คณิตศาสตร์คอมฯ-หน่วยที่ 3 ระบบเลขฐาน

หน่วยการเรียนรูท้ ี่ ๓ ระบบเลขฐาน

นิยามของระบบเลขฐาน ระบบตัวเลขที่ใช้อยู่ทั่วไป จะเป็นระบบเลขฐานสิบ โดยมีสัญลักษณ์พ้ืนฐานสิบแบบเป็น สัญลักษณ์ในการแทนจานวนนับ โดยรวม 0 ด้วย ซ่ึงในยคุ แรกๆ มนุษย์ ยังไม่มีแนวคิดในการนับ ศูนย์ จึงไม่ได้รวมศูนยเ์ ป็นจานวนนับ หรือจานวนธรรมชาติ ดังที่ได้กล่าวไปแล้วในหน่วยท่ี 1 แต่ ต่อมาเมื่อระบบจานวนมีความซับซ้อนขึ้น ศูนย์จึงกลายเป็นส่วนหน่ึงของการนับ ซึ่งในระบบ เลขฐานสิบ เราจะเริ่มนับจาก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ซ่ึงจะมีสัญลักษณ์ท้ังส้ิน 10 สัญลักษณ์ จึง เรียกว่าระบบตัวเลขฐานสิบ ตัวอย่างเช่น ถ้าต้องการนับจานวนต้นไม้ จานวนต่างๆ ซึ่งถ้าไม่มีต้นไม้ เราจะใช้ 0 ถ้ามีหน่ึง ต้นก็ใช้ 1 ไปเร่ือยๆ จนกระทั่งถึง 12 ต้น ซ่ึงใช้สัญลักษณ์จนครบสิบตัวแล้ว ถ้ามีต้นไม้เพิ่มอีก หน่ึงต้น กใ็ ชว้ ธิ ีทดหนงึ่ ไปอกี หลกั แลว้ เร่มิ นับหลกั แรกท่ี 0 อีกครั้ง และต่อไปเรือ่ ยๆ ดงั รปู

นิยามของระบบเลขฐาน แสดงการใชส้ ญั ลกั ษณ์ 0-12 ในการแทนจานวนตน้ ไม้

นิยามของระบบเลขฐาน ดังนั้นจะเห็นว่า สามารถขยายจานวนตัวเลขที่ใช้สัญลักษณ์ท่ีมีจานวนจากัด (สิบตัว ในกรณีเลขฐานสิบ) แทนจานวน สงิ่ ของหรือการนับ ทม่ี จี านวนมากๆ ได้อย่างไม่จากัด โดยใช้วิธีการทดขึ้นไปทีละหลัก เช่น ในกรณีเลขฐานสิบที่คุ้นเคย เม่ือ นับได้ 99 แล้ว ต่อไปจะทดหนึง่ เพมิ่ เข้าไปอีกหลกั และเริ่มนบั สองหลกั แรกดว้ ย 00 ใหม่ นั่นคอื 100 สาหรบั เลขฐานสิบ ผ้เู รียนอาจจะไมค่ ดิ ว่าซบั ซ้อนตรงไหน เพราะคนุ้ เคยกบั การใชร้ ะบบเลขฐานสิบมานาน แต่ถ้าสมมติ ว่าเป็นมนุษย์ต่างดาวท่ีมีนิ้ว ส่ีนิ้ว จึงใช้การนับแบบเลขฐานสี่ มานับต้นไม้ตามรูปข้างต้น การนับจะเป็นเช่นไร ? สมมติว่า มนษุ ย์ต่างดาวเผ่านใ้ี ชส้ ัญลักษณ์ส่ีตัวในการแทนจานวนส่ิงของโดยมีสัญลักษณ์ ดังน้ี ℘ แทนไม่มี หรือศูนย์ ℑ แทนส่ิงของ หนง่ึ จานวน ℜ แทนสิง่ ของสองจานวน และ ℵแทนสิ่งของสามจานวน ดังน้ัน ถ้ามนุษย์ต่างดาวต้องการนับจานวนต้นไม้ดัง รปู ขา้ งตน้ โดยใช้แนวคดิ เดียวกับท่ีมนุษยโ์ ลกใชใ้ นระบบเลขฐานสบิ กจ็ ะได้ดงั น้ี ไม่มีต้นไม้แทนด้วย ℘ ต้นไม้หน่ึงต้นแทนด้วย ℑ ต้นไม้สองต้นแทนด้วย ℜ ต้นไม้สามต้นแทนด้วย ℵ ซึ่งใช้ สัญลักษณ์ครบแล้ว ต่อไปต้นไม้ส่ีต้นก็จะใช้วิธีการทดด้วย ℑ ข้ึนไปหนึ่งหลักและเร่ิมนับด้วย ℘ ดังนั้น ต้นไม้สี่ต้นจึงแทน ดว้ ย ℑ ℘ ตน้ ไม้ห้าตน้ แทนด้วย ℑ ℑ และต่อไปเรื่อยๆ ดังรูป

