คณิตศาสตร์คอมฯ-หน่วยที่ 8 ทฤษฏีเมทริกซ์

หนว่ ยการเรียนรู้ที่ ๘ ทฤษฎีเมทริกซ์

นิยามและรูปแบบของเมทริกซ์ ตวั เลขจานวนจริงเพียงตัวเดียวจะเรียกว่า สเกลาร์ (Scalar) ซึ่งจากการศึกษาระบบจานวนและพีชคณิตมาแล้วจะเห็น ว่าในการใช้งานจานวนจรงิ ในหลายสาขาน้นั จะต้องเกี่ยวพันกับกลุ่มของข้อมูล ซึ่งมีหลายๆ ค่า ในการคานวณระบบจานวน จริงท่ีซับซ้อน บ่อยครั้งท่ีจะต้องคานวณหรือจัดการกับกลุ่มของข้อมูลเหล่านั้นไปพร้อมๆ กัน มากกว่าที่จะคานวณทีละ จานวน พิจารณากลมุ่ ของตวั เลขที่แทนอณุ หภมู เิ ฉล่ียเป็นองศาเซลเซยี ส ในแต่ละเดือนของกรุงเทพมหานคร โดยเรยี งจากเดือน มกราคมถงึ ธนั วาคมดังน้ี 25 27 30 33 36 33 31 29 27 25 23 20 เราสามารถเขยี นกลมุ่ ตวั เลขข้างต้นเป็น [25 27 30 33 36 33 31 29 27 25 23 20] การเขยี นกลุม่ ตัวเลขดงั กลา่ วข้างตน้ จะเรียกวา่ เวกเตอร์แถว (Row vector) เพราะเขียนเรยี งกันเป็นแถว แต่ถ้ากลุ่มข้อมูลดังกล่าวถูกเขียนให้เรียงอยู่ในแนวต้ัง เช่น 100 เราจะเรียกว่าเป็น เวกเตอร์หลัก 225 (Column vector) 345

นิยามและรูปแบบของเมทริกซ์ พิจารณาขอ้ มลู สว่ นสงู เฉล่ยี ของเดก็ แรกเกดิ ถงึ หกเดือน โดยแยกเป็นเพศชายและหญิงดงั ตาราง สามารถเขยี นเป็นกลุม่ ตัวเลขไดเ้ ป็น 48 52 58 64 66 67 47 51 56 62 64 65 จะเรียกการเขยี นกลุม่ ตวั เลขดังกล่าวข้างตน้ วา่ เมทรกิ ซ์ จากตัวอย่างขา้ งต้น ทั้งเวกเตอร์และเมทริกซ์จะเขียนโดยให้เครื่องหมายวงเล็บแข็ง [ ] ล้อมกลุ่มตัวเลข (บางตาราอาจ ใชว้ งเล็บธรรมดา ( ) ) และกลมุ่ ของตวั เลขซึง่ จะเรยี กวา่ เปน็ สมาชิกของเวกเตอรห์ รือเมทริกซ์ จะอย่ใู นตาแหน่งที่ถูกระบุด้วย แถวและหลัก เช่น ในตัวอย่างเมทริกซ์ข้างต้น สมาชิกตัวแรกคือค่า 48 จะอยู่ที่ตาแหน่ง แถวที่หนึ่งหลักท่ีหน่ึง 56 จะอยู่ท่ี ต า แ ห น่ ง แ ถ ว ท่ี ส อ ง ห ลั ก ที่ ส า ม เ ป็ น ต้ น รู ป ข้ า ง ล่ า ง เ ป็ น ก า ร แ ส ด ง ก า ร บ อ ก ต า แ ห น่ ง ข อ ง เมทริกซ์

นิยามและรปู แบบของเมทริกซ์ แสดงการบอกตาแหน่งของแตล่ ะคา่ ของเมทริกซ์ ขอ้ สงั เกต ทั้งเวกเตอร์แถวและเวกเตอร์หลัก ต่างก็เป็นเซตย่อยของเมทริกซ์ น่ันคือ เวกเตอร์แถวก็คือเมทริกซ์ท่ีมีแถวเดียวแต่ หลายหลกั สว่ นเวกเตอร์หลักกค็ อื เมทรกิ ซ์ทมี่ ีหลักเดียวแตห่ ลายแถว

