเ่ ปลย่ี นแปลงรปู รา่ งและขนาดตลอดการเคล่อื นท่ี1. จลศาสตรข์ องการหมนุ

ถา้ วตั ถุมกี ารหมุนรอบแกน z ตาแหน่งเชงิ มุมของวตั ถุจะมกี ารเปลย่ี นแปลงไป (เมอ่ื ใชจ้ ดุ p เป็นตวั แทนของวตั ถุ) จะทาใหเ้ กดิ การกระจดั เชงิ มมุ (angular displacement)  ในชว่ งเวลา tขนาดความเรว็ เชงิ มมุ เฉลย่ี ( average angular velocity )ขนาดความเรว็ เชงิ มมุ ขณะใดขณะหน่ึง (instantaneous angular velocity)

ขนาดความเรง่ เชงิ มมุ เฉลย่ี (average angular acceleration) ทศิ ของความเรง่ เชงิ มุมจะมี ทศิ เดยี วกบั ความเรว็ เชงิ มมุ เมอ่ื ความเรว็ เชงิ มุมเพมิ่ ขน้ึทศิ ของความเรง่ เชงิ มมุ จะมที ศิ ตรงกนั ขา้ มกบั ความเรว็ เชงิ มมุ เมอ่ืความเรว็ เชงิ มุมลดลง

2. การหมนุ ด้วยความเรง่ เชิงมมุ คงตวัสมการการเคล่อื นทแ่ี บบเสน้ ตรง สมการการเคล่อื นทแ่ี บบหมนุ

ตวั อย่างที่ 1 วงลอ้ รถกาลงั หมนุ ดว้ ยความเรง่ เชงิ มุมคงท่ี 3.5 rad/s2ถา้ ทเ่ี วลา t = 0 ความเรว็ เชงิ มุมของวงลอ้ เทา่ กบั 2.0 rad/s จงหาก. ภายในชว่ งเวลา 2 วนิ าที วงลอ้ หมนุ กวาดมุมไปไดเ้ ทา่ ใดและหมนุ ไดก้ ร่ี อบข. ความเรว็ เชงิ มุมของวงลอ้ ทเ่ี วลา t = 2 วนิ าที

S = ������������������ = ������������a = ������������

ตวั อย่างที่ 2 โต๊ะตวั หน่ึงสามารถหมนุ ได้ ถา้ ขณะทเ่ี รม่ิ พจิ ารณา โต๊ะกาลงั หมนุ ดว้ ยอตั ราเรว็ เชงิ มุม 33 รอบ/นาที และหลงั จากหมุนเป็นเวลา 20 วนิ าที จะหยดุ น่ิงก. ถา้ สมมตใิ หค้ วามเรง่ เชงิ มมุ ของโต๊ะตวั น้ีมคี า่ คงตวั จงหาความเรง่เชงิ มุมข. โต๊ะตวั น้กี วาดมมุ ไปเท่าไร กอ่ นจะหยดุ นิ่งค. ถา้ รศั มขี องโต๊ะตวั น้ีเทา่ กบั 14 cm จงหาขนาดของความเรง่ ในแนวสมั ผสั และความเรง่ สศู่ นู ยก์ ลางทต่ี าแหน่งขอบโต๊ะ ทเ่ี วลา t = 0 วนิ าที

4. พลงั งานจลน์ของการหมนุ และโมเมนตค์ วามเฉ่ือย วตั ถุแขง็ เกรง็ ทเ่ี คล่อื นทแ่ี บบหมนุ รอบแกน น่ิง จะมพี ลงั งานจลน์ ซง่ึ พลงั งานจลน์ ทงั้ หมดจะเทา่ กบั ผลรวมของพลงั งานจลน์ ของแต่ละอนุภาคเรยี กเทอม วา่ โมเมนตค์ วามเฉื่อย มหี น่วยเป็น kg.m2พลงั งานจลน์ของการหมนุ มหี น่วยเป็นจลู