นิยามของระบบเลขฐาน เปรยี บเทยี บการนับของระบบเลขฐานสบิ กบั ฐานสี่

นิยามของระบบเลขฐาน จากการสมมติเปรียบเทียบระหว่างเลขฐานสิบกับเลขฐานสี่ ทาให้สามารถสรุปหลักการของเลขฐานต่างๆ ได้ดังนี้ เลขฐาน n ใดๆ จะใช้สัญลักษณ์ในการแทนจานวน n สัญลักษณ์ และในหลักหนึ่งๆสามารถแทน จานวนได้ ตัง้ แต่ 0 ถงึ n-1 จานวน เม่อื ครบแล้วจึงทดข้ึนไปยงั หลกั ต่อไปเรอื่ ยๆ เหตุใดต้องศึกษาระบบเลขฐานอื่นๆ ท่ีนอกเหนือจากเลขฐานสิบ คาตอบคือ เมื่อนักวิทยาศาสตร์ออกแบบ เคร่ืองคานวณ หรือ คอมพิวเตอร์ ซ่ึงทางานด้วยสัญญาณไฟฟ้า การใช้สัญญาณไฟฟ้าเป็นสัญลักษณ์เพ่ือแทน ตัวเลขหลายๆ รูปแบบให้เหมือนเลขฐานสิบ จะทาได้ยากในทางปฏิบัติ ดังน้ันจงึ ได้เลือกใช้แค่สองสัญญาณแทน สองสัญลักษณ์ ซึ่งก็คือระบบเลขฐานสองถึงแม้ปัจจุบันได้มีความพยายาม ที่จะสร้างคอมพิวเตอร์ที่มีการแทน สัญลกั ษณไ์ ด้หลายสัญลกั ษณ์ เช่น ควอนตัมคอมพวิ เตอร์ ซงึ่ อาจจะแทนได้ถึงส่ีสัญลักษณ์ ซ่ึงจะทาให้มีความเรว็ ในการคานวณมากขนึ้ แต่ยงั คงอยใู่ นช่วงของการวิจัย

ระบบเลขฐานตา่ งๆ จากหลักการของระบบเลขฐานดังในหัวข้อที่ผ่านมา จะพิจารณาระบบเลขฐานอื่นๆ โดยสัญลักษณ์ที่ใช้จะยังคงใช้ ตัวเลข 0 ถึง 9 เช่นเดิม แต่ในกรณีระบบเลขฐานที่สูงกว่าสิบจะต้องมีสัญลักษณ์อ่ืนเพิ่มเข้ามา โดยมักจะใช้ตัวอักษรอังกฤษ คือ A B C D ต่อไปเร่ือย ๆ ในบทนีจ้ ะเริม่ จากระบบเลขฐานสองดงั นี้ ระบบเลขฐานสอง (Binary) ระบบเลขฐานสองจะมีสัญลักษณ์ที่ใช้สองตัว ซ่ึงเป็นระบบเลขฐานที่มีความสาคัญมากในการคานวณภายในเคร่ือง คอมพิวเตอร์ จริงๆ แล้วมนุษย์ได้ใช้ระบบเลขฐานสองมานานแล้ว ในการส่งสัญญาณติดต่อสื่อสารกัน เช่น การกระพริบไฟ ในการเดินเรือ รหัสมอส รหัสโทรเลข เปน็ ต้น ข้อดีของระบบเลขฐานสอง คือ การใช้สัญลักษณ์แค่สองตัวทาให้เห็นความแตกต่างระหว่างสองสัญลักษณ์ได้ชัดเจน เช่น การกระพริบไฟ เปิดปิด จะสังเกตได้ง่ายจากระยะทางไกลๆ และในการทางานของเครื่องคอมพิวเตอร์ การใช้ สญั ญาณไฟฟ้าสองระดับเพื่อแทนสญั ลักษณ์ของเลขฐานสอง เช่น ให้แรงดันไฟฟ้าท่ีมีค่าศูนย์โวลต์ กับแรงดันไฟฟ้าที่มีค่าห้า โวลต์ เพื่อแทนสัญลักษณ์ท้ังสอง ทาให้ความผิดพลาดน้อยในการตรวจจับ รวมท้ังการอ่านและบันทึกข้อมูลลงเทปแม่เหล็ก (ในฮาร์ดดิสก)์ ซง่ึ ใช้เปน็ ขั้วเหนือกบั ข้ัวใต้ (หรือข้วั บวกกับขว้ั ลบ)