นิยามและรปู แบบของเมทริกซ์ ขนาดมิติของเมทริกซ์ คือจานวนแถว (Row) และจานวนหลัก (Column) การบอกขนาดมิติของเมทริกซ์ จะบอก แจาทนนวแนลแะถจวากน่อวนนแขลอ้วงตสามมาดช้วิกยขจอางนเมวนทหริกลซัก์จเะชม่นีจา20นวน−เ4ท2่ากับ−1จ5านมวีขนนแาถดวมคิตูณิเจปา็นนสวอนงหแลถักวสนาั่นมคหือลักจาโกดตยัวจอะยใช่าง้สเัญมลทักรษิกซณ์ข์ น2าxด3 มติ ิ 2x3 มจี านวนตวั เลขหรือสมาชกิ 6 จานวน ถา้ ให้ A เปน็ เมทรกิ ซใ์ ดๆ ทม่ี ีขนาดมิติเป็น m แถว และ n หลัก จะเขียน Amxn เพื่อเป็นการระบุขนาดมิติของเมทริกซ์ A หรือบางคร้ังอาจจะเขียน A∈Rmxn ซึ่งอ่านได้ว่า เมทริกซ์ A เป็นสมาชิกของเซตจานวนจริงที่มีขนาดมิติ m แถว และ n หลัก และจะเขยี นค่าของสมาชิกในแตล่ ะตาแหน่งได้เปน็ ดังน้ี หรอื เขียนยอ่ เป็น A = [aij]mxnโดย i = 1, 2,…,m และ j = 1, 2,…,n

นิยามและรูปแบบของเมทริกซ์ ชนดิ ของเมทริกซ์ เมทรกิ ซ์แตล่ ะแบบจะมีลักษณะและรปู แบบเฉพาะตัว ต่อไปนีเ้ ป็นตวั อยา่ งเพยี งบางส่วนของเมทรกิ ซ์ตา่ งๆ 1. เมทริกซ์จตุรัส (Square matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจานวนหลัก (ให้เปรียบเทียบกับสี่เหล่ียม จตรุ ัส) เชน่ 2. เมทรกิ ซแ์ ถว หรือ เวกเตอร์แถว คอื เมทริกซ์ท่มี จี านวนแถวเพียงแคแ่ ถวเดียว เชน่ [1 2] , [1 0 -1] , [-1 0 1 2 ] , [ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5] 3. เมทรกิ ซห์ ลัก หรือ เวกเตอร์หลัก คือ เมทริกซ์ทมี่ ีจานวนหลกั เพียงหลกั เดียว เชน่

นิยามและรูปแบบของเมทริกซ์ 4. เมทริกซศ์ ูนย์ (Zero matrix) คอื เมทริกซ์ทสี่ มาชกิ ทกุ ตาแหนง่ มีค่าเปน็ ศนู ย์ เชน่ และจะใชส้ ัญลกั ษณ์ 0mxn แทนเมทริกซ์ศูนยท์ ่ีมขี นาดมติ ิ m แถว n หลกั 5. เมทริกซ์ทแยงมุม (Diagonal matrix) คือ เมทริกซ์จตุรัสท่ีสมาชิกในตาแหน่งแถวตรงกับตาแหน่งหลัก (ในแนว เสน้ ทแยงมุม) มีค่าเปน็ จานวนจริงใดๆ ส่วนท่ตี าแหน่งอื่นๆ จะมคี า่ เปน็ ศนู ย์ เชน่

นิยามและรปู แบบของเมทริกซ์ 6. เมทริกซส์ เกลาร์ (Scalar matrix) เปน็ เมทรกิ ซ์ทแยงมุมท่คี า่ ของสมาชิกในแนวทแยงมุมมีคา่ เท่ากนั เชน่ 7. เมทรกิ ซเ์ อกลักษณ์ (Identity matrix) เป็นเมทรกิ ซ์สเกลาร์ ที่ค่าในแนวเสน้ ทแยงมุมมคี ่าเปน็ หนง่ึ เช่น และจะใชส้ ญั ลักษณ์ Im แทนเมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ ที่มขี นาดมิติ m แถว n หลกั (m = n)

