คณิตศาสตร์คอมฯ-หน่วยที่ 2 ระบบเซต

หนว่ ยการเรียนรู้ที่ ๒ ระบบเซต

ความหมายของเซต ในทางคณติ ศาสตร์ คาว่า “เซต” จะหมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง หรือ ชุด และเม่ือกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ เราจะ ทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เช่น เซตของประเทศกลุ่มอาเซียน ก็หมายถึงกลุ่มของประเทศท่ีเข้าร่วมประชาคม อาเซยี น เซตของนกั เรยี นหญิงในช้นั เรียนกจ็ ะหมายถึงกลุ่มของนักเรียนหญิงที่อยู่ในชั้นเรียนน้ันๆ ซึ่งสามารถเรียกสิ่งท่ีอยู่ใน เซตวา่ “สมาชกิ ” สญั ลักษณท์ ี่ใช้แทนเซต ชอ่ื และสมาชกิ ของเซต 1) สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตตา่ งๆ ได้ 2) ชือ่ เซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทัง้ หมด เชน่ A, B, C, ... 3) สัญลักษณ์ ∈ แทนคาวา่ “เป็นสมาชิกของ” ∉ แทนคาว่า “ไม่เปน็ สมาชกิ ของ”

วิธีเขียนเซต โดยทั่วไปการเขยี นเซตทน่ี ิยมเขียนกันมี 2 วธิ ี คอื 1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกของเซต (Tabular form) คือ การเขียนสมาชิกทุกๆ ตัวลงในเคร่ืองหมาย วงเลบ็ ปีกกา “{ … }” และค่นั ระหวา่ งสมาชิกแต่ละตัวด้วยเครื่องหมายจุลภาค “ , ” สาหรับสมาชิกที่ซ้ากันให้เขียนเพียงตัว เดียว และในกรณีท่ีจานวนสมาชิกมาก ๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัวแรก แล้วใช้จุด 3 จุด (Triple dot) แล้วจึงเขียน สมาชิกตัวสุดท้าย ยกตวั อยา่ งเชน่ A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, …} Weekday = {จนั ทร์, อังคาร, พธุ , พฤหสั บด,ี ศุกร์} สาหรบั กรณีทีท่ ราบสมาชิกตวั สุดท้ายของเซตสามารถเขียนสมาชิกตัวสุดท้ายไว้ในเซตด้วย เช่น ให้เซต R แทนเซตของ ตัวเลขท่หี าร 3 ลงตวั และไม่เกิน 30 แล้ว R = {3, 6, 9, …, 30} ทาให้ทราบได้ว่าตัวเลขสมาชิกที่เว้นไว้คือ 12, 15, 18, 21, 24 และ 27 เป็นต้น

วิธีเขียนเซต 2. การเขียนเซตแบบกาหนดเงื่อนไขของสมาชิก (Set builder form) จะใช้วิธีบอกเป็นเงื่อนไข หรือจะบรรยาย ลักษณะของสมาชิก หลังตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กแทนสมาชิกของเซตด้วยเคร่ืองหมาย “ | ”(อ่านว่า โดยท่ี) ไว้ ภายในเครื่องหมายวงเลบ็ ปกี กา เช่น A = {x | x เปน็ วนั ตา่ งๆ ในหนึง่ สัปดาห}์ B = {y | y เปน็ เลขคทู่ อี่ ยูร่ ะหวา่ ง 1 ถึง 100} หรือ B = {y | y ∈ I และ 1<y<10} ในการเขยี นเซตแบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชิก จะตอ้ งกาหนดเซตขึน้ มาหนงึ่ เซตเรียกว่า เอกภพสมั พัทธ์

วิธีเขียนเซต สัญลกั ษณ์ตวั แทนของเซตท่ีใช้โดยทั่วไป R แทนเซตของจานวนจริง R+ แทนเซตของจานวนจรงิ บวก R- แทนเซตของจานวนจริงลบ Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ Q+ แทนเซตของจานวนตรรกยะบวก Q- แทนเซตของจานวนตรรกยะลบ I แทนเซตของจานวนเต็ม I+ แทนเซตของจานวนเตม็ บวก I- แทนเซตของจานวนเต็มลบ I0 แทนเซตของจานวนเตม็ ศนู ย์ N แทนเซตของจานวนธรรมชาติหรือจานวนนบั