ระบบเลขฐานตา่ งๆ ถา้ ให ้ 0 แทนจานวนศูนย ์ และ 1 แทนจานวนหนึ่ง เป็ นสญั ลกั ษณท์ ี่ใชใ้ นระบบ เลขฐานสองเมอื่ ใชห้ ลกั การเชน่ เดยี วกบั เลขฐานสบิ น่ันคอื เมอื่ ใชส้ ญั ลกั ษณแ์ ทนจานวน จนครบก็ทดขนึ้ ไปหนึ่งหลกั ดงั น้ัน จะไดก้ ารนับจานวนตน้ ไมใ้ นระบบเลขฐานสองดงั นี้ แสดงการนับในระบบเลขฐานสอง

ระบบเลขฐานตา่ งๆ ระบบเลขฐานอื่นๆ จากหลกั การดงั กลา่ วสามารถใชไ้ ด้กบั เลขฐานอนื่ ๆ ได้เช่นเดียวกัน ดังนั้นสามารถที่จะมีระบบเลขฐานใดๆ ก็ได้ ซ่ึงจะมี มากมายคงไม่สามารถแสดงให้ดูได้ทั้งหมด และระบบเลขฐานอ่ืนที่นอกเหนือจากฐานสิบและฐานสองก็ไม่ค่อยจะมี ความสาคัญมากนัก แต่อย่างไรก็ตามระบบเลขฐานอ่นื ๆ ท่ีอาจจะมีความสาคัญบ้างก็ได้แก่ ระบบเลขฐานสี่ ฐานแปด และฐานสิบหก ซึ่งจะ เป็นระบบเลขฐานทีม่ คี ่าเป็นเท่าทวคี ณู ของสอง (4=22 , 8=23 , 16=24) ระบบเลขฐานเหล่าน้ีจะใช้เปเ็ ครอ่ื งมอื ของมนุษย์ ใน การส่ือสารและทาความเข้าใจคอมพิวเตอร์ได้ง่ายข้ึน เพราะการคานวณของคอมพิวเตอร์จะใช้เลขฐานสอง ซ่ึงจะไม่เป็น ปัญหากับคอมพิวเตอร์มากนัก เมื่อจานวนตัวเลขมีค่ามากข้ึนเป็นหลายๆ หลัก แต่สาหรับมนุษย์ ถ้าต้องคิดคานวณจานวน ตวั เลขหลายๆ หลักด้วยเลขฐานสองคงจะยากพอสมควร ดังน้นั การเปลีย่ นวิธีคิดดว้ ยเลขฐานสองเป็นเลขฐานอื่นๆ ที่เป็นเท่า ทวีคณู ของฐานสอง จงึ ทาใหไ้ ม่ต้องใช้จานวนหลกั ในการแทนตัวเลขสูงๆ มากนัก และยังคงมีลักษณะท่ีคล้ายกับเลขฐานสอง ทีใ่ ชใ้ นการคานวณของคอมพวิ เตอร์เปรยี บเสมือนพบกนั ครึ่งทางระหวา่ งคอมพวิ เตอรก์ บั ผใู้ ชง้ าน

ระบบเลขฐานตา่ งๆ นอกจากน้ี ระบบเลขฐานสี่อาจจะมีความสาคัญเพิ่มข้ึนในอนาคต ถ้านักวิทยาศาสตร์สามารถพัฒนาคอมพิวเตอร์ที่ สามารถจดจารูปแบบสัญลักษณ์ได้ส่ีรูปแบบ นั่นคือ ควอนตัมคอมพิวเตอร์ ซ่ึงจะทาให้การคานวณเร็วข้ึนกว่าเดิมเป็นอย่าง มาก สาหรบั เลขฐานสบิ หก จะเป็นระบบเลขฐานหลกั ที่นกั พฒั นาโปรแกรมต้องเข้าใจ ดูตัวอย่างเปรียบเทียบเลขฐานต่างๆ ซ่ึงใช้หลักการเหมือนกับเลขฐานสองที่อ้างอิงกับเลขฐานสิบ โดยเลขฐานอื่นจะใช้ สัญลักษณ์เป็นตัวเลขจาก 0 เพิ่มขึ้นไปเร่ือยๆ จนครบตามจานวนของฐานน้ันๆ และสาหรับเลขฐานท่ีเกินฐานสิบ จะใช้ สัญลกั ษณ์ A, B, … ไปเร่ือยๆ จนครบตามจานวนดงั นี้