นิยามและรูปแบบของเมทริกซ์ ทรานสโพสของเมทริกซ์ (Transposition of matrix) ทรานสโพสของเมทริกซ์เปน็ การสลบั การเขยี นสมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ในแนวนอนหรือแถวใหเ้ ปน็ แนวต้งั หรอื หลกั และจาก แนวต้งั หรอื หลักไปเปน็ แนวนอน โดยใช้สญั ลักษณ์ AT แทนทรานสโพสของเมทรกิ ซ์ A ดงั เชน่ ถา้ เขยี นในรปู ทว่ั ไป

นิยามและรปู แบบของเมทริกซ์ การเทา่ กนั ของเมทริกซ์ เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะมคี ่าเท่ากนั ก็ต่อเม่อื สมาชกิ ทุกๆ ค่าทอ่ี ยตู่ าแหนง่ เดยี วกันมีค่าเทา่ กัน ดังนยิ ามต่อไปน้ี นิยาม ถ้าเมทริกซ์ A=[ajk] และ B=[bjk] มีค่าเท่ากัน นั่นคือ A = B ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ท้ังสองมีขนาดมิติที่เท่ากัน และ สมาชกิ ทุกๆ คา่ ที่อยตู่ าแหนง่ เดียวกนั มีคา่ เทา่ กัน น่ันคอื a11 = b11 a12 = b12 และทุกๆ ค่าจนถึง ajk = bjk ตัวอย่าง ถา้ A = ������11 0 =B= −1 0 ใหห้ าค่า a11, a22 1 ������22 1 1 วิธที า จากนยิ ามการเทา่ กันของเมทรกิ ซท์ ุกๆ ค่าของสมาชิกของเมทริกซ์ทั้งสองที่อยู่ตาแหน่งเดียวกันจะต้องเท่ากัน ดังน้ัน ที่ ตาแหนง่ แถวท่ีหน่งึ หลกั ทีห่ นงึ่ เราจะได้ a11 = -1 โดยท่ีตาแหน่งแถวที่หนึ่งหลักที่สอง และท่ีตาแหน่งแถวท่ีสองหลักที่หน่ึงมี คา่ เทา่ กนั แลว้ ดังนัน้ ท่ตี าแหน่งสดุ ท้ายแถวทส่ี องหลักท่ีสอง จะได้ a22 = 1

พีชคณิตพื้นฐานเมทริกซ์ การบวกเมทริกซ์ เมทริกซ์สองตัวจะบวกกันได้ต้องมีขนาดมิติเท่ากัน เพราะผลของการบวกของเมทริกซ์คือค่าในแต่ละตาแหน่งบวกกัน เชน่ สมบัตกิ ารบวกของเมทริกซ์ 1. สมบัตปิ ดิ นน่ั คือผลบวกของเมทริกซ์ขนาดมติ ิ m x n จะเป็นเมทริกซ์ขนาดมิติ m x n หรือ ถ้า A,B ∈ Rmxnและ C = A+B แล้ว C ∈ R 2. สมบตั ิการสลบั ท่ี นัน่ คอื A + B = B + A 3. สมบตั ิการจดั หมู่ นน่ั คือ (A + B) + C = A + (B+C) 4. สมบัติการมีเอกลกั ษณ์ A + 0 = A 5. สมบตั ิการมผี กผนั นั่นคอื ผกผันการบวกของ A คือ -A หรอื ถา้ A + B = 0 แลว้ B = -A 6. สมบัตเิ ก่ยี วกับทรานสโพส ดงั นี้ (A + B)T = AT+ BT โดยสรุป การบวกของเมทรกิ ซ์จะคลา้ ยกบั การบวกของจานวนจริง

