คณิตศาสตร์คอมฯ-หน่วยที่ 7 พีชคณิตเชิงเส้น

หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ๗ พีชคณิตเชิงเส้น

ความสัมพันธข์ องขอ้ มูล ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเวลาและระยะทางทรี่ ถวงิ่ ดว้ ยความเรว็ 30 กม./ชม. จากตารางสามารถท่จี ะประมาณหรอื หาค่าระยะทางทีร่ ถวิง่ ได้เม่ือเวลาผ่านไป 20 นาที ซ่ึงก็คือ 10 กิโลเมตรซ่ึงได้จาก การสังเกตว่า ระยะทางเป็นกิโลเมตรท่ีรถว่ิงได้จะเป็นคร่ึงหนึ่งของเวลาท่ีเป็นนาทีน่ันเอง การแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ข้อมูลสองชุด นอกจากจะใช้ตารางแล้ว ยังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเซตที่ประกอบไปด้วยคู่ของข้อมูลที่ตรงกัน เช่น จาก ตารางสามารถเขยี นความสัมพนั ธ์ของข้อมลู สองชดุ เปน็ เซต S ดังนี้ S = {(15,7.5), (30,15), (45,22.5), (60,30)} นอกจากน้ี จากตารางถ้าสมมติให้เวลาแทนด้วยสัญลักษณ์ t (มาจาก time) และระยะทางแทนด้วยสัญลักษณ์ d (มา จาก distance) สามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจานวนสองจานวนนี้ ได้เป็น d = 0.5t ซ่ึงตรวจสอบได้โดยลองให้ t = 15, 30, 45, 60 ซึ่งจะได้ค่าระยะทาง d = 7.5, 15, 22.5, 30 ตามตาราง และเมื่อต้องการทราบระยะทางท่ีรถวิ่งได้ท่ีเวลา ใดๆ เชน่ ที่เวลา t = 16 นาที จะได้ d = 0.5 x 16 = 8 กิโลเมตรนน่ั เอง การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับระยะทางดังกล่าวข้างต้นเรียกว่า สมการ หรือ สูตร จะเห็นว่าการแสดง ความสัมพันธ์ของปรมิ าณดว้ ยสมการจะมีประโยชน์ในการนาไปใช้งานตอ่ ไปไดก้ วา้ งกวา่ ตาราง

ความสัมพันธ์ของข้อมลู จากสมการทแ่ี สดงความสมั พันธข์ องปรมิ าณดังทก่ี ลา่ วมา จะมีองคป์ ระกอบ คอื ตวั แปรสองตัว ตวั แปรแรกคือ t นั้นจะ เรียกว่า ตัวแปรต้น ส่วนตัวแปรหลังหรือ d น้ันจะเรียกว่า ตัวแปรตาม น่ันคือจากสมการ d = 0.5t เมื่อเปล่ียนค่า t เป็นค่า ตา่ งๆ ค่าของ d จะเปลย่ี นไปตามคา่ ของ t น่นั เอง หมายเหตุ ในการต้ังชื่อตัวแปรจะใช้สัญลักษณ์ใดๆ ก็ได้ เช่น a, b, x, y หรือจะเป็นภาษาอ่ืนๆ เช่น อักษรกรีก ������ ������ หรือจะใช้อักษรจากภาษาไทยก็ได้ เช่น ก, ข, แต่อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์ท่ัวโลก นิยมใช้อักษรจากภาษาอังกฤษ โดย มักจะเริ่มจาก x, y และอักษรตัวอื่นๆ ต่อไป ถ้าอักขระในภาษาอังกฤษไม่พอ ก็มักจะใช้อักขระจากภาษากรีกร่วมด้วย เพื่อ ความเป็นสากล เนือ่ งจากคณิตศาสตร์ถอื เปน็ ภาษาสากลภาษาหนึง่ ที่นกั คณติ ศาสตร์ทั่วโลกสามารถเข้าใจได้ ดังนั้น จึงมักจะ ใชอ้ กั ษรจากภาษาองั กฤษในการสรา้ งตวั แปร ความหมายของสูตรจริงๆ แล้วก็คือ สมการที่เอาไว้ในการคานวณหาค่าตัวแปรตามเมื่อทราบค่าตัวแปรต้น เช่น ถ้า ตอ้ งการแปลงคา่ หนว่ ยการวัด จากเซนติเมตรเป็นเมตร อาจให้ตัวแปรต้นเป็น cm แทนหน่วยการวัดเป็นเซนติเมตร และตัว แปรตามเปน็ m แทนเมตร และเขยี นเปน็ สตู รได้ดังสมการ m = ������������ คือ เมื่อความยาว cm = 100 เซนติเมตร ก็จะได้ความ 100 ยาว 100 = 1 เมตร 100

การแสดงความสมั พันธ์ของขอ้ มูลด้วยแผนภูมิ จากหัวข้อที่ผ่านมา ได้เรียนรู้การอธิบายและหาความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลเบ้ืองต้น และในบางคร้ังการแสดง ความสัมพันธ์ของขอ้ มลู ดว้ ยตารางอาจจะสอ่ื ความหมายได้ไมช่ ดั เจน วธิ ีการหน่ึง ท่ีนักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ใช้กันคือ การใช้รูปในการแสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลต่างๆ รูปที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลนี้อาจเรียกว่าเป็นแผนภูมิ หรือ กราฟ (Graph) ข้อมลู ทแ่ี สดงด้วยรูปแผนภูมหิ รอื แม้กระท่ังรูปภาพอ่ืนจะสามารถเข้าถึงผู้อ่านได้ง่ายและรวดเร็วกว่าข้อมูลท่ี เปน็ ตวั เลข แผนภูมิเบ้ืองต้นท่ีแสดงความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลสองชุดสามารถทาได้โดยการใช้ระบบพิกัดบนระนาบสองมิติ บางครั้งอาจเรียกกวา่ ระนาบ xy (xy-plane) โดยท่ัวไปมักนิยม (แต่ไม่เสมอไป) ให้แกนที่เป็นแนวนอนแทนตัวแปรต้น และ แกนท่ีเปน็ แนวตัง้ แทนตัวแปรตาม ดงั น้ี ระนาบ xy