ประเภทของเซต เซตสามารถแบ่งตามลกั ษณะของสมาชกิ ไดด้ งั นี้ 1. เซตจากดั (Finite Set) คอื เซตทีส่ ามารถนับจานวนสมาชิกของเซตได้ หรือสามารถบอกสมาชิกตัวสุดท้ายของเซต นั้นได้ (นบั ได้ตัง้ แต่สมาชิก 0 ตัว, 1 ตวั , 2 ตวั , ..., n ตวั ) เชน่ A = {x | x เปน็ จานวนเต็มบวกที่หาร 2 ไดล้ งตัว แตไ่ ม่เกนิ 100} ∴ A = { 100, 98, 96, 94, 92, …, 2} B = {y | y เป็นชอื่ พยญั ชนะในภาษาไทย} ∴ B = {ก, ข, ฃ, ค, ..., ฮ } 2. เซตอนันต์ (Infinite Set) คอื เซตท่ีไม่สามารถนบั จานวนสมาชิกของเซตได้ หรือไม่สามารถบอกสมาชิกตัวสุดท้าย ของเซตน้นั ได้ ซ่งึ สมาชกิ ในเซตนน้ั อาจจะมีจานวนมากมายจนนบั ไม่ได้ เชน่ A = {x | x เปน็ จานวนเตม็ บวก} ∴ A = {1, 2, 3, 4, ... } B = {x | x เป็นจานวนเตม็ บวกทห่ี าร 2 ได้ลงตวั } ∴ B = {2, 4, 6, 8, ... }

ประเภทของเซต 3. เซตว่าง (Empty Set หรือ Null Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ ∅ และเรา ถอื วา่ เป็น “เซตจากัด” เพราะนับจานวนสมาชกิ ได้ 0 ตวั เช่น A = { x | x เปน็ จานวนเตม็ ระหว่าง 1 กบั 2} ∴ A = { } หรือ ∅ B = { y | y เป็นชื่อของเดือนทีล่ งทา้ ยด้วย ยน มี 31 วัน} ∴ B = {} หรอื ∅ C = {x | x เป็นช่ือของภเู ขาไฟในประเทศไทย} ∴ C = { } หรอื ∅

ประเภทของเซต 4. เซตที่เท่ากัน (Equal Set) หมายถึง เซตตั้งแต่ 2 เซตขึ้นไป มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว และการเขียนสมาชิกของ เซตซ้ากันหลายๆ คร้ัง ไม่ได้มีความแตกต่างกันกับการเขียนเพียงคร้ังเดียว น่ันคือ ถ้าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต B และ สมาชกิ ทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A กลา่ วไดว้ า่ เซต A เท่ากับ เซต B เขียนแทนด้วย A = B เช่น A = {1, 2, 3} B = {1, 1, 1, 2, 2, 3} ∴A=B แต่ถา้ A = {1, 2, 3} B = {1, 2} ∴A≠B T = {2, 4, 6} S = { x | x เปน็ จานวนคบู่ วกและมคี า่ น้อยกวา่ 10 } ∴ T ≠ S เพราะ S = {2, 4, 6, 8}

ประเภทของเซต 5. เซตทเี่ ทียบเท่ากัน (Equivalent Set) คอื เซตตัง้ แต่ 2 เซต ท่ีมจี านวนสมาชกิ เท่ากนั พอดี และเป็นการจบั ค่หู น่งึ ต่อ หน่งึ เขียนแทนสญั ลกั ษณ์ดว้ ยเครอื่ งหมาย ↔ เชน่ A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {ก, ค, จ, ช, ฑ} ∴A↔B A = เซตของเลขจานวนนบั B = เซตของเลขจานวนเต็มบวก ∴A↔B

สบั เซต 1. สับเซต (Subset) คือ “เซตย่อย” หรือ เซตที่เล็กกว่าหรือเท่ากับเซตท่ีกาหนด จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “⊂” กล่าวคือเซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A น้ันเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย โดยที่สมาชิกใน เซต B มีจานวนมากกว่าหรือเทา่ กบั เซต A เขยี นแทนด้วย A ⊂ B และจะใชส้ ญั ลกั ษณ์ “⊄” แทน “ไม่เป็นสับเซต” เช่น A = เซตของเลขจานวนนับ B = { 1, 2, 3, 4 } ∴B⊂A A = { 5, 10, 15, 20, 25, … } B = { 10, 15, 20 } ∴B⊂A A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 } ∴B⊄A