ระบบเลขฐานตา่ งๆ แสดงตวั อย่างการเขยี นเลขฐานตา่ งๆ

ระบบเลขฐานต่างๆ เพื่อไมใ่ ห้เกิดความสับสน ในการเขยี นระบบเลขฐานใดๆ น้ัน จะใชว้ ิธีการระบุฐานของตัวเลขนั้นๆ ด้วยตัวห้อย เช่น ค่า ของ 5 ในระบบเลขฐานสาม คือ 12 ดังนั้นเราจะเขียนเป็น 123 เพ่ือบ่งบอกว่าไม่ใช่ 12 ในระบบเลขฐานสิบ หรือค่าใน เลขฐานสิบเป็น 14 สามารถเขียนในรปู ของเลขฐานอ่นื ๆ ไดด้ งั น้ี และโดยท่ัวไปแล้ว ถ้าไม่มีการระบุว่าเป็นเลขฐานใด จะเป็นที่รู้กันว่าตัวเลขน้ันต้องเป็นเลขฐานสิบ และการอ่านค่าใน เลขฐานอืน่ ๆ ก็เช่นเดยี วกบั เลขฐานสอง คือ จะอา่ นตวั เลขเรียงกนั ไป โดยไม่ตอ้ งมีค่าประจาหลักเหมือนเลขฐานสบิ เชน่ จาก ค่าของ 14 ข้างต้น เราอา่ นเปน็ หนึ่งหน่งึ สอง ฐานสาม หรือ สามสอง ฐานส่ี หรอื หนงึ่ หกฐานแปด หนึ่งสองฐานสิบสอง หรือ อฐี านสบิ หก เปน็ ต้น จากตารางขา้ งต้น เปน็ การแสดงตวั อย่างการเขยี นเลขฐานต่างๆ โดยใช้การนบั จากศนู ย์ขน้ึ ไป เมือ่ ในระบบเลขฐานใดใช้ สญั ลกั ษณจ์ นหมด ก็ให้ทดหนึ่งขึ้นไปยังหลักถัดไปเร่ือยๆ แล้วกลับมาใช้สัญลักษณ์เร่ิมต้นใหม่ การแปลงเลขฐานสิบให้อยู่ใน รปู ของเลขฐานใดๆ ด้วยวธิ นี ้ีอาจจะยากขึ้นเม่ือตัวเลขมีค่าสูงข้ึนไปเรื่อยๆ ซ่ึงในทางปฏิบัติ เราจะใช้วิธีการอื่นในการแปลงท่ี ดกี วา่ นี้ ซงึ่ จะกล่าวถึงในหวั ข้อต่อไป แตอ่ ย่างไรก็ตาม การเรมิ่ นบั จากศนู ย์ไปเร่อื ยๆ ดงั ใน ตารางนน้ั เป็นพื้นฐานที่ดที ที่ าให้เข้าใจ ระบบเลขฐานต่างๆ ซึ่งผเู้ รยี นควรท่จี ะเรยี นรูไ้ ว้

การแปลงเลขฐานต่างๆ เปน็ เลขฐานสิบ หลักของระบบตวั เลข (Digit) ลักษณะที่สาคัญของระบบเลขฐานสิบที่ใช้อยู่ในปัจจุบันนั้นคือ มีการทดหลักเพ่ิมข้ึนเรื่อยๆ เม่ือปริมาณหรือจานวน ตัวเลข มีค่ามากกว่าสัญลักษณ์ที่ใช้ ซ่ึงการทดเพิ่มขึ้นไปนั้นจะเพิ่มข้ึนไปก่ีหลักก็ได้ ทาให้สามารถแทนจานวนตัวเลขได้ไม่ จากัด ขนึ้ กบั ความสามารถของผคู้ านวณเอง สมมติว่า กอล์ฟ มีเงิน 4,567 บาท โดยแบ่งเป็นธนบัตรและเหรียญได้ดังน้ี มีธนบัตรมูลค่าหน่ึงพันบาท สี่ใบ ธนบัตร มูลค่าหนึ่งร้อยบาทห้าใบ เหรียญสิบบาทหกเหรียญ และเหรียญบาท เจ็ดเหรียญ ซึ่งเราสามารถเขียนเป็นผลรวมของแต่ละ ธนบัตรและเหรียญได้ดังนี้ 4,567 = 4,000+500+60+7 = (4x1,000)+(5x100)+(6x10)+(7x1) จานวนเงนิ ทกี่ อล์ฟมี เขยี นด้วยเลขระบบฐานสิบ ส่ีหลัก (4 digit) ซึ่งแต่ละหลักจะแทนด้วยสัญลักษณ์ที่ได้จาก 0 ถึง 9 และค่าในแต่ละหลักจะเท่ากับค่าของสัญลักษณ์ที่เขียนอยู่ประจาหลักคูณกับค่า ประจาหลัก เช่น ค่า ประจาหลักท่ีส่ี ของ ระบบเลขฐานสบิ คือ หน่ึงพัน และเม่ือมีสัญลักษณ์4 อยู่ที่หลักน้ี ค่าท่ีได้จึงเป็น 4 x 1000 = 4000 และเช่นเดียวกันกับหลัก อ่ืนๆ