การแสดงความสัมพนั ธ์ของข้อมูลดว้ ยแผนภูมิ กอ่ นทจ่ี ะวาดแผนภูมิเบ้อื งตน้ ทีแ่ สดงความสมั พันธ์ระหว่างข้อมูลสองชุด ต้องจัดข้อมลู ให้อยู่เป็นคู่ๆ ดังเช่นจากตารางท่ี แสดงอุณหภูมิสงู สุดในแต่ละวนั ในหนึ่งสัปดาห์ ต้ังแตว่ ันจันทรท์ ่ี 8 ถึงวนั อาทติ ยท์ ี่ 14 ตลุ าคม 2550 โดยเราจะใชต้ วั เลขแทน วนั คอื 1 แทนวันจันทร์ 2 แทนวันอังคารไปเรอ่ื ยๆ จนถงึ 7 แทนวนั อาทิตย์ และเราจะให้ x เปน็ ตัวแปรแทนวัน และ y เป็น ตัวแปรแทนอณุ หภูมิ ดงั น้ี แสดงอุณหภมู สิ งู สดุ ในหนงึ่ สปั ดาห์ การจับคู่ข้อมูลในแต่ละหลักเป็นคู่ๆ เช่น (1, 33) (2, 31) และต่อไปเรื่อยจนถึง (7, 32) และเม่ือนาข้อมูลในแต่ละคู่ไป วาดลงบนแผนภูมิระนาบ xy ก็จะไดด้ งั นี้

การแสดงความสมั พนั ธข์ องข้อมูลดว้ ยแผนภมู ิ แผนภมู แิ สดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งขอ้ มลู จากตาราง หมายเหตุ เคร่ืองหมาย // ท่ีปรากฏบนแกน y เป็นการร่นระยะแกน y จากจุดกาเนิดถึงค่า 31 เน่ืองจาก จากจุด กาเนิดถึง 30 ไม่มีค่าข้อมูลใดๆ เลย ถ้าระบุค่าของแกน y ตั้งแต่จุดกาเนิด 1, 2, มาเรื่อยๆ จะทาให้รูปแผนภูมิสูงเกินความ จาเปน็ และโดยทั่วไปแล้ว จะละค่าของคู่ xy ทีอ่ ยูใ่ นวงเล็บไว้ เพือ่ ท่ีจะใหร้ ปู ไมเ่ กะกะสายตาของผู้อา่ นจนเกินไป

การแสดงความสมั พนั ธข์ องข้อมูลด้วยแผนภมู ิ ตัวอย่าง จากตารางแสดงความสมั พันธ์ของอณุ หภมู ิทีม่ ีหนว่ ยเป็นองศาเซลเซยี ส และองศาฟาเรนไฮต์ แสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งอุณหภมู หิ น่วยองศาฟาเรนไฮตก์ บั องศาเซลเซยี ส ก. ให้วาดแผนภูมิแสดงความสัมพันธ์ของหน่วยวัดอุณหภูมิทั้งสอง โดยให้แกนนอน (แกน x) เป็นองศา ฟาเรนไฮต์ และแกนตัง้ (แกน y) เป็นองศาเซลเซียส ข. ถา้ อณุ หภูมิในหนว่ ยองศาฟาเรนไฮต์มคี า่ เปน็ 25 องศา ค่าของอุณหภมู ใิ นหนว่ ยองศาเซลเซียสจะมีคา่ เป็นเทา่ ใด

การแสดงความสมั พันธ์ของขอ้ มูลดว้ ยแผนภมู ิ วธิ ที ำ ก. จากขอ้ มูลในตารางสามารถนาเอาไปวาดแผนภมู ไิ ดด้ งั รปู ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งอุณหภมู ทิ มี่ หี น่วยเป็นองศาฟาเรนไฮตก์ บั องศาเซลเซยี ส ข. จากรูป เราสามารถประมาณค่าอณุ หภูมทิ ี่ 25 องศาฟาเรนไฮต ์ ไดเ้ ป็ น -4 องศา เซลเซยี ส