พีชคณิตพื้นฐานเมทริกซ์ การคณู เมทริกซด์ ว้ ยสเกลาร์ เปน็ การนาเอาสเกลาร์คณู กับสมาชิกทุกตวั ของเมทรกิ ซ์ดังนี้ ถ้าให้ k เป็นจานวนจริงใดๆ และ A เปน็ เมทรกิ ซใ์ ดๆ

พีชคณิตพืน้ ฐานเมทริกซ์ สมบตั กิ ารคูณเมทรกิ ซ์ด้วยสเกลาร์ เม่ือ A และ B เป็นเมทริกซใ์ ดๆ และ k และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ หรือเป็นสเกลาร์ 1. k(A + B) = kA + kB 2. (k + c) A = kA + cA 3. c(kA) = (ck) A 4. 1A = A 5. (cA)T = cAT จากหลกั การคณู เมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ เราสามารถประยุกต์ไปใชใ้ นการลบเมทริกซ์ กล่าวคอื A – B = A + (-B) = A + (-1) B

พีชคณิตพืน้ ฐานเมทริกซ์ การคณู เมทรกิ ซ์ การคูณเมทรกิ ซ์กบั เมทรกิ ซ์จะตา่ งกบั การคูณจานวนจริงอย่างสิ้นเชิง และจะซับซ้อนกว่ามากเพราะไม่ใช่การนาเอาแต่ ละสมาชิกมาคูณกนั เหมือนกบั การบวก นิยาม การคณู เมทรกิ ซก์ ับเมทริกซ์ ถ้า A=[ajk]mxn และ B=[bjk]rxp C=AB=[cjk]mxp จะคานวณได้ ถ้า n = r เทา่ นั้น โดยผลคูณจะถูกนยิ ามโดย Cjk= = aj1b1k+ aj2b2k +…+ajnbnk เมื่อ j = 1,…,m และ k = 1,…,p จากนยิ าม อาจจะดูเหมอื นยากต่อการเข้าใจแตส่ ามารถสรุปส้ันๆ ได้ว่าค่าของผลคูณ cjk ซ่ึงอยู่ในแถวที่ j หลักท่ี k เกิด จากการเอาสมาชิกแต่ละตัวในแถวท่ี j ของเมทริกซ์ A คูณกับสมาชิกแต่ละตัวในหลักท่ี k ของเมทริกซ์ B แล้วนามารวมกัน เรามักจะเรียกงา่ ยๆ วา่ เอาแถวคูณกบั หลัก

พีชคณิตพืน้ ฐานเมทริกซ์ ตวั อย่าง ใหห้ าผลคณู ของเมทริกซ์ ดงั ต่อไปนี้ วธิ ีทา ก. ตรวจสอบขนาดมติ ิของเมทรกิ ซท์ ง้ั สอง ปรากฎวา่ คูณกันได้ ดงั นี้ ข. ตรวจสอบขนาดมติ ขิ องเมทริกซ์ทั้งสอง ปรากฎว่าคูณกันไม่ได้

พีชคณิตพื้นฐานเมทริกซ์ สมบัติการคณู เมทรกิ ซ์ กาหนดให้ A, B เปน็ เมทรกิ ซ์ใดๆ ที่มขี นาดมติ ทิ ่ีเหมาะสมทีจ่ ะคูณกันได้ และ k เป็นสเกลารใ์ ดๆ 1. (kA) B = k (AB) = A (kB) 2. A(BC) = (AB) C 3. (A+B) C = AC + BC 4. (AB)T = BTAT หมายเหตุ 1. ในกรณที วั่ ไปแล้ว AB ≠ BA หรือน่ันคอื AB ไมจ่ าเป็นต้องเทา่ กบั BA เสมอไป 2. ถา้ AB = 0 กไ็ ม่จาเปน็ ว่า A = 0 หรือ B = 0 หรอื BA = 0 เสมอไป 3. ถ้า AC = AD กไ็ มจ่ าเป็นวา่ C = D เสมอไป