การแปลงเลขฐานต่างๆ เป็นเลขฐานสิบ จากตัวอย่างข้างต้น ถ้าสังเกต จะเห็นว่าค่าประจาหลักของระบบเลขฐานสิบ ซ่ึงเริ่มจากหลักแรกจะให้เป็นหลักศูนย์ (จะไม่เรียกหลักหน่วย สิบ ร้อย พัน เพราะเมื่อเปลี่ยนเป็นเลขฐานอ่ืนๆ ความหมายไม่เหมือนกัน) หลักต่อไปคือ 1, 2 และ ตอ่ ไปเรอ่ื ยๆ ถ้าเชอื่ มโยงความสมั พนั ธร์ ะหว่างคา่ ประจาหลักกบั ตาแหนง่ ของหลัก อาจจะเขียนได้ดงั น้ี แสดงคา่ ประจาหลกั ของระบบเลขฐานสบิ ซึ่งจากตาราง ถ้าเพิ่มหลักไปอีกเร่ือย เป็น n หลัก ค่าประจาหลักก็จะมีค่าเป็น 10n นอกจากน้ี ในกรณีท่ีตัวเลขเป็นจุด ทศนิยม สามารถใช้หลกั การเดียวกนั กับข้างตน้ ในการแทนค่า โดยที่คา่ ประจาหลกั ของตัวเลขทอี่ ยหู่ ลงั ทศนยิ ม สามารถแสดง ไดด้ ังตัวอยา่ งต่อไปน้ี 0.3456=(3x0.1)+(4x0.01)+(5x0.001)+(6x0.0001)

การแปลงเลขฐานตา่ งๆ เปน็ เลขฐานสิบ น่ันคือ ค่าประจาหลักของตาแหน่งที่อยู่หลังจุดทศนิยมจะเรียงลงไปจาก 0.1, 0.01, … และถ้าเขียนให้อยู่ในรูปเลขยก กาลังก็คอื สรุป การเขียนค่าประจาหลักจะใช้จุดทศนิยมเป็นจุดเริ่มต้น ตาแหน่งตัวเลขท่ีอยู่ทางซ้าย ของจุดทศนิยมจะนับเป็น หลักที่ 0, 1, , … เรียงข้ึนไปตามลาดับ และตาแหน่งตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา จะนับเป็นหลักที่ -1, -2, -3, เรียงลงไป ตามลาดบั และคา่ ประจาหลัก คอื 10n เมอื่ n เป็นหลกั ของ ตวั เลขท่ไี ด้จากการนบั หลักข้างต้น

การแปลงเลขฐานตา่ งๆ เป็นเลขฐานสิบ การแปลงคา่ เลขฐานต่างๆ เปน็ ค่าในเลขฐานสิบ จากหลักการระบุค่าของตัวเลขด้วยค่าประจาหลักในระบบเลขฐานสิบ สามารถนามาใช้เพ่ือหาค่าของตัวเลขฐาน ต่างๆ ได้โดยทคี่ ่าประจาหลักจะเปล่ียนเป็นคา่ ฐานของเลขนน้ั ๆ ยกกาลังหลัก เชน่ ในเลขฐานสอง 10102 = (1x23)+(0x22)+(1x21)+(0x20) = (1x8)+(0x4)+(1x2)+(0x1) ซง่ึ จะตรงกบั ค่าในตารางท่ีผา่ นมา ตวั อย่าง จากค่าของเลขฐานสาม 2013 ใหห้ าคา่ ท่ีเป็นเลขฐานสบิ วิธที า

การแปลงเลขฐานสิบไปยังเลขฐานตา่ งๆ จากหัวข้อทผ่ี ่านมา ได้เรียนรู้วิธีการแปลงค่าเลขฐานต่างๆ ให้อยู่ในเลขฐานสิบ กลับกันในหัวข้อน้ีจะเรียนรู้วิธีแปลงค่า จากเลขฐานสิบไปเปน็ คา่ เลขฐานตา่ งๆ โดยการแยกหาระหว่างจานวนเตม็ ทอ่ี ยู่หนา้ จุดทศนิยม โดยวิธกี ารที่ใช้จะเรียกว่าการ หารเอาเศษ (เชน่ 5 หารดว้ ย 2 เท่ากบั 2 เหลอื เศษ 1) จนกว่าผลหารจะเป็นศูนย์ คาตอบคือ ค่าของเศษจากการหารที่ผ่าน มาเรยี งกัน ส่วนจานวนท่ีอยหู่ ลังจดุ ทศนยิ ม จะใชก้ ารคณู คา่ จานวนหลังจุดทศนิยมด้วยเลขฐาน แล้วเอาผลลัพธ์ท่ีเป็นจานวน เตม็ ไปใช้ ค่าท่ีเหลอื หลงั จุดทศนิยมกน็ าไปคูณกบั เลขฐานอกี ต่อไปเรือ่ ยๆ จนกว่าจานวนหลังจดุ ทศนยิ มเป็นศนู ย์ หรือเมอื่ เกิด เปน็ ทศนยิ มซ้าดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตวั อย่าง ใหแ้ ปลง 6 ไปเป็นเลขฐานสอง วธิ ที า คาตอบจะเป็นเศษท่ีเหลือจากการหาร โดยเรียงตามลาดับดังนี้ แถวบนสุดในตารางเป็นหลักที่มีค่าต่าสุดซึ่งจะอยู่ ทางขวามือ และแถวล่างสุดจะเป็นหลักที่มีค่ามากที่สุด ซึ่งจะอยู่ด้านซ้ายมือนั่นคือ 1102 ซ่ึงถ้าเราคานวณกลับไปเป็น เลขฐานสิบกจ็ ะได้ 1102 = (1x22)+(1x21)+(0x20) = 6 ซ่ึงเปน็ คาตอบที่ถูกตอ้ ง