ฟังกช์ นั จากที่ผ่านมา เราสามารถแสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลได้ด้วยตาราง และการประมาณ ค่าสูตร และการแสดงด้วย แผนภูมิ ในการประมาณค่าสตู รเพือ่ แสดงความสมั พนั ธ์ของขอ้ มูลสองชุด จะเลือกให้ข้อมูลชุดหนึ่งเป็นตัวแปรต้น และข้อมูล อีกชุดจะเปน็ ตวั แปรตาม ซึ่งมคี า่ แปรผนั ไปตามข้อมูลชุดแรก ความสัมพันธ์ดังกล่าวน้ีอาจเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบฟังก์ชัน เช่น จากสูตรความสัมพนั ธ์ของหน่วยนิ้วและหน่วยเซนติเมตรดงั ทไี่ ด้กล่าวไปแล้วคือ y = 2.54x เมื่อ x เป็นหน่วยนิ้ว และ y เป็น หน่วยเซนติเมตร จะเรียกว่า y เป็นฟังก์ชันของ x น่ันคือ ค่าของ y ซ่ึงเป็นตัวแปรตาม แปรไปตามค่าของ x ซึ่งเป็นตัวแปร ต้นหรือบางคร้งั เรยี กวา่ ตัวแปรอิสระ นอกจากนั้น อาจเปรียบเทียบฟังกช์ ันเป็นการกระทาทางคณิตศาสตร์บางอยา่ ง ทีเ่ ม่อื ใส่ ค่าตวั เลขเข้าไปซึ่งจะเรยี กวา่ อินพตุ (Input) แล้วไดค้ ่าตัวเลขออกมาซึง่ จะเรยี กวา่ เอาตพ์ ุต (Output) และมกั จะใช้สญั ลักษณ์ แทนฟังกช์ นั หรอื การกระทาทางคณิตศาสตร์ใดๆ ทย่ี ังไมไ่ ดร้ ะบุ เช่น จาก y = 2.54x เราอาจเขียนได้เปน็ y = ƒ ������(x) โดยที่ ƒ ������ (x) = 2.54x ดังน้ัน x เปรียบเสมือนเป็นอินพุตท่ีถูกส่งเข้าไปในฟังก์ชัน ซ่ึงก็คือการเอาค่า 2.54 คูณกับอินพุต x ท่ีถูกส่งเข้ามาที่ ฟงั ก์ชนั แล้วสง่ ค่าไปที่เอาตพ์ ุตซง่ึ กค็ ือ y นกั คณติ ศาสตร์ไดน้ ิยามฟังกช์ นั ใหร้ ดั กุมขน้ึ ดงั นี้

ฟังกช์ ัน แนวคดิ ของฟังกช์ นั ขอใหส้ งั เกตตวั หนา “เพยี งค่ำเดยี วเท่ำนั้น” ซงึ่ เป็ นการบอกว่า เมื่อใส่อนิ พุต x เขา้ ไปหนึ่งค่าในฟังกช์ นั เอาตพ์ ุต y ทีไ่ ดจ้ ะตอ้ งมีเพยี งค่าเดยี วเท่าน้ัน ถา้ มีเอาตพ์ ุต มากกวา่ หนึ่งคา่ เราจะไม่เรยี กวา่ ฟังกช์ นั

ฟังกช์ ัน ตัวอยา่ ง y = ������(x) = ������ เป็นฟังก์ชนั หรือไมเ่ พราะอะไร วธิ ีทา สมมติให้ x = 4 เราจะได้ว่า 4 = 2 และ 4 = -2 เพราะว่า (-2)2 = 22 = 4 ดังนั้นเมื่อใส่อินพุต x = 4 เพียงค่า เ ดี ย ว เ อ า ท์ พุ ต y ที่ ไ ด้ จ า ก ก า ร ค า น ว ณ ต า ม ������(x) = ������ มี ค่ า ส อ ง ค่ า คื อ y = 2 แ ล ะ y = -2 ดั ง นั้ น ������(x) = ������ จึงไม่เป็นฟงั ก์ชัน จากหวั ข้อทผ่ี ่านมา จะเหน็ วา่ เม่ือข้อมูลสองชุดมคี วามสัมพันธ์กันด้วยฟังก์ชันใดๆ แล้วสามารถท่ีจะแสดงความสัมพันธ์ น้ันๆ ด้วยตาราง หรือรูปแผนภูมิ นั่นคือ ถ้ามีฟังก์ชันท่ีแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว สามารถที่จะแสดง ความสัมพันธข์ องตวั แปรสองตัวนน้ั ดว้ ยตาราง หรือรปู แผนภมู ไิ ด้ โดยการกาหนดค่าของตวั แปรต้น (ค่าของอินพุต x) เป็นค่า ต่างๆ กนั หลายๆ ค่า แล้วคานวณคา่ ของตัวแปรตาม (คา่ ของเอาตพ์ ุต y) ด้วยการคานวณของฟังก์ชันน้ันๆ แล้วนาค่าท่ีได้ทั้ง สองชดุ มาเขยี นเปน็ ตารางหรือนาไปวาดแผนภูมิ

ฟังก์ชนั เชิงเสน้ (Linear) และ สมการของเส้นตรง จากหัวข้อท่ีผ่านมา จะเห็นว่าฟังก์ชันมีประโยชน์มากในการใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลในศาสตร์หลายๆ สาขาได้ใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการอธิบายความสัมพันธ์ พฤติกรรมของระบบทางกายภาพ ต่างๆ เช่น ระบบไฟฟ้า ระบบเศรษฐกิจ การพยากรณ์ดินฟ้าอากาศ แม้กระทั่งการอธิบายระบบทางชีวภาพ ฟังก์ชันท่ีใช้อธิบายระบบ ตา่ งๆ เหล่านนั้ อาจมีความสลับซับซ้อนหรือเรยี บง่ายข้นึ อยกู่ ับระบบแตล่ ะระบบ ฟังก์ชันแบบง่ายท่ีสุดท่ีใช้อธิบายความสัมพันธ์ของข้อมูลต่างๆ คือ ฟังก์ชันเชิงเส้น ซ่ึงใช้กันอย่างแพร่หลายใน หลากหลายสาขา ในหลายๆ กรณี ถึงแม้วา่ ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลจะ ดูเหมือนซับซ้อน แต่ก็ยังสามารถประมาณได้ด้วย ฟงั กช์ ันเชงิ เสน้ ดงั นัน้ ในหวั ขอ้ นีจ้ ะมาเรียนร้เู กย่ี วกับฟงั ก์ชนั เชงิ เสน้ ตัวอย่างฟังก์ชันเชิงเส้นที่เจอในชีวิตประจาวัน เช่น การคิดค่าบริการโทรศัพท์มือถือ สมมติว่าบริษัท ป ปลาตากลม ให้บริการโทรศัพท์มือถือ โดยคิดค่าบริการรายเดือนๆ ละ 200 บาท และคิดค่าโทรนาทีละ 50 สตางค์ สมมติว่าในเดือนท่ี ผ่านมา สมชายใช้โทรศพั ทข์ องบริษทั นเ้ี ป็นเวลา 150 ช่ัวโมง บรษิ ทั จะตอ้ งเกบ็ เงนิ ค่าใชบ้ รกิ ารจากสมชายเท่าไหร่