โมเมนตค์ วามเฉื่อย ������ = ������������������

ตวั อย่างที่ 3 แทง่ วตั ถุเลก็ ๆ มมี วล M และยาว L มพี น้ื ทห่ี น้าตดั และความหนาแน่นสม่าเสมอ จะมโี มเมนตค์ วามเฉ่ือยเป็นเทา่ ใด ถา้ก. หมนุ รอบแกนซง่ึ ผา่ นปลายขา้ งหน่ึงและตงั้ ฉากกบั แทง่ วตั ถุนนั้ข. หมุนรอบแกนซง่ึ ผา่ นจดุ กง่ึ กลางและตงั้ ฉากกบั แทง่ วตั ถุนนั้ตวั อย่างที่ 4 จงหาโมเมนตค์ วามเฉ่อื ยของวตั ถุรปู ทรงกระบอกกลวงรอบแกนท่ีเป็นแกนของทรงกระบอก โดยกาหนดให้ความหนาแน่นของทรงกระบอกคงท่ี และทรงกระบอกมมี วล M รศั มภี ายใน R1 และรศั มภี ายนอก R2

ตวั อย่างท่ี 5 จงคานวณหาโมเมนตค์ วามเฉ่อื ยของทรงกลมรศั มี R มวล M รอบแกนหมนุ ทผ่ี า่ นจุดศนู ยก์ ลางของทรงกลมรศั มีไจเรชนั (radius of gyration, RK)นิยามตามสมการตวั อยา่ ง รศั มไี จเรชนั ของทรงกลมรอบแกนหมนุ ทผ่ี า่ นจดุ ศนู ยก์ ลางมวลตวั อยา่ ง รศั มไี จเรชนั ของทรงกระบอกตนั ทห่ี มนุ รอบแกนของทรงกระบอก

5. ทฤษฎีบทแกนขนาน“ โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของวตั ถุรอบแกนใดๆ มคี า่ เทา่ กบั โมเมนตค์ วามเฉ่อื ยของวตั ถุนนั้ รอบแกนหมนุ ทผ่ี า่ นจดุ ศนู ยก์ ลางมวลและขนานกบัแกนทก่ี าหนดใหบ้ วกกบั ผลคณู ระหวา่ งมวลของวตั ถุนนั้ กบั กาลงั สองของระยะหา่ งระหวา่ งแกนขนานนนั้ ”โดยท่ี Icm คอื โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของวตั ถุมวล M รอบแกนท่ีผา่ นจุดศนู ยก์ ลางมวล และ I เป็นโมเมนตค์ วามเฉ่ือยของวตั ถุรอบแกนซง่ึ ขนานกนั และหา่ งกนั เป็นระยะ h จะไดว้ า่ I  Icm  Mh2

6. ทอรก์ (Torque)ถา้ มแี รงลพั ธก์ ระทาตอ่ วตั ถุไมผ่ า่ นจดุ ศนู ยก์ ลางมวลจะทาใหว้ ตั ถุเกดิ การหมนุ   rFt  rmat   (mr2 )   I   Iนิยาม   r  F มหี น่วยเป็น N.mทศิ ทางของทอรก์ เป็นไปตามกฎมอื ขวา

7. งาน พลงั งาน กาลงั และทฤษฎีบทงาน - พลงั งานจลน์ ของการหมุน dW  F.ds dW   d งานทงั้ หมดทเ่ี กดิ ขน้ึ เมอ่ื มกี ารเปลย่ี นตาแหน่งเชงิ มุมเน่ืองจากทอรก์ทฤษฎบี ทงาน - พลงั งานจลน์ สาหรบั การหมุน W  Ekf  Eki  Ek กาลงั ของการหมุน

8. โมเมนตมั เชิงมมุ (Angular Momentum) นิยาม L  r  p  r  mv มหี น่วยเป็น kg.m2/s ทศิ ทางของโมเมนตมั เชงิ มุม เป็นไปตามกฎมอื ขวา dL  (r  ma)  r  F   dt“ อตั ราการเปลย่ี นแปลงโมเมนตมั เชงิ มมุ มคี า่ เทา่ กบั ทอรก์ ของแรงสทุ ธิทก่ี ระทากบั อนุภาค ”