ความสมั พันธร์ ะหวา่ งเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก ระบบเลขฐานสอง แปด และสิบหก จะมีความสัมพันธ์พิเศษ เนื่องจากเป็นเลขฐานที่มีค่าเป็นกาลังของสอง (8 = 23, 1 6 = 24) การแปลงค่าระหว่างเลขเหล่าน้ีจะทาได้ง่าย และมีประโยชน์สาหรับผู้พัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะ ระหว่างเลขฐานสองและสิบหก เนื่องจากคอมพิวเตอร์ใช้เลขฐานสองในการคานวณ และการแทนสัญลักษณ์ ต่างๆ ด้วย เลขฐานสอง ไม่ใชป่ ัญหาใหญส่ าหรับคอมพวิ เตอร์ ถึงแม้ว่าเลขฐานสองจะมีหลักหลายๆ หลักก็ตาม แต่การแทนเลขฐานสอง ด้วยเลขฐานสิบหกจะกระชับกว่าโดยจานวนหลักลดลงอย่างมาก ทาให้ผู้พัฒนาโปรแกรมสามารถอ่านตัวเลขและเข้าใจ คอมพิวเตอรไ์ ดง้ า่ ยข้นึ การแปลงตัวเลขระหวา่ งเลขฐานสองและฐานแปด เลขฐานแปดมีสัญลักษณ์ที่มีค่าสูงสุดคือ 7 ซึ่งในเลขฐานสองก็คือ 1112 = 78 ดังนั้น จะได้ว่าเลขฐานสองสามหลัก สามารถแทนด้วยเลขฐานแปดเพียงหนึ่งหลกั ดังน้ี

ความสมั พนั ธร์ ะหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก และเมื่อจานวนเลขมีหลักมากกว่าสามหลัก จะจัดเป็นกลุ่มทีละสามหลัก เริ่มจากหลักขวามือสุดก่อน ถ้าหลักบนสุด หรือหลกั ซา้ ยมือมไี ม่ครบหลักให้เตมิ ศนู ยจ์ นครบ แล้วแปลงคา่ แตล่ ะกล่มุ เป็นเลขฐานสบิ ซง่ึ จะได้ค่าท่ีเปน็ เลขฐานแปดที่หลัก เรียงกันอย่างถูกต้องทันที ดงั เชน่ ตวั อย่าง ให้แปลงเลขฐานสอง 10112 เป็นเลขฐานแปด วธิ ที า เม่ือตรวจสอบแลว้ จะมคี ่าเทา่ กัน นนั่ คอื 10112 =11 และ 138 = 11 ในทางกลับกัน การแปลงเลขฐานแปดมาอยู่ในรูปเลขฐานสอง ก็ทาได้โดยการแปลงค่าในแต่ละหลักของเลขฐานแปด ไปเป็นเลขฐานสองสามหลกั โดยตรง ดังเชน่

ความสมั พันธ์ระหวา่ งเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก ตวั อยา่ ง ใหแ้ ปลงคา่ เลขฐานแปด 638 เป็ นเลขฐานสอง วธิ ที า และเมอื่ ตรวจสอบแลว้ จะมคี ่าเท่ากนั ในเลขฐานสบิ น่ันคอื 638 = 51 และ 1100112 = 51

ความสมั พันธร์ ะหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก การแปลงตัวเลขระหวา่ งเลขฐานสองและสบิ หก ในกรณีของเลขฐานสิบหก ค่าของตัวเลขสูงสุดท่ีแทนด้วยเลขฐานสิบหกคือ F ซึ่งมีค่าเป็น 15 ในเลขฐานสิบ ซ่ึงแทน ดว้ ยเลขฐานสองสห่ี ลักคือ 11112 = 15 = F16 ดงั นั้นเลขฐานสองสหี่ ลักจะสามารถแทนที่ด้วยเลขฐานสบิ หกหน่งึ หลกั ดงั น้ี และในกรณีที่จานวนหลักมากกว่าส่ีหลัก เราจะใช้วิธีเดียวกับการแปลงเป็นเลขฐานแปด นั่นคือจัดเป็นกลุ่ม กลุ่มละสี่ หลัก (เรยี กวา่ นบิ เบิล nibble) เร่ิมจากหลักด้านขวามือสุด ถ้าหลักบนสุดหรือหลักด้านซ้ายมือมีไม่ครบสี่หลัก ก็ให้เติมศูนย์ แลว้ ทาการแปลงทีละกลุ่ม จะได้เลขฐานสิบหกหลายๆ หลกั เรียงกันอยา่ งถูกตอ้ ง ดังเชน่