ฟงั ก์ชนั เชิงเสน้ (Linear) และ สมการของเส้นตรง จากโจทย์ดังกล่าว สามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างค่าบริการ (บาท) กับเวลาที่ โทรออก (นาที) ต่อเดือนได้ดังนี้ ������(x) = 0.5x + 200 โดยให้ ������(x) เป็นค่าบริการ และ x เป็นเวลา(นาที) ท่ีโทรออกในช่วงเวลาหน่ึงเดือน และถ้าในเดือนที่ ผ่านมาสมชายใช้โทรศัพท์ของบริษัทนี้เป็นเวลา 150 ชั่วโมง ซึ่งจะเท่ากับ 150 x 60 = 9,000 นาที ดังนั้น จากฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง ค่าใช้บริการกับเวลาท่ีโทรออก สมชายต้องจ่ายค่าบริการเป็นเงิน ������(9000) = 0.5 x 9,000 + 200 = 4,700 บาท และถา้ นาไปเขียนเป็นตารางและแผนภูมโิ ดยใหค้ า่ ของเวลาท่โี ทรออกเป็นค่าตา่ งๆ กนั จะได้ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งคา่ บรกิ ารโทรศพั ทก์ บั เวลาทโี่ ทร

ฟงั กช์ ันเชิงเส้น (Linear) และ สมการของเสน้ ตรง ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งคา่ บรกิ ารโทรศพั ทก์ บั เวลาทโี่ ทร จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ จะเรยี กฟังกช์ นั ������(x) = 0.5x + 200 วา่ เปน็ ฟงั กช์ นั เชงิ เส้น ข้อสงั เกต จะเห็นวา่ เมอ่ื เราวาดแผนภูมแิ สดงความสัมพนั ธโ์ ดยลากเสน้ เชอ่ื มตอ่ จุดในรูป เราจะไดเ้ ปน็ เส้นตรง นิยาม ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชัน ������(x) ท่ีอยู่ในรูป ������(x) = ax + b เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริงที่มีค่าคงท่ี และ x เปน็ ตัวแปรตน้

ฟงั กช์ นั เชิงเส้น (Linear) และ สมการของเส้นตรง สมการเส้นตรง เม่ือวาดแผนภมู ิแสดงความสัมพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั เชงิ เสน้ จะได้เปน็ เสน้ ตรง ดังนั้นในทางกลับกัน ถ้ามีเส้นตรง ก็สามารถที่ จะเขียนให้อยใู่ นรูปของฟงั ก์ชนั เชิงเสน้ ได้ ดงั น้นั จากข้อมูลทอี่ ยู่ในรูปแผนภูมิ สามารถทจี่ ะเขยี นฟังก์ชันเชงิ เสน้ ได้ การทาเชน่ นี้จะมีประโยชนเ์ มื่อนาเอาข้อมูลจาก การทดลอง หรอื จากการเก็บข้อมลู มาวาดเปน็ แผนภมู แิ ล้วสามารถหาความสัมพันธ์ของข้อมูลด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ซ่ึง ก็คอื ฟงั กช์ ันนั่นเอง พจิ ารณา ฟงั ก์ชนั เชิงเส้น ������(x) = 2x + 1 เมอ่ื นาไปวาดแผนภูมิ โดยให้แกนตั้งเป็น ������(x) (หรือ y = ������(x) = 2x + 1) จะ ไดด้ ังรปู แผนภมู ขิ องฟังกช์ นั ������(x) = 2x + 1

ฟังก์ชันเชิงเสน้ (Linear) และ สมการของเสน้ ตรง จากรูปถ้าพิจารณาจุดใดๆ สองจุดบนเส้นกราฟ ดังเช่นที่จุด x = 0.5, y = 2 หรือจุด (0.5, 2) กับอีกจุดท่ี (1.5, 4) จะ เห็นว่า เมื่อค่าทางด้านแกน x เพิ่มจาก 0.5 เป็น 1.5 นั่นคือ เพ่ิมไป 1 หน่วย (ได้จาก 1.5-0.5) ค่าทางด้านแกน y จะเพิ่ม เป็น 2 หน่วย ได้จาก (4-2) จะเรียกว่า อัตราการเพิ่มของค่า y มีค่าเป็นสองเท่าของอัตราการเพ่ิมของค่า x ซึ่งจะเรียกว่า ความชนั ของเส้นกราฟ และจากฟังกช์ นั ������(x) = 2x + 1 จะเหน็ ได้วา่ ความชันของเส้นกราฟก็คือ สมั ประสิทธทิ์ ีค่ ูณอยู่หน้าตัว แปร x นั่นเอง และเม่ือแทนคา่ x = 0 เมื่อดูจากเส้นกราฟจะเหน็ จุดทเ่ี สน้ กราฟตดั ผ่านแกน y ซงึ่ จากรูปจะไดค้ า่ y = 1 และ ถ้าดูจากฟังก์ชัน ������(0) = 2•0 + 1 = 1 ดังน้ันจะเห็นว่าค่าคงที่ที่บวกอยู่กับ 2x ซ่ึงก็คือ 1 จะมีค่าเท่ากับจุดตัดแกน y ของ เส้นกราฟ สมการของเส้นตรงจึงประกอบไปด้วยองค์ประกอบสองส่วน คือ ความชันและจุดตัดแกน y ดังนั้น สามารถสรุปได้ว่า ฟังก์ชันเชิงเส้นกค็ ือสมการของเสน้ ตรงนน่ั เอง โดยสัมประสทิ ธิ์ท่ีคูณอยู่หน้าตัวแปรต้น x ก็คือความชัน และค่าคงที่ที่บวกอยู่ ก็คอื จดุ ตดั แกน y