ตัวกาหนด จากหน่วยการเรียนท่ี 7 ได้เรียนรู้วิธีการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีต่างๆ โดยเฉพาะการกาจัดตัวแปร นอกจากวิธีการดังกล่าวแล้วยังสามารถหาคาตอบของระบบสมการได้ด้วยการใช้พีชคณิตของเมทริกซ์ โดยเฉพาะการใช้ ตัวกาหนดของเมทรกิ ซ์ ตัวกาหนดของเมทริกซ์ จะเป็นค่าสเกลาร์ที่ได้จากการคานวณของเมทริกซ์จตุรัส จะเร่ิมศึกษาวิธีคานวณหาค่า ตวั กาหนดจากเมทริกซ์ทม่ี ีขนาด 2 x 2 กอ่ น แลว้ ค่อยเพ่มิ ขนาดใหใ้ หญ่ขึ้น ตวั กาหนดของเมทรกิ ซ์ท่มี ีขนาดมติ ิ 2 x 2 หาไดด้ ังนี้ โดยให้ D เปน็ ตัวกาหนดของเมทรกิ ซ์A2x2 ซง่ึ คานวณได้ดงั น้ี

ตวั กาหนด ตวั กาหนดของเมทริกซท์ ่มี ขี นาดมติ ิ 3x3 วธิ ีการหาตัวกาหนดของเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่กวา่ สองแถวสองหลัก จะซับซ้อนมากกว่าสาหรับกรณีเมทริกซ์ท่ี มีขนาด มิตเิ ปน็ 3 x 3 เป็นดังน้ี ขอ้ สงั เกต สูตรข้างต้นได้จากการแบ่งหาตัวกาหนดของเมทริกซ์ย่อยๆ ท่ีมีขนาด 2 x 2 สามตัว โดยคูณอยู่กับค่าสมาชิกสามตัวท่ี อยูใ่ นหลกั แรกของเมทรกิ ซ์ โดยทีเ่ ครอ่ื งหมายบวกลบ จะสลบั กัน โดยเรม่ิ จาก + - + สลับกันไป และตัวกาหนดของเมทริกซ์ ยอ่ ยที่มีขนาดมิติเปน็ 2 x 2 ก็สามารถหาไดด้ ้วยวิธีการที่กล่าวไปแลว้ นน่ั เอง

ตัวกาหนด ตวั กาหนดของเมทรกิ ซ์ยอ่ ยทมี่ ขี นาดมติ เิ ป็น 2x2 นี้จะเรยี กวา่ ไมเนอร์ (Minor) ของสมาชิกที่คูณอยู่ขา้ งหนา้ เชน่ ������22 ������23 เปน็ ไมเนอร์ของ a11 ซ่ึงได้จากการตัดคา่ ของสมาชกิ ในแถวท่ีหนึง่ หลักที่หนง่ึ ออกไป ������������3122 ������������3133 เปน็ ไมเนอร์ของ a21 ซงึ่ ไดจ้ ากการตดั สมาชิกในแถวที่สองหลักทห่ี นงึ่ ออกไป ������������2333 เป็นไมเนอรข์ อง a31 ซงึ่ ได้จากการตัดแถวทสี่ ามหลกั ทีห่ นง่ึ ออกไปซึง่ แสดงไดด้ งั รูปต่อไปน้ี และ ������������1322 ������23 ������22

ตวั กาหนด จากสูตรข้างต้น สามารถเขยี นกระจายไดเ้ ป็น ซึ่งจาไดง้ า่ ยถา้ เราใชว้ ธิ ีการจาเช่นเดยี วกับการหาตวั กาหนด ของเมทริกซ์ขนาดสองแถวสองหลกั ดงั รปู ตอ่ ไปน้ี