สับเซต สมบตั ขิ องสับเซต 1. เซตทุกเซตจะเป็นสบั เซตของตัวเองเสมอ 2. ∅ เปน็ สบั เซตของทกุ เซต 3. A ⊂ B และ B ⊂ C แลว้ A⊂ C 4. A ⊂ B และ B ⊂ A กต็ อ่ เม่ือ A = B สับเซตแท้ คือ เซตใดๆ ที่ไม่ใช่ตัวมันเอง กล่าวคือ ถ้า A ⊂ B และ A ≠ B จะเรียก A ว่า “สับเซตแท้” ของ B ข้อสังเกต ถ้าเทียบกับระบบจานวน สับเซตก็เหมือนเคร่ืองหมาย ≤ ≤ ซึ่งอนุญาตให้มีการเท่ากันได้ ส่วนสับเซตแท้ก็ คอื เคร่ืองหมาย < น่ันเอง

สบั เซต 2. เพาเวอรเ์ ซต (Power set) เพาเวอรเ์ ซต คือ เซตซึง่ ประกอบด้วยสมาชิกท่ีเปน็ สบั เซตทัง้ หมดของเซตนนั้ และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P (ชอื่ เซต) วธิ หี าเพาเวอร์เซต จะตอ้ งหาสบั เซตทงั้ หมดใหไ้ ด้กอ่ น จากนนั้ จงึ ใส่เซตครอบลงไป เช่น A = { 2, 4, 6, 8 } จะได้เพาเวอร์เซต P(A) = { ∅, {2}, {4}, {6}, {8}, {2, 4}, {2, 6}, {2, 8}, {4, 6}, {4, 8}, {6, 8}, {2, 4, 6}, {2, 6, 8}, {2, 4, 8}, {4, 6, 8}, {2, 4, 6, 8}} สมบตั ขิ องเพาเวอรเ์ ซต สมมตฐิ านให้ชอ่ื เซต A 1. P(A) ≠ ∅ กล่าวคือ P(A) จะตอ้ งมีสมาชกิ อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั เสมอ 2. ∅ ∈ P(A) และ ∅ ⊂ P(A) สาหรบั ทกุ ๆ เซต A 3. A ∈ P(A) เสมอ 4. ถ้า A เป็นเซตใดๆ จานวนสมาชกิ ของ P(A) = 2n เซต (n คอื จานวนสมาชกิ ในเซต) 5. A ⊂ B กต็ อ่ เม่ือ P(A) ⊂ P(B) 6. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) 7. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B) 8. ถา้ A เปน็ เซตอนนั ต์แลว้ P(A) กจ็ ะเปน็ เซตอนันต์เช่นกนั

เอกภพสมั พัทธแ์ ละแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ 1. เอกภพสัมพทั ธ์ (Relative Universe) เป็นเซตท่ีกาหนดขึ้นมาเพ่ือจะจากัดขอบเขตและครอบคลุมเซตทุกเซตที่สนใจและจะไม่กล่าวถึงสิ่งอ่ืนใดท่ี นอกเหนอื จากเซตทกี่ าหนดขน้ึ ซงึ่ ถือว่าเป็นเซตท่ีใหญท่ ่ีสุด โดยจะนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ เอกภพสัมพัทธ์ จะเป็นเซตจากัดหรือเซตอนันต์ก็ได้ ข้ึนอยู่กับโจทย์กาหนดมาให้ ถ้าโจทย์ไม่กาหนดมาให้ถือว่า เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของ จานวนจริงเมอื่ กาหนดเซตของเอกภพแล้ว จะไม่มีสมาชิกของเซตใดๆ ทีอ่ ยู่นอกเซตเอกภพนั้น เช่น ถา้ ศึกษาเกี่ยวกบั จานวนเตม็ U = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} หรอื U = เซตของเลขจานวนเตม็ ถ้า A เปน็ เซตของจานวนนบั ที่มีค่านอ้ ยกวา่ 5 A = {1, 2, 3, 4} ∴ U = เซตของเลขจานวนนับ