สมการเชิงเสน้ เทคโนโลยีที่ทันสมัยในปัจจุบันมีพื้นฐานมาจากการสังเกต เก็บรวบรวม หาความสัมพันธ์ของข้อมูล จากระบบทาง กายภาพตา่ งๆ หลงั จากน้ัน การนาข้อมลู ตา่ งๆ เหลา่ น้นั มาประมวลคานวณ เพือ่ ใช้ประโยชน์จากข้อมูลเหล่านั้น การคานวณ ซึง่ เปน็ พื้นฐานท่สี าคัญทสี่ ุดกค็ ือ การแกส้ มการ และสมการทีเ่ ปน็ พนื้ ฐานทีส่ าคญั ท่สี ดุ ก็คอื สมการเชิงเส้น เพราะเป็นพ้ืนฐาน ท่ีสาคัญในการแก้สมการท่ีมีความซับซ้อนขึ้นๆ ไป ดังน้ัน ในหัวข้อน้ีผู้เรียนจะได้เรียนรู้วิธีการแก้สมการเชิงเส้นแบบต่างๆ ได้แก่ การใช้แผนภมู ิ การแทนค่าตวั เลข และการแกด้ ้วยวิธสี ญั ลักษณ์ อุ ณ จากฟังก์ชันความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิในหน่วยองศาฟาเรนไฮต์กับองศาเซลเซียส ������(x) = เ59ซี(ยx-ส3จ2)ะโเดปย็ น������ก(่ีxอ)งเปศ็นา ห ภู มิ ใ น ห น่ ว ย อ ง ศ า เ ซ ล เ ซี ย ส ถ้ า ต้ อ ง ก า ร ท ร า บว่ า อุ ณ หภู มิ 1 0 0 อ ง ศ า เ ซ ล ฟาเรนไฮต์ สามารถหาคาตอบได้โดยการแทนค่า ������(x) = 100 ในสูตรแล้วแก้สมการหาค่า x ซึ่งเป็นอุณหภูมิในหน่วยองศา ฟาเรนไฮต์ ดงั นี้ 5 (x-32) = 100 จะเรียกสมการขา้ งต้นวา่ สมการเชิงเส้นตัวแปรเด9ยี ว ซงึ่ จะเหน็ ว่ามีความคลา้ ยคลงึ กับฟังกช์ ันเชิงเสน้ นยิ าม สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว คอื สมการท่สี ามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรปู ax+b = 0 โดย a ≠ 0

สมการเชิงเสน้ การแกส้ มการเชิงเส้นดว้ ยการแทนตวั เลข คาตอบของสมการเชิงเส้นก็คือค่าของ x ใดๆ ท่ีทาให้สมการเป็นจริง น่ันคือเมื่อแทนค่า x แล้วทาให้ค่าทั้งสองข้างของ สมการเท่ากัน ดังน้ันถ้าลองสุ่มค่าของ x เป็นค่าต่างๆ แล้วคานวณดูว่าท้ังสองข้างของสมการมีค่าเท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่ากัน แสดงวา่ ค่าของ x ท่ีเราเลอื กเปน็ คาตอบของสมการ ตัวอย่าง จากฟังก์ชันความสัมพันธ์ระหว่างค่าโทรศัพท์กับระยะเวลาท่ีใช้โทรศัพท์ ������(x) = 0.5x + 200 โดย ������(x) เป็น คา่ บรกิ ารเปน็ บาท และ x เปน็ ระยะเวลาท่ีใช้โทรศพั ทเ์ ปน็ นาที ในชว่ งเวลาหนง่ึ เดือน ถ้าสมมตวิ า่ เดอื นนี้ผู้เรียนต้องจ่าย ค่า โทรศพั ท์เป็นเงนิ 1,200 บาท ผเู้ รียนใชโ้ ทรศพั ท์เป็นระยะเวลากนี่ าที วิธีทา จากโจทย์ เราสามารถเขียนเปน็ สมการได้ โดยให้ ������(x) = 1,200 แทนลงในฟงั กช์ นั ซงึ่ จะได้สมการ 0.5x + 200 = 1,200 ถ้าลองเลอื กคา่ x เป็นค่าตา่ งๆ แล้วแทนลงไปในสมการขา้ งตน้ เช่น ให้ x = 800 จะได้ 0.5•800 + 200 = 600 ≠ 1,200