Li  mi (ri )ri  miri2  L  Li  ( miri2 )  I L  Iกฎอนุรกั ษโ์ มเมนตมั เชงิ มุม“ เมอื่ ทอรก์ ลพั ธท์ กี่ ระทากบั วตั ถุเป็นศนู ย์ โมเมนตมั เชงิ มุมรวมของระบบจะมคี า่ คงตวั “dL  0 L  constant Iii  I f  fdt

9. การเคล่ือนท่ีแบบกลิ้ง (Rolling Motion)การเล่อื นตาแหน่ง + การหมนุ = การกลง้ิ

พลงั งานจลน์ของการกลิ้ง= พลงั งานจลน์ของการเล่อื นตาแหน่ง + พลงั งานจลน์ของการหมนุEk  1 Mvc2m  1 I cm 2 2 2โดยอาศยั ทฤษฎบี ทแกนขนาน Icm  MR2EK  1 I P 2 2 +++++++++ จบบท +++++++++

ตวั อย่างท่ี 6 ทรงกระบอกตนั รศั มี R มวล M หมุนไดอ้ สิ ระรอบแกนของทรงกระบอกตามแนวระดบั ถา้ มเี ชอื กเสน้ เลก็ ๆ และเบามากพนัอยรู่ อบผวิ ของทรงกระบอกน้ี โดยทป่ี ลายหน่ึงผกู ตรงึ ไวก้ บั ผวิ ของทรงกระบอกอกี ปลายหน่ึงหยอ่ นลงขา้ งล่างและผกู กบั วตั ถุมวล m แกนหมนุ อยกู่ บั ท่ี เมอ่ื ปล่อยใหว้ ตั ถุเคล่อื นทจ่ี ากหยดุ น่ิง จงหาก. ความเรง่ เชงิ มุมของการหมนุ ของทรงกระบอกข. ความเรง่ เชงิ เสน้ ของมวล mค. งานทก่ี ระทาโดยทอรก์ เมอ่ื ปล่อยใหว้ ตั ถุเคล่อื นทเ่ี ป็นเวลา tง. โมเมนตมั เชงิ มมุ เมอ่ื เวลา t

ตวั อย่างท่ี 7 ลอ้ ตน้ มวล 6 kg รศั มี 0.5 m หมุนไดร้ อบแกนผา่ นศนู ยก์ ลางมวลและขนานกบั แนวราบ มเี ชอื กพาดลอ้ น้ีและมกี อ้ นมวล 4และ 3 kg ถ่วงปลายเชอื กปลายละกอ้ น จงหาก. พลงั งานจลน์ทงั้ หมดเมอ่ื เคล่อื นทจ่ี ากหยุดนิ่งไปได้ 5 วนิ าทีข. ความตงึ ในเสน้ เชอื กตวั อย่างที่ 8 วตั ถุเลก็ ๆ กอ้ นหน่ึงมมี วล m ผกู ตดิ กบั ปลายเชอื กเลก็ ๆและเบาซง่ึ สอดผา่ นทอ่ ของหลอดรปู ทรงกระบอกกลวง แลว้ แกวง่ ให้หมนุ เป็นวงกลมตามแนวระดบั ดว้ ยรศั มี r1 และอตั ราเรว็ คงท่ี v1 เมอ่ื ดงึเชอื กลงทนั ทที าใหร้ ศั มวี งกลมลดลงเป็น r2 จงหาอตั ราเรว็ เชงิ เสน้ และอตั ราเรว็ เชงิ มมุ ของวตั ถุในขณะมรี ศั มี r2 ในเทอมของ r1 , v1 และ r2

ตวั อย่างท่ี 9 วตั ถุกลมมมี วล M และรศั มไี จเรชนั k (อาจเป็นลอ้ หรอืวตั ถุทรงกลม) กลง้ิ ลงตามพน้ื เอยี ง AB เรม่ิ ตน้ จากหยดุ นิ่งทจ่ี ุด A ดงั รปูเมอ่ื ถงึ จดุ B วตั ถุจะมอี ตั ราเรว็ เชงิ เสน้ เป็นเทา่ ใด A Bh C