เอกภพสมั พัทธแ์ ละแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ 2. แผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) การเขียนแผนภาพแทนเซตจะช่วยให้เข้าใจเก่ียวกับความสัมพันธ์ระหว่างเซตชัดเจนมากยิ่งขึ้น เราเรียกแผนภาพแทน เซตว่า แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เพื่อเป็นเกียรติให้แก่นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษท่ีช่ือ จอห์น เวนน์ (John Venn พ.ศ. 2377-2466) และนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ที่ชื่อ เลโอนาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler พ.ศ. 2250-2326) ซึ่ง เปน็ ผู้คดิ แผนภาพเพ่ือแสดงความสัมพันธร์ ะหว่างเซตโดยมีหลักการเขียน Diagram ดังน้ี 1) ใชร้ ปู ส่ีเหลย่ี มผนื ผา้ หรือส่ีเหล่ยี มมมุ ฉากแทนเอกภพสมั พัทธ์ U 2) ใช้วงกลมหรือวงรีหรอื รูปปิดใดๆ แทนเซตต่างๆ ที่เปน็ สมาชิกของ U และเขยี นภายในสี่เหลีย่ มผืนผ้า จากแผนภาพจะเห็นได้ว่าเซต A และ เซต B จะไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย (เรียกว่า Disjoint Set) แต่ทั้งสองเซตจะเป็น สมาชิกของเซต U น่ันหมายความวา่ เซต U เปน็ เอกภพสมั พทั ธ์

เอกภพสมั พัทธแ์ ละแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ จากแผนภาพจะเห็นไดว้ ่าเซต A และ เซต B มีสมาชกิ บางตวั ร่วมกนั (เรยี กว่า Overlapping Set) และเซต U เป็ นเอกภพสมั พทั ธ ์

การปฏิบตั ิการของเซต การปฏิบัติการของเซตจะเป็นวิธีการสร้างเซตใหม่โดยการใช้เคร่ืองหมายกากับเซตท่ีกาหนดให้ 2 เซต ซึ่งเคร่ืองหมาย กากับเซตมี 4 แบบ คือ 1. ยเู น่ียน (Union) ยูเน่ียน คือ เซตสองเซตท่ีประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสองเซตน้ัน กล่าวคือในกรณีท่ีเป็นเซต A และ เซต B กาหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ การยูเนียนกันของ A และ B จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “A ∪ B” (อ่านว่า เซต A ยูเนยี น เซต B) ซ่งึ หมายถึง เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกทัง้ หมดของเชตนนั้ การแสดง A ∪ B ในแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ แสดงได้ตามกรณีตา่ งๆ ดงั น้ี 1) เซตมสี ่วนรว่ ม (Overlapping Set) เซตมสี ว่ นรว่ ม (A ∪ B)

การปฏิบัติการของเซต ตวั อยา่ งเชน่ กาหนดให ้ A = {1, 2, 4, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} ∴ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 2) เซตไม่มสี ว่ นรว่ ม (Disjoint Set) เซตมไี ม่มสี ว่ นรว่ ม (A ∪ B) ตวั อย่างเชน่ กาหนดให ้ A = {a, b, c, d} B = {z, y, x} ∴ A ∪ B = {a, b, c, d, z, y, x}

การปฏิบัติการของเซต 3) สบั เซต (SubSet) สบั เซต (A ∪ B) ตวั อย่างเชน่ กาหนดให ้ A = { อาทติ ย,์ จนั ทร,์ องั คาร, พุธ, พฤหสั ฯ, ศกุ ร,์ เสาร ์ } B = { x | x เป็ นวนั หยุดประจาสปั ดาห ์ } ∴ A ∪ B = { อาทติ ย,์ จนั ทร,์ องั คาร, พุธ, พฤหสั ฯ, ศกุ ร,์ เสาร ์ }

การปฏิบตั ิการของเซต 2. อนิ เตอร์เซกชนั (Intersection) อนิ เตอร์เซกชัน คอื เซตสองเซตท่ีมีสมาชิกร่วมกัน และใช้สัญลักษณ์แทนอินเตอร์เซกชันด้วยเครื่องหมาย ∩ กล่าวคือ ถ้ากาหนดให้เซต A และเซต B เป็นเซตใดๆ อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B เขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย A∩B (อ่านว่า เชต A อนิ เตอร์เซกชันเชต B) ซึง่ ประกอบดว้ ยสมาชิกท่ีเปน็ สมาชิกของเซต A และเป็นสมาชกิ ของเซต B ดว้ ยเชน่ กนั การแสดง A ∩ B ในแผนภาพของเวนท์-ออยเลอร์ แสดงได้ตามกรณีตา่ งๆ ดังน้ี 1) เซตมสี ่วนร่วม (Overlapping Set) เซตมสี ว่ นรว่ ม (A ∩ B)