สมการเชิงเสน้ ดังน้ัน 800 จึงไม่ใช่คาตอบของสมการ และจากการสังเกตค่าท่ีได้จากการแทนค่า x = 800 มีค่าน้อยกว่า 1200ดังนั้น คา่ x นา่ จะมากกวา่ นี้ ถา้ สุ่มเลือก x = 2400 แล้วลองคานวณใหมจ่ ะได้ 0.5•2,400 + 200 = 1400 ≠ 1200 ซ่งึ ได้คา่ มากกว่า 1200 ก็ยังไม่ใช่คาตอบของสมการ ถา้ ลองเลือกคา่ x = 2000 แล้วคานวณจะได้ 0.5•2000 + 200 = 1200 จะเห็นว่าทาให้สองข้างของสมการมีค่าเท่ากัน ดังนั้นสรุปได้ว่า คาตอบของสมการคือ 2000 นั่นคือ ถ้าค่าบริการ โทรศัพท์ในเดือนน้ีเป็น 1,200 บาท แสดงว่าใช้โทรศพั ท์ไปเป็นระยะเวลา 2000 นาที จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่าการใช้วิธีแทนค่า เป็นการลองผิดลองถูก ซ่ึงจะต้องใช้เวลาในการแก้สมการ เพราะอาจ ต้องแทนค่าหลายๆ ค่ากว่าจะได้คาตอบ แต่อย่างไรก็ตาม วิธีการน้ีเป็นวิธีการพื้นฐานที่สาคัญเม่ือใช้คอมพิวเตอร์ในการ คานวณ เพราะเครื่องคอมพิวเตอร์สามารถคานวณในแต่ละครั้งได้อยา่ งรวดเรว็ และไม่ซบั ซ้อนในการเขยี นโปรแกรม

สมการเชิงเสน้ การแก้สมการด้วยแผนภมู ิ เมอ่ื ไดร้ ู้ขอ้ เสียของการแก้สมการด้วยวิธแี ทนคา่ อกี วิธีท่ีสามารถใช้ได้ คือวิธีการแก้สมการด้วยการอ่านค่าจาก แผนภูมิ ซึ่งจะเป็นพ้ืนฐานความเข้าใจระบบสมการท่ีมีความซับซ้อนขึ้น การเรียนท่ีมีความสามารถในการจินตนาการความสัมพันธ์ ตา่ งๆ ที่อธิบายด้วยสมการทางคณติ ศาสตร์เปน็ รปู ภาพได้ จะสามารถเข้าใจคณิตศาสตรไ์ ดง้ ่าย เพราะโดยธรรมชาติมนุษย์จะ คุ้นเคย และชอบการดูรปู มากกว่าการอา่ นตัวหนังสือและสมการ (ผ้เู รียนคงชอบอ่านการ์ตนู ซึง่ มรี ูปเยอะๆ มากกวา่ อ่านตารา เรียน)

สมการเชิงเส้น ตวั อย่าง ให้หาคาตอบของสมการเชิงเส้น 2x+1 = -x + 4 ด้วยวิธกี ารอ่านคา่ จากแผนภูมิ วิธที า เชน่ เดยี วกบั ตัวอยา่ งทผี่ า่ นมา จะให้ y1 = 2x+1 และให้ y2 = -x+4 คาตอบของสมการกค็ อื เมอื่ y1 = y2 ดังนั้นเม่ือวาดแผนภูมิท่ีแสดงความสัมพันธ์ระหว่างแกน x และแกน y ของท้ังสองฟังก์ชัน ท่ีตาแหน่ง y1 = y2 กค็ อื จดุ ตัดกนั ของเส้นกราฟ ซ่งึ จะได้ดงั รปู ซงึ่ จากรปู จดุ ตดั ของเสน้ ทงั้ สองคอื (1, 3) ดงั นั้นคาตอบของสมการคอื x=1

สมการเชิงเสน้ การแก้สมการในเชงิ สัญลกั ษณ์ วิธีการท่ีใช้แก้สมการเชิงเส้นด้วยแผนภูมิอาจจะยุ่งยาก เพราะต้องทาการวาดแผนภูมิแสดงความสัมพันธ์ก่อน แล้วจึง อ่านค่าจากรูป ซึ่งในบางครง้ั คา่ ทีอ่ ่านได้อาจจะไมล่ ะเอยี ดและไม่ถูกต้อง ขึน้ กับว่าเราวาดรูปได้ถูกต้องแม่นยาแค่ไหน วิธีการ แก้สมการอีกวิธีการหน่ึง ที่กระทาได้ง่าย ให้ผลที่ถูกต้องแน่นอน และเป็นวิธีท่ีนักคณิตศาสตร์นิยมใช้ก็คือ วิธีการแก้ในเชิง สญั ลกั ษณ์ ดว้ ยวธิ ีการนี้ จะเขยี นสมการในรูปแบบต่างๆ ทีม่ ีความสมมลู กัน คอื จะใชก้ ารกระทา บวก ลบ คูณ หาร กระทาทั้งสอง ข้างของสมการ เพ่ือให้ด้านหน่ึงของสมการเหลือแต่สัญลักษณ์ ตัวแปรเพียงอย่างเดียว ส่วนอีกด้านหน่ึงของสมการจะเป็น ค่าคงที่ที่เปน็ ตวั เลข เช่น ถา้ ต้องการ แก้สมการ 2− 1 ������ = 1 เรมิ่ ต้นดว้ ยเอา -2 บวกทงั้ สองขา้ งของสมการ ซึง่ จะได้ 2

สมการเชิงเส้น 1 −2 + 2 − 2 ������ = −2 + 1 1 หลงั จากนัน้ เอา -2 คูณท้งั สองขา้ งของสมการ ซ่งึ จะได้ − 2 ������ = −1 1 (−2) − 2 ������ = (−2)(−1) ������ = 2 ซง่ึ จะทาให้ดา้ นซ้ายมือของสมการ เหลือเพียงตวั แปร x ซ่งึ จะมีค่าเทา่ กบั ตัวเลขทางดา้ นขวามอื ซ่งึ กค็ อื 2 ดังน้ันคาตอบ คือ x = 2 ซึ่งจะตรงกับตัวอย่างทีผ่ ่านมา