ตัวกาหนด หมายเหตุ วิธีการหาตัวกาหนดจากการย่อยให้เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติขนาดเล็กลง หรือ ไมเนอร์นั้น อาจจะเลือกค่าใน สมาชิกหลักใดๆ นอกเหนือจากหลักแรก หรือจากแถวใดๆ ก็ได้ แล้วจึงหาไมเนอร์ท่ีสัมพันธ์กับสมาชิกในหลักหรือแถวที่เรา เลือก แตต่ อ้ งระวังเครือ่ งหมายบวกลบที่สลบั กันไปการระบุเครื่องหมายบวกลบ จะเริ่มจากสมาชิกตัวแรก (แถวที่หนึ่งหลักท่ี หน่ึง) เป็นบวกเสมอและสมาชิกท่ีอยู่ถัดไปจะเป็นลบ ทั้งในแนวหลักและแนวแถวและสลับกันไป ข้อสังเกตคือเคร่ืองหมาย บวกลบของสมาชิกที่อยู่ติดกันทั้งในแนวหลักและแนวแถว จะมีเครื่องหมายต่างกันเสมอ ให้เปรียบเทียบกับตารางหมากรุก ดังนี้ ขอ้ สงั เกตอกี ประการหน่งึ คือ เครื่องหมายบวก จะอยูท่ ่ตี าแหนง่ ของสมาชิกทตี่ าแหนง่ แถวและตาแหน่งหลักรวมกันเป็น เลขคู่ นั่นคือ (-1)i+j เมื่อ i เป็นแถว และ j เป็นหลัก เช่นที่ตาแหน่งแถวที่หนึ่ง หลักที่สอง นั่นคือ i = 1 และ j = 2 จะได้ (- 1)1+2 =-1 ซง่ึ จะเป็นเคร่ืองหมายลบดงั ในรูปขา้ งตน้ ข้อดีของการเลอื กไมเนอร์ของสมาชิกจากแถวหรือหลกั ใดๆ กค็ ือ จะเลือกจากแถวหรือหลักใดๆ ท่ีสมาชิกมีค่าเป็นศูนย์ มากทีส่ ดุ เพือ่ ลดการคานวณลง

ตวั กาหนด ตัวกาหนดของเมทรกิ ซ์ที่มมี ติ ิขนาด n x n ใดๆ เม่ือเมทริกซ์มีขนาดมิติมากกว่าสาม ก็ยังคงสามารถใช้วิธีการเดียวกัน คือใช้ไมเนอร์เพื่อหาตัวกาหนดที่มีขนาดมิติเล็ก ลงไปหน่ึงมิติไปเร่ือยๆ จนกว่าจะไดไ้ มเนอรท์ ่มี มี ติ ิ 2 หรือ 3 ซ่ึงสามารถหาค่าตวั กาหนดได้จากการคูณทแยงมุม ซึ่งเขียนเป็น สูตรทั่วไปไดด้ ังนี้ สาหรับเมทรกิ ซ์ที่มีขนาดมติ ิ n x n ใดๆ ดังนี้

ตวั กาหนด โดยท่ี Mjk เป็นไมเนอร์ของ ajk ซึ่งได้จากการตัดสมาชิกในแถวที่ j หลักท่ี k ออกไป และค่าของ j จากสูตรข้างต้น สามารถเลือกจากแถวใดแถวหนึง่ จากทงั้ หมด n แถว หรือถ้าเลือกไมเนอร์จากสมาชกิ ในหลกั ใดหลักหนึ่งกไ็ ด้เช่นกัน ดังนี้ นิยาม ให้ Cjk เป็นโคแฟกเตอร์ (cofactor) ของ ajk ซง่ึ หาได้จาก Cjk = (-1)j+k Mjk สามารถเขยี นสตู รการหาตัวกาหนดท้งั สองขา้ งต้นใหม่ ดงั น้ี