ความสัมพนั ธ์ระหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก ตวั อย่าง ใหแ้ ปลงเลขฐานสอง 10111012 ไปเป็ นเลขฐานสบิ หก วธิ ที า และเมื่อต้องการแปลงกลับจากเลขฐานสิบหกไปเป็นเลขฐานสอง ก็ทาได้ด้วยวิธีเช่นเดียวกันกับการแปลงจากเลขฐาน แปด น่นั คอื แปลงค่าในแต่ละหลกั ของเลขฐานสบิ หกเป็นเลขฐานสองสหี่ ลกั โดยตรง (อย่าลืมวา่ ถา้ คา่ ในเลขฐานสองไม่ครบสี่ หลัก ตอ้ งเติมศูนยใ์ หค้ รบสห่ี ลกั ) ดังเช่น

ความสมั พันธร์ ะหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก ตวั อย่าง ใหแ้ ปลงเลขฐานสบิ หก B316 ไปเป็ นเลขฐานสอง วธิ ที า

ความสัมพันธ์ระหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก การแปลงตวั เลขระหว่างฐานแปดและฐานสบิ หก เมอื่ ผเู้ รียนเขา้ ใจและสามารถแปลงเลขฐานระหว่างเลขฐานสองกับฐานแปด และฐานสองกับฐานสิบหกแล้ว การแปลง เลขฐานระหว่างฐานแปดกับฐานสิบหกก็ไม่ใช่เรื่องยาก เพราะสามารถใช้เลขฐานสองเป็นสื่อกลาง น่ันคือ ถ้าต้องการแปลง เลขฐานแปดเป็นฐานสบิ หก ก็ทาได้โดยการแปลงเปน็ เลขฐานสองก่อน แลว้ จงึ แปลงเป็นฐานสบิ หกต่อไป และเชน่ เดียวกนั กับ การแปลงจากเลขฐานสิบหกเปน็ เลขฐานแปด ดังเช่นตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี ตวั อยา่ ง จงแปลงเลขฐานแปด 478 เปน็ ฐานสบิ หก กวาธิรีทแาปลงตัวเลขระหวา่ งเลขฐานสองและฐานแปด ดงั น้ัน 478 = 2716 จะเห็นไดว้ า่ ดว้ ยวธิ ดี งั กลา่ วจะทาไดง้ ่ายกวา่ การแปลงเป็ นเลขฐานสบิ กอ่ น

ความสัมพันธ์ระหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก ความสมั พันธ์ระหว่างคณิตศาสตรก์ ับการทางานของคอมพวิ เตอร์ คณติ ศาสตร์ในชีวติ ประจาวนั ของเราเป็นระบบเลขฐานสบิ โดยมตี ัวเลขให้ใช้ 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 แต่คณติ ศาสตร์ของคอมพิวเตอร์นั้นเป็นระบบเลขฐานสอง ซ่งึ มีตวั เลขใหใ้ ช้เพยี งสองตัวเท่านัน้ คอื 0 และ 1 การนับเลขใน ระบบเลขฐานสบิ สมมติเราเริม่ นับเลขจากศูนย์และนบั เพม่ิ ไปทลี ะหนงึ่ เปน็ หนงึ่ สอง สาม ฯลฯ ถ้าเราใช้เลขหลกั เดียว เราจะ นบั ไดไ้ ม่เกนิ เกา้ ซ่ึงเขยี นแทนด้วย “9” ถ้านบั ต่อจาก (หน่ึง ศูนย์) ให้สังเกตตัวเลขหลักทางขวามือซึ่งเราเรียกว่า หลักหน่วย น้ัน พอนับถงึ 9 ก็วนกลับมาเป็น 0 เหมือนตอนตัง้ ต้น ฉะน้ันการนบั เลขในแต่ละหลัก จึงเป็นการนับวนไปเรื่อย ๆ จาก 0 ถึง 9 แลว้ มาเร่มิ 0 ใหม่ ดังนี้ การนับเลขในระบบฐานสอง ถึงแมว้ า่ ในชีวติ ประจาวันเราใชเ้ ลขฐานสิบซึ่งสันนิษฐานกันว่าเกิดจากการที่คนเรามีสิบน้ิว และมนุษย์เร่ิมเรียนรู้การนับเลขจากนับน้ิวมือ แต่ในการทางานของระบบคอมพิวเตอร์นั้น ระบบเลขฐานสิบเป็นระบบท่ี ยุ่งยาก ระบบท่ีง่ายที่สุดคือระบบเลขฐานสองเพราะวงจรไฟฟ้ามีสองสถานะเท่าน้ัน คือ วงจรเปิด (มีกระแสไหล) กับวงจร เปิด (ไมม่ ีกระแสไหล) เราอาจแทนสถานะทั้งสองดว้ ยตวั เลข 2 ตัว คอื 0 กบั 1 ระบบน้ีเราเรียกว่า ระบบเลขฐานสองเพราะ มตี ัวเลข 2 ตวั (เทียบกับระบบฐานสิบ ซึ่งมตี ัวเลข 0-9 รวม 10 ตัว) การนบั เลขในระบบเลขฐานสองในแต่ละหลักจึงเป็นการ นับ 0-1 แล้ววนกลับมาเริ่มต้นใหม่ที่ 0 แม้ว่าระบบเลขฐานสองจะมีข้อเสียเปรียบ คือ ต้องใช้จานวนหลักมาก แต่ความง่าย ในการสรา้ งวงจรอเิ ล็กทรอนิกสม์ าทาหนา้ ทน่ี บั เลขฐานสองนัน้ เปน็ ขอ้ ไดเ้ ปรยี บอย่างยิ่งจึงทาใหร้ ะบบเลขฐานสองเป็นระบบ ท่ถี กู นามาใชใ้ นการทางานของคอมพวิ เตอร์