อสมการ ถ้าผู้เรียนมีเงิน 100 บาท ต้องการซ้ือน้าส้มค้ัน ซ่ึงราคาขวดละ 30 บาท ผู้เรียนจะซ้ือน้าส้มได้ก่ีขวด ผู้เรียนคงหา คาตอบไดไ้ มย่ าก ซ่ึงหลายๆ คน คงจะไดค้ าตอบเปน็ 3 ขวด ซ่ึงคดิ เปน็ เงนิ 90 บาท ซ่งึ เป็นคาตอบทถี่ กู ตอ้ ง แตอ่ ย่างไรก็ตาม ก็ไมใ่ ช่จะเปน็ เพียงคาตอบเดียวเพราะถา้ ผู้เรียนซอื้ นา้ ส้ม 1 ขวด 2 ขวด กไ็ ด้เชน่ กัน เพราะราคาไมเ่ กิน 100 บาท จะเห็นได้ว่าคาตอบของคาถามข้างต้นอาจจะดูง่าย แต่ถ้าคิดให้ลึกซ้ึงขึ้น อาจจะมีคาตอบมากกว่าหน่ึงคาตอบ ในกรณี เช่นนี้ ถา้ เปล่ียนจากโจทย์ท่ีเป็นคาพูดให้เป็นคณิตศาสตร์ จะทาให้เห็นภาพได้ชัดข้ึน น่ันคือ จากคาถามข้างต้นถ้าให้จานวน น้าสม้ เป็นขวดแทนดว้ ยตัวแปร x สามารถเขียนเป็น อสมการ ไดด้ งั น้ี 30x ≤ 100 น่ันคือ จานวนน้าส้มที่ผู้เรียนจะซื้อได้คูณกับราคา ต้องไม่เกิน 100 ซ่ึงจะใช้เคร่ืองหมาย ≤ ซ่ึงอ่านว่า น้อยกว่าหรือ เทา่ กับ คาตอบของอสมการขา้ งต้นหาได้งา่ ย โดยการหารดว้ ย 30 ท้งั สองข้างของอสมการ นน่ั คอื 30������ 100 30 ≤ 30 ������ ≤ 3.333 ซงึ่ จากคาตอบที่ได้จรงิ ๆ แลว้ กค็ ือ ผู้เรียนสามารถซอ้ื น้าสม้ ได้ น้อยกวา่ หรือเท่ากบั (หรอื ไม่เกิน) 3.33 ขวด แต่ถ้าแม่ค้า ไมแ่ บ่งขาย ผ้เู รียนก็จะซอื้ ได้มากที่สุด 3 ขวด และอาจจะซ้ือแค่ 1 หรอื 2 ขวดกไ็ ด้

อสมการ นยิ าม อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว จะต้องสามารถเขยี นให้อยใู่ นรปู ax + b > 0 เมอ่ื a ≠ 0 และเคร่อื งหมาย > (มากกว่า) อาจแทนด้วย < (น้อยกว่า) หรือ ≥ (มากกว่าหรือเท่ากับ) หรือ ≤ (นอ้ ยกว่าหรือเทา่ กับ) สามารถใช้วธิ ีการเดยี วกับการหาคาตอบสมการ ในการหาคาตอบของอสมการ นั่นคือ อาจใช้วิธีแทนค่าตัวเลข วิธีอ่าน จากแผนภูมิและวธิ กี ารแกเ้ ชิงสัญลักษณ์ แต่อย่างไรก็ตาม การแก้อสมการด้วยวิธีเชิงสัญลักษณ์ จะต้องอาศัยสมบัติที่สาคัญ ในการจัดรูปอสมการสมมูล ดงั ตอ่ ไปนี้ สมบตั ิของอสมการ ถ้าให้ a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ 1. ถา้ a < b แลว้ a + c < b + c น่ันคอื สามารถบวกจานวนจรงิ ใดๆ ท้ังสองขา้ งของอสมการ 2. ถ้า c > 0 และ a < b แล้ว ac < bc นัน่ คือ สามารถคูณหรอื หารจานวนจริงบวก ทั้งสองข้างของอสมการ 3. ถ้า c < 0 และ a < b แล้ว ac > bc น่ันคือ เม่ือคูณหรือหาร ท้ังสองข้างของอสมการด้วยจานวนจริงลบ เครือ่ งหมายของอสมการจะกลบั กนั หมายเหตุ สมบัตทิ ้ังสามสามารถใชไ้ ด้กบั อสมการทเ่ี ป็นลักษณ์ ≤ และ ≥ เชน่ เดยี วกนั

ระบบสมการเชิงเสน้ (System of Linear Equations) ในหลายๆ กรณี ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล อาจจะเก่ียวข้องกับตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวแปร เช่น ในการคานวณเงิน ผ่อนชาระในแตล่ ะเดอื น ของลูกค้าที่กเู้ งินธนาคาร จะตอ้ งเก่ยี วพันกบั ทงั้ เงินต้นที่กู้และอัตราดอกเบี้ยในขณะน้ัน หรือในการ พยากรณ์อากาศ การทานายปริมาณฝนท่จี ะตก อาจตอ้ งเกยี่ วพนั กับอุณหภมู ขิ องอากาศ ความช้ืน ความเรว็ ลม เปน็ ตน้ ดังน้ัน ความสัมพันธ์ของข้อมูลสองชุดดังท่ีได้กล่าวมาในหัวข้อ สมการเชิงเส้น จึงไม่เพียงพอ ในหัวข้อน้ีจึงได้นาเสนอ ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่า ในหนึ่งระบบจะมีสมการเชิงเส้นมากกว่าหนึ่งตัวแปร และจะมีสมการเชิงเส้นที่ใช้ อธิบายมากกว่าหนงึ่ สมการ