ผกผนั การคณู ของเมทริกซ์ สาหรับเมทริกซ์จตุรัส A ขนาดมิติ n x n ใดๆ ผกผันการคูณของ A เขียนแทนด้วย A-1 โดย AA-1 = A-1A = Iโดยที่ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ท่ีมขี นาดมิติเช่นเดยี วกบั A สาหรับเมทริกซ์จตุรัสใดๆ ผกผันการคูณอาจจะมีหรือไม่มีก็ได้ ถ้าเมทริกซ์ A มีผกผันของการคูณจะเรียก เมทริกซ์ A ว่าเมทริกซ์ไม่เป็นเอกพจน์ (non-singular matrix) แต่ถ้า A ไม่มีผกผันการคูณ จะเรียกเมทริกซ์ A ว่าเมทริกซ์ เอกพจน์ (singular matrix) เมทรกิ ซ์ A จะมผี กผนั การคูณ ถ้า det A ≠ 0 เท่าน้นั การหาผกผันของเมทรกิ ซ์ ก่อนอนื่ จะนิยาม แอดจอยท์เมทริกซ์ (adjoint matrix) ดังนี้ กาหนดให้ AdjA เป็นแอดจอยท์ของเมทริกซ์ A=[ajk] ซึง่ นยิ ามโดย AdjA = [Cjk]T โดย Cjk คอื โคแฟกเตอร์ของ ajk เมื่อหาแอดจอยทข์ องเมทริกซ์ได้แลว้ ผกผนั ของเมทรกิ ซ์สามารถหาได้จาก ซง่ึ สามารถหาได้ตามข้นั ตอน ดงั นี้ 1. หาโคเฟคเตอร์ของแต่ละสมาชิก 2. หาแอดจอยท์ 3. หาตวั กาหนด

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นดว้ ยเมทริกซ์ การกาจดั ตวั แปรแบบเกาเซยี น โดยหลักการแลว้ การหาคาตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ ด้วยวธิ ีกาจัดตัวแปรแบบเกาเซียนก็คล้ายกับการกาจัดตัวแปร ดังท่ไี ดก้ ลา่ วไปแลว้ ในหนว่ ยการเรียนท่ี 7 แตด่ ว้ ยวธิ ีการของเกาเซียนระบบสมการเชงิ เสน้ จะถูกนามาเขียนเปน็ เมทรกิ ซ์ และ ใช้การปฏิบัติการของแถวและหลักของเมทริกซ์ ในการกาจดั ตวั แปร ซงึ่ สามารถแสดงไดด้ ังนี้ พจิ ารณาระบบสมการเชิงเสน้ ทีม่ ีจานวนตัวแปรสองตวั แปรและจานวนสมการ สองสมการดงั นี้ 2x + 5y = 2 (1) 4x + 3y = 18 (2) สามารถเขียนระบบสมการข้างตน้ ดว้ ยการคูณของเมทรกิ ซ์ ดังน้ี

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ดว้ ยเมทริกซ์ โดยที่ 2 5 เป็นเมทริกซ์ของสัมประสทิ ธท์ิ ค่ี ูณอยู่หนา้ ตวั แปร จะใช้วิธ4ีการ3กาจัดตัวแปรดังท่ีได้เรียนมาแล้วในหน่วยที่ 7 และจะแสดงระบบสมการใหม่ด้วยการคูณเมทริกซ์ทีละ ข้นั ตอน ดงั น้ี ขัน้ ตอนที่ 1 คูณสมการ (1) ดว้ ย 1 เพื่อทาใหส้ ัมประสิทธ์ิหนา้ ตัวแปร x เปน็ หนงึ่ ได้สมการ (3) ดงั น้ี 2 ข้ันตอนที่ 2 นาสมการ (2) บวกด้วยสมการ (3) คูณด้วย -4 เพื่อกาจัดตัวแปร x ในสมการ (2) ได้สมการ (4) ดังน้ี สมการคณู -4 จะได้ -4 x-10y = -4

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ดว้ ยเมทริกซ์ ข้ันตอนท่ี 3 คณู สมการ (4) ด้วย -1 เพื่อใหส้ มั ประสทิ ธ์ิหนา้ ตวั แปร y เปน็ หน่งึ ได้สมการ (5) ดังน้ี 7 ขน้ั ตอนที่ 4 นาสมการ (3) บวกดว้ ย สมการ (5) คูณดว้ ย -2.5 เพือ่ กาจัดตัวแปร y ได้สมการ (6) ดังน้ี สมการ 5 คูณ - 2.5 จะได้ -2.5y = 5