การปฏิบตั ิการของเซต ตวั อยา่ งเชน่ กาหนดให ้ A = {1, 2, 4, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} ∴ A∩B = {2, 4} 2) เซตไม่มสี ว่ นรว่ ม (Disjoint Set) เซตมไี ม่มสี ว่ นรว่ ม (A∩B) ตวั อยา่ งเชน่ กาหนดให ้ A = {a, b, c, d} B = {z, y, x} ∴A∩B=∅

การปฏิบัติการของเซต 3) สบั เซต (SubSet) สบั เซต (A∩B) ตวั อย่างเชน่ กาหนดให ้ A = { อาทติ ย,์ จนั ทร,์ องั คาร, พธุ , พฤหสั ฯ, ศกุ ร,์ เสาร ์ } B = { x | x เป็ นวนั หยดุ ประจาสปั ดาห ์ } ∴ A∩B = { อาทติ ย,์ เสาร ์ }

การปฏิบัติการของเซต 3. คอมพลเี มนต์ (Complement) กรณที ี่กาหนดให้ เซต A เปน็ สบั เซตของเอกภพสัมพัทธ์ U คอมพลีเมนต์ของ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเอก ภพสัมพัทธ์ U แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชกิ ของ A เขยี นแทนดว้ ย A' (อ่านว่า เอไพร์ม หรือ คอมพลเี มนต์ A) สามารถเขียนแทน A' ด้วยแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ ได้ดงั นี้ คอมพลเี มนต ์ (A')

การปฏิบัติการของเซต ตวั อยา่ งเชน่ 1) กาหนดให ้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A = {0 ,2} ∴ A' = {1, 3, 4, 5} 2) กาหนดให ้ U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} A = { x | x เป็ นจานวนนับเลขค}ี่ ∴ A' = { x | x เป็ นจานวนคทู่ มี่ ากกวา่ -2} 3) กาหนดให ้ U = { x | x เป็ นประชากรของประเทศในกลมุ่ อาเซยี น} A = { x | x เป็ นประชากรของประเทศในกลมุ่ อาเซยี นเพศชาย} ∴ A' = { x | x เป็ นประชากรของประเทศในกลมุ่ อาเซยี นเพศหญงิ }

การปฏิบตั ิการของเซต 4. ผลตา่ ง (Difference หรือ Relative Complement) ผลต่าง (Difference) คือ ผลต่างของเซตสองเซตที่นามาลบกัน กล่าวคือ เซตท่ีประกอบด้วยสมาชิกของเซต A ซึ่งไม่ เป็นสมาชกิ ของเซต B ผลตา่ งระหว่างเซต A และ B เขยี นแทนดว้ ย A – B การแสดง A - B ในแผนภาพของเวนท-์ ออยเลอร์ แสดงได้ตามกรณีตา่ งๆ ดังนี้ 1) เซตมีส่วนรว่ ม (Overlapping Set) เซตมสี ว่ นรว่ ม (A – B)

การปฏิบัติการของเซต ตวั อยา่ งเชน่ กาหนดให ้ A = {1, 2, 4, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} ∴ A - B = {1, 7, 9} 2) เซตไม่มสี ว่ นรว่ ม (Disjoint Set) เซตมไี ม่มสี ว่ นรว่ ม (A-B) ตวั อยา่ งเชน่ กาหนดให ้ A = {a, b, c, d} B = {z, y, x} ∴ A − B = {a, b, c, d}

การปฏิบัติการของเซต 3) สบั เซต (SubSet) สบั เซต (A-B) ตวั อยา่ งเชน่ กาหนดให ้ A = { อาทติ ย,์ จนั ทร,์ องั คาร, พุธ, พฤหสั ฯ, ศกุ ร,์ เสาร ์ } B = { x | x เป็ นวนั หยุดประจาสปั ดาห ์ } ∴ A-B = {จนั ทร,์ องั คาร, พธุ , พฤหสั ฯ, ศกุ ร}์

การปฏิบัติการของเซต กฎทางพชี คณิตของเซต กาหนดให ้ A, B และ C เป็ นเซตใดๆ