ระบบสมการเชิงเส้น (System of Linear Equations) ตัวอย่าง คุณยายบังอรขายหน่อไม้ได้ 8 กิโลกรัม และขายเห็ดได้ 15 กิโลกรัม ได้เงินรวมกันท้ังหมดเป็นเงิน 1,900 บาท ในขณะท่ีคุณยายระเบียบขายเห็ดได้ 25 กิโลกรัม แต่จ่ายเงินซ้ือหน่อไม้ 2 กิโลกรัม แล้วมีเงินเหลือทั้งส้ิน 2,400 บาท ใหเ้ ขียนระบบสมการเชงิ เสน้ เพ่ือแสดงความสมั พันธ์ของราคาหนอ่ ไม้ เหด็ กับเงินคงเหลอื ของท้งั สองคน วิธีทา จากโจทย์ ถ้าให้ราคาของหน่อไม้เป็นตัวแปร x และ ราคาของเห็ดเป็นตัวแปร y จากข้อมูลของคุณยายบังอรซึ่งขาย หน่อไมไ้ ด้ 8 กโิ ลกรมั และขายเห็ดได้ 15 กโิ ลกรมั รวมเป็นเงนิ 1,900 บาทเขียนเปน็ สมการไดเ้ ปน็ 8x + 15y = 1900 และจากข้อมูลของคณุ ยายระเบียบซึ่งขายเห็ดได้ 25 กิโลกรมั แตต่ ้องซอื้ หน่อไม้ 2 กโิ ลกรมั นามาเขียนเป็นสมการได้เปน็ 25y - 2x = 2400 หรอื เขียนใหม่ได้เป็น -2x + 25y = 2400

ระบบสมการเชิงเสน้ (System of Linear Equations) ดังน้ัน ระบบสมการเชงิ เสน้ จะเปน็ ดงั นี้ 8x + 15y = 1900 -2x + 25y = 2400 จากตวั อยา่ งข้างตน้ เป็นระบบสมการเชงิ เสน้ ที่มตี วั แปรสองตวั แปรและสองสมการ ซงึ่ สามารถเขยี นในรูปท่ัวไปได้ดงั น้ี ax + by = c dx + ey = f โดย a, b, c, d, e และ f เป็นจานวนจรงิ ทีค่ งท่ี ส่วน x และ y เปน็ ตัวแปร สาหรบั ระบบสมการที่มีตัวแปรและจานวนสมการมากกว่าสอง ก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบดังกล่าวได้เช่นเดียวกัน โดยมตี ัวแปรและสมการเพ่ิมเข้ามา

ระบบสมการเชิงเสน้ (System of Linear Equations) การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น คาตอบของระบบสมการกค็ อื คา่ ของตวั แปรทุกตัว (x และ y ในกรณที มี่ ีสองตัวแปร) ท่ที าให้สมการทุกสมการในระบบ สมการเปน็ จรงิ ในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่มีจานวนตัวแปรและจานวนสมการสองสมการ สามารถใช้วิธีการวาด แผนภูมไิ ด้ หรอื จะใช้วิธีทว่ั ไปคอื การแทนคา่ และลดจานวนตัวแปร ซึ่งเปน็ วิธีที่ใชไ้ ดก้ ับระบบทม่ี หี ลายตวั แปรหลายสมการ อย่างไรกต็ าม คาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นอาจจะไมม่ คี าตอบเลยกไ็ ด้ หรืออาจจะมีคาตอบหลายคาตอบก็ได้เชน่ กัน ดงั นน้ั ความเปน็ ไปได้ของคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ อาจเปน็ ไปได้สามแบบคือ 1. มคี าตอบคาตอบเดียว 2. มีคาตอบหลายคาตอบ 3. ไม่มีคาตอบ

ระบบสมการเชิงเสน้ (System of Linear Equations) วิธีการกาจดั ตวั แปร 8x + 15y = 1900 (1) -2x + 25y = 2400 (2) จากสมการ (1) และ (2) ของระบบสมการ จะพยายามกาจัดตัวแปรตัวใดตัวหน่ึงออกไปเพ่ือให้เหลือเพียงตัวแปรเดียว ซึง่ จะแกไ้ ดง้ ่าย แลว้ จึงคอ่ ยแทนคา่ กลบั เพ่ือหาตัวแปรทถี่ กู กาจดั ไปในกรณนี จ้ี ะง่ายถา้ กาจัดตัวแปร x โดยทาได้ดังนี้ คณู 4 ท้งั สองขา้ งของสมการท่ี (2) จะได้ 4•(-2x)+4•25y = 4•2400 -8x+100y = 9600 (3) บวกสมการที่ (1) กบั สมการที่ (3) ดงั น้ี

ระบบสมการเชิงเสน้ (System of Linear Equations) จะเหน็ วา่ ตัวแปร x จะหายไป หลังจากน้ัน นาเอา 1 คณู ทั้งสองข้างของสมการขา้ งตน้ จะได้ 115 11 115 115yy==110105 11500 และแทนค่า y = 100 กลับไปยังสมการ (1) หรือ (2) หรอื (3) กไ็ ด้ ในท่ีน้ีแทนลงในสมการ (3) และเมือ่ นา 1 คูณท้ังสองขา้ งของสมการจะได้ −8 11 (−8x) = (−400) −8 −508 x = ซึ่งจะได้คาตอบเหมือนกับสองวิธีที่ผ่านมา วิธีหาคาตอบแบบการกาจัดตัวแปรนี้ จะเป็นวิธีที่ใช้ได้ดีกับระบบสมการที่มี หลายตวั แปรหลายสมการ กว่าสองวธิ ที ่ีผา่ นมา