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นดว้ ยเมทริกซ์ จากระบบสมการข้างตน้ สมการ (1) เหลือแต่ตวั แปร x ซึง่ มคี า่ เท่ากบั 6 และสมการ (2) เหลือแตต่ วั แปร y ซ่ึงเท่ากับ - 2 ดงั นน้ั คาตอบของระบบสมการข้างต้นคือ x = 6, y = -2 และถ้าสังเกตรูปเมทริกซ์ จะเห็นว่าในแต่ละขั้นตอนท่ีเราทาการ กาจัดตัวแปร ค่าของเมทริกซ์ที่เป็นสัมประสิทธ์ิ และค่าของเมทริกซ์หลักทางด้านซ้ายจะเปล่ียนไปเรื่อยๆ จนกระทั่งได้ ผลลัพธ์สุดท้ายที่เมทริกซ์สมั ประสิทธิ์อย่ใู นรูปเมทรกิ ซ์เอกลักษณ์ ดังน้ันด้วยวิธีการดังกล่าว แทนที่จะทาการกาจัดตัวแปรโดยตรงจากระบบสมการ จะใช้วิธีการปฏิบัติการแถวของ เมท รกิ ซ์ ที่ได้จากการเขียนสมั ประสิทธห์ิ นา้ ตัวแปรตัวแปร และค่าจานวนจรงิ ทางด้านขวาของระบบสมการ ซ่งึ เราจะเรียกว่าเมท ริกซเ์ สริม (augmented matrix) ดังน้ี

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์ โดยทกี่ ารปฏิบัตกิ ารแถวของเมทรกิ ซ์ จะมีสมบตั ิดังนี้ 1. แถวสองแถวใดๆ สามารถสลับท่ีกันได้ (ระบบสมการสามารถเขยี นสลับสมการกันได้) 2. ค่าสมาชกิ ในแถวใดๆ สามารถคณู ด้วยค่าคงท่ีทไ่ี มใ่ ชศ่ นู ยไ์ ด้ 3. คา่ สมาชิกในแถวใดๆ สามารถเปลย่ี นได้ดว้ ยการบวกกบั แถวอื่นๆ ท่ีคณู อยู่กบั คา่ คงที่ใดๆ ทไ่ี ม่ใช่ศูนย์ จากวิธีการปฏิบัติการแถวท้ังสามข้อ เป้าหมายของเราคือ เปล่ียนรูปของเมทริกซ์เสริมให้อยู่ในรูปเอกลักษณ์ (ยกเว้น หลักสุดทา้ ย) ซง่ึ จะไดค้ าตอบของระบบสมการอยทู่ ่ีหลักสุดทา้ ยนน่ั เอง

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ด้วยเมทริกซ์ กฎของเครเมอร์ (Cramer’s rule) ในหวั ขอ้ เร่ืองตัวกาหนด ได้เห็นตวั อย่างการใช้ตัวกาหนดในการแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่เป็นวิธีการของเคร เมอร์ ซงึ่ จรงิ ๆ แลว้ สามารถใชไ้ ด้กับระบบสมการท่ีมจี านวนตวั แปรใดๆ ก็ได้ดังน้ี ถา้ ระบบสมการเชงิ เสน้ n ตวั แปร n สมการ ดงั ตอ่ ไปน้ี

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์ คาตอบของระบบสมการจากกฎของเครเมอร์ จะเปน็ ดังน้ี โดยที่ D =

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์ การใช้ผกผันการคณู ของเมทรกิ ซ์ สามารถประยกุ ต์ใช้ผกผันของเมทรกิ ซ์ เพอื่ หาคาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นได้ดงั น้ี จากระบบสมการ

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ด้วยเมทริกซ์ สามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรปู การคณู กนั ของเมทรกิ ซไ์ ดด้ งั นี้ หรอื เขยี นโดยย่อไดเ้ ป็ น Ax = b โดยที่

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ด้วยเมทริกซ์ คาตอบของระบบสมการ ก็คอื คา่ ของเวกเตอร์ x นั่นเอง ซึ่งสามารถหาได้โดยเอาผกผันของ A หรือ A-1 คูณทั้งสองข้าง ของสมการข้างต้นจากทางซา้ ยมอื ดังน้ี A-1Ax = A-1b และจาก A-1A = I และ b=x ดังนัน้ เราจะได้ Ix = A-1b x = A-1b ซึง่ เป็นคาตอบของระบบสมการ