ความสมั พันธร์ ะหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก ความสัมพันธ์ระหว่างระบบเลขฐานสองกับระบบดิจิทัล ระบบดิจิทัลท่ีใช้ในวงจรอิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่ เป็นระบบที่ ทางานด้วยแรงดันไฟฟ้าสองระดับ ซ่ึงต่างกับระบบแอนะล็อกดั้งเดิมท่ีทางานโดยอาศัยการเปลี่ยนแปลงของแรงดันไฟฟ้า อยา่ งตอ่ เนื่อง สง่ิ ท่อี ยเู่ บือ้ งหลังการทางานของคอมพวิ เตอร์ คอื วงจรตรรกะซง่ึ เปน็ วงจรอเิ ลก็ ทรอนิกส์จานวนมหาศาลแตล่ ะ วงจรทางานโดยมีสถานะเพียงสองสถานะ ระบบเช่นน้ี เราเรียกว่า ระบบดิจิทัล หน่วยที่เล็กท่ีสุดของวงจรตรรกะท่ีใช้ใน คอมพวิ เตอร์ คอื เกต (Gate) วงจรเกตมหี ลายแบบและเม่ือนาเกตแบบต่าง ๆ มาตอ่ กันยังทาให้เกิดวงจรท่ีสามารถทาหน้าท่ี อ่ืนได้อีกหลายแบบ เช่น วงจรนับ (Counter) และวงจรความจา (Memory) วงจรตรรกะประเภทหลัก ๆ ท่ีใช้ในงาน คอมพวิ เตอรม์ ดี ังนี้ 1. วงจรเกตหรือลอจิกเกต (Logic gate) เป็นวงจรที่ทาหน้าท่ีตัดสินเชิงเหตุและผล (เชิงตรรกะ) ท้ังนี้เป็นไปตาม กฎเกณฑท์ างคณิตศาสตร์แบบหนึง่ ที่เรยี กวา่ พีชคณติ แบบบูลีน (Boolean Algebra) 2. วงจรนับ (Counter) เป็นอีกวงจรหน่ึงท่ีมีความสาคัญมากต่อการทางานของคอมพิวเตอร์ด้วยเหตุผลอย่างน้อยสอง ประการ ประการแรก คอมพิวเตอรท์ าการนบั เพื่อกาหนดตาแหน่งของสง่ิ ต่าง ๆ เช่น ลาดับขั้นตอนการทางานตามโปรแกรม ตาแหนง่ ของหน่วยความจา ประการทีส่ องการนับเป็นกระบวนการพ้ืนฐานอย่างหน่ึงของการคานวณ ดังน้ัน วงจรจึงนับเป็น วงจรดิจิทัลที่เปน็ องค์ประกอบทีส่ าคญั อย่างหนง่ึ ของ คอมพิวเตอร์

ความสัมพนั ธ์ระหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด และ ฐานสิบหก 3. วงจรความจา (Memory) การมีความจานบั ว่าเป็นคุณสมบัตทิ ีส่ าคัญทส่ี ดุ อยา่ งหนึง่ ของคอมพวิ เตอร์ คอมพิวเตอรใ์ ช้ ความจาท้ังสาหรับเก็บข้ันตอนการทางาน (ซ่ึงเป็นส่วนหนึ่งของโปรแกรม) เก็บค่าต่าง ๆ ของข้อมูล ในระหว่างทา กระบวนการและเก็บค่าผลลัพธ์เมื่อสิ้นสุดกระบวนการ หน่วยความจาของคอมพิวเตอร์มีท้ังที่เป็นส่วนประกอบภายในของ หน่วยประมวลผลกลาง (ซี พี ยู) และท่ีเป็นหนว่ ยความจาตา่ งหาก